Avaliação II - Geometria Analítica e Álgebra Vetorial

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GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:890602)
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Prova 70015342
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 10/0
Nota 10,00
No estudo das transformações lineares, o conceito de imagem da transformação linear é o 
conjunto de todos os vetores do contradomínio que são imagens de pelo menos um vetor o espaço 
vetorial de saída. A respeito da base para a imagem da transformação T(x,y) = (x+y, x), analise as 
opções a seguir:
I- [(1,1),(1,0)].
II- [(1,1),(0,1)].
III- [(0,1),(1,0)].
IV- [(1,1)].
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A Somente a opção I está correta.
B Somente a opção IV está correta.
C Somente a opção II está correta.
D Somente a opção III está correta.
Imagine que você queira empurrar um objeto. A força que você aplica sobre ele precisa estar na 
direção e sentido em que você pretende movimentá-lo ou não chegará ao resultado desejado: se 
desejar que o objeto vá para frente, logicamente não adiantará empurrá-lo para baixo. Isso porque a 
força é um exemplo de grandeza vetorial. Para descrevê-la, é preciso que se diga também o sentido e 
a direção em que ela é aplicada. Com relação ao vetor resultado (R) da operação -u + 2v, sendo u = 
(-1,2,0) e v = (-1,-2,3), analise as opções a seguir:
I- R = (-3,0,6).
II- R = (-1,6,-6).
III- R = (-1,-6,6).
IV- R = (3,0,6).
Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a opção I está correta.
B Somente a opção II está correta.
C Somente a opção III está correta.
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D Somente a opção IV está correta.
Dado um espaço vetorial V, há subconjuntos de V tais que eles próprios também são espaços 
vetoriais, só que menores. Esses subconjuntos são chamados de subespaços de V. Sobre o exposto, 
classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) O conjunto dos números irracionais é um subespaço dos números reais.
( ) Um plano é um subespaço de R²
( ) Um ponto é um subespaço de R.
( ) Uma reta que passa na origem é um subespaço de R².
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - F - V - V.
B V - V - F - F.
C V - F - F - V.
D F - V - V - F.
O produto vetorial é de grande utilidade para a física para analisar o comportamento no 
eletromagnetismo, mecânica de corpos rígidos e dos fluidos. Na matemática, o produto vetorial 
aplica-se a vetores em R³ resolvendo problemas na geometria, no qual o produto entre dois vetores 
tem como solução um novo vetor, simultaneamente ortogonal aos outros dois. Baseado nisto, quanto 
ao produto vetorial (u x v) entre os vetores u = (1,1,2) e v = (-3,1,2), analise as opções a seguir:
I- u x v = (1,8,-4).
II- u x v = (0,8,4).
III- u x v = (0,-8,4).
IV- u x v = (0,8,-4).
Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a opção II está correta.
B Somente a opção III está correta.
C Somente a opção IV está correta.
D Somente a opção I está correta.
A matriz a seguir permite que sejam calculados autovalores, a partir de uma Transformação 
Linear. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta os autovalores desta matriz 2x2:
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A Os autovalores associados são 5 e 3.
B Os autovalores associados são 1 e -1.
C Os autovalores associados são 0 e 2.
D Não há autovalores reais associados a essa Transformação Linear.
Os problemas ligados ao conceito de autovalores, vistos em Álgebra Linear, permeiam muito 
mais do que estamos acostumados a verificar. Não são apenas as raízes do polinômio característico de 
uma transformação linear, mas sim o problema clássico de autovalores, que é absolutamente essencial 
para a compreensão e a análise de estruturas simples, tais como treliças, vigas, pórticos, placas etc., 
como também de sistemas estruturais mais complexos, dentre os quais podem ser citados os 
seguintes: pontes rodoviárias e ferroviárias, torres de aço de telecomunicações e de transmissão de 
energia, estádios de futebol, passarelas de pedestres, edificações residenciais, edifícios altos, 
plataformas off-shore etc. Sobre a soma dos autovalores da transformação apresentada a seguir, 
classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que 
apresenta a sequência CORRETA:
A V - V - F - V.
B F - F - V - F.
C V - F - F - F.
D F - V - F - F.
Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (frequentemente indicado por LI) 
quando nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros. Em 
contrapartida, naturalmente, um conjunto de vetores é dito linearmente dependente (LD) se pelo 
menos um de seus elementos é combinação linear dos outros. Baseado nisso, assinale a alternativa 
CORREA que apresenta um conjunto de vetores LI:
A {(1,1,0),(2,2,0),(0,0,3)}.
B {(2,1,-1),(0,0,1),(2,1,0)}.
C {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}.
D {(1,1,0),(1,0,1),(5,2,3)}.
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A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, com as operações de 
adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de 
partida então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto, uma operação de 
adição de elementos deste conjunto, e uma operação de multiplicação de escalares (por exemplo, 
números reais) por elementos deste conjunto.
A respeito das propriedades dos espaços vetoriais, classifique V para as sentenças verdadeiras e F 
para as falsas:
( ) Os espaços vetoriais preservam as operações de soma e multiplicação por escalar.
( ) Os espaços vetoriais podem ser imaginados como domínio de contradomínio de operações 
lineares.
( ) A base de um espaço é um conjunto LD que gera todos os elementos de um espaço.
( ) A base de um espaço é um conjunto LI que gera todos os elementos de um espaço.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V – V – F – V.
B F – V – V – F.
C V – V – F – F.
D V – F – V – V.
Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial. 
Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar. Seu 
principal uso baseia-se no fato de que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a 
ambos os vetores originais. Quanto ao resultado do produto vetorial entre u = (2,-3,4) e v = (2,2,-3), 
classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
( ) u x v = (-10,-1,-14).
( ) u x v = (-1,-14,-10).
( ) u x v = (1,14,10).
( ) u x v = (10,-1,14).
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - F - V - F.
B F - V - F - F.
C F - F - F - V.
D V - F - F - F.
No estudo da Álgebra Linear e Vetorial surge o conceito de autovalores e autovetores. Teoricamente, 
um autovetor de uma transformação é um vetor que quando aplicado na transformação, resulta um 
múltiplo de si próprio, sendo que a este fator multiplicativo, damos o nome de autovalor. Estes 
conceitos possuem diversas aplicações práticas, principalmente na Engenharia.
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Baseado nisso, dada a transformação T(x,y) = (2x, y) analise as sentenças a seguir:
I. v = (0,1) é um autovetor de T, com autovalor igual a 2.
II. v = (1,0) é um autovetor de T, com autovalor igual a 2.
III. T possui um autovalor de multiplicidade algébrica 1.
IV. T possui dois autovalores de multiplicidade algébrica 1.
Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente as opções I e IV estão corretas.
B Somente as opções II e III estão corretas.
C Somente as opções I e III estão corretas.
D Somente as opções II e IV estão corretas.
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