Manual de Matematica Aplicada

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MANUAL DE TRONCO COMUM DO 
CURSO DE LICENCIATURA 
 
 
MATEMATICA APLICADA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ENSINO ONLINE. ENSINO COM FUTURO 2022 
 
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MANUAL DE TRONCO COMUM DO 
CURSO DE LICENCIATURA 
 
 
MATEMATICA APLICADA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1º ANO : MANUAL DE TRONCO COMUM 
CÓDIGO ISCED11-MATCFG002 
TOTAL HORAS/ 1 SEMESTRE 125 
CRÉDITOS (SNATCA) 5 
NÚMERO DE TEMAS 5 
 
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Direitos de autor (copyright) 
Este manual é propriedade da Universidade Aberta UnISCED, e contém reservado todos os 
direitos. É proibida a duplicação ou reprodução parcial ou total deste manual, sob quaisquer 
formas ou por quaisquer meios (eletrónicos, mecânico, gravação, fotocópia ou outros), sem 
permissão expressa de entidade editora (UnISCED). 
A não observância do acima estipulado o infractor é passível a aplicação de processos judiciais 
em vigor no País. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Aberta UnISCED 
Rua Paiva Couceiro, Macuti 
Beira - Moçambique 
Telefone: +258 23323501 
Fax: 258 23324215 
E-mail: info@unisced.edu.mz 
Website: www.unisced.edu.mz
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 
1 
 
Agradecimentos 
A Universidade Aberta ISCED (UnISCED), agradece a colaboração dos seguintes indivíduos e 
instituições na elaboração deste manual: 
 
Autor Prof. Doutor Horácio Manuel Vunga 
Coordenação 
Design 
Financiamento e Logística 
Local de Publicação 
Ano de Publicação 
Ano de Atualização 
Vice-Reitoria Académica 
Universidade Aberta ISCED 
Instituto Africano de Promoção da Educação a Distancia (IAPED) 
UnISCED – BEIRA 
2019 
2022 
 
 
 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
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Índiçe 
Visão geral 1 
Bem-vindo ao manual da Disciplina de Matemática Aplicada ......................................... 1 
Objectivos do Manual ....................................................................................................... 1 
Quem deveria estudar este Manual ................................................................................. 2 
Como está estruturado este Manual ................................................................................ 2 
Conteúdo deste manual.................................................................................................... 3 
Outros recursos ............................................................................................................... 3 
Auto-avaliação e Tarefas de avaliação .......................................................................... 3 
Habilidades de estudo ...................................................................................................... 4 
Precisa de apoio? .............................................................................................................. 5 
Tarefas (avaliação e auto-avaliação) ................................................................................ 6 
Avaliação ........................................................................................................................... 6 
TEMA – I: NÚMEROS REA RAIS. 9 
UNIDADE Temática 1.1. CONJUNTOS (Noções). ............................................................... 9 
Introdução ......................................................................................................................... 9 
CONJUNTOS (Noções) ..................................................................................................... 10 
Sumário ........................................................................................................................... 18 
Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO ..................................................................................... 19 
Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO ..................................................................................... 21 
Operações com conjuntos .............................................................................................. 23 
UNIDADE Temática 1.2. Conjuntos Numéricos .............................................................. 29 
Introução ......................................................................................................................... 29 
Conjuntos dos números .................................................................................................. 30 
Conjunto dos Números Naturais .................................................................................... 32 
Conjunto dos Números Inteiros ...................................................................................... 32 
Conjunto dos Números Racionais ................................................................................... 34 
Conjunto dos Números Irracionais ................................................................................. 35 
Conjunto dos Números Reais ......................................................................................... 36 
Conjuntos Numéricos Fundamentais em Diagrama ....................................................... 37 
SUMÁRIO ........................................................................................................................ 38 
Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO ..................................................................................... 38 
Unidade Temática 1.3. Representação Geométrica dos Números Reais. ..................... 41 
ntroução .......................................................................................................................... 41 
Sumário ........................................................................................................................... 43 
Unidade 1.3. Desigualdades. .......................................................................................... 43 
Introução ......................................................................................................................... 43 
Desigualdade das médias 44 
Demonstração do caso n=2 ............................................................................................ 45 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 ii 
Demonstração no caso .................................................................................... 46 
Demonstração do caso geral .......................................................................................... 47 
A desigualdade triangular nos números reais (ou em IR). ............................................. 49 
A desigualdade triangular em ................................................................................. 50 
Teorema ................................................................................................................ 50 
Demonstração ....................................................................................................... 50 
Sumário ........................................................................................................................... 51 
Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO ..................................................................................... 51 
Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO ..................................................................................... 52 
TEMA II: REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 52 
Unidade Temática 2.1: Sistema de Coordenadas Cartesiano ........................................ 53 
Introução ......................................................................................................................... 53 
Sistema de coordenadas cartesiano ............................................................................... 57 
Propriedades ................................................................................................................... 58 
Localização de pontos ...........................................................................................59 
Planos primários .................................................................................................... 60 
Distância entre pontos .......................................................................................... 60 
A esfera .................................................................................................................. 61 
Sumário ........................................................................................................................... 61 
Nesta Unidae Temática 2.1. aprendemos estudar: ........................................................ 61 
Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO ..................................................................................... 61 
Unidade 2.2. Distância entre Dois Pontos ...................................................................... 62 
Introução ......................................................................................................................... 62 
Distância entre Dois Pontos ............................................................................................ 63 
Sumário ........................................................................................................................... 65 
Nesta Unidade Temática 2.2 estudamos: ....................................................................... 65 
Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO ..................................................................................... 65 
Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO ..................................................................................... 68 
1. Calcule a distância entre os pontos A(-2,3) e B(1,5). ............................... 69 
2) Se um ponto P do eixo das abscissas é equidistante dos pontos A(1,4) e 
B( -6,3), a abscissa de P vale: ....................................................................... 69 
a) -2 .............................................................................................................. 69 
b) -1 .............................................................................................................. 69 
c) 0 ................................................................................................................ 69 
d) 1 ............................................................................................................... 69 
e) 3 ............................................................................................................... 69 
3) A distancia entre os pontos A( -2,y) e B(6,7) é 10. O valor de y é ........... 69 
a) -1 .............................................................................................................. 69 
b) 0 ............................................................................................................... 69 
c) 1 ou 13 ...................................................................................................... 69 
d) -1 ou 10 .................................................................................................... 69 
e) 2 ou 12 ..................................................................................................... 69 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 iii 
4) Um ponto material móvel desloca-se no plano cartesiano e suas 
coordenadas variam em função do tempo t (t ≥0). A distância percorrida 
pelo ponto material móvel entre o ponto A para t = 0 e o ponto B para t 
= 6, é: ............................................................................................................ 69 
Unidade 2.3. A Recta....................................................................................................... 69 
Introução ......................................................................................................................... 69 
A recta ................................................................................................................... 71 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 iv 
Sumário ........................................................................................................................... 81 
Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO ..................................................................................... 81 
Ques ................................................................................................................................ 85 
Unidade Temática 2.4. Posição Relativa de duas Rectas. ............................................... 87 
Introução ......................................................................................................................... 87 
Posições relativas de duas Rectas 88 
Rectas Paralelas .............................................................................................................. 88 
Rectas Concorrentes ....................................................................................................... 89 
Rectas Perpendiculares/Ortogonais ............................................................................... 89 
Sumário ........................................................................................................................... 89 
Unidade 2.5. Perpendicularidades. ................................................................................. 98 
Introução ......................................................................................................................... 98 
Perpendicularidade ......................................................................................................... 98 
Sumário ......................................................................................................................... 100 
TEMA III: FUNÇÕES 104 
Unidade Temática 3.1. Funções. ................................................................................... 104 
Introução ....................................................................................................................... 104 
Funções ......................................................................................................................... 105 
Funções Reais de Variável Real ..................................................................................... 106 
Representação Gráfica de uma Função ........................................................................ 107 
Operações com Funções ............................................................................................... 108 
Soma de funções ........................................................................................................... 108 
Produto de funções....................................................................................................... 109 
Composição de funções ................................................................................................ 110 
Inverso da função e função inversa .............................................................................. 110 
Função par e função ímpar ........................................................................................... 112 
Função linear e função afim ......................................................................................... 113 
Sumário ......................................................................................................................... 114 
Exercícios de AUTOAVALIÇÃO ...................................................................................... 114 
Unidade Temática 3.2. Gráficos de Funções. ............................................................... 122 
Introução ....................................................................................................................... 122 
Construção de Gráfico de uma Função 123 
Análise e Interpretação de Gráficos de Funções .......................................................... 127 
Crescente, Decrescente, Constante e Raízes .........................................................................128 
Sumário ......................................................................................................................... 129 
Nesta Unida Temática 3.2. estudamos ......................................................................... 129 
Exrcícios de AUTO-AVALIAÇÃO ..................................................................................... 129 
Unidade Temática 3.3. Propriedades de Funções. ....................................................... 132 
Introução ....................................................................................................................... 132 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 v 
Propriedades de uma Função 133 
Continuidade ....................................................................................................... 133 
Funções Injectora, Sobrejectora e Bijectora ................................................................. 134 
Sumário ......................................................................................................................... 135 
Nesta Unidade Temática 3.3. estudamos ..................................................................... 135 
Exrecícios de AUTO-AVALIAÇÃO ................................................................................... 135 
Unidade Temática 4.1. Funções Polinomiais. ............................................................... 138 
Introução ....................................................................................................................... 138 
Funções Polinomiais 140 
Sumário ......................................................................................................................... 142 
Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO ................................................................................... 142 
Unidade Temática 4.2. Funções Trigonométricas................................... 145 
Introução ....................................................................................................................... 145 
Funções Trigonométricas 146 
Sumário ......................................................................................................................... 153 
Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO ................................................................................... 153 
Unidade Temática 4.4. Regiões no Plano Cartesiano. .................................................. 153 
Introução ....................................................................................................................... 153 
Regiões no Plano Cartesiano 154 
Sistema Cartesiano 3D .................................................................................................. 156 
OCTANTES ..................................................................................................................... 158 
Sumário ......................................................................................................................... 159 
Exrecícios de AUTO-AVALIAÇÃO ................................................................................... 160 
Em Quais Quadrantes se Encontram os Pontos (em 2D)? ......................... 160 
Unidade Temática 4.5. Funções como Modelos Matemáticos .................................... 161 
Introução ....................................................................................................................... 161 
Funções como modelos Matemáticos 162 
Função Demanda ....................................................................................... 164 
Função Oferta ............................................................................................ 164 
Ponto de equilíbrio .................................................................................... 164 
Funções Marginais ..................................................................................... 164 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 vi 
SUMÁRIO ...................................................................................................................... 165 
Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO ................................................................................... 165 
Unidade Temática 5.1. Limites ..................................................................................... 167 
Introução ....................................................................................................................... 167 
Limites 168 
Limite de uma função ................................................................................................... 168 
Definição formal .................................................................................................. 170 
Aproximação intuitiva ................................................................................................... 170 
Sumário ......................................................................................................................... 172 
Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO ................................................................................... 172 
Unidade Temática 5.2. Limites Laterais ........................................................................ 173 
Introução ....................................................................................................................... 173 
Limites Laterais 174 
Sumário ......................................................................................................................... 175 
Exercícios ...................................................................................................................... 175 
Unidade Temática 5.3. Limites Infinitos e no Infinito ................................................... 176 
Introução ....................................................................................................................... 176 
Limites Infinitos e no Infinito 176 
Limites infinitos .......................................................................................... 179 
Sumário ......................................................................................................................... 179 
Exercícios ...................................................................................................................... 179 
Unidade Temática 5.4. Continuidade ........................................................................... 180 
Introução ....................................................................................................................... 180 
Continuidade 181 
CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE UMA VARÁVEL ............................................... 181 
Sumário ......................................................................................................................... 182 
Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO ................................................................................... 182 
Unidade Temática 6.1. Derivada................................................................................... 185 
Introução ....................................................................................................................... 185 
Derivada 186 
Definição formal da Derivada ....................................................................................... 187 
Derivada num ponto ..................................................................................................... 188 
Derivabilidade em todo o domínio...................................................................... 190 
Funções continuamente deriváveis .................................................................... 191 
Derivadas de ordem superior (facultativo) ......................................................... 192 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 vii 
Pontos críticos, estacionários ou singulares................................................................. 192 
Sumário ......................................................................................................................... 193 
Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO ................................................................................... 193 
Unidade Temática 6.2. Técnicas de Derivação ............................................................. 195 
Introução ....................................................................................................................... 195 
Técnicas de Derivação 196 
DERIVADA DE UMA CONSTANTE .................................................................................. 196 
DERIVADA DE UMA POTÊNCIA COM EXPOENTE INTEIRO ............................................ 196 
DERIVADA DE UMA CONSTANTE VEZES UMA FUNÇÃO ............................................... 196 
DERIVADAS DE SOMAS E DIFERENÇAS ......................................................................... 196 
DERIVADA DE UM PRODUTO ........................................................................................ 197 
DERIVADA DE UM QUOCIENTE ..................................................................................... 197 
DERIVADA DE UM RECÍPROCO ..................................................................................... 197 
DERIVADAS MAIS ALTAS ou de n-ésimo grau ............................................................... 198 
DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS .......................................................... 198 
Sumário ......................................................................................................................... 199 
Nesta Unidade Temática 6.2. estudamos os seguinte tópicos. .................................... 199 
Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO ................................................................................... 199 
Unidade Temática 6.3. Regra de Cadeia ....................................................................... 204 
Introução ....................................................................................................................... 204 
Regra de Cadeia 204 
Enunciado ..................................................................................................................... 204 
Exemplos ....................................................................................................................... 205 
Regra da cadeia para várias variáveis (Carácter informativo, pelo que facultativo). ... 205 
Sumário ......................................................................................................................... 206 
Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO ................................................................................... 206 
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo: .................................................. 209 
TEMA VII: ....................................................................................................................... 211 
COMPORTAMENTO DE FUNÇÕES ................................................................................. 211 
Unidade Temática 7.1. Máximo e Mínimo ................................................................... 211 
Introução ....................................................................................................................... 211 
Máximo e mMínimo 212 
Aplicações da 1ª Derivada ............................................................................................ 212 
Aplicações da 2ª Derivada ou (pontos de Inflexão). ..................................................... 213 
Sumário ......................................................................................................................... 213 
Nesta Unidade Temática 7.1. estudamos os seguinte tópicos. .................................... 213 
Unidade Temática 7.2. Regiões de Crescimento e Decrescimento .............................. 216 
Introução ....................................................................................................................... 216 
Regiões de Crescimento e Decrescimento 217 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 viii 
Definição 1: (Função Crescente) ................................................................................... 217 
Definição 2: (Função Decrescente) .............................................................................. 217 
Definição 3: Função estritamente Crescente ............................................................... 218 
Definição 4: Função estritamente Decrescente ........................................................... 218 
Teorema: Sinal da Derivada .......................................................................................... 218 
Teste da Primeira Derivada para Extremos .................................................................. 219 
Sumário ......................................................................................................................... 220 
Exercícios ...................................................................................................................... 221 
GRUPO 2 (Exercícios com respostas) ........................................................................... 221 
Unidade Temática 7.3. Regra de L´Hôpital ................................................................... 224 
Introução ....................................................................................................................... 224 
Regra de L´Hôpital 224 
Enunciado ..................................................................................................................... 224 
Algumas Aplicações ...................................................................................................... 225 
Demonstração ............................................................................................................... 226 
Sumário ......................................................................................................................... 227 
Nesta Unidade Temática 7.3. Estudamos: .................................................................... 227 
Exercícios ...................................................................................................................... 227 
GRUPO 2 (com respostas) ............................................................................................. 227 
Exercício 1 ..................................................................................................................... 227 
Exercício 2 ..................................................................................................................... 227 
Unidade Temática 7.4. Taxas Relacionadas .................................................................. 228 
Introução ....................................................................................................................... 228 
Taxas Relacionadas 229 
Sumário ......................................................................................................................... 231 
Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO ................................................................................... 232 
BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA .................................................................................... 236 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR .................................................................................. 237 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 1 
Visão geral 
Bem-vindo ao manual da Disciplina de Matemática 
Aplicada 
Objectivos do Manual 
O principal objetivo deste manual da disciplina de Matemática 
Aplicada é o de fazer com que os alunos compreendam, com 
clareza, os conceitos introdutórios de matemática do ponto vista 
geométrico, numérico, algébrico e linguístico. 
 
Desenvolver, também a capacidade de modelagemde problemas 
matemáticos e provas envolvendo conjuntos, conjuntos numéricos, 
distância entre dois pontos, equação geral da recta, funções 
lineares, polinomiais, exponenciais, logarítmica e trigonométrica, 
bem como as noções intuitivas de limites, continuidade, 
diferenciabilidade e o comportamento de funções, que possam, 
sem dúvidas, auxiliar na vida profissional do futuro Contabilista e 
Auditor. 
 
JUSTIFICATIVA 
 
É nossa expectativa que este texto assuma o carácter de espinha 
dorsal de uma experiência permanentemente renovável, sendo, 
portanto, bemvindas às críticas e/ou sugestões apresentadas por 
todos - professores ou alunos quantos dele fizerem uso. 
 
Para desenvolvermos a sua capacidade como estudante, de pensar 
por si mesmo em termos das novas definições, incluímos no final de 
cada TEMA uma extensa lista de exercícios, regra geral, integrados. 
 
No TEMA I apresentaremos algumas definições e resultados sobre 
conjuntos, conjuntos numéricos, intervalos e equações e 
inequações que serão necessárias para o entendimento dos 
próximos TEMAS. 
 
No TEMA II apresentaremos o sistema de coordenadas cartesianas, 
distância entre dois pontos, equação geral da recta e aplicações. 
 
No TEMA III apresentaremos as noções de funções e suas principais 
propriedades aplicações. 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 2 
No TEMA IV apresentaremos alguns tipos especiais de funções tais 
como: funções lineares, polinomiais, exponenciais, logarítmica, 
trigonométrica e aplicações. 
 
No TEMA V apresentaremos, de um ponto de vista intuitivos, as 
noções de limites e continuidade, bem como suas principais 
propriedades. 
 
No TEMA VI apresentaremos, de um ponto de vista intuitivos, as 
noções de derivada, bem como suas principais propriedades. 
 
No TEMA VII aplicaremos os conhecimentos sobre derivadas para 
revolver problemas de máximo e mínimo, gráficos de funções, bem 
como taxas relacionadas. 
 
 
Objectivos 
Específicos 
▪ Ter domínio sobre teoria de conjuntos e diferentes conjuntos e 
conjunto numéricos; 
▪ Ser capaz de fazer diversas representações gráficas;. 
▪ Ter domínio sobre funções; 
▪ Compreender e aplicar o conceito de limites e continuidade; 
▪ Introduzir o conhecimento sobre cálculo Diferencial e suas 
aplicações. 
 
 
Quem deveria estudar este Manual 
Este Manual foi concebido para estudantes do 1º ano dos cursos de 
licenciatura da UnISCED 
Como está estruturado este Manual 
O presente manual está estruturado da seguinte maneira: 
• Conteúdos deste manual. 
• Abordagem geral dos conteúdos do manual, resumindo os 
aspectos-chave que você precisa para conhecer a história da 
comunicação. Recomendamos vivamente que leia esta secção com 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 3 
atenção antes de começar o seu estudo, como componente de 
habilidades de estudos. 
 
 
Conteúdo deste manual 
Este manual está estruturado em temas. Cada tema, comporta 
certo número de unidades temáticas ou simplesmente unidades, 
cada unidade temática caracteriza-se por conter um título 
específico, seguido dos seus respectivos subtítulos. 
No final de cada unidade temática, são propostos 10 exercícios de 
fechados e 5 exercicios abertos. No fim de cada tema, são 
incorporados 10 exercícios fechados para avaliação e 5 exercicios 
abertos para auto-avaliacao. No final do manual estão incorporados 
100 exercicios fechados para preparação aos exames. 
Os exercícios de avaliação são Teóricos e Práticos. 
Outros recursos 
A UnISCED pode, adicionalmente, disponibilizar material de estudo 
na Biblioteca do Centro de recursos, na Biblioteca Virtual, em 
formato físico ou digital. 
Auto-avaliação e Tarefas de avaliação 
As tarefas de auto-avaliação para este manual encontram-se no 
final de cada unidade temática e de cada tema. As tarefas dos 
exercícios de auto-avaliação apresentam duas características: 
primeiro apresentam exercícios resolvidos com detalhes. Segundo, 
exercícios que mostram apenas respostas. 
As tarefas de avaliação neste manual também se encontram no 
final de cada unidade temática, assim como no fim do manual em 
si, e, devem ser semelhantes às de auto-avaliação, mas sem mostrar 
os passos e devem obedecer o grau crescente de dificuldades do 
processo de aprendizagem, umas a seguir a outras. Parte das 
tarefas de avaliação será objecto dos trabalhos de campo a serem 
entregues aos tutores/docentes para efeitos de correcção e 
subsequentemente atribuição de uma nota. Também constará do 
exame do fim do manual. Pelo que, caro estudante, fazer todos os 
exercícios de avaliação é uma grande vantagem. 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 4 
Habilidades de estudo 
O principal objectivo desta secção, é ensinar a aprender 
aprendendo. 
Durante a formação e desenvolvimento de competências, para 
facilitar a aprendizagem e alcançar melhores resultados, implicará 
empenho, dedicação e disciplina no estudo. Isto é, os bons 
resultados apenas se conseguem com estratégias eficientes e 
eficazes. Por isso, é importante saber como, onde e quando 
estudar. Apresentamos algumas sugestões com as quais esperamos 
que caro estudante possa rentabilizar o tempo dedicado aos 
estudos, procedendo como se segue: 
1º - Praticar a leitura. Aprender à distância exige alto domínio de 
leitura. 
2º - Fazer leitura diagonal aos conteúdos (leitura corrida). 
3º - Voltar a fazer a leitura, desta vez para a compreensão e 
assimilação crítica dos conteúdos (ESTUDAR). 
4º - Fazer seminário (debate em grupos), para comprovar se a sua 
aprendizagem confere ou não com a dos colegas e com o padrão. 
5º - Fazer TC (Trabalho de Campo), algumas actividades práticas ou 
as de estudo de caso, se existir. 
IMPORTANTE: Em observância ao triângulo modo-espaço-tempo, 
respectivamente como, onde e quando estudar, como foi referido 
no início deste item, antes de organizar os seus momentos de 
estudo reflicta sobre o ambiente de estudo que seria ideal para si: 
Estudo melhor em casa/biblioteca/café/outro lugar? Estudo melhor 
à noite/de manhã/de tarde/fins-de-semana/ao longo da semana? 
Estudo melhor com música/num sítio sossegado/num sítio 
barulhento!? Preciso de intervalo a cada 30 minutos ou a cada 60 
minutos? etc. 
É impossível estudar numa noite tudo o que devia ter sido estudado 
durante um determinado período de tempo; deve estudar cada 
ponto da matéria em profundidade e passar só a seguinte quando 
achar que já domina bem o anterior. 
Privilegia-se saber bem (com profundidade) o pouco que puder ler 
e estudar, que saber tudo superficialmente! Mas a melhor opção é 
juntar o útil ao agradável: saber com profundidade todos 
conteúdos de cada tema, no manual. 
Dica importante: não recomendamos estudar seguidamente por 
tempo superior a uma hora. Estudar por tempo de uma hora 
intercalado por 10 (dez) a 15 (quinze) minutos de descanso (chama-
se descanso à mudança de actividades). Ou seja, que durante o 
intervalo não se continuar a tratar dos mesmos assuntos das 
actividades obrigatórias. 
 
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 5 
Uma longa exposição aos estudos ou ao trabalho intelectual 
obrigatório, pode conduzir ao efeito contrário: baixar o rendimento 
da aprendizagem. Por que o estudante acumula um elevado volume 
de trabalho, em termos de estudos, em pouco tempo, criando 
interferência entre os conhecimentos, perde sequência lógica, por 
fim ao perceber que estuda tanto, mas não aprende, cai em 
insegurança, depressão e desespero, por se achar injustamente 
incapaz! 
Não estude na última da hora; quando se trate de fazer alguma 
avaliação. Aprenda a ser estudante de facto (aquele que estuda 
sistematicamente), não estudar apenas para responder a questões 
de alguma avaliação, mas sim estude para a vida, sobretudo, estude 
pensando na sua utilidade como futuro profissional,na área em que 
está a se formar. 
Organize na sua agenda um horário onde define a que horas e que 
matérias deve estudar durante a semana; face ao tempo livre que 
resta, deve decidir como o utilizar produtivamente, decidindo 
quanto tempo será dedicado ao estudo e a outras actividades. 
É importante identificar as ideias principais de um texto, pois será 
uma necessidade para o estudo das diversas matérias que 
compõem o curso: A colocação de notas nas margens pode ajudar 
a estruturar a matéria de modo que seja mais fácil identificar as 
partes que está a estudar e pode escrever conclusões, exemplos, 
vantagens, definições, datas, nomes, pode também utilizar a 
margem para colocar comentários seus relacionados com o que 
está a ler; a melhor altura para sublinhar é imediatamente a seguir 
à compreensão do texto e não depois de uma primeira leitura; 
utilizar o dicionário sempre que surja um conceito cujo significado 
não conhece ou não lhe é familiar. 
Precisa de apoio? 
Caro estudante, temos a certeza que por uma ou por outra razão, o 
material de estudos impresso, pode suscitar-lhe algumas dúvidas 
como falta de clareza, alguns erros de concordância, prováveis 
erros ortográficos, falta de clareza, fraca visibilidade, página 
trocada ou invertidas, etc.). Nestes casos, contacte os serviços de 
atendimento e apoio ao estudante do seu Centro de Recursos (CR), 
via telefone, SMS, E-mail, Casos Bilhetes, se tiver tempo, escreva 
mesmo uma carta participando a preocupação. 
Uma das atribuições dos Gestores dos CR e seus assistentes 
(Pedagógico e Administrativo), é a de monitorar e garantir a sua 
aprendizagem com qualidade e sucesso. Dai a relevância da 
comunicação no Ensino à Distância (EAD), onde o recurso às TIC se 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 6 
tornam incontornável: entre estudante, estudante – tutor, 
estudante – CR, etc. 
As sessões presenciais são um momento em que caro estudante, 
tem a oportunidade de interagir fisicamente com staff do seu CR, 
com tutores ou com parte da equipa central da UnISCED indigitada 
para acompanhar as suas sessões presenciais. Neste período, pode 
apresentar dúvidas, tratar assuntos de natureza pedagógica e/ou 
administrativa. 
O estudo em grupo, que está estimado para ocupar cerca de 30% 
do tempo de estudos a distância, é de muita importância na medida 
em que permite-lhe situar, em termos do grau de aprendizagem 
com relação aos outros colegas. Desta maneira fica a saber se 
precisa de apoio ou precisa de apoiar aos colegas. Desenvolver 
hábito de debater assuntos relacionados com os conteúdos 
programáticos, constantes nos diferentes temas e unidade 
temática, no manual. 
Tarefas (avaliação e auto-avaliação) 
O estudante deve realizar todas as tarefas (actividades avaliação e 
auto−avaliação), pois, influenciam directamente no seu 
aproveitamento pedagógico. 
Para cada tarefa serão estabelecidos prazos de entrega, e o não 
cumprimento dos prazos de entrega, implica a não classificação do 
estudante. Esteja sempre ciente de que a nota das avaliações conta 
e é decisiva para a admissão ao exame final da disciplina. 
As avaliações são realizadas e submetidas na Plataforma MOODLE. 
Podem ser utilizadas diferentes fontes e materiais de pesquisa, 
contudo os mesmos devem ser devidamente referenciados, 
respeitando os direitos do autor. 
O plágio1 é uma violação do direito intelectual do (s) autor (es). Uma 
transcrição à letra de mais de 8 (oito) palavras do texto de um autor, 
sem o citar é considerada plágio. A honestidade, humildade 
científica e o respeito pelos direitos autorais devem caracterizar a 
realização dos trabalhos e seu autor (estudante da UnISCED). 
Avaliação 
Muitos perguntam: como é possível avaliar estudantes à distância, 
estando eles fisicamente separados e muito distantes do 
docente/tutor!? Nós dissemos: sim é muito possível, talvez seja 
uma avaliação mais fiável e consistente. 
 
1 Plágio - copiar ou assinar parcial ou totalmente uma obra literária, 
propriedade intelectual de outras pessoas, sem prévia autorização. 
 
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 7 
Você será avaliado durante os estudos à distância que contam com 
um mínimo de 90% do total de tempo que precisa de estudar os 
conteúdos do seu manual. Quanto ao tempo de contacto 
presencial, conta com um máximo de 10% do total de tempo do 
manual. A avaliação do estudante consta de forma detalhada do 
regulamento de avaliação. 
As avaliações de frequência pesam 40% e servem de nota de 
frequência para ir aos exames. Os exames são realizados no final da 
disciplina e decorrem durante as sessões online. Os exames pesam 
60%, o que adicionado aos 40% da média de frequência, 
determinam a nota final com a qual o estudante conclui a disciplina. 
É definida a nota de 10 (dez) valores como nota mínima de 
aprovação na disciplina. 
Nesta disciplina, o estudante deverá realizar pelo menos 3 
avaliações escritas sendo e 1 (um) exame final. 
Algumas actividades práticas, relatórios e reflexões serão utilizados 
como ferramentas de avaliação formativa. 
Durante a realização das avaliações, os estudantes devem ter em 
consideração a apresentação, a coerência textual, o grau de 
cientificidade, a forma de conclusão dos assuntos, as 
recomendações, a identificação das referências bibliográficas 
utilizadas, o respeito pelos direitos do autor, entre outros. 
Os objectivos e critérios de avaliação constam do Regulamento ds 
Cursos e Sistemas de Avaliação da UnISCED. 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 9 
TEMA – I: NÚMEROS REA RAIS. 
Unidade 1.1. Conjuntos; 
Unidade 1.2. Conjunto Numéricos; 
Unidade 1.3 Representação Geométrica dos Números Reais; 
Unidade 1.4 Desigualdade. 
UNIDADE Temática 1.1. CONJUNTOS (Noções). 
Introdução 
 
Os fundamentos da teoria dos conjuntos foram lançados no final do 
século XIX, a partir dos trabalhos de George Cantor (1845-1918). A partir 
de então, está teoria passou por um forte processo de 
desenvolvimento, dando suporte a diversos ramos da matemática e 
influenciando outras áreas do conhecimento, dentre elas a Ciência da 
Computação. 
O conceito de conjunto é fundamental para a Ciência da Computação, 
uma vez que grande parte de seus conceitos, construções e resultados 
são escritos na linguagem dos conjuntos ou baseados em construções 
sobre conjuntos (MENEZES, 2008), existindo aplicações em áreas como 
Banco de Dados e Linguagens Formais, por exemplo. 
Nesta Unidade 1.1., introduziremos os principais conceitos da teoria 
dos conjuntos, que serão indispensáveis para estudos posteriores. 
Três noções são consideradas primitivas: Conjunto; elemento; 
pertinência entre elemento e conjunto. 
Conjunto –notação: letras maiúsculas 
Pode ser designada, intuitivamente, como uma coleção de objetos de 
qualquer natureza, considerados globalmente. Em um conjunto, a 
ordem dos elementos não importa e cada elemento deve ser listado 
apenas uma vez. A repetição dos elementos em um conjunto é 
irrelevante 
Elemento-notação: letras minúsculas 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 10 
Os objetos que constituem um conjunto denomina-se elementos do 
conjunto. 
Pertinência ou Pertença - notação: Є 
Relacionam elemento com conjunto. Qualquer objeto que faça parte 
de um conjunto é chamado “membro” ou “elemento” daquele 
conjunto ou ainda é dito pertencer aquele conjunto. Para denotar que 
o elemento x pertence ao conjunto A utiliza-se: X∈A. 
Mais detalhes sobre Conjuntos veja o desenvolvimento a seguir. 
 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
 
 
 
 
 
Objectivos 
específicos 
 
 
▪ Entender e explicar um breve historial sobre a Teoria de Conjuntos; 
▪ Indicar ou mencionar os três elemntos primitivos de conjuntos; 
▪ Ter noções de elementosde um conjunto; 
▪ Ter noções de pertença; 
▪ Ter noções de tipos de Conjuntos; 
▪ Representar um Conjunto; 
▪ Ter noções de Conjuntos numéricos. 
 
 
CONJUNTOS (Noções) 
Se o elemento não pertence ao conjunto A denota-se: X ∉ A 
Ex: Considerando o conjunto D dos dias da semana, temos que: 
segunda feira ∈ D; sábado ∈D; janeiro ∉ D 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 11 
 
REPRESENTAÇÃO 
Um conjunto pode ser representado basicamente de duas maneiras: 
por extensão ou por compreensão. 
Extensão: os elementos são listados exaustivamente, sendo colocados 
entre um par de chaves e separados por vírgulas. Por exemplo, 
D = {segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo} 
Compreensão: em casos em que os números de elementos são 
muitos, devemos optar por descrever o conjunto por meio de uma 
propriedade que caracteriza os seus elementos. De forma geral, 
escreve-se S= {x | P(x)}, onde P(x) representa a propriedade. 
Exemplos: 
a) A = {a, e, i, o, u} 
b) B = {1, 3, 5, 7, ..., 15} 
c) C = {1, 2, 3, 4, 5,...} 
d) D = {n|n=2y, onde y é um número inteiro} 
1. A foi representado por meio da listagem de todos os seus elementos. 
2. B e C, alguns elementos foram omitidos, mas podem facilmente ser 
deduzidos do contexto. Nos três casos, a forma de representação 
utilizada foi a extensão. 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 12 
3. O conjunto D, que corresponde ao conjunto D = {0, 2, 4, 6, 8, ...}, foi 
representado por meio da propriedade comum a seus elementos, o 
que constitui a forma de representação por compreensão. 
Ex1:Descreva cada um dos seguintes conjuntos, listando seus 
elementos: 
• {x|x é a capital do Pará} 
• {y|y é um número primo menor do que 30} 
Ex 2: Descreva cada um dos seguintes conjuntos, através de uma 
propriedade que caracteriza seus elementos: 
• {1,3,5,7,9...} 
b). {1,4,9,16...} 
Alguns Conjuntos Especiais 
Considere a seguinte situação: queremos listar todos os elementos de 
um conjunto A={a|a é um número natural par menor do que 2}. Então, 
quantos elementos o conjunto A possui? A não possui nenhum 
elemento, pois não existe nenhum número natural par que seja menor 
do que 2. Neste caso, dizemos que o conjunto A é vazio, e 
representamos como segue: 
A = { } ou A = ∅ 
E se quiséssemos listar todos os elementos do conjunto B = {b|b é um 
número natural ímpar menor do que 2}, quantos elementos esse 
conjunto teria? Neste caso, B teria apenas um elemento, sendo, por 
isso, chamado de conjunto unitário. B = { 1 } 
CONJUNTO UNITÁRIO é o conjunto que possui apenas um elemento. 
Um conjunto possui um número finito ou infinito de elementos. 
Chamamos de conjunto finito aquele que pode ser descrito por 
extensão, ou seja, é possível listar todos os seus elementos. Um 
conjunto é dito infinito quando não é possível listar exaustivamente 
todos os seus elementos. 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 13 
CONJUNTO UNIVERSO 
Geralmente, o conjunto universo é representado pela letra U, é o 
conjunto que contém todos os conjuntos que estão sendo 
considerados, ou seja, define o contexto da discussão. 
1. Num diagrama de Venn, os elementos de U são geralmente 
representados por pontos internos ao um quadrado(retângulo) e os 
demais são representados por um circulo contidos no 
quadrado/retângulo. 
2. U não é um conjunto fixo e, para qualquer conjunto A, temos : 
 
 
Propriedades dos Conjuntos 
1. Qualquer conjunto é subconjunto do conjunto universo; 
2. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto; 
3. Todo conjunto é subconjunto de si próprio; 
4. Se todo elemento de um conjunto A pertence também a um 
conjunto B, e todo elemento de B pertence a um conjunto C, então 
todo elemento de A pertence a C (propriedade da transitividade). 
RELAÇÕES ENTRE CONJUNTOS 
Já introduzimos a noção de pertinência entre elementos e conjuntos. 
Além desta, outra noção importante é a de continência, a partir da 
qual podemos introduzir os conceitos de subconjuntos e de igualdade 
deconjuntos. 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 14 
Relações de pertinência são estabelecidas entre elemento e conjunto, 
enquanto que as relações de continência são estabelecidas entre 
conjunto e conjunto. 
- SUBCONJUNTOS 
Se e são conjuntos e todo o elemento pertencente a e 
também pertence a , então o conjunto é dito um subconjunto do 
conjunto , denotado por . Note que esta definição inclui o 
caso em que A e B possuem os mesmos elementos, isto é, A = B. Se 
e ao menos um elemento pertencente a não pertence a 
, então é chamado de subconjunto próprio de , denotado por 
. Todo conjunto é subconjunto dele próprio, chamado de 
subconjunto impróprio. 
Sejam dois conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. 
Observe que todos os elementos do conjunto A são também 
elementos do conjunto B. Com a notação A⊂B indicamos que “A” é 
subconjunto de “B” ou “A” está contido em “B” ou “A é parte de B”, ou 
ainda que B contém A, com notação B⊃A. 
A⊂B ↔(∀x)(x ∈A→x∈B) 
Quando A não é um subconjunto de B, ou seja, quando existe pelo 
menos um elemento de A que não pertence a B, indicamos A ⊄ B. 
- IGUALDADE DE CONJUNTOS 
Consideremos os conjuntos A={1, 3, 5} e B={1, 3, 5}. Não é preciso se 
esforçar para perceber que A é um subconjunto de B e B, por sua vez, 
também é subconjunto de A. Neste caso, dizemos que os conjuntos A 
e B são iguais. 
Formalmente, podemos dizer: dois conjuntos A e B são iguais se, e 
somente se, todo elemento de A pertence também a B e, 
reciprocamente, todo elemento de B pertence a A, ou seja: A = B ↔ 
(∀x)((x∈A→x∈B)∧(x∈B →x∈A)) 
CONJUNTO DAS PARTES DE UM CONJUNTO 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 15 
Se tivermos um conjunto de elementos a que chamamos F, o conjunto 
das partes de F será aquele formado por todos os possíveis 
subconjuntos de F e será representado por P(F). Se o conjunto F tem n 
elementos, então o conjunto das partes de F, P(F), terá 2n elementos. 
Exemplo: Sendo F = {3, 5, 9}, vamos escrever todos os possíveis 
subconjuntos de F: 
→ com nenhum elemento Ø 
→ com 1 elemento {3}, {5}, {9} 
→ com 2 elementos {3, 5}, {3, 9}, {5, 9} 
→ com 3 elementos {3, 5, 9} 
Podemos então escrever: P(F) = {Ø, {3}, {5}, {9}, {3, 5}, {3, 9}, {5, 9}, {3, 
5, 9} 
O número de elementos de um conjunto F é denominado ordem do 
conjunto e é indicado por n(F). Repare que no exemplo acima n(F) = 3 
e n (P(F)) = 23 = 8 
CONJUNTO COMPLEMENTAR 
Complementar de B com respeito a A e é representada por = B - 
A. 
No caso dos alunos de uma classe, o conjunto complementar do 
conjunto dos alunos presentes à aula será formado pelos alunos 
ausentes à aula. 
 
RELAÇÃO DE INCLUSÃO 
A relação de inclusão possui 3 propriedades: 
→ Propriedade reflexiva: A  A, isto é, um conjunto sempre é 
subconjunto dele mesmo. 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 16 
→ Propriedade anti-simétrica: se A  B e B  A, então A = B. 
→ Propriedade transitiva: se A  B e B  C, então A  C. 
DIAGRAMAS DE VENN 
Podemos expressar um conjunto através de diagramas de Venn, de 
forma a facilitar o entendimento de definições, o desenvolvimento de 
raciocínios e a compreensão dos componentes e relacionamentos que 
estejam sendo discutidos (MENEZES, 2008). Um diagrama de Venn é 
uma representação pictórica na qual os conjuntos são representados 
por áreas delimitadas por curvas no plano. Lipschutz e Lipson (2004). 
Para seguir este modelo de representação, devemos observar as 
seguintes regras: 
1. O conjunto universo é representado por um retângulo; 
2. Cada um dos demais conjuntos é representado por um círculo (ou 
uma elipse); 
3. Cada conjunto deve ser identificado por uma letra maiúscula; 
A seguir, sãoilustradas algumas situações para que você possa 
entender como utilizar Diagramas de Venn para representar 
conjuntos. Para representar a continência de dois conjuntos, 
construímos uma elipse dentro de outra, como segue: 
 
Figura 1.1: Diagrama de Venn 
A Figura 1.1 representa a relação A⊂B, ou seja A é subconjunto de B. 
Perceba que a elipse que representa o conjunto A está totalmente 
contida na que representa o conjunto B. Isto representa que todos os 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 17 
elementos de A são também elementos de B, conforme a definição de 
subconjunto já apresentada. 
Observe agora a Figura: 
 
Figura 1.2: Diagrama de Venn 
Perceba que as figuras que representam os conjuntos A e B estão 
totalmente separadas. Isto representa que não existem elementos de A 
que sejam também elementos de B. Neste caso, dizemos que A e B são 
conjuntos disjuntos. 
Reflicta: E se quisermos representar dois conjuntos A e B onde seja 
possível que alguns elementos de A não pertençam a B e que alguns 
elementos de B não pertençam a A? 
Neste caso, a representação é como segue: 
 
Figura 1.3: Diagramas de Venn 
Portanto, dados dois conjuntos A e B, como vemos na figura acima, 
podemos estabelecer uma relação entre os respectivos números de 
elementos: 
n (A∪ B) = n (A) + n (B) − n (A∩ B) 
Observe o diagrama e comprove. 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 18 
 
Figura 1.4: Diagramas de Venn 
n(A∪B∪C) = n(A) + n(B)+ n(C) - n(A∩B) - n(A∩C) - n(B∩C) + n(A∩B∩C) 
Conjuntos numéricos: 
Os conjuntos numéricos são os seguintes: naturais, inteiros, racionais, 
irracionais, reais e complexos. 
Figura 1.4: Diagramas de Venn 
 
Sumário 
Nesta Unidade Temática 1.1 sobre noções de CONJUNTO, estudamos: 
1. Introdução ao estudo de Conjuntos; 
2. Representação de Conjuntos; 
3. Conjunto Universo; 
4. Relações entre Conjuntos; 
5. Diagrama de Venn e; 
6. Conjunto Numéricos. 
 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 19 
 
Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO 
 
Indique o que representa conjunto e os respectivos elementos. 
1. As DTS são: HIV/SIDA, gonorreia, sífilis, Herpes Genital, tricomoniose 
e cancro mole. 
2. Os divisores positivos de 15 são: 1; 3; 5 e 15. 
3. Os múltiplos positivos de 5 menores que 21 são: 0; 5; 10; 15 e 20. 
4. Circunferência; triângulo; quadrado e pentágono são figuras 
geométricas planas. 
Indique o valor lógico 
5. Dados os conjuntosA = {2; 3}; B = {−1; 0; 1; 2; 3}; C = {0; 1; 2; … } 
Escreva simbolicamente e indique o valor lógico às seguintes 
proposições: 
a) 2 Pertence a A 
b) 0 é elemento de B 
c) -9 não é elemento de A 
d) A contém B 
e) 1 não pertence ao conjunto C 
f) C não contém A 
g) C é contido em B 
h) C tem 8 elementos 
 
Respostas 
1. 
Conjunto: DTS. 
Elementos: Gonorreia, sífilis, Herpes Genital, tricomoniose e cancro 
mole. 
2. 
Conjuntos: Divisores positivos de 15. 
 
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 20 
Elementos: 1; 3; 5; e 15. 
3. 
Conjunto: Os múltiplos positivos de 5 menores que 21. 
Elementos: 0; 5; 10; 15 e 20. 
4. 
Conjuntos: Figuras geométricas planas. 
Elementos: Triângulo; quadrado e pentágono. 
5. 
A = {2; 3}; B = {−1; 0; 1; 2; 3}; C = {0; 1; 2; … } 
a) 2∈A é V 
b) 0 ∈B é V 
c) -9∉ Aé V 
d) A ⊃B é F 
e) 1∉C é F 
f) C ⊅A é F 
g) C ⊂B é F 
h) #(C) = 8é F 
i) #( 𝓅(A)) = 4é V 
j) A é igual a C é F 
k) A ⊄C é F 
l) B⊃C é F 
 
 
GRUPO-1 (Com respostas detalhadas). 
1. De quantas maneiras pode ser representado um Conjunto? 
Quais são? Exemplifique (pelo menos três exemplos de cada). 
2. Dê exemplo de Conjuntos especiais. 
3. Construa um Conjunto Universo, indicando seus subconjuntos. 
4. Quando é que dois conjuntos são iguais? Ilustre com pelo menos 
dois exemplos. 
5. O que entende pelo conceito “Conjunto das partes de um 
Conjunto” ? Exemplifique. 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 21 
6. Dê pelo menos quatro exemplos de Conjuntos 
Complementares. 
7. Quais são a propriedades de Inclusão de Conjuntos? Sustente a 
sua resposta com três exemplos para cada propriedade. 
8. Construa dois Conjuntos que se interseptam e represente-os 
em Diagrama de Venn. 
9. Mencione os conjuntos numéricos em ordem lógica do seu 
surgimento ou de arrumação. 
 
Respostas: 
1. Revisitar a página 11. 
2. Revisitar a página 13. 
3. Revisitar a pagina 13. 
4. Revisitar a página 15. 
5. Revisitar a página 15. 
6. Revisitar as páginas 15 e 16. 
7. Revisitar a página 16. 
8. Revisitar as páginas de 16 a 18. 
9. Revisitar a página 18. 
 
 
Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO 
GRUPO-2 (Com respostas sem detalhes) 
Neste grupo de exercicios vamos aprender um pouco a respeito de conjuntos, 
suas notações matemáticas e por fim vamos trazer alguns exercícios 
resolvidos passo a passo para o seu melhor entendimento e fixação do 
assunto, então mão a obra! 
A notação padrão para representação de um conjunto é dado pelos seus 
elementos separados por virgulas cuja delimitação e feito através do uso de 
chaves, abaixo temos o exemplo de um conjunto A, que é composto somente 
por números pares. 
A = {2, 4, 6, 8} 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 22 
Pertinência/Pertença: É a relação utilizada para relacionar determinado 
elemento ao conjunto em questão. 
Símbolos utilizados para representar essa relação: 
∈ → Pertence ; 
∉ → Não pertence; 
Por exemplo: 
2 ∈ A e 7 ∉ A 
Acontece quando um conjunto possui somente um elemento, exemplo: B = 
{1} 
É o tipo de conjunto que não possui nenhum elemento, sua representação 
pode se dar das seguintes formas: 
{} ou ∅ 
Importante lembrar: Que todo conjunto possui como subconjunto o conjunto 
vazio. 
Dizemos que A é um subconjunto de B quando todos os elementos existentes 
em A também pertencerem ao conjunto B. 
Ou seja A esta contido em B ou em outras palavras B contém A. 
 
 
 
 
Exemplo1: 
 
A = {2, 4, 6, 8} 
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 23 
Assim tempos a seguinte representação: 
A ⊂ B → A está contido B ou A é subconjunto de B 
B ⊃ A → B contém A 
Além desses dois símbolos de relacionamentos, temos outros como: 
⊅ → Não contém; 
⊄ → Não está contido ou não é subconjunto de; 
Operações com conjuntos 
• União 
 
A ∪ B → A União B, é o conjunto formado pelos os elementos que pertencem 
ao menos a um dos conjuntos, podendo ser definida por {x, x ∈ A ou x ∈ B} 
 
Exemplo 2: Qual o resultado de A ∪ B, tendo como conjunto A = {2, 4, 6} e 
B = {1, 2, 3, 4, 5} 
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6 
 
 
 
 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 24 
• Interseção 
 
Diferentemente do que acontece na união, onde o conjunto é formado pelos 
elementos pertencentes ao menos a um dos conjuntos, na interseção o 
conjunto A ∩ B é composto por elementos que pertencem tanto ao conjunto 
A e B., podendo ser definida por {x, x ∈ A e x ∈ B}. 
Exemplo 3: Qual o resultado de A ∩ B, sendo A = {2, 4, 6} e B = {1, 2, 3, 4, 5} 
A ∩ B = {2, 4} 
• Diferença 
 
A – B = {x, x ∈ A e x ∉ B}, ou seja, é a diferença de dois conjuntos A e B formado 
pelos elementos existentes em A que não estão em B. 
Exemplo : Qual o resultado de A – B, sendo A = {2, 4, 6} e B = {1, 2, 3, 4, 5} 
A – B = {6}; 
N: Conjunto dos números naturais, exemplo N={0, 1, 2, 3, …} 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 25 
Z: Conjunto dos números inteiros, exemplo Z={…, -2, -1, 0, 1, 2,…} 
R; Conjunto dos números reais, exemplo R={-∞ , +∞} 
Poblemas Resolvidos 
• Problema 1 - Em uma classe de 150 alunos, 80 gostam de matemática, e 30 
de física,sabendo que 10 gostam de física e matemática, quanto não gostam 
nem de física e nem de matemática? 
Solução: Neste tipo de exercício, a resolução fica mais fácil e rápida utilizando 
o diagrama de Veen, que são representados por círculos conforme exemplos 
anteriores, mas antes vale a pena descrever e encontrar algumas informações 
que o exercício nos fornece que é: 
Total de alunos = 150 
Gostam de matematica = 80 
Gostam de física = 30 
Gostam de física e matemática = 10 
Assim temos: 
 
Como vemos no diagrama acima, fica mais fácil de entender, ou seja, desta 
sala 70 gostam somente de matemática, outros 20 somente de física e ainda 
outros 10 que gostam de ambas, realizando a soma desses três conjuntos de 
alunos temos o seguinte: 70+20+10 = 100 
Ou seja, desse 150 alunos 100 gostam de física, de matemática ou de ambas 
as disciplinas, agora fazendo a seguinte conta 150 – 100, concluímos que 50 
alunos não gostam nem de física nem de matemática. 
Desta forma o total de alunos que não gostam nem de física e nem de 
matemática, é 50 ! 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 26 
 
• Problema 2 - Qual o resultado de (A-B) ∩ C , sendo A = {2, 4, 6}, B = {1, 2, 3, 
4, 5} e C = {2, 5, 6, 7, 10} 
Solução: Esse problema pode ser solucionado também utilizando o diagrama 
de Venn como feito no anterior, mas favos fazer de forma direta, para você 
pode entender. 
Primeiro passo: (A-B) 
Como vimos anteriormente na definição para diferença, que o resultado de A-
B é a diferença de dois conjuntos A e B formado pelos elementos existentes 
em A que não estão em B. 
Assim A – B = {6} 
Segundo passo: Como já sabemos que o resultado de A-B é {6}, agora 
realizamos a segundo operação que é {6} ∩ C. 
Lembrando que na interseção o conjunto A ∩ B é composto por elementos 
que pertencem tanto ao conjunto A e B, e como temos {6} ∩ {2, 5, 6, 7, 10} a 
resposta para o nosso exercício é conjunto unitário, ou seja, {6}. 
É isso amigos e amigas, espero que tenham gostado e principalmente 
entendido, e como sempre digo e comento, o importante agora é praticar, 
aproveite e tente resolver sozinho esse último exemplo aplicando o diagrama 
de Venn. Bons estudos a todos 
 
 
GRUPO-3 (Exercícios de GABARITO) 
 
 
Problemas NÃO Resolvidos 
1.Qual o resultado de A ∪ B, tendo como conjuntos A = {1, 3, 4, 6} e B = {1, 2, 
3, 4, 5, 6, 7, 9} 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 27 
2.Seja uma Interseção de Cnjuntos. 
 
Qual o resultado de A ∩ B, sendo A = {1, 3, 4, 6, 7} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 8}. 
Represente em diagram de Vdenn. 
3.Considere a Diferença de Conjuntos 
 
4.Qual o resultado de A – B, sendo A = {0, 1, 2, 4, 6, 7} e B = {1, 2, 3, 4, 5} 
A – B = {6}; 
 
Conjuntos Numéricos 
• Problema 1 - Numa sala de aulas com 150 alunos, dos quais 70 gostam de 
matemática, e 40 de física, sabendo que 15 gostam de física e matemática, 
quanto não gostam nem de física e nem de matemática? Ilistre num 
diagram de Venn. 
Problema 02 - Qual o resultado de (A-B) ∩ C , sendo A = {2, 4, , 5, 6, 8}, B = 
{0, 2, 3, 4, 5} e C = {0, 2, 3, 5, 6, 7} 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 29 
UNIDADE Temática 1.2. Conjuntos Numéricos 
Introução 
 
A concepção do conjunto numérico pode ser compreendida a partir da 
compreensão de um conjunto (revide a Unidade temática 1.1 anterior). 
Os conjuntos numéricos foram concebidos na medida em que iam 
surgindo mudanças na matemática. 
Para desenvolver a matemática hoje estudada, inúmeras mudanças na 
organização de todos os conceitos matemáticos foram necessárias. A 
concepção dos conjuntos numéricos recebeu maior rigor em sua 
construção com Georg Cantor, que pesquisou a respeito do número 
infinito. Cantor iniciou diversos estudos sobre os conjuntos numéricos, 
constituindo, assim, a teoria dos conjuntos. 
A construção de todos os conjuntos numéricos que hoje possuímos 
parte de números inteiros usados apenas para contar até os números 
complexos que possuem vasta aplicabilidade nas engenharias, nas 
produções químicas, entre outras áreas. Definir conjunto é algo tão 
primitivo que se torna uma tarefa difícil. Entretanto, compreendemos 
conjunto como uma coleção de objetos, números, enfim, elementos 
com características semelhantes. 
Sendo assim, os conjuntos numéricos são compreendidos como os 
conjuntos dos números que possuem características semelhantes. 
Nesta seção, a concepção desses conjuntos será abordada, visando à 
compreensão dos elementos que constituem cada um dos conjuntos 
numéricos. 
Nesta Unidade Temática analisaremos e debateremos os seguintes 
conjuntos numéricos: 
1. Conjunto dos números Naturais ( ); 
2. Conjunto dos números Inteiros ( ); 
3. Conjunto dos números Racionais ( ); 
4. Conjunto dos números Irracionais ( ); 
5. Conjunto dos números Reais ( ); 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 30 
6. Conjunto dos números Complexos ( ); 
Este último conjunto numérico possui uma secção especial para ele 
(Números Complexos). 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
Objectivos 
específicos 
 
 
 
▪ Definir e dar exemplos: de Conjuntos numéricos; 
▪ Representar: Conjuntos numéricos; 
▪ Explicar a breve resenha histórica: do números 
Naturais; 
▪ Consolidar e ter domínio: das propriedades das 
Operações com números dos diferentes conjuntos; 
▪ Ter domínio das Prioridades das Operações: nos 
diferentes conjunto numéricos. 
 
Conjuntos dos números 
Os números naturais: o conjunto 
= {1,2,3,4,5,6, ... , 19,20, ... , 1001, 1002, ... , 10000001, ... } 
Notas elucidativas: 
• Os números naturais surgiram da necessidade de contagem dos 
elementos de um conjunto pelo homem primitivo e, neste sentido, o 
zero ( 0 ) não seria um número natural. 
• Por volta do ano 458 DC, o zero foi introduzido pelos hindus, para 
representar a coluna vazia dos ábacos, daí sua denominação original de 
sunya (vazio). 
Ábaco - segundo o dicionário Melhoramentos - 7ª edição: calculador 
manual para aritmética, formado de um quadro com vários fios 
paralelos em que deslizam botões ou bolas móveis. 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 31 
Veja a ilustração a seguir, obtida no Museo Pedagógico José Pedro 
Varela - poeta e educador uruguaio 1845 - 1879. Caso você visite o site 
acima, para retornar à esta página, clique em VOLTAR no seu browser. 
 
Nota: observe acima à direita, a linha vazia no ábaco, significando o 
zero. 
• no entanto, como o zero atende às propriedades básicas dos números 
naturais, ele pode ser considerado um número natural, não obstante a 
premissa contrária não conflitar a teoria. Assim, não deveremos 
estranhar quando aparecer em provas de vestibulares o conjunto N 
como sendo N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }, definindo-se um outro conjunto 
sem o zero: 
N* = N - {0} = {1,2,3,4, ... }. Como esta forma de abordagem é a mais 
usual, consideraremos o zero como sendo um número natural, no que 
se segue. 
Ao agrupamento de elementos com características semelhantes damos 
o nome de conjunto. Quando estes elementos são números, tais 
conjuntos são denominados conjuntos numéricos. 
Neste tópico estudaremos os cinco conjuntos numéricos 
fundamentais, que são os conjuntos numéricos mais amplamente 
utilizados. 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 32 
Conjunto dos Números Naturais 
Em algum momento da sua vida você passou a se interessar por 
contagens e quantidades. Talvez a primeira ocorrência desta 
necessidade, tenha sido quando lá pelos seus dois ou três anos de idade 
algum coleguinha foilhe visitar e começou a mexer em seus brinquedos. 
Provavelmente, neste momento mesmo sem saber, você começou a se 
utilizar dos números naturais, afinal de contas era necessário garantir 
que nenhum dos seus brinquedos mudasse de proprietário e mesmo 
desconhecendo a existência dos números, você já sentia a necessidade 
de um sistema de numeração. 
Em uma situação como esta você precisa do mais básico dos conjuntos 
numéricos, que é o conjunto dos números naturais. Com a utilização 
deste conjunto você pode enumerar brinquedos ou simplesmente 
registrar a sua quantidade, por exemplo. 
Este conjunto é representado pela letra N ( ). Abaixo temos uma 
representação do conjunto dos números naturais: 
 
As chaves ou Chavetas são utilizadas na representação para dar ideia 
de conjunto. Os pontos de reticência dão a ideia de infinidade, já que os 
conjuntos numéricos são infinitos. 
Este conjunto numérico inicia-se em zero e é infinito, no entanto 
podemos ter a representação de apenas um subconjunto dele. A seguir 
temos um subconjunto do conjunto dos números naturais formado 
pelos quatro primeiro múltiplos de sete: 
 
Para representarmos o conjunto dos números naturais, ou qualquer um 
dos outros quatro conjuntos fundamentais, utilizamos o caractere 
asterisco após a letra, como em . Temos então que: 
Conjunto dos Números Inteiros 
Mais adiante na sua vida em uma noite muito fria você tomou 
conhecimento da existência de números negativos, ao lhe falarem que 
naquele dia a temperatura estava em dois graus abaixo de zero. Curioso 
você quis saber o que significava isto, então alguém notando o seu 
interesse, resolveu lhe explicar: 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 33 
Hoje no final da tarde já estava bastante frio, a temperatura girava em 
torno dos 3° C, aí ela desceu para 2° C, continuou esfriando e ela 
abaixou para 1° C e uma hora atrás chegou a 0° C. Se a temperatura 
continuava a abaixar e já havia atingido o menor dos números naturais, 
como então representar uma temperatura ainda mais baixa? 
Com exceção do zero, cada um dos números naturais possui um 
simétrico ou oposto. O oposto do 1 é o -1, do 2 o -2 e assim por diante. 
O Sinal "-" indica que se trata de um número negativo, portanto menor 
que zero. Os números naturais a partir do 1 são por natureza positivos 
e o zero é nulo. 
O zero e os demais números naturais, juntamente com os seus opostos 
formam um outro conjunto, o conjunto dos números inteiros e é 
representando pela letra Z ( ). 
A seguir temos uma representação do conjunto dos números inteiros: 
Note que diferentemente dos números naturais, que embora infinitos 
possuem um número inicial, o zero, os números inteiros assim como os 
demais conjuntos numéricos fundamentais não têm, por assim dizer, 
um ponto de início. Neste conjunto o zero é um elemento central, pois 
para cada número à sua direita, há um respectivo oposto à sua 
esquerda. 
Utilizamos o símbolo para indicar que um conjunto está contido em 
outro, ou que é um subconjunto seu, como o conjunto dos números 
naturais é um subconjunto do conjunto dos números inteiros, temos 
que . 
Podemos também dizer que o conjunto dos números inteiros contém ( 
) o conjunto dos números naturais ( ). 
Como supracitado podemos escrever para representarmos o 
conjunto dos números inteiros, mas sem considerarmos o zero: 
 
Com exceção do conjunto dos números naturais, com os demais 
conjuntos numéricos fundamentais podemos utilizar os caracteres "+" 
e "-" como abaixo: 
 
 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 34 
 
Note também que e que . 
 
Conjunto dos Números Racionais 
Esperto por natureza você percebeu que havia mais alguma coisa além 
disto. No termômetro você viu que entre um número e outro existiam 
várias marcações. Qual a razão disto? 
Foi-lhe explicado então que a temperatura não muda abruptamente de 
20° C para 21° C ou de -3° C para -4° C, ao invés disto, neste termômetro 
as marcações são de décimos em décimos. Para passar de 20° C para 
21° C, por exemplo, primeiro a temperatura sobe para 20,1° C, depois 
para 20,2° C e continua assim passando por 20,9° C e finalmente 
chegando em 21° C. Estes são números pertencentes ao conjunto dos 
números racionais. 
Números racionais são todos aqueles que podem ser expressos na 
forma de fração. O numerador e o denominador desta fração devem 
pertencer ao conjunto dos números inteiros e obviamente o 
denominador não poderá ser igual a zero, pois não há divisão por zero. 
O número 20,1 por exemplo, pode ser expresso como , assim como 
0,375 pode ser expresso como e 0,2 por ser representado por . 
Note que se dividirmos quatro por nove, iremos obter 0,44444... que é 
um número com infinitas casas decimais, todas elas iguais a quatro. 
Trata-se de uma dízima periódica simples que também pode ser 
representada como , mas que apesar disto também é um número 
racional, pois pode ser expresso como . 
O conjunto dos número racionais é representado pela letra Q ( ). 
O conjunto dos números inteiros é um subconjunto do conjunto dos 
números racionais, temos então que . 
Facilmente podemos intuir que representa o conjunto dos números 
racionais negativos e que representa o conjunto dos números 
racionais positivos ou nulo. 
Abaixo temos um conjunto com quatro elementos que é subconjunto 
do conjunto dos números racionais: 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 35 
 
A realização de qualquer uma das quatro operações aritméticas entre 
dois números racionais quaisquer terá como resultado também um 
número racional, obviamente no caso da divisão, o divisor deve ser 
diferente de zero. Sejam a e b números racionais, temos: 
 
 
Conjunto dos Números Irracionais 
Então mais curioso ainda você perguntou: "Se os números racionais são 
todos aqueles que podem ser expressos na forma de fração, então 
existem aqueles que não podem ser expressos desta forma?" 
Exatamente, estes números pertencem ao conjunto dos números 
irracionais. Provavelmente os mais conhecidos deles sejam o número PI 
( ), o número de Euler ( ) e a raiz quadrada de dois ( ). Se você se 
dispuser a calcular tal raiz, passará o restante da sua existência e jamais 
conseguirá fazê-lo, isto porque tal número possui infinitas casas 
decimais e diferentemente das dízimas, elas não são periódicas, não 
podendo ser expressas na forma de uma fração. Esta é uma 
característica dos números irracionais. 
A raiz quadrada dos números naturais é uma ótima fonte de números 
irracionais, de fato a raiz quadrada de qualquer número natural que não 
seja um quadrado perfeito é um número irracional. é um número 
irracional, pois 120 não é um quadrado perfeito, ou seja, não há um 
número natural que multiplicado por ele mesmo resulte em cento e 
vinte, já é um número natural, pois . 
A letra I ( ) representa o conjunto dos número irracionais. 
Utilizando o caractere especial "*", por exemplo, podemos representar 
o conjunto dos números irracionais desconsiderando-se o zero por . 
O conjunto abaixo é um subconjunto do conjunto dos números 
irracionais: 
 
Diferentemente do que acontece com os números racionais, a 
realização de qualquer uma das quatro operações aritméticas entre 
dois números irracionais quaisquer não terá obrigatoriamente como 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 36 
resultado também um número irracional. O resultado poderá tanto 
pertencer a , quanto pertencer a . 
 
Conjunto dos Números Reais 
Acima vimos que um número natural também é um número inteiro ( 
), assim como um número inteiro também é um número 
racional ( ), portanto . 
Vimos também que os números racionais não estão contidos no 
conjunto dos números irracionais e vice-versa. A intersecção destes 
conjuntos resulta no conjunto vazio: 
A intersecção é uma operação por meio da qual obtemosum conjunto 
de todos os elementos que pertencem simultaneamente a todos os 
conjuntos envolvidos. Sejam dois conjuntos e 
, a intersecção entre estes dois conjuntos será 
. 
O conjunto dos números reais é representado pela letra R ( ) e é 
formado pela união do conjunto dos números racionais com o conjunto 
dos irracionais, que simbólicamente representamos por: 
. 
A união é uma operação por meio da qual obtemos um conjunto de 
todos os elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos 
envolvidos. Sejam dois conjuntos e 
, a união entre estes dois conjuntos será 
. 
O conjunto dos números racionais está contido no conjunto dos 
números reais ( ), assim como o conjunto dos números 
irracionais também é subconjunto do conjunto dos números reais ( 
). 
Através dos caracteres especiais "+" e "*", por exemplo, podemos 
representar o conjunto dos números reais positivos por . 
Abaixo temos um exemplo de conjunto contendo número reais: 
 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 37 
Conjuntos Numéricos Fundamentais em Diagrama 
Abaixo temos a representação dos conjuntos numéricos fundamentais 
em um diagrama de Venn. 
 
Através deste diagrama podemos facilmente observar que o conjunto 
dos números reais ( ) é resultado da união do conjunto dos números 
racionais como o conjunto dos números irracionais ( ). 
Observamos também que o conjunto dos números inteiros está contido 
no conjunto dos números racionais ( ) e que os números 
naturais são um subconjunto do números inteiros 
( ). 
Como podemos ver, os diagramas nos ajudam a trabalhar mais 
facilmente com conjuntos. Ainda neste diagrama rapidamente 
identificamos que os números naturais são também números reais 
( ), mas não são números irracionais ( ), isto porque o 
 conjunto dos números irracionais não contém o conjunto dos números 
naturais ( ), mas sim o conjunto números dos racionais que os 
contém ( ), assim como o conjuntos dos números reais ( 
) e dos inteiros ( ). 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 38 
 SUMÁRIO 
Nesta Unidade temática 1.2. analisamos e discutimos dentre outros 
assuntos, os seguintes: 
1.Breve historial dos conjuntos numéricos; 
2.Os cinco conjunto numéricos fundamentais; 
3. Fizemos a sistematização dos cinco conjuntos numéricos num único 
diagrama. 
 
 
Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO 
1) A quais conjuntos numéricos fundamentais não pertence o número 
? 
 2) A quais conjuntos numéricos fundamentais não pertence o 
número ? 
 3) Existe raiz quadrada de número primo que não seja irracional? 
 4) Se a e b são números pertencentes a e , a quais 
conjuntos numéricos fundamentais podemos afirmar com certeza que 
x pertence, quaisquer que sejam os valores de a e b? 
 5) Se A é um subconjunto de e B está contido em , a intersecção 
destes conjuntos possui infinitos elementos? 
 6) Se e , tem-se que ? 
 
RESPOSTAS 
1. Sabemos que é igual a 8. 
A trabalharmos com conjuntos utilizamos o símbolo para indicar que 
um elemento pertence a um conjunto, assim como utilizamos o símbolo 
para indicar que um elemento não pertence a um determinado 
conjunto. Assim sendo temos: 
(oito pertence ao conjunto dos números naturais), pois como 
sabemos 8 é um número natural; 
http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentaisExercicios.aspx#anchor_ex1
http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentaisExercicios.aspx#anchor_ex1
http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentaisExercicios.aspx#anchor_ex2
http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentaisExercicios.aspx#anchor_ex2
http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentaisExercicios.aspx#anchor_ex3
http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentaisExercicios.aspx#anchor_ex4
http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentaisExercicios.aspx#anchor_ex4
http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentaisExercicios.aspx#anchor_ex4
http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentaisExercicios.aspx#anchor_ex5
http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentaisExercicios.aspx#anchor_ex5
http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentaisExercicios.aspx#anchor_ex6
http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentaisExercicios.aspx#anchor_ex1
http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentaisExercicios.aspx#anchor_ex2
http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentaisExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentaisExercicios.aspx#anchor_ex3
http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentaisExercicios.aspx#anchor_ex4
http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentaisExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentaisExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentaisExercicios.aspx#anchor_ex5
http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentaisExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentaisExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentaisExercicios.aspx#anchor_ex6
http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentaisExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentaisExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentaisExercicios.aspx
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 39 
(oito pertence ao conjunto dos números inteiros), pois é sabido 
que os números naturais são um subconjunto dos números inteiros, 
sabemos que ; 
(oito pertence ao conjunto dos números racionais), pois 
podemos representar 8 como que é uma fração com numerador e 
denominador pertencentes ao conjunto dos números naturais, 
condição necessária para que um número pertença ao conjunto dos 
números racionais. 
(oito não pertence ao conjunto dos números irracionais), pois 
como 64 é um número natural que é também um quadrado perfeito, 
não é um número irracional, pois . De fato 8 ou jamais 
poderiam ser irracionais, pois como visto acima, eles são racionais ( 
) e nenhum número racional é também irracional e vice-versa. 
(oito pertence ao conjunto dos números reais), pois o conjunto 
dos números racionais é um subconjunto dos números reais ( 
). 
Através do diagrama visto na parte teórica, facilmente podemos 
resolver este problema de forma visual ao identificarmos que (ou 8) 
é um número natural. 
Portanto: 
não pertence ao conjunto dos números irracionais 
( ). 
2. Sabemos que 63 embora seja um número natural, não é um quadrado 
perfeito, nestas condições a sua raiz quadrada será um número 
irracional. 
Também sabemos que , que e que 
( veja na parte teórica ), ou em outras palavras que, 
embora também sejam números reais, os números irracionais não são 
racionais, nem inteiros e nem naturais. 
Logo: 
não pertence ao conjunto dos números racionais ( ), inteiros 
( ) e naturais ( ). 
 
http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentais.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentais.aspx
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 40 
 
3.Vimos que a raiz quadrada de um número natural pode ser tanto 
natural, quanto irracional, mas para que a raiz seja natural, o número 
deve ser um quadrado perfeito. 
Para que um número seja primo é preciso que além de natural ele 
possua exatamente apenas dois divisores distintos, o número um e ele 
próprio. 
Falando em termos de conjuntos, a intersecção do conjunto dos 
números primos com o conjunto natural dos quadrados perfeitos é igual 
ao conjunto vazio ( ), ou seja, um número primo não pode ser um 
quadrado perfeito e vice-versa. 
Assim sendo:Não existe raiz quadrada de número primo que não seja irracional. 
 
4.A partir do enunciado, podemos chamar de A o conjunto ao qual x 
pertence e representá-lo por 
Sabemos que, dentre outras formas, podemos representar o conjunto 
dos números racionais por 
Como podemos observar, A é um subconjunto de , isto é, 
Sabemos também que 
Assim sendo: 
Podemos afirmar com certeza que e . 
 
5.Do enunciado temos que: 
 
É sabido que tal como óleo e água, os elementos dos conjuntos dos 
números racionais e irracionais não se misturam, ou seja, a intersecção 
entre ele é o conjunto vazio, pois não há um único número sequer que 
http://www.matematicadidatica.com.br/NumerosPrimos.aspx
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 41 
sendo racional seja também irracional e vice-versa, os elementos destes 
conjuntos são mutuamente exclusivos: 
Portanto: 
A intersecção entre os conjuntos A e B não possui infinitos 
elementos. 
6.A intersecção entre dois conjuntos onde um conjunto está contido no 
outro é o próprio conjunto que está contido, como , temos que 
, logo 
A diferença entre conjuntos difere da operação de intersecção. A 
diferença entre os conjuntos e é o conjunto de todos os elementos 
que pertencem ao conjunto e que não pertencem ao conjunto , que 
obviamente é o próprio , pois em não há qualquer número 
irracional, logo 
Então e como já aprendemos que , 
temos que: 
Sim, tem-se que . 
 
 
Unidade Temática 1.3. Representação 
Geométrica dos Números Reais. 
ntroução 
 
 
Nesta unidade temática o estudante vai ter a oportunidade de entender e 
compreender que é possível escrever números utilizando grupos de sinais iguais entre 
si, tantas quantas são as unidades do número. Por exemplo, nos dados os números 
são representados por pontos ou circulos. 
A representação dos números com pontos foi antigamente uma ciência: a ciência dos 
números figurados dos pitagóricos. Os pitagóricos chamavam aos números: 
triângulares, quadrados, cubos, etc., consoante os pontos que os representavam, 
regularmente distribuídos, se podiam compôr um triângulo «isósceles», um quadrado 
ou um cubo. 
Alguns raciocínios relacionados com números pitagóricos aparecem ligados ao 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 42 
conceito de séries numéricas, cujos exemplos merecerão analise e discussão no 
desenvolvimento desta unidade 1.3. 
 
 
 
 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
 
Objectivos 
específicos 
 
▪ Entender: a exisência de números triangulares; 
▪ Entender: a exisência de números quadrados; 
 
 
 
 
NÚMEROS TRIÂNGULARES 
Em ligação com a geometria, Pitágoras conheceu os números triângulares, que são 
números que se podem expressar em forma de triângulos. 
 
Quais seriam os três números seguintes? 
Se olharmos para o quarto triângulo verifica-se que cada "linha" contém um ponto a ma 
que a anterior. 
Suponhamos então que a última "linha" do triângulo não continho quatro pontos, mas n. 
A penúltima "linha" continha (n-1), a seguinte (n-2), e assim por diante até chegar 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 43 
ao vértice, com 1 ponto. Este problema é o mesmo que somar os primeiros n números 
 inteiros, ou seja, obter a soma 1 + 2 + 3 + 4 + ... +(n-2) + (n-1) + n 
Trata-se portanto de calcular esta soma. 
 
 
 
Sumário 
Nesta Unidade Temática 1.3. mereceu atenção o estudo dos seguintes 
tópicos: 
Números Triangulares; 
Números quadrados. 
 
 
Unidade 1.3. Desigualdades. 
Introução 
 
Em matemática, desigualdade é uma expressão que estabelece uma 
relação de ordem entre dois elementos. Nos números reais, esta 
relação é representada pelos símbolos , significando, 
menor, menor ou igual, maior, maior ou igual, respectivamente. De 
forma mais geral, também podem ser incluídas nas desigualdades 
expressões contendo a relação de diferença . 
São exemplos de desigualdades os seguintes: 
• Desigualdade das médias, que afirma que a média aritmética é 
maior ou igual a média geométrica e esta, maior ou igual a 
média harmônica para números reais positivos. 
• Desigualdade triangular, que afirma que ao medida de um lado 
de um triângulo é sempre menor que a soma das medidas dos 
outros dois lados do mesmo triângulo. 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
http://pt.wikipedia.org/wiki/Express%C3%A3o_matem%C3%A1tica
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_reais
http://pt.wikipedia.org/wiki/Desigualdade_das_m%C3%A9dias
http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9dia_aritm%C3%A9tica
http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9dia_geom%C3%A9trica
http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9dia_harm%C3%B4nica
http://pt.wikipedia.org/wiki/Desigualdade_triangular
http://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 44 
Com esta Unidade Temática 1.3. pretendemos apresentar com 
demonstrações algumas desigualdades que tornem o estudante apto a 
resolver um conjunto amplo de problemas de matemáticos. 
 
Contudo em certas passagens, algum conhecimento de cálculo 
infinitesimal será útil, ainda que não imprescindível. Por outro lado 
privilegiamos, mais o recurso aos argumentos geométricos euclidianos 
em detrimento do formalismo matemático, onde muitas das vezes não 
se tem em conta o quotidiano do aluno. 
 
 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
Objectivos 
específicos 
 
 
▪ Estudar: Analisar e discutir sobre a Desigualdades das médias; 
▪ Estudar: Analisar e discutir sobre a Desigualdades triangulares; 
 
 
Desigualdade das médias 
A desigualdade das médias afirma que a média aritmética é maior ou 
igual à média geométrica e esta maior ou igual à média harmônica. 
Mais precisamente falando, seja um conjunto não 
vazio de números reais positivos então: 
 
Onde 
 
e 
 
http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9dia_aritm%C3%A9tica
http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9dia_geom%C3%A9trica
http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9dia_harm%C3%B4nica
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 45 
 
Demonstração do caso n=2 
Queremos mostrar que: 
 
Como e são reais, temos: 
 
Expandindo, temos: 
 
Somando , obtemos: 
 
Reagrupando: 
 
Como são números positivos, podemos tomar a raiz quadrada e dividir 
por 2: 
 
A primeira desigualdade segue. Para mostrar a segunda, escreva esta 
última como: 
 
Multiplique ambos os lados por : : 
 
E observe que esta é justamente a desigualdade que procuramos, 
pois: 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 46 
 
E o resultado segue. 
Demonstração no caso 
Queremos a igualdade para , com k inteiro positivo. 
Procederemos por indução em k: O caso k=1, já foi demonstrado. 
Suponha então que a desigualdade é valida para um certo k positivo, 
escreva para : 
 
Aplique a desigualdade da média com dois elementos: 
 
Agora, aplique a desigualdade para n elementos em cada um dos 
termos: 
 
E assim, conclua: 
 
E a primeira desigualdade segue pois 
Usemos o mesmo procedimento para demonstrar a segunda 
desigualdade: 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Indu%C3%A7%C3%A3o_matem%C3%A1tica
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 47 
 
 
 
 
E a segunda desigualdade segue. 
Demonstração do caso geral 
Completaremos a demonstração, mostrando que se a desigualdade for 
válida para n termos, então também é válida para n-1 termos. 
Suponha, então, que a desigualdade é válida para um número inteiro n 
maior que 1, ou seja: 
 
Escreva: 
• 
• 
• 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Demonstra%C3%A7%C3%A3o
http://pt.wikipedia.org/wiki/Desigualdade
http://pt.wikipedia.org/wiki/Desigualdade
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_inteiro
 
UnISCED MATEMÁTICAAPLICADA 
 48 
Queremos mostrar que 
Substitua 
 
Observe que: 
 
Assim temos, da primeira desigualdade: 
 
Rearranjando, temos: 
 
A segunda desigualdade diz: 
 
O que equivale a: 
 
ou: 
 
Equivalente a: 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Desigualdade
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 49 
 
O que completa a demonstração. 
 
 
A desigualdade triangular nos números reais (ou em IR). 
A desigualdade triangular tem origem na geometria euclidiana e refere-
se ao teorema que afirma que, num triângulo, a medida do 
comprimento de um dos lados é sempre inferior à soma das medidas 
dos comprimentos dos outros dois lados. No texto clássico Os 
Elementos, de Euclides, este teorema é a Proposição 20 do Livro I Não 
é mais que uma reformulação do conceito intuitivo de que é mais curto 
o caminho ou segmento entre A e B (veja a fig a baixo) que o caminho 
de A até C somado ao de C até B. 
 
Em matemática, desigualdade é uma expressão que estabelece uma 
relação de ordem entre dois elementos. Nos números reais, esta 
relação é representada pelos símbolos, significando, menor, menor ou 
igual, maior ou igual, maior, respectivamente. 
No conjunto dos números reais, chamamos de desigualdade triangular, 
em analogia ao caso da geometria plana a seguinte expressão 
envolvendo módulos: 
. 
Que dá origem a outras desigualdades: 
• 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_euclidiana
http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema
http://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo
http://pt.wikipedia.org/wiki/Os_Elementos
http://pt.wikipedia.org/wiki/Os_Elementos
http://pt.wikipedia.org/wiki/Euclides
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_reais
http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 50 
• 
• 
Para a primeira, escreva 
 
Para a segunda, 
A terceira é consequência da segunda, trocando os papéis de u e v. 
A desigualdade triangular em 
Teorema 
Em , quaisquer que sejam , tem-se[2] : 
 
Havendo igualdade se e só se forem linearmente dependentes. 
 
Demonstração 
Utilizando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, prova-se o teorema 
facilmente[2] . 
Tem-se (utilizando propriedades do produto interno): 
(I) 
Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz aplicada em (I): 
 
Tendo em conta que a norma é um valor não-negativo, segue que: 
Q.E.D. 
A segunda parte do teorema decorre directamente da aplicação da 
desigualdade de Cauchy-Schwarz (atentar no segundo termo do lado 
direito da equação). 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Desigualdade_triangular#cite_note-queiro-2
http://pt.wikipedia.org/wiki/Se_e_s%C3%B3_se
http://pt.wikipedia.org/wiki/Linearmente_dependentes
http://pt.wikipedia.org/wiki/Desigualdade_de_Cauchy-Schwarz
http://pt.wikipedia.org/wiki/Desigualdade_triangular#cite_note-queiro-2
http://pt.wikipedia.org/wiki/Produto_interno
http://pt.wikipedia.org/wiki/Q.E.D.
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 51 
Sumário 
Nesta Unidade Temática analisamos e discutimos os seguintes 
assuntos: 
Desigualdades da médias e 
Desigualdades Triangulares. 
 
 
 
 Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO 
1. O número 
2
7
 é? 
A: Natural 
B: Inteiro 
C: Racional 
D: Real e Irracional 
 
2. Quais dos números a baixo são racionais? 
A: 0 e 1.23564… 
B: √5 e -2 
C: -0.123 e 0.333… 
D: 23.353478… e -235 
 
3. Escolha um número Irracional: 
A. 3,277 
 B. √5 
C. √25 
D. 
1
3
 
4. O resultado da expressão 
0.99×2
0.11
− 20 é um número: 
A. Natural 
B. Inteiro Negativo 
C: Inteiro Positivo 
 D. Irracional 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 52 
 
5. Um vendedor de cabos elétricos usa fita métrica para oferecer ao cliente a 
medida preferida. Diga que números são aplicados pelo vendedor. 
A. Naturais 
B. Inteiros 
C: Racionais 
D. Irracionais 
 
Indique o valor lógico 
6. |9 + √5| > 9 + √5 
7. |9 + √5| ≤ 9 + √5 
8. |−2√3 − 1| = 2√3 + 1 
Respostas 
1. C 2.C 3.B 4.B 5. C 
6. F, 7. V, 8. V 
 
 
Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO 
1. 
GRUPO 1 (Com respostas detalhadas). 
GRUPO-2 (Com respostas sem detalhes) 
 
 GRUPO-3 (Exercícios de GABARITO) 
 
 
TEMA II: REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
Unidade 2.1. Sistema de Coordenadas Cartesiano. 
Unidade 2.2. Distância entre Dois Pontos. 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 53 
Unidade 2.3. A recta. 
Unidade 2.4 Posições Relativas de Duas Rectas 
Unidade 2.5. Perpendicularidades. . 
Unidade Temática 2.1: Sistema de 
Coordenadas Cartesiano 
Introução 
 
O "Sistema de Coordenadas Cartesianas" é um esquema reticulado 
necessário para especificar pontos num determinado "espaço", com n 
dimensões. 
 
É chamado de cartesiano em homenagem a seu criador, o matemático 
e filósofo francês René Descartes (1596-1650), cujos trabalhos 
permitiram o desenvolvimento de áreas científicas como a geometria 
analítica, a euclidiana, o cálculo e a cartografia. 
 
Sua contribuição mais duradoura é a geometria analítica, isto é, a união 
da geometria com a álgebra, que permite construir gráficos a partir de 
equações. 
 
Em 1619, ele percebeu que a idéia de determinar posições utilizando 
rectas, escolhidas como referência, poderia ser aplicada à matemática. 
Para isso usou rectas numeradas, ou seja rectas em que cada ponto 
corresponde a um número e cada número corresponde a um ponto, 
definindo desta maneira, um sistema de coordenadas na recta. 
 
 
Postulado da Régua 
 
Esse postulado nos fornece uma régua infinita que pode ser colocada 
em qualquer reta e que pode ser utilizada para medir a distância entre 
dois pontos quaisquer. 
 
Os pontos de uma reta podem ser postos em correspondência 
biunívoca com os números reais, ou seja: 
 
a cada ponto da reta corresponde exatamente um número real, 
 
a cada número real corresponde exatamente um ponto da reta. 
 
A distância entre dois pontos quaisquer será definida como o valor 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 54 
absoluto da diferença dos números reais a eles associados. 
 
Uma correspondência desse tipo é chamada de sistema de 
coordenadas. Assim, o número correspondente a um dado ponto é 
chamado de coordenada desse ponto. 
Para definir um sistema de coordenadas na reta, escolhe-se um dos 
seus pontos como a origem do sistema. A esse ponto, geralmente 
denominado pela letra o , é associado o número zero, que será a sua 
coordenada. Então, fixa-se uma unidade de medida, por exemplo, 
centímetros, e a coordenada de cada ponto (p) da reta, é determinada 
pela medida do segmento op, ou seja, desde a origem até o ponto: x1 = 
op centímetros. 
 
Se, conforme a figura abaixo, o ponto d está à direita da origem, sua 
coordenada será od e, portanto, positiva. Por outro lado, se o ponto e 
está à esquerda de o, sua coordenada será dada por -oe, sendo 
negativa. 
 
 
 
Mas, como o plano tem duas dimensões, para localizar os pontos é 
necessário dois números. Descartes resolveu este problema usando 
duas retas numeradas, perpendiculares, cuja intersecção chamou de 
origem. 
 
Comumente, usa-se uma dessas retas, horizontal, com a direção 
positiva para a direita que é denominada eixo x ou eixo das abscissas. A 
outra reta é vertical com a direção positiva para cima, e é chamada eixo 
y, ou eixo das ordenadas, dividindo o plano em quatro regiões, 
denominadas quadrantes, indicados no seguinte esquema pelos 
números 1, 2, 3 e 4:Assim, o primeiro quadrante (1) é o conjunto de todos os pontos (x, y) 
do plano para os quais x > 0 e y > 0; o segundo quadrante é o conjunto 
de todos os pontos (x, y) do plano para os quais X < 0 e y> 0 e assim por 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 55 
diante. 
 
Portanto, cada ponto P do plano fica associado um par de números (x, 
y), que são as coordenadas deste ponto. O número x mede a distância 
orientada do ponto P ao eixo y e é chamado abscissa desse ponto, e o 
número y mede a distância orientada do ponto P ao eixo x e é a sua 
ordenada. Se P tem coordenadas x e y é identificado por P(x, y). Diz-se 
que as coordenadas de um ponto formam um par ordenado de 
números reais. 
 
 
 
 
É importante lembrar que a ordem na qual as coordenadas são escritas 
é importante. Por exemplo, o ponto de coordenadas (1, 2) é diferente 
do ponto de coordenadas (2, 1). 
 
Observando o esquema, todo ponto P determina um par ordenado de 
números reais e, reciprocamente, todo par ordenado de números reais 
(x, y) determina um único ponto do plano. Então, há uma 
correspondência biunívoca os pares ordenados de números reais e 
entre os pontos do plano. Uma correspondência desse tipo é 
denominada um sistema de coordenadas no plano. 
 
O plano, munido deste sistema de coordenadas, geralmente é chamado 
plano coordenado ou plano cartesiano e é denotado pelo símbolo R2. 
 
Deve-se ressaltar que, para estabelecer um sistema de coordenadas no 
plano é necessário: 
 
escolher duas retas de referência que não precisam ser, 
necessariamente, ortogonais. 
 
estabelecer o ponto de interseção destas retas será a origem do 
sistema de coordenadas. 
 
estabelecer a unidade de medida a fim de que se possa graduar as 
duas retas e indicar claramente esta escala. 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 56 
 
Assim, a posição de qualquer ponto do plano será determinada por um 
par de números (x, y) os quais indicam as distâncias deste ponto às retas 
de referência. Estas distâncias são medidas, usando-se a escala 
estabelecida, a partir de retas paralelas às duas retas de referência que 
determinam a malha coordenada. 
 
Na mesma época de Descartes, um outro francês, Pierre Fermat 
 (1601-1665)) também chegou aos mesmos princípios, isoladamente. 
Portanto, na realidade, o estabelecimento das bases da Geometria 
Analítica deve-se a ambos (René Descarte e Pierre Fermat).. 
 
 
 
 
 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
Objectivos 
específicos 
 
 
 
▪ Entender e esclarecerr: a origem e necessidade do 
Sistema de Coordenadas Cartesiano; 
▪ Cinstruir: o Sistema de Coordenadas Cartesiano; 
▪ Representar e localisar: pontos no plano; 
▪ Conhecer e identificar: as propriedades do 
Sistema de Coordenadas Cartesiano; 
▪ Ter domínio: sobre Planos +rimários, cálculo de 
normas (distâncias antre pontos quer em 2D, quer 
em 3D; 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 57 
Sistema de coordenadas 
cartesiano 
 
Coordenadas cartesianas de alguns pontos do plano. 
Chama-se Sistema de Coordenadas no plano cartesiano ou espaço 
cartesiano ou plano cartesiano um esquema reticulado necessário para 
especificar pontos num determinado "espaço" com dimensões. 
Cartesiano é um adjetivo que se refere ao matemático francês e filósofo 
Descartes que, entre outras coisas, desenvolveu uma síntese 
da álgebra com a geometria euclidiana. Os seus trabalhos permitiram o 
desenvolvimento de áreas científicas como a geometria analítica, o 
cálculo e a cartografia. 
 A ideia para este sistema foi desenvolvida em 1637 em duas obras de 
Descartes: 
• Discurso sobre o método 
o Na segunda parte, Descartes apresenta a ideia de 
especificar a posição de um ponto ou objecto numa 
superfície, usando dois eixos que se intersectam. 
• La Géométrie 
o onde desenvolve o conceito que apenas tinha sido 
referido na obra anterior. 
Um sistema de referência consiste em um ponto de orígem, direção e 
sentido, isto pode ser obtido de diversas formas, como já tivemos 
oportunidade de estudar anteriormente, porém, o sistema de 
coordenadas cartesianas é o mais próximo do mundo real, ele nos 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes
http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra
http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_euclidiana
http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_anal%C3%ADtica
http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo
http://pt.wikipedia.org/wiki/Cartografia
http://pt.wikipedia.org/wiki/1637
http://pt.wikipedia.org/wiki/Discurso_sobre_o_m%C3%A9todo
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=La_G%C3%A9om%C3%A9trie&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:PlanoCartesiano.PNG
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 58 
permite observar as formas da maneira mais aproximada possível do 
nosso modo de ver o universo. 
Propriedades 
Com base nestes princípios, imaginemos que o nosso universo é uma 
linha, ou seja, imagine se não pudéssemos enxergar mais que uma 
direção e dois sentidos, então nessa linha teríamos um ponto de 
partida, ao qual chamamos de orígem, ao passo que temos dois lados 
para ir, adotamos a convenção em que o sinal nos informa o sentido em 
que caminhamos, para a direita -> +, para a esquerda -> -, cada ponto 
sobre a reta tem uma distância da orígem, à qual chamamos amplitude, 
ou módulo... desta forma, temos o nosso sistema bem caracterizado. 
Um sistema de referência como tal é chamado de sistema em uma 
dimensão, porém não é algo muito útil, no entanto se adicionarmos 
mais uma reta na orígem, formando um ângulo reto com a reta anterior, 
poderemos referenciar uma segunda direção, agora temos um sistema 
em duas dimensões, que nos permite localizar um ponto acima e 
abaixo, além da direita ou esquerda... Se fizermos a mesma analogia e 
colocarmos uma terceira reta sobre a orígem do sistema anterior, 
fazendo um ângulo reto com ambas as retas anteriores, poderemos 
localizar um objeto para frente ou para trás, além de acima ou abaixo e 
além da direita e esquerda, então teremos um sistema em três 
dimensões. 
 A convenção mais usada nos sistemas de referência, estabelece que 
os sentidos: Para frente, para a direita e para cima são positivos e os 
seus opostos são negativos. 
Um sistema de coordenadas tridimensionais pode ser obtido através 
desta estrutura de três eixos que se interceptam em um único ponto, 
ao qual chamamos de origem e que também marca uma distinção 
angular entre os eixos, fazendo com que cada um seja reto em relação 
aos vizinhos. Nos sentidos positivos coloca-se uma seta para indicar a 
progressão crescente dos valores. Num sistema como este cada eixo 
recebe o nome associado a variável que é expressa, ou seja, , 
que representam as três direções do sistema. 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 59 
Localização de pontos 
 
Coordenadas cartesianas 
Agora observe o sistema acima, nele podemos observar a distribuição 
das variáveis em seus eixos, note que o eixo vertical correspondente à 
altura é convencionado como eixo , o horizontal, correspondente à 
largura é convencionalmente chamado de eixo , enquanto que o 
último, na diagonal, correspondente à profundidade, é chamado de 
eixo , cada segmento de eixo partindo da orígem gera um octante, 
visto que o sistema tem oito subplanos partindo da origem. 
A tripla ordenada no formato , corresponde a um único ponto 
no sistema, o qual é encontrado através do reflexo dos valores nos 
eixos, da seguinte forma: 
Se desejarmos encontrar o ponto localizamos o valor 3 no eixo 
, depois o zero no eixo , estes dois valores determinam uma linha 
sobre o eixo , depois localizamos o valor 5 no eixo e traçamos uma 
subreta paralela à linha que encontramos anteriormente, nesta altura, 
no lado oposto ao eixo na direção da subreta estáo ponto. 
Por outro lado se desejarmos encontrar o ponto 
localizamos o valor -5 no eixo , depois o -5 no eixo , estes dois 
valores determinam um plano sobre os eixos e , depois localizamos 
o valor 7 no eixo e traçamos um subplano paralelo ao plano 
anteriormente encontrado, nesta altura, no lado oposto ao eixo , na 
direção do encontro das duas subretas que definem o plano, está o 
ponto. 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Cartesian_coordinates_3D.svg
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 60 
Planos primários 
Definimos planos primários como o conjunto de pontos sobre o gráfico 
que estão equidistantes dos planos formados por qualquer combinação 
de dois eixos.[2] 
Suponha que definimos um dos valores da tripla ordenada, por 
exemplo: 
• ou, 
• ou, 
• . 
Onde é uma constante. 
Temos, em cada caso, um plano definido como paralelo ao plano dos 
dois eixos restantes, pois qualquer valor que seja dado às demais 
variáveis da tripla ordenada será projetado sobre o plano que foi 
definido. 
Distância entre pontos 
Em um sistema bidimensional temos a distância entre dois pontos 
definida como: 
 
Para um sistema tridimensional a analogia segue o mesmo raciocínio, o 
que nos revela a seguinte fórmula: 
 
Comprovação: 
No plano a distância entre os dois pontos do subplano é 
, para obter a distância no espaço, precisamos encontrar a 
distância ., mais precisamente a distância do ponto extremo, 
resultante do encontro dos valores de e , com o valor em . Esta 
distância corresponde a , logo: 
 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas_cartesiano#cite_note-C.C3.A1lculo-2
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 61 
O que define o seu valor após a substituição de , resultando na 
fórmula definida anteriormente.[2] 
A esfera 
Por definição, a esfera é o conjunto de todos os pontos no espaço que 
estão equidistantes de um ponto específico, ao qual denominamos 
centro. Considerando que as coordenadas de qualquer ponto são 
e que podemos especificar um ponto de coordenadas 
, a distância entre os pontos é: 
 
Definimos , que é o raio da esfera, conseqüentemente: 
 
Quaisquer conjuntos de pontos que constituem uma esfera também 
são delimitadores de um espaço no interior da mesma que gera um 
volume, o qual pode ser calculado pelo cálculo de volumes com a 
técnica de secionamento por Lâminas paralelas; 
 
 
Sumário 
 Nesta Unidae Temática 2.1. aprendemos estudar: 
• 1 Propriedades 
o 1.1 Localização de pontos 
o 1.2 Planos primários 
o 1.3 Distância entre pontos 
o 1.4 A esfera 
 
Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO 
Com base no gráfico abaixo indique o valor lófico das questoes que se seguem 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas_cartesiano#cite_note-C.C3.A1lculo-2
http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas_cartesiano#Propriedades
http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas_cartesiano#Localiza.C3.A7.C3.A3o_de_pontos
http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas_cartesiano#Planos_prim.C3.A1rios
http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas_cartesiano#Dist.C3.A2ncia_entre_pontos
http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas_cartesiano#A_esfera
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 62 
 
1. As coordenadas do Ponto A são (2; 2) 
2. As coordenadas do Ponto B são (-2; -1) 
3. Os pontos A, E e E têm a mesma ordenada 
4. As coordenadas do Ponto H são (0; -1) 
5. As coordenadas do Ponto F são (2; -1) 
6. Os pontos B e F têm a mesma abcissa 
7. Os pontos A e B têm a mesma abcissa 
 
Respostas 
1.F, 2.V, 3.V, 4. F, 5. V, 6. F, 7. V 
 
 
 
 
. 
Unidade 2.2. Distância entre Dois Pontos 
Introução 
A distância permeia todos os conceitos da geometria analítica, pois 
nesta área da matemática temos a relação de elementos geométricos 
com os algébricos, e o elemento básico da geometria é o ponto. 
Um dos conceitos básicos que vimos na geometria é que a menor 
distância entre dois pontos é dada por uma reta, contudo, na geometria 
analítica esses pontos recebem coordenadas no plano cartesiano e por 
meio dessas coordenadas podemos encontrar o valor da distância entre 
dois pontos. 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 63 
Nesta Umnidade Temática 2.2 com dissemos, nos debruçaremos mais 
sobre disância entre dois pontos. 
Portanto, teremos que a distância entre os pontos A e B será a medida 
do segmento que tem os dois pontos como extremidade. Por se tratar 
de dois pontos quaisquer, representaremos as 
coordenadas desses pontos de maneira genérica. 
 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
Objectivos 
específicos 
 
 
 
▪ Rever e Consolidar: Conceitos de menor distância entre pontos, entre um 
ponto e um Plano e entre um ponto e uma recta; 
▪ Organizar: um sistema de controle adequado à empresa; 
▪ Demonstrar: com base nos registros realizados, expor periodicamente por 
meio de demonstrativos, a situação econômica, patrimonial e financeira da 
empresa; 
▪ Analisar: os demonstrativos financeiros com a finalidade de apuração dos 
resultados obtidos pela empresa; 
▪ Acompanhar: a execução dos planos econômicos da empresa, prevendo os 
pagamentos a serem realizados, as quantias a serem recebidas de terceiros e 
alertando para eventuais problemas; 
▪ Entender e aplicar na prática os princípios e natureza da contabilidade Geral; 
 
Distância entre Dois Pontos 
Dado o plano cartesiano, vamos estabelecer a distância entre os 
pontos A e B. 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 64 
 
 
Podemos observar que os pontos possuem coordenadas, sendo o 
ponto A (xa,ya) e B (xb,yb), note a formação do triângulo retângulo ABC, 
onde os lados BC: cateto, AC: cateto e AB: hipotenusa. 
Verificamos que a distância entre os pontos A e B é a hipotenusa do 
triângulo retângulo, que pode ser calculada aplicando o Teorema de 
Pitágoras. Com o auxílio da Álgebra e de conhecimentos geométricos 
podemos generalizar e construir uma fórmula que determine a 
distância entre dois pontos no plano, conhecendo suas coordenadas. 
 
Cateto BC: yb – ya 
Cateto AC: xb – xa 
Hipotenusa AB: distância (D) 
 
Pelo Teorema de Pitágoras temos: “o quadrado da hipotenusa é igual 
à soma dos quadrados dos catetos” 
 
 
 
Exemplo 1 
 
Dados os pontos A (2,-3) e B (4,5), determine a distância entre eles. 
 
xa: 2 
xb: 4 
ya: -3 
yb: 5 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 65 
 
 
 
 
Exemplo 2 
 
Calcule a distância entre os pontos P(-2,3) e Q(-5,-9). 
 
xa: -2 
xb: -5 
ya: 3 
yb: -9 
 
 
 
 
Sumário 
 Nesta Unidade Temática 2.2 estudamos: 
Distância entre dois pontos 
 
 
Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO 
Com base no gráfico abaixo indique o valor lófico das questoes que se 
seguem 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 66 
 
1. Os pontos A e E são equidistantes em relação ao ponto C 
2. A distância entre os pontos B e F em relação ao ponto G é a mesma 
3. A distância entre os pontos A e D é 1 
4. A distância entre os pontos D e E é 1 
5. A distância entre os pontos D e E é 1 
6. A distância entre os pontos E e F é 3 
Respostas 
1. V, 2.V, 3. F, 4. V, 5. V, 6. F 
 
Represente no plano cartesiano, os seguintes pontos: 
 a) A(1,3) c) C(0,4) 
 b) B(-1,-2) d) D(2,0) 
 
RESPOSTAS 
 
a) b) c) d) 
 
 
 
Distância entre dois pontos 
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UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 67 
 
2) Calcule a distância entre os seguintes pares de pontos: 
 a) (2,3) e (2,5) c) (0,6) e (1,5) 
 b) (2,1) e (-2,4) d) (6,3) e (2,7) 
 
 
RESPOSTAS 
 
a) b) 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
Ponto Médio 
 
3) Calcule o ponto médio do segmento AB nos seguintes casos: 
 a) A(2,6) B(4,10) c) A(3,1) B(4,3) 
 b) A(2,6) B(4,2) d) A(2,3) B(4,-2) 
 
 
RESPOSTAS 
 a) b) 
 
 
 c) d) 
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UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 68 
 
 
Baricentro de um Triângulo 
 
4) Determine as coordenadas do baricentro do triângulo de vértices: 
 a) A(3,1); B(2,6); C(4,2) b) A(1,0); B(-2,4); C(3,-5) 
 
 
RESPOSTAS 
 
a) b) 
 
 
 
Área de um Triângulo 
 
5) Determine a área do triângulo ABC nos casos: 
 a) A(1,-1) B(2,1) C(2,2) 
 b) A(3,4) B(-2,3) C(1,1) 
 
(Sem respostas). Tente encontrar resposta sem ajuda explícita. 
 
 
Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO 
GRUPO-2 (Respostas detalhes) 
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UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 69 
1. Calcule a distância entre os pontos A(-2,3) e B(1,5). 
2) Se um ponto P do eixo das abscissas é equidistante dos pontos A(1,4) e B( -
6,3), a abscissa de P vale: 
a) -2 
b) -1 
c) 0 
d) 1 
e) 3 
3) A distancia entre os pontos A( -2,y) e B(6,7) é 10. O valor de y é 
a) -1 
b) 0 
c) 1 ou 13 
d) -1 ou 10 
e) 2 ou 12 
4) Um ponto material móvel desloca-se no plano 
cartesiano e suas coordenadas variam em função do tempo t (t ≥0). A distância 
percorrida pelo ponto material móvel entre o ponto A para t = 0 e o 
ponto B para t = 6, é: 
 
 
Unidade 2.3. A Recta 
Introução 
Entre os pontos de uma recta e os números reais existe uma 
correspondência biunívoca, isto é, a cada ponto de recta corresponde 
um único número real e vice-versa. 
 Considerando uma recta horizontal x, orientada da esquerda para 
direita (eixo), e determinando um ponto O dessa recta ( origem) e um 
segmento u, unitário e não-nulo, temos que dois números inteiros e 
consecutivos determinam sempre nesse eixo um segmento de recta de 
comprimento u: 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 70 
 
 
Medida algébrica de um segmento 
 Fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os números reais 
xA e xB , temos: 
 
 
 A medida algébrica de um segmento orientado é o número real que 
corresponde à diferença entre as abscissas da extremidade e da origem 
desse segmento. 
 
Plano cartesiano 
 A geometria analítica teve como principal idealizador o filósofo 
francês René Descartes ( 1596-1650). Com o auxílio de um sistema de 
eixos associados a um plano, ele faz corresponder a cada ponto do 
plano um par ordenado e vice-versa. 
 Quando os eixos desse sistemas são perpendiculares na origem, essa 
correspondência determina um sistema cartesiano ortogonal ( ou plano 
cartesiano). Assim, há uma reciprocidade entre o estudo da geometria 
(ponto, recta, circunferência) e da Álgebra (relações, equações etc.), 
podendo-se representar graficamente relações algébricas e expressar 
algebricamente representações gráficas. 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
Objectivos 
específicos 
 
 
 
▪ Definir: e representar geométrica e 
analiticamente uma recta; 
▪ Identificar: os deferentes tipos de rectas; 
▪ Identificar: recta(s) na vida real; 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 71 
 
A recta 
A recta, como o meu professor dizia, é um ponto em movimento. 
 
 
 
O que são os traços da recta? 
O traço frontal de uma recta (ponto F) é o ponto onde a recta intersecta 
o Plano Frontal de Projecção, e o traço horizontal (ponto H) é o ponto 
onde a recta intersecta o Plano Horizontal de Projecção. 
O que são os pontos notáveis de uma recta? 
O ponto Q é o ponto onde a recta intersecta com o β1/3, o ponto I é o 
ponto onde a recta intersecta o β2/4. 
 
 
 
 
Alfabeto da Recta 
 
 
A recta de nível ou horizontal é paralela ao Plano Horizontal de 
Projecção,o que significa que não tem traço horizontal, e obliqua ao 
Plano Frontal de Projecção. A sua projecção frontal (n2) fica paralela a 
x. 
Todos os pontos dessa recta estão na mesma projectante frontal, isto 
é, todos os pontos têm a mesma cota. 
http://dimensaogeometrica.blogspot.com/2010/06/recta.html
http://1.bp.blogspot.com/_e2s3MNaSvN8/TBOnb-d4ptI/AAAAAAAAAU0/lUru6sxDJLQ/s1600/recta.jpg
http://2.bp.blogspot.com/_e2s3MNaSvN8/TBPinL-YU8I/AAAAAAAAAU8/U_tPl9Ea2C0/s1600/recta+nivel.jpg
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 72 
 
 
A recta frontal ou de frente é paralela ao Plano Frontal de Projecção, o 
que significa que não tem traço frontal, e obliqua ao Plano Horizontal 
de Projecção. A sua projecção horizontal (f1) fica paralela a x. 
Todos os pontos pertencentes à recta estão na mesma projectante 
horizontal, isto é, têm o mesmo afastamento 
 
A recta fronto-horizontal é duplamente paralela, ou seja, é paralela ao 
Plano Horizontal e Frontal de Projecção, o que significa que esta recta 
não tem traço horizontal nem traço frontal. As duas projecções são 
paralelas a x. Os pontos pertencentes à recta estão na mesma 
projectante frontal e horizontal, pois, têm todos o mesmo afastamento 
e a mesma cota, o que muda é a abcissa. 
 
 
A recta de topo é paralela ao Plano Horizontal de Projecção, o que 
significa que não tem traço horizontal, e perpendicular ao Plano Frontal 
de Projecção. A projecção horizontal da recta é perpendicular a x e a 
projecção frontal é um ponto. Todos os ponto pertencente a recta estão 
na mesma projectante frontal, ou seja, têm todos a mesma cota. 
http://4.bp.blogspot.com/_e2s3MNaSvN8/TBPthJZCcMI/AAAAAAAAAVE/b5nKlobPO9U/s1600/recta+frontal.jpg
http://2.bp.blogspot.com/_e2s3MNaSvN8/TBPunl4qa3I/AAAAAAAAAVM/JVCfflHmouA/s1600/recta+fronto-horizontal.jpg
http://2.bp.blogspot.com/_e2s3MNaSvN8/TBPv1HjEQAI/AAAAAAAAAVU/yXDDX1eeen4/s1600/recta+de+topo.jpg
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 73 
 
 
 
A recta vertical é paralela ao Plano Frontal de Projecção, o que significa 
que não tem traço frontal, e perpendicular ao Plano Horizontal de 
Projecção. A sua projecçãofrontal fica perpendicular a x e a projecção 
horizontal é um ponto. Todos os pontos nesta recta têm o mesmo 
afastamento porque estão na mesma projectante horizontal. 
 
 
A recta obliqua é obliqua aos Planos de Projecção, o que significa que 
tem os dois traços, tanto o frontal como o horizontal. Ambas as 
projecções da são obliquas a x. 
 
 
A recta de perfil é obliqua aos Planos de Projecção e paralela ao Plano 
de Perfil, tem o traço horizontal como o traço frontal da recta. Tem as 
suas projecções são coincidentes e perpendiculares ao eixo x. Não fica 
definida somente pelas suas projecções, precisamos das projecções de 
dois pontos. 
http://2.bp.blogspot.com/_e2s3MNaSvN8/TBPx-9mlX2I/AAAAAAAAAVc/RSbTw9rD0lY/s1600/recta+vertical.jpg
http://4.bp.blogspot.com/_e2s3MNaSvN8/TBP1t6IbhXI/AAAAAAAAAVs/Fr5ttu7P18Y/s1600/recta+obliqua.jpg
http://3.bp.blogspot.com/_e2s3MNaSvN8/TBP2vvxjDyI/AAAAAAAAAV0/P5AHCQosKYM/s1600/recta+de+perfil.jpg
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 74 
 
 
A recta passante obliqua é obliqua ao Plano de Perfil. A recta passa 
pelo eixo x, o que significa que os traços e os pontos notáveis da recta 
estão todos em x, e ambas as projecções da recta intersectam em x. 
 
Igual à recta passante obliqua, só que esta é paralela ao Plano de 
Perfil. 
A Recta na vida real 
 
http://3.bp.blogspot.com/_e2s3MNaSvN8/TBP9ll0Hy8I/AAAAAAAAAV8/HCSFJaJpK8o/s1600/recta+passanteobliqua.jpg
http://1.bp.blogspot.com/_e2s3MNaSvN8/TBQBO33TDVI/AAAAAAAAAWE/COcSiX1XN3c/s1600/recta+passanteperfil.jpg
http://1.bp.blogspot.com/_e2s3MNaSvN8/TBQCFExyfOI/AAAAAAAAAWM/J3x7EFm0hTI/s1600/DSC00821.JPG
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 75 
Se considerarmos a parede da frente o nosso Plano Frontal de 
Projecção, então a recta a (verde) é uma recta frontal, a recta b 
(vermelha) é uma recta vertical e a recta c (azul) é uma recta fronto-
horizontal. 
 
 
Se a parede da frente for considerada o nosso Plano Frontal de 
Projecção e a parede lateral for o nosso Plano de Perfil de Projecção, 
então a recta a (azul) é uma recta fronto-horizontal, a recta b (verde) é 
vertical e a recta p (vermelha) é de perfil. 
 
A recta azul é uma recta obliqua e a laranja é uma recta de perfil. 
 
Como saber se um ponto pertence á recta? 
http://4.bp.blogspot.com/_e2s3MNaSvN8/TBQDB-0-yvI/AAAAAAAAAWU/yw7Z6E4i2hE/s1600/DSC00822.JPG
http://3.bp.blogspot.com/_e2s3MNaSvN8/TBTKhye1DMI/AAAAAAAAAXk/H9A0fdC7l0Y/s1600/DSC00232.JPG
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 76 
Para um ponto pertencer a uma recta tem obrigatoriamente de a 
projecção 1 do ponto estar sob a projecção 1 da recta e a projecção 2 
do ponto estar sob a projecção 2 da recta. 
 
O Ponto H, F e B são os únicos pontos pertencentes à recta, porque o 
ponto A, tem as projecções contrárias as projecções da recta, o ponto C 
só a projecção frontal é coincidente com a projecção frontal da recta e 
o ponto D, só a projecção horizontal é coincidente com a projecção 
horizontal da recta. 
 
Regra: 
As projecções do mesmo nome do Ponto têm de pertencer às 
projecções do mesmo nome da Recta. 
 
Como achar os traços e os pontos notáveis da recta? 
 
Se seguirmos a projecção 1(horizontal) da recta quando ela intersecta x 
encontramos aí o F1, fazemos linha de chamada prependicular a x e 
quando intersectar a projecção 2 (frontal) temos F2. Se fizermos o 
mesmo com a projecção frontal, quando intersectar x, temos H2. 
Quando as duas projecções da recta se intersectam, temos aí o ponto I. 
http://3.bp.blogspot.com/_e2s3MNaSvN8/TBQGmtmuUkI/AAAAAAAAAWc/HqbM8Tih2yA/s1600/recta-ponto.jpg
http://3.bp.blogspot.com/_e2s3MNaSvN8/TBQK-dBXVNI/AAAAAAAAAWk/VOCw0g6w_z8/s1600/recta-tra%C3%A7os.jpg
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 77 
Se unirmos de H1 a F2 teremos uma linha que quando intersectar x 
temos o Q0, desse modo, fazemos uma linha de chamada prependicular 
a x, onde a linha de chamada intersectar a2, termos, então, Q2, e 
quando intersectar a1, temos Q1. 
 
Outra maneira de determinar o Q 
 
Normalmente, para acharmos o ponto Q, unimos H1 a F2, e quando a 
recta não tem um dos traços? Por exemplo, nas rectas de nível, 
calculamos o ângulo que a projecção horizontal faz com o eixo x, 
e traçamos uma linha auxiliar com o mesmo ângulo para cima, onde a 
linha auxiliar intersectar a projecção frontal, temos Q2. 
 
O que acontece quando uma recta não tem Q? 
 
Por exemplo, uma recta passante, que tenha as projecções a fazerem o 
mesmo ângulo com x, significa que não tem Q, ou melhor, esta recta 
pertence ao β1/3. 
Quando não tem Q, significa que a recta ou pertence ao β1/3, ou é 
paralela a ele. 
 
Que acontece quando a recta não tem I? 
http://3.bp.blogspot.com/_e2s3MNaSvN8/TBR543rxSEI/AAAAAAAAAWs/e0qBqMIYHQM/s1600/Q7.jpg
http://2.bp.blogspot.com/_e2s3MNaSvN8/TBR7yC2zd2I/AAAAAAAAAW0/kEGkrzhdSb0/s1600/q.jpg
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 78 
 
Uma recta tem as projecções paralelas entre si, significa que só se irão 
cruzar no infinito (nunca), ou seja, a recta não tem ponto I, significa que 
ou a recta pertence ao β2/4 ou é paralela a ele, como no exemplo 
acima. 
 
Rectas Paralelas 
Duas rectas para serem paralelas têm de obrigatoriamente ter as 
projecções do mesmo nome paralelas entre si. 
 
 
 
 
Rectas concorrentes 
http://4.bp.blogspot.com/_e2s3MNaSvN8/TBR-AxHC1sI/AAAAAAAAAW8/sBbWImtTD1M/s1600/i.jpg
http://4.bp.blogspot.com/_e2s3MNaSvN8/TBSAZSwgVuI/AAAAAAAAAXE/QCqak__g0tY/s1600/parelelas1.jpg
http://2.bp.blogspot.com/_e2s3MNaSvN8/TBSAm_1cp5I/AAAAAAAAAXM/we16dL7JThc/s1600/parelelas2.jpg
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 79 
Duas rectas para serem concorrentes têm de ter um ponto em comum. 
 
 
 
 
 
Rectas Ortogonais 
Por exemplo, numa recta de nível, olhamos para a projecção horizontal 
e parecem concorrentes, mas depois olhando para a projecção frontal 
vemos que elas não se cruzam realmente, pois possuem cota diferente. 
Isto é, duas rectas ortogonais, são aquelas que vistas numa projecção 
parece que fazem um ângulo de 90º(somente são ortogonais se fizerem 
90º) e na realidade não se tocam. 
 
http://4.bp.blogspot.com/_e2s3MNaSvN8/TBSCqi_X1VI/AAAAAAAAAXU/z3vdxyq4Kx8/s1600/concorrentes1.jpg
http://1.bp.blogspot.com/_e2s3MNaSvN8/TBSC4P0mlnI/AAAAAAAAAXc/reNvpkrkDIA/s1600/concorrentes2.jpg
http://1.bp.blogspot.com/_e2s3MNaSvN8/TBTPFjKkBqI/AAAAAAAAAXs/M64k43MyAA0/s1600/rectas+ortogonais.jpg
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 80 
E nas rectas frontais: 
 
 
Como definir o percurso da recta? 
 
Fazendo duas rectas paralelas a x, puxasse as linhas auxiliares dos traços 
e dos pontos notáveis da recta. Na linha de cima insere-se os diedro, na 
linha de baixo os octantes. No final carregasse a recta que está no I 
diedro. 
 
http://4.bp.blogspot.com/_e2s3MNaSvN8/TBTPgK_BmzI/AAAAAAAAAX0/6HBP_itCy1g/s1600/rectas+ortogonais2.jpg
http://4.bp.blogspot.com/_e2s3MNaSvN8/TBZI4e-uYuI/AAAAAAAAAaE/dzftgmmy1bc/s1600/Percurso.jpg
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 81 
Sumário 
 
Nesta Unidade Temática 2.3. estudamos: 
A Recta; 
Alfabeto da Recta: 
A Recta Frontal; 
A Recta Fronto-Horizontal; 
A Recta do topo 
Recta na vida Real 
Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO 
1. O valor de k para que a equação kx – y – 3k + 6 = 0 represente a reta que 
passa pelo ponto (5,0) é: 
a) 3 
b) -3 
c) -6 
d) 6 
 
2. Seja a recta cuja equação é dada por y – 2x -10 = 0, é correto afirmar que 
essa reta passa por quais dos dois pontos citados a seguir? 
a) A(5 ; 0) e B(-20 ; 35). 
b) C(12 ; 21) e D(0 ; 20). 
c) E(14 ; -15) e F(-7 ; 7). 
d) G(5; 30) e H(0,5 ; 4). 
e) A(0 ; 10) e B(-13 ; -16). 
 
3. O coeficiente angular da reta cuja equação é 4x+ 2 y – 7 = 0 é igual a: 
a) 0,5 
b) -0,5 
c) 2 
d) -2 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 82 
Respostas 
1. Como queremos que a recta passe pelo ponto (5, 0), vamos substituir na 
equação os valores de x e y. 
kx – y – 3k + 6 = 0 
k.5 – 0 – 3k + 6 = 0 
5k – 3k + 6 = 0 
2k = -6 
k = -6/2 
k = -3 
 Resposta: B 
 
2. A única forma de achar a resposta correta e testar cada uma das opções, 
onde ambos os pontos devem pertencer à reta. 
 
a) A(5 ; 0) e B(-20 ; 35). 
Testando o ponto A 
y – 2x -10 = 0 
0 – 2.5 – 10 = 0 
-20 = 0 (Falso) 
Conclusão: O ponto A não pertence à reta. 
 
b) C(12 ; 21) e D(0 ; 20). 
Testando o ponto C 
y – 2x -10 = 0 
21 – 2.12 – 10 = 0 
21 – 24 – 10 = 0 
-13 = 0 (Falso) 
Conclusão: O ponto C não pertence à reta. 
 
c) E(14 ; -15) e F(-7 ; 7). 
Testando o ponto E 
y – 2x -10 = 0 
-15 – 2.14 – 10 = 0 
-15 – 28 – 10 = 0 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 83 
-53 = 0 (Falso) 
Conclusão: O ponto E não pertence à reta. 
 
d) G(5 ; 30) e H(0,5 ; 4). 
Testando o ponto G 
y – 2x -10 = 0 
30 – 2.5 – 10 = 0 
30 – 10 – 10 = 0 
10 = 0 (Falso) 
Conclusão: O ponto G não pertence à reta. 
 
e) A(0 ; 10) e B(-13 ; -16) 
 
Testando o ponto A 
y – 2x -10 = 0 
10 – 2.0 – 10 = 0 
10 – 0 – 10 = 0 
0 = 0 (Verdadeiro) 
Conclusão: O ponto A pertence à reta. 
 
Testando o ponto B 
y – 2x -10 = 0 
-16 – 2.(-13) – 10 = 0 
-16 + 26 – 10 = 0 
0 = 0 (Verdadeiro) 
Conclusão: O ponto B pertence à reta. 
 Resposta: E 
 
3. Para descobrirmos o coeficiente angular de uma reta, basta que saibamos a 
equação reduzida. 
A questão apresentou a equação geral da reta. Podemos transformá-la na 
forma reduzida apenas isolando y. Veja: 
4x+ 2 y – 7 = 0 
2y = -4x + 7 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 84 
y = (-4x + 7) / 2 
y = -2x + 7/2 
 
Daí, o coeficiente angular é igual a -2. 
Resposta: D 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 85 
Ques 
01. (FEI) As retas 2x - y = 3 e 2x + ay = 5 são perpendiculares. Então: 
 
a) a = -1 
b) a = 1 
c) a = -4 
d) a = 4 
e) n.d.a. 
 
 
02. Determinar a reta perpendicular a 2x - 5y = 3 pelo ponto P(-2; 3). 
 
 
03. (USP) A equação da reta que passa pelo ponto (3; 4) e é paralela à bissetriz do 
2° quadrante é: 
 
a) y = z - 1 
b) x + y - 7 = 0 
c) y = x + 7 
d) 3x + 6y = 3 
e) n.d.a. 
 
 
04. Determinar o ponto B simétrico de A(-4; 3) em relação à reta x + y + 3 = 0. 
 
 
05. Determinar a reta perpendicular à reta de equação x + 2y - 3 = 0 no seu ponto 
de abscissa igual a 5. 
 
 
06. Determinar a equação da mediatriz do segmento de extremos A(-3; 1) e B(5; 
7). 
 
 
07. As retas (r) 2x + 7y = 3 e (s) 3x - 2y = -8 se cortam num ponto P. Achar a 
equação da reta perpendicular a r pelo ponto P. 
 
 
08. As retas 3x + 2y - 1 = 0 e -4x + 6y - 10 = 0 são: 
 
a) paralelas 
b) coincidentes 
c) perpendiculares 
d) concorrentes e não perpendiculares 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 86 
e) n.d.a. 
 
 
09. (USP) A equação da reta passando pela origem e paralela à reta determinada 
pelos pontos A(2; 3) e B(1; -4) é: 
 
a) y = x 
b) y = 3x - 4 
c) x = 7y 
d) y = 7x 
e) n.d.a 
 
 
10. Os pontos P(x, y) tais que | x | + | y | = 4 constituem: 
 
a) um par de retas 
b) um par de semi-retas 
c) o contorno de um quadrado 
d) quatro retas paralelas 
e) o contorno de um triângulo 
 
 
 
Respostas/Resolução: 
 
01. D 
02. D 
03. B 
04. B = (-6; 1) 
05. 2x - y - 11 = 0 
06. 4x + 3y - 16 = 0 
07. 7x - 2y + 16 = 0 
08. C 
09. D 
10. C 
 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 87 
 
Unidade Temática 2.4. Posição Relativa de duas 
Rectas. 
Introução 
 
As figuras planas e espaciais são formadas pela intersecção de retcas e 
planos pertencentes ao espaço. Dentre as posições relativas, podemos 
destacar: 
 
Posição relativa entre duas rectas 
 
Nesta Unidade Temática iremos analizar e discutir casos de duas rectas 
distintas a assumirem as seguintes posições relativas no espaço: 
 
Rectas paralelas: duas rectas são paralelas se pertencerem ao mesmo 
plano (coplanares) e não possuírem ponto de intersecção ou ponto em 
comum. 
 
Rectas coincidentes: pertencem ao mesmo plano e possuem todos os 
pontos em comum. 
 
Rectas concorrentes: duas retas concorrentes possuem apenas um 
ponto comum. Não é necessário que pertençam ao mesmo plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 88 
 
 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
Objectivos 
específicos 
 
 
▪ Identificar elemento visual: linha e formas geométricas; 
▪ Explorar: os termos rectas paralelas e rectas perpendiculares; 
▪ Identificar: rectas na victa real, profissional, nas obras de engenharia (estrada, 
pontes, edifícios, etc); 
▪ Construir: desenhos utilizando as formas geométricas; 
▪ Identificar: a localização em mapas; 
 
 
Posições relativas de duas Rectas 
Considere duas rectas distintas do plano cartesiano: 
 
Podemos classificá-las como paralelas ou concorrentes. 
Rectas Paralelas 
As retas r e s têm o mesmo coeficiente angular. 
 
Assim para r//s, temos: 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 89 
 
Rectas Concorrentes 
As retas r e s têm coeficientes angulares diferentes. 
 
Assim para r e s concorrentes, temos: 
 
 
Rectas Perpendiculares/Ortogonais 
É um caso particular de reta concorrente. Duas retas são ditas 
perpendiculares quando os seus coeficientes angulares são tais que: 
 
 
 
Sumário 
Nesta Unidade Temática 2.4. estudamos: 
1. Rectas Paralelas e; 
2. Rectas Concorrentes 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 90 
Exercícios 
 1. Indique a recta paralela a y=3x-3? 
a) y=2x-3 
b) y=3x+1 
c) y=-3x 
d) y=-2x+3 
 2. Indique a recta paralela a y=0.5x-9? 
a) y=2x-3 
b) y=3x+1 
c) y=-3x 
d) y=(1/2)x+3 
 
Indique o valor lógico 
3. As rectas 2y=4x-1 e y=x são paralelas 
4. As rectas y=-3x-1 e y=-x+1 são decrescentes 
5. As rectas y=-2x-1 e y=7x+4 são decrescentes 
6. As rectas y=5x-1 e y=5x+3 são incidentes 
 
Respostas 
1. b) e 2. d), 3. F, 4. V, 5. F, 6. F 
1. Verifique o posicionamento da reta r, dada pela equação 2x + y – 1 = 0 
em relação à circunferência de equação x² + y² + 6x – 8y = 0. 
2. Dada a reta s representada pela equação 2x – y + 1 = 0 e a circunferência 
de equação 
x² + y² – 2x = 0, determine a posição relativa entre elas. 
3. Determine o valor de w sabendo que a reta de equação x – y + w = 0 é 
tangente à circunferência de equação x² + y² = 9. 
4. Determine o comprimento da corda determinada pela intersecção da 
reta r, de equação x + y – 1 = 0, com a circunferência de equação x² + y² + 
2x + 2y – 3 = 0. 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 91 
5. A distância entre os pontos de intersecção da reta com a circunferência 
x² + y² = 400 é: 
a) 16√5 
b) 4√5 
c) 3√3 
d) 4√3 
e) 5√7 
 
6. O valor de k que transforma a equação x² + y² – 8x + 10y + k = 0 na 
equação de uma circunferência de raio 7 é: 
a) –4 
b) –8 
c) 5 
d 7 
e) –5 
 
Resposta Questão 1 
Determinar as coordenadas do centro da circunferência é a medida do 
raio: 
x² + y² + 6x – 8y = 0 
x² + 6x + y² – 8y = 0 
x² + 6x → completando o trinômio 
x² + 6x + 9 = (x + 3)² 
y² – 8y → completando o trinômio 
y² – 8y + 16 = (y – 4)² 
x² + 6x + y² – 8y = 0 
x² + 6x + 9 + y² – 8y + 16 = 9 + 16 
(x + 3)² + (y – 4)² = 25 
 
UnISCEDMATEMÁTICA APLICADA 
 92 
A fórmula geral de uma equação da circunferência é dada por (x – a)² + (y – 
b)² = r², dessa forma: 
Coordenadas do centro: (–3; 4) 
Medida do raio: 5 
Determinando a distância entre o centro e a reta 
Reta r: 2x + y – 1 = 0 
 
Temos que a distância é menor que o raio, pois 1,3 < 5. Dessa forma, a 
recta é secante à circunferência. 
 
Resposta Questão 2 
Vamos estabelecer um sistema entre as duas equações: 
Reta: 2x – y + 1 = 0 
Circunferência: x² + y² – 2x = 0 
 
Resolvendo o sistema pelo método da substituição: 
Isolando y na 1ª equação: 
2x – y + 1 = 0 
– y = –1 – 2x 
y = 1 + 2x 
Substituindo y na 2ª equação: 
x² + (1 + 2x)² – 2x = 0 
x² + 1 + 4x + 4x² – 2x = 0 
5x² + 2x + 1 = 0 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 93 
∆ = b² – 4ac 
∆ = 2² – 4 * 5 * 1 
∆ = 4 – 20 
∆ = –16 
Quando ∆ < 0, a equação não possui raízes. Dessa forma o sistema não 
possuirá soluções. Portanto, a reta é externa à circunferência. 
 
• Resposta Questão 3 
Se a reta é tangente à circunferência, temos que a distância do centro até 
a reta possui a mesma medida do raio. 
Em razão da equação x² + y² = 9, podemos dizer que o centro corresponde 
a (0; 0) e o raio igual a 3, pois x² + y² = 9 → (x + 0)² + (y + 0)² = 3². 
Distância do centro (0; 0) à recta x – y + w = 0, onde a = 1, b = –1 e c = w: 
 
Calculando w de acordo com d = r: 
 
O valor de w é igual a + 3√2 ou –3√2. 
 
• Resposta Questão 4 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 94 
AB = medida da corda 
CM = distância entre centro e reta 
AM = metade da medida da corda → AB/2. 
 
No triângulo AMC aplicaremos o teorema de Pitágoras, mas para isso 
precisaremos determinar a distância CM e o raio da circunferência, dado 
por CA. 
Centro da circunferência 
x² + y² + 2x + 2y – 3 = 0 
x² + 2x + y² + 2y = 3 
x² + 2x + 1 + y² + 2y + 1 = 3 + 1 + 1 
(x + 1)² + (y + 1)² = 5 
Centro (–1, –1) e raio = √5. 
Reta: x + y – 1 = 0 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 95 
 
 
A medida da corda AB de acordo com a situação proposta é AB = √2. 
 
• Resposta Questão 5 
Resolver o sistema de equações: 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 96 
Simplificando a 1ª equação: 
 
Substituindo x na 2ª equação: 
x² + y² = 400 
x² + (20 – 2x)² = 400 
x² + 400 – 80x + 4x² ¬– 400 = 0 
5x² – 80x = 0 
5x * (x – 16) = 0 
5x = 0 
x’ = 0 
x – 16 = 0 
x’’ = 16 
Para x = 0, temos: 
y = 20 – 2x 
y = 20 – 2*0 
y = 20 
(0; 20) 
Para x = 16, temos: 
y = 20 – 2x 
y = 20 – 2 * 16 
y = 20 – 32 
y = – 12 
(16; –12) 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 97 
Os pontos de intersecção são (0; 20) e (16; –12). 
Determinando a distância entre os pontos: 
 
Resposta item a. 
 
• Resposta Questão 6 
x² + y² – 8x + 10y + k = 0 
Encontrar a equação reduzida (completar os trinômios) 
x² – 8x + y² + 10y = –k 
x² – 8x + 4 + y² + 10y + 25 = – k + 4 + 25 
(x – 4)² + (x + 5)² = –k + 41 
Temos que o raio será dado por: 
–k + 41 = 7² 
–k = 49 – 41 
–k = 8 
k = 8 
Resposta: alternativa b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 98 
Unidade 2.5. Perpendicularidades. 
Introução 
 
Dentre as posições relativas entre planos e retas, destaca-se a 
perpendicularidade que assume algumas características que a difere 
das outras posições. 
 
Cada uma dessas relações de perpendicularidade está ilustrada 
abaixo: 
 
Perpendicularidade entre rectas 
 
Duas retas distintas pertencentes ao mesmo plano ou não serão 
perpendiculares se formarem um ângulo reto no seu ponto de 
encontro. 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
Objectivos 
específicos 
 
 
 
▪ Definir: rectas perpendiculares; 
▪ Reconhcer: e criar gráficos e equações de rectas perpendiculares 
▪ Entender, Identificar e aplicar na prática: a perpendicularidade entre rectas e 
planos e entre Planos; 
 
Perpendicularidade 
 
Perpendicularidade. 
Em geometria, perpendicularidade é uma noção que indica se dois 
objectos (rectas, Planos, etc) fazem entre si um ângulo de 90º 
(Observe a figura a baixo). 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 99 
 
 
 
 
 
• Perpendicularidade entre plano e recta 
 
Um plano α será perpendicular a uma recta t se todas as retas 
pertencentes a esse plano α e concorrentes a essa recta t (tiver um 
ponto comum) forem perpendiculares à reta t. 
 
• Perpendicularidade entre planos 
 
Dois planos serão perpendiculares se um deles contiver uma reta que 
http://www.google.co.mz/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&docid=N0rEi_mDWK9T7M&tbnid=OKCvZoVxfxdsoM:&ved=0CAgQjRw&url=http://www.mundoeducacao.com/matematica/perpendicularidade.htm&ei=4GoVVIb4DpDkaMPTgrAB&psig=AFQjCNEGhzcBL_kNXpJmYY_IDP-DYrvgYQ&ust=1410776160273243
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 100 
seja perpendicular ao outro plano. 
 
 
 
 
 
Sumário 
Nesta Unidade Temática 2.5. estudamos 
1. Perpendicularidade; 
2. Perpendicularidade entre Plano e Recta e; 
3. Peprpendicularidade entre Planos 
 
EXERCÍCOS 
 1. Indique a recta perpendicular a y=0.25x+4? 
a) y=2x-3 
b) y=3x+1 
c) y=-4x 
d) y=-2x+3 
 2. Indique a recta perpendicular a y=-10x+7? 
a) y=-0.1x-3 
b) y=3x+1 
c) y=-3x 
d) y=(1/2)x+3 
Indique o valor lógico 
3. As rectas y=-2x-4 e y=0.5x formam um angulo recto 
4. As rectas y=-3x-1 e y=-3x+1 formam um angulo recto 
5. As rectas y=-x-1 e y=x+4 são ortogonais 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 101 
6. As rectas y=5x-1 e y=5x+3 formam um angulo recto 
Respostas 
1. c) 2. a) 3. V, 4. F, 5. V, 6.F 
 
• Questão 1 
• Encontre a equação da recta s, perpendicular à reta t: 2x + 3y – 4 =0, 
sabendo que ela passa pelo ponto P(3,4). 
 
• Questão 2 
Considere no plano cartesiano uma recta r de equação 3x + 5y +1 =0 e 
um ponto Q de coordenadas (5,5). Determine a equação da recta s 
perpendicular a r passando por Q. 
 
• Questão 3 
Prove que as retas s: x + 2y – 1 = 0 e r: 4x – 2y +12 = 0 são 
perpendiculares. 
 
• Questão 4 
Encontre a equação da reta t que passa pelo ponto X(-1,8) e é 
perpendicular à bissetriz dos quadrantes ímpares. 
 
• Questão 5 
Prove que a bissetriz dos quadrantes ímpares é perpendicular à bissetriz 
dos quadrantes pares. 
 
 
Respostas 
 
• Resposta Questão 1 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 102 
 
• Resposta Questão 2 
 
 
• Resposta Questão 3 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 103 
 
• Resposta Questão 4 
 
 
 
 
 
 
• Resposta Questão 5 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 104 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEMA III: FUNÇÕES 
 
 
Unidade 3.1. Funções 
Unidade 3.2 Gráficos de Funções 
Unidade 3.3. Propriedades de Funções. 
Unidade Temática 3.1. Funções. 
Introução 
Função é um dos conceitos mais importantes da matemática. Existem 
várias definições, dependendo da forma como são escolhidos os 
axiomas. Uma relação entre dois conjuntos, onde há uma relação entre 
cada um de seus elementos. 
Uma função é uma aplicação entre conjuntos, de partida e de chegada. 
As funções descrevem fenómenos numéricos e podem representar-se 
através de gráficos sobre eixos cartesianos. O gráfico de uma função 
permite ver, muito facilmente, toda a sua evolução. 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 105 
Porém, por vezes, pode ser mais cómodo trabalharcom a equação 
(expressão analítica) ou fórmula da função, já que com ela temos à 
nossa disposição o conjunto de operações que devemos aplicar à 
variável independente, normalmente representada por x, para obter a 
variável dependente, normalmente representada por y. 
Podemos, então, imaginar que uma função é uma máquina em que 
introduzimos um número x do conjunto de partida, dela saindo o 
número f(x) o mesmo que y. 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
Objectivos 
específico 
 
 
▪ Definir: entender e interpretar funções de reais de variável real; 
▪ Representar : graficamente funções; 
▪ Fazer operações: com funções; 
▪ Fazer: Composição de funções; 
▪ Fazer: inversão de funções; 
▪ Entender e aplicar na prática: o conceito de função pá e ímpar; 
 
Funções 
Uma função é uma aplicação entre conjuntos numéricos. Para indicar 
que entre dois conjuntos A e B há uma função utilizaremos a notação: 
f : A B 
 Existem várias formas de expressar uma função: 
y = ax + b 
f (x) = ax + b 
entre outras. 
 Se f for uma função e f(x) = y, diremos que y é a imagem de x pela 
função e que x é o original, anti-imagem ou objecto de y pela função. 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 106 
 Em toda a função entre dois conjuntos A B os elementos do 
conjunto A recebem o nome de variável da função. 
 Exemplificando, tomemos a função: 
f : IN Z 
f(x) = 5x + 2 
f (2) = 5.2 + 2 = 12; 12 IN 
diremos que 12 é a imagem de 2, e que 2 é o objecto ou anti-imagem 
de 12. 
 
Funções Reais de Variável Real 
 Uma função real de variável real é uma função em que tanto os 
elementos do conjunto de partida ou conjunto dos objectos como os do 
conjunto de chegada ou conjunto imagem são números reais, isto é, 
pertencem ao conjunto IR, e representa-se por: 
f : IR IR 
 As funções f(x) = x + 3, f(x) = x2 + 2x + 1, f(x) = 3x + 1/2, são exemplos 
de funções reais de variável real. Se dermos a x um valor real, ao realizar 
as operações obteremos sempre um número real f(x). 
 Pode acontecer que nem todos os números reais tenham imagem 
pela função. O conjunto formado pelos números reais que têm imagem 
chama-se domínio. Em geral, uma função real de variável real tem a 
seguinte expressão: 
f : A R 
sendo A um subconjunto de R, que irá corresponder ao domínio da 
função. 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 107 
Representação Gráfica de uma Função 
 Dado que o conjunto dos números reais se pode representar sobre 
uma recta, o método de coordenadas cartesianas serve para 
representar funções. 
 
 
 
 
 Observemos os gráficos das figuras. Como podemos observar, a 
variável independente x é representada sobre o eixo das abcissas e a 
variável dependente y sobre o eixo das ordenadas. 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 108 
Operações com Funções 
 1. Produto de uma função por um número real 
(kf )(x) = k * f(x) 
 O produto é uma nova função, de forma que a cada valor de x 
corresponde k vezes o valor de f. 
 Exemplo: 
f : R R 
f(x) = 3x + 2 
5f : R R 
(5f)(x) = 5 * f(x) = 
= 5 * (3x + 2) = 15x + 10 
 
 
Soma de funções 
 Temos f(x) = 2x + 2 e g(x) = - x - 1. Se somarmos membro a membro 
obtemos: 
f(x) + g(x) = (2x + 2) + (-x - 1) = 2x - x +2 -1 = x + 1 
 (f + g) (x) = x + 1 
 Vamos verificar o que obtivemos: 
f(1) = 2 * 1 + 2 = 4 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 109 
g(1) = - (1) - 1 = -1 - 1 = -2 
f(1) + g(1) = 4 + (-2) = 4 - 2 = 2 
(f + g) (1) = (1) + 1 = 2 
 
 
Vemos que, para cada objecto x, somando as respectivas imagens 
de f(x) e de g(x) obtemos exactamente o mesmo valor que obtemos 
ao calcular 
(f + g) (x). 
Então, em geral, podemos escrever: 
(f + g) (x) = f(x) + g(x) 
 
Produto de funções 
 Seguindo o mesmo procedimento que para a soma de funções, 
considerando f(x) = x e g(x) = -x + 2, o produto das funções será: 
(f * g) (x) = f(x) * g(x) = x*(-x + 2) = -x2 + 2x 
(f * g) (x) = -x2 + 2x 
Verificamos que: 
f(1) = 1 
g(1) = - (1) + 2 = -1 + 2 = 1 
f(1) * g(1) = 1 * 1 = 1 
(f * g) (1) = -(1)2 + 2 * 1 = -1 + 2 = 1 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 110 
 Vemos que, de forma análoga ao que 
ocorre com a soma de duas funções, para 
cada objecto x, multiplicando as respectivas 
imagens de f(x) e de g(x) obtemos 
exactamente o mesmo valor que obtemos ao 
calcular (f * g) (x). 
 
 Em geral, escrevemos: 
(f * g) (x) = f(x) * g(x) 
 
 Composição de funções 
 A composição de uma função f com outra função g é uma nova 
função, representada por g º f, definida por: 
(g ° f) (x) = g [f(x)] 
 Primeiro determinamos f(x) e o resultado obtido é o objecto para a 
função g. Exemplificando, seja f(x) = x + 1 e g(x) = x2 , temos (g ° f) (x) = 
g [f(x)] =g [x + 1] = (x + 1)². 
 Mas atenção, é diferente se tivermos: (f ° g) (x) = f [g(x)] = f [x²] = x² 
+ 1. 
 
Inverso da função e função inversa 
 Quando temos uma função f, tal que para qualquer x do domínio 
verificamos que f(x) 0, podemos dizer que existe o inverso da 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 111 
função de f, e representamo-la por 1/f. Podemos ver um exemplo 
representado na figura seguinte: 
 
 Se f for uma função injectiva, a função inversa de f é uma nova 
função, que se representa por , em que os objectos são as 
imagens dadas por f. 
 Seja f a função definida por y = 3x - 5, a expressão que define 
determina-se resolvendo a equação y = 3x - 5 em ordem a x: 
y = 3x - 5 <=> 3x = y + 5< => x = (y + 5)/3 
logo vem: 
 
O domínio da função inversa é o contradomínio ou conjunto das 
imagens da função f. O gráfico da função inversa é simétrico do gráfico 
de f em relação à bissectriz y = x. 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 112 
 
Função par e função ímpar 
 Damos o nome de função par à que é simétrica em relação ao eixo 
das ordenadas, ou seja, que verifica: 
f(-x) = f(x) 
 O gráfico de uma função par fica determinado se conhecermos a 
forma que assume para os números positivos. Para visualizar este 
facto vejamos as 
seguintes figuras: 
 
 
 
 
Damos o nome de função ímpar à função que é simétrica em relação à 
origem das coordenadas, ou seja, quando se verifica que: 
f(-x) = - f(x) 
 O gráfico de uma função ímpar fica determinado se conhecermos a 
forma que assume para valores positivos. Vejamos as figuras: 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 113 
 
 
 
 
 
Função linear e função afim 
 As funções da forma f(x) = kx são chamadas funções lineares ou 
função de proporcionalidade, onde k é uma constante numérica e nos 
dá o declive da recta. O gráfico deste tipo de funções é uma recta que 
passa pelo centro de coordenadas (0,0). 
 
 As funções da forma f(x) = kx + p recebem o nome de funções afins. 
O seu gráfico é uma recta que não passa pelo centro de coordenadas 
(0,0) e é paralela à correspondente função linear g(x) = kx. p é a 
ordenada na origem ou ponto de intersecção da recta com o eixo das 
ordenadas. 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 114 
 
 As funções lineares e afins são chamadas funções polinomiais do 
primeiro grau. 
 
 
Sumário 
 
Nesta Unidade Temática 3.1. estudamos: 
1. Conceito de função; 
2. Representação gráfica de função; 
3. Operações com funções; 
4. Função inversa; 
5. Função par e ímpar; 
6. Função linear e função a fim 
 
 
 
Exercícios de AUTOAVALIÇÃO 
1. Considerando uma função real f: R → R que satisfaça à condição f(x+1) = 
1/f(x), paracada x∈R, julgue os seguintes itens. 
a) Se uma f função satisfaz a essa condição, então f(-2) = f(2). 
b) Se, em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, o gráfico de 
f for uma reta, então essa reta é paralela ao eixo Ox. 
2. Considere que, em 2009, tenha sido construído um modelo linear para a 
previsão de valores futuros do número de acidentes ocorridos nas estradas 
brasileiras. Nesse sentido, suponha que o número de acidentes no ano t seja 
representado pela função F(t) = At + B, tal que F(2007) = 129.000 e 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 115 
F(2009) =159.000. Com base nessas informações e no gráfico apresentado, 
julgue os itens a e b. 
a) O valor da constante A em F(t) é superior a 14.500. 
b) A diferença entre a previsão para o número de acidentes em 2011 feita pelo 
referido modelo linear e o número de acidentes ocorridos em 2011 dado no 
gráfico é superior a 8.000. 
3. A função g(x) = 84.x representa o gasto 
médio, em reais, com a compra de água mineral de uma família de 4 
pessoas em x meses. Essa família pretende deixar de comprar água mineral e 
instalar em sua residência um purificador de água que custa R$ 299,90. Com 
o dinheiro economizado ao deixar de comprar água mineral, o tempo para 
recuperar o valor investido na compra do purificador ficará entre 
A. dois e três meses. 
B. três e quatro meses. 
C. quatro e cinco meses. 
D. cinco e seis meses. 
E. seis e sete meses. 
4. Considere o gráfico da função. Para quais valores de x a função é crescente? 
 
Respostas 
1. 
a) Vamos utilizar basicamente a relação f(x+1) = 1/f(x). 
✓ f(2) = f(1+1) = 1/f(1) 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 116 
✓ f(1) = f(0+1) = 1/f(0) 
✓ f(0) = f(-1+1) = 1/f(-1) 
✓ f(-1) = f(-2+1) = 1/f(-2) 
Temos 4 relações, vamos substituir uma na outra, começando por a até chegar 
em d: 
f(2) = 1/f(1) = 1/1/f(0) = f(0) = 1/f(-1) = 1/1/f(-2) = f(-2) 
Resposta: Afirmação correta 
b) 
Resolução: 
Pelo exercício anterior, temos f(2) = f(0) = f(-2). 
Veja que se o gráfico for uma reta, ela deve passar obrigatoriamente pelos 3 
pontos que são colineares. 
Resposta: Afirmação correta 
 
2. a) 
Basta observar que temos uma função afim, onde sabemos dois pontos, assim 
fica fácil descobrir os valores de A e B. 
1) 129000 = 2007A + B 
2) 159000 = 2009A + B 
1) 129000 – 2007A = B 
2) 159000 – 2009A = B 
Daí, 
129000 – 2007A = 159000 – 2009A 
2009A – 2007A = 159000 – 129000 
2A = 30000 
A = 30000/2 = 15000 
Questão CORRETA 
b) 
Resolução: 
Como já sabemos o valor de A, vamos agora descobrir o valor de B: 
F(2009) = 159000 
159000 = 2009A + B 
159000 = 2009.15000 + B 
B = 159000 – 30135000 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 117 
B = – 29976000 
Temos então que nossa função é: 
F(t) = 15000t – 29976000 
F(2011) = 15000.2011 – 29976000 
F(2011) = 189000 e em 2011 tiveram 189000 acidentes 
Questão ERRADA. 
 
3. 
Como a função afim g(x) representa o gasto médio e queremos saber quando 
o investimento de 299,90 será recuperado, basta igualarmos: 
84.x = 299,90 
x = 299,90 / 84 
x = 3,57 
Logo, entre 3 e 4 meses. 
Resposta: B 
 
4. 
A função é crescente para x < 2 e decrescente para x > 2. 
O intervalo onde x é menor que 2 pode ser representado por ]-∞, 2[. 
Observe que temos um intervalo aberto em 2 pois neste ponto a função não 
é crescente nem decrescente. 
Resposta: B 
 
 
 
1) Dada a função , definida pela fórmula f(x)=2x²+1. Determine a sua imagem: 
Resolução: 
Neste exercício, o domínio é dado, e é D={-3, 2, 0, } e o contradomínio são 
todos números reais. Como já estudamos, a imagem de um número é o 
elemento pertencente ao contradomínio que se encontra no conjunto de 
chegada, está relacionado à este número, e para achar estes número devemos 
aplicar sua lei de formação (a expressão analítica): 
- a imagem do -3 é também representada por f(-3), e f(-3)=2.(-3)² +1, 
então f(-3)=19 
- f(2)=2.(2)²+1, então f(2)=9 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 118 
- f(0)=2.(0)²+1, então f(0)=1 
- f( )=2.( )²+1, então f( )=11 
 
Agora que já achamos as imagens de todos pontos do domínio, podemos dizer 
que o conjunto imagem desta função é Im={19, 9, 1, 11} 
 
2) Dado o esquema abaixo, representando uma função de "A" em "B", 
determine: 
 
a) O Domínio: 
b) A imagem 
c) f(5) 
d) f(12) 
Resolução: 
 
a) Como vimos nas lições, o conjunto em que as flechas saem, é o conjunto 
Domínio, esta é barbada 
D={5, 12, 23}. 
 
b) Conjunto Imagem é todos os elementos do contradomínio (conjunto "B") em 
que há relacionamento com o Domínio, então: 
Im={7, 14, 25} 
c) Nunca esquecendo que, perguntar qual a f(5) é a mesma coisa que perguntar 
qual a imagem do ponto 5. 
f(5)=7 
d) Como no exercício anterior: f(12)=14. 
03 -Um táxi começa uma jornada, partindo da baixa da Cidade da Beira para o 
Aeroporto, com o taxímetro a marcar 40,00MT. Cada quilômetro andado custa 
30,00MT. Se ao final da jornada (chegado no Aeroporto Internacional da Beira), o 
passageiro pagou 720,00MT, a quantidade de quilômetros percorridos foi de: 
a)26 
b)11 
c)33 
d)22 
e)32 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 119 
Resolução: A função será y = f(x) = 30x + 40, onde y (preço a ser pago) está em 
função de x (número de quilômetros anddados) 
y = 30x + 40 
 
Se o passagéiro pagou 720,MT esse é o y, assim encontramos o número de 
quilômetros rodados x: 
720 = 30x + 40 
 30x + 40 = 720 
30x = 720 – 40 = 730 
 x = 22
30
720
=  x = 22 
 
Agora é só completar: a resposta correcta está na alínea ----------- Isso. Vê que não 
custa para quem estuda? 
 
04 - As figuras abaixo representam gráficos de funções do tipo y = ax + b 
 
Considere as afirmações: 
I. na figura 1 , temos b = 0; 
II. na figura 2 , temos a < 0 e b≠0; 
III. na figura 3, temos a > 0 e b < 0; 
IV. na figura 4, temos a = 0; 
V. as figuras 2 e 3 representam gráficos de funções decrescentes; 
As afirmações verdadeiras são: 
a) I, II e IV 
b)II e III 
c)II, IV V 
d)I e II 
e)II, III, IV e V 
 
 
Resolução: 
Item I 
Verdadeiro. O b é ponto onde a reta corta o eixo y. 
 
Item II 
http://3.bp.blogspot.com/-nxi2gVZ3Ukw/UI3ZwSU1C6I/AAAAAAAABy0/pUa6lLApnes/s1600/funcao1grau.bmp
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 120 
Verdadeiro. A função é decrescente, então a<0, e a reta não passa na origem, 
então b é diferente de 0. 
 
Item III 
Falso. A função é crescente mais corta o eixo y acima do eixo x, então temos b>0. 
 
Item IV 
Verdadeiro. Neste caso a função é constante, qualquer valor pra x resulta o 
mesmo y, que é o valor do coeficiente linear b. 
 
Item V 
Falso, na figura II o gráfico é decrescente e na figura III é crescente. 
 
Gabarito Letra: A 
 
04 - (UFSM 2011) Em relaç5 5. Observe o gráfico abaixo, considerando 2007 como x = 1, 2008 como x = 2 e ssim, sucessivamente, a função afim 
y = ax + b que me assim sucessivamente, a função afim y = ax + b que melhor expressa a 
 evolução das notas em Matemática do grupo II é 
 
 
 
http://2.bp.blogspot.com/-dzlNSabZ0Ho/UI3g0s2O_gI/AAAAAAAABzE/k-SfWMhey7Y/s1600/ufsm1.bmp
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 121 
 
 Resolução: 
 Temos dois pontos na recta II, é o que precisamos para determinar a função. Um dos 
 pontos é (1, 70) e o outro é (3, 65). 
y = ax + b 
70 = a + b 
70 - a = b 
y = ax + b 
65 = 3a + b65 = 3a + 70 - a 
65 - 70 = 2a 
-5 = 2a 
a =
2
5
− 
b = 70 - a 
b = 70 - (-5) / 2 
 Resposta: alínea B 
 
b = 140 / 2 + 5 / 2 
b = 145 / 2 
y = -5 
 
 
 
 
 
http://3.bp.blogspot.com/-AvuZp3VGCNs/UI3g5YQ-fbI/AAAAAAAABzM/GyAYCQUJ8gI/s1600/ufsm2.bmp
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 122 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade Temática 3.2. Gráficos de Funções. 
Introução 
 
Sob um ponto de vista operacional, como dissemos na Unidade 
Temática 3.1. anterior, uma função pode ser considerada com um 
conjunto de pares ordenados (x.y), criados de acordo com determinado 
critério; plotados em um sistema de coordenadas cartesianas. 
 
Os pares ordenados assim criados produzem o que se chama de gráfico 
da função. O conjunto dos valores x é chamado domínio da função, e o 
conjunto dos y é chamado Contradomínio/imagem da função. 
 
Nos pares ordenados, cada valor x é utilizado apenas uma vez. 
Nesta Unidade dedicar-nos-emos a construção, anaáçise e 
interpretação de gráfico de diferentes tipos de funções. 
A análise de gráficos é importante para responder questões de 
diferentes disciplinas. Para facilitar a anaálise e interpretação de 
gráficos de diferentes funções, estudaremos as diferentes 
possibilidades de formato. 
Porque este conteúdo é muito intuitivo, daremos maior ênfase aos 
exercícios, buscando apresentar a melhor forma de solucionar as 
questões. 
Apenas um LEMBRETE: Quanto mais exercita, mais aprende. 
 
 
 
 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 123 
 
 
 
 
 
 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
Objectivos 
específicos 
 
 
 
▪ Construir: gráfico de qualquer função estudada; 
▪ Fazer Análise e Interpretação: de gráficos de funções estudadas; 
▪ Aplicar: os conhecimentos adquiridos na vida prática e profissional; 
 
Construção de Gráfico de uma Função 
 
 
Gráficos 
A construção de um gráfico no plano cartesiano, que introduzimos na 
Unidade Temática 2.1., representado pela lei (expressão analítica) de 
formação geral das funções, dada por y = f(x), com x pertencente ao 
domínio e y constituindo ao Contradomínio/imagem, será dada por 
algumas condições práticas, como as seguintes: 
 
* Construir um eixo de coordenadas cartesianas em papel 
centimetrado ou milimetrado. 
* Determinar uma tabela com os possíveis valores do domínio dado 
por x. 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 124 
* Calcular o par ordenado (x, y) de acordo com a lei de formação da 
função em questão. 
* Marcar no plano cartesiano os pares ordenados calculados, 
obedecendo à ordem x (eixo horizontal) e y (eixo vertical). 
* Ligar os pontos, constituindo o gráfico da função. 
 
 
Exemplo 1 
 
Vamos determinar o gráfico da função dada pela seguinte lei de 
formação: y = f(x) = 2x – 1. 
X Y = 2x - 1 Pár ordenado (x,y) 
- 2 - 5 (-2-5) 
- 1 - 3 (-1,-3) 
0 - 1 (0,-1) 
1 1 (1,1) 
2 3 (2,3) 
Mostrando respectivos Cálculos 
f(-2) = 2.(–2) – 1 = –4 –1 = -5  y = –5 
f(-1) = 2.(–1) –1 = –2 – 1 =-3  y = –3 
f(0) = 2 . 0 – 1= -1  y = –1 
f(1) = 2 . 1 – 1 = 2 – 1= 1  y = 1 
f(2) = 2 . 2 – 1 = 4 – 1 = 3  y = 3 
 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 125 
Exemplo 2 
 
Determinar o gráfico da função dada por y = f(x) = x². 
X Y = x2 Pár ordenado (x,y) 
- 2 4 (-2,4) 
- 1 1 (-1,1) 
0 0 (0,0) 
1 1 (1,1) 
2 4 (2,4) 
Mostrando respectivos Cálculos 
 
f(-2) = (–2)² = 4 
f(-1) = (–1)² = 1 
f(0) = (0)² = 0 
f(1) = (1)² = 1 
f(2) = (2)² = 4 
 
 
 
Exemplo 3 
 
Determinar o gráfico da função dada por y = f(x) = x³. 
X Y = x3 Pár ordenado (x,y) 
- 2 - 8 (-2,-8) 
- 1 - 1 (-1,-1) 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 126 
0 0 (0,0) 
1 1 (1,1) 
2 8 (2,8) 
Mostrando respectivos Cálculos 
f(-2) = (–2)³ = –8 
f(-1) = (-1)³ = -1 
f(0)=(0)=03 
f(1) = 1³ = 1 
f(2) = 2³ = 8 
 
 
 
 
Exemplo 4 
 
Construir o gráfico da função y = f(x) = 4x4 – 5x3 – x2 + x – 1. 
 
 
y = 4 . (0,5)4 – 5 . (0,5)3 – 0,52 + 0,5 – 1 = 0,25 – 0,625 – 0,25 + 0,5 – 1 
= – 1,155 
y = 4 . 04 – 5 . 03 – 02 + 0 – 1 = –1 
y = 4 . 14 – 5 . 13 – 12 + 1 – 1 = –2 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 127 
 
 
Análise e Interpretação de Gráficos de 
Funções 
O gráfico abaixo mostra o lucro de três empresas: A, B e C. Vamos 
pensar e entender um pouco mais sobre o que ele está a nos dizer. 
 
Exemplo de uso de um gráfico 
Primeiro, temos que nos orientar. Então, chamaremos a recta 
representada pelo lucro de cada empresa de "eixo vertical". O eixo 
vertical mede a altura dos pontos. Portanto, quanto mais alto o ponto, 
maior será o lucro. E, por sua vez, a reta que representa os meses de 
eixo horizontal. O eixo horizontal mede a largura do ponto. Assim, 
quanto mais largo – ou quanto mais à direita do eixo vertical – o tempo 
será maior. 
 
 
Repare, agora, somente nos pontos A e B. Esses estão na mesma reta 
vertical. Qquer dizer que eles têm a mesma largura. Portanto, 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 128 
correspondem ao mesmo mês. E, ainda, o ponto A está um pouco mais 
acima que o B. O que isso significa? A Empresa Álgebra possui mais lucro 
que a Empresa Aritmética, visto que a altura do ponto A é maior. 
Olhemos para os pontos B e C. Nesse caso, ambos possuem a mesma 
altura, mas larguras diferentes. Então, no mês de Abril a Empresa 
Aritmética possui um lucro de aproximadamente R$2.500, o mesmo 
lucro da empresa Álgebra, porém no mês de maio. 
Por fim, o ponto D: ele representa o lucro da empresa Aritmética no 
mês de junho. O menor lucro entre as três aqui mostradas. Basta ver 
que o ponto D está mais abaixo que os outros. 
Em resumo: é muito importante saber o que cada eixo representa. Se o 
eixo vertical representasse o índice de chuva em uma determinada 
região, então quanto mais alto o gráfico, mais chuva. Ou, em um outro 
exemplo: se o eixo horizontal tivesse determinado pela pressão de um 
gás, então quanto menor a largura, menor seria sua pressão. Por ai em 
diante. Está a entender? Em seguida vmos fazer análise da monotonia 
(Crescimento, Decrescimento, Constância e raízes). 
Crescente, Decrescente, Constante e Raízes 
Primeiro, temos que nos orientar. Então, chamaremos a reta 
representada pelo lucro de cada empresa de "eixo vertical". O eixo 
vertical mede a altura dos pontos. Portanto, quanto mais alto o ponto, 
maior será o lucro. E, por sua vez, a reta que representa os meses de 
eixo horizontal. O eixo horizontal mede a largura do ponto. Assim, 
quanto mais largo – ou quanto mais à direita do eixo vertical – o tempo 
será maior. 
A ideia aqui é localizar se o gráfico cresce, diminui ou até mesmo onde 
ele permanece constante. Um importante lembrete: o eixo horizontal 
cresce no mesmo sentido em que lemos um texto, da esquerda para 
direita. Por sua vez, o eixo vertical cresce de baixo para cima. 
 
Análise gráfica 
Olhando para o gráfico acima, conseguimos reparar que ele possui as 
três caraterísticas. Lendo da esquerda para direita no eixo horizontal: 
Crescente: o gráfico cresce no intervalo antes do -1 ou do 2 até o 5. Ou 
seja, (∞ ; -1) ou (2; 5) 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 129 
 
Decrescente: o gráfico diminui no intervalo depois do -1 até o 2. Ou 
seja, (-1; 2) 
Constante: o gráfico permanece com seu valor no intervalo depois do 
5. (5; ∞) 
E, por fim, as raízes são onde o gráfico passa pelo eixo horizontal. Com 
isso, no exemplo acima, as raízes são -2, 0 e 4Sumário 
Nesta Unida Temática 3.2. estudamos 
1. Construção de gráfico de uma função; 
2. Análise e interpretação de gráficos; 
3. Função crescente, Constante e Decrescente. 
 
 
 
 
 
 
Exrcícios de AUTO-AVALIAÇÃO 
1. Qual é o gráfico da função 𝑦 = 2𝑥 − 2 
2. Qual é o gráfico da função 𝑦 = 1/𝑥 
3. Qual é o gráfico da função 𝑦 =
𝑥−1
𝑥+2
 
4. Representa no mesmo S.C.O, os gráficos das funções 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 
e 𝑓(𝑥) = −𝑥2 − 𝑥 + 6 
 
 
 
 
 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 130 
 
 
 
Respostas 
1. 
 
2. 
 
3. 
 
4. 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 131 
 
 
GRUPO-2 (Com respostas) 
1. Enumere, pelo menos, 4 condições para construção de gráfico de 
qualquer função. 
2. Reconstrua os gráficos do exemplos de 1 a 4 desta Unidade Temática 
3.2. desta vez com novos dados, de sua criação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 132 
Unidade Temática 3.3. Propriedades de 
Funções. 
Introdução 
 
As funções, independentes do grau que ela seja, são caracterizadas 
conforme a ligação entre os elementos dos conjuntos onde é feita a 
relação. 
 
Uma função A →B pode ser: sobrejetora, injetora, e bijetora. Para 
identificarmos essas características em uma função é preciso que 
tenhamos o conhecimento da definição de função, do que é um domínio, 
imagem e contradomínio. 
 
Observe o diagrama abaixo que representa uma função f: A→B e veja 
quem é o domínio, a imagem e o contradomínio dela. 
 
 
Domínio serão todos os elementos do conjunto A: D(f) = {-3,1,2,3} a 
imagem será os elementos do conjunto B que receberem a seta: Im(f) = 
{1,4,9} e o contradomínio será todos os elementos do conjunto B: CD(f) = 
{1,4,5,9}. 
Identificar as características de uma função é o principal objectivos desta 
Unidade Temática, como veremos no desenvolvimento seguinte. 
 
 
 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 133 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
Objectivos 
específicos 
 
 
 
▪ Definir Continuidade: 
▪ Definir e identificar: função Sobrejectora; 
▪ Definir e identificar: função bijectora; 
▪ Definir e identificar: funções injectora; 
Propriedades de uma Função 
Continuidade 
Uma das Prorpriedades de uma função é a Continuidade. 
Uma função é dita contínua sobre um intervalo dado, , se possui 
um valor definido para todos os números contidos nesse intervalo. Por 
exemplo, a função: 
, definida para o contradomínio , não é 
contínua no intervalo , uma vez que não está 
definida para x < 0. 
Função sobrejectora 
 
Uma função será considerada sobrejectora se o conjunto imagem for 
igual ao conjunto do contra domínio. 
 
Função injectora 
 
Uma função será considerada injectora se os diferentes elementos do 
conjunto do domínio possuirem imagens diferentes. 
 
Função bijectora 
 
Uma função será bijectora se ela assumir as características de uma 
função sobrejectora e injetora ao mesmo tempo. 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 134 
 
EXEMPLOS 
Funções Injectora, Sobrejectora e Bijectora 
Exemplo1: A função y = 5x-2 é injetora pois dados x1 ≠ x2podemos 
escrever f(x1) - f(x2) ≠ 0. Portanto, (5x1 - 2) - (5x2 -2) = 5 (x1 - x2) ≠ 0, pois 
x1 ≠ x2. 
Exemplo2: A função f:R->R definida por f(x)=x²+3 não é injectora, pois 
para x = 1 temos f(1) = 4 e para x = -1 temos f(-1) = 4. 
Observando o diagrama, abaixo, vemos que os elementos do domínio 
estão ligados a um e somente um elemento do contradomínio, isto é, 
não existem elementos em A com imagens iguais. Portanto, se uma 
função f: A -> B é injetora, então n(A) ≤ n(B) 
 
Exemplo3: A função dada por y = 3x + 2 de R em R é sobrejetora pois 
para cada valor de x do domínio, existe pelo menos um correspondente 
(imagem) no contradomínio. 
Exemplo4: A função f:R->R definida por f(x)=2x não é sobrejectora, pois 
o número -1 é elemento do contradomínio R e não é imagem de 
qualquer elemento do domínio. 
Observando no diagrama, abaixo, vemos que todos os elementos do 
contradomínio estão ligados a algum elemento do domínio, isto é, não 
sobram elementos no contradomínio. Portanto, se uma função f: A -> B 
é sobrejectora, então n(A) ≥ n(B). 
 
Exemplo5: A função f:R->R dada por f(x)=2x é bijectora, pois é ao 
mesmo tempo injetora e sobrejetora 
Exemplo6: A função f : R→ R definida por y = 4x - 1 é uma função 
bijectora, pois é ao mesmo tempo injectora e sobrejectora. 
Observando no diagrama, abaixo, vemos que todos os elementos do 
domínio estão ligados a algum elemento do contradomínio e não 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 135 
existem elementos em A com imagens iguais. Portanto, se uma função 
f: A -> B é bijectora então n(A) = n(B) 
 
 
Sumário 
Nesta Unidade Temática 3.3. estudamos 
1. Continuidade de Funções; 
2. Função Sobrejectora; 
3. Função Injectora e; 
4. Função Bijectora. 
 
 
Exrecícios de AUTO-AVALIAÇÃO 
1. Sobre funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras, julgue os itens abaixo em 
verdadeiro ou falso. 
I. Toda função injetora é bijetora. 
II. Quando elementos diferentes geram imagens diferentes,temos uma função 
sobrejetora. 
III.Toda função bijetora admite inversa. 
VI. Quando a imagem é igual ao contra domínio temos uma função 
sobrejetora. 
a) V V V V 
b) F F V V 
c) V V F F 
d) F F F F 
 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 136 
 
2. Na figura a seguir está evidenciada, através de setas, uma relação entre os 
elementos do conjunto A e os elementos do conjunto B. 
 
A respeito desta relação é correto afirmar que: 
A. não é uma função. 
B. é uma função que não é injetora nem sobrejetora. 
C. é uma função injetora, mas não sobrejetora. 
D. é uma função sobrejetora, mas não injetora. 
E. é uma função bijetora. 
 
Respostas 
1. Vamos analisar caso a caso: 
I – Falso 
Uma função pode ser injetora, porém existir um elemento no contradomínio 
que não esteja associado a um elemento do domínio, fato este que tornaria a 
função não sobrejetora e consequentemente não bijetora. 
II – Falso 
O fato do elemento do domínio estar associado a um elemento igual ou 
diferente no contradomínio não é determinante na classificação das funções. 
III – Verdadeiro 
Uma função é bijetora se e somente se possui uma função inversa. 
IV – Verdadeiro 
Se o contradomínio e a imagem são iguais, então todo elemento do 
contradomínio está associado a pelo menos um elemento do domínio e essa 
função é sobrejetora. 
Resposta: B 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 137 
 
2. Resolução 
Se o candidato se concentrar apenas no conjunto B, vai marcar de cara que é 
uma função bijetora pois cada elemento de B está associado a um, e apenas 
um, elemento de A. 
A pegadinha está no elemento 5 do conjunto A, pois para ser uma função, cada 
elemento do conjunto A deve estar associado a um, e apenas um, elemento 
do conjunto B. 
Resposta: A 
 
 
1) Verifique se a função f : Q→Q definida por f(x) = x2 + 1 é injectora, 
sobrejectora, bijectora ou não injectora e nem sobrejectora. 
Solução: Se f é injectora, f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2. Daí, x12 + 1 =x22 + 1 ⇒ x12 
=x22 
Se f não é sobrejectora pois, para f(x) = 0 não existe x tal que x2 + 1= 0. 
Como f não é sobrejectora ela também não pode ser bijectora. Portanto 
ela é apenas injectora (reveja Propriedades de Funções). 
2)Determine se a função f : Z→Z definida por f(x)=x2, é injectora. 
Solução: A função f(x)=x2 não é injectora pois, por exemplo 1 ≠-1 mas 
f(1) = f(-1) = 1. 
3)Determine se a função f : Z→Z definida por f(x) = x + 1, é injectora.Solução: A função f(x)=x+1 é injetora pois sempre x1≠x2, x1+1 ≠ x2+1. 
 
4) Determine se a função f : Z→Z definida por f(x)=x2, é sobrejetora. 
Solução: A função f(x) = x2 não é sobrejetora pois, por exemplo para f(x) 
= -1 não existe x tal que x2 = -1. 
 
5) Determine se a função f : Z→Z definida por f(x) = x+1, é sobrejetora. 
Solução: A função f(x) = x + 1 é sobrejetora pois para todo inteiro y 
existe um inteiro x tal que x + 1 = y. 
 
6) Determine se a função f : Z→Z definida por f(x)=x+1, é bijetora. 
Solução: A função f(x) = x+1 é bijetora pois, como vimos acima é injetora 
e sobrejetora. 
 
7) Considere três funções f, g e h, tais que: 
1. A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade; 
2. A função g atribui a cada país, a sua capital; 
3. A função h atribui a cada número natural, o seu dobro. 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 138 
 
Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras: 
a) f, g e h b) f e h c)g e hd) apenas h e) n.d.a. 
Solução: Sabemos que numa função injetora, elementos distintos do 
domínio, possuem imagens distintas, ou seja: x1 ≠ x2 ⇔ f(x1) ≠ f(x2) . 
Logo, podemos concluir que: f não é injetora, pois duas pessoas 
distintas podem ter a mesma idade. g é injetora, pois não existem dois 
países distintos com a mesma capital. h é injetora, pois dois números 
naturais distintos, possuem os seus dobros também distintos. Assim é 
que concluímos que a alternativa é a de letra C. 
 
Exrecícios Com GABARITO 
1) Verifique em cada caso se a função é injectora, sobrejectora, 
bijectora ou não injectora e nem sobrejectora. 
a) f(x) = -2x + 1 b) f(x) = x2 + 3 c) f(x) = -2 d) f(x) = -2x3 
e) f(x) = x9 f) f(x) = x4 + 2 
2)Considere três funções f, g e h, tais que: 
I - A função f atribui a cada pessoa do mundo, o seu nome; 
II - A função g atribui a cada país, o seu idioma; 
III - A função h atribui a cada número real, o seu triplo. 
Podemos afirmar que, das funções dadas, são bijetoras: 
a) f, g e h b) f e h c) g e h d) f e g e) n.d.a. 
 
 
 
 
TEMA IV: TIPOS ESPECIAIS DE FUNÇÕES 
Unidade 4.1 Funções Polinomiais. 
Unidade 4.2 Funções Exponenciais e Logarítmicas. 
Unidade 4.3. Funções Trigonométricas. 
Unidade 4.4. Regiões no Plano Cartesiano. 
Unidade 4.5. Funções como Modelos Matemáticos. 
Unidade Temática 4.1. Funções Polinomiais. 
Introdução 
 
objectivo dessa Unidade Temática 4.1. é reconhecer o grau de um 
polinômio P(x), a partir da observação e análise do seu gráfico. Esta 
pode ser uma tarefa nada simples. Para termos sucesso, precisamos ter 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 139 
muita atenção e prestar atenção às características locais e globais do 
seu gráfico. Para ajudar nesta tarefa, vamos fazer um resumo do que 
sabemos a cerca de polinômios e seus gráficos. 
Uma das principais razões pelas quais estamos interessados em estudar 
o gráfico de uma função é determinar o número e a localização (pelo 
menos aproximada) de seus zeros. (Recorde que zero de uma função f 
é uma solução da equação quando f(x) = 0. 
O problema de calcular as raízes de uma equação sempre foi objecto de 
estudo da matemática ao longo dos séculos. Já era conhecida, na antiga 
Babilônia, a fórmula para o cálculo das raízes exactas de uma equação 
geral do segundo grau. No século XVI, matemáticos italianos 
descobriram fórmulas para o cálculo de soluções exactas de equações 
polinomiais do terceiro e do quarto grau. Essas fórmulas são muito 
complicadas e por isso são raramente usadas nos dias de hoje. 
Perguntas do tipo: 
o Qual é o maior número de zeros que uma função 
polinomial pode ter? 
o Qual é o menor número de zeros que uma função 
polinomial pode ter? 
o Como podemos encontrar todos os zeros de um 
polinômio, isto é, como podemos encontrar todas as 
raízes de uma equação polinomial? 
ocuparam as mentes dos matemáticos até o início do século XIX, 
quando este problema foi completamente resolvido. 
Nesta Unidade Temática vamos tentar responder a estas perguntas 
refazendo o caminho percorrido por famosos matemáticos desde o 
século XVI. 
 
 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
Objectivos 
específicos 
 
 
 
▪ Definir e Construir: gráfico de qualquer função Polinomial; 
▪ Determinar zeros: de funções Polinomiais; 
▪ Aplicar: os conhecimentos adquiridos na vida prática e profissional; 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 140 
 
Funções Polinomiais 
Pela experiência adquirida no estudo das equações de primeiro e 
segundo grau é razoável supor que o número de raízes de um polinômio 
está relacionado ao seu grau. Sabemos, por exemplo, que a equação x2 
= 0 tem uma única raiz igual a zero. Na verdade, esta equação tem duas 
raizes idênticas, ambas iguais a zero. Esta equação pode ser escrita 
como (x – 0).(x – 0) = 0. 
Esta forma (factorada) de escrever a equação permite perceber, 
claramente, que a mesma possui duas raízes iguais. O mesmo acontece 
com a equação (x – 1)2 = 0 que apresenta duas raizes idênticas e iguais 
a 1. 
Podemos encontrar facilmente, muitos exemplos de equações de 
segundo grau que não têm nenhuma raiz real. Considere, por exemplo, 
a equação x2 + 1 = 1 . Ao tentarmos encontrar as raizes desta equação, 
chegaremos a x2 = -1, que não tem solução real. No entanto, como já 
vimos, se admitirmos que as raízes podem pertencer ao conjunto dos 
números complexos, esta equação tem duas raízes complexas conjugas, 
a saber,x1 = 1− = i e x2 = 1− = i. Da mesma maneira que no exemplo 
anterior, esta equação pode ser escrita na forma fatorada como (x – 
i).(x + i) = 0 . 
No caso mais geral de uma equação de segundo grau, temos que a 
equação ax2 + bx + c = 0 pode sempre ser escrita na forma y = a (x - 
x1).(x - x2) , onde x1 e x2 são as duas raízes da equação, que como já 
vimos pelos exemplos acima, podem ser distintas, repetidas, isto é, 
iguais, ou mesmo complexas. 
Este facto pode ser generalizado para equações polinomiais de 
qualquer grau. De um modo geral, sempre que x1 for um zero complexo 
de um polinômio P(x), isto é sempre que x1 for uma raiz 
complexa da equação P(x)= = 0, temos que (x – x1) é um fator de P(x). 
Este fato foi estabelecido por René Descartes na sua obra "Discours de 
la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la verité dans les 
sciences" (Discurso do método para bem conduzir a razão e procurar a 
verdade nas ciências), publicada em 1637. Suas conclusões podem ser 
resumidas no teorema do fator, enunciado a seguir: 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 141 
 
 
TEOREMA DE FACTORES 
Um número X1 é um zero de um polinômio P se e somente se P(x) tem 
um factor da forma (x – x1). 
O exemplo a seguir mostra como o teorema do factor pode ser usado 
para nos ajudar na tarefa de encontrar as raízes de um polinômio de 
grau maior do que dois. 
 
Exemplo 
Ache os zeros da função polinomial P(x) = x3 – 4x2 + 2x + 3 e representa-
a graficamente, num sisema cartesiano ortogonal (sco). 
Solução 
Assim, dividindo P(x) por (x - 3), (tente fazer essa divisão). 
Obtemos (x2 – x – 1). O que implica que (x – 3).(x2 – x – 1) 
deve ser igual a x3 – 4x2 + 2x + 3, ou P(x) = (x – 3).(x2 – x – 1). 
Esta forma factorizada permite concluir que os zeros, (reveja 
à lei de nulidade), de p(x) devem ser soluções da equação x2 
– x – 1 = 0 . Onde com recurso a fórmula de Bhaskara (fórmula 
resolvente) para resolver esta última equação, obtemos 
a
b
x
2
3,2

= , com acb 42 −= e que são os outros dois 
zeros de P(x), tendo em conta que x1 foi atribuída ao binómio 
(x – 3). Concretamente x2 = 
2
42 acbb −+
 e 
2
42
3
acbb
x
−−
= , com a = 1 (lembre-se que a forma 
canônica de equação quadrática é ax2 + bx + c = 0). Pelo que 
de x2 – x – 1 = 0, vê-se que o valor dos coeficientes é: a = 1; b 
= -1 e c = -1. 
Tente,sem ajuda, calcular os zeros/raízes x1, x2 e x3. 
 
O Teorema do factor responde a primeira das perguntas formuladas no 
início desta Ubidade Temática. Como um polinômio de grau n tem, no 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 142 
máximo, n fatores do primeiro grau, decorre imediatamente, deste 
teorema que uma função polinomial de grau n tem no máximo n zeros. 
Este facto foi primeiro estabelecido no início do século XVII pelo 
matemático alemão Peter Rothe e, mais tarde, por Descartes e Albert 
Girard (1593-1632), ambos matemáticos franceses. Girard e Descartes 
reconheceram a natureza dos zeros de um polinômio porque eles 
estavam entre os primeiros matemáticos a admitir a possibilidade de 
trabalhar com números complexos. 
 
 
Sumário 
Nesta Unidade Temática 4.1. estudamos: 
1. Funções Polinomiais e 
2. Determinação de raízes de um Função Polinomial. 
Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO 
GRUPO-1 (Com respostas detalhadas) 
1. O gráfico da função f, que aplica IR em IR, definida por 
f(x) = x2 + 3x - 10, intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B. A 
distância AB é igual a (Só um resposta é correcta): 
 
a) -3 
b) 5 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
 
2. O gráfico da função y = ax2 + bx + c tem uma só intersecção com o 
eixo Ox e corta o eixo Oy em (0, 1). Então, os valores de a e b 
obedecem à relação, (Só um resposta é correcta),: 
 
a) b2 = 4a 
b) -b2 = 4a 
c) b = 2a 
d) a2 = -4a 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 143 
e) a2 = 4b 
 
 
3. Assinale a equação que representa uma parábola voltada para baixo 
e tangente ao eixo das abscissas, (Só um resposta é correcta): 
 
a) y = x2 
b) y = x2 - 4x + 4 
c) y = -x2 + 4x - 4 
d) y = -x2 + 5x - 6 
e) y = x - 3 
 
 
4. A solução da inequação (x - 3) (-x2 + 3x + 10) < 0 é, (Só um resposta é 
correcta): 
 
a) -2 < x < 3 ou x > 5 
b) 3 < x < 5 ou x < -2 
c) -2 < x < 5 
d) x > 6 
e) x < 3 
 
 
05. Os valores de x que satisfazem à inequação (x2 - 2x + 8) (x2 - 5x + 6) 
(x2 - 16) < 0 são, (Só um resposta é correcta): 
 
a) x < -2 ou x > 4 
b) x < -2 ou 4 < x < 5 
c) -4 < x < 2 ou x > 4 
d) -4 < x < 2 ou 3 < x < 4 
e) x < -4 ou 2 < x < 3 ou x > 4 
 
 
06. Resolvendo a inequação (x2 + 3x - 7) (3x - 5) (x2 - 2x + 3) < 0, um 
aluno cancela o factor (x2 - 2x + 3), transformando-a em (x2 + 3x - 7) 
(3x - 5) < 0. Pode-se concluir que tal cancelamento é(Só um resposta é 
correcta): 
 
a) incorreto porque não houve inversão do sentido da desigualdade; 
b) incorreto porque nunca podemos cancelar um termo que contenha 
a incógnita; 
c) incorreta porque foi cancelado um trinômio do segundo grau; 
d) correto porque o termo independente do trinômio cancelado é 3; 
e) correto, pois (x2 - 2x + 3) > 0 , " x Îℝ. 
 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 144 
7. A função real f, de variável real, dada por f(x) = -x2 + 12x + 20, tem 
um valor (Só um resposta é correcta), : 
 
a) mínimo, igual a -16, para x = 6; 
b) mínimo, igual a 16, para x = -12; 
c) máximo, igual a 56, para x = 6; 
d) máximo, igual a 72, para x = 12; 
e) máximo, igual a 240, para x = 20. 
 
 
08. (PUC - MG) O lucro de uma loja, pela venda diária de x peças, é 
dado por L(x) = 100 (10 - x) (x - 4). O lucro máximo, por dia, é obtido 
com a venda de: 
 
a) 7 peças 
b) 10 peças 
c) 14 peças 
d) 50 peças 
e) 100 peças 
 
 
09. (UE - FEIRA DE SANTANA) Considerando-se a função real f(x) = -2x2 
+ 4x + 12, o valor máximo desta função é: 
 
a) 1 
b) 3 
c) 4 
d) 12 
e) 14 
 
 
10. (ACAFE) Seja a função f(x) = -x2 - 2x + 3 de domínio [-2, 2]. O 
conjunto imagem é: 
 
a) [0, 3] 
b) [-5, 4] 
c) ]-¥, 4] 
d) [-3, 1] 
e) [-5, 3] 
 
 
 
Resolução: 
01. A 02. A 03. C 04. A 
05. D 06. E 07. C 08. A 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 145 
09. E 10. B 
 
 
 
 
Unidade Temática 4.2. Funções 
Trigonométricas. 
Introdução 
 
Em matemática, as funções trigonométricas são funções angulares, 
importantes no estudo dos triângulos e na modelação de fenómenos 
periódicos. Podem ser definidas como razões entre dois lados de um 
triângulo rectângulo em função de um ângulo, ou, de forma mais geral, 
como razões de coordenadas de pontos no círculo unitário. 
Na análise matemática, estas funções recebem definições ainda mais 
gerais, na forma de séries infinitas ou como soluções para certas 
equações diferenciais. Neste último caso, as funções trigonométricas 
estão definidas não só para ângulos reais como também para ângulos 
complexos. 
Actualmente, existem seis funções trigonométricas básicas em uso, 
cada uma com a sua abreviatura notacional padrão. 
 As inversas destas funções são chamadas de função de arco ou funções 
trigonométricas inversas. A nomenclatura é feita através do prefixo 
"arco-", ou seja, arco seno, arco co-seno, etc. Matematicamente, são 
designadas por "arcfunção", i.e., arcsen, arccos, etc.; a notação usando-
se −1 como na notação da função inversa não é recomendada, pois 
causa confusão com o inverso multiplicativo, como em sen-1 e cos-1. O 
resultado da função inversa é o ângulo (argumento) que corresponde 
ao parâmetro da função, como veremos alguns exemplos no 
desenvolvimento desta Unidade Temática 4.3.. 
 
 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de: 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)
http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%82ngulo
http://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulos
http://pt.wikipedia.org/wiki/Raz%C3%A3o
http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo_unit%C3%A1rio
http://pt.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lise_matem%C3%A1tica
http://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_(matem%C3%A1tica)
http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_complexos
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%B5es_trigonom%C3%A9tricas_inversas
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%B5es_trigonom%C3%A9tricas_inversas
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_inversa
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 146 
 
Objectivos 
específicos 
 
 
 
▪ Definir: e identificar função trigonométrica; 
▪ Construir: gráfico de uma função estudada; 
▪ Fazer Análise e Interpretação: de gráficos de funções trigonométricas 
estudadas; 
▪ Aplicar: os os conhecimentos adquiridos na vida prática e profissional; 
 
 
Funções Trigonométricas 
Breve resenha histórica 
A palavra trigonometria é formada por três radicais gregos: tri(três), 
gono(ângulos)e metron(medida); significando assim "medida dos 
triângulos". Inicialmente considerada como uma extensão da 
geometria, a trigonometria já era estudada pelos babilônios, que a 
utilizavam para resolver problemas práticos de Astronomia, de 
Navegação e de Agrimensura. Aliás, foram os astronomos como o grego 
Hiparco (190 aC – 125 aC), considerado o pai da Astronomia e da 
Trigonometria, que estabeleceu as primeiras relações entre os lados e 
os ângulos de um triângulo retângulo. 
No século VIII com o apoio de trabalhos hindus, matemáticos árabes 
contribuíram notavelmente para o avanço da trigonometria. Este 
avanço continuou após a construção da primeira tábua trigonométrica, 
por um matemático alemão, nascido em Baviera, chamado Purback. 
Porém o primeiro trabalho matemático sobre trigonometria foi o 
"tratado dos triângulos", escrito pelo matemático alemão Johann 
Müller, também chamado Regiomontanus. Sabe-se ue Regiomaontanus 
foi discipulo de Purback. 
Actualmente a trigonometria não se limita apenas a estudo de 
triângulos. Sua aplicação se estende a outros campos da matemática, 
como a Análise, e a outros campos da actividade humana como a 
Eletricidade, a Mecânica, a Acústica, a Música, a Topologia, às 
Engenharias, etc. 
http://www.coladaweb.com/matematica/geometria
http://www.coladaweb.com/matematica/trigonometria-(2)UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 147 
Nesta Unidade Temática vamos estudar , como foi dito na introdução 
desta desta Unidade, seis funções trigonométricas, três funções 
directas mais três respectivoas inversas, como se segue: 
Funções trigonométricas directas. 
y = sen x 
y = cos x 
y = tg x 
Respectivas funções inversas: 
y = 1/sen x = cosec x 
y =1/ cos x = sec x 
y = 1/tg x = cotg x 
 O ângulo x é o argumento (variável independente) e o valor da 
função é a variável dependente y ou f(x). É importante recordar que a 
medida dos ângulos pode expressar-se em graus ou em radianos. 
Assim, vemos que: 
0° 0 rad 
360° 2 rad 
 Observemos agora as principais características das funções já 
mencionadas: 
 1. Função y = sen x: 
 a) A função seno é periódica, já que: 
sen (x + 2 ) = sen x 
em que o período da função é t = 2 ; 
 b) O domínio da função é todo o conjunto R, e o contradomínio 
da função é [-1,1]; 
 c) O valor máximo da função é 1 em x = /2 e o valor mínimo da 
função é -1 em x = 3 /2; 
 d) A função é contínua em todo o seu domínio; 
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm24/jssp5.htm#Função y = sen x:
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm24/jssp5.htm#Função y = cos x:
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm24/jssp5.htm#Função y = tg x:
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm24/jssp5.htm#Função y = cosec x:
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm24/jssp5.htm#Função y = sec x:
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm24/jssp5.htm#Função y = cotg x:
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 148 
 e) É uma função crescente no intervalo [0, /2] e [3 /2,2 ], e 
decrescente no intervalo [ /2,3 /2]; 
 f) A função é ímpar, já que: 
sen (-x) = - sen x 
e o gráfico é simétrico em relação à origem (0,0). 
 
 
 2. Função y = cos x: 
 a) A função co-seno é periódica, pois: 
cos (x + 2 ) = cos x 
e o período da função é T = 2 ; 
 b) O domínio é todo o conjunto dos números reais R, e o 
contradomínio da função é [-1,1]; 
 c) O valor máximo da função é 1 em x = 0 ou x = 2 e o valor 
mínimo da função é -1 em x = ; 
 d) A função é contínua em todo o seu domínio; 
 e) É uma função crescente no intervalo [ ,2 ] e decrescente no 
intervalo [0, ]; 
 f) A função é par, já que: 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 149 
cos x = cos (-x) 
e o gráfico é simétrico em relação ao eixo das ordenadas. 
 
 
 3. Função y = tg x: 
 a) A função tangente é periódica, já que: 
tg (x + ) = tg x 
em que o período da função é t = ; 
 b) O domínio da função é R/ { /2 - k , k Z }, e o contradomínio 
da função é todo o conjunto R; 
 c) Esta função não tem extremos locais; 
 d) A função é contínua em todo o seu domínio; 
 e) É uma função crescente em todos os pontos do domínio; 
 f) A função é ímpar, pois: 
tg (-x) = - tg x 
e o gráfico é simétrico em relação à origem (0,0). 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 150 
 
 
 4. Função y = cosec x: 
 a) A função co-secante é periódica, já que: 
cosec (x + 2 ) = cosec x 
em que o período da função é t = 2 ; 
 b) O domínio da função é R/ {0 + k , k Z }, e o contradomínio 
da função é o conjunto R/ [-1,1]; 
 c) Esta função tem um máximo local em 3 /2 e um mínimo local 
em /2; 
 d) A função é contínua em todo o seu domínio; 
 e) É uma função crescente onde a função sen x é decrescente e é 
decrescente onde a função sen x é crescente; 
 f) A função é ímpar, pois: 
cosec (-x) = - cosec x 
e o gráfico é simétrico em relação à origem (0,0). 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 151 
 
 
 5. Função y = sec x: 
 a) A função secante é periódica, já que: 
sec (x + 2 ) = sec x 
em que o período da função é t = 2 ; 
 b) O domínio da função é o conjunto R/{ /2 - k , k Z } , e o 
contradomínio da função é R/ [-1,1]; 
 c) A função tem um máximo local em x = e um mínimo local em 
x = 0; 
 d) A função é contínua em todo o seu domínio; 
 e) É uma função crescente onde a função cos x é decrescente e é 
decrescente onde a função cos x é crescente; 
 f) A função é par, pois: 
sec x = sec (-x) 
e o gráfico é simétrico em relação à origem (0,0). 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 152 
 
 
 6. Função y = cotg x: 
 a) A função co-tangente é periódica, já que: 
cotg (x + ) = cotg x 
em que o período da função é t = ; 
 b) O domínio da função é R/ {k , k Z}, e o contradomínio da 
função é todo o conjunto R; 
 c) Esta função não tem quaisquer extremos; 
 d) A função é contínua em todo o seu domínio; 
 e) É uma função decrescente em todos os pontos do domínio; 
 f) A função é ímpar, pois: 
cotg (-x) = - cotg x 
e o gráfico é simétrico em relação à origem (0,0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 153 
 
 
Sumário 
Nesta Unidade Temática 4.2. estudamos funções trigonmétricas: 
 
Senx, cosx, tagx, coscx, secx e cotgx, 
 
 
 
 
 
Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO 
GRUPO-2 (Com respostas detalhadas). 
Determine o período e esboce o gráfico das seguintes funções: 
1. f(x) = 4 cosx. 
2. f(x) = 2 - senx. 
3. f(x) = 3 cos 





2
x
 
4. f(x) = 5 + cosx. 
5. f(x) = 2 tgx. 
6. f(x) = 3 cos 





−
3

x 
7. f(x) = cosx + senx 
 
 
 
. 
 
Unidade Temática 4.4. Regiões no Plano 
Cartesiano. 
Introdução 
 
A geometria analítica em duas dimensões usa a álgebra para descrever 
figuras planas e suas propriedades. O principal recurso dessa geometria 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 154 
é o plano cartesiano, determinado por duas retas reais 
perpendiculares, horizontal e vertical. 
 
 
No plano cartesiano, cada ponto está univocamente associado a um par 
ordenado, onde o primeiro e segundo elemento denotam 
respectivamente a abscissa (ou projeção do ponto no eixo horizontal) e 
a ordenada (ou projeção do ponto no eixo vertical). 
Nesta Unidade Temática 4.4. vamos estudar as regões do Plano 
Cartesiano em duas (2D) e em três (3D) Dimensões 
 
 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
Objectivos 
específicos 
 
 
 
▪ Identificar: regiões do Sistema Cartesiano Ortogonal em 2D; 
▪ Identificar: regiões do Sistema Cartesiano ortogonal em 3D; 
▪ Aplicar: os os conhecimentos adquiridos na vida prática e profissional; 
 
Regiões no Plano Cartesiano 
 
As coordenadas cartesianas são representadas pelos pares ordenados 
(x ; y). Em razão dessa ordem, devemos localizar o ponto observando 
primeiramente o eixo x e posteriormente o eixo y. Qualquer ponto que 
não se encontrar sobre os eixos, estará localizado em cada uma das 
quatro regiões ou quadrantes, veja: 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 155 
 
Cada região tem suas próprias características, como as ilustradas a 
abaixo: 
1º quadrante = x > 0 e y > 0 
2º quadrante = x < 0 e y > 0 
3º quadrante = x < 0 e y < 0 
4º quadrante = x > 0 e y < 0 
 
Localizando pontos no Plano Cartesiano: 
 
 
A(4 ; 3) → x = 4 e y = 3 
 
B(1 ; 2) → x = 1 e y = 2 
 
C( –2 ; 4) → x = –2 e y = 4 
 
D(–3 ; –4) → x = –3 e y = –4 
 
E(3 ; –3) → x = 3 e y = –3 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 156 
 
O Plano Cartesiano é muito utilizado na construção de gráficos de 
funções, onde os valores relacionados à x constituem o domínio e os 
valores de y, a imagemda função. A criação do Sistema de Coordenadas 
Cartesianas é considerada uma ferramenta muito importante na 
Matemática, facilitando a observação do comportamento de funções 
em alguns pontos considerados críticos. 
 
Podemos associar o Plano Cartesiano com a latitude e a longitude, 
temas relacionados aos estudos geográficos e à criação do atual sistema 
de posicionamento, o GPS. O Sistema de Posicionamento Global 
permite que saibamos nossa localização exacta na terra, desde 
 que tenhamos em mão um receptor de sinais GPS, informando a 
latitude, a longitude e a altitude com o auxilio de satélites em órbita da 
Terra. 
Um exemplo de utilização do GPS são os aviões, que para não se 
colidirem são monitorados e informados em qual rota devem seguir. 
 
Sistema Cartesiano 3D 
O que é o espaço ou 3D? Em quantas regiões se subdivide o espaço? 
Reconhecemos e usamos o espaço, mas se alguém nos pergunta sobre 
o que é o espaço, muitos iremos ter dificuldades em responder e/ou 
explicar. Mesma surpresa com que se deparou Sócrates (469 a.C.- 399 
a.C), filósofo Ateniense da Grécia antiga, quando perguntou ao Sr, 
ministro de Justiça: … O que é justiça? O Sr. Ministro não soube 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 157 
responder como devia…! Foi quando Sócrates percebeu que há tanto 
conceito com que lidamos e falamos no nosso dia a dia, mas que na 
verdade não nos apercebemos que o não conhecemos com 
profundidade e clareza! 
 Na verdade, é mais fácil explicar o que se pode fazer com este termo 
primitivo que não tem definição para nós. 
Uma primeira tentativa para explicar a noção do que possa ser espaço, 
é dizer que é tudo o que nos envolve e é o local onde podemos nos 
mover para a frente, para o lado e para cima. 
 
Pelo conceito expresso, observamos que vivemos em um ambiente 
tridimensional. Basta então conhecer as três direções para identificar 
a posição relativa que ocupamos. 
Quando afirmamos que vamos andar para a frente, para o lado e para 
cima, devemos quantificar e identificar o quanto iremos nos deslocar 
nestas direções, logo necessitamos conhecer uma origem para o 
sistema e identificar este ponto como (0,0,0) pois esperamos que ele 
esteja localizado a uma distância num ponto de referência para todos 
os outros pontos. 
 
 
O Sistema Cartesiano tridimensional 
Um procedimento matemático simples é tomar um ponto genérico 
como: 
P=(x,y,z) 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 158 
onde x indicará a quantidade deslocada na direção positiva do eixo que 
contem os deslocamentos para frente, y indicará a quantidade 
deslocada na direção positiva do eixo que contem os deslocamentos 
para o lado e z indicará a quantidade deslocada na direção positiva do 
eixo que contem os deslocamentos para cima. 
Para facilitar as coisas do ponto de 
vista matemático, iremos denominar 
tais direções por: Eixo OX, Eixo OY e 
Eixo OZ. 
O sistema tridimensional é o conjunto 
de todos os ternos ordenados (x,y,z), 
sendo que ordem não pode ser 
mudada sob pena de nos deslocarmos 
para outro lugar. A palavra cartesiano 
se deve a René Descartes, conhecido 
como cartesius. x recebe o nome de abscissa, y o nome de afastamento 
e z o nome de altura/cota. 
Exemplo: Se um indivíduo está no centro 
da cidade em uma posição O=(0,0,0) e 
quer andar para a frente 3 quarterões, 
depois andar para o lado 2 quarteões e 
depois subir até o 10o andar de um 
prédio a posição final do mesmo após o 
percurso será o ponto P=(3,2,10) e 
podemos observar que as unidades não 
são necessariamente as mesmas. Se este mesmo indivíduo se 
deslocasse para a posição final P=(3,10,5), certamente chegaria a um 
lugar diferente. 
OCTANTES 
Observe atentamente a figura a baixo. Note que o plano xy separa todo 
espaço em duas regiões, uma no sentido positivo do eixo 0z, a outra no 
sentido negativo do eixo 0z. Cada região contém quatro subdivisões, 
totalizando oito. Por serem oito, diz-se que o espaço tridimensional é 
subdividido em octantes (cada uma das oito partes) como ilustrado na 
figura a baixo. 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 159 
 
 
Vista de um octante 
Um octante é a intersecção de três Planos perpendiculares (xy, xz e yz). 
 
 
 
Sumário 
Nesta Unidade Temática 4.4. estudamos. 
1. Regiões do Sistema Cartesiano em duas Dimensões (2D); 
2. Regiões (octantes) do Sistema Cartesiano em três Dimensões (3D). 
 
 
http://www.google.co.mz/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&docid=2yOhb9rfbCDNsM&tbnid=THnelY1wzZrTBM:&ved=0CAcQjRw&url=http://sistematridimensional6a.blogspot.com/&ei=9kkYVOOeOI_OaOfOgLAC&bvm=bv.75097201,d.d2s&psig=AFQjCNEFSuwtbqya_wFWe1JSYTMsy08NDw&ust=1410963290800768
http://www.google.co.mz/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&docid=2yOhb9rfbCDNsM&tbnid=oRd2dQcEHezMiM:&ved=0CAcQjRw&url=http://stor.pt.cx/feiramatik/2010/11/22/referencial-no-espaco/&ei=vkYYVOnoBtfVapWggNgC&bvm=bv.75097201,d.d2s&psig=AFQjCNEFSuwtbqya_wFWe1JSYTMsy08NDw&ust=1410963290800768
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 160 
Exrecícios de AUTO-AVALIAÇÃO 
GRUPO 2 (Exercícios com respostas) 
Localize os seguintes pontos no SCO (em 2D): 
1. P(-6, 5) 
2. Origem do sistema 
3. P(3, 3/5) 
4. P(41/2, -7) 
5. P(-5,5, -3,3) 
 
Em Quais Quadrantes se Encontram os Pontos (em 2D)? 
6. P(3, 3) 
7. P(-3, -3) 
8. P(-3, 3) 
9. P(3, -3) 
10. P(0, 0) 
11. P(-1, 0) 
12. P(0, -2) 
NB; que os três últimos pontos não se encontram em nenhum 
quadrante, pois eles estão localizados sobre o eixo x, o eixo y, ou 
sobre a origem do sistema! 
 Em 3D 
Construa um SCO (Sistena Cartesiano Ortogonal) em 3D 
(tridimensional), indicando a localização e respectivo octante, de cada 
um dos seguintes pontos no espaço: 
A ( 0; 4; 0); B ( 2; 5; 1); C ( -4; -2; 4); D ( 5; -5; 5) 
E (-2; 4; 4); F (0; 0; 0); G ( -2; 0; 6); H ( 6; -4: -2) 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 161 
 
 
Unidade Temática 4.5. Funções como Modelos 
Matemáticos 
Introdução 
 
Em muitas situações práticas, o valor de uma quantidade pode 
depender do valor de uma segunda quantidade. 
 Problemas do mundo real dão origem a modelos matemáticos 
envolvendo funções. Neste artigo, apresentamos 
 exemplos que envolvem a construção e análise de modelos funcionais 
dada uma situação particular. 
 Veremos que uma forma de funções construção é a realização de um 
processo 
chamado de ajuste de curvas, que encontra a função que melhor se 
adapta a determinado conjunto 
 de observações. A partir da função obtida, vária previsão pode 
 ser feita em relação à situação modelada pela função. Ajuste de curva 
 é um aspecto da modelagem matemática. Ajuste de curva é realizada 
com 
o auxílio de uma ferramenta gráfica, como uma calculadora e de 
reconhecida importância 
 
 
 
 
 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
Objectivos 
específicos 
 
 
 
▪ Construir: gráfico de qualquer função estudada; 
▪ Fazer Análise e Interpretação: de gráficos de funções estudadas; 
▪ Função Demanda; 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 162 
▪ Função Oferta; 
▪ Ponto de Equilíbrio; 
▪ Funções Marginais; 
▪ Função Custo Marginal 
▪ Aplicar: os os conhecimentos adquiridos na vida prática e profissional; 
 
Funções como modelos Matemáticos 
Um modelo matemático é a descrição matemática de um fenómeno 
do mundo real, como por exemplo: 
o tamanho de uma população, 
a demanda de um produto, 
a concentração de um produto em uma reação química ou 
o custo da redução de poluentes. 
Uma importante aplicação da Matemática, em termos de modelagem, 
está presente na Economia através das Funções Custo, Receita e 
Lucro. 
Função Custo 
A função custoestá relacionada aos gastos efetuados por uma 
empresa, indústria, loja, na produção ou aquisição de algum produto. 
O custo pode possuir duas partes: uma fixa e outra variável. Podemos 
representar uma função custo usando a seguinte expressão: C(x) = Cf + 
Cv, onde Cf: custo fixo e Cv:custo variável 
 
Função Receita 
A função receita está ligada ao faturamento bruto de uma entidade, 
 
dependendo do número de vendas de determinado produto. 
 
R(x) = px , onde p: preço de mercado e x: nº de mercadorias vendidas. 
 
 
Função Lucro 
A função lucro diz respeito ao lucro líquido das empresas, lucro 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 163 
oriundo da subtração entre a função receita e a função custo. 
 
L(x) = R(x) – C(x) 
 
Exemplo 1 
Uma industria siderúrgica fabrica pistões para fábrica de montagem 
de motores de automóveis. O custo fixo mensal (em unidade de 1000 
MT) é de 950,00 inclui conta de energia elétrica, de água, impostos, 
salários e etc. Existe também um custo variável que depende da 
quantidade de pistões produzidos, sendo que o fabrico de cada pistão 
custa (em unidade de 100MT) 41,00. Considerando que o valor de 
cada pistão no mercado (em unidades de 100 MT) seja equivalente a 
120,00. Monte as Funções Custo, Receita e Lucro. Calcule o valor do 
lucro líquido na venda de 1000 pistões e quantas peças, no mínimo, 
precisam ser vendidas para que se tenha lucro. 
 
Função Custo total mensal: 
C(x) = 950 + 41x 
 
Função Receita 
R(x) = 120x 
 
Função Lucro 
L(x) = R(x) – C(x) = 120x – (950 + 41x) 
 
Lucro líquido na produção de 1000 pistões 
L(1000) = 120*1000 – (950 + 41 * 1000) 
L(1000) = 120.000 – (950 + 41000) 
L(1000) = 120.000 – 950 - 41000 
L(1000) = 120.000 – 41950 
L(1000) = 78.050 
O lucro líquido na produção de 1000 pistões (em unidades de 100 MT) 
será de 78.050,00. 
 
Para que se tenha lucro é preciso que a receita seja maior que o custo. 
 
R(x) > C(x) 
120x > 950 + 41x 
120x – 41x > 950 
79x > 950 
x > 950 / 79 
x > 12 
 
Para ter lucro é preciso vender acima de 12 peças (pistões). 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 164 
Conclusão 
Neste exmplo 1, aproximamos todas as expressões a uma função do 10 
grau ou linear, que é o significado da modelagem (aproximar à…). 
Função Demanda 
A função que associa um preço "p" à procura de mercado ou demanda 
em um período determinado é chamada de função demanda e, está 
relacionada ao ponto de vista do consumidor. 
Pode ser representada por D(p). 
Sabe-se que quando o preço aumenta, a procura diminui, e vice-versa. 
A função demanda é uma função decrescente. 
Função Oferta 
A função oferta relaciona o preço "p" e a quantidade ofertada, do 
ponto de vista do produtor. 
Pode ser representada por O(p). 
A função oferta, ao contrário da função demanada, é uma função 
crescente. 
Ponto de equilíbrio 
O ponto de equilíbrio é o preço "p" que torna iguais a quantidade 
demadada e ofertada de um bem. 
Funções Marginais 
A função marginal de uma função f(x) é a derivada da função f(x), ou 
seja, f '(x). 
 
Assim, tem-se que: 
a função custo marginal é a derivada da função custo, 
a função receita marginal é a derivada da função receita, 
a função lucro marginal é a derivada da função lucro. 
Utiliza-se o conceito de função marginal para avaliar o efeito causado 
em f(x) por uma pequena variação de x. 
Função custo marginal 
A função custo marginal é a variação do custo total decorrente da 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 165 
variação de uma unidade na quantidade produzida. 
Cmg(x) = C(x + 1) – C(x) C'(x). 
 
 
SUMÁRIO 
Nesta Unidade Temática 4.5 analisamos e discutimos como exemplo 
de modelagem matemática, em termos de Funções: 
1.Função Custo; 
2. Função Receita; 
3. Função Lucro; 
4. Função Demanda; 
5. Função Oferta; 
6. Ponto de Equilíbrio; 
7. Funções Marginais e; 
8. Função Custo Marginal. 
 
 
Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO 
GRUPO 2 (Exercícios com respostas). 
1. O custo para produção de uma determinada mercadoria tem 
custo fixo mensal (em unidades de 100,00MT) é de 1440,00 e 
inclui despesas com energia elétrica, água, impostos, salários e 
impostos e um custo (em unidades de 100,00MT) de 50,00 por 
peça produzida. 
Considerando que o preço de venda da unidade de cada produto 
seja (em unidades de 100,00MT) de 140,00, monte as Funções a) 
Custo, b) Receita e c) Lucro. 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 166 
 
Respostas 
a) Função Custo total mensal: 
C(x) = 1440 + 50x 
 
b) Função Receita total mensal e: 
R(x) = 140x 
 
c) Função Lucro total mensal: 
L(x) = 140x – (1440 + 50x) 
L(x) = 140x – 1440 – 50x 
L(x) = 90x – 1440. 
2. Função Custo Marginal 
O custo, de fabricação de "x" unidades de um produto obedece 
lei C(x) = x2 + 5x + 10. Actualmente o nível de produção é de 20 
unidades. 
Calcule, aproximadamente, de quanto varia o custo (função 
custo marginal) se forem produzidas 21 unidades. 
 
C(20) = 202 + 5 . 20 + 10 = 400 + 100 + 10 = 510. 
C(21) = 212 + 5 . 21 + 10 = 441 + 105 + 10 = 556. 
Cmg(x) = 556 – 510 = 46. 
 
É mais prático calcular a derivada, do qual se obtem um valor 
aproximado: 
de C(x) = x2 + 5x + 10 
C'(x) = 2x + 5 
C'(20) = 2 . 20 + 5 = 40 + 5 = 45. 
 
Portanto, o custo marginal (em unidades de 100,00MT) para a 
produção de 20 unidades é de aproximadamente 45,00. 
3. Receita Marginal 
Seja R(x) = x2 + 200x + 20 a receita total da venda de "x" 
unidades de um produto. Calcule a receita marginal para x = 20. 
R'(x) = 2x + 200 
R'(20) = 2 . 20 + 200 = 240 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 167 
 
Portanto, a receita marginal para a produção de 20 unidades é 
de aproximadamente 240,00MT. 
TEMA V: LIMITES E 
CONTINUIDADE. 50 
Unidade 5.1. Limite 
Unidade 5.2 Limites Laterais 
Unidade 5.3. Limites Infinitos e no Infinito. 
Unidade 5.4. Continuidade. 
 
Unidade Temática 5.1. Limites 
Introdução 
 
Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o 
comportamento de uma função à medida que o seu argumento se 
aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de 
uma dada sequência ou série de números reais, à medida que o índice 
(da sequência) vai crescendo, i.e. tende para infinito. Os limites são 
usados no cálculo diferencial e em outros ramos da análise matemática 
para definir derivadas e a continuidade de funções. . 
Por exemplo, o limite de um polígono regular quando o número de 
ângulos internos ou de lados ou de gonos (cantos) tende para o infinitos 
(cresce infinitamente!), dá origem a uma circunferência. 
 
 
 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
Objectivos 
específicos 
 
 
 
▪ Definir: o que é Limite, de uma maneira intuitiva; 
▪ Definir Limite: de uma função de forma formal e; 
▪ Aplicar: os conhecimentos adquiridos na vida prática e profissional; 
https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencial
https://pt.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lise_matem%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_cont%C3%ADnua
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 168 
 
Limites 
Seja uma sequência de números reais. A expressão: 
 
significa que, quanto maior o valor i, mais próximo de L serão os termos 
da sequência. Neste caso, dizemos que o limite da sequência é L. 
A forma usual de escrever isso, em termos matemáticos, deve ser 
interpretada como um desafio. O desafiante, no caso vertente o ISCED, 
propõe quão perto de L os termos da sequência devem chegar, e o 
desafiado, no caso vertente o Estudante, deve mostrar que, a partir de 
um certo valor de i, os termos realmente estão perto do Limite L. 
Ou seja, qualquer queseja o intervalo em torno de L (dado pelo 
desafiante), por exemplo, o intervalo aberto 
, o desafiado deve exibir um número 
natural tal que . 
Formalmente, o que foi dito acima se expressa assim : 
. 
Limite de uma função 
Suponhamos que f(x) é uma função real e que c é um número real. A 
expressão: 
 
significa que f(x) se aproxima tanto de L quanto quisermos, quando se 
toma x suficientemente próximo de c . Quando tal acontece dizemos 
que "o limite de f(x), à medida que x se aproxima de c, é L". Note-se que 
esta afirmação pode ser verdadeira mesmo quando , ou 
quando a função nem sequer está definida em . Vejamos dois 
exemplos que ajudam a ilustrar estes dois pontos importantíssimos. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Sequ%C3%AAncia_(matem%C3%A1tica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 169 
Consideremos à medida que x se aproxima de 2. 
Neste caso, f(x) está definido em 2 e é igual ao seu limite: 0.4, vejamos: 
 
f(1.9) f(1.99) f(1.999) f(2) f(2.001) f(2.01) f(2.1) 
0.4121 0.4012 0.4001 0.4 0.3998 0.3988 0.3882 
À medida que x aproxima-se de 2, f(x) aproxima-se de 0.4 e 
consequentemente temos a igualdade . 
Sempre que se verifique a igualdade , diz-se que f 
é contínua em x = c. A igualdade não é válida para todas as funções. 
Vejamos uma função onde tal não acontece 
 
O limite de g(x) à medida que x se aproxima de 2 é 0.4 (tal como em 
f(x)), mas e consequentemente g não é contínua 
em x = 2. 
Consideremos agora o caso onde f(x) não está definida em x = c. 
 
Apesar de f(x) não estar definida em x = 1, o limite de f(x), quando x se 
aproxima de 1, existe e é igual a 2. 
f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0) f(1.001) f(1.01) f(1.1) 
1.95 1.99 1.999 não está definido 2.001 2.010 2.10 
Ora x pode ser tomado tão próximo de 1 quanto quisermos, sem no 
entanto ser 1, pelo que o limite de é 2. 
 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_cont%C3%ADnua
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 170 
 
 
 
Definição formal 
 
A definição ε-δ de limite. 
Sejam um intervalo de números reais, e 
 uma função real definida em . 
Escrevemos 
 
quando para qualquer que seja xiste um tal que para 
todo , satisfazendo , vale 
[1] . Ou, usando a notação simbólica: 
. 
Aproximação intuitiva 
A noção de limite é fundamental no início do estudo de cálculo 
diferencial. O conceito de limite pode ser aprendido de forma intuitiva, 
pelo menos parcialmente. 
Quando falamos do processo limite, falamos de uma incógnita que 
"tende" a ser um determinado número, ou seja, no limite, esta incógnita 
nunca vai ser o número, mas vai se aproximar muito, de tal maneira que 
não se consiga estabelecer uma distância que vai separar o número da 
incógnita. Em poucas palavras, um limite é um número para o qual y = 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Limite#cite_note-:0-1
https://pt.wikipedia.org/wiki/Nota%C3%A7%C3%A3o_matem%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Limit.svg
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 171 
f(x) difere arbitrariamente muito pouco quando o valor de x difere de 
x0 arbitrariamente muito pouco também. 
Por exemplo, imaginemos a função: f(x) = 2x + 1 e imaginando f: IR →−
IR (Definida nos reais). Sabemos, lógico, que esta função nos dá o 
gráfico de uma reta, que não passa pela origem, pois se substituirmos: 
que nos dá: , ou seja, no ponto 
onde x=0 (origem), o y (f(x)) é diferente de zero. Mas usando valores 
que se aproximem de 1, por exemplo: 
Se x=0,98 então: y=f(x)=2,96 
Se x=0,998 então: y=f(x)=2,996 
Se x=0,9998 então: y=f(x)=2,9996 
Se x=0,99999 então: y=f(x)=2,99998 
Ou seja, à medida que x "tende" a ser 1, o y "tende" a ser 3. Então no 
processo limite, quando tende a ser um número, esta variável 
aproxima-se tanto do número, de tal forma que podemos escrever 
como no seguinte exemplo: 
 
Exemplo 1.1: Sendo f uma função real de números reais definida por: 
f(x) = 2x + 1, calcular o limite da função f quando . Temos 
então, neste caso, a função descrita no enunciado e queremos saber o 
limite desta função quando o "x" tende a ser 1: Ou seja, para a resolução 
fazemos: 
Então, no limite é como se pudéssemos substituir o valor de x para 
resolvermos o problema. Na verdade, não estamos substituindo o valor, 
porque para o cálculo não importa o que acontece no ponto x, mas sim 
o que acontece em torno deste ponto. Por isso, quando falamos que um 
número "tende" a ser n, por exemplo, o número nunca vai ser n, mas se 
aproxima muito do número n. Enfim, como foi dito anteriormente, a 
definição de limite é tão e somente intuitiva. Vai de analisar a função 
que está ocorrendo apenas. Agora, o exercício do Exemplo 1.1 mostra 
que x se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja: 
Porém, temos também uma outra forma de se aproximar do número 3, 
na função descrita nos exemplo acima, por exemplo: Se x=2, 
y=f(x)=5 ; Se x=1,8 então: y=f(x)=4,6 ; Se x=1,2 temos que: y=f(x)=3,4 ; 
Se x=1,111 então: y=f(x)=3,222 Podemos perceber então, que x está 
tendendo a 1 pela direita agora, e não mais pela esquerda como foi 
mostrado no exemplo anterior. Então para resolvermos problemas que 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_matem%C3%A1tica
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 172 
envolvem cálculo, devemos saber como a função que está em jogo se 
comporta. 
 
 
Sumário 
Nesta Unidade Temática 5.1. analisamos e discutimos sobre: 
1. Limite de uma função; 
2. Definição formal do limite de ums função e; 
3. Noção intuitiva do limite. 
 
Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO 
GRUPO-2 (Com respostas sem detalhes) 
Calcule os seguintes limites: 
1. lim (x²-6x+9)/(x-3) quando x tende a 3 ou 
3
962
3 −
+−
→ x
xx
Lim
x
 
2. lim (x³+x²+2x)/(x³+3x) quando x tende a 0 ou 
xx
xxx
Lim
x 3
2
3
23
0 −
++
→
 
3. lim (z²+9z+20)/(z²+6z+8) quando x tende a- 4 ou 
86
209
2
2
4 ++
++
−→ zz
zz
Lim
x
 
4. lim (x³+4x²+5x+2)/(x²+2x+1) quando x tende a – 1 ou
12
254
2
23
1 ++
+++
−→ xx
xxx
Lim
x
 NB. Faça o mesmo para os restantes 
números deste exercício (5, 6, 7 e 8). 
5. lim (x²-2²)/(x-2) quando x tende a 26 ou…. 
6. lim (x²-b²)/(x-b) quando x tende a b ou … 
7. lim [x^(1/2)-2^(1/2)]/[x-2] quando x tende a 2 ou… 
8. lim [(x-2)^(1/2)-2]/[x-6] quando x tende a 2 ou…. 
 
RESPOSTAS 
1. 0; 2. 2/3; 3. -1/2; 4. 1; 5. 4; 6. 2b; 7. 
4
2
; 8. 1/4 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 173 
 
 
 
 
Unidade Temática 5.2. Limites Laterais 
Introdução 
 
Consideremos a função: f(x) = 2−x . Podemos notar que nenhum 
valor de x menor que 2 está no domínio de existência da função, ou seja, 
ela não está definida (não existe) no intervalo  2;− . Esta indefinição 
também se reflectirá nos limites dos valores da função neste intervalo, 
pois não faz sentido falar de "limites" em valores nos quais a função não 
esteja definida (neste exemplo, uma certa faixa de números reais). 
O que poderíamos fazer para analisar os valores válidos da função? 
Como o seu domínio é apenas  +;2 , devemos restringir o cálculo de 
limites a este intervalo; quando um conjunto (no caso, um intervalo) de 
números precisa ser excluído do domínio da função, ou quando já se 
sabe que a função não está definida em tal conjuto, podemos também, 
excluir certa faixa de valores durante o cálculo de limites; Por exemplo, 
ao analisar o comportamento de f(x) nas proximidades do ponto , esta 
análise deve centrar-se no valor da função quando x se aproxima tanto 
do valor do ponto a quer venha do − quer venha do + . 
Uma melhor compreensão do que acontece com a função f(x) nas 
proximidades do ponto a, é dada pelo conhecimento de Limites 
Laterais, que é o objecto de estudo desta UnidadeTemática, como 
veremos no desenvolvimento já a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 174 
 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
Objectivos 
específicos 
 
 
 
▪ Definir: Limites laterais; 
▪ Entender e Esclarecer: a noção de Continuidade de uma função; 
▪ Compreender: as propriedades de funções contínuas e; 
▪ Aplicar: os os conhecimentos adquiridos na vida prática e profissional; 
 
 Limites Laterais 
Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela sua 
direita, escrevemos: 
 
 Esse limite é chamado de limite lateral à direita de a. 
 Se x se aproxima de a através de valores menores que a ou pela sua 
esquerda, escrevemos: 
 
 Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a. 
 O limite de f(x) para x a existe se, e somente se, os limites laterais à 
direita a esquerda são iguais, ou seja: 
• Se 
• Se 
 
Continuidade 
Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a do seu domínio 
se as seguintes condições são satisfeitas: 
• 
• 
• 
 
Propriedade das Funções contínuas 
 Se f(x) e g(x)são contínuas em x = a, então: 
• f(x) g(x) é contínua em a; 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 175 
• f(x) . g(x) é contínua em a; 
• é contínua em a . 
Sumário 
Nesta Unidade Temática 5.2. estudamos: 
1. Noção de limites laterais; 
2. Continuidade de Fnções e; 
3. Propriedades das funções contínuas. 
 
Exercícios 
GRUPO 2 (Com respostas) 
1) Calcule os eguintes limites Laterais(Confirme o oposto do limite 
dado) : 
2 ) 
5
39
 ) 3/2 ) 8/1 ) 0 ) 2 ):.Resp
46
232
 lim) 
34
353
 lim) 
45
332
 lim)
43
523
 lim) 
35
32
 lim))574( lim)
3
2
2 
3
23
2 
2
1 
3
2
2
2 
2
3 
2
1 
−
−
++
+
+−−
−
−+








++−
−−
−
−+
+−
→−→−→
→−→→
fedcba
x
xx
f
x
xxx
e
x
xx
d
xx
xx
c
x
xx
bxxa
xxx
xxx
 
2) Calcule os limites abaixo (Confirme o oposto do limite dado): 
 
 
58x4xx
46x3xx
 lim f) 
x4
x8
 lim e) 
1x
1x
 lim d)
25x2x
35x2x
 limc)
x2
x4
 limb) 
1x
1x
 lim a)
23
23
1 x2
3
2 x2
3
1 x
2
2
2
1 x
2
2 x
2
1 x
−+−
−+−
−
+
−
−
+−
−+
+
−
−
−
→−→→
→−→→
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 176 
 
 
 
 
3) Calcule: 
 
Unidade Temática 5.3. Limites Infinitos e no Infinito 
Introdução 
 
Lembre-se que está estudar uma Disciplina cujos conteúdos são de 
Matemática Superior, na modalidade de Ensino a Distância, parte do 
Sistema Nacional de Educação (SNE), que exge um pouco mais de si. 
 
Par melhor entender esta Unidade Temática, comecemos pela seguinte 
definição: A função f tem limite L quando x cresce além de qualquer 
limite (dizemos quando x tende a infinito ou x → ). 
 
Se pudermos fazer com que f(x) se aproxime arbitrariamente de L 
tomando x suficientemente grande. Analogamente, a função f tem 
limite M quando x decresce além de qualquer limite (ou quando xtende 
a menos infinito), o que se denota porSe pudermos fazer com que f(x) 
se aproxime arbitrariamente de Mtomando x negativo e 
suficientemente grande em valor absoluto.Todas as propriedades de 
limites são válidas quando Faculdade. 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
Objectivos 
específicos 
 
 
 
▪ Entender o conceito: limites infinitos e no infinito; 
▪ Aplicar: os os conhecimentos adquiridos na vida prática e profissional; 
 
Limites Infinitos e no Infinito 
Dizemos que uma variável x tende ao infinito , se 
1 ) 3 ) 2/3 ) 3/7) 4 ) 2 ):.Resp fedcba −
+−++
−−
−
−
+
++−
−
−
−
+
−
−
→→
→−→→
→→→
 ) ) ) ))))):.Resp
1
1
 lim) 
1
1
 lim) 
3
21
 lim) 
2
4
 lim) 
253
 lim) 
)1(
31
 lim) 
)1(
32
 lim ) 
)2(
43
 lim)
1 1 
3 2 2
2
0 
21 21 22 
hgfedcba
x
h
x
g
x
x
f
x
x
e
x
xx
d
x
x
c
x
x
b
x
x
a
xx
xxx
xxx
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 177 
x se torna um número positivo cada vez maior, crescendo sem limite e, 
que x tende a menos infinito( ), se x é negativo e decresce 
sem limite. 
 Se o limite de f(x), quando x tende a x0 pela direita ou pela esquerda, 
é +∞ ou –∞, escrevemos: 
 
Já lhe perguntaram o que é o infinito? Certamente alguém lhe deu uma 
resposta poética a respeito e de facto no sentido poético, o infinito é 
algo fascinante...! 
Agora imagine um número absolutamente tão alto quanto é possível 
você conceber... Conseguiu? Pois bem, por maior que seja o número 
escolhido, ele não é infinito. Aqui, falaremos do infinito como sendo 
algo tão inatingível que nenhuma mente humana poderia imaginar. 
Infinito é uma tendência, uma forma de representar algo que é tão alto 
que jamais poderíamos atingir. É como se fosse um caminho sem fim, 
como o destino de um corpo sem obstáculos e atrito no espaço sem fim. 
No início desta Unidade Temática, discutimos como analisar o 
comportamento de uma função (sua tendência) quando a variável se 
aproxima de um determinado número. Nesta seção, discutiremos duas 
situações novas: 
• O que acontece com os valores de , quando é muito 
grande? 
• O que fazer quando, ao aproximar de um ponto , os valores 
de ficam cada vez maiores? 
Usaremos o termo "infinito" sempre que for preciso lidar com "números 
gigantescos". Deste modo, também poderemos representar as duas 
situações acima usando conceitos de limite. Para isso, quando 
realizarmos um cálculo, podemos tratar o infinito como se fosse um 
número, embora ele seja um ente matemático que nunca poderemos 
alcançar. Por exemplo, caso a variável esteja tendendo ao infinito, e 
apareça em uma expressão, podemos imaginar o que aconteceria com 
a expressão caso fosse um número suficientemente grande. Então 
façamos um estudo de como podemos avaliar o comportamento das 
funções quando a variável tende a infinito. 
Considerando uma função definida como: f(x) = 
x
1
 
http://pt.wikiversity.org/wiki/Introdu%C3%A7%C3%A3o_ao_C%C3%A1lculo/Limites_e_Continuidade#Breve_explana.C3.A7.C3.A3o
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 178 
 
 
 
 
De fato temos uma tendência do valor da função se igualar a 1 quando 
levamos para números muito altos, embora ela nunca alcance o valor 
1. Chamamos isso de limite no infinito, ou tendência infinita, e dizemos 
que tende a 1 quando tende ao infinito. 
Podemos simbolizar a tendência de , quando fica cada vez 
maior, usando uma destas formas: 
 ou 
O mesmo pode acontecer quando o valor da variável independente 
tende ao infinito negativo ( ), então podemos representá-la assim: 
 Ou 
A partir das noções apresentadas anteriormente, podemos definir de 
forma rigorosa as têndências infinitas e os limites infinitos. 
Definição 
Chamamos o número de limite lateral no infinito positivo se: 
 tal que vale a implicação 
 
Ou seja, é o número para qual uma função f(x) tende a se igualar 
quando a variável independente ultrapassa o número positivo N. 
Do mesmo modo, chamamos o número de limite lateral no infinito 
negativo se: 
 tal que vale a implicação 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 179 
Os números são escolhidos de forma a fornecerem o maior valor 
possível dentro do domínio da função, que portanto deve 
necessáriamente ser ilimitado. 
 
Limites infinitos 
Se nos depararmos com uma função onde o denominador decresce 
vertiginosamente até zero, o que podemos fazer? 
Esta é a típica forma de funções que crescem até o infinito, neste caso 
adotamos o valor da definição de infinito, visto que não é possível 
colocar qualquer valor. Adotamos ou , pois 
, como já definimos anteriormente. 
 
SumárioNesta Unidade Temática 5.3. analisamos e discutimos sobre: 
Limites infinitos e no infinito 
 
Exercícios 
GRUPO 2 (Com respostas) 
Escreva estes limites sob notação de limites, à semelhança com o que 
fizemos na Unidade Temática 5.1. Limites de uma função. Limra? 
1. lim x³+7 quando x tende ao infinito positivo 
2. lim x²-x quando x tende ao infinito positivo 
3 lim (7*a^9 + 2)/(a^8+1) quando x tende ao infinito negativo 
4.lim 5x/(7x³+3)^(1/3) quando x tende ao infinito negativo 
5. lim [3x + x² - 9*x^(-2)] / (7*x^5 + 2) quando x tende ao infinito 
positivo 
6. lim (x^1000 – x^17) / [-(x)^100 + x^58] quando x tende ao infinito 
positivo 
7 lim [(8x²+3)^(1/2)]/[(9x²-7x)^(1/2)] quando x tende ao infinito 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 180 
positivo 
8. lim (x^5 +1) / (3x³ – 9x) quando x tende ao infinito negativo 
 
 
 
 
 
Unidade Temática 5.4. 
Continuidade 
Introdução 
 
Ao trabalhar com uma função, nossa primeira preocupação deve ser o 
seu domínio (condição de existência), afinal, só faz sentido utilizá-la 
nos pontos onde esteja definida e sua expressão 
matemática, portanto, tenha significado. Todavia, em muitos casos, é 
importante saber como a função se comporta quando a variável está 
muito próxima de um ponto que não pertence ao seu domínio. 
 
E para este estudo, nos valemos da teoria de limites e Continuidade de 
funções, a qual permite a análise de uma função em uma vizinhança 
muito próxima de um ponto, sem se preocupar com o valor da função 
neste ponto po intervalo. 
 
Um conceito fundamental no Cálculo, no que diz respeito ao estudo de 
funções, é o de continuidade de uma função num ponto de seu 
domínio. 
 
 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
Objectivos 
específicos 
 
 
 
▪ Entender: e explicar o conceito de continuidade de funções; 
▪ Aplicar: os os conhecimentos adquiridos na vida prática e profissional; 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 181 
 
Continuidade 
CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE UMA VARÁVEL 
Os seguintes problemas envolvem a continuidade de funções de uma 
variável. Uma função y = f(x) é contínua em um ponto x=a se as 
seguintes três condições são verificadas: 
a) f(a) está definida, 
b) exéte (i.e., é finito) e, 
c) . 
Critérios de Continuidade de uma Função 
Uma função f é dita ser contínua no intervalo I se f é contínua em cada 
ponto x em I. Aqui está uma lista de alguns factos bem conhecidos que 
nos ajudam a identificar se dada função f é contínua num determinado 
interval I: 
1. A SOMA de funções contínuas é contínua. 
2. A DIFERENÇA de funções contínuas é contínua. 
3. O PRODUTO de funções contínuas é contínua. 
4. O QUOCIENTE de funções contínuas é contínua em todos os 
pontos x aonde o DENOMINADOR NÃO é ZERO. 
5. A COMPOSIÇÃO de funções contínuas é contínua em todos 
os pontos x onde a composição está propriamente definida. 
6. Qualquer polinômio é contínuo para todos os valores de x. 
7. A função ex e as funções trigonométricas e são 
contínua para todos os valores de x. 
 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 182 
Sumário 
 
Nesta Unidade Temática 5.4. estudamos: 
1. Conceito de Continuidade de uma função; 
2. Critérios de continuidade de uma função. 
 
Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO 
GRUPO-1 (Com respostas detalhadas) 
 PROBLEMA 1 : Determine se a seguinte função é contínua em x=1 . 
 
Clique AQUI to para ver uma solução detalhada do problema 1. 
 PROBLEMA 2 : Determine se a seguinte função é contínua em x=-2 . 
 
Clique AQUI to para ver uma solução detalhada do problema 2. 
 
PROBLEMA 3 : Determine se a seguinte função é contínua em x=0 . 
 
Clique AQUI to para ver uma solução detalhada do problema 3. 
PROBLEMA 4 : Determine se a função é contínua at x=-
1 . 
Clique AQUI para ver uma solução detalhada do problema 4. 
http://mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/continua/solu/ContinuitySol.html#SOLUTION 1
http://mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/continua/solu/ContinuitySol.html#SOLUTION 2
http://mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/continua/solu/ContinuitySol.html#SOLUTION 3
http://mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/continua/solu/ContinuitySol.html#SOLUTION 4
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 183 
PROBLEMA 5 : Verifique se a seguinte função é contínua para x=3 e x=-
3 . 
 
Clique AQUI para ver uma solução detalhada do problema 5. 
 
PROBLEMA 6 : Para que valores de x a função é 
contínua ? 
Clique AQUI para ver uma solução detalhada do problema 6. 
 
PROBLEMA 7 : Para que valores de x a função é 
contínua ? 
Clique AQUI para ver uma solução detalhada do problema 7. 
PROBLEMA 8 : Para que valores de x a função é 
contínua ? 
Clique AQUI para ver uma solução detalhada do problema 8. 
 
 
PROBLEMA 9 : Para que valores de x a função é 
contínua ? 
Clique AQUI para ver uma solução detalhada do problema 9. 
PROBLEMA 10 : Para que valores de x a função é 
contínua ? 
Clique AQUI para ver uma solução detalhada do problema 10. 
 
PROBLEMA 11 : Para que valores de x é aseguinte função contínua ? 
http://mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/continua/solu/ContinuitySol.html#SOLUTION 5
http://mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/continua/solu/ContinuitySol.html#SOLUTION 6
http://mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/continua/solu/ContinuitySol.html#SOLUTION 7
http://mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/continua/solu/ContinuitySol.html#SOLUTION 8
http://mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/continua/solu/ContinuitySol.html#SOLUTION 9
http://mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/continua/solu/ContinuitySol.html#SOLUTION 10
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 184 
 
Clique AQUI para ver uma solução detalhada do problema 11. 
 
PROBLEMA 12 : Determine todos os valores da constante A para que a 
seguinte função seja contínua para todos os valores de x . 
 
Clique AQUI para ver uma solução detalhada do problema 12. 
PROBLEMA 13 : Determine todos os va;ores das constantes A e B para 
que a função seja contínua para todos os valores de x . 
 
Clique AQUI para ver uma solução detalhada do problema 13. 
PROBLEMA 14 : Mostre que a seguinte função é contínua para todos os 
valores de x . 
 
Clique AQUI para ver uma solução detalhada do problema 14. 
PROBLEMA 15 : Seja 
 
Mostre que f é contínua para todos os valores de x . 
Mostre que f é diferenciável para todos os valores de x, 
mas que a derivada , f' , NÃO é contínua em x=0 . 
http://mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/continua/solu/ContinuitySol.html#SOLUTION 11
http://mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/continua/solu/ContinuitySol.html#SOLUTION 12
http://mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/continua/solu/ContinuitySol.html#SOLUTION 13
http://mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/continua/solu/ContinuitySol.html#SOLUTION 14
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 185 
Clique AQUI para ver uma solução detalhada do problema 15. 
 
 
 
 
 
TEMA VI: CÁLCULO DIFERENCIAL 57 
Unidade 6.1 Derivada. 
Unidade 6.2.Técnicas de Derivação. 
Unidade 6.3 Regra da Cadeia… 
Unidade Temática 6.1. Derivada 
Introdução 
È necessário, em todo o cálculo matemático ter a noção teórica de cada 
tema no qual trabalhamos; isso porque; imaginemos que, para os 
estudantes até ao 12º ano a relevância destes conceitos acaba por ser 
desprezada visto que a prática, em termos reais é mais conclusiva que 
a própria teória. 
 
Mas, isso só funciona desde que tenhamos sempre presente um 
professor que auxilie o raciocínio. 
A questão é: quando necessitar implementar ou criar alguma aplicação 
matématica o conhecimento teórico traduz aopção ou o método a 
adoptar. Por ex: se devemos usar derivadas, limites, integrais, sistemas 
de equações para satisfação dos critérios físico/matemáticos do cálculo 
em causa. Questões como estas merecem atenção. 
No cálculo, a derivada representa a taxa de variação instantânea de 
uma função. Um exemplo típico é a função velocidade que representa 
a taxa de variação (derivada) da função espaço ou da distância s 
percorrida. Do mesmo modo a função aceleração é a derivada da 
função velocidade. 
Diz-se que uma função f é derivável (ou diferenciável) se, próximo de 
cada ponto a do seu domínio, a função f(x) − f(a) se comportar 
aproximadamente como uma função linear, ou seja, se o seu gráfico for 
aproximadamente uma recta. O declive de uma tal recta é a derivada 
http://mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/continua/solu/ContinuitySol.html#SOLUTION 15
http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)
http://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)
http://pt.wikipedia.org/wiki/Dom%C3%ADnio_(matem%C3%A1tica)
http://pt.wikipedia.org/wiki/Transforma%C3%A7%C3%A3o_linear
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 186 
da função f no ponto a e representa-se por 
dx
xdf
xf
)(
)(́ = , mas quando 
x assumir, por exemplo um valor a, escrevemos f´(a)= 
dx
adf
af
)(
)(́ = . 
A Derivada nos dias que correm encontra muita aplicação em diversas 
áreas de conhecimento, entre outras, a de ciências económicas, como 
é o caso de cálculo de receita marginal. 
 
 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
Objectivos 
específicos 
 
 
▪ Definir: a Derivada de Uma Função; 
▪ Estabelecer: a definição formal da derivada; 
▪ Aplicar: na vida prática e profissional o conceito de deferenciação; 
Derivada 
No cálculo, a derivada representa a taxa de variação instantânea de 
uma função[1] . Um exemplo típico é a função velocidade que representa 
a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo modo a 
função aceleração é a derivada da função velocidade. 
Diz-se que uma função f é derivável (ou diferenciável) se, próximo de 
cada ponto a do seu domínio, a função f(x) − f(a) se comportar 
aproximadamente como uma função linear, ou seja, se o seu gráfico for 
aproximadamente uma reta. O declive de uma tal recta é a derivada da 
função f(x) no ponto a e representa-se por 
ou por
dx
adf
af
)(
)(́ = . 
http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)
http://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada#cite_note-1
http://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)
http://pt.wikipedia.org/wiki/Dom%C3%ADnio_(matem%C3%A1tica)
http://pt.wikipedia.org/wiki/Transforma%C3%A7%C3%A3o_linear
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 187 
 
Em cada ponto, a derivada de é a tangente do ângulo 
que a recta tangente à curva faz em relaçao ao eixo das abscissas. A reta 
é sempre tangente à curva azul; a tangente do ângulo que ela faz com 
o eixo das abscissas é a derivada. Note-se que a derivada é positiva 
quando verde, negativa quando vermelha, e zero quando preta. 
 
Definição formal da Derivada 
Seja I um intervalo com mais do que um ponto do conjunto dos 
números reais e seja f uma função de I em (função esta que é 
formalmente denotada por ) . Se o ponto (lê-se: o 
ponto a pertence, faz parte do intervalo I), diz-se que f é derivável em a 
se existir o limite [2] e o mesmo for finito 
, 
onde . 
Se for esse o caso, aquele limite designa-se por derivada da função f no 
ponto a e representa-se por f′(a). Note-se que a derivada de f em a, se 
existir, é única. Isto continuaria a ser verdade se I fosse um conjunto 
qualquer de números reais e se a fosse um ponto não isolado de I. 
Segundo esta definição, a derivada de uma função de uma variável é 
definida como um processo de limite Considera-se a inclinação da 
secante quando os dois pontos de intersecção com o gráfico de f 
convergem para um mesmo ponto. No limite, a inclinação da secante é 
igual à da tangenteInclinação da secante ao gráfico de f 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Secante-calculo.gif
http://pt.wikipedia.org/wiki/Entes_geom%C3%A9tricos_fundamentais#Coeficiente_angular
http://pt.wikipedia.org/wiki/Reta_tangente
http://pt.wikipedia.org/wiki/Curva
http://pt.wikipedia.org/wiki/Abscissa
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_positivo
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_negativo
http://pt.wikipedia.org/wiki/Zero
http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_reais
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)
http://pt.wikipedia.org/wiki/Limite
http://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada#cite_note-2
http://pt.wikipedia.org/wiki/Limite
http://pt.wikipedia.org/wiki/Secante
http://pt.wikipedia.org/wiki/Tangente
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Graph_of_sliding_derivative_line.gif
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 188 
 
 
 
 
 
 
O declive da secante ao gráfico de f que passa pelos pontos (x,f(x)) e 
(x + h,f(x + h)) é dado pelo quociente de Newton: 
. 
Uma definição alternativa é: a função f é derivável em a se existir uma 
função φa de I em R contínua em a tal que 
. 
Então define-se a derivada de f em a como sendo φa(a). 
 
Derivada num ponto 
• Seja um intervalo de R com mais do que um ponto, seja ∈ 
e seja uma função de em R derivável em . Então é 
contínua em . O recíproco não é verdadeiro, como se pode ver 
pela função módulo. 
• Seja um intervalo de R com mais do que um ponto, seja ∈ 
e sejam e funções de em R deriváveis em . Então as 
funções ± , e (caso ≠ ) também são 
deriváveis em e: 
o 
o 
o 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_cont%C3%ADnua
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 189 
Em particular, se ∈ R, então . Resulta daqui e de se 
ter que a derivação é uma aplicação linear. 
• Sejam e intervalos de R com mais do que um ponto, seja 
 ∈ , seja uma função de em derivável em e seja seja 
uma função de em R derivável em . Então o é 
derivável em e 
. 
Esta propriedade é conhecida por regra da cadeia. 
• Seja um intervalo de R com mais do que um ponto, seja ∈ 
e seja uma função contínua de em R derivável em com 
derivada não nula. Então a função inversa é derivável em 
e 
 
Outra maneira de formular este resultado é: se está na imagem de 
e se for derivável em com derivada não nula, então 
 
Assim, por exemplo, se considerarmos a função f de R em R definida por 
f(x) = x² + x − 1, esta é diferenciável em 0. Podem ver-se na imagem 
abaixo os gráficos das restrições daquela função aos intervalos [−1,1] e 
[−1/10,1/10] e é claro que, enquanto que o primeiro é bastante curvo 
(e, portanto, f(x) − f(0) está aí longe de ser linear), o segundo é 
praticamente indistinguível de um segmento de reta (de declive 1). De 
facto, quanto mais se for ampliando o gráfico próximo de (0,f(0)) mais 
perto estará este de ser linear. 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Transforma%C3%A7%C3%A3o_linear
http://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_da_cadeia
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_inversa
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 190 
 
Gráfico de uma função derivável. 
Em contrapartida, a função módulo de R em R não é derivável em 0, 
pois, por mais que se amplie o gráfico perto de (0,0), este tem sempre 
o aspecto da figura abaixo. 
 
Gráfico da função módulo, que não é derivável em . 
 
Derivabilidade em todo o domínio 
Diz-se que f é derivável ou diferenciável se o for em todos os pontos do 
domínio. 
 
Uma função diferenciável 
• Uma função derivável de em R é constante se e só se a 
derivadafor igual a em todos os pontos. Isto é uma 
consequência do teorema da média. 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto
http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_do_valor_m%C3%A9dio
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Differentiable_function.png
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Module.png
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Polynomialdeg3.svg
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 191 
• Uma função derivável de em R é crescente se e só se a 
derivada for maior ou igual a em todos os pontos. Isto também 
é uma consequência do teorema da média. 
Uma função cuja derivada seja sempre maior que é estritamente 
crescente. Uma observação importante é que existem funções 
estritamente crescentes em que a derivada assume o valor em alguns 
pontos. É o que acontece, por exemplo com a função de R em R definida 
por . Naturalmente, existem enunciados análogos para 
funções decrescentes. 
• Se for uma função derivável de em R, sendo um intervalo 
de R com mais do que um ponto, então também é um 
intervalo de R. Outra maneira de formular este resultado é: se 
for uma função derivável de em R e se for um número 
real situado entre e (isto é, ≤ ≤ ou 
 ≥ ≥ ), então existe algum ∈ tal que 
. Este resultado é conhecido por teorema de 
Darboux. 
 
 Funções continuamente deriváveis 
Seja um intervalo de R com mais do que um ponto e seja uma função 
de em R. Diz-se que é continuamente derivável ou de classe se 
for derivável e, além disso, a sua derivada for contínua. Todas as 
funções deriváveis que foram vistas acima são continuamente 
deriváveis. Um exemplo de uma função derivável que não é 
continuamente derivável é 
 
pois o limite não existe; em particular, f' não é contínua 
em . 
 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_mon%C3%B3tona
http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_do_valor_m%C3%A9dio
http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Darboux
http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Darboux
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 192 
 Derivadas de ordem superior (facultativo) 
Quando obtemos a derivada de uma função o resultado é também uma 
função de x e como tal também pode ser diferenciada. Calculando-se a 
derivada novamente obtemos então a segunda derivada da função f. 
De forma semelhante, a derivada da segunda derivada é chamada de 
terceira derivada e assim por diante. Podemos nos referir às derivadas 
subsequentes de f por: 
 
e assim sucessivamente. No entanto, a notação mais empregada é: 
 
ou alternativamente, 
 
ou ainda 
 
Se, para algum k ∈ N, f for k vezes derivável e, além disso, f(k) for uma 
função contínua, diz-se que f é de classe Ck. 
Se a função f tiver derivadas de todas as ordens, diz-se que f é 
infinitamente derivável ou indefinidamente derivável ou ainda de classe 
C∞. 
 
Pontos críticos, estacionários ou 
singulares 
Pontos onde a derivada da função é igual a chamam-se normalmente 
de pontos críticos. Existem cinco tipos de pontos onde isto pode 
acontecer em uma função. Como a derivada é igual ao declive da 
tangente em um dado ponto, estes pontos acontecem onde a reta 
tangente é paralela ao eixo dos . Estes pontos podem acontecer: 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 193 
1. onde a função atinge um valor máximo e depois começa a 
diminuir, chamados máximos locais da função 
2. onde ela atinge um valor mínimo e começa a aumentar, 
chamados de mínimos locais da função 
3. em pontos de inflexão (horizontais) da função, que ocorrem 
onde a concavidade da função muda. Um exemplo típico é a 
função : no ponto a função tem um ponto 
de inflexão (horizontal). 
4. em pontos onde a função oscila indefinidamente entre valores 
acima ou abaixo, um exemplo típico é a função 
 
5. em pontos onde a função é localmente constante, ou seja, existe 
um intervalo contendo o ponto para o qual a restrição da função 
ao intervalo é a função constante. Um exemplo típico é a função 
f(x) = |x + 1| + |x - 1| no ponto x=0. 
Os pontos críticos são ferramentas úteis para examinar e desenhar 
gráficos de funções. 
 
 
 
Sumário 
Nesta Unidade Temática 6.1. estudamos: 
1. Derivada (conceito); 
2. Definição formal; 
3. Derivada de uma função num ponto; 
4. Derivabilidade em todo domínio. 
Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO 
GRUPO-1 (Com respostas detalhadas) 
Se ∈ R, a função de R em R definida por é derivável em 
todos os pontos de R e a sua derivada é igual a em todos os pontos, 
pois, para cada ∈ R: 
. 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_constante
http://pt.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fico_de_uma_fun%C3%A7%C3%A3o
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 194 
Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir de R em 
R por , então é contínua e, para cada e cada reais, 
tem-se 
; 
além disso, . 
A função de R em R definida por é derivável em todos os 
pontos de R e a sua derivada é igual a em todos os pontos, pois, para 
cada ∈ R: 
. 
Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir de R em 
R por , então é contínua e, para cada e cada reais, 
tem-se 
; 
além disso, . 
A função de R em R definida por é derivável em todos os 
pontos de R e a sua derivada no ponto ∈ R é igual a , pois: 
. 
Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir de R em 
R por , então é contínua e, para cada e cada 
reais, tem-se 
; 
além disso, . 
A função módulo de R em R não é derivável em pois 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 195 
 
No entanto, é derivável em todos os outros pontos de R: a derivada em 
é igual a quando e é igual a quando . 
 
Unidade Temática 6.2. Técnicas 
de Derivação 
Introdução 
 
A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , é igual ao 
valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela 
tangente geométrica à curva representativa de 
y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular 
da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0. 
 A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também 
pelos símbolos: 
 y' = dy/dx ou f ' (x). 
 A derivada de uma função f(x) no ponto x0 é dada por: 
 
Mas, em termos práticos, torna-se enfadonho trabalhar com fórmula 
acima, pelo que se adoptou uma maneira mais facile prática de 
trabalhar com a derivada, a que no conjunto se designou por técnicas 
de derivação, que veremos com mais detalhes, no desenvolvimento 
desta Unidade Temática. 
 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
Objectivos 
específicos 
 
 
 
▪ Entender e aplicar o Conceito: de técnicas de derivação; 
▪ Saber como: interpretar a derivada de uma constante; 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 196 
▪ Aplicar correctamente: todas a técnicas de derivação na resolução de 
problemas reais; 
 
Técnicas de Derivação 
DERIVADA DE UMA CONSTANTE 
Se c for um número real qualquer, então: 
 
DERIVADA DE UMA POTÊNCIA COM EXPOENTE INTEIRO 
Se n for um número inteiro qualquer, então: 
 
 
 DERIVADA DE UMA CONSTANTE VEZES UMA FUNÇÃO 
Se f for diferenciável em x e c for um número real qualquer, então: 
 
 
DERIVADAS DE SOMAS E DIFERENÇAS 
Se f e g forem diferenciáveis em x, então: 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 197 
 
 
 
DERIVADA DE UM PRODUTO 
Se f e g forem diferenciáveis em x, então: 
 
 
 
DERIVADA DE UM QUOCIENTE 
Se f e g forem diferenciáveis em x, 
e , então: 
 
 
 
 
 
DERIVADA DE UM RECÍPROCO 
Se g for diferenciável em x, 
e , então: 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 198 
 
 
DERIVADAS MAIS ALTAS ou de n-ésimograu 
Se a derivada f' de uma função f for ela mesma diferenciável, então a 
derivada de f' será denotada por f'', chamada de derivada segunda de 
f: 
 
Se pudermos repetir este processo, obteremos a derivada terceira de 
f: 
 
E assim por diante, na forma geral: 
 
 
 
DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 
 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 199 
 
 
 
 
Sumário 
 Nesta Unidade Temática 6.2. estudamos os seguinte 
tópicos. 
Constante 
Potência com expoente inteiro 
Constante vezes uma função 
Somas e diferenças 
Produto 
Quociente 
Recíproco 
Derivadas mais altas 
Trigonométricas 
 
 
Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO 
GRUPO-2 (Com respostas NÃO DETALHADAS) 
Tente resolver os exercícios antes de olhar as respostas! 
 
1.Calcule a derivada da função e determine o coeficiente angular da reta tangente ao 
gráfico da função no valor de x dado. 
a) 
b) 
 
2.Determine uma equação para a reta tangente ao gráfico da função 
no ponto (x,y) = (3,2). 
 
3. A posição de uma partícula que se desloca ao longo de uma recta coordenada é dada 
por , com s em metros e t em segundos. Determine a velocidade e a 
aceleração da partícula para t = 6s. 
 
http://www.pucrs.br/famat/silveira/calculoa/m2/3tecnicas_1_consta.htm
http://www.pucrs.br/famat/silveira/calculoa/m2/3tecnicas_2_expint.htm
http://www.pucrs.br/famat/silveira/calculoa/m2/3tecnicas_3_constf.htm
http://www.pucrs.br/famat/silveira/calculoa/m2/3tecnicas_4_somdif.htm
http://www.pucrs.br/famat/silveira/calculoa/m2/3tecnicas_5_prod.htm
http://www.pucrs.br/famat/silveira/calculoa/m2/3tecnicas_6_quoc.htm
http://www.pucrs.br/famat/silveira/calculoa/m2/3tecnicas_7_recip.htm
http://www.pucrs.br/famat/silveira/calculoa/m2/3tecnicas_8_altas.htm
http://www.pucrs.br/famat/silveira/calculoa/m2/3tecnicas_9_trig.htm
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 200 
4. Analisando o gráfico da figura abaixo, verifique em quais pontos do intervalo [-4,6] a 
derivada não existe. Justifique sua resposta. 
 
5. Cada uma das figuras mostra o gráfico de uma função num intervalo fechado D. 
a) b) 
 
• Em que pontos do domínio existe a derivada da função? 
• Em que pontos do domínio a função é contínua, mas não existe a derivada? 
• Em que pontos do domínio a função não é contínua e nem diferenciável (ou 
seja, não existe a derivada)? Justifique cada uma de suas respostas 
 
6. Determine a derivada das funções dadas. 
a) b) 
c) d) 
 
 
7. Determine a derivada das funções: 
a) 
i) 
b) j) 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 201 
c) 
k) 
d) l) 
e) m) 
f) 
n) 
g) 
o) 
h) 
p) 
 
8. A relação entre o número de decibéis e a intensidade de um som I em watts por 
centímetro quadrado é dada por Encontre a taxa de variação 
no número de decibéis quando a intensidade for 10-4 watt por centímetro quadrado. 
 
9. Na escala Richter, a magnitude R de um terremoto de intensidade I é dada por 
em que I0 é a intensidade mínima usada para comparação. Supondo 
que I0 = 1. 
a) Determine a intensidade do terremoto de 1906 em São Francisco 
para o qual R = 8,3. 
b) Determine a intensidade do terremoto de 26 de maio de 2006 em 
Java, Indonésia, para o qual R = 6,3. 
c) Determine o fator pelo qual a intensidade aumenta quando o valor 
de R é duplicado. 
d) Determine . 
 
10. Encontre uma equação da reta tangente no ponto indicado. 
a) d) 
b) e) 
c) f) 
 
11. Quem é b se a inclinação da reta tangente à curva y = bx em x = 0 for 4? 
 
12. A energia E (em joules) irradiada como onda sísmica a partir de um terremoto de 
magnitude M na escala Richter é dada pela fórmula log10E = 4,8+1,5M. 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 202 
a) Expresse E como função de M 
b) Mostre que quando M cresce 1 unidade, a energia aumenta por um fator de 
aproximadamente 31. 
c) Calcule 
dM
dE
 
 
 
RESPOSTAS 
1. 
a) 
c) 
 
2. 
 
3. 
 
4. x = 0 ; x = 1 e x = 4 
 
5. a) , nenhum , nenhum 
 b) , nenhum , x = 0 
 
6. 
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 
7. 
a) i) 
b) j) 
c) k) 
d) 
l) 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 203 
e) 
m) 
f) 
n) 
g) 
o) 
h) 
p) 
 
8. 
, então, para I = 10-4, a taxa de variação é aproximadamente 43 429,4 
db/w/cm2. 
 
9. 
a) 
c) 10R 
b) 
d) 
 
10. 
a) d) 
b) 
e) 
c) 
f) 
 
11. b = e4 
 
12. 
 a) E = 104,8+1,5M 
 c) 
 
 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 204 
Unidade Temática 6.3. Regra de Cadeia 
Introdução 
 
Em cálculo, a regra da cadeia é uma fórmula para a derivada da função 
composta de duas funções ou mais. 
Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia teve grande 
importância para o avanço do cálculo diferencial. Seu desenvolvimento 
foi devido à mudança de notação, ou seja, ao invés de usar a notação 
de Newton, Leibniz adotou uma notação referente à tangente, onde a 
derivada é dada pela diferença dos valores na ordenada dividida pela 
diferença dos valores na abcissa e onde essa diferença é infinitamente 
pequena (dy/dx). 
A partir desta observação, a regra da cadeia passou a permitir a 
diferenciação de funções diversas cujo argumento é outra função. 
 
 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
Objectivos 
específicos 
 
 
 
▪ Entender como se aplicar: a regra de cadeia nas derivadas; 
▪ Fazer Análise e Interpretação: de gráficos de funções estudadas; 
▪ Aplicar: os os conhecimentos adquiridos na vida prática e profissional; 
 
Regra de Cadeia 
Enunciado 
A regra da cadeia afirma que 
 
http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo
http://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula
http://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_composta
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_composta
http://pt.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz
http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo
http://pt.wikipedia.org/wiki/Newton
http://pt.wikipedia.org/wiki/Leibniz
http://pt.wikipedia.org/wiki/Tangente
http://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 205 
que em sua forma sucinta é escrita como: 
Alternativamente, na notação de Leibniz, a regra da cadeia é 
 
Na integração, a recíproca da regra da cadeia é a regra da substituição. 
Exemplos 
• Exemplo 1: Considere . Temos que 
onde e 
 Então, 
 
 
 
 
• Exemplo 2: De forma análoga, para funções trigonométricas, 
por exemplo: 
 
pode ser escrita como com e 
. A regra da cadeia afirma que 
 
desde que e . 
 
Regra da cadeia para várias 
variáveis (Carácter informativo, pelo que 
facultativo). 
A regra da cadeia aplica-se também para funções de mais uma 
variável. Considere a função onde e 
, então 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Nota%C3%A7%C3%A3o_de_Leibniz
http://pt.wikipedia.org/wiki/Integral
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Regra_da_substitui%C3%A7%C3%A3o&action=edit&redlink=1
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 206 
 
Suponha que cada função de é uma função de duas 
variáveis tais que e , e que todas essas 
funções sejam diferenciáveis. Então a regra da cadeia é equivalente a: 
 
 
Se considerarmos acima como um vetor função, podemos 
então utilizar a notação vetorial para escrever a equivalência acima 
como o produto escalar do gradiente/Tangente de e a derivada de 
: 
 
Em geral, para funções de vectores a vetores, a regra da cadeia afirma 
que a Matriz Jacobiana da função composta é o produto de matrizes 
Jacobianas de duas funções: 
 
 
 
Sumário 
Nesta Unidade Temática 6.2. estudamos:Regra de cadeia para derivadas e algumas de suas aplicações. 
 
 
Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO 
1. A derivada de uma função de uma variável é o limite da razão do 
acréscimo da função para o acréscimo independente, quando este último 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Produto_escalar
http://pt.wikipedia.org/wiki/Gradiente
http://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz_Jacobiana
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 207 
tende a zero, em outras palavras a derivada da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) é dada 
por: 
𝐴: 𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
 
 𝐵: 𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) + 𝑓(𝑥)
∆𝑥
 
 
𝐶: 𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥
 
𝐷: 𝐴: 𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)
𝑥−∆𝑥
 
 
2. A derivada da função 𝑓(𝑥) = 2 − 3𝑥 é: 
𝐴: 3 
 𝐵: 2 
𝐶: − 1 
𝐷: − 3 
 
3. A derivada da função 𝑓(𝑥) =
2
𝑥+1
 é: 
𝐴:
2
𝑥 + 1
 
 𝐵:
2
(𝑥 + 1)2
 
 𝐶: 
−2
(𝑥 + 1)2
 
 𝐷: −
(𝑥 + 1)2
2
 
4. A derivada do exercício anterior no ponto 𝑥 = 1 é: 
𝐴: 1 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 208 
𝐵:
1
2
 
 𝐶: −
1
2
 
 𝐷: − 2 
 
 
5. Sendo 𝑓(𝑥) = √𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥 
𝐴: 
𝑐𝑜𝑠𝑥
2
√𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥 𝐵:
−𝑐𝑜𝑠𝑥
2
√𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥 
 𝐶: 
𝑠𝑒𝑛𝑥
2
√𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥 𝐷: 𝑁𝑒𝑛ℎ𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 é 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 
 
6. Sendo 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (
𝑥+1
𝑥−1
): 
𝐴:
2
𝑥2 − 1
 𝐵:
−2
𝑥2 − 1
 
 𝐶: ln(𝑥 + 1) − ln(𝑥 − 1) 𝐷: 𝑁ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 
 
7. Sendo 𝑓(𝑥) = log2(𝑠𝑒𝑛𝑥): 
𝐴:
𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)
𝑙𝑛2
 𝐵:
𝑡𝑔(𝑥)
𝑙𝑛2
 𝐶: log2(𝑐𝑜𝑠𝑥) 
 𝐷: (𝑐𝑜𝑠𝑥)log2(𝑠𝑒𝑛𝑥) 
 
8. Sendo 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥): 
𝐴: 2 cos(2𝑥) 𝐵: −2 cos(2𝑥) 𝐶: 
− cos (2𝑥) 𝐷: cos (2𝑥) 
 
9. Sendo 𝑓(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥−1
: 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 209 
𝐴:
(x − 1) cos(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛𝑥
(𝑥 − 1)2
 𝐵: 𝑐𝑜𝑠𝑥 
 𝐶: 
(x − 1) cos(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛𝑥
(𝑥 − 1)2
 𝐷:
cos(𝑥)
(𝑥 − 1)2
 
 
10. Sendo 𝑓(𝑥) = 1002𝑥 
𝐴: 2002𝑥𝑙𝑛(100) 𝐵: 2 × 1002𝑥 
 𝐶: 2002𝑥 𝐷: 1002𝑥𝑙𝑛(1002) 
Respostas: 
1. C, 2. D, 3. C, 4.C, 5. A, 6. B, 7.A, 8.A, 9.A, 10.D 
 
 
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo: 
 
RESPOSTAS (Vamos mostrar apenas as resoluções das alíneas a) e b)). 
a) 
Temos f1(x)=h(g(x)), sendo e . 
Se , então . 
Por outro lado, se , então . 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 210 
Mas, pela Regra da Cadeia, como h e g são deriváveis, temos 
f1'(x)=h'(g(x)).g'(x), 
ou seja, 
. 
 
b) 
Dica: se f(x) = ax, sua derivada é f´(x) = ax .lna 
Mas quando a = e, teremos f´(x) = ex .lne . Mas lne = e
elog = 1, logo 
f´(x) = ex .lne = f´(x) = ex .l = ex xx ee = )´( . 
Para derivar as funções trigonométricas, o estudantes, deve revisitar a 
Unidade Temática 6.2. (Derivadas de Funções Trigométricas página 77 
e 78). 
Temos f2(x)=h(g(x)), sendo e . 
Se , então . 
Por outro lado, se , então . 
Mas, pela Regra da Cadeia, como h e g são deriváveis, temos 
f2'(x)=h'(g(x)).g'(x), 
ou seja, 
. 
Tente encontrar a expressão mais simplificada possível do que estas 
últimas duas alíneas a) e b) e continue, com analogia a esta resolução, 
a resolver os demais exercícios de c) a f). 
 
 
 
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UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 211 
TEMA VII: COMPORTAMENTO DE 
FUNÇÕES 
Unidade 7.1. Máximos e Mínimos. 
Unidade 7.2. Regiões de Crescimento e Decrescimento. 
Unidade 7.3. Regra de L’Hôpital. 
Unidade 7.4. Taxas Relacionadas 
 
Unidade Temática 7.1. Máximo e Mínimo 
Introdução 
 
Em matemática, em especial na análise real, os pontos de máximo e 
mínimo, também chamados de pontos extremos de uma função são 
pontos do domínio onde a função atinge seu valor máximo e mínimo. 
Ou seja, dizemos que (de máximo) e (de mínimo) se existem 
pontos no domínio e tais que: 
, para todo no 
domínio. 
A partir do sinal da primeira ou da derivada de uma função f, além da 
concavidade, podem-se obter pontos de máximo ou mínimos, 
relativos a um certo intervalo desta função. 
 
Em geral, não se pode garantir a existência de tais valores máximos nem 
mínimos, mesmo para funções reais contínuas limitadas. No entanto é 
possível mostrar que toda função real definida num compacto assume 
tanto um máximo como um mínimo. 
Define-se também ponto de máximo local e ponto de mínimo local que 
são pontos de máximo (ou de mínimo) de uma função em alguma 
vizinhança do ponto contida no domínio. 
 
 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de: 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
http://pt.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lise_real
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)
http://pt.wikipedia.org/wiki/Dom%C3%ADnio
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_real
http://pt.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%A7o_compacto
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Ponto_de_m%C3%A1ximo_local&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Ponto_de_m%C3%ADnimo_local&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/wiki/Vizinhan%C3%A7a
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 212 
 
Objectivos 
específicos 
 
 
 
▪ Entender: e aplicar o conceito de máximo e mínimo; 
▪ Saber interpretar o significado: de anulamento das 1ª e 2ª derivavadas; 
▪ Aplicar: os os conhecimentos adquiridos na vida prática e profissional; 
 
Máximo e Mínimo 
Aplicações da 1ª Derivada 
Considere o gráfico a seguir de uma função qualquer. Tem-se: 
 
x1= abscissa de um ponto de máximo local. 
x2= abscissa de um ponto de mínimo local. 
x3= abscissa de um ponto de máximo local. 
As rectas tangentes r1, r2 e r3 nos pontos de abscissas x1, x2 e x3, 
respectivamente, são paralelas ao eixo x, logo, a derivada (que é o 
 declive da recta tangente ao gráfico) de f anula-se para x1, x2 e x3, ou 
seja, f’(x1) = f’(x2) = f’(x3) = 0. Porque o ângulo (declive) mede-se entre 
a recta e o eixo das abcissas x. Quando a recta é paralela ao eixo x, o 
ângulo entre si resulta de zero graus, que é ovalor do declive. 
Observação: 
Por força do exposto no parágrafo imediatamente anterior, os pontos 
de mínimo ou de máximo ocorrem quando a 1ª derivada é nula (igual 
a zero) nesses pontos. 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 213 
 Aplicações da 2ª Derivada ou 
(pontos de Inflexão). 
A fim de verificar se um ponto, que anula a primeira derivada de uma 
função, representa um ponto de máximo ou mínimo local, faz-se o teste 
da segunda derivada, ou seja: 
a) deriva-se a função; 
b) iguala-se a primeira derivada a zero; 
c) Seja a função duas vezes diferenciável no intervalo aberto I. 
(i) se f(x) (segunda derivada) >0 para todo x em I (intervalo), então o 
gráfico de f possui concavidade virada para cima em I. 
(ii) se f(x) (segunda derivada) <0 para todo x em I, então o gráfico de f 
possui concavidade virada para baixo em I. 
Teste da segunda derivada para extremos relativos 
Seja a função f diferenciável no intervalo aberto I e suponha que c seja 
um ponto em I, tal que f (x) (primeira derivada) = 0 e f (x) (segunda 
derivada) exista. 
(i) se f (c)>0, então f possui um mínimo relativo em c. 
(ii) se f (c) < 0, então f possui um máximo relativo em c. 
Pode ser escrito de outra forma: 
 
Teste da Derivada segunda 
Suponha que f (2 derivada) seja contínua na proximidade de c. 
(i) se f (c) =0 e f (c) >0, então f tem um mínimo local em c. 
(ii) se f (c) = 0 e f (c) <0, então f tem um máximo local em c 
 
Sumário 
Nesta Unidade Temática 7.1. estudamos os seguinte 
tópicos. 
Aplicações da 1ª Derivada e 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 214 
Aplicações da 2ª DerivadaExercícios de AUTO-AVALIAÇÃO 
EXERCÍCIOS de AUTO-AVALIAÇÃO 
 GRUPO 2 (Com respostas) 
1. Dentre todos os rectângulos de perímetro 64cm, encontre as medidas 
de um em que sua áreas seja máxima. 
Temos o rectângulo: 
[Figura 1-1] 
O perímetro é dado por: 
 
 
 
De (5.1) obtermos: 
 
A área do retângulo é dada por: 
 
Substituindo (5.2) na (5.3), obtemos: 
 
 
Calculamos agora a derivada da (5.4): 
 
Igualando a zero obtendo a seguinte equação: 
http://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/S5uK71I0e5I/AAAAAAAAFSI/8Iclnoo9FZU/s1600-h/Figura5-1%5b4%5d.jpg
http://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/S5uK8ldVLHI/AAAAAAAAFSQ/YedkIVt6lRg/s1600-h/clip_image002%5b12%5d%5b2%5d.gif
http://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/S5uK9r7uyBI/AAAAAAAAFSY/L8uyXBBaYIk/s1600-h/clip_image004%5b12%5d%5b2%5d.gif
http://lh6.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/S5uK-tr4x9I/AAAAAAAAFSg/TNMTlbM6jW4/s1600-h/clip_image006%5b10%5d%5b2%5d.gif
http://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/S9q0Y1qdecI/AAAAAAAAHXg/HdjmmcnTQhY/s1600-h/clip_image00230%5b4%5d.gif
http://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/S5uLApzJAmI/AAAAAAAAFSw/cR-CHCRE1qM/s1600-h/clip_image010%5b10%5d%5b2%5d.gif
http://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/S5uLBjhBrwI/AAAAAAAAFS4/nJDBKNgCxzI/s1600-h/clip_image012%5b10%5d%5b2%5d.gif
http://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/S9q0Zk3C3hI/AAAAAAAAHXo/QtAK3zO3zwA/s1600-h/clip_image00232%5b3%5d.gif
http://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/S5uLDj1L6bI/AAAAAAAAFTI/mJvKsYParyM/s1600-h/clip_image016%5b10%5d%5b2%5d.gif
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 215 
 
 
 
Agora que já encontramos o valor de um dos lados do rectângulo, substituímos 
o valor encontrado na (5.2): 
 
 
 
Com este resultado, concluímos que, para que a área seja máxima, o quadrilátero 
pedido é um quadrado de lado 16cm. 
 
2. Encontre o máximo e o mínimo absolutos das funções: 
 
 
______________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://lh6.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/S5uLEjScxFI/AAAAAAAAFTQ/AUCozmgaK4w/s1600-h/clip_image018%5b10%5d%5b2%5d.gif
http://lh6.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/S5uLFrRsGKI/AAAAAAAAFTY/n7Yy8lgLhvk/s1600-h/clip_image020%5b10%5d%5b2%5d.gif
http://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/S5uLGgB3nEI/AAAAAAAAFTg/mlV7Q5mM9W0/s1600-h/clip_image022%5b10%5d%5b2%5d.gif
http://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/S5uLHqO3d8I/AAAAAAAAFTo/vQ55owVfMoU/s1600-h/clip_image024%5b10%5d%5b2%5d.gif
http://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/S5uLKhF3nRI/AAAAAAAAFTw/Lt0EKr-nBvo/s1600-h/clip_image026%5b10%5d%5b2%5d.gif
http://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/S5uLLvtFAXI/AAAAAAAAFT4/pkk2yNSJaIM/s1600-h/clip_image028%5b10%5d%5b2%5d.gif
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 216 
 
 
 
Segue que o máximo absoluto é f(4)=17 e o mínimo absoluto é f(2)=-3. 
 
_______________________________________________________________ 
b) 
f'(x)=6x(x-2)2+6x2(x-2) =12x((x-2) (x-1) =0 
 
 
Os pontos críticos são: x=0, x=2 e x=1. e os valores de f nestes pontos são: 
 
 
 
Máximo absoluto : M=27, Mínimo absoluto: m=0. 
 
 
Unidade Temática 7.2. Regiões de Crescimento 
e Decrescimento 
Introdução 
A noção intuitiva de crescimento/decrescimento de uma função num 
intervalo aberto, contido em seu domínio, nos faz pensar num 
determinado tipo de gráfico. Entretanto, é preciso tomar muito cuidado 
com as definições. 
Todas são definições simples. O cuidado a ser tomado é com o 
quantificador: "qualquer que seja" cujo símbolo é  . Assim, para 
provar que determinada função é crescente num intervalo não basta 
provar que: 
se então 
é preciso se certificar de que ficou estabelecido que a e b são quaisquer 
no intervalo considerado. 
Através da noção de crescimento/decrescimento de uma função num 
intervalo/Região aberto, podemos definir o ponto de extremo da 
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UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 217 
função nesse intervalo, como veremos no desenvolvimento desta 
Unidade Temática. 
 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
Objectivos 
específicos 
 
 
 
▪ Entebder: e aplicar o conceito de crescimento e decrescimento; 
▪ Perceber: quando se diz que uma função é estritamente Crescente; 
▪ Perceber: quando se diz que uma função é estritamente decrescente; 
 
 
Regiões de Crescimento e Decrescimento 
Definição 1: (Função Crescente) 
 Seja f uma função definida em um intervalo I . A função f é cr
escente em I se 
 f ( x1 ) < f ( x2 ) sempre que x1 < x2 , x1 , x2 I . 
 
 
Definição 2: (Função Decrescente) 
Seja f uma função definida em um intervalo I . A função f é decr
escente em I se 
f ( x1 ) > f ( x2 ) sempre que x1 < x2 , x1 , x2 I . 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 218 
 
 
Definição 3: Função estritamente 
Crescente 
Uma função f é dita estritamente crescente num intervalo I quando 
para qualquer par de pontos x1 e x2, com x1< x2, tem-se . 
 
Definição 4: Função estritamente 
Decrescente 
Uma função f é dita estritamente decrescente num intervalo I quando 
para qualquer par de pontos x1 e x2, com x1< x2, tem-se . 
 
Teorema: Sinal da Derivada 
Seja f uma função contínua em [ a , b ] e derivável em ( a , b 
) . Então: 
a) f ’( x ) > 0 , e x  ( a , b ); f é CRESCENTE em [ a , b ] . 
f é CRESCENTE em [ a , b ] então f ’( x ) > 0 , se x  ( a , b ) 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 219 
 
b) f ’( x ) < 0 , e x  ( a , b ); f é DECRESCENTE em [ a , b ] . 
f é DECRESCENTE em [ a , b ] então f ’( x ) < 0 , se x  ( a , b ) 
 
 
 
 
Teste da Primeira Derivada para 
Extremos 
Teorema: (Teste da 1a Derivada para Extremos Relativos) 
 Seja f uma função contínua em um intervalo aberto ( a , b 
) contendo xo . Se f é derivável em todo os pontos do intervalo 
(a , b) , excepto possivelmente em xo , então 
a) f ’( x ) > 0 , e x  ( a , xo) e f ’( x ) < 0 , e x  ( xo , b ), 
f tem um valor MÁXIMO RELATIVO em xo . 
 
 
 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 220 
 
 b) f ’( x ) < 0 , e x  ( a , xo ) e f ’( x ) > 0 , e x  ( xo , b ) 
 
 f tem um valor MÍNIMO RELATIVO em xo . 
 
 
 
 
 
 
Observação: (Não é Ponto de Extremo Relativo) 
f ’( x ) < 0 , e x  ( a , xo ) e f ’( x ) < 0 , e  x ( xo , b ) ou f ’( x ) > 0 
, e x  ( a , xo ) e f ’( x ) > 0 , e x  ( xo , b ) 
em xo f NÃO tem um extremo relativo . 
 
 
 
 
 
 Sumário 
Nesta Unidade Temática 7.2. estudamos: 
1. Definição 1: da Função Crescente e respectivas Regiões/Intervalos 
de crescimento; 
2. Definição 2: da Função Derescente e respectivas Regiões/Intervalos 
de decrescimento; 
3. Definição 3: da Função estritamente crescente e respectivas 
4.Regiões/Intervalos de crescimento; 
5. Definição 4: da Função estritamente decrescente e respectivas 6. 
Regiões/Intervalos de decrescimento; 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 221Exercícios 
GRUPO 2 (Exercícios com respostas) 
Exrcício 1 : 
 Seja: f(x) = x3 – 6x2 + 9x - 3 
(a) Encontre os intervalos 
(Regiões) onde f é crescente e onde é decrescente. 
(b) Encontre e classifique os extremos relativos. 
(c) Encontre o valor máximo absoluto da f no intervalo [ –1 , 2 ) . 
Solução : 
 
(a) Encontre os intervalos onde f é crescente e onde é decrescen
te . 
Temos que 
 
(b) Encontre e classifique os respectivos extremos. 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 222 
 
(c) Encontre o valor máximo absoluto da f no intervalo [ –1 , 2 ) . 
f é uma função polinomial , portanto contínua em IR . Em 
 particular , f contínua em [ –1 , 2 ) . 
f ( 1 ) = 1 é o único extremo relativo no intervalo [ –1 , 2 
) e é um valor máximo relativo f ( 1 ) = 
1 é o valor máximo absoluto da função neste intervalo . 
Exercício 2: 
 Seja . 
(a) Encontre os intervalos onde g é crescente e onde é decresce
nte. 
(b) Encontre e classifique os extremos relativos. 
(c) Encontre o valor máximo absoluto da g no intervalo ( 3 , 5 ] . 
Solução : 
(a) Encontre os intervalos onde g é crescente e onde é decresce
nte . 
 
 
 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 223 
 
(b) Encontre e classifique os extremos relativos . 
 
 
 
 
 
 
(c) Encontre o valor máximo absoluto da g no intervalo ( 3 , 5 ] . 
g é definida por uma função polinomial no intervalo ( 3 , 5 
] , portanto contínua neste intervalo . 
g ( 4 ) = –11 é o único extremo relativo no intervalo ( 3 , 5 
] e é um valor mínimo 
relativo g ( 4 ) = –
11 é o valor mínimo absoluto da função neste intervalo . 
 
 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 224 
Unidade Temática 7.3. Regra de L´Hôpital 
Introdução 
A regra de L'Hôpital, por vezes, também, designada por regra de 
Cauchy, foi incorporada no primeiro livro de texto sobre cálculo 
diferencial, publicado peli francês Guillaume François Antoine, Marquês 
de l'Hôpital, em 1696. Seu objectivo é calcular o limite de frações nos 
casos em que há indeterminações do tipo 
0
0
 ou 


. Actualmente sabe-
se que a regra, com a designação de L´Hôpital, não se deve ao francês 
Guillaume François Antoine, Marquês de l'Hôpital, ou simplesmente 
Marquês, seu primeiro nome, mas sim a Johann Bernoulli, um dos 
membros da célebre Família Bernoulli. A regra integrou a obra do 
marquês, sendo também atribuída ao mesmo, 
mediante um acordo entre ele e Bernoulli. Este facto foi descoberto 
muito posteriormente. 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
Objectivos 
específicos 
 
 
 
▪ Estabelecer: o encunciado da Regra de L´Hôpital; 
▪ Fazer: Algumas das aplicações da Regra de L´Hôpital; 
▪ Aplicar: os os conhecimentos adquiridos na vida prática e profissional; 
 
 
Regra de L´Hôpital 
Enunciado 
Sejam e funções deriváveis num intervalo ou união de intervalos 
, com . 
http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo
http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo
http://pt.wikipedia.org/wiki/Guillaume_Fran%C3%A7ois_Antoine,_Marqu%C3%AAs_de_l%27H%C3%B4pital
http://pt.wikipedia.org/wiki/Guillaume_Fran%C3%A7ois_Antoine,_Marqu%C3%AAs_de_l%27H%C3%B4pital
http://pt.wikipedia.org/wiki/Limite
http://pt.wikipedia.org/wiki/Guillaume_Fran%C3%A7ois_Antoine,_Marqu%C3%AAs_de_l%27H%C3%B4pital
http://pt.wikipedia.org/wiki/Johann_Bernoulli
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fam%C3%ADlia_Bernoulli
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 225 
Se 
 ou 
Então, se , 
com ou ou : 
 
Com , , , ou . 
É importante notar-se que esta é uma relação de sentido único (não é 
uma equivalência) e que tem de existir (i.e: se o limite do quociente 
das derivadas não existir, nada se pode concluir). 
 
 
Algumas Aplicações 
 
 
A regra pode, ainda, ser estendida para calcularem-se limites tais 
como 
 
 
 
aplicando a regra de L'Hôpital: 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 226 
 
 
 
Ou, ainda, o limite fundamental onde se segue: 
 
 
 
 
derivando... 
 
 
 
 
 
Demonstração 
A prova da regra de l'Hôpital é simples no caso em que f e g são 
continuamente diferenciáveis no ponto c e onde é encontrado um 
limite finito após a primeira tentativa de diferenciação. Esta não é uma 
prova geral para a regra l'Hôpital, pois é mais estrita, necessitando tanto 
de diferenciabilidade das duas funções f e g, e que c seja um número 
real. Uma vez que diversas funções comuns têm derivadas contínuas 
(por exemplo, polinómios, seno e cosseno, função exponencial), é um 
caso especial que merece atenção. 
Suponha que f e g são continuamente diferenciáveis num número real 
c, em que , e que . Então 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Polin%C3%B3mio
http://pt.wikipedia.org/wiki/Seno
http://pt.wikipedia.org/wiki/Cosseno
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_exponencial
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 227 
 
 
 
Sumário 
Nesta Unidade Temática 7.3. 
Estudamos: 
1. Enunciado do Regra/Teorema de L´Hôpital; 
2. Demonstração da Regra de L´Hôpital e; 
3. Algumas Aplicações 
 
 
Exercícios 
GRUPO 2 (com respostas) 
Exercício 1 
Alguns exemplos podem ser fornecidos 
 
Aplicando a regra de l'Hôpital 
 
 
Exercício 2 
A regra pode ainda ser usada para calcular alguns limites notáveis tais 
como: 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 228 
 
Aplicando a regra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade Temática 7.4. Taxas Relacionadas 
Introdução 
Quando pensamos em executar uma actividade, geralmente 
trabalhamos nela e pronto. Pelo menos é assim que pensamos que está 
sendo feito. Porém, muitas vezes, para realizar uma tarefa é necessário, 
antes, realizar uma primeira actividade a fim de preparar o caminho 
para a tarefa verdadeira que pretendemos. 
Por exemplo, se queremos cozinhar um ovo, colocamos a água para 
ferver, e dentro da água o ovo. Na verdade estamos fervendo água e a 
água é quem cozinha o ovo, não o fogo. Se pensarmos mais ainda, não 
é a água que está no fogo, mas a panela. Então, a panela é que está 
sendo aquecida pelo fogo, como consequência ferve a água e por último 
o ovo é cozido. Perceba 
que o resultado é exactamente o que queremos, mas a acção não é 
directa. Este é um exemplo de presso em cadeia, tal como acontecerá 
com as taxas relacionadas, que é o principal objectivo desta Unidade 
Temática. 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 229 
 
Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
Objectivos 
específicos 
 
 
 
▪ Entender: o conceito de taxas relacionadas; 
▪ Fazer Análise e Interpretação: das taxas relacionadas; 
▪ Aplicar: os os conhecimentos adquiridos na vida prática e profissional; 
Taxas Relacionadas 
Suponhamos que x e y estão relacionadas pela equação x2 + y2 = 1 e que 
x = f (t) e y = g(t), onde t é um parâmetro (tempo). Então derivando esta 
igualdade teremos (x2 + y2)´ = 1´ o mesmo que 
 
2x
dt
dx
 + 2y
dt
dy
 = 0; onde neste caso 
dt
dx
 e 
dt
dy
 dizemos que são taxas 
relacionadas, porque conhecendo uma podemos determinar a outra. 
 
Outro exemplo: Quando queremos calcular uma área, precisamos antes 
saber a geometria da superfície em questão. Da geometria definimos a 
relação com as medidas necessárias. 
Agora, imagine uma situação de calcular a área de um quadrado. De 
imediato pensamos na figura e lembramosda fórmula necessária: 
A = l² 
Mas como fica o problema se o lado mudar de tamanho ao longo do 
tempo? A variação da área com relação ao tempo não é percebida 
diretamente, somente se passarmos pelo cálculo do lado 
entenderemos o problema. 
Como assim? 
Imagine uma chapa de metal, quadrada. Para piorar, imagine uma 
chama constante em baixo da chapa aquecendo-a. Pense que o metal 
tende a variar suas medidas sob a ação de calor. Assim, quanto mais 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 230 
tempo passa, mais o calor influencia as medidas da chapa de maneira 
que poderíamos expressar o problema da seguinte maneira: 
A área depende do lado ao quadrado e o lado depende do tempo 
segundo alguma regra. 
Seja então o problema de calcular tal área para o caso do lado estar 
variando segunda a regra 
l = 4 – t² 
Então para cada área que quisermos calcular, primeiro calcularemos o 
lado e depois, tendo o valor do lado, calcularemos a área. Ocorre que 
frequentemente estamos interessados em saber a taxa de variação de 
uma grandeza com relação à outra. Por exemplo, taxa de variação do 
espaço com relação ao tempo, usualmente chamada de velocidade. 
Também, taxa de variação da velocidade com relação ao 
tempo, conhecida por aceleração. Mas não é somente variação com 
relação ao tempo, a taxa de variação pode ser medida com relação a 
outras grandezas. 
A taxa de variação é a derivada da função com relação a grandeza 
pretendida. Como precisamos relacionar informações intermediárias 
usa-se a regra da Cadeia (aos poucos vai entendendo o porquê de 
aprender tais regras?) 
Vamos calcular, então? 
Dados: 
▪ A = l² 
▪ l = 4 – t² 
Queremos a variação da área com relação ao lado, mas o lado varia com 
relação ao tempo, então calcularemos a variação da área com relação 
ao tempo. 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 231 
dA/dt = dA/dl x dl/dt Ora, dA/dl = 2 l, que é a derivada da função área 
com relação ao lado. 
E, dl/dt = -2 t, que é a derivada da função lado com relação ao tempo. 
Pela regra da cadeia, faremos o produto das duas derivadas e 
voltaremos a variável básica, no caso, o tempo t. 
dA/dt = -4 l t, substituindo l teremos 
dA/dt = -4 (4 – t²) t, ou dA/dt = -16 t + 4 t³ 
Repare agora que temos como conhecer a situação de variação da área 
com relação a qualquer tempo desejado… 
Por exemplo, poderíamos dizer que a velocidade de variação da área na 
unidade de tempo t = 1 u.t. é de dA/dt = -16 x 1 + 4 x 1³ = -12 u.v., 
lembre-se u.v. É unidade de velocidade. 
Porém, para t = 3 u.t. é de dA/dt = -16 x 3 + 4 x 3³ = 60 u.v.. 
Agora, é amadurecer o conceito e trabalhar os exercícios… 
Sumário 
Nesta Unidade Temática 7.3. estudamos: 
Taxas Relacionadas e algumas de suas Aplicações. 
 
 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 232 
Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO 
1. Uma pedra é largada de um avião traçando uma trajectória descrita pela 
função ℎ(𝑥) = ln (𝑥) conforme ilustra a figura a baixo. A equação da recta “t” 
tangente à curva no ponto 𝑥 =
1
2
 é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
A. 𝑦 = 2𝑥 +
1
2
− ln (
1
2
) 
B. 𝑦 = 2𝑥 −
1
2
+ ln (
1
2
) 
C. 𝑦 = 2𝑥 +
1
2
 
D. Nenhuma das alternativas 
 
2. Sendo 𝑓(𝑥) = log2(𝑠𝑒𝑛𝑥) , 𝑓′(𝑥) é: 
A. 
𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)
𝑙𝑛2
 
B. 
𝑡𝑔(𝑥)
𝑙𝑛2
 
C. log2(𝑐𝑜𝑠𝑥) 
D. (𝑐𝑜𝑠𝑥)log2(𝑠𝑒𝑛𝑥) 
 
3. Sendo 2𝑥2 + 5𝑦2 = 1 , então 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 é: 
A. 
−𝑦
𝑥
 
B. 
−2𝑥
5𝑦
 
C. 4x+10y=0 
D. 4x+10y 
 
4. Com base no gráfico a baixo resolva 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 233 
 
Qual é a solução da seguinte inequação 𝑓′(𝑥) > 0 ? 
A. 𝑥 ∈ 𝐼𝑅 
B. 2 < x < 6 e x > 10 
C. 2 < x < 6 
D. x > 10 
5. Com base no gráfico a baixo resolva 
 
Os pontos da inflexão do gráfico anterior são: 
A. 𝑥1 = 2 𝑒 𝑥2 = 10 
B. 𝑥1 = 4 𝑒 𝑥2 = 10 
C. 𝑥1 = 4 𝑒 𝑥2 = 8 
D. 𝑥1 𝑒 𝑥5 
 
6. Com base no gráfico a baixo resolva 
 
Qual é a solução da seguinte inequação 𝑓′′(𝑥) < 0? 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 234 
A. 𝑥 ∈ 𝐼𝑅 
B.x < 2 e x > 10 
C. 4 < x < 8 
D. x > 10 
7. A derivada da função 𝑦 = 𝑡𝑔𝑥 −
1
3
𝑡𝑔3𝑥 +
1
5
𝑡𝑔5𝑥 é: 
A. 𝑠𝑒𝑐2𝑥 − 𝑠𝑒𝑐6𝑥 + 𝑠𝑒𝑐10𝑥 
B. 𝑠𝑒𝑐2𝑥(1 − 𝑡𝑔2𝑥 + 𝑡𝑔4𝑥) 
C. 𝑐𝑠𝑐2𝑥(1 − 𝑡𝑔2𝑥 + 𝑡𝑔4𝑥) 
D. Nenhuma das alternativas. 
 
 8. O aplicando a regra de l’Hôpital, valor do seguinte limite lim
𝑥→0
𝑥2
𝑙𝑛𝑥
 é: 
A. 2 
B. 0 
C. ½ 
D. Nenhuma das alternativas. 
 
9. As derivadas das funções 𝑓(𝑥) = 2 − 3𝑥 e ℎ(𝑥) =
2
𝑥+1
 são 
respectivamente: 
A. 𝑓′(𝑥) = −3 𝑒 ℎ′(𝑥) =
2
𝑥+1
 
B. 𝐵: 𝑓′(𝑥) = 2 𝑒 ℎ′(𝑥) =
2
(𝑥+1)2
 
C. 𝑓′(𝑥) = −3 e ℎ′(𝑥) =
2
(𝑥+1)2
 
D. 𝑓′(𝑥) = −3 e ℎ′(𝑥) =
−2
(𝑥+1)2
 
 
10. Sendo 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑥), 𝑓′(𝑥) é: 
A. tgx 
B. -tgx 
C. cotgx 
D. -cotgx 
Respostas: 
1. B, 2.A, 3.B, 4.B, 5.C, 6.C, 7.B, 8.A, 9.D, 10.B 
 
 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 235 
GRUPO 2 (Com respostas) 
 
1. Duas variáveis x e y são funções de uma variável t e estão 
relacionadas pela equação: y2 − 3xy + x2 = 25. 
Se a taxa de variação de x em relação a t é igual a 1 quando x = 0 então 
determine a taxa de variação de y em relação a t neste mesmo instante. 
RESPOSTA: Y(0) = 3 
 
2.Um farol giratório completa uma volta em cada 15 segundos, visto 
desde um ponto P a 60m em linha recta do farol. 
Determine a vvelocidade com que um raio de luz do farol está se 
movendo ao longo da praia num um ponto, Q, a 150m de P. 
RESPOSTA:3480 m/min. 
 
3. Um meliante evade-se de uma penitenciária sobre uma muralha 
recta a uma velocidade de 4 m/s. Um holofote localizado a 20 metros 
de distância da muralha, e a mesma altura que esta, focaliza o homem 
em fuga. A que taxa o holofote girava quando o malfeitor se encontrava 
a 15 metros do ponto da muralha que está mais próximo 
do holofote? 
RESPOSTA: 
125
16
rad/s. 
 
4. Uma cidade x é atingida por uma certa epidemia do tipo êbola. Os 
sectores de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela 
pandemia, depois de um certo tempo t, medidos em dias, a partir do 
primeiro dia, seja, aproximadamente, dada pela fórmula 
f (t) = 64t − 
3
3t
 
 
(a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4? 
(b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8? 
(c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia a partir do quinto 
dia? 
 
5. Num aviário experimental , constatou-se que uma ave em 
desenvolvimento pesa, em gramas, segundo a lei 
f (t) = 
( )





+
++
90606048
6004
2
1
20
2
2
tset
tset
 
 
onde t é medido em dias. Pergunta-se: 
a) Qual a razão de aumento do peso da ave passados 50 dias? 
b) Em quanto o peso de uma ave aumentará no quinto dia? 
c) Qual a razão de aumento do peso quando t = 80? 
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 236 
 
6. Uma peça de carne foi congelada numa na câmara de um geleira no 
instante t = 0. Após o tempo t (medido em horas), notou-se que a sua 
temperatura T (em graus Celcius ou oC) diminuía, segundo a lei 
T (t) = 30 − 5t + 
1
1
+t
, 50  t . Urgiu razoável fazer-se a Pergunta: 
Qual a velocidade de redução de sua temperatura 
a) Volvidas duas horas?; 
b) Depois de uma semana? 
c) Depois de um dia? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA 
• SANTOS, José Carlos. Introdução à Topologia. Departamento de 
Matemática - Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. 
Junho de 2010, 171 páginas. Disponível em: 
<http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/PDF/Topologia.pdf>. 
Acesso em: 12 de Setembro de 2014. 
• Andraus, S. e Santos, U. P., Matemática no Ensino do Segundo 
Grau, Volumes. 1, 2 e 3, Companhia Ed.Nacional, 1973. 
• Ávila, G. S. S. (1983). Cálculo 1: Funções de uma Variável, ed. 
LTC. 
• Flemming, D. M. e Gonçalves, M. B. (1992) Cálculo A: Funções, 
Limite, Derivação e Integração, Makron Books. 
• Hoffmann, L. D. (1985). Cálculo: Um Curso Moderno e suas 
Aplicações, ed. LTC. 
• Iezzi, G. et al. Matemática, Volumes. 1, 2 e 3, Atual Editora Ltda 
- São Paulo. 
• Leithold, L. (1984). Matemática Aplicada à Economia e 
Adimistração, Ed. Harbra Ltda. 
http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/PDF/Topologia.pdf
 
UnISCED MATEMÁTICA APLICADA 
 237 
• Weber, J. E. (1997) Matemática para Economia e Administração, 
LTC. 
 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 
1. Euclides, Os Elementos, Livro I, Proposição 20 [em linha] 
2. QUEIRÓ, J. F.; SANTANA, A. P. (2010). Introdução à Álgebra 
Linear (1.ª edição). Gradiva ISBN 978-989-636-372-3. Páginas 
149 e 150. 
3. João Jeronimo & Marcos Antônio Nunes de Moura. Introdução 
ao Cálculo vol II. 20 de março de 2013. 158 págs. Creative 
Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0). Acesso em 13 jul. 
2013. 
4. Sean Raleigh, Notation Guide for Precalculus and Calculus 
Students [em linha] 
5. J J O'Connor and E F Robertson. Madhava of Sangamagrama 
School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, 
Scotland. Página visitada em 2014-09-08. 
6. LIMA, Elon Lages. Curso de Análise Vol.1. 14 ed. [S.l.]: IMPA, 
2013. ISBN 9788524401183 
7. ANTON, Howard. Cálculo - Volume 1. 8 ed. [S.l.]: Bookman, 2007. 
ISBN 9788560031634 
8. Stewart, James. Cálculo vol. I. ISBN 978-85-221-0660-8. Ed. 
Cengage, 2009, pg. 98. 
9. STEWART, James. Cálculo, volume 2. São Paulo: Pioneira 
Thomson Learning, 2007. 5ª edição. ISBN 85-211-0484-0. Página 
900. 
10. STEWART, James. Curso de cálculo volume 1. São Paulo: 
Pioneira Thomson Learning, 2002. 4ªa edição. ISBN 85-221-
0236-8. Página 159. 
11. STEWART, James. Curso de cálculo volume 1. São Paulo: Pioneira 
Thomson Learning, 2002. 4ªa edição. ISBN 85-221-0236-8. 
Página 156. 
12. Agudo, F. R. Dias. (1994) Análise Real (3 volumes), Lisboa: 
Escolar Editora. 
13. Ostrowski, A. (1981) Lições de Cálculo Diferencial e Integral (3 
volumes), Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian. 
14. Ricieri, A. P. (1993) Derivada Fracionária, Transformada de 
Laplace e outros bichos, Prandiano, S. José dos Campos - SP - 
Brasil. 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Euclides
http://pt.wikipedia.org/wiki/Os_Elementos
http://en.wikisource.org/wiki/Page:The_Elements_of_Euclid_for_the_Use_of_Schools_and_Colleges_-_1872.djvu/47
http://pt.wikipedia.org/wiki/Especial:Fontes_de_livros/9789896363723
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/ff/C%C3%A1lculo_%28Volume_1%29.pdf
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/ff/C%C3%A1lculo_%28Volume_1%29.pdf
http://pt.wikipedia.org/wiki/Creative_Commons
http://pt.wikipedia.org/wiki/Creative_Commons
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Sean_Raleigh&action=edit&redlink=1
http://faculty.sdmiramar.edu/sraleigh/Notation%20Guide.pdf
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Madhava.html
https://pt.wikipedia.org/wiki/Especial:Fontes_de_livros/9788524401183
https://pt.wikipedia.org/wiki/Especial:Fontes_de_livros/9788560031634
https://pt.wikipedia.org/wiki/Especial:Fontes_de_livros/9788522106608
https://pt.wikipedia.org/wiki/Especial:Fontes_de_livros/8521104840
http://pt.wikipedia.org/wiki/Especial:Fontes_de_livros/8522102368
http://pt.wikipedia.org/wiki/Especial:Fontes_de_livros/8522102368
http://pt.wikipedia.org/wiki/Especial:Fontes_de_livros/8522102368
 
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