Fundamentos da Matemática Elementar - U4

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Funções Afins
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Olá, seja bem-vindo (a) 
 a disciplina de Fundamentos da 
Matemática Elementar.
Hoje falaremos sobre: Funções Afins.
Vamos começar nossos estudos?
Boa aula!
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OBJET
IVOS
TÓPIC
OS
ABORD
ADOS
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I. Reconhecer a lei correspondente a uma 
função afim; 
II. Identificar situações em que a função 
afim pode ser aplicada. 
I. Definição e exemplos; 
II. Casos particulares; 
III. Gráficos e pro-priedades; 
IV. Equação do 1º grau; 
V. Inequações do 1º grau.
 
 Nesta unidade, aprofundaremos nossos estudos sobre as funções afins. Você verá a 
lei correspondente a uma função afim e algumas situações em que ela pode ser aplicada. 
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Função Afim
 Uma função f : R => R chama-se afim ou polinomial do primeiro grau quando existem 
Constantes a, b eR, tais que f(x) = ax + b para todo x R. 
Observe a seguir alguns exemplos de função afim:
(i) f (x) = 2x + 3, onde a = 2 e b = 3; 
(ii) f (x) = -x - 7, onde a = -1 e b = -7; 
(iii) f (x) = 3x, onde a = 2 e b = 0; 
(iv) f (x) = x, onde a = 1 e b = 0; 
(v) f (x) = 5, onde a = 0 e b = 5. 
• O número a da função afim f é chamado de coeficiente angular ou taxa de variação 
da função f ; 
• O número b da função afim f é chamado de coeficiente linear ou valor inicial da 
função f . 
Exemplo:
 O preço P a pagar por uma corrida de táxi é obtido por uma função afim P = ax + b, 
onde x é a distância percorrida em quilômetros, o valor inicial b é chamado de bandeirada 
e o coeficiente a é o preço por cada quilômetro rodado. 
 Em particular, se é cobrado R$5,40 de bandeirada e 2,20 por quilômetro rodado. 
 Qual é o valor P que seré cobrado em uma corrida de 25 quilômetros? 
 A função que permite calcular o valor da corrida em função do tempo é P = 2,2x + 5,4, 
e para obter o resultado desejável basta aplicar a quilometragem da corrida, isto é, P = 
2,2.25 + 5,4 = 60,4. 
 No exemplo escrevemos a função afim P = ax + b, mas é claro que o valor da corrida 
é função da distância percorrida, isto é, P = P(x). 
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Casos particulares da função afim 
 A função afim possui três casos particulares e é importante conhecê-los, pois em 
muitas situações são citados partindo do pressuposto que todos os leitores estejam 
familiarizados com o termo. 
Quando a taxa de variação da função afim é igual a zero 
(a = 0), a função é dita constante e seu gráfico é uma reta 
horizontal passando pelo ponto (0, b);
Quando o valor inicial da função afim é igual a zero (b = 0), 
a função é dita linear e seu gráfico é uma reta que passa 
pela origem; 
Quando a taxa de variação da função afim é igual a um 
(a = 1) e o valor inicial é igual a zero (b = 0), a função é 
chamada identidade. 
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Gráfico de uma função afim 
 O gráfico de uma função afim f (x) = ax + b é uma linha reta. Para verificar esta 
afirmação basta mostrar que três pontos quaisquer desse gráfico são colineares. 
Exemplo:
Cosntrua o gráfico da função f (x) = 3x - 1. 
 Para construir uma reta basta obtermos dois pontos que 
satisfaça a função f, isto é, uma reta está completamente 
determinada quando é conhecido pelo menos dois de seus 
pontos. 
Fazendo x = 1, temos f (1) = 3.1 - 1 = 2; 
Fazendo x = 2, temos f (2) = 3.2 - 1 = 5; 
Taxa de variação da função afim 
 Dados x, x + h R, com h = 0, a taxa de variação de uma função f no intervalo [x, x 
+ h] é o número: 
U
 Essa igualdade mostra que a função afim tem a mesma variação em todo seu domínio, 
então conhecendo essa variação podemos classificar a função afim em: 
Crescente - quando sua taxa de variação é positiva (a > 0); 
Decrescente - quando sua taxa de variação é negativa (a < 0); 
Constante - quando sua taxa de variação é nula (a = 0). 
 Como a taxa de variação é única em cada função f, logo o coeficiente a pode ser 
obtido quando são conhecidos dois pontosf (x1) e f (x2) quaisquer desta função, isto é, 
f (x1) = ax1 + b e f (x2) = ax2 + b; subtraindo as igualdades membro a membro temos: 
f (x1) - f (x2) = ax1 + b - ax2 - b, portanto, 
x
y
21
5
2
a= f (x + h ) - f ( x )
h
a= f (x 1 ) - f ( x2 )
x1 - x2
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Exemplo:
Obtenha a taxa de variação da função afim cujo gráfico passa pelos pontos (3, 12) e 1, 2).
Zero da função afim 
 Chama-se zero ou raiz da função afim f com o coeficiente a diferente de zero, o 
número real x, tal que, f(x)= 0. 
f(x) = 0 => ax + b = 0 => x = 
 
Note que quando colocamos f (x) = 0 e calculamos o valor de x que satisfaça a igualdade, 
estamos resolvendo uma equação do primeiro grau. 
Exemplo:
Construir o gráfico da função f (x) = 2x - 6, utilizando sua raiz e seu valor inicial b.
Raiz da equação: 
Valor inicial: f(0) =
 Observe que os pontos encontrados são as interseções com os eixos Ox (raiz da 
equação) e Oy (valor inicial - coeficiente b). 
a= 12 -2 10= 5
3 - 1 2
=
 - b 
a
2x - 6 = 0 => x = = 3 => (3,0); 6
2
3
-6
y
x
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Desigualdade lineares 
 Uma desigualdade linear (ou inequação do primeiro grau) é uma sentença matemática 
expressa por uma desigualdade. 
 Resolver uma desigualdade linear, por exemplo, ax + b > 0 consiste em obter todos os 
valores reais x para os quais a desigualdade é satisfeita. 
Exemplo:
Determine o conjunto solução da desigualdade ax + b 0 ]
ax + b 0 => ax ≤ - b 
Agora verifiquemos duas possibilidades: 
Se a 0, então x [ -b/a; e o conjunto 
solução é . 
Se a 0, então x ≤ -b/a; e o conjunto 
solução é . 
 E encontrado no exemplo (2.5) a solução para um 
caso geral da desigualdade considerada, mas para um 
caso particular é mais fácil uma vez que conhecemos 
o valor da constante a, por exemplo, considere a 
desigualdade -3x -12 < 0 tem como conjunto solução o 
intervalo .
≤
≤
≤
≤ ≤
[ + ∞) - b 
a
( - ∞, ] - b 
a
(- 4, + ∞) 
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 Para aprofundar o estudo sobre a função afim, consulte os materiais indicados abaixo 
e exercite seus conhecimentos resolvendo as atividades propostas. 
IEZZI, G. MURAKAMI, C. MACHADO, N. J. Fundamentos de Matemática Elementar. 
Volume 1. Editora Atual, 1993. 
Vídeo 1 – http://www.youtube.com/watch?v=pYqp-57y0D8&feature=relmfu 
Vídeo 2 – http://www.youtube.com/watch?v=ktE0uuDMqyw&feature=relmfu 
 Nesta unidade, vimos sobre as funções afins, sua lei e situações em que podem ser 
aplicadas. 
Báscia
GOLDSTEIN, Larry J. et al. Matemática Aplicada: economia, administração e 
contabilidade. 10 ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. 
IEZZI, G. MURAKAMI, C. MACHADO, N. J. Fundamentos de Matemática Elementar. 
Volume 1. Editora Atual, 1993. 
LIMA, E. L. et al. A Matemática do Ensino Médio. Volume 1. Sociedade Brasileira de 
Matemática, 1997. 
MACHADO, ANTÔNIO DOS SANTOS. Matemática Temas e Metas. Volume 1 – Conjuntos 
Numéricos e Funções. Editora Atual, 1988. 
Complementar 
BEZERRA, Manoel Jairo. Matemática para o ensino médio. São Paulo: Scipione, 2004. 
CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Noções básicas de matemática comercial e financeira. 
3 ed. rev. atual. e ampl. Curitiba: IBPEX, 2010. 
FLEMMING, DIva Marília; GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: funções, limite, 
derivação, integração.6 ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
IAN, Jacques. Matemática para economia e administração. Tradução Regina Célia Simille 
de Macedo. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010