1 6 Relações de equivalência e implicação

Prévia do material em texto

RACIOCÍNIO 
LÓGICO
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 > Definir as relações de equivalência e implicação lógica.
 > Distinguir relações de equivalência e implicação lógica.
 > Usar os conceitos de equivalência e implicação lógica na resolução de pro-
blemas.
Introdução
Uma das aplicações da lógica matemática é na formalização e na justificativa dos 
elementos do raciocínio empregados em demonstrações e provas de teoremas. 
No estudo da lógica, as proposições (sentenças/afirmações) assumem valores-
-verdade que podem ser verdadeiros ou falsos. Além disso, algumas relações que 
se estabelecem entre as proposições são muito importantes, como as relações 
de equivalência e implicação lógica. Na matemática, a equivalência indica que as 
características das grandezas têm o mesmo valor, como a força ou o peso. Para a 
lógica, equivalência significa igualdade entre duas proposições, ou seja, que elas 
têm o mesmo valor-verdade.
Neste capítulo, você vai estudar a definição de equivalência e implicação lógica, 
as diferenças entre as duas e a resolução de problemas relacionados. 
Relações de 
equivalência e 
implicação lógica
Cristiane da Silva
João Pedro
Realce
Relações de equivalência e implicação 
lógica
No estudo de lógica proposicional, proposição é uma sentença declarativa, ou 
seja, que declara um fato. Pode ser verdadeira ou falsa, mas não verdadeira e 
falsa ao mesmo tempo. Nesta seção, conheceremos duas relações importantes, 
denominadas equivalência e implicação lógica. Dizemos que duas proposições 
p e q são equivalentes quando os resultados de suas tabelas-verdade são 
iguais, têm os mesmos valores lógicos em cada linha. Segundo Barbosa (2017, 
p. 65), “A relação de equivalência é entendida sempre que temos duas propo-
sições com o mesmo valor lógico. Assim, concluímos que duas proposições 
são equivalentes quando apresentam a mesma tabela-verdade.” 
Para dizer que p e q são equivalentes, podemos escrever p ≡ q ou p ⇔ q 
ou p = q. A dupla negação ~p(~p) é equivalente a p, assim como ~p(p ∨ q) é 
equivalente a ~p ∧ ~q. Observe: 
p q p ∨ q ~(p ∨ q) ~p ~(~p) ~q ~p ∧ ~q
V V V F F V F F
V F V F F V V F
F V V F V F F F
F F F V V F V V
Note que as proposições p e ~(~p) e as proposições ~(p ∨ ~q) e ~p ∧ ~q 
têm o mesmo valor lógico, apresentando a mesma tabela-verdade e, por-
tanto, são equivalentes. Em outras palavras, proposições equivalentes são 
aquelas que apresentam a mesma sequência de valores na devida coluna 
da tabela-verdade.
Relações de equivalência e implicação lógica2
João Pedro
Sublinhado
João Pedro
Realce
João Pedro
Realce
Outro caso de relação de equivalência pode ser observado ao considerar 
as proposições p ∧ q e q ∧ p e suas tabelas-verdade:
p q p ∧ q q ∧ p
V V V V
V F F F
F V F F
F F F F
Perceba que as proposições p ∧ q e q ∧ p têm o mesmo valor lógico em 
sua tabela-verdade, portanto, são equivalentes.
Uma relação em um conjunto A é denominada relação de equivalência 
se for reflexiva, simétrica e transitiva. O exemplo de Rosen (2009) a seguir 
evidencia essa definição.
Exemplo
Seja m um inteiro positivo com m > 1, mostre que R = {(a, b) | a ≡ b (mod m)} 
é uma relação de equivalência no conjunto dos inteiros.
Solução 
Por definição, temos que, se a e b forem números inteiros e m for um número 
inteiro positivo, então a é congruente a . b módulo m se m divide a – b. 
Utiliza-se a notação a = b (mod m) para indicar que a é congruente a ab 
módulo m Portanto: 
a ≡ b (mod m) se e somente se m divide a – b
Note que a – a = 0 é divisível por m, pois 0 = 0. Portanto, a ≡ a (mod m), 
de modo que a congruência módulo m é reflexiva. Suponha agora que a ≡ b 
(mod m). Então, a – b é divisível por m, de modo que a – b = km, em que k é 
um inteiro. Segue que b – a = (–k)m, de modo que b ≡ a (mod m). Portanto, a 
congruência módulo m é simétrica. Agora, suponha que a ≡ b (mod m) e b ≡ c 
Relações de equivalência e implicação lógica 3
(mod m). Então, m divide tanto a – b quanto b – c. Portanto, existem inteiros 
k e l com a – b = km e b – c = l m. Somando essas duas equações, obtém-se:
Logo, a = c (mod m). Portanto, a congruência módulo m é transitiva. Segue 
que a congruência módulo m é uma relação de equivalência. Para ficar mais 
claro, acompanhe o seguinte detalhamento:
 � porque é múltiplo de 3.
 � porque é múltiplo de 3.
 � porque não é múltiplo de 3.
Uma notação frequentemente utilizada para indicar que dois ele-
mentos, a e b, são equivalentes é dada por a ~ b.
Também é possível combinar proposições por meio de uma relação de 
implicação. Por definição, tomamos p e q como duas proposições. A proposição 
condicional p → q é a proposição “se p, então q”. A condicional p → q é falsa 
quando p é verdadeira e q é falsa, e verdadeira em qualquer outro caso. Na 
condicional p → q, p é chamada de hipótese, antecedente ou premissa, e q é 
denominada conclusão, consequência ou consequente. Importante destacar 
que a proposição p → q é chamada de condicional porque p → q afirma que q 
é verdadeira na condição de que p também o seja. Uma proposição condicional 
é também denominada implicação (ROSEN, 2009). Confira a tabela-verdade 
a seguir que exemplifica a relação de implicação:
p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
Como se percebe, a implicação, ou condicional, indica que uma condição 
deve ser satisfeita necessariamente para que a outra seja verdadeira.
Relações de equivalência e implicação lógica4
João Pedro
Realce
Existe diferença entre os símbolos → e ⇒. Enquanto → representa 
uma operação matemática entre as proposições p e q que tem como 
resultado a proposição p → q, com valor lógico V ou F, o símbolo ⇒ representa 
a não ocorrência de VF na tabela verdade de p → q, ou seja, o valor lógico da 
condicional p → q será sempre V, o que se denomina tautologia. Alguns autores, 
no entanto, não fazem essa distinção, deixando a cargo do leitor identificar se o 
contexto é de condicional ou de implicação. Outro aspecto que merece atenção 
é o símbolo ≡, que não é um conectivo lógico, e p ≡ q não é uma proposição 
composta, apenas quer dizer que p ↔ q (a bicondicional) é uma tautologia. O 
símbolo ⇔ é comumente utilizado no lugar de ≡ para indicar equivalências 
lógicas (ROSEN, 2009).
Na próxima seção, aprofundaremos o estudo das relações de equivalência 
e implicação lógica abordando a distinção entre elas.
Distinguindo relações de equivalência e de 
implicação 
Em uma relação lógica entre duas proposições, p e q, expressa por p → q (p 
então q), em que p é verdadeira, então q também precisa ser verdadeira, a 
informação contida em q está incluída em p. Conforme Bispo, Castanheira e 
Souza Filho (2012), uma implicação tautológica é uma proposição condicional 
tautológica. 
Tautologia é uma proposição cujo valor lógico é sempre verdadeiro, ou seja, 
a última coluna da tabela-verdade só possui V. Contradição é uma proposição 
cujo valor lógico é sempre falso, ou seja, a última coluna da tabela-verdade 
só possui F. É o contrário da tautologia. Contingência é uma proposição cujo 
valor lógico pode ser verdadeiro ou falso, ou seja, não é nem uma tautologia 
e nem uma contradição, é uma proposição indeterminada. 
Relações de equivalência e implicação lógica 5
João Pedro
Realce
João Pedro
Realce
Note, pela tabela-verdade, que a proposição p ∧ q → p é tautológica:
p q p ∧ q p ∧ q → p
V V V V
V F F V
F V F V
F F F V
Isso permite afirmar que p ∧ q implica tautologicamente p, ou seja, 
p ∧ q ⇒ q. Perceba que, nas relações de implicação, as proposições envolvi-
das podem assumir o valor lógico V ou F sem a necessidade de que tenham 
o mesmo valor-verdade final. Já no caso das relações de equivalência lógica, 
as proposições envolvidas têm o mesmo valor lógico, apresentando a mesma 
tabela-verdade, como detalhado na seção anterior. Bispo, Castanheira e Souza 
Filho (2012) apresentam o exemplo de uma equivalência tautológica, observe:
A proposição é uma equivalência tautológica:
p q ~p ~q p ∧ q ~(p ∧ q) (~p ∨ ~q) ~(p ∧ q) ↔ (~p ∨ ~q)V V F F V F F V
V F F V F V V V
F V V F F V V V
F F V V F V V V
A equivalência lógica p ↔ q significa que, p é verdadeiro se, e somente se, 
q também for verdadeiro. Se p for falso neste caso, então q também será falso. 
Em outras palavras, p ≡ q. Em lógica, a igualdade é chamada de equivalência, 
e utiliza-se o sinal ↔. Na relação de implicação tem-se que: 
O símbolo ⇔ é utilizado porque a equivalência lógica também pode ser en-
tendida como uma implicação nos dois sentidos. No caso da implicação lógica, 
a tabela-verdade para a condicional (implicação) p → q é verdadeira quando 
Relações de equivalência e implicação lógica6
ambos o são e quando p é falsa, independentemente do valor-verdade de q. 
Portanto, p → q só será falsa quando p for verdadeira e q for falsa. Observe:
p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
Pode-se utilizar diferentes termos para expressar a implicação lógica 
p → q, alguns deles são:
“se p, então q” “p implica q”
“se p, q” “p apenas se q”
“p é suficiente para q” “uma condição suficiente para q é p”
“q se p” q sempre que p”
“q quando ocorrer p” “q é necessário para p”
“uma condição necessária para p é q” “q segue de p”
“q a menos que ~p”
Fonte: Adaptado de Rosen (2009).
Grande parte das equivalências envolve a proposição P → Q, chamada de 
condicional, ou implicação. Na implicação, vimos que P é o antecedente, e Q 
é o consequente. A primeira equivalência transforma a condicional em uma 
disjunção: Construindo a tabela-verdade, temos:
P Q P → Q ~P ~P ∨ Q
V V V F V
V F F F F
F V V V V
F F V V V
Relações de equivalência e implicação lógica 7
Isso nos permite concluir que a equivalência é obtida a partir da disjunção 
entre a negação do antecedente ~P e o consequente Q. Na prática, quando 
queremos saber se existe uma equivalência, verificamos se a bicondicional 
é uma tautologia, que é o mesmo que verificar se suas colunas na tabela 
são iguais. Se desejamos saber se a proposição P implica a proposição Q, 
verificamos se a condicional, se P então Q, é uma tautologia. A implicação, 
portanto, está relacionada com a condicional, e a equivalência está relacio-
nada com a bicondicional.
Solução de problemas
Nesta seção, vamos acompanhar problemas de implicação e equivalência em 
que, a partir da linguagem corrente, realize-se a passagem para a linguagem 
simbólica, avaliando se P implica Q ou se P é equivalente a Q.
Para iniciar, considere a seguinte frase: “Se Ana estudou, então foi apro-
vada”. De acordo com a lógica proposicional, essa frase é equivalente a:
a) Ana não estudou e foi aprovada.
b) Ana não estudou e não foi aprovada.
c) Ana estudou ou não foi aprovada.
d) Ana estudou se, e somente se, foi aprovada.
e) Ana não estudou ou foi aprovada.
Para encontrar a solução, lembre-se de que “Ana estudou” é o antecedente, 
e “foi aprovada” é o consequente. Para identificar a proposição equivalente, 
desconsidere a expressão “se”, negue o antecedente e troque o “então” por 
“ou”. Mantendo-se o consequente, tem-se:
Se Ana estudou, então foi aprovada.
Ana não estudou ou foi aprovada.
A resposta correta é a alternativa e, que diz: “Ana não estudou ou foi 
aprovada”. Confira a tabela-verdade desse problema:
Relações de equivalência e implicação lógica8
João Pedro
Realce
p q p → q ~p ~p ∨ q
V V V F V
V F F F F
F V V V V
F F V V V
Como as colunas na tabela são iguais para as proposições p → q e ~p ∨ q, 
dizemos que elas são equivalentes. 
Agora, considere a seguinte frase: “Se Gustavo tem CRC, então é profis-
sional da contabilidade”. De acordo com a lógica proposicional, essa frase 
é equivalente a:
a) Gustavo tem CRC ou é profissional da contabilidade.
b) Se Gustavo não tem CRC, então não é profissional da contabilidade.
c) Se Gustavo não é profissional da contabilidade, então não tem CRC.
d) Gustavo é profissional da contabilidade e não tem CRC.
e) Se é profissional da contabilidade, então Gustavo tem CRC.
Para encontrar a solução, aplica-se a contra-positiva para determinar a 
proposição equivalente para “Se Gustavo tem CRC, então é professional da 
contabilidade”. Fazemos a negação de “é profissional da contabilidade” para 
obter a negação de “Gustavo tem CRC”. Desta forma, tem-se:
Se Gustavo tem CRC, então é profissional da contabilidade.
Se Gustavo não é profissional da contabilidade, então não tem CRC.
A resposta correta é a alternativa c, que diz: “Se Gustavo não é profissional 
da contabilidade, então não tem CRC”. Confira a tabela-verdade deste problema:
p q p → q ~p ~q ~q → ~p
V V V F F V
V F F F V F
F V V V F V
F F V V V V
Relações de equivalência e implicação lógica 9
Como as colunas na tabela são iguais para as proposições p → q e ~q → ~p, 
dizemos que elas são equivalentes.
Vejamos mais alguns exemplos aplicados de Rosen (2009) e Hunter (2011).
Caso de uma condicional (implicação)
Tome como exemplo a seguinte afirmação: “Se eu for eleito, então vou diminuir 
os impostos”. Se o político for eleito, os eleitores devem esperar que esse 
político diminua os impostos. No entanto, se o político não for eleito, os 
eleitores não terão nenhuma expectativa sobre o que tal político fará com 
os impostos, mesmo que a pessoa tenha influência suficiente para baixá-los. 
Será apenas quando o político for eleito, mas não baixar os impostos, que os 
eleitores poderão dizer que o político quebrou sua promessa de campanha. 
Esse último cenário corresponde ao caso em que p é verdadeira e p é falsa 
em p → q.
Caso do quadrilátero
Se um quadrilátero tem um par de lados paralelos, então ele tem um par de 
ângulos suplementares. Observe a Figura 1.
Figura 1. Quadrilátero.
Fonte: Hunter (2011, p. 4).
Esse teorema é da forma p → q, em que p é a sentença de que o quadrilátero 
tem um par de lados paralelos, e q é a sentença de que o quadrilátero tem 
um par de ângulos suplementares. Podemos, além disso, afirmar um teorema 
diferente, representado por ~q → ~p: se o quadrilátero não tem um par de 
ângulos suplementares, então ele não tem um par de lados paralelos. Este 
segundo teorema é logicamente equivalente ao primeiro, pois a sentença 
Relações de equivalência e implicação lógica10
formal p → q é logicamente equivalente à sentença formal ~q → ~p, como é 
possível observar na tabela-verdade a seguir:
p q p → q ~q ~p ~q → ~p 
V V V F F V
V F F V F F
F V V F V V
F F V V V V
Note que a coluna p → q é igual a coluna ~q → ~p. Uma vez que o primeiro 
teorema é um teorema de geometria verdadeiro, concluímos que o segundo 
também é.
Agora, vamos considerar a seguinte variação para esse teorema: “Se um 
quadrilátero tem um par de ângulos suplementares, então ele tem um par 
de lados paralelos”. Essa sentença é da forma q → p. Mas a tabela verdade 
mostra que q → p não é logicamente equivalente a p → q, pois os valores 
V, F são diferentes na segunda e terceira linhas comparativamente ao caso 
anterior. Observe:
p q p → q ~q ~p ~q → ~p q → p
V V V F F V V
V F F V F F V
F V V F V V F
F F V V V V V
De fato, esta última sentença geralmente não é verdadeira em geometria. 
A sentença ~q → ~p é chamada de contrapositiva de p → q, e a sentença q → p 
é chamada de recíproca. A tabela-verdade nos prova que, para qualquer 
sentença s, a contrapositiva de s é logicamente equivalente a s, enquanto a 
recíproca de s pode não ser logicamente equivalente.
Por fim, considere a seguinte proposição: “Não é verdade que nossa energia 
elétrica é barata e oriunda de fontes renováveis”, que é logicamente equi-
valente a “Nossa energia elétrica não é barata ou não é oriunda de fontes 
renováveis”. De fato, negar a conjunção “Nossa energia elétrica é barata e 
Relações de equivalência e implicação lógica 11
oriunda de fontes renováveis” é negar pelo menos uma das proposições que 
a compõe. Escrevemos:
 � p: nossa energia elétrica é barata.
 � ~p: nossa energia elétrica não é barata.
 � q: nossa energia elétrica é oriunda de fontes renováveis.
 � ~q: nossa energia elétrica não é oriunda de fontes renováveis.
 � ~(p ∧ q): não é verdade quenossa energia elétrica é barata e é oriunda 
de fontes renováveis.
 � ~p ∨ ~q: nossa energia elétrica não é barata ou não é oriunda de fontes 
renováveis.
Construindo as duas tabelas-verdade, teremos:
p p p ∧ q ~(p ∧ q)
V V V F
V F F V
F V F V
F F F V
p q ~p ~q (~p ∨ ~q)
V V F F F
V F F V V
F V V F V
F F V V V
Comparando os valores lógicos da última coluna das duas tabelas, con-
cluímos que Esse resultado vale para quaisquer que 
sejam as proposições p e q.
Nesta seção, você acompanhou diversos problemas aplicados envolvendo 
as relações de implicação e equivalência. O uso da linguagem corrente (por-
tuguês) permitiu compreender a passagem desta para a linguagem simbólica, 
utilizada em lógica. O capítulo do livro também apresentou a definição de 
equivalência e implicação lógica, evidenciando exemplos e tabelas-verdade, 
além de tratar da distinção entre essas duas relações lógicas.
Relações de equivalência e implicação lógica12
Referências
BARBOSA, M. A. Introdução à lógica matemática para acadêmicos. Curitiba: InterSa-
beres, 2017.
BISPO, C. A. F.; CASTANHEIRA, L. B.; SOUZA FILHO, O. M. Introdução à lógica matemática. 
São Paulo: Cengage Learning, 2012.
HUNTER, D. J. Fundamentos da matemática discreta. Rio de Janeiro: LTC, 2011.
ROSEN, K. H. Matemática discreta e suas aplicações. 6. ed. Porto Alegre: AMGH, 2009.
Os links para sites da web fornecidos neste capítulo foram todos 
testados, e seu funcionamento foi comprovado no momento da 
publicação do material. No entanto, a rede é extremamente dinâmica; suas 
páginas estão constantemente mudando de local e conteúdo. Assim, os editores 
declaram não ter qualquer responsabilidade sobre qualidade, precisão ou 
integralidade das informações referidas em tais links.
Relações de equivalência e implicação lógica 13