Aula_02_Armadura_Simples

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Vigas de Concreto Armado II-1
3.) Resistências caracteŕıstica e de projeto para Concreto e Aço
3.1) CONCRETO
• aglomerante, agregados, água
• Resistência caracteŕıstica fck
• Resistência de cálculo
fcd =
fck
γc
γc = coeficiente de minoração estabelecido pela NBR-6118(γc = 1, 4)
• Tensão de cálculo
σcd = 0, 85fcd
• Deformação limite na compressão
εcd = 3, 5
o/o o
• Módulo de Elasticidade (Young)
Ec = 0, 85 x 5600
√
fck (MPa)
• Coeficiente de Poisson (nu)
ν = 0, 2
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3.2) AÇOS PARA C.A.
• tipos usuais:
CA-25 → 25 kgf/mm2
CA-50 → 50 kgf/mm2
CA-60 → 60 kgf/mm2
• Resistência caracteŕıstica fyk
• Resistência de cálculo
fyd =
fyk
γs
γs = coeficiente de minoração estabelecido pela NBR-6118(γs = 1, 15)
• Deformação limite na tração
εsd = 10, 0
o/o o
• Módulo de Elasticidade (Young)
Es = 210 (GPa)
• Coeficiente de Poisson (nu)
ν = 0, 3
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3.3) CONCRETO ARMADO
A ADERÊNCIA, que ocorre entre o concreto e o aço, é a caracteŕıstica fundamen-
tal do Concreto Armado (C.A.).
A RETRAÇÃO do concreto, durante o processo de cura, aumenta ainda mais a
ADERÊNCIA.
• Pesos espećıficos:
Concreto → 2400 kgf/m3
Concreto Armado → 2500 kgf/m3
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4.) Estado Limite Último para peças em Concreto Armado (CA)
Estado Limite Último (E.L.U.) – ruptura do concreto por compressão (εcd = 3, 5
o/o o),
ou deformação plástica excessiva da armadura tracionada (εsd = 10
o/o o). Assim, o
E.L.U. ocorrerá em uma das seguinte situações:
• εcd = 3, 5 o/o o e εsd < 10 o/o o
• εcd = 3, 5 o/o o e εsd = 10 o/o o
• εcd < 3, 5 o/o o e εsd = 10 o/o o
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5.) Flexão Simples
5.1) Armaduras longitudinais simples e dupla para vigas de seção retangular
5.1.1) Classificação das Seções quanto ao tipo de colapso
Diagrama de Deformações concreto–aço.
• bw – largura da seção transversal
• h – altura da seção transversal
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• As – área da armadura de tração
• A′s – área da armadura de compressão
• A′c – área da seção transversal sob compressão
• d – altura útil da seção transversal → distância entre as fibras mais
comprimidas da seção e o CG da armadura de tração As
• d′ – distância entre as fibras mais comprimidas da seção e o CG da armadura de
compressão A
′
s
• εcd – deformação de compressão do concreto
• εscd – deformação de compressão do aço
• εsd – deformação de tração do aço
• L.N. – Linha Neutra
• x – posição da linha neutra a partir das fibras mais comprimidas
Do diagrama de deformação concreto–aço tira-se uma relação entre dados
geométricos da seção (x e d) e as deformações que, por conseguinte, estão
relacionadas com as propriedades dos materiais, a saber:
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Por semelhança de triângulos tem-se:
x
d− x
=
εcd
εsd
que resulta em:
x
d
=
1
1 + εsdεcd
Chamando
x
d
= kx
Então:
kx =
1
1 +
εsd
εcd
Assim, kx é o coeficiente que relaciona dados geométricos da seção (x e d) e
grandezas que dependem das propriedades dos materiais (εsd e εcd).
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Quanto ao tipo de colapso, as Seções classificam-se em:
• Seções Normalmente Armadas ou Seções Limite
• Seções Sub-armadas
• Seções Super-armadas
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5.1.1.1) Seções Normalmente Armadas ou Seções Limite
O ELU ocorre por ruptura do concreto (εcd = 3, 5
o/o o).
A armadura encontra-se tracionada no ińıcio do escoamento (εsd = εyd). (O ińıcio de
escoamento do aço ocorre na deformação εyd).
Neste caso, tem-se:
x = xlim → kx = kxlim
kxlim =
1
1 +
εyd
3,5 o/oo
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Substituindo-se na equação anterior, para kxlim, os valores de εyd (deformação de
escoamento) para cada tipo de aço usado em C.A., tem–se:
Aço εyd ( o/oo ) kxlim
CA–25 1,04 0,7709
CA–50 2,07 0,6284
CA–60 4,48 0,4386
Da tabela, tira-se que o valor máximo posśıvel para kxlim é 0, 7709, quando se usa o
aço CA–25.
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5.1.1.2) Seções Sub-Armadas
O ELU ocorre por ruptura do concreto com a armadura tracionada já em fase de
escoamento. Há duas possibilidades:
• Domı́nio 2: εsd = 10 o/o o e εcd < 3, 5 o/o o
• Domı́nio 3: εyd < εsd < 10 o/o o e εcd = 3, 5 o/o o
Para ambos os domı́nios x < xlim → kx < kxlim
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5.1.1.3) Seções Super-Armadas
O ELU ocorre por ruptura do concreto (εcd = 3, 5
o/o o) antes da armadura tracionada
atingir o ińıcio do escoamento.
Para este caso x > xlim → kx > kxlim
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5.1.2) Seções Retangulares com Armadura Simples
1. Equações Gerais
A área comprimida da seção é dada pela relação A
′
c = bwy.
A tensão de compressão no concreto é dada por σcd = 0, 85fcd, e a correspondente
resultante de compressão é Rcc.
Da mesma forma, a tensão de tração no aço é dada por σsd, e a correspondente
resultante de tração é Rst.
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O momento fletor de cálculo é dado por
Md = γfMk sendo γf o coeficiente de majoração (usualmente γf = 1, 4)
• Equações de Equiĺıbrio
ΣFH = 0 → Rcc = Rst
ΣM = 0 → γfMk = ZRcc
• Compatibilidade de deformações
kx =
x
d =
1
1 +
εsd
εcd
• Coeficiente k6
Do equiĺıbrio de momentos:
γfMk = ZRcc (1)
Sendo: Z = d− 0, 5y = d− 0, 4x
Como: x = kxd → Z = d− 0, 4kxd = d(1− 0, 4kx)
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A resultante Rcc é dada por Rcc = [0, 85 fcd] [bw y]
Ou seja, Rcc = [0, 85
fck
γc
] [bw 0, 8 x]
E, como: x = kxd → Rcc = 0, 85 fckγc bw 0, 8 kx d
Que resulta: Rcc = 0, 68 kx
fck
γc
bw d
Substituindo Z e Rcc na equação (1):
γf Mk = [d (1− 0, 4 kx)] [0, 68 kx
fck
γc
bw d] (2)
Rearranjando os termos da equação (2):
bw d
2
γc γf Mk
=
1
(1− 0, 4 kx) 0, 68 kx fck
E multiplicando-se ambos os termos por 1, 4 x 1, 4 = 1, 96
(1, 4/γc) bw d
2
(γf/1, 4) Mk
=
1, 96
(1− 0, 4 kx) 0, 68 kx fck
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Definindo:
k6 =
1,96
(1−0,4 kx) 0,68 kx fck
(3-a)
E, obviamente:
k6 =
(1,4/γc) bw d
2
(γf/1,4) Mk
(3-b)
Da equação (3-a) obtém-se a equação de 2o grau:
kx
2 − 2, 5 kx +
7, 2059
k6 fck
= 0 (4)
que apresenta duas ráızes. No entanto, a única ráız que interessa neste caso é
aquela dada por:
kx = 1, 25−
√
1, 5625− 7,2059k6 fck (5)
(Lembre-se que o máximo valor posśıvel para kxlim é 0,7709)
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A solução da equação (5) pode apresentar 3 possibilidades:
kx ≤ kxlim → Armadura Simples
kx > kxlim
kx = N
oComplexo
}
→ ArmaduraDupla
• Coeficiente k3
Usando-se a equação de equiĺıbrio de momentos
γf Mk = Z Rcc
combinada com a equação de equiĺıbrio de forças
Rcc = Rst
Pode-se escrever
γf Mk = Z Rst (6)
Sendo: Z = d (1− 0, 4 kx)
E: Rst = σsd As
Tem-se:
γf Mk = [d (1− 0, 4 kx)][σsd As]
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Isolando-se a incógnita As:
As =
1
σsd (1− 0, 4 kx)
γf
Mk
d
Multiplicando-se o lado direito da equação por 1,41,4:
As =
1, 4
σsd (1− 0, 4 kx)
γf
1, 4
Mk
d
Definindo-se
k3 =1, 4
σsd (1− 0, 4 kx)
Melhor uso se faz da capacidade do aço quando a tensão considerada for a
tensão de cálculo, ou seja, σsd = fyd. Assim:
k3 =
1,4
fyd (1−0,4 kx)
(7)
E a área de armadura será calculada pela expressão
As = k3
γf
1,4
Mk
d (8)
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A tabela, a seguir, apresenta as tensões caracteŕısticas e as tensões de cálculo
para os aços usados em C.A.
Aço fyk (tf/cm
2) fyd (tf/cm
2)
CA–25 2,50 2,17
CA–50 5,00 4,35
CA–60 6,00 5,22
É importante esclarecer que somente os valores em módulo de Mk devem ser
usados nas equações. Os sinais + ou − apenas indicam a região da viga que
sofre esforços de tração.
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A tabela, a seguir, apresenta as espessuras usuais de cobrimento para proteção
das barras de aços usadas em C.A. contra a oxidação e outros efeitos nocivos, de
acordo com a agressividade do meio onde se localizará a estrutura a ser
constrúıda (Ver NBR-6118).
Classe Cobrimento Nominal (mm)
de
agressividade
Lajes Vigas/Pilares
I 20 25
II 25 30
III 35 40
IV 45 50
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Assim estima-se a altura útil da seção de uma viga pela expressão:
d = h− c sendo: d = altura útil
h = altura total da seção
c = cobrimento nominal
Observe, na figura acima, a diferença entre a altura útil real e a estimada.
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• Armadura longitudinal mı́nima
As seções dimensionadas com armadura simples devem receber, na região de
compressão, uma armadura mı́nima, dada pela expressão:
Asmin = ρmin Ac sendo: Ac = bw h
e ρmin obtido da tabela abaixo
ρmin (%)
Forma
da
Seção fck do Concreto (MPa)
20 25 30 35 40 45 50
Retangular 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288
T (compressão no mesa) 0,150 0,150 0,150 0,150 0,158 0,177 0,197
T (tração no mesa) 0,150 0,150 0,153 0,178 0,204 0,229 0,255
Circular 0,230 0,288 0,345 0,403 0,460 0,518 0,575
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• Armadura longitudinal máxima
Asmax = 4% Ac sendo: Ac = bw h
Sendo AsTOTAL a soma de todas as áreas de armaduras longitudinais na seção, ou
seja:

AsTOTAL = As + Asmin → Armadura Simples
AsTOTAL = Asmin + Asmin → Armadura Simples
ou
AsTOTAL = As + As
′ → ArmaduraDupla
Tem-se que, obrigatoriamente
AsTOTAL ≤ Asmax ou Asmax ≥ AsTOTAL
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Exemplos:
1. Calcule a armadura As de tração para uma seção sujeita ao momento fletor
positivo de 414, 00 tf.cm, sendo conhecidos: γc = γf = 1, 4, fck = 200 kgf/cm
2, aço
CA-50; a seçã tem dimensões bw = 0, 20 m e h = 0, 40 m com o cobrimento da
armadura igual a 2, 0 cm.
Solução: → considera–se a altura útil como
d = h− cobrimento = 40− 2 = 38 cm
→ Para aço CA-50 fyd = 4, 35 tf/cm2
10 PASSO Cálculo do coeficiente k6:
k6 =
(1, 4/γc) bw d
2
(γf/1, 4) Mk
=
(1, 4/1, 4) x 20 x 382
(1, 4/1, 4) x 414
= 69, 7585 cm2/tf
20 PASSO Cálculo do coeficiente kx:
kx = 1, 25−
√
1, 5625− 7, 2059
k6 fck
= 1, 25−
√
1, 5625− 7, 2059
69, 7585 x 0, 200
= 0, 2273
Como kx = 0, 2273 < kxlim = 0, 6284 =⇒ Armadura Simples!!!
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30 PASSO Cálculo do coeficiente k3:
k3 =
1, 4
fyd (1− 0, 4 kx)
=
1, 4
4, 35 (1− 0, 4x0, 2273)
= 0, 3540 cm2/tf
40 PASSO Cálculo da armadura As:
As = k3 (
γf
1, 4
) (
Mk
d
) = 0, 3540 (
1, 4
1, 4
) (
414, 00
38
) = 3, 8567 cm2
Duas verificações necessariamente têm que ser realizadas:
1. Armadura mı́nima
Asmin = ρmin Ac = 0, 150% x (20 x 40) = 1, 20 cm
2
Como Asmin < As (a armadura calculada), a armadura
total na seção será:
AsTOTAL = As + Asmin
= 5, 0567 cm2
2. Armadura máxima
Asmax = 4% Ac = 4% x (20 x 40) = 32, 00 cm
2
Como AsTOTAL < Asmax as armaduras empregadas na seção são aquelas calculadas e
representadas na figura esquemática ao lado.
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