Exercício de Algebra Linear (64)

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Capı́tulo 9
Exercı́cios de revisão
Neste capı́tulo, apresentamos uma pequena lista de exercı́cios dos mais diversos
temas que são úteis para se fazer uma revisão rápida dos assuntos.
1) Seja ⊗ a operação sobre � definida por x ⊗ y = x + y + xy. Verifique se essa
operação é comutativa, se é associativa e se tem elemento neutro.
Solução:
• Para quaisquer x, y ∈ �, x⊗y = x+y+ xy = y+ x+yx = y⊗ x. Logo, a operação
⊗ é comutativa.
• Para quaisquer x, y, z ∈ �, temos:
◦ x ⊗ (y ⊗ z) = x ⊗ (y + z + yz) = x + (y + z + yz) + x(y + z + yz) = x + y + z +
xy + xz + yz + xyz
◦ (x ⊗ y) ⊗ z = (x + y + xy) ⊗ z = (x + y + xy) + z + (x + y + xy)z =
x + y + z + xy + xz + yz + xyz.
Logo, x ⊗ (y ⊗ z) = (x ⊗ y) ⊗ z, de onde concluı́mos que ⊗ é associativa.
• 0 ⊗ x = x ⊗ 0 = x + 0 + x · 0 = x,∀x ∈ �. Logo, o 0 (zero) é o elemento neutro
da operação.
2) Consideremos o conjunto dos números reais � com a operação definida por
x ∗ y = 3
√
x3 + y3. Mostre que G = (�, ∗) é um grupo abeliano.
Solução:
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