01 Lista de Exercícios de Eq Diferenciais 1 sem 2020

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Pontif́ıcia Universidade Católica de Minas Gerais
1a Lista de Exerćıcios de Equações Diferenciais - 1oSem/2020
Engenharia Elétrica e Mecânica
Questão 1. Seja z um número complexo. Se z +
1
z
é um número real, mostre que o argumento
de z é 0 ou π ou o módulo de z é 1.
Questão 2. Seja z um número complexo de módulo 1 e argumento θ. Se n é um número inteiro
positivo, prove que
zn +
1
zn
= 2 cos(nθ)
Questão 3. Determine o lugar geométrico descrito pelo conjunto
A =
{
z ∈ C; (z − i)(z − i) = 4
}
e faça seu esboço.
Questão 4. Determine o produto dos números complexos z = x + yi, que tem módulo igual a√
2 e se encontram sobre a reta y = 2x− 1 contida no plano complexo.
Questão 5. Determine o número natural n tal que
(2i)n + (1 + i)2n = −16i,
sendo i a unidade imaginária do conjunto dos números complexos.
Questão 6. Considere as equações z3 = i e z2+(2+i)z+2i = 0, em que z é um número complexo.
Seja S1 o conjunto das raizes da primeira equação e S2 o da segunda. Determine S1 ∩ S2
Questão 7. Considere o número complexo z = a + 2i cujo argumento está no intervalo
(
0,
π
2
)
.
Seja S o conjunto de todos os posśıveis valores de a para os quais z6 é um número real. Calcule
o produto dos elementos de S.
Questão 8. Determine o valor da potência
( √
2
1 + i
)93
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Questão 9. O número complexo z =
1− cos a
sin a cos a
+ i
1− 2 cos a+ 2 sin a
sin 2a
, com a ∈
(
0,
π
2
)
, tem
argumento igual a
π
4
. Calcule o valor de a
Questão 10. Definimos uma série de potência centrada em a como o somatório
∞∑
n=0
cn(x− a)n = c0 + c1(x− a) + c2(x− a)2 + c3(x− a)3 + · · ·
em que x é uma variável e cn são constantes chamadas coeficientes da série. Suponha que uma
função f(x) tenha uma expansão em uma série de potência, ou seja, f(x) possa ser escrita na
forma:
f(x) = c0 + c1(x− a) + c2(x− a)2 + c3(x− a)3 + · · · .
É posśıvel expressar os coeficientes da série em termos das derivadas de f , isto é, cn =
f (n)(a)
n!
.
Logo
f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a)f
′′(a)
2!
(x− a)2 + f
′′′(a)
3!
(x− a)3 + · · ·
Está série é conhecida por série de Taylor centrado em a. Se a = 0 a série de Taylor se torna
f(x) = f(0) + f ′(0)x
f ′′(0)
2!
x2 +
f ′′′(0)
3!
x3 + · · ·
Esse caso surge com frequência e lhe foi dado o nome especial de série de Maclaurin.
a) Determine a série de Maclaurin das funções f(x) = ex, g(x) = cos x e h(x) = sin x, com x ∈ R.
b) Admita que as funções do ı́tem (a) f, g e h são iguais a sua série de Maclaurin. Sendo assim,
prove que
eθi = cos θ + i sin θ,
em que i representa a unidade imaginária do conjunto dos números complexos.
c) Calcule ii
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Respostas
1.
2.
3. Circunferência de raio 2 e centro (0, 1)
4.
6
5
− 8
5
i.
5. n = 3
6. S1 ∩ S2 = {−i}
7. 4
8.
−1 + i√
2
9. a =
π
6
10. a) f(x) =
∞∑
n=0
xn
n!
, g(x) =
∞∑
n=0
(−1)n x
2n
(2n)!
e h(x) =
∞∑
n=0
(−1)n x
2n+1
(2n+ 1)!
c) e−π/2