Colaborar - Av1 - Cálculo Diferencial e Integral III

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Av1 - Cálculo Diferencial e Integral III
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Informações Adicionais
Período: 31/07/2023 00:00 à 28/08/2023 23:59
Situação: Cadastrado
Tentativas: 1 / 3
Pontuação: 2500
Protocolo: 928853060
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1)
a)
b)
c)
d)
e)
2)
a)
b)
c)
As superfícies podem ser definidas como conjuntos de pontos (x,y,z) do espaço cartesiano que satisfazem a uma
equação da forma f(x,y,z) = 0, sendo f uma função contínua. A partir dessas estruturas, podemos fazer diversos
estudos, como por exemplo o do plano tangente.
Seja uma superfície S descrita pela equação z = 3x² + y².
Qual é a equação do plano tangente a essa superfície, passando pelo ponto P(0,-1,2)?
Alternativas:
3x + 2y + z = 0
y - z + 2 = 0
-2y + z - 4 = 0 Alternativa assinalada
x - 2y - z + 4 = 0
6x + 2y + 1 = 0
As integrais triplas são estudadas a partir de funções de três variáveis e de regiões definidas no espaço
cartesiano. Para o cálculo desse tipo de integral, utilizamos as técnicas e resultados das integrais definidas em
conjunto com integrais iteradas.
Considere a função de três variáveis definida por f(x,y,z) = 2x - y + 4z.
Qual é o resultado da integral tripla da função f(x,y,z) calculada sobre a região de integração R = [0,1]x[2,3]x[-1,1]?
Alternativas:
-3 Alternativa assinalada
-1
0
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d)
e)
3)
a)
b)
c)
d)
e)
4)
a)
b)
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5)
4
9
Para o cálculo de integrais triplas podemos empregar o sistema de coordenadas cartesianas tradicionais, mas
também podemos optar pelo uso de coordenadas cilíndricas ou esféricas, de acordo com o formato da região de
integração.
Considere um cilindro construído ao longo do eixo z, de equação x² + y² = 9. Limita-se esse cilindro inferiormente
pelo plano xy e superiormente pelo plano 2x + 2y + 5z = 10.
Com base nessas informações, assinale a alternativa que indica corretamente o volume da região limitada pelo
cilindro e pelos planos apresentados:
Alternativas:
2π
18π Alternativa assinalada
18/5
π/108
108π/5
Uma das aplicações para o cálculo de integrais múltiplas é o estudo de massa e centro de massa associados a
regiões multidimensionais.
Nesse contexto, seja, no espaço cartesiano, a região S limitada superiormente pelo plano 2x + 3y + z - 6 = 0 e
inferiormente pelo plano coordenado xy e dentro da região em que 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1.
Se a densidade dessa região S é dada por ρ(x,y,z) = 3xy, qual é a massa dessa região S?
Alternativas:
-4
0
1
2 Alternativa assinalada
6
Uma das aplicações da integral tripla consiste no cálculo do volume de regiões tridimensionais. Para isso, é
necessário construir corretamente a descrição para os limites de integração conforme a estrutura da região em
estudo.
Diante desse tema, considere o sólido tridimensional limitado superiormente pela superfície z = 4 - x² - y²,
inferiormente pelo plano coordenado xy, e dentro do círculo de centro na origem e raio 2.
Qual é o volume ocupado pelo sólido descrito?
Alternativas:
a)
b)
c)
d)
e)
32/3
16/3
4π
8π Alternativa assinalada
4