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Aula12_17 11 2022_20221117190218

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CENTRO UNIVERSITÁRIO UNA 
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL 
ESTRUTURAS DE CONCRETO, OBRAS DE ARTE E 
PROJETOS VIÁRIOS 
Prof. Iuri Fazolin Fraga 
Pouso Alegre 
2022
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Mas os que esperam no Senhor 
renovarão as suas forças; subirão com 
asas como águias; correrão, e não se 
cansarão; andarão, e não se fatigarão” 
(Isaías 40:31). 
 
 
2 
DIMENSIONAMENTO DE PILARES DE CANTO 
Os exemplos numéricos a seguir são de pilares de canto, apoiados na base e no topo, de nós 
fixos (pilar contraventado) e sem forças transversais (horizontais) atuantes. Os cálculos serão 
feitos mostrando-se os diagramas de momentos fletores solicitantes e também as 
excentricidades, considerando-se o momento fletor mínimo ou a excentricidade acidental por falta 
de retilineidade. 
PROBLEMA 1 
Para o pilar mostrado na Figura 1, calcular a armadura longitudinal necessária. São 
conhecidos: 
• Concreto C25; 
• Nk = 850 kN; 
• Aço CA-50; 
• 
 
nom 0,5
' 4 3,0 0,5 0,5 1,0
tc
d cm
φφ
= ⇒ + + ⋅


. 
• ℓex = ℓey = 350 cm 
Figura 1: Arranjo estrutural do pilar na planta de fôrma, dimensões da seção transversal e momentos 
fletores CARACTERÍSTICOS de 1ª ordem 
 
a) Esforços solicitante de cálculo 
- Força normal de cálculo: 
3
, com dado na Tabela 13.1 da NBR 6118
1,05 1,4 850 1250 1250 10
d n f k n
d
N N
N kN N
γ γ γ=
= ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅
 
 
 
3 
- Valores de cálculo dos momentos fletores de 1ª ordem: 
6
1 , , 1 , , 1 ,
6
1 , , 1 , , 1 ,
1,05 1,4 2041 3000 30,0 10
1,05 1,4 1360,5 2000 20,0 10
d A x d B x n f k x
d A y d B y n f k y
M M M kNcm Nmm
M M M kNcm Nmm
γ γ
γ γ
= = = ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅
= = = ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅
 
- Excentricidades iniciais de 1ªordem: 
6 6
1 ,1 ,
1 13 3
30,0 10 20,0 1024,0 ; 16,00
1250 10 1250 10
d yd x
x y
d d
MM
e mm e mm
N N
⋅ ⋅
= = = = = =
⋅ ⋅
 
b) Resistências de cálculo 
- Resistência de cálculo à compressão do concreto (NBR 6118, item 12.3.3): 
25 17,86
1,4
ck
cd
c
ff MPa
γ
= = = 
- Resistência de cálculo ao escoamento do aço de armadura passiva (NBR 6118, item 8.3.6): 
500 435
1,15
yk
yd
s
f
f MPa
γ
= = = 
c) Índice de esbeltez 
- Índice de esbeltez (NBR 6118, item 15.8.2): 
Para qualquer geometria de seção transversal: , sendo 
12Para seções retangulares: 
Pilar curto 35
Pilar médio 35 90
Pilar medianamente esbelto 90 140
Pilar esbelto 140 200
12 3500
1
e
e
x
Ii
i A
h
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
= =
=
⇒ ≤
⇒ < ≤
⇒ < ≤
⇒ < ≤
⋅
=


12 350067,4 médio ; 24,2 curto
80 500y
λ ⋅= ⇒ = = ⇒
 
d) Momentos mínimos de 1ª ordem 
- Momentos mínimos de 1ª ordem (NBR 6118, item 11.3.3.4.3): 
( )
( )
( )
1 ,min
3 6
1 ,min,
3 6
1 ,min,
15 0,03 , com em 
1250 10 15 0,03 180 25,5 10
1250 10 15 0,03 500 37,5 10
d d
d x
d y
M N h h mm
M Nmm
M Nmm
= +
= ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅
= ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅
 
e) Esbeltez limite 
- Valor-limite para índice de esbeltez (NBR 6118, item 15.8.2): 
1
1 1
25 12,5 , com 35 90
b
e hλ λ
α
+
= ≤ ≤ 
 
 
4 
( )0,60 0,40 0,40 para pilares biapoiados sem cargas transversais 1,0
1,0 para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura
0,80 0,20 0,85 para pilares em 
0,4B
A
b
b
C
A
M
M
M
M
α
α
≥ ≥ ≥+
= + ≥ ( )
6
1 , 1 ,min, 5
balanço 1,0
1,0 para pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o momento 
mínimo esta
5
bele
0,4
Direção x:
 30,0 10 2
c
,
ido no item 11.3.3.4.3 da NBR 6118
b
d x d xM M Nmm
α≥




 ≥





> ⋅ >( ) ( )
( )
6
6
6
1, 1,
6 6
1 , 1 ,min,
1, 1,
1,
30,0 10
10
30,0 10
25 12,5 24,00 180 66,7 35 66,7
0, 4
Direção y:
 20,0 10 37,5 10 1,0
25 12,5 16,00 500 25,4 35 35
1,0
C
0
oncl
4
usã
0,60 0, 40 0,2 ,
o:
b
x x
d y d y b
y y
x
Nmm
M M Nmm Nmm
α
λ λ
α
λ λ
λ λ
− ⋅
⋅ ∴ =
⋅
+ ⋅
= = > ∴ =
< ⋅ < ⋅ ∴ =
∴
+ ∴
+ ⋅
⋅ =
= = < =
> ( )
( )1,
 67,4 66,7 Considera-se os efeitos locais de 2ª ordem
 24, 2 35,0 Despreza-se os efeitos locais de 2ª ordem
x
y yλ λ
> ∴
< < ∴
 
f) Momento fletor total (Método do pilar padrão com curvatura aproximada) 
- Força normal adimensional (NBR 6118, item 15.8.3.3.2): 
( )
31250 10 0,778
180 500 17,86
d
c cd
N
A f
ν ⋅= = =
⋅ ⋅
 
- Curvatura na direção x (NBR 6118, item 15.8.3.3.2): 
( ) ( )
5 1 5 11 0,005 0,005 1 0,005 2,17 10 2,78 10 Ok
0,5 180 0,778 0,5
mm mm
r h h rν
− − − −= ≤ ⇒ = = ⋅ < ⋅ ∴
+ ⋅ +
 
- Excentricidade máxima de 2ª ordem na direção x (NBR 6118, item 15.8.3.3.2): 
2 2
5
2
1 3500 2,17 10 26,6
10 10
e
xe mmr
−= = ⋅ ⋅ =
 
- Momento fletor de 2ª ordem na direção x (NBR 6118, item 15.8.3.3.2): 
3 6
2 , 2 1250 10 26,6 33,3 10d x d xM N e Nmm= = ⋅ ⋅ = ⋅ 
- Momento fletor total (NBR 6118, item 15.8.3.3.5): 
 Deve ser determinado o momento fletor total na direção crítica e na outra direção quando 
houver momentos fletores de 1ª ordem. Neste exemplo, será considerado nas duas direções, pois 
em x é crítico e em y há a ocorrência de momentos fletores de 1ª ordem. 
 
 
5 
( ) ( )
( )
6
1 , ,
6 6 6
1 , , 1 , ,
1 , , 6 6
1 , ,
1 , ,
Direção x:
Seção de extremidade A:
30,0 10
Seção intermediária C: 
0,6 0,4 0,6 30,0 10 0,4 30,0 10 6,00 10
0,4 0,4 30,0 10 12,00 10
12,00 10
d A x
d A x d B x
d C x
d A x
d C x
M Nmm
M M Nmm
M
M Nmm
M
= ⋅
 + = ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅≥ 
= ⋅ ⋅ = ⋅
= ⋅ 6
6
1 , ,
6 6
1 , 1 , , 1 ,
6
1 ,min,
6 6
, , 1 , 2 ,
Momento total de 1ª ordem:
30,0 10
12,00 10 30,0 10
25,5 10
Momento fletor total na direção x:
30,0 10 33,3 10 63,3 1
d A x
d x d C x d x
d x
d tot x d x d x
Nmm
M Nmm
M M Nmm M Nmm
M Nmm
M M M
 = ⋅
≥ = ⋅ ⇒ = ⋅

= ⋅
= + = ⋅ + ⋅ = ⋅
( )
6
6
, ,
3
6
1 , ,
6
1 , , 1 , ,
1 , ,
0
Excentricidade correspondente:
63,3 10 50,6
1250 10
Direção y:
Seção de extremidade A: 
20,0 10
Seção intermediária C: 
0,6 0,4 0,6 20,0 10 0,4 20,0 1
d tot x
x
d
d A y
d A y d B y
d C y
Nmm
M
e
N
M Nmm
M M
M
⋅
= = =
⋅
= ⋅
+ = ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅
≥
( )
( )
6 6
6 6
1 , ,
6
1 , ,
6
1 , ,
6 6
1 , 1 , , 1 ,
6
1 ,min,
0 4,00 10
0,4 0,4 20,0 10 8,00 10
8,00 10
Momento total de 1ª ordem:
20,0 10
8,00 10 37,5 10
37,5 10
Momento fle
d A y
d C y
d A y
d y d C y d y
d y
Nmm
M Nmm
M Nmm
M Nmm
M M Nmm M Nmm
M Nmm
 = ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅
= ⋅
 = ⋅
≥ = ⋅ ⇒ = ⋅

= ⋅
6 6
, , 1 , 2 ,
6
, ,
3
tor total na direção y:
37,5 10 0,00 37,5 10
Excentricidade correspondente:
37,5 10 30,0
1250 10
d tot y d y d y
d tot y
y
d
M M M Nmm
M
e mm
N
= + = ⋅ + = ⋅
⋅
= = =
⋅
 
 
 
6 
Conclusão:
Como há momentos de 1ª ordem nas duas direções, ambas devem ser consideradas no dimensionamento
 
g) Área da seção transversal da armadura longitudinal 
Direção x:
50,6 ' 400,778 0,22 ; 0,22 0,25
180 180
Direção y:
30,0 ' 400,778 0,05 ; 0,08 0,10
500 500
Escolhendo o Arranjo 2, o ábaco a ser consultado é o Ábaco 5.
0,60 0,81
0,80 0
x
x
x x
y
y
y y
e d
h h
e d
h h
µ ν
µ ν
ν ω
ν ω
= = ⋅ = = = ⇒
= = ⋅ = = = ⇒
= ⇒ =
= ⇒ =
( )
( )
( )
0
0 1 0
1 0
2
Interpolação linear: 
,94
0,778 0,600,81 0,94 0,81 0,926
0,80 0,60
0,926 180 500 17,86
3422
435
c cd
s
yd
A fA mm
f
ν νω ω ω ω
ν ν
ω
ω
 −
⇒ = + − −
−
= + − ⋅ =
−
⋅ ⋅ ⋅
= = =
 
	DIMENSIONAMENTO DE PILARES DE CANTO
	PROBLEMA 1

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