GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 3

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Quando a reta e o plano não são paralelos nem perpendiculares, a distância entre eles é medida ao longo de uma
linha perpendicular ao plano e que passa pelo ponto da reta mais próximo do plano. Considerando a reta r = {t(-1, 1,
2)|t ∈ R} e o plano α: x + y + z = 1, determine r ∩ α.
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Lupa  
 
ARA0020_202002206111_TEMAS
Aluno: EDSON LUIS KRUL Matr.: 202002206111
Disc.: GEOM ANALIT ALG   2023.2 (G) / EX
Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu EXERCÍCIO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O
mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se
familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
RETAS E PLANOS
 
1.
.
.
.
.
.
Data Resp.: 08/08/2023 18:25:14
Explicação:
Igualando as equaçōes para determinar a interseçăo entre a reta e o plano:
Onde: .
Substituindo:
Voltando
r ∩ α = {− , − , −1}1
2
1
2
r ∩ α = {− , , −1}1
2
1
2
r ∩ α = {− , , 1}1
2
1
2
r ∩ α = { , , 1}1
2
1
2
r ∩ α = { , , −1}1
2
1
2
x = −t, y = t, z = 2t
(−t, t, 2t)
−t + t + 2t = 1
t = 1/2
javascript:voltar();
javascript:voltar();
javascript:diminui();
javascript:aumenta();
Os planos podem apresentar diferentes posições relativas. Considerando os planos e
, assinale o correto sobre a posiçäo relativa dos planos e .
A interpretação das posições relativas entre os planos vai depender dos coe�cientes de suas equações.
Considerando os planos π1: ax + by + 4z - 1 = 0 e π2: 3x - 5y - 2z + 5 = 0, os valores de a e b, de modo que os planos
sejam paralelos é, respectivamente:
Logo,
 
2.
Paralelos reversos.
Transversais.
Paralelos coincidentes.
Paralelos distintos.
Paralelos concorrentes.
Data Resp.: 08/08/2023 18:25:57
Explicação:
Comparando os coe�cientes:
Como os très primeiros coe�cientes säo proporcionais, os planos säo paralelos distintos.
 
3.
-1 e 5.
3 e -5.
-6 e 10.
6 e -10.
-5 e 3.
Data Resp.: 08/08/2023 18:28:53
Explicação:
Temos que:
(−t, t, 2t)
(− , , 1)
1
2
1
2
r ∩ α = {− , , 1}
1
2
1
2
π1 : 2x − y + z− 1 = 0
π2 : x − y + z − 9 = 0
1
2
1
2 π1 π2
π1 : (a1, b1, c1, d1) = (2, −1, 1, −1)
π2 : (a2, b2, c2, d2) = (1, − , , −9)
(2, −1, 1, −1) = α(1, − , , −9)
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
2 = 1 ∝→ ∞ = 2
−1 = − ∝→ ∞ = 2
1 = ∝→ ∞ = 2
−1 = −9 ∝→ ∞ =
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
9
O ângulo entre duas ruas que se cruzam pode afetar a visibilidade dos motoristas, a capacidade de manobra e até
mesmo a estética urbana. Considere as retas e como as equaçöes de
reta de duas ruas que se cruzam. O ângulo formado entre as duas ruas é de:
Para serem paralelos, pelo menos 3 coe�cientes devem ser proporcionais:
Igualando as coordenadas:
Substituindo , nas expressöes encontradas, temos:
Para os planos serem paralelos, , mas como sabemos que são paralelos distintos.
 
4.
60º.
45º.
30º.
90º.
120º.
Data Resp.: 08/08/2023 18:29:46
Explicação:
Sabemos que:
Do enunciado, tiramos:
Calculando o produto escalar:
π1 : (a1, b1, c1, d1) = (a, b, 4, −1)
π2 : (a2, b2, c2, d2) = (3, −5, −2, 5)
(a, b, 4, −1) =∝ (3, −5, −2, 5)
x → a = 3α
y → b = −5 ∝
z → 4 = −2 ∝→ α = −2
−1 =∝ 5
α = −2
a = −6
b = 10
−1 ≠ −10
a = −6eb = 10 −1 ≠ −10
r1 :
⎧⎪
⎨
⎪⎩
x = 3 + t
y = t
z = −1 − 2t
r1 : = y − 3 = 2
x+2
−2
cos θ =
∣
∣
→
r1 +
→
r2 ∣∣
∣
∣
→
r1 ∣∣
∣
∣
→
r2 ∣∣
→
r1 = (1, 1, −2)
→
r2 = (−2, 1, 1)
→
r1 ⋅
→
τ2 = (1, 1, −2) ⋅ (−2, 1, 1) = 1 × (−2) + 1 × 1 + (−2) × 1 = −3
Em um sistema de coordenadas tridimensional, considere a reta r, de�nida pelos pontos A(1, 2, 3) e B(4, 5, 6), e o
plano α, dado pela equação 2x - y + 3z = 7. Determine qual das seguintes alternativas representa a relação correta
entre a reta r e o plano α:
Determine a distância entre a reta  e o ponto P(0, 2, 0)
Calculando os módulos:
Voltando, temos:
 anngulo cujo cosseno é 
 
5.
A reta r é paralela ao plano α.
A reta r está contida no plano α.
A reta r intercepta o plano α em um único ponto.
A reta r é perpendicular ao plano α.
A reta r e o plano α são coincidentes.
Data Resp.: 08/08/2023 18:30:57
Explicação:
Para determinar a relação entre a reta r e o plano α, podemos veri�car se a reta intercepta o plano em algum
ponto. Substituindo as coordenadas dos pontos A(1, 2, 3) e B(4, 5, 6) na equação do plano α, obtemos duas
equações:
2x - y + 3z = 7
2(1) - 2 + 3(3) = 7
2(4) - 5 + 3(6) = 7
 
Simpli�cando, temos:
3 = 7 (falso)
19 = 7 (falso)
 
Como nenhuma das equações é verdadeira, concluímos que a reta r não está contida no plano α. Portanto, a reta
r intercepta o plano α em um único ponto.
 
 
6.
2
4
∣
∣
→
r1 ∣∣ = √1
2 + 12 + (−2)2 = √6
∣
∣
→
r2 ∣∣ = √(−2)
2 + 12 + 12 = √6
cos θ = = = =
∣
∣
→
r1 ⋅
→
r2 ∣∣
∣
∣
→
r1 ∣∣
∣
∣
→
r2 ∣∣
| − 3|
√6 × √6
3
6
1
2
O  é 60∘1
2
logo, θ = 60∘
= =x
2
y
2
z−1
1
Determine o valor de k, positivo, para que a distância entre os pontos A ( 2 , ¿ 1 , 2) e B ( k, 1 , ¿ 2 )
seja de 6.
A reta  , a interseção entre os planos x + y ¿ 2 = 0 e 2x ¿ y + z ¿ 3 = 0.
Determine o valor de ( a + b + c), com a, b e c reais.
 
Determine a distância entre o plano 2x + 2y ¿ 3z + 1 = 0 e o ponto P(1,1,1)
0
1
3
Data Resp.: 08/08/2023 18:31:44
Explicação:
A resposta correta é: 2
 
7.
4
6
2
3
5
Data Resp.: 08/08/2023 18:32:18
Explicação:
A resposta correta é: 6
 
8.
6
7
8
5
9
Data Resp.: 08/08/2023 18:33:48
Explicação:
A resposta correta é: 8
 
9.
r :
⎧⎪
⎨
⎪⎩
x = a + γ
y = b − γ, γ real
z = c − 3γ
5√17
17
√17
17
2√17
17
Sejam o plano   e o plano  . Sabe que os planos
são paralelos e que o plano π passa na origem do sistema cartesiano. Determine o valor de
( a + b + c + d), com a , b, c e d reais.
Data Resp.: 08/08/2023 18:34:46
Explicação:
A resposta correta é: 
 
10.
0
2
1
4
3
Data Resp.: 08/08/2023 18:34:51
Explicação:
A resposta correta é: 2
    Não Respondida      Não Gravada     Gravada
Exercício por Temas inciado em 08/08/2023 18:23:27.
3√17
17
4√17
17
2√17
17
π : ax + by + cz + d = 0 μ : 2x + y − z + 2 = 0