CA II A03 - Lajes maciças - Dimensionamento a flexão simples

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"O DISCENTE declara-se ciente de que qualquer 
tipo de filmagem e/ou forma de reprodução do 
material de vídeo disponibilizado nas aulas remotas 
ou em EAD, através de exibição pública ou não, 
parcial ou total, independentemente da intenção de 
auferir lucro, o sujeitará às sanções civis e 
criminais cabíveis, sem prejuízo do dever de 
indenizar a (o) CONTRATADA (O) por todos os 
danos e prejuízos causados." 
São Luís – MA | 2021.1 
UNIVERSIDADE CEUMA 
COORDENAÇÃO DO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
CAMPUS RENASCENÇA 
CONCRETO ARMADO II 
Prof. Me. Felipe Ferreira | felipe005228@ceuma.com.br 
São Luís – MA | 2021.1 
UNIVERSIDADE CEUMA 
COORDENAÇÃO DO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
CAMPUS RENASCENÇA 
 LAJES MACIÇAS: 
Dimensionamento 
1.INTRODUÇÃO 
 Para o dimensionamento das lajes maciças é necessário 
calcular os esforços solicitantes normal ao plano da placa. 
De posse de tais valores, realizar-se-á os cálculos, atendendo 
aos requisitos do ELU e ELS, buscando segurança e conforto. 
4 
Lajes Maciças Esforços solicitantes em lajes maciças. 
1.INTRODUÇÃO 
 Basicamente são dois métodos: elásticos e de ruptura. 
 ELÁSTICO – sob cargas de serviço e concreto íntegro. 
 RUPTURA –baseia-se nos mecanismos de ruptura das lajes. 
5 
Lajes Maciças 
1.INTRODUÇÃO 
 A. ELÁSTICO 
Não é considerada a diminuição de inércia da estrutura; 
Esforços não são proporcionais as ações em serviço. 
É conhecido como teoria de placas. 
6 
Lajes Maciças Equilíbrio de um elemento de placa. 
1.INTRODUÇÃO 
 A. ELÁSTICO 
Adota-se: ν = 0,2 (coef.de poisson) e módulo de elasticidade 
secante. 
Considera-se a seção bruta da estrutura. 
Considera-se algumas hipóteses: 
 Placas constituída por material homogêneo, elástico, 
isótropo, linear fisicamente e com pequenos deslocamentos; 
 Seções planas permanecem planas após deformação; 
 Não há transmissão de torção para as vigas; 
7 
Lajes Maciças 
1.INTRODUÇÃO 
 B. RUPTURA 
Baseado na Teoria das Charneiras Plásticas. 
Charneiras são elementos que delimitam as regiões planas na 
análise. 
Os momentos que agem nas charneiras são os momentos de 
plastificação. 
8 
Lajes Maciças Método das charneiras plásticas. 
2.DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS 
 Para a determinação dos esforços em lajes bidirecionais, será 
utilizada as soluções para a teoria das placas. 
Como é uma tarefa complexa, surgiram diversas tabelas que 
permitem o cálculo de momentos fletores na placa. 
9 
Lajes Maciças 
Direção dos momentos fletores principais em lajes bidirecionais 
2.DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS 
 
10 
Lajes Maciças Tabela desenvolvida por Báres. 
2.DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS 
 
11 
Lajes Maciças 
 Conforme as tabelas de Barés, os momentos fletores, negativos ou 
positivos, são calculados pela expressão: 
𝑀 = 𝜇 ∙
𝑝 ∙ 𝑙𝑥
2
100
, 
Onde 
𝑀 = Momento fletor (𝑘𝑁 ∙ 𝑚/𝑚); 
𝜇 = coeficiente tabelado, de acordo com cada tipo de laje e em função 
de 𝜆 = 𝑙𝑦/𝑙𝑥, sendo: 
𝜇𝑥 e 𝜇𝑦 = coeficientes para o cálculo dos momentos fletores positivos 
atuantes nas direções paralelas a 𝑙𝑥 e 𝑙𝑦 respectivamente; 
𝜇𝑥
′ e 𝜇𝑦
′ coeficientes para cálculo dos momentos fletores negativos 
atuantes nas bordas perpendiculares 
às direções 𝑙𝑥 e 𝑙𝑦 respectivamente; 
𝑝 = valor da carga uniforme ou triangular atuante na laje (em 𝑘𝑁/𝑚2); 
 
 
2.DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS 
 
12 
Lajes Maciças 
2.DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS 
 
13 
Lajes Maciças Momento fletor atuante na laje unidirecional. 
Em lajes unidirecionais, a forma de calcular segue o mesmo 
modelo do cálculo de viga, pois há uma maior solicitação na 
menor direção da laje. Na outra direção, despreza-se os 
momentos fletores. 
2.DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS 
 
14 
Lajes Maciças 
2.DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS 
 
15 
Lajes Maciças Compatibilização dos momentos fletores. 
As lajes contínuas poderão apresentar dois momentos negativos 
em bordos comuns, neste caso poderá ser feita a compatibilização 
dos momentos fletores. Deverá ser feito nas duas direções da laje. 
2.DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS 
 
16 
Lajes Maciças Área de influência para o cálculos das reações em vigas. 
As lajes transmitem o carregamento para as vigas. 
O cálculo das reações da laje nas bordas, as lajes serão analisadas 
em função de serem armadas em uma ou em duas direções. 
As cargas “caminham” para as vigas através de charneiras 
plásticas, segundo a NBR6118/14, triangulares e trapezoidais, 
adotando-se ângulos que de pendem das restrições de seus 
bordos. 
2.DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS 
 
17 
Lajes Maciças 
As reações são calculadas pela equação: 
𝑉 = 𝜈 ∙
𝑝 ∙ 𝑙𝑥
100
, 
Onde 
V = reação de apoio (kN/m); 
𝜈 = coeficiente tabelado em função de 𝜆 = 𝑙𝑦/𝑙𝑥, onde: 
𝜈𝑥 =reação nos apoios simples perpendiculares à direção de 𝑙𝑥; 
𝜈𝑦 =reação nos apoios simples perpendiculares à direção de 𝑙𝑦; 
𝜈𝑥
′ =reação nos apoios engastados perpendiculares à direção de 𝑙𝑥; 
𝜈𝑦
′ =reação nos apoios engastados perpendiculares à direção de 𝑙𝑦; 
𝑝= valor da carga uniforme ou triangular atuante na laje (em 𝑘𝑁/
𝑚2); 
 
2.DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS 
 
18 
Lajes Maciças 
É possível obter o módulo dos esforços por tabelas, para lajes 
bidirecionais. 
3.PRÉ-DIMENSIONAMENTO 
 
19 
Lajes Maciças 
Para o cálculo das lajes é necessário estimar inicialmente a sua 
altura. Existem vários e diferentes processos para essa estimativa, 
sendo um deles dado pela equação seguinte: 
 
𝑑 = 2,5 − 0,1 ∙ 𝑛 ∙ 𝑙∗, 
Onde 
𝑑=altura útil da laje (em 𝑐𝑚); 
𝑛=número de bordas engastadas na laje. 
 
𝑙∗ ≤ 
𝑙𝑥
0,7 ∙ 𝑙𝑦
, 
Com 𝑙∗, 𝑙𝑥 e 𝑙𝑦 em metros. 
3.PRÉ-DIMENSIONAMENTO 
 
20 
Lajes Maciças 
OBSERVAÇÃO 
 A estimativa anterior não dispensa a verificação da flecha que 
existirá na laje, que deverá ser calculada. 
 Com a altura útil calculada fica simples determinar a altura h da 
laje: 
ℎ = 𝑑 +
𝜙𝑙
2
+ 𝜙𝑙 + 𝑐 
3.PRÉ-DIMENSIONAMENTO 
 
21 
Lajes Maciças 
OBSERVAÇÃO 
ℎ = 𝑑 +
𝜙𝑙
2
+ 𝜙𝑙 + 𝑐 
 Como não se conhece inicialmente o diâmetro 𝜙𝑙 da barra 
longitudinal da laje, o diâmetro deve ser estimado. Normalmente, 
para as lajes correntes, o diâmetro varia de 5 𝑚𝑚 a 8 𝑚𝑚. O 
cobrimento 𝑐 deve ser determinado conforme a Tabela. 
Altura útil da laje. 
3.PRÉ-DIMENSIONAMENTO 
 
22 
Lajes Maciças 
3.PRÉ-DIMENSIONAMENTO 
 
23 
Lajes Maciças 
ROTEIRO DE CÁLCULO 
 
24 
Lajes Maciças 
O dimensionamento de uma laje, seguirá o seguinte passo a 
passo: 
1. Pré-dimensionamento da altura das lajes; 
2. Cálculo das cargas atuantes; 
3. Verificação das flechas (deformação excessiva e vibração 
excessiva), levando em conta a flecha diferida; 
4. Ao escolher a maior flecha, calcula-se uma nova altura; 
5. Calcula-se as cargas atuantes novamente; 
6. Cálculo dos momentos fletores; 
7. Verificação do ELU para os momentos fletores (𝑑𝑚𝑖𝑛); 
8. Cálculo da armadura longitudinal; 
9. Detalhamento. 
EXERCÍCIO 
 
25 
Lajes Maciças 
Calcular e detalhar a armadura a armadura do pavimento de 
lajes maciças, cuja planta de fôrmas esta indicada na figura. 
Considerando que as salas serão utilizadas para escritórios, 
que todas as lajes deveram ter a mesma espessura e que o 
revestimento inferior de gesso, para efeito de cálculo de carga, 
pode ser desprezado. Serão admitidos os seguintes dados de 
projeto: 
Contrapiso com espessura de 2,0 cm; 
Piso de plástico, cujo peso de 0,20 𝑘𝑁/𝑚2 já inclui a cola e a 
camada de regularização; 
Cobrimento nominal da armadura de 25 𝑚𝑚, admitindo classe 
de agressividade ambiental II; 
Vigas: largura 𝑏𝑤 = 12 𝑐𝑚 e altura ℎ = 50 𝑐𝑚; 
Concreto com resistência característica 𝑓𝑐𝑘 = 20 𝑀𝑃𝑎; 
Aço 𝐶𝐴 − 50. 
CHUST-capa amarelinha 
EXERCÍCIO 
 
26 
Lajes Maciças 
EXERCÍCIO 
 
27 
Lajes Maciças 
A. ESQUEMA ESTRUTURAL DAS LAJES: lajes adjacentes 
se engastarão. 
3 
3 
2B 
EXERCÍCIO 
 
28 
Lajes MaciçasB. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA ALTURA DAS LAJES. 
 
𝒅 = 𝟐, 𝟓 − 𝟎, 𝟏 ∙ 𝒏 ∙ 𝒍∗ 
 
 
 
 
 
 
 
𝑙1
∗ ≤ 
6
0,7 ∙ 6 = 𝟒, 𝟐
, 𝑙2
∗≤ 
𝟒
0,7 ∙ 6 = 4,2
 𝑒 𝑙3
∗≤ 
𝟓
0,7 ∙ 10 = 7
. 
𝒉 = 𝒅 +
𝝓𝒍
𝟐
+ 𝝓𝒍 + 𝒄 
 
Laje Caso 𝒍𝒙(𝒎) 𝒍𝒚(𝒎) 𝝀 n 𝒍
∗(𝒎) d(cm) h 
L1 3 6,00 6,00 1,00 2,00 4,20 9,66 13,66 
L2 3 4,00 6,00 1,50 2,00 4,00 9,20 13,20 
L3 2B 5,00 10,00 2,00 1,00 5,00 12,00 16,00 
EXERCÍCIO 
 
29 
Lajes Maciças 
B. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA ALTURA DAS LAJES. 
 
𝒅 = 𝟐, 𝟓 − 𝟎, 𝟏 ∙ 𝒏 ∙ 𝒍∗ 
 
 
 
 
 
 
 
𝑙1
∗ ≤ 
6
0,7 ∙ 6 = 𝟒, 𝟐
, 𝑙2
∗≤ 
𝟒
0,7 ∙ 6 = 4,2
 𝑒 𝑙3
∗≤ 
𝟓
0,7 ∙ 10 = 7
. 
𝒉 = 𝒅 +
𝝓𝒍
𝟐
+ 𝝓𝒍 + 𝒄 
 
Laje Caso 𝒍𝒙(𝒎) 𝒍𝒚(𝒎) 𝝀 n 𝒍
∗(𝒎) d(cm) h 
L1 3 6,00 6,00 1,00 2,00 4,20 9,66 13,66 
L2 3 4,00 6,00 1,50 2,00 4,00 9,20 13,20 
L3 2B 5,00 10,00 2,00 1,00 5,00 12,00 16,00 
EXERCÍCIO 
 
30 
Lajes Maciças 
B. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA ALTURA DAS LAJES 
(USAR A FORMULA COM 𝒍∗ EM metros). 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑑1 = 2,5 − 0,1 ∙ 2 ∙ 4,20 = 9,66, 
𝑑2 = 2,5 − 0,1 ∙ 2 ∙ 4,00 = 9,20, 
𝑑3 = 2,5 − 0,1 ∙ 1 ∙ 5,00 = 12,00. 
 
 
 
Laje Caso 𝒍𝒙(𝒎) 𝒍𝒚(𝒎) 𝝀 n 𝒍
∗(𝒎) d(cm) h 
L1 3 6,00 6,00 1,00 2,00 4,20 9,66 13,66 
L2 3 4,00 6,00 1,50 2,00 4,00 9,20 13,20 
L3 2B 5,00 10,00 2,00 1,00 5,00 12,00 16,00 
EXERCÍCIO 
 
31 
Lajes Maciças 
B. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA ALTURA DAS LAJES 
A altura da laje foi obtida somando o cobrimento c = 2,5 𝑐𝑚 ao valor da 
altura útil encontrada, mais uma vez e meia o diâmetro da barra 
longitudinal. Admitindo inicialmente barras de 10 𝑚𝑚. 
 
 
 
 
 
ℎ = 𝑑 +
𝜙𝑙
2
+ 𝜙𝑙 + 𝑐 
ℎ1 = 9,66 +
1
2
+ 1 + 2,5 = 13,66, 
ℎ2 = 9,20 +
1
2
+ 1 + 2,5 = 13,20, 
ℎ3 = 12,00 +
1
2
+ 1 + 2,5 = 16,00 
 
 
 
Laje Caso 𝒍𝒙(𝒎) 𝒍𝒚(𝒎) 𝝀 n 𝒍
∗(𝒎) d(cm) h 
L1 3 6,00 6,00 1,00 2,00 4,20 9,66 13,66 
L2 3 4,00 6,00 1,50 2,00 4,00 9,20 13,20 
L3 2B 5,00 10,00 2,00 1,00 5,00 12,00 16,00 
EXERCÍCIO 
 
32 
Lajes Maciças 
B. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA ALTURA DAS LAJES 
A altura da laje foi obtida somando o cobrimento c = 2,5 𝑐𝑚 ao 
valor da altura útil encontrada, mais uma vez e meia o diâmetro 
da barra longitudinal. Admitindo inicialmente barras de 
10 𝑚𝑚. 
 
 
 
 
 
Como as três lajes devem ter a mesma altura, adota-se 𝑑 = 12 e 
ℎ = 16 𝑐𝑚. 
 
Laje Caso 𝒍𝒙(𝒎) 𝒍𝒚(𝒎) 𝝀 n 𝒍
∗(𝒎) d(cm) h 
L1 3 6,00 6,00 1,00 2,00 4,20 9,66 13,66 
L2 3 4,00 6,00 1,50 2,00 4,00 9,20 13,20 
L3 2B 5,00 10,00 2,00 1,00 5,00 12,00 16,00 
EXERCÍCIO 
 
33 
Lajes Maciças 
C. CALCULO DAS CARGAS ATUANTES 
Cargas permanentes: 
𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑝𝑟ó𝑝𝑟𝑖𝑜 = 𝑔1 = 0,16 𝑚 ∙ 25𝑘𝑁/𝑚
3 = 4,00 𝑘𝑁/𝑚2 
𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑝𝑖𝑠𝑜 = 𝑔2 = 0,02 𝑚 ∙ 18 𝑘𝑁/𝑚
3 = 0,36 𝑘𝑁/𝑚2 
𝑃𝑖𝑠𝑜 = 𝑔3 = 0,20 𝑘𝑁/𝑚
2 
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑔 = 𝑔1 + 𝑔2 + 𝑔3 = 4,56 𝑘𝑁/𝑚
2 
 
Carga acidental 
Salas para escritório (NBR 6120: 2019): 𝑞 = 2,5 𝑘𝑁/𝑚2 
 
Carga total 
𝒑 = 𝑔 + 𝑞 = 4,56𝑘𝑁/𝑚2 + 2,5𝑘𝑁/𝑚2 ≅ 𝟕, 𝟏𝒌𝑵/𝒎𝟐 
 
EXERCÍCIO 
 
34 
Lajes Maciças 
D. VERIFICAÇÃO DAS FLECHAS. 
A verificação do Estado Limite de Deformação excessiva (ELS-
DEF) deve ser feita para as combinação de ações de 
serviço (item 11.8.3.1 da ABNT NBR 6118: 2014 ) (usar 
Combinação Quase Permanente de serviço-CQP); 
EXERCÍCIO 
 
35 
Lajes Maciças 
D. VERIFICAÇÃO DAS FLECHAS. 
As flechas serão calculadas sem o efeito da fissuração (flecha 
elástica), mas considerando o efeito da fluência; 
𝑓 =
𝑝 ∙ 𝑙𝑥
4
𝐸 ∙ ℎ3
∙
𝛼
100
, 
Onde 
 𝑓- flecha elástica; 
 𝑝-carregamento uniformemente distribuído sobre a placa; 
 𝛼-coeficiente tirada da TABELA; 
 𝑙𝑥-menor vão da laje; 
 𝐸-módulo de deformabilidade do concreto; 
 ℎ-altura ou espessura da placa. 
 
Flecha 
elástica/imediata 
EXERCÍCIO 
 
36 
Lajes Maciças 
D. VERIFICAÇÃO DAS FLECHAS. 
 O valor da flecha total no tempo infinito será aquela correspondente à 
CQP multiplicada por 1 + 𝛼𝑓 (item 17.3.2.12 da ABNT NBR 
6118: 2014) 
𝑓𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙,∞ = 𝑓𝑖𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑡𝑎 ∙ (1 + 𝛼𝑓), 
Com 
𝛼𝑓 =
Δ𝜉
1 + 50 ∙ 𝜌′
 
Onde 
 𝛼𝑓- flecha diferida no tempo; 
 𝜌′-taxa de armadura comprimida no trecho considerado; 
 𝜉-coeficiente função do tempo, sendo Δ𝜉 = 𝜉 𝑡 − 𝜉 𝑡0 
𝜉 𝑡 = 
0,68 ∙ 0,966𝑡 ∙ 𝑡0,32 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≤ 70 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 > 70 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
 
 𝑡-tempo em meses quando se deseja o valor da flecha diferida; 
 𝑡0-idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa 
duração. 
Consideração da 
fluência do concreto 
EXERCÍCIO 
 
37 
Lajes Maciças 
D. VERIFICAÇÃO DAS FLECHAS. 
Considerar deslocamentos nas vigas: 2/3 da flecha ocorre na 
laje e 1/3 ocorre na viga; 
Os deslocamentos serão verificados em relação em relação aos 
limites de aceitabilidade sensorial (TABELA 13.3 da ABNT NBR 
6118: 2014); 
EXERCÍCIO 
 
38 
Lajes Maciças 
D. VERIFICAÇÃO DAS FLECHAS 
Valores limites do deslocamento (considerando 2/3 da flecha 
ocorre na laje) 
 
 
 
 
Laje 𝒍𝒙(𝒄𝒎) 
Flecha Limite (cm) -6118:2014 
Carga Total 
𝟐
𝟑
∙
𝒍
𝟐𝟓𝟎
 
Carga Acidental 
𝟐
𝟑
∙
𝒍
𝟑𝟓𝟎
 
L1 600,00 1,60 1,14 
L2 400,00 1,07 0,76 
L3 500,00 1,33 0,95 
EXERCÍCIO 
 
39 
Lajes Maciças 
D. VERIFICAÇÃO DAS FLECHAS 
Valores limites do deslocamento (considerando 2/3 da flecha 
ocorre na laje) 
 
 
 
 
Laje 𝒍𝒙(𝒄𝒎) 
Flecha Limite (cm) -6118:2014 
Carga Total 
𝟐
𝟑
∙
𝒍
𝟐𝟓𝟎
 
Carga Acidental 
𝟐
𝟑
∙
𝒍
𝟑𝟓𝟎
 
L1 600,00 1,60 1,14 
L2 400,00 1,07 0,76 
L3 500,00 1,33 0,95 
2
3
∙
𝑙𝑥
1
250
=
2
3
∙
600
250
= 𝟏, 𝟔𝟎𝒄𝒎 
 
2
3
∙
𝑙𝑥
1
350
=
2
3
∙
600
350
= 𝟏, 𝟏𝟒𝒄𝒎 
 
EXERCÍCIO 
 
40 
Lajes Maciças 
D. VERIFICAÇÃO DAS FLECHAS 
Valores limites do deslocamento (considerando 2/3 da flecha 
ocorre na laje) 
 
 
 
 
Laje 𝒍𝒙(𝒄𝒎) 
Flecha Limite (cm) -6118:2014 
Carga Total 
𝟐
𝟑
∙
𝒍
𝟐𝟓𝟎
 
Carga Acidental 
𝟐
𝟑
∙
𝒍
𝟑𝟓𝟎
 
L1 600,00 1,60 1,14 
L2 400,00 1,07 0,76 
L3 500,00 1,33 0,95 
2
3
∙
𝑙𝑥
1
250
=
2
3
∙
600
250
= 𝟏, 𝟔𝟎𝒄𝒎 
2
3
∙
𝑙𝑥
2
250
=
2
3
∙
400
250
= 𝟏, 𝟎𝟕𝒄𝒎 
2
3
∙
𝑙𝑥
3
250
=
2
3
∙
500
250
= 𝟏, 𝟑𝟑𝒄𝒎 
 
2
3
∙
𝑙𝑥
1
350
=
2
3
∙
600
350
= 𝟏, 𝟏𝟒𝒄𝒎 
2
3
∙
𝑙𝑥
2
350
=
2
3
∙
400
350
= 𝟎, 𝟕𝟔𝒄𝒎 
2
3
∙
𝑙𝑥
3
350
=
2
3
∙
500
350
= 𝟎, 𝟗𝟓𝒄𝒎 
 
EXERCÍCIO 
 
41 
Lajes Maciças 
D. VERIFICAÇÃO DAS FLECHAS 
FCK EM MEGA PASCAL MPA!!!! 
 Módulo de elasticidade secante do concreto armado (em MPa, para 
20 𝑀𝑃𝑎 ≤ 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50 𝑀𝑃𝑎): 
𝐸𝑐𝑠 = 𝛼𝑖 ∙ 𝛼𝐸 ∙ 5.600 𝑓𝑐𝑘, 
Onde: 
• 𝛼𝐸 = 1,2 para basalto e diabásio; 
• 𝛼𝐸 = 1,0 para granito e gnaisse; 
• 𝛼𝐸 = 0,9 para calcário; 
• 𝛼𝐸 = 0,7 para arenito. E 
• 𝛼𝑖 = 0,85 para 𝑓𝑐𝑘 = 20 𝑀𝑃𝑎. 
 
𝑬𝒄𝒔 = 0,85 ∙ 1,00 ∙ 5.600 20 ≅ 𝟐𝟏. 𝟐𝟖𝟕 𝑴𝑷𝒂 
 
 
EXERCÍCIO 
 
42 
Lajes Maciças 
D. VERIFICAÇÃO DAS FLECHAS 
 Combinação Quase Permanente-CQP 
𝐹𝑑,𝑠𝑒𝑟 = 𝐹𝑔𝑖,𝑘 + Ψ2𝑗𝐹𝑞𝑗,𝑘 
𝑃𝐶𝑄𝑃 = 𝑔 +Ψ2𝑞 
𝑃𝐶𝑄𝑃 = 4,56𝑘𝑁/𝑚
2+0,4 ∙ 2,50𝑘𝑁/𝑚2 
𝑷𝑪𝑷𝑸 = 𝟓, 𝟓𝟔𝒌𝑵/𝒎
𝟐 
EXERCÍCIO 
 
43 
Lajes Maciças 
D. VERIFICAÇÃO DAS FLECHAS 
Cálculo da flecha elástica 
 
 
 
 
 
𝒇 =
𝒑 ∙ 𝒍𝒙
𝟒
𝑬 ∙ 𝒉𝟑
∙
𝜶
𝟏𝟎𝟎
 
 
𝑓1,𝑃𝐶𝑄𝑃 =
(5,56 𝑘𝑁/𝑚2)(6𝑚)4
(21.287.000 𝑘𝑁/𝑚2) ∙ (0,16𝑚)3
∙
2,46
100
= 0,20𝑐𝑚, 
 
 
 
 
Laje Caso 𝒍𝒙(𝒎) 𝒍𝒚(𝒎) 𝝀 𝜶 𝒇𝒊𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂𝒕𝒂 
𝑭𝒍𝒆𝒄𝒉𝒂𝒔 𝑳𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆𝒔 𝒆 𝑬𝒍á𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂𝒔 (𝒄𝒎) 
𝒇𝒕𝒐𝒕,∞ 𝒇𝒕𝒐𝒕,𝒍𝒊𝒎 𝒇𝒒 𝒇𝒒,𝒍𝒊𝒎 
L1 3 6,00 6,00 1,00 2,46 0,20 0,50 1,60 0,09 1,14 
L2 3 4,00 6,00 1,50 4,46 0,07 0,18 1,07 0,03 0,76 
L3 2B 5,00 10,00 2,00 5,76 0,23 0,57 1,33 0,10 0,95 
EXERCÍCIO 
 
44 
Lajes Maciças 
D. VERIFICAÇÃO DAS FLECHAS 
Cálculo da flecha elástica 
 
 
 
 
 
 
𝑓1,𝑃𝐶𝑄𝑃 =
(5,56 𝑘𝑁/𝑚2)(6𝑚)4
(21.287.000 𝑘𝑁/𝑚2) ∙ (0,16𝑚)3
∙
2,46
100
= 0,20𝑐𝑚, 
𝑓2,𝑃𝐶𝑄𝑃 =
(5,56 𝑘𝑁/𝑚2)(4𝑚)4
(21.287.000 𝑘𝑁/𝑚2) ∙ (0,16𝑚)3
∙
4,46
100
= 0,073𝑐𝑚, 
𝑓3,𝑃𝐶𝑄𝑃 =
(5,56 𝑘𝑁/𝑚2)(5𝑚)4
(21.287.000𝑘𝑁/𝑚2) ∙ (0,16𝑚)3
∙
5,76
100
= 0,23𝑐𝑚, 
 
 
 
 
Laje Caso 𝒍𝒙(𝒎) 𝒍𝒚(𝒎) 𝝀 𝜶 𝒇𝒊𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂𝒕𝒂 
𝑭𝒍𝒆𝒄𝒉𝒂𝒔 𝑳𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆𝒔 𝒆 𝑬𝒍á𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂𝒔 (𝒄𝒎) 
𝒇𝒕𝒐𝒕,∞ 𝒇𝒕𝒐𝒕,𝒍𝒊𝒎 𝒇𝒒 𝒇𝒒,𝒍𝒊𝒎 
L1 3 6,00 6,00 1,00 2,46 0,20 0,50 1,60 0,09 1,14 
L2 3 4,00 6,00 1,50 4,46 0,07 0,18 1,07 0,03 0,76 
L3 2B 5,00 10,00 2,00 5,76 0,23 0,57 1,33 0,10 0,95 
EXERCÍCIO 
 
45 
Lajes Maciças 
D. VERIFICAÇÃO DAS FLECHAS 
Cálculo da flecha elástica 
 
 
 
 
 
𝑓1(𝑞) =
(2,5 𝑘𝑁/𝑚2)(6𝑚)4
(21.287.000 𝑘𝑁/𝑚2) ∙ (0,16𝑚)3
∙
2,46
100
= 0,091𝑐𝑚, 
𝑓2(𝑞) =
(2,5 𝑘𝑁/𝑚2)(4𝑚)4
(21.287.000 𝑘𝑁/𝑚2) ∙ (0,16𝑚)3
∙
4,46
100
= 0,033𝑐𝑚, 
𝑓3(𝑞) =
(2,5 𝑘𝑁/𝑚2)(5𝑚)4
(21.287.000 𝑘𝑁/𝑚2) ∙ (0,16𝑚)3
∙
5,76
100
= 0,10𝑐𝑚, 
 
 
 
 
Laje Caso 𝒍𝒙(𝒎) 𝒍𝒚(𝒎) 𝝀 𝜶 𝒇𝒊𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂𝒕𝒂 
𝑭𝒍𝒆𝒄𝒉𝒂𝒔 𝑳𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆𝒔 𝒆 𝑬𝒍á𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂𝒔 (𝒄𝒎) 
𝒇𝒕𝒐𝒕,∞ 𝒇𝒕𝒐𝒕,𝒍𝒊𝒎 𝒇𝒒 𝒇𝒒,𝒍𝒊𝒎 
L1 3 6,00 6,00 1,00 2,46 0,20 0,50 1,60 0,09 1,14 
L2 3 4,00 6,00 1,50 4,46 0,07 0,18 1,07 0,03 0,76 
L3 2B 5,00 10,00 2,00 5,76 0,23 0,57 1,33 0,10 0,95 
EXERCÍCIO 
 
46 
Lajes Maciças 
D. VERIFICAÇÃO DAS FLECHAS 
Cálculo da flecha deferida (fluência) 
 Supor a retirada do escoramento aos 14 dias após a 
concretagem da laje (𝑡0). 
𝑡0 =
14
30
= 0,47 
 Os coeficientes 𝜉 para as idades 𝑡0 = 0,47 e para o tempo 
infinito são: 
𝜉 𝑡0 = 0,68 ∙ 0,966
𝑡 ∙ 𝑡0,32 = 0,68 ∙ 0,9660,47 ∙ 0,470,32 = 0,53 
𝜉 𝑡∞ = 2 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑖𝑥𝑜 𝑝𝑟𝑎 𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 70 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 
 Como não há armadura comprimida, então, 𝜌′ = 0, resultando 
para o fator 𝛼𝑓: 
𝛼𝑓 =
Δ𝜉
1 + 50 ∙ 𝜌′
=
2 − 0,53
1
= 1,47 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 
 
47 
Lajes Maciças 
D. VERIFICAÇÃO DAS FLECHAS 
Cálculo da flecha deferida (fluência) 
 A flecha total no tempo infinito será aquela correspondente à 
combinação quase permanente multiplicada por 1 + 𝛼𝑓 
𝑓𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙,∞ = 𝑓𝑖𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑡𝑎 ∙ 1 + 1,47 = 𝑓𝑖𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑡𝑎 ∙ 2,47 
 
Laje Caso 𝒍𝒙(𝒎) 𝒍𝒚(𝒎) 𝝀 𝜶 𝒇𝒊𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂𝒕𝒂 
𝑭𝒍𝒆𝒄𝒉𝒂𝒔 𝑳𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆𝒔 𝒆 𝑬𝒍á𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂𝒔 (𝒄𝒎) 
𝒇𝒕𝒐𝒕,∞ 𝒇𝒕𝒐𝒕,𝒍𝒊𝒎 𝒇𝒒 𝒇𝒒,𝒍𝒊𝒎 
L1 3 6,00 6,00 1,00 2,46 0,20 0,50 1,60 0,09 1,14 
L2 3 4,00 6,00 1,50 4,46 0,07 0,18 1,07 0,03 0,76 
L3 2B 5,00 10,00 2,00 5,76 0,23 0,57 1,33 0,10 0,95 
EXERCÍCIO 
 
48 
Lajes Maciças 
D. VERIFICAÇÃO DAS FLECHAS 
Observa-se que as flechas de cada laje são bem menores que as 
limite, sendo possível, dessa maneira diminuir a altura das lajes. 
Igualando a maior das flechas com a flecha limite 
correspondente temos uma nova altura: 
𝑝 + 𝑞 ∙ 𝑙𝑥
4
𝐸 ∙ ℎ3
∙
𝛼
100
= 0,0133, 
Portanto ℎ ≅ 0,083 𝑚 = 8,3 𝑐𝑚. 
Como ℎ = 𝑑 +
𝜙𝑙
2
+ 𝜙𝑙 + 𝑐 = 𝑑 + 4 , adotaremos ℎ = 9 𝑐𝑚 e 
𝑑 = 5 𝑐𝑚. 
 
EXERCÍCIO 
 
49 
Lajes Maciças 
D. VERIFICAÇÃO DAS FLECHAS 
Observa-se que as flechas de cada laje são bem menores que as 
limite, sendo possível, dessa maneira diminuir a altura das 
lajes. 
 Igualando a maior das flechas (Laje 3) com a flecha limite 
(1,33 𝑐𝑚)correspondente temos uma nova altura: 
𝒇 =
𝒑 ∙ 𝒍𝒙
𝟒
𝑬 ∙ 𝒉𝟑
∙
𝜶
𝟏𝟎𝟎
= 0,0133 → ℎ =
𝑝 + Ψ2𝑞 ∙ 𝑙𝑥
4
𝐸 ∙ 𝟎, 𝟎𝟏𝟑𝟑
∙
𝛼
100
3
 
ℎ =
(5,56 𝑘𝑁/𝑚2) ∙ (5𝑚)4
((21.287.000 𝑘𝑁/𝑚2)) ∙ (0,0133𝑚)
∙
5,76
100
3
 
ℎ ≅ 0,089 𝑚 = 9,00 𝑐𝑚. 
Como ℎ = 𝑑 +
𝜙𝑙
2
+ 𝜙𝑙 + 𝑐 = 𝑑 + 4 , adotaremos ℎ = 9 𝑐𝑚 e 
𝑑 = 5 𝑐𝑚. 
 
 
EXERCÍCIO 
 
50 
Lajes Maciças 
D. VERIFICAÇÃO DAS FLECHAS 
A carga total sobre a laje deve ser recalculada para a nova altura 
ℎ = 9 𝑐𝑚. 
𝑝 = 0,09 𝑚 ∙ 25𝑘𝑁/𝑚3 + 0,36𝑘𝑁/𝑚2 + 0,20 𝑘𝑁/𝑚2
+ 2,5 𝑘𝑁/𝑚2 
𝑝 = 5,31 𝑘𝑁/𝑚2 
EXERCÍCIO 
 
51 
Lajes Maciças 
E. CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES NAS LAJES 
Os momentos máximos positivo e negativo nas lajes, por unidade 
de comprimento (faixa unitária), são calculados pela equações 
indicadas com coeficientes fornecidos pela TABELA. 
𝑚𝑥 = 𝜇𝑥 ∙
𝑝 ∙ 𝑙𝑥
2
100
, 𝑚𝑦= 𝜇𝑦 ∙
𝑝 ∙ 𝑙𝑥
2
100
, 𝑋𝑥 = 𝜇𝑥
′ ∙
𝑝 ∙ 𝑙𝑥
2
100
, 𝑋𝑦 = 𝜇𝑦
′ ∙
𝑝 ∙ 𝑙𝑥
2
100
 
Cálculo dos momentos (𝒌𝑵 ∙ 𝒎/𝒎) 
 
 
 
 
𝑚𝑥 = 𝜇𝑥 ∙
𝑝∙𝑙𝑥
2
100
= 2,69 ∙
(5,31𝑘𝑁/𝑚2)(6,00𝑚)2
100
=5,14𝑘𝑁 ∙ 𝑚/𝑚 
Laje Caso 𝑙𝑥(𝑚) 𝜆 P 𝜇𝑥 𝑚𝑥 𝜇𝑦 𝑚𝑦 𝜇𝑥
′ 𝑥𝑥 𝜇𝑦
′ 𝑥𝑦 
L1 3 6,00 1,00 5,31 2,69 5,14 2,69 5,14 6,99 13,36 6,99 13,36 
L2 3 4,00 1,50 5,31 4,73 4,02 2,25 1,91 10,41 8,84 8,06 6,85 
L3 2B 5,00 2,00 5,31 5,94 7,89 1,48 1,96 12,13 16,10 - - 
EXERCÍCIO 
 
52 
Lajes Maciças 
E. CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES NAS LAJES 
Os momentos máximos positivo e negativo nas lajes, por unidade 
de comprimento (faixa unitária), são calculados pela equações 
indicadas com coeficientes fornecidos pela TABELA. 
𝑚𝑥 = 𝜇𝑥 ∙
𝑝 ∙ 𝑙𝑥
2
100
, 𝑚𝑦= 𝜇𝑦 ∙
𝑝 ∙ 𝑙𝑥
2
100
, 𝑋𝑥 = 𝜇𝑥
′ ∙
𝑝 ∙ 𝑙𝑥
2
100
, 𝑋𝑦 = 𝜇𝑦
′ ∙
𝑝 ∙ 𝑙𝑥
2
100
 
Cálculo dos momentos (𝑘𝑁 ∙ 𝑚/𝑚) 
Laje Caso 𝑙𝑥(𝑚) 𝜆 P 𝜇𝑥 𝒎𝒙 𝜇𝑦 𝒎𝒚 𝜇𝑥
′ 𝒙𝒙 𝜇𝑦
′ 𝒙𝒚 
L1 3 6,00 1,00 5,31 2,69 5,14 2,69 5,14 6,99 13,36 6,99 13,36 
L2 3 4,00 1,50 5,31 4,73 4,02 2,25 1,91 10,41 8,84 8,06 6,85 
L3 2B 5,00 2,00 5,31 5,94 7,89 1,48 1,96 12,13 16,10 - - 
EXERCÍCIO 
 
53 
Lajes Maciças 
EXERCÍCIO 
 
54 
Lajes Maciças 
E. CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES NAS LAJES 
Os momentos máximos positivo e negativo nas lajes, por unidade 
de comprimento (faixa unitária), são calculados pela equações 
indicadas com coeficientes fornecidos pela TABELA. 
𝑚𝑥
1 = 𝜇𝑥
1 ∙
𝑝 ∙ 𝑙𝑥1
2
100
= 2,69 ∙
(5,31𝑘𝑁/𝑚2) ∙ 6𝑚
2
100
 
𝑚𝑦
1 = 𝜇𝑦
1 ∙
𝑝 ∙ 𝑙𝑥1
2
100
= 2,69 ∙
(5,31𝑘𝑁/𝑚2) ∙ 6𝑚
2
100
 
𝑋𝑥
1 = 𝜇
𝑥
1′ ∙
𝑝 ∙ 𝑙1𝑥
2
100
= 6,99 ∙
(5,31𝑘𝑁/𝑚2) ∙ 6𝑚
2
100
 
𝑋𝑦
1 = 𝜇𝑦
1′ ∙
𝑝 ∙ 𝑙𝑥1
2
100
= 6,99 ∙
(5,31𝑘𝑁/𝑚2) ∙ 6𝑚
2
100
 
EXERCÍCIO 
 
55 
Lajes Maciças 
E. CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES NAS LAJES 
Os momentos máximos positivo e negativo nas lajes, por unidade 
de comprimento (faixa unitária), são calculados pela equações 
indicadas com coeficientes fornecidos pela TABELA. 
𝑚𝑥
2 = 𝜇𝑥
2 ∙
𝑝 ∙ 𝑙𝑥2
2
100
= 4,73 ∙
(5,31𝑘𝑁/𝑚2) ∙ 4𝑚
2
100
 
𝑚𝑦
2 = 𝜇𝑦
2 ∙
𝑝 ∙ 𝑙𝑥2
2
100
= 2,25 ∙
(5,31𝑘𝑁/𝑚2) ∙ 4𝑚
2
100
 
𝑋𝑥
2 = 𝜇
𝑥
2′ ∙
𝑝 ∙ 𝑙𝑥2
2
100
= 10,41 ∙
(5,31𝑘𝑁/𝑚2) ∙ 4𝑚
2
100
 
𝑋𝑦
2 = 𝜇𝑦
2′ ∙
𝑝 ∙ 𝑙𝑥2
2
100
= 8,06 ∙
(5,31𝑘𝑁/𝑚2) ∙ 4𝑚
2
100
 
EXERCÍCIO 
 
56 
Lajes Maciças 
E. CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES NAS LAJES 
Os momentos máximos positivo e negativo nas lajes, por unidade 
de comprimento (faixa unitária), são calculados pela equações 
indicadas com coeficientes fornecidos pela TABELA. 
𝑚𝑥
3 = 𝜇𝑥
3 ∙
𝑝 ∙ 𝑙𝑥2
3
100
= 5,94 ∙
(5,31𝑘𝑁/𝑚2) ∙ 5𝑚
2
100
 
𝑚𝑦
3 = 𝜇𝑦
3 ∙
𝑝 ∙ 𝑙𝑥3
2
100
= 1,48 ∙
(5,31𝑘𝑁/𝑚2) ∙ 5𝑚
2
100
 
𝑋𝑥
3 = 𝜇
𝑥
3′ ∙
𝑝 ∙ 𝑙𝑥3
2
100
= 12,13 ∙
(5,31𝑘𝑁/𝑚2) ∙ 5𝑚
2
100
 
 
EXERCÍCIO 
 
57 
Lajes Maciças 
E. CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES NAS LAJES 
(𝒃𝒘 = 𝟏 𝒎, faixa de laje). 
Determinação da altura útil mínima 
𝑑𝑚𝑖𝑛 = 2
𝑀𝑑
𝑏𝑤 ∙ 𝑓𝑐𝑑
 
𝑑𝑚𝑖𝑛 = 2
1,4 ∙ (16,10 𝑘𝑁 ∙ 𝑚/𝑚)
(1,00 𝑚) ∙
20.000 𝑘𝑁/𝑚2 
1,4
 
𝑑𝑚í𝑛 ≅ 0,079 𝑚 = 8,00 𝑐𝑚 
 
EXERCÍCIO 
 
58 
Lajes Maciças 
E. CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES NAS LAJES 
Determinação da altura final da laje: com o valor da altura 
mínima, determina-se a nova altura das lajes: 
ℎ = 𝑑 +
𝜙𝑙
2
+ 𝜙𝑙 + 𝑐 = 8,00 +
1,00
2
+ 1,00 + 2,50 = 12,00 
Ou seja, 
ℎ = 12 𝑐𝑚 e 𝑑 = 8 𝑐𝑚 
EXERCÍCIO 
 
59 
Lajes Maciças 
E. CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES NAS LAJES 
Determinação do carregamento final: recalcular o carregamento 
para ℎ = 12 𝑐𝑚 
𝑝 = 𝟎, 𝟏𝟐 𝒎 ∙ 25𝑘𝑁/𝑚2 + 0,36𝑘𝑁/𝑚2 + 0,20 𝑘𝑁/𝑚2
+ 2,5 𝑘𝑁/𝑚2 
𝑝 = 6,06 𝑘𝑁/𝑚2 
EXERCÍCIO 
 
60 
Lajes Maciças 
E. CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES NAS LAJES 
MOMENTOS FINAIS NA LAJE 
Laje Caso 𝒍𝒙(𝒎) 𝝀 P 𝝁𝒙 m_x 𝝁𝒚 𝒎𝒚 𝝁𝒙
′ 𝑿𝒙 𝝁𝒚
′ 𝑿𝒚 
L1 3 6,00 1,00 6,06 2,69 5,87 2,69 5,87 6,99 15,25 6,99 15,25 
L2 3 4,00 1,50 6,06 4,73 4,59 2,25 4,59 10,4110,09 8,06 7,81 
L3 2B 5,00 2,00 6,06 5,94 9,00 1,48 9,00 12,13 𝟏𝟖, 𝟑𝟖 - - 
EXERCÍCIO 
 
61 
Lajes Maciças 
E. CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES NAS LAJES 
Verificação da altura mínima para o novo momento máximo 
(𝑚 = 18,38 𝑘𝑁 ∙ 𝑚/𝑚) 
𝑑𝑚𝑖𝑛 = 2
𝑀𝑑
𝑏𝑤 ∙ 𝑓𝑐𝑑
 
𝑑𝑚𝑖𝑛 = 2
1,4 ∙ (18,38)
(1,00 ) ∙
20.000 
1,4
 
𝑑𝑚í𝑛 ≅ 0,084 𝑚 = 8,4 𝑐𝑚 ≅ 𝟖, 𝟎𝟎 
 
EXERCÍCIO 
 
62 
Lajes Maciças 
F. CÁLCULO DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS 
O cálculo da armadura é feito da mesma maneira que em vigas 
retangulares sob flexão simples, para uma faixa de laje de largura 
igual a 1,00 𝑚. Usaremos o auxílio da tabela para formulas 
adimensionais 
𝐾𝑀𝐷 =
𝑀𝑑
𝑏𝑤 ∙ 𝑑
2 ∙ 𝑓𝑐𝑑
 
𝐾𝑋 =
𝑥
𝑑
 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝐾𝑍 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑦𝑑
 
EXERCÍCIO 
 
63 
Lajes Maciças 
F. CÁLCULO DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS 
O cálculo da armadura é feito da mesma maneira que em vigas 
retangulares sob flexão simples, para uma faixa de laje de largura 
igual a 1,00 𝑚. Usaremos o auxílio da tabela para formulas 
adimensionais. A área de aço será dada em 𝑐𝑚2/𝑚 
 
 
 
 
 
𝐾𝑀𝐷 =
𝑀𝑑
𝑏𝑤 ∙ 𝑑
2 ∙ 𝑓𝑐𝑑
=
1,4 ∙ (5,87 𝑘𝑁 ∙ 𝑚) 
1,00 𝑚 ∙ 0,08 𝑚 2 ∙ (
20.000 𝑘𝑁/𝑚2
1,4
)
 
𝐾𝑀𝐷 ≅ 0,09 → 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 → 𝐾𝑍 = 0,9439 
 
 
 
Laje L1 L2 L3 
Mom. 𝐦𝐱 𝐦𝐲 𝐗𝐱 𝑿𝒚 𝒎𝒙 𝒎𝒚 𝑿𝒙 𝑿𝒚 𝒎𝒙 𝒎𝒚 𝑿𝒙 
kNm/m 5,87 5,87 15,25 15,25 4,59 2,18 10,09 7,81 9,00 2,24 18,38 
KMD 0,0900 0,0899 0,2335 0,2335 0,0703 0,0334 0,1545 0,1196 0,1378 0,0343 0,2814 
KZ 0,9439 0,9439 0,8343 0,8343 0,9570 0,9759 0,8985 0,9236 0,9194 0,9759 0,7870 
𝛜(‰) 10,0000 10,0000 4,9496 4,9496 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 3,0719 
𝐀𝐬 2,50 2,50 7,36 7,36 1,93 0,90 4,52 3,40 3,94 0,92 9,40 
EXERCÍCIO 
 
64 
Lajes Maciças 
F. CÁLCULO DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS 
O cálculo da armadura é feito da mesma maneira que em vigas 
retangulares sob flexão simples, para uma faixa de laje de largura 
igual a 1,00 𝑚. Usaremos o auxílio da tabela para formulas 
adimensionais. A área de aço será dada em 𝑐𝑚2/𝑚 
 
 
 
 
 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝐾𝑍 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑦𝑑
=
1,4 ∙ (5,87 𝑘𝑁 ∙ 𝑚/𝑚)
0,9439 ∙ 0,08 𝑚 ∙
500.000 𝑘𝑁/𝑚2
1,15
 
𝐴𝑠 ≅ 0,00025 𝑚
2/𝑚=2,5 𝑐𝑚2/𝑚 
 
 
Laje L1 L2 L3 
Mom. 𝐦𝐱 𝐦𝐲 𝐗𝐱 𝑿𝒚 𝒎𝒙 𝒎𝒚 𝑿𝒙 𝑿𝒚 𝒎𝒙 𝒎𝒚 𝑿𝒙 
kNm/m 5,87 5,87 15,25 15,25 4,59 2,18 10,09 7,81 9,00 2,24 18,38 
KMD 0,0900 0,0899 0,2335 0,2335 0,0703 0,0334 0,1545 0,1196 0,1378 0,0343 0,2814 
KZ 0,9439 0,9439 0,8343 0,8343 0,9570 0,9759 0,8985 0,9236 0,9194 0,9759 0,7870 
𝛜(‰) 10,0000 10,0000 4,9496 4,9496 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000 3,0719 
𝐀𝐬 2,50 2,50 7,36 7,36 1,93 0,90 4,52 3,40 3,94 0,92 9,40 
EXERCÍCIO 
 
65 
Lajes Maciças