FUNDAMENTOS-TEÓRICOS-DO-PENSAMENTO-MATEMÁTICO

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FUNDAMENTOS TEÓRICOS DO 
PENSAMENTO MATEMÁTICO 
 
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Sumário 
Fundamentos teóricos do pensamento matemático. .................................................. 4 
Figura 1: Matemática. ................................................................................................. 4 
Figura 2: A construção do pensamento lógico matemático. ....................................... 4 
Figura 3: Provas Operatórias de Piaget. .................................................................... 7 
Figura 4: Resolução de problemas............................................................................. 8 
Elaborar um plano ................................................................................................ 12 
Figura 5: A construção do conceito de número. ....................................................... 14 
Materiais que podem ser utilizados para as operações de classificação e seriação 21 
Figura 6: Blocos lógicos. .......................................................................................... 21 
Figura 7: Raciocínio lógico. ...................................................................................... 24 
Abstração empírica e abstração reflexiva ................................................................ 27 
O desenvolvimento histórico do sistema de numeração decimal ............................. 30 
Contribuições de Piaget ........................................................................................... 39 
Referências Bibliográficas: ....................................................................................... 50 
 
 
 
 
 
 
 
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NOSSA HISTÓRIA 
 
 
A nossa história inicia-se com a ideia visionária e da realização do sonho de 
um grupo de empresários na busca de atender à crescente demanda de cursos de 
Graduação e Pós-Graduação. E assim foi criado o Instituto, como uma entidade 
capaz de oferecer serviços educacionais em nível superior. 
O Instituto tem como objetivo formar cidadão nas diferentes áreas de 
conhecimento, aptos para a inserção em diversos setores profissionais e para a 
participação no desenvolvimento da sociedade brasileira, e assim, colaborar na sua 
formação continuada. Também promover a divulgação de conhecimentos 
científicos, técnicos e culturais, que constituem patrimônio da humanidade, 
transmitindo e propagando os saberes através do ensino, utilizando-se de 
publicações e/ou outras normas de comunicação. 
Tem como missão oferecer qualidade de ensino, conhecimento e cultura, de 
forma confiável e eficiente, para que o aluno tenha oportunidade de construir uma 
base profissional e ética, primando sempre pela inovação tecnológica, excelência no 
atendimento e valor do serviço oferecido. E dessa forma, conquistar o espaço de 
uma das instituições modelo no país na oferta de cursos de qualidade. 
 
 
 
 
 
 
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Fundamentos teóricos do pensamento matemático. 
 
 
Figura 1: Matemática. 
 
 A construção do pensamento lógico matemático 
 
 
Figura 2: A construção do pensamento lógico matemático. 
 
O conhecimento lógico matemático é uma construção e resultado da ação 
mental da criança sobre o mundo. E não é inerente ao objeto. Ele é concebido a 
partir das relações que a criança dispõe em sua prática de pensar o mundo, da 
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mesma forma que o conhecimento físico é construído a partir das ações sobre os 
objetos (PIAGET, 1978). 
O número é um conceito do conhecimento lógico matemático, pois se caracteriza 
como uma operação mental e fundamenta-se das relações que não podem ser 
observáveis. O pensamento lógico matemático está fundamentado em construções 
mentais que se deve a diversos estados de abstração. O pensamento do sujeito 
para Piaget (1978) é construído com a participação considerável do grupo social 
que está inserido. Dessa forma, por meio de aquisições feitas a partir das relações 
sociais, o conceito de pensamento e as regras lógicas, excedem os limites da 
atividade individual, considera a colaboração e a participação entre os indivíduos. 
Os princípios lógicos são leis normativas necessárias às trocas inter individuais do 
pensamento, definidos por uma necessidade social, em objeção a desorganização 
das representações espontâneas do sujeito. 
Piaget (1978) analisou a gênese e evolução do pensamento lógico da criança ao 
adulto, com o objetivo de determinar o modo de sua construção. Ele buscava um 
esclarecimento estrutural das ações observadas nas crianças. Essa indagação 
forneceu um principio importante com respeito a estas ações: as atitudes do sujeito 
estão organizadas de maneiras distintas de acordo com as várias etapas do 
desenvolvimento. As formas de organização das atitudes do sujeito, de acordo com 
o autor, são a constituição de um conjunto que a partir, dessa ação “organizadora”, 
criam conceitos que passam a interagir uma totalidade coordenada e estruturada. 
Aparece então, a tarefa de especificar qual estrutura de conjunto que viabiliza 
obtenção cognitiva, característica de cada período de desenvolvimento da 
inteligência. 
Deste modo, para compreender o que uma criança pode ou não fazer em 
determinada etapa e construir a outra, é necessário à descoberta da estrutura do 
conjunto que está permeando. 
A partir dessa constatação, Piaget (1978), em suas pesquisas procurou expor 
como surge no sujeito, à elaboração das estruturas de conjunto, que são 
características, dos períodos operatórios do pensamento da criança utilizando-se, 
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para uso da linguagem da lógica e da matemática. Essa lógica apresenta-se como 
uma formação intermediária entre lógica natural dos indivíduos e a lógica formal dos 
lógicos. 
Três estágios básicos são destacados por Piaget (1973), para melhor 
entendimento do processo evolutivo das estruturas cognitivas. Na criação dos 
primeiros esquemas de natureza lógico-matemática, as crianças se firmam em 
ações sensório-motoras sobre objetos materiais e através de repetições 
espontâneas, que chegam ao domínio e generalização da ação (estágio pré-
operatório). O segundo período está caracterizado pelo aparecimento das 
operações, as ações em pensamento; a criança ainda depende dos objetos 
concretos nessa fase, para que as ações se constituam em conceitos (estágio 
operatório concreto). Por fim, atingem o estágio das operações sobre os objetos 
abstratos de forma que já não dependem mais de ações concretas ou de objetos 
concretos, é o estabelecimento do pensamento puramente abstrato ou formal. 
O conhecimento lógico matemático é resultado da ação direta das crianças 
sobre o objeto. Desta maneira, não pode ser ensinado por repetição ou 
verbalização. Quando Piaget (1973) propôs uma autoconstrução do conhecimento 
pela criança, estava sugerindo que existisse uma capacidade cognitiva genérica, de 
forma que sua aplicação seria aos diferentes tipos de percepções, seria auto 
instaurada por estágios, da percepção sensório-motora para a espacial, para verbal 
concreta, para as abstrações da linguagem e para operações matemáticas. 
 
 
 
 
 
 
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Provas Operatórias de Piaget 
 
 
Figura 3: Provas Operatórias de Piaget. 
 
As provas operatórias de Jean Piaget constituem-se de provas clássicas de 
experimentação em Psicologia genética e servem para acompanhar nas crianças as 
noções que são objetos de estudo da epistemologia (como a noção de tempo, 
espaço, conservação, causalidade, número, etc.). De forma que, a escola de 
Genebra tem buscado dar conta do nascimento da inteligência e do 
desenvolvimento das operações intelectuais. 
Através das provas podemos descrever o grau de aquisição de noções chave 
de desenvolvimento cognitivo,dos quais os conteúdos levam em consideração cada 
uma delas de modo específico. Algumas provas referem-se à noção de 
conservação, referida aos aspectos numéricos, geométricos ou físicos, e outras 
propõe indagações sobre questões vinculadas às classes e as relações. 
O nível de construção alcançado pela criança, em cada grau de aquisição 
das noções mútua faz alusão, ao grau de estrutura operatória que subjazem em 
cada etapa do desenvolvimento. Através das provas de diagnóstico operatório é 
possível constatar o nível do pensamento atingido pela criança ou o nível de 
estrutura cognitiva com que o sujeito é capaz de operar em cada situação presente. 
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As idades de obtenção das estruturas de pensamento, da mesma forma que 
os intervalos se classificam como as condições socioculturais, e mais 
especificamente com as escolares, as provas de diagnóstico operatório são 
situações experimentais bastantes elaboradas, que nos permitem descrever quais 
pensamentos da criança através do estudo do grau, até que ponto são assimilados 
ou não a essas noções em uma estrutura operatória, e se os julgamentos da criança 
resistem às argumentações contrárias que são formuladas. 
Basicamente são utilizadas as mesmas técnicas em todas as provas. É feito 
uma interrogação às crianças na presença de fenômenos observáveis e ou 
manipuláveis, apresentando como proposta fazer uma relação entre eles. O modo 
de subordinação está de acordo aos problemas específicos que são colocados, isso 
faz com que o desenvolvimento interrogatório, seja modificado conforme trate os 
problemas de natureza lógica ou de fenômenos físicos. 
Resolução de problemas 
 
 
Figura 4: Resolução de problemas. 
Se pretendermos tornar a Matemática útil e prazerosa, acreditamos que a 
resolução de problemas, uma das tendências da educação matemática, é um 
excelente caminho para alcançarmos esse objetivo. A resolução de problemas deve 
ser o ponto central de atenção do professor de Matemática e os problemas devem 
ser o ponto-chave para o desenvolvimento dos conteúdos curriculares. Por meio dos 
problemas, os estudantes podem: 
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• - investigar e compreender os conteúdos matemáticos; 
• - desenvolver e aplicar estratégias para a resolução dos mesmos; 
• - relacionar a Matemática com situações cotidianas; 
• - ver a Matemática de forma atraente e desafiadora. 
 
Polya (1994) afirma que “a resolução de problemas foi à coluna vertebral da 
instrução matemática desde o Papiro de Rhind”. Educadores matemáticos 
acreditam ser necessário que os alunos se tornem capazes de propor e resolver 
problemas, conhecer técnicas diversas, compreender as implicações matemáticas 
de um problema, trabalhar em grupo para resolvê-lo, aplicar idéias matemáticas a 
problemas abertos, acreditar na importância da resolução de problemas para a real 
aprendizagem da Matemática e na importância desta para a vida cotidiana. 
Pretende-se que os alunos aprendam a valorizar a Matemática, sentidos e 
seguros em fazer Matemática e em resolver problemas de todas as categorias. Que 
esses alunos possam comunicar-se por meio dessa ciência, aprender a raciocinar 
matematicamente, formular hipóteses e argumentar a validez de uma hipótese. 
Resolver problemas é a razão principal de se aprender e ensinar Matemática. 
É por meio dessa prática que se inicia o aluno no exercício de pensar 
matematicamente e nas aplicações da Matemática na Educação Básica. Resolver 
problemas é o processo de reorganizar conceitos e habilidades, aplicando-os a uma 
nova situação, atendendo a um objetivo. Ao resolver problemas, o aluno desenvolve 
determinadas estratégias que, em geral, se aplicam a um grande número de 
situações. Dante (1995, p. 84) salienta que: 
Aprender a resolver problemas matemáticos deve ser 
o maior objetivo da instrução matemática. Certamente 
outros objetivos da Matemática devem ser 
procurados, mesmo para atingir o objetivo da 
competência em resolução de problemas. 
Desenvolver conceitos matemáticos, princípios e 
algoritmos através de um conhecimento significativo e 
habilidoso é importante. Mas o significado principal de 
aprender tais conteúdos matemáticos é ser capaz de 
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usá-los na construção das soluções das situações-
problema. 
Ensinar a resolver problemas requer que o professor coloque os alunos frente 
a diferentes situações. Ele deve encorajá-los a pensar por si mesmos, a levantar em 
suas próprias hipóteses e a testá-las, a discutirem com seus colegas como e por 
que determinada estratégia resolve ou não o problema. 
É importante, também, que o professor considere dois fatores que 
desempenham papel fundamental na resolução de problemas: os conceitos e as 
habilidades da criança para encontrar a solução. Esses fatores são construídos de 
acordo com o repertório de problemas previamente resolvidos, daí a importância 
dos alunos resolverem uma variedade de problemas. 
Ao propor essas questões, o professor deve estar atento aos problemas 
matemáticos que não têm como objetivo encontrar uma resposta numérica e, 
mesmo que se encontre essa resposta, é apenas um ponto intermediário nesse 
processo.Assim, é essencial uma interpretação ou uma análise da questão a ser 
resolvida. 
Às vezes, um problema requer simplesmente que o aluno desenvolva um 
sistema de organização dos dados de uma forma adequada ou que se traduza uma 
situação matemática em uma linguagem mecânica eficiente. Ou então o problema 
exige que se crie uma unidade de medida ou um instrumento de maior precisão do 
que os dados pelos modelos usuais de medida. 
O que é um problema? 
 
Saviani (1999) coloca que uma questão por si só não caracteriza um problema, 
mesmo que sua resposta seja desconhecida. O que caracteriza um problema é 
aquela questão cuja resposta, além de não ser conhecida, deseja-se conhecer. Em 
outras palavras, para que uma situação seja um problema, é necessário que o 
sujeito: 
 
- esteja ciente dessa situação; 
- esteja interessado em resolver essa situação; 
- não tenha elementos necessários para proceder diretamente. 
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Para o professor realizar um trabalho coerente com a proposta da resolução de 
problemas, é necessário que conheça a classificação de questões matemáticas a 
seguir, segundo Butts (1980). 
 
Problemas de aplicação 
 
Nessa categoria, estão os tradicionais problemas de palavras cujas soluções 
requerem que o estudante: 
 
-faça a formulação simbólica do problema; 
- manipule essa formulação com algoritmos ou outros procedimentos já conhecidos, 
para então obter a resposta. 
 
Problemas em aberto 
 
Um problema em aberto não contém, no enunciado, uma estratégia para sua 
resolução. Porém, apresenta muitas vantagens, como a abordagem de diversos 
conteúdos matemáticos num único problema. 
 
 
 
Etapas para resolução de problemas 
 
Segundo Polya (1994), para se obter sucesso na resolução de problemas é 
necessário observar as seguintes etapas: 
1. Compreender o problema; 
2. Elaborar um plano; 
3. Executar o plano; 
4. Fazer a verificação ou o retrospecto. 
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Em cada etapa, o professor pode fazer questionamentos ou considerações 
que ajudem os alunos na resolução dos problemas. 
 
Compreender o problema: 
 
a) O que se pede no problema? 
b) Quais são os dados e as condições do problema? 
c) É possível fazer uma figura, um esquema ou um diagrama? 
d)É possível estimar a resposta? 
 
Elaborar um plano 
 
a) Qual é o seu plano para resolver o problema? 
b) Que estratégia você tentará? 
c) Você se lembra de um problema semelhante que pode ajudá-lo a resolver este? 
d) Tente organizar os dados em tabelas e gráficos. 
e)Tente resolver o problema por partes. 
 
Executaro plano: 
 
a) Execute o plano elaborado, verificando-o passo a passo. 
b) Efetue todos os cálculos indicados no plano. 
c)Execute todas as estratégias pensadas, obtendo várias maneiras de resolvero 
mesmo problema. 
 
 
 
 
 
 
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Fazer retrospecto ou verificação: 
 
a) Examine se a solução obtida está correta. 
b) Existe outra maneira de resolver o problema proposto? 
c) É possível usar o método empregado para resolver problemas semelhantes? 
 
Desse modo, em uma aula de resolução de problemas, o professor deve 
fazer o papel de incentivador e moderador das idéias geradas pelos alunos. Agindo 
assim, os alunos participam ativamente, “fazendo Matemática”, e não passivamente, 
“observando” a Matemática “ser feita” pelo professor. 
Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma 
pitada de descoberta na resolução de qualquer problema. Este pode ser modesto, 
mas se desafiara curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o 
resolver por seus próprios meios experimentará a tensão e gozará o triunfo da 
descoberta. Experiências tais, numa idade susceptível, poderão gerar o gosto pelo 
trabalho mental e deixar, por toda a vida, a sua marca na mente e no caráter. 
(POLYA, 1994, p. 48) 
O professor deve apresentar aos alunos problemas desafiadores, reais e 
interessantes, que não sejam resolvidos diretamente por um ou mais algoritmos. 
É necessário, também, que seja dado um tempo razoável para que leiam e 
compreendam o problema, certificando-se de que foi entendido por todos. 
Infelizmente, uma das maiores dificuldades do aluno ao resolver um problema é o 
momento de leitura e compreensão do texto. 
Deve-se criar, entre os alunos, um clima de busca, exploração e descoberta, 
deixando claro que o mais importante para obter a resposta correta é pensar e 
trabalhar no problema durante o tempo necessário para resolvê-lo. 
O professor precisa trabalhar no sentido de focalizar, enfatizar e valorizar a 
análise do problema, os procedimentos que podem levar à solução e à revisão da 
solução obtida, e não, simplesmente, enfatizar a resposta correta. 
Acertar a resposta não é, necessariamente, o mais importante na resolução 
de problemas. É bom para o aluno saber o que fez e como fez, e por que sua ação 
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foi apropriada ou não. Isso deve ser parte integrante da etapa de retrospecto e 
verificação da resolução. 
Primordialmente, devem-se incentivar os alunos a pensar. Assim, a função de 
orientador e facilitador da aprendizagem realizar-se-á mais facilmente, podendo-se 
perceber como pensam e encaminham a solução do problema, que estratégias 
tentam usar, que dificuldades precisam superar etc. O professor, discretamente, 
pode propiciar aos alunos “idéias brilhantes”, fazendo com que se lembrem de fatos 
e os utilizem adequadamente. É importante proporcionar ao aluno a satisfação de 
tê-las obtido. Alunos resolvedores de problemas se sentem seguros e, em geral, 
demonstram grande interesse pela Matemática. 
 
A construção do conceito de número: 
 
 
Figura 5: A construção do conceito de número. 
 
Uma das noções fundamentais da Matemática, a ideia de número, foi construída 
e aperfeiçoada ao longo de muitos séculos. Surgiu da necessidade humana de 
conhecer o mundo e nele sobreviver. Foi dessa necessidade e utilizando objetos 
para a contagem que a humanidade começou a construir o conceito de número. 
 
Mas, e a criança, como ela adquire esse conceito? 
 
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 De acordo com Piaget e Szeminska (1981), a criança constrói progressiva e 
interiormente a capacidade de contar com sucesso os objetos e essa capacidade só 
está consolidada quando ela consegue coordenar várias ações sobre os objetos 
(classificação, seriação, correspondência biunívoca, entre outras), a fim de 
quantificá-los. Conhecer “de cor”’ a sequência de palavras utilizadas na contagem 
não significa já ter construído a estrutura de número. 
Duas afirmações de Piaget têm sido evocadas para justificar a ênfase nas 
atividades lógicas em detrimento de atividades numéricas na Educação Infantil. 
Uma, é a de que “não é suficiente à criança saber contar verbalmente para que 
esteja de posse do número”, e a outra, a de que a sucessão dos números se 
constitui “em síntese operatória da classificação e da seriação”. Ambas as 
afirmações constam do livro A gênese do número na criança e foram escritas pelo 
próprio pesquisador; a primeira, no prefácio da terceira edição (PIAGET; 
SZEMINSKA, 1981, p. 15) e a segunda no prefácio da primeira edição do referido 
livro (PIAGET; SZEMINSKA, 1981, p. 12). 
Um exemplo do que foi afirmado no parágrafo anterior pode ser comprovado, 
por exemplo, pelo programa de 1970 do Curso Preparatório (o equivalente francês 
da Educação Infantil brasileira), que apresenta, na descrição dos conteúdos, 
explicitamente os tópicos “atividades de classificação e de seriação”: 
 
É através das diversas manipulações de objetos que as 
crianças elaboram pouco a pouco a noção de número 
natural. É necessário compreender bem que o número 
natural não é um objeto, nem uma propriedade 
vinculada a objetos, mas sim uma propriedade 
vinculada a conjuntos. [...] A noção de número natural 
como propriedade de um conjunto aparecerá na medida 
em que se poderá estabelecer correspondência termo a 
termo entre conjuntos... [...] O emprego sistemático da 
correspondência termo a termo permite classificar os 
conjuntos e atribuir a cada classe um número: assim, a 
classe de todos os conjuntos que têm objetos em 
quantidade igual aos dedos da mão define o numeral 
“cinco”. [...] Convém frisar a importância, para a 
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elaboração da noção de número natural, das atividades 
de classificação, de seriação, de correlação termo a 
termo realizadas na escola maternal2 (ERMEL, 1991, p. 
4). 
Como as crianças nascem em um mundo, no qual os números são quase 
inerentes aos objetos, é legítimo indagar qual a importância tanto do processo de 
contagem para a construção do conceito de número como a do conhecimento de 
número que a criança possui antes de entrar na escola. As atuais pesquisas acerca 
da construção do número vêm resgatando o papel desempenhado pelas atividades 
numéricas (em particular, a contagem) na construção do número. 
 As novas orientações para o trabalho com números na Educação Infantil não 
apresentam mais, pelo menos de forma explícita, como “conteúdos a serem 
ensinados” as atividades lógicas consideradas “pré numéricas” como classificação e 
seriação e, muito menos, desestimulam o uso da contagem como acontecia em um 
passado não muito remoto. O reconhecimento da importância da contagem na 
construção do número pela criança estabelecida pela maioria dessas pesquisas 
contraria ou ultrapassa, do ponto de vista teórico, os resultados obtidos pelas 
pesquisas do Centro Internacional de Epistemologia Genética sobre a construção do 
número? Outro ponto abordado pelas recentes pesquisas se refere às capacidades 
numéricas precoces das crianças ou, dito de outra forma, ao momento que as 
crianças adquirem o conceito de número. 
A comprovação da existência de atividades numéricas eficientes como contagem 
e quantificação de coleções antes dos seis ou sete anos contraria ou ultrapassa, do 
ponto de vista teórico, os resultados obtidos pelas pesquisas do Centro 
Internacional de Epistemologia Genética sobre a construção do número? 
 
Os números são frequentemente utilizados no nosso dia- a- dia. Mas, afinal, o que é 
número? 
As concepções de número variam de acordo com as diferentes escolas 
matemáticas. Consideremos o conceito de número como resultado da síntese da 
operação de classificação e da operação de seriação, um número é a classe 
formada por todos os conjuntosque têm a mesma propriedade numérica e que 
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ocupam um lugar numa série considerada também apartir da propriedade numérica. 
Assim, a classificação e a seriação se fundem no conceito de número. 
Essa análise nos permite compreender o processo por meio do qual as crianças 
constroem este conceito tão importante– o de número. 
A compreensão desse processo pode garantir aos professores as decisões 
didáticas e as retomadas ao ensinar em seus alunos de acordo com as suas 
necessidades e características psicológicas. 
Mas o que é a operação de classificação e a de seriação? 
 
 
Classificação 
 
A classificação é uma operação lógica, fundamental no desenvolvimento do 
pensamento, de forma que sua importância não se refere apenas à sua relação com 
o conceito de número, pois intervém na construção de todos os conceitos que 
constituem a estrutura intelectual humana. 
Classificar é “juntar” por semelhanças e “separar” por diferenças. Podemos 
exemplificar uma operação de classificação quando dizemos “gosto de cães”, pois 
estamos juntando animais que apresentam certas qualidades, separando-os de 
outros que não as têm – como os gatos. Outro exemplo pode ser “cidades 
paranaenses”. Nesse caso, estou “juntando” cidades que estão localizadas no 
estado do Paraná, e “separando” daquelas localizadas em outros estados. 
Nos dois exemplos acima, estamos classificando a partir de um universo, e 
esse universo já implica um ato classificatório, porque difere de outros universos 
que não são, no caso, nem de cães, nem de cidades paranaenses. Nessa 
exemplificação, o termo “separar” ou “juntar” não é de forma efetiva ou visível, mas 
deforma interiorizada, pois não juntamos realmente, tampouco separamos. 
Não realizamos o ato classificatório apenas de forma interiorizada, mas 
deforma efetiva, concreta, como quando separamos em uma estante livros e 
revistas, ou alimentos nas prateleiras da geladeira, roupas nas gavetas. 
A pertinência e a inclusão são dois outros tipos de relação que aparecem na 
classificação, além das semelhanças e diferenças. A pertinência é a relação 
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estabelecida entre cada elemento e a classe da qual ele faz parte. A pertinência 
está fundamentada na semelhança.Dizemos que um elemento pertence a uma 
classe quando se parece com os demais elementos dessa mesma classe em função 
do critério de classificação adotado. 
A inclusão é a relação que se estabelece entre cada subclasse e a classe da 
qual esta é uma parte, de tal forma que se pode verificar que a classe tem mais 
elementos que a subclasse. Na inclusão hierárquica, compreende-se que inclui “um” 
em “dois”, “dois” em “três” e assim por diante. Outro exemplo de inclusão é que 
rosas e jasmins incluem-se na classe de piores. 
E qual a relação das operações de classificação e seriação e o conceito de 
número? 
A classificação se fundamenta na qualidade dos objetos,ou seja,nas suas 
propriedades qualitativas. Adultos quando pensam no número sete, por exemplo, 
podem estar pensando em sete casas, sete pessoas, sete balas, ou seja, sete 
“qualquer coisa”, incluindo sete coisas que podem ser diferentes entre si, como um 
homem, uma mulher, um lápis, uma flor, uma mesa, uma régua e um gato. 
Ao pensar em um número, estamos fazendo classificação, ou seja, estabelecendo 
semelhanças e diferenças e, nesse caso, separando todos os conjuntos que têm sete 
elementos dos conjuntos que não têm sete elementos. No caso do número, buscamos 
semelhança entre os conjuntos e não entre os elementos. Juntamos os conjuntos 
que são equivalentes em sua propriedade numérica. 
Assim, não importa se há ou não semelhança qualitativa entre os elementos que 
constituem o conjunto, importando apenas a equivalência numérica entre os conjuntos 
que constituem a classe que estamos pensando – a dos infinitos conjuntos de sete 
elementos. A classe de todos os conjuntos de sete elementos constitui o número 7. 
 
Seriação 
 
Seriar é ordenar diferenças, estabelecer relações entre elementos que diferem 
em certos aspectos. A seriação, assim como a classificação,constitui aspecto 
importante do pensamento lógico. 
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Normalmente, seriam os sons de acordo com o timbre, ordenando-os do mais 
agudo ao mais grave; cédulas de valores diferentes, de menor valor para a que vale 
mais; veículos com diferentes datas de produção, do mais antigo ao mais moderno 
etc. Podemos fazer isso na ordem crescente ou decrescente. 
A seriação tem como propriedades fundamentais a transitividade e a 
reciprocidade. Quando se estabelece uma relação entre um elemento de uma série 
e o seguinte e deste com o posterior, pode-se deduzir a relação entre o primeiro e o 
último elemento dessa série. Dizemos que essa é uma relação de transitividade. 
Exemplo: se um veículo A é mais antigo que B, e B é mais antigo que C, 
então A é mais antigo que C. A conclusão pode ser feita a partir das relações que 
estabelecemos anteriormente. 
Na propriedade de reciprocidade, cada elemento de uma série tem uma 
relação tal com o elemento imediato que, ao inverter a ordem da comparação, tal 
relação também se inverte. Se A é um automóvel mais antigo do que o automóvel B, 
então B é um automóvel mais moderno que o A. As seriações, assim como as 
classificações, também podem ser realizadas de forma interiorizada. 
Ao seriarmos um número, o que estamos seriando? Estamos seriando 
classes de conjuntos, e não elementos ou conjuntos particulares, estabelecendo 
uma relação entre as classes de tal forma que, se ordenadas na ordem crescente, a 
classe do quatro estará antes da classe do cinco e esta antes da classe do seis, que 
por sua vez estará antes da classe do sete e assim por diante. Se ordenadas na 
ordem decrescente, a classe do sete estaria antes da classe do seis e esta, antes 
da classe do cinco etc. 
 
O desenvolvimento do conceito de número pode se dar por meio da ação de 
contar, que tem grande importância na educação matemática das crianças, sendo 
que, para concretizar o processo de contar, é indispensável recorrer à série 
numérica oral e à série numérica escrita. Muitas são as crianças que, em idade pré- 
escolar, contam até cem. No entanto, não descobriram que cem significa duas 
vezes cinqüenta, um décimo de mil, dez vezes dez etc. As crianças, nessa fase, 
segundo as autoras citadas anteriormente, passam por três etapas: 
 
- na primeira, a criança se expressa de forma oral; 
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- a segunda etapa se refere aos aspectos algorítmicos da escrita – a criança 
descobre as regras da sucessão oral e escrita; 
 
- na terceira, as crianças começam a construir agrupamentos de dez, percebem as 
regras do sistema posicional de numeração e valor posicional. 
 
As crianças, desde muito pequenas,por volta dos dois anos de idade,são 
capazes de contar até dois, três, ou pouco mais. No entanto, às vezes,quando 
prosseguem na contagem, é comum omitirem alguns números. As crianças variam 
nessa contagem de acordo com o meio sócio econômico e cultural no qual vivem. 
Certas crianças,ao contar até vinte e nove, dizem, para o próximo número, vinte e 
dez, e assim por diante. Se forem corrigidas, poderão continuar dizendo trinta e um, 
trinta e dois e sucessivamente, assim como usam dez e um, dez e dois, para os 
números onze e doze, respectivamente. 
A criança que diz que quatro é maior que três pode estar fazendo uso da 
série oral, percebendo que o que vem depois é sempre maior que o anterior, 
podendo ser capaz de comparar conjuntos próximos. A série oral também permite 
separar uma quantidade da outra. 
Quando é solicitado quê separem quatro dos oito objetos de um conjunto, as 
crianças, normalmente, contam todos e nem sempre conseguem cumprir a tarefa, 
uma vez que para isso precisariamdeter-se à quantidade solicitada, assinar um 
nome da série a cada um dos objetos e reter o processo no momento em que 
alcança a quantidade solicitada. 
Às vezes, ao solicitar a uma criança que conte um conjunto de elementos, é 
possível que ela conte um, dois, três, e assim por diante até o último.Porém,quando 
é perguntado quantos são os objetos, ela inicia a contagem novamente sem dizer 
que são seis, por exemplo, quantificando o conjunto solicitado. Nesse caso, designa 
cada objeto com o nome de um número, não se dando conta do princípio de 
cardinalidade. 
Pode-se dizer que uma criança conta corretamente quando estabelece a 
correspondência um a um, mantém a ordem das palavras numéricas, conta cada 
objeto uma só vez sem omitir nenhum e considera que o último número mencionado 
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representa a quantidade total de elementos do conjunto, independendo da ordem 
em que os elementos foram enumerados. 
 
Materiais que podem ser utilizados para as operações 
de classificação e seriação 
 
Usualmente crianças costumam colecionar pedrinhas, conchinhas, tampinhas, 
etc. Muitas vezes elas, naturalmente, classificam e/ou seriam algumas dessas 
coleções. Um dos materiais adequados para a operação de classificação são os 
chamados Blocos Lógicos. 
 
- Blocos lógicos 
 
 
Figura 6: Blocos lógicos. 
 
 
 
 
As peças que constituem o material conhecido como blocos lógicos são peças com 
4 características: 
 
• -Cor; 
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• - Tamanho; 
• - Espessura; 
• - Forma geométrica. 
 
Os blocos lógicos têm peças nas cores: vermelha, amarela e azul. Elas ainda 
são de dois diferentes tamanhos: a grande e a pequena. Possuem duas 
espessuras, a grossa e a fina. Relativo às formas geométricas, o conjunto dos 
blocos lógicos possui peças nas formas: retangular, circular, triangular e retangular. 
Os blocos lógicos são constituídos de peças com esses 4 atributos: 3 cores, 2 
espessuras, 2 tamanhos e 4 formas; têm num total 48 peças, pois combinados 
esses atributos podemos representar o número de peças por: 
 
3 x 2 x 2 x 4 = 48 
As crianças aprendem melhor por meio de suas próprias ações e, assim, 
podem classificar as peças dos blocos lógicos quanto a sua cor, quanto a sua 
espessura, forma e tamanho. É comum observar crianças classificando, ou seja, 
juntando as peças que têm “cantos” e separando-as das peças circulares porque 
estas não têm “cantos”, isto é, daquelas que não têm vértices. As crianças devem 
ser estimuladas por professores ou adultos a classificar outros objetos, uma vez que 
a operação de classificação, assim como a operação de seriação, proporciona papel 
fundamental na construção do pensamento lógico, portanto, na construção do 
conceito de número. 
Outros objetos já citados também podem ser utilizados para proporcionar às 
crianças a condição de realizarem a operação de classificação, como: botões, 
pedrinhas, tampinhas etc. É importante solicitar às crianças que classifiquem 
objetos e depois que explique qual foi o critério que utilizaram para essa 
classificação. As crianças podem classificar um mesmo conjunto de objetos usando 
diferentes variáveis (atributos). 
As conchas, botões, pedrinhas etc. podem ser utilizadas para realizar 
seriação. Esses materiais podem ser ordenados na forma crescente ou decrescente 
de tamanho, aspereza, ou outra propriedade. Quando as crianças estão 
desenvolvendo tais atividades, têm a possibilidade de construir conhecimento social, 
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ao aprender o nome do tipo de rochas; físico, ao sentir a aspereza, peso etc;e 
conhecimento lógico-matemático, ao reconhecer sua cor, por exemplo. 
O que professores não deve esquecer é que as crianças, ao ingressarem na 
escola, já construíram muitos conhecimentos, que devem ser levados em conta. 
A criança traz consigo conhecimentos informais e cabe à escola estabelecer 
relação cognitiva com esses conhecimentos previamente construídos. É papel da 
escola contribuir para que a criança construa significados, faça generalizações, 
comparações, enfim, a escola deve ser um lugar onde a criança sinta prazer, pois lá 
ela tem a possibilidade de reinventar e descobrir. 
Crianças iniciam a construção do conceito de número ainda quando bem 
pequenas, e na escola esse processo tem continuidade. As oportunidades de 
realizarem as operações de classificação e seriação ofertadas pelos professores 
proporcionam às crianças uma das grandes realizações que é a de contar 
quantidades. Sempre se observa como é enorme a alegria das crianças quando 
estas aprendem a ler e escrever, e não é diferente quando aprendem a contar. 
Acreditamos que os conhecimentos relativos à Matemática são para todos e que 
eles auxiliam nas relações feitas por aqueles que os construíram com os demais 
conhecimentos das demais áreas do conhecimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Conhecimento lógico–matemático 
 
Figura 7: Raciocínio lógico. 
 
As crianças adquirem o conhecimento lógico-matemático por um processo de 
construção, ação, de dentro para fora. Esse processo não se dá por internalização, 
de fora para dentro, e, segundo Piaget (apud KAMII, 1995), não se dá por 
transmissão social. Piaget distingue três tipos de conhecimentos para que se 
compreenda melhor o conhecimento lógico-matemático. 
 
 Conhecimento físico 
 
Refere-se aos objetos do mundo exterior. As propriedades físicas de um 
objeto, como um botão: sua cor e seu peso são conhecimentos empíricos, 
adquiridos por meio da observação. Saber que esse botão pode cair de suas mãos 
ao soltá-lo, também é um exemplo de conhecimento físico. Kamii (1995) afirma que 
a fonte do conhecimento físico está apenas em parte nos objetos, porque, mesmo 
para ler uma cor de um objeto, faz-se necessária uma estrutura lógico-matemática. 
Para distinguir a cor vermelha num objeto, precisa-se de uma estrutura que faça 
pensar nas demais cores, e delas distinguir o vermelho. 
 
 
 
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Conhecimento social 
Segundo Kamiie Declark (1986), o Natal, dia 25 de dezembro, é exemplo de 
um conhecimento social, pois é apenas uma das convenções estabelecidas 
socialmente. Uma cadeira chamar-se “cadeira” também é exemplo de conhecimento 
social. 
A característica principal do conhecimento social, segundo o epistemólogo 
Jean Piaget, “é que sua natureza é preponderantemente arbitrária” 
(KAMII,1995,p.21). Arbitrário, porque alguns povos o comemoram, enquanto outros 
não. Portanto, não há qualquer relação de natureza física ou lógico-matemática 
entre o objeto e a sua denominação. 
Conhecimentos como estes são passados pela transmissão de uma pessoa 
para outra ou entre pessoas de diferentes gerações. 
Para construir conhecimentos sobre o mundo físico, uma criança precisa de estrutura 
lógico-matemática, necessitando também dessa estrutura para adquirir conhecimentos 
sociais. Não poderíamos pensar em Natal sem classificá-lo em relação aos demais dias 
do ano. Outro exemplo de construção social, citado por Kamii, é a distinção que as 
crianças fazem ao usar certas palavras, pois aprendem, pela transmissão social, que não 
são socialmente aceitas e, portanto, não devem usá-las. 
 
Na concepção de Piaget, diferentemente dos outros conhecimentos, o 
conhecimento lógico-matemático consiste em relações criadas pelo sujeito. Ele 
exemplifica esse conhecimento com a diferença constatada quando nos deparamos 
com duas contas, uma vermelha e outra azul. Essa diferença é criada mentalmente 
quando o indivíduo relaciona os objetos. A diferença não está na conta vermelha 
nem na azul. Ele percebe a diferença porque as coloca uma em relação à outra. 
Pode–se dizer que essas duas contas são “parecidas”,se for levado em 
consideração seu peso. Porém,também é possível dizer que são “diferentes”, se 
forem consideradas as cores das contas. Tanto é correto dizer que elas são 
parecidas quanto que são diferentes, dependendo das relações estabelecidas pelos 
sujeitos. Se o objetivo é numérico, observa-se que são “duas”, e número é uma 
relação criada mentalmente pelo indivíduo. 
Para Piaget (apud GARDNER,1994),todo conhecimento e, em particular,o 
conhecimento lógico-matemático, derivadas nossas ações sobre o mundo. A base 
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para todas as formas lógico-matemáticas de inteligência depende inicialmente da 
manipulação de objetos. No entanto, essas ações também se realizam mentalmente 
e são internalizadas depois de algum tempo. 
O objetivo das pesquisas de Jean Piaget (1896-1980), em Psicologia do 
Desenvolvimento e Epistemologia Genética, segundo Brito e Garcia (2001), foi o de 
verificar o desenvolvimento do conhecimento. Piaget descreveu o desenvolvimento 
Cognitivo em termos lógico-matemáticos, utilizando um método clínico e crítico. 
Observou, em situações experimentais e ambientes naturais, sujeitos desde a 
infância até a adolescência. Com seus estudos, Piaget percebeu que o 
conhecimento se desenvolve mediante uma construção progressiva das estruturas 
lógicas, embora a lógica e a forma de pensar da criança e do adulto sejam 
diferentes. 
Todo o estudo tem origem em pressupostos biológicos bem determinados, que se 
relacionam com os conceitos de adaptação, organização, formação de estrutura e a 
tendência de autorregulação dos seres vivos. O estudo não foi apenas uma analogia 
entre o desenvolvimento biológico e o desenvolvimento cognitivo. Para Piaget, o 
desenvolvimento cognitivo se produz por meio da adaptação dos organismos ao 
meio. 
O autor utiliza o termo “invariantes” para os processos constantes 
encontrados durante o desenvolvimento, ou seja, para a adaptação e a organização. 
Devido à tendência biológica dos seres vivos à autorregulação, são desenvolvidos 
certos mecanismos adaptativos envolvendo novas organizações, que levam a uma 
mudança interna, além das novas interações com o ambiente, chamadas de 
assimilação e acomodação. 
A assimilação é o processo por meio do qual os esquemas internos são 
aplicados sobre o objeto. Esse objeto passa a ser conhecido pelo indivíduo somente 
quando for assimilado por um ou mais esquemas. A acomodação consiste na 
modificação dos esquemas internos como resultados de uma experiência ativa com 
os objetos, levando em conta qualidades particulares destes. 
Não apenas Piaget mas também outros teóricos da cognição alegam que 
entre o meio e as respostas do indivíduo existem estruturas que determinam os 
comportamentos deste. Esquemas, operações e estruturas são conceitos 
estabelecidos por Piaget seguindo essa mesma linha. São esses três elementos 
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que, quando mudam, despregam-se e organizam durante o desenvolvimento, dando 
origem às nossas possibilidades intelectuais. 
Piaget descreveu a sequência das etapas pelas quais os seres humanos passam 
durante seu desenvolvimento cognitivo. Essas etapas seguem as mesmas sequências em 
todos os seres, embora não se de em necessariamente na mesma faixa etária. 
Uma nova forma de organização cognitiva, ou seja, nova estrutura, implica numa 
mudança de etapa e também maior equilíbrio – forma superior de adaptação. 
 
 
Abstração empírica e abstração reflexiva 
 
 Abstração empírica 
 
Para Piaget, a abstração de número é muito diferente da abstração de cor dos 
objetos, chamada por ele de abstração empírica ou simples. Para a abstração de 
número, usou o termo abstração reflexiva. 
Na abstração empírica, a crianças e concentra numa certa propriedade do objeto e 
ignora as demais. Ao centrar-se na cor, acaba deixando dela do peso, material do 
qual é feito etc. 
 
 Abstração reflexiva ou construtiva 
 
A abstração reflexiva, diferentemente da abstração empírica, envolve a 
construção de uma relação entre objetos. Relações não têm uma existência na 
realidade externa. A abstração reflexiva é uma construção verdadeira feita pela 
mente, e não uma concentração sobre um determinado, objeto. No entanto, na 
realidade psicológica da criança, uma não existe sem a outra. A relação de 
“diferente” não existe se a criança não observar diferentes propriedades nos 
objetos. 
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O mesmo acontece com a relação “cinco”, que não poderia ser construída se 
a criança pensasse que objetos separados se comportam como gotas de água 
que juntas formam um todo novamente. 
Como dito anteriormente, a construção do conhecimento físico só é possível 
porque a criança possui uma estrutura lógico-matemática que possibilita novas 
observações em relação ao conhecimento que ela já tem. Para uma criança 
reconhecer que um peixe é vermelho, ela precisa reconhecer e diferenciar o 
vermelho de outras cores e o peixe de outros objetos. Portanto, para que ela 
seja capaz de “ler” fatos da realidade externa, precisa de estrutura lógico-
matemática construída pela abstração reflexiva ou construtiva. 
A abstração reflexiva não se manifesta independente da abstração empírica 
no período sensório motor e pré operacional. Mais tarde, isso se torna possível 
se ela construir o número por abstração reflexiva, podendo operar com números 
e fazer 3 + 3 e 3 x 2 também por abstração reflexiva. 
Os dois tipos de abstrações até agora apresentados podem parecer sem 
grande importância enquanto uma criança está aprendendo números pequenos 
e até dez. No entanto, quando ela aprende números como 999 e 1 000 quando 
já não dispõe desses números de objetos ou fotografias, a situação fica mais 
difícil. 
Assim, por meio de abstração reflexiva, a criança constrói relações, números são 
aprendidos, e então pode entender números bem maiores, apesar de não tê-los 
visto antes. 
O ensino da Matemática, ao longo dos anos, vem priorizando os conhecimentos 
físicos e sociais, deixando um pouco de lado o conhecimento lógico- 
matemático,cujafonteéinterna.Considera-sequeparaaprendernumeração, 
Basta observar quantidades e escrever os numerais correspondentes, repetidas 
vezes.O conhecimento lógico – matemático evolui quanto mais relações o indivíduo 
consegue coordenar. No caso do número, é necessária a coordenação das relações 
de ordenação mentalmente. 
Por outro lado, as pesquisas mostram quanto conhecimento matemático que 
a criança traz para a escola acaba não sendo aproveitado, pelo professor, para 
fazê-la avançar. Muitas vezes, professores têm em sala alunos que trabalham 
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vendendo balas ou frutas, acostumados a calcular,que esquecem sua experiência 
no momento de fazer exercícios mecânicos. 
Por inexperiência, os adultos se esquecem de que a Matemática, como a 
linguagem, são construções humanas de muitos anos. E é com um ambiente 
propício à reflexão que o aluno será capaz de tirar melhor proveito das aulas. 
Para o conhecimento lógico-matemático, são grandes as vantagens do jogo 
em grupo, na sala de aula, tanto do industrializado como do produzido 
artesanalmente, e uma atividade lúdica e agradável normalmente sempre será 
bem-vinda para as crianças. Muitos professores concordam em utilizar o jogo, mas 
apenas para lazer, depois de terminados os chamados “trabalhos de aula”, 
esquecendo-se de seu lado educativo. 
 
O jogo 
 
- Propicia diversificação na abordagem dos diferentes assuntos. Há vários jogos 
envolvendo números e as quatro operações matemáticas, possibilitando diversas 
maneiras de interagir com esses objetos do conhecimento. 
 
- Estimula o pensamento, uma vez que para participar não basta estar presente, 
mas estar atento às situações que se renovam a cada momento. Embora a criança 
apresente um comportamento mais individualista, não deixa deajudar os amigos, 
mesmo querendo chegar sempre em primeiro lugar, enquanto que as maiores 
procuram estratégias cada vez mais elaboradas para vencer. 
 
- Promove a socialização a partir das regras, mesmo as mais simples, destinadas a 
crianças com menos experiência. Durante o jogo acontecem discussões, debates, 
troca de idéias, confronto de opiniões, numa verdadeira situação de interação, e 
tomam-se decisões que colaboram para a construção do conhecimento. 
 
- Permite avanços na construção do número, sempre que envolve quantidades 
variadas, contando-as, comparando-as, ordenando-as, estabelecendo 
correspondência, identificando suas formas de representação e fazendo operações. 
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- Em alguns casos, obriga ao registro de pontos, permitindo que os alunos 
encontrem a melhor forma de elaborá-lo, demonstrando todo o conhecimento que 
possuem 
 
 
O desenvolvimento histórico do sistema de 
numeração decimal 
 
Houve um tempo em que o homem não sabia contar e, ainda hoje, algumas 
tribos indígenas contam com apenas dois nomes de números. Eles utilizam dois-um 
para expressar o três e dois-dois para expressar o quatro. 
Quando querem expressar muitos, apontam para sua cabeça como sinal de 
inúmeros, tal qual é o número de fios de cabelo da cabeça. A idéia de número não é 
concebida como abstração, e é, portanto, para eles bastante confusa. Tribos como 
essas não percebem que conjuntos de, por exemplo, cinco cavalos, cinco flechas, 
cinco peixes apresentam uma característica comum, que é “ser cinco”. 
O homem de épocas remotas apenas percebia o espaço ocupado pelos seres e 
objetos vizinhos e, por isso, estabelecia diferença entre a unidade, o par e muitos. 
Ou me o dois foram os primeiros conceitos numéricos concebidos pelo homem. 
Segundo Ifrah (1989), o um se referia ao homem ativo e sua obra de criação; o 
dois, ao feminino, ao masculino e também à simetria aparente do corpo humano. 
Outros significados eram atribuídos a esses dois números usados nas sociedades 
primitivas.Inúmeras civilizações retratam, por meio de sua língua e escrita, as 
limitações primitivas da contagem. O significado dos números um, dois e três quase 
sempre se referiam ao singular, a um par e a muitos, respectivamente, como já 
mencionado anteriormente. 
Estudos do comportamento humano demonstram que, no desenvolvimento da 
criança,encontram-se essas etapas do desenvolvimento da inteligência da 
humanidade; portanto, a criança, inicialmente, também percebe apenas o um, o dois 
e a pluralidade. 
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Embora contar seja um atributo exclusivo do ser humano,pesquisas mostram 
que é possível notar o senso numérico de certos pássaros, como é o caso do corvo, 
o qual demonstra a percepção de até quatro objetos. 
Não é difícil constatar que, quando o homem se depara com uma quantidade de 
objetos, esta é rapidamente percebida se não ultrapassar três ou quatro itens. 
Quando ultrapassa, o homem precisa fazer a contagem, porque nossa visão global 
não distingue, num golpe de vista, quantidades maiores. Dependendo da posição 
que os objetos são colocados, podem-se perceber outras quantidades, mas nunca 
muito maiores do que quatro objetos. 
Várias civilizações, ao representarem quantidades, faziam traços verticais, 
círculos, pontos e outros sinais. Algumas delas juntavam para formar grupos de três 
unidades. No entanto, quando houve a influência dos cinco dedos da mão, os 
agrupamentos passaram a ser de cinco em cinco. Esses agrupamentos eram de um 
traço vertical para o um, dois para o dois, três para o três, quatro para o quatro; e 
quatro traços verticais e um horizontal cortando -os, para indicar cinco unidades. 
Para o dez, usavam dois grupos da representação utilizada para o cinco. Ifrah(1989) 
afirma que mais uma vez fica clara a ideia de que a percepção do homem não vai 
além do número quatro. 
A correspondência termo a termo auxiliou na contagem. O princípio da 
correspondência das pedrinhas para cada ovelha utilizadas pelos pastores, o rosário 
de contas para auxiliar as pessoas a fazerem as orações, os entalhes na madeira 
para os carneiros e nós na corda já eram demonstrações do emprego da 
correspondência biunívoca. 
Eram utilizadas, também, partes do corpo para expressar quantidades 
durante a contagem, como dedo, pulso, cotovelo, ombro etc. Essas civilizações 
podem desconhecer um determinado número; no entanto, são capazes de 
representar a quantidade correspondente quando se deparam com situações que 
exigem essa prática. 
Alguns indígenas conseguiram chegar a números relativamente elevados, mesmo 
sem o conhecimento deles, porque utilizavam a associação de partes do corpo e 
objetos concretos. Exemplo: peles de animais e partes do corpo que, numa 
combinação, expressavam números maiores. 
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Nesses últimos exemplos, já não se estava mais utilizando correspondência termo a 
termo, prosseguindo assim um desenvolvimento na forma de contar e representar a 
contagem por meio de agrupamentos. 
A invenção da base 
 
Foi a partir da distinção entre o número cardinal e o número ordinal que o homem 
fez a abstração dos números. Contas, conchas, pedrinhas etc, deixaram de ser 
simples instrumentos materiais para serem símbolos numéricos. A seguir, o homem 
passou a conceber conjuntos mais extensos e, dessa forma, deparou-se com outras 
e novas dificuldades, pois para representar números maiores não era possível 
multiplicar indefinidamente pedras, nós nas cordas etc. Dedos e outras partes do 
corpo não eram suficientes para representar quantidades extensivas. Surge, então, 
a ideia de bases, uma forma fácil de representar os números. 
 
 
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Muito diferentes dos pastores primitivos, os pastores da África Ocidental, não 
muito tempo atrás, contavam o rebanho colocando uma concha num fio de lã branca 
até o décimo animal do rebanho. Quando chegavam ao décimo, desmanchavam 
esse colar de conchas e colocavam uma concha num fio de lã azul. Isso se 
relaciona com a idéia de dezena. Recomeçavam, a partir daí, a colocar uma concha 
para cada animal na lã branca novamente, até atingir o vigésimo animal. 
Quando isso acontecia, desfazia mês se colar e colocavam a segunda 
concha no fio de lã azul. Procediam assim até obter dez conchas no fio de lã azul. 
Então, desfaziam esse colar e colocavam uma concha num fio de lã vermelha 
(centena). 
Dessa maneira, podemos perceber que a forma de raciocinar desses pastores era 
muito diferente da forma dos pastores primitivos. A ideia básica está na utilização de 
agrupamentos por dezenas e centenas. Assim, cada concha colocada no fio de lã 
branca representava uma unidade, cada concha colocada no fio de lã azul 
representava dez unidades(dezena) e cada concha colocada no fio de lã vermelha 
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representava cem unidades, o que equivale a dez dezenas, ou uma centena, 
técnica essa, hoje, chamada de emprego da base dez. 
São várias as línguas que, para designar os números superiores a dez, 
utilizam-se da composição correspondente a dez-um, dez-dois, dez-três e assim 
sucessivamente, até o número dezenove. Para o vinte, utilizam dois- dez; para o 
trinta, três-dez, até chegar ao noventa. Para o número duzentos usam dois-cem etc. 
Atualmente, utilizamos os sistemas de numeração indo-arábico, de base dez. Os 
símbolos empregados por esses sistema são 1,2,3,4,5,6,7,8,9 e 0. Os nove 
primeiros símbolos representam as unidades e o último à idéia de ausência. É por 
isso que dez é representado por 10, o que representa uma dezena e zero unidade. 
Vejamos outros exemplos: 
 
- Quinze é representado por 15, um grupo de 10 (ou uma dezena) e mais cinco 
unidades. 
 
- Trinta e oito é representado por 38, três grupos de 10 (ou três dezenas) e mais oitounidades. 
 
3 dezenas = 10 + 10 + 10 = 30 
30 + 8 = 38 
 
- Noventa e nove é representado por 99, nove grupos de 10 (ou nove dezenas) e 
mais nove unidades. 
 
9 dezenas = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 90 
90 + 9 = 99 
 
Se acrescentarmos 1 à quantidade 99, temos que utilizar mais uma ordem: 100. 
 
Cem é representado por 100, um grupo de grupo de10(ou uma centena). 
 
- Cento e quarenta e seis é representado por 146, um grupo de grupo de 10 (ou 
uma centena), mais quatro grupos de 10 (ou quatro dezenas) e seis unidades. 
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1 centena = 100 
4 dezenas = 10 + 10 + 10 + 10 = 40 
100 + 40 + 6 = 146 
 
Essa mesma ideia está presente quando utilizamos outras ordens.Segundo I 
frah(1989,p.59), “foram mesmo os dez dedos que impuseram ao homem a ideia de 
grupos por feixes de dez ”.O autor afirma que,se a natureza tivesse feito o homem 
com seis dedos em cada mão, por certo a base utilizada hoje seria a base doze; ou 
se tivéssemos quatro dedos em cada mão, como é o caso das rãs, nosso sistema 
de numeração seria fundado na base oito. 
Algumas civilizações tiveram sistemas de numeração fundados em outras 
bases, como é o caso do sistema sexagesimal dos babilônios; da base vintesimal 
dos ioruba, da Nigéria, de alguns povos da África Central e outros; da contagem duo 
decimal (12) dos sumérios etc. 
Desses povos, ainda restam nos nossos dias vestígios de seus sistemas de 
numeração, como é o caso da medida de tempo –em horas,minutos, segundos e 
das medidas de arcos e ângulos em graus, minutos e segundos. Sumérios e depois 
babilônios utilizaram a base sessenta. Não se conhece a real origem desse sistema 
de numeração; no entanto, segundo alguns historiadores, essa base foi usada em 
função do número de dias do ano ser, aproximadamente, 360, dando origem à 
divisão do círculo em 360º, que poderia ser dividido em seis partes iguais, fazendo 
coincidir a mesma medida para o arco correspondente ao sexto do círculo e à 
medida do seu raio. 
Outra possibilidade da origem da base sessenta vem da possível combinação 
das doze falanges dos dedos da mão direita e os cinco dedos da mão esquerda, 
mas não se tem confirmação dessa hipótese. 
Em uma ou outra base, a descoberta fundamental do princípio de base 
representou grande importância na história das civilizações, favorecendo inúmeras 
criações, invenções e revoluções em diversos campos, como na economia, em 
trocas comerciais etc. 
A invenção dos algarismos denominados arábicos foi um dos grandes acontecimentos 
na história da humanidade, comparado ao domínio do fogo. Segundo Ifrah (1989), a 
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escrita e a invenção desses algarismos contribuíram para modificações na existência 
humana. A invenção dos algarismos, segundo o mesmo autor, 
Surgiu para permitir uma notação perfeitamente 
coerente de todos os números e para oferecer 
aqualquerum(mesmoaosespíritosmaisfechadosàarit
mética)apossibilidadedeefetuar 
qualquer tipo de cálculos em ter de recorrer a 
acessórios como a mão, contador mecânico ou 
a tábua de contar. (1989, p. 131) 
 
Vale lembrar que a invenção do zero, muito mais tarde, tornou realizável 
cálculos que até então não eram possíveis de ser feitos.A humanidade já tinha 
passado por diferentes experiências para tentar representar e manipular os 
números, antes de chegar aos algarismos que vieram a serem tão eficazes os 
algarismos arábicos. 
Antes do emprego de tais algarismos, o homem utilizou marcas em placas de 
argila mole, em que diferentes sinais representavam diferentes ordens de seus 
sistemas de numeração. Placas com esses registros, chamadas calculi, foram 
encontradas em muitos sítios arqueológicos do Oriente Próximo. 
No entanto, essa forma de representação ainda era precária e precisava ser 
aprimorada. Muitas formas, usando sistema de base, foram empregadas pelas 
civilizações ao longo da história. Algumas civilizações utilizaram-se do sistema de 
numeração não-posicional, o que levava a não impor tar à posição dos símbolos 
para representar um número, como é o caso da civilização egípcia. 
Mais tarde(séculosIX-VIIIa.C.), gregos e romanos desenvolveram seus sistemas de 
numeração bem mais evoluídos, mas ainda complicados quando se pretendia operar 
com tais representações. O sistema romano era regido pelo princípio da adição, pois 
sua justa posição de símbolo simplicava na soma dos valores correspondentes a 
esses símbolos. Posteriormente, os romanos acabaram complicando o seu sistema 
de numeração, quando introduziram a regra segundo a qual todos igno numérico 
colocado à esquerda de um algarismo de valor superior era dele retirado. Por 
exemplo, o quatro era expresso por IV, ou seja, cinco menos um (princípio da 
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subtração). A pouca praticidade do sistema romano o fez ficar em plano inferior ao 
sistema que surgiu muito tempo depois, na Índia. 
 
O aparecimento do zero 
 
Dos três povos que descobriram o princípio de posição – babilônios, chineses 
e maias,utilizando uma quantidade bem menor de símbolos– apenas os babilônio se 
os maias inventaram o zero. Mas esse novo símbolo ainda não vinha representar a 
ausência de unidades. Fez-se, então, com que esses três sistemas posicionais 
permanecessem impróprios à prática das operações aritméticas. 
Foi na Índia, por volta doséculo V d.C., que nasceu o ancestraldo sistema de 
numeração praticado hoje. Foi proclamado pelos árabes, mas surgiu no norte da 
Índia. 
Essa civilização já utilizava os nove primeiros algarismos, que correspondem 
hoje a 1, 2,3, 4,5, 6,7, 8,9, desde o séculoIII a.C., que, erradamente, denominamos 
arábicos. Até que se chegasse ao sistema tal como é hoje, houve muito 
desenvolvimento. Existiu época em que, para expressar em números grandes, eles 
os exprimiam por extenso, o que os ajudou a descobrir o princípio posicional e o 
zero. Diferentemente do que fazemos hoje, para três mil, setecentos e nove, 
escreviam: nava sapata sataca trisa hasra(nove,setecentos e trêsmil). Para as 
potências de dez, escrevia-se o seguinte: 
 
10 – dasa, 100 – sata, 1 000 – sahasra, 10 000 – ayuta 
 
Assim, para escrever 51636, escreviam 6, 3 dasa, 6sata, 1sahasra,5 ayuta. 
Porém, não era suficiente, e novos avanços eram necessários. Foi então que 
astrônomos e matemáticos, para escrever 7 629, passaram a expressar-se por meio 
de um enunciado do gênero “nove, dois, seis, sete”, e essa numeração oral os fez 
perceber uma escrita posicional, que representa 9 + 2 x 10 +6 x 100 + 7 x 1 000. 
Assim “um, um” representava uma unidade e uma dezena – o 11de hoje. Ao 
expressar o número 205, perceberam que não bastava dizer cinco, dois. Dessa 
maneira, começaram a utilizar a palavra sunya, que quer dizer vazio. Dessa forma, 
205 eram enunciados da seguinte forma: cinco, vazio, dois, pois como maias e 
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babilônios, haviam acabado de inventar o zero. Isso se deu por volta do século V 
desta era. 
Para as unidades de 1a 9, dispunham dealgarismos distintos e 
independentes e já conheciam o princípio de posição e também o zero. Como os 
números eram expressos em sânscrito, língua hindu, precisavam agora ser 
representados apenas por símbolos. 
Esse sistema de numeração foi expandido além das fronteiras da Í ndia e, 
devido ao comércio de seda, especiarias e marfim com a China atingiram outros povos. 
Sábios, que também eram poetas, buscou na natureza e na mitologia inspiração 
para os símbolos, que podem enumerar grandes listas de significados para cada um 
deles. Assim, as tábuas numéricas ou astronômicas eram guardadas na memória 
com maior segurança. A forma gráfica dos algarismos hindus ficou ainda, durante 
muitos séculos, pouco precisa, e copistas cometiam erros ao transcrever certos 
símbolos. Foi então que o ritmo daspalavras símbolo em forma de verso ajudou a 
eliminar os erros da transcrição. Por outro lado,esses símbolos foram ganhando 
maior definição e, aos poucos, chegaram ao que hoje toda a humanidade utiliza. 
 
 
Compreensão dos números racionais: frações 
 
O importante é que o aluno perceba que os números naturais, aqueles com os 
quais ele tem trabalhado até então, não são sucientes para resol-ver determinados 
problemas. 
A história refere-se a esse fato quando menciona a medição de terra que 
margeava os rios. O Estado cobrava impostos com base na propriedade da terra. A 
necessidade de medição de terras levou à criação de padrões de medida ou 
unidades. O problema estava no fato de que raramente a unidade (ou padrão) cabe 
em um número inteiro de vezes na grandeza a medir. Podemos exemplificar isso 
tentando ver quantas vezes um metro cabe no comprimento (ou na largura) da sala 
de aula, ou então quantas vezes o comprimento de uma régua cabe em uma das 
dimensões da carteira. É bem provável que essas medidas não sejam inteiras, 
comparadas com as unidades que foram usadas para realizá-la. As frações e os 
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decimais representam uma ampliação significativa dos conhecimentos da criança 
sobre os números. Esse conhecimento permite que ela descreva o mundo real e 
aplique-o em problemas que envolvem medidas, probabilidade e estatística. 
Segundo as NC TM1(1991), nos primeiros anos de escolaridade é impor tante que 
os alunos: compreendam as frações e os decimais; 
- explorem as relações entre frações e decimais; 
-construam conceitos de ordem e equivalência. 
Pesquisas mostram que essas idéias são construídas gradativamente. É 
interessante que sejam usados materiais manipuláveis, diagramas e situações do 
mundo real nas atividades desenvolvidas com o propósito de construção desse 
conceito. 
Por volta do 2.º ciclo do Ensino Fundamental, 3.ªe 4.ª séries, é conveniente 
que os professores proponham problemas cujas soluções não se encontram no 
campo dos números naturais, aproximando os alunos da noção de número racional, 
pela compreensão de alguns de seus significados e de suas representações 
fracionárias e decimais. Quanto ao termo fração podemos associá-lo a ideia de 
fracionar algo. Aqui já está presente, então, um novo olhar para o “todo”. Antes, no 
campo dos naturais, o todo não podia ser dividido; já no campo dos racionais, ele é 
visto agora como algo fracionável – e isso é fundamental para que possamos 
compreender e ampliar o conjunto dos números. Para ilustrar essa ideia, podemos, 
por exemplo, nos referir a uma maçã: quando ela é vista apenas como um todo 
indivisível, basta nos o conjunto dos números naturais. Mas encará-la como uma 
unidade forma da por vários pedaços é uma visão mais ampla. Para representar 
essa idéia temos que nos reportar ao campo dos racionais. 
Os significados que as frações devem assumir nesse 2.ºciclo do Ensino 
Fundamental são: quociente, parte -todo e razão. 
- Parte - todo: esse significado está presente quando um todo é dividido em partes, 
como nos casos de divisão de pizzas, chocolates e também em divisões de 
quantidades. 
- Quociente: esse significado apresenta-se na divisão de um número natural (nessa 
fase, as crianças ainda não tiveram contato com os números inteiros) por outro 
diferente de zero. 
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- Razão: nessa situação, a fração é usada como índice comparativo entre duas 
quantidades de uma grandeza. 
Por exemplo, 1 vaga para cada 2 candidatos 12. Nos ciclos posteriores, um 
quarto significado ainda será trabalhado: a ideia da fração como operador. 
É importante que o professor organize atividades que coloquem os alunos de 3.ª 
e 4.ª séries em contato com essas três ideias principaisde fração: parte - todo, 
quociente e razão. 
 
 
 
Contribuições de Piaget 
 
Piaget realizou muitas pesquisas sobre acriançae omundo emque elavive. Essas 
pesquisas separam, em fases, as etapas pelas quais as crianças passam. 
 
- 1.ª fase: 
As primeiras propriedades que as crianças observam são as de natureza topológica: 
aberto, fechado, dentro, fora, próximo, longe etc. 
 
 
 
- 2.ª fase 
A seguir, por volta dos 5 ou 6anos, a criança passa a observar as propriedades de 
ordem projetiva: antes de, depois de, o último etc. 
 
- 3.ª fase 
Por volta dos 7 anos, a criança percebe o que está na direita ou na esquer-da. 
Nessa fase, as formas dos objetos são mais bem definidas para ela. 
 
- 4.ª fase 
As dimensões dos objetos, como medidas de lados e aberturas de ângulos, 
começam a interessar as crianças a par tir dos 9 ou 10 anos. 
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Avaliação em Matemática 
 
A avaliação escolar tem assumido novas dimensões, objetivando orientar a ação do 
professor e do aluno durante todo processo de ensino e aprendizagem.Para 
Martins(1996), a avaliação também deve ser encarada como um processo de 
recolhimento de informação, que se utiliza de observações, entrevistas, situações 
problemáticas, relatórios e ensaios es-critos, por tfolios, assimcomo testes escritos 
de diversos tipos. Nesse caso, assume a função reguladora e orientadora durante o 
processo de ensino e aprendizagem. Nessa perspectiva, a avaliação surge como 
meio educativo, como instrumento que visa orientar a atividade pedagógica para 
promover o sucesso dos alunos (objetivoformativo), de modo que estes também 
tenham o direito de intervir, participando na orientação e regulação da 
aprendizagem e no próprio processo de formação. Assim, a avaliação deverá ser 
constante no cotidiano da sala de aula de forma a orientar e ajustar o processo de 
ensino e aprendizagem, proporcionando ao professor a possibilidade de melhorar a 
sua prática pedagógica e, ao aluno, de envolver-se no próprio processo. A avaliação 
também deve ser considerada como parte integrante do processo de aprendizagem, 
cujo objetivo é a aprendizagem e não a avaliação em si mesma. Não é nem o 
objetivo, nem o fim de um processo, e a relevância das situações de aprendizagem 
não depende das possibilidades de avaliação imediata. Ela tem como tarefa gerar 
novas oportunidades de aprendizagem e fornecer dados essenciais para o professor 
e para o aluno. Objetivando que a avaliação seja fonte de aprendizagem, é 
necessário que as atividades sejam significativas, que proporcionem aos alunos 
novas oportunidades para aprender, para melhorar seu desempenho e para refletir 
sobre o seu próprio trabalho. Sob o aspecto de informação, a avaliação deve 
fornecer elementos que auxiliem os alunos na reflexão e regulação relativa ao seu 
processo de aprendizagem. Hadji (2001) considera que a avaliação deveria ser 
prognóstica, formativa e cumulativa. Segundo esse autor, a avaliação prognóstica é 
aquela que precede a ação de formação. Também chamada de diagnóstica, tem a 
função de permitir uma justo e recíproco aprendiz/programa de estudos. A avaliação 
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cumulativa ocorre depois da ação, e tema função de verificar se as aquisições 
visadas pela formação foram efetivadas. A avaliação formativa situa-se no centro da 
formação. É chamada de formativa porque sua função principal é contribuir para 
uma boa regulação da atividade de ensino. Desse modo, é contínua e levanta 
informações indispensáveis à regulação do processo de ensino e aprendizagem. 
Ainda segundo Hadji (1994), avaliar pode significar: verificar o que foi 
aprendido, julgar o nível de um aluno em relação ao restante da turma, estimar o 
nível de competência de um aluno, situá-lo em relação ao nível geral, representar o 
aluno por um número, representar o grau de sucesso de uma produção escolar em 
relação a critérios que variam de acordo com o nível da turma e segundo os 
exercícios, determinar o nível de uma produção, dar uma opinião sobre ossaberes 
ou saber-fazer de um indivíduo, entre outras possibilidades. 
O autor mostra ainda que todos os verbos utilizados para definir avaliação se 
reportam a uma situação pedagógica. Há, portanto, três palavras-chave: 
- verificar a presença de qualquer coisa que espera competência, 
conhecimento; 
- situar um indivíduo, uma produção, em relação a um alvo; 
- julgar o valor de algo. 
 “Avaliar é mesmo tomar posição sobre o valor de qualquer coisa que existe”. 
(HADJI, 1994, p. 35, grifo do autor). As instituições exigem um professor que avalie 
os trabalhos de seus alunos e divulgue os resultados. O professor deve ter clara e 
subjacente ao ato de avaliar e não pode esquecer para que serve essa atividade, 
uma vez que ela,a avaliação, pode ter a função de: 
- inventário dos conhecimentos e das aquisições, “medir as aprendizagens 
realizadas”, por meio, entre outros, de testes de rendimento; 
- diagnóstico, que situa o aluno no seu processo de aprendizagem, das 
lacunas e das suas dificuldades em relação aos saberes e ao saber-fazer que 
deveriam ser adquiridos; 
- prognóstico, permitindo guiaro alunoe orientá-lo nas escolhas escolares e 
profissionais. 
Em outras palavras, esses três objetos consistem, em primeiro lugar, em 
situar o aluno no momento de um determinado balanço, depois em compreender a 
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sua situação e, posteriormente, em orientá-lo. Quando a avaliação assume o 
objetivo de guiar e orientar, é possível distinguir três objetivos: 
- certificar– fornecer documento em que se atesta o nível de conhecimento, 
outorgar um diploma; 
- regular – guiar frequentemente o processo de aprendizagem; 
- orientar – escolher as vias e modalidades de estudo mais apropriadas, 
tendo como objetivo ater-se às aptidões, interesses, capacidades e competências 
para futuras aquisições. 
 
Para que a avaliação oriente, regule e certifique, é necessário falar de 
avaliação diagnóstica (ou preditiva), de avaliação formativa e de avaliação somativa. 
A avaliação diagnóstica explora, ou identifica, características de um aluno relativas 
ao que ele já adquiriu e ao que deve adquirir. 
A avaliação formativa tem, antes de tudo, uma finalidade pedagógica. Deve 
ser integrada ao ato de formação. Tem o objetivo de contribuir para a melhoria da 
aprendizagem, informando ao professor as condições de aprendizagem, assim 
como instruindo o aluno sobre o seu percurso no conhecimento. A avaliação 
somativa é aquela que faz um balanço depois de um período de formação. É, 
portanto, muitas vezes pontual. Quase sempre os alunos são comparados uns 
comos outros (avaliação nor mativa) e os resultados são anunciados à 
administração e aos encarregados de educação. Não há como conceber a função 
da avaliação como qualquer coisa de unidimensional na qual se encerra todo o 
sentido de uma prática. Por isso, entendo que os diversos tipos de avaliação têm 
várias funções. A avaliação formativa é importante para: 
- esclarecer o professor das lacunas e dificuldades do aluno por meio de um 
inventário; 
- permitir um ajuste didático, por intermédio de uma harmonização 
método/aluno; 
- guiar o aluno dando-lhe segurança; 
-facilitar a aprendizagem, promovendo reforço e correção. 
Facilitar a aprendizagem é a essência da atividade do professor; daí afunção 
da avaliação regular a aprendizagem. O professor também deve pôr a avaliação a 
serviço da melhor gestão da ação, do funcionamento de unidades escolares e do 
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fluxo de alunos no conjunto do campo escolar. Assim, como um jogo com finalidade 
pedagógica aperfeiçoa a ação pedagógica, ajudando na aprendizagem, a avaliação 
ajuda na regulação da vida escolar e é um elemento de comunicação social entre 
indivíduos desse ambiente (alunos, pais,professores,administradores). 
A avaliação serve para regulação do jogo que acontece no espaço da 
apreciação social, porque a escola é um espaço de posicionamento social 
(BERTHELOT, apud HADJI, 1994). Nas escolas, embora a ideia de avaliação esteja 
próxima da ideia de medida, não é fácil situar cada uma separadamente. Ainda que 
próximas, parece que a avaliação implica a medida. “Medir é atribuir um número a 
um objeto ou a um acontecimento segundo uma regra logicamente aceitável” 
(GUILFORD apud HADJI, 1994,p.273). 
Ao medir, colocam-se em correspondência objetos e sistemas de unidades 
de níveis com objetivos determinados. Na avaliação, algo similar não é possível. As 
matemáticas qualitativas tornam possíveis operações sobre relações entre 
elementos descontínuos. 
Surgedo quantitativo o qualitativo, constituindo-se o ato de avaliar em quebrar 
a continuidade da cadeia quantitativa. Para que haja avaliação, é necessária a 
interpretação de informações, isto é, a avaliação é uma nova forma de afirmar que 
indicadores só podem indicar ou significar alguma coisa de acordo com critérios. 
Embora as duas operações ponham em correspondência um referente ou um 
sistema de grandezas e um objeto, a palavra final sobre avaliação e medida não foi 
dada. Assim, avaliação e medida são polos opostos das operações de leitura da 
realidade, e se essas operações são da mesma estrutura, os instrumentos de leitura 
não são da mesma natureza. A avaliação, como prática de investigação, difere da 
avaliação na perspectiva da classificação; 
- configura-se pelo reconhecimento dos saberes múltiplos, lógicas e valores 
que permeiam o conhecimento. Dessa forma, a avaliação vai sendo constituída 
como um processo que questiona os resultados apresentados, os percursos feitos, 
os previstos, as relações estabelecidas entre pessoas, saberes, informações, fatos 
e contextos. Não para quando há erro ou acerto, não faz relações superficiais entre 
o que se observa e os processos que o atravessam. Busca discutir o visível e 
procura pistas do que é conduzido à invisibilidade. O que ainda não sabe é indício 
da necessidade e da possibilidade de ampliação do conhecimento já consolidado 
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(ESTEBAN, 2001). A avaliação é pertinente quando, numa situação de tomada de 
decisão, deixa claros os eixos de questionamento do produto e se organiza 
oferecendo elementos fundamentados de respostas a questões propostas com 
clareza. Se o avaliado sabe sobre o que é questionado, pode tirar proveito disso e, 
assim, compreender que a avaliação é diálogo. 
O mais importante, numa avaliação, é o fato de ela ser verdadeiramente 
informadora. É pertinente quando proporciona boa comunicação. A avaliação deve 
oferecer ao aluno informação compreensível e útil. Muitas vezes, a informação é 
implícita. 
Lacueva (1997) propõe que a avaliação esteja centrada em uma ajuda para 
que os alunos continuem aprendendo mais; que a escola seja um mundo cultural 
rico, oferecendo múltiplas experiências formativas e avaliando o sem contextos 
naturais com o apoio para a aventura de aprender. 
 A avaliação deve dar contados logros dos alunos, contribuindo para que 
estes tomem consciência de seus êxitos, do que sabem, do que dominam; base 
fundamental para seus futuros esforços. Também deve conscientizá-los de suas 
lacunas, erros e insuficiências, porém considerando esse fato normal, esperado e 
natural de alunos em aprendizagem. 
Os erros, lacunas e outras ocorrências devem ser considerados superáveis e 
trabalhados para que realmente o sejam. A avaliação deve ser desvinculada da 
idéia de prêmios, castigos, seleção de bons e ruins, da ideia de uma hierarquização 
cristalizada. Deve centrar-se sobre os trabalhos e ações concretas dos alunos, e 
não sobre sua pessoa como tal. 
A excessiva preocupação com o produto da avaliação leva ao mito da nota 
verdadeira. Esse problema só é resolvido se deixarmos de dar tanta atenção ao 
produto e centrarmos nosso interesse no processo de produção para conhecê--lo, 
melhorando-o eajudando o produtor. A avaliação ainda tem desviado sua função 
diagnóstica e se voltado, quase exclusivamente, para a função classificatória, pela 
competição incentivada pelo modo de vida da sociedade. 
Assim, a avaliação tem frequentemente definido a trajetória escolar do aluno, 
às vezes pela sua retenção, pela sua eliminação da escola, e até pela escolha do 
tipo de profissão que exercerá no futuro (BURIASCO, 2000). 
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Se a avaliação for liber tada da tentação objetivista da medição, poderá nutrir 
um diálogo permanente que permitirá ao aluno, com a ajuda do professor, perceber 
o estado em que se encontra. O avaliador deve evitar as armadilhas do objetivismo, 
do autoritarismo, do tecnicismo, do excesso interpretativo. Ele, na qualidade de 
formador, aprecia, não decreta, e perceber isso é uma virtude. 
Nessas condições, o avaliador determina objetivos, constrói sistemas de 
referência e de interpretação, reúne e utiliza instrumentos adequados como 
situações problema , instrumento de observação, de comunicação e auxilia no 
desenvolvimento de um processo. Portanto, o avaliador precisa de sobriedade para 
evitar abuso de poder, de humildade e respeito pelos outros, de modéstia para não 
achar que sabe e compreende tudo e não criar modelo à sua imagem (HADJI,1994). 
O avaliador não deve acrescentar elementos em excesso, deve usar da 
simplicidade e da economia de meios: “enxergar” apenas o que existe. A avaliação 
tem ainda como papel ajudar a melhorar o ensino, ou seja, trabalhar em função de 
melhorar a aprendizagem. A conversa do professor como aluno sobre os seus erros 
e acertos contribui para a conscientização dos pontos fortes e fracos, contribuindo 
também para a aprendizagem e superação de falhas. Esse diálogo propicia ao 
aluno a familiaridade com as formas de avaliar com critérios, contribuindo, por sua 
vez, para que ele se torne mais independente do professor e responsável pela sua 
própria aprendizagem. Assim, orientado pelo professor,cada vez mais o aluno passa 
a ser o proponente das medidas de intervenção (LACUEVA, 1997). 
Porém, ainda hoje,[...] o erro é considerado, pela maior ia das pessoas, uma 
espécie de disfunção, uma anomalia, portanto, o ideal é a ausência de erro. 
[Os erros] são tomados como um tipode índice de 
que o aluno não sabe fazer, não estuda, e não 
como um índice no qual o aluno sabe algum a coisa 
parcialmente, talvez de forma incorreta, e que, por 
tanto, é preciso trabalhar com ele para, apartir daí, 
construir um conhecimento correto. (BURIASCO, 
2000, p. 10) 
Ainda segundo Buriasco (2000), é necessário distinguir as categorias dos 
erros, em qualquer perspectiva, e utilizar condutas pedagógicas a propriadas já 
existentes, na busca da superação dos mesmos. Para preparaçãode uma avaliação 
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criteriosa, diagnóstica e reguladora, Hadji (1994) apresenta os seguintes 
ensinamentos: 
• Pôr a avaliação a serviço da regulação da ação pedagógica; 
• Não apenas situar, mas dar ao aluno elementos de análise e compreensão 
da sua situação, a fim de progredir em direção ao objetivo pretendido; 
• Para avaliar corretamente, não é necessário esperar que se torne 
especialista no domínio da aprendizagem; 
• O avaliador se esforça para determinar e propor alvos claros; 
• A avaliação está a serviço da regulação, mas não se confunde com ela. 
• O avaliador está com o intermediário ou mediador entre aquele que sabe 
como se aprende e o que imagina como se poderia levar a aprender; 
• Apesar das dificuldades, devem-se fazer tentativas de realizações das 
práticas, porque não é preciso estar convicto do sucesso para iniciar uma 
atividade e porque a reflexão sobre o risco permite compreender trajeto 
pertinente à avaliação formativa. 
A avaliação não se reduz a uma produção de informações: não se trata 
somente de ordenar procedimentos e elaborar instrumentos para coletar dados; é 
necessário tratá-lo se prever modalidades de tratamento de informação, quantitativa 
ou qualitativamente. É uma leitura da realidade apartir de uma matriz de referência 
para estabelecer uma relação, de onde vem o juízo que a define. 
É somente após os níveis e tipos de comparação referente/referido que se 
podem decidir as modalidades de recolha de informação, ainda que estas se 
provem inúteis. Portanto, para que haja um dispositivo, é necessário um plano 
prévio, e para o levantamento de informações é preciso saber quais informações 
coletar. Como o ato de ensinar é um ato de formação, qualquer avaliação dos 
alunos é também avaliação das ações de formação realizadas pelo professor. 
Desse modo, não tem sentido uma avaliação de um aluno da qual o professor 
não tire para si nenhum ensinamento, exceto se este não estiver em situação de 
formação. Um instrumento é um utensílio que facilita uma práxis. Para se avaliar o 
aluno, normalmente utilizam-se exercícios ou problemas com os quais eles eram 
confrontado. A observação -análise -interpretação desse comportamento do aluno é 
o que temos chamado de avaliação. 
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São postos em jogo outros instrumentos de análise ou de interpretação.Uma 
tabela desempenha o papel de instrumento de análise,de modelo de competência 
cognitiva, de instrumento de interpretação. A avaliação das ações de formação 
conduz à utilização de instrumentos em diferentes níveis. 
O questionário é um instrumento de observação indireta a quente quando é 
utilizado no final de uma sequência de formação e, a frio, depois de algum tempo. O 
questionário suscita um discurso que deverá ser analisado e interpretado. É 
necessário passar de uma linguagem de observação para a da teoria, ouseja, um 
modelo ou paradigma que orienta a ação do observador. Para comunicar a 
avaliação, utilizam-se pauta, caderneta, relatórios etc. 
Os instrumentos apropriados às avaliações preditiva, formativa e somativa se 
organizam essencialmente entorno de instrumentos destinados à orientação dos 
alunos ou dos formandos, instrumentos destinados a facilitar a regulação das 
aprendizagens e instrumentos de certificação. Não há nenhum instrumento que não 
pertença à avaliação formativa. Todo instrumento que permitir compreender e gerir 
os erros dos alunos será adequado a esse tipo de avaliação. 
“O que é formativo é a decisão de pôr a avaliação a serviço de uma 
progressão do aluno e de procurar todosos meios susceptíveis de agir nesse 
sentido” (HADJI, 1994,p.165). 
Todos os instrumentos que servem para provocar atividades são, ao mesmo 
tempo, instrumentos de aprendizagem eavaliação. O ideal seria dialogar com o 
aluno enquanto efetua sua aprendizagem. 
Hadji (1994) classifica os instrumentos segundo o seu papel no processo de 
ensino ou formação/avaliação em: 
 
• - instrumentos ou meios de retenção e informações; 
• - instrumentos de trabalho ou de ajuda ao trabalho do aluno; 
• - instrumentos de comunicação social dos resultados da avaliação. 
 
Os professores poderão conduzir os alunos a se beneficiarem de 
instrumentos de auto-análise e autoavaliação, fazendo um esforço para formalizar 
as suas próprias regras e critérios de produção e de juízo. Para o instrumento de 
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trabalho ou de ajuda ao aluno, poderão ser utilizadas fichas de trabalho, um 
documento escrito que mencionará o objetivo pedagógico, a tarefa concreta a 
efetuar, as condições de realização e os critérios de avaliação. Há uma boa 
hipótese de que o aluno aprende melhor quanto maior for a sua autonomia, hipótese 
na qual se fundamenta a ideia de avaliação formadora. 
Hadji (1994, p. 172) lembra que “a mais radical insuficiência de uma nota 
bruta é, sem dúvida, a de nada dizer de concreto ao aluno, para além de uma 
indicação de ordem em relação aos outros alunos”. Observar, prescrevere avaliar 
implica em responder respectivamente o que é ou o que há, o que deveria haver ou 
fazer, e o que isso vale (não o quanto vale). 
Assim, o encontro do ser e do dever se manifesta sobre o valor do ser, isto é, 
distingue-se do medir, pois medir é apreender um objeto físico, adotando uma 
escala numérica. Uma medição é traduzida por números; uma avaliação, por 
palavras. 
Os instrumentos de informação têm três funções principais, conforme destaca 
Hadji (1994). São elas: desencadear, observar e comunicar. 
Para Bodin (apud BURIASCO, 2000, p. 11), é possível lidar com o erro em 
quatro patamares. 
(1) Erros de saber: o aluno não sabe uma definição, uma regra, um algoritmo etc. 
(2) Erros desaber-fazer: o aluno não sabe utilizar corretamente uma técnica, um 
algoritmo etc. 
(3) Erros ligados à utilização adequada ou não dos saberes ou do saber-fazer. Por 
exemplo, o aluno não reconhece que a utilização da relação de Pitágoras seria 
adequada para a resolução de um certo problema. 
(4) Erros de lógica ou de raciocínio: o aluno confunde hipótese e conclusão, 
encadeia mal os cálculos, tem dificuldade em lidar com os diferentes dados do 
problema proposto. 
Buriasco (2000) lembra que as duas últimas perspectivas podem ser 
utilizadas em análise/interpretação de uma avaliação do rendimento daquelas de 
grande porte, e que não subsidiam uma análise/interpretação das causas do erro no 
nível de cada aluno e de sua concepção do saber em relação aos fatores que 
interferem ou influenciam essa mesma concepção. Portanto, não são as mais 
adequadas para a análise/interpretação dos erros da avaliação da aprendizagem. 
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Ainda de acordo com essa autora, estudos atuais em educação matemática 
indicam uma perspectiva com base na situação didática explicada por meio de 
relações existentes no triângulo que segue: Professor Saber Aluno Então, segundo 
essa idéia, a análise dos erros pode ser conduzida em relação ao desenvolvimento 
psicogenético, em relação às dificuldades internas próprias, às expectativas 
recíprocas professor-aluno, ou em relação a escolhas didáticas, podendo-se ter 
interpretações diferentes de um mesmo erro. 
Segundo Piaget (apud PINTO, 2000, p.39), não interessa o erro, mas a ação 
mental; erro e acerto são detalhes dessa ação mental.Para ele, as respostas dos 
alunos são apresentadas, ordenadas e classificadas em três níveis: 
1. No primeiro nível, o aluno é indiferente ao erro; 
2. No segundo, o da tentativa, o erro aparece como um problema a ser 
resolvido; 
3. No terceiro nível, o erro passa a fazer um sentido ao aluno, e este adquire 
uma certa autonomia na construção do conhecimento. 
 
Assim, ao avaliar os erros matemáticos, não se pode, pelo fato de os alunos 
cometê-los, considerar estes incapazes. Ao contrário, deve-se tomar esses erros 
para orientar e direcionar o processo de ensino e aprendizagem. 
Para melhor compreender os erros cometidos nas aulas de Matemática, é 
importante que o professor ofereça aos seus alunos tipos diferente de atividades e 
que também, ao avaliá-los, utilize-se dos mais diversos tipos de instrumentos ou 
recursos. 
 
 
 
 
 
 
 
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