Gabarito Análise Matemática

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Gabarito Análise Matemática
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Questão 1
Em relação às integrais definidas, analise as seguintes afirmações, classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F):
(  ) As integrais são, por definição, estudadas para funções limitadas, a partir do qual são estabelecidas partições para o cálculo das integrais inferiores e superiores.
(  ) A integral inferior consiste no ínfimo das somas inferiores associadas às possíveis partições do domínio da função a ser integrada.
(  ) A integral superior consiste no supremo das somas superiores associadas às possíveis partições do domínio da função a ser integrada.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta das classificações:
A)
 
V – V – F.
B)
 
V – F – F.
C)
 
F – F – V.
D)
 
F – V – F.
E)
 
V – F – V.
Questão 2
Sejam as sequências de números reais descritas no que segue:
A respeito dessas sequências, analise as seguintes afirmações, classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F):
(  ) A sequência (pn) pode ser classificada como decrescente e limitada.
(  ) A sequência (qn) pode ser classificada como não crescente e limitada.
(  ) A sequência (rn) pode ser classificada como crescente e ilimitada.
Assinale a alternativa que indica a sequência correta das classificações, considerando a ordem na qual as afirmações foram apresentadas:
A)
 
V – F – V.
B)
 
F – F – V.
C)
 
V – V – F.
D)
 
F – V – F.
E)
 
V – F – F.
Questão 3
Quando um conjunto apresenta cardinalidade finita, podemos classifica-lo como conjunto finito. Dessa classificação podemos identificar àqueles conjuntos cujos elementos podem ser listados, diferenciando-os dos infinitos.
Em relação a esse tema, considere o seguinte conjunto:
O que podemos afirmar a respeito da cardinalidade do conjunto K?
A)
 
O conjunto K tem cardinalidade igual a 2.
B)
 
O conjunto K tem cardinalidade igual a 4.
C)
 
O conjunto K é de cardinalidade infinita.
D)
 
O conjunto K é vazio.
E)
 
O conjunto K tem cardinalidade igual a 1.
Questão 4
Os conjuntos de números reais podem ser analisados com base em sua cardinalidade, na enumerabilidade e em relação à classificação baseada nos conceitos topológicos.
Com relação à cardinalidade, sejam os conjuntos descritos no que segue:
Analisando as características dos elementos que compõem os conjuntos P, Q e R, o que podemos afirmar a respeito da cardinalidade desses conjuntos?
A)
 
Apenas os conjuntos Q e R são de cardinalidade finita.
B)
 
Os conjuntos P, Q e R são de cardinalidade infinita.
C)
 
Os conjuntos P, Q e R são de cardinalidade finita.
D)
 
Apenas os conjuntos P e Q são de cardinalidade finita.
E)
 
Apenas os conjuntos P e R são de cardinalidade finita.
Questão 5
Considere os conjuntos apresentados a seguir:
Com base nos conjuntos K e L, complete as lacunas da afirmação apresentada no que segue de modo a torna-la uma descrição correta para os conjuntos em questão:
O conjunto K pode ser classificado como um conjunto ________ porque admite ________ igual a 3, mas não admite ________. Por outro lado, o conjunto H é ________ porque admite supremo igual a 2 e ínfimo igual a 0.
Assinale a alternativa que indica os termos que completam corretamente as lacunas da afirmação anterior, na ordem em que devem ser considerados:
A)
 
ilimitado – ínfimo – supremo – limitado.
B)
 
limitado – supremo – supremo – ilimitado.
C)
 
ilimitado – supremo – ínfimo – limitado.
D)
 
limitado – ínfimo – ínfimo – limitado.
E)
 
limitado – supremo – ínfimo – ilimitado.
Questão 6
Quando desejamos calcular o limite de uma função, podemos empregar a definição formal de limite, a qual envolve a determinação de épsilons e deltas que atendam à definição. Para isso, é necessário realizar um estudo a respeito do comportamento da função em torno do ponto considerado.
Diante desse tema, seja a função:
Deseja-se provar que
por meio da definição formal. Assim, o valor de delta necessário para a comprovação do limite, com base em um  qualquer, é dado por:
A)
 
B)
 
C)
 
D)
 
E)
 
Questão 7
Com base nas características associadas aos conjuntos finitos e infinitos, analise as seguintes afirmações, classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F):
(  ) Todo conjunto finito pode ser associado, para algum n natural, a algum conjunto In = {1, 2, ..., n} por meio de uma função bijetiva.
(  ) Se uma aplicação f: A → B, com A um conjunto finito, for bijetiva, então o conjunto B também pode ser classificado como finito.
(  ) Para que um conjunto X seja infinito, X deve ser vazio ou deve ser associado a um subconjunto próprio por meio de uma função bijetiva.
Assinale a alternativa que indica a sequência correta, considerando a ordem de cima para baixo:
A)
 
V – F – F.
B)
 
V – F – V.
C)
 
F – V – V.
D)
 
V – V – F.
E)
 
F – V – F.
Questão 8
Sabendo que o conjunto dos números reais, com suas operações usuais, pode ser classificado como um corpo completo, analise as seguintes afirmações:
I. O conjunto
admite um ínfimo pertencente ao conjunto dos números reais.
II. O conjunto
admite um supremo pertencente ao conjunto dos números reais.
III. O conjunto
admite um supremo pertencente ao conjunto dos números reais.
Agora, assinale a alternativa correta:
A)
 
As afirmações I, II e III estão corretas.
B)
 
Apenas as afirmações I e II estão corretas.
C)
 
Apenas as afirmações II e III estão corretas.
D)
 
Apenas a afirmação III está correta.
E)
 
Apenas a afirmação I está correta.
Questão 9
Analise as afirmações apresentadas a seguir a respeito de um conjunto X contido no conjunto dos números reais:
I. O conjunto X tem cardinalidade finita.
II. O conjunto X tem cardinalidade infinita.
III. Não é possível construir uma função bijetiva entre X e o conjunto dos números naturais.
Dentre as condições I, II e III descritas anteriormente, qual(is) deve(m) ser satisfeita(s) para que o conjunto X seja classificado como um conjunto não-enumerável?
A)
 
Apenas as condições II e III.
B)
 
Apenas as condições I e II.
C)
 
As condições I, II e III.
D)
 
Apenas a condição I.
E)
 
Apenas a condição III.
Questão 10
As séries relativas aos números reais podem ser empregadas na aproximação numérica, além de serem utilizadas na representação e na aproximação de funções.
Com base nesse tema, considere a seguinte série de números reais:
Considerando as propriedades da série apresentada, assinale a alternativa que indica corretamente a expressão do termo geral da sequência (Sn) das somas parciais ou das reduzidas da série Σ xn:
A)
 
A sequência das somas parciais tem termo geral dado por:
B)
 
A sequência das somas parciais tem termo geral dado por:
C)
 
A sequência das somas parciais tem termo geral dado por:
D)
 
A sequência das somas parciais tem termo geral dado por:
E)
 
A sequência das somas parciais tem termo geral dado por:
Questão 11
Com base na definição de conjunto discreto, analise as seguintes afirmações e a relação proposta entre elas:
I. O intervalo [0, 2] de números reais não pode ser classificado como um conjunto discreto.
PORQUE
II. Um conjunto discreto é aquele cujos pontos são todos classificados como pontos de acumulação.
Em relação a essas afirmações, assinale a alternativa correta:
A)
 
A afirmação II é verdadeira e a I, falsa.
B)
 
As afirmações I e II são falsas.
C)
 
A afirmação I é verdadeira e a II, falsa.
D)
 
As afirmações I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta para a I.
E)
 
As afirmações I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta para a I.
Questão 12
Considere as seguintes afirmações a respeito das sequências de números reais e uma relação proposta entre elas:
I. Toda sequência (zn) de números reais admite ao menos uma subsequência convergente.
PORQUE
II. Se uma sequência monótona (zn) possui uma subsequência convergente então (zn) é convergente.
Com base nas afirmações apresentadas, assinale a alternativa correta:
A)
 
As afirmações I e II estão corretas, e a II é uma justificativa correta para I.
B)
 
As afirmações I e II estão incorretas.
C)
 
A afirmação I está correta e a II, incorreta.
D)
 
As afirmações I e II estão corretas, mas a II nãoé uma justificativa correta para I.
E)
 
A afirmação II está correta e a I, incorreta.