Entre_Jovens_Matematica_1_ano_Vol I

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Entre Jovens
1o ano do Ensino Médio
GUIA DO ALUNO
Volume I
Matemática
1o ano do Ensino Médio
Entre Jovens 1o ano do Ensino Médio: Guia do Aluno Matemática.
– São Paulo: Instituto Unibanco/CAEd, 2016.
174 p.; Vol. I.
ELABORAÇÃO DO MATERIAL
Coordenação
Roberta de Oliveira 
Pesquisa e conteúdo
CAEd – Centro de Políticas Públicas e Avaliação 
da Educação
Revisão de conteúdo
Grupo Mathema
Produção editorial
Elisa Swartele 
Maria Clara Wasserman 
Renata Buset
 
Pesquisa iconográfica
Tempo Composto
ASSESSORIA DE COMUNICAÇÃO
Coordenação
Marina Rosenfeld
Revisão de texto
Ofício do Texto Projetos Editoriais
Editoração eletrônica
Formato Comunicação
Realização
Instituto Unibanco
CONSELHO DE ADMINISTRAÇÃO
Presidência
Pedro Moreira Salles
Vice-Presidência
Pedro Sampaio Malan
Conselho
Antonio Matias
Cláudio de Moura Castro
Cláudio Luiz da Silva Haddad
Marcos de Barros Lisboa
Ricardo Paes de Barros
Rodolfo Villela Marino
Thomaz Souto Corrêa Netto
Tomas Tomislav Antonin Zinner
Diretoria Executiva
Claudio José C. Arromatte
Cristina Cestari
Fernando Marsella Chacon Ruiz
Gabriel Amado de Moura
Jânio Gomes
Leila Cristiane B. B. de Melo
Marcelo Luis Orticelli
Superintendência Executiva
Ricardo Henriques
Implementação de Projetos
Maria Julia Azevedo Gouveia
Desenvolvimento e Conteúdos
Lucia Helena Couto
Gestão do Conhecimento
Mirela de Carvalho
Planejamento e Articulação Institucional
Tiago Borba
Administração, Finanças e Tecnologia 
da Informação
Fábio Santiago
UMáRIOS
Oficina 1 – Números Naturais e Inteiros
Oficina 2 – Números Racionais
Oficina 3 – Potenciação e Radiciação
Oficina 4 – Revendo Álgebra
Oficina 5 – Grandezas Direta e Inversamente Proporcionais
Oficina 6 – Grandezas e Medidas
Oficina 7 – Áreas de Figuras Planas
Oficina 8 – Sólidos Geométricos
Oficina 9 – Resolução de Problemas
Oficina 10 – Revisitação
Referências Bibliográficas
Anexos
9
18
34
42
57
62
69
90
102
107
114
117
9GUIA DO ALUNO
NúMEROS NATURAIS E INTEIROS1
1. Introdução
As operações e aplicações envolvendo números naturais e inteiros são pré-requisitos fundamentais 
para o aluno desenvolver bem a Matemática do Ensino Fundamental e Médio e, por isso, este 
capítulo inicial tem como objetivo recapitular esses saberes. Inicialmente, utilizaremos a resolução 
de problemas enfatizando a Matemática do cotidiano e, depois, um jogo de tabuleiro que objetiva 
trabalhar a fatoração de um número natural.
2. Resolução de problemas
Problema 1. Júlia, Diogo e Carolina jogaram um torneio de três partidas de boliche. Veja as pon-
tuações alcançadas por eles nessas três partidas.
Partidas 1 2 3
Júlia 12 060 12 200 12 580
Diogo 11 960 11 500 13 500
Carolina 8 020 12 180 14 590
a) Vence quem ganha mais partidas.
b) Vence quem faz maior número de pontos em qualquer uma das partidas.
c) Vence quem soma maior número de pontos.
d) Vence quem soma maior número de pontos em duas partidas, desprezando-se o pior resultado.
10 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Problema 2. Para montar seu restaurante, Dona Lia dispunha de R$ 50 000,00. Inicialmente, ela 
gastou R$ 22 000,00 reformando o local do restaurante e R$ 6 750,00 em equipamentos para a 
cozinha. Depois, ela comprou 3 lotes de refrigerantes, pagando R$ 1 250,00 por lote, e um 
estoque de alimentos congelados, que lhe custou R$ 3 000,00. Com tantos gastos, sobrou 
dinheiro? Quanto?
Problema 3. Paulo, que é muito distraído, partiu de determinado marco quilométrico da estrada 
com destino a uma cidade que fica no quilômetro 400 dessa mesma estrada. Ao percorrer 129 km, 
leu na placa que estava no marco km 311 dessa estrada, quando percebeu que havia esquecido a 
mala no ponto de partida. Com isso, ele teve de voltar para buscá-la.
129 km
km
?
km
311
km
400
a) De que ponto da estrada Paulo partiu?
b) Considerando as idas e vindas, quantos quilômetros ele percorreu até completar a viagem?
FO
RM
A
TO
11GUIA DO ALUNO
Problema 4. O gráfico mostra os lucros de uma rede de supermercados no primeiro semestre 
do ano passado. Você nota que, em alguns meses, ocorreram prejuízos. Podemos considerá-los 
lucros negativos.
Lucros de uma rede de supermercados (1o semestre de 2015)
35
30
25
20
15
10
5
0
–5
–10
–15
–20
–25
–30
–35
meses
lu
cr
o 
(e
m
 m
ilh
õe
s)
Janeiro
Fevereiro
Março Maio
Abril
Junho
(Fonte: Departamento financeiro da rede de supermercados).
a) Em que mês o lucro foi de – 30 milhões de reais?
b) Em algum mês, o lucro foi de 45 milhões de reais? 
c) Considerando o total do semestre, qual foi o lucro?
Problema 5. Indique a expressão correspondente a cada item e calcule seu valor:
a) A soma de –6 com o dobro de 5.
b) A metade da diferença entre –4 e 8.
c) O produto do dobro de –3 com o quíntuplo de –2.
d) A diferença entre a metade de –6 e o número 8.
12 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Problema 6. Uma frota de caminhões levará uma tropa de 1128 soldados até um campo de 
treinamento. Cada caminhão pode levar até 36 soldados. Para transportar essa tropa, quantos 
caminhões, no mínimo, serão necessários?
3. O jogo “Fatorando”
Regras:
» Número de participantes: 2 jogadores;
» Cada participante deverá ter um botão;
» Os participantes devem embaralhar as peças circulares que contêm os números primos e colo-
cá-las sobre o tabuleiro, com a face voltada para baixo, nos espaços circulares do tabuleiro;
» Em seguida, devem colocar as peças retangulares que contêm os números naturais sobre a 
mesa e separá-las de acordo com o nível de dificuldade (amarelos, azuis e vermelhos) em 
três blocos, com a face voltada para baixo;
» Define-se, no início, a ordem em que os participantes jogarão. Em seguida, cada jogador 
deve pegar uma peça retangular do nível 1 (fácil) e colocar sobre a cartela para cálculos 
(figura 4 do anexo), conforme ilustra a próxima figura, a seguir;
» O jogo começa com um jogador lançando o dado e fazendo seu botão percorrer tantas 
casas quantas as que foram indicadas na face superior do dado, em qualquer direção do 
tabuleiro, mas por casas que estejam conectadas por segmentos;
13GUIA DO ALUNO
» O primeiro jogador deverá virar a peça circular da casa em que parou e verificar se o núme-
ro do círculo dessa casa pode ou não dividir o número de sua cartela de cálculos. Se der, ele 
retira esse círculo do tabuleiro e o coloca sobre a cartela de cálculos, conforme ilustrado na 
figura a seguir, faz a divisão na cartela de cálculos e fica com essa peça em sua cartela de 
cálculo, passando a vez para o outro jogador. Caso o número do círculo dessa casa do tabu-
leiro não der para dividir o número de sua cartela, o jogador recoloca o círculo de volta ao 
tabuleiro, com a face voltada para baixo, e passa a vez para o outro jogador. Veja exemplo:
298
49
» O segundo jogador repete o procedimento anterior e o jogo continua assim, sucessivamen-
te, até que um dos jogadores consiga finalizar a fatoração, vencendo a rodada;
» O jogo prossegue com mais rodadas, de nível 1 (fácil), nível 2 (médio) e nível 3 (difícil).
14 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
4. Resolva as atividades propostas a seguir:
Atividade 1. Os quadrados mágicos apareceram na China por volta de 2 200 a.C. Os números 
dispostos nesses quadrados mantêm uma soma constante em suas linhas, colunas e diagonais, 
chamada soma mágica. Construa, usando os números seguintes, um quadrado mágico com soma 
mágica igual a –15.
–15 –14 –13 –6 –5 –4 3 4 5
Atividade 2. Calcule:
a) MMC (16, 20)
b) MDC (18, 27, 45)
c) MMC (15, 24, 38) 
d) MDC (12, 32, 45)
15GUIA DO ALUNO
Atividade 3. A malha a seguir é formada por quadrados de 1 cm de lado. Resolvendo as expressões 
dadas, você vai encontrar o caminho feito por uma cobra que parte da origem destacada, pois 
cada resultado corresponde ao número de centímetros que ela vai percorrer.
Nota: Quando a cobra vai para cima (norte) ou para a direita (leste), ela caminha no sentido posi-
tivo, e quando vai para baixo (sul) ou para a esquerda (oeste),ela caminha no sentido negativo.
origem
oeste leste
sul
norte
Caminho da cobra:
+5 na horizontal, – (+3) na vertical, –22 na horizontal, (–8)0 na vertical, (–9) ÷ (–3) na horizontal, 
(–2)² na vertical e (5)1 na horizontal.
Marque na malha anterior o caminho percorrido pela cobra.
Atividade 4. Diversos cometas passam perto do Sol, periodicamente. O cometa A passa de 12 em 
12 anos. O cometa B passa de 15 em 15 anos. Se os cometas A e B passarem perto do Sol, em um 
mesmo ano, quanto tempo depois essa coincidência voltará a acontecer?
16 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Atividade 5. O esquema a seguir representa a rua onde Elvira mora, e os números indicam a dis-
tância orientada, em metros, de cada local em relação à igreja, sendo o sinal negativo o indicador 
de que o local se encontra do lado esquerdo da igreja.
–300
Casa de
Elvira
Banco Praça Igreja Padaria Escola Correio
–200 –100 0 100 200 300
a) Certo dia, Elvira saiu de casa e fez o seguinte trajeto: caminhou até o correio e, em seguida, foi 
à igreja. Após a missa, comeu um lanche na padaria; dirigiu-se ao banco para pagar uma conta 
e apanhou sua filha na escola. As duas ficaram por algum tempo na praça e, depois, foram para 
casa. Quantos metros Elvira andou nesse percurso?
b) Saindo da casa da Elvira, faça o seguinte trajeto sobre a reta numérica: 400 m para a direita, 
300 m para a esquerda, 500 m para a direita, 300 m para a esquerda e 200 m para a esquerda. 
Descreva, segundo esse trajeto, quais foram os lugares visitados e onde você parou.
Atividade 6. Dois rolos de corda, um de 200 m e outro de 240 m de comprimento, precisam ser 
cortados em pedaços iguais e com o maior comprimento possível. Responda:
a) Quanto medirá cada pedaço?
b) Quantos pedaços serão obtidos de cada rolo?
Atividade 7. Na reta numérica da figura a seguir, o ponto E corresponde ao número –9 e o ponto 
F, ao inteiro –7.
–9 –7
A B C D E F G H I J K L M
Nessa reta, o ponto correspondente ao inteiro zero estará:
a) sobre o ponto M.
b) entre os pontos L e M. 
c) entre os pontos I e J. 
d) sobre o ponto J.
FO
RM
A
TO
17GUIA DO ALUNO
Atividade 8. Paola comprou dois secadores de cabelo por R$ 120,00 cada um, três DVDs por 
R$ 115,00 cada um e um televisor de R$ 2 500,00. Os objetos foram pagos em cinco parcelas 
iguais e sem juros. O valor de cada parcela, em reais, foi igual a:
a) R$ 120,00
b) R$ 617,00
c) R$ 516,00 
d) R$ 716,00
Atividade 9. Na cidade de Moscou, na Rússia, os termômetros marcavam, de manhã, –16 °C. 
Os jornais locais indicavam que a temperatura, no decorrer do dia, ainda cairia em 13 °C. Segundo 
essa previsão, a temperatura chegaria a:
a) –29 °C
b) –3 °C
c) +3 °C 
d) +13 °C
Atividade 10. Seja A = (–5)2 + (–5)3. O valor de A é:
a) 125
b) –5
c) 625 
d) –100
18 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
1. Introdução
Os números naturais surgiram para auxiliar no processo de contagem, mas na vida cotidiana 
utilizamos também as partes próprias da unidade. Comprimento, área, peso, tempo são exemplos 
de medidas usuais que, sem a criação do conjunto dos números racionais, não poderiam ser 
quantificadas.
2. Resolução de problemas
Problema 1. Clara, Elisa, Marcos e Henrique tentam dividir três barras de chocolate entre eles. 
Mas, como fazer, se todos devem receber a mesma quantidade?
NúMEROS RACIONAIS2
19GUIA DO ALUNO
Problema 2. Imagine três terrenos idênticos, o primeiro dividido em duas partes iguais; o segundo, 
em quatro partes iguais, e o terceiro, em 16 partes iguais, como representado nas figuras a seguir:
Os três pertencem ao mesmo agricultor, e cada um será semeado da seguinte maneira: o primeiro 
com sementes de cenoura; o segundo com alface, e o terceiro com batata. A região colorida nas 
figuras anteriores indica a porção de cada terreno que será semeada. Qual dos três terrenos terá 
maior área semeada?
Problema 3. Os amigos Carlos, Jonas, Lucas e Pedro foram a uma pizzaria. Chegando lá, Carlos e 
Pedro escolheram uma pizza de muçarela e pediram para ser repartida em 8 partes iguais. Já Lucas 
e Jonas optaram por outra de calabresa, cortada em 6 partes iguais. No fim da noite, sobrou um 
pedaço de cada pizza. Qual dupla comeu mais?
20 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Problema 4. Um agricultor plantou batatas em 5 das 12 partes em que dividiu a sua horta. Em 
outras 3 partes, plantou abobrinhas. Quantas partes da horta foram utilizadas com essa plantação? 
Esse mesmo agricultor pretende plantar cenouras na parte restante da horta. Quanto da horta 
ainda resta para tal plantação?
Problema 5. Dona Rosa é a responsável pela cantina de uma escola. Ela costuma fazer bolos de 
chocolate para vender aos alunos. Em um dia, ela fez dois tabuleiros de bolo do mesmo tamanho; 
um deles dividiu em 12 partes iguais e vendeu 5 pedaços, e o outro dividiu em 8 partes iguais e 
vendeu apenas 1 pedaço. Qual fração representa o quanto foi vendido de bolo de chocolate 
naquele dia?
Problema 6. Seu Jorge tem cinco filhos. Ele comprou um grande terreno e o dividiu igualmente 
entre eles. Após alguns anos, Júlio, o filho mais velho, decidiu dividir seu terreno entre seus três 
filhos. Em relação ao terreno original, qual fração representa a quantidade que cada um receberá?
21GUIA DO ALUNO
Problema 7. Uma pesquisa foi encomendada para analisar a preferência de moradores de uma 
cidade por esportes. 
3
4
 dos entrevistados gostam de futebol e metade desses 
3
4
 gostam também de 
vôlei. Qual fração representa os entrevistados que gostam de vôlei?
Antes do próximo problema, vamos analisar algumas situações.
Para repartir igualmente 40 litros de leite entre 10 famílias, quanto deverá receber cada família?
Se 40 litros de leite devem ser colocados em jarras de 1 litro cada uma, quantas jarras serão necessárias?
E se tivermos canecas de 
1
2
 litro cada uma, quantas serão necessárias?
E se tivermos copos de 250 m,, isto é, 
1
4
 de litro cada um, quantos serão necessários?
E se tivermos garrafas de 
4
5
 de litro, quantas serão necessárias?
Problema 8. Para repartir 
25
4
 de litro de leite em copos de 
2
5
 de litro, quantos copos serão necessários?
22 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Problema 9. Uma fábrica de refrigerantes pôs à venda uma garrafa que continha 
1
4
 de litro a mais 
em comparação com as garrafas comuns que contêm um litro. Comparando a garrafa antiga e a 
nova garrafa, qual fração representa a quantidade de refrigerante na nova garrafa, considerando 
como unidade um copo de 250 m,?
Problema 10. Parte de um terreno foi utilizada para construção e outra parte para um jardim, 
conforme mostra a figura.
Construção
Construção Jardim
Construção
a) Indique as frações correspondentes à parte construída e à parte dedicada ao jardim em relação 
ao terreno todo.
b) Indique a fração correspondente ao jardim em relação à parte construída.
c) Qual número decimal representa o tamanho do jardim em relação ao terreno todo?
d) Que número decimal representa o tamanho do jardim em relação à parte construída?
23GUIA DO ALUNO
Problema 11. Veja a pontuação obtida por seis atletas em uma competição de ginástica artística:
Atleta Pontos
Aline 8,72
Bia 9,25
Cláudia 9,36
Diana 8,725
Eloá 9,32
Flávia 8,728
Qual foi a ordem de classificação das atletas?
Ordem Atleta
1a Cláudia
Problema 12. Sr. José foi ao supermercado e comprou um pacote de 5 kg de arroz por R$ 10,89, 
1 kg de carne por R$ 12,65 e uma dúzia de ovos por R$ 2,99. Quanto ele gastou? Para pagar a conta, 
seu José entregou à caixa do supermercado uma nota de R$ 50,00. Quanto ele recebeu de troco?
Problema 13. Ao sair do mercado, Sr. José lembrou-se de que deveria ter comprado muçarela. No 
caminho para casa, passou em uma padaria e comprou 250 g do queijo, que custava R$ 14,99 o 
quilo. Quanto pagou pelo queijo?
24 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Problema 14. Para saber se um carro é econômico, calcula-se o rendimento médio de combustível. 
Por exemplo, seo carro faz 14 km com 2 litros de álcool, o rendimento é de 7 km por litro. Isso 
porque 14 ÷ 2 = 7. Qual será o rendimento médio de um automóvel que rodou 304,5 km com 
35 litros de combustível?
4. O conjunto dos Números Racionais (œ)
Todos os números vistos até agora são chamados números racionais, pois podem ser escritos em 
forma de fração, como razão entre dois números inteiros. Esses números formam o conjunto dos 
números racionais, que é representado pela letra lQ.
Fixando um ponto para o zero, uma unidade para o 1 e um sentido para o positivo, podemos 
localizar na reta qualquer número racional. Veja a localização de 
2
3
; –1,5; 3,25; –2,6 e 2,333...:
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
–2,6 –1,5 2,333... 3,25
2
3
5. Porcentagem
O tema porcentagem é recorrente em toda a Matemática e surge nas mais diversas situações. 
Este é um assunto trabalhado ao longo do Ensino Fundamental e deve ser devidamente compreen-
dido, pois está presente em problemas diversos, relacionados a diferentes saberes matemáticos, 
além de ser uma ferramenta muito empregada na vida cotidiana.
Objetivamente, uma porcentagem é uma fração de denominador 100.
Por exemplo, “sete por cento” escreve-se como “7%” e significa “sete centésimos”, isto é, 7% = 
7
100
 .
Sempre que se menciona “sete por cento” imagina-se 7% de determinada grandeza. Nesse caso, 
imaginam-se sete centésimos dessa grandeza.
Como porcentagem surge a todo instante, é conveniente saber os significados das mais frequen-
temente utilizadas.
Porcentagem 10% 20% 25% 50% 100%
Significado
1
10
1
5
1
4
1
2
1
25GUIA DO ALUNO
Um erro muito comum é considerar que se uma mercadoria custava R$ 100,00, e passou a custar 
R$ 400,00, então, essa mercadoria sofreu um aumento de 400%, já que o preço atual é o quádruplo 
do preço original. De fato, o preço atual é o quádruplo do preço original, entretanto, o aumento 
foi de R$ 400,00 – R$ 100,00 = R$ 300,00 = 3 ? R$ 100,00, que corresponde a um aumento de 
300% em relação ao preço original.
Em determinados contextos, não faz sentido citar porcentagens superiores a 100%. Por exemplo, 
não faz sentido mencionar um desconto de 140% no preço de um produto. Seria dar um desconto 
superior ao preço do produto. Entretanto, é adequado dizer que um produto teve aumento de 
140%.
Os problemas de porcentagem envolvem, em geral, três elementos fundamentais: o valor básico, 
a taxa de porcentagem e a porcentagem do valor básico. Os problemas mais simples de porcentagem 
consistem em, dados dois desses elementos, calcular o terceiro.
Problema 1. O salário mensal de um trabalhador é R$ 980,00. Ao receber um aumento salarial de 
3,6%, quanto passou a ser seu novo salário?
26 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Problema 2. O preço do ingresso do cinema foi reajustado em 25% e, com isso, passou a valer 
R$ 11,25. Qual era o valor da entrada antes do reajuste?
Problema 3. Em uma empresa, há 620 funcionários. Desse total, 341 são homens. Qual a porcen-
tagem de funcionárias nessa empresa?
Problema 4. (Enem) Para aumentar as vendas no início do ano, uma loja de departamentos 
remarcou os preços de seus produtos 20% abaixo do preço original. Quando chegam ao caixa, os 
clientes que possuem o cartão fidelidade da loja têm direito a um desconto adicional de 10% sobre 
o valor total de suas compras.
Um cliente deseja comprar um produto que custava R$ 50,00 antes da remarcação de preços. Ele 
não possui o cartão fidelidade da loja. Caso esse cliente possuísse o cartão fidelidade da loja, a 
economia adicional que obteria ao efetuar a compra, em reais, seria de:
a) 15,00
b) 14,00
c) 10,00
d) 5,00
e) 4,00
Problema 5. (OBMEP) Descontos sucessivos de 20% e 30% são equivalentes a um único desconto 
de quanto?
27GUIA DO ALUNO
Problema 6. (OBMEP) No gráfico, estão representadas as populações das cidades I, II, III, IV e V 
em 1990 e 2000, em milhares de habitantes. Por exemplo, em 1990, a população da cidade II era 
de 60 000 habitantes e, em 2000, a cidade IV tinha 150 000 habitantes. 
160
1990
2000
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
I II III IV V
0
Qual cidade teve o maior percentual de população de 1990 a 2000?
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
e) V.
28 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
6. Trio dos Racionais
Para esta oficina, sugerimos o jogo “Trio dos Racionais”. Nele, os alunos devem relacionar três 
maneiras distintas de representar um mesmo número racional. As cartas estão no anexo, ao final 
desta Oficina.
Objetivos:
» Relacionar a imagem de uma fração com suas representações decimais e fracionárias.
» Trabalhar em equipe.
Regras:
Participantes: Os alunos devem jogar em equipes formadas por três pessoas.
Cartas: São 30 cartas no total contendo 10 números racionais e suas representações.
Como jogar:
Inicia-se o jogo embaralhando as cartas e colocando-as sobre a mesa, com a face escrita voltada 
para cima.
Os participantes devem observar as cartas por um minuto, tentando localizar os trios de racionais, ou 
seja, as três cartas que representam o mesmo número racional. Após um minuto, viram as faces 
escritas para baixo.
A primeira equipe desvira três cartas. Se elas formarem trio, devem ser retiradas da mesa, e joga-se 
novamente. Se não, a equipe volta a virar as faces para baixo, deixando-as no mesmo lugar. Passa, 
então, a vez para a outra equipe.
O jogo continua até que todas as cartas sejam retiradas da mesa.
As equipes podem utilizar uma folha de rascunho, caso seja necessário efetuar alguma operação.
Vencedor:
Vence a equipe que conseguir o maior número de trio de cartas.
29GUIA DO ALUNO
7. Resolva as atividades propostas a seguir:
Atividade 1. Observe as figuras a seguir e identifique as que podem ter a parte hachurada repre-
sentada por uma fração:
I II III IV V VI
As questões a seguir referem-se às figuras que representam uma fração:
a) Qual fração representa cada uma delas?
b) Encontre duas frações equivalentes a cada uma delas.
c) Em relação à resposta do item (a), quais são frações equivalentes?
d) Quais são frações irredutíveis?
e) Qual pode ser expressa pela fração 
1
2
?
Atividade 2. Três caixas d’água têm a mesma capacidade. Uma está com 
5
6
 da sua capacidade, 
outra com 
4
7
, e a terceira com 
11
14
. Qual das caixas está mais cheia?
Atividade 3. O chão da sala de jantar da casa de Denise está sendo acarpetado. Num dia, foi 
colocado carpete em 
6
8
 do chão e, no dia seguinte, em 
2
11
.
a) Qual fração representa a parte acarpetada?
b) Qual fração representa a parte onde falta colocar carpete?
30 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Atividade 4. A classe de Willian, o 9o ano B, foi ao zoológico observar os animais para fazer um 
trabalho de Ciências.
a) Um ônibus com 48 lugares apanhou os alunos na porta da escola. A professora de Ciências foi 
com eles. Se 
5
8
 dos lugares foram ocupados, quantos assentos ficaram vazios?
b) Cinco alunos faltaram à excursão. Quantos alunos há no 9o ano B?
c) A distância da escola ao zoológico é de 12 km. Ao percorrer 
5
8
 dessa distância, furou um dos 
pneus do ônibus. Quantos quilômetros faltavam para chegar ao zoológico?
d) Quando conseguiram chegar ao zoológico, os alunos foram direto à ala dos macacos. Lá vivem 
49 macacos; 
5
8
 são fêmeas. Quantos são os machos?
e) Num viveiro havia 311 passarinhos; morreram 5. Um empregado do zoológico retirou os passa-
rinhos mortos, mas esqueceu a porta do viveiro aberta e 
5
6
 do restante fugiram. Quantos pas- 
sarinhos sobraram?
Atividade 5. Considere as seguintes informações sobre o rendimento de combustível do carro do 
Sr. Antônio: rendimento médio urbano de 12,1 km/,; rendimento médio na estrada de 16,5 km/,.
Em uma viagem, esse carro percorreu 36,3 km na cidade e 198 km na estrada. Calcule a despesa 
com combustível que Sr. Antônio teve nessa viagem, considerando que o preço de cada litro de 
combustível foi de R$ 2,30.
Atividade 6. Localize em uma mesma reta os seguintes números racionais:a) 0,1
b) –1,2
c) 3,444...
d) – 
2
5
e) 
10
4
f ) –3,75
31GUIA DO ALUNO
Atividade 7. Complete a tabela:
Porcentagem Fração Número decimal
20%
3
5
0,75
7,5%
8
200
1,25
50%
7
4
0,025
Atividade 8. Calcule:
a) 10% de 50 000 =
b) 25% de 400 =
c) 50% de 258 =
d) 80% de 2 700 =
32 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Atividade 9. Calcule o número em que:
a) 40% é 16 =
b) 20% é 30 =
c) 15% é 30 =
d) 200% é 120 =
Atividade 10. (CEFET-CEARá) Um produto sofreu um aumento de 25%. Em seguida, devido a varia-
ções no mercado, seu preço teve que ser reduzido também em 25%, passando a custar R$ 225,00. 
Qual o preço desse produto antes do aumento?
Atividade 11. (Enem) O gráfico apresenta as taxas de desemprego durante o ano de 2011 e o 
primeiro semestre de 2012, na região metropolitana de São Paulo. A taxa de desemprego total é a 
soma das taxas de desemprego aberto e oculto.
7,6
2,0
10,5
Em
 %
Jan. Fev. Mar. Abr. Mai. Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez.
10,5
11,3 11,2 10,7 11,0 11,1 11,2
10,6 9,9
9,5 9,0
Aberto/2012
Oculto/2012
Total/2011
2,0
2,0 2,1 2,1 2,2
8,4 9,1 9,1 8,8 9,0
Suponha que a taxa de desemprego oculto do mês de dezembro de 2012 tenha sido a metade da 
mesma taxa em junho de 2012 e que a taxa de desemprego total em dezembro de 2012 seja igual 
a essa taxa em dezembro de 2011.
(Fonte: Disponível em: <www.dieese.org.br>. Acesso em: 1o ago 2012 – Fragmento). 
Nesse caso, a taxa de desemprego aberto em dezembro de 2012 teria sido, em termos percentuais, de:
a) 1,1
b) 3,5
c) 4,5
d) 6,8
e) 7,9
33GUIA DO ALUNO
Atividade 12. A água do mar contém 2,5% de seu peso em sal. Quantos quilogramas de água do 
mar são necessários para obter 500 g de sal?
Atividade 13. Em uma promoção, uma bermuda sofreu um desconto de 15% e, no último dia 
da liquidação, sofreu um novo desconto de 10%. Qual foi o desconto percentual total no preço da 
bermuda no último dia da liquidação, em relação ao preço anterior a ela?
Atividade 14. Pedro realizou um trabalho pelo qual recebeu R$ 2 349,00 líquidos, após o desconto 
de 10% de INSS.
a) Qual foi a remuneração (bruta) paga a Pedro por esse trabalho?
b) Quanto Pedro deveria ter cobrado por esse trabalho, de forma a receber (líquidos) R$ 2 610,00, 
após a dedução do INSS?
34 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
1. Introdução
Nesta Oficina trataremos desses conteúdos começando pela potenciação com base racional e 
expoente natural, ampliando para expoentes negativos e enfatizando a utilização das potências 
de 10 utilizadas nas notações científicas, que são fundamentais para o desenvolvimento das 
teorias da Física e da Química. Trabalharemos também com as propriedades da potenciação, 
objetivando desenvolver técnicas de cálculo e raciocínio.
Quanto à radiciação, introduziremos sua definição como a operação inversa da potenciação e 
destacaremos as propriedades e os cálculos que envolvam números irracionais, trabalhando com 
simplificação de radicais.
Usaremos um jogo como recurso didático lúdico, com o objetivo de desenvolver raciocínio lógico 
matemático e habilidades de cálculo com potências e radicais. O jogo que usaremos é uma 
adaptação do “Dominó humano matemático”, que terá cálculos que envolvem potências e radicais 
e suas propriedades. Esse jogo tem o objetivo de entreter, aperfeiçoar e, ao mesmo tempo, dinamizar 
a aula. Por meio desse recurso, os alunos aprendem matemática brincando, desenvolvem autonomia, 
fixam as propriedades e ainda interagem com o professor e com os colegas.
2. Potenciação
A potenciação é útil na análise de várias situações. Vejamos, por exemplo, como proceder na com-
preensão da difusão de uma epidemia.
Problema 1. Suponha que uma pessoa esteja contaminada com determinada doença. Em 1 dia, 
o sujeito contaminado espalha a doença para 4 pessoas. Cada uma dessas 4 pessoas contamina 
outras 4 pessoas, no tempo de 1 dia. Em pouco tempo, teremos uma epidemia. Faça um diagrama 
de árvore e complete a tabela:
Tempo Instante inicial 1o dia 2o dia 3o dia 4o dia
Novas pessoas contaminadas 1
POTENCIAçãO E RADICIAçãO3
35GUIA DO ALUNO
O problema anterior envolve o uso de potências.
A fórmula a seguir possibilita saber o número de contaminados C no enésimo dia, segundo a 
tabela:
C = 4n
Vamos efetuar as potenciações, relembrando as regras da multiplicação dos números racionais:
a) 34 =
b) (–5)2 =
c) (–2)3 =
d) [ 5
8
]
2
 =
e) (3,1)3 =
f ) 181 =
g) (–2)6 =
h) 07 = 
Observando as potências que você acabou de calcular, responda:
a) Se a base é positiva, a potência é positiva ou negativa?
b) Se a base é negativa, a potência é positiva ou negativa?
Problema 2. Complete a tabela, observando a regularidade em sua elaboração:
22 21 20 2–1 2–2 2–3
8 4 2
a) Escreva o resultado da potência:
 a–n = 
36 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
b) Efetue as potenciações, considerando o resultado anterior:
2–4 5–2 [
2
5
]
–3
[ 8
7
]
–1
(0,7)0
Problema 3. Leia o seguinte texto, em voz alta, e em menos de 30 segundos:
“...como, por exemplo, o nosso Sistema Solar que tem um diâmetro aproximado 
de 100 000 000 000 metros. E isso é muito pequeno se comparado com o tamanho 
da Galáxia onde vivemos com seus incríveis 100 000 000 000 000 000 000 metros 
de diâmetro. No entanto, ao lembrarmos que o Universo visível deve ter cerca de 
100 000 000 000 000 000 000 000 000 metros de diâmetro, vemos que tamanhos 
assombrosos estão incluídos no estudo da Astronomia. Daí pensamos que é melhor 
estudar Biologia, pois a molécula do DNA tem apenas 0,000 000 1 metro, muito 
mais fácil de lidar. O problema é que a Astronomia não é uma profissão perigosa, 
enquanto a Biologia... Imagine que os biólogos têm a coragem de lidar com vírus 
que medem apenas 0,000 000 001 metro e são terrivelmente mortais. E se, por 
distração, um biólogo deixar um desses vírus cair no chão do laboratório? Nunca 
mais irá encontrá-lo! [...]”.
PEDRO, Ivã. Textos para o Enem. In: Física divertida. Disponível em: <http://fisicadivertida.com.br/ 
media/2015/09/texto-1-medidas-e-vetores.pdf>. Acesso em: 3 mar. 2016.
Difícil ler esses números, não é?
Para facilitar ainda a compreensão de textos como esses, os cientistas passaram a usar uma forma 
compacta para escrever números muito grandes ou muito pequenos, a chamada notação científica 
ou notação exponencial.
Agora, você pode escrever os números que aparecem no texto anterior utilizando notação científica.
37GUIA DO ALUNO
3. Radiciação
Problema 4. Vamos completar a tabela calculando a área de um quadrado de lado medindo n 
centímetros. 
Lado n Área
3 cm
7 cm
2,5 cm
x cm
Agora, a situação é inversa. Escreva a medida do lado de um quadrado, conhecendo sua área:
Área Lado
16 cm2
64 cm2
2,25 cm2
x2 cm2
Você acabou de calcular várias raízes quadradas. A ideia é a mesma para outras raízes. Procure usar 
esse raciocínio do inverso da potenciação para calcular as seguintes raízes:
a) 
2
121 =
b) 256 =
c) 
3
125 =
d) =
e) 
4
–16 =
f ) 
5
32 =
g) 
2
–8 =
Problema 5. O gráfico a seguir mostra a relação entre os números reais x, de 0 a 10, e os seus 
quadrados, representados por y. Analise-o e determine, ao observá-lo, o valor aproximado:
a) dos números cujos quadrados são 36; 30; 19; 84 
b) dos números 15 ; 81 ; 69 ; 54 
144
25
38 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
x
y
100
95
90
85
80
75
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0 2 4 6 8 10
Problema 6. As sentenças seguintes referem-se a dois números não negativos. Classifique-as em 
verdadeira ou falsa.
a) A soma das raízes quadradas de dois números é sempre igual à raiz quadrada da soma desses 
números: a + b = a + b ( )
b) O produto das raízes quadradas de dois números é sempre igual à raiz quadrada do produto 
desses números: a ? b = a ? b ( )
39GUIA DO ALUNO
c) O quociente das raízes quadradas de dois números é sempre igual à raiz quadrada do quociente 
desses números: a ÷ b = a ÷ b ()
d) A diferença das raízes quadradas de dois números é sempre igual à raiz quadrada da diferença 
desses números: a – b = a – b ( )
e) A raiz quadrada de um número corresponde a uma potência com expoente fracionário 1
2
:
 a = a ( )
Problema 7. Obtenha o perímetro do triângulo e do retângulo ilustrados a seguir, cujas medidas 
de seus lados estão dadas em centímetros. Procure simplificar os radicais.
a) 
125
20
5
48
18
1
2
40 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
4. Dominó matemático
Regras:
» Recorte as peças (você poderá refazer essas peças com outro material e de outro tamanho, 
se julgar necessário) e distribua-as para a turma, entregando uma peça para cada aluno. 
Se sobrarem peças, estas ficarão com você para que o jogo possa se realizar. Se houver mais 
alunos do que peças, organize a turma em dois grupos diferentes, para que todos possam 
participar.
» Um aluno começa o jogo. Ele vai à frente e lê seu cartaz. Por exemplo:
Eu tenho 9, quem tem 0100?
O aluno que estiver com a resposta, ou seja, o aluno que tem a peça com os dizeres: “Eu tenho 0, ...” 
vai à frente, ficando ao lado do primeiro (como se fosse um dominó humano), e assim por diante, 
cada aluno vai se posicionar no dominó conforme sua peça.
É importante que você, tutor, aguarde as tentativas dos alunos. Espere até que alguém se pronun-
cie com o cartão que contém a resposta correta, mas não se esqueça de formalizar o cálculo ou a 
propriedade que foi utilizada para resolver aquele item. Você poderá empregar as seguintes ques-
tões: Com quem está o cartão com o resultado? Como você chegou ao resultado? Alguém usou 
algum outro caminho para efetuar o cálculo?
5. Resolva as atividades propostas a seguir: 
Atividade 1. As distâncias entre as estrelas são tão grandes que não convém medi-las em quilô-
metros. Por isso, os astrônomos utilizam uma unidade de medida mais conveniente: o ano-luz. Um 
ano-luz é a distância percorrida pela luz em um ano. Responda:
a) Em cada segundo, a luz percorre 300 000 km. Multiplique esse valor pelo número de segundos 
de um ano e obtenha quantos quilômetros há em um ano-luz. Registre a resposta em notação 
científica. 
b) A segunda estrela mais próxima da Terra está a 4 anos-luz de distância. Quantos quilômetros 
nos separam dela?
41GUIA DO ALUNO
Atividade 2. No primeiro dia de uma epidemia de gripe, foram registrados cinco casos de 
pessoas infectadas. No segundo dia, cada uma das cinco transmitiu a gripe para outras cinco 
pessoas saudáveis. E assim a doença se propagou nos dias seguintes. Ao final do 6o dia, quantas 
pessoas ao todo haviam sido infectadas?
Atividade 3. Qual é o valor aproximado de 348 ?
Atividade 4. A medida da área de um triângulo equilátero de lado , é ,
23 
4
. Nessas condições, 
qual é a medida da área de um triângulo equilátero de lado medindo 35 cm?
Atividade 5. Um terreno retangular de dimensões 20 m 3 22 m deverá ser cercado com arame.
Se o metro de arame custa R$ 3,50, quanto será gasto para cercar esse terreno, sendo necessário 
dar 3 voltas de arame? (Use valores aproximados para os radicais não exatos).
Atividade 6. Qual o resultado da expressão (0,8)2 ÷ (31)0 + [ 6
10
]
2
?
Atividade 7. (OBMEP) Quais dos números a seguir está mais próximo de 
60,12 ? (0,99)2
401
 ?
a) 0,03
b) 0,3
c) 3
d) 30
e) 300
42 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
1. Introdução
Esta Oficina trata de um tema muito importante, pois está na base da resolução de proble- 
mas em Matemática. Veremos como traduzir, em linguagem e notação matemática, informações 
apresentadas textualmente, além de saber operar com expressões matemáticas do tipo monômio 
e polinômio.
2. O emprego de letras em matemática
Problema 1. Represente as frases a seguir em linguagem matemática:
a) Um número mais o quádruplo dele é igual a 10.
b) A metade do número de eleitores de uma cidade é igual a 1642.
c) Os três quartos de um número menos dois é igual a 35.
d) Um número adicionado ao seu dobro resulta em 28.
Problema 2. O quintal da casa de Érika tem formato retangular, e suas dimensões (em metros) 
estão representadas na figura a seguir:
a
a
bb
Como podemos representar a medida do contorno desse quintal?
REVENDO áLGEBRA4
43GUIA DO ALUNO
3. Operações com monômios
3.1. Adição de monômios
Problema 3. Dona Emília quer colocar rodapé no contorno da cozinha, que tem forma retangular 
e cujas dimensões estão representadas no desenho a seguir. Vamos ajudá-la!
3x
2x
3.2 Multiplicação de monômios
Problema 4. Dona Emília quer calcular a área da cozinha para colocar piso. Vamos ajudá-la! Você 
já sabe que a largura da cozinha é 3x e o comprimento é 2x.
3.3. Subtração de monômios
Problema 5. Quando Dona Emília chegou à loja para comprar o piso, soube de uma oferta. 
Resolveu calcular para saber se o piso servia para a cozinha. Descobriu que o total do piso em 
oferta era 8x2 metros quadrados.
Como a área de que Dona Emília precisa é 6x2 metros quadrados, o piso em oferta será suficiente? 
Sobrará ou faltará? Quanto?
44 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
3.4. Divisão de monômios
Problema 6. Mas a loja só venderia parte dessa mercadoria (piso) se sobrassem pelo menos 3x2 
metros quadrados. Por isso, Dona Emília não pôde comprar o piso nessa loja. Como ainda precisa 
do piso para a cozinha, Dona Emília foi a outra loja. Lá encontrou um lote de 18x2 metros qua-
drados de piso e, como o preço estava barato, resolveu comprá-lo. Curiosa, pensou em quantas 
cozinhas do tamanho da sua poderiam ser revestidas com aquela quantidade de piso.
3.5. Potenciação de monômios
Problema 7. Dona Emília resolveu colocar em sua sala um tapete quadrado com as dimensões 
a seguir:
2y
2y
Ela quer saber a área desse tapete.
3.6. Radiciação de monômios.
Você já sabe que a operação inversa da potenciação é a radiciação. Então, para extrairmos a raiz 
de um monômio, fazemos a operação inversa:
4y2 = 
2
22 ? y2 = 2
2
2 ? y
2
2 = 21 ? y1 = 2 ? y = 2y
Generalizando, temos:
n
am = a
m
n
e
n
ab = a
1
n ? b
1
n
Portanto, repetimos a base e dividimos o expoente do radical pelo índice da raiz.
45GUIA DO ALUNO
4. Polinômios
4.1. Adição de polinômios
Problema 8. O presidente do Tabajara Futebol Clube precisa cercar o campo e, para tanto, quer 
saber quantos metros de alambrado terá de comprar, sendo o comprimento desse campo dado 
por 5x + 20 metros, e sua largura, por 4x + 10 metros.
4.2. Multiplicação de polinômios
Problema 9. Em seguida, o mesmo presidente necessita gramar o campo de futebol. Para isso, 
você sabe, é só calcular a área. Assim:
46 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
5. Equações lineares
5.1. Identidade e equação
É importante, inicialmente, compreender a diferença entre equação e identidade. Essa diferenciação 
deve ser pontuada a priori, pois esclarecerá, adiante, as situações “estranhas” que surgirão ao se 
resolverem algumas equações.
Dada uma expressão na qual figura apenas uma letra, suponhamos x, à qual nos referiremos como 
expressão em x, o conjunto dos números reais x, para os quais se podem efetuar as operações 
indicadas na expressão, é chamado de domínio da expressão. Veja os dois casos a seguir.
a) O domínio da expressão 
2
x – 3
 é o conjunto dos x reais diferentes de 3, pois, nessa expressão, 
podemos atribuir a x todos os valores reais, exceto o valor 3, já que, neste caso, o denominador se 
anularia e estaríamos diante de uma divisão por zero, o que não existe.
b) O domínio da expressão 3x + 2 é o conjunto IR dos números reais, pois podemos atribuir a x 
qualquer valor real que a expressão em tela sempre fornecerá, por resultado, um número real.
Dada uma igualdade na qual em cada membro se tem uma expressão em x, consideremos o con-
junto dos números reais x que são comuns aos domínios dessas expressões, ou seja, o conjunto dos 
números reais x para os quais são possíveis de serem realizadas as operações indicadas por ambas 
as expressões. Indiquemos tal conjuntopor D. Veja os dois casos a seguir:
a) No caso da igualdade 3x + 1 = x – 4, as operações indicadas por ambas as expressões 3x + 1 
e x – 4 podem ser efetuadas para qualquer x real, logo D = IR. Da mesma maneira acontece com 
a igualdade (x + 2)2 = x2 + 4x + 4.
A
N
A
 B
EA
TR
IZ
 C
A
V
ET
47GUIA DO ALUNO
b) Na igualdade 
2
x + 2
 = 
3
3x – 2
, o conjunto D é a coleção dos números reais diferentes de –2 e 
2
3
, pois tais números anulam, respectivamente, os denominadores do primeiro e segundo 
membros. No caso da igualdade 
1
x – 2
 + 
2
x – 2
 = 
3
x – 2
, o conjunto D é a coleção dos números 
reais diferentes de 2.
 Se a igualdade se verifica para todo x de D, tem-se uma identidade (em D). Caso contrário, tem-se 
uma equação. Neste último caso, resolver a equação significa obter os valores x de D que a verificam. 
O conjunto desses valores será chamado de conjunto-solução da equação (eventualmente, tal 
conjunto pode não conter nenhum elemento, que é o caso de não haver solução para a equação).
5.2. Equação do 1o grau
Uma equação do 1o grau pode ser reescrita e transformada na forma ax + b = 0, na qual a e b são 
constantes, a  0 e x é a incógnita da equação.
Note que o domínio da expressão ax + b = 0, com a e b constantes e a  0, é o conjunto dos 
números reais.
Sua resolução é feita da seguinte forma:
ax + b = 0
ax + b – b = 0 – b [subtrai-se b de ambos os membros para cancelar com o b]
ax = –b
ax
a
 = 
–b
a
 [dividem-se ambos os membros por a para isolar a incógnita x]
x = 
–b
a
Logo, a expressão ax + b = 0 é uma equação e o seu conjunto-solução é o conjunto unitário 
S = {– b
a
 } .
Uma atitude que deve ser evitada ao se resolver equações é a mecanização excessiva dos procedi-
mentos, criando-se “regras” que levam, invariavelmente, o aluno a não saber o que está realmente 
fazendo e que, certamente, não trazem significado à sua aprendizagem. Além disso, essas “regras” 
são facilmente confundidas ou esquecidas.
É muito comum o aluno decorar regras como “passa para lá com o sinal trocado” ou “passa para 
lá dividindo” e, depois, não sabe quando se aplica uma ou outra regra.
Por exemplo, na resolução da equação 2x – 4 = 10 é comum o aluno utilizar as “regras” anteriores 
da seguinte forma:
2x – 4 = 10
2x = 10 + 4 [“passa o 4 para lá com o sinal trocado”]
x = 14 [“passa o 2 para lá dividindo”]
x = 7
o que conduz, neste caso, à resposta correta, ou seja, o conjunto-solução dessa equação é S = {7}.
48 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Entretanto, não é incomum o aluno aplicar essas mesmas “regras” da seguinte forma:
2x – 4 = 10
2x = 
10
4
 [“passa o 4 para lá com o sinal trocado e dividindo”]
2x = 2,5
x = 2,5 – 2 [“passa o 2 para lá com sinal trocado”]
x = 0,5
Esse tipo de erro resulta de se tentar fixar o algoritmo de resolução, em detrimento das ideias 
associadas aos procedimentos de resolução.
É sempre melhor afirmar, explicitamente, o que realmente está se fazendo, em cada passagem, 
conforme apresentado a seguir:
2x – 4 = 10
2x – 4 + 4 = 10 + 4 [soma-se 4 em ambos os membros para cancelar o –4 no 1o membro]
2x = 14
2x
2
 = 
14
2
 [dividem-se ambos os membros por 2 para isolar x no 1o membro]
x = 7
Procedendo dessa forma, a aprendizagem ganha significado para o aluno e evita que ele “decore” 
receitas de procedimentos que, muito provavelmente, cedo ou tarde, ele as esquecerá ou 
as confundirá.
Problema 1. Resolva as equações a seguir:
a) 2x + 3 = 4x – 2
b) 
3x – 1
2
 = 1,5x – 
1
2
c) 2x + 2 = 
4x – 3
2
d) 3(y + 4) – 5 = 9
e) 
y
2
 + 
y
3
 = y + 4
f ) 2(y + 3) – 4(y – 2) = y + 4(2 – y)
49GUIA DO ALUNO
Problema 2. Existem três números inteiros e consecutivos cuja a soma é 153. Quais são esses 
números?
Problema 3. (Enem) O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto em 
um só pé, uma passada e um salto, nesta ordem. Sendo que o salto com impulsão em um só pé será 
feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada ele 
cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado.
Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do 
segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o segundo salto, 
o alcance diminuía 1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e considerando os seus 
estudos, a distância alcançada no primeiro salto teria de estar entre:
a) 4,0 m e 5,0 m.
b) 5,0 m e 6,0 m.
c) 6,0 m e 7,0 m.
d) 7,0 m e 8,0 m.
e) 8,0 m e 9,0 m.
Problema 4. (OBMEP) Cláudio e Mário possuem juntos R$ 240,00. Cláudio possui R$ 90,00 a 
mais que o dobro da quantia de Mário. Quanto possui Cláudio?
50 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
6. Resolva as atividades propostas a seguir:
Atividade 1. Faça a tradução das seguintes informações para a linguagem matemática:
a) O dobro de um número.
b) O triplo de um número.
c) A metade de um número.
d) A terça parte de um número.
e) Dois terços de um número.
f ) Um número mais quatro.
g) O triplo de um número menos dois.
h) Dois quintos de um número acrescidos de quinze.
i) O dobro de um número mais oito.
j) A metade de um número aumentado de dez.
k) A diferença entre um número e sete.
l) A quarta parte de um número mais vinte.
m) A terça parte de um número menos o seu dobro.
51GUIA DO ALUNO
Atividade 2. Uma creche tem x crianças. Escreva a expressão algébrica que representa:
a) o dobro do número de crianças dessa creche.
b) a quinta parte do número de crianças dessa creche.
c) o número de crianças que a creche teria se saíssem quinze crianças.
Atividade 3. Escreva a expressão algébrica que representa o perímetro das seguintes figuras:
a) a
a
a a
a
a 2a
b
2a 2a
b
2a
 
Atividade 4. Escreva cada situação descrita a seguir em linguagem algébrica.
a) a diferença entre um número e sua terça parte.
b) a soma de três números consecutivos.
c) a altura de uma pessoa é maior que a altura da irmã dessa pessoa.
d) o quádruplo de um número mais dez é igual a quarenta e seis.
b)
52 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Atividade 5. Descreva cada situação a seguir em linguagem corrente.
a) 5x + 1
b) 4x + 2 = 9
c) 3x – 2x
d) x + 
x
2
 = 
3
2
e) 
y
4
 – 3 < 
y
2
f ) (a + b) (a – b)
Atividade 6. Observe a figura e responda:
3x
2x
a) Qual é a expressão algébrica que representa a área desse retângulo?
b) Qual é a expressão algébrica do perímetro desse retângulo? Essa expressão pode ser reduzida a 
um só termo?
Atividade 7. Responda:
a) Qual é o produto de –3x2 por 5xy?
b) Qual é o produto de 8ab por –ab?
53GUIA DO ALUNO
Atividade 8. Observe a figura a seguir e responda:
4x²y
3y²
a) Qual é a expressão algébrica que representa a área desse retângulo?
b) A parte literal do monômio que representa a área do retângulo é x2y3? Explique como obteve 
esse resultado.
Atividade 9. Um litro de leite custa x reais. Léa comprou três litros de leite. Pagou com 5x reais. 
Nessas condições, responda:
a) Qual é o monômio que representa o preço de 3 litros de leite?
Atividade 10. Determine os monômios que representam a seguinte situação: um sorvete custa 
x reais. Leonardo comprou 3 sorvetes, e Carolina, 5.
a) Quanto os dois gastaram?
b) O troco que Leonardo recebeu, se ele pagou os dois sorvetes com 10x reais.
Atividade 11. Se Jussara tem 20x reais e resolveu dar a quarta parte desse dinheiro para seu filho, 
que quantia ele receberá?
54 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Atividade 12. Qual é a forma mais compacta de representar as expressões a seguir?
a) –7xy + 3xy =
b) 15mn – 8mn =
c) 2,5ab – 0,5ab =
d) –3a2b2 – a2b2 =
e) y2 + 6y2 – 2y2 =
f ) 4ax2 – 3ax2 + 9ax2 =
Atividade 13. Qual é o resultado de:
a) (15xy2) + (3x) =
b) (–20x2y) + (4y) =
c) (81a4b2c) + (–9ab) =
d) (–49a3b2c) + (7a2bc) =
e) (–48x4y3) + (–12x4y2) =
f ) (35x2y2) + (–5x2y2) =
Atividade 14. Suponha que um quadrado tenha área igual a 9y2. Qual é a medida do lado dessequadrado?
Atividade 15. A sala da casa de Lucimar tem forma de um quadrado e 16 m² de área. Qual é a 
medida do lado dessa sala?
Atividade 16. Encontre a medida do lado de um quadrado cuja área mede:
a) 81a4
b) 100m2n6
55GUIA DO ALUNO
Atividade 17. Dê o resultado de: 
a) (–2x)2 =
b) (3a2)3 =
c) (a2b3c)2 =
d) (–m2n3)4 =
e) = 64m2 =
f ) 100a4b10 =
g) 4
9
x4a10 =
Atividade 18. Branco comprou 5 calças e 12 camisas. Se cada calça custou x reais e cada camisa 
y reais, qual polinômio representa a quantia que Branco gastou?
Atividade 19. Calcule:
a) (x + y)2 =
b) (x – y)2 =
c) (x + 5) (x – 5) =
d) (a + 3)2 =
e) (b – 2)2 =
f ) (m – n) (m + n) =
Atividade 20. Resolva as equações:
a) 2x – (x – 1) = 5 – (x – 3)
b) 
x
2
 + 
1 – x
5
 = 
1
2
c) –3(3x – 42) = 2(7x – 52)
d) 2 ? (3 – y) + 7 ? (2 – y) = 15 – 4y
e) 5m – 7 – 2m – 2 = 0
f ) 
a
3
 – 1 = 
a
2
 – 
1
4
56 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Atividade 21. (Unicamp-SP) Roberto disse a Amanda: “Pense em um número, dobre esse número, 
some 12 ao resultado, divida o novo resultado por 2. Quanto deu?” Amanda disse: “15”. Roberto 
imediatamente revelou o número original em que Amanda havia pensado. Calcule esse número.
Atividade 22. O triplo de um número menos 30 é igual a sua metade mais 10. Qual é esse número?
Atividade 23. Um número mais a sua metade é igual a 150. Qual é esse número?
Atividade 24. (Enem) Na aferição de um novo semáforo, os tempos são ajustados de modo que, 
em cada ciclo completo (verde-amarelo-vermelho), a luz amarela permaneça acesa por 5 segundos, 
e o tempo em que a luz verde permaneça acesa seja igual a 
2
3
 do tempo em que a luz vermelha 
fique acesa. A luz verde fica acesa, em cada ciclo, durante X segundos e ciclo dura Y segundos. 
Qual é a expressão que representa a relação entre X e Y?
a) 5X – 3Y + 15 = 0
b) 5X – 2Y + 10 = 0
c) 3X – 3Y + 15 = 0
d) 3X – 2Y + 15 = 0
e) 3X – 2Y + 10 = 0
Atividade 25. (UEG) Em uma sala de cinema com 100 lugares, o valor do ingresso inteira custa 
R$ 20,00, enquanto o valor da meia-entrada custa 50% da inteira. Em uma seção, em que foram 
vendidos 80 meias e 20 inteiras, o faturamento foi de R$ 1200,00. Se o proprietário da sala der 
um desconto de 20% no valor da entrada, qual deve ser o número de pagantes com meia-entrada 
para que o proprietário tenha a sala cheia e o mesmo faturamento da seção anterior?
a) 80
b) 50
c) 40
d) 20
57GUIA DO ALUNO
1. Introdução
Este é um tema básico e importante. Tem sido solicitado em diversos concursos, em vestibulares 
e também no ENEM. Em geral, o aluno sabe resolver problemas envolvendo duas grandezas 
proporcionais pelo emprego da “regra de três”. Mas aplica a regra de três em situações inade-
quadas, para as quais ela não é válida. Em geral, o aluno não avalia corretamente se as grandezas 
envolvidas são ou não proporcionais, muito menos se essa proporcionalidade é direta ou inversa. 
Mais complicado ainda para ele é a situação na qual uma grandeza é proporcional a várias grandezas 
ao mesmo tempo.
2. Grandezas proporcionais
Considere a seguinte situação: uma empresa de Engenharia consegue asfaltar 60 km de estra-
da em 20 dias. Deseja-se saber quantos dias seriam necessários para que essa mesma empresa 
asfalte uma estrada de 84 km. As duas grandezas envolvidas, quilômetros de estrada a serem 
asfaltados e o número de dias necessários para realizar o asfaltamento, são tais que: se uma delas 
aumenta, a outra também aumenta, ou seja, quando aumentamos o número de quilômetros 
a serem asfaltados, o tempo necessário para realizar esse asfaltamento também aumenta.
Note, em particular, que se duplicássemos o número de quilômetros, o tempo gasto para 
realizar o asfaltamento seria também duplicado. Se triplicássemos o número de quilômetros, 
o tempo para realizar o asfaltamento deveria também ser triplicado. Na tabela a seguir, 
registramos a situação para algumas quilometragens. Note que, na última coluna desta 
tabela, registrou-se o quociente dos valores das duas grandezas em cada caso.
Quilometragem q 
da estrada
No d de dias necessários para 
realizar o asfaltamento Quociente q/d
60 20 3
120 40 3
180 60 3
30 10 3
12 4 3
1 1/3 3
Nessa situação, as grandezas q e d são tais que o valor de uma aumenta quando a outra 
também aumenta e, além disso, o quociente entre elas é constante.
GRANDEZAS DIRETA E 
INVERSAMENTE PROPORCIONAIS5
58 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Quando duas grandezas apresentam características como as exemplificadas, afirmamos que elas 
são proporcionais (ou diretamente proporcionais). Tecnicamente, duas grandezas x e y são 
proporcionais quando existe uma constante k (fator de proporcionalidade), tal que y = k ? x ou, 
equivalentemente, 
y
x
 = k.
Problema 1. Uma empresa de Engenharia consegue asfaltar 60 km de estrada em 20 dias. Quantos 
dias seriam necessários para a mesma empresa asfaltar uma estrada de 84 km?
Problema 2. Uma lata de leite em pó, pesando 400 g, custa R$ 5,20. O mesmo leite, na embalagem 
de 900 g, custa R$ 11,20. Qual das duas opções é economicamente mais vantajosa?
Problema 3. Trabalhando 8 horas por dia, 3 trabalhadores constroem um muro de 40 m de altura 
em 12 dias. Se o número de horas de trabalho diário for reduzido para 6 e o número de trabalha-
dores aumentado para 5, qual será o comprimento de um muro de mesma altura que eles construirão 
em 15 dias?
59GUIA DO ALUNO
3. Grandezas inversamente proporcionais
Considere agora um tanque a ser enchido e que se possa enchê-lo utilizando-se uma, duas ou 
várias torneiras, todas de mesma vazão. Dependendo do número de torneiras utilizadas, o tempo 
para encher o tanque varia. É importante observar que essa situação se diferencia das anteriores, 
pois, neste caso, as duas grandezas envolvidas, número de torneiras e tempos para encher o tanque, 
são tais que, quando uma delas aumenta, a outra diminui, ou seja, quando aumentamos o número 
de torneiras, o tempo necessário para se encher o tanque diminui. Note, por exemplo, que se uma 
torneira sozinha gastasse 6 horas para encher o tanque, duas torneiras juntas levariam a metade 
desse tempo, ou seja, 3 horas, e, ainda, três torneiras juntas levariam um terço desse tempo, ou 
seja, 2 horas. Na tabela a seguir, registramos a situação para o número de torneiras variando de 
1 a 6. Note que, na última coluna desta tabela, está registrado o produto dos valores das duas 
grandezas em cada caso.
No n de torneiras
Tempo t necessário para 
encher o tanque (em horas) Produto n ? t
1 6 6
2 3 6
3 2 6
4 1,5 6
5 1,2 6
6 1 6
Nessa situação, as grandezas n e t são tais que o valor de uma aumenta quando a outra diminui e, 
além disso, o produto entre elas é constante.
Quando duas grandezas apresentam características como as exemplificadas, afirmamos que as 
duas grandezas são inversamente proporcionais. Tecnicamente, duas grandezas x e y são inversa-
mente proporcionais quando existe uma constante k (fator de proporcionalidade), tal que y = 
k
x
 
ou, equivalentemente, x ? y = k.
Problema 4. Se 4 torneiras (com mesma vazão) enchem um tanque em 2 horas (estando o tanque 
inicialmente vazio), quanto tempo demorará para encher esse tanque (estando inicialmente vazio) 
quando somente 3 dessas 4 torneiras estiverem abertas?
60 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Problema 5. Um fazendeiro possui ração suficiente para alimentar suas 16 vacas durante 62 dias. 
Após 14 dias, ele vende 4 vacas. Passados mais 15 dias, ele compra 9 vacas. Quantos dias, no total, 
durou sua reserva de ração?
Problema 6. Uma torneira A enche um tanque em 5 horas. Uma torneira B enche esse mesmo 
tanque em 15 horas. As duas torneiras juntas encherão esse tanque em quantas horas?
4. Resolva as atividades propostas a seguir:
Atividade 1. Um barco com 7 pessoas, à deriva no mar, tem suprimento de água suficiente para 
28 dias. Após 4 dias, o barco recolhe mais 1 náufrago. Se o consumo diário de água por pessoa se 
mantiver o mesmo, em quantos diasmais durará a reserva de água?
Atividade 2. Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, ali-
mentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa 
e, nos primeiros 10 dias, trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados 
com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo e todos passaram a trabalhar 4 horas por 
dia nos dias seguintes até o término da campanha. Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se 
mantido constante, qual a quantidade de alimentos arrecadados ao final dos 30 dias de campanha?
Atividade 3. Uma caixa-d’água de 1 000 litros tem um furo no fundo, por onde escoa água a uma 
vazão constante. Às 6h da manhã de certo dia, ela foi cheia e, ao meio dia desse mesmo dia, só tinha 
850 litros. Quando o volume d’água restante na caixa alcançará a metade da capacidade dela?
61GUIA DO ALUNO
Atividade 4. (Enem) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo 
momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, a sombra do 
poste diminuiu 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir quanto?
Atividade 5. (Enem) Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma cidade A, localizada no 
estado de São Paulo, a uma cidade B, localizada no estado de Alagoas, é igual a 2 000 km. Um 
estudante, ao analisar um mapa, verificou com sua régua que a distância entre essas duas cidades, 
A e B, era 8 cm. Os dados nos indicam que o mapa observado pelo estudante está na escala de:
a) 1 : 250
b) 1 : 2 500
c) 1 : 25 000
d) 1 : 250 000
e) 1 : 25 000 000
Atividade 6. (Enem) Um dos grandes problemas da poluição dos mananciais (rios, córregos e 
outros) ocorre pelo hábito de jogar óleo utilizado em frituras nos encanamentos que estão inter-
ligados com o sistema de esgoto. Se isso ocorrer, cada 10 litros de óleo poderão contaminar 
10 milhões (107) de litros de água potável.
Suponha que todas as famílias de uma cidade descartem o óleo das frituras nos encanamentos e 
consumam 1 000 litros de óleo em frituras por semana. 
Qual seria, em litros, a quantidade de água potável contaminada por semana nessa cidade?
a) 102
b) 103
c) 104
d) 105
e) 109
Atividade 7. (IBMEC-SP) Estima-se que um grupo de 8 digitadores, trabalhando de forma homo-
gênea, consiga digitar determinada obra literária em 15 dias. Qual seria o número de pessoas 
necessárias para digitar a obra, se o prazo for reduzido para 10 dias?
62 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
1. Introdução
O aluno vive uma realidade em que as diferentes grandezas e medidas estão presentes e são 
necessárias. O conhecimento desse conteúdo, que vem sendo explorado desde as séries iniciais, 
agora será relembrado, com destaque para o raciocínio nas resoluções de problemas e regras 
operacionais de conversões de unidades. Esse conteúdo é de extrema importância para que o 
aluno acompanhe não só a Matemática do Ensino Médio, mas também a Física e a Química, disci-
plinas que trabalham diretamente com medidas de tempo, espaço, massa, volume, área, entre 
outras. Também se destaca nesta Oficina a possibilidade de trabalharmos as operações com números 
racionais e discutirmos a ideia existente do sistema sexagesimal na medida do tempo. Vamos dividir 
esta Oficina em três etapas: na primeira, faremos uma atividade prática, explorando o universo 
existente e conhecido do aluno por meio da utilização de objetos concretos e de observações 
possíveis. Na segunda etapa, trabalharemos com a revisão de conceitos importantes, como 
operações e conversões de unidades de medida. E, para finalizar, vamos, na terceira etapa, propor 
problemas sobre grandezas e medidas para favorecer o raciocínio lógico, além de exercitar as 
metodologias de conversão.
2. Unidades de Medida
Problema 1. Vamos completar a tabela a seguir, indicando a unidade de medida mais adequada, 
entre as apresentadas no primeiro quadro, para efetuar a medição nas seguintes situações:
Ano Quilograma Centímetro Grau Celsius Litro
Segundo Grama Milímetro Mililitro Polegada
Metro Dia Minuto Tonelada Quilômetro
GRANDEZAS E MEDIDAS6
63GUIA DO ALUNO
O que medir Unidade
Comprimento da sala de aula
Um tempo de uma partida de futebol 
Massa de um recém-nascido
Distância de Juiz de Fora a São Paulo
Tempo entre uma Copa e outra
Tempo gasto na troca de pneus de um carro de Fórmula 1
Massa de um pão francês 
Comprimento de um lápis 
Capacidade de uma caixa-d’água 
Comprimento da diagonal de uma TV
Temperatura em um dia frio em São Paulo
Espessura do grafite de uma lapiseira
Uma dose de xarope 
Massa de um elefante
Tempo de duração da Quaresma
Problema 2.
Com base nas informações da tirinha anterior, responda:
a) A que horas acabará esse jogo?
b) Quantos minutos há em 1 hora?
G
A
LV
ã
O
64 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
c) Quantos segundos há em 1 minuto?
d) Quantos segundos há em 1 hora?
e) Quantos minutos há em 1 mês?
f ) Quantas horas há em 1 ano?
g) Joana resolveu assistir a dois programas de TV, um após o outro. O primeiro teve duração de 
4 h 20 min 30 s e o segundo 2 h 48 min 54 s. Qual foi o tempo total que Joana gastou 
assistindo aos dois programas?
h) Um triatleta marcou os tempos gastos em suas provas:
 – Natação: 17 min 56 s 59 centésimos de segundo
 – Ciclismo: 58 min 48 s e 50 centésimos de segundo
 – Corrida: 49 min 34 s e 80 centésimos de segundo 
 Qual o tempo total das provas do triatleta?
i) Fernanda vai assistir a um filme que tem duração de 124 minutos. No display do DVD, ela 
observa que já se passaram 1 h 35 min e 39 s do filme. Quanto tempo falta para terminar 
esse filme?
j) A aula de Matemática será apresentada em um programa educacional de TV que começa às 
14 h 15 min 34 s e termina às 15 h 30 min 28 s, sem intervalos. Qual é a duração dessa aula?
65GUIA DO ALUNO
Problema 3.
a) A distância entre São Paulo e Rio de Janeiro é de cerca de 429 000 m.
b) A espessura do fio de cabelo é de cerca de 0,0001 m.
As medidas indicadas nos itens a e b poderiam ser mais bem expressas em outras unidades de 
medida de comprimento. Quais seriam essas unidades?
Usando esse mesmo raciocínio, vamos fazer algumas conversões:
a) 10 m = ___________ dm f ) 12 m = ___________ mm
b) 25 cm = ___________ mm g) 30 cm = ___________ m
c) 870 m = ___________ dam h) 2 km = ___________ m
d) 43 mm = ___________ m i) 7,2 m = ___________ cm
e) 32 000 m = ___________ km j) 78,99 cm = ___________ m
Problema 4. Vamos observar a receita de um bolo de fubá:
» 3 ovos
» 50 g de margarina
» 300 g de açúcar
» 
1
2
 kg de farinha de trigo
» 400 g de fubá
» 30 g de fermento em pó
As quantidades estão expressas em gramas e quilogramas. Como fazer para converter essas 
unidades?
1
2
 kg equivale a quantos gramas? Quantos gramas de ingredientes são necessários no total 
(considere que 1 ovo = 40 g)?
66 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Faça as seguintes conversões:
23 kg = ___________ g
450 mg = ___________ g
30 hg = ___________ dg
67,44 g = ___________ mg
322,77 g = ___________ kg
32 Kg = ___________ cg
3 ton = ___________ kg
Problema 5. Para azulejar uma parede, foi necessário medir sua altura e comprimento, mas só 
tínhamos uma fita métrica em mãos e, por isso, as medidas foram: 205 cm de altura e 315 cm 
de comprimento. Na loja de materiais de construção, vendem-se azulejos em metros quadrados. 
Quantos metros quadrados de azulejos serão necessários para revestir essa parede?
Faça as seguintes conversões:
20 cm2 = ___________ m2
15 000 km2 = ___________ m2
340 cm2 =___________ mm2
30 000 cm2 =___________ m2
Problema 6. Quantos litros de água são necessários para encher uma piscina retangular de 4 m 
de comprimento, 1,5 m de largura e 2 m de profundidade?
 
2 m
1,5 m
4 m
Faça as seguintes conversões:
200 cm3 = ___________ ,
25 m3 = ___________ dm3
4,4 m3 = ___________ ,
80 000 mm3 = ___________ ,
67GUIA DO ALUNO
3. Resolva as atividades propostasa seguir:
Atividade 1. Uma lata de óleo tem, em geral, 900 ml. Quantas latas de óleo são necessárias para 
encher um galão de 20 , ?
a) 21 b) 22 c) 23 d) 30
Atividade 2. Em uma garrafa com capacidade para 1,5 , de água mineral, seu conteúdo de água 
tem 1,5 kg de massa e a embalagem, cerca de 35 g. Qual é a massa, em kg, de uma caixa que 
transporta 30 garrafas de água mineral?
Atividade 3. Eduardo faz a edição de um programa de TV. O programa tem quatro blocos e deve 
ter 14 minutos de duração total. Quando esse tempo é ultrapassado, ele precisa fazer cortes. 
Veja os tempos dos blocos da edição do programa de hoje:
Bloco Duração
1o 3 min 17 s
2o 4 min 12 s
3o 4 min 47 s
4o 3 min 22 s
Eduardo precisará fazer cortes nessa edição? Se sim, de quanto tempo?
Para o próximo programa os três primeiros blocos já estão editados e tem os seguintes tempos: 
3 min 50 s, 3 min 34 s, 2 mim 58 s. Qual tempo deverá ter o quarto bloco respeitando o tempo 
total de 14 minutos?
Suponha que o programa comece às 16 h 48 min e que tenha dois intervalos de 3 min 15 s cada 
um. Qual será o horário do término do programa?
68 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Atividade 4. Um campo de futebol será coberto com grama. O campo é um retângulo de 100 m 
de comprimento e 50 m de largura. Para cada 10 metros quadrados de grama plantada, gasta-se 
1 metro quadrado a mais por causa da perda. Cada metro quadrado de grama custa R$ 8,50. 
Quanto será gasto, em reais, para cobrir todo o campo?
Atividade 5. Um caminhão pipa pesa 3,2 toneladas quando está vazio e tem capacidade para 
15 000 litros de água. No momento, ele transporta 65% de sua capacidade. Sabendo que cada litro 
de água pesa 1 kg, quantas toneladas tem esse caminhão no momento?
Atividade 6. Quantos litros de água são necessários para encher completamente um recipiente 
cúbico de 2 m de aresta?
Atividade 7. Uma piscina de formato retangular tem 5 m de comprimento, 4 m de largura e 3 m 
de altura. Ela será revestida com azulejos quadrados de 20 cm de lado.
a) Quantos azulejos serão necessários?
b) Quantos litros de água são necessários para preencher 60% da capacidade de piscina?
69GUIA DO ALUNO
áREAS DE FIGURAS PLANAS7
1. Introdução
Agora já estamos familiarizados com diferentes unidades de medida; podemos começar nosso 
estudo sobre áreas de figuras planas.
Medir uma grandeza significa compará-la com outra, de mesma espécie, considerada unidade. 
Nesta Oficina, vamos tratar de medir a porção do plano ocupada por uma figura, cujo resultado 
será a medida de sua área.
2. Perímetro de figuras planas
2.1. Perímetro de polígonos
Problema 1. Será construído um muro no entorno de um terreno cuja planta é representada pela 
figura a seguir. Qual será o comprimento (extensão) desse muro?
6 m
15,3 m
3 m
6 m
12 m
9,48 m 4,23 m
9 m
70 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Problema 2. A professora Raquel pediu que alguns de seus alunos medissem o perímetro da sala 
de aula. Para fazer essa medição, Paula e Pedro utilizaram um pedaço de corda, enquanto Gabriel 
e Aline utilizaram uma ripa de madeira. O pedaço de corda e a ripa eram de tamanhos distintos, 
mas eles não sabiam qual era o comprimento de cada um. Veja as anotações que cada dupla fez 
após as medições:
307,5
3 12
P = 7,5 + 3 + 7,5 + 3 P = 30 + 12 + 30 + 12
P = 21 cordas P = 84 ripas
Paula e
Pedro
Gabriel
e Aline
a) Observando as anotações das duas duplas, dá para saber qual tem o maior comprimento: a ripa 
ou a corda?
b) A medida do perímetro obtida pelas duplas é diferente. Por que isso acontece?
c) Sabendo que a corda tem 2 m de comprimento, qual é o perímetro da sala em metros?
71GUIA DO ALUNO
Problema 3. A figura a seguir representa os três terrenos que Jorge quer cercar.
2 2 2
2
2
2
3 3
4
4
4
1
1
2
Terreno CTerreno BTerreno A
As medidas dos lados dos terrenos estão indicados em metros na figura. Quantos metros de cerca 
serão necessários para contornar cada terreno?
2.2. Perímetro de uma circunferência
Antes de falar sobre perímetro de uma circunferência, devemos esclarecer a diferença entre círculo 
e circunferência.
Dado um ponto A no plano e um número real positivo r, definimos circunferência de centro A 
e raio r como o conjunto de todos os pontos do plano que estão à distância r do ponto A. 
A união de uma circunferência com a região plana de seu interior é chamada região circular 
fechada ou círculo.
A
r
A
r
Circunferência Círculo
Portanto, são dois conceitos distintos. Círculo é uma região do plano formada por uma circunfe-
rência com a região por ela delimitada. Assim, todo círculo contém uma circunferência, pois é 
uma de suas partes. Uma circunferência, portanto, é só o contorno de um círculo, é só uma linha 
fechada. Tecnicamente, a circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano 
localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado centro da circunferência, e 
por se tratar de uma linha, circunferência não tem área. Quem tem área é o círculo. Circunferên-
cias têm comprimento!
72 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
O número p é a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. Esta razão dá 
sempre o mesmo quociente, ou seja, não depende do comprimento da circunferência, já que todas 
as circunferências são semelhantes entre si. Indicando por C o comprimento de uma circunferência 
de raio r, tem-se
C
2r
 = p
Mas o que é o comprimento de uma circunferência? Nós sabemos o que é o comprimento de um 
segmento, mas temos apenas uma ideia intuitiva do que vem a ser o comprimento de uma circun-
ferência. Podemos pensar em passar um barbante bem fino sobre a circunferência, esticá-lo e, em 
seguida, medir seu comprimento com uma régua. Isso dará uma boa ideia do que seja o compri-
mento da circunferência. Mas, este método é experimental e permite apenas avaliar (com pouca 
precisão) essa medida.
Portanto, o comprimento de uma circunferência de raio r é dado por
C = 2pr.
O número p é um número irracional, aproximadamente igual a 3,1416. O uso da letra grega p 
para representar a razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro deve-se a Euler, 
que a adotou em 1737. Mas, esta razão sempre fascinou matemáticos e curiosos em toda a histó-
ria. Por ser um número irracional, sua representação decimal é infinita e não periódica. Hoje conhe-
cemos mais de cinco bilhões de casas decimais de p e muito em breve conheceremos mais.
Problema 4. Uma costureira vai contornar com renda uma toalha circular com raio de 70 cm. 
Quantos centímetros de renda serão necessários?
3. Noções de áreas de figuras planas
Medir uma grandeza significa compará-la com uma outra de mesma espécie considerada unidade. 
Vamos tratar de medir a porção do plano ocupada por uma figura, cujo resultado será a medida 
da área dessa figura.
Para encontrar a área de uma figura F, devemos comparar sua superfície (a porção do plano que 
ela ocupa) com a de uma outra figura, tomada como unidade de medida. O resultado dessa com-
paração será um número que deverá informar quantas vezes a figura F contém a figura tomada 
como unidade de medida (unidade de área).
Adotamos como unidade de área o quadrado cujo lado mede uma unidade de comprimento. Ele 
será chamado de quadrado unitário.
= 1 unidade de área
1
73GUIA DO ALUNO
Se o lado do quadrado for de 1 cm, a unidade de área será chamada de centímetro quadrado e 
representada por cm2. Naturalmente que, para cada unidade de comprimento, existe uma unidade
de área correspondente. Assim, o metro quadrado (m2), o milímetro quadrado (mm2), o quilômetro 
quadrado (km2) são outras unidades de área utilizadas.
Afirmamos que a área de uma figura é um número que representa quantas vezes essa figura 
contém a unidade de área. Isso é fácil de perceber, por exemplo, quando desejamos conhecer a 
área de um retângulo cujos lados medem 5 cm e 3 cm.
3 cm
5 cm
A unidade de área cabe 15 vezes no retângulo e, por isso, sua área é de 15 cm².
Se as medidasdos lados de um retângulo são os números inteiros a e b, a medida de sua área é 
dada por:
S = a ? b
Em particular, se a medida do lado de um quadrado é o número inteiro n, então a medida de sua 
área é igual a:
S = n2.
Problema 5.
Figura I
Figura II
74 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
a) Meça quantas vezes a figura I cabe na figura a seguir, ou seja, calcule área utilizando a figura I 
como unidade de medida.
b) Agora, meça novamente utilizando a figura II como unidade de medida. 
Problema 6. Observe as figuras a seguir:
A B C
D E F
a) Quais figuras têm mesma área que a figura A?
b) Essas figuras têm formas iguais?
75GUIA DO ALUNO
4. Áreas de algumas figuras planas
Nosso próximo passo é deduzir fórmulas que permitem calcular a medida das áreas das principais 
figuras planas.
4.1. Área do retângulo
Conforme foi visto, em retângulos com lados de dimensões inteiras a e b, a medida de sua área é 
dada por:
S = a ? b
Essa fórmula continua válida mesmo quando as dimensões a e b são não inteiras. Assim, a medida 
da área de um retângulo é o produto das medidas de seus lados.
S = ab
a
b
4.2. Área do paralelogramo
Conhecida a medida da área do retângulo, podemos calcular a medida da área de um paralelogramo.
Consideremos o paralelogramo ABCD da figura a seguir, com base AB = a e altura h.
a
h
A
D C
B
A figura, a seguir, mostra o paralelogramo sendo transformado num retângulo de mesma área.
a
h h h h
a
h
a a
== + =
h h h+
• • • • • • •
A área do paralelogramo é, portanto, o produto da base pela altura.
S = a ? h
76 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Chamamos a atenção para o fato de que o mesmo poderia ter sido feito se tomássemos para base 
o lado BC por exemplo. É claro que nesse caso a altura a ser considerada seria a distância entre os 
lados opostos AD e BC, que, na figura a seguir, indicamos por h1. É lógico que h1 e h1 não precisam 
ser iguais, assim como AB e BC.
D
A B
C
h
h1
•
Mas, o fato é que teremos:
AB ? h = BC ? h1.
Nesta Oficina há um encarte que deverá ser trabalhado com os alunos. Peça-lhes que o recortem. 
Com o paralelogramo em mãos, faça com que identifiquem os lados congruentes e reconheçam 
as medidas indicadas. É muito importante se familiarizar com o objeto para a atividade ser 
bem-sucedida.
Agora, siga as indicações a seguir:
a) Recorte a figura na linha pontilhada interna.
b) Após o recorte, você obterá duas figuras. Cole no espaço indicado a figura que possui lado de 
medida a.
c) Como os lados do paralelogramo são congruentes, um dos lados do triângulo obtido poderá ser 
encaixado perfeitamente na figura que você colou. Encontre esse lado e cole o triângulo, de 
forma a construir uma nova figura.
d) Qual figura você encontrou? 
e) Qual é a área da figura encontrada? 
77GUIA DO ALUNO
f ) A área da figura inicial foi modificada? 
g) Conclusão: 
h) Fórmula: 
4.3. Área do triângulo
Para obter a medida da área de um triângulo ABC, escolha um lado para chamar de base. Vamos 
escolher o lado BC para base. Suponha que a base tenha comprimento a e que a altura relativa a 
essa base tenha tamanho h.
Pelo vértice A, oposto à base BC, trace paralelas aos lados AB e BC, formando o paralelogramo 
ABCD.
A
B
D
h
C
É claro que a área do triângulo ABC é a metade da área do paralelogramo ABCD. Daí resulta que 
a medida da área do triângulo é igual à metade do produto dos comprimentos da base pela altura, 
isto é,
S = 
ah
2
Agora, siga as indicações dadas:
a) Qual é a relação entre os dois triângulos?
78 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
b) Cole a figura II no espaço indicado.
 
c) Cole a figura III junto à figura II, de forma a obter uma figura de base a. Qual é essa nova figura?
d) Qual é a área dessa nova figura?
e) Qual é a relação entre a figura obtida e um dos triângulos recortados inicialmente?
f ) Conclusão:
g) Fórmula:
79GUIA DO ALUNO
4.4. Propriedades importantes sobre áreas de triângulos
Propriedade 1: A área de um triângulo não se altera quando sua base permanece fixa e o terceiro 
vértice percorre uma reta paralela à base.
B C
A4A3A2A1
r
A5
h
Na figura acima, a reta r é paralela a BC. Os triângulos A1BC, A2BC, A3BC, A4BC e A5BC tem áreas 
de mesma medida, pois todos possuem a mesma base BC e mesma altura h.
Propriedade 2: Em um triângulo, uma mediana divide sua área em partes iguais.
De fato, observando a figura a seguir, sendo M o ponto médio do lado AB, os dois triângulos inte-
riores possuem bases de mesma medida e mesma altura. Logo, possuem áreas de mesma medida.
S1 S2
S2S1=
M B
C
A
h
a
2
a
2
Quando duas figuras possuem áreas de mesma medida, dizemos que elas são equivalentes. 
Portanto, o enunciado desta propriedade pode ser: “Uma mediana divide o triângulo em dois 
triângulos equivalentes”.
80 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Problema 7. O triângulo ABC da figura tem área equivalente a 30 cm2. O lado BC está dividido 
em quatro partes iguais pelos pontos D, E e F. O lado AC está dividido em três partes iguais pelos 
pontos G e H. Qual é a medida da área do triângulo GDE?
A
G
H
CB D E F
4.5. Área do Trapézio
Chamamos os dois lados paralelos de um trapézio de bases do trapézio e o maior entre esses dois 
lados paralelos é chamado de base maior, e o menor deles, de base menor do trapézio. A distância 
entre os lados paralelos de um trapézio é a medida da altura desse trapézio.
A
D C
B
h bases
Note que, duplicando o trapézio, podemos construir um paralelogramo conforme ilustrado abaixo.
b a
b a + ba
h h+ =
Como já sabemos calcular a área de um paralelogramo, temos que a área desse paralelogramo 
é dada pelo produto da medida de sua base (a + b) pela medida de sua altura (h), ou seja, 
a medida de sua área é dada por (a + b) ? h. Como a medida S da área do trapézio é igual à 
metade da área desse paralelogramo, temos que
S = 
(a + b) ? h
2
81GUIA DO ALUNO
No Anexo III, o aluno encontrará dois trapézios congruentes. Peça aos alunos que recortem essas 
figuras e mais uma vez reconheçam seus elementos.
Agora, siga o roteiro:
a) Qual é a relação entre os dois trapézios?
b) Cole a figura IV no espaço indicado.
c) Cole a figura V junto à figura IV de forma a obter uma figura de base (B + b). Qual é essa nova figura?
d) Qual é a área dessa nova figura?
e) Qual é a relação entre a figura obtida e um dos trapézios recortados inicialmente? 
f ) Conclusão: 
g) Fórmula:
4.6. Área do losango
Como o losango é um paralelogramo, podemos calcular a medida de sua área da mesma forma 
como calculamos a medida da área de um paralelogramo. Entretanto, o losango é um paralelogramo 
com características específicas. Ele possui os quatro lados com a mesma medida, o que implica em 
ser um paralelogramo com suas duas diagonais perpendiculares entre si. Chamando as medidas de 
suas diagonais de D e d, podemos construir, a partir do losango, um retângulo cujas dimensões são 
as medidas das diagonais do losango, e cuja medida de sua área será igual ao dobro da medida da 
área desse losango.
D D
d
d
82 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Assim, podemos concluir que a medida da área do losango é dada por:
S = 
D ? d
2
Siga as instruções do seu tutor e responda às questões.
Vamos ao roteiro:
a) Qual é a área do retângulo recortado?
b) Dobre os cantos do retângulo para dentro, tomando por dobra os lados do losango.
c) Cole a figura já dobrada no local indicado.
d) Qual é a relação entre o retângulo inicial e o losango?
e) Conclusão: 
f ) Fórmula: 
4.7. Área do círculo
Para essa atividade você deverá utilizar o círculo que está no Anexo. Além disso, precisará de tesoura 
e cola.
Vamos começar:
a) Recorte o círculo.
b) Com o auxílio de uma tesoura, recorte os setores e reagrupe-os como se mostra na figura a 
seguir. Cole-os dessa forma no espaço indicado.
r
r
c) A que polígono essa figura se assemelha? 
83GUIA DO ALUNO
d) Quais são as suas dimensões?
e) Qual é a relação entre essa figura e o círculoinicial? 
f ) Qual é a medida de sua área? 
g) Conclusão: 
h) Fórmula:
4.8. Área de setor circular
A medida da área de um setor de um círculo é diretamente proporcional à medida do ângulo 
central, ou ainda, diretamente proporcional ao comprimento de seu arco. Para justificar isso, basta 
observar que, dobrando o ângulo central, a área do setor dobra; triplicando o ângulo central, a 
área do setor triplica, e assim por diante.
R
O
L
Assim, se o ângulo central tem medida a em graus, a área do setor medirá:
360° ———— pR2
a ———— S
S = 
a
360º
 pR2.
a
84 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
De outro lado, como a área do setor também é diretamente proporcional ao comprimento L do seu 
arco, podemos expressar essa área como:
2pR ———— pR2
L ———— S
S = 
L
2pR
 pR2 = LR
2
 .
5. Resolva as atividades propostas a seguir:
Atividade 1: Considere cada quadradinho da malha a seguir como uma unidade de medida de 
área. Construa e pinte quatro regiões planas diferentes, todas com 12 unidades de área.
85GUIA DO ALUNO
Atividade 2: Construa na malha quadriculada duas figuras planas com as seguintes características:
a) A base de uma é o dobro da base da outra.
b) Ambas têm a mesma área.
Atividade 3: O comprimento da circunferência de uma moeda de R$ 1,00 é de 8,164 cm. Qual é 
o raio dessa circunferência? Utilize a aproximação p  3,14.
Atividade 4: O terreno de Paula foi dividido em três setores para uma plantação, de acordo com 
o indicado na figura. Cada setor tem como contorno uma figura plana. Observe as medidas e os 
ângulos retos da figura.
Setor I
Setor II
Setor III 20 m
8 m40 m
30 m10 m
a) Que tipo de figura representa cada setor?
86 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
b) Calcule a área de cada setor.
c) Calcule a área do terreno todo.
d) Existe outra maneira de calcular a área total do terreno. Pense mais um pouco e responda: qual 
é essa maneira?
Atividade 5: Durante o intercolegial da escola “Co-Educação”, a turma 207 resolveu fabricar sua 
própria bandeira. Para isso, pegaram um lençol branco retangular com dimensões 2,5 m por 3,6 m 
e desenharam um losango dentro. Em seguida, resolveram pintar a parte interna do losango com 
tinta vermelha.
Turma 207
a) Quantos m2 do lençol serão pintados?
b) Para enfeitar ainda mais, a turma decidiu colocar uma fita de cetim no entorno da bandeira. 
Quantos metros de fita foram utilizados?
87GUIA DO ALUNO
Atividade 6. (OBMEP) A figura é formada por dois quadrados, um de lado 8 cm e outro de lado 
6 cm. Qual é a área da região cinza?
Atividade 7. Marta tem um terreno retangular de 60 m por 40 m; quer construir nele um canteiro 
triangular e um lago circular com raio de 10 m, conforme indica a figura. No restante do terreno, 
Marta pretende colocar pedregulhos. Utilize as aproximações p  3,14 e 5  2,24.
60 m
40 m
20 m
20 5
a) Calcule quantos m2 de pedregulho serão colocados.
b) No total, quantos metros de arame serão necessários para cercar o lago e o canteiro?
88 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Atividade 8. Esta é uma chapa de aço com dimensões 60 cm de base por 50 cm de altura. Nela 
foram feitos furos circulares com raio de 4 cm. Quanto resta da chapa após a perfuração? Utilize 
a aproximação p  3,14.
Atividade 9. Após anos de intensa circulação de carros e muitas derrapagens, a curva mais perigosa 
de uma grande rodovia sofrerá obras de asfaltamento. A figura indica a porção da rodovia que será 
asfaltada. Calcule quantos m2 de asfalto serão necessários, considerando que serão duas coberturas. 
Utilize a aproximação p  3,14.
120º
18 m
12 m
89GUIA DO ALUNO
Atividade 10. A imagem a seguir representa o telhado de uma casa.
É um tipo específico de telhado chamado “quatro águas”. Duas partes são triângulos iguais e as 
outras duas são trapézios iguais. As dimensões são:
8,4 m
4,5 m
 
16,2 m
10,1 m
5,3 m
Para cobrir 1 m2 de telhado, gastam-se 15 telhas. Quantas telhas, aproximadamente, há no telhado 
da casa?
90 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
1. Introdução
Na Oficina anterior, estudamos as figuras planas, principalmente suas áreas e perímetros. Agora, 
vamos estudar figuras tridimensionais, mais especificamente volumes, planificações e áreas laterais 
e totais de sólidos geométricos.
Vivemos em um mundo físico tridimensional. Ao ser capaz de relacionar a teoria da sala de aula 
com o cotidiano, você terá maior facilidade para a aprendizagem. Explore o fato de que as figuras 
geométricas foram criadas com base na observação de formas existentes na natureza e dos objetos 
produzidos pelo ser humano.
As figuras planas estão contidas em um plano. Quando uma figura geométrica é tal que não há 
um plano que possa contê-la, ela é chamada de uma figura tridimensional. Estaremos interessados 
em figuras tridimensionais que apresentam certas particularidades: os sólidos geométricos. Essas 
figuras geométricas, além de terem comprimento e largura, apresentam também altura (ou 
profundidade). As figuras tridimensionais que estudaremos nesta Oficina têm relação com as figuras 
planas vistas anteriormente.
Figura 
tridimensional
Figura 
plana
Em sala de aula, explore as diversas figuras tridimensionais encontradas em nosso dia a dia. Peça a 
seus alunos que levem para a aula caixas, latas, embalagens diversas. Em grupo, peça que identifi-
quem as três dimensões dos sólidos e que reconheçam as figuras planas que formam aquele sólido.
MOLDE CORRETO
SóLIDOS GEOMÉTRICOS8
91GUIA DO ALUNO
Situação-problema:
Desde criança, Juliana adora peixes. Ela acaba de se mudar para uma casa e quer construir um 
grande aquário com tampa para que possa curtir seus animais preferidos. Para isso, fez várias 
pesquisas e descobriu coisas bem interessantes. A primeira coisa que descobriu foi que existem três 
opções para o formato de seu aquário:
Prisma retangular Cubo Cilindro
Antes de escolher uma dentre as três formas, resolveu verificar quanto gastaria e quais providências 
ela deveria tomar com cada tipo de aquário.
Problema 1. A vidraçaria informou à Juliana que ela deveria levar um molde do aquário. Para tal, 
Juliana buscou desenhar o que seriam os moldes para as diferentes formas de aquário. Quando 
terminou de desenhá-los, percebeu que havia cometido alguns erros. A seguir, estão os moldes 
construídos por ela. Identifique o sólido que cada molde deveria representar, os erros cometidos 
em cada um e desenhe novos moldes de forma correta.
Molde 1 Molde 2 Molde 3
92 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
MOLDE 1
SóLIDO: 
ERROS: 
MOLDE 2
SóLIDO: 
ERROS: 
93GUIA DO ALUNO
MOLDE 3
SóLIDO: 
ERROS: 
Problema 2. Antes de desenhar novos moldes, Juliana decidiu as dimensões de cada tipo de aquário.
105 cm
140 cm
70 cm
105 cm
105 cm
60 cm
Prisma retangular CilindroCubo
Em seguida, corrigiu seus moldes e levou-os à vidraçaria. Lá, foi informada de que o metro quadrado 
de vidro custava R$ 22,00. Quantos reais ela gastará em vidro para fazer cada tipo de aquário?
94 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Problema 3. Com o orçamento da vidraçaria em mãos, a próxima providência de Juliana é 
calcular o volume do aquário. Vamos ajudá-la nesse cálculo.
Problema 4. Chegou a hora de Juliana escolher os peixes para seu aquário. Ela quer colocar 
paulistinhas, lebistes e néons.
Paulistinha Lebiste Néon
Em um aquário, é recomendável prever as seguintes quantidades de água para cada unidade de peixe:
» Paulistinha: de 5 litros de água;
» Lebiste: 11 litros de água;
» Néon: 4 litros.
Em qual dos três aquários considerados por Juliana caberiam 50 paulistinhas, 50 lebistes e 85 néons?
Problema 5. Apesar de querer um aquário bem grande, Juliana deseja ter o menor gasto possível 
em sua confecção. Portanto, entre as duas possibilidades que lhe restam, qual é a mais econômica?
M
IK
H
A
IL
G
/ 
D
RE
A
M
ST
IM
E.
CO
M
SO
M
M
A
I S
O
M
M
A
I/
D
RE
A
M
ST
IM
E.
CO
M
M
IK
H
A
IL
G
/
D
RE
A
M
ST
IM
E.
CO
M
95GUIADO ALUNO
2. Outros sólidos importantes
Além do prisma retangular, do cubo e do cilindro, o cone e a pirâmide são formas geométricas que 
aparecem com frequência em nosso cotidiano. A seguir, veja exemplos de cone e pirâmides com 
suas planificações.
CONE
CARACTERÍSTICAS DA PLANIFICAçãO: 
 
 
 
96 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
PIRÂMIDE
Pirâmide
Triangular
Pirâmide
Quadrangular
Pirâmide
Pentagonal
CARACTERÍSTICAS DA PLANIFICAçãO: 
 
 
 
97GUIA DO ALUNO
3. Baralho dos sólidos
Objetivos:
» Reconhecer um sólido, seu nome, e relacioná-lo com suas planificações;
» Desenvolver o raciocínio lógico;
» Trabalhar em equipe.
Regras:
Participantes: de 2 a 10 equipes. As equipes devem ser formadas por duplas. É possível também 
desenvolver o jogo sem formar equipes. Nesse caso, restrinja o jogo a, no máximo, 10 participantes.
Material: São dois baralhos de 36 cartas, totalizando 72 cartas. Cada baralho é formado por 9 
sólidos. Cada sólido tem uma carta com sua imagem, uma com seu nome e duas cartas que repre-
sentam suas planificações.
Como jogar:
Inicia-se o jogo embaralhando as cartas.
Após embaralhar, disponha 6 cartas sobre o centro da mesa com a face voltada para cima. Toda 
vez que essas cartas sobre a mesa acabarem devem ser colocadas outras 6 em seu lugar. Para isso, 
não é necessário esperar que a rodada termine.
Cada equipe receberá 4 cartas. O restante ficará separado até que seja necessário dar cartas nova-
mente ou preencher as cartas na mesa.
O jogo começa com a equipe que está à esquerda de quem distribuiu as cartas.
Essa equipe deve verificar se entre suas cartas tem alguma que forme par com alguma das que 
estão sobre a mesa.
» Se sim, deve juntar as duas cartas e separá-las em um monte à sua frente, com a face vol-
tada para cima. Por exemplo, em sua mão tem uma planificação do cubo e sobre a mesa 
tem a carta com a palavra CUBO; o jogador deve recolher essas duas cartas (a da sua mão 
e a da mesa) e colocá-las sobre o monte à sua frente.
» Se não, deve descartar uma carta qualquer de sua mão e colocá-la sobre a mesa com a face 
para cima, junto às demais que lá já estão.
Assim que terminar sua jogada, a próxima equipe deve verificar observar as cartas da mesa e também 
a carta de cima dos montes de seus adversários.
» Se formar par com uma das cartas sobre a mesa, o procedimento é o mesmo descrito no 
exemplo anterior.
98 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
» Se formar par com a carta de cima do monte de algum adversário, o jogador deve colocar 
sua carta por cima do monte e tomá-lo para si. Por exemplo, a carta de cima do monte do 
adversário é uma planificação do cubo. Em sua mão, ele tem a imagem de um cubo.
» Se nenhuma de suas cartas formar par com as que estão sobre a mesa e nem com as cartas 
de cima dos montes dos adversários, então, ele deve escolher uma carta e descartá-la sobre 
a mesa, junto às outras.
» Caso a equipe tenha carta que forme par tanto com uma carta da mesa quanto com uma 
do monte de seu adversário, fica a critério dessa equipe decidir se recolhe da mesa ou se 
recolhe o monte de seu adversário.
Ao final da primeira rodada, cada equipe terá 3 cartas na mão. Antes de iniciar a segunda ro-
dada, todas as equipes devem comprar uma nova carta de forma a completar 4 cartas na mão. 
Assim deve prosseguir o jogo, de rodada em rodada. Caso não haja mais cartas suficientes para 
que todas as equipes façam sua compra, essas cartas devem ser colocadas sobre a mesa. Por 
exemplo, se são 8 equipes jogando e no monte restam apenas 5 cartas, não seria mais possível 
cada equipe comprar uma carta. Nesse caso, as 5 cartas devem ficar sobre a mesa com a face 
para cima.
O jogo termina quando acabarem as cartas para distribuição e ninguém mais conseguir formar par 
com as cartas da mão e alguma carta da mesa ou do topo do monte de algum adversário.
Vencedor
Vence a equipe que, ao final, tiver o maior número de cartas em seu monte.
99GUIA DO ALUNO
Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Fig. 5 Fig. 6
4. Resolva as atividades propostas a seguir: 
Atividade 1: Relacione as figuras com suas planificações.
Fig. A Fig. B Fig. C Fig. D
Fig. E
Fig. F
Fig. G Fig. H
Atividade 2: A figura a seguir mostra um dado planificado.
Qual das figuras a seguir representa o mesmo dado depois de reconstituído?
I II III IV
100 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Atividade 3: Um silo de milho tem a forma de cilindro circular reto com raio da base de 1,5 m e 
altura de 4 m. Qual é a área total da superfície desse silo? Utilize a aproximação p  3,14.
Atividade 4: Dona Jussara quer construir uma piscina em seu quintal, com formato de um prisma 
retangular. Essa piscina terá todo seu interior azulejado. Para isso, tem dois projetos:
Projeto I: comprimento 2 m, largura 3 m e profundidade 1,5 m;
Projeto II: comprimento 2,5 m, largura 2 m e profundidade 1,8 m.
Qual dos dois projetos é mais vantajoso para Dona Jussara, ou seja, qual gastará menos azulejos?
Atividade 5: Uma vasilha está cheia de feijões e tem formato de um cilindro circular reto com raio 
da base de 10 cm e altura 20 cm. O que acontecerá se despejarmos os feijões em uma caixa de 
mesma altura, comprimento de 18 cm e largura de 15 cm? Utilize a aproximação p  3,14.
Atividade 6: Uma empresa de sucos precisa de embalagens com capacidade de um litro. Três 
fábricas de embalagem apresentaram propostas:
Fábrica I: no formato de um cubo de aresta de 10cm;
Fábrica II: na forma de um paralelepípedo com comprimento 5 cm, largura 20 cm e altura 
15 cm;
Fábrica III: na forma de um paralelepípedo com comprimento 5 cm, largura 10 cm e altura 
20 cm.
101GUIA DO ALUNO
a) Todas as fábricas apresentaram propostas compatíveis à necessidade do cliente?
b) O critério de escolha da empresa será a fábrica que utilizar menos material. Assim, qual fábrica 
será escolhida?
c) Após a escolha da embalagem, a empresa colocará suas caixas de suco em caixas de papelão 
com formato de bloco retangular, com comprimento de 40 cm, largura de 50 cm e profundidade 
de 60 cm. Quantas caixas de suco caberão em cada caixa de papelão?
Atividade 7: (Enem) Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com 
diferentes formatos. Nas imagens apresentadas, estão as planificações dessas caixas.
Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações?
a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide.
b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide.
c) Cone, tronco de pirâmide e pirâmide.
d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma.
e) Cilindro, prisma e tronco de cone.
102 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
Compreender, planejar, executar, verificar e interpretar.
Criatividade, espírito de organização, capacidade de trabalho,
autoconfiança, paciência, persistência.
Resolver problemas é uma habilidade que pode ser desenvolvida. Esta Oficina não oferece uma 
chave mágica que abre todas as portas e resolve todos os problemas, mas oferece algumas técnicas 
úteis para disciplinar e favorecer a postura e a organização quando o desafio é a resolução de 
problemas. Um problema, ainda que simples, pode despertar o prazer pelo trabalho mental e 
proporcionar ao aluno o gosto pela descoberta da resolução.
1. A arte de resolver problemas
1o É preciso compreender o problema.
O primeiro passo para resolver um problema é compreendê-lo bem. Deve-se saber 
exatamente o que é dado e o que é pedido.
•	Leia	o	problema	atentamente.	Se	necessário,	leia-o	em	voz	alta	e	tente	explicá-lo	aos	colegas.
•	Anote	as	quantidades	e	as	condições	dadas	–	os	chamados	dados	do	problema.
•	Identifique	as	incógnitas	e	as	condicionantes.	O	que	se	pretende	exatamente:	calcular	
ou provar?
•	Desenhe	uma	figura	ou	um	esquema	que	possa	lhe	ajudar	a	organizar	a	informação	e	a	
visualizar o problema.
•	Uma	possível	ajuda	é	reformular	o	problema	de	formas	diferentes,	ou	pensá-lo	em	uma	
situação concreta, familiar. Tente isso!
RESOLUçãO DE PROBLEMAS9
103GUIA DO ALUNO2o É preciso planejar uma estratégia para resolver o problema.
Agora que já compreendeu bem o problema, deve imaginar um plano para resolvê-lo. 
Esse é o passo mais difícil porque requer algumas capacidades que precisam ser 
desenvolvidas – criatividade, espírito de organização e experiência. É claro que só vai 
consegui-lo com esforço e trabalho. Não há outra hipótese! Mas verá que vale a pena.
•	Tente	pensar	em	um	problema	semelhante	que,	eventualmente,	já	tenha	resolvido	antes.
•	Tente	fazer	um	diagrama	que	explique	a	estratégia	imaginada	para	a	resolução.
•	Identifique	as	ferramentas	necessárias	para	a	resolução	–	analíticas,	geométricas,	combi-
natórias etc.
•	Se	não	conseguir	 resolver	o	problema	proposto,	procure	antes	 resolver	algum	problema	
semelhante. É possível imaginar um problema parecido mais acessível? Um problema mais 
genérico? Um mais específico? Um problema análogo? É possível resolver uma parte dele?
•	Fixe	apenas	uma	parte	das	condicionantes,	deixe	outras	de	lado;	até	que	ponto	a	incógnita	
fica assim determinada? Como pode ela variar? É possível obter dos dados alguma utilidade? 
É possível pensar em outros dados apropriados para determinar a incógnita? É possível 
variar a incógnita ou os dados, ou todos eles, se necessário, de tal maneira que fiquem mais 
próximos entre si?
•	Utilizou	todos	os	dados?	E	todas	as	condicionantes?
3o Execute a estratégia planejada. Reveja tudo, desde o início, se necessário!
Agora já tem um plano para resolver o problema. Tem de executá-lo. Sem receios, é 
claro! Seja autoconfiante!
•	Guarde	sempre	as	notas	do	seu	trabalho,	já	que	podem	ser	úteis	se	precisar	revê-lo.
•	Verifique,	de	novo,	cada	passo	da	resolução	e	confirme	se	não	há	erros	que	afetem	a	so-
lução final.
•	Teste	sempre	a	estratégia	que	imaginou	no	passo	2.	Se	encontrar	erros,	contradições	ou	
falta de informação para prosseguir, é natural que tenha de repensar o seu plano. Tenha 
paciência, volte atrás! A paciência também é fundamental na resolução de problemas!
104 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
4o Verifique e interprete os resultados obtidos.
Agora, já tem uma solução. Mas, estará correta? É muito importante validar os resul-
tados obtidos.
•	Confirme	se	os	resultados	fazem	sentido.	Verifique	se,	por	exemplo,	eles	têm	as	unidades	
esperadas e valores numéricos que não sejam absurdos em relação ao contexto apresen-
tado no problema.
•	Verifique	os	seus	cálculos	de	novo	ou	faça-os	de	outra	forma	diferente.
•	Teste	a	consistência	dos	resultados,	considerando	casos	particulares	ou	situações-limites.
•	Escreva	a	solução	 final	de	 forma	clara	e	concisa,	usando	uma	 linguagem	simples,	 sem	dar	
qualquer margem para ambiguidade.
Exemplo 1. (OBMEP-Adaptado) Valdemar vai construir um muro de 2 m de altura por 7 m de 
comprimento. Ele vai usar tijolos de 5 cm de altura por 20 cm de comprimento unidos por uma 
fina camada de cimento, conforme indicado na figura. Sabendo que os tijolos são vendidos em 
milheiros, quantos milheiros Valdemar vai ter que comprar para construir o muro?
t
t
tt
5
20
Exemplo 2. Caio é um garoto de 6 anos e gosta muito de brincar com bolinhas de gude. Todos os 
dias acorda às 8 horas, toma o seu café e corre para a casa de seu amigo Júnior para brincar. Caio 
levou 2 dúzias de bolinhas coloridas para jogar. No final do jogo, ele havia perdido um quarto de 
suas bolinhas, e Júnior ficou muito contente, pois agora tinha o triplo de bolinhas de Caio. Quantas 
bolinhas Júnior tinha ao iniciar o jogo?
(Fonte: SMOLE, Kátia S. Ler, escrever e resolver problemas. Habilidades básicas 
para aprender Matemática. Porto Alegre: Artmed, 2001).
Exemplo 3. Joana tem 80 reais em cédulas. Quantas notas ela tem?
105GUIA DO ALUNO
Exemplo 4. Monte uma pirâmide de base quadrada, usando os 5 triângulos a seguir: 
2. Resolva as atividades propostas a seguir:
1. (OBMEP) Dona Lígia tem um terreno em forma de quadrado. Ela decide dividi-lo em cinco regiões, 
sendo quatro retângulos e um quadrado, como ilustrado a seguir:
Na figura, temos que:
– O quadrado do centro tem área igual a 64 m2.
– Os lados maiores dos quatro retângulos têm o mesmo comprimento.
– As cinco regiões têm o mesmo perímetro.
Determine a área do terreno de Dona Lígia.
2. (OBMEP) Aureliano escreve uma lista contendo cinco números, sendo o primeiro deles o 6 e o 
último deles o 8. O produto dos três primeiros números é 648, o produto dos três últimos centrais 
é 432, e o produto dos três últimos é 288. Qual é a lista de Aureliano?
106 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
3. (OBMEP) A capacidade do tanque de gasolina do carro de João é de 50 litros. As figuras mos-
tram o medidor de gasolina do carro no momento de partida e no momento de chegada de uma 
viagem feita por João. Quantos litros de gasolina ele gastou nessa viagem?
partida
vazio •
1/4 1/4
1/2
cheio
chegada
vazio •
1/4 1/4
1/2
cheio
4. (OBMEP) Daniela quer cercar o terreno representado pela figura. Nesta figura, dois lados con-
secutivos são sempre perpendiculares, e as medidas de alguns lados estão indicadas em metros. 
Quantos metros de cerca Daniela terá que comprar?
tt
t
t
tt
t
t
60 m
40 m
46
80 m
5. (OBMEP) Marina, ao comprar uma blusa de R$ 17,00, enganou-se e deu ao vendedor uma nota 
de R$ 10,00 e outra de R$ 50,00. O vendedor, distraído, deu o troco como se Marina lhe tivesse 
dado duas notas de R$ 10,00. Qual foi o prejuízo de Marina?
107GUIA DO ALUNO
1. Introdução
Como esta Oficina tem o propósito de revisitar os temas trabalhados nas oficinas de 1 a 10, busca-
mos selecionar vários problemas, de forma a fornecer uma coletânea que possibilite mobilizar os 
saberes abordados. Para tal, recorremos ao banco de questões da Olimpíada Brasileira de Matemá-
tica das Escolas Públicas, com problemas interessantes e desafiadores para os alunos.
A proposta nesta Oficina é trabalhar esses problemas que têm, em comum, o potencial de despertar 
o prazer de raciocinar.
Procure discutir o enunciado dos problemas com os alunos, deixando-os pensar sobre cada um 
deles, mas elabore perguntas que possam ajudá-los a descobrir uma estratégia pertinente para o 
problema em tela.
Em virtude do perfil e da maturidade matemática de seus alunos, você deve selecionar quais dos 
17 problemas apresentados estariam mais adequados ao seu grupo.
Obviamente, não é necessário trabalhar todos os problemas com os alunos. Julgamos que trabalhar 
cerca de doze deles seria adequado. Percebendo a possibilidade de trabalhar mais do que doze, vá 
em frente.
2. Problemas
1. Considere dois números naturais, cada um deles com três algarismos diferentes. O maior só tem 
algarismos pares e o menor só tem algarismos ímpares. Se a diferença entre eles é a maior possível, 
qual é ela?
2. Um litro de álcool custa R$ 0,75. O carro de Maria percorre 25 km com 3 litros de álcool. Quantos 
reais Maria gastará com o álcool necessário para percorrer 600 km?
REVISITAçãO10
108 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
3. Ester vai a uma papelaria comprar cadernos e canetas. Nessa papelaria, todos os cadernos 
custam R$ 6,00. Se ela comprar três cadernos, sobram R$ 4,00. Se, em vez disso, seu irmão lhe 
emprestar R$ 4,00 adicionais, ela conseguirá comprar dois cadernos e sete canetas, todas iguais.
a) Quanto custa cada caneta?
b) Se ela comprar dois cadernos e não pedir dinheiro emprestado, quantas canetas poderá comprar?
4. A figura representa um gramado retangular em que foram marcados sete quadrados numerados 
de 1 a 7. Se a área do menor desses quadrados é 1 m², quanto mede a área total do gramado?
2
3
4
6 7
51
109GUIA DO ALUNO
5. (OBMEP) Na cidade de Trocalândia, 20% dos gatos pensam que são cachorros e 25% dos 
cachorros pensam que são gatos. Certo dia, um psicólogo veterinário resolve testar todos os gatos e 
cachorros de Trocalândia, verificando que 30% do total pensava ser gato. Qual proporção dos 
testados era de cães?
6. (Enem) A relação da resistência elétrica com as dimensões do condutorfoi estudada por um 
grupo de cientistas por meio de vários experimentos de eletricidade. Eles verificaram que existe 
proporcionalidade entre:
•	resistência	(R) e comprimento (,), dada a mesma secção transversal (A);
•	resistência	(R) e área da secção transversal (A), dado o mesmo comprimento (,) e
•	comprimento	(,) e área da secção transversal (A), dada a mesma resistência (R).
Considerando os resistores como fios, pode-se exemplificar o estudo das grandezas que influem na 
resistência elétrica utilizando as figuras seguintes.
resistência RA
fio condutor
�
resistência RA
fios de mesmo material
�
resistência 2RA
resistência RA
fios de mesmo material
�
�
2A 2A
2�
resistência R
resistência Rresistência 
A
fios de mesmo material
�
2
2�
R
(Fonte: Disponível em: <http://www.efeitojoule.com>. Acesso em: abr. 2010). (Adaptado).
FO
RM
A
TO
110 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
As figuras mostram que as proporcionalidades existentes entre resistência (R) e comprimento (,), 
resistência (R) e área da secção transversal (A), e entre comprimento (,) e área da secção transver-
sal (A) são, respectivamente,
a) direta, direta e direta.
b) direta, direta e inversa.
c) direta, inversa e direta.
d) inversa, direta e direta.
e) inversa, direta e inversa.
7. Diamantino colocou três litros de água e um litro de refresco em um recipiente. O refresco é 
composto de 20% de suco de laranja e 80% de água. Depois de misturar tudo, que porcentagem 
do volume final representa o suco de laranja?
8. Três candidatos concorreram à eleição de representante de uma turma de escola: João, Rosa e 
Marcos. João obteve 2
7
 dos votos e Rosa, 2
5
 dos votos. Quem ganhou a eleição?
9. Correndo a uma velocidade de 10 km/h, João completa um certo percurso em seis minutos. 
Com qual velocidade, em km/h, ele pode completar o mesmo percurso em oito minutos?
111GUIA DO ALUNO
10. Uma florista colheu 49 kg de flores do campo. O quilograma das flores pode ser vendido 
imediatamente a R$ 1,25 ou, mais tarde, com as flores desidratadas, a R$ 3,25. O processo de 
desidratação faz as flores perderem 5
7
 de seu peso. Qual é o tipo de venda mais lucrativo para 
a florista?
11. (OBMEP) Se você acerta 58 das 84 questões de um teste, qual é o seu percentual de acertos?
12. Em um certo armazém, uma dúzia de ovos e 10 maçãs tinham o mesmo preço. Depois de uma 
semana, o preço dos ovos caiu 10% e o da maçã subiu 2%. Percentualmente, quanto se gastará a 
mais na compra de uma dúzia de ovos e 10 maçãs?
112 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
13. (OBMEP) Laura desenhou cinco círculos, dentro dos quais ela quer colocar números inteiros 
positivos, de tal modo que formem uma igualdade entre uma fração e seu valor inteiro. De quantas 
maneiras pode Laura colocar os números 2, 3, 5, 6 e 11 dentro dos cinco círculos para que a igual-
dade seja verdadeira?
+ +
=
14. O dobro de um número dividido por 5 tem resto 1. Qual é o resto da divisão desse número 
por 5?
15. (OBMEP) A figura a seguir representa o terreno de Dona Idalina. Esse terreno é dividido em 
duas partes por uma cerca representada pelo segmento AC. A parte triangular ABC tem área igual 
a 120 m2.
B
A
20 m
10 m
10 m
E
Ccerca
D
a) Qual é a área do terreno?
113GUIA DO ALUNO
b) Dona Idalina quer fazer uma nova cerca, representada pelo segmento AF na figura a seguir, de 
modo a dividir o terreno em duas partes de mesma área. Qual deve ser a distância CF?
A C
F
nova cerca
16. Na reta dada, estão representados os seis números a, b, m, n, p e q, além dos números 0, 1
2
, 
1 e 2.
m
0 1
2
1 2
n p a b q
Dentre os seis números a, b, m, n, p e q, indique quais deles melhor representam os números a + b, 
a – b e a ? b.
17. Cortamos o canto de um cubo oco, conforme mostra a figura a seguir. Apresente uma planificação 
do cubo cortado.
114 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
REFERÊNCIAS BIBLIOGRáFICAS
DANTE, Luis Roberto. Tudo é Matemática: Ensino Fundamental. São Paulo: ática, 2005. 
v. I a IV.
DINIZ, Maria Ignez de S. V.; SMOLE, Kátia Cristina S. O conceito de ângulo e o ensino de Geome-
tria. 4. ed. São Paulo: CAEM-IME/USP, 2002.
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antonio. Matemática e Realidade. 5. ed. São Paulo: 
Atual, 2005. v. I a IV. 
IMENES, Luiz Márcio; LELIS, Marcelo. Matemática. São Paulo: Scipione, 2001. v. I a IV. 
_______. Matemática. São Paulo: Moderna, 2009.
LIMA, Elon Lages et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: SBM, 1996 (Coleção Pro-
fessor de Matemática, v. 1). 
_______. Temas e problemas elementares. 2. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2006 (Coleção Professor de 
Matemática). 
_______. Temas e problemas. 2. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2003 (Coleção Professor de Matemática).
OCHI, Fusako H. et al. O uso de quadriculados no ensino de Geometria. 3. ed. São Paulo: CAEM-
-IME/USP, 1997.
REZENDE, Eliane Q. F.; QUEIROZ, Maria Lúcia B. Geometria Euclidiana Plana e construções geomé-
tricas. Campinas: Editora da UNICAMP, 2000.
115GUIA DO ALUNO
E-REFERÊNCIAS
CENTRO DE REFERÊNCIA VIRTUAL DO PROFESSOR. Secretaria de Educação de Minas Gerais. Home 
page. Disponível em: <http://crv.educacao.mg.gov.br/sistema_crv/crv.htm>. Acesso em: 3 fev. 2016.
ENSINO FUNDAMENTAL I. Dominó Humano. Disponível em: <http://ensfundamental1.wordpress.
com/407-2/415-2/>. Acesso em: 3 fev. 2016.
MOTOKAME, Luciane Vieira de Paula. Jogo Fatorando. Disponível em: <http://www.sbmac.org.
br/eventos/cnmac/xxxiii_cnmac/pdf/359.pdf>. Acesso em: 30 mar. 2016.
OBSERVATóRIO NACIONAL. Usando números muito pequenos e números muito grandes. Dispo- 
nível em: <http://www.on.br/ead_2013/site/conteudo/cap2-numeros/numeros.html>. Acesso em: 3 
fev. 2016. 
PORTAL SãO FRANCISCO. História da Matemática. Disponível em: <http://www.portalsaofrancisco.
com.br/alfa/historia-da-matematica/historia-da-matematica.php>. Acesso em: 3 fev. 2016.
Só MATEMáTICA. Home page. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/index2.php>. 
Acesso em: 3 fev. 2016.
116 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
117GUIA DO ALUNO
Anexos 
118 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
119GUIA DO ALUNO
Figura 1
Anexos – oFICInA 1
120 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
121GUIA DO ALUNO
Figura 2
2 2 2 2 2
3 3 3 3 2
5 5 5 5 5
13 11 11 7 7
29 29 19 19 17
47 37 23
122 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
123GUIA DO ALUNO
Figura 3
1650
2142
3990
4620
6105
125
154
220
312
380
36
40
60
72
98
414
423
665
725
957
124 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
125GUIA DO ALUNO
Figura 4
126 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
127GUIA DO ALUNO
1
2
3
4
0,5
0,75
Anexos – oFICInA 2
128 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
129GUIA DO ALUNO
5
8
1
3
0,625
0,333...
5
3
1
6
1,666...
0,1666...
130 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
131GUIA DO ALUNO
1
5
1
4
0,2
0,25
7
10
3
5
0,7
0,6
132 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
133GUIA DO ALUNO
Anexos – oFICInA 3
Eu tenho 9,
Quem tem 0100?
Eu tenho 11,
Quem tem 32?
Eu tenho 12,
Quem tem 121?
134 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
135GUIA DO ALUNO
Eu tenho 0,
Quem tem 3�2?
Eu tenho 4,
Quem tem 27?
Eu tenho 
Quem tem 8 � 2?
9
1
3
,
136 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
137GUIA DO ALUNO
Eu tenho 3,
Quem tem (�3)4?
Eu tenho �8,
Quem tem 16 � 4?
Eu tenho 81,
Quem tem (�2)3?
138 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
139GUIA DO ALUNO
Eu tenho 6,
Quem tem ?
Eu tenho 2,
Quem tem 81 � 16?
 12
 3
Eu tenho 5,
Quem tem (32)
4
?
140 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
141GUIA DO ALUNO
Eu tenho 38,
Quem tem 52 � 53?
Eu tenho 55,
107
103
Eu tenho 104,
Quem tem 2
Quem tem ?
?
142 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
143GUIA DO ALUNO
Eu tenho 2 ,
Quem tem 5?
Eu tenho 5 ,
1
2
1
3
3
Eu tenho �16,
Quem tem 1�80?
Quem tem �42?
144 GUIA DE MATEMÁTICAENTRE JOVENS | VOLUME I
145GUIA DO ALUNO
Eu tenho 1,
Quem tem 3 � 102?
Eu tenho 300,
Eu tenho 0,009,
Quem tem 52 � 53?
Quem tem 9 � 10�3?
146 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
147GUIA DO ALUNO
Eu tenho 150,
Quem tem 33 � 31?
Eu tenho 24,
25
1Eu tenho ,
Quem tem (�4)�3?
Quem tem 5�2?
148 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
149GUIA DO ALUNO
64
1Eu tenho ,
Quem tem 144?
�
150 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
151GUIA DO ALUNO
Anexos – oFICInA 9
Anexo I
a
h
Anexo II
h
a
152 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
153GUIA DO ALUNO
Anexo III
h
a
Anexo IV
154 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
155GUIA DO ALUNO
Anexo V
156 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
157GUIA DO ALUNO
Anexos – oFICInA 10
158 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
159GUIA DO ALUNO
160 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
161GUIA DO ALUNO
162 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
163GUIA DO ALUNO
164 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
165GUIA DO ALUNO
166 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
167GUIA DO ALUNO
168 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
169GUIA DO ALUNO
170 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
171GUIA DO ALUNO
172 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME I
173GUIA DO ALUNO