Questão resolvida - Questão n 11- Seja a função f(x) abaixo, responda o que se pede c) f(5), d) A função é contínua em x5_ Explique sua resposta - Cálculo I - Universidade Estácio de Sá

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Questão nº 11- Seja a função abaixo, responda o que se pede.f x( )
 
f x =( ) x
- 5, se x < 52
5x, se x ⩾ 5
a) f xlim
x 5→ -
( )
 
b) f xlim
x 5→ +
( )
 
c) f 5( )
 
d) A função é continua em ? Explique sua resposta.x = 5
 
Resolução:
 
Inicialmente, vamos esboçar a curva definida por 2 sentenças, iniciando pela função de f x( )
cima, a parábola que representa a função para valores menores que 5;
 
f x = x - 5( ) 2
 
A equação 1 se trata de parábola com concavidade voltada para cima, vamos subtituir alguns 
valores para conhecer seu comportamente;
 
se x = 0 f 0 = 0 - 5 f 0 = 0 - 5 f 0 = - 5→ ( ) ( )2 → ( ) → ( )
 
Logo, a função toca o eixo y em - 5
 
se y = 0 0 = x - 5 x - 5 = 0 x = 5 x = ±→ 2 → 2 → 2 → 5
 
Se x = 5 f 5 = 5 - 5 f 5 = 25 - 5 f 5 = 20→ ( ) ( )2 → ( ) → ( )
 
 
(1)
Assim, a parte da função para é como visto no esboço a seguir;x < 5
 
 
Já para , é uma reta crescente que passa na origem, com uma inclinação x ⩾ 5 f x( ) a > 0
de 5 unidades. No ponto de abcissa , temos;x = 5
 
x = 5 f 5 = 5 ⋅ 5 f 5 = 25→ ( ) → ( )
 
 
 
-15 -10 -5 5 10 15 20 25 300
-5
5
10
15
20
25
f x = x - 5( ) 2
x
y
⚪
Com isso, temos que o gráfico de fica;f x( )
 
 
 
-15 -10 -5 5 10 15 20 25 30 350
-5
5
10
15
20
25
30
f x = x - 5( ) 2
y
⚪
●
f x = 5x( )
a)
Vamos analisar o limite da função pela esquerda, se aproximando de ;x = 5
Observando o esquema, esse limite é dado por;
 
f x = x - 5 = 5 - 5 = 25 - 5lim
x 5→ -
( ) lim
x 5→ -
2 2
 
f x = 20lim
x 5→ -
( )
 
 
-15 -10 -5 5 10 15 20 25 30 350
-5
5
10
15
20
25
30
f x = x - 5( ) 2
y
⚪
●
f x = 5x( )
(Resposta - a)
Agora, vamos analisar o limite da função quando se aproxima de pela direita;x = 5
Observando o esquema, esse limite é dado por;
f x = x - 5 = 5 ⋅ 5lim
x 5→ +
( ) lim
x 5→ +
2
 
f x = 25lim
x 5→ +
( )
A bola cheia no gráfico indica que o ponto de abcissa pertence ao intervalo superior x = 5
da função , portanto;f x( )
 
f 5 = 25( )
Para a função ser contínua em um ponto com é preciso satisfazer 3 condições;x = a
 
 1 f a tem que existir) ( )
 
 2 f x tem que existir) lim
x→a
( )
 
 3 e devemos ter f x = f a) lim
x→a
( ) ( )
 
 
-15 -10 -5 5 10 15 20 25 30 350
-5
5
10
15
20
25
30
f x = x - 5( ) 2
y
⚪
●
f x = 5x( )
fx
(Resposta - b)
(Resposta - c)
Perceba que o limite para não existe, pois;x = 2
 
f x ≠ f xlim
x 5→ -
( ) lim
x 5→ +
( )
 
Logo, a função é descontínua!
 
 
(Resposta - d)