Questão 24

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Questão 24 – Página 382 AID: 56 | 11/04/2016	
Enunciado:
A região delimitada pelo eixo e pelas curvas e para é girada em torno do eixo x. Ache o volume do sólido gerado. (Sugestão: use as seguintes identidades: e .
Solução:
A figura abaixo mostra o sólido de revolução obtido a partir da rotação em torno do eixo .
Observemos que como o eixo é o eixo de revolução, temos que a figura está limitada pelas funções e por . 
Um elemento de volume é um número pertencente ao eixo, tal que com raio e. Pelo Teorema 6.1.3 temos que:
 =
Usando as identidades trigonométricas e temos:
 =
 = 
 = 
 = 
 = 
 =
Portanto, o volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.
4
0
p
£
£
x
(
)
2
1
sin1cos2
2
xx
=-
(
)
x
x
2
cos
1
2
1
cos
2
+
=
x
x
(
)
cos
yfxx
==
(
)
sin
ygxx
==
1
0,
4
x
p
éù
Î
êú
ëû
(
)
i
fw
(
)
i
gw
(
)
(
)
22
0
1
lim
n
iii
i
Vfwgwx
p
D®
=
éù
=-D
ëû
å
(
)
4
22
0
cossin
xxdx
p
p
-
ò
(
)
2
1
1cos2
2
sinxx
=-
y
(
)
(
)
4
0
11
1cos21cos2
22
xxdx
p
p
æö
+--
ç÷
èø
ò
4
0
cos2
xdx
p
p
ò
4
0
1
.sin2
2
x
p
p
ù
ú
û
11
sinsin0
22
pp
æö
-
ç÷
èø
(
)
1
10
2
p
-
1
2
p
sin
yx
=
x
y
cos
=