Lista da Unidade I

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Universidade Federal de Viçosa
Centro de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
Lista da Unidade I de MAT 147 - Cálculo II
2023-2
1. Determine os limites se existirem:
(a) lim
x→+∞
(
1 +
1
2x
)x2
(b) lim
x→0
senx
2x
(c) lim
x→+∞
(
x+ 1
x− 1
)x
(d) lim
x→+∞
arctanx√
x
(e) lim
x→0
ax − 1
x
, (0 < a 6= 1)
(f) lim
x→5
√
x− 1− 2
x2 − 25
(g) lim
x→−3
x2 + 2x− 3
2x2 + 3x− 9
(h) lim
x→0
senx− x
tanx− x
(i) lim
x→+∞
x2
lnx
(j) lim
x→0
e5x − 1
3x
(k) lim
x→0
x
1
lnx
(l) lim
x→+∞
(
1 +
a
x
)x
, a 6= 0
(m) lim
x→0
x e1/x
(n) lim
x→0
cot 2x cot
(π
2
− x
)
(o) lim
x→
π
2
(secx− tanx)
2. Calcule as seguintes integrais:
(a)
∫ +∞
0
x e−x
2
dx
(b)
∫ +∞
0
e−t sen t dt
(c)
∫ +∞
2
1
x2 − 1
dx
(d)
∫ 0
−∞
x e−x
2
dx
(e)
∫ ∞
−∞
1
4 + x2
dx
3. Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.
(a)
∫ +∞
1
1
x5 + 3x+ 1
dx
(b)
∫ +∞
1
cos 3x
x3
dx
(c)
∫ +∞
1
x2 + 1
x3 + 1
dx
(d)
∫ +∞
0
arctanx
x2 + 1
dx
*(e)
∫ +∞
0
e−st dt
*(f)
∫ +∞
0
e−stt2 dt
*(g)
∫ +∞
0
e−st sen(at) dt
*(h)
∫ +∞
0
e−st cos(at) dt
* Veremos, mais no final do curso, que os itens (e), (f), (g), (h) são as transformadas de Laplace das funções
1, t2, sin(at), cos(at), respectivamente.
1
4. Calcule, se existir, a área das regiões abaixo, limitas pelas curvas y, e pelos intervalos indicados:
(a) y =
1
(x− 1)2
, de 0 ≤ x < 1
(b) y =
1√
3− x
, de 0 ≤ x < 3
(c) y = sec2 x, de 0 ≤ x < π
2
(d) y =
1
(x+ 1)2/3
, de −2 ≤ x ≤ 7
(e) y =
x− 2
x2 − 5x+ 4
, de 2 ≤ x < 4
(f) y =
1
1− cosx
, de 0 ≤ x < π
2
(g) y = x−4/3, de −1 ≤ x ≤ 1
5. Estude a convergência da integral imprópria
∫ +∞
1
1
xp
dx, onde p é um número real qualquer.
6. Determine uma função f tal que lim
t→+∞
∫ t
−t
f(x)dx exista e
∫ +∞
−∞ f(x)dx seja divergente.
7. Um circuito elétrico tem uma resistência de R ohms, uma indutância de L henrys e uma força eletromotriz
de E volts, onde R, L e E são positivos. Se i ampères for a corrente passando no circuito t segundos depois
que foi ligado, então i =
E
R
(1− e−Rt/L). Se t, E e L são constantes, ache lim
R→0+
i
8. Numa progressão geométrica, se a for o primeiro termo, r for a razão comum a dois termos sucessivos e S for
a soma dos n primeiros termos, então se r 6= 1, S = a(r
n − 1)
r − 1
. Ache o lim
r→1
S. O resultado será consistente
com a soma dos n primeiros termos se r = 1?
9. Dê o termo de ordem n das sequências abaixo e verifique quais sequências convergem. As convergentes, dê o
limite. Escreva também o termo de ordem (n+ 1).
(a) (1, 4, 7, 10, ...)
(b)
(
1 +
1
2
, 1 +
3
4
, 1 +
7
8
, · · ·
) (c)
(
1,−1
2
,
1
3
,−1
4
,
1
5
, · · ·
)
(d)
(
2,
22
1 · 2
,
23
1 · 2 · 3
,
24
1 · 2 · 3 · 4
,
25
1 · 2 · 3 · 4 · 5
, · · ·
)
10. Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite:
(a) an =
n sen2 n
n5 + 1
;
(b) an =
√
2n+ 3−
√
2n− 3;
(c) an =
1
n
sen
(
3π
n2 + 1
)
;
(d) an = ln
√
n3 − n2;
(e) an = (−1)n
n
n+ 1
;
(f) an = n
2
(
1− cos a
n
)
, para a > 0;
(g) an =
an
n!
, para a ∈ R.
11. Considere a sequência an =
∫ n
1
1
xp
dx.
(a) Mostre que (an) não é limitada se p ≤ 1.
(b) Mostre que an −→
1
p− 1
se p > 1.
12. Use o teorema da convergência monótona para mostrar que a sequência
(
n!
nn
)
é convergente. Em seguida,
determine o limite desta sequência.
2
13. Considere a sequência de termo geral dado por an =
1 · 3 · 5 · 7 · · · (2n− 1)
2 · 4 · 6 · · · 2n
. Faça o que se pede:
(a) Exprima an+1 em função de an;
(b) Mostre que (an) é estritamente decrescente;
(c) Mostre que (an) é convergente.
14. Considere a sequência dada por
a1 = 2 e an+1 =
1
2
(an + 4), n ≥ 1.
(a) Determine os cinco primeiros termos desta sequência e o 101o termo.
(b) A sequência é monótona? Justifique!
(c) A sequência é convergente? Justifique!
15. Considere a série
+∞∑
n=1
1− n
2n+1
para resolver os itens abaixo.
(a) Encontre os três primeiros termos da sequência das somas parciais.
(b) Determine os números reais A,B que nos permite escrever
1− n
2n+1
=
n+A
2n+1
+
B n
2n
.
(c) Ache uma fórmula para a sequência das somas parciais {Sn}.
(d) Calcule lim
n→∞
Sn.
(e) A série converge? Justifique. Caso afirmativo, qual é a sua soma?
16. Justifique as seguintes igualdades:
(a)
+∞∑
n=1
1
n(n+ 1)
= 1 (b)
+∞∑
n=1
2n+ 1
n2(n+ 1)2
= 1 (c)
+∞∑
n=2
1
n2 − 1
=
3
4
17. Escreva as frações decimais 0, 412412412 · · · e 0, 021343434343 · · · como:
(a) uma série infinita; (b) encontre a soma da série e a escreva como o quoci-
ente de dois inteiros.
18. Determine se a série dada converge ou diverge:
(a)
+∞∑
n=1
2 + sen3n
n
;
(b)
+∞∑
n=1
n
√
n!;
(c)
+∞∑
n=1
3
n2 + n
.
19. Assinale V ou F, justificando suas respostas:
3
( ) Se
+∞∑
n=1
an converge e an > 0, ∀n ∈ N, então
+∞∑
n=1
√
an converge.
( ) Se
+∞∑
n=1
an e
+∞∑
n=1
bn são divergentes, então
+∞∑
n=1
(anbn) é divergente.
( ) Seja (Sn) a sequência de somas parciais de an. Se (Sn) é convergente, então lim
n→+∞
an = 0.
( ) Suponha que an > 0, ∀n ∈ N e que lim
n→+∞
an = 1 , então
+∞∑
n=1
an diverge.
( ) Sejam p(x) e q(x) polinômios com coeficientes inteiros em x, com q(n) 6= 0. Se o grau de p for menor
que de q, então
+∞∑
n=1
p(n)
q(n)
converge.
20. Considere a série
+∞∑
n=1
an, sendo que:
a1 = 1 e an+1 =
(
1 + arctann
n
)
· an.
Determine se a série
+∞∑
n=1
an converge ou diverge.
21. Verifique se são convergentes:
(a)
+∞∑
n=1
1
n
√
n
(b)
+∞∑
n=1
1
3
√
n2 + 3
(c)
+∞∑
n=1
cosn+ 3
6n
(d)
+∞∑
n=2
n
lnn
(e)
+∞∑
n=3
2−n + 5−n
(f)
+∞∑
n=1
(
1
5n
+ n
)
(g)
+∞∑
n=1
n+ 1
n2
(h)
+∞∑
n=1
3 + (−1)n
3n
(i)
+∞∑
n=1
1
n2n
22. Se f(n)→ L, então prove que
+∞∑
n=1
[f(n)− f(n+ 1)] = f(1)− L.
23. Prove que:
(a)
+∞∑
k=1
3k + 5k
15k
=
3
4
(b)
1
3
+
2
32
+
1
33
+
2
34
+
1
35
+
2
36
+ · · · = 5
8
(c)
+∞∑
k=1
√
k + 1−
√
k√
k2 + k
= 1
(d)
+∞∑
k=1
2k − 1
3k
= 1
Sugestão: 2k − 1 = 3k − (k + 1) ⇒ 2k − 1
3k
=
k
3k−1
− k + 1
3k
(e)
+∞∑
n=2
1
2n
=
1
2
(f)
+∞∑
n=1
1
n(n+ 1)(n+ 2)
=
1
4
(g)
+∞∑
n=1
1
(2n− 1)(2n+ 1)
=
1
2
4
24. Classifique as afirmações abaixo como verdadeira (V ) ou falsa (F ) dando uma demonstração ou um contra-
exemplo.
(a) ( ) Toda sequência limitada é convergente;
(b) ( ) Toda sequência limitada é monótona;
(c) ( ) Toda sequência monótona é limitada;
(d) ( ) Toda sequência divergente é não monótona;
(e) ( ) Toda sequência convergente é monótona;
(f) ( ) Toda sequência divergente é não limitada;
(g) ( ) Se (an) e (bn) são sequências tais que lim
n→+∞
an = 0, então a (anbn) é convergente;
(h) ( ) A sequência (an) definida por a1 = 1 e an+1 =
nan
n+ 1
é convergente;
(i) ( ) Se an ≤ bn, ∀ n, tal que (bn) é convergente, então (an) é convergente;
(j) ( ) Se (|an|) é convergente, então (an) é convergente;
(k) ( ) Se
+∞∑
n=1
an converge e an ≥ 0, ∀ n, então
+∞∑
n=1
√
an converge;
(l) ( ) Se
+∞∑
n=1
an e
+∞∑
n=1
bn divergem, então
+∞∑
n=1
(an + bn) diverge;
(m) ( ) Se
+∞∑
n=1
an converge, então
+∞∑
n=100
an converge;
(n) ( ) Se
+∞∑
n=1
an e
+∞∑
n=1
bn divergem, então
+∞∑
n=1
(anbn) converge;
(o) ( ) Se
+∞∑
n=1
an diverge, então lim
n→+∞
an = L 6= 0;
(p) ( ) Se
+∞∑
n=1
an diverge, então
+∞∑
n=1
an
2 diverge;
(q) ( ) Se
+∞∑
n=1
an diverge e an 6= 0,∀ n ≥ 1, então
+∞∑
n=1
1
an
converge;
(r) ( ) Se (an) é uma sequência constante, então
+∞∑
n=1
an diverge;
(s) ( ) Se lim
n→+∞
an
bn
= 0 e
+∞∑
n=1
bn diverge, então
+∞∑
n=1
an diverge.
(t) ( ) Se lim
n→+∞
an
bn
= +∞ e
+∞∑
n=1
bn converge, então
+∞∑
n=1
an converge.
25. Marque a(s) alternativa(s) CORRETA(S).
(a) O limite lim
x→0
cos x− 1
x
é uma indeterminação e seu valor é 1.
(b) O limite lim
x→0+
(
1
x
)x
é uma indeterminação e seu valor é 1.
5
(c) O limite lim
x→∞
(
1 +
3
x
)2x
é uma indeterminaçãoe seu valor é e6.
(d) O limite lim
x→∞
x
ln x
é uma indeterminação e seu valor é 0.
26. Considere a integral
∫∞
1
e−x
2
dx. Marque a(s) alternativa(s) CORRETA(S).
(a) A integral é imprópria e seu valor é maior que 1.
(b) A integral fornece a área delimitada por x = 1, o eixo-x e a função definida por f(x) = e−x
2
.
(c) A integral é divergente.
(d) A integral pode ser resolvida sem aux́ılio de qualquer teste.
27. O limite da sequência
(
n2
3n−1 sen
π
n
)
é:
(a)
π
3
(b)
π
6
(c) 3π
(d)
π
2
28. Assinale a(s) alternativa(s) CORRETA(S).
(a) Se (an) é uma sequência convergente e an ≥ bn, então (bn) é convergente.
(b) Se (an) é uma sequência convergente, então (an) é monótona.
(c) Se (an) é uma sequência limitada, então (an) é convergente.
(d) Se (an) é uma sequência monótona e limitada, então (an) é convergente.
29. Considere a série
∑∞
n=1 ar
n−1, a ∈ R∗, e assinale a alternativa INCORRETA:
(a) A série converge se r = 1/l, com l < −1.
(b) A série converge se r = 1/l, com l > 1.
(c) A série converge se r =
∑∞
n=1 2
−n4n−1.
(d) A série converge se r =
∑∞
n=1
(
1
2
)n
31−n.
30. Assinale a única série divergente.
(a)
∞∑
n=2
1
n2 − 1
.
(b)
∞∑
n=1
2n2 + 1
n lnn
.
(c)
∞∑
n=1
2 + (−1)n
5n
.
(d)
∞∑
n=1
2 + cos(4n)
n2
.
6