MM_Aula 01_23

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Modelagem Matemática
Aula 01
É muito arriscado, além da
dificuldade, e às vezes até
impossível, a solução direta de
muitos dos problemas.
PLANEJAMENTO E MODELAGEM 
É preciso ter consciência de que o melhor projeto é
aquele que está completamente descrito e validado!
Sem esse processo pode ser que apresente
dificuldades operacionais relevantes.
Ao menos, existem três grandes preocupações 
constantes na engenharia, que podem estar 
comprometidas, são elas:
PREOCUPAÇÕES NA ENGENHARIA 
NECESSIDADE DE PLANEJAMENTO
https://www.youtube.com/watch?v=1gBC
buHxTJU
https://www.youtube.com/watch?v=-
L9D3DWH8-U
https://www.youtube.com/watch?v=1gBCbuHxTJU
https://www.youtube.com/watch?v=-L9D3DWH8-U
O QUE É PRECISO:
Planejar [uma das principais tarefas é modelar
adequadamente o problema].
Representar a ideia [a representação é feita
através de uma estrutura mais simplificada que
facilita a sua solução] ou seja ,
criar um:
O QUE ACONTECE SEM PROJETO/MODELO?
ISSO ....
O QUE ACONTECE SEM PROJETO/MODELO?
O QUE ACONTECE SEM PROJETO?
ISSO ....
ISSO ....
O QUE ACONTECE SEM PROJETO/MODELO?
OU ISSO ....
O QUE ACONTECE SEM PROJETO/MODELO?
O QUE ACONTECE SEM PROJETO/MODELO?
OU AINDA ISSO ....
Um MODELO é uma representação simplificada da 
realidade ou de um problema a ser resolvido. Embora
simplificado, ele é capaz de fazer uma representação
suficientemente precisa dos aspectos essenciais que se 
deseja investigar . 
O que é um modelo?
Pode ser de vários tipos.
Exemplo: Projeto de um Carro.
Começa com um planejamento, entendimento do mercado, esboço de um desenho 
no papel ou computador, com provas de material, cores, texturas, etc.
(Representação Física)
Exemplo: Maquete de um Prédio.
(Representação Física)
Exemplo: Planta/Maquete de uma Residência.
(Representação Física)
Exemplo: Modelo Mental (Passos para executar uma receita).
Exemplo: Design de um Roupa.
(Representação Física)
Exemplo: Modelo Computacional.
(Representação Simbólica)
Exemplo: Sinal Discreto.
(Representação Gráfica)
Exemplo: Representação de Reação Química.
(Representação Diagramática)
O que é modelar?
Sistema físico real
CLASSIFICAÇÃO DOS MODELOS
Representa de forma mais fiel possível com riqueza de detalhes o SFR.
Pode ser em escala ampliada, real ou reduzida.
Vantagens: possibilita definir de forma mais realista os detalhes construtivos, possibilita verificar 
a segurança de uso, possibilita observar a facilidade de manutenção, permite alterar o projeto 
com aperfeiçoamentos.
Exemplos: Mapas, fotografias, plantas, maquetes, estátuas.
Classificação de Modelos
Modelo Icônico
É um conjunto de 
linhas e símbolos que 
representa em forma 
de diagrama a 
estrutura ou o 
comportamento do 
SFR.
Classificação de Modelos
Modelo Diagramático
Circuito RLC
Modelo Diagramático: mais exemplos
Esquema que aborda as etapas da Modelagem 
Matemática é um Modelo Diagramático.
Constitui um 
útil auxílio à 
visualização, 
comunicação 
e previsão de 
projetos. 
Classificação de Modelos
2) Modelo de Representação Gráfica 
0
25000
50000
75000
100000
125000
Abril Maio Junho Julho
Despesa Lucro
Classificação de Modelos
Modelo de Representação Gráfica
Uma representação gráfica é a amostra de fenômenos 
físicos, econômicos, sociais, ou outros de forma ordenada 
e escrita.
Representação Gráfica da 
Planta de uma Residência.
O modelo matemático é um conjunto de símbolos 
e relações matemáticas que representam de alguma 
forma o problema estudado.
Classificação de Modelos
Modelo Matemático
Modelo Matemático de um Circuito
Modelo Matemático da 
COVID-19
Motivos para realizar a modelagem matemática
nas diferentes áreas do conhecimento
É muito caro construir todas as possibilidades de um Sistema Físico Real.
Diminui a possibilidade de ocorrer possíveis erros.
c A construção de alguns sistemas pode ser impraticável,
destrutiva ou perigosa.
Possibilita realizar uma avaliação da situação, em um menor
espaço de tempo, com menor custo, determinando seus efeitos no
desempenho do SFR.
Torna possível avaliar os custos envolvidos no sistema que 
está sendo modelado. 
As ferramentas computacionais auxiliam a realização da
modelagem.
Gera uma estimativa rápida de comportamento de um
determinado fenômeno.
c
Atenção !
MODELAGEM MATEMÁTICA
MODELAGEM MATEMÁTICA
Rodney Carlos Bassanezi é professor titular aposentado do
Instituto de Matemática, Estatística e Computação
Científica (IMECC) da Unicamp e da UFABC. Coordenou
cursos de Modelagem Matemática na Universidade de Trento,
na Itália, e em uma dezena de universidades brasileiras.
MODELAGEM MATEMÁTICA
• A modelagem matemática é a ARTE de transformar problemas
da realidade em problemas matemáticos, e resolvê-los
interpretando as suas soluções em linguagem do mundo real.
• É a área do conhecimento que estuda a simulação de sistemas
reais a fim de prever comportamentos, realizar predições,
sendo empregada em diversos campos de estudo, tais
como: física, química, biologia, economia e engenharias.
• As vantagens do emprego da modelagem em termos de
pesquisa podem ser constatadas nos avanços obtidos nas mais
diversas áreas do conhecimento.
• A modelagem matemática pressupõem multidisciplinaridade ou
interdisciplinaridade ..
ETAPAS DA MODELAGEM MATEMÁTICA
Para passar de uma etapa para outra são necessárias atividades 
intelectuais que são as ações desempenhadas pelo modelador.
I) Problema não matemático: que surge da observação da
realidade.
1) Experimentação: obtenção dos dados experimentais através
de atividade laboratorial (i.e., bancada de testes); ou através da
observação da realidade (i.e., obtidos de situações reais
vivenciadas, dados reais).
Obs: Um novo problema não matemático pode surgir também
da experimentação.
II) Dados Experimentais
2) Abstração: leva a formulação do Modelo Matemático e nele
realizamos:
a) Formulação do problema ou problematização: aqui se faz a
pergunta que desejamos responder a partir do desenvolvimento
da modelagem matemática. Por exemplo: Qual é o tempo que
dura uma bateria de um celular do tipo smartfone? Qual é a
autonomia da bateria de um Carro Elétrico? O que mais
influencia a variação de temperatura num ambiente?
b) Seleção de Variáveis: por exemplo, no caso de um modelo variação de
temperatura num ambiente, temperatura externa, isolamento térmico, ar
condicionado, fontes de calor interna, ocupação humana, uso de
iluminação, pintura, ....
c) Formulação de hipóteses: irão dirigir o problema, definir o grau de
complexidade ou simplicidade do modelo, elas surgem de vários modos:
observação dos fatos, comparação com outros estudos, dedução lógica,
experiência pessoal do modelador...
A montagem ou aplicação do modelo matemático se dá nessa
fase do processo de modelagem, e o seu grau de complexidade
também depende das hipóteses e da quantidade de variáveis
interelacionadas.
d) Simplificação: não são raras as situações em que o modelo
origina um problema matemático que não apresenta a mínima
possibilidade de estudo devido a sua complexidade, nesse caso
devemos voltar ao início e fazer as simplificações, descartar
hipóteses e variáveis, que não irão comprometer a solução do
modelo.
- No final obtemos o modelo matemático.
3) Resolução: consiste em resolver o
modelo analiticamente ou numericamente.
• Analiticamente consiste em resolver “no braço, a mão”.
• Numericamente é necessário de um programa computacional
e uma linguagem computacional para realizarmos as
simulações (método numérico) e encontrarmos os resultados.
• Estimação de Parâmetros (Problema Inverso), a partir dos
dados se encontram os parâmetros(ajuste de curvas).
III) Obtenção do Modelo: há muitos modelos prontos
e que descrevem uma grande quantidade de
problemas é necessário fazer escolhas.
IV – Solução
4) Validação: é a comprovação do modelo, comparamos as suas
soluções e previsões com dadosreais e ou experimentais.
 O modelo deve prever no mínimo os fatos que o originaram.
 Um bom modelo é aquele que tem a capacidade de prever
novos fatos e fazer previsões futuras.
Se o modelo não é aceito devemos fazer modificações.
5) Modificações: se o modelo necessitar
6) Aplicações
1. Formulação do Problema
SISTEMATIZANDO AS ETAPAS
2. Construção de Modelos
3. Obtenção de Solução
4. Teste do Modelo
5. Avaliação da Solução
UTILIZAÇÃO DA MODELAGEM MATEMÁTICA
1) Método Científico de Pesquisa
- Estimula novas ideias e técnicas
experimentais, pode produzir novas
informações diferentes das inicialmente
esperadas;
- Metodologia para previsões;
- Preenche lacunas onde existe falta de
dados experimentais;
- Sugere prioridade de aplicações de
recursos e pesquisas, e tomada de decisões;
- Serve para entender a realidade;
- É uma linguagem universal para a
compreensão e entrosamento entre
pesquisadores em diversas áreas do
conhecimento.
2) Estratégia de Ensino e Aprendizagem
- Desenvolve capacidades formativas nos
alunos;
- Prepara os alunos para a vida real;
- Ensina o aluno a utilizar a matemática como
ferramenta para resolver problemas;
- Fornece ao aluno arsenal para compreender
e interpretar a matemática em todas as suas
facetas, aprender os conceitos, os resultados
e valorizar a própria matemática.
UTILIZAÇÃO DA MODELAGEM MATEMÁTICA
“Aqui o mais importante aqui não é chegar a um modelo bem sucedido, 
mas caminhar seguindo as etapas para o conteúdo matemático ser 
sistematizado e aplicado.”
DIFICULDADES EM REALIZAR
MODELAGEM MATEMÁTICA
• Dificuldades do método experimental
• Não acessibilidade física dos pontos de 
entrada e saída do processo. 
• Custo elevado para efetuar experimentos. 
• Problemas de segurança em plantas 
industriais.
- Dificuldades da própria modelagem matemática.
- Fenômenos físicos ou químicos “pobremente” compreendidos.
- Valores imprecisos de parâmetros.
- Dimensão e complexidade do modelo.
- Distúrbios externos.
- Deficiência de qualificação técnica.
DIFICULDADES EM REALIZAR
MODELAGEM MATEMÁTICA
CLASSIFICAÇÃO DOS MODELOS
BASEADA NO TIPO DE MODELO EMPREGADO
1) Modelos Matemáticos Caixa-Branca:
modelagem que considera apenas as variáveis
de entrada e a física do sistema
-Modelos teóricos, fenomenológicos ou
conceituais.
-Modelos baseados em Leis Físicas (2ª Lei de
Newton, Lei de Hooke, Lei de Bernolli, Leis de
Kirchhoff, Lei de Fourier, Leis de Conservação
de Energia e Massa, Balanço de Massa).
-Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) e
Equações Diferenciais Parciais (EDP) lineares ou
não lineares.
CLASSIFICAÇÃO DOS MODELOS
BASEADA NO TIPO DE MODELO EMPREGADO
2) Modelos Matemáticos Caixa-Preta:
modelagem que considera apenas as
variáveis de entrada e a saída do sistema
(mais utilizada)
- Modelagem empírica.
- Baseada em dados (Meta Heurística -MH,
Inteligência Artificial -IA (RNA, AG, EP)).
- Modelos de Regressão.
- Identificação de Sistemas ( modelos
polinomiais - ARX, ARMAX, BJ).
CLASSIFICAÇÃO DOS MODELOS
BASEADA NO TIPO DE MODELO EMPREGADO
3) Modelos Matemáticos Caixa-Cinza:
modelagem que considera tanto as
variáveis de entrada e a saída do
sistema, como a física do sistema.
- Meio termo, usa informações auxiliares,
algum conhecimento prévio do processo.
CLASSIFICAÇÃO DOS MODELOS
BASEADA NO TIPO DE RESULTADO QUE OS MODELOS PREVÊEM. 
MODELOS ESTÁTICOS X MODELOS DINÂMICOS
- Modelos estáticos relacionam variáveis sem quantificar sua dependência temporal,
são normalmente descritos por equações algébricas.
- Modelos dinâmicos possuem dependência do tempo, sendo compostos por equações
diferenciais.
Estático
Dinâmico
CLASSIFICAÇÃO DOS MODELOS
BASEADA NO TIPO DE RESULTADO QUE OS MODELOS PREVÊEM. 
MODELOS DISCRETOS X MODELOS CONTÍNUOS
- Os termos discretos e contínuos se referem ao tempo.
- Modelos dinâmicos contínuos representam a evolução do sistema
continuamente no tempo, são descritos por equações diferenciais.
- Modelos dinâmicos discretos representam a evolução do sistema em
instantes discretos, são descritos por equações a diferenças.
MODELOS DETERMINÍSTICOS X MODELOS ESTOCÁSTICOS
- Modelos determinísticos são aqueles que as variáveis e parâmetros são tratados
como determinísticos, ou seja, não são variáveis aleatórias, sempre prevêem o
mesmo resultado a partir de um determinado ponto de partida.
- Modelos estocásticos lidam com diversas fontes de incertezas presentes em
qualquer sistema real por meio do uso de variáveis aleatórias.
Passado
Futuro
Futuro
Passado
CLASSIFICAÇÃO DOS MODELOS
BASEADA NO TIPO DE RESULTADO QUE OS MODELOS PREVÊEM. 
APLICAÇÕES
Tarefa 1: Desenvolva as etapas de modelagem para
o seguinte problema: Como tem variado a
temperatura anual do seu município?
Tarefa 2: Um recipiente cilíndrico, aberto em cima,
deve ter a capacidade de 375π cm³ . O custo do
material usado para a base do recipiente é de R$
0,15 por cm² e o custo do material usado na lateral é
de R$ 0,05 por cm². Se não há perda de material,
encontre o modelo matemático que permite encontrar
as dimensões que minimizam o custo do material para
construí-lo. Determine as dimensões e valide a
solução.
Tarefa 3: Uma rede de água potável ligará uma
central de abastecimento situada à margem de um rio
de 500 m de largura a um conjunto habitacional
situado na outra margem do rio, 2.000 a oeste da
central. O custo da obra através do rio é de R$
640,00 por metro, enquanto que em terra custa R$
312,00 por metro. Modele matematicamente esta
situação e determine qual é a forma mais econômica
de se instalar a rede de água potável? Valide a
solução encontrada.