02 Matemática

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TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
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Teoria Dos Conjuntos 
Teoria dos conjuntos é o ramo da matemática que estuda conjuntos, que são coleções de elementos. 
Embora qualquer tipo de elemento possa ser reunido em um conjunto, a teoria dos conjuntos é 
aplicada na maioria das vezes a elementos que são relevantes para a matemática. A linguagem da 
teoria dos conjuntos pode ser usada nas definições de quase todos os elementos matemáticos. 
O estudo moderno da teoria dos conjuntos foi iniciado por Georg Cantor e Richard Dedekind em 
1870. Após a descoberta de paradoxos na teoria ingênua dos conjuntos, numerosos sistemas de 
axiomas foram propostos no início do século XX, dos quais os axiomas de Zermelo-Fraenkel, com o 
axioma da escolha, são os mais conhecidos. 
Conceitos de teoria dos conjuntos são integrados em todo currículo de matemática nos Estados 
Unidos. Fatos elementares sobre conjuntos e associação de conjuntos são frequentemente 
ensinados na escola primária, junto com diagramas de Venn, diagramas de Euler, e as operações 
elementares, tais como união e interseção de conjunto. Conceitos ligeiramente mais avançados, tais 
como cardinalidade são uma parte padrão do currículo de matemática de graduação. 
A teoria dos conjuntos é comumente empregada como um sistema precursor da matemática, 
particularmente na forma de teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha. 
Além de seu papel fundamental, a teoria dos conjuntos é um ramo da matemática em si própria, com 
uma comunidade de pesquisa ativa. Pesquisas contemporâneas em teoria dos conjuntos incluem 
uma diversa coleção de temas, variando da estrutura do número real ao estudo da consistência de 
grandes cardinais. 
A lógica de classes, que pode ser considerada um pequeno fragmento da teoria dos conjuntos com 
importância histórica é isomorfa à lógica proposicional clássica e à álgebra booleana, e como tal, os 
teoremas de uma das teorias possuem análogos nas outras duas. 
História 
Temas matemáticos geralmente surgem e evoluem através de interações entre muitos 
pesquisadores. Teoria dos conjuntos, no entanto, foi fundada por um único artigo em 1874 por Georg 
Cantor: "A respeito de uma propriedade característica de todos os números algébricos reais".[3][4] 
Desde o século V a.C., começando com o matemático grego Zenão de Eleia no ocidente e 
matemáticos indianos no oriente, os matemáticos têm se debatido com o conceito de infinito. 
Especialmente notável é o trabalho de Bernard Bolzano[5] na primeira metade do século XIX. A 
compreensão moderna do conceito de infinito em matemática começou em 1867–71, com os 
trabalhos de Cantor em teoria dos números, teoria das funções e séries trigonométricas.[6] Um 
encontro em 1872 entre Cantor e Richard Dedekind influenciou o pensamento de Cantor e culminou 
no artigo de Cantor 1874. 
O trabalho de Cantor inicialmente dividiu os matemáticos de sua época. Enquanto Karl Weierstrass e 
Dedekind apoiavam Cantor, Leopold Kronecker, hoje visto como um dos fundadores do 
construtivismo matemático, era contra. A teoria dos conjuntos cantoriana, afinal, tornou-se 
amplamente difundida, devido à utilidade dos conceitos cantorianos, tais como correspondência um-
para-um entre conjuntos, sua prova de que há mais números reais que inteiros, e a "infinidade de 
infinitos" ("paraíso de Cantor") que a operação conjunto das partes dá origem. 
A onda de entusiasmo seguinte na teoria dos conjuntos chegou por volta de 1900, quando foi 
descoberto que a teoria dos conjuntos Cantoriana dava origem a várias contradições, chamadas 
antinomias ou paradoxos. Bertrand Russell e Ernst Zermelo encontraram o paradoxo mais simples e 
mais conhecido paradoxo, hoje chamado paradoxo de Russell que envolve "o conjunto de todos os 
conjuntos que não são membros de si mesmos". Isto leva a uma contradição, uma vez que ele deve 
ser e não ser um membro de si mesmo. Em 1899 Cantor se questionou: "qual é o número cardinal do 
conjunto de todos os conjuntos?" e obteve um paradoxo relacionado. 
A força da teoria dos conjuntos foi tal que o debate sobre os paradoxos não a levou ao abandono. O 
trabalho de Zermelo em 1908 e Abraham Fraenkel em 1922 resultou na teoria axiomática dos 
conjuntos canônica ZFC, que imagina-se ser livre de paradoxos. O trabalho de analistas, como Henri 
Lebesgue, demonstrou a grande utilidade matemática da teoria dos conjuntos. 
TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
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Teoria dos conjuntos começa com uma fundamental relação binária entre um objeto o e um conjunto 
A. Se o é um membro (ou elemento) de A, nós escrevemos o ∈ A. Uma vez que conjuntos são 
objetos, a relação de pertinência também pode relacionar conjuntos. 
Uma relação binária derivada entre dois conjuntos é a relação subconjunto, também chamada 'está 
contido'. Se todos os elementos do conjunto A também são elementos do conjunto B, então A é um 
subconjunto de B, denotado por A ⊆ B. Por exemplo, {1,2} é um subconjunto de {1,2,3} , mas {1,4} 
não o é. A partir desta definição, é óbvio que um conjunto é um subconjunto de si mesmo; nos casos 
em que se deseja evitar isso, o termo subconjunto próprio é definido para excluir esta possibilidade. 
Assim como a aritmética caracteriza operações binárias sobre números, teoria dos conjuntos 
caracteriza operações binárias sobre conjuntos. O (A): 
União dos conjuntos A e B, denotada por A ∪ B, é o conjunto de todos os objetos que são membros 
de A, ou B, ou ambos. A união de {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é o conjunto {1, 2, 3, 4}. 
Interseção dos conjuntos A e B, denotada por A ∩ B, é o conjunto de todos os objetos que são 
membros de ambos A e B. A interseção de {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é o conjunto {2, 3}. 
Diferença de conjuntos de U e A, denotada por U \ A é o conjunto de todos os membros de U que não 
são membros de A. A diferença de conjuntos {1,2,3} \ {2,3,4} é {1}, enquanto a diferença de conjuntos 
{2,3,4} \ {1,2,3} é {4}. Quando A é um subconjunto de U, a diferença de conjuntos U \ A é também 
chamada de complemento de A em U. Neste caso, se a escolha de U é clara a partir do contexto, a 
notação Ac é algumas vezes usada no lugar de U \ A, particularmente se U é um conjunto universo 
como no estudo de diagramas de Venn. 
Diferença simétrica dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os objetos que são membros de 
exatamente um de A e B (elementos que estão em um dos conjuntos, mas não em ambos). Por 
exemplo, para os conjuntos {1,2,3} e {2,3,4}, o conjunto diferença simétrica é {1,4}. É o conjunto 
diferença da união e da interseção,, (A ∪ B) \ (A ∩ B). 
Produto cartesiano de A e B, denotada por A × B, é o conjunto cujos membros são todos os possíveis 
pares ordenados (a,b) onde a é um membro de A e b é um membro de B. 
Conjunto das partes de um conjunto A é o conjunto cujos membros são todos os possíveis 
subconjuntos de A. Por exemplo, o conjunto das partes de {1, 2} é { {}, {1}, {2}, {1,2} }. 
Alguns conjuntos básicos de importância central são o conjunto vazio (o único conjunto que não 
contém elementos), o conjunto de números naturais, e o conjunto de números reais. 
A notação ∀x na teoria dos conjuntos representa "para todo e qualquer". Ex.: Dois conjuntos A e B 
são iguais se e somente se ∀x (x ∈ A ↔ x ∈ B) para todo e qualquer x contido em ambos os conjuntos 
(A=B). 
Um Pouco De Ontologia 
Um conjunto é puro se todos os seus membros são conjuntos, todos os membros de seus membros 
são conjuntos, e assim por diante. Por exemplo, o conjunto {{}} contendo apenas o conjunto vazio é 
um conjunto não vazio puro. Na teoria dos conjuntos moderna, é comum restringir a atenção para o 
universo de von Neumann de conjuntos puros, e muitos sistemas da teoria axiomática dos conjuntos 
são projetados para axiomatizar apenas os conjuntos puros. Há muitas vantagens técnicas com esta 
restrição, e pequena generalidade é perdida, uma vez que, essencialmente,todos os conceitos 
matemáticos podem ser modelados por conjuntos puros. Conjuntos no universo de von Neumann são 
organizados em uma hierarquia cumulativa, com base em quão profundamente seus membros, os 
membros de membros, etc, são aninhados. A cada conjunto nesta hierarquia é atribuído (por 
recursão transfinita) um número ordinal a, conhecido como a sua 'classe'. A classe de um conjunto 
puro X é definida como sendo uma mais do que o menor limitante superior das classes de todos os 
membros de X. Por exemplo, ao conjunto vazio é atribuída a classe 0, enquanto ao conjunto {{}} 
contendo somente o conjunto vazio é atribuída classe 1. Para cada a, o conjunto Va é definido como 
consistindo de todos os conjuntos puros com classe menor que a. O universo de von Neumann como 
um todo é denotado por V. 
TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
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Teoria Axiomática Dos Conjuntos 
Teoria elementar dos conjuntos pode ser estudada de maneira informal e intuitiva, e por isso pode ser 
ensinado nas escolas primárias usando, por exemplo, diagramas de Venn. A abordagem intuitiva 
pressupõe que um conjunto pode ser formado a partir da classe de todos os objetos que satisfaçam 
uma condição particular de definição. Esta hipótese dá origem a paradoxos, os mais simples e mais 
conhecidos dos quais são o paradoxo de Russell e o paradoxo de Burali-Forti. Teoria axiomática dos 
conjuntos foi originalmente concebida para livrar a teoria dos conjuntos de tais paradoxos. 
Os sistemas mais amplamente estudados da teoria axiomática dos conjuntos implicam que todos os 
conjuntos formam uma hierarquia cumulativa. Tais sistemas vêm em dois sabores, aqueles cuja 
ontologia consiste de: 
Conjuntos sozinhos. Estes incluem a mais comum teoria axiomática dos conjuntos, teoria dos 
conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC), que inclui o axioma da escolha. Fragmentos de ZFC incluem: 
Teoria de conjuntos de Zermelo, que substitui o esquema de axiomas da substituição com o da 
separação; 
Teoria geral dos conjuntos, um pequeno fragmento da teoria de conjuntos de Zermelo suficiente para 
os axiomas de Peano e conjuntos finitos; 
Teoria dos conjuntos de Kripke-Platek, que omite os axiomas do infinitude, conjunto das partes, e 
escolha, e enfraquece os esquemas de axiomas da separação e substituição. 
Conjuntos e classes próprias. Estes incluem a teoria dos conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel, 
que tem a mesma força que ZFC para teoremas sobre conjuntos sozinhos, e teoria dos conjuntos de 
Morse-Kelley, que é mais forte do que ZFC. 
Os sistemas acima podem ser modificados para permitirem urelementos, objetos que podem ser 
membros de conjuntos, mas que não são eles próprios conjuntos e não tem nenhum membro. 
Os sistemas de Novos Fundamentos NFU (permitindo urelementos) e NF (faltando eles) não são 
baseadas em uma hierarquia cumulativa. NF e NFU incluem um"conjunto de tudo", em relação a qual 
cada conjunto tem um complemento. Nestes sistemas urelementos importam, porque NF, mas não 
NFU, produz conjuntos para os quais o axioma da escolha não se verifica. 
Sistemas da teoria dos conjuntos construtiva, como CST, CZF e IZF, firmam seus conjuntos de 
axiomas na lógica intuicionista em vez da lógica de primeira ordem. No entanto, outros sistemas 
admitem por padrão a lógica de primeira ordem, mas apresentam uma relação membro não-padrão. 
Estes incluem a teoria grosseira dos conjuntos e a teoria dos conjuntos difusa, na qual o valor de uma 
formula atômica incorporando a relação de filiação não é simplesmente Verdadeiro ou Falso. Os 
modelos de valores Booleanos de ZFC são um assunto relacionado. 
Teoria Dos Conjuntos Nebulosos 
Na teoria dos conjuntos como Cantor definiu e Zermelo e Fraenkel axiomatizaram, um objeto ou é um 
membro de um conjunto ou não. Na teoria dos conjuntos fuzzy esta condição foi relaxada, e desta 
forma um objeto tem um grau de pertinência em um conjunto, como número entre 0 e 1. Por exemplo, 
o grau de pertinência de uma pessoa no conjunto de "pessoas altas" é mais flexível do que uma 
simples resposta "sim" ou "não" e pode ser um número real, tal como 0,75. 
Conjuntos fuzzy foram introduzidos simultaneamente por Lotfi A. Zadeh[9] e Dieter Klaua em 1965 
como uma extensão da noção clássica de conjunto. Na teoria dos conjuntos clássica, a associação 
de elementos em um conjunto é avaliada em termos binários de acordo com uma condição bivalente - 
um elemento ou pertence ou não pertence ao conjunto. Por outro lado, a teoria dos conjuntos fuzzy 
permite a avaliação gradual da participação de elementos em um conjunto, o que é descrito com a 
ajuda de uma função de pertinência valorada no intervalo unitário real [0, 1]. Conjuntos fuzzy 
generalizam conjuntos clássicos, visto que as funções indicadoras de conjuntos clássicos são casos 
especiais das funções de pertinência de conjuntos fuzzy, se estes só podem tomar os valores 0 ou 1. 
Na teoria dos conjuntos fuzzy, conjuntos clássicos bivalentes são geralmente chamados conjuntos 
TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
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crisp. A teoria dos conjuntos fuzzy pode ser usada em uma ampla variedade de áreas em que a 
informação é incompleta ou imprecisa, como na bioinformática. 
Teoria Do Modelo Interno 
Um modelo interno da teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) é uma classe transitiva que 
inclui todos os ordinais e satisfaz todos os axiomas de ZF. O exemplo canônico é o Universo 
construível L desenvolvido por Gödel. Uma das razões que torna o estudo de modelos internos 
interessante é que ele pode ser usado para provar resultados de consistência. Por exemplo, pode-se 
mostrar que, independentemente se um modelo V da ZF satisfaz a hipótese do continuum ou o 
axioma da escolha, o modelo interno L construído dentro do modelo original irá satisfazer tanto a 
hipótese do continuum generalizada quanto o axioma da escolha. Assim, a suposição de que ZF é 
consistente (tem qualquer modelo que seja) implica que ZF juntamente com estes dois princípios é 
consistente. 
O estudo de modelos de interior é comum no estudo do determinismo e grandes cardinais, 
especialmente quando se considera axiomas que contradizem o axioma da escolha. Mesmo que um 
modelo fixo da teoria dos conjuntos satisfaz o axioma da escolha, é possível que um modelo interno 
falhe em satisfazer o axioma da escolha. Por exemplo, a existência de cardinais suficientemente 
grandes implica que há um modelo interno satisfazendo o axioma do determinismo (e, portanto, não 
satisfazendo o axioma da escolha). 
Grandes Cardinais 
Um grande cardinal é um número cardinal transfinito cujo caráter de "muito grande" está dado por 
uma propriedade extra, denominada propriedade de grande cardinal. Muitas destas propriedades são 
particularmente estudadas, incluindo cardinais inacessíveis, cardinais mensuráveis, cardinais 
compactos, entre outras. A existência de um cardinal com uma dessas propriedades não pode ser 
demonstrada na teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel, ZF, se ZF é consistente. 
Determinismo 
Determinismo refere-se ao fato de que, sob os pressupostos adequados, certos dois jogadores são 
determinados desde o início no sentido de que um jogador deve ter uma estratégia vencedora. A 
existência dessas estratégias tem conseqüências importantes na teoria descritiva dos conjuntos, 
como a suposição de que uma classe mais ampla de jogos ser determinada muitas vezes implica que 
uma classe mais ampla de conjuntos possui uma propriedade topológica. O axioma do determinismo 
(AD) é um importante objeto de estudo, embora incompatível com o axioma da escolha, AD implica 
que todos os subconjuntos da reta real são bem comportados (em particular, mensuráveis e com a 
propriedade de conjunto perfeito). AD pode ser usado para provar que os graus de Wadge têm uma 
estrutura alinhada. 
Forçamento 
Paul Cohen inventou o método de forçamento enquanto procura por um modelo de ZFC em que o 
axioma da escolha ou a hipótese do continuum falhe. Forçando a adição de conjuntosadicionais a 
algum determinado modelo da teoria dos conjuntos de modo a criar um modelo maior, com 
propriedades determinadas (isto é "forçadas") pelo modelo original e pela construção. Por exemplo, a 
construção de Cohen uniu subconjuntos adicionais dos números naturais sem mudar qualquer dos 
números cardinais do modelo original. Forçamento é também um dos dois métodos para provar 
consistência relativa por métodos finitístico, sendo o outro os modelos de valores Booleanos. 
Invariantes Cardinais 
Invariante cardinal é uma propriedade da reta real medida por um número cardinal. Por exemplo, uma 
invariante bem estudado é a menor cardinalidade de uma coleção de conjuntos magros de reais cuja 
união é toda a reta real. Estes são invariantes no sentido de que quaisquer dois modelos da teoria 
dos conjuntos isomorfos deve dar o mesmo cardinal para cada invariante. Muitos invariantes 
cardinais foram estudados, e as relações entre eles são muitas vezes complexas e relacionadas com 
os axiomas da teoria dos conjuntos. 
Topologia 
TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
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Topologia estuda questões de topologia geral que são de teoria dos conjuntos em sua natureza ou 
que requerem métodos avançados da teoria dos conjuntos para sua solução. Muitos desses 
teoremas são independentes de ZFC, exigindo axiomas mais fortes para a sua prova. Um famoso 
problema é o problema do espaço de Moore, uma questão na topologia geral que foi objecto de 
intensa pesquisa. A resposta para este problema acabou por ser provada ser independente de ZFC. 
Objeções À Teoria Dos Conjuntos Como Fundamento Para A Matemática 
Desde o início da teoria dos conjuntos, alguns matemáticos se opuseram a ela como um fundamento 
para a matemática, argumentando, por exemplo, que é apenas um jogo que inclui elementos de 
fantasia. A objeção mais comum à teoria dos conjuntos, um manifesto de Kronecker nos primeiros 
anos da teoria dos conjuntos, começou a partir da visão construtivista de que a matemática é 
vagamente relacionada à computação. Se este ponto de vista for admitido, então o tratamento de 
conjuntos infinitos, tanto na teoria ingênua dos conjuntos quanto na teoria axiomática dos conjuntos, , 
introduz em matemática métodos e objetos que não são computáveis. Ludwig Wittgenstein 
questionou a forma como a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel manipulava infinitos. As visões 
de Wittgenstein sobre os fundamentos da matemática foram mais tarde criticada por Georg Kreisel e 
Paul Bernays, e minuciosamente investigadas por Crispin Wright, entre outros. 
Teóricos das categorias propuseram a teoria de topos como uma alternativa à tradicional teoria 
axiomática dos conjuntos. Teoria de topos pode interpretar várias alternativas para aquela teoria, tais 
como o construtivismo, a teoria dos conjuntos finitos, e a teoria dos conjuntos computáveis. 
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 CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 
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Conjuntos Numéricos 
Os Números Naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...} 
são números inteirospositivos (não-negativos) que se agrupam num conjunto chamado 
de N, composto de um número ilimitado de elementos. 
Quando o zero não faz parte do conjunto, é representado com um asterisco ao lado da letra N e, 
nesse caso, esse conjunto é denominado de Conjunto dos Números Naturais Não-Nulos: N* = {1, 2, 
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...}. 
• Conjunto dos Números Naturais Pares = {0, 2, 4, 6, 8...} 
• Conjunto dos Números Naturais Ímpares = {1, 3, 5, 7, 9...} 
O conjunto de números naturais é infinito. Todos possuem um antecessor (número anterior) e um 
sucessor (número posterior), exceto o número zero (0). Assim: 
• o antecessor de 1 é 0 e seu sucessor é o 2; 
• o antecessor de 2 é 1 e seu sucessor é o 3; 
• o antecessor de 3 é 2 e seu sucessor é o 4; 
• o antecessor de 4 é 3 e seu sucessor é o 5. 
Cada elemento é igual ao número antecessor mais um, exceptuando-se o zero. Assim, podemos 
notar que: 
• o número 1 é igual ao anterior (0) + 1 = 1; 
• o número 2 é igual ao anterior (1) + 1 = 2; 
• o número 3 é igual ao anterior (2) + 1 = 3; 
• o número 4 é igual ao anterior (3) + 1 = 4. 
A função dos números naturais é contar e ordenar. Nesse sentido, vale lembrar que os homens, 
antes de inventarem os números, tinham muita dificuldade em realizar a contagem e ordenação das 
coisas. 
O conjunto dos números naturais é formado por todos os números inteiros não negativos. Em 
outras palavras, todo número que é inteiro e positivo é natural, além disso, como o zero é inteiro, 
mas não é negativo, ele também é um número natural. 
Assim, a lista dos números naturais é a seguinte: 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … 
E assim por diante, seguindo esse mesmo padrão de formação. 
Note que essa sequência numérica é a que usamos para contar. Cada um desses símbolos 
representa uma quantidade, portanto, partindo do nada, uma unidade, duas unidades etc. Uma outra 
maneira de representar esse conjunto é usando a notação específica para conjuntos, na qual as 
reticências significam que a sequência continua nessa mesma ordem e padrão de formação: 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …} 
Nessa notação, N é o símbolo que representa o conjunto dos números naturais. 
A ideia de sucessor 
O conjunto dos números naturais é formado apenas por números inteiros e não contém números 
repetidos, por isso, é possível escolher, entre dois números naturais distintos, aquele que é maior e 
 CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 
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aquele que é menor. Quando um número natural x é maior do que um número natural y em uma 
unidade, dizemos que x é sucessor de y. Assim: 
x é sucessor de y se x + 1 = y 
Se olharmos na lista dos números naturais, colocada em ordem crescente, o sucessor de um 
número natural n é sempre o próximo número à sua direita. Logo: 
O sucessor de 7 = 8 
O sucessor de 20 = 21 
etc. 
Perceba também que todo número natural possui sucessor, assim, o sucessor do zero é 1, o 
sucessor de 1 é 2 … 
Essa característica garante que, independentemente do número natural escolhido, e por maior que 
ele seja, sempre existirá um número natural uma unidade maior que ele. Portanto, o conjunto dos 
números naturais é infinito. 
A ideia de antecessor 
Quando um número natural x é menorque um número natural y em uma unidade, dizemos que x é 
o antecessor de y. Assim: 
x é antecessor de y se x – 1 = y 
Olhando a lista de números naturais em ordem crescente, verificamos que o antecessor de um 
número natural n é o número à sua esquerda. Logo: 
O antecessor de 7 = 6 
O antecessor de 20 = 19 
etc. 
Nem todo número natural possui antecessor. Na realidade, apenas o zero não possui, pois ele é o 
primeiro número natural e também porque 0 – 1 = – 1, que não é um número natural. Assim sendo, 
concluímos que o conjunto dos números naturais é limitado. 
Sim, é possível que um conjunto seja limitado e infinito ao mesmo tempo. O conjunto 
dos números naturais é limitado inferiormente pelo zero, mas ilimitado superiormente e, por isso, é 
infinito. 
Subconjuntos dos números naturais 
O conjunto dos números naturais possui alguns subconjuntos muito conhecidos: 
1 – Conjunto dos números primos (P): é formado por todos os números que são divisíveis apenas 
por 1 e por si mesmo. 
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …} 
2 – Conjunto dos números compostos (C): é formado por todos os números que não são primos. 
C = {4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, …} 
3 – Conjunto dos quadrados perfeitos (Q): é formado por todos os números que são resultados de 
uma potência em que o expoente é 2. 
Q = (1, 4, 9, 16, 25, 36, …) 
 
 CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 
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Números Inteiros 
Os números inteiros são os números reais, positivos e negativos, representados no conjunto da 
seguinte maneira: 
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} 
Os pontos significam a infinidade dos números anteriores e posteriores existentes. 
O conjunto dos números inteiros é representado pela letra Z (maiúscula). 
Os números inteiros negativos são sempre acompanhados pelo sinal (-), enquanto os números 
inteiros positivos podem vir ou não acompanhados de sinal (+). 
O zero é um número neutro, ou seja, não é um número nem positivo e nem negativo. 
Assim, a relação de inclusão no conjunto dos inteiros envolve o conjunto dos números naturais (N) 
junto com os números negativos. 
 
 
Classificação dos Números Inteiros (Z) 
• Inteiros não-nulos: todos os números inteiros, com exceção do zero. 
• São representados pelo acréscimo do '*' ao lado do Z: Z* = {-3,-2,-1, 1, 2, 3, 4, ...} 
• Inteiros não-negativos: todos os números inteiros, com exceção dos negativos. 
• São representados pelo acréscimo do '+' ao lado do Z: Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}. 
• Inteiros não-positivos : todos os números inteiros, com exceção dos positivos. 
• São representados pelo acréscimo do '-' ao lado do Z: Z_= {..., -4,-3,-2,-1, 0} 
• Inteiros positivos: todos os números inteiros, com exceção dos negativos e do zero. 
• São representados pelo acréscimo de '*' e '+' ao lado do Z: Z*+ = {1,2,3,4, 5...} 
• Inteiros negativos: todos os números inteiros, com exceção dos positivos e do zero. 
• São representados pelo acréscimo de '*' e '-' ao lado do Z: Z*_= {..., -4,-3,-2,-1} 
 
 CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 
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Operações entre Números Inteiros 
O conjunto dos números inteiros é formado pelos algarismos inteiros positivos e negativos e o zero. 
Eles são importantes para o cotidiano, principalmente nas situações envolvendo valores negativos, 
como escalas de temperatura, saldos bancários, indicações de altitude em relação ao nível do mar, 
entre outras situações. As adições e subtrações envolvendo estes números, requerem a utilização de 
regras matemáticas envolvendo os sinais positivos (+) e negativos (–). Devemos também dar ênfase 
ao estudo do módulo de um número, que significa trabalhar o valor absoluto de um algarismo, 
observe: 
 
Vamos determinar o módulo dos números a seguir: 
 
Módulo de + 4 = |+4| = 4 
Módulo de –6 = |–6| = 6 
Módulo de –10 = |–10| = 10 
Módulo de +20 = |+20|=20 
 
Adição e subtração de números inteiros sem a presença de parênteses. 
 
1ª propriedade → sinais iguais: soma e conserva o sinal. 
 
2ª propriedade → sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do número de maior módulo. 
 
+ 5 + 6 = + 11 →1ª propriedade 
+ 9 + 10 = +19 → 1ª propriedade 
– 6 + 2 = – 4 → 2ª propriedade 
+ 9 – 7 = +2 → 2ª propriedade 
– 3 – 5 = –8 →1ª propriedade 
–18 – 12 = –30 → 1ª propriedade 
Adição e subtração de números inteiros com a presença de parênteses. 
 
Para eliminarmos os parênteses devemos realizar um jogo de sinal, observe: 
 
+ ( + ) = + 
+ ( – ) = – 
– ( + ) = – 
– ( – ) = + 
 
Após a eliminação dos parênteses, basta aplicarmos a 1ª ou a 2ª propriedade. 
 
+ (+9) + (–6) → + 9 – 6 → + 3 
 
– (– 8) – (+6) → +8 – 6 → +2 
+ (– 14) – (– 8) → –14 + 8 → – 6 
 
– (+ 22) − (– 7) → –22 + 7 → –15 
 
– ( + 9 ) + (– 12) → – 9 – 12 → – 21 
O conjunto dos Números Naturais N 
O conjunto dos números naturais, inicialmente composto por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9... O primeiro povo 
a fazer a representação do zero, os babilônios, a fizeram há mais de dois milênios antes de Cristo. 
Hoje, temos este conjunto formado da seguinte maneira: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...}. A partir 
destes elementos podemos formar infinitas quantidades, apenas agrupando-os de maneira que cada 
um represente determinado valor de acordo com a sua posição. 
 CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 
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É importante destacar, que o nosso sistema de numeração é decimal, isto é, a cada dez unidades 
formaremos uma dezena, a cada dez dezenas formaremos uma centena, a cada dez centenas 
formaremos um milhar, e assim sucessivamente. 
Ancorando-se nos valores posicionais, podemos escrever números astronômicos e saber o que cada 
um dos seus algarismos de composição representa naquele contexto. Vejamos um exemplo de 
análise dos valores dos algarismos componentes de certo número. 
 
Observem detalhadamente, que no número 2568, o algarismo 2 tem valor 2000, o 5 vale 500, o 6 
vale 60 e 8 vale 8. Tudo isso se dá de acordo com a posição ocupada por cada um: o 8 ocupa a casa 
das unidades simples, por isso vale apenas 8 unidades; o 6 ocupa a casa das dezenas, valendo 6 
dezenas (6 x 10), 60 unidades; o 5 ocupa a casa das centenas, valendo 5 centenas (5 x 100), 500 
unidades; e, por fim, o 2 ocupa a casa das unidades de milhar, valendo 2 milhares (2 x 1000), 2000 
unidades. 
Uma conclusão imediata deste fato é uma curiosidade que intriga a cabeça dos que com ela se 
depara. Imagine se alguém lhe perguntasse “quem é maior: 1 ou 3?” Os apressados responderiam “3, 
é claro”. Mas até que ponto isso está correto? Bem, a melhor resposta, ou pelos menos a mais 
cautelosa, seria responder que para saber se 1 é maior ou menor que 3 seriamos obrigados a saber 
do contexto no qual eles estão inseridos, por exemplo: no número 321, o 3 é maior que o 1, pois 
enquanto o três representa 3 centenas, o 1 representa apenas uma unidade simples; já no caso do 
número123, enquanto o 1 representa uma centena, o 3 representa apenas 3 unidades simples, 
sendo, portanto, 1 maior que 3. Veja a resposta ideal: 
- Marcos, quem é maior, o 3 ou o 1? 
- Isso depende, Paulo. Antes que eu responda, preciso saber em qual número eles estão inseridos. 
Podemos ainda representar um subconjunto dos Números Naturais utilizando a linguagem moderna 
dos conjuntos. Este seria o conjunto dos Números Naturais Não-Nulos: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 
9...}. Neste novo conjunto, apenas omitimos a presença do zero. 
Destaco também algumas características do conjunto dos Números Naturais, dentre elas temos: a 
multiplicação é sempre permitida neste conjunto – toda multiplicação ou adição entre números 
naturais resulta sempre outro número natural; a divisão nem sempre é permitida dentro deste 
conjunto – nem toda divisão entre naturais resulta em outro número natural (1/2, 3/5, 5/9 etc.); a 
subtração nem sempre é permitida em N – nem toda subtração entre naturais resulta em um número 
natural (1 - 2, 6 - 9, 5 - 8). 
Muitas representações já foram feitas dos Números Naturais. Cada povo os representava de acordo 
com os seussistemas de escrita, suas interpretações das quantidades e dos recursos disponíveis à 
época. A forma como escrevemos esses números hoje foi criada na Índia e difundida na Arábia, 
sendo, por isso, chamados de Números Indo-Arábicos. 
Últimas Considerações 
Dá pra ver que a matemática sempre esteve, assim como qualquer outra ciência, a favor do homem 
em suas tomadas de decisões e nas resoluções de problemas. Os artifícios matemáticos que 
conhecemos hoje, e que achamos tão simples de compreender, foram criados numa época em que 
as estruturas basilares do conhecimento, que nos levam a profundas interpretações, eram muito 
escassas, mas nem por isso o homem deixou de criar, de inventar. 
Somos uma espécie dotada de tanta sabedoria e inteligência, porém nem mesmo somos capazes de 
medir essas características estampadas em nós mesmos. O fato é que raciocinamos, refletimos, 
comparamos e relacionamos. Tudo isso em campos reais ou fictícios, através de um poder de 
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2011/01/numeros-naturais1.jpg
 CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 
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conversão do abstrato a ideias palpáveis, facilmente compreendidas sem muito esforço por leitores 
secundários. 
Através da matemática, e do raciocínio aguçado que o seu estudo nos traz, podemos desenvolver 
ainda mais as percepções desse mundo de complexidades e realidades ainda pouco exploradas. 
Podemos nos fortalecer como intelectuais, autoridades naquilo que nos propusermos a defender, 
proprietários de um vasto conhecimento e compartilhadores dos saberes adquiridos ao longo das 
várias jornadas acadêmicas. 
Relação de Ordem 
Sejam a e b dois números reais quaisquer. Dizemos que a é menor que b e escrevemos , 
quando é positivo. Geometricamente, isto significa que o número a está à esquerda do 
número b na reta numerada. Equivalentemente, dizemos que b é maior que a e escrevemos b > a . 
Logo, somente três casos podem acontecer: ou , ou ou .Neste sentido 
dizemos que o conjunto dos números reais é ordenado. O símbolo , lê-se a é menor ou 
igual a b , (ou b a, lê-se b é maior ou igual a a ) significa que ou a < b ou a = b ( b > a ou b = a ). 
Se a , b e c são números reais, podemos demonstrar que: 
( i ) Se a < b e b < c então a < c . 
( ii ) Se a < b então . 
( iii ) Se e então . 
( iv ) Se e c > 0 então . 
( v ) Se a < b e c < 0 então a c > b c . 
( vi ) Se 0 < a < b então . 
Regras de Divisibilidade 
Dentre as propriedades operatórias existentes na Matemática, podemos ressaltar a divisão, que 
consiste em representar o número em partes menores e iguais. Para que o processo da divisão 
ocorra normalmente, sem que o resultado seja um número não inteiro, precisamos estabelecer 
situações envolvendo algumas regras de divisibilidade. Lembrando que um número é considerado 
divisível por outro quando o resto da divisão entre eles é igual a zero. 
 
Regras de divisibilidade 
 
Divisibilidade por 1 
Todo número é divisível por 1. 
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Divisibilidade por 2 
Todo número par é divisível por 2, para isto basta terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8. Exemplo: 
 
24 : 2 = 12 
132 : 2 = 66 
108 : 2 = 54 
1024 : 2 = 512 
 
Divisibilidade por 3 
Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos constitui um número múltiplo de 3. 
Exemplo: 
 
33 : 3 = 11, pois 3 + 3 = 6 
45 : 3 = 15, pois 4 + 5 = 9 
156 : 3 = 52, pois 1 + 5 + 6 = 12 
558 : 3 = 186, pois 5 + 5 + 8 = 18 
 
Divisibilidade por 4 
Um número é divisível por 4 quando for par e a metade do último algarismo adicionado ao penúltimo 
for um número par ou terminar com zero nas duas últimas casas. Exemplo: 
 
48 : 4 = 12, pois 8/2 + 4 = 8 
288 : 4 = 72, pois 8/2 + 8 = 12 
144 : 4 = 36, pois 4/2 + 4 = 6 
100 : 4 = 25, pois possui na última e antepenúltima casa o algarismo 0. 
 
Divisibilidade por 5 
É todo número terminado em 0 ou 5. 
 
25 : 5 = 5 
100 : 5 = 20 
555 : 5 = 111 
75 : 5 = 15 
 
Divisibilidade por 6 
São todos os números divisíveis por 2 e 3 no mesmo instante. 
 
24 : 6 = 4, pois 24 : 2 = 12 e 24 : 3 = 8 
36 : 6 = 6, pois 36 : 2 = 18 e 36 : 3 = 12 
132 : 6 = 22, pois 132 : 2 = 66 e 132 : 3 = 44 
564: 6 = 94, pois 564 : 2 = 282 e 546 : 3 = 188 
 
Divisibilidade por 7 
Um número é divisível por 7 quando estabelecida a diferença entre o dobro do último e os demais 
algarismos, constituindo um número divisível por 7. Exemplo: 
 
161 : 7 = 23, pois 16 – 2*1 = 16 – 2 = 14 
203 : 7 = 29, pois 20 – 2*3 = 20 – 6 = 14 
294 : 7 = 42, pois 29 – 2*4 = 29 – 8 = 21 
840 : 7 = 120, pois 84 – 2*0 = 84 
 
Divisibilidade por 8 
Um número é divisível por 8 quando termina em 000 ou os últimos três números são divisíveis por 8. 
Exemplo: 
 
1000 : 8 = 125, pois termina em 000 
208 : 8 = 26, pois os três últimos são divisíveis por 8 
 
Divisibilidade por 9 
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Será divisível por 9 todo número em que a soma de seus algarismos constitui um número múltiplo de 
9. Exemplo: 
 
81 : 9 = 9, pois 8 + 1 = 9 
1107 : 9 = 123, pois 1 + 1 + 0 + 7 = 9 
4788 : 9 = 532, pois 4 + 7 + 8 + 8 = 27 
 
Divisibilidade por 10 
Todo número terminado em 0 é divisível por 10. 
 
100 : 10 = 10 
500 : 10 = 50 
500 000 : 10 = 50 000 
2000 : 10 = 200 
 
Divisibilidade por 11 
Um número é divisível por 11 nas situações em que a diferença entre o último algarismo e o número 
formado pelos demais algarismos, de forma sucessiva até que reste um número com 2 algarismos, 
resultar em um múltiplo de 11. Como regra mais imediata, todas as dezenas duplas (11, 22, 33, 5555, 
etc.) são múltiplas de 11. 
 
1342 : 11 = 122, pois 134 – 2 = 132 → 132 – 2 = 11 
2783 : 11 = 253, pois 278 – 3 = 275 → 27 – 5 = 22 
7150: 11 = 650, pois 715 – 0 = 715 → 71 – 5 = 66 
 
Divisibilidade por 12 
Se um número é divisível por 3 e 4, também será divisível por 12. 
 
192 : 12 = 16, pois 192 : 3 = 64 e 192 : 4 = 48 
672 : 12 = 56, pois 672 : 3 = 224 e 672 : 4 = 168 
Divisibilidade por 15 
Todo número divisível por 3 e 5 também é divisível por 15. 
1470 é divisível por 15, pois 1470:3 = 490 e 1470:5 = 294. 
1800 é divisível por 15, pois 1800:3 = 600 e 1800:5 = 360. 
 
Máximo divisor comum (mdc) 
O máximo divisor comum é o maior divisor entre dois números, para identificar esse máximo 
divisor é necessário realizar um processo de fatoração. 
Para estudarmos o máximo divisor comum entre dois termos, precisamos saber o que é divisor de um 
número. Todo número natural possui divisores, isto é, se ao dividirmos um número A pelo número B e 
obtermos resto zero podemos afirmar que B é divisor de A. Por exemplo: 
 
16 : 2 é igual a 8 e resto 0. 
25 : 5 é igual a 5 e resto 0. 
Podemos concluir que 2 e 5 são divisores de 16 e 25 respectivamente. 
 
Exemplos de divisores de um número: 
 
Divisores de: 
32 = 1, 2, 4, 8, 16, 32 
15 = 1, 3, 5, 15 
45 = 1, 3, 5, 9, 15, 45 
 
O MDC entre dois ou mais números é o maior divisor comum a eles. 
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Exemplos: 
 
MDC(12,36) 
Divisores de 12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12 
Divisores de 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 
Podemos verificar que o maior divisor comum entre 12 e 36 é o próprio 12. 
 
MDC(18,24,54) 
Divisores de 18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18 
Divisores de 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 
Divisores de 54 = 1, 2, 3, 6, 18, 27, 54 
O maior divisor comum a 12, 24 e 54 é o 6. 
 
Processo prático para a obtenção do máximo divisor comum 
 
MDC(12,36) 
 
Os números destacados na fatoração estão dividindo os dois números ao mesmo tempo, então 
devemos realizar uma multiplicação entre eles para descobrirmos o máximo divisor comum. 
2 x 2 x 3 = 12 
MDC(12,36) = 12 
 
MDC(70,90,120) 
 
O máximo divisor comum a 70, 90 e 120 = 2 x 5 = 10 
Mínimo Múltiplo Comum 
Para entendemos o que é mínimo múltiplo comum, temos que saber achar os múltiplos de um 
número. 
 
Por exemplo, quais são os múltiplos de 2? 
São todos os números que resultam da multiplicação de um número natural por 2. Veja: 
2 x 1 = 2 → 2 é múltiplode 2. 
2 x 5 = 10 → 10 é múltiplo de 2. 
2 x 12 = 24 → 24 é múltiplo de 2. 
2 x 30 = 60 → 60 é múltiplo de 2 
 ↓ 
 Nº 
 Natural 
 
E quando é dado um número como iremos fazer pra saber se esse número será múltiplo de 2,3,4,5,6, 
e assim por diante? 
Basta fazer a operação inversa à multiplicação: divisão. Veja: 
 
• 1232 será múltiplo de 2? 
Neste caso podemos usar a operação de divisão pra descobrir ou usar a regra seguinte: 
 CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 
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Todo número múltiplo de 2 tem que terminar em número par. Então 1232 termina em par, ele será 
múltiplo de 2. 
 
• 1232 será múltiplo de 3? 
Como no múltiplo de 2 podemos utilizar a operação da divisão pra descobrir ou usar a seguinte 
regra: todo número múltiplo de 3, a soma de seus algarismos resulta em um número múltiplo de 3. 
Se somarmos os algarismos do número 1232 teremos 1+2+3+2 = 8. 8 não é múltiplo de 3, então 
1232 também não vai ser. 
 
• 1232 é múltiplo de 5? 
Para descobrir se um número é múltiplo de 5 além de usar a operação da divisão, também podemos 
utilizar uma regra: todo número múltiplo de 5 termina em 0 ou 5. Então 1232 termina em 2, assim não 
é múltiplo de 5. 
 
Para descobrir se 1232 é múltiplo de outros números devermos utilizar a divisão se essa operação 
der exata (resto igual a zero) é por que ele será múltiplo. 
 
Agora o que é mmc? Calculamos o mmc de 2 ou mais números. Consistem em achar o menor 
múltiplo comum (tirando o zero) entre esses números. Por exemplo: 
 
MMC(15, 20) = ? 
Devemos em primeiro lugar acharmos os múltiplos de 15 e depois de 20. 
 
M(15) = 15, 30, 45, 60, 75, 90, ... 
M(20) = 20, 40, 60, 80, 100, ... 
 
Observando os seus múltiplos vemos que o menor múltiplo comum é o 60, portanto: 
 
MMC(15, 20) = 60. 
 
Existe outro método para acharmos o mmc de números. Ele consiste em dividir os números por 
números primos, veja como funciona. 
 
Número primo é aquele número que é divisível apenas por um e por ele mesmo. Como 
2,3,5,7,11,13,17,19,23, e assim por diante. É interessante ressaltar que o único número par primo é o 
2, os outro são todos ímpares. 
 
Para calcularmos o mmc(15,20) utilizando esse método ficará assim: 
 
 
 
Dividimos o 15 e 20 apenas por números primos em seqüência. Pegamos os números primos 2, 2,3 
,5 é multiplicamos: 2 x 2 x 3 x 5 = 60 então o mmc(15,20) = 60. 
Decomposição em fatores primos 
A fatoração está diretamente relacionada com a multiplicação, haja vista que os fatores são os 
termos que multiplicamos para gerar o produto. Veja: 
 2 → fator 26 → fator 
x 3 → fator x 7 → fator 
 6 → Produto 182 → Produto 
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Os fatores primos da decomposição são obtidos por meio de divisões sucessivas. Recorde-se de 
que, para um número ser primo, ele deve ser divisível somente por 1 e ele mesmo, logo, os números 
2, 3, 5, 7 e 11 são primos. O número primo é considerado um fator quando ele for o divisor no 
algoritmo da divisão. A estrutura do algoritmo da divisão é a seguinte: 
Dividendo | Divisor 
Resto Quociente 
Realizando a divisão de 4 por 2, temos a seguinte situação: 
 
Utilizando as divisões sucessivas, obtemos a fatoração completa, que representa a decomposição de 
um número em fatores primos. Veja um exemplo de divisões sucessivas do número 112 e, em 
seguida, a fatoração completa. 
Exemplo: Decomponha o número 112 em fatores primos: 
112| 2 
 0 56 | 2 
 0 28 | 2 
 0 14 | 2 
 0 7 | 7 
 0 1 
Toda vez que for realizar a decomposição de um número em fatores primos, lembre-se de que o 
divisor sempre será um número primo e a ordem de sucessão desses divisores, que são fatores, é 
crescente. Mudamos o número primo do divisor somente quando não é mais possível utilizá-lo na 
divisão. No exemplo acima, houve a mudança do divisor de número 2 para sete, uma vez que o 
dividendo passou a ser o sete e o único divisor para 7 é o próprio 7. 
Ainda sobre o exemplo acima, a fatoração completa de 121 é: 
112 = 2 . 2 . 2 . 2 . 7 = 24 . 7 
Além da estrutura do algoritmo da divisão, existe outra que pode ser utilizada para fatorar um número. 
Veja os três exemplos a seguir: 
Exemplo: Encontre a forma fatorada completa dos números 234, 180 e 1620: 
234|2 
117|3 
 39|3 
 13|13 
 1| 
A forma fatorada completa do número 234 é: 2 . 3 . 3 . 13 = 2 . 32 . 13 
Observe que todos os fatores são números primos e que a sucessão dos fatores acontece de forma 
crescente. 
180|2 
 90|2 
 45|3 
 15|3 
 5|5 
 1| 
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A forma fatorada completa do número 180 é: 2 . 2 . 3 . 3 . 5 = 22 . 32 . 5 
Todos os termos que compõem a fatoração são números primos. 
1620|2 
 810|2 
 405|3 
 135|3 
 45|3 
 15|3 
 5|5 
 1| 
A forma fatorada completa do número 1620 é: 2 . 2 . 3 . 3 . 3 . 3 . 5 = 22 . 34 . 5 
Todos os números que compõem a fatoração são primos. 
Números racionais 
O conjunto Q dos números racionais é formado por todos aqueles números que podem ser 
expressos na forma de fração a/b, em que o e b são números inteiros e b é diferente de 0. 
Ao calcular a expressão decimal de um número racional, dividindo o numerador pelo denominador, 
obtêm-se números inteiros ou decimais. 
Os números decimais podem ter: 
• Um número finito de algarismos, número decimal exato, se os únicos divisores do denominador 
forem 2 ou 5. 
• Um número infinito de algarismos, que se repetem de forma periódica. 
• a partir da vírgula, decimal periódico simples, se 2 ou 5 forem divisores do denominador; 
• a partir do algarismo dos décimos, centésimos…, decimal periódico composto, se entre os 
divisores do denominador estiver o 2 ou o 5 e houver, além desses, outros divisores. 
Reciprocamente, qualquer número decimal exato ou periódico pode ser expresso na forma de fração. 
 
Exemplo: 
Expressar na forma de fração os seguintes números decimais: 
 
 
 
 CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 
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Representação canônica de um número racional 
Dada uma fração, existem infinitas frações equivalentes a ela. 
 
é o conjunto das frações equivalentes à fração irredutível . 
Um conjunto de frações equivalentes representa um único número racional. 
Cada fração do conjunto é um representante do número racional, e a fração irredutível com 
denominador positivo é o representante canônico. 
Assim, o número racional é formado pela fração e todas as suas equivalentes: 
Todas elas são representantes do número racional . 
Portanto, e o representante canônico. 
Números irracionais 
O conjunto I dos números irracionais é formado pelos números que não podem ser expressos em 
forma de fração. São números cuja expressão decimal tem um número infinito de algarismos que não 
se repetem de forma periódica. 
Existem infinitos números irracionais: é irracional e, em geral, é irracional qualquer raiz não-
exata, como 
também é irracional e podem-se gerar números irracionais combinando seus algarismos decimais; 
por exemplo, o = 0,010010001… ou b = 0,020020002… 
Com esses números, podem-se calcular soluções em equações do segundo grau (x2 = 2 —> x 
= que não é racional), o comprimento de uma circunferência (C = 2 r, em que não é 
racional) etc. 
 
Teorema de Pitágoras 
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Os números irracionais do tipo , sendo o um número natural, podem ser representados de 
maneira exata na reta numérica utilizando-se o Teorema de Pitágoras; para os demais, calcula-se 
sua expressão decimal e representa-se uma aproximação. 
Exemplo: 
Verificar se cada um dos seguintes números é racional ou irracional. 
a) ; portanto, é um numero racional. 
b) é um número irracional; se fosse um número racional poderia ser representado na forma de 
uma fração irredutível: , em que a e b não têm fatores comuns. 
 que significa que a2 é divisívelpor b2, ou seja, têm divisores comuns, 
contradizendo o fato de que a fração seja irredutível. Demonstra-se essa afirmação por absurdo. 
Números complexos 
Os números complexos formam um conjunto numérico que é mais abrangente que os números 
reais. Eles surgiram após inúmeros estudos, sobretudo após tentativas de se resolver equações do 
segundo e do terceiro grau. Nessa época, os matemáticos se depararam raízes quadradas de 
números negativos, que não podem ser expressas no conjunto dos números reais. Assim, os 
matemáticos passaram a denotar essas raízes usando a letra “i”. A base principal foi 
adotar i=−1−−−√. 
Definição 
Quando vamos solucionar equações do tipo x2+1=0, nos deparamos com x=±−1−−−√. Como não 
existe raiz quadrada de número negativo no conjunto dos números reais, convencionou-se utilizar a 
notação i2=−1 para representar esse número negativo. Com isso, o resultado da equação anterior 
seria x=±i. Esse número “i” é conhecido como unidade imaginária. 
Assim, um número complexo, que chamamos de Z, tem a forma 
z=a+bi, a,b∈R 
Chamamos o número a de parte real, Re(Z) = a, e b de parte imaginária, Im(Z) = b. Esta notação é 
chamada de forma algébrica. 
Adição de números complexos 
A adição de números complexos é realizada através da adição dos termos semelhantes, ou seja, 
somamos as partes reais de cada número e depois as partes imaginárias. Sejam z1 e z2 dois 
números complexos, tais que: z1=a+bi e z2=c+di. 
Definiremos a adição de z1 e z2 da seguinte forma: 
z1+z2=(a+bi)+(c+di) 
z1+z2=(a+c)+(b+d)i 
Exemplo: 
Se z1=3+2i e z2=5−3i a soma será: 
z1+z2=(3+5)+(2−3)i 
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z1+z2=8−i 
Subtração de números complexos 
A subtração de números complexos é análoga à adição. Calculamos a diferença entre as partes reais 
de cada número e depois as partes imaginárias. 
Sejam z1 e z2 dois números complexos, tais que: z1=a+bi e z2=c+di. 
Definiremos a subtração de z1 e z2 da seguinte forma: 
z1−z2=(a+bi)−(c+di) 
z1−z2=(a−c)+(b−d)i 
Exemplo: 
Se z1=7+10i e z2=3+6i a diferença será: 
z1−z2=(7−3)+(10−6)i 
z1−z2=4−4i 
Multiplicação de números complexos 
Para multiplicar números complexos utilizamos o mesmo método adotado na expansão de um 
produto notável, multiplicando cada termo do primeiro fator por todos os membros do segundo fator. 
Assim: 
Sejam z1 e z2 dois números complexos, tais que: z1=a+bi e z2=c+di. 
Definiremos a multiplicação de z1 e z2 da seguinte forma: 
z1⋅z2=(a+bi)⋅(c+di) 
z1⋅z2=(ac−bd)+(ad+bc)i 
Exemplo: 
Se z1=2+5i e z2=1+3i o produto será: 
z1⋅z2=(2+5i)+(1+3i) 
z1⋅z2=2⋅1+2⋅3i+5i⋅1+5i⋅3i 
z1⋅z2=2+6i+5i+15i2 
z1⋅z2=2+6i+5i+15⋅(−1) 
z1⋅z2=2+6i+5i−15 
z1⋅z2=(2−15)+(6+5)i 
z1⋅z2=−13+11i 
Divisão de números complexos 
Para dividir números complexos multiplicamos o dividendo e o divisor pelo conjugado do divisor. O 
conjugado de um número complexo z1=a+bi será z1=a−bi. 
Sempre que multiplicamos um número complexo pelo seu conjugado, o denominador será um 
número real. 
Sejam z1 e z2 dois números complexos, tais que: z1=a+bi e z2=c+di 
 CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 
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Definiremos a divisão de z1 e z2 da seguinte forma: 
z1z2=a+bic+di⋅c−dic−di 
z1z2=(a+bi)⋅(c−di)c2−(di)2 
z1z2=(ac−bd)+(ad+bc)ic2+d2=ac−bdc2+d2+ad+bcc2+d2i 
Exemplo 
Se z1=1+2i e z2=2+3i a divisão será: 
z1z2=1+2i2+3i⋅2−3i2−3i 
z1z2=(1+2i)⋅(2−3i)22−(3i)2 
z1z2=8−i4+9=8−i13=813−113i 
Argumento e módulo de um número complexo 
Podemos representar um número complexo em um sistema de coordenadas. Esse sistema de 
coordenadas é chamado de Plano de Argand-Gauss. É composto por dois segmentos de reta 
perpendiculares. O segmento horizontal comporta as partes reais dos números complexos e o 
segmento vertical, as partes imaginárias. Como exemplo, observe como será representado o número 
complexo z=a+bi no Plano de Argand-Gauss: 
 
O segmento de reta OZ é chamado de módulo do número complexo, representado por |z|. Na figura 
abaixo, o ângulo entre o eixo Ox e o segmento OZ é chamado de argumento de Z, representado 
por θ. 
 
 CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 
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Argumento de Z 
No Triângulo retângulo formado pelos vértices OâZ, temos que: 
sen(θ)=b|z| 
cos(θ)=a|z| 
Sendo θ o argumento de Z. 
Para encontrar o argumento de Z, podemos utilizar θ=arcsen(b|z|) ou θ=arcos(a|z|). 
Módulo de Z 
Aplicando o teorema de Pitágoras teremos: 
(|z|)2=a2+b2 
Então: 
|z|=a2+b2−−−−−−√ 
Forma trigonométrica de um número complexo 
Cada número complexo pode ser expresso em função do seu módulo e argumento. Quando isso 
acontece dizemos que o número complexo está na forma trigonométrica ou polar. 
Considere o número complexo z=a+bi, em que z ≠ 0, 
Como vimos anteriormente: 
sen(θ)=b|z|⟹b=|z|⋅sen(θ) 
cos(θ)=a|z|⟹a=|z|⋅cos(θ) 
Substituindo os valores de a e b no complexo z=a+bi. 
z=a+bi 
z=|z|⋅cos(θ)+|z|⋅sen(θ)i 
z=|z|⋅(cos(θ)+i⋅sen(θ)) 
Produto de números complexos na forma polar 
Considere dois números complexos na forma polar: 
z1=|z1|⋅(cos(θ1)+i⋅sen(θ1)) 
z2=|z2|⋅(cos(θ2)+i⋅sen(θ2)) 
O produto entre será: 
z1⋅z2=[|z1|⋅(cos(θ1)+i⋅sen(θ1))]⋅[|z2|⋅(cos(θ2)+i⋅sen(θ2))] 
z1⋅z2=|z1|⋅|z2|⋅(cos(θ1)+i⋅sen(θ1))⋅(cos(θ2)+i⋅sen(θ2)) 
z1⋅z2=|z1|⋅|z2|⋅(cos(θ1)⋅cos(θ2)+cos(θ1)⋅i⋅sen(θ2)+i⋅sen(θ1)⋅cos(θ2)+i⋅sen(θ1)⋅i⋅sen(θ2)) 
z1⋅z2=|z1|⋅|z2|⋅(cos(θ1)⋅cos(θ2)+i⋅cos(θ1)⋅sen(θ2)+i⋅sen(θ0)⋅cos(θ2)+i2⋅sen(θ1)⋅sen(θ2)) 
z1⋅z2=|z1|⋅|z2|⋅(cos(θ1)⋅cos(θ2)−sen(θ1)⋅sen(θ2)+i(sen(θ1)⋅cos(θ2)+sen(θ2)⋅cos(θ1))) 
z1⋅z2=|z1|⋅|z2|⋅(cos(θ1+θ2)+i⋅sen(θ1+θ2)) 
 CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 
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Assim, para multiplicar dois números complexos na forma polar, basta multiplicar seus módulos e 
somar seus argumentos. 
Exemplo: 
Se z1=2(cos(π6)+i⋅sen(π6)) e z2=3(cos(π3)+i⋅sen(π3)): 
z1⋅z2=2⋅3(cos(π6+π3)+i⋅sen(π6+π3)) 
z1⋅z2=6(cos(π2)+i⋅sen(π2)) 
Potência de um número complexo 
Como vimos anteriormente, para multiplicar números complexos, basta multiplicar seus módulos e 
somar seus argumentos. 
Se multiplicarmos um número complexo Z por ele mesmo n vezes, teremos: 
|z|⋅|z|⋅|z|⋅|z|⋅…⋅|z|=(|z|)n 
e 
θ+θ+θ+…+θ=n⋅θ 
Assim, elevando Z a uma potência n, teremos que: 
zn=(|z|)n⋅(cos(nθ)+i⋅sen(nθ)) 
Exemplo: 
Calcular z3, sendo z=2(cos(π4)+i⋅sen(π4)). 
z3=23(cos(3⋅π4)+i⋅sen(3⋅π4)) 
z3=8(cos(3π4)+i⋅sen(3π4)) 
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CONJUNTOS, OPERAÇÕES, 
INCLUSÃO E EXCLUSÃO 
 
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Conjuntos 
Operações 
Conjunto pode ser definido como uma coleção de elementos, reunião das partes que formam um 
todo, aglomeração, grupo, série. Como exemplo de conjunto podemos destacar as seguintes 
situações: o conjunto de estados do Brasil, o conjunto de alunos de uma escola, o conjunto das 
equipes do campeonato brasileiro, o conjunto dos números naturais, dos números inteiros, racionais, 
irracionais, reais, primosentre outras situações que envolva a reunião de elementos. 
Existem algumas operações que podem ser realizadas entre conjuntos, são elas: intersecção, união e 
diferença. Considerando os conjuntos A e B contidos num conjunto universo U, as operações entre 
eles podem ser representadas da seguinte maneira: 
 
Intersecção 
A intersecção de A com B é o conjunto formado pelos elementos comuns a A e B. 
Notação A ∩ B. 
A ∩ B = {x / x Є A e x Є B} 
 
União 
A união de A com B é o conjunto formado por todos os elementos pertencentes a A ou a B. 
Notação A U B. 
A U B = {x / x Є A e x Є B} 
 
Diferença 
A diferença entre A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a 
B. 
Notação A – B. 
A – B = {x / x Є A e x B} 
 
Exemplo 1 
 
Sendo A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6} 
 
A ∩ B = {2, 4} 
A U B = {1, 2, 3, 4, 6} 
A – B = {1, 3} 
B – A = {6} 
 
 
Exemplo 2 
 
Sendo A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e B = {10, 11, 12, 13, 14, 15} 
 
A ∩ B = Ø (conjunto vazio) 
A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} 
A – B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
B – A = {10, 11, 12, 13, 14, 15} 
Principio da Inclusão e Exclusão 
◦ Usando 
N (A ∪ B) = N (A) + N (B) − N (A ∩ B)
 (1) 
N (A ∪ B ∪ C) = N (A) + N (B) + N (C) − N (A ∩ B) − N (A ∩ C) − N (B ∩ C) + N (A ∩ B ∩ C) (2) 
encontre a expressão para N (A ∪ B ∪ C ∪ D). 
• N (A ∪ B ∪ C ∪ D) = N (A∗ ∪ D) com A∗ = A ∪ B ∪ C. Usando (1) temos 
CONJUNTOS, OPERAÇÕES, 
INCLUSÃO E EXCLUSÃO 
 
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N (A ∪ B ∪ C ∪ D) = N (A∗) + N (D) − N (A∗ ∩ D) . 
Usando (2) e observando que A∗ ∩ D = (A ∪ B ∪ C) ∩ D = (A ∩ D) ∪ (B ∩ D) ∪ (C ∩ D) , 
temos 
N (A ∪ B ∪ C ∪ D) = N (A) + N (B) + N (C) + N (D) 
−N (A ∩ B) − N (A ∩ C) − N (B ∩ C) + N (A ∩ B ∩ C) 
−N [(A ∩ D) ∪ (B ∩ D) ∪ (C ∩ D)] . 
Usando novamente a (2) temos 
N [(A ∩ D) ∪ (B ∩ D) ∪ (C ∩ D)] = N (A ∩ D) + N (B ∩ D) + N (C ∩ D) 
−N [(A ∩ D) ∩ (B ∩ D)] − N [(A ∩ D) ∩ (C ∩ D)] − N [(B ∩ D) ∩ (C ∩ D)] 
+N [(A ∩ D) ∩ (B ∩ D) ∩ (C ∩ D)] , 
então 
N (A ∪ B ∪ C ∪ D) = N (A) + N (B) + N (C) + N (D) 
−N (A ∩ B) − N (A ∩ C) − N (A ∩ D) − N (B ∩ C) − N (B ∩ D) − N (C ∩ D) 
+N (A ∩ B ∩ C) + N (A ∩ C ∩ D) + N (A ∩ B ∩ D) + N (B ∩ C ∩ D) 
−N (A ∩ B ∩ C ∩ D) . 
◦ Encontrar o número de soluções, em inteiros, de 
y1 + y2 + y3 + y4 = 22 
em que 5 ≤ y1 ≤ 7, 4 ≤ y2 ≤ 6, 1 ≤ y3 ≤ 4 and y4 ≥ 5. 
• Mudança de variáveis de yn a xn (interios positivos): 
y1 = x1 + 4 (x1 ≤ 3) , y2 = x2 + 3 (x2 ≤ 3) , y3 = x3 (x3 ≤ 4) , y4 = x4 + 4 . 
 
TOT : 10! / 3! 7! = 120 
 A(> 3) : 11-3-1 ⇒ 7! / 3! 4! = 35 
 B(> 3) : 11-3-1 ⇒ 7! / 3! 4! = 35 
 C(> 4) : 11-4-1 ⇒ 6! / 3! 3! = 20 
 AB(> 3, > 3) : 11-3-3-1 ⇒ 4! / 3! 1! = 4 
 AC(> 3, > 4) : 11-3-4-1 ⇒ 3! / 3! 0! = 1 
 BC(> 3, > 4) : 11-3-4-1 ⇒ 3! / 3! 0! = 1 
 N (A ∪ B ∪ C) = 35+35+20-4-1-1 = 84 
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 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
 
 
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Operações Com Conjuntos 
As operações com conjuntos são as operações feitas com os elementos que formam uma coleção. 
São elas: união, intersecção e diferença. 
Lembre-se que na matemática os conjuntos representam a reunião de diversos objetos. Quando os 
elementos que formam o conjunto são números, são chamados de conjuntos numéricos. 
Os conjuntos numéricos são: 
• Números Naturais (N) 
• Números Inteiros (Z) 
• Números Racionais (Q) 
• Números Irracionais (I) 
• Números Reais (R) 
União de Conjuntos 
A união de conjuntos corresponde a junção dos elementos dos conjuntos dados, ou seja, é o conjunto 
formado pelos elementos de um conjunto mais os elementos dos outros conjuntos. 
Se existirem elementos que se repetem nos conjuntos, ele aparecerá uma única vez no conjunto 
união. 
Para representar a união usamos o símbolo U. 
 
Exemplo: 
Dados os conjuntos A = {c, a, r, e, t} e B = {a, e, i, o, u}, represente o conjunto união (A U B). 
Para encontrar o conjunto união basta juntar os elementos dos dois conjuntos dados. Temos de ter o 
cuidado de incluir os elementos que se repetem nos dois conjuntos uma única vez. 
Assim, o conjunto união será: 
A U B = {c, a, r, e, t, i, o, u} 
Intersecção De Conjuntos 
A intersecção de conjuntos corresponde aos elementos que se repetem nos conjuntos dados. Ela é 
representada pelo símbolo ∩. 
 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
 
 
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Exemplo: 
Dados os conjuntos A = {c, a, r, e, t } e B= B = {a, e, i, o, u}, represente o conjunto intersecção (). 
Devemos identificar os elementos comuns nos conjuntos dados que, neste caso, são os 
elementos a e e, assim o conjunto intersecção ficará: 
 = {a, e} 
Obs: quando dois conjuntos não apresentam elementos em comum, dizemos que a intersecção entre 
eles é um conjunto vazio. 
Nesse caso, esses conjuntos são chamados de disjuntos: A ∩ B = Ø 
Diferença De Conjuntos 
A diferença de conjuntos é representada pelos elementos de um conjunto que não aparecem no outro 
conjunto. 
Dados dois conjuntos A e B, o conjunto diferença é indicado por A - B (lê-se A menos B). 
 
Conjunto Complementar 
Dado um conjunto A, podemos encontrar o conjunto complementar de A que é determinado pelos 
elementos de um conjunto universo que não pertençam a A. 
Este conjunto pode ser representado por 
 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
 
 
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Quando temos um conjunto B, tal que B está contido em A (), a diferença A - B é igual ao 
complemento de B. 
Exemplo: 
Dados os conjuntos A= {a, b, c, d, e, f} e B = {d, e, f, g, h}, indique o conjunto diferença entre eles. 
Para encontrar a diferença, primeiro devemos identificar quais elementos pertencem ao conjunto A e 
que também aparecem ao conjunto B. 
No exemplo, identificamos que os elementos d, e e f pertencem a ambos os conjuntos. Assim, vamos 
retirar esses elementos do resultado. Logo, o conjunto diferença de A menos B sera dado por: 
 
A – B = {a, b, c} 
Propriedades da União e da Intersecção 
Dados três conjuntos A, B e C, as seguintes propriedades são válidas: 
Propriedade comutativa 
Propriedade associativa 
Propriedade distributiva 
Se A está contido em B (): 
Leis De Morgan 
Considerando dos conjuntos pertencentes a um universo U, tem-se: 
1.º) O complementar da união é igual à intersecção dos complementares: 
2.º) O complementar da intersecção é igual à união dos complementares: 
♦ Interseção 
 
Os elementos que fazem parte do conjunto interseção são os elementos comuns aos conjuntos 
relacionados. 
 
Exemplo 1: 
Dados dois conjuntos A = {5,6,9,8} e B = {0,1,2,3,4,5}, se pedimos a interseção deles teremos: 
A ∩ B = {5}, dizemos que A “inter” B é igual a 5. 
 
Exemplo 2: 
Dados os conjuntos B = {-3, -4, -5, -6} e C = {-7, -8, -9}, se pedirmos a interseção deles teremos: 
B ∩ C = { } ou B ∩ C = , então B e C são conjuntos distintos. 
 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
 
 
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Exemplo 3: 
Dados os conjuntos D = {1,2,3,4,5} e E = {3,4,5}. A interseção dos conjuntos ficaria assim: 
E ∩ D = {3,4,5} ou E ∩ D = E, pode ser concluído também que 
E D. 
 
 
♦ União 
Conjunto união são todos os elementos dos conjuntos relacionados. 
 
Exemplo 1: 
Dados os conjuntos A = { x | x é inteiro e -1 < x < 2} e B = {1,2,3,4} a união desses dois conjuntos é 
: 
A U B = {0,1,2,3,4} 
 
Exemplo 2: 
Dados os conjuntos A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5} a união desses conjuntos é: 
A U B = {1,2,3,4,5}, nesse caso podemos dizer que A U B = B. 
 
♦ Diferença Entre Dois Conjuntos. 
 
Dados dois conjuntos A e B chama-se conjunto diferença ou diferença entre A e B o conjunto formado 
pelos elementos de A que não pertencem a B. 
O conjunto diferença é representado por A – B. 
 
Exemplo 1: 
A = {1,2,3,4,5} e B = {3,4,5,6,7} a diferença dos conjuntos é: 
A – B = {1,2} 
 
 
 
Exemplo 2: 
A = {1,2,3,4,5}e B = {8,9,10} a diferença dos conjuntos é: 
A – B = {1,2,3,4,5} 
 
Exemplo 3: 
 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
 
 
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A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5}a diferença dos conjuntos é: 
A – B = 
 
 
 
 
Exemplo 4: 
Dados os conjuntos A = {1,2,3,4,5,6} e B = {5,6}, a diferença dos conjuntos é: 
A – B = {1,2,3,4}. Como B A podemos escrever em forma de complementar: 
 
A – B = A B = {1,2,3,4}. 
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 FUNÇÕES 
 
 
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Funções 
O conceito de função está relacionado à idéia de associação de um elemento a outro, segundo uma 
regra específica. Assim, por exemplo, podemos considerar o tamanho de uma população relacionado 
apenas ao tempo (ou variando em função da variação do tempo), ou associado ao tempo e ao 
espaço, ou a qualquer outro fator que interfira na população em estudo; o preço de um produto pode 
estar associado apenas ao seu custo de produção, ou ao seu custo e à margem de lucro do 
fabricante, ou ainda, ao seu custo, à margem de lucro do fabricante e à demanda; o volume de uma 
esfera pode estar associado apenas ao tamanho de seu raio, porém o raio pode variar com o tempo e 
assim, o volume estará variando também com a variação do tempo; e assim por diante. 
Como podemos observar, o conceito de função envolve uma relação de dependência, onde um 
elemento depende de outro ou de vários outros, os quais podem variar livremente. Como a variação 
de um deles acarreta na variação do que depende dele, chamamo-nos de elementos variáveis ou 
simplesmente variáveis. Deste modo, para cada associação, temos uma variável dependente e uma 
ou mais, independentes. Chamaremos de função à variável dependente e simplesmente de variáveis, 
às variáveis independentes, o que é bem intuitivo, uma vez que um elemento varia em função da 
variação daquele do qual depende. 
O tratamento matemático destas relações facilita muito a análise e compreensão das mesmas, e por 
isso o estudo das funções matemáticas é tão importante em todas as áreas do conhecimento. Assim, 
trataremos nesta seção do estudo das funções elementares e mais utilizadas, considerando neste 
momento, apenas as funções que dependem de uma única variável e fazendo uma abordagem mais 
compreensiva, sem preocupação com as demonstrações e o rigor matemático. 
Definição: Uma função matemática é uma relação entre dois conjuntos quaisquer que associa, a 
cada elemento de partida, denominado domínio, um único elemento de um conjunto de chegada, 
denominado contra-domínio. Os elementos do conjunto contra-domínio que são imagem de algum 
elemento do domínio constituem o conjunto imagem da função. 
Da definição acima podemos observar que uma função matemática é uma relação particular entre 
dois conjuntos, onde a premissa básica é a de que cada elemento do domínio possui uma única 
imagem, segundo aquela regra ou função. Do ponto de vista prático, podemos considerar, por 
exemplo, que se uma função descreve a posição de um objeto em movimento, a qual varia com o 
tempo, é sabido que em um dado instante o objeto não poderá ocupar duas posições 
diferentes, embora em dois instantes diferentes ele possa ocupar a mesma posição. Isso significa que 
dois ou mais elementos do domínio podem ter a mesma imagem, porém um elemento não pode ter 
várias imagens diferentes. O esquema abaixo ilustra tal situação, onde o diagrama da esquerda 
representa o gráfico de uma função, enquanto que o da direita não. 
 
Uma função pode ser representada por vários meios, como por exemplo, o diagrama acima, ou uma 
expressão matemática, um gráfico, uma expressão verbal, dentre outros. A expressão matemática e o 
gráfico são as formas mais utilizadas no estudo matemático. 
A expressão matemática de uma função f que a cada ponto t de um conjunto A associa um ponto 
f(t) de um conjunto B é dada por: Neste caso, A é o domínio e B é o contra- domínio de f. 
O gráfico de uma função f é o subconjunto do plano xy dado por: 
G x, y R 
2 
: y f (x) , 
p
 
pt
1 
 
 FUNÇÕES 
 
 
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o qual é posicionado num sistema de eixos cartesianos, onde o eixo horizontal contém a variável 
independente x (domínio), o eixo vertical contém a variável dependente y = f(x) (imagem), os eixos se 
cruzam na origem e o sentido de crescimento se dá da esquerda para a direita e de baixo para cima. 
Assim, o gráfico de uma função real descreve uma curva no plano, a qual representa o seu 
comportamento e facilita muito o seu entendimento. É, portanto, uma ferramenta básica no estudo de 
cálculo. 
Na figura seguinte observamos dois gráficos, sendo que o da esquerda representa o gráfico de uma 
função, enquanto que o da direita não, uma vez que existem valores de x com dois y 
correspondentes. 
 
Como podemos ver, a representação gráfica nos permite saber se um gráfico representa ou não uma 
função. Para isso basta traçarmos retas paralelas ao eixo y e ver quantas vezes estas retas 
interceptam a curva; se interceptar mais de um a vez, então a curva não é gráfico de função. 
2.1 Funções lineares: são funções cujos gráficos descrevem retas no plano e são expressas por 
f : R R 
x a ax b 
sendo a e b constantes e o domínio, todos os reais. Observe que se b = 0, então o gráfico é uma reta 
passando pela origem, enquanto que se a = 0, o gráfico é uma reta paralela ao eixo x, interceptando 
o eixo y em b e, neste caso, é dita função constante. a é dito coeficiente angular da reta e se for 
positivo, a reta tem sentido crescente; caso contrário, decrescente. b é o coeficiente linear. 
Muitos problemas não apresentam a expressão da função e faz parte da solução, encontrá-la. Isso é 
chamado de modelagem matemática e consiste em encontrar uma função matemática que represente 
um determinado fenômeno físico, químico, biológico, econômico, etc. No caso da função ser linear, 
basta conhecermos dois pontos pertencentes ao seu gráfico para determinarmos a função, pois já 
vimos que o gráfico de toda função linearé uma reta. Com a Geometria Euclidiana aprendemos que 
por dois pontos passa uma única reta e a Geometria Analítica nos diz como expressar esta reta em 
“linguagem” matemática. Logo, basta relembrarmos como se faz isso ... 
O coeficiente angular de uma reta r é definido como sendo a tangente do ângulo ( ) que esta 
reta faz com a reta horizontal que a intercepta. Se estivermos considerando um sistema de 
coordenadas, esta reta horizontal coincide com o eixo-x. Observando a figura abaixo, notamos que, 
dados dois ponto P e Q e a reta que passa por eles, podemos construir um triângulo retângulo a partir 
de uma reta paralela ao eixo-x, passando por P, e uma reta paralela ao eixo-y, passando por Q. 
 
Das relações sobre triângulos, segue que 
 
 f(
x) 
 FUNÇÕES 
 
 
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Portanto, o coeficiente angular de r, que chamaremos de a, é dado por 
 
Mas este mesmo raciocínio vale para quaisquer dois pontos sobre r, ou seja, se tomarmos um ponto 
genérico (x, y) , também teremos 
 
. Desta igualdade resulta que 
 
o que é equivalente a . Esta é a chamada equação reduzida da 
reta. 
2.1 Funções quadráticas: são funções cujos gráficos são parábolas e são expressas por 
f : R R 
x a ax 
2 
 bx c 
onde a, b e c são constantes e a 0 . Dom(f) = Æ. 
Exemplos: 
 
 
Funções cúbicas: são funções cujos gráficos recebem o mesmo nome e são expressas por 
 
 FUNÇÕES 
 
 
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onde a, b, c e d são constantes e a 0 . Dom(f) = Æ. Exemplos: 
 
Funções polinomiais: são funções descritas por polinômios, ou seja, funções do tipo 
 
Funções racionais: são funções dadas pelo quociente entre dois polinômios, ou seja 
 
Exemplos: 
 
Observe que ao trabalharmos com funções racionais devemos tomar cuidado com o domínio de 
definição da função, uma vez que o denominador não pode se anular. Assim, nos exemplos acima 
notamos que f(x)=1/x não está definida em x = 0; f(x) = x /(x-2) não está definida em x = 2 e f(x) 
= (x2+3x-4)(x2-9) /(x2+x-12)(x+3) não está definida em x = -4, x = -3, x = 3, já que (x2+x-12) = (x-
3)(x+4) . Isso significa que estes valores não pertencem aos domínios das respectivas funções. No 
entanto a função f(x)=(x3-2)/(x2+1) está definida em todos os reais, pois (x2+1) não se anula se x é um 
número real. 
Outra observação importante é que devemos tomar muito cuidado com o uso do computador 
para fazer gráficos de funções, pois nem sempre o gráfico obtido é o esperado. No caso da função 
 FUNÇÕES 
 
 
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f(x) = (x2+3x-4)(x2-9) /(x2+x-12)(x+3), por exemplo, a maioria dos softwares gráficos faria a reta 
contínua como sendo o seu gráfico, ignorando o fato de existirem três pontos que anulam o 
denominador. Isso ocorre pelo fato de que f(x) pode ser escrita como: 
 
Bem, se x 3, x 4 e x 3 , então podemos cancelar os termos comuns e teremos a função 
f(x) = x – 1, cujo gráfico é uma reta contínua, ou seja, sem interrupções. E é isso o que a maioria dos 
softwares fazem. Todavia, sabemos, por exemplo, que se x = 3, então teremos o que 
nos impede de cancelar este termo. Raciocínio análogo se aplica aos demais. Daí os três “furinhos” 
no gráfico. Outros exemplos são os gráficos das funções f(x) = 1/x e f(x) = x/(x-2), que na vizinhança 
de x = 0 e x = 2, respectivamente, se apresenta limitado, ou seja, a curva é interrompida. No entanto, 
se x é muito pequeno (x Ø 0), 1/x é muito grande (1/x Ø ¶), do mesmo modo que se x está muito 
próximo de 2, então x/(x-2) também é muito grande (x/(x-2) Ø ¶), ou seja, os gráficos nestas 
vizinhanças deveriam crescer (e decrescer) infinitamente, o que não ocorreu por limitações do 
programa gráfico que os realizaram. 
Função módulo: é a função definida por 
 
 
Função raiz quadrada 
 
 
Funções definidas por partes 
 FUNÇÕES 
 
 
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2.7 Funções trigonométricas: as principais funções trigonométricas são as funções seno e co- seno, 
as quais possuem comportamento ondulatório e são definidas para todo x real. São utilizadas para 
modelar fenômenos periódicos, que se repetem com uma determinada freqüência. As demais, como 
tangente, co-tangente, secante e co-secante, são definidas a partir do seno e co-seno, e são dadas 
por: 
 
É importante observar que quando estamos trabalhando com funções trigonométricas, o domínio é 
um sub-conjunto de Æ e, portanto, as variáveis não podem ser expressas em graus e sim, em 
radianos, que são representações reais das medidas angulares. Para fazer a conversão, basta usar 
a relação Vejamos os seus gráficos: 
 
Composição de funções: Existem muitas situações nas quais uma quantidade é dada como uma 
função de uma variável que, por sua vez, pode ser escrita como função de uma segunda variável, e 
assim por diante. Compondo-se as funções de maneira apropriada, pode-se expressar a quantidade 
original como função da última variável. Esse processo é chamado composição de funções e definido 
do seguinte modo: 
 FUNÇÕES 
 
 
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O esquema seguinte ilustra a definição: 
 
Exemplos: 
 
Um estudo das condições ambientais de uma comunidade suburbana indica que a taxa média 
diária de monóxido de carbono no ar será de partes por milhão (ppm), quando a 
população for de p milhares. Estima-se que daqui a t anos, a população da comunidade será de 
p(t) 10 0,1t 
2 
milhares. Expresse a taxa de monóxido de carbono no ar como uma função do 
tempo. 
Solução: Como a taxa de monóxido de carbono está relacionada a p pela equação c( p) 0,5 p 1 , 
e a variável p está relacionada à variável t pela equação p(t) 10 0,1t 
2 
, a função composta c( 
p(t)) 0,5(10 0,1t 
2 
) 1 6 0,05t 
2 
expressa a taxa de monóxido de carbono no ar como função 
da variável t. 
Importante: Imagine um conjunto formado por todas as funções reais. Vamos chamá-lo de F . 
Portanto, os elementos de F são funções com domínio e imagem em Æ e como em todo conjunto, 
podemos definir operações e propriedades. As operações de soma, subtração, produto e divisão já 
são bem familiares entre as funções, ou seja, já estamos acostumados a somar duas funções, dividir 
uma pela outra, multiplicar e assim por diante. Note que a composição é uma outra operação que 
podemos fazer com as funções, a qual não fazemos com números reais. Portanto, esta é uma 
operação definida no conjunto de funções e como tal, também possui propriedades, dentre as quais, 
destacamos: 
Elemento neutro: é uma função que, ao ser composta com qualquer outra, não altera esta outra. 
Portanto, o elemento neutro em relação à operação composição, é a função identidade, denotada 
por De fato, para toda função real f, tem-se 
 
• Funções inversas: Se f é bijetora (injetora e sobrejetora), então f é inversível, ou seja, existe uma 
função g tal que g é a inversa da f, a qual “desfaz o que a f faz”. Na linguagem matemática 
escrevemos: 
 FUNÇÕES 
 
 
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Funções Exponenciais: são funções que apresentam crescimento (ou decrescimento) muito rápido 
e, por isso, utilizadas para representar fenômenos que possuem esta característica, por exemplo, 
crescimento de bactérias, decaimento radioativo de elementos químicos, juros compostos, etc. São 
definidas da seguinte forma: 
Definição: Se b é um número positivo diferente de 1 ( b 0, b 1), então a função exponencial de 
baseb é definida como f(x) = bx , para qualquer número real x. Exemplos 
 
Funções Logarítmicas: Se , então a função exponencial é bijetora (sempre 
crescente ou decrescente) e, portanto, inversível. Assim, existe uma função inversa f 1 denominada 
função logarítmica de base a, denotada por f 
1 
(x) log x , que, por ser a função inversa, satisfaz 
 
As figuras abaixo mostram a função logarítmica para várias bases e sua relação com a inversa, a 
exponencial 
 
2.7 Funções trigonométricas inversas: são funções que seguem o mesmo princípio de todas as 
outras inversas, ou seja, desfaz o que a respectiva função fez. Como as funções trigonométricas não 
são bijetoras em seus domínios, é necessário restringi-los a intervalos onde a função seja bijetora. 
Esta restrição é arbitrária, porém é mais comum tomarmos os intervalos mais próximos da origem 
para definirmos as inversas das trigonométricas. Segue abaixo os gráficos das funções 
trigonométricas com os domínios restritos e o de suas respectivas inversas. 
 FUNÇÕES 
 
 
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Observe a relação entre os domínios e as imagens das funções acima e suas inversas: 
 
 
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 FUNÇÕES 
 
 
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 SISTEMA DE EQUAÇÕES 
 
 
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Sistema De Equações 
Sistema De Equação Do 1º Grau 
Como calcular uma equação de 1º grau. 
 
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Os sistemas de equação são ferramentas muito comuns na resolução de problemas em várias áreas 
(matemática, química, física, engenharia…) e aparecem sempre em concursos e exames, como é o 
caso do vestibular. Os sistemas, geralmente, são resolvidos com uma certa facilidade o que causa 
muitas vezes uma desatenção, por parte do aluno, já que ele não tem dificuldade para encontrar a 
solução do sistema. Mas ele esquece que a dificuldade está na armação e principalmente na solução 
final da questão. Os sistemas são ferramentas que mesmo funcionando necessitam de alguém que 
saiba o construir com elas. 
Métodos De Resolução De Sistemas De Equações Do 1º Grau 
Além de saber armar o sistema é bom saber fazer a escolha pelo método mais rápido de resolução. 
Vou apresentar três métodos sendo que o mais utilizado é o método da adição. 
1º Método Da Adição 
Este método consiste em deixar os coeficientes de uma incógnita opostos. Desta forma, somando-se 
membro a membro as duas equações recai-se em um equação com uma única incógnita. 
Exemplo: 
 
1º passo: vamos multiplicar a primeira linha por -1 para podermos cortar –2x com 2x 
 
2º passo: Substituir y = – 2, em qualquer um das equações acima e encontrar o valor de x. 
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 SISTEMA DE EQUAÇÕES 
 
 
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3º passo: dar a solução do sistema. 
S = { (4, -2) } 
2º Método Da Substituição 
Este método consiste em isolar uma incógnita numa equação e substituí-la na outra equação do 
sistema dado, recaindo-se numa equação do 1º grau com uma única incógnita. 
EXEMPLO: 
 
1º passo: vamos isolar o y na primeira equação para podermos substituir na Segunda equação. 
 
2º passo: Substituir y = 6 – 2x, na segunda equação para encontrar o valor de x. 
 
3º passo: Substituir x = 4 em y = 6 – 2x, para encontrar o valor de y. 
y = 6 – 2x 
y = 6 – 2.4 
y = 6 – 8 
y = -2 
4º passo: dar a solução do sistema. 
S = { (4, -2) } 
Sistema De Equações Do 2º Grau 
Os sistemas a seguir envolverão equações do 1º e do 2º grau, lembrando de que suas 
representações gráficas constituem uma reta e uma parábola, respectivamente. Resolver um sistema 
envolvendo equações desse modelo requer conhecimentos do método da substituição de termos. 
Observe as resoluções comentadas a seguir: 
Exemplo 1 
 SISTEMA DE EQUAÇÕES 
 
 
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Isolando x ou y na 2ª equação do sistema: 
x + y = 6 
x = 6 – y 
 
Substituindo o valor de x na 1ª equação: 
 
x² + y² = 20 
(6 – y)² + y² = 20 
(6)² – 2 * 6 * y + (y)² + y² = 20 
36 – 12y + y² + y² – 20 = 0 
16 – 12y + 2y² = 0 
2y² – 12y + 16 = 0 (dividir todos os membros da equação por 2) 
 
y² – 6y + 8 = 0 
 
∆ = b² – 4ac 
∆ = (–6)² – 4 * 1 * 8 
∆ = 36 – 32 
∆ = 4 
 
a = 1, b = –6 e c = 8 
 
Determinando os valores de x em relação aos valores de y obtidos: 
 
Para y = 4, temos: 
x = 6 – y 
x = 6 – 4 
x = 2 
 
Par ordenado (2; 4) 
Para y = 2, temos: 
x = 6 – y 
x = 6 – 2 
x = 4 
 
Par ordenado (4; 2) 
 
S = {(2: 4) e (4; 2)} 
 
Exemplo 2 
 SISTEMA DE EQUAÇÕES 
 
 
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Isolando x ou y na 2ª equação: 
x – y = –3 
x = y – 3 
 
Substituindo o valor de x na 1ª equação: 
 
x² + 2y² = 18 
(y – 3)² + 2y² = 18 
y² – 6y + 9 + 2y² – 18 = 0 
3y² – 6y – 9 = 0 (dividir todos os membros da equação por 3) 
 
y² – 2y – 3 = 0 
 
∆ = b² – 4ac 
∆ = (–2)² – 4 * 1 * (–3) 
∆ = 4 + 12 
∆ = 16 
 
a = 1, b = –2 e c = –3 
 
 
Determinando os valores de x em relação aos valores de y obtidos: 
 
Para y = 3, temos: 
x = y – 3 
x = 3 – 3 
x = 0 
 
Par ordenado (0; 3) 
 
Para y = –1, temos: 
x = y – 3 
x = –1 –3 
x = –4 
 
Par ordenado (–4; –1) 
 
S = {(0; 3) e (–4; –1)} 
Representação de equações com duas incógnitas no plano 
Equação com duas incógnitas 
 SISTEMA DE EQUAÇÕES 
 
 
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“ É toda equação do tipo ax + by = C , onde; { a e b Є R / a ≠ 0 e b ≠0}” 
Retas Concorrentes 
Observe as equações: x + y = 7 e x + 2y = 1 x + y = 7 x = 1 y = 6 S (1 , 6 ) x = 2 y = 5 S (2 , 5 ) x = 3 y 
= 4 S (3 , 4 ) x = 4 y = 3 S (4 , 3 ) x = 5 y = 2 S (5 , 2 ) x = 6 y = 1 S (6 , 1 ) x = 1 y = 5 S (1 , 5 ) x + 2y 
= 1 
 
 
 
 
Resultados que tornam as equações verdadeiras x = 1 y = 5 S (1 , 5 ) x = 3 y = 4 S (3 , 4 ) x = 1 y = 5 
S (1 , 5 ) x = 3 y = 4 S (3 , 4 ) 
 
 
Representação no gráfico dessas funções no plano 
x + y = 7 e x + 2y = 1 
•Gráfico das Equações Desenhe o gráfico no GeoGebra 
Exercício 
Pedro tem um sítio, entre galinha e cachorros ele tem um total de 23. 
Somando o numero de pés e patas deu um total de 80. Quantas galinhas e quantos cachorros Pedro 
tem? x + y = 23 2x +4y = 80 
Retas Perpendiculares 
•Duas retas são perpendiculares se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares é -1. 
•Dessa forma, se o coeficiente angulares de uma das retas é m, o coeficiente da outra é o inverso 
oposto -1/m. 
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 SISTEMA DE EQUAÇÕES 
 
 
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•Seja b uma reta que intercepta uma reta d. Para provar o teorema acima, desenhe uma reta c, 
paralela a d, e que passe na origem, assim como criar uma reta a, paralela a b, e que também passe 
pela origem. 
•Depois, crie uma reta perpendicular à abscissa no ponto 1, que originará um triângulo cujos vértices 
são os pontos 
(0;0), (1;m1) e (1;m2). Repare que m1 e m2 são os coeficientes angulares das retas c e a, 
respectivamente. 
•Esse triângulo é retângulo e, como tal, é possível utilizar o Teorema de Pitágoras. Disso resulta: 
Retas Paralelas Coincidentes 
São retas com o mesmo coeficiente angular e com um coeficiente de proporcionalidade igual e os 
pares ordenados iguais. 
Dadas as retas: 
 
Elas serão retas paralelas coincidente se: 
 
 
Dada as equações 
2x + y = 5 (I) 6x +3y = 15 (I) 
Note que: 
 
2/6 =1/3 = 5/15 1/3 = 1/3 = 1/3 
 SISTEMA DE EQUAÇÕES 
 
 
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m1 = 1/2 m2 = 1/2 
Representação Gráfica Representação Gráfica 
Um sistema que é composto de equações de retas coincidentes, qualquer que seja os valores de 
(x,y), será satisfatório para o sistema, já que todos os pares ordenados estarão representados sobre 
as duas retas. 
Retas Paralelas Distintas Dadas as seguintes retas : 
 
Elas serão retas paralelas distintas se: 
 
 
Dada duas retas com as seguintes equações: 
y=2x+2 (a) e y=2x-1 (b) 
Pela equação da reta y = mx + q, onde m é o coeficiente angular e q o ponto onde essa reta 
intercepta o eixo y. 
 
 
Representação Gráfica Representação Gráfica 
Exemplo x + 2y = 1 3x + 6y = k 
Conclusão 
A resolução de equações com duas incógnitas podem ser representados em um plano cartesiano 
sendo representadas respectivamente suas retas projetadas através de seus pares ordenados, assim 
sendo pode não haver nenhum ponto em comum ou único ponto em comum. 
• nenhuma solução • infinitas soluções. 
O Gráfico De Um Sistema 
Quando um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas é representado graficamente, 
por meio do plano cartesiano, cada uma das equações desse sistema, representam no gráfico 
uma reta. Quando essas retas se interceptam, o ponto de intersecção representa a solução da 
equação. 
 SISTEMA DE EQUAÇÕES 
 
 
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Mas, antes de visualizarmos a representação gráfica de um sistema de equações do 1º grau 
com duas incógnitas, vejamos como representar graficamente cada uma das equações do 
sistema. 
Por exemplo, dada a equação x + y = 2, para representá-la por meio de um gráfico, vamos 
organizar uma tabela e nela atribuir valores para as variáveis x e y. 
x y x + y = 2 Par ordenado 
0 2 0 + 2 = 2 ( 0,2) 
2 0 2 + 0 = 2 (2,0) 
 
Atribuindo apenas dois valores para as variáveis, já é suficiente para traçar a equação no 
gráfico. Agora, é hora de utilizar o plano cartesiano. Dado o plano, vamos localizar os pontos 
(0,2) e (2,0). 
 
Por esses dois pontos, vamos traçar a reta que representa a equação x + y = 2. 
 
Esse mesmo processo será realizado com a equação x – y = 0 
Vamos novamente organizar uma tabela e atribuir valores para as variáveis x e y. 
x y x - y = 0 Par ordenado 
0 0 0 - 0 = 0 ( 0,0) 
 SISTEMA DE EQUAÇÕES 
 
 
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2 2 2 - 2 = 0 (2,2) 
 
Atribuindo apenas dois valores para as variáveis, já é suficiente para traçar a equação no 
gráfico. Agora, é hora de utilizar o plano cartesiano. Dado o plano, vamos localizar os pontos 
(0,0) e (2,2). 
 
Por esses dois pontos, vamos traçar a reta que representa a equação x - y = 0. 
 
Vejamos agora como ficará o gráfico quando nele representamos o sistema 
Acompanhe a resolução e a representação gráfica de um sistema de equações do 1º grau com duas 
incógnitas. 
 
 SISTEMA DE EQUAÇÕES 
 
 
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Resolvendo o sistema por um dos métodos discutidos, obteremos como solução o par ordenado 
(1,1), graficamente esse par ordenado representa a interseção entre as duas retas. 
Acompanhe a resolução do sistema 
 
Substituindo o valor de x na equação x + y = 2, temos: 
x + y = 2 1 + y = 2 y = 2 – 1 y = 1 
Ao resolver o sistema pelo método da adição, comprovamos o que graficamente foi 
visualizado, ou seja, a solução do sistema é o par ordenado (1,1). 
Veja agora a representação gráfica de um outro sistema 
 
Para discutir a representação gráfica desse sistema, vamos resolvê-lo pelo método da substituição. 
 
1º - Na equação x + y = 3, vamos determinar o valor da incógnita y. 
x + y = 3 y = 3 – x 
2º - Na equação x + y = 6, vamos substituir o valor de y. x 
+ y = 6 
x + 3 – x 
= 6 x – x 
= 6 – 3 0 
= 3 
Veja que o resultado encontrado é falso, pois 0 ≠ 3. Logo, não há solução para o sistema, ele é 
identificado como impossível. E, em casos como esse, o sistema é representado graficamente 
por duas retas que não se interceptam. 
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 EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2 GRAU 
 
 
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Equações Polinomiais do 2 Grau 
Equação polinomial ou algébrica é toda equação da forma p(x) = 0, em que p(x) é um polinômio: 
p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 de grau n, com n ≥ 1. Veja alguns exemplos: 
 
x4 + 9x2 – 10x + 3 = 0 
10x6 – 2x5 + 6x4 + 12x3 – x2 + x + 7 = 0 
x8 – x6 – 6x + 2 = 0 
x10 – 6x2 + 9 = 0 
 
As raízes de uma equação polinomial constituem o conjunto solução da equação. Para as equações 
em que o grau é 1 ou 2, o método de resolução é simples e prático. Nos casos em que o grau dos 
polinômios é 3 ou 4, existem expressões para a obtenção da solução. 
 
 
Teorema Fundamental da Álgebra (TFA) 
 
Toda equação polinomial p(x) = 0, de grau n onde n ≥ 1, admite pelo menos uma raiz complexa. 
 
Exemplo 1 
 
Determine o valor do coeficiente K, sabendo que 2 é a raiz da equação: 
2x4 + kx3 – 5x2 + x – 15 = 0 
 
Se 2 é raiz da equação, então temos: 
 
2(2)4 + k(2)3 – 5(2)2 + 2 – 15 = 0 
2*16 + k*8 – 5*4 + 2 – 15 = 0 
32 + 8k – 20 + 2 – 15 = 0 
8k + 34 – 35 = 0 
8k – 1 = 0 
8k = 1 
k = 1/8 
Temos que o valor do coeficiente k é 1/8. 
 
Exemplo 2 
 
Determine o valor de m, sabendo que –3 é raiz da equação: mx3 + (m + 2)x2 – 3x – m – 8 = 0. 
 
Temos que: 
 
m(–3)3 +(m + 2)( –3)2 – 3(–3) – m – 8 = 0 
m(–27) + (m + 2)(9) + 9 – m – 8 = 0 
–27m + 9m + 18 + 9 – m – 8 = 0 
–27m + 9m – m = 8 – 18 – 9 
– 19m = –19 
m = 1 
 
O valor de m é 1. 
A equação do segundo grau recebe esse nome porque é uma equação polinomial de grau dois, cujo 
termo de maior grau está elevado ao quadrado. 
É representada sob a forma: 
ax2 + bx + c = 0 
Donde x é a incógnita (termo variável), a, b e c são números reais e coeficientes da equação, sendo 
“a” um valor diferente de 0 (a ≠ 0). 
 EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2 GRAU 
 
 
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A equação de 2º grau também recebe o nome de equação quadrática. 
Fórmula de Bhaskara 
Observe que a equação de 2º Grau busca encontrar valores reais, denominados de raiz da equação. 
A Fórmula de Bhaskara é a fórmula geral para resolução da equação do segundo grau, uma vez que 
determina as raízes (valores) de uma equação quadrática: 
 
 
O discriminante da equação designa a letra grega delta (Δ) que equivale à expressão valor b2 – 
4ac. 
Importante ressaltar que se o valor de Δ for maior que zero (Δ > 0), a equação terá duas raízes reais 
e distintas. 
Se Δ for igual a zero (Δ = 0), a equação apresentará somente uma raiz. 
E se Δ for menor que zero (Δ < 0), a equação não apresentará raízes reais. 
Equações do Segundo Grau Completas e Incompletas 
Na equação de segundo grau completa utiliza-se a fórmula de Bhaskara. 
Os coeficientes a, b e c são diferentes de zero (a, b, c ≠ 0). Por exemplo: 
5 x2 + 2x + 2 = 0 
a = 5 
b = 2 
c = 2 
Uma equação é incompleta do segundo grau quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0. Para resolver uma 
equação deste tipo pode-se ou não utilizar a fórmula de Bhaskara. 
Por exemplo: 
2 x2 = 0 
a = 2 
b = 0 
c = 0 
Leia também Inequação . 
Expressões Algébricas 
Expressões algébricas são expressões matemáticas que apresentam números, letras e operações. 
As expressões desse tipo são usadas com frequência em fórmulas e equações. 
As letras que aparecem em uma expressão algébrica são chamadas de variáveis e representam um 
valor desconhecido. 
Os números escritos na frente das letras são chamados de coeficientes e deverão ser multiplicados 
pelos valores atribuídos as letras. 
Exemplos 
 EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2 GRAU 
 
 
3 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
a) x + 5 
b) b2 – 4ac 
 
Cálculo de uma Expressão Algébrica 
O valor de uma expressão algébrica depende do valor que será atribuído às letras. 
Para calcular o valor de uma expressão algébrica devemos substituir os valores das letras e efetuar 
as operações indicadas. Lembrando que entre o coeficiente e a letras, a operação é de multiplicação. 
Exemplo 
O perímetro de um retângulo é calculado usando a fórmula: 
P = 2b + 2h 
Substituindo as letras com os valores indicados, encontre o perímetro dos seguintes retângulos 
 
Simplificação de Expressões Algébricas 
Podemos escrever as expressões algébricas de forma mais simples somando seus termos 
semelhantes (mesma parte literal). 
Para simplificar iremos somar ou subtrair os coeficientes dos termos semelhantes e repetir a parte 
literal. 
Exemplos 
a) 3xy + 7xy4 - 6x3y + 2xy - 10xy4 = (3xy + 2xy) + (7xy4 - 10xy4) - 6x3y = 5xy - 3xy4 - 6x3y 
b) ab - 3cd + 2ab - ab + 3cd + 5ab = (ab + 2ab - ab + 5ab) + (- 3cd + 3cd) = 7ab 
Fatoração de Expressões Algébricas 
Fatorar significa escrever uma expressão como produto de termos. 
Transformar uma expressão algébrica em uma multiplicação de termos, frequentemente nos permite 
simplificar a expressão. 
Para fatorar uma expressão algébrica podemos usar os seguintes casos: 
 EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2 GRAU 
 
 
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Fator comum em evidência: ax + bx = x (a.b) 
Agrupamento: ax + bx + ay + by = x . (a + b) + y . (a + b) = (x + y) . (a.b) 
Trinômio Quadrado Perfeito (Adição): a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 
Trinômio Quadrado Perfeito (Diferença): a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 
Diferença de dois quadrados: (a + b) . (a – b) = a2 – b2 
Cubo Perfeito (Soma): a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 
Cubo Perfeito (Diferença): a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3 
Monômios 
Quando uma expressão algébrica apresenta apenas multiplicações entre o coeficiente e as letras 
(parte literal), ela é chamada de monômio. 
Exemplos 
a) 3ab 
b) 10xy2z3 
c) bh (quando não aparece nenhum número no coeficiente, seu valor é igual a 1) 
Os monômios semelhantes são os que apresentam a mesma parte literal (mesmas letras com 
mesmos expoentes). 
Os monômios 4xy e 30xy são semelhantes. Já os monômios 4xy e 30x2y3 não são semelhantes, pois 
as letras correspondentes não possuem o mesmo expoente. 
Polinômios 
Quando uma expressão algébrica possui somas e subtrações de monômios não semelhantes é 
chamada de polinômio. 
Exemplos 
a) 2xy + 3 x2y - xy3 
b) a + b 
c) 3abc + ab + ac + 5 bc 
Operações Algébricas 
Soma e subtração 
A soma ou a subtração algébrica é feita somando-se ou subtraindo-se os coeficientes dos termos 
semelhantes e repetindo a parte literal. 
Exemplo 
a) Somar (2x2 + 3xy + y2) com (7x2 - 5xy - y2) 
(2x2 + 3xy + y2) + (7x2 - 5xy - y2) = (2 + 7) x2 + (3 - 5) xy + (1 - 1) y2 = 9x2 - 2xy 
b) Subtrair (5ab - 3bc + a2) de (ab + 9bc - a3) 
É importante observar que o sinal de menos na frente dos parênteses inverte todos os sinais de 
dentro dos parênteses. 
(5ab - 3bc + a2) - (ab + 9bc - a3) = 5ab - 3bc + a2 - ab - 9bc + a3 = 
(5 - 1) ab + (- 3 - 9)bc + a2 + a3 = 4ab -12bc + a2 + a3 
 EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2 GRAU 
 
 
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Multiplicação 
A multiplicação algébrica é feita multiplicando-se termo a termo. 
Para multiplicar a parte literal, usamos a propriedade da potenciação para multiplicação de mesma 
base: "repete-se a base e soma-se os expoentes". 
Exemplo 
Multiplicar (3x2 + 4xy) com (2x + 3) 
(3x2 + 4xy) . (2x + 3) = 3x2 . 2x + 3x2 . 3 + 4xy . 2x + 4xy . 3 = 6x3 + 9x2 + 8x2y + 12xy 
Divisão de um polinômio por um monômio 
A divisão de um polinômio por um monômio é feita dividindo os coeficientes do polinômio pelo 
coeficiente do monômio. Na parte literal, usa-se a propriedade da divisão de potência de mesma base 
(repete-se a base e subtrai os expoentes). 
Exemplo 
 
Para saber mais, leia também: 
• Expressões Numéricas 
• Produtos Notáveis 
• Função Polinomial 
A função determina uma relação entre os elementos de dois conjuntos. Podemos defini-la utilizando 
uma lei de formação, em que, para cada valor de x, temos um valor de f(x). Chamamos x de domínio 
e f(x) ou y de imagem da função. 
A formalização matemática para a definição de função é dada por: Seja X um conjunto com 
elementos de x e Y um conjunto dos elementos de y, temos que: 
f: x → y 
 
Assim sendo, cada elemento do conjunto x é levado a um único elemento do conjunto y. Essa 
ocorrência é determinada por uma lei de formação. 
A partir dessa definição, é possível constatar que x é a variável independente e que y é a variável 
dependente. Isso porque, em toda função, para encontrar o valor de y, devemos ter inicialmente o 
valor de x. 
 EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2 GRAU 
 
 
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Tipos de funções 
As funções podem ser classificadas em três tipos, a saber: 
• Função injetora ou injetiva 
Nessa função, cada elemento do domínio (x) associa-se a um único elemento da imagem f(x). 
Todavia, podem existir elementos do contradomínio que não são imagem. Quando isso acontece, 
dizemos que o contradomínio e imagem são diferentes. Veja um exemplo: 
• Conjunto dos elementos do domínio da função: D(f) = {-1,5, +2, +8} 
• Conjunto dos elementos da imagem da função: Im(f) = {A, C, D} 
• Conjunto dos elementos do contradomínio da função: CD(f) = {A, B, C, D} 
 
• Função Sobrejetora ou sobrejetiva 
Na função sobrejetiva, todos os elementos do domínio possue um elemento na imagem. Pode 
acontecer de dois elementos do domínio possuírem a mesma imagem. Nesse caso, imagem e 
contradomínio possuem a mesma quantidade de elementos. 
• Conjunto dos elementos do domínio da função: D(f) = {-10,2, 8, 25} 
• Conjunto dos elementos da imagem da função: Im (f) = {A, B, C} 
• Conjunto dos elementos do contradomínio da função: CD (f) = {A, B, C} 
 
• Função bijetora ou bijetiva 
Essa função é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, pois, cada elemento de x relaciona-se a um 
único elemento de f(x). Nessa função, não acontece de dois números distintos possuírem a mesma 
imagem, e o contradomínio e a imagem possuem a mesma quantidade de elementos. 
• Conjunto dos elementos do domínio da função: D(f) = {-12, 0, 1, 5} 
 2 
• Conjunto dos elementos da imagem da função: Im (f) = {A, B, C, D} 
 EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2 GRAU 
 
 
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• Conjunto dos elementos do contradomínio da função: CD (f) = {A, B, C, D} 
 
As funções podem ser representadas graficamente. Para que isso seja feito, utilizamos duas 
coordenadas, que são x e y. O plano desenhado é bidimensional. A coordenada x é chamada de 
abscissa e a y, de ordenada. Juntas em funções, elas formam leis de formação. Veja a imagem do 
gráfico do eixo x e y: 
 
Do último ano do Fundamental e ao longo do Ensino Médio, geralmente estudamos doze funções, 
que são: 
1 – Função constante; 
2 – Função par; 
3 – Função ímpar; 
4 – Função afim ou polinomial do primeiro grau; 
5 – Função Linear; 
6 – Função crescente; 
7 – Função decrescente; 
8 – Função quadrática ou polinomial do segundo grau; 
9 – Função modular; 
10 – Função exponencial; 
11 – Função logarítmica; 
12 – Funções trigonométricas; 
13 – Função raiz. 
Mostraremos agora o gráfico e a fórmula geral de cada uma das funções listadas acima: 
 EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2 GRAU 
 
 
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1 - Função constante 
Na função constante, todo valor do domínio (x) tem a mesma imagem (y). 
Fórmula geral da função constante: 
f(x) = c 
x = Domínio 
f(x) = Imagem 
c = constante, que pode ser qualquer número do conjunto dos reais. 
Exemplo de gráfico da função constante: f(x) = 2 
 
2 – Função Par 
A função par é simétrica em relação ao eixo vertical, ou seja, à ordenada y. Entenda simetria como 
sendo uma figura/gráfico que, ao dividi-la em partes iguais e sobrepô-las, as partes coincidem-se 
perfeitamente. 
Fórmula geral da função par: 
f(x) = f(- x) 
x = domínio 
f(x) = imagem 
- x = simétrico do domínio 
Exemplo de gráfico da função par: f(x) = x2 
 
3 – Função ímpar 
 EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2 GRAU 
 
 
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A função ímpar é simétrica (figura/gráfico que, ao dividi-la em partes iguais e sobrepô-las, as partes 
coincidem-se perfeitamente) em relação ao eixo horizontal, ou seja, à abscissa x. 
Fórmula geral da função ímpar 
f(– x) = – f(x) 
– x = domínio 
f(– x) = imagem 
- f(x) = simétrico da imagem 
Exemplo de gráfico da função ímpar: f(x) = 3x 
 
4 – Função afim ou polinomial do primeiro grau 
Para saber se uma função é polinomial do primeiro grau, devemos observar o maior grau da 
variável x (termo desconhecido), que sempre deve ser igual a 1. Nessa função, o gráfico é uma reta. 
Além disso, ela possui: domínio x, imagem f(x) e coeficientes a e b. 
Fórmula geral da função afim ou polinomial do primeiro grau 
f(x) = ax + b 
x = domínio 
f(x) = imagem 
a = coeficiente 
b = coeficiente 
Exemplo de gráfico da função polinomial do primeiro grau: f(x) = 4x + 1 
 
5 – Função Linear 
 EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2 GRAU 
 
 
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A função linear tem sua origem na função do primeiro grau (f(x) = ax + b). Trata-se de um caso 
particular, pois b sempre será igual a zero. 
Fórmula geral da função linear 
f(x) = ax 
x = domínio 
f(x) = imagem 
a = coeficiente 
Exemplo de gráfico da função linear: f(x) = -x/3 
 
6 – Função crescente 
A função polinomial do primeiro grau será crescente quando o coeficiente a for diferente de zero e 
maior que um (a > 1). 
Fórmula geral da função crescente 
f(x) = + ax + b 
x = domínio 
f(x) = imagem 
a = coeficiente sempre positivo 
b = coeficiente 
Exemplo de gráfico da função crescente: f(x) = 5x 
 
7 – Função decrescente 
Na função decrescente, o coeficiente a da função do primeiro grau (f(x) = ax + b) é sempre negativo. 
 EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2 GRAU 
 
 
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Fórmula geral da função decrescente 
f(x) = - ax + b 
x= domínio/ incógnita 
f(x) = imagem 
- a = coeficiente sempre negativo 
b = coeficiente 
Exemplo de gráfico da função decrescente: f(x) = - 5x 
 
8 – Função quadrática ou polinomial do segundo grau 
Identificamos que uma função é do segundo grau quando o maior expoente que acompanha a 
variável x (termo desconhecido) é 2. O gráfico da função polinomial do segundo grau sempre será 
uma parábola. A sua concavidade muda de acordo com o valor do coeficiente a. Sendo assim, 
se a é positivo, a concavidade é para cima e, se for negativo, é para baixo. 
Fórmula geral da função quadrática ou polinomial do segundo grau 
f(x) = ax2 + bx + c 
x = domínio 
f(x) = imagem 
a = coeficiente que determina a concavidade da parábola. 
b = coeficiente. 
c = coeficiente. 
Exemplo de gráfico da função polinomial do segundo grau: f(x) = x2 – 6x + 5 
 
 EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2 GRAU 
 
 
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9 – Função modular 
A função modular apresenta o módulo, que é considerado o valor absoluto de um número e é 
caracterizado por (| |). Como o módulo sempre é positivo, esse valor pode ser obtido tanto negativo 
quanto positivo. Exemplo: |x| = + x ou |x| = - x. 
Fórmula geral da função modular 
f(x) = x, se x≥ 0 
 
ou 
 
f(x) = – x, se x < 0 
x = domínio 
f(x) = imagem 
- x = simétrico do domínio 
Exemplo de gráfico da função modular: f(x) = 
 
10 – Função exponencial 
Uma função será considerada exponencial quando a variável x estiver no expoente em relação à 
base de um termo numérico ou algébrico. Caso esse termo seja maior que 1, o gráfico da função 
exponencial é crescente. Mas se o termo for um número entre 0 e 1, o gráfico da função exponencial 
é decrescente. 
Fórmula geral da função exponencial 
f(x) = ax 
a > 1 ou 0 < a < 1 
x = domínio 
f(x) = imagem 
a = Termo numérico ou algébrico 
Exemplo de gráfico da função exponencial crescente: f(x) = (2)x, para a = 2 
 EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2 GRAU 
 
 
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Exemplo de gráfico da função exponencial decrescente: f(x) = (1/2)x para a = ½ 
 
11 - Função logarítmica 
Na função logarítmica, o domínio é o conjunto dos números reais maiores que zero e o 
contradomínio é o conjunto dos elementos dependentes da função, sendo todos números reais. 
Fórmula geral da função logarítmica 
f(x) = loga x 
a = base do logaritmo 
f(x) = Imagem/ logaritmando 
x = Domínio/ logaritmo 
Exemplo de gráfico da função logarítmica: f(x) = log10 (5x - 6) 
 
12 – Funções trigonométricas 
As funções trigonométricas são consideradas funções angulares e são utilizadas para o estudo dos 
triângulos e em fenômenos periódicos. Podem ser caracterizadas como razão de coordenadas dos 
pontos de um círculo unitário. As funções consideradas elementares são: 
 EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2 GRAU 
 
 
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- Seno: f(x) = sen x 
- Cosseno: f(x) = cos x 
- Tangente: f(x) = tg x 
Exemplo de gráfico da função trigonométrica seno: f(x) = sen (x + 2) 
 
Exemplo de gráfico da função trigonométrica cosseno: f(x) = cos (x + 2) 
 
Exemplo de gráfico da função tangente: f(x) = tg (x + 2) 
 
13 – Função raiz 
O que determina o domínio da função raiz é o termo n que faz parte do expoente. Se n for ímpar, o 
domínio (x) será o conjunto dos números reais; se n for par, o domínio (x) será somente os números 
reais positivos. Isso porque, quando o índice é par, o radicando (termo que fica dentro da raiz) não 
pode ser negativo. 
Fórmula geral da função raiz 
f(x) = x 1/n 
 EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2 GRAU 
 
 
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f(x) = Imagemx = domínio/ base 
1/n = expoente 
Exemplo de gráfico da função raiz: f(x) = (x)1/2 
 
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EQUAÇÕES EXPONENCIAIS, LOGARÍTMICAS E TRIGONOMÉTRICAS 
 
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Equação Exponencial 
Ao concluirmos o Ensino Fundamental, estamos habituados a calcular com potências com expoentes 
naturais e inteiros. No Ensino Médio, passaremos a conviver com outros tipos de potências, aquelas 
elevadas a expoentes racionais e reais. Neste trabalho serão abordadas as equações exponenciais, 
equações que carregam a incógnita no expoente. Mas não antes de fazermos uma breve revisão das 
propriedades básicas das potências. 
É importante frisar que a notação de potência com conhecemos hoje, foi concebida pelo matemático 
francês René Descartes (1596-1650) no século XVII. 
Revisando As Potências 
Existem alguns elementos de destaque na potenciação. Veja-os separadamente abaixo. 
 
 
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EQUAÇÕES EXPONENCIAIS, LOGARÍTMICAS E TRIGONOMÉTRICAS 
 
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Equação Exponencial 
Equação exponencial é toda aquela que apresenta incógnita no expoente. Vejam alguns exemplos. 
 
Vamos resolver algumas equações exponenciais cujos dois membros podem ser reduzidos à mesma 
base. 
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EQUAÇÕES EXPONENCIAIS, LOGARÍTMICAS E TRIGONOMÉTRICAS 
 
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Algumas equações exponenciais não poderão ser reduzidas a bases iguais, nesses casos, 
deveremos usar o método da substituição, exemplificado na sequência. 
 
Equações Logarítmicas 
Existem quatro tipos básicos de equações logarítmicas. Iremos resolver um exemplo de cada tipo. 
 
Tipo 1. Equação que envolve a igualdade entre dois logaritmos de mesma base. 
 
A solução é dada fazendo x = y > 0 
Exemplo: Resolva a equação 
 
 
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS, LOGARÍTMICAS E TRIGONOMÉTRICAS 
 
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Solução: temos que 
2x + 4 = 3x + 1 
2x – 3x = 1 – 4 
– x = – 3 
x = 3 
Portanto, S = { 3 } 
 
Tipo 2. Equação que envolve a igualdade entre um logaritmo e um número. 
 
A solução é dada por x = a
c
. 
 
Exemplo: Encontre a solução da equação 
 
Solução: Pela definição de logaritmo temos: 
 
5x + 2 = 3
3
 
5x + 2 = 27 
5x = 27 – 2 
5x = 25 
x = 5 
 
Portanto S = {5}. 
 
Tipo 3. Equação que é necessário fazer uma mudança de incógnita. 
Exemplo: Resolva a equação 
 
Solução: Vamos fazer a seguinte mudança de incógnita 
 
Substituindo na equação inicial, ficaremos com: 
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EQUAÇÕES EXPONENCIAIS, LOGARÍTMICAS E TRIGONOMÉTRICAS 
 
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Tipo 4. Equações que utilizam as propriedades do logaritmo ou de mudança de base. 
 
Exemplo: Resolva a equação 
 
 
Solução: usando as propriedades do logaritmo, podemos reescrever a equação acima da seguinte 
forma: 
 
Note que para isso utilizamos as seguintes propriedades: 
 
Vamos retornar à equação: 
 
Como ficamos com uma igualdade entre dois logaritmos, segue que: 
(2x +3)(x + 2) = x
2
 
ou 
2x
2
 + 4x + 3x + 6 = x
2
 
2x
2
 – x
2
 + 7x + 6 = 0 
x
2
 + 7x + 6 = 0 
 
 
x = -1 ou x = - 6 
 
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS, LOGARÍTMICAS E TRIGONOMÉTRICAS 
 
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Lembre-se que para o logaritmo existir o logaritmando e a base devem ser positivos. 
Com os valores encontrados para x, o logaritmandoficará negativo. Sendo assim, a equação não tem 
solução ou S = ø. 
Equações Trigonométricas 
Quando encontramos função trigonométrica da incógnita ou função trigonométrica de alguma 
função da incógnita em pelo menos um dos membros de uma equação, dizemos que esta equação 
é trigonométrica. 
Exemplos 
1) sen x + cos x = e sen 2x = cos
2
 x são equações trigonométricas. 
2) x + ( tg 30º) . x
2
 e x + sen 60º = não são equações trigonométricas. 
Dizemos que r é uma raiz ou solução da equação trigonométrica f(x) = g(x) se r for elemento do 
domínio de f e g e se f(r) = g(r) for verdadeira. 
Na equação sen x - sen =0, por exemplo, os números são algumas de suas raízes e 
os números não o são. 
O conjunto S de todas as raízes da equação é o seu conjunto solução ou conjunto verdade. Quase 
todas as equações trigonométricas, quando convenientemente tratadas e transformadas, podem ser 
reduzidas a pelo menos uma das três equações seguintes: 
sen x = sen a 
cos x = cos a 
tg x = tg a 
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 ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
 
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Análise Combinatória 
A análise combinatória ou combinatória são cálculos que permitem a formação de grupos 
relacionados à contagem. 
Faz análise das possibilidades e das combinações possíveis entre um conjunto de elementos. Por 
isso, é muito utilizada nos estudos sobre probabilidade e lógica. 
Probabilidade 
A Probabilidade é um conceito da matemática que permite analisar ou calcular as chances de obter 
determinado resultado diante de um experimento aleatório. São exemplos um lançamento de dados 
ou a possibilidade de ganhar na loteria. 
A partir disso, a probabilidade determina o resultado entre o número de eventos possíveis e número 
de eventos favoráveis, apresentada pela seguinte expressão: 
 
Donde 
P: probabilidade 
na: número de casos (eventos) favoráveis 
n: número de casos (eventos) possíveis 
Princípio Fundamental da Contagem 
O princípio fundamental da contagem postula que: 
“quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal modo que as 
possibilidades da primeira etapa é x e as possibilidades da segunda etapa é y, resulta no número 
total de possibilidades de o evento ocorrer, dado pelo produto (x) . (y)”. 
Em resumo, no princípio fundamental da contagem, multiplica-se o número de opções entre as 
escolhas que lhe são apresentadas. 
Como exemplo, podemos pensar na combinação de roupas de uma garota, sendo que ela possui 3 
tipos de calças, 4 tipos de blusas, 2 tipos de sapatos e 3 tipos de bolsas. 
Logo, para saber quais as diferentes possibilidades que a garota possui basta multiplicar o número de 
peças: 3 x 4 x 2 x 3 = 72. 
Portanto, a garota possui 72 possibilidades de configurações diferentes para o uso das peças de 
roupas e dos acessórios apresentados. 
Tipos de Combinatória 
A combinatória utiliza de importantes ferramentas, ou seja, há três tipos básicos de agrupamento dos 
elementos: arranjos, combinações e permutações. Todas utilizam o fatorial: 
Arranjos 
Nos arranjos, os agrupamentos dos elementos dependem da ordem e da natureza dos mesmos. 
Para obter o arranjo simples de n elementos tomados, p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte expressão: 
 ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
 
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Como exemplo de arranjo, podemos pensar nas eleições, de modo que 20 deputados concorrem a 2 
vagas no estado de São Paulo. 
Dessa forma, de quantas maneiras distintas a escolha poderá ser feita? Observe que nesse caso, a 
ordem é importante, visto que altera o resultado final. 
 
Logo, o arranjo pode ser feito de 380 maneiras diferentes. 
Combinações 
As combinações são subconjuntos em que a ordem dos elementos não é importante, entretanto, são 
caracterizadas pela natureza dos mesmos. 
Assim, para calcular uma combinação simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n), utiliza-se a 
seguinte expressão: 
 
A fim de exemplificar, podemos pensar na escolha de 3 membros para formar a comissão 
organizadora de um evento, dentre as 10 pessoas que se candidataram. 
Para tanto, Maria, João e José são os escolhidos. De quantas maneiras distintas esse grupo pode se 
combinar? 
Note que, ao contrário dos arranjos, nas combinações a ordem dos elementos não é relevante. Isso 
quer dizer que a combinação Maria, João e José é equivalente à João, José e Maria. 
 
Logo, há 120 maneiras distintas de combinar os 3 membros da comissão. 
 ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
 
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Permutações 
As permutações são agrupamentos ordenados, donde o número de elementos (n) do agrupamento é 
igual ao número de elementos disponíveis, expresso pela fórmula: 
 
Para exemplificar, pensemos de quantas maneiras diferentes poderiam surgir a sequência de 
resultados dos 5 números que saíram na loteria: 11, 12, 44, 52, 61. 
Sendo assim, os números que compõem o resultado final é uma sequência de 6 números, logo: 
 
Logo, o resultado final da loteria, podem ser permutados 720 vezes. 
 
VB - Calculando Combinações, Permutações e Fatorial de um número 
Arranjos 
Arranjos são agrupamentos nos quais a ordem dos elementos faz diferença. 
Por exemplo, os números de três algarismos formados pelos elementos {1,2 e 3} são: 
312, 321, 132, 123, 213, 231 
Esse agrupamento é um arranjo, pois a ordem dos elementos 1, 2 e 3 é diferente; È considerado 
arranjo simples, pois os elementos não se repetem. 
Para que tenhamos arranjos simples é preciso ter um conjunto de elementos distintos com uma 
quantidade qualquer de elementos, sendo que os arranjos simples formados irão possuir n 
elementos, e essa quantidade será igual ou menor que a quantidade de elementos do conjunto. 
Permutação 
O conceito de permutação expressa a idéia de que objetos distintos podem ser arranjados em 
inúmeras ordens distintas. 
Assim seja um conjunto A com n elementos, chamamos de permutação a todo arranjo com n 
elementos retirados de A. 
A cada um dos agrupamentos que podemos formar com certo número de elementos distintos, tal que 
a diferença entre um agrupamento e outro se dê apenas pela mudança de posição entre seus 
elementos, damos o nome de permutação simples. 
Exemplos: 
1) Seja A um conjunto com os elementos {a, b, c}. 
As permutações possíveis de A são: {(a,b,c);(a,c,b);(b,a,c);(b,c,a);(c,a,b);(c,b,a)}. Total de 6 
permutações. 
2) Quantos anagramas possui a palavra OBA ? 
As permutações da palavra são: {(OBA;(OAB);(BAO);(BOA);(ABO);(AOB)}. Total de 6 permutações. 
 ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
 
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Assim para obter o número de permutações com m elementos distintos de um conjunto, basta 
escolher os m elementos em uma determinada ordem. 
O número de permutações de m elementos será expresso por : P(m) 
A expressão para seu cálculo será dada por: 
P(m) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1)...3.2.1 
Podemos também escrever : A(m,m) = P(m) 
O Arranjo de m elementos dos quais m elementos participam é igual a Permutação destes 
elementos. 
Uma forma simplificada de expressar a permutação de m elementos é através do fatorial: P(m) = m! 
Este símbolo de exclamaçãoposto junto ao número m é lido como o fatorial de m, onde m é um 
número natural. 
O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de uma forma recursiva através da 
função P=P(m) ou com o uso do sinal de exclamação: 
(m+1)! = (m+1).m! Ex: 3! = 3.2.1! => que é a mesma coisa que: 3.2.1 = 6 
Nota : Lembrando que : 0! = 1 (o fatorial de zero é igual a 1) e que 1! = 1 ( o fatorial de 1 é 
igual a 1) 
Combinação 
Uma combinação sem repetição, em análise combinatória, indica quantas variedades de 
subconjuntos diferentes com n elementos existem em um conjunto U , com r elementos. Só é usada 
quando não há repetição de membros dentro do conjunto. 
Na combinação simples, a ordem dos elementos no agrupamento não interfere. São arranjos que se 
diferenciam somente pela natureza de seus elementos. 
Portanto, se temos um conjunto A formado por n elementos tomados p a p, qualquer subconjunto de 
A formado por p elementos será uma combinação, dada pela seguinte expressão: 
 
Fatorial 
Na matemática, o fatorial (AO 1945: factorial) de um número natural n, representado por n!, é o 
produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n. 
A notação n! foi introduzida por Christian Kramp em 1808.(Wikipédia) 
 ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
 
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Considerando n um número natural maior que 1 (um), podemos definir como fatorial desse número 
n (n!) o número: 
n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3) * ...* 3 * 2 * 1 
Lê-se n! como n fatorial ou fatorial de n. 
Veja alguns exemplos de cálculos de fatorial de um número : 
5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 
8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40320 
6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720 
10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3.628.800 
Com isso creio que já deu para recordar o básico sobre Arranjo, Permutação, Combinação e Fatorial. 
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EVENTOS INDEOENDENTES 
 
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Eventos Independentes 
A probabilidade condicional é encontrada sobre o evento de outro evento e eventos independentes 
são eventos separados de um único espaço amostral. A probabilidade desse tipo de evento será: 
Dado um espaço amostral qualquer, se dele tirarmos dois eventos e se eles forem independentes, 
então a sua probabilidade será calculada separadamente. 
P(B|A) = P(B) e P(B|A) = P(A) 
Exemplo: 
Uma moeda é lançada duas vezes. Calcule a probabilidade de obtermos cara no segundo 
lançamento. 
Indicamos por C e K as faces cara e coroa, respectivamente, temos que o espaço amostral E é: 
E = {(C,C) , (C, K) , (K,K) , (K,C) }, n(E) = 4. 
O evento que queremos é: 
A = {(C,C) , (K,C) }, n(A) = 2 
Logo: P(A) = n(A) = 2 = 1 
 n(E) 4 2 
Agora, calcule a probabilidade de obtermos cara no segundo lançamento sabendo que obtivemos 
cara no primeiro lançamento. 
Temos dois eventos a considerar: cara no primeiro lançamento, B = {(C,C) , (C,K)}, e cara no 
segundo lançamento, A = {(C,C) , (K,C)}. Como sabemos que ocorreu o evento B, temos que o 
evento A só pode ter ocorrido na intersecção de A e B: 
P(A|B) = n(A ∩ B) = 1 
 n(B) 2 
Observando as respostas das duas probabilidades, temos: 
P(A|B) = P(A) = 1 
 2 
Por isso, dizemos que A e B são eventos independentes. 
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PROGRESSÃO ARTMÉTICA E GEOMÉTRICA 
 
 
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Progressões Geométricas 
Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma sucessão de números 
reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q, 
chamada razão. 
Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo 
entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,...), q = 2. 
Cálculos do termo geral 
Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do primeiro, 
da seguinte maneira: 
a1 a2 a3 ... a20 ... an ... 
a1 a1xq a1xq2 ... a1xq19 a1xqn-1 ... 
Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado enésimo termo, 
para qualquer progressão geométrica. 
an = a1 x qn-1 
 Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, então: 
an = 2 x (1/2)n-1 
 Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na fórmula, obtemos: 
a5 = 2 x (1/2)5-1 = 2 x (1/2)4 = 1/8 
A semelhança entre as progressões aritméticas e as geométricas é aparentemente grande. Porém, 
encontramos a primeira diferença substancial no momento de sua definição. Enquanto as 
progressões aritméticas formam-se somando-se uma mesma quantidade de forma repetida, nas 
progressões geométricas os termos são gerados pela multiplicação, também repetida, por um mesmo 
número. As diferenças não param aí. 
Observe que, quando uma progressão aritmética tem a razão positiva, isto é, r > 0, cada termo seu é 
maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progressão crescente. Ao contrário, se tivermos uma 
progressão aritmética com razão negativa, r < 0, seu comportamento será decrescente. Observe, 
também, a rapidez com que a progressão cresce ou diminui. Isto é conseqüência direta do valor 
absoluto da razão, |r|. Assim, quanto maior for r, em valor absoluto, maior será a velocidade de 
crescimentoe vice-versa. 
Soma dos n primeiros termos de uma PG 
Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn, vamos 
considerar o que segue: 
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an 
Multiplicando ambos os membros pela razão q vem: 
Sn.q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q 
Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como: 
Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q 
Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem: 
Sn . q = Sn - a1 + an . q 
Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma: 
PROGRESSÃO ARTMÉTICA E GEOMÉTRICA 
 
 
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Se substituirmos an = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja: 
 
Exemplo: 
Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...) 
Temos: 
 
Observe que neste caso a1 = 1. 
5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada 
Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos 
considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos: 
 
Exemplo: 
Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100 
O primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem: 
 
Dessa equação encontramos como resposta x = 50. 
Progressão Aritmética 
Chamamos de progressão aritmética, ou simplesmente de PA, a toda seqüência em que cada 
número, somado a um número fixo, resulta no próximo número da seqüência. O número fixo é 
chamado de razão da progressão e os números da seqüência são chamados de termos da 
progressão. 
Observe os exemplos: 
50, 60, 70, 80 é uma PA de 4 termos, com razão 10. 
3, 5, 7, 9, 11, 13 é uma PA de 6 termos, com razão 2. 
-8, -5, -2, 1, 4 é uma PA de 5 termos, com razão 3. 
156, 152, 148 é uma PA de 3 termos, com razão -4. 
100, 80, 60, 40 é uma PA de 4 termos, com razão -20. 
6, 6, 6, 6,..... é uma PA de infinitos termos, com razão 0. 
Numa PA de 7 termos, o primeiro deles é 6, o segundo é 10. Escreva todos os termos dessa PA. 
6, 10, 14, 18, 22, 26, 30 
PROGRESSÃO ARTMÉTICA E GEOMÉTRICA 
 
 
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Numa PA de 5 termos, o último deles é 201 e o penúltimo é 187. Escreva todos os termos dessa PA. 
145, 159, 173, 187, 201 
Numa PA de 8 termos, o 3º termo é 26 e a razão é -3. Escreva todos os termos dessa PA. 
32, 29, 26, 23, 20, 17, 14, 11 
Numa PA, o 1º termo é 45 e o 2º termo é 80. Qual a razão dessa PA. 
Numa PA, o 5º termo é -7 e o 6º termo é 15. Qual a razão dessa PA. 
Símbolos Usados Nas Progressões 
Em qualquer seqüência, costumamos indicar o primeiro termo por a1, o segundo termo por a2, o 
terceiro termo por a3, e assim por diante. Generalizando, o termo da seqüência que está na posição n 
é indicado por an. 
Veja alguns exemplos 
Na PA 2, 12, 22, 32 temos: a1 = 2, a2 = 12, a3 = 22 e a4 = 32 
Quando escrevemos que, numa seqüência, tem-se a5 = 7, por exemplo, observe que o índice 5 indica 
a posição que o termo ocupa na seqüência. No caso, trata-se do 5º termo da seqüência. Já o símbolo 
a5 indica o valor do termo que está na 5º posição. No caso o valor do quinto termo é 7. 
A razão de uma PA é indicada por r, pois ela representa a diferença entre qualquer termo da PA e o 
termo anterior. 
Observe os exemplos: 
Na PA 1856, 1863, 1870, 1877, 1884 a razão é r = 7, pois: 
a2 – a1 = 1863 - 1856 = 7 
a3 – a2 = 1870 – 1863 = 7 
a4 – a3 = 1877 – 1870 = 7 
a5 – a4 = 1884 – 1877 = 7 
Na PA 20, 15, 10, 5 a razão é r = -5, pois: 
a2 – a1 = 15 – 20 = -5 
a3 – a2 = 10 – 15 = -5 
a4 – a3 = 5 – 10 = -5 
Classificação Das Progressões Aritméticas 
Uma PA é crescente quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede. 
Para que isso aconteça é necessário e suficiente que a sua razão seja positiva. 
Exemplo: 
(7, 11, 15, 19,...) é uma PA crescente. Note que sua razão é positiva, r = 4 
Uma PA é decrescente quando cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o 
antecede. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que a sua razão seja negativa. 
Exemplo: 
PROGRESSÃO ARTMÉTICA E GEOMÉTRICA 
 
 
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(50, 40, 30, 20,...) é uma PA decrescente. Note que sua razão é negativa, r = -10 
Uma PA é constante quando todos os seus termos são iguais. Para que isso aconteça é necessário e 
suficiente que sua razão seja igual a zero. 
Exemplo: 
 
Determine x para que a seqüência (3+ x, 5x, 2x + 11) seja PA. 
5x – ( 3 + x ) = 2x + 11 – 5x 
5x – 3 – x = 2x +11 – 5x 
5x – x – 2x + 5x = 11 + 3 
7x = 14 
x = 14/7 = 2 
Fórmula do termo geral da PA 
an = a1 + (n – 1).r 
Determinar o 61º termo da PA (9, 13, 17, 21,...) 
r = 4 a1 = 9 n = 61 a61 = ? 
a61 = 9 + (61 – 1).4 
a61 = 9 + 60.4 = 9 + 240 = 249 
Determinar a razão da PA (a1, a2, a3,...) em que a1 = 2 e a8 = 3 
an = a1 + ( n – 1 ).r 
a8 = a1 + (8 – 1 ).r 
a8 = a1 + 7r 
3 = 2 + 7r 
7r = 3 – 2 
7r = 1 
 r = 1/7 
Determinar o número de termos da PA (4,7,10,...,136) 
a1 = 4 an = 136 r = 7 – 4 = 3 
an = a1 + (n – 1).r 
136 = 4 + (n – 1).3 
136 = 4 + 3n – 3 
3n = 136 – 4 + 3 
3n = 135 
PROGRESSÃO ARTMÉTICA E GEOMÉTRICA 
 
 
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 n = 135/3 = 45 termos 
Determinar a razão da PA tal que: 
a1 + a4 = 12 e a3 + a5 = 18 
a4 = a1 + (4 – 1).r a3 = a1 + (3 – 1).r a5 = a1 + 4r 
a4 = a1 + 3r a3 = a1 + 2r 
a1 + a1 + 3r = 12 
a1 + 2r + a1 + 4r = 18 
2a1 + 3r = 12 
2a1 + 6r = 18 
3r = 6 
r = 6/3 = 2 
Interpolar (inserir) cinco meios aritméticos entre 1 e 25, nessa ordem . 
Interpolar (ou inserir) cinco meios aritméticos entre 1 e 25, nessa ordem, significa determinar a PA de 
primeiro termo igual a 1 e último termo igual a 25. 
(1,_,_,_,_,_,25) 
a7 = a1 + 6r 
25 = 1 + 6r 
6r = 24 
r = 24/6 
r = 4 
(1, 5, 9, 13, 17, 21, 25) 
Representação genérica de uma PA 
PA de três termos: 
(x, x + r, x + 2r) 
ou 
(x – r, x , x + r), em que a razão é r 
PA de quatro termos: 
(x, x + r, x + 2r, x + 3r) 
ou 
(x – 3r, x – r, x + r, x + 3r), em que a razão é 2r 
Cálculo Da Soma Dos N Primeiros Termos De Uma PA 
Em uma pequena escola do principado de Braunschweig, Alemanha, em 1785, o professor Buttner 
propôs a seus alunos que somassem os números naturais de 1 a 100. Apenas três minutos depois, 
um gurizote de oito anos de idade aproximou-se da mesa do senhor Buttner e, mostrando-lhe sua 
PROGRESSÃO ARTMÉTICA E GEOMÉTRICA 
 
 
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prancheta, proclamou: “ taí “. O professor, assombrado, constatou que o resultado estava correto. 
Aquele gurizote viria a ser um dos maiores matemáticos de todos os tempos: Karl Friedrich Gauss 
(1777-1855). O cálculo efetuado por ele foi simples e elegante: o menino percebeu que a soma do 
primeiro número, 1, com o último, 100, é igual a 101; a soma do segundo número, 2 , com o 
penúltimo, 99 , é igual a 101; também a soma do terceiro número, 3 , com o antepenúltimo, 98 , é 
igual a 101; e assim por diante, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual a soma 
dos extremos. 
1 2 3 4..................................97 98 99 100 
4 + 97 = 101 
3 + 98 = 101 
2 + 99 = 101 
1 + 100 = 101 
Como são possíveis cinqüenta somas iguais a 101, Gauss concluiu que: 
1 + 2 + 3 + 4 + .......................... + 97 + 98 + 99 + 100 = 50.101 = 5050 
Esse raciocínio pode ser estendido para o cálculo da soma dos n primeiros termos de uma 
progressão aritmética qualquer: 
 
Calcular a soma dos trinta primeiros termos da PA (4, 9, 14, 19,...). 
a30 = a1 + (30 – 1).r 
a30 = a1 + 29r 
a30 = 4 + 29.5 = 149 
 
Calcular a soma dos n primeiros termos da PA (2, 10, 18, 26,...). 
an = 2 + (n – 1).8 
an = 2 + 8n – 8 
an = 8n – 6 
 
Determine a soma dos termos da PA (6, 10, 14,..., 134). 
PROGRESSÃO ARTMÉTICA E GEOMÉTRICA 
 
 
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Calcule a soma dos múltiplos de 7 compreendidos entre 100 e 300. 
Múltiplos de 7 (0, 7, 14, 21, 28,...). 
O primeiro múltiplode 7 compreendido entre 100 e 300 é o 105. 
O último múltiplo de 7 compreendido entre 100 e 300 é o 294. 
294 = 105 + (n – 1).7 
294 = 105 + 7n – 7 
7n = 294 – 105 + 7 
7n = 196 
 n = 196/7 = 28 
 
Progressão Geométrica 
Denominamos de progressão geométrica, ou simplesmente PG, a toda seqüência de números não 
nulos em que cada um deles, multiplicado por um número fixo, resulta no próximo número da 
seqüência. Esse número fixo é chamado de razão da progressão e os números da seqüência 
recebem o nome de termos da progressão. 
Observe estes exemplos: 
8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 é uma PG de 8 termos, com razão 2. 
5, 15, 45,135 é uma PG de 4 termos, com razão 3. 
3000, 300, 30, 3 é uma PG de 4 termos, com razão 1/10 
Numa PG de 5 termos o 1º termo é 2 e o 2º termo é 12. Escreva os termos dessa PG. 
2, 12, 72, 432, 2592 
PROGRESSÃO ARTMÉTICA E GEOMÉTRICA 
 
 
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Numa PG de 4 termos, o último termo é 500 e o penúltimo é 100. Escreva os termos dessa PG. 
4,20,100,500 
Numa PG de 6 termos, o 1º termo é 3 e a razão é 10. Qual o 6º termo dessa PG. 
3,30,300,3000,30000,300000 
a6 = 300000 
Numa PG de 5 termos, o 3º termo é -810 e a razão é -3. Escreva os termos dessa PG. 
-90,270,-810,2430,-7290 
Numa PG, o 9º termo é 180 e o 10º termo é 30. Qual a razão dessa PG. 
q = 30/180 = 3/18 = 1/6 
A razão é 1/6 
 
Fórmula do termo geral de uma progressão geométrica. 
 
Determinar o 15º termo da progressão geométrica (256, 128, 64,...). 
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PROGRESSÃO ARTMÉTICA E GEOMÉTRICA 
 
 
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Determinar a razão da PG tal que: 
 
Determinar o número de termos da PG (128, 64, 32,......, 1/256). 
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PROGRESSÃO ARTMÉTICA E GEOMÉTRICA 
 
 
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Determinar a razão da PG tal que: 
 
Representação genérica de uma PG: 
a) PG de três termos, (x, xq, xq²) em que a razão é q; 
(x/q, x, xq), com razão q, se q ≠ 0. 
b) PG de quatro termos, (x, xq, xq², xq³), com razão q; 
(x/q³, x/q, xq, xq³), com razão q², se q ≠ 0. 
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PROGRESSÃO ARTMÉTICA E GEOMÉTRICA 
 
 
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Determinar a PG de três termos, sabendo que o produto desses termos é 8 e que a soma do segundo 
com o terceiro termo é 10. 
 
Soma dos n primeiros termos de uma PG: 
Sendo Sn a soma dos n primeiros termos da PG (a1,a2, a3,...an,...) de razão q, temos: 
Se q = 1, então Sn = n.a1 
 
Calcular a soma dos dez primeiros termos da PG (3, 6, 12,....). 
 
Exercícios resolvidos de PA e PG 
Dada a PA (a + b,5a – b,...) determine seu 4º termo. 
r = 5a – b – (a + b) = 5a – b – a – b = 4a – 2b 
 
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PROGRESSÃO ARTMÉTICA E GEOMÉTRICA 
 
 
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A cada balanço uma firma tem apresentado um aumento de 10% em seu capital. A razão de 
progressão formada pelos capitais nos balanços é: 
Solução:[ 
Sendo C o capital inicial, temos: 
C,1,1C, (1,1)²C,... 
Logo a razão q é dada por: 
q = 1,1C/C = 1,1 = 11/10 
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MATRIZES 
 
 
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Matrizes e Determinantes 
Para representar matrizes, utilizamos a disposição de uma tabela. Chamamos de matriz toda a tabela 
m x n ( lê-se “m por n”) em que números estão dispostos em linhas (m) e colunas (n). Cada elemento 
da matriz é indicado por aii (i indica a posição do elemento referente à linha, e j, a posição em relação 
à coluna). Acompanhe a seguir a representação de uma matriz m x n. 
 
Nessa matriz, temos que: 
aij → linha (i) e coluna (j) 
a1,1 → linha 1 e coluna 1 
a1,2 → linha 1 e coluna 2 
a1,3 → linha 1 e coluna 3 
a1,n → linha 1 e coluna n 
 
a2,1 → linha 2 e coluna 1 
a2,2 → linha 2 e coluna 2 
a2,3 → linha 2 e coluna 3 
a2,n → linha 2 e coluna n 
am,1 → linha m e coluna 1 
am,2 → linha m e coluna 2 
am,3 → linha m e coluna 3 
am,n → linha m e coluna n 
Diagonais da Matriz 
Toda matriz possui diagonal principal e diagonal secundária. A diagonal principal é formada pelos 
elementos em que i = j. A diagonal secundária é composta por elementos em que a soma de i com j 
sempre resulta em uma mesma solução. Veja como identificamos as diagonais de uma matriz: 
 
MATRIZES 
 
 
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Diagonal Principal 
a1,1 → linha 1 e coluna 1 
a2,2 → linha 2 e coluna 2 
a3,3 → linha 3 e coluna 3 
Diagonal Secundária 
a1,3 → linha 1 + coluna 3 = 4 
a2,2 → linha 2 + coluna 2 = 4 
a3,1 → linha 3 + coluna 1 = 4 
Matrizes Especiais 
Existem algumas matrizes que são consideradas especiais pela forma como são organizadas. Entre 
essas matrizes, podemos destacar: 
• Matriz quadrada: é toda a matriz em que o número de linhas é igual ao número de colunas. 
Exemplos: 
 
Observe que a matriz acima apresenta três linhas e três colunas. Como o número de linhas é igual ao 
de colunas, a matriz é quadrada. 
• Matriz identidade: todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1, e os demais números 
são iguais a zero. 
 
• Matriz nula: é toda matriz em que seus elementos são iguais a zero. 
 
MATRIZES 
 
 
3 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR• Matriz linha: é formada por uma única linha. 
 
• Matriz coluna: é formada por uma única coluna. 
 
Operações com matrizes 
As operações com matrizes são: adição, subtração e multiplicação. 
• Adição: Sejam A e B duas matrizes em que a sua soma resulta em uma matriz C. 
A + B = C 
Cada um dos elementos da matriz C é o resultado da soma de um elemento de A com um elemento 
de B. Para efetuarmos a adição entre duas matrizes, elas devem possuir o mesmo número de linhas 
e colunas. Acompanhe o exemplo abaixo: 
A + B = C 
A 2 x 3 + B2 x 3 = C2 x 3 
 
Observe que as matrizes A e B possuem a mesma quantidade de linhas (m = 2) e a mesma 
quantidade de colunas (n = 3). A matriz C é resultante da soma de A + B e também deve possuir 
duas linhas e três colunas. 
 
• Subtração: A partir de duas matrizes A e B, definimos a sua diferença como C: 
MATRIZES 
 
 
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A – B =C 
A + (- B) = C 
A matriz diferença pode ser definida como sendo a soma de A com o oposto de B, ou seja, - B. Para 
realizarmos a subtração entre duas matrizes, elas devem possuir o mesmo número de linhas e 
colunas. Acompanhe o exemplo abaixo e verifique como é feita a subtração entre duas matrizes: 
 
• Multiplicação: Dadas as matrizes Am x n e Bn x p, para que seja possível realizar o seu produto, o 
número de colunas da matriz A deve ser igual ao número de linhas da matriz B. Esse processo 
resulta em uma matriz Cm x p. Observe o exemplo abaixo e veja como isso é feito: 
 
Descrição dos elementos da matriz: 
a1,1 → Produto dos elementos da linha 1 da matriz A com os elementos da coluna 1 da matriz B. 
a1,2 → Produto dos elementos da linha 1 da matriz A com os elementos da coluna 2 da matriz B. 
a1,3 → Produto dos elementos da linha 1 da matriz A com os elementos da coluna 3 da matriz B. 
a2,1 → Produto dos elementos da linha 2 da matriz A com os elementos da coluna 1 da matriz B. 
a2,2 → Produto dos elementos da linha 2 da matriz A com os elementos da coluna 2 da matriz B. 
a2,3 → Produto dos elementos da linha 2 da matriz A com os elementos da coluna 3 da matriz B. 
Determinante 
MATRIZES 
 
 
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Calculamos o determinante de matrizes quadradas, isto é, aquelas em que o número de linhas é igual 
ao número de colunas. Observe: 
 
Definimos como determinante da matriz A (det A) o número que é obtido pela operação dos 
elementos que compõem A. 
• Caso A possua uma linha e uma coluna (A1 X 1), então o determinante será representado pelo único 
elemento que compõe A. Exemplo: 
A = (10) 
det A = 10 
• Se A possuir duas linhas e colunas (A2 x 2), então o determinante (det A2 x 2) será dado pela diferença 
entre os produtos da diagonal principal da matriz A pelo produto dos elementos que compõem a sua 
diagonal secundária. Veja abaixo como é feito o cálculo do determinante de uma matriz 2 por 2 (A 2 X 
2). 
 
Para toda matriz quadrada 2 por 2, o cálculo do determinante é realizado da forma como está 
demonstrado acima. Caso a matriz quadrada seja do tipo M 3 X 3, M 4 X 4, M 5 X 5 e assim por diante, 
calculamos o seu determinante executando os passos descritos abaixo: 
1. Faça o espelhamento da primeira e da segunda coluna da matriz, ou seja, repita a primeira e a 
segunda coluna; 
2. Realize os produtos de cada diagonal principal e secundária separadamente; 
3. Efetue a soma entre os termos obtidos dos produtos de cada diagonal; 
4. Realize a diferença entre os resultados obtidos referente à soma dos termos das diagonais 
principais e das secundárias. No fim desses cálculos, teremos o determinante da matriz. 
MATRIZES 
 
 
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det M3 X 3 = a 1,1 . a 2,2 . a 3,3 + a 1,2 + a 1,2 . a 2,3 . a 3,1 + a 1,3 . a 2,1 . a 3,2 - ( a 1,3 . a 2,2 . a 3,1 + a 1,1 . a 2,3 . 
a 3,2 + a 1,2 . a 2,1 . a 3,3). 
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DETERMINANTES 
 
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Determinantes 
O determinante de uma Matriz é dado pelo valor numérico resultante da subtração entre o somatório 
do produto dos termos da diagonal principal e do somatório do produto dos termos da diagonal 
secundária. Nas matrizes quadradas de ordem 3x3 esses cálculos podem ser efetuados repetindo-se 
a 1ª e a 2ª coluna, aplicando em seguida a regra de Sarrus. Lembrando que uma matriz é quadrada 
quando o número de linhas é igual ao número de colunas. 
Observe o cálculo de determinantes nas seguintes matizes quadradas de ordem 2x2 e 3x3: 
 
Determinante de uma matriz A de ordem 2 x 2. 
 
Diagonal principal: 2 * 6 = 12 
Diagonal secundária: 9 * (–1) = – 9 
DetA = 12 – (–9) 
DetA = 12 + 9 
DetA = 21 
 
Determinante de uma matriz B de ordem 3 x 3. 
Regra de Sarrus 
 
Diagonal principal 
2 * 6 * 3 = 36 
5 * 7 * (–1) = – 35 
6 * 1 * 2 = 12 
 
Soma 
36 + (–35) + 12 
36 – 35 + 12 
48 – 35 
13 
Diagonal secundária 
6 * 6 * (–1) = –36 
2 * 7 * 2 = 28 
5 * 1 * 3 = 15 
 
Soma 
–36 + 28 + 15 
–36 + 43 
7 
DetB = 13 – 7 
DetB = 6 
 
Portanto, nas matrizes de ordem 2 x 2, calculamos o determinante de forma prática, multiplicando os 
elementos de cada diagonal e realizando a subtração do produto da diagonal principal do produto da 
diagonal secundária. Nas matrizes de ordem 3 x 3 utilizamos a regra de Sarrus descrita 
anteriormente. 
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DETERMINANTES 
 
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Demonstração Geral Da Regra De Sarrus 
 
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SISTEMAS LINEARES 
 
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Sistemas Lineares 
Sistemas Lineares são conjuntos de equações associadas entre elas que apresentam a forma a 
seguir: 
 
A chave do lado esquerdo é o símbolo usado para sinalizar que as equações fazem parte de um 
sistema. O resultado do sistema é dado pelo resultado de cada equação. 
Os coeficientes amxm, am2xm2, am3xm3, ... , an, an2, an3 das incógnitas x1, xm2,xm3, ... , xn, xn2, 
xn3 são números reais. 
Ao mesmo tempo, b também é um número real que é chamado de termo independente. 
Sistemas lineares homogêneos são aqueles cujo termo independente é igual a 0 (zero): a1x1 + a2x2 
= 0. 
Portanto, aqueles que apresentam termo independente diferente de 0 (zero) indica que o sistema não 
é homogêneo: a1x1 + a2x2 = 3. 
Classificação 
Os sistemas lineares podem ser classificados conforme o número de soluções possíveis. Lembrando 
que a solução das equações é encontrado pela substituição das variáveis por valores. 
Sistema Possível e Determinado (SPD): há apenas uma solução possível, o que acontece quando o 
determinante é diferente de zero (D ≠ 0). 
Sistema Possível e Indeterminado (SPI): as soluções possíveis são infinitas, o que acontece quando 
o determinante é igual a zero (D = 0). 
Sistema Impossível (SI): não é possível apresentar qualquer tipo de solução, o que acontece quando 
o determinante principal é igual a zero (D = 0) e um ou mais determinantes secundários são 
diferentes de zero (D ≠ 0). 
As matrizes associadas a um sistema linear podem ser completas ou incompletas. São completas as 
matrizes que consideram os termos independentes das equações. 
Os sistemas lineares são classificados como normais quando o número de coeficientes é o mesmo 
que o número de incógnitas. Além disso, quando o determinante da matriz incompleta desse sistema 
não é igual a zero. 
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TRIGONOMETRIA 
 
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Trigonometria 
A trigonometria é a parte da matemática que estuda as relações existentes entre os lados e os 
ângulos dos triângulos. 
Ela é utilizada também em outras áreas de estudo como física, química, biologia, geografia, 
astronomia, medicina, engenharia, dentre outras. 
Funções Trigonométricas 
As funções trigonométricas são as funções relacionadas aos triângulos retângulos, que possuem um 
ângulo de 90°. São elas: seno, cosseno e tangente. 
 
As funções trigonométricas estão baseadas nas razões existentes entre dois lados do triângulo em 
função de um ângulo. 
Ela são formadas por dois catetos (oposto e adjacente) e a hipotenusa: 
 
Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa. 
 
Lê-se cateto adjacente sobre a hipotenusa. 
 
 
Lê-se cateto oposto sobre cateto adjacente. 
Círculo Trigonométrico 
O círculo trigonométrico ou círculo unitário é usado no estudo das funções trigonométricas: seno, 
cosseno e tangente. 
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TRIGONOMETRIA 
 
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Teoria Euclidiana 
Alguns conceitos importantes da geometria euclidiana nos estudos da trigonometria são: 
Lei Dos Senos 
A Lei dos Senos estabelece que num determinado triângulo, a razão entre o valor de um lado e o 
seno de seu ângulo oposto, será sempre constante. 
Dessa forma, para um triângulo ABC de lados a, b, c, a Lei dos Senos é representada pela seguinte 
fórmula: 
 
Lei Dos Cossenos 
A Lei dos Cossenos estabelece que em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados, corresponde 
à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo 
cosseno do ângulo entre eles. 
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TRIGONOMETRIA 
 
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Dessa maneira, sua fórmula é representada da seguinte maneira: 
 
Lei Das Tangentes 
A Lei das Tangentes estabelece a relação entre as tangentes de dois ângulos de um triângulo e os 
comprimentos de seus lados opostos. 
Dessa forma, para um triângulo ABC, de lados a, b, c, e ângulos α, β e γ, opostos a estes três lados, 
têm-se a expressão: 
 
 
Teorema De Pitágoras 
O Teorema de Pitágoras, criado pelo filósofo e matemático grego, Pitágoras de Samos, (570 a.C. - 
495 a.C.), é muito utilizado nos estudos trigonométricos. 
Ele prova que no triângulo retângulo, composto por um ângulo interno de 90° (ângulo reto), a soma 
dos quadrados de seus catetos corresponde ao quadrado de sua hipotenusa: 
a2 = c2+ b2 
Sendo, 
a: hipotenusa 
c e b: catetos 
História Da Trigonometria 
A história da trigonometria surge na medida em que os astrônomos precisavam calcular o tempo, 
sendo também muito importante nas pesquisas sobre navegação. 
Entretanto, Hiparco de Niceia, (190 a.C.-120 a.C.), astrônomo grego-otomano, foi quem introduziu a 
Trigonometria nos estudos científicos. Por isso, ele é considerado o fundador ou o Pai da 
Trigonometria. 
TRIGONOMETRIA 
 
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Curiosidade 
O termo "trigonometria", do grego, é a união das palavras trigono (triângulo) e metrein (medidas). 
Funções Trigonométricas 
As funções trigonométricas, também chamadas de funções circulares, estão relacionadas com as 
demais voltas no ciclo trigonométrico. 
As principais funções trigonométricas são: 
Função Seno 
Função Cosseno 
Função Tangente 
No círculo trigonométrico temos que cada número real está associado a um ponto da circunferência. 
 
Funções Periódicas 
As funções periódicas são funções que possuem um comportamento periódico. Ou seja, que ocorrem 
em determinados intervalos de tempo. 
O período corresponde ao menor intervalo de tempo em que acontece a repetição de determinado 
fenômeno. 
Uma função f: A → B é periódica se existir um número real positivo p tal que 
f(x) = f (x+p), ∀ x ∈ A 
O menor valor positivo de p é chamado de período de f. 
Note que as funções trigonométricas são exemplos de funções periódicas visto que apresentam 
certos fenômenos periódicos. 
TRIGONOMETRIA 
 
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Função Seno 
A função seno é uma função periódica e seu período é 2π. Ela é expressa por: 
função f(x) = sen x 
No círculo trigonométrico, o sinalda função seno é positivo quando x pertence ao primeiro e segundo 
quadrantes. Já no terceiro e quarto quadrantes, o sinal é negativo. 
 
Além disso, no primeiro e quarto quadrantes a função f é crescente. Já no segundo e terceiro 
quadrantes a função f é decrescente. 
O domínio e o contradomínio da função seno são iguais a R. Ou seja, ela está definida para todos os 
valores reais: Dom(sen)=R. 
Já o conjunto da imagem da função seno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: -1 < sen x < 1. 
Em relação à simetria, a função seno é uma função ímpar: sen(-x) = -sen(x). 
O gráfico da função seno f(x) = sen x é uma curva chamada de senoide: 
 
Função Cosseno 
A função cosseno é uma função periódica e seu período é 2π. Ela é expressa por: 
função f(x) = cos x 
TRIGONOMETRIA 
 
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No círculo trigonométrico, o sinal da função cosseno é positivo quando x pertence ao primeiro e 
quarto quadrantes. Já no segundo e terceiro quadrantes, o sinal é negativo. 
 
Além disso, no primeiro e segundo quadrantes a função f é decrescente. Já no terceiro e quarto 
quadrantes a função f é crescente. 
O domínio e o contradomínio da função cosseno são iguais a R. Ou seja, ela está definida para todos 
os valores reais: Dom(cos)=R. 
Já o conjunto da imagem da função cosseno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: -1 < cos x < 1. 
Em relação à simetria, a função cosseno é uma função par: cos(-x) = cos(x). 
O gráfico da função cosseno f(x) = cos x é uma curva chamada de cossenoide: 
 
Função Tangente 
A função tangente é uma função periódica e seu período é π. Ela é expressa por: 
função f(x) = tg x 
No círculo trigonométrico, o sinal da função tangente é positivo quando x pertence ao primeiro e 
terceiro quadrantes. Já no segundo e quarto quadrantes, o sinal é negativo. 
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TRIGONOMETRIA 
 
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Além disso, a função f definida por f(x) = tg x é sempre crescente em todos os quadrantes do círculo 
trigonométrico. 
O domínio da função tangente é: Dom(tan)={x ∈ R│x ≠ de π/2 + kπ; K ∈ Z}. Assim, não definimos tg 
x, se x = π/2 + kπ. 
Já o conjunto da imagem da função tangente corresponde a R, ou seja, o conjunto dos números 
reais. 
Em relação à simetria, a função tangente é uma função ímpar: tg(-x) = -tg(-x). 
O gráfico da função tangente f(x) = tg x é uma curva chamada de tangentoide: 
 
Razões Trigonométricas 
As razões (ou relações) trigonométricas estão relacionadas com os ângulos de um triângulo 
retângulo. As principais são: o seno, o cosseno e a tangente. 
As relações trigonométricas são resultado da divisão entre as medidas de dois lados de um triângulo 
retângulo, e por isso são chamadas de razões. 
Razões Trigonométricas No Triângulo Retângulo 
O triângulo retângulo recebe esse nome pois apresenta um ângulo chamado de reto, que possui o 
valor de 90°. 
 
TRIGONOMETRIA 
 
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Os outros ângulos do triângulo retângulo são menores que 90°, chamados de ângulos agudos. A 
soma dos ângulos internos é de 180°. 
 
Observe que os ângulos agudos de um triângulo retângulo são chamados de complementares. Ou 
seja, se um deles tem medida x, o outro terá a medida (90°- x). 
Lados Do Triângulo Retângulo: Hipotenusa E Catetos 
Antes de mais nada, temos que saber que no triângulo retângulo, a hipotenusa é o lado oposto ao 
ângulo reto e o maior lado do triângulo. Já os catetos são os lados adjacentes e que formam o ângulo 
de 90°. 
Note que dependendo dos lados de referência ao ângulo, temos o cateto oposto e o cateto adjacente. 
 
Feita essa observação, as razões trigonométricas no triângulo retângulo são: 
 
Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa. 
 
Lê-se cateto adjacente sobre a hipotenusa. 
TRIGONOMETRIA 
 
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Lê-se cateto oposto sobre o cateto adjacente. 
Vale lembrar que pelo conhecimento de um ângulo agudo e a medida de um dos lados de um 
triângulo retângulo, podemos descobrir o valor dos outros dois lados. 
Ângulos Notáveis 
Os chamados ângulos notáveis são os que surgem com maior frequência nos estudos de razões 
trigonométricas. 
Veja a tabela abaixo com o valor dos ângulos de 30°; 45° e 60°: 
Relações Trigonométricas 30° 45° 60° 
Seno 1/2 √2/2 √3/2 
Cosseno √3/2 √2/2 1/2 
Tangente √3/3 1 √3 
Tabela Trigonométrica 
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TRIGONOMETRIA 
 
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A tabela trigonométrica apresenta os ângulos em graus e os valores decimais do seno, cosseno e 
tangente. Confira abaixo a tabela completa: 
 
Aplicações 
As razões trigonométricas possuem muitas aplicações. Assim, conhecendo os valores do seno, 
cosseno e tangente de um ângulo agudo, podemos fazer diversos cálculos geométricos. 
Um exemplo notório, é o cálculo realizado para descobrir o comprimento de uma sombra ou de um 
prédio. 
Exemplo 
Qual o comprimento da sombra de uma árvore de 5m de altura quando o sol está a 30° acima do 
horizonte? 
TRIGONOMETRIA 
 
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Tg B = AC / AB = 5/s 
Uma vez que B = 30° temos que a: 
Tg B = 30° = √3/3 = 0,577 
Logo, 
0,577 = 5/s 
s = 5/0,577 
s = 8,67 
Portanto, o tamanho da sombra é de 8,67 metros. 
Relações Trigonométricas 
As relações trigonométricas são relações entre valores das funções trigonométricas de um mesmo 
arco. Essas relações também são chamadas de identidades trigonométricas. 
Inicialmente a trigonometria tinha como objetivo o cálculo das medidas dos lados e ângulos dos 
triângulos. 
Nesse contexto, as razões trigonométricas sen θ , cos θ e tg θ são definidas como relações entre os 
lados de um triângulo retângulo. 
Dado um triângulo retângulo ABC com um ângulo agudo θ, conforme figura abaixo: 
 
Definimos as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente em relação ao ângulo θ, como: 
TRIGONOMETRIA 
 
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Sendo, 
a: hipotenusa, ou seja, lado oposto ao ângulo de 90º 
b: cateto oposto ao ângulo θ 
c: cateto adjacente ao ângulo θ 
Relações Fundamentais 
A trigonometria ao longo dos anos foi se tornando mais abrangente, não se restringindo apenas aos 
estudos dos triângulos. 
Dentro deste novo contexto, define-se o círculo unitário,também chamado de circunferência 
trigonométrica. Ele é utilizado para estudar as funções trigonométricas. 
Circunferência Trigonométrica 
A circunferência trigonométrica é uma circunferência orientada de raio igual a 1 unidade de 
comprimento. Associamos a ela um sistema de coordenadas cartesianas. 
Os eixos cartesianos dividem a circunferência em 4 partes, chamadas de quadrantes. O sentido 
positivo é anti-horário, conforme figura abaixo: 
 
Usando a circunferência trigonométrica, as razões que a princípio foram definidas para ângulos 
agudos (menores que 90º), passam a ser definidas para arcos maiores de 90º. 
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TRIGONOMETRIA 
 
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Para isso, associamos um ponto P, cuja abscissa é o cosseno de θ e cuja ordenada é o seno de θ. 
 
Como todos os pontos da circunferência trigonométrica estão a uma distância de 1 unidade da 
origem, podemos usar o teorema de Pitágoras. O que resulta na seguinte relação trigonométrica 
fundamental: 
 
Podemos definir ainda a tg x, de um arco de medida x, no círculo trigonométrico como sendo: 
 
Outras relações fundamentais: 
Cotangente do arco de medida x 
 
Secante do arco de medida x. 
 
Cossecante do arco de medida x. 
 
Relações Trigonométricas Derivadas 
Partido das relações apresentadas, podemos encontrar outras relações. Abaixo, mostramos duas 
importantes relações decorrentes das relações fundamentais. 
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TRIGONOMETRIA 
 
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Triângulo Retângulo 
O triângulo retângulo é uma figura geométrica formada por três lados. Ele possui um ângulo reto, cuja 
medida é de 90º, e dois ângulos agudos, menores que 90º. 
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TRIGONOMETRIA 
 
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Principais Características 
Lados do Triângulo Retângulo 
O lado oposto ao ângulo de 90º é chamado de hipotenusa. Esse é o maior dos três lados da figura. 
Os demais lados são denominados de cateto adjacente e cateto oposto. 
Note que a hipotenusa é representada como (a) e os catetos como (b) e (c). 
Em relação aos lados dos triângulos, temos: 
Triângulo Equilátero: possui os três lados iguais. 
Triângulo Isósceles: possui dois lados iguais, e um diferente. 
Triângulo Escaleno: possui os três lados diferentes. 
Ângulos Do Triângulo Retângulo 
Como ocorre em todos os triângulos, a soma dos ângulos internos do triângulo retângulo é de 180º. 
Os vértices dos ângulos são representados por (A), (B) e (C). Já o "h" é a altura relativa à hipotenusa. 
Portanto, de acordo com a figura acima temos: 
A é um ângulo reto: 90º 
B e C são ângulos agudos, ou seja, são menores que 90º 
Feita essa observação, o triângulo retângulo possui dois ângulos complementares, donde a soma dos 
dois ângulos medem 90º. 
Em relação aos ângulos internos dos triângulos, temos: 
Triângulo Retângulo: possui um ângulo interno reto (90º). 
Triângulo Acutângulo: todos os ângulos internos são agudos, ou seja, as medidas dos ângulos são 
menores que 90º. 
Triângulo Obtusângulo: Um ângulo interno é obtuso, ou seja, possui um ângulo com medida maior do 
que 90º. 
Área Do Triângulo Retângulo 
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TRIGONOMETRIA 
 
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Para calcular a área de um triângulo retângulo, utiliza-se a seguinte expressão: 
 
Onde, 
A: área 
b: base 
h: altura 
Perímetro Do Triângulo Retângulo 
O perímetro de uma figura geométrica, corresponde a soma de todos os lados. Ela é calculada pela 
seguinte fórmula: 
P = L+L+L 
ou 
P = 3L 
Onde, 
P: perímetro 
L: lados 
Trigonometria No Triângulo Retângulo 
A trigonometria é a área que estuda as relações existentes nos triângulos que possuem um ângulo 
reto (90º). As relações trigonométricas num triângulo retângulo são: 
Seno: cateto oposto/hipotenusa 
Cosseno: cateto adjacente/hipotenusa 
Tangente: cateto oposto/cateto adjacente 
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GEOMETRIA PLANA 
 
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Geometria Plana 
A geometria plana ou euclidiana é a parte da matemática que estuda as figuras que não possuem 
volume. 
A geometria plana também é chamada de euclidiana, uma vez que seu nome representa uma 
homenagem ao geômetra Euclides de Alexandria, considerado o “pai da geometria”. 
Curioso notar que o termo geometria é a união das palavras “geo” (terra) e “metria” (medida); assim, a 
palavra geometria significa a "medida de terra". 
Conceitos De Geometria Plana 
Alguns conceitos são de suma importância para o entendimento da geometria plana, a saber: 
Ponto 
Conceito adimensional, uma vez que não possui dimensão. Os pontos determinam uma localização e 
são indicados com letras maiúsculas. 
Reta 
A reta, representada por letra minúscula, é uma linha ilimitada unidimensional (possui o comprimento 
como dimensão) e pode se apresentar em três posições: 
Horizontal 
Vertical 
Inclinada 
Dependendo da posição das retas, quando elas se cruzam, ou seja, possuem um ponto em comum, 
são chamadas de retas concorrentes. 
Por outro lado, as que não possuem ponto em comum, são classificadas como retas paralelas. 
Segmento de Reta 
Diferente da reta, o segmento de reta é limitado pois corresponde a parte entre dois pontos distintos. 
A semirreta é limitada somente num sentido, visto que possui início e não possui fim. 
Plano 
Corresponde a uma superfície plana bidimensional, ou seja, possui duas dimensões: comprimento e 
largura. Nessa superfície que se formam as figuras geométricas. 
Ângulos 
Os ângulos são formados pela união de dois segmentos de reta, a partir de um ponto comum, 
chamado de vértice do ângulo. São classificados em: 
Ângulo reto (Â = 90º) 
Ângulo agudo (0º < Â < 90º) 
Ângulo obtuso (90º < Â < 180º) 
Área 
A área de uma figura geométrica expressa o tamanho de uma superfície. Assim, quanto maior a 
superfície da figura, maior será sua área. 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
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Perímetro 
O perímetro corresponde a soma de todos os lados de uma figura geométrica. 
Figuras da Geometria Plana 
Triângulo 
 
Matemática›Geometria 
Geometria Plana 
A geometria plana ou euclidiana é a parte da matemática que estuda as figuras que não possuem 
volume. 
A geometria plana também é chamada de euclidiana, uma vez que seu nome representa umahomenagem ao geômetra Euclides de Alexandria, considerado o “pai da geometria”. 
Curioso notar que o termo geometria é a união das palavras “geo” (terra) e “metria” (medida); assim, a 
palavra geometria significa a "medida de terra". 
Conceitos De Geometria Plana 
Alguns conceitos são de suma importância para o entendimento da geometria plana, a saber: 
Ponto 
Conceito adimensional, uma vez que não possui dimensão. Os pontos determinam uma localização e 
são indicados com letras maiúsculas. 
Reta 
A reta, representada por letra minúscula, é uma linha ilimitada unidimensional (possui o comprimento 
como dimensão) e pode se apresentar em três posições: 
Horizontal 
Vertical 
Inclinada 
Dependendo da posição das retas, quando elas se cruzam, ou seja, possuem um ponto em comum, 
são chamadas de retas concorrentes. 
Por outro lado, as que não possuem ponto em comum, são classificadas como retas paralelas. 
Segmento de Reta 
Diferente da reta, o segmento de reta é limitado pois corresponde a parte entre dois pontos distintos. 
A semirreta é limitada somente num sentido, visto que possui início e não possui fim. 
Plano 
GEOMETRIA PLANA 
 
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Corresponde a uma superfície plana bidimensional, ou seja, possui duas dimensões: comprimento e 
largura. Nessa superfície que se formam as figuras geométricas. 
Ângulos 
Os ângulos são formados pela união de dois segmentos de reta, a partir de um ponto comum, 
chamado de vértice do ângulo. São classificados em: 
Ângulo reto (Â = 90º) 
Ângulo agudo (0º < Â < 90º) 
Ângulo obtuso (90º < Â < 180º) 
Área 
A área de uma figura geométrica expressa o tamanho de uma superfície. Assim, quanto maior a 
superfície da figura, maior será sua área. 
Perímetro 
O perímetro corresponde a soma de todos os lados de uma figura geométrica. 
Leia também: 
Formas Geométricas 
Área e Perímetro 
Perímetros de Figuras Planas 
Áreas de Figuras Planas 
Figuras da Geometria Plana 
Triângulo 
Geometria Plana 
Polígono (figura plana fechada) de três lados, o triângulo é uma figura geométrica plana formada por 
três segmentos de reta. 
Segundo a forma dos triângulos, eles são classificados em: 
Triângulo equilátero: possui todos os lados e ângulos internos iguais (60°); 
Triângulo isósceles: possui dois lados e dois ângulos internos congruentes; 
Triângulo escaleno: possui todos os lados e ângulos internos diferentes. 
No tocante aos ângulos que formam os triângulos, eles são classificados em: 
Triângulo retângulo: possui um ângulo interno de 90°; 
Triângulo obtusângulo: possui dois ângulos agudos internos, ou seja, menor que 90°, e um ângulo 
obtuso interno, maior que 90°; 
Triângulo acutângulo: possui três ângulos internos menores que 90°. 
Quadrado 
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GEOMETRIA PLANA 
 
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Polígono de quatro lados iguais, o quadrado ou quadrilátero é uma figura geométrica plana que 
possuem os quatro ângulos congruentes: retos (90°). 
Retângulo 
 
Figura geométrica plana marcada por dois lados paralelos no sentido vertical e os outros dois 
paralelos, no horizontal. Assim, todos os lados do retângulo formam ângulos reto (90°). 
Círculo 
 
Figura geométrica plana caracterizada pelo conjunto de todos os pontos de um plano. O raio (r) do 
círculo corresponde a medida da distância entre o centro da figura até sua extremidade. 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
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Trapézio 
 
Chamado de quadrilátero notável, pois a soma dos seus ângulos internos corresponde a 360º, o 
trapézio é uma figura geométrica plana. 
Ele possui dois lados e bases paralelas, donde uma é maior e outra menor. São classificados em: 
Trapézio retângulo: possui dois ângulos de 90º; 
Trapézio isósceles ou simétrico: os lados não paralelos possuem a mesma medida; 
Trapézio escaleno: todos os lados de medidas diferentes. 
Losango 
 
Quadrilátero equilátero, ou seja, formado por quatro lados iguais, o losango, junto com o quadrado e 
o retângulo, é considerado um paralelogramo. 
Ou seja, é um polígono de quatro lados os quais possuem lados e ângulos opostos congruentes e 
paralelos. 
Geometria Espacial 
A Geometria Espacial é a área da matemática que estuda as figuras que possuem mais de duas 
dimensões. 
Assim, o que a difere da geometria plana (que apresenta objetos bidimensionais) é o volume que 
essas figuras apresentam, ocupando um lugar no espaço. 
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GEOMETRIA ESPACIAL 
 
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Geometria Espacial 
A Geometria Espacial corresponde a área da matemática que se encarrega de estudar as figuras no 
espaço, ou seja, aquelas que possuem mais de duas dimensões. 
De modo geral, a Geometria Espacial pode ser definida como o estudo da geometria no espaço. 
Assim, tal qual a Geometria Plana, ela está pautada nos conceitos basilares e intuitivos que 
chamamos “conceitos primitivos” os quais possuem origem na Grécia Antiga e na Mesopotâmia 
(cerca de 1000 anos a.C.). 
Pitágoras e Platão associavam o estudo da Geometria Espacial ao estudo da Metafísica e da religião; 
contudo, foi Euclides a se consagrar com sua obra “Elementos”, onde sintetizou os conhecimentos 
acerca do tema até os seus dias. 
Entretanto, os estudos de Geometria Espacial permaneceram estanques até o fim da Idade Média, 
quando Leonardo Fibonacci (1170-1240) escreve a “Practica Geometriae”. 
Séculos depois, Joannes Kepler (1571-1630) rotula o “Steometria” (stereo: volume/metria: medida) o 
cálculo de volume, em 1615. 
Características Da Geometria Espacial 
A Geometria Espacial estuda os objetos que possuem mais de uma dimensão e ocupam lugar no 
espaço. Por sua vez, esses objetos são conhecidos como "sólidos geométricos" ou "figuras 
geométricas espaciais". Conheça melhor alguns deles: 
Prisma 
Cubo 
Paralelepípedo 
Pirâmide 
Cone 
Cilindro 
Esfera 
Dessa forma, a geometria espacial é capaz de determinar, por meio de cálculos matemáticos, o 
volume destes mesmos objetos, ou seja, o espaço ocupado por eles. 
Contudo, o estudo das estruturas das figuras espaciais e suas inter-relações é determinado por 
alguns conceitos básicos, a saber: 
Ponto: conceito fundamental a todos os subsequentes, uma vez que todos sejam, em última análise, 
formados por inúmeros pontos. Por sua vez, os pontos são infinitos e não possuem dimensão 
mensurável (adimensional). Portanto, sua única propriedade garantida é sua localização. 
Reta: composta por pontos, é infinita nos dois lados e determina a distância mais curta entre dois 
pontos determinados. 
Linha: possui algumas semelhanças com a reta, pois é igualmente infinita para cada lado, contudo, 
têm a propriedade de formar curvas e nós sobre si mesma. 
Plano: é outra estrutura infinita que se estende em todas as direções. 
Figuras Geométricas Espaciais 
Segue abaixo algumas das figuras geométricas espaciais mais conhecidas: 
 
GEOMETRIA ESPACIAL 
 
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Cubo 
 
O cubo é um hexaedro regular composto de 6 faces quadrangulares, 12 arestas e 8 vértices sendo: 
Área lateral: 4a2 
Área total: 6a2 
Volume: a.a.a = a3 
Dodecaedro 
 
O Dodecaedro é um poliedro regular composto de 12 faces pentagonais, 30 arestas e 20 vértices 
sendo: 
Área Total: 3√25+10√5a2 
Volume: 1/4 (15+7√5) a3 
Tetraedro 
 
O Tetraedro é um poliedro regular composto de 4 faces triangulares, 6 arestas e 4 vértices sendo: 
GEOMETRIA ESPACIAL 
 
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Área total: 4a2√3/4 
Volume: 1/3 Ab.h 
Octaedro 
 
O Octaedro é um poliedro regularde 8 faces formada por triângulos equiláteros, 12 arestas e 6 
vértices sendo: 
Área total: 2a2√3 
Volume: 1/3 a3√2 
Icosaedro 
 
O Icosaedro é um poliedro convexo composto de 20 faces triangulares, 30 arestas e 12 vértices 
sendo: 
Área total: 5√3a2 
Volume: 5/12 (3+√5) a3 
Prisma 
 
GEOMETRIA ESPACIAL 
 
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O Prisma é um poliedro composto de duas faces paralelas que formam a base, que por sua vez, 
podem ser triangular, quadrangular, pentagonal, hexagonal. 
Além das faces o prima é composto de altura, lados, vértices e arestas unidos por paralelogramos. 
De acordo com sua inclinação, os prismas podem ser retos, aqueles em que a aresta e a base fazem 
um ângulo de 90º ou os oblíquos compostos de ângulos diferentes de 90º. 
Área da Face: a.h 
Área Lateral: 6.a.h 
Área da base: 3.a3√3/2 
Volume: Ab.h 
Onde: 
Ab: Área da base 
h: altura 
Veja também o artigo: Volume do Prisma. 
Pirâmide 
 
A pirâmide é um poliedro composto por uma base (triangular, pentagonal, quadrada, retangular, 
paralelogramo), um vértice (vértice da pirâmide) que une todas as faces laterais triangulares. 
Sua altura corresponde a distância entre o vértice e sua base. Quanto à sua inclinação podem ser 
classificadas em retas (ângulo de 90º) ou oblíquas (ângulos diferentes de 90º). 
Área total: Al + Ab 
Volume: 1/3 Ab.h 
Onde: 
Al: Área lateral 
Ab: Área da base 
h: altura 
Curiosidades 
A palavra "geometria" vem do grego e corresponde a união dos termos "geo" de terra e "metria" de 
medida, que significa "medir terra." 
Os cálculos mais comuns em Geometria espacial são para determinar o comprimentos de curvas, 
áreas de superfícies e volumes de regiões sólidas. 
GEOMETRIA ESPACIAL 
 
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Outras figuras geométricas espaciais: cilindro, cone, esfera. 
Os "Sólidos Platônicos" são poliedros convexos conhecidos desde a antiguidade clássica. Os cinco 
"sólidos platônicos" são: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro, icosaedro. 
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GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
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Geometria Analítica 
A Geometria Analítica estabelece conexões entre geometria e álgebra, de modo que os conceitos da 
geometria são analisados por meio de processos algébricos. Ela foi criada pelo matemático francês 
René Descartes e, por isso, também é chamada de geometria cartesiana. 
Todos os objetos, figuras e relações já obtidas na geometria euclidiana clássica (geometria plana e 
espacial) são estudados na geometria analítica por meio da álgebra. Isso expande os conceitos da 
geometria, que agora podem ser analisados de um modo completamente novo, e introduz conceitos 
que ainda não podiam ser considerados ou que não podiam ser explorados ao máximo na geometria 
euclidiana. Um exemplo disso é o conceito de distância entre um ponto e uma reta. 
As Bases Da Geometria Analítica 
A base da geometria analítica está em representar os pontos de uma reta utilizando os números 
reais. Cada ponto de uma reta é representado por (ou representa) um único número real. Esse 
número real é obtido pela distância entre o referido ponto e a origem da reta, que é o ponto 
relacionado com o número zero. 
O conceito de distância, portanto, é um dos mais importantes dentro da Geometria Analítica. Por meio 
dele são definidos outros conceitos importantes, como os de círculo e circunferência. Além disso, a 
maioria das definições algébricas de figuras geométricas é obtida por intermédio do conceito de 
distância. 
 
Posteriormente, essa ideia foi expandida para a representação de pontos no plano, de modo que 
cada ponto do plano é representado por um único par de números reais conhecido como par 
ordenado. A imagem abaixo ilustra como o par ordenado (2,1) representa o ponto A. 
 
Já os pontos do espaço são representados por um conjunto de três números reais, conhecidos como 
ternos ordenados. Cada terno ordenado representa apenas um único ponto no espaço. 
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GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
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Se um ponto pertence a uma reta e é representado por um número real, dizemos que o espaço onde 
esse ponto está localizado (a reta) possui apenas uma dimensão e o número real é chamado de 
coordenada do ponto. 
Caso o ponto pertença a um plano, é representado por um par de números reais. O espaço onde está 
localizado (o plano) possui duas dimensões e esse ponto possui duas coordenadas. 
Desse modo, o número de coordenadas que um ponto possui é igual ao número de dimensões que 
possui o espaço onde esse ponto está localizado. O ponto pertencente ao espaço tridimensional, por 
exemplo, possuirá três dimensões e será representado por três coordenadas. A figura acima retrata o 
ponto A, que pertence ao espaço tridimensional e é representado pelo terno ordenado (x,y,z). 
O Que A Geometria Analítica Estuda? 
Qualquer objeto matemático, figura geométrica, forma, etc., que esteja no espaço pode ser 
representado geometricamente por um desenho ou algebricamente por uma fórmula matemática. 
Essa fórmula é o que materializa a Geometria Analítica e conecta a geometria à álgebra.O estudo de Geometria Analítica geralmente é dividido nos seguintes tópicos: 
Estudo Analítico Do Ponto 
1 – O que é ponto e localização? 
2 – Plano Cartesiano 
3 – Distância entre dois pontos 
4 – Conjuntos de pontos 
Estudo Analítico Da Reta 
1 – Equação geral da reta 
2 – Posições relativas entre retas 
3 – Ângulo entre retas 
4 – Paralelismo 
5 – Perpendicularidade 
6 – Distância entre ponto e reta 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
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Estudo Analítico Da Circunferência 
1 – Equação da circunferência 
2 – Posição relativa entre ponto e circunferência 
3 – Posição relativa entre reta e circunferência 
4 – Posição relativa entre circunferência e circunferência 
Vetores 
1 – O que são e representação de vetores 
2 – Operações básicas envolvendo vetores 
3 – Ângulo entre vetores 
Cônicas 
1 – Elipse 
2 – Hipérbole 
3 – Parábola 
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MATEMÁTICA
FINANCEIRA
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Porcentagem 
O termo porcentagem é muito utilizado no cotidiano, principalmente em situações ligadas à Matemática 
Financeira, correção monetária, investimentos, cálculo de juros, descontos, determinação de valores de 
impostos entre outras situações. Dado um número qualquer x, temos que x% corresponde à razão 
centesimal x/100. O símbolo % significa porcento ou divisão por cem. Observe: 
 
15% (quinze porcento) = 15/100 = 3/20 = 0,15 
20% (vinte porcento) = 20/100 = 1/5 = 0,20 
25% (vinte e cinco porcento) = 25/100 = 1/4 = 0,25 
40% (quarenta porcento) = 40/100 = 2/5 = 0,40 
120% (cento e vinte porcento) = 120/100 = 6/5 = 1,2 
 
Um número que possui a característica de porcentagem pode ser expresso das seguintes formas: fração 
centesimal ou número decimal, a forma ficará a critério do estudante. 
 
Exemplo 1 
 
Uma determinada loja de eletrodomésticos vende seus produtos em até 10 vezes, incluído os juros. No 
caso de pagamento à vista a loja oferece um desconto de 15% sobre o preço da mercadoria. Na compra à 
vista de uma geladeira que custa R$ 1.200,00, qual o valor do desconto? 
 
15% = 15/100 = 3/20 = 0,15 
 
Podemos resolver o problema de duas maneiras. Observe: 
 
Multiplicando o valor de R$1200 por 15 e depois dividindo por 100. 
1200 x 15/100 = 18000/100 = 180 
 
Multiplicando o valor de R$1200 por 0,15. 
1200 x 0,15 = 180 
 
O desconto na compra à vista da geladeira é de R$ 180,00, dessa forma, o preço seria de 1200 – 180 = R$ 
1.020,00. 
 
Exemplo 2 
 
O atraso no pagamento de qualquer imposto ou até mesmo de prestações particulares gera multas que são 
calculadas com base em índices percentuais, regularizados pelos órgãos competentes. Qual o valor de 
uma prestação de R$ 550,00 que foi paga com atraso de 10 dias, sabendo que sobre o valor deverá ser 
acrescentado 4% de multa? 
 
4% = 4/100 = 1/25 = 0,04 
 
Resolvendo de duas maneiras: 
 
1º) 550 x 4/100 = 2200/100 = 22 
 
2º) 550 x 0,04 = 22 
 
O acréscimo em razão do atraso será de R$22,00, portanto, a prestação passará de R$ 550,00 para R$ 
572,00. 
Porcentagem é uma razão do tipo a/b, em que b = 100. Note que sempre é possível obter essa razão 
utilizando a ideia de proporcionalidade ou de frações equivalentes. Por exemplo, em uma sociedade, se 
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investimos uma fração de um valor inicial de R$ 1000.00, é equivalente a dizer que a nossa parte do 
investimento inicial foi de . Esta razão é chamada “taxa percentual” e pode ser expressa 
tanto com o símbolo % (por cento), quanto na forma de fração ( ) ou ainda, em forma textual, que nesse 
caso seria 40 em 100. 
A ideia de porcentagem é diretamente ligada aos assuntos financeiros, quando tratamos casos de juros ou 
descontos obtidos nas compras, taxas pagas por um serviço, taxa de imposto ou mesmo em taxas de 
variação de resultados. Lembrando que uma porcentagem é sempre sobre algum valor e não existe 
porcentagem isolada, isto significa que não faz sentido falar 20%. Precisamos deixar claro a que 
corresponde essa porcentagem. Ajuda muito fazer as seguintes perguntas: 20% de que? De qual valor? De 
desconto ou de juro? 
Exemplo 1 
Pense na situação em que você deseja comprar um jogo que custa R$150,00, mas se comprar à vista tem 
desconto de 10%. Quanto você pagaria pelo jogo, comprando sem parcelar? 
Nesse caso, podemos escrever o problema da seguinte forma: 
 
Assim, o valor do seu desconto é R$15,00 e, então, o valor a ser pago corresponde a R$ 150,00 - R$ 15,00 
= R$ 135,00. 
Exemplo 2 
Agora imagine que você quer comprar uma casa que à vista custa R$ 283.000,00. Mas você não tem todo 
esse dinheiro e suas economias somam apenas R$77.500,00. Sendo assim, você precisa recorrer a um 
empréstimo bancário. O banco cobra taxa de juros de 1,5% do valor emprestado, se o montante for pago 
em até um ano, e 2,5%, se for pago em até 24 meses. Desse modo, para que você consiga pagar o 
empréstimo nesse período, quanto custará cada parcela? 
Primeiramente, vamos encontrar quanto você pegou emprestado, já que os juros são calculados sobre esse 
valor e não sobre o valor total da casa. Você tinha R$ 77.500 e precisava de R$ 283.000, então o valor 
emprestado foi de R$ 283.000,00 - R$ 77.500,00 = R$ 205.500,00. Desse valor, vamos calcular quanto 
será acrescentado pelos juros. Para conseguir pagar o empréstimo em um ano, o valor do juro será: 
 
Então a dívida final será de R$ 205.500,00 + R$ 3.082,50 = R$ 208.582,50, que dividido em 12 meses, 
cada parcela ficaria no valor de R$ 208.582,50/12 = R$ 17.381,88. Mas esse valor de parcela é muito alto e 
você decide pagar em 2 anos. Então o valor da dívida será calculado com a taxa de juros de 3,5%. Assim, 
refazendo os cálculos acima, temos, 
juros= 3,5% de 205500 = R$7.192,50. Então o valor da dívida será calculado como sendo 
R$ 205500,00 + R$7.192,50 = R$ 212.692,50, que dividido por 24 meses, cada parcela sairia no valor de 
R$ 8.862,19. Essa parcela é mais viável, apesar de que o valor final pago é maior que quando é pago em 
um ano. 
Exemplo 3 
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Em bares e restaurantes é muito comum a cobrança de taxa de serviços. Embora não haja previsões legais 
no código de defesa do consumidor, essa taxa é estipulada em 10% do valor da conta. Assim, se em uma 
churrascariao gasto foi de R$190,00, ao somar a taxa de serviços temos uma conta a ser paga de 
R$190,00+R$19,00=R$209,00. Agora, se esse valor já é o total, incluindo a taxa de serviços, o valor gasto 
pode ser calculado a partir de uma regra de três simples. Basta fazer , de onde temos 
que . E, portanto, o total gasto foi R$172,72. 
Exemplo 4 
Numa determinada empresa, o faturamento de um mês para o mês seguinte aumentou em torno de 50% e, 
posteriormente, teve queda de 12%. Supondo que o faturamento inicial tenha sido de R$1.323.227,19, qual 
foi o valor faturado no final dos três meses? 
O aumento de 50% do faturamento deve ser calculado sobre o valor faturado inicialmente. Assim, no 
segundo mês, temos um aumento de: 
(50/100)*1.323.227,19 = 0.5*1.323.227,19 = 661.613,60. 
Então o faturamento foi de R$1.323.227,19 + R$661.613,60 = 1.984.840,79. Agora o percentual de queda 
não é mais calculado sobre o valor inicial e sim sobre o valor do faturamento no segundo mês. Como a 
porcentagem de queda foi de 12%, fazemos 0.12 * 1.984.840,79 = 238.180,89 e subtraímos do montante 
no segundo mês. Portanto, o faturamento final foi R$ 1.984.840,79 - R$ 238.180,89 = R$1.746.659,90 
Juros Simples e Compostos 
Juros Simples 
 
Regime de Juros Simples 
O regime de juros simples não é muito utilizado pelo atual sistema financeiro nacional, mas ele se relaciona 
à cobrança em financiamentos, compras a prazo, impostos atrasados, aplicações bancárias, etc. Nesse 
regime, a taxa de juros é somada ao capital inicial durante o período da aplicação. O cálculo para juros 
simples é dado pela fórmula: 
J = PV x i x n 
J = Juro 
PV = Capital inicial, principal ou valor presente 
i = taxa de juros 
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n = número de períodos em que foi aplicado o capital 
No cálculo do juro simples, também chamado de juro comercial, o juro sob o capital aplicado é diretamente 
proporcional ao capital e o tempo de aplicação. Através da taxa de juros, irá variar ao longo do período. 
Assim, utiliza-se o ano comercial, sendo 360 dias no ano e 30 dias no mês. Ex.: 
Saiba Calcular Juros Simples 
1) Qual o valor dos juros aplicados a um empréstimo de R$ 200, durante 6 meses, numa taxa de juros 
simples de 6% ao mês? 
Dados encontrados: 
PV= R$ 200 
i = 6 %a.m. 
n = 6 meses 
J = ? 
Conversão da taxa de juros: 
6% → 6/100 → 0,06 
Resolução: 
J = PV x i x n → J = R$ 200 x 0,06 x 6 → J = R$ 72,00 
Explicação do Problema em Juros Simples 
1º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros) 
2º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros) 
3º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros) 
4º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros) 
5º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros) 
6º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros) 
Na soma dos juros durante seis meses temos R$ 72,00 de juros. Com esse exemplo, verifica-se que no 
cálculo de juros simples, os juros são iguais, pois ele sempre será acrescentado ao capital inicial. 
Importante 
Os períodos sempre devem estar na mesma unidade de tempo da taxa de juros: 
Taxa de Juros = 6% ao mês (a.m.) 
Número de Períodos= 6 meses 
Caso contrário, é preciso ajustar os elementos. Veja: 
Taxa de Juros = 0,06% ao semestre (a.s.) 
Número de Períodos = 3 anos → 6 semestres 
 
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Cálculo de Juros Simples em Períodos Não Inteiros 
Existem situações em que o prazo da aplicação é um número não inteiro, sendo preciso utilizar frações de 
períodos para que não hajam erros no valor final. Supondo que o período de aplicação é 5 anos e 9 meses, 
é sugerido as seguintes soluções para transformá-lo de acordo com a taxa de juros: 
1) transformar o período para semestres ou meses: 69 meses ou 11,5 semestres. 
2) transformar o período e a taxa para a mesma unidade de tempo: 
n = 5 anos e 9 meses → 69 meses 
i = 20% a.s → 20/6 → 3,3 % ao mês 
Juro Exato 
O juro exato é utilizado quando o período de tempo da aplicação está expressa em dias ou quando é 
considerado o ano civil (365 dias ou 366 dias para ano bissexto) para a realização do cálculo. A fórmula a 
ser utilizada será: 
J = Pv i n / 365 
Saiba Calcular Juro Exato 
1) Qual é o juro exato de um capital de R$ 20.000 aplicado por 40 dias à taxa de 30% ao ano? 
Dados encontrados: 
PV= R$ 20.000 
i = 30 %a.a. 
n = 40 dias 
J = ? 
Conversão da taxa de juros: 
30% → 30/100 → 0,3 
Resolução: 
J = Pv i n / 365 → J = R$ 20.000 x 0,3 x 40 / 365 → J = R$ 240.000 / 365 → J = R$ 657,53 
Juros Compostos 
Regime de Capitalização Composta 
Esse regime é utilizado amplamente pelo sistema financeiro, no dia a dia e em diversos cálculos 
econômicos. Os juros são gerados em cada período e acrescentados ao capital principal para o cálculo dos 
juros no período posterior. 
Nesse regime, diz-se que os juros são capitalizados, pois a cada período o juro é adicionado ao capital 
inicial. Assim, não existe capitalização no regime de juros simples, pois apenas o capital inicial rende juros. 
Para o cálculo do juro composto é utilizado a seguinte fórmula: 
M= C (1+i)ᵑ 
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Saiba Calcular Juros Compostos 
1) Qual será o montante de um empréstimo de R$ 200, durante 6 meses, numa taxa de juros composta de 
6% ao mês? 
Dados encontrados: 
PV= R$ 200 
i = 6 %a.m. 
N = 6 meses 
M= ? 
Conversão da taxa de juros: 
6% → 6/100 → 0,06 
Resolução: 
M = C (1+i)n → M = R$ 200 (1+ 0,06)⁶ → M = R$ 200 (1,06)⁶ → M = R$ 200 x 1,41 → M= R$283,70 
O que é Juro? 
 
Geralmente, os juros são determinados pelo Copom (Comitê de Política Monetária), um órgão do Banco 
Central que estabelece as normas da política monetária e da taxa de juros. 
Todos os anos, durante as reuniões feitas pelos membros do Copom são definidos os índices de consumo 
e produção que afetam o crescimento do país. Eles publicam relatórios sobre a inflação e informam sobre a 
situação econômica do país. 
De acordo com Samanez (2002), em seu livro 'Matemática Financeira: Aplicações à Análise de 
Investimentos' a definição de juro é: 
“Juro é remuneração do capital empregado” 
Segundo essa definição, se aplico ou empresto capital a outrem, existe um valor adicional a ser cobrado 
pela utilização desse dinheiro. Por exemplo, ao aplicar um capital, em um período de tempo específico, ao 
final dessa aplicação o capital terá adquirido outro valor, chamado de montante. O montante é o capital 
aplicado mais os juros que foram acumulados durante o período da aplicação. 
O juro, também chamado de remuneração, rendimento ou juros ganhos é dado pela diferença entre o 
montante (M) e o capital (C). A fórmula utilizada para o cálculo do juros é: 
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J = C x i 
Importante: 
No mercado financeiro, a taxa de juros sempre é dada na forma percentual, mas para a realização dos 
cálculos é preciso transformar a taxa em fracionária. Veja o quadro: 
 
Outro fato que deve ser considerado no cálculo dos juros é o tempo da aplicação. Se os meses forem de 30 
dias, os juros sãocomerciais, referente aos anos comerciais (360 dias). Se for considerado o ano civil (365 
dias), os juros serão chamados deexatos. 
Saiba como calcular juros: 
1) Calcule os juros de uma aplicação de R$5.000 durante um ano à uma taxa simples de 25% a.a. 
Dados encontrados: 
C = R$ 5.000 
i = 25%a.a. 
J = ? 
Conversão da taxa de juros: 
25% → 25/100 → 0,25 
Resolução: 
J = C x i → J = R$ 5.000 x 0,25 → J = R$ 1.250,00 
2) Descubra o montante do capital aplicado de R$ 2.600 durante um ano à taxa simples de 55% a.a. 
Dados encontrados: 
C = R$ 2.600 
i = 55%a.a. 
J = ? 
Conversão da taxa de juros: 
55% → 55/100 → 0,55 
Resolução: 
J =C x i → J = R$ 2.600 x 0,55 → J = R$ 1.430,00 M = C + J → M = R$ 2.600 + R$ 1.430 → M = R$ 
4.030,00 
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O que é Correção Monetária 
Atualização Monetária 
Atualização Monetária é o nome que se dá no Brasil para os ajustes contábeis e financeiros, realizados 
com o intuito de se demonstrar os preços de aquisição em moeda em circulação no país (atualmente o 
Real), em relação ao valor de outras moedas (ajuste cambial) ou índices de inflação ou cotação do 
mercado financeiro (atualização monetária propriamente dita). Em Economia é também chamado de 
"Correção Monetária", ou seja, um ajuste feito periodicamente de certos valores na economia tendo em 
base o valor da inflação de um período, objetivando compensar a perda de valor da moeda. 
Em termos de contabilidade tributária, a atualização monetária pode ser uma receita (denomina-se variação 
monetária ativa), ou uma despesa (variação monetária passiva). 
Exemplo de cálculo de uma variação monetária passiva 
Empréstimo em dólar = US$ 100,00 
Cotação Cambial na data do empréstimo: 2,00 
Cotação Cambial na data do vencimento da amortização: 4,00 
Valor a ser contabilizado na data do recebimento do emprestimo: 
Obrigação a Pagar = US$ 100,00 x 2,00 = R$ 200,00 
Valor a ser contabilizado na data do vencimento da amortização: 
Ajuste da variação monetária passiva = R$ 400,00 (US$ 100,00 x 4,00) (-) valor principal (R$ 200,00) = R$ 
200,00 
Existe uma controvérsia em relação aos juros: Se o juros for de 10% ao mês, a ser pago junto com a 
amortização, alguns dizem que o valor deve ser integralmente contabilizado como despesas de juros (R$ 
40,00 ou 10% de R$ 400,00) enquanto outros afirmam que a despesa de juros é R$ 20,00 e os outros R$ 
20,00 seriam variação monetária passiva. 
Embora atualmente a questão não tenha implicações em termos de contabilidade tributária, uma vez que 
ambos são "Despesas", a questão se torna relevante tendo em vista uma conversão de um balanço em 
reais para um balanço em dolar, por exemplo. Na primeira hipótese, o balanço em dólar apresentaria a 
despesa de juros de US$ 10,00 (40,00 / 4,00), enquanto na segunda, a despesa a ser demonstrada seria 
de US$ 5,00 (20,00 / 4,00), considerando-se o critério de eliminaçãos dos ajustes cambiais contábeis para 
fins da referida conversão. 
Correção Monetária de Balanços 
Até 1994, em função da hiperinflação, no Brasil os Balanços eram demonstrados com os ajustes 
denominados de "Correção Monetária de Balanços" (Lei 6.404/76). Para fins de contabilidade tributária, os 
itens permanentes do Balanço (basicamente Ativo Permanente e Patrimônio Líquido) eram ajustados em 
função de um coeficiente fornecido pelo governo (com base em algum índice de inflação). Nesse caso, 
havendo saldo credor da correção monetária, o valor era ainda ajustado pelas variações monetárias, que 
poderiam aumentar ou reduzir o saldo a ser tributado pelo imposto de renda. Esse sistema foi criado pelo 
DL 1.598/77, em função da preocupação com o acréscimo ao lucro de valores tido como não-financeiros 
(ajustes decorrentes da inflação), o que poderia resultar em impostos a pagar sem que as empresas 
tivessem de fato o numerário em caixa. Tal entendimento não era majoritário entre os acadêmicos da 
classe contábil, mas continuou durante muitos anos como um dos principais "incentivos tributários" às 
empresas brasileiras com vultosos ativos imobilizados (indústrias, principalmente). 
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Princípios contábeis 
Em função das características da Economia brasileira, e da doutrina da essência econômica utilizada para 
o estudo das Ciências Contábeis no Brasil, a Atualização Monetária é considerada pelo CFC - Conselho 
Federal de Contabilidade, um Princípio Fundamental de Contabilidade. Antes denominado de "Princípio da 
Correção Monetária", ele atualmente é denominado "Princípio da Atualização Monetária". Com o fim da 
hiperinflação, os ajustes dessa natureza nas Demonstrações Financeiras brasileiras são efetuados em 
razão das altas taxas de juros praticadas pelas instituições financeiras; e em decorrência do regime de 
"Câmbio Flutuante", que periodicamente provoca grandes oscilações na cotação do Dólar americano em 
relação ao Real. 
O Que É Atualização Monetária? 
atualização monetária representa um valor que pagamos além dos juros ou eventualmente da multa 
(quando se trata de atraso de pagamento) para compensar a perda do poder de compra (por conta da 
inflação no período). 
Mas o que seria a perda do poder de compra? 
Considere que na ida ao supermercado para fazer as compras do mês, a pessoa comprasse sempre os 
mesmos itens nas mesmas quantidades e das mesmas marcas. No primeiro mês, ele realiza todas as 
compras ao custo de R$ 100,00. 
Por conta disso, ele leva no mês seguinte os mesmos 100 reais mas, ao se dirigir ao caixa, percebe que o 
valor total ultrapassa um pouco esse valor, porque alguns itens aumentaram de preço. Isso significa que o 
poder de compra dos 100 reais no 1º mês já não é mais o mesmo no segundo mês, por conta da elevação 
(ou inflação) do preço. 
Aumento ou reajuste de salário? 
Algumas empresas, prefeituras e governos promovem um “aumento salarial” anual em torno de 5%. 
Quando recebem, muitos funcionários ficam felizes por acharem que receberam um aumento. 
Mas pensemos um pouco. Se a inflação do ano anterior foi em torno de 5%, o que receberam foi realmente 
um aumento ou apenas um reajuste por conta da inflação ou, em outras palavras, nosso salário foi 
atualizado monetariamente, para não perdermos nosso poder de compra? Será que esse reajuste não 
deveria ser obrigatório? É algo a se pensar… 
Impacto da inflação nos investimentos 
Muitas vezes também não levamos em consideração o impacto da inflação em nossos investimentos. Já 
escrevi um artigo (“Impacto do IR e da inflação nos investimento“) explicando com isso ocorre. Inclusive 
disponibilizei também uma planilha para download gratuito onde é possível visualizar a diferença entre o 
rendimento do seu investimento e o rendimento real, após o desconto da inflação e do imposto de renda. 
O objetivo financeiro de muitos investidores é alcançar o tão sonhado primeiro milhão. Entretanto é bom 
lembrar que o poder de compra de um milhão de reais hoje é muito maior do que será daqui a 20 anos, por 
exemplo. Portanto é importantíssimo considerar os juros reais ao fazer projeções, pelo que expliquei no 
parágrafo anterior. 
Para finalizar, é muito importante saber que qualquer investimento ou aplicação financeira que render 
menos de 5% ao ano estará “roubando” seu dinheiro. Em outras palavras, ela está te remunerando abaixo 
da inflação. 
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Títulos de capitalização e FGTS 
Aí vem a pergunta: existem aplicações financeiras que rendem menos que a inflação? A resposta é sim! 
Apenas como exemplo, títulos de capitalização e o FGTS de todos nós são corrigidos por valores abaixo da 
inflação. Já escrevemos sobre o primeiro no artigo “Entenda como funcionam os títulos de capitalização“. 
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Valor Presente e Valor Futuro 
Na fórmula S = P (1 + I) 
n , o principalP é também conhecido como Valor Presente 
(PV = present value) e o montante S é também conhecido como Valor Futuro 
(FV = future value). 
Aliás, estas são as designações utilizadas na máquina HP12C. 
A fórmula anterior pode então ser escrita: 
FV = PV (1 + I) n e, como consequência, vem imediatamente que: 
 
Isto pode ser representado graficamente através da figura abaixo, que representa um diagrama de fluxo de 
caixa , assunto que abordaremos mais detalhadamente na sequência do assunto. 
 
Observe que FV no período n é equivalente a PV no período zero, se levarmos em conta a taxa de juros i. 
Esta interpretação é muito importante, como veremos no decorrer do curso. É conveniente registrar que 
existe a seguinte convenção: seta para cima, sinal positivo (dinheiro recebido) e seta para baixo, sinal 
negativo (dinheiro pago). Esta convenção é muito importante, inclusive quando se usa a calculadora HP 
12C. Normalmente, ao entrar com o valor presente VP numa calculadora financeira, o fazemos seguindo 
esta convenção, mudando o sinal da quantia considerada como PV para negativo, usando a tecla CHS, que 
significa uma abreviação de "change signal", ou seja, "mudar o sinal". É conveniente ressaltar que se 
entrarmos com o PV positivo, a calculadora expressará o FV como um valor negativo e vice versa, já que 
as calculadoras financeiras, e aí inclui-se a HP 12C, foram projetadas, considerando esta convenção de 
sinais. Usaremos sempre a convenção de sinal negativo para VP e em consequência, sinal positivo para 
FV. Veremos com detalhes este aspecto, no desenvolvimento do curso. 
Voltemos Agora ao uso da Calculadora HP12C 
Apresentaremos a seguir a sequência de comandos na HP12C, para determinação de PV (valor presente), 
FV (valor futuro), i (taxa de juros) e n (número de períodos). 
Cálculo de FV 
 digite o valor presente PV 
 tecle CHS 
Nota: o CHS - abreviatura de change signal - muda o sinal para armazenar o valor de PV (present value) - 
dinheiro pago, conforme convenção. 
 tecle PV 
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 digite 0 
 tecle PMT 
 digite a taxa i ( em %; ex.: i = 12% , digite 12) 
 tecle i 
 digite o número de períodos n 
 tecle n 
 tecle FV 
Resposta no visor: o valor futuro procurado. 
NOTA: Por enquanto, não se preocupe com a tecla PMT, que será explicada adiante. Basta saber que PMT 
é uma abreviação de payment , que significa pagamento, em inglês. O algarismo 0 (zero) digitado antes de 
teclar PMT, significa que você anulou o pagamento periódico PMT, uma vez que realmente êle não ocorreu. 
Cálculo de PV 
 entre com o valor de FV 
 CHS ......FV 
 0 
 PMT 
 entre com o valor de n 
 tecle n 
 entre com o valor de i 
 tecle i 
 tecle PV 
Cálculo de n 
 entre com o valor de PV 
 CHS ......PV 
 0 
 PMT 
 entre com o valor de FV 
 tecle FV 
 entre com o valor de i 
 tecle i 
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 tecle n 
Cálculo de i 
 entre com o valor de PV 
 CHS PV 
 0 
 PMT 
 entre com o valor de FV 
 tecle FV 
 entre com o valor de n 
 tecle n 
 tecle i 
Exercícios Resolvidos 
Nota: Se você possuir uma calculadora HP12C, use as sequências indicadas acima para resolver os 
problemas abaixo. 
1 - Quanto teremos daqui a 12 meses se aplicarmos $ 1.000,00 a 2,5% ao mês? 
Solução: FV = 1000(1 + 0,025)12 = $ 1.344,89 
Notas: 
a) é sempre conveniente, antes de operar com a HP 12C, teclar f CLEAR REG (limpa registradores), ou f 
CLEAR FIN (limpa registradores financeiros, mas, não limpa o visor). 
b) para alterar o número de casa decimais apresentados pela calculadora HP 
12C, estando ela ligada, tecle f seguido de um número 1, 2, 3, 4, ... etc., para obter no visor 1, 2, 3, 4 ... 
casas decimais. Por exemplo, o comando f 4, colocará a calculadora para exibir no visor 4 casas decimais. 
c) na calculadora HP 12C, o termo registradores, significa memórias de armazenamento de dados, 
enquanto que o termo registradores financeiros, refere-se aos registros especiais nos quais são 
armazenados os valores de n, i, PV, PMT e FV. 
2 - Quanto se deveria pagar hoje para se ter o direito de receber $ 10.000,00 daqui a 5 anos, a juros de 
10% ao ano? 
Solução: 10000 = PV(1 + 0,10)5\ PV = $ 6.209,21 
3 - Calcular qual a taxa de juros a que devemos empregar o capital de $ 150.000,00 para render no final do 
período de 6 anos, o montante de $ 251.565,00? 
Solução: 251565 = 150000(1 + i)6\ i = 9% a.a. 
4 - O capital de $ 37.500,00 é colocado no regime de capitalização composta à taxa de 9% ao trimestre. No 
fim de um certo prazo, o montante atingiu $ 62.891,25. Calcular o número de meses. 
Solução: 62891,25 = 37500(1 + 0,09)n\ n = 6 trimestres = 18 meses 
Diagramas de Fluxo de Caixa 
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Um diagrama de fluxo de caixa, é simplesmente a representação gráfica numa reta, dos períodos e dos 
valores monetários envolvidos em cada período, considerando-se uma certa taxa de juros i. 
Traça-se uma reta horizontal que é denominada eixo dos tempos, na qual são representados os valores 
monetários, considerando-se a seguinte convenção: 
dinheiro recebido Þ seta para cima 
dinheiro pago Þ seta para baixo. 
Exemplo: 
Veja o diagrama de fluxo de caixa a seguir: 
 
O diagrama da figura acima, por exemplo, representa um projeto que envolve investimento inicial de 800, 
pagamento de 200 no terceiro ano, e que produz receitas de 500 no primeiro ano, 200 no segundo, 700 no 
quarto e 200 no quinto ano. 
Convenção: 
dinheiro recebido Þ flecha para cima Þ valor positivo 
dinheiro pago Þ flecha para baixo Þ valor negativo 
Vamos agora considerar o seguinte fluxo de caixa, onde C0, C1, C2, C3, ..., Cn são capitais referidos às 
datas, 0, 1, 2, 3, ..., n para o qual desejamos determinar o valor presente (PV). 
 
O problema consiste em trazer todos os capitais futuros para uma mesma data de referencia. Neste caso, 
vamos trazer todos os capitais para a data zero. Do diagrama de fluxo de caixa visto acima, concluímos que 
o valor presente - PV - do fluxo de caixa será: 
 
Esta fórmula pode ser utilizada como critério de escolha de alternativas, como veremos nos exercícios a 
seguir. 
Utilize uma calculadora científica para efetuar os cálculos indicados. 
Se você não possuir uma, utilizea calculadora do WINDOWS. 
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1 - Numa loja de veículos usados, são apresentados ao cliente dois planos para pagamento de um carro: 
Plano A: dois pagamentos, um de $ 1.500,00 no final do sexto mês e outro de $ 2.000,00 no final do décimo 
segundo mês. 
Plano B: três pagamentos iguais de $ 1.106,00 de dois em dois meses, com início no final do segundo mês. 
Sabendo-se que a taxa de juros do mercado é de 4% a.m., qual o melhor plano de pagamento? 
SOLUÇÃO: 
Inicialmente , devemos desenhar os fluxos de caixa correspondentes: 
PLANO A: 
 
PLANO B: 
 
Teremos para o plano A: 
 
Para o plano B, teremos: 
 
Como o plano A nos levou a um menor valor atual (ou valor presente), concluimos que este plano A é mais 
atraente do ponto de vista do consumidor. 
2 - Um certo equipamento é vendido à vista por $ 50.000,00 ou a prazo, com entrada de $ 17.000,00 mais 
três prestações mensais iguais a $ 12.000,00 cada uma, vencendo a primeira um mês após a entrada. Qual 
a melhor alternativa para o comprador, se a taxa mínima de atratividade é de 5% a.m.? 
SOLUÇÃO: 
Vamos desenhar os fluxos de caixa: 
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À vista: 
 
À prazo: 
 
Vamos calcular o valor atual (ou valor ppresente PV - Present Value) para esta alternativa: 
 
Como o valor atual da alternativa a prazo é menor, a compra a prazo neste caso, é a melhor alternativa, do 
ponto de vista do consumidor. 
3 - Um equipamento pode ser adquirido pelo preço de $ 50.000,00 à vista ou, a prazo conforme o seguinte 
plano: 
Entrada de 30% do valor à vista, mais duas parcelas, sendo a segunda 50% superior à primeira, vencíveis 
em quatro e oito meses, respectivamente. Sendo 3% a.m. a taxa de juros do mercado, calcule o valor da 
última parcela. 
SOLUÇÃO: 
 
Teremos: 
 
Resolvendo a equação acima, obtemos x = 19013,00 
Portanto, o valor da prestação é $19013,00. 
Agora Resolva este: 
Uma loja vende determinado tipo de televisor nas seguintes condições: $ 400,00 de entrada, mais duas 
parcelas mensais de $ 400,00, no final de 30 e 60 dias respectivamente. Qual o valor à vista do televisor se 
a taxa de juros mensal é de 3% ? 
https://www.algosobre.com.br/images/stories/concurso/matematica/diagramas_de_fluxo_de_caixa_10.gif
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Resposta: o valor à vista é igual a $1165,38. 
Desconto Composto 
Desconto composto é aquele obtido em função de cálculos exponenciais. São conhecidos dois tipos de 
descontos: o desconto composto “por fora” e o desconto composto “por dentro”, ou racional. O desconto 
composto “por fora”, não possui, pelo menos no Brasil, nenhuma utilização prática conhecida. Quanto ao 
desconto “por dentro” ou racional, ele nada mais é do que a diferença entre o valor futuro de um título e o 
seu valor atual, determinado com base no regime de capitalização composta; portanto de aplicação 
generalizada. 
Desconto Composto "Por Fora" 
No caso do desconto simples “por fora”, a taxa de desconto incide somente sobre o valor futuro dos títulos, 
tantas vezes, quantos forem os períodos unitários, ou seja, D = S x d x n. Como P = S - D, deduz-se 
que P = S.(1 - d x n). 
Já no caso do desconto composto, para n períodos unitários, a taxa de desconto incide, no primeiro 
período, sobre o valor do título; no segundo período, sobre o valor futuro do título menos o valor de 
desconto correspondente ao primeiro período; no terceiro período sobre o valor futuro do título menos os 
valores dos descontos referentes ao primeiro e ao segundo período, e assim sucessivamente até o 
enésimo período, de forma que: 
P1 = S - D ou P = S(1 - d) 
P2 = S(1-d)(1-d) = S(1-d)2 
P3 = S(1-d)(1-d)(1-d)= S(1-d)3 
. . 
. . 
Pn = S (1-d)n 
Assim o valor líquido de um título, de prazo igual a n períodos unitários que sofre um desconto composto 
“por fora”, é dado pela expressão: 
P = S(1-d)n 
Exemplos: 
1 - Uma taxa de 2,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto “por fora”. Calcular o valor 
do desconto. 
Dados: 
S = 28.800,00 
n = 120 dias = 4 meses 
d = 2,5% ao mês 
D = ? 
Solução: 
P = S(1-d)n 
P = 28.800,00(1-0,025)4 = 28.800,00 x 0,903688 = 26.026,21 
D = S - P = 28.800,00 - 26.026,21 = 2.773,79 
HP12C = 28.800,00 E 2,5 E 100 : 1 – 4 YX X 28.800,00 - = 2,773,79 
2 - Um título, com 90 dias a vencer, foi descontado à taxa de 3% ao mês, produzindo um desconto no valor 
de R$ 1.379,77. Calcular o valor nominal do título. 
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Dados: 
D = 1.379,77 
d = 3% ao mês 
n = 90 dias ou 3 meses 
S = ? 
Solução: 
D = S - P = S - S(1-d)n = S [1-(1-d)n] 
D = S [1-(1-d)n] 
1.379,77 = S [ 1 - (1 - 0,03)3] 
1.379,77 = S [ 1 - 0,912673] 
1.379,77 = S x 0,087327 
S = 1.379,77/0,087327 = 15.800,00 
HP12C = 1E 0,03-3 YX 1- CHS 1/x 1.379,77 X = 15.800,00 
Desconto “Por Dentro ” ou Racional 
Desconto “por dentro” ou racional, é dado pela diferença entre o valor futuro de um título e o seu valor atual, 
calculado com base no regime de capitalização composta, como segue: 
 
Para manter a coerência no que se refere a simbologia adotada, vamos continuar a representar a taxa de 
desconto por d . Assim a fórmula anterior pode ser escrita como segue: 
 
Exemplo: 
1 - Determinar o valor do desconto composto racional de um título no valor de R$ 50.000,00, sabendo-se 
que o seu prazo é de 5 meses e que a taxa de desconto cobrada é de 3,5% ao mês. 
Dados: 
S = 50.000,00 
n = 5 meses 
d = 3,5% ao mês 
D = ? 
Solução: 
D = S x (1 + d)n - 1/(1+d)n 
D = 50.000,00 X (1 + 0,035)5-1/(1 + 0,035)5 
D = 50.000,00 X (1,035)5-1/(1,035)5 
D = 50.000,00 X 0,18769/1,18769 = 50.000,00 X 0,15803 
D = 7.901,50 
HP12C = 1,035E5YX 1-E 1,035E5YX : 50.000,00 X = 7.901,50 
HP12C = 50.000,00 CHS FV 3,5 i 5 n PV 50.000,00 - = 7.901,34 
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Aplicações Financeiras 
 
Investimento bancário: um bom negócio 
O sistema financeiro proporciona várias formas de ganhos extras, desde que se tenha um capital a ser 
movimentado. Algumas opções são bem simples e estão ao alcance de todos, a poupança é um desses 
produtos que gera rendimentos mensais, por ser de fácil acesso e que não tem um prazo predeterminado 
de aplicação, paga juros baixos, pois o aplicador pode retirar o dinheiro a qualquer momento, sem nenhuma 
burocracia. Existem algumas aplicações que pagam taxas de juros mais compensatórias, os títulos de 
capitalização proporcionam aos clientes uma melhor rentabilidade. 
Como funciona um titulo de capitalização? 
 
Funciona como um título de crédito comercializado por entidades financeiras autorizadas e fiscalizadas pelo 
Banco Central. Possuem carências pré-determinadas, o portador do título aplica mensalmente uma quantia 
fixa e, ao longo do período, concorre a prêmios em dinheiro através de sorteios; alguns planos asseguram o 
cliente, repassando à família um determinado valor caso ele venha a falecer. Sendo ou não sorteado, ao 
final do período receberá o dinheiro aplicado, acrescido dos juros do rendimento, se ele resolver retirar o 
dinheiro antes do prazo, possivelmente uma parte do montante será descontada. 
Para calcular o montante de uma aplicação programada (títulos de capitalização, fundos de investimento), 
sendo os depósitos mensais com valores fixos, taxas mensais fixas e número de meses previstos, 
utilizamos as seguintes expressões: 
 
Considerando que o resgate seja efetuado 30 dias após o último depósito. 
 
 
Considerando que o resgate aconteça imediatamente após o último depósito. 
 
Onde: 
i: taxa (deve ser dividida por 100) 
P: valor do depósito 
M: montante final 
n: período da capitalização 
 
Obs.: Para o desenvolvimento das expressões acima explicitadas precisaremos do auxílio de uma 
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Exemplos 
 
Investindo mensalmente o valor de R$ 150,00 em um título de capitalização que paga juros de 1% ao mês, 
qual o valor a ser resgatado após 12 meses, considerando o resgate após 30 dias do último depósito? 
 
O valor a ser resgatado será de R$ 1.921,40. 
 
Caso queira resgatar o dinheiro imediatamente após o último depósito, qual será o valor do resgate? 
 
Caso o resgate seja efetuado imediatamente após o último depósito, o valor será de R$ 1.902,37. 
 
Podemos observar que os valores são diferentes, isso ocorre porque na 1º opção após o último depósito se 
passaram 30 dias, assim o montante é corrigido. Na 2º opção, imediatamente após o último depósito, o 
dinheiro foi sacado não gerando a correção do último mês. 
Tipos de Aplicações Financeiras Populares no Brasil 
Quem aplica o dinheiro deve ter em mente de que qualquer forma de investimento tem risco, inclusive a 
conta poupança, como quando o governo recolhe o dinheiro por medidas macroeconômicas ou o banco 
entra em processo da falência com quantias depositadas que não podem ser reavidas com facilidade. Por 
esse motivo, antes de escolher qualquer forma de investida existem a demanda de pesquisar informações 
não apenas sobre em que aplicar como também sobre a instituição que vai administrar o valor econômico. 
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Nos termos práticos existem diversas variáveis que podem influenciar em arrecadar mais ou menos 
dinheiro. Consultoria para saber em qual investimento iniciar também pode ajudar em evitar surpresas 
desagradáveis no futuro. Em suma uma regra é verdadeira em termos de aplicações financeiras: Quanto 
maiores às chances de ganhos menores as seguranças. 
Especialistas indicam que fazer o dinheiro trabalhar consiste na melhor forma de poupar e ao mesmo 
tempo ganhar remunerações por permanecer com a quantia parada ou ao fazer novos depósitos. Apenas 
quem poupa hoje pode ter vida tranquila no amanhã, sem a presença do estresse por falta de poder 
financeiro, doença que pode levar o ser-humano à morte. Conheça 04 aplicações financeiras populares no 
Brasil: 
 
 
 
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01: Poupança 
Consiste na aplicação financeira mais popular em termos nacionais. Quando começou não se destinava ao 
povo. Apenas começou a ficar acessível depois das políticas no primeiro governo do Presidente Getúlio 
Vargas. Também está na maneira de investir que traz maior segurança e menos resultados em termos de 
renda. 
Na primeira década do século XX se tornou forma atrativa ao ponto de investidores de outros setores 
buscarem segurança na modalidade de depósito quando outras formas de investir demonstravam 
problemas quanto à instabilidade do lucro. Outra vantagem a se considerar de forma positiva aos 
consumidores está na ausência de impostos. Bancos não podem cobrar nenhum tipo de taxa para 
administrar as quantias nas contas poupança. 
Quando o banco que tem os depósitos fale o poder público nacional garante devolver no máximo R$ 60 mil 
reais, conforme aponta o Fundo Garantidor de Créditos (FGC). Quem tinha maior valor na conta tem que 
esperar na justiça por tempo indeterminado a reaver o dinheiro, o que pode demorar longos anos. Por 
exemplo, Collor recolheu finanças de poupanças dos brasileiros para congelar o consumo teve gente que 
recebeu a quantia corrigida no final da segunda década do século XXI. 
Interessante notar que pessoas que investem na poupança nos últimos três dias do mês possuem o 
aniversário mensal da renda apenas no dia um do segundo mês. Clientes podem investir nos dias que 
quiserem de forma online ou pessoal. 
 
 
Como Funcionam as Renumerações da Poupança 
De acordo com a legislação vigente existem duas formas básicas de renumeração da poupança (básica e 
adicional). Em termos básicos o resultado consiste na TR (Taxa Referencial). Sob a ótica adicional existem 
duas possibilidades: (1) Quando a taxa de juros estiver além do que 8,5% o valor corresponde a 0,5% 
mensais. (2) Momentos nos quais a Selic (taxa de juros) se encontra igual ou menos de 8,5% se equivale à 
média de setenta por cento do número dos juros. 
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02: Títulos do Governo Federal 
Quando a presidenta Dilma mudou as regras da poupança também quis promover o crescimento em 
investimentos populares em novas modalidades no sentido de equilibrar melhora a poupança dos 
brasileiros. Traz maiores vantagens ao comparar com a poupança no tangente às melhores chances de 
conquistar renda, embora o risco também seja maior. 
Está na segunda lista dos investimentos com maior nível de segurança no mercado nacional. Desvantagem 
se encontra no fato de existir Imposto de Renda por transição financeira, o que pode não valer a pena no 
final das contas, como no caso das pessoas que aplicam em curto-prazo. Quem quer economizar para 
comprar carro deve depositar o dinheiro na conta poupadora que não tem nenhuma taxa. Inclusive os 
bancos não podem cobrar dos consumidores nenhuma espécie de taxa ao que se refere à poupança. 
Cabe ao destaque o fato de que o país também pode trazer o calote aos investidores nacionais e 
internacionais que detém o país, embora a prática seja quase impossível ao levar em conta a perda de 
credibilidade no mundo. Porém, também acontece! Quem investiu que a Argentina iria pagar a dívida 
pública recebeu calote quando o governo anunciou desistir de pagar o FMI, por exemplo. 
03: CDB (Certificado de Depósito Bancário) e Recibo de Depósito Bancário (RDB) 
As duas modalidades são papéis que os bancos oferecem aos clientes que como de investir com facilidade. 
Por vezes trazem os valores mínimos e máximos que podem ser conquistados ao mês, o que pode fazer a 
diferença entre os concorrentes. Por esse motivo existe a necessidade de pesquisar com cuidado antes de 
investir na instituição financeira. 
Embora traga maior renda do que a poupança em grande parte dos casos, como desvantagem também 
existe a questão do IR que prejudica quem quer retirar o dinheiro no curto prazo. Por outro lado, quem 
deseja permanecer com o dinheiro por longo tempo ao confiar no desempenho do banco tem chances de 
faturar quantia alta ao levar em conta o dinheiro investido no passado. 
Há quem diga ser melhor confiar à microeconomia dos bancos (CDB e RDB) do que no governo (títulos do 
governo nacional). Especialistas apontam que os papéis do gênero que possuem maior confiança em 
termos de segurança e renda alta estão nas ofertas dos Estados Unidos, país com risco “zero” ao que 
tange o calote. Interessante notar que mesmo depois da crise no final da primeira década do século XXI os 
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norte-americanos ainda representam a sociedade que mais consomem bens de consumo ao redor do 
mundo. 
 
 
04: Fundos de Investimento 
Maior risco e mais chances de ganho está nos fundos de investimentos. Em suma os clientes escolhem 
entre as centenas de opções que os bancos oferecem de papel cuja administração acontece por parte dos 
administradores que possuem agentes que buscam o lucro para bater metas, o que pode favorecer também 
os clientes na conta final, embora não exista garantia de receber valor além do que investiu, visto que por 
vezes pode acontecer prejuízo. 
 
 
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Juros Simples e Composto 
Ao longo dos tempos constatou-se que o problema econômico dos governos; das instituições; das 
organizações e dos indivíduos, decorria da escassez de produtos e/ou serviços, pelo fato de que as 
necessidades das pessoas eram satisfeitas por bens e serviços 
cuja oferta era limitada. Ao longo do processo de desenvolvimento das sociedades, o problema de 
satisfazer as necessidades foi solucionado através da especialização e do processo de troca de um 
bem pelo outro, conhecido como escambo. Mais tarde surgiu um bem intermediário, para este processo 
de trocas que foi a moeda. Assim, o valor monetário ou preço propriamente dito, passou a ser o 
denominador comum de medida para o valorizar os bens e os serviços e a moeda um meio de acúmulo 
deste valor constituindo assim a riqueza ou capital. 
Constatou-se assim, que os bens e os serviços poderiam ser consumidos ou guardados para o 
consumo futuro. Caso o bem fosse consumido ele desapareceria e, caso houvesse o acúmulo, surgiria 
decorrente deste processo o estoque que poderia servir para gerar novos bens e/ou riqueza através do 
processo produtivo. E começou a perceber que os estoques eram feitos não somente de produtos, mas 
de valores monetários também, que se bem administrado poderiam aumentar gradativamente conforme 
a utilidade temporal.Surge-se daí a preocupação e a importância do acúmulo das riquezas em valores 
monetários como forma de investimento futuro e aumento do mesmo conforme o surgimento das 
necessidades. 
Com o passar dos tempos essa técnica foi sendo melhorada e aperfeiçoada conforme as necessidades 
de produção e tão quanto à necessidade mercantis que aflorava cada vez mais tornando os produtores 
mais competitivos quanto ao aumento de oferta de suas produções. 
Atualmente a técnica utilizada para compreensão de como o capital se comporta em uma aplicação ao 
longo do tempo é realizado pela Matemática Financeira. De uma forma simplificada, podemos dizer que 
a Matemática Financeira é o ramo da Matemática Aplicada e/ou Elementar, que estuda o 
comportamento do dinheiro no tempo. A Matemática Financeira busca quantificar as transações que 
ocorrem no universo financeiro levando em conta, a variável tempo, quer dizer, o valor monetário no 
tempo (time value money). 
As principais variáveis envolvidas no processo de quantificação financeira são: o capital, a taxa de 
juros e o tempo. 
Capital 
Capital é todo o acúmulo de valores monetários em um determinado período de tempo constituindo 
assim a riqueza como expresso anteriormente. Normalmente o valor do capital é conhecido como 
principal (P). A taxa de juro (i), é a relação entre os Juros e o Principal, expressa em relação a uma 
unidade de tempo.(n) 
Juros 
Deve ser entendido como Juros, a remuneração de um capital (P), aplicado a uma certa taxa (i), 
durante um determinado período (n), ou seja, é o dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado. 
Portanto, Juros (J) = preço do crédito. 
A existência de Juros decorre de vários fatores, entre os quais destacam-se: 
a) inflação: a diminuição do poder aquisitivo da moeda num determinado período de tempo; 
b) risco: os juros produzidos de uma certa forma compensam os possíveis riscos do investimento. 
c) aspectos intrínsecos da natureza humana: quando ocorre de aquisição ou oferta de empréstimos a 
terceiros. 
 
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Costuma-se especificar taxas de juros anuais, trimestrais, semestrais, mensais, entre outros, motivo 
pelo qual deve-se especificar sempre o período de tempo considerado. 
Quando a taxa de juros incide no decorrer do tempo, sempre sobre o capital inicial, dizemos que temos 
um sistema de capitalização simples (Juros simples). Quando a taxa de juros incide sobre o capital 
atualizado com os juros do período (montante), dizemos que temos um sistema de capitalização 
composta (Juros compostos). 
Na prática, o mercado financeiro utiliza apenas os juros compostos, de crescimento mais rápido 
(veremos adiante, que enquanto os juros simples crescem segundo uma função do 1º grau – 
crescimento linear, os juros compostos crescem muito mais rapidamente – segundo uma função 
exponencial). 
Juros Simples 
O regime de juros simples é aquele no qual os juros incidem sempre sobre o capital inicial. Este 
sistema não é utilizado na prática nas operações comerciais, mas, a análise desse tema, como 
introdução à Matemática Financeira, é de uma certa forma, importante. 
Considere o capital inicial P aplicado a juros simples de taxa i por período, durante n 
períodos. 
Lembrando que os juros simples incidem sempre sobre o capital inicial, podemos escrever a seguinte 
fórmula, facilmente demonstrável: 
 
J = juros produzidos depois de n períodos, do capital P aplicado a uma taxa de juros por período 
igual a i. 
No final de n períodos, é claro que o capital será igual ao capital inicial adicionado aos juros produzidos 
no período. O capital inicial adicionado aos juros do período é denominado MONTANTE (M). Logo, 
teríamos: 
Exemplo: 
A quantia de R$ 3.000,00 é aplicada a juros simples de 5% ao mês, durante cinco anos. Calcule o 
montante ao final dos cinco anos. 
Solução: 
Temos: P = 3000, 
i = 5% = 5/100 = 0,05 e 
n = 5 anos = 5 x 12 = 60 meses. 
Portanto, M = 3.000,00 x (1 + 0,05 x 60) = 3.000,00 x (1+3) = R$ 12.000,00. 
A fórmula J = Pin, onde P e i são conhecidos, nos leva a concluir pela linearidade da função juros 
simples, senão vejamos: 
Façamos P.i = k. 
Teremos, J = k.n, onde k é uma constante positiva. (Observe que P . i > 0) 
J = P . i . n = Pin 
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M = P + J = P + P.i.n = P(1 + i.n) 
Ora, J = k.n é uma função linear, cujo gráfico é uma semi-reta passando pela origem. (Porque usei 
o termo semi-reta ao invés de reta?). Portanto, J/n = k, o que significa que os 
juros simples J e o número de períodos n são grandezas diretamente proporcionais. Daí infere-se que 
o crescimento dos juros simples obedece a uma função linear, cujo crescimento depende do produto 
P.i = k, que é o coeficiente angular da semi-reta J = kn. 
 
 
 
 
 
É comum nas operações de curto prazo onde predominam as aplicações com taxas referenciadas 
em juros simples, ter-se o prazo definido em número de dias. Nestes casos o número de dias pode 
ser calculado de duas maneiras: 
 Pelo tempo exato , pois o juro apurado desta maneira denomina-se juro exato, que é aquele 
que é obtido quando o período (n) está expresso em dias e quando o período é adotada a 
conversão de ano civil (365 dias) 
 Pelo ano comercial, pois o juro apurado desta maneira denomina-se juro comercial que é aquele 
calculado quando se adota como base o ano comercial (360 dias) 
Exercício Proposto 01: 
Calcule o montante ao final de dez anos de um capital R$ 10.000,00 aplicado à taxa de juros simples 
de 18% ao semestre (18% a.s). 
Resposta: R$ (?) 
Vimos anteriormente, que se o capital (P) for aplicado por (n) períodos, a uma taxa de juros simples (i), 
ao final dos n períodos, teremos que os juros produzidos serão iguais a J = Pin e que o montante 
(capital inicial adicionado aos juros do período) será igual a M = P(1 + in). 
O segredo para o bom uso destas fórmulas é lembrar sempre que a taxa de juros i e o período n têm 
de ser referidos à mesma unidade de tempo. 
 
0 
1º 
mês 
2º 
mês 
3º 
mês 
4º 
mês 
mese
s 
 
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Assim, por exemplo, se num problema, a taxa de juros for i =12% ao ano = 
12/100 = 0,12 e o período n = 36 meses, antes de usar as fórmulas deveremos colocá-las referidas à 
mesma unidade de tempo, ou seja: 
a) 12% ao ano, aplicado durante 36/12 = 3 anos , ou 
b) 1% ao mês = 12%/12, aplicado durante36 meses, etc. 
Exemplos: 
01 – Quais os juros produzidos pelo capital R$ 12.000,00 aplicados a uma taxa de juros simples de 
10% ao bimestre durante 5 anos? 
Solução 01: 
Temos que expressar i e nem relação à mesma unidade de tempo. 
Vamos inicialmente trabalhar com BIMESTRE (dois meses): 
i = 10% a.b. = 10/100 = 0,10 
n = 5 anos = 5 x 6 = 30 bimestres (pois um ano possui 6 bimestres) 
Então: J = R$ 12.000,00 x 0,10 x 30 = R$ 36.000,00 
Solução 02: 
Para confirmar, vamos refazer as contas, expressando o tempo em meses. 
Teríamos: 
i = 10% a x b = 10/2 = 5% ao mês = 5/100 = 0,05 n = 5 
anos = 5 x 12 = 60 meses 
Então: J = R$ 12.000,00 x 0,05 x 60 = R$ 36.000,00 
02 – Um certo capital é aplicado em regime de juros simples, a uma taxa mensal de 5%. Depois de 
quanto tempo este capital estará duplicado? 
Solução 01: 
Temos: M = P(1 + in). Logo, o capital estará duplicado quando M = 2P. Logo, vem: 
2P = P(1 + 0,05n); (observe que i = 5% a.m. = 5/100 = 0,05). 
Simplificando, fica: 
2 = 1 + 0,05n 1 = 0,05n, de onde conclui-se n = 20 meses ou 1 ano e oito meses. 
 
Exercício Proposto 02: 
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Um certo capital é aplicado em regime de juros simples, a uma taxa anual de 10%. Depois de quanto tempo 
este capital estará triplicado? 
Resposta: (?) anos. 
Juros Compostos 
 
O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros, segundo duas 
modalidades, a saber: 
a) Juros simples – ao longo do tempo, somente o principal rende juros; 
 
 
b) Juros compostos - após cada período, os juros são incorporados ao principal e passam, por sua 
vez, a render juros. Também conhecido como "juros sobre juros". 
 
O regime de juros compostos considera que os juros formados em cada período são acrescidos ao 
capital formando um montante, capital mais juros, do período. Este montante, por sua vez, passará a 
render juros no período seguinte formando um novo montante e assim sucessivamente.Pode-se dizer 
então, que cada montante formado é constituído do capital inicial, juros acumulados e dos juros sobre 
juros formados em períodos anteriores. 
 
Este processo de formação de juros compostos é diferente daquele descrito para os juros simples, 
onde somente o capital rende juros, não ocorrendo remuneração sobre os juros formados em períodos 
anteriores. 
 
Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um capital através juros simples e juros 
compostos, com um exemplo: 
 
Suponha que R$ 1.000,00 são empregados a uma taxa de 20% a.a.,por um período de 4 anos a juros 
simples e compostos Teremos: 
P= R$ 1.000,00 i= 20% a.a n= 4 anos 
 
n Juros Simples Juros Compostos 
 Juros por periodo Montante Juros por periodo Montante 
1 1.000,00 x 0,2 = 200 1.200,00 1.000,00 x 0,2 = 200 1.200,00 
2 1.000,00 x 0,2 = 200 1.400,00 1.200,00 x 0,2 = 240 1.440,00 
3 1.000,00 x 0,2 = 200 1.600,00 1.440,00 x 0,2 = 288 1.728,00 
4 1.000,00 x 0,2 = 200 1.800,00 1.728,00 x 0,2 = 346 2.074,00 
O gráfico a seguir permite uma comparação visual entre os montantes no regime de juros simples e de 
juros compostos. Verificamos que a formação do montante em juros simples é linear e em juros 
compostos é exponencial: 
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Fonte: Elaborado pelo autor 
Observe que o crescimento do principal segundo juros simples é LINEAR enquanto que o crescimento 
segundo juros compostos é EXPONENCIAL, portanto tem um crescimento muito mais "rápido". 
Exemplo 2: 
Um empresário faz uma aplicação de R$ 1.000,00 a taxa composta de 10% ao mês por um prazo de 
dois meses. 
1º Mês: 
O capital de R$ 1.000,00 produz um juros de R$ 100,00 (10% de R$ 1.000,00), pela fórmula dos juros 
simples já estudada anteriormente, ficaria assim: 
M = C x (1 + i) M = 1.000,00 x (1 + 0,10) M = 1.100,00 
2º Mês: 
O montante do mês anterior (R$ 1.100,00) é o capital deste 2º mês servindo de base para o cálculo 
dos juros deste período. Assim: 
M = 1.100,00 x (1 + 0,10) M = 1.210,00 
Tomando-se como base a fórmula dos juros simples o montante do 2º mês pode ser assim decomposto: 
M = C x (1 + i ) x (1 + i ) M = 1.000,00 x (1 + 0,10 ) x (1 + 0,10 ) 
M = 1.000,00 x (1 + 0,10)
2
 M = 1.210,00 
Exemplo 3: 
A loja São João financia a venda de uma mercadoria no valor de R$ 16.00,00, sem entrada, pelo 
prazo de 8 meses a uma taxa de 1,422. Qual o valor do montante pago pelo cliente. 
M = C x (1 + i) 
n 
M = 16.000,00 x (1 + 1,422)
8 
M = 22.753,61 
 
 
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Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as 
quantias geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros 
compostos na Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos. 
Fórmula para o cálculo de Juros compostos 
Considere o capital inicial (P) R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa mensal de juros compostos (i) de 10% (i 
= 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (principal + juros), mês a mês: 
• Após o 1º mês, teremos: M1 = 1000 x 1,1 = 1100 = 1000(1+0,1) 
 
• Após o 2º mês, teremos: M2 = 1100 x 1,1 = 1210 = 1000(1+0,1)
2
 
• Após o 3º mês, teremos: M3 = 1210 x 1,1 = 1331 = 1000(1 + 0,1)
3
 
Dando continuidade ao raciocínio dos juros compostos, a evolução dos juros que incide a um capital 
para cada um dos meses subseqüentes Após o nº (enésimo) mês o montante acumulado ao final do 
período atingiria : 
S = 1000 (1 + 0,1) 
n
 
De uma forma genérica, teremos para um principal P, aplicado a uma taxa de juros compostos i 
durante o período n : 
 
ou 
Onde: 
S / M = montante; 
P / C = principal ou capital inicial ; 
i = taxa de juros e 
n = número de períodos que o principal P (capital inicial) foi aplicado. 
NOTA: Na fórmula acima, as unidades de tempo referentes à taxa de juros (i) e do período (n), tem de 
ser necessariamente iguais. Este é um detalhe importantíssimo, que não pode ser esquecido! Assim, 
por exemplo, se a taxa for 2% ao mês e o período 3 anos, deveremos considerar 2% ao mês durante 3 
x 12=36 meses. 
Taxa Nominal e Taxa Real 
 
Taxa nominal 
 
A taxa nominal de juros relativa a uma operação financeira, pode ser calculada pela expressão: 
Taxa nominal = Juros pagos / Valor nominal do empréstimo 
Assim, por exemplo, se um empréstimo de $100.000,00, deve ser quitado ao final de um ano, pelo 
valor monetário de $150.000,00, a taxa de juros nominal será dada por: 
M = C (1 + i ) n S = P (1 + i) n 
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Juros pagos = Jp = $150.000 – $100.000 = $50.000,00 Taxa 
nominal = in = $50.000 / $100.000 = 0,50 = 50% 
Taxa Real 
A taxa real expurga o efeito da inflação. 
Um aspecto interessante sobre as taxas reais de juros é que, elas podem ser inclusive, negativas! 
Vamos encontrar uma relação entre as taxas de juros nominal e real. Para isto, vamos supor que um 
determinado capital P é aplicado por um período de tempo unitário, a uma certa taxa nominal in . 
O montante S1 ao final do período será dado por S1 = P(1 + in).Consideremos agora que durante o 
mesmo período, a taxa de inflação (desvalorização da moeda) foi igual a j. O capital corrigido por esta 
taxa acarretaria um montante S2 = P (1 + j). 
A taxa real de juros, indicada por r, será aquela que aplicada ao montante S2, produzirá o montante S1. 
Poderemos então escrever: 
S1 = S2 (1 + r) 
Substituindo S1 e S2 , vem: 
P(1 + in) = (1+r). P (1 + j) 
Daí então, vem que: 
 (1 + in) = (1+r). (1 + j), onde: 
in = taxa de juros nominal 
j = taxa de inflação no período r = 
taxa real de juros 
Observe que se a taxa de inflação for nula no período, isto é, j = 0, teremos que as taxas nominal e 
real são coincidentes. 
Veja o exemplo a seguir: 
Numa operação financeira com taxas pré-fixadas, um banco empresta $120.000,00 para ser pago em 
um ano com $150.000,00. Sendo a inflação duranteo período do empréstimo igual a 10%, pede-se 
calcular as taxas nominal e real deste empréstimo. 
Teremos que a taxa nominal será igual a: 
in = (150.000 – 120.000)/120.000 = 30.000/120.000 = 0,25 = 25% 
Portanto in = 25% 
Como a taxa de inflação no período é igual a j = 10% = 0,10, substituindo na fórmula anterior, vem: 
 (1 + in) = (1+r). (1 + j) 
 (1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,10) 
1,25 = (1 + r).1,10 
1 + r = 1,25/1,10 = 1,1364 
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Portanto, r = 1,1364 – 1 = 0,1364 = 13,64% 
Se a taxa de inflação no período fosse igual a 30%, teríamos para a taxa real de juros: (1 + 0,25) = (1 
+ r).(1 + 0,30) 
1,25 = (1 + r).1,30 
1 + r = 1,25/1,30 = 0,9615 
Portanto, r = 0,9615 – 1 = -,0385 = -3,85% e, portanto teríamos uma taxa real de juros negativa! 
Valor Presente e Valor Futur 
Deve ser acrescentado ao estudo dos juros compostos que o capital é também chamado de valor 
presente (PV) e que este não se refere necessariamente ao momento zero. Em verdade, o valor 
presente pode ser apurado em qualquer data anterior ao montante também chamado de valor futuro 
(FV). 
As fórmulas do valor presente (PV) e do valor futuro (FV) são iguais já vistas anteriormente, basta 
trocarmos seus correspondentes nas referidas fórmulas, assim temos: 
 
ou 
 
 
Onde (1 + i) 
n
 é chamado de fator de capitalização do capital, FCC (i,n) a juros compostos, e 1 / (1 + i) 
n
 é chamado de fator de atualização do capital, FAC (i,n) a juros compostos. 
A movimentação de um capital ao longo de uma escala de tempo em juros compostos se processa 
mediante a aplicação destes fatores, conforme pode ser visualizado na ilustração abaixo: 
 
Observe que FV no período n é equivalente a PV no período zero, se levarmos em conta a taxa de 
juros i. Esta interpretação é muito importante, como veremos no decorrer do curso. É conveniente 
registrar que existe a seguinte convenção: seta para cima, sinal positivo (dinheiro recebido) e seta para 
baixo, sinal negativo (dinheiro pago). Esta convenção é muito importante, inclusive quando se usa a 
M = C x (1 + i ) n ou FV= PV (1 + i ) 
n
 
PV = FV x FAC ( i , n ) 
FV PV 
 
FV PV 
FV = PV x FCC ( i , n ) 
PV = FV 
(1 + i ) 
n
 
C = M 
(1 + i ) n 
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calculadora HP 12C. Normalmente, ao entrar com o valor presente VP numa calculadora financeira, o 
fazemos seguindo esta convenção, mudando o sinal da quantia considerada como PV para negativo, 
usando a tecla CHS, que significa uma abreviação de "change signal", ou seja, "mudar o sinal". É 
conveniente ressaltar que se entrarmos com o PV positivo, a calculadora expressará o FV como um 
valor negativo e vice versa, já que as calculadoras financeiras, e aí se inclui a HP 12C, foram 
projetadas, 
considerando esta convenção de sinais. Usaremos sempre a convenção de sinal negativo para VP e 
em conseqüência, sinal positivo para FV. Veremos com detalhes este aspecto, no desenvolvimento do 
curso. 
Exemplos Práticos: 
Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa 
de juros composta de 3,5% a .m.? 
Solução: 
PV = R$ 12.000,00 
n = 8 meses 
i = 3,5 % a . m. 
FV = ? 
FV= PV (1 + i) 
n
 FV= 12.000,00 (1+0,035)
8
 
 
 
FV= 12.000,00 X 1,316 FV= R$ 15.801,71 
Se uma pessoa deseja obter R$ 27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela depositar hoje numa 
poupança que rende 1.7% de juros compostos ao mês? 
Solução: 
FV = R$ 27.500,00 
n = 1 ano (12 meses) i = 
1.7% a . m. 
PV = ? 
PV = FV . PV = 27.500,00 . PV = 
 27.500,00 (1 + i) 
n
 (1 + 0,017) 
12
 
 1,224 
PV = 22.463,70 
Exercícios Propostos 03: 
Aplicando-se R$ 1.000,00 por um prazo de dois anos a uma taxa de 5% ao semestre, qual será o 
montante no fim do período? 
Resposta: R$ (?) 
Exercícios Propostos 04: 
Um capital de R$ 2.000.000,00 é aplicado durante um ano e três meses à taxa de 2% a.m. Quais 
os juros gerados no período? 
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Resposta: R$ (?) 
Exercícios Propostos 05: 
Determinado capital aplicado a juros compostos durante 12 meses, rende uma quantia de juros igual ao 
valor aplicado. Qual a taxa mensal dessa aplicação? 
Resposta: R$ (?) 
Exercícios Propostos 06: 
Calcule o montante de R$1.000,00 aplicados a 10% a.a. durante 50 dias. 
Resposta: R$ (?) 
Equivalência Financeira 
 
Diz-se que dois capitais são equivalentes a uma determinada taxa de juros, se os seus valores em um 
determinado período n, calculados com essa mesma taxa, forem iguais. 
Exemplo 01: 
 
1º Conjunto 2º Conjunto 
Capital (R$) Vencimento Capital (R$) Vencimento 
1.100,00 1 º a.a 2.200,00 1 º a.a 
2.420,00 2 º a.a 1.210,00 2 º a.a 
1.996,50 3 º a.a 665,5 3 º a.a 
732,05 4 º a.a 2.196,15 4 º a.a 
 
Verificar se os conjuntos de valores nominais, referidos à data zero, são equivalentes à taxa de juros 
de 10% a.a. 
Para o 1.º conjunto: 
P0 = 1.100 x FAC (10%; 1) + 2.420 x FAC (10%; 2) + 
+ 1.996,50 x FAC (10%; 3) + 732,05 x FAC (10%; 4) 
P0 = 1.000 + 2.000 + 1.500 + 500 
P0 = 5.000,00 
Para o 2.º conjunto: 
P0 = 2.200 x FAC (10%; 1) + 1.210 x FAC (10%; 2) + 
+ 665,50 x FAC (10%; 3) + 2.196,15 x FAC (10%; 4) 
P0 = 2.000 + 1.000 + 500 + 1.500 
P0 = 5.000,00 
Logo os dois conjuntos de capitais são equivalentes, pois P0 de um é igual ao P0 de 
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outro. 
Exemplo 02 : 
 
Seja um capital de R$ 10.000,00, que pode ser aplicado alternativamente à taxa de 2% 
a.m ou de 24% a.a. Supondo um prazo de aplicação de 2 anos, verificar se as taxas são equivalentes: 
 
Solução: 
Aplicando o principal à taxa de 2% a.m. e pelo prazo de 2 anos teremos: 
J1 = R$ 10.000,00 x 0,02 x 24 = R$ 4.800,00 
Agora se aplicarmos o principal à taxa de 24% a.a. e pelo prazo de 2 anos teremos: 
J2 = R$ 10.000,00 x 24 x 2 = R$ 4.800,00 
OBS: Na utilização das fórmulas o prazo de aplicação (n) e a taxa (i) devem estar expressos na 
mesma unidade de tempo. Caso não estejam, é necessário ajustar o prazo ou a taxa. 
Descontos Simples 
 
Existem dois tipos básicos de descontos simples nas operações financeiras: o desconto comercial e o 
desconto racional. Considerando-se que no regime de capitalização simples, na prática, usa-se sempre 
o desconto comercial, este será o tipo de desconto a ser abordado a seguir. 
• Desconto Racional: Nesta modalidade de desconto a “recompensa pela liquidação do título antes de 
seu vencimento é calculada sobre o valor a ser liberado (Valor Atual).Incorpora os conceitos e relações 
básicas de juros simples. Veja”: 
 
J = P . i . n => D = VD . d . n 
• Desconto Comercial: Nesta modalidade de desconto a “recompensa pela liquidação do título antes 
de seu vencimento é calculada sobre o Valor Nominal do título. Incorpora os conceitos de juros 
bancários que veremos detalhadamente a seguir”: 
 
J = P . i . n => D = VN . d . n 
Vamos considerar a seguinte simbologia: 
N = valor nominal de um título. V = valor líquido, após o desconto. 
Dc = desconto comercial. d = taxa de descontos simples. 
n = número de períodos. 
Teremos: 
V = N - Dc 
No desconto comercial, a taxa de desconto incide sobre o valor nominal N do título. 
Logo: 
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Dc = Ndn 
Substituindo, vem: V 
= N(1 - dn) 
Exemplo: 
Considere um título cujo valor nominal seja R$10.000,00. Calcule o desconto comercial a ser 
concedido para um resgate do título 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto 
de 5% a.m. 
Solução: 
V = 10000 . (1 - 0,05 . 3) = 8500 
 
Dc = 10000 - 8500 = 1500 
 
Resp: valor descontado = R$ 8.500,00; desconto = R$1.500,00 
 
Desconto Bancário 
 
Nos bancos, as operações de desconto comercial são realizadas de forma a contemplar as despesas 
administrativas (um percentual cobrado sobre o valor nominal do título) e o IOF - impostosobre 
operações financeiras. 
É óbvio que o desconto concedido pelo banco, para o resgate de um título antes do vencimento, 
através desta técnica, faz com que o valor descontado seja maior, resultando num resgate de menor 
valor para o proprietário do título. 
Exemplo: 
Um título de R$ 100.000,00 é descontado em um banco, seis meses antes do vencimento, à taxa de 
desconto comercial de 5% a.m. O banco cobra uma taxa de 2% sobre o valor nominal do título como 
despesas administrativas e 1,5% a.a. de IOF. Calcule o valor líquido a ser recebido pelo proprietário do 
título e a taxa de juros efetiva da operação 
Solução: 
Desconto comercial: Dc = 100000 . 0,05 . 6 = 30000 
Despesas administrativas: da = 100000 . 0,02 = 2000 
IOF = 100000 . (0,015/360) . 180 = 750 
Desconto total = 30000 + 2000 + 750 = 32750 
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Daí, o valor líquido do título será: 100000 - 32750 = 67250 Logo, 
V = R$ 67.250,00 
A taxa efetiva de juros da operação será: i = [(100000/67250) - 1].100 = 8,12% a. m. 
Observe que a taxa de juros efetiva da operação, é muito superior à taxa de desconto, o que é amplamente 
favorável ao banco. 
Duplicatas 
Recorrendo a um dicionário encontramos a seguinte definição de duplicata: Título de crédito formal, 
nominativo, emitido por negociante com a mesma data, valor global e vencimento da fatura, e 
representativo e comprobatório de crédito preexistente (venda de mercadoria a prazo), destinado a 
aceite e pagamento por parte do comprador, circulável por meio de endosso, e sujeito à disciplina do 
direito cambiário. 
Observação: 
a) A duplicata deve ser emitida em impressos padronizados aprovados por Resolução do Banco 
Central. 
 
b) Uma só duplicata não pode corresponder a mais de uma fatura. 
 
Considere que uma empresa disponha de faturas a receber e que, para gerar capital de giro, ela dirija-
se a um banco para trocá-las por dinheiro vivo, antecipando as receitas. Entende-se como duplicatas, 
essas faturas a receber negociadas a uma determinada taxa de descontos com as instituições 
bancárias. 
Exemplo: 
Uma empresa oferece uma duplicata de R$ 50000,00 com vencimento para 90 dias, a um determinado 
banco. Supondo que a taxa de desconto acertada seja de 4% a. m. e que o banco, além do IOF de 
1,5% a.a. , cobra 2% relativo às despesas administrativas, determine o valor líquido a ser resgatado 
pela empresa e o valor da taxa efetiva da operação. 
Solução: 
Desconto comercial = Dc = 50000 . 0,04 . 3 = 6000 
Despesas administrativas = Da = 0,02 . 50000 = 1000 IOF 
= 50000(0,015/360).[90] = 187,50 
Teremos então: 
Valor líquido = V = 50000 - (6000 + 1000 + 187,50) = 42812,50 
Taxa efetiva de juros = i = [(50000/42812,50) - 1].100 = 16,79 % a.t. = 5,60% a.m. Resp: V 
= R$ 42812,50 e i = 5,60 % a.m. 
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Exercícios Propostos 07: 
Um título de R$ 5.000,00 vai ser descontado 60 dias antes do vencimento. Sabendo-se que a taxa de 
juros é de 3% a.m., pede-se calcular o desconto comercial e o valor descontado. 
Resposta: R$ (?) 
Exercícios Propostos 08: 
Um banco realiza operações de desconto de duplicatas a uma taxa de desconto comercial de 12% a . 
a., mais IOF de 1,5% a . a. e 2% de taxa relativa a despesas administrativas. Além disto, a título de 
reciprocidade, o banco exige um saldo médio de 10% do valor da operação. Nestas condições, para 
uma duplicata de valor nominal R$ 50000,00 que vai ser descontada 3 meses antes do vencimento, 
pede-se calcular a taxa efetiva de juros da operação. Resposta: R$ (?) 
 
Fluxo de Caixa 
 
Conjunto de entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo. Um diagrama de fluxo de 
caixa, é simplesmente a representação gráfica numa reta, dos períodos e dos valores monetários 
envolvidos em cada período, considerando-se uma certa taxa de juros i. 
Traça-se uma reta horizontal que é denominada eixo dos tempos, na qual são representados os 
valores monetários, considerando-se a seguinte convenção: 
• dinheiro recebido seta para cima 
• dinheiro pago seta para baixo. 
Exemplo: 
Veja o diagrama de fluxo de caixa a seguir: 
 
O diagrama da figura acima, por exemplo, representa um projeto que envolve investimento inicial de 
800, pagamento de 200 no terceiro ano, e que produz receitas de 500 no primeiro ano, 200 no 
segundo, 700 no quarto e 200 no quinto ano. 
 
Convenção: 
dinheiro recebido flecha para cima valor positivo 
dinheiro pago flecha para baixo valor negativo 
Vamos agora considerar o seguinte fluxo de caixa, onde C0, C1, C2, C3, ..., Cn são capitais referidos às 
datas, 0, 1, 2, 3, ..., n para o qual desejamos determinar o valor presente (PV). 
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O problema consiste em trazer todos os capitais futuros para uma mesma data de referencia. Neste 
caso, vamos trazer todos os capitais para a data zero. Pela fórmula de Valor Presente vista acima, 
concluímos que o valor presente resultante - NPV - do fluxo de caixa, também conhecido como Valor 
Presente Líquido (VPL), dado será: 
 
Esta fórmula pode ser utilizada como critério de escolha de alternativas, como veremos nos 
exercícios a seguir. 
Exercícios: 
1 - Numa loja de veículos usados são apresentados ao cliente dois planos para pagamento de um 
carro: 
Plano A: dois pagamentos, um de $ 1.500,00 no final do sexto mês e outro de $ 2.000,00 no final do 
décimo segundo mês. 
Plano B: três pagamentos iguais de $ 1.106,00 de dois em dois meses, com início no final do segundo mês. 
Sabendo-se que a taxa de juros do mercado é de 4% a.m., qual o melhor plano de pagamento? 
Solução: 
Inicialmente, devemos desenhar os fluxos de caixa correspondentes: 
Plano A: 
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Plano B: 
Teremos para o plano A: 
 
Para o plano B, teremos: 
 
Como o plano A nos levou a um menor valor atual (ou valor presente), concluímos que este plano A é 
mais atraente do ponto de vista do consumidor. 
Exercício: 
1 - Um certo equipamento é vendido à vista por $ 50.000,00 ou a prazo, com entrada de $ 17.000,00 
mais três prestações mensais iguais a $ 12.000,00 cada uma, vencendo a primeira 
 
um mês após a entrada. Qual a melhor alternativa para o comprador, se a taxa mínima de atratividade é de 
5% a.m.? 
Solução: 
Vamos desenhar os fluxos de caixa: 
À vista: 
A prazo: 
______________________________________________________________________________________ 
______________________________________________________________________________________ 
______________________________________________________________________________________ 
______________________________________________________________________________________ 
______________________________________________________________________________________ 
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Vamos calcular o valor atual para esta alternativa: 
 
Como o valor atual da alternativa a prazo é menor, a compra a prazo neste caso é a melhor 
alternativa, do ponto de vista do consumidor. 
Exercício: 
1 - Um equipamento pode ser adquirido pelo preço de $ 50.000,00 à vista ou, a prazo conforme o 
seguinte plano: 
 
Entrada de 30% do valor à vista, mais duas parcelas, sendo a segunda 50% superior à primeira, 
vencíveis em quatro e oito meses, respectivamente. Sendo 3% a.m. a taxa de juros do mercado, 
calcule o valor da última parcela. 
Solução 
 
Teremos: 
 
______________________________________________________________________________________ 
______________________________________________________________________________________ 
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Resolvendo a equação acima, obtemos x = 19013,00 
Portanto, o valor da prestação é $19013,00. 
Exercício Proposto 09: 
Uma loja vende determinado tipo de televisor nas seguintes condições: R$ 400,00 de entrada, maisduas parcelas mensais de R$ 400,00, no final de 30 e 60 dias respectivamente. Qual o valor à vista do 
televisor se a taxa de juros mensal é de 3% ? 
Resposta: R$ (?) 
Noção Elementar de Inflação e Saldo Médio Bancário 
Outro conceito importante no estudo da Matemática Financeira é o de inflação. 
Entenderemos como INFLAÇÃO num determinado período de tempo, como sendo o aumento médio de 
preços, ocorrido no período considerado, usualmente medido por um índice expresso como uma taxa 
percentual relativa a este mesmo período. 
Para ilustrar uma forma simples o conceito elementar de inflação apresentamos acima, vamos considerar a 
tabela abaixo, onde está indicado o consumo médio mensal de uma determinada família em dois meses 
distintos e os custos decorrentes associados: 
 
Indicadores Mês 01 Mês 02 
Produto Quantidade Preço ($) Subtotal Preço ($) Subtotal 
Arroz 5 kg 1,20 6,00 1,30 6,50 
Carne 15 kg 4,50 67,50 4,80 72,00 
Feijão 4 kg 1,69 6,76 1,80 7,20 
Óleo 2 latas 2,40 4,80 2,45 4,90 
Leite 20 litros 1,00 20,00 1,10 22,00 
Café 1 kg 7,60 7,60 8,00 8,00 
Açúcar 10 kg 0,50 5,00 0,65 6,50 
Passagens 120 0,65 78,00 0,75 90,00 
TOTAL ********** 195,66 ********** 217,10 
A variação percentual do preço total desta cesta de produtos, no período considerado é igual a: 
V = [(217,10 / 195,66) - 1] x 100 = 0,1096 = 10,96 % 
Diremos então que a inflação no período foi igual a 10,96 %. 
Notas: 
a) Para o cálculo de índices reais de inflação, o número de itens considerado é bastante superior e são 
obtidos através de levantamento de dados em determinadas amostras da população, para se determinar 
através de métodos estatísticos, a "cesta de mercado", que subsidiará os cálculos; 
b) A metodologia sugerida no exemplo acima é conhecida como método de Laspeyres ; 
c) Podemos entender agora os motivos que determinam as diferenças entre os índices de inflação 
calculados entre instituições distintas tais como FIPE, FGV, DIEESE, entre outras. 
 
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Juros e saldo médio em contas correntes 
 
Vamos considerar o caso de uma conta corrente, da qual o cliente saca e deposita recursos ao longo do 
tempo. Vamos ver nesta seção, a metodologia de cálculo do saldo médio e dos juros mensais 
decorrentes da movimentação dessa conta. 
As contas correntes associadas aos "cheques especiais" são exemplos corriqueiros da aplicação prática 
da metodologia a ser apresentada. 
Juros em contas correntes (cheques especiais) 
 
Considere os capitais C1, C2, C3, ... , Ck aplicados pelos prazos n1, n2, n3, ... , nk, à taxa de juros simples 
i. A fórmula abaixo, permite o cálculo dos juros totais J produzidos no período considerado: 
J = i.(C1.n1 + C2.n2 + C3.n3 + ... + Ck.nk) 
O cálculo dos juros pelo método acima (conhecido como "Método Hamburguês") é utilizado para a 
determinação dos juros sobre os saldos devedores dos "cheques especiais". 
 
Serie de Pagamentos 
 
Série de pagamentos - é um conjunto de pagamentos de valores R1, R2, R3, ... Rn, 
distribuídos ao longo do tempo correspondente a n períodos, podendo esses pagamentos 
serem de valores constantes ou de valores distintos. O conjunto de pagamentos (ou recebimentos) ao 
longo dos n períodos, constitui - se num fluxo de caixa. Vamos resolver a seguir, os problemas nos 
quais R1 = R2 = R3 = ... Rn = R, ou seja: pagamentos (ou recebimentos) iguais. 
 
Quando a série de pagamentos (ou recebimentos) se inicia um período após a data 
zero, o fluxo recebe o nome de POSTECIPADO. Quando o início dos pagamentos ou 
recebimentos ocorre na data zero, o fluxo recebe o nome de ANTECIPADO. 
Exemplos: 
1 - Pagamentos no início dos períodos: Fluxo ANTECIPADO 
 
 
2 - Pagamentos no final dos períodos: Fluxo POSTECIPADO 
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Fator de acumulação de capital – FAC 
 
O problema a resolver é o seguinte: 
 
Determinar a quantia S acumulada a partir de uma série uniforme de pagamentos iguais a R, sendo i a taxa 
de juros por período 
Vamos considerar dois casos: fluxo postecipado e fluxo antecipado. 
 
NOTA: na calculadora HP12C, R é expressa pela tecla PMT (pagamentos periódicos). 
Portanto R e PMT possuem o mesmo sentido, ou seja, a mesma interpretação. Da mesma forma, S 
corresponde a FV na calculadora HP 12C. 
 
A) Fluxo postecipado 
 
Considere o fluxo de caixa postecipado a seguir, ou seja: os pagamentos são feitos nos finais dos períodos. 
Vamos transportar cada valor R para o tempo n, supondo que a taxa de juros é igual a i 
, lembrando que se trata de um fluxo de caixa POSTECIPADO, ou seja, os pagamentos são realizados no 
final de cada período. 
Teremos: 
S = R(1+i)
n-1
 + R(1+i)
n-2
 + R(1+i)
n-3
 + ... + R(1+i) + R 
Colocando R em evidencia, teremos: 
S = R[(1+i)
n-1
 + (1+i)
n-2
 + (1+i)
n-3
 + ... + (1+i) + 1] 
Observe que a expressão entre colchetes é a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica 
de primeiro termo (1+i)
n-1
, último termo 1 e razão 1/(1+i). 
Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica, teremos: 
Nota: em caso de dúvida, consulte sobre Progressão Geométrica 
(1+i)
n-1
 + (1+i)
n-2
 + (1+i)
n-3
 + ... + (1+i) + 1 = 
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Substituindo o valor encontrado acima, vem finalmente que: 
 
• o fator entre colchetes é denominado Fator de acumulação de capital – FAC(i,n). 
 
• assim, teremos: S = R . FAC(i,n). Os valores de FAC(i,n) são tabelados. Na prática, utilizam-se as 
calculadoras científicas ou financeiras, ao invés das tabelas. 
 
Usando-se a simbologia adotada na calculadora HP 12C, onde R = PMT e S = FV, teremos a fórmula a 
seguir: 
 
Fator de valor atual – FVA 
 
Considere o seguinte problema: 
Determinar o principal P que deve ser aplicado a uma taxa i para que se possa retirar o valor R em cada um 
dos n períodos subseqüentes. 
Este problema também poderia ser enunciado assim: qual o valor P que financiado à taxa i por 
período, pode ser amortizado em n pagamentos iguais a R? 
Fluxo postecipado (pagamentos ao final de cada período, conforme figura a seguir): 
______________________________________________________________________________________ 
______________________________________________________________________________________ 
______________________________________________________________________________________ 
______________________________________________________________________________________ 
______________________________________________________________________________________ 
______________________________________________________________________________________ 
______________________________________________________________________________________ 
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Trazendo os valores R para o tempo zero, vem: 
O fator entre colchetes representa a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de 
primeiro termo 1/(1+i), razão 1/(1+i) e último termo 1/(1+i)
n
. 
Teremos então, usando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica. 
O fato r entre colchetes será então igual a: 
 
 
Substituindo, vem finalmente: 
 o fator entre colchetes é denominado Fator de valor atual – FVA(i,n); 
 assim, teremos: P = R . FVA(i,n). Os valores de FVA(i,n) são tabelados; 
 observe que P corresponde a PV e R corresponde a PMT na calculadora HP 12C. 
 
Usando a simbologia da calculadora HP 12C, a fórmula acima ficaria: 
 
Sistema De Amortização De Empréstimos 
Sistema De Amortização Constante – (SAC) 
Nesse sistema as parcelas de amortização são iguais entre si. Os juros são calculados a cada período 
multiplicando-se a taxa de juros contratada pelo saldo devedor existente no período. 
 
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A  n.A  P 
• Amortização numa data genéricat 
Os valores são sempre iguais e obtidos por A= P/n onde A1 = A2 = A3 = ... An = A = cte e n = prazo total 
Isso implica que a soma das n amortizações iguais seja: 
 
 
 
• Saldo Devedor numa data genérica t 
 
No sistema SAC o saldo devedor decresce linearmente em um valor igual à amortização A = P/n . 
Assim, o saldo devedor, logo após o pagamento da prestação ( AMORTIZAÇÃO + JUROS ) 
correspondente, será: 
 
Assim, o valor dos juros pagos na referida data será: 
 
ou então: 
 
 
Onde: n = prazo total 
t = o momento desejado 
Somatório dos Juros 
Como a variação de juros no Sistema SAC se trata de uma progressão aritmética, o somatório dos 
juros de um determinado período se faz utilizando a fórmula do somatório dos n termos de uma P.A. 
Com isso: 
 
Jt = Ai (n – t + 1) 
Jt = Pi – (t – 1).Ai 
t = 1 
1 t 
2 
 
( J  J )t 
  J = 
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Prestação Numa Data Genérica T 
Soma-se a amortização do momento desejado (que é constante em todos os momentos) como os juros 
referentes a este momento. 
R1 1 
R2 2 
R3 3 
Rt t 
 
Assim , o pagamento de um financiamento pelo sistema SAC, num prazo de n períodos e à uma taxa 
i por período seria como o diagrama e a tabela abaixo: 
 
 
DATA S aldo Devedor Juros Amortização P res tação 
T P t = P t- 1 - A Jt = P t- 1 . i At = A = P / n Rt = A + Jt 
0 P 0 = P - - - 
1 P 1 = P – A J1 = P . i A1 = A R1 = A + J1 
2 P 2 = P 1 – A J2 = P 1 . i A2 = A R2 = A + J2 
3 P 3 = P 2 – A J3 = P 2 . i A3 = A R3 = A + J3 
4 P t = P t- 1 – A Jt = P t- 1 . i At = A R4 = A + J4 
n P n = P n- 1 – A Jn = P n- 1 . i An = A Rn = A + Jn 
Orde m de 
Obte nção 
das Parc e 
las 
 
2.º 
 
3.º 
 
1.º 
 
4.º 
Vejamos agora um exemplo numérico: 
 
P = $ 1.000,00 
n = 4 prestações i 
= 2% a.p. 
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t Saldo Devedor Amortização Juros P res tação 
0 1.000,00 - - - 
1 750,00 250,00 20,00 270,00 
2 500,00 250,00 15,00 265,00 
3 250,00 250,00 10.00 260,00 
4 0,00 250,00 5,00 255,00 
 
Sistema De Prestações Constantes - (PRICE) Prestação 
Numa Data Genérica T 
No sistema PRICE a prestação é constante e em qualquer data t o seu valor é dado por: 
 
Rt = R1 = R2 = ... = Rn = cte. 
Rt = R = P x FPR(i,n) = constante 
Juros Numa Data Genérica T 
Os juros de um determinado período são calculados sobre o saldo devedor do período anterior. 
 
Ou Jt = Rt - At Rt = R = cte. 
Jt = R - At 
Ou Jt = R - At = R - A1(1 + i)
t-1
 A1 = R – J1 = R – 
P.i 
Assim: Jt = R – ( R – P.i ) ( 1 + i )
t-1
 
Amortização numa data genérica t 
No sistema PRICE o crescimento das amortizações é exponencial ao longo do tempo. 
Dado que At=R – Jt e J= P.i, então: 
DATA 1 – final do 1.º período 
Juros = J1 = P.i 
Amortização = A1 = R – J1 = ( R - P.i) 
DATA 2 – final do 2.º período 
Juros = J2 = P1.i = [ P (1 + i) – R ].i = [ P (1 + i).i – R.i ] 
 
Jt = i . Pt-1 
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Amortização = A2 = R – J2 = R - P.( 1 + i).i + R = R.(1 + i ) – P.(1 + i).i 
= (R – P.i) . (1 + i) = A2 = A1 (1 + i) 
DATA 3 – final do 3.º período 
Juros = J3 = P2.i = P.i – A1.i – A1 (1 + i).i 
Amortização = A3 = R – J3 = R - [P.i – A1.i - A1 (1 + i).i] A3 = (R - 
P.i) + A1.i + A1 (1 + i).i 
= A1 + A1.i + A1 (1 + i).i 
= A1 (1 + i) + A1 (1 + i).i 
= A1 (1 + i).(1 + i) 
A3 = A1 (1 + i)
2
 
Então teríamos: 
A2 = A1 ( 1 + i ) A3 = A1 ( 1 + i )
2
 A4 = A1 ( 1 
+ i )
3
 
... ..... ... An = A1 ( 
1 + i )
n-1
 
O que comprovaria a expressão: 
At = A1.(1 + i)
t-1
 ; para uma data genérica t ou At = A1. FPS(i%, ( t - 1)) 
Para testar a consistência da fórmula acima: 
A1 = 22.192 t = 3 
i = 8% a.a. A3 = ? 
At = A1.(1 + i)
t-1
 A3 = 22.192.(1 + 0,08)
2
 A3 = 
22.192 x 1,1664 = 25.884,75 
Ou 
At = A1 x FPS [ i , (t-1) ] pois (1 + i)
t-1
 = FPS [ i , (t-1) ] desse modo, no exemplo 
anterior teríamos: 
A3 = 22.192 x FPS( 8%,2) = 22.192 x 1,1664 = 25.884,75 
Saldo Devedor numa data genérica t 
O Saldo devedor de um determinado período é dado pela diferença entre o saldo devedor do período 
anterior e a amortização do período. 
 
Assim para um empréstimo P ;a taxa de juros i por período com um prazo de N períodos ; poderíamos 
elaborar seguinte 
Pt = Pt-1 – At Pt = R x FRP [i%, ( n – t )] 
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Datas Saldo Devedor Juros 
P res taçõ es 
Cons tantes 
Amortização 
(t ) P t = P t- 1 - At Jt = P t- 1 . i Rt = R At = R – Jt 
0 P o = P - - - 
1 P 1 = P – A1 J1 = P .i R A1 = R – J1 
2 P 2 = P 1 – A2 J2 = P 1.i R A2 = R – J2 
3 P 3 = P 2 – A3 J3 = P 2.i R A3 = R – J3 
T P t = P t- 1 – At Jt = P t- 1.i R At = R – Jt 
. . . . . . . . . . . . . . . . . 
N P n = P n- 1 – An Jn = P n- 1.i R An = R – Jn 
 
TOTAIS 
 
n 
J t n.R 
 
1 
 
 
A t 
Ordem de 
obtenção 
de parcelas 
 
4.º 
 
2 .º 
 
1.º 
 
3 .º 
Vejamos agora um exemplo numérico: 
P = 1.000,00 
i = 2% a.p. 
n = 4 prestações 
 
t Saldo Devedor Amortização Juros P res tação 
0 1.000,00 - - - 
1 757,38 242,62 20,00 262,62 
2 509,91 247,47 15,15 262,62 
3 257,49 252,42 10,20 262,62 
4 - 257,49 5,15 262,62 
 
 
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Um financiamento pelo Sistema Price pode ser calculado utilizando-se máquinas financeiras, pois suas 
prestações são constantes. 
Sistema De Amortização Mista – (SAM) 
 
Aqui o valor da prestação é obtido através da média aritmética das prestações obtido através do sistema 
PRICE e SAC. 
Ex.: 
P = 1.000,00 i = 8 % a.a. n = 4 anos 
S IS T. P RICE 
ANO 
 
S A LDO 
DEVEDOR 
Juros P res tação Amotização S aldo Final 
 1.000,00 
1 1.000,00 80,00 301,92 221,92 778,08 
2 778.08 62,25 301,92 239,67 538,41 
3 538,41 43,07 301,92 258,85 279,56 
4 270,56 22,36 301,92 279,56 
 
S IS T. SAC 
ANO 
 
S A LDO 
DEVEDOR 
Juro s P res tação Amotização S aldo Final 
 1.000,00 
1 100,00 80,00 330,00 250,00 750,00 
2 750,00 60,00 310,00 250,00 500,00 
3 500,00 40,00 290,00 250,00 250,00 
4 250,00 20,00 270,00 250,00 
S IST. SAM 
Ano P res t . P RICE P REST. SAC S OMA P REST. S AM 
1 301,92 330,00 631,92 315,96 
2 301,92 310,00 611,92 305,96 
3 301,92 290,00 591,92 295,96 
4 301,92 270,00 571,92 285,96 
 
Essa modalidade de pagamento é conhecida como Sistema de Amortização Mista 
(SAM) e vem sendo utilizada na liquidação de financiamento imobiliário. 
______________________________________________________________________________________ 
______________________________________________________________________________________ 
______________________________________________________________________________________ 
______________________________________________________________________________________ 
______________________________________________________________________________________ 
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1.1 Capitalização Simples 
1.2 Conceito 
No regime de capitalização simples, os juros são calculados sempre sobre o valor inicial, não ocorrendo 
qualquer alteração da base de cálculo durante o período de cálculo dos juros. Na modalidade de juros 
simples, a base de cálculo é sempre o Valor Atual ou Valor Presente (PV), enquanto na modalidade de 
desconto bancário a base de cálculo é sempre o valor nominal do título (FV). O regime de capitalização 
simples representa, portanto, uma equação aritmética, sendo que o capital cresce de forma linear, seguindo 
uma reta; logo, é indiferente se os juros são pagos periodicamente ou no final do período total. O regime de 
capitalização simples é muito utilizado em países com baixo índice de inflação e custo real do dinheiro 
baixo; no entanto, em países com alto índice de inflação ou custo financeiro real elevado, a exemplo do 
Brasil, a utilização de capitalização simples só é recomendada para aplicações de curto prazo. A 
capitalizaçãosimples, porém, representa o início do estudo da matemática financeira, pois todos os estudos 
de matemática financeira são oriundos de capitalização simples. (KUHNEN, 2008). 
1.3 Juros Simples 
No regime de juros simples, os juros de cada período são sempre calculados em função do capital inicial 
(principal) aplicado. Os juros do período não são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos 
períodos seguintes. Os juros não são capitalizados e, conseqüentemente, não rendem juros. Assim, apenas 
o principal é que rende juros. (PUCCINI, 2004). 
1.3.1Fórmulas 
Valor do juro simples - J 
 
Valor do montante simples - FV 
 
Valor Presente – PV 
 
Cálculo da taxa de juros simples – i 
 
Cálculos do período em juros simples – n 
 _____________________________________________________________________________________ 
 _____________________________________________________________________________________ 
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1.3.2 Juros Simples Comerciais, ordinários ou bancários. 
Nos juros simples comerciais ou ordinários, para estabelecer a conformidade entre a taxa e o período 
utilizam-se o ano comercial. Logo, em juros comerciais todos os meses têm 30 dias e o ano têm 360 dias, 
não importando o calendário civil. 
1.3.3 Juros Simples Exatos 
Já os juros simples exatos apóiam-se no calendário civil para calcular o número de dias entre duas datas. 
Sendo que o mês segue o número de dias do calendário, e o ano civil possui 365 dias ou 366 em ano 
bissexto. 
1.3.4 Juros Simples pela regra dos banqueiros 
Os bancos geralmente utilizam uma combinação entre os conceitos de juros comerciais e exatos, 
denominado juros pela regra dos banqueiros. Sendo que para calcular o número de dias entre duas datas, 
utiliza-se o conceito de juros exatos, ou seja, calendário civil, já para calcular o número total de dias de um 
ano ou mês, utiliza-se o conceito de juros comerciais, ou seja, um mês têm 30 dias e um ano têm 360 dias. 
Este conceito é geralmente empregado em transações financeiras de curto prazo. 
1.3.5 Exemplos 
1) (CESAR, 2000). Se R$ 3.000,00 foram aplicados por cinco meses à taxa de juros simples de 4% ao 
mês, determine: 
a) Os juros recebidos; 
b) O montante. 
Solução: 
a) 
 
b) 
 
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2) (VIEIRA SOBRINHO, 2000). Um capital de R$ 28.000,00, aplicado durante 8 meses, rendeu juros de 
R$ 11.200,00. Determinar a taxa anual de juros simples. 
Solução: 
 
3) (ASSAF NETO, 2001) Se uma pessoa necessita de R$ 100.000,00 daqui a 10 meses, quanto deverá 
ela depositar hoje num fundo de poupança que remunera à taxa linear de 12% ao ano? 
Solução: 
 
4) (CRESPO, 2002) Qual o prazo para que uma aplicação de R$ 200.000,00, a taxa de juros simples 
de 2,5% ao mês, renda um montante de R$ 240.000,00? 
Solução: 
 _____________________________________________________________________________________ 
 _____________________________________________________________________________________ 
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5) (KUHNEN, 2008). Calcular os juros ordinários, juros, exatos e juros pela regra dos banqueiros de 
um capital de R$ 100.000,00 aplicados de 15/07/2008 a 15/09/2008 em um banco que cobra juros 
simples de 30% ao ano. 
a) Pelo juro ordinário ou comercial; 
b) Pelo juro exato; 
c) Pela regra dos banqueiros. 
Solução: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
 _____________________________________________________________________________________ 
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1.4 Taxas Proporcionais. 
Para se compreender mais claramente o significado destas taxas deve-se reconhecer que toda operação 
envolve dois prazos: (1) o prazo a que se refere à taxa de juros; e (2) o prazo de capitalização (ocorrência) 
dos juros. (ASSAF NETO, 2001). 
Taxas Proporcionais: Duas (ou mais) taxas de juro simples são ditas proporcionais quando seus valores e 
seus respectivos períodos de tempo, reduzidos a uma mesma unidade, forem uma proporção. (PARENTE, 
1996). 
1.4.1 Exemplos 
1) (ASSAF NETO, 2001). Calcular a taxa anual proporcional a: (a) 6% ao mês; (b) 10% ao bimestre. 
Solução: 
a) 
 
b) 
 
2) (PARENTE, 1996). Encontrar as taxas de juro simples mensal, trimestral e anual, proporcionais a 
2% ao dia. 
Solução 
 
1.5 Desconto Simples Comercial ou Bancário (Por Fora) 
Um dos modelos de juros simples mais utilizados no mercado financeiro é o chamado juro antecipado, juro 
adiantado, desconto de títulos ou simplesmente desconto bancário. Este é o modelo utilizado na 
modalidade de desconto e também por empresas de factoring, bem como em transações de curto prazo 
quando o pagamento for efetuado em uma única parcela, inclusive para cálculo de preço de venda. 
Este modelo consiste em calcular o Valor Presente descontando do Valor Futuro (Valor de Face) uma 
parcela igual ao produto do Valor Futuro pela “taxa de juros” e pelo número de períodos até o vencimento 
do título negociado. (KUHNEN, 2008). 
1.5.1 Fórmulas 
Valor do Desconto Simples Comercial 
 
Valor Presente com Desconto Simples Comercial 
 _____________________________________________________________________________________ 
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Valor Futuro com Desconto Simples Comercial 
 
Número de Períodos com Desconto Simples Comercial 
 
Taxa de Desconto Simples Comercial 
 
1.5.2 Exemplos 
1) (CRESPO, 2002). Um título de R$ 6.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 
dias para o vencimento do título, determine: 
a) O valor do desconto comercial; 
b) O valor atual comercial. 
Solução: 
 _____________________________________________________________________________________ 
 _____________________________________________________________________________________ 
 _____________________________________________________________________________________ 
 _____________________________________________________________________________________ 
 _____________________________________________________________________________________ 
 
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a) 
 
b) 
 
2) (VIEIRA SOBRINHO, 2000). Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação a 120 dias, 
cujo valor de resgate é de R$ 1.000,00 e cujo valor atual é de R$ 880,00? 
Solução: 
 
3) (VIEIRA SOBRINHO, 2000). Uma duplicata no valor de R$ 6.800,00 é descontada por um banco, 
gerando um crédito de R$ 6.000,00 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo banco é 
de 3,2% ao mês, determinar o prazo de vencimento da duplicata. 
Solução: 
 _____________________________________________________________________________________ 
 _____________________________________________________________________________________ 
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1.6 Desconto Simples Racional (Por Dentro) 
O desconto simples racional (Dr) também chamado de desconto por dentro ou desconto real é equivalente 
ao juro produzido pelo valor atual do título numa taxa fixada e durante o tempo correspondente. 
Na pratica, somente o desconto comercial é utilizado; porém, é necessário fazermos um rápido estudo do 
desconto racional porque, o desconto composto está ligado a esse conceito. (CRESPO, 2002). 
1.6.1 Fórmulas 
Valor do Desconto Simples Racional 
 
Valor Presente com Desconto Simples Racional 
 
Valor Futuro com Desconto Simples Racional 
 
Número de Períodos com Desconto Simples Racional 
 
Taxa de Desconto Simples Racional 
 _____________________________________________________________________________________ 
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1.6.2 Exemplos 
1) (ASSAF NETO, 2001). Seja um título de valor nominal de R$ 4.000,00 vencível em um ano, que está 
sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa nominal de juros 
corrente, pede-secalcular o desconto e o valor descontado desta operação. 
Solução: 
Desconto 
 
Valor Descontado 
 
2) (ASSAF NETO, 2001). Determinar a taxa mensal de desconto racional de um título negociado 60 
dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de regate igual a R$ 26.000,00 e valor atual na data 
do desconto de R$ 24.436,10. 
Solução: 
 _____________________________________________________________________________________ 
 _____________________________________________________________________________________ 
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1.7 Equivalência de Capitais a Juros Simples. 
Dois (ou mais) capitais, com datas de vencimento diferentes, são ditos capitais equivalentes quando, 
transportados para uma mesma data, a mesma taxa, produzirem, nessa data, valores iguais. 
 A data para a qual os capitais serão transportados é chamada data focal. No regime de juros simples, a 
escolha da data focal influencia a resposta do problema. Isto significa que definida uma taxa de juro, e a 
forma de calculo (se racional ou comercial), dois capitais diferentes, em datas diferentes, podem ser 
equivalentes, se transportados para outra data, mesmo mantendo-se todas as outras condições do 
problema. (PARENTE, 1996). 
1.7.1 Formulas 
Para vencimentos anteriores a data focal 
 
Para vencimentos posteriores a data focal 
 
1.7.2 Exemplo 
1) Um empresário tem os seguintes compromissos a pagar: 
 R$ 3.000,00 daqui a 4 meses 
 R$ 5.000,00 daqui a 8 meses 
 R$ 12.000,00 daqui a 12 meses 
 O empresário propõe trocar esses débitos por dois pagamentos iguais, um para daqui a 6 meses e 
outro para daqui a 9 meses. Considerando a taxa de juros simples de 5% a.m. e a data focal no 270° 
dia, calcular o valor de cada pagamento. 
Solução: 
Fluxo de caixa 
 _____________________________________________________________________________________ 
 _____________________________________________________________________________________ 
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Taxa de juros: nominal, efetiva ou real? 
José Dutra Vieira Sobrinho 
Economista, Superintendente de Controle Financeiro do Grupo Unibanco, São Paulo 
No mercado financeiro brasileiro, mesmo entre os técnicos e executivos, reina muita confusão no que se 
refere aos conceitos de taxas de juros nominal, efetiva e real. 
O desconhecimento generalizado desses conceitos tem dificultado o fechamento de negócios pela 
conseqüente falta de entendimento entre as partes. 
Dentro dos programas dos diversos cursos de matemática financeira existe uma verdadeira "poluição" de 
taxas de juros. Além das mencionadas, tem-se ainda a simples (ou linear), composta (ou exponencial), 
equivalente, proporcional, aparente, antecipada, etc, sem se falar nas taxas de desconto "por fora" (ou 
comercial ou bancário) e "por dentro" (ou racional), simples e compostos. 
As causas de confusão reinante são antigas e numerosas, em cujo mérito não entraremos. Preferimo-nos 
concentrar nas medidas que entendemos necessárias para amenizar e, se possível, solucionar o problema 
existente. E a medida principal reside justamente numa conceituação simples e clara das taxas 
mencionadas, o que nos propomos a fazer. 
Conceito e Classificação das Taxas de Juros 
A taxa de juros pode ser definida como a relação entre os juros pagos (ou recebidos) no final do período e o 
capital inicialmente tomado (ou aplicado). Assim, se uma pessoa aplica Cr$ 1.000,00 recebe Cr$ 1.300,00 
no final de um certo período de tempo, a taxa de juros é de 30% nesse período, ou seja, é a relação entre 
os juros de Cr$ 300,00 recebidos no vencimento do prazo combinado e o capital de Cr$1.000,00 
inicialmente aplicado. 
Entendemos que as taxas de juros podem ser classificadas: 
a) quanto ao regime de capitalização: simples (ou linear) e composta (ou exponencial); 
b) quanto ao valor do capital inicial tomado como base de cálculo: nominal, efetiva e real. 
Como se verifica mais adiante, essas duas classificações não são mutuamente excludentes, isto é uma 
taxa pode ser nominal linear ou nominal exponencial, efetiva linear ou efetiva exponencial e real linear ou 
real exponencial. 
Classificação Quanto ao Regime de Capitalização 
Como foi mencionado, as taxas de juros quanto ao seu regime de capitalização podem ser simples ou 
compostas. 
A taxa de juros é simples (ou linear) quando o valor total dos juros é resultante da sua incidência somente 
sobre o capital inicial, ou seja, a taxa não incide sobre o valor dos juros acumulados periodicamente. 
Exemplo: 
Seja um capital de Cr$ 100.000,00 aplicado por seis meses, à taxa de 4% ao mês. 
Solução: 
J = C x i x n = 100.000,00 x 0,04 x 6 = 24.000,00 
O quadro 1 nos mostra os saldos mensais de capital + juros, no início e fim de cada mês. 
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A taxa de juros é dita composta (ou exponencial) quando o valor total dos juros é resultante da sua 
incidência sobre o capital inicial e também sobre o valor dos juros acumulados periodicamente. Assim, para 
o mesmo exemplo acima, teremos a seguinte solução: 
Montante = M = C(1 + i)
n
 = 100.000,00 (1,04)
6
 = 100.000,00 x 1,26532 = 126.532,00 
J = M-C= 126.532,00 - 100.000,00 = 26.532,00 
Os juros mensais e acumulados, bem como os saldos iniciais e finais de capital mais juros, são mostrados 
no quadro 2. 
 
Através dos exemplos podemos verificar que os juros acumulados, e respectivos montantes de capital mais 
juros, crescem linearmente num regime de capitalização simples e exponencialmente num regime de 
capitalização composta. O cálculo do primeiro, por ser extremamente simplificado, continua sendo 
amplamente utilizado no mercado, embora apresente distorções que se agravam em função do crescimento 
do prazo. 
Classificação Quanto ao Valor do Capital Inicial Tomado como Base de Cálculo 
Na maior parte dos compêndios de matemática financeira, quer de autores nacionais ou estrangeiros, as 
taxas são classificadas como nominal ou efetiva em função da divisão de certo período (normalmente um 
ano), em subdivisões de períodos de capitalização (mensal, trimestral, semestral), segundo uma 
conceituação extremamente confusa e cuja dificuldade de entendimento pude comprovar ao longo da 
minha experiência como professor e como homem ligado ao mercado financeiro. Vejamos um exemplo 
típico: "Calcular a taxa efetiva anual de juros correspondente à taxa nominal de 10% ao ano, capitalizada 
mensalmente." 
A solução pretendida é a seguinte: 
taxa nominal anual 
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1. Taxa mensal = i = = 0,008333, em que n representao número de 
períodos de capitalização. 
2. Taxa equivalente anual = (1 + i)
n
 -1 = (1.008333)
12
- 1 = 0,10471 ou 10,471% 
Se esse problema fosse "calcular a taxa efetiva anual de juros, correspondente à taxa nominal de 10% ao 
ano, capitalizada trimestralmente", a solução seria: 
 
taxa equivalente anual = (1,025)
4
-1 = 10,381% 
Observa-se que, de acordo com os conceitos difundidos, a solução do problema implica a utilização de 
cálculos feito segundo regimes distintos de capitalização, isto é, simples e composto. E, segundo nos 
parece, a grande confusão reinante é, em boa parte, conseqüência dessa mistura de regimes. 
No mundo financeiro atual, em que somente faz sentido o raciocínio em termos de capitalização composta, 
a utilização da taxa nominal de juros, tal como conceituada, é totalmente inadequada, visto as distorções 
que apresenta quando se consideram diferentes períodos de capitalização. Para ilustrar, vamos admitir que 
um banco fixe em 60% ao ano a sua taxa nominal de juros, válida para qualquer plano de pagamento 
(mensal, trimestral, semestral ou anual) escolhido pelo cliente. Procedendo-se de acordo com o conceito 
corrente de taxa nominal e considerando que o banco calcula suas taxas efetivas com base no regime de 
capitalização composta, teremos o quadro 3. 
 
Através do quadro podemos observar que a adoção de uma taxa nominal faz com que as operações com 
pagamentos de menor periodicidade tenham uma taxa efetiva mais elevada. Isso acontece com operações 
do BNH, como já aconteceu com operações da Finame. 
Por tudo isso, entendemos que a taxa deve ser classificada como nominal, efetiva ou real, em função do 
capital inicial tomado como base de cálculo, como veremos a seguir. 
Taxa Nominal e Taxa Efetiva 
Uma taxa é nominal quando o valor do capital inicial tomado como base de cálculo não representa o 
valor efetivamente recebido ou desembolsado. Trata-se, na verdade, de uma taxa aparente. Exemplo: 
1. Um cliente obtém um empréstimo de Cr$ 100.000,00 para ser liquidado, no final de um ano, em um único 
pagamento de Cr$ 130.000,00, garantido por uma nota promissória. Entretanto, o banco solicita a esse 
cliente que mantenha 20% do valor recebido como saldo médio. 
A taxa nominal no período considerado é a seguinte: 
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Taxa nominal = = = 0,30 ou 30% 
Portanto, a taxa nominal é de 30% no período (no caso, um ano), e que corresponde normalmente à taxa 
contratual. Entretanto, o valor do capital inicial não corresponde ao valor efetivamente colocado à 
disposição do cliente, que é de Cr$ 80.000,00. O cálculo da taxa de juros, com base neste valor, nos dá a 
taxa efetiva de juros no período. 
Taxa de juros = = 37,5% 
Ou seja, tudo se passa como se o empréstimo fosse de Cr$ 80.000,00 e o seu valor de resgate de Cr$ 
110.000,00 (o valor da nota promissória de Cr$ 130.000,00 será complementado pelos Cr$ 20.000,00 já 
existentes na conta do cliente). 
2. Um agiota empresta Cr$ 20.000,00 para receber Cr$ 30.000,00 no final de seis meses. Entretanto, no 
ato, paga a um intermediário uma comissão de 5% sobre o valor emprestado, ou seja, Cr$ 1.000,00. 
As taxas, no período, são as seguintes: 
Taxa nominal = = = 0,50 ou 50% 
Taxa efetiva = = = 0,42857 ou 42,857% 
Taxa Real 
A taxa real é calculada a partir da taxa efetiva, considerando-se os efeitos inflacionários no período. Para 
ilustrar, vamos tomar o segundo exemplo do item anterior, analisando a taxa de rendimento do ponto de 
vista do emprestador, e admitindo que a taxa de inflação, no período correspondente ao prazo do 
empréstimo (seis meses), tenha sido de 25%. 
A taxa real é obtida como segue: 
Taxa real = 
Taxa real = 0,14286 ou 14,286% 
Nota: Para se calcular a taxa real no período há uma tendência generalizada de se subtrair a taxa de 
inflação da taxa efetiva, obtendo no nosso caso, uma taxa real de 17,857%, o que é errado. 
A taxa real obtida está coerente com a nossa conceituação de que as taxas são nominal, efetiva ou real em 
função do capital inicial tomado como base de cálculo. Assim, no caso do nosso exemplo, o capital inicial 
efetivo de Cr$ 21.000,00 .tem que ser inflacionado para que se possa obter o rendimento real. 
Capital inicial efetivo corrigido = 1,25 x 21.000,00 = 26.500,00 
Taxa real = = 0,14286 ou 14,286% 
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O conhecimento da taxa real é de fundamental importância tanto para aplicadores como para tomadores de 
dinheiro. De acordo com os índices de preços calculados e publicados pela Fundação Getúlio Vargas, a 
inflação brasileira no período de julho de 1979 a julho de 1980 atingiu a 106,96%. Um aplicador que tivesse 
adquirido uma letra de câmbio em julho de 1979 por Cr$ 100.000,00 (valor de emissão) para ser resgatada 
por Cr$ 155.000,00 um ano depois, teve o seguinte rendimento real: 
- Imposto de renda pago na fonte = 0,09 x 55.000,00 = 4.950,00 
- Valor pago pelo título = 100.000,00 + 4.950,00 = 104.950,00 
- Taxa bruta (nominal) = -1 = 55% 
- Taxa líquida (efetiva) = - 1 = 47,689% 
-Taxa real = - 1 = (28,6%) 
ou seja, o aplicador teve um prejuízo de 28,6% em termos reais. E como numa transação financeira o 
prejuízo de uma das partes significa lucro para a outra, o tomador de recursos seguramente teve um 
rendimento real nesse período. 
Finalmente, cabe observar que as três taxas mencionadas podem ser coincidentes. Assim, se não houver 
nenhum pagamento, recebimento ou retenção extra, a taxa nominal é igual à efetiva. E, na hipótese de 
inflação zero, a taxa real será igual à taxa efetiva. 
Taxas Equivalentes e Proporcionais 
Taxas Equivalentes 
A conceituação de equivalência de taxas estabelece que duas taxas, referentes a períodos distintos de 
capitalização, são equivalentes quando produzem o mesmo montante, no final de um determinado tempo, 
pela aplicação de um capital inicial de mesmo valor. Em outros termos, isso significa que se um 
capital C aplicado à taxa mensal im, durante 12 meses, produz um montante M, e se esse mesmo 
capital C aplicado a uma taxa anualia, por prazo idêntico, produz o mesmo montante M, diz-se que as 
taxas im (mensal) e ia (anual) são equivalentes. 
A partir dessa colocação, entendemos que o conceito de taxas equivalentes é válido para os dois regimes 
de capitalização existente, isto é, simples e composta. Assim, podemos afirmar que, num regime de 
capitalização simples, a taxa de juros de 2% ao mês equivale a 24% ao ano, e que 48% ao ano equivalem 
a 12% ao trimestre ou a 4% ao mês; já num regime de capitalização composta, 2% ao mês equivalem a 
26,824% ao ano, e 48% ao ano equivalem a 10,297% ao trimestre ou 3,321% ao mês. 
Os diversos autores, e o mercado em geral, ao mencionarem taxas equivalentes, estão-se referindo 
implicitamente à capitalização composta. 
Taxas Proporcionais 
O conceito de taxas proporcionais é utilizado somente para capitalização simples, no sentido de que o valor 
dos juros é linearmente proporcional ao tempo. Assim, a taxa proporcional de 3% ao mês, para 10 meses, é 
de 30%; a de 12% ao ano, para três meses, é de 4%, e assim sucessivamente. 
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A proporcionalidade linear é uma característica da capitalização simples. Por isso, entendemos que o fato 
de "taxas proporcionais" serem apresentadas em destaque, como parte de um programa de matemática 
financeira, apenas confunde o aluno ou o leitor, que pensa tratar-se de mais um tipo de taxas de juros. 
Juros Pagos Antecipadamente 
É muito comum, em determinadas operações de empréstimo ou financiamento, a cobrança "antecipada de 
juros". A operação típica, e que é muito comum em nosso mercado, é a seguinte: 
"Uma pessoa solicita um empréstimo de Cr$ 10.000,00 a um capitalista, o qual cobra juros antecipados de 
4% ao mês. Sendo o prazo de seis meses, o capitalista desconta juros correspondentes a 24% do valor 
pedido, entregando ao solicitante um valor líquidode Cr$ 7.600,00." 
Efetivamente, do ponto de vista teórico, dizer que os juros são antecipados se constitui uma blasfêmia, visto 
que os mesmos somente existem em função de tempo decorrido. No caso do nosso exemplo, o valor 
efetivamente emprestado é de Cr$ 7.600,00, e a taxa de juros, para o período de seis meses, é a calculada 
como segue: 
Taxa efetiva de juros = = = 0,31579 ou 31,579% 
A taxa mensal correspondente é de 5,263% (de acordo com o regime de capitalização simples) ou de 
4,680% (de acordo com o regime de capitalização composta). Na verdade, todas as operações de desconto 
bancário se enquadram dentro deste enfoque. 
Conclusão 
No campo da matemática financeira existem dois regimes distintos de capitalização, o simples e o 
composto, com características próprias bem definidas, e que não podem e não devem ser misturados. 
Assim, antes de falar-se em taxa nominal, efetiva ou real, é fundamental que se defina qual o critério de 
capitalização considerado. 
Segundo nosso entendimento, podemos ter taxas nominais, efetivas ou reais tanto no regime exponencial, 
como no linear, visto que o fator determinante é o capital inicial tomado como base de cálculo. Para maior 
clareza, vamos voltar ao segundo exemplo dado no subitem 2.2.1, em que as taxas encontradas para o 
período de seis meses foram: 
a) nominal: 50,000%; 
b) efetiva: 42,857%; 
c) real: 14,286%. 
Admitindo-se o regime de capitalização simples teremos as seguintes taxas, equivalentes mensais (dentro 
do nosso conceito de taxas equivalentes): 
- taxa nominal mensal = = 8,333% 
- taxa efetiva mensal = = 7,143% 
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- taxa real mensal = = 2,381% 
Se quisermos as taxas trimestrais respectivas, bastará dividirmos por 2 as taxas correspondentes ao 
período de seis meses. 
Considerando-se agora um regime de capitalização composta, as taxas equivalentes mensais seriam 
obtidas como segue: 
- taxa nominal mensal = (1,50)
1/ 6
 - 1 = 0,06991 ou 6,991% 
- taxa efetiva mensal = (1,42857)
1/6
 - 1 = 0,06125 OU 6,125% 
- taxa real mensal = (1,14286)
1/6
 - 1 = 0,02251 ou 2,251% 
As taxas equivalentes trimestrais seriam obtidas da mesma forma, somente substituindo, na fórmula, o 
expoente 6 pelo 2. 
Seguindo-se a mesma linha de raciocínio, teríamos, no caso do primeiro exemplo do subitem 2.2.1, as 
seguintes taxas equivalentes mensais: 
a) capitalização simples (linear): 
- taxa nominal = = 2,500% 
- taxa efetiva = = 3,125% 
b) capitalização composta (exponencial): 
- taxa nominal = (1,30)
1/12
 - 1 = 0,02210 ou 2,210% 
- taxa efetiva = (1,375)
1/12
 - 1 = 0,02689 ou 2,689% 
No mundo dos negócios, principalmente dentro das médias e grandes empresas, o regime de capitalização 
composta, por ser o correto, é o mais utilizado nos estudos que envolvem cálculos financeiros e 
econômicos. No mercado de capitais brasileiro, mormente entre aplicadores e tomadores de dinheiro, 
pessoas físicas, o critério mais popular, por ser o mais prático, é da capitalização linear. Assim, no caso da 
aquisição de um título de renda fixa, com um ano de prazo e rendimento de 48% pago no vencimento, o 
aplicador facilmente verifica que a taxa de rendimento mensal é de 4% (capitalização linear); mas esse 
mesmo aplicador certamente não seria capaz de calcular a taxa equivalente mensal segundo o critério de 
juros compostos (que no caso é de 3,321%), visto que, além de conhecimento, o mesmo necessitaria de 
uma tabela específica ou de uma calculadora científica. 
O grande inconveniente da capitalização simples é a distorção crescente que a taxa de juros apresenta, à 
medida que o prazo aumenta, se comparada com a taxa de juros composta, que, como já mencionamos, é 
a correta. Para maior clareza vamos analisar o quadro 4. 
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Os números do quadro falam por si. Em termos de capitalização composta, as taxas mensais equivalentes, 
relativas às taxas dos períodos considerados de 6 a 36 meses, são todas iguais, ou seja, de 3,321%. Já as 
taxas mensais, calculadas de o regime de capitalização simples, crescem com o prazo, chegando, no prazo 
de 36 meses, a ter um valor de quase duas vezes a taxa mensal exponencial. Essas distorções, que são 
relevantes, desaconselham totalmente a utilização do critério linear para prazos relativamente longos. 
Se de um lado a utilização generalizada dos chamados juros simples, pelos leigos e semileigos, tem suas 
justificativas, a utilização de taxas de descontos nas operações com LTN, quer pelos especialistas do 
mercado, quer pelo Banco Central, não tem o menor sentido. De fato, a taxa de desconto é totalmente 
inadequada como referência para se determinar a rentabilidade ou custo de qualquer operação financeira. 
Para exemplificar, vamos admitir que num determinado leilão de LTN os papéis de 91, 182 e 365 dias de 
prazo (que são os atualmente existentes) fossem adquiridos, ou subscritos, a uma taxa de desconto de 
20% ao ano. As taxas efetivas de juros correspondentes a esses dados, num regime de capitalização 
composta, são as seguintes: 
a) para a LTN de 91 dias: 1,725% ao mês ou 22,781% ao ano; 
b) para a LTN de 182 dias: 1,773% ao mês ou 23,473% ao ano; 
c) para a LTN de 365 dias: 1,880% ao mês ou 25,047% ao ano. 
Para que as rentabilidades das LTN's nos três prazos sejam iguais à rentabilidade da LTN de 365 dias, 
considerados juros compostos, teremos as seguintes taxas de descontos correspondentes: 
a) para a LTN de 91 dias: 21,731% de desconto ao ano; 
b) para a LTN de 182 dias: 21,134% de desconto ao ano; 
c) para a LTN de 365 dias: 20,000% de desconto ao ano. 
Portanto, as taxas de descontos não permitem uma idéia imediata das taxas efetivas de rentabilidade. 
Recomendamos às autoridades monetárias que passem a adotar e divulgar a taxa efetiva de juros, de 
preferência exponencial, para indicar o rendimento dos títulos sob sua tutela, visto ser esse critério o 
tecnicamente correto. 
Assim, visualizaríamos, de imediato, se uma LTN de 91 dias de prazo proporciona maior ou menor 
rentabilidade, em termos de taxa mensal ou anual, que uma outra de 182 dias ou 365 dias. 
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Equivalência de Capitais a Juros Simples. 
 Dois (ou mais) capitais, com datas de vencimento diferentes, são ditos capitais equivalentes quando, 
transportados para uma mesma data, a mesma taxa, produzirem, nessa data, valores iguais. 
 A data para a qual os capitais serão transportados é chamada data focal. No regime de juros simples, a 
escolha da data focal influencia a resposta do problema. Isto significa que definida uma taxa de juro, e a 
forma de calculo (se racional ou comercial), dois capitais diferentes, em datas diferentes, podem ser 
equivalentes, se transportados para outra data, mesmo mantendo-se todas as outras condições do 
problema. (PARENTE, 1996). 
Formulas 
Para vencimentos anteriores a data focal 
 
Para vencimentos posteriores a data focal 
 
Exemplo 
1) Um empresário tem os seguintes compromissos a pagar: 
 R$ 3.000,00 daqui a 4 meses 
 R$ 5.000,00 daqui a 8 meses 
 R$ 12.000,00 daqui a 12 meses 
 O empresário propõe trocar esses débitos por dois pagamentos iguais, um para daqui a 6 meses e outropara daqui a 9 meses. Considerando a taxa de juros simples de 5% a.m. e a data focal no 270° dia, calcular 
o valor de cada pagamento. 
Solução: 
Fluxo de caixa 
 
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- Equivalência de Capitais a Juros Compostos 
Equivalência de Capitais a Juros Compostos 
Já trabalhamos com os conceitos envolvendo equivalência de capitais, no sistema de capitalização simples. 
Estudaremos agora esses mesmos conceitos, mas sob outro enfoque: o do sistema de capitalização 
composta. É claro que os conceitos e a maneira de encararmos os problemas serão os mesmos. 
Mudaremos apenas o regime de capitalização e o fato de que a escolha da data focal no sistema composto 
é irrelevante. (PARENTE, 1996) 
Fórmulas 
Para vencimentos anteriores a data focal 
 
Para vencimentos posteriores a data focal 
 
Exemplo 
1) (PARENTE, 1996) Uma pessoa deseja substituir um título de valor nominal de R$ 85.000,00, com 
vencimento daqui a 2 meses, por outro título, com vencimento para 5 meses. Qual o valor nominal do novo 
título, sabendo-se que o banco em questão adota, nesse tipo de operação, a taxa composta de 9% a.m. e o 
critério do desconto racional? 
Solução: 
 
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2) (PARENTE, 1996) Uma pessoa deve, em um banco, dois títulos: R$ 100.000,00 para pagamento 
imediato e R$ 70.000,00 para pagamento em 6 meses. Por lhe ser conveniente, o devedor propõe ao 
banco a substituição da dívida por um pagamento de R$ 150.000,00 em 3 meses e o saldo restante em 9 
meses. Qual o valor do saldo restante se o banco realiza essa operação a 10% a.m., sob o critério de 
desconto racional composto? 
Solução: 
 
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Rendas Uniformes e Variáveis (Rendas Certas Ou Anuidades) 
Bom, anuidades ou rendas certas é o nome que se dá aos pagamentos sucessivos tanto a nível de 
financiamentos quanto de investimentos. 
Se a renda possui um número finito de termos será chamada de temporária caso contrário é chamada de 
permanente. 
Apesar da opinião de alguns mutuários da Caixa Econômica , o financiamento da casa própria é 
temporária, apesar de ter um termo de conclusão bem longo. Agora, se os termos da renda certa forem 
iguais é chamada de renda certa de termo constante ou renda certa uniforme; senão é uma renda certa 
de termo variável. 
Finalmente, quando o período entre as datas correspondentes aos termos tiverem o mesmo intervalo de 
tempo , diz-se que a renda certa é periódica ; 
caso contrário é não periódica. 
Exemplo: 
Um financiamento de casa própria é um caso de renda certa temporária, de termo variável (sujeito à 
variação da TR) e periódica. 
Um financiamento de eletrodoméstico é um caso de renda certa temporária, de termo constante (você sabe 
quanto pagará de juros) e periódica. 
Já a caderneta de poupança pode se considerar como um caso de renda certa perpétua (pelo menos 
enquanto o dinheiro estiver à disposição para aplicação), de termo variável e periódica. Bico, como pode 
ver. E já que é bico, mais algumas definições : 
As rendas periódicas podem ser divididas em : 
Postecipadas 
Antecipadas 
Diferidas 
As Postecipadas são aquelas na qual o pagamento no fim de cada período e não na origem. 
Exemplo: 
pagamento de fatura de cartão de crédito. 
As Antecipadas são aquelas na qual os pagamentos são feitos no início de cada período respectivo. 
Exemplo: 
financiamentos com pagamento à vista. 
E as Diferidas são aquelas na qual o primeiro pagamento é feito após um determinado período. 
Exemplo: 
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promoções do tipo, compre hoje e pague daqui a x dias 
Caso ainda não tenha percebido , os cálculos envolvendo renda certa lembram os cálculos de Juros 
Compostos e Descontos Compostos já vistos anteriores. 
Calculando Valor Atual em casos de Rendas Certas Bom, para começar, trabalharemos aqui com 
cálculos de renda certas do tipo periódicos, de termos constantes e temporários, os quais são mais usados. 
Para se calcular o Valor Atual num caso de Rendas Certas, a fórmula a ser utilizada depende de ser 
postecipada , antecipada ou diferida. Assim , se for: 
Postecipada a fórmula é : 
V=T.an¬i 
Antecipada a fórmula é : 
V=T+T.an-1¬i 
Diferida a fórmula é : 
V=T.an¬i/(1+i)m 
M é sempre uma unidade menor do que a se deseja calcular, ou seja, se a venda é diferida de 3 meses, m 
será 2 . 
Para saber o valor de an¬i, você pode: 
•calcular usando a fórmula (1+i)n-1/i(1 + i )n. 
Exemplo: 
Um carro é vendido a prazo em 12 pagamentos mensais e iguais de R$2.800,00 (num total de R$ 
36.000,00), sendo a primeira prestação no ato da compra, ou seja, o famoso " com entrada" , ou ainda, um 
caso de renda certa antecipada. Sendo que a loja opera a uma taxa de juros de 8% a.m. , calcule o preço à 
vista desse carro. 
Aplicando a fórmula: 
n = 12 T = 2800 V = 2800+2800. a11¬8%= R$ 22.789,10 
Outro exemplo: 
Um dormitório é vendido em 4 prestações de R$ 750,00, com o primeiro pagamento para 3 meses após a 
compra (ou seja, esse é um caso de diferida) Sabendo que a loja trabalha com juros de 6% a.m. , calcule o 
valor à vista. 
Aplicando a fórmula: 
n=4 T = 750 m=2 i = 6% V = 750.a4¬6%/(1+.06)2 = 750.3,465106/1.1236 = R$2.312,95 
Calculando o Montante em casos de Rendas Certas 
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Como você deve se lembrar, 
Montante nada mais é do que a somatória dos juros com o capital principal. 
No caso de rendas certas , a fórmula é dada por: 
M=T.Sn¬i 
Para saber o valor de Sn¬i você pode: 
-calcular usando a fórmula (1+i)n-1/i. 
Exemplo: 
Calcule o Montante de uma aplicação de R$ 100,00 , feita durante 5 meses, a uma taxa de 10% a.m. 
Aplicando a fórmula (esse é um caso de postecipada, porque o primeiro rendimentoé um mês após a 
aplicação) : 
n=5 T = 100 i = 10% a.m. M = 100.S5¬10% = R$ 610,51 
Quando for uma situação de: 
antecipada: 
Subtraia 1 de n 
diferenciada: 
após determinar Sn¬i, 
divida o resultado por (1+i)m 
Nomenclaturas usadas 
i = do inglês Interest , é usado para representar os juros envolvidos em quaisquer operações 
financeiras. 
C = do inglês Capital , é usado para representar o Capital utilizado numa aplicação financeira. 
M =do inglês a Mount , é usado para representar o Montante que é o resultado da soma do Capital com os 
juros. 
n =nesse caso é uma incógnita (quem aprendeu equações do segundo grau usou muitas incógnitas. 
Todos aqueles x, y, z são incógnitas.) referente ao período de tempo (dias, semanas, meses, anos...) de 
uma aplicação financeira. Lembre-se da expressão : "levou n dias para devolver o dinheiro..." 
a.d. = abreviação usada para designar ao dia 
a.m. = abreviação usada para designar ao mês 
a.a. = abreviação usada para designar ao ano 
d = do inglês Discount , é usado para representar o desconto conseguido numa aplicação financeira. 
N = do inglês Nominal , é usado para representar o valor Nominal ou de face de um documento 
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financeiro. 
A = do inglês Actual , é usado para representar o valor real ou atual de um documento financeiro em 
uma determinada data. 
V = incógnita usada para representar o Valor Atual em casos de renda certa ou anuidades 
T = incógnita usada para representar o Valor Nominal em casos de renda certa ou anuidades 
an¬i = expressão que representa o fator de valor atual de uma série de pagamentos. 
Sn¬i = expressão que representa o fator de acumulação de capital de uma série de pagamentos. 
Matemática Financeira | Series, Rendas ou Anuidades Uniformes de Pagamentos (modelo básico – valor 
atual) 
Nas aplicações financeiras, o capital pode ser pago ou recebido de uma só vez ou através de uma 
sucessão de pagamentos ou de recebimentos. 
Quando o objetivo e constituir um capital em certa data futura, tem-se um processo de capitalização. Caso 
contrario, quando se quer pagar uma dıvida, tem-se um processo de amortização. 
Pode ocorrer também o caso em que se tem o pagamento pelo uso, sem que haja amortização, que e o 
caso de alugueis. 
Esses exemplos caracterizam a existência de rendas ou anuidades, que podem ser basicamente de dois 
tipos: 
a) Rendas certas ou determinísticas: São aquelas cuja duração e pagamentos são predeterminados, não 
dependendo de condições externas. Os diversos parâmetros, como o valor dos termos, prazo de duração, 
taxa de juros etc., são fixos e imutáveis. 
Esses são os tipos de rendas a serem estudados neste texto. 
b) Rendas aleatórias ou probabilísticas: Os valores e/ou as datas de pagamentos ou de recebimentos 
podem ser variáveis aleatórias. E o que ocorre, por exemplo, com os seguros de vida: os valores de 
pagamentos (mensalidades) são certos, sendo aleatório o valor do seguro a receber e a data de 
recebimento. Rendas com essas características são estudadas pela Matemática Atuarial. Serão abordadas 
apenas as rendas certas ou anuidades, sob o regime de juros compostos, a menos que explicitado o 
contrario. 
CEDERJ 
 
Considere a serie seguinte de capitais referidos as suas respectivas datas, que por sua vez são referidos a 
uma data focal. 
Esses capitais que podem ser pagamentos ou recebimentos, referidos a uma dada taxa de juros i, 
caracterizam uma anuidade ou renda certa. Os valores que constituem a renda são os termos da mesma. O 
intervalo de tempo entre dois termos chama-se período e a soma dos períodos define a duração da 
anuidade. O valor atual de uma anuidade e a soma dos valores atuais dos seus termos, soma esta feita 
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para uma mesma data focal e a mesma taxa de juros. De modo análogo, o montante de uma anuidade e a 
soma dos montantes de seus termos, consideradas uma dada taxa de juros e uma data focal. 
CLASSIFICAC AO DAS ANUIDADES Quanto a periodicidade a) Periódicas: se todos os períodos são 
iguais. b) Nao-periodicas: se os períodos não são iguais entre si. 
Quanto ao prazo a) Temporárias: quando a duração for limitada. b) Perpetuas: quando a duração for 
ilimitada. 
Quanto ao valor dos termos a) Constante: se todos os termos são iguais. CEDERJ 9 
Matemática Financeira | Series, Rendas ou Anuidades Uniformes de Pagamentos (modelo básico – valor 
atual) b) Variável: se os termos não são iguais entre si. 
Quanto a forma de pagamento ou de recebimento a) Imediatas: quando os termos são exigíveis a partir do 
primeiro período. 
1) Postecipadas ou vencidas: se os termos são exigíveis no fim dos períodos 
2) Antecipadas: se os termos são exigíveis no inıcio dos períodos 
 
Diferidas: se os termos forem exigíveis a partir de uma data que não seja o primeiro período. 
1) Postecipadas ou vencidas: se os termos são exigíveis no fim dos períodos. 
2) Antecipadas: se os termos são exigíveis no inıcio dos períodos. 
Por modelo básico de anuidades entendem-se aquelas que são simultaneamente: 
• temporárias; 
• constantes; 
• imediatas e postecipadas; 
• periódicas. 
E que a taxa de juros i seja referida no mesmo período dos termos. 
Exemplo: 
 
Joao compra um carro, que ira pagar em quatro prestações mensais de R$ 2.626,24, sem entrada. As 
prestações serão pagas 
 
 
O 1 a partir do mês seguinte ao da compra e o vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros 
compostos de 2% ao mês. Qual e o preço do carro a vista? 
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Solução: 
O preço do carro a vista corresponde a soma dos valores atuais das prestações na data focal zero (data da 
compra), calculados a taxa de 2% ao mês. Seja P o valor do carro a vista e R o valor das prestações. O 
seguinte fluxo representa então o problema proposto. Temos que determinar um capital aqui chamado de 
P, que na data zero e equivalente ao conjunto de capitais R, portanto temos que: 
Considere um principal P a ser pago em n termos iguais a 
R, imediatos, postecipados e periódicos, uma taxa i, referida ao mesmo período dos termos. 
 
 
 
Matemática Financeira | Series, Rendas ou Anuidades Uniformes de Pagamentos (modelo basico – valor 
atual) 
A soma do valor atual dos termos da data zero e dada por: 
(1+i)4 + + 
Indica-se o fator entre colchetes por FVP(i;n) ou a,n,i (lê-se: “a n cantoneira i” ou simplesmente “a,n,i”) e 
este corresponde a soma dos n primeiros termos de uma progressão geometrica de razao 1 
1+i, cujo termo inicial e 1 1+i. Assim, aplicando a formula da soma dos termos de uma P.G., temos que: 
i ou 
O fator FVP(i;n) ou a,n,i e denominado fator de valor atual ou fator de valor presente de uma serie uniforme, 
estabelece a equivalência entre P e R e encontra-se tabelado para diversos valores de i ou de n. 
Pode-se, entao, expressar o valor atual do modelo básico como sendo: 
ou P = R×a,n,i 
 
 
Exemplo: 
 
a. Considerando o exemplo feito anteriormente, tem-se que: 
b. Um televisor custa R$ 5.0,0 a vista, mas pode ser financiado sem entrada em 10 prestações mensais a 
taxa de 3% ao mês. Calcular a prestação a ser paga pelo comprador. 
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Solução: 
Sabemos que P = R×FVP(i,n)⇔R = P 
Utilizando uma tabela financeira ou a equação i , tem-se que: 
 
 
 
Matemática Financeira | Series, Rendas ou Anuidades Uniformes de Pagamentos (modelo básico – valor 
atual) c. Uma aparelhagem de som esta anunciada nas seguintes condições: R$ 150,0 de entrada e três 
prestações mensais iguais de R$ 122,5. Sabendo-se que o juro cobrado nas lojas de som e de 2,5% ao 
mês, calcular o preço a vista. 
Solução: 
Utilizando uma tabela financeira ou a equação i , tem-se que: 
d. Um carro e vendido por R$ 20.0,0 a vista, ou em 12 prestações mensais de R$ 1.949,74. Qual e a taxa 
de juros mensal que esta sendo cobrada? 
Solução: 
Nesse problema temos umaserie uniforme modelo básico em que se quer determinar a taxa i da operação, 
sabendo-se que o seu valor atual P e igual a 20.0,0, os termos mensais R (prestações) são iguais a 
1.949,74 e o prazo n e de 12 meses. 
O diagrama abaixo representa essa serie: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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O Sabemos que P = R×FVP(i,n). Logo, nesse caso temos então que: 
Fazendo uso de tabela financeira, tem-se que i ∼= 2,5% ao mês. Resposta: 2,5% ao mês. 
e. Um tapete persa e vendido por R$ 15.0,0 a vista. Pode ser adquirido também em prestações mensais de 
R$ 885,71 a juros de 3% ao mês. Sabendo que as prestações vencem a partir do mês seguinte ao da 
compra, qual e o numero de prestações? 
Solução: 
Nesse problema temos uma serie uniforme modelo básico cujo valor atual P e igual a 15.0,0, os termos 
mensais R (prestações) são iguais a 885,71, a taxa i da operação e de 3% ao mês, e queremos determinar 
o numero n de períodos (meses). 
i , temos então que 
Aplicando logaritmos a ambos os membros da ultima igualdade, temos que: 
Ao determinar n utilizando uma tabela financeira, temos que: 
 
 
 
 
Matemática Financeira | Series, Rendas ou Anuidades Uniformes de Pagamentos (modelo básico – valor 
atual) 
Procurando na tabela, utilizando a coluna do fator de capitalização (1+i)n, para uma taxa de 3%, 
encontramos n = 24. 
Resposta: 24 meses. 
f. Uma loja vende um tapete em 12 prestações mensais de R$ 97,49 ou em 24 prestações mensais de R$ 
61,50. Nos dois casos, o cliente não dará entrada alguma. Sabendo-se que a taxa de juros do credito 
pessoal e de 2,5% ao mês, qual e a melhor opção para o comprador? 
Solução: 
Nesse problema temos duas series uniforme modelo básico cuja taxa e de 2,5% ao mês, com prazos e 
termos diferentes. A melhor opção para o comprador e a que apresentar menor valor atual P, isto e, valor a 
vista. 
Nesse caso, como R = 97,49 e n = 12 meses, temos que P = 97,49×FVP(2,5%;12). Utilizando uma tabela 
financeira ou a equação i , tem-se que: 
Nesse caso, como R = 61,50 e n = 24 meses, temos que P = 61,50×FVP(2,5%;24). Utilizando uma tabela 
financeira ou a equação i , tem-se que: 
Resposta: O 1º caso e a melhor alternativa para o comprador. 
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O Resumo 
Nesta aula, iniciamos o estudo das rendas certas ou anuidades. Você aprendeu o conceito de rendas 
certas ou anuidade. Aprendeu também o conceito de modelo básico de uma anuidade e o valor atual do 
modelo básico. Aprendeu a usar esses conceitos na determinação do valor atual, utilizando o fator de valor 
atual ou presente através de uma relação que envolve o valor da taxa i e do período da serie, valores esses 
que podem também ser encontrados em tabelas. 
1. Determine o valor atual de uma anuidade periódica de R$ 1.0,0, nas seguintes: 
2. Um carro esta a venda por R$ 10.0,0 de entrada mais 24 prestações mensais de R$ 2.236.51. Como 
opção, a agencia o vende em 36 prestações mensais de R$ 1.613,16, sendo neste caso exigida uma 
entrada de R$ 12.0,0. Qual e a melhor alternativa, se a taxa de mercado for de 3% ao mês? 
Resposta: A 2a alternativa possui menor valor atual (R$ 47.218,92). 
3. Uma loja vende uma geladeira por R$ 2.0,0 a vista ou financiada em 18 meses, a juros de 3,5% ao mês. 
Qual será a prestação mensal, se não for dada entrada alguma e a primeira prestação vencer apos um 
mês? 
4. O gerente financeiro de uma loja deseja estabelecer coeficientes de financiamento por unidade de capital 
emprestado. O resultado da multiplicação do coeficiente pelo valor financiado e igual a prestação mensal. 
Sabendo-se que a taxa de juros da loja e de 4% a.m., quais os coeficientes nas hipóteses de prazos 
abaixo? 
 
 
Matemática Financeira | Series Rendas ou Anuidades Uniformes de Pagamentos (modelo básico – valor 
atual) 
5. Uma motocicleta foi vendida em 4 prestações trimestrais de R$ 1.0,0, sendo a primeira na compra. Se a 
taxa de mercado e de 3% ao mês, qual e o preço a vista? 
6. Uma loja anuncia a venda de um televisor por R$ 6.0,0 a vista. Um cliente esta disposto a compra-lo por 
R$ 2.0,0 de entrada, mais 36 prestações mensais. De quanto serão as prestações, se a taxa de juros 
cobrada pela loja for de 50% ao ano? 
R$ 10.0,0 de entrada, sendo o saldo financiado. Sabendo-se que a taxa de juros da imobiliária e de 45% 
a.a., de quanto serão as prestações, caso o cliente opte por algum dos planos abaixo: 
8. Numa compra efetuada, o cliente teve o saldo devedor financiado em 3 prestações quadrimestrais de R$ 
5.0,0. Contudo, para evitar esta concentração de desembolso, o cliente solicitou a transformação do 
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financiamento em 12 prestações mensais. Se a taxa de juros da loja for de 2 % ao mês, qual devera ser o 
valor das prestações? 
9 Na compra de um equipamento de valor a vista igual a 
R$ 587,57, um cliente propôs pagar o valor da entrada no decorrer do financiamento e combinou que esse 
valor seria corrigido a juros compostos de 7% ao mês. O valor financiado será pago em seis prestações 
mensais iguais e consecutivas de R$ 10,0, com a primeira vencendo em trinta dias, e a taxa de 
financiamento de 60% ao ano, capitalizados mensalmente. Qual o valor a ser pago na quarta prestação, se 
o valor relativo a entrada for pago nesse momento? 
Resposta: Aproximadamente R$ 212,0.108 CEDERJ 
 
 
i i i por 50% de entrada e o restante em 60 meses a taxa de 
12% ao ano capitalizados mensalmente. Qual e o valor das prestações? 
1. O preço de um imóvel e de R$ 50.0,0. Um comprador ofereceu R$ 20.0,0 de entrada e o pagamento do 
saldo restante em 12 prestações iguais, mensais. A taxa de juros compostos e de 5% ao mês. Qual o valor 
de cada prestação, desprezando-se os centavos? 
12. Joao pretende comprar uma mansão cujo preço a vista e de R$ 1.0.0,0. A firma vendedora exige 10% 
sobre o preço a vista e financia o restante a taxa de juros compostos de 6% ao mês, em prestações iguais 
e sucessivas. Joao dispõe para pagar, mensalmente, da quantia de R$ 74.741,01. Nessas condições, qual 
e o numero de prestações? 
Resposta: 2 meses. 
13. Uma maquina tem o preço de R$ 2.0.0,0,podendo ser financiada em 10% de entrada e o restante em 
prestações trimestrais, iguais e sucessivas. Sabendo-se que a financiadora cobra juros compostos de 28% 
ao ano, capitalizados trimestralmente, e que o comprador esta pagando R$ 205.821,0, quando vencera a 
ultima prestação? 
Resposta: 1 ano e 2 meses. 
14. Um indivıduo deve R$ 181.50,0, vencíveis de hoje a seis meses, e R$ 380.6,0, vencíveis de hoje a doze 
meses. Para transformar suas dıvidas em uma serie uniforme de quatro pagamentos potenciados 
trimestrais, a partir de hoje, a juros e desconto racional compostos de 10% ao trimestre, qual o valor do 
pagamento trimestral? 
15. Um bem foi adquirido, através de um plano de três prestações de R$ 20,0, sem entrada, e a primeira 
ocorrendo a trinta dias da data de sua aquisição. A taxa negociada e de 2% ao mês e o regime de 
capitalização e composto. Qual o valor do bem na data de aquisição? 
Matemática Financeira | Series, Rendas ou Anuidades Uniformes de Pagamentos (modelo básico – valor 
atual) 
16. A taxa de juros reais do mercado e de 10% ao ano. Nestas condições, uma empresa calcula seus 
coeficientes de financiamento para 12 prestações mensais, levando em conta a taxa de inflação. Qual será 
o coeficiente para 12 meses, caso a inflação seja de 15% ao ano? 
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Qual a prestação mensal para a venda financiada em 24 prestações, se o proprietário quer juros reais de 
9% ao ano e se a inflação prevista for de 20% ao ano? 
18. Uma pessoa paga uma entrada no valor de R$ 23,60 na compra de um equipamento, paga mais 4 
prestações mensais, iguais e sucessivas, no valor de R$ 14,64 cada uma. A instituição financiadora cobra 
uma taxa de juros de 120% ao ano, capitalizados mensalmente (juroscompostos). Com base nestas 
informações, determine o valor a vista do equipamento adquirido. 
19. Determinada mercadoria e vendida por R$ 2.50,0 a vista ou por20% de entrada mais prestações 
mensais de R$ 309,0. Sendo de 2% ao mês a taxa corrente de juros, determinar o numero de prestações. 
Resposta: 7 meses. 
20. Uma geladeira, cujo preço a vista e R$ 1.0,0, deve ser vendida em cinco prestações mensais e iguais, 
devendo a primeira prestação vencer ao final do primeiro mês. Considerando-se uma taxa de juros 
compostos igual a 6% ao mês, pergunta-se: 
a) Qual será o valor de cada prestação? b) Qual será o valor cobrado a tıtulo de juros? 
21. Uma loja tem como norma facilitar os pagamentos, proporcionando aos seus clientes a possibilidade de 
pagar em três meses sem acréscimo. Nesse caso, o preço a vista e dividido por 3 e a primeira prestação e 
dada como entrada. Qual o 
 
 
O 1desconto sobre o preço a vista que a loja pode conceder, se a taxa praticada pela loja for de 7,5% ao 
mês? 
2. Uma loja apresenta duas propostas de venda de um produto eletrônico: 
Sendo de 3,5 % ao mês a taxa corrente de juros, indicar a alternativa mais atraente para o comprador. 
Resposta: Alternativa (a). 
Auto avaliação 
Você conseguiu resolver todos os exercícios propostos sem dificuldade? Se a resposta foi sim, então você 
entendeu os conceitos envolvendo rendas certas ou anuidades, em particular os conceitos do modelo 
básico. Se não conseguiu, não desista, volte a aula e reveja os conceitos e exemplos, não deixe que suas 
duvidas se acumulem. 
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Amortização de Empréstimo e de Financeiro 
 
Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são 
realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma do 
reembolso do Capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, 
sendo que 
Juros são sempre calculados sobre o saldo devedor! 
 
Os principais sistemas de amortização são: 
1. Sistema de Pagamento único: 
Um único pagamento no final. 
2. Sistema de Pagamentos variáveis: 
Vários pagamentos diferenciados. 
3. Sistema Americano: 
Pagamento no final com juros calculados período a período. 
4. Sistema de Amortização Constante (SAC): 
A amortização da dívida é constante e igual em cada período. 
5. Sistema Price ou Francês (PRICE): 
Os pagamentos (prestações) são iguais. 
6. Sistema de Amortização Misto (SAM): 
Os pagamentos são as médias dos sistemas SAC e Price. 
7. Sistema Alemão: 
Os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto o primeiro pagamento que 
corresponde aos juros cobrados no momento da operação. 
Em todos os sistemas de amortização, cada pagamento é a soma do valor amortizado com os juros do 
saldo devedor, isto é: 
Pagamento = Amortização + Juros 
Em todas as nossas análises, utilizaremos um financiamento hipotético de R$300.000,00 que será pago ao 
final de 5 meses à taxa mensal de 4%. 
Na sequência, será essencial o uso de tabelas consolidadas com os dados de cada problema e com 
informações essenciais sobre o sistema de amortização. Em todas as análises, utilizaremos a mesma 
tabela básica que está indicada abaixo, com os elementos indicados: 
Sistema de Amortização 
n Juros Amortização do 
Saldo devedor 
Pagamento Saldo devedor 
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0 300.000,00 
1 
2 
3 
4 
5 0 
Totais 300.000,00 
 
Sistema de Pagamento Único 
O devedor paga o Montante=Capital + Juros compostos da dívida em um único pagamento ao final de n=5 
períodos. O Montante pode ser calculado pela fórmula: 
M = C (1=i)n 
Uso comum: Letras de câmbio, Títulos descontados em bancos, Certificados a prazo fixo com renda final. 
 
Sistema de Pagamento Único 
n Juros Amortização do 
Saldo devedor 
Pagamento Saldo devedor 
0 0 0 0 300.000,00 
1 12.000,00 312.000,00 
2 12.480,00 324.480,00 
3 12.979,20 337.459,20 
4 13.498,37 350.957,57 
5 14.038,30 300.000,00 364.995,87 0 
Totais 64.995,87 300.000,00 364.995,87 
 
Sistema De Pagamentos Variáveis 
O devedor paga o periodicamente valores variáveis de acordo com a sua condição e de acordo com a 
combinação realizada inicialmente, sendo que os juros do Saldo devedor são pagos sempre ao final de 
cada período. 
Uso comum: Cartões de crédito. 
Dado: O devedor pagará a dívida da seguinte forma: 
 No final do 1o.mês: R$ 30.000,00 + juros 
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 No final do 2o.mês: R$ 45.000,00 + juros 
 No final do 3o.mês: R$ 60.000,00 + juros 
 No final do 4o.mês: R$ 75.000,00 + juros 
 No final do 5o.mês: R$ 90.000,00 + juros 
 
Sistema de Pagamentos Variáveis 
n Juros Amortização do 
Saldo devedor 
Pagamento Saldo devedor 
0 0 0 0 300.000,00 
1 12.000,00 30.000,00 42.000,00 270.000,00 
2 10.800,00 45.000,00 55.800,00 225.000,00 
3 9.000,00 60.000,00 69.000,00 165.000,00 
4 6.600,00 75.000,00 81.600,00 90.000,00 
5 3.600,00 90.000,00 93.600,00 0 
Totais 42.000,00 300.000,00 342.000,00 
 
Sistema Americano 
O devedor paga o Principal em um único pagamento no final e no final de cada período, realiza o 
pagamento dos juros do Saldo devedor do período. No final dos 5 períodos, o devedor paga também os 
juros do 5o. período. 
 
Sistema Americano 
n Juros Amortização do 
Saldo devedor 
Pagamento Saldo devedor 
0 0 0 0 300.000,00 
1 12.000,00 12.000,00 300.000,00 
2 12.000,00 12.000,00 300.000,00 
3 12.000,00 12.000,00 300.000,00 
4 12.000,00 12.000,00 300.000,00 
5 12.000,00 300.000,00 312.000,00 0 
Totais 60.000,00 300.000,00 360.000,00 
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Sistema de Amortização Constante (SAC) 
O devedor paga o Principal em n=5 pagamentos sendo que as amortizações são sempre constantes e 
iguais. 
Uso comum: Sistema Financeiro da Habitação 
 
Sistema de Amortização Constante (SAC) 
n Juros Amortização do 
Saldo devedor 
Pagamento Saldo devedor 
0 0 0 0 300.000,00 
1 12.000,00 60.000,00 72.000,00 240.000,00 
2 9.600,00 60.000,00 69.600,00 180.000,00 
3 7.200,00 60.000,00 67.200,00 120.000,00 
4 4.800,00 60.000,00 64.800,00 60.000,00 
5 2.400,00 60.000,00 62.400,00 0 
Totais 36.000,00 300.000,00 336.000,00 
 
Sistema Price (Sistema Francês) 
Todas as prestações (pagamentos) são iguais. 
Uso comum: Financiamentos em geral de bens de consumo. 
Cálculo: O cálculo da prestação P é o produto do valor financiado Vf=300.000,00 pelo coeficiente K dado 
pela fórmula 
 
onde i é a taxa ao período e n é o número de períodos. Para esta tabela, o cálculo fornece: 
P = K × Vf = 67.388,13 
 
Sistema Price (ou Sistema Francês) 
n Juros Amortização do 
Saldo devedor 
Pagamento Saldo devedor 
0 0 0 0 300.000,00 
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1 12.000,00 55.388,13 67.388,13 244.611,87 
2 9.784,47 57.603,66 67.388,13 187.008,21 
3 7.480,32 59.907,81 67.388,13 127.100,40 
4 5.084,01 62.304,12 67.388,13 64.796,28 
5 2.591,85 64.796,28 67.388,13 0 
Totais 36.940,65 300.000,00 336.940,65 
 
Sistema de Amortização Misto (SAM) 
Cada prestação (pagamento) é a média aritmética das prestações respectivas no Sistemas Price e no 
Sistema de AmortizaçãoConstante (SAC). 
Uso: Financiamentos do Sistema Financeiro da Habitação. 
Cálculo: 
PSAM = (PPrice + PSAC) ÷ 2 
 
n PSAC PPrice PSAM 
1 72.000,00 67.388,13 69.694,06 
2 69.600,00 67.388,13 68.494,07 
3 67.200,00 67.388,13 67.294,07 
4 64.800,00 67.388,13 66.094,07 
5 62.400,00 67.388,13 64.894,07 
 
Sistema de Amortização Misto (SAM) 
n Juros Amortização do 
Saldo devedor 
Pagamento Saldo devedor 
0 0 0 0 300.000,00 
1 12.000,00 57.694,06 69.694,06 242.305,94 
2 9.692,24 58.801,83 68.494,07 183.504,11 
3 7.340,16 59.953,91 67.294,07 123.550,20 
4 4.942,01 61.152,06 66.094,17 62.398,14 
5 2.495,93 62.398,14 64.894,07 0 
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Totais 36.470,34 300.000,00 336.470,94 
 
Sistema Alemão 
O sistema Alemão consiste em liquidar uma dívida onde os juros são pagos antecipadamente com 
prestações iguais, exceto o primeiro pagamento que corresponde aos juros cobrados no momento da 
operação financeira. É necessário conhecer o valor de cada pagamento P e os valores das amortizações 
Ak, k=1,2,3,...,n. 
Uso comum: Alguns financiamentos. 
Fórmulas necessárias: Para k=1,2,...,n. 
 
 
 
A prestação mensal do financiamento, pode ser calculada com as fórmulas acima. 
P = (300.000×0,04)÷[1-(1-0,04)
5
]=64.995,80 
A1 = 64.995,80 × (1-0,04)
4
 = 55.203,96 
A2 = 55.203,96 ÷ (1-0,04) = 57.504,13 
A3 = 57.504,13 ÷ (1-0,04) = 59.900,13 
A4 = 59.900,13 ÷ (1-0,04) = 62.395,97 
A5 = 62.395,97 ÷ (1-0,04) = 64.995,80 
 
Sistema Alemão 
n Juros Amortização do 
Saldo devedor 
Pagamento Saldo devedor 
0 12.000,00 0 12.000,00 300.000,00 
1 9.791,84 55.203,96 64.995,80 244.796,04 
2 7.491,68 57.504,13 64.995,80 187.291,91 
3 5.095,67 59.900,13 64.995,80 127.391,78 
4 2.599,83 62.395,97 64.995,80 64.995,80 
5 64.995,80 64.995,80 0 
Totais 36.979,02 300.000,00 336.979,02 
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Cálculos Financeiro de Operações 
O CET, ou Custo Efetivo Total, refere-se ao total de encargos a serem pagos pelo cliente em uma 
operação de empréstimo ou financiamento. É expresso em forma de percentual anual e inclui as taxas de 
juros, tributos, tarifas, gravames, IOF, registros, seguros e demais despesas do contrato. Foi instituído pelo 
Conselho Monetário Nacional, pela Resolução 3.517 de 6 de Dezembro de 2007 e desde março de 2008 
tornou-se obrigatório. Todas as instituições financeiras devem informar qual é o CET na efetivação de um 
contrato de empréstimo ou financiamento e também sempre que solicitado pelo cliente. Além dessas 
situações, deve estar presente em informes publicitários e peças de marketing que divulguem as taxas que 
a instituição utiliza. 
Para que serve e qual a sua importância? 
O principal objetivo do CET é conferir maior transparência às operações de crédito, informando ao 
consumidor todos os custos que incidem na operação antes deste contratá-la. Além de conhecer o custo 
real, o CET possibilita a análise e comparação entre diferentes empresas ou operações de crédito. Assim, o 
cliente adquire o poder de uma decisão mais detalhada e acertada, que atenda de fato as suas 
necessidades. 
Comparar as taxas de juros é suficiente? 
Mesmo que um banco cobre uma taxa de juros igual à de outro e em um mesmo prazo de pagamento, o 
CET pode variar. Isso porque as tarifas, tributos e outros custos diferem-se de acordo com a política de 
cada instituição. Deste modo, é importante ficar atento: nem sempre uma taxa de juros mais baixa 
representa o melhor negócio. Na dúvida, pergunte qual é o CET e compare. 
Você sabe quanto você REALMENTE paga quando faz um empréstimo ou financiamento? 
O Custo Efetivo Total (CET) é a taxa que corresponde a todos os encargos e despesas incidentes sobre 
operações de crédito. As instituições financeiras são obrigadas a informar o CET antes da contratação de 
qualquer operação de crédito. É muito importante que o cliente exija e leia atentamente os dados 
constantes no CET, para verificar o que está contratando e se está pagando alguma taxa além dos juros e 
IOF. 
É muito comum algumas financeiras embutirem em operações de empréstimos algumas taxas além de 
seguros sem o consentimento do cliente, fazendo com isso aumentar significativamente o Custo efetivo 
total do crédito. 
Exemplo 1 (taxas descontadas no ato da contratação): 
Valor do crédito: R$ 1000,00 
Tx. Juros mensal: 1,5% 
Prazo: 6 meses 
Parcela: R$ 175,53 
IOF: R$ 10,00 (valor citado como exemplo, não representa o valor real de IOF). 
Seguro: R$ 15,00 
Valor financiado: R$ 975,00 (valor do crédito – tributos/taxas descontadas). 
Custo efetivo total: 2,25% ou 30,60% a.a. 
Cálculo do CET na HP: 975,00 CHS PV, 6 n, 175,53 PMT, i 
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Exemplo 2 (taxas financiadas) 
Valor do crédito R$ 1000,00 
Tx. Juros mensal: 1,5% 
Prazo: 6 meses 
Parcela: R$ 179,91 
IOF: R$ 10,00 (valor citado como exemplo, não representa o valor real de IOF). 
Seguro: R$ 15,00 
Valor financiado: R$ 1025,00 (valor liberado + taxas somadas) 
Custo efetivo total: 2,23% a.m. ou 30,30% a.a. 
Custo efetivo na calculadora HP 12 C: 1000,00 CHS PV, 179,91 PMT, 6 N, i 
É essencial comparar o CET entre diversos bancos antes de optar por um deles. Não basta comparar 
apenas taxas de juros, pois um banco pode cobrar taxas que outro não cobra e isso influencia no tanto que 
você irá pagar ao final do prazo. Caso o acesso ao CET não seja fácil, compare o valor da parcela no 
mesmo prazo. É muito comum uma instituição falar que tem taxa menor que outra e ao calcular o 
empréstimo o valor da parcela fica maior (ou seja, a taxa final é maior, o CET é maior). 
Juros Simples, Juros Compostos, Montante e Desconto 
A Fortaleza do Centro 
Elementos básicos em Matemática Financeira 
A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou 
financiamentos de bens de consumo. A ideia básica é simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa 
e empregar alguns procedimentos matemáticos. 
Capital: O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: 
Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em língua inglesa, usa-se Present Value, indicado 
nas calculadoras financeiras pela tecla PV. 
Juros: Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros 
podem ser capitalizados segundo os regimes: simples ou compostos, ou até mesmo, com algumas 
condições mistas. 
Regime Processo de funcionamento 
Simples Somente o principal rende juros. 
Compostos Após cada período, os juros são incorporados ao Capital, proporcionando juros 
sobre juros. 
Notações comuns que serão utilizadas neste material 
C Capital 
n número de períodos 
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j juros simples decorridos n períodos 
J juros compostos decorridos n períodos 
r taxa percentual de juros 
i taxa unitária de juros (i = r / 100) 
P Principal ou valor atual 
M Montante de capitalização simples 
S Montante de capitalização composta 
Compatibilidade dos Dados 
Se a taxa de juros for mensal, trimestral ou anual, os períodos deverão ser respectivamente, mensais, 
trimestrais ou anuais, de modo que os conceitos de taxas de juros e períodos sejam compatíveis, coerentes 
ou homogêneos. Situações onde isto não ocorre, serão estudadas à parte e deverão ser feitas conversões 
de unidades. 
Exemplo: Na fórmula 
F(i,n) = 1 + i n 
a taxa unitária de juros i deverá estar indicada na mesma unidade de tempo que o número de períodos n, 
ou seja, se a taxa é i=0,05 ao mês,então n deverá ser um número indicado em meses. 
Juros Simples 
1. Se n é o numero de periodos, i é a taxa unitária ao período e P é o valor principal, então os juros simples 
são calculados por:j = P i nExemplo:Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos à 
taxa de 14% ao ano são dados por:j = 1.250,00 x 0,14 x 4 = 700,00 
2. Se a taxa ao período é indicada percentualmente, substituimos i por r/100 e obtemos a fórmula:j = P r n / 
100Exemplo:Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos à taxa de 14% ao ano são 
dados por:j = 1.250,00 x 14 x 4 / 100 = 700,00 
3. Se a taxa é r % ao mês, usamos m como o número de meses e a fórmula:j = P r m / 100Exemplo:Os 
juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos (48 meses) à taxa de 2% ao mês são 
dados por:j = 1.250,00 x 2 x 48 / 100 = 1.200,00 
4. Se a taxa é r% ao dia, usamos d como o número de dias para obter os juros exatos (número exato de 
dias) ou comerciais simples com a fórmula:j = P r d / 100Exemplo:Os juros simples obtidos por um capital 
P=1.250,00 durante 6 meses (180 dias) à taxa de 0,02% ao dia são dados por:j = 1.250,00 x 0,02 x 180 / 
100 = 45,00 
Exemplo: Os juros simples exatos obtidos por um capital P=1.250,00 durante os 6 primeiros meses do ano 
de 1999 (181 dias), à taxa de 0,2% ao dia, são dados por: 
j = 1.250,00 x 0,2 x 181 / 100 = 452,50 
Montante Simples 
Montante é a soma do Capital com os juros. O montante também é conhecido como Valor Futuro. Em 
língua inglesa, usa-se Future Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla FV. O montante é 
dado por uma das fórmulas: 
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M = P + j = P (1 + i n) 
Exemplo a: Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar 
um capital aplicado através de capitalização simples? 
Objetivo: M=2P 
Dados: i=150/100=1,5; Fórmula: M=P(1+in) 
Desenvolvimento: Como 2P=P(1+1,5 n), então 2=1+1,5 n, logo 
n = 2/3 ano = 8 meses 
Exemplo b: Qual é o valor dos juros simples pagos à taxa i=100% ao ano se o valor principal é P=R$ 
1.000,00 e a dívida foi contraída no dia 10 de janeiro, sendo que deverá ser paga no dia 12 de abril do 
mesmo ano? 
Contagem do tempo: 
Período Número de dias 
De 10/01 até 31/01 21 dias 
De 01/02 até 28/02 28 dias 
De 01/03 até 31/03 31 dias 
De 01/04 até 12/04 12 dias 
Total 92 dias 
Fórmula para o cálculo dos juros exatos: 
j = P r (d / 365) / 100 
Cálculo: 
j = (1000×100×92/365)/100 = 252,05 
Fluxo de Caixa 
Apresentaremos aqui, apenas alguns elementos sobre fluxo de caixa. O internauta interessado em obter 
mais detalhes, poderá acessar outro link que construímos sobre Fluxo de caixa. Em nossa Página, existem 
muitos outros links sobre Matemática Financeira que construímos para dar suporte a este curso. 
Fluxo de Caixa é um gráfico contendo informações sobre Entradas e Saídas de capital, realizadas em 
determinados períodos. O fluxo de caixa pode ser apresentado na forma de uma linha horizontal (linha de 
tempo) com os valores indicados nos respectivos tempos ou na forma de uma tabela com estas mesmas 
indicações. 
A entrada de dinheiro para um caixa em um sistema bancário poderá ser indicada por uma seta para baixo 
enquanto que o indivíduo que pagou a conta deverá colocar uma seta para cima. A inversão das setas é 
uma coisa comum e pode ser realizada sem problema. 
Consideremos uma situação em que foi feito um depósito inicial de R$5.000,00 em uma conta que rende 
juros de 4% ao ano, compostos mensalmente e que se continue a depositar mensalmente valores de 
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R$1.000,00 durante os 5 meses seguintes. No 6º. mês quer-se conhecer o Valor Futuro da reunião destes 
depósitos. 
Para obter o Valor Futuro deste capital depositado em vários meses, usamos o fluxo de caixa e conceitos 
matemáticos para calcular o valor resultante ou montante acumulado. 
Juros compostos 
Em juros compostos, o problema principal consiste em calcular o montante (soma) S obtido pela aplicação 
de um único valor principal P no instante t=0, à taxa i de juros (por período) durante n períodos. 
Exemplo preparatório: Consideremos uma situação hipotética que, em 1994 a correção da caderneta de 
poupança tenha sido de 50% em cada um dos 5 primeiros meses do ano. Se uma pessoa depositou 
$100,00 em 01/01/94, poderiamos montar uma tabela para obter o resultado acumulado em 01/06/94. 
Tempo Data Valor Principal Juros Montante 
0 01/01/94 100,00 0 100,00 
1 01/02/94 100,00 50,00 150,00 
2 01/03/94 150,00 75,00 225,00 
3 01/04/94 225,00 112,50 337,50 
4 01/05/94 337,50 168,75 506,20 
5 01/06/94 506,25 253,13 759,38 
Observamos que os juros foram calculados sobre os Principais nos inícios dos meses que correspondiam 
aos montantes dos finais dos meses anteriores. 
Juros Compostos são juros sobre juros (anatocismo): 
Juros Simples, Juros Compostos, Montante e Desconto – Parte 2 
Posted on 28/11/2016 by Eder s. carlos 
Juros Simples, Juros Compostos, Montante e Desconto – Parte 2 
Juros Compostos são juros sobre juros (anatocismo) 
A situação apresentada acima, pode ser analisada do ponto de vista matemático, com P=100,00 e 
i=50%=0,5. Assim: 
S1=100(1,5)
1
 S2=100(1,5)
2
 S3=100(1,5)
3
 S4=100(1,5)
4
 S5=100(1,5)
5
 
Em geral: 
Sn = P (1+i)
n
 
onde 
Sn Soma ou montante 
P Valor Principal aplicado inicialmente 
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i taxa unitária 
n número de períodos da aplicação 
Observação: Relembramos que a taxa e o número de períodos devem 
ser compatíveis ou homogêneos com respeito à unidade de tempo. 
Montante Composto 
A fórmula para o cálculo do Montante, em função do valor Principal P, da taxa i ao período e do número de 
períodos n, é dada por: 
S = P (1+i)
n
 
Exemplo: Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quanto tempo será necessário para dobrar o 
capital aplicado através de capitalização composta? 
Objetivo: S=2P 
Taxa anual: i=150/100=1,5. A fórmula é dada por: 
S=P(1+i)
n
 
Solução: 2P=P(1+1,5)
n
, logo 
(2,5)
n
 = 2 
Para resolver esta última equação, aplicamos logaritmos a ambos os lados da igualdade, para obter: 
n = log(2) / log(2,5) = 0,7564708 de 1 ano 
Observação: Tábua de logaritmo imediata 
Para obter o logaritmo do número N na base natural, basta trocar N pelo número desejado e escrever: 
javascript:Math.log(N) 
na caixa branca de seu browser que indica Endereço (Location) desta página. Após obter o resultado, use o 
botão voltar (back) para continuar os estudos. 
Uma forma alternativa é copiar a linha em azul para o Endereço, pressionando a seguir a tecla <ENTER> 
para obter o resultado. 
Fator de Acumulação de Capital (Fator de P para S) 
Se i é a taxa ao período, n é o número de períodos, definimos o Fator de Acumulação de Capital ou Fator 
de P para S, denotado por FAC(i,n) ou FPS(i,n), como: 
FAC(i,n) = FPS(i,n) = (1 + i)
n
 
Agora, podemos escrever o montante composto S como o produto do valor Principal P por FAC(i,n): 
S = P FAC(i,n) = P FPS(i,n) 
Utilidade: O FAC(i,n)=(1+i)
n
 pode ser obtido com uma calculadora simples, dessas que normalmente não 
executam potências. Digita-se i, soma-se 1, aperta-se o sinal X (de multiplicação) e a seguir tecla-se o sinal 
de igualdade n-1 vezes. 
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Existem algumas variações da fórmula do Montante Composto, que estão apresentadas abaixo: 
S = P (1 + i)
n
 
P = S (1+i)
-n
 
Uma variação da fórmula de Montante composto é usada na obtenção do Valor Atual P de um capital futuro 
conhecido S. 
P=S(1+i)
-n
 
Fator de Valor Atual 
Se i é a taxa ao período, n é o número de períodos, o Fator de Valor Atual ou Fator de S para P ou Fator de 
Desconto, denotado por FVA(i,n) ou FSP(i,n) como o inverso de FAC(i,n)=FPS(i,n): 
FVA(i,n) = FSP(i,n) = (1+i)
-n
 
Utilidade: O FVA(i,n)=(1+i)
-n
 pode ser obtido com uma calculadorasimples, dessas que normalmente não 
executam potências. Digita-se i, soma-se 1, aperta-se o sinal X (de multiplicação) e o sinal = (igual) n-1 
vezes para obter FAC(i,n) e a seguir teclamos o sinal de divisão e finalmente o sinal = (igual) para obter o 
FVA(i,n), que é o inverso do FAC(i,n). 
Cálculo de juros Compostos 
J = P [(1+i)
n
-1] 
Exemplo: Qual é o valor dos juros compostos pagos à taxa i=100% ao ano se o Principal é R$1.000,00 e a 
dívida foi contraída no dia 10/01/94 e deverá ser paga em 12/04/94? 
Solução: A contagem dos dias corresponde a d=92 dias. 
Dúvida: Qual será a fórmula para juros compostos quando a taxa é anual e o período está indicado em uma 
unidade diferente de 1 ano? A idéia é transformar 92 dias em unidades anuais para obter: 
n = 92/365 de 1 ano = ~ 0,252055 = 1/4 ano 
Principal: P=1000; Taxa anual: i=100/100=1. A fórmula empregada é: 
J = P [(1+i)
n
-1] 
Solução: 
J=1000[(1+1)
1/4
-1]=1000(1,189207-1)=189,21 
Teste: Você saberia obter a raiz quarta de um número com uma calculadora que só extrai a raiz quadrada? 
E a raiz oitava de um número que só extrai a raiz quadrada? 
Taxas 
Taxa é um índice numérico relativo cobrado sobre um capital para a realização de alguma operação 
financeira. 
Taxas: (Matemática Financeira, Introdução ao Cap.6, José Dutra Vieira Sobrinho: “No mercado 
financeiro brasileiro, mesmo entre os técnicos e executivos, reina muita confusão quanto aos conceitos de 
taxas de juros principalmente no que se refere às taxas nominal, efetiva e real. O desconhecimento 
generalizado desses conceitos tem dificultado o fechamento de negócios pela consequente falta de 
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entendimento entre as partes. Dentro dos programas dos diversos cursos de Matemática Financeira existe 
uma verdadeira „poluição‟ de taxas de juros.” 
Não importando se a capitalização é simples ou composta, existem três tipos principais de taxas: 
Taxa Nominal: A taxa Nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não 
coincide com aquele a que a taxa está referida. 
Exemplos: 
1. 1200% ao ano com capitalização mensal. 
2. 450% ao semestre com capitalização mensal. 
3. 300% ao ano com capitalização trimestral. 
Taxa Efetiva: A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide 
com aquele a que a taxa está referida. 
Exemplos: 
1. 120% ao mês com capitalização mensal. 
2. 450% ao semestre com capitalização semestral. 
3. 1300% ao ano com capitalização anual. 
Taxa Real: Taxa Real é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação. 
Conexão entre as taxas real, efetiva e de inflação: 
Conexão entre as taxas real, efetiva e de inflação: A taxa Real não é a diferença entre a taxa efetiva e a 
taxa da inflação. Na realidade, existe uma ligação íntima entre as três taxas, dadas por: 
1+iefetiva = (1+ireal) (1+iinflação) 
Exemplo: Se a taxa de inflação mensal foi de 30% e um valor aplicado no início do mês produziu um 
rendimento global de 32,6% sobre o valor aplicado, então o resultado é igual a 1,326 sobre cada 1 unidade 
monetária aplicada. Assim, a variação real no final deste mês, será definida por: 
vreal = 1 + ireal 
que pode ser calculada por: 
vreal = resultado / (1 + iinflação) 
isto é: 
vreal = 1,326 / 1,3 = 1,02 
o que significa que a taxa real no período, foi de: 
ireal = 2% 
Aplicação em caderneta de poupança: Se o governo anuncia que a Caderneta de Poupança proporciona 
um rendimento real de 0,5% ao mês (=0,005), significa que o seu dinheiro deve ser corrigido pela taxa da 
inflação iinflação, isto é, deve ser multiplicado por 1 + iinflação e depois multiplicado por 1+0,5%=1,005. 
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Exemplo: Se uma pessoa possuia numa caderneta de poupança o valor de CR$ 670.890,45 no dia 
30/04/93 e a taxa da inflação desde esta data até 30/05/93 foi de 35,64% entao ele terá em sua conta no 
dia 30/05/93, o valor de: 
V = 670.890,45 x 1,3564 x 1,005 = 914.545,77 
Taxas Equivalentes 
Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período de tempo, 
através de diferentes sistemas de capitalização, produzem o mesmo montante final. 
Exemplo: A aplicação de R$1.000,00 à taxa de 10% ao mês durante 3 meses equivale a uma única 
aplicação com a taxa de 33,1% ao trimestre. Observemos o Fluxo de caixa da situação. 
Tomando P=1.000,00; i1=0,1 ao mês e n1=3 meses, seguirá pela fórmula do Montante composto, que : 
S1=P(1+i1)
3
=1000(1+0,1)
3
=1000.(1,1)
3
=1331,00 
Tomando P=1.000,00; i2=33,1% ao trimestre e n2=1 trimestre e usando a fórmula do Montante composto, 
teremos: 
S2=C(1+i2)
1
=1000(1+0,331)=1331,00 
Logo S1=S2 e a taxa de 33,1% ao trimestre é equivalente à taxa capitalizada de 10% ao mês no mesmo 
trimestre. 
Observação sobre taxas equivalentes: Ao afirmar que a taxa nominal de uma aplicação é de 300% ao 
ano capitalizada mensalmente, estamos entendemos que a taxa é de 25% ao mês e que está sendo 
aplicada mês a mês, porque: 
i = 300/12 = 25 
Analogamente, temos que a taxa nominal de 300% ao ano corresponde a uma taxa de 75% ao trimestre, 
aplicada a cada trimestre, porque: 
i = 300/4 = 75 
É evidente que estas taxas não são taxas efetivas. 
Cálculos de taxas equivalentes: Como vimos, taxas equivalentes são aquelas obtidas por diferentes 
processos de capitalização de um mesmo Principal P para obter um mesmo montante S. 
Consideraremos ia uma taxa ao ano e ip uma taxa ao período p, sendo que este período poderá ser: 1 
semestre, 1 quadrimestre, 1 trimestre, 1 mês, 1 quinzena, 1 dia ou outro que se deseje. Deve ficar claro que 
tomamos 1 ano como o período integral e que o número de vezes que cada período parcial ocorre em 1 
ano é indicado por Np. 
Exemplo: 1 ano = 2 semestres = 3 quadrimestres = 4 trimestres = 12 meses = 24 quinzenas = 360 dias. 
A fórmula básica que fornece a equivalência entre duas taxas é: 
1 + ia = (1+ip)
Np
 
onde 
ia taxa anual 
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ip taxa ao período 
Np número de vezes em 1 ano 
Situações possíveis com taxas equivalentes 
Fórmula Taxa Período Número de vezes 
1+ia = (1+isem)
2
 isem semestre 2 
1+ia = (1+iquad)
3
 iquad quadrimestre 3 
1+ia = (1+itrim)
4
 itrim trimestre 4 
1+ia = (1+imes)
12
 imes mês 12 
1+ia = (1+iquinz)
24
 iquinz quinzena 24 
1+ia = (1+isemana)
24
 isemana semana 52 
1+ia = (1+idias)
365
 idias dia 365 
Exemplo: Qual será a taxa efetiva que equivale à taxa de 12% ao ano capitalizada mês a mês? 
Vamos entender a frase: “12% ao ano capitalizada mês a mês”. Ela significa que devemos dividir 12% por 
12 meses para obter a taxa que é aplicada a cada 1 mês. Se estivesse escrito “12% ao ano capitalizada 
trimestralmente” deveriamos entender que a taxa ao trimestre seria igual a 12% dividido por 4 (número de 
trimestres de 1 ano) que é 3%. 
Vamos observar o fluxo de caixa da situação: 
Solução: A taxa mensal é i1=12%/12=1%=0,01, assim a taxa efetiva pode ser obtida por 
1+i2 = (1,01)
12
 = 1,1268247 
logo 
i2 = 0,1268247 = 12,68247% 
Observação: Se iinflação=0, a taxa real equivale à taxa efetiva. 
Exemplo: Qual é a taxa mensal efetiva que equivale à taxa de 12% ao ano? Neste caso, a fórmula a ser 
usada é: 
1+ia = (1 + imes)
12
 
Como ia=12%=0,12 basta obter i(mes) com a substituição dos valores na fórmula acima para obter: 
1,12 = [1 + i(mes)]
12
 
Existem outras maneiras para resolver esta equação exponencial mas aplicaremos o logaritmo na base 10 
a ambos os lados da igualdade para obter: 
log(1,12) = 12 log[1+i(mes)] 
log(1,12)/12 = log[1 + i(mes)] 
0,04921802267018/12 = log[1 + i(mes)] 
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0,004101501889182 = log[1+i(mes)] 
assim 
10
0,004101501889182
 = 10
log[1+i(mes)]
 
Desenvolvendo a potência obtemos: 
1,009488792934 = 1 + i(mes) 
0,009488792934 = i(mes) 
i(mes) = 0,9488792934%Se você não estiver lembrando ou tem interesse em estudar o assunto, o link Logaritmos nesta mesma 
Página, possui coisas interessantes sobre o assunto. 
Observação: Interprete os últimos exemplos com muito cuidado! 
Descontos 
Notações comuns na área de descontos: 
D Desconto realizado sobre o título 
A Valor Atual de um título 
N Valor Nominal de um título 
i Taxa de desconto 
n Número de períodos para o desconto 
Desconto é a diferença entre o Valor Nominal de um título (futuro) N e o Valor Atual A deste mesmo título. 
D = N – A 
Há dois tipos básicos de descontos: Comerciais (por fora) ou Racionais (por dentro). 
Tipos de descontos 
Descontos simples são obtidos com cálculos lineares, mas os Descontos compostos são obtidos com 
cálculos exponenciais. 
Desconto Simples Comercial (por fora): 
Desconto Simples Comercial (por fora): O cálculo deste desconto é análogo ao cálculo dos juros 
simples, substituindo-se o Capital P na fórmula de juros simples pelo Valor Nominal N do título. 
Desconto por fora Juros simples 
D = N i n j = P i n 
N = Valor Nominal P = Principal 
i = taxa de desconto i = taxa de juros 
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n = no. de períodos n = no. de períodos 
O valor atual no desconto por fora, é calculado por: 
A = N-D = N-N.i.n = N(1-i.n) 
Desconto Simples Racional (por dentro): O cálculo deste desconto funciona análogo ao cálculo dos juros 
simples, substituindo-se o Capital P na fórmula de juros simples pelo Valor Atual A do título. 
O cálculo do desconto racional é feito sobre o Valor Atual do título. 
Desconto por dentro Juros simples 
D = A i n j = P.i.n 
N = Valor Atual P = Principal 
i = taxa de desconto i = taxa de juros 
n = no. de períodos n = no. de períodos 
O valor atual, no desconto por dentro, é dado por: 
A = N / (1 + i n) 
Desconto Comercial composto (por fora): Este tipo de desconto não é usado no Brasil e é análogo ao 
cálculo dos Juros compostos, substituindo-se o Principal P pelo Valor Nominal N do título. 
Desconto composto por fora Juros compostos 
A = N(1-i)
n
 S = P(1+i)
n
 
A = Valor Atual P = Principal 
i = taxa de desconto negativa i = taxa de juros 
n = no. de períodos n = no. de períodos 
Apenas para fins didáticos, iremos obter a fórmula para o cálculo deste desconto. Ela é obtida por 
aplicações repetidas do desconto simples para 1 período. 
Para n=1, o desconto composto por fora funciona como o desconto simples por fora, logo: 
A1 = N(1-i) 
onde A1 é o valor atual do título com valor nominal N. Para n=2, devemos reaplicar o mesmo processo, 
substituindo agora N por A1, para obter A2, isto é: 
A2 = A1(1-i) = N(1-i)
2
 
Por este raciocínio, temos que, para cada número natural n: 
An = N(1-i)
n
 
Esta fórmula é similar à formula do montante composto, dada por: 
S = P(1+i)
n
 
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Desconto Racional composto (por dentro): Este tipo de desconto é muito utilizado no Brasil. 
Como D = N – A e como N = A(1 + i)
n
 , então 
D = N-N(1+i)
-n
 = N.[1-(1+i)
-n
] 
O melhor estudo que se pode fazer com o desconto racional composto é considerar o Valor Atual A como o 
capital inicial de uma aplicação e o Valor Nominal N como o montante desta aplicação, levando em 
consideração que as taxas e os tempos funcionam de forma similar nos dois casos. 
Exemplo a: Qual é o desconto racional composto de um título cujo valor nominal é R$10.000,00, se o 
prazo de vencimento é de n=5 meses e a taxa de desconto é de 3,5% ao mês. 
Solução: 
D = 10.000,00 [(1,035)
5
-1]/1,035
5
 = 1.580,30 
Exemplo b: Uma empresa emprestou um valor que deverá ser pago 1 ano após em um único pagamento 
de R$ 18.000,00 à taxa de 4,5% ao mês. Cinco meses após ter feito o empréstimo a empresa já tem 
condições de resgatar o título. Se a empresa tiver um desconto racional composto calculado a uma taxa 
equivalente à taxa de juros cobrada na operação do empréstimo, qual será o valor líquido a ser pago pela 
empresa? 
Dados: Valor nominal: N=18.000,00; taxa mensal: i=4,5%=0,045 
Número de períodos para o desconto: n=12-5=7 
Fórmula: D = N.[(1+i)
n
-1]/(1+i)
n
 
Financiamento pelo Sistema Price 
No estudo do financiamento de um bem de consumo, percebe-se que a Matemática Financeira é muito 
mais útil no nosso cotidiano do que outras “matemáticas”. Aqui se vê a força do estudo de sequências 
geométricas (PG), fato que não é possível explicitar facilmente a alunos de níveis elementares. No entanto, 
praticamente todos os indivíduos estão envolvidos com compras de bens de consumo no seu dia-a-dia e 
este ponto se torna fundamental pois transforma o estudo de Progressões Geométricas em algo 
extremamente útil. 
O sistema Price (Richard Price), também chamado Sistema Francês (pois foi a França o primeiro país que 
utilizou este sistema do ponto de vista comercial), corresponde a um financiamento onde todos os 
pagamentos são iguais. 
A ideia essencial neste contexto é construir um fluxo de caixa e descobrir o Valor Atual ou Valor Presente 
de uma série uniforme de pagamentos. 
Antes de continuar, iremos mostrar uma situação para identificar o que está escondido sob os cálculos de 
um financiamento. 
Exemplo: Suponhamos que uma pessoa compre um carro para pagar em 4 prestações mensais 
consecutivas e iguais de R$8.000,00, sem entrada e com taxa de 10% ao mês. Qual será o Valor Atual 
(real) deste carro? 
Fluxo de Caixa do Problema 
O que se deve fazer é calcular o valor atual de cada prestação e realizar a soma desses valores para obter 
o Valor Atual do bem financiado. 
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A1 = 8000/(1+0,1)
1
 
A2 = 8000/(1+0,1)
2
 
A3 = 8000/(1+0,1)
3
 
A4 = 8000/(1+0,1)
4
 
Assim o Valor Atual será a soma dos valores atuais parciais 
A = 8000.(1,1
-1
 + 1,1
-2
 + 1,1
-3 
+ 1,1
-4
) 
que pode ser escrito como: 
A = 8000 x 3,169865435 = 25.358,92 
que é o valor à vista que custa o carro. 
Um fato curioso é o aparecimento da expressão: 
K = 1,1
-1
 + 1,1
-2
 + 1,1
-3
 + 1,1
-4
 
que representa a soma dos termos de uma sequência geométrica (PG) com 4 termos. 
Na sequência, analisaremos a situação geral quando temos n prestações num modelo semelhante, 
considerando agora um financiamento cujo Valor Atual A na data inicial (tempo=0) será pago em n 
prestações iguais a R ao final de cada um dos n meses seguidos, a taxas mensais iguais a i. 
Fluxo de Caixa do Problema 
O problema é similar ao anterior e pode ser resolvido do ponto de vista matemático, como : 
A = R[(1+i)
-1
+(1+i)
-2
+…+(1+i)
-n
] 
Evidenciando o termo (1+i)
-n
, segue que: 
A = R[1+(1+i)
1
+…+(1+i)
n-1
] / (1 +i)
n
 
e o termo dentro dos colchetes corresponde à soma dos n primeiros termos de uma PG cujo primeiro termo 
é igual 1 e cuja razão é igual a (1+i). 
A fórmula abaixo é a expressão matemática procurada por tantas pessoas para saber como são realizados 
os cálculos de taxas de juros em financiamentos. 
Esta não é uma expressão matemática simples! Quando se conhece a taxa i, o número de períodos n e o 
valor de cada prestação R é bastante fácil obter o Valor Atual A. 
Quando conhecemos o Valor Atual (preço à vista) A, Prestação R e Número de períodos n, não é fácil obter 
a taxa de juros porque além de ser matematicamente difícil, o governo, as empresas e financeiras em 
geral, embutemmuitas outras taxas a títulos diversos que mascaram o valor real da taxa! 
Esta fórmula matemática pode ser escrita como: 
A = R FVAs(i,n) 
onde FVAs é o Fator de Valor Atual para uma série uniforme, definido por: 
Esta é a fórmula utilizada nas tabelas financeiras que encontramos no comércio em geral. Através desta 
fórmula podemos obter a taxa de um financiamento em prestações com pagamentos iguais. 
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Para o próximo exemplo, vamos admitir que o dono de uma loja te garantiu o valor certo para a taxa ao 
período, o que eu não acredito em geral.Para se calcular o valor da prestação R de um bem cujo preço à vista é A e será pago em n prestações 
iguais sem entrada, à taxa i ao período, sendo que a primeira prestação será paga no final do primeiro 
período, divide-se o valor atual A pelo FVAs(i,n), isto é: 
R = A / FVAs(i,n) 
Exemplo: Determinar a prestação R da compra de uma geladeira que custa à vista A=$1.000,00 e que 
será paga em 12 meses, sem entrada, com um taxa de 5% ao mês. 
Se você souber o Valor à vista A, a prestação R e o número de meses n, você poderá obter a taxa i ao 
mês, desde que possua uma tabela financeira ou então se tiver acesso ao link Taxa de juros em um 
financiamento. 
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Os Métodos Quantitativos de Análise de Investimentos 
O estudo de avaliação de investimentos se refere basicamente às decisões de aplicações de capital em 
projetos que prometem retornos por vários períodos consecutivos. 
O tema se insere no âmbito da administração financeira em longo prazo, promovendo repercussões 
importantes sobre o desempenho futuro da empresa e, ainda em termos agregados, sobre o crescimento 
da economia. 
Uma empresa, em determinado instante, pode ser vista como um conjunto de projetos de investimento em 
diferentes momentos de execução. O seu objetivo financeiro, ao avaliar alternativas de investimento, é o de 
maximizar a contribuição marginal desses recursos de capital, promovendo o incremento de sua riqueza 
líquida. 
É importante ressaltar que o investimento de capital se apresenta geralmente como uma parte (algumas 
vezes pequena) do processo de tomada de decisões empresariais. Frequentemente, objetivos estratégicos 
se apresentam como fatores decisórias relevantes na seleção de projetos de investimentos. Esta realidade 
frusta, em diversos momentos, posições mais teóricas de se identificar as melhores alternativas a partir 
unicamente dos métodos quantitativos de avaliação de investimentos. Outros fatores de importância são 
também considerados na avaliação, permitindo incorporar um estudo de natureza qualitativa. 
O segmento de investimento de capital é bastante complexo e amplo, envolvendo inúmeros critérios e 
métodos de análise. O presente trabalho não tem o intuito de abordar todas as suas partes. O objetivo 
básico é o de avaliar, dentro de um posicionamento mais crítico, os principais aspectos dos métodos 
quantitativos mais utilizados pelas empresas para análise de investimentos. 
Informações Mínimas Para Avaliação De Investimentos 
O processo de avaliação de investimentos demanda uma série de informações financeiras, enunciadas 
segundo diversos critérios. Da mesma forma, diferentes estados de mercado e da economia interferem nos 
critérios de análise de investimentos. 
As informações mínimas necessárias são descritas, em seus aspectos essenciais, a seguir. 
a) Fluxo de Caixa Líquido 
A avaliação de investimento é executada a partir de fluxo líquido de caixa, medido, para cada período do 
intervalo de tempo, pela diferença entre os fluxos de entrada e os de saída de caixa. Nestes fluxos são 
computadas somente os movimentos efetivos de recursos, com reflexos financeiros sobre o caixa, 
desprezando-se receitas e despesas de natureza eminentemente contábil (depreciação, amortização, 
reavaliação patrimonial, entre outros resultados que não são pagos ou recebidos em termos de caixa). 
A análise de investimento é processada com base em fluxos de caixa, sendo o dimensionamento desses 
valores considerado como o aspecto mais importante da decisão. A representatividade dos resultados de 
um investimento é bastante dependente do rigor e confiabilidade com que os fluxos de caixa foram 
estimados. 
A decisão de se avaliar projetos de investimento com base nos resultados de caixa, e não a partir do lucro, 
é devida a uma necessidade econômica, revelando a efetiva capacidade da empresa em remunerar o 
capital aplicado e reinvestir os benefícios gerados. 
b) Valores Incrementais 
Os fluxos de caixa são computados em seus valores incrementais, ou sejam, pelos fluxos de entrada e 
saída de caixa que se originam da decisão de investimento em consideração. Isto equivale a concluir que, 
inexistindo o investimento, os fluxos de caixa atribuíveis à proposta deixam de existir. 
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O fluxo de caixa incremental adotado como modelo básico na análise de investimento apresenta-se 
genericamente com a seguinte estrutura: 
FC = [ Δ ROP - IR (Δ ROP)] + Δ DND 
FC = Δ ROP x (1 - IR) + Δ DND 
onde: 
Δ FC = Fluxo de caixa incremental; 
Δ ROP = resultado operacional incremental; 
IR = alíquota de imposto de renda aplicável sobre o resultado operacional incremental; 
Δ DND = despesas não desembolsáveis incrementais (depreciação, basicamente) 
c) Taxa Mínima de Atratividade 
Na seleção de investimento é necessária a definição prévia da taxa de retorno exigida, isto é, a taxa de 
atratividade econômica do projeto. 
Ao se trabalhar com métodos de fluxo de caixa descontado, a taxa de atratividade constitui-se no parâmetro 
de avaliação dos projetos, a meta econômica mínima a ser alcançada. 
No método do valor presente liquido, a taxa de atratividade é o percentual de desconto dos fluxos de caixa. 
Sendo o valor presente das entradas menos o das saídas de caixa positivo, há indicação técnica de 
aceitação do investimento. Em caso contrário, deve ser rejeitado. 
No método da taxa interna de retorno, a taxa de atratividade é comparada com o retorno calculado, 
indicando aceitação quando esta última for, pelo menos, igual à taxa de desconto utilizada. 
4) Outras Informações 
Outras informações a respeito do processo de investimento devem ser levadas em consideração na 
análise. 
* Origens das Propostas: expansão, lançamento de novos produtos, modernização, instalação, 
relocalização. 
* Tinos de Investimentos: independentes, economicamente dependentes, mutuamente excludentes, 
restrições orçamentárias. 
É preciso levar em conta, ainda, os aspectos de risco inerentes a todo projeto. Como os investimentos são 
decisões tomadas fundamentalmente em relação ao futuro,