Questão resolvida - Calcule o gradiente e a matriz Hessiana de cada uma das funções seguintes_ a) f(x,y) xarctan(y) - Universidade Federal do Pará - Cálculo I

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• 1. Calcule o gradiente e a matriz Hessiana de cada uma das funções seguintes: 
 
a)f x, y = xarctan y ( ) ( )
 
Resolução:
 
O gradiente de é dado por;f x, y( )
 
𝛻f x, y = ⟨ , ⟩( )
𝜕f
𝜕x
𝜕f
𝜕y
 
Assim, fazemos as derivadas parciais em relação a x , y;
 
f x, y = xsen yz = arctan y ; =( ) ( ) →
𝜕f
𝜕x
( )
𝜕f
𝜕y
x
1 + y2
 
Com isso, o gradiente de é;f
 
𝛻f x, y, z = ⟨xsen yz , ⟩( ) ( )
x
1 + y2
 
A matriz Hessina de uma função é dada por;
 
H =f
𝜕 f
𝜕x
2
2
𝜕 f
𝜕x𝜕y
2
𝜕 f
𝜕y𝜕x
2
𝜕 f
𝜕y
2
2
 
 
(Resposta 1)
Assim, primeiro, é preciso obter todas as derivadas de segunda ordem de , como feito na f
sequência;
 
Em relação a x;
 
2° derivada = arctan y = 0→
𝜕f
𝜕x
( ) ⏫⏪⏪⏪⏪⏪em relação a x
𝜕 f
𝜕x
2
2
 
2° derivada = arctan y =→
𝜕f
𝜕x
( ) ⏫⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪em relação a y
com a primeira derivada(
em relação a x)
𝜕f
𝜕x𝜕y
1
1 + y2
 
Em relação a y;
 
2° derivada = = x 1 + y = - 1 ⋅ x 1 + y ⋅ 2y→
𝜕f
𝜕y
x
1 + y2
2 -1
⏫⏪⏪⏪⏪⏪em relação a y
𝜕 f
𝜕y
2
2
2 -1
 
= -
𝜕 f
𝜕y
2
2
2xy
1 + y2
 
2° derivada = 3x y =→
𝜕f
𝜕y
2 2
⏫⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪em relação a x
com a primeira derivada(
em relação a y)
𝜕f
𝜕y𝜕x
1
1 + y2
Com isso, a matriz Hessina de é:f x, y( )
 
H =f
0
1
1 + y2
-
2xy
1 + y2
1
1 + y2
 
 
2° derivada
2° derivada
2° derivada
2° derivada
(Resposta - 2)