Caderno0 Matematica

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Suporte para o ENEM e SAEBSuporte para o ENEM e SAEB
00
Autores
Equipe Programa Cientista-Chefe em Educação Básica
UFC/FUNCAP/SEDUC
P. 0
Todos os direitos reservados à
Secretaria da Educação do Estado do Ceará – Centro Administrativo Virgílio Távora
Av. General Afonso Albuquerque Lima, s/n – Cambeba. Fortaleza/CE – CEP: 60.822-325
GOVERNADORA
Maria Izolda Cela de Arruda Coelho
Secretária da Educação Eliana Nunes Estrela
Secretária Executiva de Ensino Médio e
Profissional
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Médio
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Coordenadora de Avaliação e Desenvolvimento
Escolar para Resultados de Aprendizagem
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Coordenadora de Diversidade e Inclusão
Educacional
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Coordenador da Educação Profissional Rodolfo Sena da Penha
Coordenadora Estadual da Formação Docente e
Educação a Distância
Vagna Brito de Lima
Cientista-Chefe da Educação Jorge Herbert Soares de Lira
Elaboração e revisão de texto Jorge Herbert Soares de Lira
Annelise Maymone (revisora)
Fábio Sampaio Mariano (revisor)
Francisco Odécio Sales (revisor)
Transposição didática Maria Marcigleide Araújo Soares
P. 1 SUMÁRIO
|Sumário
1 Percursos de Recomposição de Aprendizagem em Matemática . . . . . . . . . 3
1.1 Proporcionalidade e Linearidade 3
1.1.1 Representações de números racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Operações aritméticas com números racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 Proporcionalidade: conceitos e aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Equações lineares e funções afins 26
1.2.1 Aplicações de equações lineares e funções afins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3 Linearidade e não-linearidade 50
1.4 Estatística Descritiva: medidas de tendência central 61
P. 3
1 |Percursos de Recomposição de Aprendizagem emMatemática
1.1 – Proporcionalidade e Linearidade
Caro(a) estudante, esta parte do material envolve assuntos e habilidades essenciais para a aprendizagem
da Matemática e para sua preparação para avaliações de larga escala (SPAECE e SAEB) e para o
ENEM. Iniciamos nosso estudo retomando os conceitos de frações equivalentes e suas representações
como números decimais para, gradativamente, passarmos a exercícios envolvendo proporcionalidade,
equações lineares e funções afins.
As tarefas a seguir envolvem conhecimentos prévios fundamentais para desenvolver as habilidades nos
descritores D16, D19, D28, D55, D57 e D58 da Matriz de Referência do SPAECE. Veja a matriz em
https://spaece.caedufjf.net/wp-content/uploads/2012/07/CE-SPAECE-2016-MATRIZ-MT-3EM.pdf
Tente resolver as questões você mesmo, antes de consultar a solução: não desista na primeira tentativa.
Tanto o texto quanto as soluções dos exercícios são recursos para que você possa estudar ou revisar os
conceitos e técnicas essenciais para sua aprendizagem.
1.1.1 – Representações de números racionais
Questão 1 — Equivalência de frações. Calcule o valor de x para o qual a seguinte equivalência de
frações é válida:
x
9 =
4
6 ·
Uma alternativa de solução da questão é a seguinte: multiplicamos o numerador e o denominador da
fração 46 por 3, obtendo
4×3
6×3 =
12
18 ·
Em seguida, dividimos o numerador e o denominador desta última fração por 2, o que resulta em
12 : 2
18 : 2 =
6
9 ·
Vejamos uma explicação gráfica para esta solução: a fração 46 está representada na figura seguinte, em
que cada um dos retângulos menores representa 16 do retângulo maior.
Dividindo cada um dos retângulos menores em 3 partes iguais, obtemos 18 retângulos, dos quais 12
estão coloridos, representando a mesma fração da figura anterior.
Logo, deduzimos que 46 =
12
18 . Agora, agrupando os retângulos menores na figura anterior em grupos
de 2, obtemos
https://spaece.caedufjf.net/wp-content/uploads/2012/07/CE-SPAECE-2016-MATRIZ-MT-3EM.pdf
Seção 1.1 P. 4
Portanto, demonstramos, com o suporte das figuras, que
4
6 =
12
18 =
6
9 ·
Questão 2 — Frações e números decimais. O número decimal 0,75 equivale a qual das seguintes
frações?
A) 64 B)
4
6 C)
3
6 D)
3
4
Solução. Observe, inicialmente que as frações 110 e
10
100 são equivalentes, uma vez que
1×10
10×10 =
10
100 ·
Usando essa equivalência, vemos que o número decimal 0,75 é expandido da seguinte forma
0,75 = 0,7 + 0,05 = 7× 110 + 5
×
1
100 = 7
×
10
100 + 5
×
1
100 =
7×10 + 5
100 =
75
100 ·
Em resumo, o número decimal 0,75 equivale à fração 75100 . Todavia, esta fração pode ser simplificada
da seguinte forma:
75÷25
100÷25 =
3
4 ·
Portanto, o número decimal 0,75 é equivalente à fração 75100 que, por sua vez, é equivalente à fração
3
4 .
Logo, a alternativa correta é a de letra D). ■
Questão 3 Qual dos seguintes números decimais é equivalente à fração 34?
A) 0,34 B) 0,75 C) 3,4 D) 7,5
Questão 4 Qual dos seguintes números racionais equivale à fração 38?
A) 0,375 B) 0,38 C) 3,75 D) 3,8
Solução. Observe que a fração 38 é dada pela divisão de 3 por 8. Temos:
3
8 =
3×125
8×125 =
375
1000 = 0,375.
Logo, a resposta correta é a alternativa A). ■
Observação 1.1 Outra forma de calcular a representação decimal de 38 é observar que esta fração é
obtida dividindo 3 por 4 e, depois, o resultado dessa divisão por 2:
3
8 =
3
4 : 2 =
3
4
×
1
2 =
75
100
×
1
2 =
75
100
×
5
10 =
375
1000 = 0,375.
Questão 5 Qual das frações abaixo não é equivalente a 1218 .
A) 69 B)
10
16 C)
4
6 D)
8
12 E)
2
3
Solução. Uma possibilidade é simplificar as frações dadas, obtendo
12
18 =
12 ÷ 2
18 ÷ 2 =
6
9 =
6 ÷ 3
9 ÷ 3 =
2
3 .
P. 5 Seção 1.1
Logo, 69 e
2
3 são frações equivalentes a
12
18 . Por outro lado,
8
12 =
8 ÷ 2
12 ÷ 2 =
4
6 =
4 ÷ 2
6 ÷ 2 =
2
3 .
Assim, 812 também é equivalente a
12
18 . Finalmente,
10
16 =
10 ÷ 2
16 ÷ 2 =
5
8 .
Mas, como 23 e
5
8 são frações irredutíveis diferentes, concluímos que
10
16 e
12
18 não são equivalentes.
Portanto, a alternativa que apresenta uma fração que não é equivalente a 1218 é a letra (b).
Para ilustrarmos graficamente esses cálculos, representamos as frações utilizando barras de mesmo
comprimento, como nas figuras abaixo, particionadas em 18, 9, 6, 3 ou 16 partes iguais, respectivamente:
= 1218
= 69
= 46
= 23
= 1016
Uma solução alternativa seria verificar as equivalências de 1218 e
6
9 , o que também pode ser feito para as
frações dos itens (c), (d), (e), calculando os produtos 12×9 e 6×18: como 12×9 = 108 = 6×18, as frações
12
18 e
6
9 são equivalentes. Da mesma forma,
12
18 não é equivalente a
10
16 porque 12×16 = 192 e 10×18 = 180,
logo, 12×16 ̸= 10×18.
■
Exercícios propostos: equivalências, representações, comparações e localizações de
números racionais
Questão 6 Em uma prova, um aluno acertou 15 questões, o que corresponde a 57 do total de questões.
Nesta prova havia quantas questões?
A) 20 B) 21 C) 28 D) 30 E) 35
Questão 7 — SPAECE - Item M120963E4, adaptado. Observe o seguinte número racional destacado
abaixo.
7
4
Qual é a representação decimal desse número?
A) 0,57 B) 1,75 C) 4,7 D) 7,4 E) 10,75
Questão 8 A desigualdade
5
7 <
6
7
é verdadeira? Justifique sua resposta.
Seção 1.1 P. 6
Questão 9 A desigualdade
5
7 <
5
6
é verdadeira? Justifique sua resposta.
Questão 10 As desigualdades
2
5 <
3
4
e
4
5 <
6
7
são verdadeiras? Justifique sua resposta.
Questão 11 Determine, em cada uma das expressões, o valor de x que torna a igualdade verdadeira:
a) 25 =
x
10
b) 58 =
x
1000
c) 1225 =
x
100
d) 3751000 =
x
40
Questão 12 Complete as expressões abaixo de modo que as igualdades sejam verdadeiras:
a) 45 = 0,
b) 58 = 0,
c) 1825 = 0,
d) 740 = 0,
Agora, coloque os números decimais que você obteveem ordem crescente.
Questão 13 Qual das seguintes desigualdades é verdadeira?
A) 34 <
6
7 B)
3
7 <
2
5 C)
3
7 <
4
9 D)
2
3 <
3
4
Questão 14 Na reta numérica a seguir, foram assinalados alguns pontos:
0 1/2 1 3/2 2A B C D
Em qual das alternativas o ponto corresponde corretamente à fração?
A) A = 1/4 B) B = 2/5 C) C = 5/4 D) D = 4/3
Questão 15 Observe a seguinte representação da reta numérica:
P. 7 Seção 1.1
0 1 3 4 5A B C D
Em qual das alternativas o ponto corresponde corretamente ao número racional?
A) A = 15 B) B =
7
5 C) C =
15
5 D) D =
4
5
Questão 16 Qual dos seguintes números decimais é mais próximo da fração 23?
A) 6,7 B) 2,3 C) 0,67 D) 0,23
Questão 17 Na reta numérica a seguir, foram assinalados alguns pontos:
0 1/2 1 3/2 2 5/2 3P Q R S T
Assinale a alternativa correta.
A) P > 26
B) Q < 1,1666 . . .
C) R > 1,75
D) S < 23
E) T > 2,8333 . . .
Questão 18 — SABE - Item M120905E4, adaptado. Observe a reta numérica abaixo. Ela está dividida
em segmentos de mesma medida.
S
2
7
1
3
T U
4
9
V
4
7
W
5
8
X
5
6
10
O número 34 está localizado entre os pontos
A) S e T .
B) T e U .
C) U e V .
D) V e W .
E) W e X.
Questão 19 — PAEBES - Item M090258G5, adaptado. Observe a reta numérica abaixo. Ela está
dividida em segmentos de mesma medida.
0 0,4 0,8
M
1,2
L K J
1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 5,2 5,6 6 1
Qual é o ponto que melhor representa a localização do número 54 nessa reta?
Seção 1.1 P. 8
A) M .
B) L.
C) K.
D) J .
Questão 20 — SPAECE - Item M090307H6. Observe abaixo a reta numérica dividida em segmentos de
mesma medida.
−6 −4 −2
X
0 2
O número racional representado pelo ponto X é
A) −6,4.
B) −5,5.
C) −4,5.
D) −4,6.
Questão 21 — SAEPE - Item M110764E4, adaptado. Caroline está completando a reta numérica
representada abaixo, na qual as distâncias entre dois pontos consecutivos são todas iguais.
−32−32−32−32−32−32 −24 R −8 0 8
Para completar essa reta numérica, qual número Caroline deve escrever no lugar da letra R?
A) −25.
B) −23.
C) −16.
D) −9.
E) −7.
Questão 22 — SAEPE - Item M100064C2, adaptado. Observe as retas numéricas representadas abaixo
que estão divididas em segmentos de mesma medida.
I)
−2 −1 0 1 2 3
P Q R
II)
−2 −1 0 1 2 3
P Q R
III)
−2 −1 0 1 2 3
P Q R
P. 9 Seção 1.1
IV)
−2 −1 0 1 2 3
P Q R
V)
−2 −1 0 1 2 3
P Q R
Em qual dessas retas os pontos P, Q e R melhor representam a localização dos números −74 ,; 1,555 . . .
e
√
6, respectivamente?
A) I
B) II
C) III
D) IV
E) V.
1.1.2 – Operações aritméticas com números racionais
Nesta seção, lidamos com conceitos e técnicas relativos a operações com frações e porcentagens, os quais
serão fundamentais para as habilidades definidas nos descritores D16, D19, D20 e D78, por exemplo, na
Matriz de Referência do SPAECE.
Questão 23 Como tem que fazer refeições fora de casa nos dias em que trabalha, Mariana gasta 13 do
seu salário mensal de R$ 1.500,00 com alimentação. Feito esse gasto, quanto sobra de seu salário?
Solução. Os gastos com alimentação representam, por mês,
1
3
×1.500 = 1.5003 = 500 reais.
Logo, após esses gastos, sobram, do salário mensal de Mariana,
1.500 − 500 = 1.000 reais,
ou seja, 23 do seu salário mensal. ■
Questão 24 Além das despesas com alimentação, Mariana gasta 14 do seu salário mensal de R$
1.500,00 com transporte de casa para o trabalho. Qual fração do seu salário, portanto, gasta com
alimenação e transportes? Qual valor, em reais, corresponde a essa fração?
Solução. Os gastos de Mariana com alimentação e transporte somam, por mês,
1
4 +
1
3 =
3
12 +
4
12 =
7
12
de seu salário mensal, ou seja,
7
12
×1.500 = 7×1.50012 = 7
×
500
4 = 7
×
250
2 = 7
×125 = 700 + 6×25 + 25 = 700 + 150 + 25 = 875 reais.
■
Seção 1.1 P. 10
Observação 1.2 Outra forma de efetuar esse cálculo é, inicialmente, determinar 14 e
1
3 do salário,
isoladamente, e, depois, somar os resultados. Desse modo, temos:
1
4
×1.500 = 375 e 13
×1.500 = 500.
A soma dessss duas partes do salário é, portanto, dada por 375 + 500 = 875 reais.
Questão 25 Preocupada com a educação de seu filho, Mariana reserva 110 do que sobra de seu salário,
retiradas as despesas com alimentação e transporte. Com essa reserva, paga a mensalidade de um
curso de programação para ele. Quanto custa esse curso de programação por mês? E por ano?
Solução. Vimos, na questão anterior, que Mariana gasta 712 do seu salário mensal com alimentos e
transporte. Sobram, então,
1 − 712 =
12
12 −
7
12 =
5
12
do seu salário mensal. Mariana, então, reserva 110 desse restante para a mensalidade do curso, ou seja,
reserva
1
10
×
5
12 =
5
10
×
1
12 =
1
2
×
1
12 =
1
24
do seu salário total. Isso significa que paga uma mensalidade igual a
1
24
×1.500 = 1.50024 =
500
8 =
250
4 =
125
2 = 62,50 reais,
ou seja, 62 reais e 50 centavos por mês, o que representamos, em forma decimal, como R$ 62,50. Portanto,
Mariana paga, por ano,
12× 124
×1.500 = 12
×1.500 = 750 reais
para o curso de programação. Note que esse valor, por ano, equivale à metade de um salário mensal. ■
Observação 1.3 Podemos fazer essas contas diretamente, considerando o valor restante do salário,
após os gastos com alimentos e transporte: como esse restante é igual a
1.500 − 875 = 1.400 − 800 + 100 − 75 = 625 reais,
concluímos que 110 desse saldo restante é igual a
625
10 = 62,50
reais por mês.
Questão 26 Com a alta dos preços, os gastos mensais de Mariana com alimentação e transporte
aumentaram, 12% e 8%, respectivamente. Com esses aumentos, quanto passou a ser a despesa mensal
de Mariana com esses dois itens?
Observação 1.4 A questão pode ser resolvida, alternativamente, observando-se que o aumento de
12% em alimentação significa que a parte do salário gasta com esse item passa a ser
1
3 +
12
100
×
1
3 =
1
3 +
1
100
×
12
3 =
1
3 +
4
100
do salário mensal, ou seja,
1
3
×1.500 + 4100
×1.500 = 500 + 60 = 560 reais por mês.
P. 11 Seção 1.1
De modo análogo, o aumento de 8% em transporte significa que a parte do salário gasta com esse
item passa a ser
1
4 +
8
100
×
1
4 =
1
4 +
1
100
×
8
4 =
1
4 +
2
100
do salário mensal, ou seja,
1
4
×1.500 + 2100
×1.500 = 375 + 30 = 405 reais por mês.
Somando esses dois resultados, chegamos ao novo total de despesas com alimentação e transporte,
após os aumentos, a saber R$ 965,00, como já havíamos calculado.
Questão 27 Na situação descrita anteriormente, qual o aumento percentual dos gastos com alimenta-
ção e transporte?
Questão 28 O aumento total dos dois itens representa que percentual do salário mensal de Mariana?
Para compensar o aumento dessas duas despesas, qual deveria ser o percentual de aumento desse
salário?
Observação 1.5 Não é correto dizer que os aumentos de 12% e de 8% representam um aumento
total de 20%. Da mesma forma, não é verdadeiro afirmar que o aumento total seja a média desses
aumentos, isto é, 10%. A razão é bem intuitiva: como alimentação e transporte correspondem,
respectivamente, a 13 e
1
4 do salário, esses dois itens representam pesos diferentes. Logo, o aumento
total, resultante desses dois aumentos, é dado pela seguinte média ponderada:
12
100
×
1
3 +
8
100
×
1
4 =
4
100 +
2
100 =
6
100 = 6%
de R$ 1.500,00. Logo, confirmamos nossos cálculos anteriores: se as despesas de alimentação e
transporte somavam, antes do aumento, R$ 875,00, passam a somar, depois do aumento,
875 + 6100
×1.500 = 875 + 90 = 965 reais.
Questão 29 Marcela fez 3/4 das questões da prova de Matemática e acertou 2/3 de todas as questões.
Considerando apenas as questões que ela fez, qual fração delas Marcela acertou?
Finalizamos com um exemplo em que representamos as frações envolvidas por barras divididas em
partes de acordo com os denominadores das frações.
Questão 30 Calcule a divisão 23 :
1
6 .
Solução. Para a representação da divisão entre duas frações, vamos recorrer novamente às barras.
Consideramos a seguinte operação 23 :
1
6 . Conseguimos representar por meio das barras, tanto o número
2
3 quanto
1
6 , como mostrado a seguir:
= 2/3 de unidadede medida
= 1/6 da unidade de medida
Temos:
2
3 :
1
6 =
2 · 2
3 · 2 :
1
6 =
4
6 :
1
6 = 4
Graficamente, dividimos o segmento de reta de 0 a 1 em 6 partes iguais de comprimento 16 :
Seção 1.1 P. 12
= 2/3 ou 4/6 da unidade de medida
= 1/6 da unidade de medida
■
Exercícios propostos: modelos e problemas envolvendo frações e porcentagens
Questão 31 Para ajudá-los de uma forma mais individualizada, a professora de Matemática agrupou
seus alunos das turmas de terceira série em três grupos, de acordo com os assuntos em que têm
mais dificuldades na disciplina. Cada aluno dessas turmas deve ficar em um grupo e apenas em um.
Sabendo que 25% deles estão no grupo A, 25 pertencem ao grupo B e os 49 alunos restantes fazem
parte do grupo C. Quantas alunos há, ao todo, nesses três grupos?
Questão 32 Com base nos dados da questão anterior, determine:
• a diferença entre o número de alunos no grupo B e o número de alunos no grupo A;
• a diferença entre o número de alunos no grupo B e o número de alunos no grupo C;
• a razão entre o número de alunos no grupo A e o número de alunos no grupo B;
• a razão entre o número de alunos no grupo C e o número de alunos no grupo B;
• o percentual de alunos da terceira série no grupo B;
• o percentual de alunos da terceira série no grupo C.
Questão 33 A professora aplicou três testes aos três grupos e obteve as seguintes médias das notas
em cada grupo:
Teste 1 Teste 2 Teste 3
Grupo A 8,00 8,00 8,00
Grupo B 7,00 9,00 8,00
Grupo C 7,50 8,00 8,50
Com base nesses dados, calcule:
• a média dos resultados dos testes no grupo A;
• a média dos resultados dos testes no grupo B;
• a média dos resultados dos testes no grupo C;
• a média dos resultados do teste 1 em toda a terceira série;
• a média dos resultados do teste 2 em toda a terceira série;
• a média dos resultados do teste 3 em toda a terceira série;
• a média dos resultados de todos os testes em toda a terceira série.
Observação 1.6 As médias dos resultados dos três testes foram iguais nos três grupos, embora
os resultados em cada teste tenham sido diferentes. Como você explica isso? Em qual grupos os
resultados foram mais variados? Pode justificar sua resposta?
Questão 34 Alice é uma das alunas do grupo A. Suas notas nos testes 1 e 2 foram, respectivamente,
iguais a 7,50 e 8,50. Qual sua nota no teste 3, sabendo que sua média nos três testes foi igual a 7,75?
A) 8,00 B) 7,75 C) 7,50 D) 7,25
Questão 35 Para continuar com os bons resultados de aprendizagem, a professora marcou 4 horas,
por semana, de horários de atendimentos para os três grupos. Para cada grupo, reservou um tempo
proporcional ao número de alunos no grupo. Sendo assim, podemos afirmar que
P. 13 Seção 1.1
A) o grupo B é atendido com 40 minutos por semana.
B) o grupo B é atendido com 2 horas por semana.
C) o grupo B é atendido com 16 minutos por semana.
D) o grupo C é atendido com 1 hora e 40 minutos por semana.
E) o grupo C é atendido com 1 hora e 24 minutos por semana.
Questão 36 Se 14 alunos do grupo C migram para os grupos A e B, qual passa a ser a porcentagem
de alunos de grupo C no total de alunos da terceira série?
A) 63% B) 35% C) 25% D) 18% E) 14%
Questão 37 Quantos alunos dos grupos B e C devem migrar para o grupo A de modo que o número
de alunos nesse grupo passe a ser 27 do total de alunos da terceira série?
A) 5 alunos
B) 7 alunos
C) 25 alunos
D) 35 alunos
E) 40 alunos
1.1.3 – Proporcionalidade: conceitos e aplicações
As tarefas nesta seção trabalham mais diretamente a noção de proporcionalidade, que está na base dos
descritores D19, D28, D55, D58, D64 e D78 da Matriz de Referência do SPAECE.
Questão 38 Para atrair compradores, as construtoras exibem maquetes, isto é, modelos em miniaturas
de edifícios de apartamentos residenciais. Sabendo que a escala, isto é, a razão entre as dimensões
da maquete e do que ela representa, é igual a 150 ,
Image by Anna Pan’šina from Pixabay
qual é a altura real do edifício, sabendo que a maquete tem 90 centímetros de altura?
Solução. A razão
1
50
significa que 1 centímetro na maquete corresponde a 50 centímetros no edifício real. Portanto, 90
centímetros na maquete correspondem a
90×50 centímetros = 4.500 centímetros = 45 metros
no edifício real. Logo, a altura real é dada por 45 metros. ■
Seção 1.1 P. 14
Questão 39 O edifício representado pela maquete virtual no exercício anterior tem dois tipos de
apartamentos, sendo que a razão entre suas áreas é de 34 . Qual a área do tipo maior de apartamento,
sabendo que o menor tem 120 metros quadrados de área?
Solução. Representemos a área do maior apartamento, que não conhecemos, por x. Como as áreas
da maquete devem ser proporcionais às áreas dos apartamentos reais, temos a mesma razão entre as
áreas na maquete, ou seja, 43 , e as áreas reais, isto é,
x
120 . Logo,
x
120 =
4
3 .
Multiplicando os dois lados da equação por 120, temos:
x = 120×43 = 120
×
1
3
×4 = 40×4 = 160 metros quadrados,
o que nos fornece a área do maior tipo de apartamento.
Poderíamos não recorrer à linguagem algébrica e, simplesmente, considerar que a área do apartamento
maior é igual a a 43 da área do apartamento menor, ou seja,
4
3
×120 = 160 metros quadrados.
■
Uma variação interessante deste exercício é a seguinte:
Questão 40 O edifício representado pela maquete virtual no exercício anterior tem dois tipos de
apartamentos, sendo que a razão entre suas áreas é de 34 . Qual a área do tipo menor de apartamento,
sabendo que a soma das áreas de dois apartamentos, um de cada tipo, é igual a 210 metros quadrados?
Solução. Esse é um exemplo de uma divisão em partes proporcionais. Observe que a área do
menor apartamento é 34 da área do maior. Assim, se dividíssemos a área total dos dois, que é igual a 210
metros quadrados, em sete partes iguais de 30 metros quadrados, o apartamento menor corresponderia
a 3 dessas partes, isto é, a
3×30 = 90 metros quadrados,
enquanto que o apartamento maior corresponderia a 4 dessas partes, isto é, a
4×30 = 120 metros quadrados.
■
A solução alternativa que propomos agora é mais algébrica e, portanto, também importante para o
estudo das equações lineares, que faremos mais adiante.
Questão 41 O custo para revestir o piso do apartamento de 90 metros quadrados com porcelanato é
igual a R$ 7.200,00. Nestas mesmas condições, qual é o custo para revestir o piso do apartamento de
120 metros quadrados?
Solução. Como o custo para revestir 90 metros quadrados de piso é igual a R$ 7.200,00, cada
metro quadrado de porcelanato custa
7.200
90 = 80 reais.
Portanto, o revestimento de 120 metros quadrados com o mesmo material custa
120×80 = 9.600 reais.
■
P. 15 Seção 1.1
Observação 1.7 Lembramos que porcentagens são frações com denominador igual a 100. Por exemplo,
40% é apenas uma maneira de escrever a fração 40100 , que tem numerador 40 e denominador 100. Da
mesma forma, 60% é, de fato, uma maneira alternativa de representar a fração 60100 . Observe que
quando escrevemos “40% de 120” queremos dizer que
40
100
×120 = 40
×120
100 =
4.800
100 = 48.
Da mesma forma, “60% de 120” significa, apenas, a fração
60
100
×120 = 60
×120
100 = 72.
Questão 42 O custo total da construção de um imóvel tem a seguinte composição: 40% do custo
total com mão-de-obra, 60% com material. As demais despesas (administrativas e com equipamentos)
não são consideradas relevantes. Dados recentes mostram que o custo médio para construção civil é
de cerca de R$ 1.500,00 por metro quadrado. A partir destas informações, responda:
(a) qual seria o custo médio por metro quadrado, caso os custos com mão-de-obra representassem
25% do custo total, mantidos os custos com material?
(b) Qual seria o custo médio por metro quadrado, caso os custos com material passem a representar
50% do custo total, mantidos os custos com mão-de-obra?
Questão 43 Na construção de um condomínio de casas, os engenheiros responsáveis conseguiram
modernizar as técnicas de construção, o que permite dispensar 10% da mão-de-obra, mantendo o
mesmo cronograma e qualidade da empreita.Com isso, a construção passou a ter 450 empregados.
Quantos empregados havia antes da dispensa de mão-de-obra?
Solução. Esses 450 empregados representam, de acordo com o enunciado
100% − 10% = 90% = 90100
do total de empregados que havia antes da dispensa de mão-de-obra. Logo, podemos organizar esses
dados no seguinte diagrama:
90% do custo total ———–450 empregados
↓ ↓
100% do custo total———– x empregados
onde x é o número de empregados antes da dispensa de mão-de-obra. Portanto,
x
450 =
100
90 ,
ou, multiplicando ambos os lados desta igualdade por 450,
x = 450
×100
90 = 5
×100 = 500 empregados.
Uma vez mais, podemos resolver o problema ser recorrer à notação algébrica: basta considerarmos que
o número anterior de empregados era 10090 do número após a dispensa, ou seja,
100
90
×450 = 109
×450 = 10×50 = 500.
■
Seção 1.1 P. 16
Questão 44 — EsSA – 1988. Doze pedreiros fizeram 5 barracões em 30 dias, trabalhando 6 horas por
dia. O número de horas por dia que deverão trabalhar 18 pedreiros para fazer 10 barracões em 20
dias é:
A) 8. B) 9. C) 10. D) 12. E) 15.
Questão 45 Em 2019, a inflação acumulada de preços para famílias de baixa renda (i.e, as que têm
renda de até R$ 1.643,78 por mês) foi de 4,43%. Para estas famílias, 70% da inflação se deve às
altas dos preços de alimentos e habitação. Uma família que gastava R$ 840,00 com esses dois itens,
no início de 2019, teve que gastar quanto a mais no fim do ano, para continuar atendendo suas
necessidades no mesmo nível de antes?
Fontes: IPEA, IBGE e Agência Brasil
Solução. Inflação, neste caso, significa alta de preços ao consumidor: para calculá-la, comparamos
os preços de vários itens no fim e no começo de um certo período (um ano, neste caso) e calculamos a
variação percentual:
preços finais − preços iniciais
preços iniciais ·
A inflação específica com alimentos e habitação foi, no ano de 2019, segundo os dados, igual a
70% de 4,43% = 70100
×4, 43% = 3,101% ∼= 3,1%.
Portanto, despesas com alimentos e habitação, que totalizavam R$ 840,00 no início do ano, passaram a
ser, corrigidas por esta inflação, iguais a
840 + 3,1100
×840 ∼= 840 + 26,05 = 866,05 reais,
ou seja, R$ 26,05 a mais do que antes da alta dos preços. ■
Questão 46 — Variáveis diretamente proporcionais. Sabendo que duas variáveis, x e y, são direta-
mente proporcionais, complete a tabela com os valores adequados destas variáveis:
Valores de x 6 15 18 24 a
Valores de y 4 10 b 16 20
Determine razão entre os valores das variáveis x e y, expressando-a como uma fração irredutível.
Solução. O fato de que x e y são diretamente proporcionais significa que
4
6 =
10
15 =
b
18 =
16
24 =
20
a
,
ou seja, que as frações nesta expressão são equivalentes umas às outras. Em particular,
4
6 =
b
18 ·
Multiplicando cada um dos dois lados desta igualdade por 18, obtemos
18×46 = b,
donde concluímos que
b = 3×4 = 12.
Agora, observe que, multiplicando o numerador e o denominador da fração 46 por 5, obtemos
4×5
6×5 =
20
30 ·
P. 17 Seção 1.1
Portanto, as frações 46 e
20
30 são equivalentes. Concluímos que a = 30. Por fim, deduzimos que a razão
entre os valores das variáveis x e y é igual a 23 , uma vez que
4
6 =
10
15 =
12
18 =
16
24 =
20
30 =
2
3 ·
Note que
2×2
3×2 =
4
6
2×5
3×5 =
10
15
2×6
3×6 =
12
18 ,
e assim por diante. Essas frações são equivalentes umas às outras. Isto significa que os valores de x e y
estão relacionados da seguinte forma
y = 23x.
De fato, de acordo com os valores na tabela acima, temos
se x = 6, então y = 23
×6 = 4, se x = 15, então y = 23
×15 = 10,
se x = 18, então y = 23
×18 = 12, se x = 24, então y = 23
×24 = 16,
se x = 30, então y = 23
×30 = 20.
■
Na sequência, vejamos alguns exercícios, baseados em questões do ENEM e dos vestibulares, que
envolvem razões e proporções. Esse tópico aparece, de forma explícita ou não, em todas as edições do
ENEM, não apenas na prova de Matemática, mas também em questões de Física, Química e Geografia.
As questões também trabalham, indiretamente, o tópico das grandezas e medidas.
Questão 47 — ENEM 2011, Caderno 6, Questão 143, adaptada. Sabe-se que a distância real, em
linha reta, de uma cidade A, localizada no estado de São Paulo, a uma cidade B, localizada no estado
de Alagoas, é igual a 2 000 quilômetros. Um estudante, ao analisar um mapa, verificou com sua régua
que a distância entre essas duas cidades, A e B, representadas no mapa, era 8 centímetros.
Os dados nos indicam que o mapa observado pelo estudante está na escala de
A) 1:250.
B) 1:2 500.
C) 1:25 000.
D) 1:250 000.
E) 1:25 000 000.
Solução. A questão trata de escala, isto é, a razão entre distância entre pontos no mapa e as
distâncias reais entre as cidades representadas por esses pontos. Portanto
escala = distância no mapadistância real ·
Um detalhe importante no cálculo da escala: as distâncias tem que ser ambas medidas na mesma unidade
de comprimento. Portanto, temos que converter a distância real, dada em quilômetros, para centímetros.
Como 1 quilômetro = 1000 metros e 1 metro = 100 centímetros, temos
2.000 quilômetros = 2.000×1.000 metros
= 2.000×1.000×100 centímetros.
Portanto, a escala é dada por
escala = 8 centímetros2.000×1.000×100 centímetros ·
Dividindo tanto o numerador quanto o denominador por 8, obtemos
escala = 1250×1.000×100 =
1
25.000.000 ,
ou seja, a escala é dada por 1 : 25 000 000, o que corresponde à alternativa E). ■
Seção 1.1 P. 18
Questão 48 — ENEM 2011, Caderno 6, Questão 146, adaptada. Para uma atividade realizada no
laboratório de Matemática, um aluno precisa construir uma maquete da quadra de esportes da escola
que tem 28 metros de comprimento por 12 metros de largura. A maquete deverá ser construída na
escala de 1:250.
Que medidas de comprimento e largura, em centímetros, o aluno utilizará na construção da
maquete?
A) 4,8 e 11,2
B) 7,0 e 3,0
C) 11,2 e 4,8
D) 28,0 e 12,0
E) 30,0 e 70,0
Vamos treinar um pouco a respeito de razões e proporções em outros contextos.
Questão 49 — ENEM 2011, Caderno 6, Questão 162, adaptada. Cerca de 20 milhões de brasileiros
vivem na região coberta pela caatinga, em quase 800 mil quilômetros quadrados de área. Quando
não chove, o homem do sertão e sua família precisam caminhar quilômetros em busca da água dos
açudes. A irregularidade climática é um dos fatores que mais interferem na vida do sertanejo.
Disponível em: http://www.wwf.org.br. Acesso em: 23 abr. 2010.
Segundo este levantamento, a densidade demográfica da região coberta pela caatinga, em habitantes
por quilômetro quadrado, é de
A) 250.
B) 25.
C) 2,5.
D) 0,25.
E) 0,025.
Solução. Densidade demográfica é também um exemplo de razão. De fato, densidade demográfica
é definida como
densidade demográfica = populaçãoárea ,
onde a população é medida pelo número de habitantes de uma região e a área desta região é medida em
metros quadrados. De acordo com os dados, temos
densidade demográfica = 20.000.000 habitantes800.000 quilômetros quadrados
= 2008 = 25 habitantes por quilômetro quadrado.
Logo, a alternativa correta é B). ■
Observação 1.8 Nesses 3 últimos exercícios, temos exemplos de funções afins. Vejamos: no
primeiro, a variável distância no mapa (y) é uma função afim da variável distância real (x), sendo
que a taxa de variação ou coeficiente angular é dado pela escala, isto é,
y = 125.000.000x ou x = 25.000.000y.
No segundo exercício, o comprimento na maquete (y) é uma função afim do comprimento real (x),
cujo coeficiente angular ou taxa de variação é, novamente, a escala: y = 1250x. Por fim, a densidade
demográfica no terceiro exercício é a taxa de variação ou coeficiente angular da função afim que
define a população y em função da área x, ou seja, y = 25x.
Finalizando esta primeira parte de nossos estudos, discutiremos alguns exercícios sobre porcentagens
e divisões em partes proporcionais.
http://www.wwf.org.br
P. 19 Seção 1.1
Questão 50 — ENEM 2015, Caderno 7, Questão 158, adaptada . Um produtor de milho utiliza uma
área de 160 hectares para as suas atividades agrícolas.Essa área é dividida em duas partes: uma
de 40 hectares, com maior produtividade. A produtividade é dada pela razão entre a produção, em
tonelada, e a área cultivada. Sabe-se que a área de 40 hectares tem produtividade igual a 2,5 vezes a
da outra. Esse fazendeiro pretende aumentar sua produção total em 15% aumentando o tamanho de
sua propriedade. Para tanto, pretende comprar uma parte de uma fazenda vizinha, que possui a
mesma produtividade da parte de 120 hectares de suas terras.
Qual é a área mínima, em hectare, que o produtor precisará comprar?
A) 36
B) 33
C) 27
D) 24
E) 21
Questão 51 Dois irmãos, donos de um carrinho de cachorro-quente, devem repartir 7.200 reais, obtidos
nas vendas, de modo diretamente proporcional aos números de dias que cada um trabalhou no
carrinho. Sabendo que um deles trabalhou 12 dias e o outro, 18 dias, quais quantias, respectivamente,
cada um receberá?
Questão 52 — ENEM 2019, Caderno 7, Questão 151, adaptada. Três sócios resolveram fundar uma
fábrica. O investimento inicial foi de R$ 1.000.000,00. E, independentemente do valor que cada um
investiu nesse primeiro momento, resolveram considerar que cada um deles contribuiu com um terço
do investimento inicial.
Algum tempo depois, um quarto sócio entrou para a sociedade, e os quatro, juntos, investiram
mais R$ 800.000,00 na fábrica. Cada um deles contribuiu com um quarto desse valor. Quando
venderam a fábrica, nenhum outro investimento havia sido feito. Os sócios decidiram então dividir o
montante de R$ 1.800.000,00 obtido com a venda, de modo proporcional à quantia total investida
por cada sócio.
Quais os valores mais próximos, em porcentagens, correspondentes às parcelas financeiras que
cada um dos três sócios iniciais e o quarto sócio, respectivamente, receberam?
A) 29,60 e 11,11
B) 28,70 e 13,89
C) 25,00 e 25,00
D) 18,52 e 11,11
E) 12,96 e 13,89
Questão 53 — ENEM 2019, Caderno 7, Questão 152, adaptada. Para contratar três máquinas que
farão o reparo de vias rurais de um município, a prefeitura elaborou um edital que, entre outras
cláusulas, previa:
• cada empresa interessada só pode cadastrar uma única máquina para concorrer ao edital;
• o total de recursos destinados para contratar o conjunto de três máquinas é de R$ 31.000,00;
• o valor a ser pago a cada empresa será inversamente proporcional à idade de uso da máquina
cadastrada pela empresa para o presente edital.
As três empresas vencedoras do edital cadastraram máquinas com 2, 3 e 5 anos de idade de uso.
Quanto receberá a empresa que cadastrou a máquina com maior idade de uso?
A) R$ 3.100,00
B) R$ 6.000,00
C) R$ 6.200,00
D) R$ 15.000,00
Seção 1.1 P. 20
E) R$ 15.500,00
Exercícios propostos: números racionais, razões e proporcões
Questão 54 — SPAECE - Item M100529E4. Carlos foi a uma loja de material de construção e comprou
uma chave de fenda por R$ 12,50, uma escova de aço por R$ 8,80 e um conjunto de espátulas por R$
25,90.
Quanto ele pagou por essa compra?
A) R$ 21,30 B) R$ 45,00 C) R$ 46,30 D) R$ 47,20 E) R$ 48,20
Observação 1.9 Sugerimos praticar cálculos aritméticos com números decimais de modo a promover
o uso correto dos algoritmos de adição e multiplicação. É igualmente relevante que estejamos cientes
das razões pelas quais esses algoritmos funcionam, com base no sistema posicional decimal e nas
propriedades comutativa, associativa e distributiva das operações aritméticas. Recomendamos, para
reforçar essas habilidades, o uso do material estruturado sobre Aritmética.
Questão 55 — SPAECE - Item M100530E4. Na empresa de Alberto, 75% das 200 mulheres são casadas.
Quantas mulheres dessa empresa são casadas?
A) 15 B) 50 C) 75 D) 150 E) 275
Questão 56 — PUC-2022. Alberto sai de casa com R$ 200,00 em dinheiro. Ele passa primeiro na
farmácia, onde gasta 1/4 do que tem consigo. Em seguida ele visita a papelaria, onde gasta 40% do
que lhe resta. Depois ele passa pela banca de jornal, e ao voltar para casa, verifica que ainda tem R$
55,00. Sabendo que, na banca de jornal, ele comprou uma revista no valor de R$ 10,00 e um jogo
para seu filho, quanto custou o jogo?
A) R$ 25,00
B) R$ 30,00
C) R$ 35,00
D) R$ 40,00
Questão 57 — PAEBES - Item M120232G5, adaptado. O projeto de reforma de uma escola que irá
incluir uma quadra poliesportiva gerou o investimento de R$ 1 600 000,00. Até a metade dessa obra
foram gastos R$ 200 000,00. Do restante desse dinheiro, 30% serão destinados à construção da quadra
poliesportiva. O valor em reais destinado à construção dessa quadra poliesportiva é
A) R$ 6 000,00.
B) R$ 46 666,00.
C) R$ 420 000,00.
D) R$ 480 000,00.
E) R$ 980 000,00.
Questão 58 — SAEP - Item M100276E4. Para retirar o entulho de um terreno, 8 máquinas iguais
retiram um total de 24 toneladas de entulho por dia. Para agilizar o trabalho, foram acrescentadas
mais 4 máquinas iguais às anteriores.
Com todas essas máquinas trabalhando ao mesmo tempo, quantas toneladas de entulho serão retiradas
por dia desse terreno?
A) 16
P. 21 Seção 1.1
B) 28
C) 32
D) 36
E) 48
Questão 59 — SPAECE - Item M100531E4. Mariana utilizou 2,5 kg de farinha de trigo para fazer 30
pães. Para ela fazer 90 desses pães, quantos quilogramas de farinha, no total, serão necessários?
A) 5,5 kg B) 7,5 kg C) 27,5 kg D) 36 kg E) 150 kg
Questão 60 — SAEPE - Item M110246H6. Um paciente recebeu um medicamento por via intravenosa
com frequência de 20 gotas por minuto. Nessa frequência, o volume total da medicação demorou
6 horas para ser ministrado por completo. Esse paciente também recebeu outro medicamento
intravenoso que continha o mesmo volume do anterior, porém esse medicamento fluiu com frequência
de 40 gotas por minuto.
Em quanto tempo esse paciente receberá o segundo medicamento por completo?
A) 3 horas.
B) 6 horas.
C) 9 horas.
D) 10 horas.
E) 12 horas.
Questão 61 — SAEPE - Item M110364H6. Existe uma unidade de medida de velocidade, denominada
nó, que é utilizada em navegação marítima e aérea. A velocidade máxima do maior navio cargueiro
do mundo é 25 nós, o que equivale a 46,3 km/h. Existem aviões comerciais que atingem a velocidade
máxima de 500 nós.
De acordo com essas informações, qual é a velocidade máxima, em km/h, que esses aviões comerciais
atingem?
A) 270 B) 479 C) 500 D) 521 E) 926
Questão 62 — SAEPE - Item M110095H6. Daniela foi contemplada em um programa de inclusão
educacional, por meio do qual obteve um desconto de 60% nas mensalidades de um curso. A
mensalidade integral desse curso é R$ 936,00.
Dessa forma, qual será o valor da mensalidade paga por Daniela?
A) R$ 374,40 B) R$ 561,60 C) R$ 624,00 D) R$ 876,00 E) R$ 935,40
Questão 63 — SPAECE - Item M120122H6. Bruno pagou um boleto bancário cujo valor sem multa era
de R$ 350,00. Porém, como o boleto estava vencido há 4 dias, no dia do pagamento, foi acrescido a
esse valor uma multa por atraso de 2% ao dia no regime de juros simples.
Dessa forma, qual foi o valor total do boleto bancário pago por Bruno?
A) R$ 350,08 B) R$ 352,00 C) R$ 357,00 D) R$ 358,00 E) R$ 378,00
Questão 64 — SPAECE - Item M100532E4. André emprestou R$ 1 200,00 para seu irmão Rafael no
regime de capitalização simples, a uma taxa de 2% ao mês. Ao final de 6 meses, Rafael saldou sua
dívida com André.
Quanto Rafael pagou para seu irmão André?
Seção 1.1 P. 22
A) R$ 144,00 B) R$ 1 224,00 C) R$ 1 344,00 D) R$ 2 400,00 E) R$ 7 200,00
Questão 65 — SPAECE - Item M100524E4. Paula emprestou R$ 200,00 a Luiza com juros simples de
3% ao mês e somente após 4 meses Luiza pagou o empréstimo e os juros decorrentes desse período.
Qual foi o montante que Luiza pagou por esse empréstimo?
A) R$ 206,00 B) R$ 212,00 C) R$ 224,00 D) R$ 225,10 E) R$ 824,00
Questão 66 Uma vendedora em uma loja de roupas recebe, como comissão, 6% do valor das vendas
que realizar. Qual o total de vendas que ela deve realizar para que receba R$ 120,00?
Questão 67 — SPAECE - Item M110776E4. Para minimizar os problemas de abastecimento de água de
um vilarejo com 700 habitantes, foram instaladas 3 cisternas, com volume interno de 50 m3 cada.
Em um dia, essas 3 cisternas estavamabastecidas em sua capacidade máxima e o consumo médio por
habitante foi de 150 L. Nesse dia, quantos litros de água restaram nessas cisternas?
A) 45 L B) 100 L C) 45 000 L D) 105 000 L E) 150 000 L
Questão 68 Um suco de caju em uma caixa de 960 mililitros tem 34 de polpa de fruta e
1
4 de água.
Aline diluiu esse suco, adicionando 120 mililitros de água. Qual passou a ser a proporção de polpa no
suco após esse acréscimo de água?
Questão 69 Os 45 colegas de uma turma da primeira série de uma escola em Arneiroz decidiram
dividir entre eles as despesas de uma excursão nas férias de fim de ano. Porém, com a desistência de
5 deles, cada um dos demais terá que pagar, agora, R$ 7,00 a mais do que pagaria antes. Qual o
total das despesas da excursão a serem pagas por todos?
Questão 70 — OBM – 1999. Um pequeno caminhão pode carregar 50 sacos de areia ou 400 tijolos. Se
forem colocados no caminhão 32 sacos de areia, quantos tijolos ele ainda pode carregar?
A) 132.
B) 144.
C) 146.
D) 148.
E) 152.
Questão 71 — ESPM – 2003. Certo grupo de funcionários realiza certo trabalho em 6 horas. Descobriu-
se que, se eles fossem 40% mais eficientes, com 2 funcionários a menos esse mesmo trabalho seria
feito em 5 horas. O número de funcionários em questão é
A) 10.
B) 11.
C) 12.
D) 13.
E) 14.
Questão 72 — PUC-2021. Em janeiro, 100 gramas de adamantium custavam R$ 20 000,00. Em
fevereiro o preço caiu em 5%. Em março o preço subiu 5%. Quanto custam 500 gramas de
adamantium em abril?
A) R$ 99 750,00
P. 23 Seção 1.1
B) R$ 100 250,00
C) R$ 100 750,00
D) R$ 101 237,00
Questão 73 De julho a novembro de 2019, o preço de quilograma de carne subiu, em média, 25%.
Após este período de alta de preços, houve uma redução de 20%, de novembro para dezembro de
2019. O que aconteceu, portanto, com o preço da carne em dezembro com relação a julho?
A) Aumentou 0%.
B) Aumentou 5%.
C) Aumentou 10%.
D) Aumentou 45%.
E) Aumentou 50%.
Questão 74 — FGV, 2016, Prova A - Verde, Questão 7. Um comerciante comprou mercadorias para
revendê-las. Ele deseja marcar essas mercadorias com preços tais que, ao dar descontos de 20% sobre
os preços marcados, ele ainda obtenha um lucro de 25% sobre o preço de compra. Em relação ao
preço de compra, o preco marcado nas mercadorias é
A) 30% maior.
B) 40% maior.
C) 45% maior.
D) 50% maior.
E) mais de 50% maior.
Questão 75 — FGV, 2017, Prova C - Rosa, Questão 15. O custo de produção de uma peça é composto
de: 40% de mão de obra; 25% de matéria-prima; 20% de energia elétrica e 15% das demais despesas.
Num certo momento, ocorrem os seguintes aumentos: mão de obra, 10%; matéria-prima, 20%; energia
elétrica, 15%; e demais despesas, 10%. O aumento percentual no custo total da peça foi de
A) 13,0%.
B) 13,5%.
C) 12,0%.
D) 12,5%.
E) 11,5%.
Questão 76 — Colégio Militar de Fortaleza, 2006 – adaptado. Um comerciante vendeu 310 de seu
estoque de certo produto com lucro de 30% e o restante desse estoque com prejuízo de 10%. No total
da operação, o comerciante
(A) teve lucro de 20%.
(B) teve lucro de 2%.
(C) teve prejuízo de 20%.
(D) teve prejuízo de 2%.
(E) não teve lucro nem prejuízo.
Questão 77 — UECE – Vestibular 2018.1. Se a base de um triângulo é aumentada em 10% e a altura
diminuída em 10%, então, em relação à área do triângulo alterado, comparada com a área do triângulo
inicial, é correto afirmar que ela
A) diminui 1%.
B) permanece a mesma.
C) aumenta 0,01%.
Seção 1.1 P. 24
D) diminui 0,1%.
Questão 78 — FUVEST – 2016. Um veículo viaja entre dois povoados da Serra da Mantiqueira,
percorrendo a primeira terça parte do trajeto à velocidade média de 60 quilômetros por hora, a terça
parte seguinte a 40 quilômetros por hora e o restante do percurso a 20 quilômetros por hora. O valor
que melhor aproxima a velocidade média do veículo nessa viagem, em quilômetros por hora, é
A) 32,5.
B) 35.
C) 37,5.
D) 40.
E) 42,5.
Questão 79 A tabela abaixo informa alguns valores nutricionais para a mesma quantidade de dois
alimentos, A e B.
Alimento A B
Quantidade 20 gramas 20 gramas
Valor energético 60 quilocalorias 80 quilocalorias
Sódio 10 miligramas 20 miligramas
Proteína 6 gramas 1 grama
Considere duas porções isocalóricas (de mesmo valor energético) dos alimentos A e B. A razão entre
as quantidades de proteína em A e em B é igual a:
A) 4.
B) 6.
C) 8.
D) 10.
Questão 80 — Colégio Naval, 1980. Um pai resolveu premiar seus três filhos com R$ 1 900,00. Esse
valor deve ser dividido em partes inversamente proporcionais aos números de faltas de cada um dos
filhos na escola, que foram 2, 4 e 5. Então, a quantia que caberá ao que recebeu menos é de
(A) R$ 300,00.
(B) R$ 400,00.
(C) R$ 500,00.
(D) R$ 600,00.
(E) R$ 700,00.
Questão 81 — UECE. Sejam x e y duas grandezas inversamente proporcionais. Se x sofre um acréscimo
de 25%, o decréscimo percentual sofrido por y é
A) 20%.
B) 22%.
C) 24%.
D) 25%.
Questão 82 — ENEM 2021, Caderno Amarelo, Questão 138. Uma unidade de medida comum usada
para expressar áreas de terrenos de grandes dimensões é o hectare, que equivale a 10 000 m2. Um
fazendeiro decide fazer um loteamento utilizando 3 hectares de sua fazenda, dos quais 0,9 hectare
será usado para a construção de ruas e calçadas e o restante será dividido em terrenos com área de
300 m2 cada um. Os 20 primeiros terrenos vendidos terão preços promocionais de R$ 20 000,00 cada,
P. 25 Seção 1.1
e os demais, R$ 30 000,00 cada.
Nas condições estabelecidas, o valor total, em real, obtido pelo fazendeiro com a venda de todos os
terrenos será igual a
A) 700 000.
B) 1 600 000.
C) 1 900 000.
D) 2 200 000.
E) 2 800 000.
Questão 83 — ENEM 2021, Caderno Amarelo, Questão 151. Um automóvel apresenta um desempenho
médio de 16 km/L. Um engenheiro desenvolveu um novo motor a combustão que economiza, em
relação ao consumo do motor anterior, 0,1 L de combustível a cada 20 km percorridos.
O valor do desempenho médio do automóvel com o novo motor, em quilômetro por litro, expresso
com uma cada decimal, é
A) 15,9.
B) 16,1.
C) 16,4.
D) 17,4.
E) 18,0.
Questão 84 — ENEM 2021, Caderno Amarelo, Questão 157. Para realizar um voo entre duas cidades
que distam 2 000 km uma da outra, uma companhia aérea utilizava um modelo de aeronave A, capaz
de transportar até 200 passageiros. Quando uma dessas aeronaves está lotada de passageiros, o
consumo de combustível é de 0,02 litro por quilômetro e por passageiro. Essa companhia resolveu
trocar o modelo de aeronave A pelo modelo de aeronave B, que é capaz de transportar 10% de
passageiros a mais do que o modelo A, mas consumindo 10% menos combustível por quilômetro e
por passageiro.
A quantidade de combustível consumida pelo modelo de aeronave B, em relação à do modelo de
aeronave A, em um voo lotado entre as duas cidades, é
A) 10% menor.
B) 1% menor.
C) igual.
D) 1% maior.
E) 11% maior.
Questão 85 — ENEM 2021, Caderno Amarelo, Questão 143. Após consulta médica, um paciente deve
seguir um tratamento composto por três medicamentos: X, Y e Z. O paciente, para adquirir os três
medicamentos, faz um orçamento em três farmácias diferentes, conforme o quadro.
X Y Z
Farmácia 1 R$ 45,00 R$ 40,00 R$ 50,00
Farmácia 2 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 40,00
Farmácia 3 R$ 65,00 R$ 45,00 R$ 35,00
Dessas farmácias, algumas oferecem descontos:
- na compra dos medicamentos X e Y na Farmácia 2, recebe-se um desconto de 20% em ambos
os produtos, independentemente da compra do medicamento Z, e não há desconto para o
medicamento Z;
Seção 1.2 P. 26
- na compra dos 3 medicamentos na Farmácia 3, recebe-se 20% de desconto no valor total da
compra;
O paciente deseja efetuar a compra de modo a minimizar sua despesa com os medicamentos.
De acordo com as informações, o paciente deve comprar os medicamentos da seguinte forma:
A) X, Y e Z na Farmácia 1.
B) X e Y na Farmácia 1, e Z na Farmácia 3.
C) X e Y na Farmácia 2, e Z na Farmácia 3.
D) X na Farmácia 2, e Y e Z na Farmácia 3.
E) X, Y e Z na Farmácia 3.
1.2 – Equações lineares e funções afins
Nesta seção, avançamos da revisão que fizemos sobre frações, números decimais, porcentagens,razões e
proporções para o estudo das equações lineares e das funções afins. Esses são temas que dependem dos
conhecimentos que revisamos e que são trabalhados em todo o Ensino Médio. Os descritores, na matriz
do SPAECE, associados a esses temas, são o D28, D55 e D58.
Questão 86 A tabela abaixo mostra valores de duas variáveis, x e y, diretamente proporcionais uma
a outra:
x 1 2 3 4 5 6 7 8
y 1/2 1 3/2 2 5/2 3 7/2 4
A variável y é função da variável x de acordo com a seguinte expressão y = ax. Qual o valor do
coeficiente a?
A) 2 B) 1 C) 1/2 D) 1/4
Questão 87 A tabela abaixo mostra valores de duas variáveis, x e y:
x 1 2 3 4 5 6 7 8
y 3/2 2 5/2 3 7/2 4 9/2 5
As variações de y são diretamente proporcionais às variações correspondentes de x. A variável y é
função da variável x de acordo com a seguinte expressão y = ax + b. Quais os valores dos coeficientes
a e b?
A) a = 1/2 e b = 1 B) a = 1 e b = 1/2 C) a = 1/2 e b = 0 D) a = 1 e b = 3/2
Questão 88 O gráfico abaixo mostra valores de duas variáveis, x e y, diretamente proporcionais uma
a outra:
P. 27 Seção 1.2
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
(8,6)
(x,y)
A variável y é função da variável x de acordo com a expressão y = ax? Qual o valor do coeficiente a?
A) 1/2 B) 3/4 C) 1 D) 2
Questão 89 O gráfico abaixo mostra valores de duas variáveis, x e y:
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
(8,7)
(x,y)
As variações de y são diretamente proporcionais às variações correspondentes de x. A variável y é
função da variável x de acordo a expressão y = ax + b. Quais os valores dos coeficientes a e b?
A) a = 7 e b = 8 B) a = 7/8 e b = 1 C) a = 3/4 e b = 1 D) a = 1 e b = 3/4
Questão 90 Complete a tabela de valores das variáveis x e y, sabendo que são diretamente proporci-
onais, de acordo com a função afim
y = −12x
x −3 −1 0 1/2 3/2 2
y 1 1/2 −1/4 −1/2
Questão 91 Complete a tabela de valores das variáveis x e y, sabendo que as variações correspondentes
Seção 1.2 P. 28
de x e de y são diretamente proporcionais, de acordo com a função afim
y = −12x + 1
x −3 −1 0 1/2 3/2 2
y 2 3/2 3/4 1/2
Questão 92 Esboce o gráfico determinado pelos pontos (x, y), sabendo que essas variáveis são
diretamente proporcionais, de acordo com a função
y = −34x.
Questão 93 Esboce o gráfico determinado pelos pontos (x, y), sabendo que as variações correspon-
dentes dessas variáveis são diretamente proporcionais, de acordo com a função
y = −34x + 1
Questão 94 — Proporcionalidade e retas no plano. A reta abaixo representa o gráfico de uma função
da forma y = ax, onde a é uma constante positiva.
2 4 6
2
4
x
y
Determine o valor da constante a e a razão entre as coordenadas do ponto destacado no gráfico.
Solução. Observamos que a razão entre os valores correspondentes da variável x e da variável y é
sempre igual a a. De fato, uma vez que y = ax, temos
y
x
= a,
caso x ̸= 0. O ponto com coordenadas x = 6 e y = 4 pertence ao gráfico. Portanto, calculando a razão
entre as coordenadas, temos
a = 46 =
2
3 ·
Logo, o valor da constante a é 23 . Concluímos que a função é dada por y =
2
3x.
Agora, observemos que o ponto tem a segunda coordenada (ordenada) dada por y = 2. Como este
ponto pertence ao gráfico da função, sua primeira coordenada (abscissa) satisfaz a equação
2
3x = 2.
Logo, x = 3. Portanto, as coordenadas do ponto destacado são (3,2), isto é, x = 3 e y = 2. ■
Observação 1.10 Nos exercícios a seguir, trabalhamos com o conceito de proporcionalidade e
iniciamos o estudo das funções afins. Uma variável y é dada como função afim de uma variável x
quando as variações de x e de y são diretamente proporcionais, isto é, dados dois valores x0 e x1
P. 29 Seção 1.2
(distintos) da variável x e os valores correspondentes y0 e y1 da variável y, temos
variação de y
variação de x =
y1 − y0
x1 − x0
= a,
onde a é uma constante, chamada taxa de variação ou coeficiente angular da função afim. Dada
esta taxa de variação, a função afim tem a seguinte forma
y = ax + b,
onde b é também uma constante, dada pelo valor da função quando x = 0. Vejamos o exemplo da
função afim cujos coeficientes são a = 23 e b = 1:
y = 23x + 1.
O gráfico desta função afim é a reta que passa pelo ponto A = (0,1) no eixo vertical e tem coeficiente
angular dado por a = 23 como pode ser visto na figura seguinte:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
P
Q
Expliquemos essa afirmações: o ponto A tem coordenada vertical (ordenada) igual a 1, que é,
exatamente, o valor do coeficiente b da função afim. Para verificarmos que o coeficiente angular a
é igual a 23 , vejamos as variações das coordenadas: do ponto P = (6,5) para o ponto Q = (12, 9),
temos as seguintes variações das coordenadas
variação de x = 12 − 6 = 6 e variação de y = 9 − 5 = 4.
Logo,
a = variação de yvariação de x =
4
6 =
2
3 ·
Você pode verificar que esta taxa de variação é a mesma entre os pontos A e P e entre os pontos A e
Q, por exemplo.
Em geral, o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta que passa pelo ponto (0,b) no eixo vertical e
tem coeficiente angular a. O coeficiente angular é uma medida da inclinação ou declividade desta
reta. Esse coeficiente mede também a taxa de variação da função, isto é, a razão entre as variações
correspondentes de y e de x.
Nas questões 95 a 104, considere a seguinte figura:
Seção 1.2 P. 30
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
P
Q
R
S
T
O
Questão 95 Sobre os pontos assinalados na figura, complete as lacunas com as informações solicitadas:
• o ponto P tem coordenadas ( , )
• o ponto Q tem coordenadas ( , )
• o ponto tem coordenadas (6,92)
• o ponto tem coordenadas ( , 6)
Questão 96 O ponto com coordenadas (7,7) pertence a qual das retas representadas na figura?
A) A reta que passa pelos pontos O = (0,0) e P
B) A reta que passa pelos pontos O = (0,0) e Q
C) A reta que passa pelos pontos O = (0,0) e R
D) A reta que passa pelos pontos O = (0,0) e S
E) A reta que passa pelos pontos O = (0,0) e T
Questão 97 O ponto com coordenadas (7,72) pertence a qual das retas representadas na figura?
A) A reta que passa pelos pontos O = (0,0) e P
B) A reta que passa pelos pontos O = (0,0) e Q
C) A reta que passa pelos pontos O = (0,0) e R
D) A reta que passa pelos pontos O = (0,0) e S
E) A reta que passa pelos pontos O = (0,0) e T
Questão 98 O ponto com coordenadas (7,74) pertence a qual das retas representadas na figura?
A) A reta que passa pelos pontos O = (0,0) e P
B) A reta que passa pelos pontos O = (0,0) e Q
C) A reta que passa pelos pontos O = (0,0) e R
D) A reta que passa pelos pontos O = (0,0) e S
E) A reta que passa pelos pontos O = (0,0) e T
Questão 99 Qual das retas na figura representa a função do primeiro grau y = 34x?
A) A reta que passa pelos pontos O e P
B) A reta que passa pelos pontos O e Q
C) A reta que passa pelos pontos O e R
D) A reta que passa pelos pontos O e S
P. 31 Seção 1.2
E) A reta que passa pelos pontos O e T
Solução. Observe que os pontos P, Q, R, S e T têm a mesma coordenada horizontal, igual a 6.
Tomando x = 6, temos, a partir da equação
y = 34x,
o seguinte valor de y:
y = 34
×6 = 3×64 = 3
×
3
2 =
9
2 .
Portanto, o ponto
(6, 92)
pertence à reta definida pela função y = 34x. Esse é o ponto R, já que sua coordenada horizontal é 6 e
sua coordenada vertical é a média entre 4 e 5, ou seja, 92 . Logo, a alternativa correta é C).
■
Questão 100 Qual das retas na figura representa a função do primeiro grau y = 43x?
A) A reta que passa pelos pontos O e P
B) A reta que passa pelos pontos O e Q
C) A reta que passa pelos pontos O e R
D) A reta que passa pelos pontos O e S
E) A reta que passa pelos pontos O e T
Questão 101 Qual a equação da reta que passa pela origem e pelo ponto P?
A) y = 43x
B) y = x
C) y = 34x
D) y = 12x
E) y = 14x
Solução. O ponto P tem coordenada horizontal (abscissa) igual a 6 e coordenada vertical (ordenada)
igual a média entre 1 e 2, ou seja, igual a 32 . Como a reta deve passar pela origem O = (0,0) e por
P = (6,32), sua inclinação ou declividade com relação ao eixo horizontalé dada por
a =
3
2 − 0
6 − 0 =
3
2
6 =
3
12 ·
De fato, a variação da coordenada x entre os pontos O e P é dada por
variação de x = 6 − 0
e a a variação da coordenada y entre os pontos O e P é dada por
variação de y = 32 − 0.
Como
3
12 =
1
4 ,
(justifique!), a equação da reta que passa por esses dois pontos é
y = 14x,
expressão que define a variável y como função afim da variável x. Portanto, a alternativa correta é
E). ■
Seção 1.2 P. 32
Questão 102 Qual a equação da reta que passa pela origem e pelo ponto Q?
A) y = 43x
B) y = x
C) y = 34x
D) y = 12x
E) y = 2x
Questão 103 A reta que passa pelos pontos (0,0) e (6, 92) é dada pela equação linear
A) 4x − 3y = 0
B) 3x − 4y = 0
C) 4x + 3y = 0
D) 3x + 4y = 0
Questão 104 A reta dada pela equação linear 4x − 3y = 0 passa pela origem (0,0) e pelo ponto
A) (4,3)
B) (3,4)
C) (43 ,0)
D) (0, 34)
Nas questões 105 a 111, considere a seguinte figura:
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
P SQ R T
Questão 105 Qual dos pontos pertence à reta dada pela equação linear x + y = 8?
A) P
B) Q
C) R
D) S
E) T
Questão 106 A reta que passa pelos pontos (0,8) e (6,0) passa pelo ponto
A) P
P. 33 Seção 1.2
B) Q
C) R
D) S
E) T
Questão 107 A reta que passa pelos pontos (0,8) e (3,0) é dada pela equação
A) 8x + 3y = 0
B) 8x + 3y = 8
C) 8x + 3y = 24
D) 8x − 3y = 0
E) 8x − 3y = 24
Solução. Uma reta é dada por uma equação linear da forma
Ax + By = C,
onde (x, y) são coordenadas de um ponto na reta e A, B, C são constantes, que precisamos determinar.
Para isso, podemos usar a informação de que os pontos (0,8) e (3,0) pertencem à reta. Substituindo
x = 0 e y = 8 na equação linear, temos
A · 0 + B · 8 = C.
Logo,
B = 18C.
Agora, tomando x = 3 e y = 0 na equação linear, temos
A · 3 + B · 0 = C.
Portanto,
A = 13C.
Assim, a equação da reta passa a ser
1
3Cx +
1
8Cy = C.
Dividindo ambos os lados por C (que é diferente de 0, já que a reta não passa pela origem), temos
1
3x +
1
8y = 1.
Multiplicando ambos os lados por 24, que é múltiplo comum dos denominadores 3 e 8, obtemos
8x + 3y = 24,
a equação da reta que passa pelos pontos dados. Portanto, a alternativa correta é C). ■
Resumindo essa discussão, podemos dizer que a reta que passa pelos pontos (0,8) e (3,0) na figura
acima (vide a reta que passa pelo ponto Q) pode ser vista de duas formas:
• como gráfico da função afim y = −83x + 8. De fato, se x = 0, então y = 8 e, se x = 3, então
y = 0;
• como conjunto das soluções da equação linear 8x + 3y = 24. De fato, se x = 0 e y = 8, então
8 · 0 + 3 · 8 = 24 e, se x = 3 e y = 0, então 8 · 3 + 3 · 0 = 24. Note que o ponto (3, 2), por
exemplo, não pertence à reta, pois os valores x = 3 e y = 2 não resolvem a equação, uma vez
que 8 · 3 + 3 · 2 = 24 + 6 = 30 ̸= 24.
Seção 1.2 P. 34
Questão 108 A reta que passa pelos pontos R e (92 ,0) na figura representa as soluções da equação
linear
A) 29x +
1
8y = 1
B) 18x +
2
9y = 1
C) 92x + 8y = 1
D) 8x + 92y = 1
Questão 109 A reta que passa pelos pontos (0,8) e P na figura representa as soluções da equação
linear
A) 16x − 3y = 24
B) 3x − 16y = 24
C) 16x + 3y = 24
D) 3x + 16y = 24
Questão 110 A reta que passa pelos pontos Q e (3,0) na figura representa o gráfico da função do
primeiro grau
A) y = 83x + 8
B) y = −83x + 8
C) y = −83x − 8
D) y = 83x − 8
Questão 111 — SPAECE D55. A reta que passa pelos pontos (0,8) e S na figura representa o gráfico
da função do primeiro grau
A) y = 43x + 8
B) y = −43x + 8
C) y = −43x − 8
D) y = 43x − 8
Nas questões 112 a 117, considere a seguinte figura:
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
P Q R S
T
P. 35 Seção 1.2
Questão 112 Qual dos pontos pertence à reta dada como gráfico da função afim y = x + 2?
A) P
B) Q
C) R
D) S
E) T
Questão 113 Qual dos pontos pertence à reta dada pelas soluções da equação linear x − y = 2?
A) P
B) Q
C) R
D) S
E) T
Questão 114 A reta que passa pelos pontos (−4,0) e (0,4) passa pelo ponto
A) P
B) Q
C) R
D) S
E) T
Questão 115 A reta que passa pelos pontos (1, − 1) e (4,2) é dada pelas soluções da equação linear
A) x − y = 2
B) x − y = −2
C) x + y = 2
D) x + y = −2
E) 2x − y = 0
Questão 116 A reta que passa pelos pontos (1, − 3) e T é gráfico da função afim
A) y = x − 4
B) y = −x − 4
C) y = x + 4
D) y = −x − 4
E) y = 4x − 1
Questão 117 A reta que passa pelos pontos (−1, − 3) e (1, − 1) tem coeficiente angular dado por
A) a = −4
B) a = −1
C) a = 0
D) a = 1
E) a = 4
Nas questões 118 a ??, considere a seguinte figura:
Seção 1.2 P. 36
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
P
Q
R
S
T
Questão 118 Qual dos pontos pertence à reta dada como gráfico da função afim y = x4 + 3?
A) P
B) Q
C) R
D) S
E) T
Questão 119 Qual dos pontos pertence à reta dada pelas soluções da equação linear x + 2y = 12?
A) P
B) Q
C) R
D) S
E) T
Questão 120 A reta que com equação reduzida x8 +
y
8 = 1 passa pelo ponto
A) P
B) Q
C) R
D) S
E) T
Questão 121 A reta que passa pelos pontos (4,4) e (7,112 ) é dada pelas soluções da equação linear
A) x8 +
y
8 = 1
B) x + 2y = 12
C) y = −14x + 5
D) x − 4y = −3
E) y = x2 + 2
Questão 122 A reta que passa pelos pontos T e (6, 72) é dada por
A) x8 +
y
8 = 1
B) x + 2y = 12
C) x4 − y = −3
P. 37 Seção 1.2
D) x + 4y = 20
E) y − x2 = 2
Questão 123 Escreva a equação da reta que passa pelos pontos (p, 0) e (0,q), onde p e q são números
reais dados. Interprete geometricamente o significados desses números.
1.2.1 – Aplicações de equações lineares e funções afins
Questão 124 — PAEBES - Item M120205G5, adaptado. Observe o plano cartesiano abaixo.
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−2
−1
1
2
3
4
5
H
L R
S
F
O
Os pontos que têm coordenadas (−2, −2) e (1, 3) são, respectivamente,
A) O e R.
B) S e R.
C) H e R.
D) O e L.
E) O e F.
Questão 125 — PAEBES - Item M120180G5, adaptada. Qual é a equação da reta que passa pelos
pontos (−1, 5) e (1,1)?
A) y = −2x − 3
B) y = −2x + 3
C) y = −2x + 9
D) y = −x2 +
3
2
E) y = 2x + 4
Questão 126 — SAEPE - Item M120276H6. Observe abaixo as duas retas r e s traçadas em um plano
cartesiano em que os pontos H, I, J, K, L foram destacados.
Seção 1.2 P. 38
K
r
s
H I
L
J
A solução do sistema que envolve as equações das retas r e s é o ponto
A) H.
B) I.
C) J.
D) K.
E) L.
Questão 127 — SAEPE - Item M120701H6. Observe os pontos P, Q, R, S e T representados no plano
cartesiano abaixo.
P
Q
RS
T
Em qual desses pontos a abscissa é −3 e a ordenada é −2?
A) P.
B) Q.
C) R.
D) S.
E) T.
Questão 128 — SAEPE - Item M100182H6. Uma organização que protege animais silvestres colocou
um dispositivo de localização em dois filhotes, permitindo, assim, acompanhá-los. No desenho abaixo
está representada a localização desses dois filhotes pelos pontos Z e W.
P. 39 Seção 1.2
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
Filhote Z
Filhote W
x
y
Os pares ordenados que representam a localização dos filhotes Z e W são, respectivamente,
A) (−4, − 3) e (3, − 2).
B) (−4, 3) e (−3, − 2).
C) (3, − 4) e (−3, − 2).
D) (3, − 4) e (−2, − 3).
E) (4, 3) e (3, 2).
Questão 129 — SAEPE - Item M120325H6, adaptado. Os coeficientes da equação reduzida de uma
reta r são ambos negativos. Qual das retas abaixo pode representar a reta r?
A)
r
x
y
B)
r
x
y
C)
r
x
y
Seção 1.2 P. 40
D)
r
x
y
E)
r
x
y
Questão 130 — SAEPE - Item M120184H6. A reta k passa pelos pontos de coordenadas (0,1) e (3,2).
Qual é a equação reduzida dessa reta?
A) y = −3x − 1
B) y = x3 + 1
C) y = x + 3
D) y = 3x + 1
E) y = 3x + 2
Questão 131 — SAEPE - Item M120898E4. A reta s passa pelos pontos (4,1) e (2, 3). Qual é a equação
dessa reta s?
A) y = −x + 5
B) y = −2x + 2
C) y = 2x + 3
D) y = 4x + 1
E) y = 6x + 4
Questão 132 — SPAECE - Item M120283H6. Dois pontos pertencentes à reta r são (−2, 3) e (1,6).
Qual é a equação dessa reta?
A) y = −3x − 3
B) y = −2x + 3
C) y = x + 5
D) y = x + 6
E) y = 2x + 2
Questão 133 — SPAECE - Item M120703H6. Considere uma reta r que passa pelos pontos de coorde-
nadas (−2, 3) e (4, − 2). Uma equação dessa reta r está representada em
A)x + 2y + 16 = 0
B) x + 6y − 16 = 0
C) 2x − 3y + 6 = 0
D) 5x + 6y − 8 = 0
E) 3x + 5y − 3 = 0
P. 41 Seção 1.2
Questão 134 — SPAECE - Item M120881E4. No plano cartesiano abaixo está representado o gráfico de
uma reta r de equação y = ax + b.
r
x
y
Os valores dos coeficientes angular e linear dessa reta, são, respectivamente
A) a < 0 e b < 0.
B) a < 0 e b > 0.
C) a > 0 e b > 0.
D) a > 0 e b < 0.
E) a > 0 e b = 0.
Questão 135 — SPAECE - Item M120881E4. A reta t de equação y = jx + k está representada no
gráfico abaixo.
t
x
y
Os coeficientes angular j e linear k, em relação ao sinal, são, respectivamente,
A) negativo e negativo.
B) negativo e nulo.
C) positivo e negativo.
D) positivo e nulo.
E) positivo e positivo.
Questão 136 — SPAECE - Item M120935E4, adaptado. Observe abaixo o gráfico de uma função
polinomial do 1◦ grau.
Seção 1.2 P. 42
−2 −1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
3
4
y
x0
A lei de formação dessa função f é
A) y = −3x + 3
B) y = −x + 4
C) y = −x + 3
D) y = 2x + 1
E) y = 3x + 3
Questão 137 — SAEPE - Item M120460H6. Observe abaixo um esboço do gráfico da função polinomial
do 1◦ grau f : R → R:
−2 −1 1 2 3
−5
−4
−3
−2
−1
1
y
x0
A lei de formação dessa função f é
A) y = −4x − 4
B) y = −4x + 1
C) y = −4x + 4
D) y = 4x − 4
E) y = 4x + 1
Questão 138 — SAEPE - Item M100363H6. A função polinomial do 1◦ grau f : R → R possui coeficiente
angular e coeficiente linear iguais a −3 e 1, respectivamente.
Um esboço do gráfico dessa função é
P. 43 Seção 1.2
Questão 139 Ao percorrer uma avenida de Fortaleza, um automóvel passa por um primeiro fotossensor
às 19:59:40 e por um segundo, distante 1 200 metros do primeiro, às 20:00:20. O automóvel estava
acima ou abaixo da velocidade média de 60 km/h, permitida nesse trecho da avenida?
Questão 140 Um automóvel passa por um cruzamento a uma velocidade de 50 km/h. Descreva a
distância y, em quilômetros, percorrida a partir do cruzamento, em função do tempo x, medido em
horas, supondo que o automóvel mantém essa velocidade. Em seguida, desenhe um gráfico mostrando
as sucessivas distâncias percorridas pelo automóvel em função do tempo.
Agora, seguimos com uma questão para que você possa exercitar a noção de razão como uma taxa
de variação. Este exercício envolve, além disso, as chamadas progressões aritméticas.
Questão 141 — ENEM 2011, Caderno 6, Questão 159, adaptada. O número mensal de passagens
de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro
foram vendidas 33 000 passagens; em fevereiro, 34 500; em março, 36 000. Esse padrão de crescimento
se mantém para os meses subsequentes.
Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado?
A) 38 000
B) 40 500
C) 41 000
D) 42 000
E) 48 000
Solução. Observe que o aumento do número de passagens de janeiro para fevereiro foi de 34.500 −
33.000 = 1.500 passagens. Já o aumento do número de passagens de fevereiro para março foi de
36.000 − 34.500 = 1.500 passagens. O fato de que o padrão de crescimento se manteve constante
significa que o aumento do número de passagens de um mês para o seguinte foi sempre igual a 1.500.
De março a julho, temos 4 meses. A cada mês, foram vendidas 1.500 passagens a mais. Logo, nos
quatro meses, foram vendidas 4×1.500 = 6.000 passagens a mais. Portanto, em julho, foram vendidas
36.000 + 6.000 = 42.000 passagens. A alternativa correta é letra D). ■
Seção 1.2 P. 44
Observação 1.11 No exercício anterior, a variável tempo é discreta, pois são os meses do ano, e
podemos identificá-la por uma variável n, que varia de 1 a 12. O número de passagens no mês n é
simbolizado por an. Assim, temos
an = 33 000 + 1 500 · (n − 1)
Em março, por exemplo, que corresponde ao mês n = 3, temos
a3 = 33 000 + 1 500 · (3 − 1) = 33 000 + 3 000 = 36 000 passagens vendidas.
Este é um exemplo de uma progressão aritmética em que o valor da variável em n é dado por
an = a1 + r · (n − 1),
onde a1 é o valor da variável em 1 e r é uma constante chamada razão.
Os conceitos de funções afins, acréscimos simples e progressões aritméticas são naturalmente relacio-
nados entre si. Vimos, acima, que acréscimos simples, a uma taxa i, sobre um valor inicial C, definem
o montante M como função do tempo t dada por
M(t) = C + Cit.
Note que, tomando t = 1,2,3 . . ., definimos uma progressão aritmética de montantes em que a
razão r é igual a Ci. Assim, denotando r = Ci, temos
M(0) = C,
M(1) = C + Ci = C + r,
M(2) = C + 2Ci = C + 2r,
e assim por diante. O termo geral desta progressão aritmética de montantes é dado pelo montante no
tempo t = n, isto é, por
M(n) = C + Cin = C + rn,
onde r = Ci é o acréscimo (por exemplo, juros) somado a cada iteração.
Observação 1.12 Continuando a discussão sobre a relação entre funções afins, acréscimos simples e
progressões geométricas, dada uma função afim
f(x) = b + ax,
considere valores inteiros da variável x, dados por x = n, onde n = 1, 2, 3, . . . Então
f(n) = b + an.
Essa sequência de valores da função define uma progressão aritmética com termos
f(0) = b,
f(1) = b + a,
f(2) = b + 2a,
e assim por diante. O termo geral desta progressão aritmética é dado pela função f no valor da
variável x = n, isto é, por
f(n) = b + an,
onde r = a é a razão da progressão aritmética e b é seu termo inicial.
P. 45 Seção 1.2
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
A figura ilustra o gráfico da função afim
f(x) = 1 + 45x,
em que destacamos os pontos que correspondem aos valores x = n, onde n = 1, 2, 3, 4, 5. Observe que
os valores
f(n) = 1 + 45n
formam uma progressão aritmética de razão r = 45 , o que, geometricamente, é representado pelo fato
de que os pontos correspondentes no gráfico estão todos alinhados.
Questão 142 — SAEPE - Item M110370H6, adaptado. Em março de 2017, Taís começou a trabalhar
como manicure e comprou 8 vidros de esmalte. Após isso, a cada mês, ela comprou 2 vidros de
esmalte a mais do que havia comprado no mês anterior. Em agosto de 2017, o preço de cada vidro
de esmalte era R$ 3,75.
A quantia gasta por Taís, em agosto de 2017, na compra desses vidros de esmalte foi
A) R$ 37,50. B) R$ 45,00. C) R$ 52,50. D) R$ 67,50. E) R$ 75,00.
Questão 143 — SAEPE - Item M110093H6, adaptado. Um grupo de crianças decidiu completar um
álbum que deve ser preenchido com 1 470 figurinhas de jogadores de futebol. Esse grupo encontrava-se
semanalmente para juntar e colar as figurinhas inéditas. Na décima quinta semana, eles conseguiram
completar o álbum, sendo que a cada semana de encontro eles sempre conseguiam 5 figurinhas inéditas
a mais do que na semana anterior.
Quantas figurinhas inéditas, no total, esse grupo colou no álbum na primeira semana?
A) 573 B) 294 C) 98 D) 63 E) 55
Questão 144 Augusto investiu R$ 1 000 em letras do Tesouro Nacional, que rendem cerca de 13%
ao ano. Quanto deveria investir na poupança, que rende cerca de 6% ao ano, para obter o mesmo
montante, após um ano? Elabore tabelas e gráficos que mostrem como os montantes evoluem, ano a
ano.
Questão 145 Um automóvel passa por um posto de combustíveis em uma rodovia, a 120 quilômetros
por hora, no mesmo instante em que outro automóvel passa por um ponto na mesma rodovia, situado
a 40 quilômetros do posto, a 140 quilômetros por hora. Caso os automóveis trafeguem em sentidos
opostos, mantendo suas velocidades constantes, após quanto tempo passarão um pelo outro na
rodovia?
Seção 1.2 P. 46
Represente a situação descrita pelo problema e sua resolução em um gráfico que mostre as distâncias
percorridas pelos automóveis em função do tempo gasto nos percursos.
Questão 146 Um trem passa por uma estação às 08:55 a uma velocidade de 120 quilômetros por hora.
Um segundo trem passa por essa mesma estação, às 09:10, seguindo viagem em trilhas paralelos ao
do primeiro trem, a uma velocidade de 150 quilômetros por hora. Sabendo que ambos os trens têm
extensões de 100 metros, a que horas o segundo trem ultrapassará completamente o primeiro?
Represente graficamente a situação descrita pelo problema e sua resolução.
Questão 147 A tabela seguintemostra dois planos de pacotes de dados, em megabytes (MB), de
uma empresa de telefonia celular.
Plano Quantidade inicial Assinatura Valor por MBde dados mensal adicional
Plano A 10 MB R$ 10,00 R$ 0,50
Plano B 50 MB R$ 60,00 R$ 0,30
Baseando-se nestas informações, podemos afirmar que
A) o plano A é mais vantajoso que o plano B para quantidade total de dados superior a 200 MB.
B) o plano A é mais vantajoso que o plano B para quantidade total de dados inferior a 200 MB.
C) o plano A é mais vantajoso que o plano B para qualquer quantidade total de dados.
D) o plano A é menos vantajoso que o plano B para qualquer quantidade total de dados.
Solução. No plano A, o custo total (assinatura mais megabytes adicionais) para o assinante de x
MB (com x > 10) é dado por
CA(x) = 10 + 0,5×(x − 10) = 10 + 0,5x − 0,5×10 = 10 − 5 + 0,5x,
ou seja, é dado pela função afim
CA(x) = 0,5x + 5, (1.1)
onde x > 10. Já o custo total de x MB, com x > 50, para o assinante do plano B é representado por
CB(x) = 60 + 0,3(x − 50) = 60 + 0,3x − 0,3×50 = 60 − 15 + 0,3x,
uma função afim que pode ser reescrita como
CB(x) = 0,3x + 45, (1.2)
onde x > 50. Note que CA e CB são exemplos de funções definidas por sentenças, cujas expressões
completas são
CA(x) =
{
10, se 0 ≤ x ≤ 10,
0,5x + 5, se x > 10.
e
CB(x) =
{
60, se 0 ≤ x ≤ 50,
0,3x + 45, se x > 50.
Observe que o custo total do plano A passa a ser maior do que o custo total do plano B quando
CA(x) > CB(x), isto é, quando
0,5x + 5 > 0,3x + 45,
com x > 50. Subtraindo 0,3x + 5 dos dois lados desta desigualdade, obtemos
0,2x > 40
P. 47 Seção 1.2
Dividindo os dois lados desta desigualdade por 0,2, concluímos que
x >
40
0,2 =
40×10
0,2×10 =
400
2 = 200 MB.
Concluímos que o plano A passa a ser menos vantajoso que o plano B para uma quantidade total de
dados superior a 200 MB. Para uma quantidade inferior a 200 MB (mesmo quando inferior a 50MB), o
plano A é a opção mais vantajosa, ou seja, de menor custo total. No caso em que a quantidade total de
dados é exatamente igual a 200 MB, os dois planos representam o mesmo custo total. A alternativa
correta é a de letra B). ■
Observação 1.13 — Expressão algébrica, coeficientes, gráfico e crescimento de uma função afim.
A função afim f(x) = 0,5x+5 tem coeficiente angular a = 0,5 e coeficiente linear b = 5, o que significa
que seu gráfico é uma linha reta que intersecta o eixo vertical no ponto (0,5) e tem declividade
0,5 em relação ao eixo horizontal. A função afim g(x) = 0,3x + 45 tem coeficiente angular a = 0,3 e
coeficiente linear b = 45, o que significa que seu gráfico é uma linha reta que intersecta o eixo vertical
no ponto (0,45) e tem declividade 0,3 em relação ao eixo horizontal. Portanto, o gráfico da função
afim g é uma linha reta menos inclinada que a reta dada pelo gráfico da função afim f , como na
figura seguinte:
0 50 100 150 200 250 300 3500
50
100
150
200
g
f
P
A
B
Geometricamente, isto significa que o gráfico de g está “inicialmente” acima do gráfico da função
f , para valores da variável x tais que x < 200. No entanto, o fato de ter menor inclinação faz com
que, para valores de x com x > 200, o gráfico de g “passe” a ficar abaixo do gráfico de f .
Note que os pontos A = (0,5) e P = (200, 105) pertencem ao gráfico de f . O coeficiente angular
a = 0,5 de f é, portanto, dado pela taxa de variação
a = 105 − 5200 − 0 =
100
200 =
5
10 = 0,5,
ao passo que o coeficiente angular a = 0,3 de g é dado pela taxa de variação calculada a partir dos
pontos B = (0,45) e P = (200,105) que pertencem ao gráfico de g:
a = 105 − 45200 − 0 =
60
200 =
3
10 = 0,3.
Questão 148 — Comparando taxas de variação. Duas velas homogêneas e de comprimentos iguais
são acesas simultaneamente. A primeira tem um tempo de queima de 4 horas e a segunda de 6 horas.
Após certo tempo, ambas foram apagadas simultaneamente. Observou-se que o comprimento restante
de uma era o dobro do comprimento restante da outra. Por quanto tempo ficaram acesas?
Observação 1.14 Nos próximos exercícios, discutiremos equações lineares em duas variáveis (x e y,
digamos) da forma
Ax + By = C,
onde A, B e C são números dados, isto é, são coeficientes constantes. Relembre que, se B ̸= 0,
Seção 1.2 P. 48
podemos reescrever a equação acima pondo y em função de x:
y = −A
B
x + C
B
,
uma função afim com coeficiente angular a = − AB . Se B = 0 (e A ̸= 0), a equação reduz-se a
x = CA . Nos dois casos, as soluções (x, y) da equação definem uma reta no plano, cuja declividade é,
exatamente, a = − AB .
Questão 149 Determine a solução do sistema de equações lineares{
−2x + 3y = 3
3x + 4y = 36
Solução. A primeira equação do sistema define a função afim
y = 23x + 1,
cujo coeficiente angular é positivo e igual a 23 . A segunda equação, por sua vez, define a função afim
y = −34x + 9,
cujo coeficiente angular é negativo e igual a −34 . Os gráficos dessas funções estão ilustrados na seguinte
figura: note como a inclinação da reta com coeficiente angular positivo é dada por um ângulo agudo
com relação à horizontal ao passo que a inclinação da reta com coeficiente angular negativo é dada por
um ângulo obtuso com relação à horizontal.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
P
As coordenadas do ponto P = (x, y) na intersecção das duas retas são a solução do sistema: igualando
as duas expressões para y acima, obtemos
2
3x + 1 = −
3
4x + 9
Multiplicando os dois lados por 12, temos
8x + 12 = −9x + 108,
ou seja, 17x = 96 e, portanto, x = 9617 . Concluímos que a coordenada y do ponto P é dada por
y = 23
×
96
17 + 1 =
81
17 .
Logo, a solução do sistema são as coordenadas x = 9617 e y =
81
17 do ponto P dado pela intersecção das
duas retas definidas pelas equações do sistema. ■
P. 49 Seção 1.2
Questão 150 — INSPER 2020, Caderno 1, Questão 37, adaptada. O ouro é um metal utilizado na
confecção de diversos produtos e costuma ser misturado com outros metais, gerando ligas de ouro.
Por exemplo, uma liga de ouro 800 indica que de cada 1.000 partes da liga de ouro, 800 são de ouro
puro e 200 são de outros metais.
Um artesão precisa de 10 gramas de liga de ouro 585 para confeccionar um produto, porém, em
seu estoque, há apenas ligas de ouro 750 e 375. Ele dispõe de quantidade suficiente dessas duas ligas
para fundí-las e obter a quantidade de liga de ouro 585 de que necessita.
Para obter exatamente 10 gramas de liga de ouro 585, a quantidade de liga de ouro 750 utilizada
na fundição deverá superar a quantidade da liga de ouro 375 em
A) 1,20 g.
B) 2,35 g.
C) 4,60 g.
D) 0.80 g.
E) 5,60 g.
Questão 151 — ENEM 2013, Caderno 7 - Azul, Questão 136, adaptada. Uma loja vende automóveis
em N parcelas iguais sem juros. No momento de contratar o financiamento, caso o cliente queira
aumentar o prazo, acrescentando mais 5 parcelas, o valor de cada uma das parcelas diminui R$
200,00, ou se ele quiser diminuir o prazo, com 4 parcelas a menos, o valor de cada uma das parcelas
sobe R$ 232,00. Considere ainda que, nas três possibilidades de pagamento, o valor do automóvel é o
mesmo, todas são sem juros e não é dado desconto em nenhuma das situações.
Nessas condições, qual é a quantidade N de parcelas a serem pagas de acordo com a proposta
inicial da loja?
A) 20
B) 24
C) 29
D) 40
E) 58
Observação 1.15 — Resolução de sistemas de equações lineares. Esse problema envolve um sistema
de duas equações lineares. Cada uma dessas equações, por sua vez, envolvia duas incógnitas, o valor
P da parcela e o número N de parcelas. Em geral, um sistema de 2 equações lineares a 2 incógnitas
x e y pode ser expresso da seguinte forma:{
ax + by = E
cx + dy = F
onde a, b, c, d, E e F são números (constantes) dados. Multiplicando a primeira equação por d e a
segunda equação por −b, obtemos um novo sistema, equivalente ao primeiro:{
adx + bdy = dE
−bcx − bdy = −bF
No entanto, somando os lados esquerdo e direito dessas duas novas equações, obtemos
(ad − bc)x = dE − bF,
ou seja (caso ad − bc ̸= 0)
x = dE − bF
ad − bc
, (1.3)
Seção 1.3 P. 50
o valor da incógnita x. Voltando