FMMA_ALGARISMOS_SIGNIFICATIVOS_AULA_5_E_6

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Disciplina: Metrologia Aplicada
Aula – FMMA
Prof. Dr.(ando) Edilson A Rodrigues
Fabricação Mecânica e Metrologia Aplicada
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ALGUMAS UNIDADES DE COMPRIMENTO USADAS NA INGLATERRA 
metrologia aplicada
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
A jarda era a distância entre 
a ponta do nariz do rei e a 
extremidade de seu dedo 
médio, com o braço esticado 
na horizontal.
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Precisão do instrumento de medida
Quando se faz uma medida, deve-se escolher o instrumento de medida cuja unidade seja 
coerente com o “tamanho” da grandeza observada.
Por exemplo:
 Para se medir a distância entre duas cidades: é conveniente usar o quilômetro
 Para medir a distância entre estrelas é conveniente usar unidades astronômicas: ano-luz.
 A precisão de um instrumento de medida fornece uma certa quantidade de algarismos 
significativos 
 Para obter uma medida com um maior número de algarismos significativos, é necessário 
que a mesma seja efetuada com instrumento mais preciso que a régua milimetrada. Por 
exemplo, um paquímetro com escala em décimos de milímetro. 
metrologia aplicada
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
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Precisão do instrumento de medida
 O resultado de uma medida fornece informação sobre a escala do instrumento adotado.
 A medida (exemplo da régua) = 11,3 cm, está sinalizando que a escala da régua é o 
centímetro, pois o algarismo duvidoso está na primeira casa decimal (algarismo 3)
11,3cm = 0,113m
Neste caso, a escala seria em metros?
Certamente não! Pois a mudança de unidades não pode afetar a quantidade de algarismos 
significativos obtidos na medida, sob a pena de estar alterando a medida.
 Observe que, se a medida for escrita 0,113 m, o algarismo duvidoso (sublinhado) continua 
na mesma posição: a casa dos décimos de centímetro e novamente, portanto, indicando 
que a escala da régua é em centímetros.
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ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
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ALGARISMO CORRETO E ALGARISMO DUVIDOSO
metrologia aplicada
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Régua “centimetrada” – menor divisão de escala u = 1cm
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Considere três réguas, cada uma com diferentes unidades de comprimento: 
decímetros, centímetros e milímetros, para medir uma tira de papel em negrito
 Obtém-se as seguintes leituras:
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ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
 Algarismos significativos de uma medida são aqueles que temos plena certeza, mais um 
duvidoso. 
 Obviamente, qualquer algarismo que for colocado à direita do duvidoso não é significativo e, 
portanto, não deve ser considerado. 
 O algarismo duvidoso é significativo, e está diretamente ligado à escala do instrumento de 
medida. De fato, o algarismo duvidoso é um indicativo da escala do instrumento de medida.
 Quando o valor de uma medida é apresentado, há uma convenção: no número que representa a 
medida, o último algarismo da direita é duvidoso e os outros são certos. Por exemplo, suponha 
que o número que representa uma medida seja 3,74, temos:
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ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
A medida de uma grandeza nunca é totalmente precisa, sempre traz uma incerteza. Uma 
das razões é a precisão dos instrumentos de medida. 
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Pode-se perguntar:
 “E se a extremidade do objeto coincidisse exatamente com um dos traços da régua?” 
Neste caso fica mais fácil, pois o algarismo duvidoso é simplesmente o ZERO. 
Por exemplo, a leitura poderia ser 1,0 dm, ou 10,0 cm, ou 100,0 mm, neste caso muito 
especial. 
Alguém ainda pode dizer: “As calculadoras não registram os zeros à direita da vírgula 
quando fazem cálculos. Isto significa que os zeros à direita não são significativos?” 
As calculadoras efetivamente desconsideram esses zeros, até por economia, mas veremos 
adiante que os zeros à direita são imprescindíveis e, portanto, precisam e devem ser 
considerados. 
Os zeros à esquerda, porém, não são significativos. 
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Precisão do instrumento de medida
 No caso particular da régua milimetrada, em que o zero é o algarismo duvidoso (o 
algarismo duvidoso é uma estimativa do valor entre dois traços indicativos de 
milímetros), 
 Por exemplo: 
 100,0 mm; a mudança de unidades não pode modificar a quantidade de algarismos 
significativos obtidos na medida (quatro), então, deveremos ter em metros: 100,0 mm = 
0,1000 m ; portanto, continuam os mesmos quatro algarismos significativos! 
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ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
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ALGARISMO CORRETO E ALGARISMO DUVIDOSO
 Supondo que seja efetuada uma medição de um segmento de reta, utilizando para isso uma régua 
graduada em centímetros;
 Observa-se que o segmento de reta tem um pouco mais de vinte e sete centímetros e menos que 
vinte e oito centímetros;
 Então, você estima o valor desse "pouco" que ultrapassa vinte e sete centímetros, expressando o 
resultado da medição assim: 27,6 centímetros;
 Ou seja, você tem dois algarismos corretos (2 e 7) e um duvidoso (6), porque este último foi 
estimado por você - um outro observador poderia fazer uma estimativa diferente.
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ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
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SIGNIFICADOS DO ZERO, À ESQUERDA E À DIREITA
Zeros à esquerda do primeiro algarismo correto, antes ou depois da vírgula, não são 
significativos. Refletem apenas a utilização da unidade, ou seus múltiplos e 
submúltiplos.
Expressar o resultado 0,0595m em centímetros, ao invés de metros, escreve-se 5,95cm. 
Nada se altera, continua com os mesmos três algarismos significativos.
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ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
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O resultado de uma medição expressa o valor de uma grandeza física. É 
muito importante saber distinguir o valor efetivamente obtido no processo 
de medição, daqueles decorrentes de cálculo ou arredondamento 
numérico. 
Assim, dado o resultado de uma medição, os algarismos significativos 
são todos aqueles contados, da esquerda para a direita, a partir do 
primeiro algarismo diferente de zero.
45,30cm – tem quatro algarismos significativos;
0,0595 – tem três algarismos significativos;
0,0450 kg – tem três algarismos significativos
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ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
metrologia aplicada
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
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ZEROS COLOCADOS À DIREITA DO RESULTADO DA MEDIÇÃO - são significativos.
Analisar os resultados 0,0450kg e 0,045kg
 O resultado 0,0450kg é diferente de 0,045kg
 O primeiro resultado tem três algarismos significativos, enquanto o segundo só tem dois.
 No primeiro caso, o zero à direita é o algarismo duvidoso, enquanto no segundo caso o 
algarismo duvidoso é o cinco.
 Isso significa que houve maior exatidão de medição no processo para se obter o 
resultado 0,0450kg.
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TOLERÂNCIAS E AJUSTES
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QUAL A DIFERENÇA ENTRE PRECISÃO E EXATIDÃO?
Todas as medidas realizadas experimentalmente possuem certa variação ou erro 
experimental. Dependendo do erro da medida, esse erro pode afetar a exatidão ou a 
precisão das medidas.
 Exatidão: refere-se ao quanto uma medida se aproxima do seu valor “real” ou de 
referência, isto é, valor aceito na literatura como verdadeiro.
 Precisão: refere-se a quão próximo diversos valores de uma medida estão entre si
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QUAL A DIFERENÇA ENTRE PRECISÃO E EXATIDÃO? 
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ZEROS COLOCADOS À DIREITA DO RESULTADO DA MEDIÇÃO - são significativos.
Influência dos cálculos
 Supondo três medições de massa de um mesmo corpo em uma balança de leitura digital 
que apresenta o resultado em gramas, obtém-se os seguintes valores: 
 5202g; 
 5202g e 
 5203g. Todos os resultados com quatro algarismos significativos.
 Para apresentar o resultado da medição, você resolveu fazer a média entre as três 
leiturasobtidas, utilizando três casas decimais para o cálculo:
 5202g + 5202g + 5203g = 15607g : 3 = 5202,333g
•
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TOLERÂNCIAS E AJUSTES
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ZEROS COLOCADOS À DIREITA DO RESULTADO DA MEDIÇÃO - são significativos.
Influência dos cálculos
 apresentar como resultado da medição o valor 5202,333g, sem qualquer informação 
adicional, você o estará falseando, pois este exibe sete algarismos significativos. 
 o resultado apresentado não é resultante apenas do processo de medição, mas foi 
influenciado pelo cálculo com três casas decimais. 
 Você passará a informação de que a medição foi realizada com exatidão muito superior 
ao que de fato ocorreu no processo de medição. 
 O correto é dar o resultado com a mesma quantidade de significativos da medição 
realizada: 5202g (quatro significativos).
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TOLERÂNCIAS E AJUSTES
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ZEROS COLOCADOS À DIREITA DO RESULTADO DA MEDIÇÃO - são significativos.
Influência dos cálculos – imagine agora o contrário
 Pegando o mesmo exemplo, digamos que você tenha decidido apresentar o resultado da 
medição em quilogramas, ou seja, 5,202kg. 
 Aí você resolve arredondar o valor obtido para 5,2kg. Esse resultado apresenta apenas 
dois algarismos significativos e expressa uma exatidão inferior àquela obtida pelo 
processo de medição. 
 Assim, a maneira correta de apresentar esse resultado é 5,202kg, portanto com os 
mesmos 4 significativos originais.
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NOTAÇÃO CIENTÍFICA
Escreve-se o número referindo-se à potência de dez, com a particularidade de se conservar 
à esquerda da vírgula, apenas um dígito, diferente de zero.
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Algarismos Significativos de uma Medida 
No processo de medir participam: o objeto (grandeza) a ser medido, o instrumento de medição (e seu 
funcionamento), a unidade padrão utilizada e o experimentador (responsável pela execução dos 
procedimentos de operação para fazer as leituras na escala do instrumento). 
A medida é direta quando o valor desconhecido da grandeza é comparado diretamente com o valor 
padrão da grandeza. Consideremos que Lx seja a largura de uma parede que é comparada com o 
metro padrão, o resultado da comparação será a medida direta do valor de Lx, por exemplo, Lx = 4,3 
m. 
A medida indireta é realizada efetuando-se operações matemáticas com as medidas diretas. 
Consideremos que Hx seja a altura dessa parede, que é comparada com o metro padrão, o resultado 
da comparação será a medida direta do valor de Hx., por exemplo, Hx = 2,6 m.
Neste caso, a área da parede será obtida através da operação matemática (multiplicação) entre as 
medidas diretas, portanto, será uma medida indireta, isto é, área da parede = Lx x Hx = 4,3 m x 2,6 m = 
11,18 m2 = 11,2 m2
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TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES
 Considere que é medido o comprimento lf de um fio de linha, utilizando as réguas, e são 
obtidos os seguintes valores: 
 transformar as unidades destas medidas não pode alterar a quantidade de algarismos 
significativos. Então, como podemos expressar estas medidas em m, dam, hm, km, ou outras 
unidades maiores do que aquelas fornecidas pelas réguas? 
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TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES
Observe que a grandeza medida é a mesma, isto é, o comprimento de um fio de linha, assim, 
independentemente da unidade, o número de algarismos significativos obtidos através de cada 
instrumento de medida deve ser mantido. 
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Transformar as unidades das medidas do comprimento do fio de linha não pode alterar a 
quantidade de algarismos significativos obtidos. Então, como podemos expressar essas medidas 
em cm, mm, µm, nm, Å (1 Å = 1x-10 m), ou outras unidades menores do que aquelas fornecidas 
pelas réguas? Observe, novamente, que a grandeza medida é a mesma, isto é, o comprimento de 
um fio de linha. Assim, independentemente da unidade, o número (ou quantidade) de algarismos 
significativos deve ser mantido. Como? Multiplicando por potência de 10
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TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES
 transformar para mm a unidade da medida feita com a régua decimetrada (18,7 dm). Neste caso, 
dm → mm,
somos tentados a colocar zeros à direita, isto é, 18,7 dm = 1870 mm (errado!) 
Procedendo assim, a quantidade de algarismos significativos da medida fornecida pela 
régua decimetrada de três (18,7 dm) para quatro (1870 mm = 18,70 dm), como se a medida fosse 
realizada com uma régua centimetrada, o que é falso!
Portanto: 18,7 dm = 187 x 10 mm (correto!)
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TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES
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EXEMPLOS:
 Veja nas tabelas abaixo alguns exemplos de medidas e a quantidade de algarismos 
significativos em cada uma. 
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NOTAÇÃO CIENTÍFICA
Pontos importantes:
 Considere as seguintes medidas: 30 dm, 300 cm, e 3000 mm. 
 Ainda que representem a mesma dimensão, aparecem escritas com diferentes números (ou 
quantidades) de algarismos significativos, respectivamente, dois, três e quatro. Como vimos, isto 
é o resultado de uma medição feita com diferentes réguas, ou instrumentos de medida. 
 Quando está escrito que algo mede 3000 mm, está assegurada a precisão da medida na ordem 
do milímetro, lembrando que o último zero à direita (3000 mm) é o algarismo duvidoso e, portanto, 
a medida foi feita com uma régua centimetrada. 
 785,4 = 7,854 x 102. Ambos têm os algarismos 7854 seguidos, a potência de dez apenas moverá 
a vírgula, que não afeta a quantidade de algarismos significativos. 
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NOTAÇÃO CIENTÍFICA
Pontos importantes:
 Podem ser empregadas distintas unidades para expressar medidas, porém, deve ser mantido o 
mesmo número de algarismos significativos. 
 Portanto, as medidas: 30 dm, 300 cm, e 3000 mm, podem ser escritos em potências de 10.
30 x 10 5 µm,
300 x 10 4 µm, 
3000 x 103 µm 
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NOTAÇÃO CIENTÍFICA
Alguns exemplos de medidas expressas em notação científica, e a 
quantidade de algarismos significativos
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NOTAÇÃO CIENTÍFICA
Escrevendo a medida em notação científica somente aparecem os algarismos significativos. 
Por exemplo:
 considere a medida feita com régua decimetrada: 18,7 dm , transformada para km, isto é:
18,7 dm = 0,00187 km
Em notação científica fica 18,7 dm = 1,87 x 10-3 km
 Portanto, constam apenas os três algarismos significativos obtidos na medida, aqueles que se tem 
certeza mais o duvidoso, de modo que os zeros à esquerda, que não são significativos, 
desaparecem, mesmo mudando a unidade! 
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A notação científica facilita a transformação de unidades, o que pode ser verificado 
através dos seguintes exemplos. 
 1,576 cm2 = 0,00000001576 hm2 ou 
 1,576cm2 = 1,576 (1 cm)2 = 1,576 (1 x 10-4 hm)2 = 1,576 x 10-8 hm2
 984,7 mm3 = 984,7 (1 mm)3 = 984,7 (1 x 10-3)3 = 984,7 x 10-9 m3 = (9,847 x 102) 
x 10-9 m3 = 9,847 x 10-7 m3
 1,3 km/h = 1,3 (1 km)/(1 h) = 1,3 (1 x 103 m)/(3600s) = 0,36111...m/s = 0,36m/s 
= 3,6 x 10-1 m/s
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A notação científica facilita a transformação de unidades, o que pode ser verificado 
através dos seguintes exemplos. 
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NÚMEROS SIGNIFICATIVOS
 Qual o número de algarismos significativos nas seguintes medidas?
 Observação importante:
 Não conta potência de 10
 Não conta zero à esquerda
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5,70kg 7,00kg
3,4g 3,412 x 10-3 kg
0,03040kg 8,0460 x 103 kg
10,4 kg 4 x 10-3 kg
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ADIÇÃO
Considere que, usando réguas graduadas em decímetros, centímetros e milímetros, foram medidos os 
comprimentos de algumas tábuas: 2355,1 mm; 11,1 dm; 117,3 cm; 13,5 mm; 3,4 dm; 77,5 cm e 813,3 
mm. Qual é o comprimento total dessas tábuas? 
 Transformar todos os dados para a mesma unidade. 
 Neste caso, a unidade de maior ordem é o dm, então, transformamos para o dm ou outra unidade 
superior, por exemplo, o m. Isto é: 2,3551 m, 1,11 m, 1,173 m, 0,0135 m, 0,34 m, 0,775 m e 0,8133 
m. Logo,
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ADIÇÃO
Note que o algarismo duvidoso aparece sublinhado em cada medida, e quando ele participa da soma 
em uma casa decimal, o resultado naquela casa decimal também é duvidoso, portanto, o algarismo 
correspondente também está sublinhado. 
Mas, o resultado da soma só pode ter um algarismo duvidoso, o “menos duvidoso de todos”, que é o 
primeiro algarismo duvidoso à esquerda (no caso, o número 7). Despreza-se, então, tudo o que vem 
após o 7, ou seja, | 99 , e arredonda-se o resultado. 
6,57 | 99 está mais próximo de 6,58 do que de 6,57. 
 o resultado da adição (6,58 m) tem seu algarismo duvidoso na casa dos centímetros. 
 a soma não pode ter maior precisão do que a fornecida pela régua de menor precisão (no caso, a 
decimetrada). 
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REGRAS DE ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO:
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ADIÇÃO
 outro procedimento: como fica o resultado da adição de diferentes medidas?
 Para tanto, escreve-se cada medida em duas partes: aquela que se tem certeza, mais a parte 
duvidosa:
 (2,355 m + 0,0001 m) + (1,10 m + 0,01 m) + (1,17 m + 0,003 m) + (0,013 m + 0,0005 m) + (0,30 m 
+ 0,04 m) + (0,77 m + 0,005 m) + (0,813 m + 0,0003 m) =
 (2,355 m + 1,10 m + 1,17 m + 0,013 m + 0,30 m + 0,77 m + 0,813 m) + (0,0001 m + 0,01 m + 
0,003 m + 0,0005 m + 0,04 m + 0,005 m + 0,0003 m) = (6,521 m) + (0,0589 m) = 
 (6,521 m) + (0,0589 m) = 
 6,5799 m = 6,58 m 
 Novamente, a parte duvidosa do resultado da soma foi reduzida ao “algarismo menos duvidoso” (o 
número 8 na segunda casa decimal, após o arredondamento). 
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ADIÇÃO
2,3876 4 casas decimais e 5 algarismos significativos
3,456 3 casas decimais e 4 algarismos significativos
4,3 1 casa decimal e 2 algarismos significativos
10,1436 436 (não são algarismos significativos)
Portanto, o resultado final da medida será 10,1, lembrando que o componente com menor 
número contém apenas uma casa decimal
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REGRAS DA MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
“Para a multiplicação e divisão, o produto ou o quociente deve ter o mesmo número de 
algarismos significativos do fator com menor quantidade de algarismos significativos”
Exemplos:
 33,314 cm x 26,0 cm = 866,164cm2 = 866cm2
 32,794cm2 x 3,1cm = 101,6614 cm3 = 1,0 x 102 cm3
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MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
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MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
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ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS – NOTAÇÃO CIENTÍFICA
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REGRAS DE ARREDONDAMENTO
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EXERCÍCIO:
Um professor de física levou seus alunos para o laboratório e ofereceu-lhes vários
instrumentos de medida com a finalidade de avaliar a capacidade de seus alunos de lerem
corretamente as medidas feitas, levando em conta a precisão dos instrumentos. Entre
esses instrumentos, havia uma régua milimetrada para cada grupo medir a largura de suas
folhas de sulfite. Foram escolhidos cinco grupos para apresentarem suas conclusões e
apenas um grupo fez a correta leitura de sua medida. A alternativa correspondente a essa
leitura é:
a. 21,250cm
b. 21,35cm
c. 21,4cm
d. 22,0cm
e. 22cm
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TOLERÂNCIAS E AJUSTES
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EXERCÍCIO:
Um professor de física levou seus alunos para o laboratório e ofereceu-lhes vários 
instrumentos de medida com a finalidade de avaliar a capacidade de seus alunos de lerem 
corretamente as medidas feitas, levando em conta a precisão dos instrumentos. Entre 
esses instrumentos, havia uma régua milimetrada para cada grupo medir a largura de suas 
folhas de sulfite. Foram escolhidos cinco grupos para apresentarem suas conclusões e 
apenas um grupo fez a correta leitura de sua medida. A alternativa correspondente a essa 
leitura é:
a. 21,250cm
b. 21,35cm
c. 21,4cm
d. 22,0cm
e. 22cm
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UNIDADE DAS GRANDEZAS
No estudo da Física, várias unidades são usadas para medir essas grandezas. Por exemplo:
 A grandeza comprimento pode ser medida em metros, centímetros, quilômetros e etc.
 A grandeza massa pode ser medida em gramas, quilôgramas, toneladas e tc.
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ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
A maioria dos países usa as mesmas unidades para medir as grandezas, mas não foi 
sempre assim. Até o fim do século XVIII, reinava a confusão. Não havia uniformidade 
nas unidades de comprimento, área, volume e massa usadas pelos países e nem 
mesmo dentro de um país, pois cidades diferentes frequentemente usavam unidades 
diferentes. Por exemplo, uma das unidades de comprimento usadas em Paris era a 
toise, equivalente a 6 pés do rei.
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Essa desuniformidade causava vários problemas e um deles era o que aparecia 
no momento de praticar o comércio entre cidadãs ou países
A confusão começou a ser resolvida na França, durante a Revolução Francesa. Em 1791, a
Assembleia Constituinte propôs à Academia Francesa de Ciências que trabalhasse numa
padronização das unidades de medida. A Academia aceitou o desafio e formou um comitê
formado por eminentes cientistas para realizar o trabalho (entre esses cientistas estavam
Lavoisier, Lagrange e Laplace). A Inglaterra e os Estados Unidos foram convidados a mandar
representantes para compor o comitê, mas recusaram (eles não acreditaram que fosse possível
realizar a tarefa).
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SISTEMA MÉTRICO DECIMAL
Antes, na Inglaterra era:
O uso da base para indicação dos múltiplos e submúltiplos foi uma novidade.
 Inicialmente foram estabelecidas as unidades de comprimento (o metro), área, volume 
 e massa (o quilograma)
 Com o passar do tempo, outros países foram adotando o sistema de unidades criado na 
França. O Brasil adotou o SI em 1893.
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POTÊNCIAS DE 10
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EXERCÍCIOS
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O SI atribui nomes a algumas 
potências de 10: são os prefixos, que 
estão relacionados na tabela ao lado
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metrologia aplicada
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O SI atribui nomes a algumas 
potências de 10: são os prefixos, que 
estão relacionados na tabela ao lado
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sorocabaPREFIXOS DO SI
metrologia aplicada
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
O SI atribui nomes a algumas 
potências de 10: são os prefixos, que 
estão relacionados na tabela ao lado