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AULA ATIVIDADE ALUNO 
 
AULA 
ATIVIDADE 
ALUNO 
 
 
 
AULA ATIVIDADE ALUNO 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III 
Teleaula: 01 
Olá! Você está bem? Espero que sim! 
Pois bem, chegou o momento de interagirmos e desenvolvermos competências 
importantes para sua formação. Tenho certeza de que se dedicando e se esforçando, 
você será, em breve, um excelente profissional! 
Nossa atividade terá dois momentos, dispostos da seguinte forma 
- Etapa 1: 1h20 
- Intervalo: 20 min 
- Etapa 2: 1h20 
Etapa 1 
Nessa etapa você irá retomar alguns conceitos que são essenciais para o estudo das 
integrais triplas. 
Questão 1 
Determine a primitiva da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3. 
Questão 2 
Calcule as integrais que seguem. 
𝑎) ∫ (
1
𝑧3
−
3
𝑧2
) 𝑑𝑧 
𝑏) ∫(4𝑥2 − 8𝑥 + 1) 𝑑𝑥 
c) ∫ (3√𝑢 +
1
√𝑢
) 𝑑𝑢 
𝑑) ∫(2𝑥 − 5) (3𝑥 + 1) 𝑑𝑥 
𝑒) ∫(2𝑒𝑥 + cos(𝑥)) 𝑑𝑥 
𝑓) ∫ √16 𝑥5 𝑑𝑥
4
1
 
𝑔) ∫
2𝑥3 − 4𝑥2 + 5
𝑥2
 𝑑𝑥
3
1
 
 
 
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Questão 3 
Calcule as integrais duplas: 
a) ∫ ∫ 𝑥𝑦2
3
2
𝑑𝑦
1
0
𝑑𝑥 
b) ∫ ∫ 𝑥2𝑦
3
2
𝑑𝑦
1
0
𝑑𝑥 
c) ∫ ∫ 𝑥𝑦
√𝑥−2
𝑥
4
𝑑𝑦
4
2
𝑑𝑥 
d) ∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦2
2𝑥
𝑥2
𝑑𝑦
2
0
𝑑𝑥 
 
Etapa 2 
Nessa etapa você irá utilizar os conceitos vistos na primeira aula para resolver os 
exercícios que seguem. 
 
Questão 1 
Seja a superfície P definida pela equação 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧 = 1 .Determine a equação do 
plano tangente à superfície 𝑃 no ponto de coordenadas 𝐴(1,2, −4). 
Questão 2 
Para o cálculo das integrais triplas é necessário identificar e selecionar uma das possíveis 
ordens de integração, quando possível. Nesse sentido, é necessário identificar se 
existem relações definidas entre os limites de integração. 
Diante desse tema, deseja-se calcular a integral tripla da função de três variáveis reais 
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 4𝑥 − 3𝑦𝑧 
na região 𝑊 definida como segue: 
𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 | 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑧, 1 ≤ 𝑦 ≤ 2, 0 ≤ 𝑧 ≤ 1} 
Com base nesse tema, responda: 
a) Determine todas as possíveis ordens de integração que podem ser empregadas 
no cálculo da integral tripla de 𝑓 sobre a região 𝑊. 
b) Calcule a integral tripla da função 𝑓 sobre 𝑊 utilizando uma das integrais 
apresentadas no item a. 
 
 
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c) Determine o volume da região 𝑊 a partir do cálculo de uma integral tripla. 
Questão 3 
Considere um sólido C em formato de cubo, definido por 
𝐶 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3; 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1, 0 ≤ 𝑧 ≤ 1} 
Sabendo que a função densidade que caracteriza o sólido C é dada por 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 +
𝑦2 + 𝑧2, determine as coordenadas do centro de massa do sólido C. 
Questão 4 
Considere a superfície 𝑧 = 𝑥𝑦 limitada pelo cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 1 . Determine a área 
aproximada da superfície 𝑧 = 𝑥𝑦 limitada pelo cilindro. 
Questão 5 
Determine a área da superfície que corresponde à parte do plano 5𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 + 6 = 0 
que está acima do retângulo [1,4] × [2,6] localizado no plano 𝑥𝑦. 
Questão 6 
Determinada empresa produz baterias para automóveis. Um dos modelos de bateria 
possui formato que pode ser aproximado pelo sólido B, limitado superiormente pela 
superfície S de equação 
z = 1 − x2 − y2 
e inferiormente pelo retângulo R = [−1,1] × [−0,5; 0,5] no plano xOy. Tendo como 
objetivo otimizar a produção desse tipo de bateria, você foi contratado por essa 
empresa para auxiliar no estudo do projeto desse produto. 
Considerando estas informações, investigue os seguintes tópicos: 
a) Associado à otimização do volume desse produto, em determinados momentos faz-
se necessário determinar planos tangentes. Qual a equação do plano tangente à 
superfície S no ponto P(0,5; 0; 0,75)? 
b) Qual o volume aproximado do sólido B descrito anteriormente e que pode ser 
utilizado na aproximação do formato da bateria considerada? 
Questão 7 
Calcule a integral 
 
 
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∭ 6𝑥𝑧
𝐸
𝑑𝑉 
onde 𝐸 está abaixo do plano 𝑧 = 1 + 𝑥 + 𝑦 e acima da região do plano 𝑥𝑦 limitada pelas 
curvas 𝑦 = √𝑥, 𝑦 = 0 e 𝑥 = 1. 
Bons estudos!