Otimização aplicada

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Otimização aplicada
1. 
A calha é um suporte de forma retangular ou cilíndrica fixada na extremidade do telhado para impedir infiltrações. Com uma folha retangular de zinco de 30 cm de largura, é possível construir uma calha retangular, dobrando as bordas perpendiculares à folha. Para que esta calha tenha capacidade máxima, quanto deve ser dobrado de cada lado?
Você acertou!
A. 
7,5 cm
Como a largura da folha é de 30cm e cada lado será diminuído em x cm, tem-se que 30-2x é a nova largura. Sua área:
�=base×altura
�=�∙(30−2�)
�(�)=�∙(30−2�)
Encontrando os pontos:
�(�)=0→{�=0�=15
Derivando a função:
�(�)=30�−2�2
�'(�)=30−4�=0
�=7,5cm
2. 
A função horária do espaço
h(t)=−4,905⋅t²+60⋅t
descreve o movimento de um projétil lançado verticalmente para cima. No sistema internacional de unidades qual a sua altura máxima?
Você acertou!
B. 
183,48 m
A partir da função
ℎ(�)=−4,905⋅�2+60⋅�
podemos encontrar sua velocidade:
ℎ(�)=−4,905⋅�2+60⋅�
ℎ'(�)=−9,81⋅�+60=0
�=6,12�
Assim:
ℎ(6,12)=−4,905⋅6,122+60⋅6,12=183,48�
3. 
A partir de uma folha com 20 cm de largura e 30 cm de comprimento, deseja-se construir uma caixa. Para isso, tira-se um quadrado de cada canto da cartolina. Para que o volume seja máximo, qual deve ser o valor do lado do quadrado retirado de cada canto?
Você acertou!
D. 
3,92 cm
Como serão tirados os quadrados laterais, tem-se que:
Largura = 20 – 2x
Comprimento = 30 – 2x
Volume = largura x comprimento x altura
Volume = (20 – 2x) . ( 30 – 2x) . x
Efetuando o produto:
Volume = 4x³-100x²+600x
Derivando:
V’ = 12x²-200x+600=0
x= 12,74 ou x=3,92
V’’= 24x-200
Para x= 12,74
V’’= 24x-200
V’’= 24.(12,74 )-200=105,76 é positivo, logo é mínimo
Para x=3,92
V’’= 24.( 3,92 )-200=-105,92 é negativo, logo é máximo
Assim o quadrado deve ser de lado 3,92 cm
4. 
Determine um número natural que somado com o seu inverso ao quadrado seja mínimo.
Você acertou!
A. 
23​​​​​​​
Observe que você deve derivar e analisar os pontos críticos.
Como x não pode ser zero:
²ã�(�)=�+1�²=�+�−2�'(�)=1−2⋅�−3=0�=23Nãopodeserzero!
5. 
Deseja-se construir uma sala na forma retangular com 300 m² de área. Para que seu perímetro seja mínimo, qual deve ser o comprimento e largura da sala?
Você acertou!
E. 
x = y = 17,32 m
Observe que você deve encontrar a expressão da função, derivar e analisar os pontos críticos.
A área se x e y o comprimento e largura,
í�(�)=�×��(�)=�×�=300�=300�Seuperímetro:�=2⋅�+2⋅��=2⋅�+2⋅300��=2�+600�−1�'=2−600�−2=0�=17,32�Mas�=30017,32=17,32�​​​​​​​