Geometria Analítica

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Profº: Madson
 Estudo Analítico do Ponto
 Iremos estudar o ponto sobre o Plano Cartesiano Ortogonal, idealizado por René Descartes.
A(0,0)
B(2,1)
C(-1,2)
Ex:
D(-2,-2)
E(3,-1)
y
x
A
C
D
E
B
GEOMETRIA ANALÍTICA
GEOMETRIA ANALÍTICA
Estudo Analítico do Ponto
Distancia entre dois pontos
Imagine dois pontos, A e B, de coordenadas (XA,YA) e (XB,YB) respectivamente. A distancia entre esses dois pontos será dada por :
A
B
Aplicando o Teorema de Pitágoras Temos:
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Estudo Analítico do Ponto
Ponto Médio
Novamente, imagine dois pontos, A e B, de coordenadas (XA,YA) e (XB,YB) respectivamente. O ponto médio M(XM,YM) entre esses dois pontos será dado por :
A
B
M
d1
d2
Como M é o ponto médio temos:
Como e , temos:
De maneira análoga também temos:
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Estudo Analítico do Ponto
Três pontos formando um Triângulo
Imagine três pontos não colineares, A, B e C, de coordenadas (XA,YA), (XB,YB) e (XC,YC) respectivamente. O Baricentro G(XG,YG) do triângulo formado será dado por :
Baricentro
A ()
B ()
C ()
G ()
M1 é ponto médio entre A e C, assim temos:
M1 ()
M2 ()
M3 ()
O baricentro divide a mediana em duas partes na proporção 2:1, assim temos:
De maneira análoga também temos:
XA YA 1 XB YB 1 XC YC 1
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Estudo Analítico do Ponto
Três pontos formando um Triângulo
Área
Novamente, imagine três pontos não colineares, A, B e C, de coordenadas (XA,YA), (XB,YB) e (XC,YC) respectivamente. A área do triângulo formado será dado por :
y
x
A (XA,YA)
B (XB,YB)
C (XC,YC)
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Estudo Analítico do Ponto
Três pontos formando uma Reta
Condição de alinhamento de três pontos
Imagine três pontos A, B e C, de coordenadas (XA,YA), (XB,YB) e (XC,YC) respectivamente. Esses pontos só estarão alinhados (colineares) se a seguinte condição for obedecida :
y
x
A
YA
C
YC
XC
XA
B
YB
XB
XA YA 1 XB YB 1 XC YC 1
= 0
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Estudo Analítico do Reta
Consideremos a reta r determinada pelos pontos A (XA,YA) e B (XB,YB) distintos, e seja P (X,Y) um ponto genérico de r. Como A,B e P estão alinhados, temos:
y
x
A
YA
B
YB
XB
XA
P
Y
X
XA YA 1 XB YB 1 X Y 1
= 0
Usando a regra de Sarrus Temos:
 Eq. Geral da Reta
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Estudo Analítico do Reta
Inclinação e coeficiente angular de uma Reta
A inclinação de uma reta é tal que 0º < α < 180º . Por outro lado, chamamos de coeficiente angular ou declividade de uma reta o número “m”, tal que m = tg α. Como consequência, temos:
r
α
A) 
B) (positivo)
C) (não existe coeficiente angular)
 (negativo)
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Coeficiente angular de uma Reta dada por dois pontos
A
B
α
Como: m = tg α
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Coeficiente Linear de uma Reta
O coeficiente linear “n” de uma reta é a ordenada do ponto onde a reta corta o eixo y.
y
x
r
n
No ponto onde a reta corta o eixo y, o valor de x é 0 (zero)
Portanto, o ponto onde a reta r corta o eixo y é ().
O número , que indicaremos por n, é a ordenada do ponto onde a reta corta o eixo y. Ele é o coeficiente linear da reta.
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Estudo Analítico do Reta
Equação Reduzida da Reta
Consideremos uma reta r de equação geral ax + by + c = 0 . Se A(XA;YA) e B(XB;YB) são dois pontos distintos de r, podemos escrever:
Equação Reduzida da Reta
Obs: Pode-se obter a equação reduzida a partir da equação geral isolando-se o y.
Obs2: A equação reduzida fornece de imediato o coeficiente angular e o coeficiente linear, por isso, ela é bastante útil.
Como: 
Lembra que 
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Estudo Analítico do Reta
Ângulo entre Retas 
θ1
θ2
θ
Quando os ângulos são iguais suas tangentes são iguais, então:
)
Como tg θ1 = m1 e tg θ2 = m2:
r
s
Fazendo a redução ao 1º Quadrante, temos:
Quando os ângulos são iguais suas tangentes são iguais, então:
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Estudo Analítico do Reta
Retas Perpendiculares
r
s
θ1
θ2
Como tg θ1 = m1 e tg θ2 = m2:
ou
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Estudo Analítico do Reta
Retas Paralelas
r
s
θ1
θ2
Como temos duas retas paralelas cortadas por uma transversal, os ângulos θ1 e θ2 são correspondentes, e portanto iguais.
Como tg θ1 = m1 e tg θ2 = m2:
Quando os ângulos são iguais suas tangentes são iguais, então:
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Estudo Analítico do Reta
Distância de um Ponto a uma Reta
Consideremos uma reta r de equação geral ax + by + c = 0 e um ponto P(XO;YO). A distância será dada por:
r
P
d
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Estudo Analítico da Circunferência
Consideremos uma circunferência de centro C e raio R. Seja P um ponto genérico da circunferência.
C
R
P
Aplicando o Teorema de Pitágoras Temos:
Equação Reduzida da Circunferência
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Estudo Analítico da Circunferência
Equação Geral da Circunferência
Consideremos uma circunferência de centro C e raio R. Desenvolvendo-se a Equação Reduzida da Circunferência encontraremos a Equação Geral da Circunferência.
Equação Geral da Circunferência
Na qual:
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Estudo Analítico da Circunferência
Condição de Existência de uma Circunferência
Equação Geral da Circunferência
Na qual:
Logo, concluímos que para que exista circunferência:
ou
Esta é a condição para que exista circunferência.