AV1 - Estruturas Algébricas - 2023 UNOPAR

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AV1 – ESTRUTURAS ALGÉBRICAS
1) A partir do conjunto D = {0, 1, 2} foi definida uma operação * cuja tábua de operações é dada no que segue:
A respeito dessa operação, analise as seguintes afirmações:
I. A operação * apresenta a propriedade comutativa.
II. O elemento neutro da operação * é o 0.
III. Todos os elementos de D são regulares em relação à operação *.
IV. O número 2 é um elemento simetrizável em relação à operação *.
Está correto o que se afirma apenas em:
Alternativas:
· a) I e II.
· b) I e III.
· c) II e IV. Alternativa assinalada
· d) I, II e III.
· e) II, III e IV.
2) As operações binárias, definidas sobre conjuntos não vazios, podem apresentar diferentes propriedades, desde que estas sejam válidas a todos os elementos considerados. Nesse contexto, analise as seguintes afirmações e a relação proposta entre elas:
I. A operação de adição definida sobre o conjunto das matrizes reais quadradas de ordem 2, ou , apresenta a propriedade associativa e existência de elemento neutro, mas não é comutativa.
PORQUE
II. Existem matrizes de , como é o caso de  e , tais que .
Agora, assinale a alternativa correta:
Alternativas:
· a) As afirmações I e II estão corretas, e a II complementa a I.
· b) As afirmações I e II estão corretas, mas a II não complementa a I.
· c) A afirmação I está correta e a II, incorreta.
· d) A afirmação II está correta e a I, incorreta. Alternativa assinalada
· e) As afirmações I e II estão incorretas.
3) Considere os conjuntos descritos a seguir:
Em relação a esses conjuntos, e considerando as operações definidas entre conjuntos, julgue as seguintes afirmações, classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F):
Assinale a alternativa que indica a sequência correta:
Alternativas:
· a) V – V – F – F.
· b) V – F – V – F.
· c) V – F – V – V. Alternativa assinalada
· d) F – F – V – V.
· e) F – V – F – F.
4) A estrutura de grupo é composta por um conjunto não vazio K, munido de uma operação binária *, a qual apresenta diversas propriedades. Podemos construir múltiplas estruturas desse tipo, considerando várias opções de conjuntos e de operações.
Diante desse tema, analise as estruturas indicadas a seguir:
I. Conjunto de números naturais munido da operação de adição usual.
II. Conjunto de números inteiros munido da operação de multiplicação usual.
III. Conjunto de matrizes quadradas de ordem 2 com entradas reais munido da adição usual.
IV. Conjunto de números racionais não nulos munido da operação de multiplicação usual.
V. Conjunto das classes de resto dos inteiros módulo 3 (Z3) munido da operação de adição usual.
Quais das estruturas apresentadas podem ser classificadas como grupos abelianos?
Alternativas:
· a) Apenas I e III.
· b) Apenas II e V.
· c) Apenas III e IV.
· d) Apenas I, II e III.
· e) Apenas III, IV e V. Alternativa assinalada
5) Para analisar uma estrutura algébrica definida a partir de um conjunto finito e uma operação, podemos empregar o estudo da tábua de operação correspondente com o intuito de verificar a possibilidade de classificação, por exemplo, como grupo abeliano.
Nesse contexto, suponha que a partir do conjunto A = {0, 1, 2, 3} foi definida uma operação binária Δ cuja tábua de operações é dada por:
Quais números devem ocupar as posições marcadas pelas letras a, b e c na tábua para que a estrutura (A, Δ) seja classificada como um grupo abeliano?
Alternativas:
· a) a = 1; b = 2; c = 3.
· b) a = 1; b = 3; c = 1.
· c) a = 2; b = 3; c = 1. Alternativa assinalada
· d) a = 2; b = 1; c = 3.
· e) a = 3; b = 1; c = 3.