Prévia do material em texto

Prof. MSc. André Medeiros
UNIDADE I
Matemática Financeira
 A Matemática Financeira estuda as relações entre os valores financeiros e suas 
datas, e para isso se utiliza de instrumento de cálculos característicos.
 Cada valor financeiro está vinculado a uma data determinada. Toda vez que a data 
de referência de um valor é mudada, ele deve ser recalculado. 
 Concluímos que o valor do dinheiro muda com o passar do tempo. Essa mudança 
de valor do dinheiro chama-se “Poder de Compra”.
Natureza e objetivo da Matemática Financeira
Principal aspecto da Matemática Financeira:
 Dinheiro tem um custo associado ao tempo.
Exemplo: um amigo lhe pede emprestado $ 1.000,00, o que implica você pensar:
No risco: “Será que ele me pagará na data prevista?”
Na utilidade: “Será que o poder de compra dos $ 1.000,00 permanecerá inalterado 
durante um ano inteiro?”
 Na oportunidade: “Se eu permanecesse com o 
dinheiro, poderia consumi-lo satisfazendo 
as minhas necessidades.”
Natureza e objetivo da Matemática Financeira
 Principal (P): capital inicial de uma aplicação.
 Juro (J): valor pago ou recebido como remuneração (aluguel) pelo uso 
de um capital.
Taxa de juros (r ou i): é o índice referente a uma unidade de tempo, que indica o juro 
por unidade de capital vinculado à aplicação ou dívida. Alguns exemplos:
 a.a. = ao ano;
 a.m. = ao mês;
 a.s. = ao semestre;
 Número de períodos (n): é a medida do prazo de uma 
aplicação expressa na unidade de tempo da taxa de 
juros. 
 Montante (M): é a soma do principal de uma aplicação 
com o juro que o capital rendeu durante essa aplicação.
Conceitos básicos
Taxas proporcionais: duas taxas de juros diferentes, que se referem a unidades de 
tempo diversas, serão proporcionais quando seus valores estiverem na mesma 
razão que seus prazos. Veja a fórmula:
Exemplos de taxas proporcionais:
 2% ao mês e 24% ao ano;
 1% ao bimestre e 3% ao semestre.
 Custo (C): quanto se paga por uma determinada 
mercadoria ou se gasta para prestar um 
determinado serviço.
Conceitos básicos
 Lucro (L): ganho adicionado ao custo da mercadoria ou do serviço para se calcular 
seu preço de venda.
 Preço de venda (V): resultado da soma do custo com o lucro (V = C + L).
 Ano exato: é o critério em que o prazo é contado dia a dia, perfazendo um 
ano de 365 dias. 
 Ano comercial: é o critério em que o prazo é contado em 
meses de 30 dias, totalizando um ano de 360 dias.
Conceitos básicos
 Fluxo de caixa: é a indicação gráfica da movimentação de valores em um caixa. 
Exemplo:
 Como leitura desse fluxo de caixa, dizemos que a 
empresa fez um empréstimo bancário de $ 8.000,00 e 
pagou em 4 parcelas consecutivas de $ 2.000,00.
Conceitos básicos
$ 8.000,00
$ 2.000,00 $ 2.000,00 $ 2.000,00 $ 2.000,00
 Juros simples: a taxa de juros incide somente sobre o valor inicial aplicado ou 
tomado emprestado.
Exemplo: correção de juros simples 
de um empréstimo de $ 800,00 
com uma taxa de juros de 
8% a.m. durante 6 meses:
Conceitos básicos – Tipos de cálculos de juros
Mês Saldo Inicial Juros Saldo Final
0 800,00 - 800,00
1 800,00 64,00 864,00
2 864,00 64,00 928,00
3 928,00 64,00 992,00
4 992,00 64,00 1.056,00
5 1.056,00 64,00 1.120,00
6 1.120,00 64,00 1.184,00
 Juros compostos: a incidência de juros ocorre sempre de forma cumulativa. A taxa 
de juros incidirá sobre o montante acumulado no final do período anterior.
Exemplo: em uma operação de 
empréstimo de $ 100,00 por 3 meses, 
a uma taxa de 60% a.m.:
Conceitos básicos – Tipos de cálculos de juros
Mês Saldo Inicial Juros Saldo Final
0 100,00 - 100,00
1 100,00 60,00 160,00
2 160,00 96,00 256,00
3 256,00 153,60 409,60
Ao cálculo de juros em que a principal característica é a incidência somente sobre o 
valor inicial aplicado ou tomado emprestado, damos o nome de:
a) Montante.
b) Prazo.
c) Juros compostos.
d) Juros simples.
e) Lucro.
Interatividade
Ao cálculo de juros em que a principal característica é a incidência somente sobre o 
valor inicial aplicado ou tomado emprestado, damos o nome de:
a) Montante.
b) Prazo.
c) Juros compostos.
d) Juros simples.
e) Lucro.
Resposta
 Taxa percentual: é a taxa utilizada nos enunciados para demonstrar os juros 
sobre o capital. O símbolo utilizado é o % e não pode ser utilizado para 
o cálculo algébrico.
 Exemplo: 25% (lê-se vinte e cinco por cento)
 Taxa unitária: é a forma utilizada para cálculos algébricos. É a taxa percentual 
dividida por 100.
Exemplo: 0,25 (25/100 = 0,25)
Outros exemplos:
 10% = 0,10
 5% = 0,05
 0,6% = 0,006
Taxas – Aplicações 
Exemplo: a comissão de um vendedor é de 22,5% sobre o valor total das vendas 
realizadas durante o mês. Em um determinado mês, ele vendeu um total de 
$ 25.500,00. Qual foi o valor da comissão desse vendedor?
Resolução: primeiro devemos identificar os dados do problema:
 1º – total de vendas  TV = 25.500,00
 2º – comissão  22,5% (convertendo para taxa unitária – 22,5/100 = 0,225)
 3º – valor da comissão  25.500 . 0,225 = 5.737,50
 Resposta: a comissão do vendedor foi de $ 5.737,50.
Taxas – Aplicações 
 Uma dica importante: para facilitar o cálculo do novo valor já acrescido ou 
descontado dos juros, podemos usar o fator de multiplicação. 
 Acréscimo: 1 + taxa unitária (ex.: 25% = 1 + 0,25 = 1,25)
Exemplo: qual é o valor de uma mercadoria com valor original $ 230,00 
acrescido de 35%?
 35% = 1 + 0,35 = 1,35
 Novo valor  230 . 1,35 = 310,50
Fator de multiplicação
 Desconto: 1 – taxa unitária (ex.: 25% = 1 – 0,25 = 0,75)
Exemplo: qual é o valor de uma mercadoria com valor original $ 230,00 com 
desconto de 35%?
 35% = 1 – 0,35 = 0,65
 Novo valor  230 . 0,65 = 149,50
Fator de multiplicação
Qual deverá ser o valor de venda de uma mercadoria que custou $ 320,00 se é 
pretendido obter um lucro de 45%?
 45% acréscimo = 1 + 0,45 = 1,45
 PV = 320 . 1,45 = 464
 Resposta: o valor de venda deverá ser de $ 464,00.
Fator de multiplicação – Acréscimo 
Um lojista dá desconto de 15% para pagamento à vista sobre o preço original de 
venda da mercadoria. Se um sapato tem o seu preço original de $ 450,00, qual será 
o valor pago pelo cliente que decidiu pagar à vista pelo sapato?
 15% desconto = 1 – 0,15 = 0,85
 PV = 450 . 0,85 = 382,50
Resposta: o valor com desconto será de $ 382,50.
Fator de multiplicação – Desconto 
Uma loja de roupas lançou a seguinte promoção:
Na compra de 1 peça, o cliente pagará o valor cheio da etiqueta.
Na compra de 2 peças iguais, o cliente pagará a segunda peça com 25% de 
desconto.
Na compra de 3 peças iguais, o cliente pagará a segunda com 25% de desconto e a 
terceira peça com 50% de desconto.
O cliente levou 2 blusas com preço de etiqueta $ 50,00 e 3 calças com preço de 
etiqueta $ 100,00. Quanto o cliente pagou pela compra?
a) $ 312,50.
b) $ 87,50.
c) $ 225,00.
d) $ 400,00.
e) $ 150,00.
Interatividade
Uma loja de roupas lançou a seguinte promoção:
Na compra de 1 peça, o cliente pagará o valor cheio da etiqueta.
Na compra de 2 peças iguais, o cliente pagará a segunda peça com 25% de 
desconto.
Na compra de 3 peças iguais, o cliente pagará a segunda com 25% de desconto e a 
terceira peça com 50% de desconto.
O cliente levou 2 blusas com preço de etiqueta $ 50,00 e 3 calças com preço de 
etiqueta $ 100,00. Quanto o cliente pagou pela compra?
a) $ 312,50.
b) $ 87,50.
c) $ 225,00.
d) $ 400,00.
e) $ 150,00.
Resposta
 A taxa de juros incide somente sobre o valor inicial aplicado ou do empréstimo.
 Também chamado de linear, não capitalizado ou proporcional.
 Em todos os períodos, aplicamos a taxa de juros sobre o principal, que não muda; 
todos eles rendem o mesmo valor de juros, caracterizando uma variação linear.
Juros simples
Mês Saldo Inicial Juros Saldo Final
0 800,00 - 800,00
1 800,00 64,00 864,00
2 864,00 64,00 928,00
3 928,00 64,00 992,00
4 992,00 64,00 1.056,00
5 1.056,00 64,00 1.120,00
6 1.120,00 64,00 1.184,00
Juro: J = P . i . n
Montante:
 M = P + J  substituindo J = P . i . n
 M = P + P . i . n  colocando o fator P em evidência, teremos:
 M = P . (1 + i . n)
Em que: 
J = juros
P = principal (início da operação)
i = taxa unitária de juros (%/100)
n = número de períodos (prazo da operação)
M = montante (final da operação)
Juros simples – Fórmulas 
 Importante!!!!
“A taxa i e o prazo n deverão estar 
na mesma unidade de tempo.”
Exemplo: i = 25% a.m.  n = 6 meses
i = 32% a.d.  n = 32 dias
i = 65% a.s.  n = 3 semestres
Juros simples
 Exemplo 1: calcular os juros produzidos por uma aplicação de $ 1.000,00 a uma 
taxa de 2% ao mês pelo período de 60 dias.
Resolução:
J = ? J = P . i . n 
P = $ 1.000,00 J = 1000 . 0,02 . 2
i = 2% a.m.  0,02 a.m. J = 40
n = 60 dias  2 meses
Resposta: os juros produzidos por essa aplicação foram 
de $ 40,00.
Juros simples
 Exemplo 2: calcular o prazo, em meses, de uma aplicação que gerou um juro de 
$ 47.600,00 sobre uma aplicação de $ 850.000,00 a uma taxa de 1,75% ao mês.
Resolução:
J = $ 47.600,00 J = P . i . n 
P = $ 850.000,00 47600 = 850000 . 0,0175 . n
i = 1,75% a.m.  0,0175 a.m. 47600 = 14875 . n
n = ? 47600 / 14875 = n
3,2 = n
Resposta: o prazo da aplicação foi de 3,2 meses.
Juros simples
 Exemplo 3: uma pessoa tomou um empréstimo no valor de $ 8.400,00 pelo prazo 
de 2 anos, à taxa de juros simples de 2,3% a.m. Quanto pagou ao final do prazo? 
Resolução:
M = ? M = P . (1 + i . n)
P = $ 8.400,00 M = 8400 . (1 + 0,023 . 24) ** Atenção!
i = 2,3% a.m.  0,023 a.m. M = 8400 . (1 + 0,552)
n = 2 anos  24 meses M = 8400 . (1,552)
M = 13036,8
Resposta: a pessoa pagou ao final do empréstimo o valor 
total de $ 13.036,80.
Juros simples
Um terreno pode ser adquirido pelo preço à vista de $ 48.000,00 ou por $ 54.000,00 
para pagamento após seis meses. Qual é a taxa mensal de juros simples que está 
sendo cobrada? 
a) 0,020833% a.m.
b) 1,125% a.m.
c) 2,0833% a.m.
d) 88,8% a.m.
e) 0,01125% a.m.
Interatividade
Um terreno pode ser adquirido pelo preço à vista de $ 48.000,00 ou por $ 54.000,00 
para pagamento após seis meses. Qual é a taxa mensal de juros simples que está 
sendo cobrada? Resolução:
a) 0,020833% a.m. J = M – P = 54000 – 48000 = 6000
b) 1,125% a.m. J = P . i . n
c) 2,0833% a.m. 6000 = 48000 . i . 6
d) 88,8% a.m. 6000 = 288000 . i
e) 0,01125% a.m. 6000 / 288000 = i
0,020833 = i  taxa unitária
Como todas as respostas estão como taxa percentual, 
devemos multiplicar a taxa unitária por 100.
i % = 0,020833 . 100 = 2,0833% a.m.
Resposta
 Dependendo da área de atuação do profissional, o montante e o principal podem 
ter outros nomes. 
 Profissionais da área de investimentos utilizam o montante e o principal para se 
referirem aos valores na data de vencimento e antes da data de vencimento, 
respectivamente.
 Profissionais da área de financiamento utilizam o valor nominal e o valor atual para 
se referirem aos valores na data de vencimento e antes da data de vencimento, 
respectivamente. 
 Então:
 Valor atual: valor antes da data de vencimento da 
operação. Seria análogo ao valor principal.
 Valor nominal: valor na data de vencimento da operação. 
Sinônimo de montante.
Valor atual e valor nominal
De acordo com a contagem do prazo em anos, teremos:
 Juro exato, para anos contados dia a dia, totalizando 365 dias; esse critério de 
contagem dos dias é aplicado em operações de curto prazo, como descontos de 
duplicatas e de cheques.
 Juro comercial, para meses de trinta dias, perfazendo um ano de 360 dias; 
aplicado em situações que envolvem o consumidor final, como a 
caderneta de poupança.
Juro exato e juro comercial 
 Conceito: duas taxas de juros diferentes, referentes a unidades de tempo diversas, 
serão equivalentes quando, a partir do mesmo principal, no mesmo prazo, 
produzirem o mesmo montante. Nesse caso, a equivalência é caracterizada por 
resultados iguais.
Em juros simples, usamos apenas as operações de multiplicação e divisão para 
encontrar as taxas equivalentes:
Equivalência de taxas
 Exemplo 1: qual é a taxa anual equivalente de uma taxa mensal de 3%?
Basta multiplicar a taxa mensal por 12 (temos 12 meses em um ano).
ia = 3 . 12 = 36% a.a.
 Exemplo 2: qual é a taxa mensal equivalente de uma taxa anual de 24%?
Basta dividir a taxa anual por 12 (temos 12 meses em um ano).
im = 24 / 12 = 2% a.m.
Equivalência de taxas
 Exemplo 3: um banco adotou uma taxa de 15% ao ano a uma aplicação no regime 
de juros simples. Quantos por cento renderá ao mês? E ao bimestre? 
E ao semestre?
 Ao mês: basta dividir a taxa anual por 12 (temos 12 meses em um ano).
 im = 15 / 12 = 1,25% a.m.
 Ao bimestre: basta dividir a taxa anual por 6 (temos 6 bimestres em um ano).
 ib = 15 / 6 = 2,5% a.b.
 Ao semestre: basta dividir a taxa anual por 2 
(temos 2 semestres em um ano).
 is = 15 / 2 = 7,5% a.s.
Equivalência de taxas
Uma financeira cobra uma taxa mensal de 5,4% ao mês sobre os empréstimos feitos 
aos seus clientes. Qual é a taxa equivalente trimestral que ela cobrará?
a) 16,2% a.m.
b) 1,8% a.t.
c) 32,6% a.t.
d) 0,833% a.t.
e) 16,2% a.t.
Interatividade
Uma financeira cobra uma taxa mensal de 5,4% ao mês sobre os empréstimos feitos 
aos seus clientes. Qual é a taxa equivalente trimestral que ela cobrará?
a) 16,2% a.m. Ao trimestre: basta multiplicar a taxa mensal por 3
b) 1,8% a.t. (temos 3 meses em um trimestre).
c) 32,6% a.t. it = 5,4 . 3 = 16,2% a.t.
d) 0,833% a.t.
e) 16,2% a.t.
Resposta
ATÉ A PRÓXIMA!