Estácio_ Alunos

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15/08/2023, 16:13 Estácio: Alunos
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Exercício por
Temas
 avalie sua aprendizagem
A área entre duas funções pode ser determinada pela integração da diferença entre as duas funções ao longo do
intervalo de interesse. Calcule a área delimitada entre as curvas   ,   e  .
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Lupa  
 
DGT0119_202301149053_TEMAS
Aluno: IARA TEOTÔNIO Matr.: 202301149053
Disc.: CÁLCULO DIFERENCIA  2023.3 FLEX (G) / EX
Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu EXERCÍCIO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O
mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se
familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
INTEGRAIS: APLICAÇÕES
 
1.
  .
  .
  .
  .
  .
Data Resp.: 15/08/2023 16:12:51
Explicação:
Desenhando as restrições das curvas, temos:
y = 1/x y = x, y = x/4 x > 0
ln 2 − u. a3
8
ln 2 +  u. a 3
4
u. a3
8
2 ln 2 u. a 
ln 2u. a
javascript:voltar();
javascript:voltar();
javascript:diminui();
javascript:aumenta();
15/08/2023, 16:13 Estácio: Alunos
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A entrada de um túnel tem a forma da �gura abaixo, sendo constituída por 2 tubos circulares na forma de arco de
curvas  e  , sendo iluminados internamente por luzes de led. O custo estimado para estes tubos é de 
 por metro. As curvas são determinadas por funções, sendo    e 
. O custo total desta obra será:
Fonte: YDUQS. 2023.
O intervalo de integração é de 0 a 2, sendo que até o 1, temos curva amarela por cima e laranja por baixo e a partir
daí, temos azul por cima e laranja por baixo, ou seja:
Integrando cada uma delas em separado, para depois somarmos, temos:
 
 
2.
R$ 416.274,17 .
R$ 156.274,17.
R$ 149.274,17 .
∫
b
a
[fcima  − fbaixo ] dx = ∫
1
0
[famarelo  − flaranja a] dx + ∫
2
1
[fazul  − flaranja ] dx
A = ∫
1
0
[x − ]dx + ∫
2
1
[ − ]dx
x
4
1
x
x
4
∫
1
0
[x − ]dx = ∫
1
0
dx =
∣
∣
∣
1
0
=
∫
2
1
[ − ]dx = ln x −
∣
∣
∣
2
1
= ln 2 −
A = ∫
1
0
[x − ]dx + ∫
2
1
[ − ]dx = + (ln 2 − ) = ln 2
x
4
3x
4
3x2
8
3
8
1
x
x
4
x2
8
3
8
x
4
1
x
x
4
3
8
3
8
C1 C2
R$5.000, 00 C1 : y = 3x2/3
C2 : y = 3(16 − x)2/3
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Na engenharia, o cálculo de áreas entre funções é usado para determinar o volume de materiais em estruturas
complexas, como reservatórios, tanques de armazenamento e outras formas irregulares. Sabendo disso determine o
volume do solido de rotação, em unidade de volume (u.v.), da região A  em torno do eixo x, para os seguintes critérios:
R$ 246.274,17 .
R$ 146.274,17 .
Data Resp.: 15/08/2023 15:56:27
Explicação:
Para calcular o custo, devemos calcular o comprimento dos arcos.
Contudo, não precisamos calcular os comprimentos de  e  . Note que a diferença entre os arcos é a
substituição de   por   é espelho de   . Portanto, os arcos são simétricos e possuem o mesmo
comprimento.
Assim, basta calcular o comprimento de  , multiplicar por 2 e depois multiplicar pelo custo por metro.
Sabemos que:
Para a curva :
Usando o método   , temos:
Fazendo a substituição:
Aplicando:
Calculando o custo:
 
3.
C1 C2
x 16 − x.C2 C1
C1
L = ∫ b
a
√1 + [f ′(x)]2dx
C1
y = 3x2/3
= 3 ⋅ ⋅ x− = 2x−
L = ∫
8
0
√1 + [2x− ]
2
dx = ∫
8
0
√1 + 4x− dx
dy
dx
2
3
1
3
1
3
1
3
2
3
x = f(y)
y = 3x → x = → x =
= ⋅ ⋅ y = (y)
x = 0 → y = 0
x = 8 → y = 12
L = ∫
12
0

⎷1 + [ (y) ]
2
dy = ∫
12
0
√1 + ⋅ ydy
2
3
2
3
y
3
y
3
2
3
3
2
dx
dy
1
3
3
2
3
2
1
2
1
2√3
1
2
1
2√3
1
2
1
12
u = 1 + y → du = dy → dy = 12du
y = 0 → u = 1
y = 12 → u = 2
1
12
1
12
L = ∫ 21 √u ⋅ 12du = 12 ∫
2
1 u du = 12 ⋅ u
∣∣∣
2
1
= 8(2√2 − 1)
1
2
2
3
1
2
C = 2 ⋅ 8(2√2 − 1) ⋅ 5000 = R$146.274, 17
15/08/2023, 16:13 Estácio: Alunos
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Data Resp.: 15/08/2023 15:57:23
Explicação:
Do enunciado tiramos os intervalos:
Desenhando as restrições das curvas, temos:
 
Onde A  representa a área que será rotacionada para gerar o sólido de revolução.
O volume será dado pela soma do volume de cada intervalo:
e
Calculado o volume de  :
Calculado o volume de  :
A :
⎧⎪⎪
⎨
⎪⎪⎩
y = + 1  se  − 4 ≤ x < 0
y = √1 − x2  se 0 ≤ x ≤ 1
y = 0  se 1 ≤ x ≤ 4
x
4
2π.
.3π
2
.12
.π
2
.π
3
A1 : −4 ≤ x < 0
A2 : 0 ≤ x ≤ 1
A3 : 1 ≤ x ≤ 4
V = V1 + V2 + V3
V = ∫ b
a
π[f(x)]2dx
A1
V1 = ∫
b
a
π[f(x)]2dx = ∫
0
−4
π[ + 1]
2
dx = π ∫
1
−4
[ + + 1]dx
= π [ + + x]
∣
∣
∣
0
−4
= π[0] − π [ + + (−4)] = 0 − π [− + 4 − 4] =
V1 =
x
4
x2
16
2x
4
x3
16 ⋅ 3
x2
4 ⋅ 2
(−4)3
16 ⋅ 3
(−4)2
4 ⋅ 2
4
3
4π
3
4π
3
A2
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O cálculo de áreas entre funções utilizando integral é uma técnica usada na matemática para determinar a área de
uma região que é limitada por duas ou mais curvas. Calcule a área delimitada entre as curvas 
 e  .
Calculado o volume de  :
O volume da terceira região vai ser zero, porque a função    não tem nada para rotacionar
Assim:
 
4.
Data Resp.: 15/08/2023 16:13:18
Explicação:
Desenhando as restrições das curvas, temos:
Analisando os intervalos de integração:
De 0 até 0,5 temos a parábola de cima sobre a parábola de baixo.
De 0,5 até 1 temos a reta não vertical em cima da parábola de baixo.
 
Assim:
V2 = ∫
b
a
π[f(x)]2dx = ∫
1
0
π[√1 − x2]
2
dx = π ∫
1
0
[1 − x2] dx = π [x − ]
∣
∣
∣
1
0
= π [1 − ]− π[0] = π [ ]− 0 =
V2 =
x3
3
1
3
2
3
2π
3
2π
3
A3
V3 = 0
V = V1 + V2 + V3 = + + 0 = = 2π
V = 2πu. v.
4π
3
2π
3
6π
3
y = 1 − x2, y = 1 + x2, y = − + 23x
2
x = 1
 u. a .5
16
 u. a .1
16
 u. a .3
16
 u. a .1
8
 u. a .1
4
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Calcule a área da região limitada superiormente pela função , e inferiormente
pela função f(x) = x2.
Determine o valor de , onde s(x) é a função comprimento do arco da curva
, medido a partir do ponto . 
Integrando cada uma delas em separado, para depois somarmos, temos:
Somando as duas partes, temos:
 
5.
Data Resp.: 15/08/2023 16:00:47
Explicação:
A resposta correta é: 
 
6.
Data Resp.: 15/08/2023 16:02:23
A = ∫
b
a
[fcima  − fbaixo ] dx
A = ∫
0
[fparábola de cima  − fparábola de baixo ] dx + ∫
1
[freta não vertical  − fparábola de baixo ] dx
A = ∫
0
[1 + x2 − (1 − x2)] dx + ∫
1
[− + 2 − (1 − x2)]dx
1
2
1
2
1
2
1
2
3x
2
∫0 [1 + x
2 − (1 − x2)] dx = ∫0 [2x
2] dx = ∣∣0
=
1
2
1
2 2x3
3
1
2 1
12
∫ 1 [− + 2 − (1 − x2)]dx = ∫ 1 [− + 1 + x2]dx = [− + x + ]∣∣
1
1
2
3x
2
1
2
3x
2
3x2
4
x3
3 1
2
A = ∫0 [1 + x
2 − (1 − x2)] dx + ∫ 1 [− + 2 − (1 − x2)]dx = + = =  u.a. 
1
2
1
2
3x
2
1
12
11
48
15
48
5
16
g(x) = 8√x,x ≥ 0
36
3
56
3
64
3
75
3
45
3
64
3
s( )π
3
f(x) = ln(sec sec x) x = π
4
ln( )√2+1
√3+2
ln(√3 + 2)
ln(√5 + 3)
ln(√2 + 1)
ln( )√3+2
√2+1
15/08/2023, 16:13 Estácio: Alunos
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Determine a área da superfície de revolução gerada ao girar a função  , para
, ao redor do eixo x.
Determine a integral da função g(x) = 4tg(x), limitada pelo eixo x e pela reta .
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de pontos
formados pela função g(x) = 2x6 e o eixo x, para  .
Explicação:
A resposta correta é: 
 
7.
Data Resp.: 15/08/2023 16:03:34
Explicação:
A resposta correta é: 
 
8.
2 ln 3
ln 3
ln 2
2 ln 2
ln 5
Data Resp.: 15/08/2023 16:04:31
Explicação:
A resposta correta é: 2 ln 2
 
9.
Data Resp.: 15/08/2023 16:06:29
Explicação:
ln( )√3+2
√2+1
h(x) = sen 2x′1
2
0 ≤ x ≤ π
2
2π(√2 − ln(√2 − 1))
π(√2 − ln(√2 + 1))
π(√2 + ln(√2 − 1))
2π(√2 + ln(√2 + 1))
π(√2 + ln(√2 + 1))
π(√2 + ln(√2 + 1))
x = π
4
0 ≤ x ≤ 2
76π
32π
64π
16π
128π
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15/08/2023, 16:13 Estácio: Alunos
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A resposta correta é: 
    Não Respondida      Não Gravada     Gravada
Exercício por Temas inciado em 15/08/2023 15:51:17.
128π