ENSINAR MATEMÁTICA RESOLVENDO PROBLEMAS - Parte 1

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ENSINAR MATEMÁTICA RESOLVENDO PROBLEMAS
“Aprender a resolver problemas matemáticos deve ser o maior objetivo da instrução matemática. Certamente outros objetivos da Matemática devem ser procurados, mesmo para atingir o objetivo da competência em resolução de problemas. Desenvolver conceitos matemáticos, princípios e algoritmos através de um conhecimento significativo e habilidoso são importante. Mas o significado principal de aprender tais conteúdos matemáticos é ser capaz de usá-los na construção das soluções das situações-problema.”
Hatfield
	Apesar de tão valorizado, este tem sido, ao longo dos anos, um dos tópicos mais difíceis de serem trabalhados na sala de aula. É muito comum os alunos saberem efetuar todos os algoritmos e não conseguirem resolver um problema que envolva um ou mais desses algoritmos. Há muitos fatores que agravam essa dificuldade, pois além dos conhecimentos matemáticos exigem com que o aluno pense para solucioná-los.
As situações-problema devem envolver os alunos, os desafiar e os motivar a querer resolvê-las, desta forma, desenvolver a capacidade de elaborar um raciocínio lógico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponíveis, para que possam propor boas soluções as questões propostas. Enfim, preparando-o para sua vida futura. Pois ensinar apenas conceitos e algoritmos que atualmente são os mais levados em conta parece não ser o caminho, pois eles poderão se tornar obsoletos daqui a quinze anos, quando o aluno de hoje estará no auge de sua vida produtiva. Assim, um caminho bastante razoável é preparar o aluno para lidar com situações novas, quaisquer que sejam elas. E, para isso, é fundamental desenvolver nele iniciativa, espírito explorador, criatividade e independência através da resolução de problemas.
	Resolução de Problemas
Resolver problemas é o processo de reorganizar conceitos e habilidades, aplicando-os a uma nova situação, atendendo a um objetivo, também é qualquer situação que exija uma maneira matemática de pensar e conhecimentos matemáticos para solucioná-la.
	Em geral, o problema deve ser interessante e desafiador, pois só a partir do desafio o aluno se motiva a buscar a solução destes problemas. Assim fazemos com que “construam a Matemática” pensando e gerando idéias produtivas.
	Os problemas não devem ser aplicados só por aplicar e sem sentido, por isso deve ter seus objetivos bem fundamentados e tanto o professor quanto o aluno devem saber porque estão resolvendo ou propondo e principalmente, nós professores, devemos saber como avaliar.
Objetivos
	Entre os vários objetivos, segundo Dante, alguns são muito importantes, tais como:
a. Fazer o aluno pensar produtivamente
b. Desenvolver o raciocínio 
c. Ensinar a enfrentar situações novas
d. Envolver os alunos com as aplicações matemáticas
e. Tornar as aulas de matemática mais interessantes e desafiadoras
f. Equipar os alunos com estratégias para resolver problemas dar uma boa base matemática às pessoas
g. Dar uma boa base matemática as pessoas
Porque Resolver Problemas
	O trabalho apenas com a técnica operatória faz o aluno ficar dependente do professor, pois acredita que ele é o único que tem acesso aos “passos”, e que sabe “como fazer”, e os apresenta aos alunos em doses homeopáticas e na proporção que acha mais adequada e conveniente. Assim os alunos não podem refletir sobre os números, descobrir seus segredos, compreender o que estão fazendo e como estão fazendo.
	Os problemas devem mostrar que muitas vezes não é preciso do algoritmo para resolver, desenvolvendo esta noção os alunos mostraram uma intimidade cada vez maior, onde começam a perder a vergonha, verbalizando os resultados e a maneira como encontram a solução analisando e comparando suas respostas com as dos colegas e que a mesma resposta possa ser encontrada através de caminhos diferentes. Só então as propriedades e regularidades matemáticas surgem naturalmente.
	A resolução de problemas é muito importante, muitas razões podem ser dadas, pois com a resolução de problemas desenvolvemos o raciocínio, a criatividade, o espírito de coleguismo e troca de experiências e o trabalho em grupo, sem dizer que motiva os alunos a aprenderem Matemática, porque dá sentido a disciplina. E é uma boa maneira de avaliar a aprendizagem.
Como Desenvolver essa Metodologia
	
	Ensinar a resolver problemas não é tão simples e fácil como ensinar conceitos, algoritmos matemáticos. Pois requer uma variedade de pensamentos, criatividade em alguns casos e principalmente de incentivo e confiança que devem ser desenvolvidos pelo aluno, mas ter o apoio do professor, que deve auxiliar em todas as etapas, mas não deve resolver o problema. 
	O que o professor pode fazer é auxiliar o aluno a compreender o problema, encorajando-os a fazer perguntas para esclarecer os pontos fundamentais e destacando as informações importantes do problema. Já para estabelecer um plano o professor deve induzir os alunos a propor estratégias para solucionar o problema, podendo ser através de perguntas, se mesmo assim não funcionar pode dar um problema mais simples como exemplo, mas nunca apresentar apenas a sua estratégia e resolver o problema sozinho. 
Na etapa onde executam o plano é importante lembrar que o que é válido e queremos é a habilidade do aluno em executar o plano traçado e não só os cálculos, pois reduz todo o processo de resolução de problemas, também se o plano não funcionar, podemos usar outro já discutido ou algum que surgirá a partir do primeiro, pois os planos não são infalíveis. Para completar o processo não podemos esquecer de fazer o retrospecto, verificando e justificando toda a resolução.
	Muitas vezes, para obtermos resultados significativos, devemos mudar nosso método, fazendo com que os alunos pensem e tenham idéias produtivas. Para isso devemos trabalhar de diferentes formas, podendo ser com a turma toda, em pequenos grupos onde pode-se ler e compreender o problema, buscando, explorando e descobrindo estratégias, sem valorizar a velocidade muito menos dando respostas diretas, fazendo com que se envolvam com o problema dando pequenas dicas, encorajando-os, estimulando a registrarem as diferentes maneiras de resolver o mesmo problema, inclusive as erradas, depois analisar e discutir, incentivando a sempre tentarem vários métodos e aos poucos os tornando mais independentes. Pois mais importante que a resposta certa é pensar e trabalhar no problema.
	
Algumas Observações Importantes
	É importante lembrar de algumas dicas que podem auxiliar na aplicação e trazer bons resultados no aprendizado, e Dante no seu livro cita algumas, que são:
· Iniciar com problemas fáceis, para não desmotivar ou frustrar os alunos com os fracassos;
· Dar poucos problemas, mas com maior freqüência;
· Proporcionar diferentes problemas podendo ter a mesma estratégia ou o mesmo problema com diferentes estratégias, mas nunca o mesmo problema com números diferentes;
· Valorizar o processo e não só a resposta;
· A resolução de problemas deve fazer parte das aulas;
· Não apresentar problemas de uma determinada operação após o seu estudo;
· Incentivar os alunos a “pensarem alto”;
· Motivar a reverem o seu raciocínio;
· Criar oportunidades para usarem materiais manipulativos;
· Encorajar o aluno a procurar o erro e descobrir porque ele foi cometido;
· Mostrar que a resolução de problemas é necessário para a vida diária, mesmo sem acertar, pois só tentar já é um grande aprendizado;
· Formar um banco de problemas, pedindo para os alunos trazerem problemas curiosos, interessantes e difíceis;
	Não devemos esquecer que a resolução de problemas é um processo vagaroso e contínuo, que exige planejamento. Também devemos estar conscientes que além de resolver o problema corretamente, o aluno precisa saber o que e como fez, não sendo um ato repetitivo, ai sua ação será aprendida.
	Enfim devemos dar oportunidades para os alunos inventarem, criarem, seus próprios problemas, assim os motivaremos a ler, compreender e resolver, pois a sua maior dificuldade em relação a resolução de problemas é lere entender o texto e não adianta dizer ou ensinar aquilo que os alunos possam descobrir por elas mesmas.	 
O erro na Resolução de Problemas
Os erros mostram o raciocínio da criança e são valiosos na hora de planejar as atividades didáticas. Porém durante séculos, a educação tradicional tentou levar os alunos a não errar nunca, acreditando que o aprendizado ocorria quando eles davam a resposta certa para as questões propostas. Em Matemática, mais do que em outras disciplinas, essa era uma verdade absoluta. Hoje sabe-se que eles ajudam a descobrir maneiras de ensinar para que o aluno pense mais e perceba que a matemática não é tão difícil quanto parece.
Mais importante que acertar é saber justificar como chegou a um resultado. Isso só vai acontecer quando deixarmos de lado a memorização e investir na discussão de conceitos.
Os problemas e exercícios de lógica, onde recorremos a deduções, tentativas e erros para chegar a solução, é uma excelente maneira de mostrar aos alunos como o erro pode ser um caminho.
Quando o erro acontecer:
· Evite confrontar o verdadeiro e o falso;
· Peça ao aluno para justificar o raciocínio usado na resolução do problema;
· Procure compreender o procedimento que o aluno adotou e o motivo do erro;
· Mostre que existe diversos caminhos para chegar aos resultados;
· Proponha problemas abertos, com várias opções de resolução;
· Estimule a intuição, a dedução e a estimativa;
· Dedique especial atenção a interpretação de enunciados na turma.
Como Propor Problemas Adequadamente
“Estudar Matemática é resolver problemas. Portanto, a incumbência dos professores de Matemática, em todos os níveis, é ensinar a arte de resolver problemas. O primeiro passo nesse processo é colocar o problema adequadamente”.Thomas Butts
A resolução de problemas é vista como um método alternativo para desenvolver o raciocínio e para motivar os alunos para o estudo da Matemática. Porém o que vimos em nossas salas de aula e nos livros didáticos são listas intermináveis de problemas, quase sempre do mesmo tipo e que podem ser resolvidos “conforme o modelo”. É claro que isto não propicia o desenvolvimento do raciocínio das crianças e, ao invés de motivá-las, cria nela, atitudes negativas em relação à Matemática.
Na tentativa de reverter esta situação, o professor pode desenvolver o processo de ensino aprendizagem usando desafios e, em aulas especiais, propor problemas interessantes, que além de serem resolvidos possam ser “explorados”, procurando soluções alternativas, analisando-o sob diferentes pontos de vista matemático.
Assim a resolução de problemas não deve ser utilizada apenas como forma de controlar se os alunos dominaram técnicas ou conceitos. Pois na vida cotidiana eles têm e terão que enfrentar problemas, alguns conhecidos e outros novos. Então a situação problema é o ponto de partida da atividade matemática e não a definição, onde o problema não é um exercício em que o aluno aplica, de forma quase mecânica. Enfim a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação de aprendizagem, mas uma orientação para a aprendizagem.
Além de distinguir problemas de exercícios, devemos analisar as características que um problema deve ter para ser bom, interessante, motivador, que aguce a criatividade produtivamente. Sem dizer que para propor bons problemas devemos observar e contornar os fatores que dificultam a sua resolução e que saibamos encaminhar a solução, sem as dar prontas, “mastigadinhas”.
Distinguindo Exercícios de Problemas
Para saber distinguir exercícios de problemas primeiro devemos saber o significado de cada um.
Exercícios → serve para exercitar, praticar um determinado algoritmo ou processo.
Problema → descreve uma situação onde se procura algo desconhecido e não se tem previamente nenhum algoritmo que garanta a sua solução exigindo iniciativa e criatividade aliada ao conhecimento de algumas estratégias. Segue como exemplo:
Observação: Devemos equilibrar o número de exercícios e o de problemas que são dados a turma, para não sobrecarregar os alunos com um determinado tipo e quando se depararem com outros não “sabem resolver”, pois estão acostumados de um jeito onde se negam ou nem tentam realizar qualquer atividade que seja diferente da que estão acostumados.
 Características de um Bom Problema
Depois devemos observar alguns aspectos que são fundamentais para um problema ser bom, ou seja, realmente interessante e que traga bons resultados na aprendizagem, tanto da vida quanto da matéria em si.
Então para um problema ser considerado bom, segundo Dante, deve ter as seguintes características:
· Ser desafiador para o aluno, onde o motive e aumente a sua curiosidade para buscar a solução;
· Ser real para o aluno, abordando situações do seu cotidiano ou que já tenha ouvido falar, caso contrário desmotiva;
· Ser interessante para o aluno, pois a motivação é fundamental para o envolvimento do aluno, nem sempre o que nos interessa pode interessar aos alunos. Como por exemplo:
· O elemento desconhecido do problema deve ser realmente desconhecido;
· O problema deve estimular os alunos utilizar o processo de pensamento, não trazendo a aplicação evidente e direta de uma ou mais operações, devendo propiciar que o aluno levante hipóteses e estratégias de solução. Exemplo:
· O nível de dificuldade deve ser adequado com a idade dos alunos, pois se for exigido um nível de dificuldade maior pode deixar os alunos frustrados, desanimados, muitas vezes pode ser irreversível e traumatizante, onde pode fazer com que percam o gosto em resolver problemas e consecutivamente pela Matemática num todo.
 
Tipos de Problemas
“Um bom problema suscita a curiosidade e desencadeia no aluno um comportamento de pesquisa, diminuindo sua passividade e conformismo” Dante.
De acordo com Dante os problemas matemáticos se classificam em diferentes tipos, onde os descreve numa tentativa de ajudar o professor a selecioná-los em seu planejamento.
Porém antes de comentar sobre os tipos de problemas vamos relembrar os problemas convencionais e não convencionais, já citados, onde classificaremos os tipos de problemas em convencionais e não convencionais.
 Problemas Convencionais
	Usa frases curtas, os dados para resolver estão expressos no texto e na ordem que serão utilizados e sempre possuem palavras chaves que servem para identificar a operação e a resposta é única e numérica.
Dentro dos problemas convencionais temos:
a. Exercícios de reconhecimento
b. Exercícios de Algoritmos
c. Problemas Padrão: 
· Problema – padrão simples:
· Problema – padrão composto
 Problemas Não-Convencionais
Seu texto é mais elaborado, provocando os alunos a usarem a imaginação e assim usar o raciocínio, motivando-os a resolvê-los, podendo ser resolvidos por diversas estratégias e também ter várias soluções.
Como problemas não convencionais temos:
a. Problemas-Processos ou Heurísticos
 b.Problemas de Aplicação 
c.Problemas de Quebra-Cabeça: 
Etapas da Resolução de Problemas
Segundo Polya são quatro as etapas principais para a resolução de um problema, que são:
1ª etapa: Compreender o problema
2ª etapa: Estabelecer um plano
3ª etapa: Executar o plano
4ª etapa: Retrospecto
Estas etapas não são rígidas, fixas ou infalíveis, pois o processo de Resolução de Problemas é algo mais rico e complexo, não se limitando a seguir instruções passo a passo para chegar a solução como se fosse um algoritmo. Só que as etapas ajudam o solucionador a se orientar durante o processo, pois com elas pode se organizar, organizar seu pensamento na busca do melhor caminho para chegar a solução.
1ª etapa: Compreender o problema
 É preciso compreendê-lo para começar a resolver. O problema deve ser bem escolhido, não sendo nem muito fácil e nem muito difícil, natural e interessante, seu enunciado verbal precisa ser bem entendido, assim o aluno deve estar em condições de identificar as partes principais do problema. Então pode-se responder algumas questões, como:
a. O que se pede (procura, quer resolver), no problema?
No exemplotemos a seguinte pergunta: Quantas figurinhas Akira ganhou? Resolver o problema significa encontrar a resposta para essa pergunta.
b. Quais são os dados e as condições do problemas? (o que está dito e o que podemos usar?)
2ª etapa: Estabelecer um plano
Fazer a ligação entre os dados do problema e o que ele pede, podendo chegar a uma sentença matemática. Segundo Polya o objetivo principal da resolução de um problema é conceber a idéia para executar o plano, onde pode surgir gradualmente ou após tentativas e um período de hesitação. As indagações bem compreendidas contribuem para a correta seqüência de idéias para resolver um problema. 
Mesmo assim podemos fazer algumas perguntas, tais como:
a. Já foi resolvido um problema como este?
b. Lembra de algum semelhante para ajudar a resolver este?
c. É possível colocar as informações numa tabela e depois fazer um gráfico ou diagrama?
d. É possível resolver o problema por partes?
e. É possível traçar um ou vários caminhos para buscar a solução?
Dante sugere alguns planos ou estratégias que podem levar a solução do problema por vários caminhos:
· Plano A – representação do problema, dramatizando o problema usando representação real;
· Plano B – tentativa e erro
· Plano C – redução ao que tem menos ou ao que tem mais;
· Plano D – representação geométrica;
· Plano E – representação algébrica.
3ª etapa: Executar um plano
Para executar o plano elaborado, verificando-o passo a passo, devemos observar os detalhes, examiná-los até que fique claro. Cada aluno deve preparar seu plano e formar o conceito formal, verificando cada passo. A correção de um passo se dá intuitivamente ou formalmente, até perceber com clareza a sua correção. O professor pode alertar o aluno para verificar cada passo. Após, efetuar os cálculos indicados no plano; e por fim, executar todas as estratégias pensadas, obtendo várias maneiras de resolver o mesmo problema.
Esta etapa depende do plano que foi utilizado, ou seja, é só resolver o plano de acordo com a estratégia utilizada na etapa anterior. 
· Plano A – representação do problema, dramatizando o problema usando representação real;
· Plano B – tentativa e erro
· Plano C – redução ao que tem menos ou ao que tem mais;
· Plano D – representação geométrica;
· Plano E – representação algébrica.
4ª etapa : Retrospecto 
Ao examinar se a solução obtida está certa, devemos reexaminar o resultado final e o caminho que levou até ele, então eles podem consolidar seu conhecimento e aperfeiçoar a sua capacidade de resolver problemas. Assim podem observar se existe outra maneira de resolver o problema, quais as possibilidades de usar o método empregado para resolver problemas semelhantes. Desta forma estamos encorajando os alunos a imaginar casos em que podem utilizar o procedimento usado outra vez. Após, alguma experiência com problemas semelhantes, o aluno pode perceber as idéias básicas e gerais.