Cálculo Diferencial e Integral 1

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 
 
 
 
Equipe de Elaboração 
Grupo ZAYN Educacional 
 
 
Coordenação Geral 
Ana Lúcia Moreira de Jesus 
 
 
Gerência Administrativa 
Marco Antônio Gonçalves 
 
 
Professor-autor 
Luciano de Assis Silva 
 
 
Coordenação de Design Instrucional do Material Didático 
Eliana Antônia de Marques 
 
 
Diagramação e Projeto Gráfico 
Cláudio Henrique Gonçalves 
 
 
Revisão 
Ana Lúcia Moreira de Jesus 
Mateus Esteves de Oliveira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GRUPO ZAYN EDUCACIONAL 
 
Rua Joaquim Pinto Lara,N° 87 
 2ºAndar – Centro 
Piracema –MG 
CEP: 35.536-000 
TEL: (31) 3272-6646 
 
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Boas-vindas 
 
Olá! 
 
É com grande satisfação que o Grupo ZAYN Educacional agradece por 
escolhê-lo para realizar e/ou dar continuidade aos seus estudos. Nós do ZAYN 
estamos empenhados em oferecer todas as condições para que você alcance 
seus objetivos, rumo a uma formação sólida e completa, ao longo do processo 
de aprendizagem por meio de uma fecunda relação entre instituição e aluno. 
Prezamos por um elenco de valores que colocam o aluno no centro de 
nossas atividades profissionais. Temos a convicção de que o educando é o 
principal agente de sua formação e que, devido a isso, merece um material 
didático atual e completo, que seja capaz de contribuir singularmente em sua 
formação profissional e cidadã. Some-se a isso também, o devido respeito e 
agilidade de nossa parte para atender à sua necessidade. 
Cuidamos para que nosso aluno tenha condições de investir no 
processo de formação continuada de modo independente e eficaz, pautado 
pela assiduidade e compromisso discente. 
 Com isso, disponibilizamos uma plataforma moderna capaz de oferecer 
a você total assistência e agilidade da condução das tarefas acadêmicas e, em 
consonância, a interação com nossa equipe de trabalho. De acordo com a 
modalidade de cursos on-line, você terá autonomia para formular seu próprio 
horário de estudo, respeitando os prazos de entrega e observando as 
informações institucionais presentes no seu espaço de aprendizagem virtual. 
 Por fim, ao concluir um de nossos cursos de pós-graduação, segunda 
licenciatura, complementação pedagógica e capacitação profissional, 
esperamos que amplie seus horizontes de oportunidades e que tenha 
aprimorado seu conhecimento crítico a cerca de temas relevantes ao exercício 
no trabalho e na sociedade que atua. Ademais, agradecemos por seu ingresso 
ao ZAYN e desejamos que você possa colher bons frutos de todo o esforço 
empregado na atualização profissional, além de pleno sucesso na sua 
formação ao longo da vida. 
 
 
 
EMENTA: 
 Fundamentos de Função, Limite e continuidade de funções. Derivada e 
Aplicações. Regras de Derivação. Regra da Cadeia. Funções implícitas. 
Derivação Implícita. Teorema do Valor Médio. Regra de L’Hopital. Construção 
de Gráficos. Integral indefinida. Integral definida e propriedades. Teorema do 
Valor Médio para Integrais e aplicações. Estudo das relações entre os 
conteúdos abordados na disciplina e o estudo de funções no Ensino Médio. 
 
CONTEÚDO PROGRAMATICO: 
I. Funções 
1. Definições e Gráficos 
2. Operações com Funções 
3. Funções Hiperbólicas 
 
II. Limite e Continuidade 
1. Definição de Limite 
2. Teoremas sobre Limite 
3. Limites Unilaterais, Limites Infinitos e no Infinito 
4. Limite de uma Função Composta 
5. Assíntotas. 
6. Limites Fundamentais 
7. Definição de uma Função Contínua 
8. Teorema sobre Continuidade 
 
III. Derivadas 
1. Definição e Interpretação Geométrica e Física 
2. Derivada de Funções Elementares 
3. Diferenciabilidade e Continuidade 
4. Regras de Derivação 
5. Função Derivada e Derivada de ordem superior 
6. Regra da Cadeia 
7. Derivada da Função Potência 
8. Função Inversa e sua Derivada 
 
IV. Estudo da Variação das Funções 
1. Teorema do Valor Médio e Teorema de Rolle 
2. Intervalos de Crescimento e Decrescimento de uma Função 
Cálculo 
Diferencial e 
Integral 
GRUPO ZAYN 
EDUCACIONAL 
 
 
 
3. Concavidade e Ponto de Inflexão 
4. Regras de L’Hospital 
5. Máximos e Mínimos 
6. Gráficos de Funções 
 
V. Integrais 
1. Integrais Indefinidas 
2. Propriedades operatórias de Integrais 
3. Métodos de Integração 
 
V. Aplicação de Integrais 
1. Integrais Definidas e Impróprias 
2. Cálculo de Áreas Planas e de Revolução 
3. Cálculo do Volume dos Sólidos de Revolução 
4. Cálculo do Comprimento de Arcos 
 
OBJETIVOS: 
I. Geral 
• Conhecer as noções básicas de limite, derivada e integral de uma função de 
uma variável e suas aplicações. 
 
II. Específicos 
• Identificar domínio e imagem de funções elementares e esboçar seus 
gráficos; 
• Trabalhar o conceito de limites e de continuidade de funções; 
• Caracterizar as propriedades de limites e suas aplicações; 
• Conhecer o conceito e aplicações de derivadas; 
• Trabalhar as propriedades das derivadas e suas aplicações; 
• Conhecer o conceito, métodos de cálculo e aplicações de integral; 
• Trabalhar as propriedades de Integral e suas aplicações; 
• Determinar áreas de figuras cujos limites são determinados por funções. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 UNIDADE I - FUNÇÕES.................................................................................................................... 7 
1 – DEFINIÇÃO MATEMÁTICA DE FUNÇÃO ....................................................................................... 7 
2 – DOMINIO DE UMA FUNÇÃO REAL DE VARIÁVEL REAL .......................................................... 8 
3 – GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO ............................................................................................................. 9 
4 – FUNÇÃO COMPOSTA ....................................................................................................................... 11 
5 – FUNÇÃO INVERSA ........................................................................................................................... 12 
6 – FUNÇÃO POR PARTES ..................................................................................................................... 13 
7 – FUNÇÕES HIPERBÓLICAS .............................................................................................................. 13 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO ................................................................................................................... 16 
 UNIDADE II – LIMITE E CONTINUIDADE ................................................................................ 20 
1 – NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE ...................................................................................................... 20 
2 – PROPOSIÇÕES E PROPRIEDADE DE LIMITES ............................................................................. 22 
3 – CÁLCULO DO LIMITE COM INDETERMINAÇÃO 0/0 ................................................................. 22 
4 – LIMITES INFINITOS .......................................................................................................................... 23 
5 – LIMITES NO INFINITO ..................................................................................................................... 24 
6 – CÁLCULO DO LIMITE COM INDETERMINAÇÃO ∞/∞ ............................................................. 25 
7 – CÁLCULO DO LIMITE COM INDETERMINAÇÃO ∞ − ∞ .......................................................... 26 
8 – LIMITES FUNDAMENTAIS E LIMITES CONSEQUENTES IMPORTANTES ............................. 26 
9 – CONTINUIDADE ................................................................................................................................ 27 
10 – ASSÍNTOTAS .................................................................................................................................... 29 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO ...................................................................................................................30 
 UNIDADE III – DERIVADA ............................................................................................................ 33 
1 – DEFINIÇÃO DE DERIVADA ............................................................................................................ 34 
2 – REGRAS DE DERIVAÇÃO................................................................................................................ 35 
3 – DERIVADAS SUCESSIVAS .............................................................................................................. 39 
4 – DERIVAÇÃO IMPLÍCITA ................................................................................................................. 40 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO ................................................................................................................... 40 
 UNIDADE IV – ESTUDO DA VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES ....................................................... 42 
1 – MÁXIMOS E MÍNIMOS DE UMA FUNÇÃO ................................................................................... 43 
2 – TEOREMAS SOBRE DERIVADAS ................................................................................................... 44 
3 – FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES ............................................................................... 45 
4 – CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXÃO .................................................................................. 46 
5 – REGRAS DE L’HOSPISTAL .............................................................................................................. 48 
6 – ESBOÇO DE GRÁFICOS DE FUNÇÕES .......................................................................................... 49 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO ................................................................................................................... 52 
 UNIDADE V – INTEGRAIS ............................................................................................................. 54 
 
 
 
1 – INTEGRAL INDEFINIDA .................................................................................................................. 55 
2 – REGRAS DE INTEGRAÇÃO ............................................................................................................. 55 
3 – MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO SIMPLES .................................................... 56 
4 – MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA ................................. 58 
5 – MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS ............................................................. 60 
6 – MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES ................................................................................... 64 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO ................................................................................................................... 65 
 UNIDADE VI – APLICAÇÕES DE INTEGRAL ........................................................................... 68 
1 – INTEGRAL DEFINIDA ...................................................................................................................... 68 
2 – INTEGRAL IMPRÓPRIA ................................................................................................................... 69 
3 – CÁLCULO DE ÁREAS ....................................................................................................................... 71 
4 – CÁLCULO DO VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO ........................................................... 73 
5 – CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE ARCO .................................................................................... 77 
6 – CÁLCULO DA ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃO ................................................. 78 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO ................................................................................................................... 79 
 GABARITO DOS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO........................................................................... 83 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
 
 
Unidade I – Funções 
 
 O conceito de função é um dos mais importantes da matemática. Ele está 
sempre presente na relação entre duas grandezas variáveis. Assim são exemplos de 
funções: 
 O valor a ser pago numa corrida de táxi é função do espaço percorrido; 
 A área de um quadrado é função da medida do seu lado; 
 O consumo de combustível de um automóvel é função, entre outros fatores, da 
velocidade. 
 
 Observe que as relações que vimos a seguir têm duas características em 
comum: 
 A todos os valores da variável independente estão associados valores da 
variável dependente; 
 Para um dado valor da variável independente está associado um único valor da 
variável dependente. 
 
 As relações que têm essas características são chamadas de funções. 
1 – DEFINIÇÃO MATEMÁTICA DE FUNÇÃO 
 Sendo 𝐴 e 𝐵 dois conjuntos não vazios e uma relação 𝑓 de 𝐴 em 𝐵 , essa 
relação 𝑓 é uma função quando cada elemento 𝑥 do conjunto 𝐴 está associado a 
um, e somente um, elemento 𝑦 do conjunto 𝐵. Indica-se por: 
 
𝑓: 𝐴 → 𝐵 
 
 Quando estas condições descritas na definição não forem satisfeitas, existirá 
apenas uma relação 𝑅. Daí, concluímos que toda função é uma relação, mas nem 
toda relação e uma função. Observe os exemplos com diagramas: As figuras 1, 2 e 
3 representam funções. Note que cada elemento do conjunto domínio 𝐴 tem uma 
única chegada no conjunto contradomínio 𝐵. Chamamos de conjunto imagem 𝐼𝑚 
aos elementos de 𝐵 que se relacionaram com os elementos de 𝐴 . No conjunto 
contradomínio pode sobrar elemento. A letra 𝑓 acima do diagrama indica que a 
relação especial é uma função. 
 
 As figuras 4, 5 e 6 representam apenas relações. Note que na fig. 4 alguns 
elementos de 𝐴 têm duas chegadas em 𝐵, na fig. 5 sobrou um elemento de 𝐴 sem 
8 
 
 
 
 
relacionar-se com 𝐵 e, finalmente, na fig. 6 um único elemento de 𝐴 têm várias 
chegadas em 𝐵. A letra 𝑅 acima do diagrama indica ser apenas uma relação. 
 
2 – DOMINIO DE UMA FUNÇÃO REAL DE VARIÁVEL REAL 
 Quando trabalhamos com uma função, é importante sabermos qual o domínio 
dessa função, pois é ele que vai determinar os valores possíveis para a variável 
independente. Em muitos casos, o domínio e o contradomínio não vêm explicitados, 
devemos, então, considerar como domínio o conjunto de todos os números reais 
que podem ser colocados no lugar da variável independente na fórmula da função, 
obtendo, após os cálculos, um número real, já, o contradomínio será os números 
reais. 
 I. Domínio de funções polinomiais 
 O domínio de qualquer função polinomial é o próprio conjunto dos números 
reais, ou seja 𝐷 = ℝ. 
 
 II. Domínio de funções com variáveis no denominador 
 O domínio de qualquer função que tenha variáveis no denominador será o 
conjunto dos números reais excluindo os números que tornem seu denominador 
igual a zero, uma vez que não existam frações de denominador nulo. 
 
 III. Domínio de funções com variáveis dentro de raiz quadrada ou de índice 
par. 
 O domínio de qualquer função que tenha variáveis dentro de raiz quadrada ou 
de índice par é o conjunto dos números reais excluindo os números que tornem seu 
radicando negativo. 
 
 IV. Domínio de funções com variáveis dentro de raiz cubica ou de índice 
ímpar. 
 O domínio de qualquer função que tenha variáveis dentro de raiz cubica ou de 
índice impar é o próprio conjunto dos números reais, ou seja 𝐷 = ℝ. 
 
 V. Domínio de funções logarítmicas 
 O domínio de qualquer função logarítmica é o conjunto dos números reais 
excluindo os que tornam o logaritmando nulo ou negativo; e a base do logaritmo 
igual a 1 ou negativa. 
 
 VI. Domínio de funções tangente 
 O domínio de qualquer função tangente é o conjunto dos números reais 
excluindo os que tornam o ângulo dentro da tangente igual a (𝜋
2
+ 𝑘. 𝜋) rad em que 
𝑘 ∈ ℤ. 
9 
 
 
 
 
3 – GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 
 O gráfico é conjunto de todos os pontos (𝑥, 𝑦) do plano cartesiano, com 
𝑥 ∈ 𝐷 e 𝑦 ∈ 𝐼𝑚. Para isso, consideremos os valores do domínio da função o 
eixo 𝑥 e as respectivas imagens no eixo 𝑦. 
 Para construir o gráfico de uma função, utilizaremos o sistema de coordenadas 
cartesianas ortogonais. O sistema de coordenadas ortogonais é composto por: 
 Duas retas perpendiculares entre si, onde a reta horizontal é o eixo 𝑥 (abscissas) 
e a reta vertical o eixo 𝑦 (ordenadas). 
 O cruzamento das duas retas é a origem do sistema. 
 As retas dividem o plano em quatro partes iguais chamadas de quadrantes. 
 
 A partir do gráfico de uma função, podemos obter informações importantes 
sobre o comportamento dessa função, como: 
 O domínio e a imagem. 
 Os pontos onde o gráfico intercepta os eixos coordenados. 
 Os intervalos para os quais a função é crescente, decrescente ou constante. 
 Os intervalos para os quais a o valor da função é positivo e negativo. 
 O valor máximo ou mínimo que a função atinge. 
 O (s) valor (es) da(s) raiz(es) da função. 
 
 I. Como reconhecer quando um gráfico representa uma função: 
 Como para cada valor de 𝑥 do domínio devemos ter em correspondência um 
único 𝑦 do contradomínio, é possível identificar se um gráfico representa ou não 
função, traçamos retas paralelas ao eixo 𝑦 . Para ser função, cada reta vertical 
traçada por pontos do domínio deve interceptar o gráfico em um único ponto. 
 
10 
 
 
 
 
 
 II. Como determinar o domínio e a imagem da função: 
 O domínio de uma função é obtido pela projeção dos pontos do gráfico sobre o 
eixo 𝑥 (abscissas) enquanto a imagem é obtida pela projeção dos pontos do gráfico 
sobre o eixo 𝑦 (ordenadas). 
 
 
 
 
𝐷(𝑓) = [2,4] 
 
 
 
 
 
𝐼𝑚(𝑓) = [1,5] 
 
 
 
 
 III. Como determinar as raízes ou os zeros de uma função 
 Graficamente a(s) raiz(es) de uma função é(são) a(s) a(s) abscissa(s) do(s) 
ponto(s) onde o gráfico encontra o eixo 𝑥 (abscissas). 
 
 
 
 Logo, os números 2 e 5 são as raízes ou os 
zeros da função 
 
 
 
 
 
 IV. Como determinar o intervalo onde a função é crescente, decrescente ou 
constante 
 Se aumentarmos o valor da variável independente e aumentar os valores da 
imagem, temos função crescente. 
11 
 
 
 
 
 Se aumentarmos o valor da variável independente e diminuir os valores da 
imagem, temos função decrescente. 
 Se aumentarmos o valor da variável independente e não alterar os valores da 
imagem, temos função constante. 
 
4 – FUNÇÃO COMPOSTA 
 Chama-se função composta, ou função de função, à função obtida substituindo-
se a variável independente x, por uma função. 
 Simbologia: 𝑓𝑜𝑔 (𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) ou 𝑔𝑜𝑓 (𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)). 
 
 Observação: atente para o fato de que 𝑓𝑜𝑔 ≠ 𝑔𝑜𝑓 , ou seja, a operação 
"composição de funções " não é comutativa. 
 Exemplo 1: Sejam 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 1 e 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2. Determine 𝑓𝑜𝑔 (𝑥) e 
𝑔𝑜𝑓(𝑥). 
 𝑓𝑜𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑥 + 2) = (𝑥 + 2)2 – 1 = 𝑥2 + 4𝑥 + 4 – 1 = 
 
 = 𝑥2 + 4𝑥 + 3 
 
 𝑓𝑜𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔 (𝑥2 – 1) = (𝑥2 – 1) + 2 = 𝑥2 – 1 + 2 = 
 
 = 𝑥2 + 1. 
 
 Exemplo 2: Dada a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1, determine 𝑓(𝑓(2)). 
 𝑓(2) = 22 + 1 = 4 + 1 = 5 
 
 𝑓(𝑓(2)) = 𝑓(5) = 52 + 1 = 25 + 1 = 26 
 
12 
 
 
 
 
5 – FUNÇÃO INVERSA 
 Dada uma função bijetora 𝑓: 𝐴 → 𝐵 , denominamos função inversa de 𝑓 à 
função 𝑓−1 ∶ 𝐵 → 𝐴, tal que: 
 
 
 
 
 I. Dispositivo prático para cálculo da função inversa: 
 Seja 𝑓 uma função bijetora de 𝐴 em 𝐵, definida pela sentença 𝑦 = 𝑓(𝑥). A 
sentença aberta que define 𝑓−1 é encontrada da seguinte forma: 
 Troca-se 𝑥 por 𝑦 e 𝑦 por 𝑥 em 𝑦 = 𝑓(𝑥) e obtém-se 𝑥 = 𝑓(𝑦). 
 Isola-se a variável 𝑦, obtendo-se, então, 𝑓−1(𝑥). 
 
 Exemplo: Seja a função bijetora 𝑓(𝑥) = 2𝑥 – 3, de domínio 𝐷(𝑓) = ℝ e 
contradomínio 𝐶𝐷 (𝑓) = ℝ. Determine 𝑓−1(𝑥). 
 Aplicando a regra prática: 
 𝑓(𝑥) = 𝑦 = 2𝑥 – 3 
 𝑥 = 2𝑦 – 3 → 2𝑦 = 𝑥 + 3 → 𝑦 = 
𝑥 + 3
2
 → 𝑓−1(𝑥) = 
𝑥 + 3
2
 
 
 II. Gráfico de função inversa: 
 Os gráficos de 𝑓 e de sua inversa 𝑓−1 são simétricos em relação à bissetriz dos 
quadrantes ímpares. Essa propriedade é válida para toda função 𝑓(𝑥) e sua inversa 
𝑓−1(𝑥). 
 
13 
 
 
 
 
6 – FUNÇÃO POR PARTES 
 Função por partes são aquelas em que sua fórmula é composta por duas ou 
mais expressões numéricas ou algébricas. Para cada expressão que a compõe será 
informado o conjunto domínio dos valores que podem ser utilizados para a mesma. 
 
 
 
 
 
 
 
→ 𝑓(𝑥) = {
𝑥 − 3, 𝑠𝑒 𝑥 < 3
2, 𝑠𝑒 𝑥 = 3
𝑥2 − 9
20
, 𝑠𝑒 𝑥 > 3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 – FUNÇÕES HIPERBÓLICAS 
 De acordo com Barnett, Johann Heinrich Lambert é responsável pelo primeiro 
tratado sobre as funções trigonométricas em um documento apresentado a 
Academia de Ciências de Berlim em 1761, que rapidamente se tornou famoso. Em 
sua "Mémoire Sur Quelques Propriétés Remarquables Des Quantités 
Transcendantes Circulaires et Logarithmiques", Lambert comparou as funções 
transcendentes circulares 𝑠𝑒𝑛(𝑢) e cos(𝑢) , com suas expressões análogas 
"Quantitiés Transcendantes Logarithmiques", (𝑒∅ + 𝑒−∅)/2 e (𝑒∅ − 𝑒−∅)/2 
funções as quais ele tratou explicitamente na sua forma funcional e como série de 
potência, mas não nomeou-as por cosseno hiperbólico e seno hiperbólico 
respectivamente. Isso ocorreu mais tarde em sua "Observations Trigonométriques" 
em 1768. 
 Barnett continua, apesar da notação de Lambert para estas funções, diferente 
da nossa convenção atual, as funções hiperbólicas já tinham obtido seu importante 
papel na Matemática. 
 I. Funções Trigonométricas Hiperbólicas: 
 A função cosseno hiperbólico, denotada por 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 é definida por: 
 
 
 
14 
 
 
 
 
→ 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) =
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
2
 
 
 
 
 A função seno hiperbólico, denotada por 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 é definida por: 
 
 
 
 
→ 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) =
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
2
 
 
 
 
 Funções hiperbólicas derivadas: 
 
 
 
 
→ 𝑡𝑔ℎ(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)
𝑐𝑜𝑠ℎ (𝑥)
=
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
 
 
 
 
 
 
 
→ 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ(𝑥) =
𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥)
𝑠𝑒𝑛ℎ (𝑥)
=
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
 
 
→ 𝑠𝑒𝑐ℎ(𝑥) =
1
𝑐𝑜𝑠ℎ (𝑥)
=
2
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
 
 
 
 
 
 
 
→ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ(𝑥) =
1
𝑠𝑒𝑛ℎ (𝑥)
=
2
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
 
 
 
 
 II. Relações Trigonométricas Hiperbólicas: 
 𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛ℎ2(𝑥) = 1 𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛ℎ2(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠ℎ(2𝑥) 
 
 senh(2x) = 2𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)cosh (𝑥) cosh(𝑥) − senh(𝑥) = 𝑒−𝑥 
 
 cosh(𝑥) + senh(𝑥) = 𝑒𝑥 1 − 𝑡𝑔ℎ2(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐ℎ2(𝑥) 
 
 1 − 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ2(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ2(𝑥) 
 
 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥 + 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑦) + 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑦) 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) 
 
 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥 − 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑦) − 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑦) 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) 
 
 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥 + 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑦) + 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑦) 
 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥 − 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑦) − 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑦) 
 
 Exemplo 1: Mostre que: 
 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥 + 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑦) + 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑦) 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) 
 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑦) =
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
2
∙
𝑒𝑦 + 𝑒−𝑦
2
=
𝑒𝑥+𝑦 + 𝑒𝑥−𝑦 − 𝑒−𝑥+𝑦 − 𝑒−𝑥−𝑦
4
 
 
 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑦) 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) =
𝑒𝑦 − 𝑒−𝑦
2
∙
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
2
=
𝑒𝑥+𝑦 + 𝑒−𝑥+𝑦 − 𝑒𝑥−𝑦 − 𝑒−𝑥−𝑦
4
 
 
16 
 
 
 
 
 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑦) + 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑦) 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) =
2𝑒𝑥+𝑦 − 2𝑒−𝑥−𝑦
4
= 
 
 =
𝑒𝑥+𝑦 − 𝑒−𝑥−𝑦
2
= 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥 + 𝑦)III. Funções Trigonométricas Hiperbólicas Inversas: 
 A função arco seno hiperbólico: 
𝑥 = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑦) =
𝑒𝑦 − 𝑒−𝑦
2
⇒ 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) = ln (𝑥 + √𝑥2 + 1) 
 
 A função arco cosseno hiperbólico: 
𝑥 = 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑦) =
𝑒𝑦 + 𝑒−𝑦
2
⇒ 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) = ln (𝑥 + √𝑥2 − 1) 
 
 A função arco tangente hiperbólico: 
𝑥 = 𝑡𝑔ℎ(𝑦) =
𝑒𝑦 − 𝑒−𝑦
𝑒𝑦 + 𝑒−𝑦
⇒ 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔ℎ(𝑥) =
1
2
ln (
1 + 𝑥
1 − 𝑥
) 
 
IV. Relações Trigonométricas Hiperbólicas Inversas: 
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) ± 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑦) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥√1 + 𝑦2 ± 𝑦√1 + 𝑥2) 
 
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) ± 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑦) = arccosh [𝑥𝑦 ± √(1 + 𝑥2)(1 + 𝑦2)] 
 
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔ℎ(𝑥) ± 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔ℎ(𝑦) = arctgh (
𝑥 ± 𝑦
1 ± 𝑥𝑦
) 
 
 Exemplo 2: Resolva a equação 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) + arccosh(𝑥 + 2) = 0. 
 𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥 + 2) ⟹ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) + u = 0 ⟶ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑢) 
 
𝑥2 = 𝑠𝑒𝑛ℎ2(𝑢) → 𝑥2 = 𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝑢) − 1 
 
𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥 + 2) ⟹ 𝑥2 = 𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥 + 2)) − 1 ⟶ 
⟶ 𝑥2 = (𝑥 + 2)2 − 1 ⟶ 4𝑥 + 3 = 0 ⟶ 𝑥 = −
3
4
 
Exercícios de Fixação 
01 – Sejam 𝑓(𝑥) = 2𝑥 – 9 e 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 5𝑥 + 3 . Qual é o valor da soma dos 
valores absolutos das raízes da equação 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑔(𝑥)? 
 
17 
 
 
 
 
02 – Sejam 𝑓 e 𝑔 duas funções de ℝ em ℝ , tais que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 e 𝑔(𝑥) =
 2 – 𝑥. Qual é o valor de 𝑥 na seguinte equação: 
 𝑓(𝑔(𝑥)) + 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑓(𝑓(𝑥)) + 𝑔(𝑔(𝑥)) 
 
03 – As funções 𝑓(𝑥) = 3 – 4𝑥 e 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 𝑚, onde 𝑚 é uma constante, 
são tais que 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑔(𝑓(𝑥)), qualquer que seja 𝑥 real. Nessas condições, 
qual é o valor da constante 𝑚? 
 
04 – Sendo 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 𝑥 + 1 e 𝑔(𝑥) = 𝑥 – 2 funções de ℝ em ℝ calcule: 
 a) o valor de 𝑓𝑜𝑔𝑜𝑓𝑜𝑔𝑜𝑔(3). 
 b) os valores reais de 𝑥 para que se tenha 𝑓(𝑔(𝑥)) ≤ 2𝑔(𝑥). 
 
05 – Considere as funções 𝑓(𝑥) = log2 𝑥 e 𝑔(𝑥) = 𝑥
2 − 2𝑥, definidas para todo 
𝑥 real estritamente positivo. Se 𝑎 > 0 e 𝑓(𝑔(2𝑎)) = 3, quanto vale 𝑓(𝑎)? 
 
06 – Sejam 𝑓 e 𝑔 duas funções de ℝ em ℝ , definidas por 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 10 e 𝑔(𝑥) = − 5𝑥 + 20. Calcule o valor de 𝑦 na expressão: 
 𝑦 =
𝑓2(4) − 𝑔(𝑓(4))
𝑓(0) − 𝑔(𝑓(0))
 
 
07 – Se 𝑓(𝑥) = √𝑎 − 𝑥2 , 𝑔(𝑥) = √𝑏 − 𝑥 , e 𝑓(𝑔(2)) = 2, calcule o valor de 
𝑓(𝑔(0)). 
 
08 – Para um número real fixo 𝛼 , a função 𝑓(𝑥) = 𝛼𝑥 − 2 é tal que 
𝑓(𝑓(1)) = −3. Qual é o valor de 𝛼? 
 
09 – Determine a função inversa de: 
 𝑓(𝑥) =
𝑥 − 1
𝑥
 
 
10 – Seja 𝑓(𝑥) uma função real definida para 𝑥 > 0 e seja 𝑓−1(𝑥) a sua função 
inversa. Determine a solução da equação 𝑓−1(𝑥) = 𝑓(𝑥),sabendo que: 
 𝑓(𝑥) =
1
𝑥 + 1
 
 
11 – Sendo 𝐴 = [1 , ∞), determine o conjunto 𝐵, dado que 𝑓: 𝐴 → 𝐵, 𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 2𝑥 + 10 é uma função bijetora e, nessas condições, obtenha também a 
função 𝑓−1(𝑥) . 
 
12 – Seja 𝑓: 𝐴 → 𝐵 com 𝐴 = [5 , 8], e 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 10𝑥 + 21 . Sabe-se ainda 
que 𝑓(𝑥) é bijetora. Obtenha: 
18 
 
 
 
 
 a) o conjunto imagem de 𝑓(𝑥). 
 b) a função inversa 𝑓−1(𝑥). 
 
13 – A curva de Gompertz é o gráfico de uma função expressa por 𝑁 = 𝐶 ∙ 𝐴𝑘
𝑡
, em 
que 𝐴, 𝐶 e 𝐾 são constantes. É usada para descrever fenômenos como a evolução 
do aprendizado e o crescimento do número de empregados de muitos tipos de 
organizações. Suponha que, com base em dados obtidos em empresas de mesmo 
porte, o Diretor de Recursos Humanos da Companhia Nacional de Motores (CNM), 
depois de um estudo estatístico, tenha chegado à conclusão de que, após t anos, a 
empresa terá 𝑁 = 10000 ∙ (0,01)0,5
𝑡
 funcionários (com 𝑡 ≥ 0). 
 a) Segundo esse estudo, qual é o número inicial de funcionários empregados 
pela 
 CNM? 
 b) Qual será o número de funcionários que estarão empregados na CNM, após 
 dois anos? 
 c) Depois de quanto tempo a CNM empregará 1000 funcionários? 
 
14 – A figura abaixo representa um cabo de aço preso nas extremidades de duas 
hastes de mesma altura ℎ em relação a uma plataforma horizontal. A representação 
dessa situação num sistema de eixos ortogonais supõe a plataforma de fixação das 
hastes sobre o eixo das abscissas; as bases das hastes como dois pontos, 𝐴 e 𝐵; e 
considera o ponto 𝑂, origem do sistema, como o ponto médio entre essas duas 
bases. O comportamento do cabo é descrito matematicamente pela função 
𝑓(𝑥) = 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥 ∙ 𝑙𝑛2), com domínio [𝐴 , 𝐵] . 
 
 a) Nessas condições, qual a menor distância entre o cabo e a plataforma de 
apoio? 
 b) Considerando as hastes com 2,5 m de altura, qual deve ser a distância entre 
 elas, se o comportamento do cabo seguir precisamente a função dada? 
 
15 – Responda: 
 a) Esboce, num mesmo sistema de coordenadas, os gráficos de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 e 
 𝑔(𝑥) = 2𝑥. 
 b) Baseado nos gráficos do item a, resolva a inequação: 2𝑥 ≤ 2𝑥. 
 c) Qual é o maior valor: 2√2 ou 2√2? Justifique. 
 
16 – Considere as funções, para 𝑥 > 0: 
 𝑓(𝑥) =
𝑥
2
 𝑔(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 
 
19 
 
 
 
 
 a) Represente, num mesmo sistema de coordenadas, os gráficos das duas 
funções, colocando os pontos cujas abscissas são 𝑥 = 1, 𝑥 = 2, 𝑥 = 4 e 
𝑥 = 8. 
 b) Baseado na representação gráfica, dê o conjunto solução da inequação: 
 
𝑥
2
< 𝑙𝑜𝑔
2
𝑥 
 c) Qual é o maior: 𝜋/2 ou log2𝜋? Justifique sua resposta. 
 
17 – Usando as definições do seno hiperbólico e cosseno hiperbólico mostre que: 
 𝑎) 𝑐𝑜𝑠ℎ(2𝑥) = 2𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝑥) − 1 
 𝑏) 𝑐𝑜𝑠ℎ(2𝑥) = −2𝑠𝑒𝑛ℎ2(𝑥) + 1 
 𝑐) 𝑠𝑒𝑛ℎ(−𝑥) = −𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) 
 𝑑) 𝑐𝑜𝑠ℎ(−𝑥) = 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) 
𝑒) 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) − 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑦) = 2 𝑠𝑒𝑛ℎ (
𝑥 + 𝑦
2
) 𝑠𝑒𝑛ℎ (
𝑥 − 𝑦
2
) 
 
18 – Usando as definições das funções trigonométricas hiperbólicas mostre que: 
 𝑎)𝑡𝑔ℎ (
𝑥
2
) =
𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) − 1
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)
 
 𝑏)𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ (
𝑥
2
) =
𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) + 1
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)
 
 
19 – Resolva as equações abaixo, apresentando a resposta em termos de 
logaritmos naturais. 
𝑎) 4 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) = 4 
𝑏) 3 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) − 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) = 1 
𝑐) 4 𝑡𝑔ℎ(𝑥) = 1 + 𝑠𝑒𝑐ℎ(𝑥) 
𝑑) 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔ℎ (
𝑥 − 2
𝑥 + 1
) = 𝑙𝑛(2) 
 
20 – Mostre que: 
 𝑎) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥 + √𝑥2 − 1) , 𝑥 < 1 
 𝑏) 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐ℎ(𝑥) = 𝑙𝑛 (
1 + √1 − 𝑥2
𝑥
) , 0 < 𝑥 ≤ 1 
𝑐) 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑦) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥√1 + 𝑦2 − 𝑦√1 + 𝑥2) 
 
 
 
 
 
20 
 
 
 
 
Unidade II – Limite e Continuidade 
 O conceito de limite é fundamental no cálculo diferencial, um campo da 
Matemática que iniciou – se no século XVII sendo bastante produtivo em resultados 
e aplicações em várias áreas do conhecimento, como a Física, a Engenharia, a 
Economia, a Geologia, a Astronomia, a Biologia, entre outras. 
Com o desenvolvimento do cálculo diferencial, matemáticos como Huygens (1629 – 
1695), Newton (1642 – 1727) e Leibniz (1646 – 1716) tiveram papel marcante. 
Buscando aperfeiçoar a conceituação de limites, tiveram destaques as contribuições 
de d’ Alembert (1717 – 1783) e de Cauchy (1789 – 1857). 
Na Matemática atual, as definições de convergência, divergência, continuidade, 
derivada e integral estão baseadas no conceito de limite. 
1 – NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE 
 Exemplo 1: Seja a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1. Vamos associar valores de 𝑥 que 
se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda 
(valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de 𝑦. 
 
 Observamos que quando x tende para1, y tende para 3 e o limite da função é 
3. 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
(2𝑥 + 1) = 3 
 
 De maneira geral, escrevemos lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿, se, quando 𝑥 se aproxima de 
𝑎 (𝑥 → 𝑎), 𝑓 (𝑥) se aproxima de 𝑏 (𝑓(𝑥) → 𝐿). 
 Exemplo 1: Seja a função: 
𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
, 𝑥 ≠ 1 
 
 Para 𝑥 diferente de 1, 𝑓 pode ser simplificada e reescrita de forma mais 
simples. 
 𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
=
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
𝑥 − 1
→ 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, 𝑥 ≠ 1 
 
 Analisando o comportamento dessa função nas vizinhanças do ponto 𝑥 = 1, 
pois esse ponto não pertence ao domínio de 𝑓. 
21 
 
 
 
 
 
 Logo quando nos aproximamos de 𝑥 = 1, pela esquerda e pela direita, o valor 
dessa função se aproxima de 2. Assim, dizemos que 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
(𝑥 + 1) = 1 + 1 = 2 
 
 Observações: 
 Os dois tipos de aproximações que vemos nas tabelas ‘Pela direita’ e ‘Pela 
esquerda’ dos exemplos 1 e 2 desde tópico são chamados de limites laterais e 
são indicados pelos sinais sobrescritos ao valor que deseja aproximar por ‘+’, 
aproximação pela direita, e por ‘−′, aproximação pela esquerda. 
 Para o exemplo 2 deste tópico, temos: 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = 2 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→1+
𝑓(𝑥) = 2 
 
 Se a função 𝑓(𝑥) se aproximasse de valores distintos à medida que 𝑥 se 
aproximasse lateralmente de um valor 𝑎 , pela esquerda e pela direita, então 
diríamos que o limite da função 𝑓 não existiria neste ponto. 
 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) ≠ 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) → ∄ 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
 𝑓(𝑥) 
 
 O limite da função 𝑓(𝑥) quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 , somente existe se os 
limites laterais são iguais. 
 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 → 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
 𝑓(𝑥) = 𝐿 
 
 Observe que para o exemplo 2 deste tópico esta condição é verificada, veja: 
 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→1−
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→1+
𝑓(𝑥) = 2 → 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
 𝑓(𝑥) = 2 
 
 Existem símbolos que não têm significado e são denominados como símbolos de 
indeterminação. Se o limite de uma função apresentar uma dessas 
indeterminações não significa que o limite não existe, deve–se levantar a 
indeterminação e encontrar o limite da função. 
 Os símbolos de indeterminação são: 
0
0
,
∞
∞
, ∞ − ∞, 0 ⋅ ∞, 1∞, 00, ∞0 
 
22 
 
 
 
 
 
 
 
2 – PROPOSIÇÕES E PROPRIEDADE DE LIMITES 
 Se os limites de 𝑓(𝑥) , 𝑔(𝑥) e 𝑔(𝑓(𝑥)) existem, e 𝑘 é um número real 
qualquer, tem-se: 
 I. Unicidade do limite 
 𝑙𝑖𝑚 
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿1 𝑒 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
 𝑓(𝑥) = 𝐿2 → 𝐿1 = 𝐿2 
 
 II. Limite da Soma e Subtração 
 𝑙𝑖𝑚 
 𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
 𝑓(𝑥) ± 𝑙𝑖𝑚 
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) 
 
 III. Limite do Produto de uma função por uma constante 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
 [𝑘 𝑓(𝑥)] = 𝑘𝑙𝑖𝑚 
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) 
 
 IV. Limite do Produto 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)] = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) 
 
 V. Limite do Quociente 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
, 𝑠𝑒 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) ≠ 0 
 
 VI. Limite de uma constante 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑘 = 𝑘 
 
 VII. Limite de uma função composta 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔 (𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)) 
3 – CÁLCULO DO LIMITE COM INDETERMINAÇÃO 0/0 
 Sempre que nos depararmos com uma indeterminação do tipo 0/0, deveremos 
simplificar a expressão da função envolvida. Logo após, calculamos o limite da 
função substituindo, na expressão já simplificada, o valor de 𝑥. Para simplificar a 
expressão você deve utilizar fatoração, racionalização, dispositivo prático de Briot-
Ruffini para dividir polinômios, etc... 
 Vejamos os seguintes exemplos: 
𝑎) 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→−2
𝑥2 − 4
𝑥2 + 3𝑥 + 2
 
 Se fizermos 𝑥 tendendo a –2, temos: 
 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→−2
𝑥2 − 4
𝑥2 + 3𝑥 + 2
=
(−2)2 − 4
(−2)2 + 3 ⋅ (−2) + 2
=
4 − 4
4 − 6 + 2
=
0
0
 
23 
 
 
 
 
 
 Obtendo a indeterminação 0/0. Para elimina-la vamos fatorar o numerador e 
denominador da expressão algébrica e simplifica-la. 
 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→−2
𝑥2 − 4
𝑥2 + 3𝑥 + 2
= 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→−2
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
(𝑥 + 2)(𝑥 + 1)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
𝑥 − 2
𝑥 + 1
=
−2 − 2
−2 + 1
= 4 
𝑏) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
√𝑥 − √2
𝑥 − 2
 
 
 Se fizermos 𝑥 tendendo a 2, temos: 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
√𝑥 − √2
𝑥 − 2
=
√2 − √2
2 − 2
=
0
0
 
 
Obtendo a indeterminação 0/0. Para elimina-la vamos racionalizar o numerador. 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
√𝑥 − √2
𝑥 − 2
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
(√𝑥 − √2)(√𝑥 + √2)
(𝑥 − 2)(√𝑥 + √2)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑥 − 2
(𝑥 − 2)(√𝑥 + √2)
= 
 
 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
1
√𝑥 + √2
=
1
√2 + √2
=
1
2√2
=
√2
4
 
4 – LIMITES INFINITOS 
 Se no cálculo de um limite ocorrer uma situação do tipo 𝑘/0, 𝑘 não nulo, então: 
 
{
𝑘
0+
= +∞, 𝑘 > 0 𝑒 
𝑘
0+
= −∞, 𝑘 < 0
𝑘
0−
= −∞, 𝑘 > 0 𝑒 
𝑘
0−
= ∞, 𝑘 < 0
 
 
 Exemplo: Determine os limites dados: 
𝑎) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
𝑥 + 6
𝑥 − 3
 
 
 Se fizermos 𝑥 tendendo a 3, temos: 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
𝑥 + 6
𝑥 − 3
=
3 + 6
3 − 3
=
9
0
= ? 
 
 Lembre-se que não existe divisão por zero, neste caso devemos os limites 
laterais para resolver esta questão. 
 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→3−
𝑥 + 6
𝑥 − 3
=
3 + 6
3− − 3
=
9
0−
= −∞ 
 
 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→3+
𝑥 + 6
𝑥 − 3
=
3 + 6
3+ − 3
=
9
0+
= +∞ 
24 
 
 
 
 
 
 Neste caso como os limites são diferentes, conclui-se que: 
 ∄ 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
𝑥 + 6
𝑥 − 3
 
 
 Note que as notações 3– e 3+ foram utilizadas didaticamente no denominador 
para indicar respectivamente ligeiramente menor que 3 e ligeiramente maior que 3, 
no numerador não foi utilizado este artificio uma vez que o resultado não está 
próximo de zero. 
𝑏) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑥 − 2
𝑥2
 
 
 Se fizermos 𝑥 tendendo a 0, temos: 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑥 − 2
𝑥2
=
0 − 2
02
=
−2
0
= ? 
 
 Lembre-se que não existe divisão por zero, neste caso devemos os limites 
laterais para resolver esta questão. 
 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→0−
𝑥 − 2
𝑥2
=
0 − 2
(0−)2
=
−2
0+
= −∞ 
 
 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→0+
𝑥 − 2
𝑥2
=
0 − 2
(0+)2
=
−2
0+
= −∞ 
 
 Neste caso como os limites são idênticos, conclui-se que: 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑥 − 2
𝑥2
= −∞ 
5 – LIMITES NO INFINITO 
 Estamos interessados agora em estabelecer o comportamento de uma função 
quando a variável 𝑥 cresce indefinidamente (𝑥 → +∞) ou quando ela decresce 
indefinidamente (𝑥 → −∞). Em algumas situações, a função se aproxima de um 
valor numérico (figura 1), noutros pode também crescer indefinidamente (figura 2) ou 
decrescer indefinidamente (figura 3). 
 
 Na figura 1: 
25 
 
 
 
 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
(
1
𝑥
+ 1) =
1
∞
+ 1 = 0 + 1 = 1 
 
 Na figura 2: 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
(𝑥 + 1) = ∞ + 1 = ∞ 
 
 Na figura 3: 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
(4 − 𝑥2) = 4 − ∞2 = 4 − ∞ = −∞ 
 
6 – CÁLCULO DO LIMITE COM INDETERMINAÇÃO ∞ ∞⁄ 
 Sempre que nos depararmos com uma indeterminação do tipo ∞ ∞⁄ , 
deveremos colocar o termo de maior grau em evidencia no numerador e no 
denominador. 
 Exemplo: Determine os limites dados: 
𝑎) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
𝑥2
1 − 5𝑥2
 
 
 Se fizermos 𝑥 tendendo a ∞, temos: 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑥2
1 − 5𝑥2
=
(−∞)2
1 − 5(−∞)2
= −
∞
∞
 
 
 Obtendo a indeterminação ∞ ∞⁄ . Para elimina-la vamos colocar o termo de 
maior grau em evidencia no numerador e no denominador. 
 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→−∞
𝑥2
1 − 𝑥2
= 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→−∞
𝑥2
𝑥2 (
1
𝑥2
− 1)
= 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→−∞
1
1
𝑥2
− 1
=
1
1
(−∞)2
− 1
= 
 
 =
1
0 − 1
= −1 
 
𝑏) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
6𝑥3 + 𝑥
𝑥 + 3
 
 
 Se fizermos x tendendo a ∞, temos: 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
6𝑥3 + 𝑥
𝑥 + 3
=
6(∞)3 + ∞
∞ + 3
=
∞ + ∞
∞ + 3
=
∞
∞
 
 
 Obtendo a indeterminação ∞ ∞⁄ . Para elimina-la vamos colocar o termo de 
maior grau em evidência no numerador e no denominador. 
26 
 
 
 
 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞6𝑥3 + 𝑥
𝑥 + 3
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑥3 (6 +
1
𝑥2
)
𝑥 (1 +
3
𝑥)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑥2 (6 +
1
𝑥2
)
1 +
3
𝑥
= 
 
 =
(∞)2 (6 +
1
(∞)2
)
1 +
3
∞
=
∞ ⋅ 6
1
= ∞ 
7 – CÁLCULO DO LIMITE COM INDETERMINAÇÃO ∞ − ∞ 
 Sempre que nos depararmos com uma indeterminação do tipo ∞ − ∞ , 
deveremos colocar o termo de maior grau em evidencia da expressão algébrica. 
 Exemplo: Determine o limite 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
(𝑥3 − 𝑥 + 7) 
 Se fizermos 𝑥 tendendo a ∞, temos: 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
(𝑥3 − 𝑥 + 7) = (∞)3 − ∞ + 7 = ∞ + 7 − ∞ = ∞ − ∞ 
 
 Obtendo a indeterminação ∞ − ∞. Para elimina-la vamos colocar o termo de 
maior grau em evidencia na expressão algébrica. 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
(𝑥3 − 𝑥 + 7) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑥3 (1 −
1
𝑥2
+
7
𝑥3
) = (∞)3 (1 −
1
(∞)2
+
7
(∞)3
) = 
 
 = ∞ ⋅ 1 = ∞ 
8 – LIMITES FUNDAMENTAIS E LIMITES CONSEQUENTES IMPORTANTES 
 I. Limite exponencial 
 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→±∞
(1 +
1
𝑥
)
𝑥
= 𝑒 
 
 Note que o resultado dos limites acima é dado pelo número de Napier, 𝑒, que é 
um número irracional com valor aproximado de 2,718281. 
 
 II. Limites consequentes do limite exponencial 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑎𝑥 − 1
𝑥
= 𝑙𝑛(𝑎), 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(1 + 𝑥)
1
𝑥 = 𝑒 
 
 III. Limite trigonométrico 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥
= 1 
 
 Exemplo: Determine os limites dados: 
𝑎) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
(1 +
1
𝑥
)
5𝑥
 
27 
 
 
 
 
 
 Note que neste tipo de exercício devemos manipular a expressão para obter na 
mesma relação explicita com um ou mais limites fundamentais ou consequentes do 
mesmo. 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
(1 +
1
𝑥
)
5𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
[(1 +
1
𝑥
)
𝑥
]
5
= [ 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
(1 +
1
𝑥
)
𝑥
]
5
= 𝑒5 
 
𝑏) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(1 + 2𝑥)
1
𝑥 
 
 Para a escrever este limite em função de um dos limites especiais vamos fazer 
a seguinte substituição 𝑢 = 2𝑥, obtendo: 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(1 + 2𝑥)
1
𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝑢→0
(1 + 𝑢)
2
𝑢 = 𝑙𝑖𝑚
𝑢→0
[(1 + 𝑢)
1
𝑢]
2
= [𝑙𝑖𝑚
𝑢→0
(1 + 𝑢)
1
𝑢]
2
= 𝑒2 
 
𝑐) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑒𝑥 − 2𝑥
𝑥
 
 Para a escrever este limite em função de um dos limites especiais vamos 
colocar 2𝑥 em evidência no numerador. 
 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑒𝑥 − 2𝑥
𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
2𝑥 (
𝑒𝑥
2𝑥
− 1)
𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
2𝑥 [
(
𝑒
2)
𝑥
− 1
𝑥
] = 20 ⋅ 𝑙𝑛 (
𝑒
2
) = 
 
 = 1 − 𝑙𝑛(2) 
 
𝑑) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(5𝑥)
𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
 
 
 Para a escrever este limite em função de um dos limites especiais vamos 
colocar 5𝑥 em evidência no numerador e 3𝑥 em evidência no denominador. 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(5𝑥)
𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
5𝑥 ⋅
sin(5𝑥)
5𝑥
3𝑥 ⋅
sin(3𝑥)
3𝑥
=
5
3
[
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
sin(5𝑥)
5𝑥
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
sin(3𝑥)
3𝑥
] =
5
3
⋅
1
1
=
5
3
 
9 – CONTINUIDADE 
 Seja 𝑎 um ponto do domínio de uma função 𝑓. Dizemos que 𝑓 é contínua no 
ponto 𝑎 se: 
lim
 𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = lim
 𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) 
 
28 
 
 
 
 
 Observação: Não se discute continuidade de funções em pontos que não 
pertencem ao domínio da função. 
 Exemplo 1: Verifique se a função 𝑝(𝑥), cujo gráfico dado abaixo, é continua em 
𝑥 = 2. 
 
 Observado o gráfico dado podemos determinar que: 
 
 lim 𝑥→2− 𝑝(𝑥) = 2 lim 𝑥→2+ 𝑝(𝑥) = 1 𝑝(2) = 2 
 
 Portanto como lim 𝑥→2− 𝑝(𝑥) ≠ lim 𝑥→2+ 𝑝(𝑥) a função 𝑝(𝑥) não é 
continua em 𝑥 = 2. 
 Exemplo 2: Verifique se a função abaixo é continua em 𝑥 = 1. 
𝑓(𝑥) = {
𝑥2 + 𝑥 − 2
𝑥 − 1
, 𝑠𝑒 𝑥 > 1
2 + 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1
 
 
 Calculando os limites laterais e a função no ponto, temos: 
 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→1+
𝑥2 + 𝑥 − 2
𝑥 − 1
= 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→1+
(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
𝑥 − 1
= 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→1+
(𝑥 + 2) = 1 + 2 = 3 
 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1−
(2 + 𝑥) = 2 + 1 = 3 
 
 𝑓(𝑥) = 2 + 𝑥 → 𝑓(1) = 2 + 1 = 3 
 
 Note que lim𝑥→1− 𝑓(𝑥) = lim𝑥→1+ 𝑓(𝑥) = 𝑓(1) = 3 , portanto a função 
𝑓(𝑥) dada é continua em 𝑥 = 1. 
 Observação: Tipos de descontinuidade. 
 I. Descontinuidade Evitável ou removível (1ª espécie): Uma função apresenta 
descontinuidade evitável no ponto 𝑥 = 𝑎, se existe o limite finito de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 
29 
 
 
 
 
tende a 𝑎 e este é diferente de 𝑓(𝑎), ou seja,lim 𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) ≠
𝑓(𝑎). 
 
 II. Descontinuidade Essencial (2ª espécie): Uma função apresenta 
descontinuidade essencial no ponto 𝑥 = 𝑎 se não existe o limite (finito) de 𝑓(𝑥) 
quando 𝑥 tende a 𝑎, ou seja, lim 𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) ≠ lim 𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥). 
10 – ASSÍNTOTAS 
 Uma assíntota de uma curva 𝐶 é uma linha (imaginária) de onde os pontos de 
𝐶 se aproximam à medida que se percorre 𝐶. Em outras palavras, a assíntota e a 
curva ficam arbitrariamente próximas à medida que se afastam da origem do sistema 
de coordenadas. 
 Existem potencialmente três tipos de assíntotas retilíneas: horizontais, verticais 
e oblíquas. Para curvas dadas pelo gráfico de uma função 𝑦 = 𝑓 (𝑥), temos: 
 
 Assíntotas verticais: são linhas verticais, perto da qual a função cresce sem 
limites. 
 Uma reta de equação 𝑥 = 𝑎 é uma Assíntota Vertical do gráfico de uma 
função 𝑓 (𝑥), se algum dos limites laterais em 𝑎 for infinito, ou seja, 𝑥 = 𝑎 é 
assíntota vertical de 𝑓 ,ou seja lim 𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) = ±∞ ou lim
 𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = ±∞. 
 Assíntotas horizontais: são retas horizontais em que o gráfico da função se 
aproxima continuamente quando 𝑥 tende a +∞ ou a −∞. 
 Uma reta de equação 𝑦 = 𝑏 é uma Assíntota Horizontal do gráfico de uma 
função 𝑓 (𝑥), se algum dos limites no infinito for 𝑏, ou seja, 𝑦 = 𝑏 é assíntota 
horizontal de 𝑓,ou sejalim 𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) = 𝑏 ou lim
 𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 𝑏. 
 Assíntotas oblíquas: são retas não paralelas aos eixos coordenados em que o 
gráfico da função se aproxima continuamente quando 𝑥 tende a +∞ ou a −∞. 
 Uma reta de equação 𝑟(𝑥) = 𝑀𝑥 + 𝑁 é uma Assíntota oblíqua do gráfico 
de uma função 𝑓 (𝑥), se 
𝑀 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→±∞
𝑓(𝑥)
𝑥
 𝑒 𝑁 = 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→±∞
[𝑓(𝑥) − 𝑀 ⋅ 𝑥] 
 
desde que esses limites sejam finitos. 
 Exemplo: Determine as assíntotas da função: 
𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 4
𝑥 − 1
 
 
 Cálculo das assíntotas verticais: note que 𝑥 = 1 é um bom candidato a 
assíntota vertical uma vez que zera o denominador, então: 
 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→1−
𝑓(𝑥) =
12 − 4
1− − 1
=
−3
0−
= +∞ 
 
30 
 
 
 
 
 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→1+
𝑓(𝑥) =
12 − 4
1+ − 1
=
−3
0+
= −∞ 
 
logo 𝑥 = 1 é uma assíntota vertical. 
 Cálculo das assíntotas horizontais: 
 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→−∞
𝑥2 (1 −
4
𝑥2
)
𝑥 (1 −
1
𝑥)
= 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→−∞
𝑥 (1 −
4
𝑥2
)
1 −
1
𝑥
=
(−∞) ⋅ 1
1
= −∞ 
 
 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→+∞
𝑥2 (1 −
4
𝑥2
)
𝑥 (1 −
1
𝑥)
= 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→+∞
𝑥 (1 −
4
𝑥2
)
1 −
1
𝑥
=
(∞) ⋅ 1
1
= ∞ 
 
como os limites não convergiram para um número real, a função não possui 
assíntotas horizontais. 
 Cálculo das assíntotas oblíquas: 
 𝑀 = 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→±∞
𝑓(𝑥)
𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→±∞
𝑥2 (1 −
4
𝑥2
)
𝑥2 (1 −
1
𝑥)
= 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→±∞
1 −
4
𝑥2
1 −
1
𝑥
=
1
1
= 1 
 
 𝑁 = 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→±∞
[𝑓(𝑥) − 𝑀𝑥] = 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→±∞
[
𝑥2 − 4
𝑥 − 1
− 𝑥] = 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→±∞
𝑥 − 4
𝑥 − 1
= 
 = 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→±∞
𝑥 (1 −
4
𝑥)
𝑥 (1 −
1
𝑥)
= 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→±∞
1 −
4
𝑥
1 −
1
𝑥
=
1
1
= 1 
 
 𝑟(𝑥) = 𝑀𝑥 + 𝑁 = 𝑥 + 1 
 
logo 𝑟(𝑥) = 𝑥 + 1 é uma assíntota oblíqua. 
Exercícios de Fixação 
01 – O gráfico a seguir representa uma função 𝑓 de [−6,9] em ℝ. Determine: 
 
𝑎) 𝑓(2) 
 
𝑏) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2−
𝑓(𝑥) 
 
𝑐) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2+
𝑓(𝑥) 
 
31 
 
 
 
 
𝑑) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑓(𝑥) 
 
 
 
02 – O gráfico a seguir representa uma função 𝑓 de (−2,4) em ℝ. Determine: 
 
 
𝑎) 𝑓(1) 
 
𝑏) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1−
𝑓(𝑥) 
 
𝑐) 𝑙𝑖𝑚𝑥→1+
𝑓(𝑥) 
 
𝑑) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑓(𝑥) 
 
 
 
03 – Calcule o limite se existir: 
 𝑎) 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→1
( 𝑥3 + 𝑥2 + 5𝑥 + 1) 𝑏) 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→√2
(4 𝑥3 − 2𝑥2 − 2𝑥 − 1) 
 𝑐) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
(
𝑥2 + 2𝑥 − 3
𝑥 − 2
) 𝑑) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(
3𝑥4 + 𝑥3 − 5𝑥2 + 2𝑥
𝑥2 − 𝑥
) 
 𝑒) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
(
𝑥4 − 8𝑥3 + 18𝑥2 − 27
𝑥4 − 10𝑥3 + 36𝑥2 − 54𝑥 + 27
) 
 𝑓) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→4
(
𝑥 − 4
√𝑥 − 2
) 𝑔) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(
𝑥
√2 − √2 − 𝑥
) 
 ℎ) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(
𝑥
√𝑥 + 1 − 1
) 𝑖) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(
√2𝑥2 − 3𝑥 + 2 − 2
√3𝑥2 − 5𝑥 − 1 − 1
) 
 𝑗) 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→2+
[(𝑥 + 3)
|𝑥 + 2|
𝑥 + 2
] 𝑘) 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→2−
[(𝑥 + 3)
|𝑥 + 2|
𝑥 + 2
] 
 
04 – Calcule o limite se existir: 
 𝑎) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
(
𝑥2 + 𝑥 − 3
3𝑥2 − 4
) 𝑏) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
√
𝑥 − 3
2𝑥2 + 6
 
 𝑐) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
(√𝑥2 + 1 − 𝑥) 𝑑) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
(2 +
1
√𝑥
) 
 𝑒) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
𝑒𝑥 𝑓) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
(1 −
1
𝑥
)
3
 
32 
 
 
 
 
 𝑔) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑙𝑛(𝑥2 + 1) ℎ) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
𝑙𝑛(𝑥2 − 1) 
 𝑖) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
(
2𝑥3 − 3𝑥2 + 𝑥 − 1
𝑥2 + 𝑥 − 3
) 𝑗) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
(
5𝑥3 − 2𝑥2 + 1
𝑥 + 7
) 
 𝑘) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
[
𝑥2 + 𝑥 + 1
(𝑥 + 1)3 − 𝑥3
] 𝑙) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
(
2𝑥2 − 3𝑥 − 5
√𝑥4 + 1
) 
 
05 – Calcule os limites se abaixo: 
 𝑎) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
(1 +
1
𝑥
)
𝑥+2
 𝑏) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
(
𝑥
1 + 𝑥
)
𝑥
 
 𝑐) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝜋
[1 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)]
1
𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
[
ln(𝑥 + 2)
𝑥 + 1
] 
 𝑒) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(
2𝑥 − 1
𝑥
) 𝑓) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
[
ln(𝑥 + 1)2
𝑥
] 
 𝑔) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
[1 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)]𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) ℎ) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(
10𝑥 − 1
5𝑥 − 1
) 
 𝑖) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
[
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
5𝑥
] 𝑗) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝜋
[
𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝜋)
𝑥 − 𝜋
] 
 𝑘) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
[
𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
2𝑥
] 𝑙) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
[
𝑠𝑒𝑛2(𝑥)
𝑥
] 
 𝑚) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
[
𝑡𝑔2(𝑥)
𝑥
] 𝑛) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝜋+
[
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥 − 𝜋
] 
 
 
 
 
06 – Para quais valores de 𝑎 e 𝑏 a função 𝑓 é contínua no ℝ? 
 𝑓(𝑥) = {
𝑥2 − 4
𝑥 − 2
, 𝑥 < 2 
𝑎𝑥2 − 𝑏𝑥 + 3, 2 ≤ 𝑥 < 3
2𝑥 − 𝑎 + 𝑏, 𝑥 ≥ 3 
 
 
07 – Para quais valores da constante 𝑐 a função 𝑓 é contínua no ℝ? 
 𝑓(𝑥) = {
𝑐𝑥2 + 2𝑥, 𝑥 < 2
𝑥3 − 𝑐𝑥, 𝑥 ≥ 2
 
 
08 – Determine as assíntotas horizontais das funções: 
 𝑎) 𝑓(𝑥) =
2𝑥2 − 𝑥 + 2
√𝑥4 − 16
 𝑏) 𝑓(𝑥) =
√8𝑥3 + 2𝑥 + 4
3
1 − 2𝑥
 
33 
 
 
 
 
 𝑐) 𝑓(𝑥) =
5𝑥 − 1
3𝑥 − 1 − √4𝑥2 − 8
 𝑑) 𝑓(𝑥) =
3𝑥7 − 𝑥 + 3
6𝑥5 + 4𝑥3 − 𝑥2
 
 
09 – Determine as assíntotas verticais das funções: 
 𝑎) 𝑓(𝑥) =
5𝑥 − 1
𝑥3 − 2𝑥2 − 𝑥 + 2
 𝑏) 𝑓(𝑥) =
2 − 𝑥
𝑥4 + 𝑥2 − 2
 
 𝑐) 𝑓(𝑥) =
2
√𝑥4 − 16
 𝑑) 𝑓(𝑥) =
3𝑥 + 2
√4 − 𝑥2
 
 
10 – Determine as assíntotas oblíquas das funções: 
 𝑎) 𝑓(𝑥) =
𝑥2 + 3
𝑥 − 1
 𝑏) 𝑓(𝑥) =
𝑥3 + 1
𝑥2 + 𝑥 − 2
 
 𝑐) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 + 𝑒−𝑥 𝑑) 𝑓(𝑥) = ln (𝑥) − 2𝑥 + 1 
 
11 – Sabendo que 𝑎 e 𝑏 são números reais não nulos, determine as assíntotas da 
hipérbole: 
 
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade III – Derivada 
 
 O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação 
instantânea de uma função, o qual está presente no cotidiano das pessoas, através, 
por exemplo, da determinação da taxa de crescimento de uma certa população, da 
taxa de crescimento econômico do país, da taxa de redução da mortalidade infantil, 
da taxa de variação de temperaturas, da velocidade de corpos ou objetos em 
movimento, enfim, poderíamos ilustrar inúmeros exemplos que apresentam uma 
função variando e que a medida desta variação se faz necessária em um 
determinado momento. 
34 
 
 
 
 
1 – DEFINIÇÃO DE DERIVADA 
 Se uma função 𝑓 é definida em um intervalo aberto contendo 𝑥0 , então a 
derivada de 𝑓 em 𝑥0, denotada por 𝑓
′(𝑥0), é dada por: 
 𝑓′(𝑥0) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0)
ℎ
 
 
 Observações: 
 Interpretação Geométrica: a derivada de uma função 𝑓 em um ponto 𝑥0 
fornece o coeficiente angular (inclinação) da reta tangente ao gráfico de 𝑓 no 
ponto (𝑥0, 𝑓(𝑥0)). 
 Interpretação Física: a derivada de uma função 𝑓 em um ponto 𝑥0 fornece taxa 
de variação instantânea de 𝑓 em 𝑥0. 
 Como no limite, podemos definir derivadas laterais, sendo: 
 𝑓−
′(𝑥0) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0−
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0)
ℎ
 𝑓+
′(𝑥0) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0+
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0)
ℎ
 
 
 Como no limite, a derivada só existe para um dado número se existir suas 
derivadas laterais e as mesmas convergirem para um mesmo valor. 
 𝑓−
′(𝑥0) = 𝑓+
′ (𝑥0) = 𝐿 → 𝑓
′(𝑥0) = 𝐿 
 
 Note que uma função só é diferenciavel em 𝑥0, se a mesma for contínua neste 
ponto. 
 Caso deseja determinar a derivada da função 𝑓(𝑥) para todo seu domínio basta 
substituir 𝑥𝑜 pela variável independente 𝑥 na definição da derivada. 
 𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
 
 
 Note que é necessário a função seja continua dentro do seu domínio, caso 
contrário deverá ser calculado a derivada em intervalos contínuos que formam este 
domínio. 
 Exemplo: Seja a função 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 1, determine por definição: 
𝑎) 𝑓′(0) 
 𝑓′(0) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
𝑓(ℎ) − 𝑓(0)
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
(3ℎ − 1) − (30 − 1)
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
3ℎ − 1
ℎ
= ln (3) 
 
𝑏) 𝑓′(𝑥) 
 𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
(3𝑥+ℎ − 1) − (3𝑥 − 1)
ℎ
 
 
 = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
3𝑥(3ℎ − 1)
ℎ
= 3𝑥 ⋅ ln (3) 
35 
 
 
 
 
2 – REGRAS DE DERIVAÇÃO 
 I. Derivada de uma constante real 
 𝑓(𝑥) = 𝑐 → 𝑓′(𝑥) = 0 
 
 II. Derivada de uma potência 
 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛, 𝑛 ∈ ℝ∗ → 𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1 
 
 III. Derivada do produto de uma constante real por uma função 
 𝑓(𝑥) = 𝑐 ⋅ 𝑔(𝑥) → 𝑓′(𝑥) = 𝑐 ⋅ 𝑔′(𝑥) 
 
 IV. Derivada da soma e da diferença 
 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ± ℎ(𝑥) → 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) ± ℎ′(𝑥) 
 
 Exemplo 1: Determine as derivadas das funções dadas: 
𝑎) 𝑓(𝑥) = 𝑥6 
 𝑓′(𝑥) = 6𝑥5 
 
𝑏) 𝑓(𝑥) = 2𝑥4 
 𝑓′(𝑥) = 2(4𝑥3) = 8𝑥3 
 
𝑐) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 5𝑥 +10 
 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 5 + 0 = 3𝑥2 − 5 
 
 V. Derivada do produto 
 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ℎ(𝑥) → 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) ℎ(𝑥) + 𝑔(𝑥) ℎ′(𝑥) 
 
 VI. Derivada do quociente 
 𝑓(𝑥) =
𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)
, ℎ(𝑥) ≠ 0 → 𝑓′(𝑥) =
𝑔′(𝑥) ℎ(𝑥) − 𝑔(𝑥) ℎ′(𝑥)
ℎ2(𝑥)
 
 
 Exemplo 2: Determine as derivadas das funções dadas: 
𝑎) 𝑓(𝑥) = (3𝑥2 − 1) (𝑥3 + 3) 
 𝑓′(𝑥) = (3𝑥2 − 1)′ (𝑥3 + 3) + (3𝑥2 − 1) (𝑥3 + 3)′ = 
 
 = 6𝑥 (𝑥3 + 3) + (3𝑥2 − 1) ⋅ 3𝑥2 = 6𝑥4 + 18𝑥 + 9𝑥4 − 3𝑥2 = 
 
 = 15𝑥4 − 3𝑥2 + 18𝑥 
𝑏) 𝑓(𝑥) =
𝑥2
𝑥 + 1
 
 𝑓′(𝑥) =
(𝑥2)′ (𝑥 + 1) − 𝑥2 (𝑥 + 1)′
(𝑥 + 1)2
=
2𝑥 (𝑥 + 1) − 𝑥2 ⋅ 1
(𝑥 + 1)2
 
 
36 
 
 
 
 
 =
2𝑥2 + 2𝑥 − 𝑥2
(𝑥 + 1)2
=
𝑥2 + 2𝑥
(𝑥 + 1)2
 
 
 VII. Derivada de uma função exponencial 
 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 → 𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥 
 
 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, 𝑎 ∈ ℝ+
∗ − {1} → 𝑓′(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑙𝑛(𝑎) 
 
 VIII. Derivada de uma função logarítmica 
 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥) → 𝑓′(𝑥) =
1
𝑥
 
 
 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥), 𝑎 ∈ ℝ+
∗ − {1} → 𝑓′(𝑥) =
1
𝑥 𝑙𝑛(𝑎)
 
 
 Exemplo 3: Determine as derivadasdas funções dadas: 
𝑎) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 − 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 
 𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥 −
1
𝑥 𝑙𝑛(3)
 
 
𝑏) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 𝑙𝑛 𝑥 
 𝑓′(𝑥) = (2𝑥)′ 𝑙𝑛 𝑥 + 2𝑥(𝑙𝑛 𝑥)′ = (2𝑥 𝑙𝑛 2) 𝑙𝑛 𝑥 + 2𝑥 ⋅
1
𝑥
= 
 
 = 2𝑥 𝑙𝑛2 (
𝑙𝑛 𝑥 + 1
𝑥 𝑙𝑛 2
) 
 
 IX. Derivada de uma função trigonométrica 
 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) → 𝑓′(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
 
 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) → 𝑓′(𝑥) = − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
 
 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥) → 𝑓′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐2(𝑥) 
 
 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) → 𝑓′(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2(𝑥) 
 
 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐(𝑥) → 𝑓′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐(𝑥) ⋅ 𝑡𝑔(𝑥) 
 
 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) → 𝑓′(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) 
 
 Exemplo 4: Determine as derivadas das funções dadas: 
𝑎) 𝑓(𝑥) = 2 𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos (𝑥) 
37 
 
 
 
 
 𝑓′(𝑥) = 2[𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) (− 𝑠𝑒𝑛(𝑥))] = 
 
 = 2 (𝑐𝑜𝑠2(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)) 
 
𝑏) 𝑓(𝑥) =
1 − 𝑠𝑒𝑐(𝑥)
1 + 𝑡𝑔(𝑥)
 
 𝑓′(𝑥) =
− 𝑠𝑒𝑐(𝑥) 𝑡𝑔(𝑥) (1 + 𝑡𝑔(𝑥)) − (1 − 𝑠𝑒𝑐(𝑥)) 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)
(1 + 𝑡𝑔(𝑥))
2 = 
 
 =
−𝑠𝑒𝑐(𝑥) 𝑡𝑔(𝑥) − 𝑠𝑒𝑐(𝑥) 𝑡𝑔2(𝑥) − 𝑠𝑒𝑐2(𝑥) + 𝑠𝑒𝑐3(𝑥)
(1 + 𝑡𝑔(𝑥))2
= 
 
 =
𝑠𝑒𝑐3(𝑥) − 𝑠𝑒𝑐2(𝑥) − 𝑠𝑒𝑐(𝑥) 𝑡𝑔2(𝑥) − 𝑠𝑒𝑐(𝑥) 𝑡𝑔(𝑥)
(1 + 𝑡𝑔(𝑥))2
 
 
 X. Derivada de uma função trigonométrica hiperbólica 
 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) → 𝑓′(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) 
 
 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) → 𝑓′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) 
 
 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔ℎ(𝑥) → 𝑓′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐ℎ2(𝑥) 
 
 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ(𝑥) → 𝑓′(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ2(𝑥) 
 
 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐ℎ(𝑥) → 𝑓′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑐ℎ(𝑥) 𝑡𝑔ℎ(𝑥) 
 
 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ(𝑥) → 𝑓′(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ(𝑥) 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ(𝑥) 
 
 Exemplo 5: Determine as derivadas das funções dadas: 
𝑎) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) 𝑐𝑜𝑠ℎ (𝑥) 
 𝑓′(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛ℎ2(𝑥) 
 
𝑏) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔ℎ(𝑥) − 𝑠𝑒𝑐ℎ(𝑥) 
 𝑓′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐ℎ2(𝑥) − [−𝑠𝑒𝑐ℎ(𝑥) 𝑡𝑔ℎ(𝑥)] = 𝑠𝑒𝑐ℎ2(𝑥) + 𝑠𝑒𝑐ℎ(𝑥) 𝑡𝑔ℎ(𝑥) 
 
 XI. Derivada de uma função trigonométrica inversa 
 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) → 𝑓′(𝑥) =
1
√1 − 𝑥2
 
 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥) → 𝑓′(𝑥) = −
1
√1 − 𝑥2
 
38 
 
 
 
 
 
 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥) → 𝑓′(𝑥) =
1
1 + 𝑥2
 
 
 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) → 𝑓′(𝑥) = −
1
1 + 𝑥2
 
 
 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐(𝑥) → 𝑓′(𝑥) =
1
|𝑥|√𝑥2 − 1
 
 
 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) → 𝑓′(𝑥) = −
1
|𝑥|√𝑥2 − 1
 
 
 Exemplo 6: Determine as derivadas das funções dadas: 
𝑎) 𝑓(𝑥) = 5𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 3𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (𝑥) 
 𝑓′(𝑥) =
5
√1 − 𝑥2
− (−
3
√1 − 𝑥2
) =
8
√1 − 𝑥2
 
𝑏)𝑓(𝑥) = −arcsec (𝑥) ⋅ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) 
 𝑓′(𝑥) = − [
1
|𝑥|√𝑥2 − 1
 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐(𝑥) (−
1
|𝑥|√𝑥2 − 1
)] = 
 
 =
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐(𝑥) − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥)
|𝑥|√𝑥2 − 1
 
 
 XII. Derivada de uma função trigonométrica hiperbólica inversa 
 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) → 𝑓′(𝑥) =
1
√𝑥2 + 1
 
 
 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) → 𝑓′(𝑥) =
1
√𝑥2 − 1
 
 
 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔ℎ(𝑥) → 𝑓′(𝑥) =
1
1 − 𝑥2
 
 
 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ(𝑥) → 𝑓′(𝑥) =
1
1 − 𝑥2
 
 
 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐ℎ(𝑥) → 𝑓′(𝑥) = −
1
𝑥√1 − 𝑥2
 
39 
 
 
 
 
 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ(𝑥) → 𝑓′(𝑥) = −
1
|𝑥|√1 + 𝑥2
 
 
 Exemplo 7: Determine as derivadas das funções dadas: 
𝑎) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ(𝑥) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) 
 𝑓′(𝑥) = [−
1
|𝑥|√1 + 𝑥2
] 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) + 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ(𝑥) [−
1
|𝑥|√𝑥2 − 1
] 
 
 𝑓′(𝑥) = −
1
|𝑥|
[
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥)
√𝑥2 + 1
+
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ(𝑥)
√𝑥2 − 1
] 
 
𝑏) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔ℎ(𝑥) − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ(𝑥) 
 𝑓′(𝑥) =
1
1 − 𝑥2
−
1
1 − 𝑥2
= 0 
 
 
 XIII. Derivada de uma função composta (Regra da Cadeia) 
 𝑓(𝑥) = ℎ(𝑔(𝑥)) → 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) ℎ′(𝑔(𝑥)) 
 
 Exemplo 8: Determine as derivadas das funções dadas: 
𝑎) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(2𝑥) 
 𝑓′(𝑥) = (2𝑥)′ 𝑠𝑒𝑐2(2𝑥) = 2𝑥 ln (2) 𝑠𝑒𝑐2(2𝑥) 
 
𝑏) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥
2−3𝑥) 
 𝑓′(𝑥) = (2𝑥 − 3) (−
1
1 + (𝑥2 − 3𝑥)2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
) 𝑒𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥
2−3𝑥) = 
 
 = −
(2𝑥 − 3)𝑒𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥
2−3𝑥)
(𝑥2 − 3𝑥)2 + 1
 
3 – DERIVADAS SUCESSIVAS 
 Seja 𝑓 uma função derivável. Se 𝑓 ′ também for derivável, então a sua derivada 
e chamada derivada segunda de 𝑓 e é representada por 𝑓 ′′ (lê-se 𝑓 duas linhas). 
 Se 𝑓 ′′ e uma função derivável, sua derivada, representada por 𝑓 ′′′ , e 
chamada derivada terceira de 𝑓. 
 A derivada de ordem n ou n-ésima derivada de 𝑓, representada por 𝑓(𝑛), e 
obtida derivando-se a derivada de ordem (𝑛 – 1) de 𝑓. 
 Exemplo: Seja a função 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑥 cos (𝑥), determine: 
𝑎) 𝑓′(𝑥) 
 𝑓′(𝑥) = cos(𝑥) − [cos(𝑥) − 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥)] = 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
 
40 
 
 
 
 
𝑏) 𝑓′′(𝑥) 
 𝑓′′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
𝑐) 𝑓′′′(𝑥) 
 𝑓′′′(𝑥) = cos(𝑥) + [cos(𝑥) − 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥)] = 2 cos(𝑥) − 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
4 – DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 
 Consideremos a equação 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0 . Dizemos que a função 𝑦 = 𝑓 (𝑥) e 
definida implicitamente pela equação 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0, se substituirmos 𝑦 por 𝑓 (𝑥) 
em 
(𝑥, 𝑦) = 0, esta equação se transforma em uma identidade. usando a regra da 
cadeia, podemos determinar 𝑦 ′ sem explicitar 𝑦 na função implícita. 
 Exemplo: Determine 𝑦 ′ nas funções implícitas abaixo: 
𝑎) 𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝑥𝑦 = 0 
 −𝑠𝑒𝑛(𝑥) − [𝑦 + 𝑥𝑦′] = 0 → 𝑥𝑦′ = −𝑦 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) → 𝑦′ = −
𝑦 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥
 
 
𝑏) 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦) − 𝑒𝑦 𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 0 
 [𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦) + 𝑒𝑥𝑦′𝑐𝑜𝑠(𝑦)] − [𝑒𝑦𝑦′ 𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝑒𝑦 𝑠𝑒𝑛(𝑥)] = 0 
 
 (𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑦)−𝑒𝑦 𝑐𝑜𝑠(𝑥)) 𝑦′ = −𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦) − 𝑒𝑦 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
 
 𝑦′ = −
𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦) + 𝑒𝑦 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑦) − 𝑒𝑦 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
 
Exercícios de Fixação 
01 - Calcule 𝑓′(𝑥), pela definição. 
 𝑎) 𝑓(𝑥) = √𝑥 𝑥 = 4 𝑏) 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 3 𝑥 = −3 
 𝑐) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 𝑥 = 1 𝑑) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 
 𝑒) 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥 + 1
 𝑓) 𝑓(𝑥) = √3𝑥 + 4 
 
02 – Determine a derivada da função indicada: 
 𝑎) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + √𝑥 𝑏) 𝑓(𝑥) = (
2
5
)
𝑥
 
 𝑐) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 𝑑) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 5 
 𝑒) 𝑓(𝑥) = 2√𝑥
3
 𝑓) 𝑓(𝑥) =
4
𝑥
+
5
𝑥2
 
 
03 – Determine a derivada da função indicada: 
 𝑎) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑏)𝑓(𝑥) = 𝑥3(2𝑥2 − 3𝑥) 
41 
 
 
 
 
 𝑐) 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥2 + 1
 𝑑) 𝑓(𝑥) =
3𝑥2 + 3
5𝑥 − 3
 
 𝑒) 𝑓(𝑥) =
𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑥2 + 1
 
 𝑓) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + (𝑥2 + 1)𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
 
04 – Determine a derivada da função indicada: 
 𝑎) 𝑓(𝑥) = 23𝑥−1 𝑏) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥2) 
 𝑐) 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 5𝑥 + 2)7 𝑑) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥6 − 1) 
 𝑒) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥3 − 4) 𝑓) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐(3𝑥) 
 𝑔) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑠𝑒𝑛(𝑥) ℎ) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑒𝑥) 
 𝑖) 𝑓(𝑥) = (
3𝑥 + 2
2𝑥 + 1
)
5
 𝑗) 𝑓(𝑥) = √
𝑥 − 1
𝑥 + 1
3
 
 
05 – Determine a derivada da função indicada: 
 𝑎) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔ℎ(4𝑥) 𝑏) 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) 
 𝑐) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛ℎ2(𝑥) 𝑑) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥2)𝑒) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)𝑡𝑔ℎ(𝑥) 𝑓) 𝑓(𝑥) =
1 − 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥)
1 + 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥)
 
 𝑔) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑐ℎ (𝑥) ℎ) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ (√1 + 𝑥2) 
 𝑖) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛[𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)] 𝑗) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔ℎ(𝑒𝑥) 
 𝑘) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛ℎ[𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥)] 𝑙) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑐𝑜𝑠ℎ(3𝑥) 
 
06 – Determine a derivada da função indicada: 
 𝑎) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) 𝑏) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔ℎ(𝑒𝑥) 
 𝑐) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝑥) 𝑑) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐ℎ[𝑙𝑛(𝑥)] 
 𝑒) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ(−𝑥) 𝑓) 𝑓(𝑥) =
1 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔ℎ(𝑥)
1 + 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ(𝑥)
 
 𝑔) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛[𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥)] ℎ) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔[𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥)] 
 𝑖) 𝑓(𝑥) = [1 + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐(𝑥)][1 − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥)] 
 𝑗) 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥2) 
 
07 – Calcule a derivada de terceira ordem das seguintes funções: 
 𝑎) 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥 𝑥 = −1 𝑏) 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 3)8 𝑥 = 1 
 𝑐) 𝑓(𝑥) = 𝑒8𝑥 𝑥 = 0 𝑑) 𝑓(𝑥) = (
1
𝑥2
)
3
 𝑥 = −1 
 𝑒) 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 2𝑥 − 1 𝑓) 𝑓(𝑥) = 𝑒−2𝑥 
 𝑔) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ℎ) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 − 2−𝑥 
 
42 
 
 
 
 
08 – Dada as equações, determine 𝑦’: 
 𝑎) 𝑥3 + 𝑦3 = 8 𝑏) cos(𝑥 + 𝑦) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦) =
1
3
 
 𝑐) 𝑥2𝑦2 + 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑦) = 0 𝑑) 𝑒cos(𝑥) + 𝑒sen(𝑦) =
1
4
 
 𝑒) 𝑒𝑥
2
+ 𝑙𝑛(𝑦) = 0 𝑓) 
2𝑥 + 3𝑦
𝑥2 + 𝑦2
= 9 
 𝑔) 𝑥2 + 𝑦2 = 49 (𝑥, 𝑦) = (0,7) ℎ)𝑥3𝑦3 − 𝑦 = 𝑥 (𝑥, 𝑦) = (0,0) 
 𝑖) √𝑥 + √𝑦 = 9 (𝑥, 𝑦) = (16,25) 𝑗)𝑥2 =
𝑥 + 2𝑦
𝑥 − 2𝑦
 (𝑥, 𝑦) = (1,0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade IV – Estudo da Variação das Funções 
 
43 
 
 
 
 
 Dada uma curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) , usaremos a derivada para obter alguns dados 
acerca da curva. Por exemplo, discutiremos os pontos de máximos e mínimos, os 
intervalos onde a curva é crescente ou decrescente, etc. Esses dados nos levam a 
um método geral para construir esboços de gráficos de funções. 
1 – MÁXIMOS E MÍNIMOS DE UMA FUNÇÃO 
 I. Definições: 
 Uma função f tem um máximo relativo (local) em c, se existir um intervalo aberto 
I, contendo c, tal que 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥), para todo 𝑥 ∈ 𝐼 ∩ 𝐷( 𝑓 ). 
 Uma função f tem um mínimo relativo (local) em c, se existir um intervalo aberto I, 
contendo c, tal que 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥), para todo 𝑥 ∈ 𝐼 ∩ 𝐷( 𝑓 ). 
 Se f tem um máximo relativo (ou mínimo relativo) em c, então o ponto (𝑐, 𝑓 (𝑐)) 
e chamado ponto extremo da função e 𝑓 (𝑐) e chamado máximo relativo (ou 
mínimo relativo). 
 
 II. Teoremas: 
 Seja f uma função definida no intervalo aberto (𝑎, 𝑏) . Se f tem um extremo 
relativo em 𝑐, onde 𝑎 < 𝑐 < 𝑏, e se 𝑓 ′(𝑐) existe, então 𝑓 ′(𝑐) = 0. 
 (Teorema de Weierstrass) Seja 𝑓 ∶ [𝑎, 𝑏] → 𝑅 uma função continua definida 
em um intervalo fechado [𝑎, 𝑏]. Então 𝑓 assume máximo absoluto e mínimo 
absoluto em [𝑎, 𝑏]. 
 
 III. Observações: 
 Geometricamente, se f tem um extremo relativo em 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) e se 𝑓 ′(𝑐) 
existe, então o gráfico de 𝑦 = 𝑓 (𝑥) tem uma reta tangente horizontal no ponto 
onde 𝑥 = 𝑐. 
 Se 𝑓 ′(𝑐) = 0 , a função pode ter ou não um extremo relativo em c. Por 
exemplo, se 𝑓 (𝑥) = 𝑥3 temos 𝑓 ′(0) = 0 e 𝑓 não tem um extremo relativo 
em 0; se 𝑔(𝑥) = 𝑥2 temos 𝑔 ′(0) = 0 e 𝑔 tem um extremo relativo em 0. 
 Se 𝑓 ′(𝑐) não existe, a função pode ter ou não um extremo relativo em c. 
 
 
 O ponto 𝑐 ∈ 𝐷( 𝑓 ) tal que 𝑓 ′(𝑐) = 0 ou 𝑓 ′(𝑐) não existe e chamado ponto 
crítico de 𝑓. 
 Dizemos que 𝑓 (𝑐) é o máximo absoluto da função 𝑓 se 𝑓 (𝑐) ≥ 𝑓 (𝑥) para 
todo 𝑥 no domínio de 𝑓. 
44 
 
 
 
 
 Dizemos que 𝑓 (𝑐) e o mínimo absoluto da função 𝑓 se 𝑓 (𝑐) ≤ 𝑓 (𝑥) para 
todo 𝑥 no domínio de 𝑓. 
 
 Exemplos: 
a) A função 𝑓 (𝑥) = 3𝑥 definida em [1,3) tem um mínimo absoluto igual a 3 e não 
admite máximo absoluto nesse intervalo. 
 
b) A função 𝑓 (𝑥) = − 𝑥 2 + 2 possui máximo absoluto igual a 2 e mínimo 
absoluto igual a –7 quando definida em [− 3,2]. 
 
c) A função 𝑓 (𝑥) = − 𝑥2 + 6𝑥 − 3 tem mínimo absoluto igual a – 12 em 
𝑐 = – 3, pois 𝑓 (−3) = −12 ≤ 𝑓 (𝑥), para todo 𝑥 ∈ ℝ. 
 
d) A função 𝑓 (𝑥) = − 𝑥2 + 6𝑥 − 3 tem máximo absoluto igual a 6 em 𝑐 = 3, 
pois 𝑓 (3) = 6 ≥ 𝑓 (𝑥), para todo 𝑥 ∈ ℝ . 
 
 Note que os candidatos a 𝑐𝑀 (abscissa do ponto de máximo absoluto) e 𝑐𝑚 
(abscissa do ponto de mínimo absoluto) são os pontos críticos de 𝑓 em (𝑎, 𝑏) 
juntamente com os extremos a e b do intervalo [𝑎, 𝑏]. 
2 – TEOREMAS SOBRE DERIVADAS 
 I. Teorema de Rolle: 
 Seja f uma função continua em [𝑎, 𝑏] e derivável em (𝑎, 𝑏) . Se 𝑓 (𝑎) =
 𝑓 (𝑏), então existe 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) tal que 𝑓 ′(𝑐) = 0. 
 
 II. Teorema do Valor Médio: 
 Seja 𝑓 uma função continua em [𝑎, 𝑏] e derivável em (𝑎, 𝑏). Então existe 
𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) tal que: 
𝑓′(𝑐) =
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
 
 
 Observação: Geometricamente, o teorema do valor médio estabelece que se a 
função 𝑦 = 𝑓 (𝑥) e continua em [𝑎, 𝑏] e derivável em (𝑎, 𝑏), então existe pelo 
menos um ponto 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) onde a tangente a curva e paralela à reta que passa 
pelos pontos 𝑃(𝑎, 𝑓 (𝑎)) e 𝑄(𝑏, 𝑓 (𝑏)). 
 
45 
 
 
 
 
 
 
3 – FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES 
 I. Definições: 
 Dizemos que uma função 𝑓 , definida em um intervalo I, e crescente neste 
intervalo se para quaisquer 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐼 , temos 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2). 
 Dizemos que uma função f, definida em um intervalo I, e decrescente neste 
intervalo se para quaisquer 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐼 , temos 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2). 
 Se uma função e crescente ou decrescente num intervalo, dizemos que é 
monótona neste intervalo. 
 
 II. Proposição: Seja 𝑓 uma função continua no intervalo [𝑎, 𝑏] e derivável no 
intervalo (𝑎, 𝑏). 
 Se 𝑓 ′(𝑥) > 0 para todo 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), então 𝑓 e crescente em [𝑎, 𝑏]. 
 Se 𝑓 ′(𝑥) < 0 para todo 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), entao 𝑓 e decrescente em [𝑎, 𝑏]. 
 
 Exemplo: Determinar os intervalos nos quais as seguintes funções são 
crescentes ou decrescentes. 
𝑎) 𝑔(𝑥) =
𝑥2
𝑥 + 1
 
 𝑔′(𝑥) =
2𝑥(𝑥 + 1) − 𝑥2 ⋅ 1
(𝑥 + 1)2
=
2𝑥2 + 2𝑥 − 𝑥2
(𝑥 + 1)2
=
𝑥2 + 2𝑥
(𝑥 + 1)2
 
 
 𝑔′(𝑥) =
𝑥2 + 2𝑥
(𝑥 + 1)2
=
𝑁(𝑥)
𝐷(𝑥)
 
 
 𝑁(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 → 𝑁(𝑥) = 0 → 𝑥2 + 2𝑥 = 0 → 𝑥(𝑥 + 2) = 0 → 
 
 → 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 2 
 
 𝐷(𝑥) = (𝑥 + 1)2 → 𝐷(𝑥) = 0 → (𝑥 + 1)2 = 0 → 𝑥 + 1 = 0 → 𝑥 = −1 
 
 Fazendo o estudo de sinal de 𝑔′(𝑥), temos: 
46 
 
 
 
 
 
 
 Concluindo que a função 𝑔(𝑥) é crescente para𝑥 < 0 𝑒 𝑥 ≠ −1 𝑜𝑢 𝑥 > 2 e é 
decrescente para 0 < 𝑥 < 2, sendo 𝑥 ∈ ℝ. 
𝑏) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 1 
 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 → 𝑓′(𝑥) = 0 → 3𝑥2 = 0 → 𝑥 = 0 
 
 Fazendo o estudo de sinal de 𝑓′(𝑥), temos: 
 
 
 Concluindo que a função 𝑓(𝑥) é crescente para todo 𝑥 ∈ ℝ. 
 Observações: 
 Note que a função 𝑓(𝑥) deste último exemplo não possui máximos e mínimos, 
uma vez que a mesma é monótona. 
 Note que a função 𝑔(𝑥) deste último exemplo tem um máximo relativo em 
𝑥 = 0, pois passa de função crescente para decrescente com o aumento do 
valor de 𝑥 ao passar pelo valor de 𝑥 = 0, e um mínimo relativo em 𝑥 = 2, pois 
passa de função decrescente para crescente com o aumento do valor de 𝑥 ao 
passar pelo valor de 𝑥 = 2. Estaconclusão é garantida pelo Critério da derivada 
primeira para determinação de extremos de uma função. 
 
 Teorema (Critério da derivada primeira para determinação de extremos de uma 
função): Seja f uma função continua em [𝑎, 𝑏] e derivável em (𝑎, 𝑏) , exceto 
possivelmente num ponto c. 
 Se 𝑓 ′(𝑥) > 0 para todo 𝑥 < 𝑐 e 𝑓 ′(𝑥) < 0 para todo 𝑥 > 𝑐, então 𝑓 tem 
um máximo relativo em 𝑐. 
 Se 𝑓 ′(𝑥) < 0 para todo 𝑥 < 𝑐 e 𝑓 ′(𝑥) > 0 para todo 𝑥 > 𝑐, então 𝑓 tem 
um mínimo relativo em 𝑐. 
4 – CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXÃO 
 I. Definições: 
 Uma função f e dita côncava para cima no intervalo (𝑎, 𝑏) , se 𝑓 ′(𝑥) e 
crescente neste intervalo. 
47 
 
 
 
 
 Geometricamente, o gráfico de 𝑓 está acima da reta tangente a curva nos 
pontos de abscissa no intervalo (𝑎, 𝑏) e a reta tangente a curva gira no sentido anti-
horário à medida que avançamos sobre a curva da esquerda para a direita. 
 
 Uma função 𝑓 e dita côncava para baixo no intervalo (𝑎, 𝑏) , se 𝑓 ′(𝑥) e 
decrescente neste intervalo. 
 Geometricamente, o gráfico de 𝑓 está abaixo da reta tangente a curva nos 
pontos de abscissa no intervalo (𝑎, 𝑏) e a reta tangente a curva gira no sentido 
horário à medida que avançamos sobre a curva da esquerda para a direita. 
 
 
 Um ponto 𝑃(𝑐, 𝑓 (𝑐)) do gráfico de uma função continua 𝑓 e chamado ponto de 
inflexão, se existir um intervalo (𝑎, 𝑏) contendo 𝑐 tal que uma das seguintes 
situações ocorra: 
 a) 𝑓 e côncava para cima em (𝑎, 𝑐) e côncava para baixo em (𝑐, 𝑏); 
 b) 𝑓 e côncava para baixo em (𝑎, 𝑐) e concava para cima em (𝑐, 𝑏). 
 
 Observação: Os pontos de abscissa 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3 e 𝑐4 são pontos de inflexão. 
Observe que 𝑐2 e 𝑐3 são abscissas de pontos extremos de 𝑓 e que 𝑓 não e 
derivável nestes pontos. Nos pontos 𝑐1 e 𝑐4existem as derivadas 𝑓 ′(𝑐1) e 𝑓 ′(𝑐4). 
Nos pontos (𝑐1, 𝑓 (𝑐1)) e (𝑐4, 𝑓 (𝑐4)) a reta tangente corta o gráfico de 𝑓. 
 Exemplo: Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde a 
função 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 𝑥2 tem concavidade voltada para cima ou para baixo. 
 𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 − 2𝑥 → 𝑓′′(𝑥) = 12𝑥2 − 2 
 
48 
 
 
 
 
 𝑓′′(𝑥) = 0 → 12𝑥2 − 2 = 0 → 6𝑥2 = 1 → 𝑥 = ±
1
6
 
 
 Fazendo o estudo de sinal de 𝑓′′(𝑥), temos: 
 
 Concluindo que a função 𝑓(𝑥) tem concavidade para cima em 
𝑥 < −
1
6
 𝑜𝑢 𝑥 >
1
6
 e concavidade para baixo em −
1
6
< 𝑥 <
1
6
, sendo 𝑥 ∈ ℝ. 
 𝑓 (−
1
6
) = (−
1
6
)
4
− (−
1
6
)
2
= −
35
1296
 
 
 𝑓 (
1
6
) = (
1
6
)
4
− (
1
6
)
2
= −
35
1296
 
 
 Concluindo que os pontos de inflexão são (−
1
6
, −
35
1296
) e (
1
6
, −
35
1296
). 
5 – REGRAS DE L’HOSPISTAL 
 As Regras de L’Hospital apresentam um método geral para levantar 
indeterminações do tipo 0/0 ou ∞ ∞⁄ . 
 Teorema (Regras de L’Hospital): Sejam 𝑓 e 𝑔 funções deriváveis num intervalo 
aberto 𝐼, exceto possivelmente em um ponto 𝑎 ∈ 𝐼 . Suponhamos que 𝑔 ′(𝑥) ≠ 0 
para todo 𝑥 ≠ 𝑎 em 𝐼. 
𝑎) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 0 𝑒 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
= 𝐿 → 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
= 𝐿 
𝑏) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = ∞ 𝑒 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
= 𝐿 → 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
= 𝐿 
 
 Observações: 
 A Regra de L’Hospistal continua valendo para 𝐿 = ±∞. 
 A Regra de L’Hospistal também é válida para limites laterais e para limites no 
infinito (𝑥 → ±∞) 
 
 Exemplo: Determine os seguintes limites usando Regra de L’Hospital. 
𝑎) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
2𝑥
𝑒𝑥 − 1
 
 
 Se fizermos 𝑥 tendendo a zero iremos obter a indeterminação 0/0, o que nos 
permite utilizar a regra de L’Hospital. 
49 
 
 
 
 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
2𝑥
𝑒𝑥 − 1
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
2
𝑒𝑥 − 0
=
2
𝑒0
= 2 
 
𝑏) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑒𝑥 − 1
𝑥3 + 4𝑥
 
 Se fizermos 𝑥 tendendo a infinito iremos obter a indeterminação ∞ ∞⁄ , o que 
nos permite utilizar a regra de L’Hospital. 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑒𝑥 − 1
𝑥3 + 4𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑒𝑥
3𝑥2 + 4
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑒𝑥
6𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑒𝑥
6
=
∞
6
= ∞ 
6 – ESBOÇO DE GRÁFICOS DE FUNÇÕES 
 Utilizando todos os itens citados na análise do comportamento de uma função 
𝑓, bem como, a existência ou não de assíntotas, podemos fazer um resumo de 
atividades que nos levarão ao esboço de gráficos. 
 Procedimento para o esboço de gráficos, em ordem: 
 Encontrar o domínio da função. 
 Calcular os pontos de interseção com os eixos. 
 Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento, e os pontos de 
máximos e mínimos relativos. 
 Determinar a concavidade e os pontos de inflexão da função. 
 Encontrar as assíntotas verticais, horizontais e obliquas, se existirem. (Nota: é 
possível utilizar os limites de determinação das assíntotas obliquas para 
determinar as assíntotas horizontais) 
 Esboçar o gráfico. 
 Exemplo: Esboce o gráfico da seguinte função: 
 𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 4
𝑥 − 3
 
 
 Determinando o domínio: 
 𝑥 − 3 ≠ 0 → 𝑥 ≠ 3 → 𝐷(𝑓) = ℝ − {3} 
 
 Determinando as interseções com os eixos: 
 No eixo 𝑥: 
𝑥2 − 4
𝑥 − 3
= 0 → 𝑥2 − 4 = 0 → 𝑥 = ±2 
 
 No eixo 𝑦: 
𝑦 = 𝑓(0) =
02 − 4
0 − 3
=
−4
−3
=
4
3
≅ 1,33 
 
 Determinando os intervalos de crescimento e decrescimento, e os pontos de 
máximos e mínimos relativos: 
50 
 
 
 
 
 𝑓′(𝑥) =
2𝑥 (𝑥 − 3) − (𝑥2 − 4) ⋅ 1
(𝑥 − 3)2
=
2𝑥2 − 6𝑥 − 𝑥2 + 4
(𝑥 − 3)2
=
𝑥2 − 6𝑥 + 4
(𝑥 − 3)2
 
 
 𝑓′(𝑥) =
𝑥2 − 6𝑥 + 4
(𝑥 − 3)2
=
𝑁(𝑥)
𝐷(𝑥)
 
 
 𝑁(𝑥) = 0 → 𝑥2 − 6𝑥 + 4 = 0 → 
 
 → 𝑥 =
−(−6) ± √(−6)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 4
2 ⋅ 1
= 3 ± √5 
 
 𝐷(𝑥) = 0 → (𝑥 − 3)2 = 0 → 𝑥 − 3 = 0 → 𝑥 = 3 
 
 Crescente: 𝑥 < 3 − √5 𝑜𝑢 𝑥 > 3 + √5 
 Decrescente: 3 − √5 < 𝑥 < 3 + √5 e 𝑥 ≠ 3 
 
 𝑓(3 − √5) =
(3 − √5)
2
− 4
(3 − √5) − 3
=
9 − 6√5 + 5 − 4
(3 − √5) − 3
=
10 − 6√5
−√5
= 2(3 − √5) 
 
 𝑓(3 + √5) =
(3 + √5)
2
− 4
(3 + √5) − 3
=
9 + 6√5 + 5 − 4
(3 + √5) − 3
=
10 + 6√5
√5
= 2(3 + √5) 
 
 Ponto de máximo relativo: (3 − √5; 2(3 − √5)) ≅ (0,76; 1,53) 
 Ponto de mínimo relativo: (3 + √5; 2(3 + √5)) ≅ (5,24; 10,47) 
 
 Determinando a concavidade e os pontos de inflexão da função: 
 𝑓′′(𝑥) =
(2𝑥 − 6)(𝑥 − 3)2 − (𝑥2 − 6𝑥 + 4) ⋅ 1 ⋅ 2(𝑥 − 3)
(𝑥 − 3)4
= 
 
51 
 
 
 
 
 =
2𝑥2 − 6𝑥 − 6𝑥 + 18 − 2𝑥2 + 12𝑥 − 8
(𝑥 − 3)3
=
10
(𝑥 − 3)3
 
 
 
 𝑓′′(𝑥) =
10
(𝑥 − 3)3
=
𝑁(𝑥)
𝐷(𝑥)
 
 
 𝑁(𝑥) = 3 > 0 
 
 𝐷(𝑥) = 0 → (𝑥 − 3)3 = 0 → 𝑥 − 3 = 0 → 𝑥 = 3 
 
 Concavidade para cima: 𝑥 > 3 
 Concavidade para baixo: 𝑥 < 3 
 Pontos de inflexão: não tem, pois 𝑥 = 3 ∉ 𝐷(𝑓) 
 
 Determinando as assíntotas verticais, horizontais e obliquas: 
 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→3−
𝑓(𝑥) =
32 − 4
3− − 3
=
5
0−
= −∞ 
 
 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→3+
𝑓(𝑥) =
32 − 4
3+ − 3
=
5
0+
= ∞ 
 
 Assíntota vertical: 𝑥 = 3 
 𝑀 = 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→±∞
𝑓(𝑥)
𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→±∞
𝑥2 − 4
𝑥(𝑥 − 3)
= 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→±∞
2𝑥
2𝑥 − 3
= 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→±∞
2
2
= 1 
 
 𝑁 = 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→±∞
[𝑓(𝑥) − 𝑀𝑥] = 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→±∞
[
𝑥2 − 4
𝑥 − 3
− 𝑥] = 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→±∞
3𝑥 − 4
𝑥 − 3
= 
 
 = 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→±∞
3
1
= 3 
 
52 
 
 
 
 
 Assíntota horizontal: não tem 
 Assíntota vertical: 𝑟(𝑥) = 𝑥 + 3 
 
 Esboçando o gráfico: 
 
 
 
 
 
Exercícios de Fixação 
(Nos exercícios de 01 a 06) 
 Para às funções dadas abaixo, determine: 
 a) Os valores de x nos quais os extremos relativos de máximo ocorrem; 
 b) Os valores de x nos quais os extremos relativos de mínimo ocorrem; 
 c) Os intervalos dos quais a função é crescente; 
 d) Os intervalos dos quais a função é decrescente. 
01) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 − 102) 𝑓(𝑥) =
1
4
𝑥4 − 𝑥3 + 𝑥2 
 
03) 𝑓(𝑥) = (1 − 𝑥)2(1 + 𝑥)3 04) 𝑓(𝑥) = 𝑥
2
3 − 𝑥
1
3 
 
05) 𝑓(𝑥) = {
3𝑥 + 5 𝑠𝑒 𝑥 < −1
𝑥2 + 1 𝑠𝑒 − 1 ≤ 𝑥 < 2
7 − 𝑥 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2
 
53 
 
 
 
 
 
06) 𝑓(𝑥) = {
(𝑥 + 9)2 − 8 𝑠𝑒 𝑥 < −7
−√25 − (𝑥 + 4)2 𝑠𝑒 − 7 ≤ 𝑥 ≤ 0
(𝑥 − 2)2 − 7 𝑠𝑒 𝑥 > 0
 
 
07 – Ache 𝑎 e 𝑏, tais que a função definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥 + 𝑏 tenha extremo 
relativo em (2,3). 
 
08 – Ache 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑 de tal forma que a função tenha extremos relativos em (1, 2) 
e (2, 3), sabendo que esta é definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑. 
 
(Nos exercícios de 09 a 15) 
 Para às funções dadas abaixo, determine: 
 a) Os pontos de inflexão, se existirem; 
 b) Os intervalos dos quais o gráfico da função é côncavo para cima; 
 c) Os intervalos dos quais o gráfico da função é côncavo para baixo. 
09) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 9𝑥 10) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 8𝑥3 
 
11) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)
1
3 12) 𝑓(𝑥) = 3𝑐𝑜𝑠(2𝑥) 𝑥 ∈ [−𝜋, 𝜋] 
 
13) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔 (
1
3
𝑥) 𝑥 ∈ (−𝜋, 𝜋) 14) 𝑓(𝑥) = {𝑥
2 − 1 𝑠𝑒 𝑥 < 2
7 − 𝑥2 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2
 
 
15) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)
1
5 + 3 
 
16 – Ache 𝑎 e 𝑏, tais que a função definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 tenha um ponto 
de inflexão em (1,2). 
 
17 – Ache 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑 de tal forma que a função tenha um extremo relativo em 
(0, 3) e um ponto de inflexão em (1, −1) , sabendo que esta é definida por 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑. 
 
18 – Encontre o limite usando a regra de L’Hôspital: 
𝑎) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→ −1
(
𝑥2 − 1
𝑥 + 1
) 𝑏) 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→(
𝜋
2
)
+
[
𝑐𝑜𝑠(𝑥)
1 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
] 
𝑐) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→ 
𝜋
2
[
1 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
1 + 𝑐𝑜𝑠(2𝑥)
] 𝑑) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
[
𝑙𝑛(𝑥)
√𝑥
] 
𝑒) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(
√1 + 2𝑥 − √1 − 4𝑥
𝑥
) 𝑓) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
[
𝑡𝑔ℎ(𝑥)
𝑡𝑔(𝑥)
] 
54 
 
 
 
 
𝑔)𝑙𝑖𝑚
𝑥→ 0
(
𝑥 3𝑥
3𝑥 − 1
) ℎ)𝑙𝑖𝑚
𝑥→ 1
[
1 − 𝑥 + 𝑙𝑛(𝑥)
1 + 𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑥)
] 
𝑖)𝑙𝑖𝑚
𝑥→ 0
[
𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 1 +
1
2
𝑥2
𝑥4
] 𝑗)𝑙𝑖𝑚
𝑥→ 0
[
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) − 𝑥
𝑥3
] 
 
19 – Esboce o gráfico da função dada: 
𝑎) 𝑓(𝑥) =
𝑥2
𝑥 − 1
 𝑏) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥 − 2 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 − 7𝑥2 + 8𝑥 + 12 𝑑) 𝑓(𝑥) = {
3(𝑥 − 2)2 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 2
(2 − 𝑥)3 𝑠𝑒 𝑥 > 2
 
𝑒) 𝑓(𝑥) = {
sen(𝑥) 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 <
𝜋
2
sen (𝑥 −
𝜋
2
) 𝑠𝑒 
𝜋
2
≤ 𝑥 ≤ 𝜋
 𝑓) 𝑓(𝑥) =
𝑥2 + 1
𝑥2 − 1
 
𝑔) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)
1
3 + 2 ℎ)𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)
2
3(𝑥 − 2)
1
3 
 
 
 
 
 
Unidade V – Integrais 
 
 Newton encarava a integração como um problema de encontrar os x e y de 
uma determinada fluxão, isto é, achar o deslocamento de uma dada velocidade. 
Portanto, para ele, a integração era, naturalmente, o processo reverso da 
diferenciação. Leibniz via a integração como uma soma, no estilo que fizeram, antes 
dele, Arquimedes, Cavalieri e Roberval. Leibniz foi feliz em utilizar os ‘infinitésimos’ 
𝑑𝑥 e 𝑑𝑦 onde Newton usou 𝑥’ e 𝑦’, ou seja, velocidades. 
 Leibniz usava a palavra ‘mônada' para indicar algo tão simples que não possui 
partes. Nenhum deles considerava o que nós denominamos de funções, pois este 
conceito só foi introduzido muitos séculos depois. No entanto, ambos, 
definitivamente, pensavam em termos de gráficos. De qualquer forma, eles estavam 
travando uma luta com o infinito, no caso, o infinitamente pequeno. 
 Apesar de Newton ter desenvolvido sua teoria primeiro, coube a Leibniz o 
mérito de ter publicado a sua versão, em 1684, introduzindo o termo calculus 
summatorius, e divulgando assim suas ideias. Leibniz dava muita importância à 
notação, no que estava absolutamente certo. Leibniz foi quem introduziu os 
símbolos matemáticos 𝑑 e ∫ , estabelecendo, por volta de 1675, a notação 
exatamente como fazemos atualmente. 
55 
 
 
 
 
1 – INTEGRAL INDEFINIDA 
 O estudo das integrais indefinidas é o primeiro passo na compreensão de uma 
importante ferramenta matemática: a integral. Será introduzida a ideia de integral, 
mostrando sua relação com a derivada. 
 Se a função 𝐹(𝑥) é primitiva da função 𝑓(𝑥) , a expressão 𝐹(𝑥) + 𝐶 é 
chamada integral indefinida da função 𝑓(𝑥) e é denotada por 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 
 
 Observações: 
 Lê – se: Integral Indefinida de 𝑓(𝑥) em relação a 𝑥 ou integral de 𝑓(𝑥) em 
relação a 𝑥. 
 O processo que permite calcular a integral indefinida de uma função é 
denominado integração. 
2 – REGRAS DE INTEGRAÇÃO 
 I. Integral de uma constante real 
 ∫ 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶 
 
 II. Integral de uma potência 
 ∫ 𝑥𝑛 𝑑𝑥 =
𝑥𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝐶, 𝑛 ∈ ℝ − {−1} ∫ 𝑥−1 𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶 
 
 III. Integral do produto de uma constante real por uma função 
 ∫[𝑘 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 
 
 IV. Integral da soma e da diferença 
 ∫[𝑔(𝑥) ± ℎ(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 ± ∫ ℎ(𝑥) 𝑑𝑥 
 
 Exemplo 1: Resolva as integrais indefinidas: 
𝑎) ∫ 𝑥3 𝑑𝑥 
 ∫ 𝑥3 𝑑𝑥 =
𝑥3+1
3 + 1
+ 𝐶 =
𝑥4
4
+ 𝐶 
 
𝑏) ∫
2
𝑥2
𝑑𝑥 
 ∫
2
𝑥2
𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥−2 𝑑𝑥 = 2
𝑥−2+1
−2 + 1
+ 𝐶 = −2𝑥−1 + 𝐶 = −
2
𝑥
+ 𝐶 
 
56 
 
 
 
 
𝑐) ∫(8𝑥3 − 2𝑥 + 5√𝑥) 𝑑𝑥 
 ∫(8𝑥3 − 2𝑥 + 5√𝑥) 𝑑𝑥 = 8 ∫ 𝑥3 𝑑𝑥 − 2 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + 5 ∫ 𝑥
1
2 𝑑𝑥 = 
 
 = 2𝑥4 − 𝑥2 + 5 ∙
2𝑥
3
2
3
+ 𝐶 = 2𝑥4 − 𝑥2 +
10
3
√𝑥3 + 𝐶 
 
𝑑) ∫
2𝑥3 − 𝑥2
𝑥3
𝑑𝑥 
 ∫
2𝑥3 − 𝑥2
𝑥3
𝑑𝑥 = ∫ (2 −
1
𝑥
) 𝑑𝑥 = ∫ 2 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥−1 𝑑𝑥 = 2𝑥 − ln|𝑥| + 𝐶 
 
 V. Integral de uma função exponencial 
 ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶 ∫ 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎𝑥
𝑙𝑛(𝑎)
+ 𝐶, 𝑎 ∈ ℝ+
∗ − {1} 
 
 Exemplo 2: Resolva a integral indefinida: 
∫(3𝑥 − 2𝑒𝑥 + 2𝑥) 𝑑𝑥 
 ∫(3𝑥 − 2𝑒𝑥 + 2𝑥) 𝑑𝑥 =
3
2
𝑥2 − 2𝑒𝑥 +
2𝑥
𝑙𝑛(2)
+ 𝐶 
 
 VI. Integral de uma função trigonométrica seno e cosseno 
 ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝐶 ∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝐶 
 
 VII. Integral de uma função trigonométrica seno e cosseno hiperbólico 
 ∫ 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) + 𝐶 ∫ 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) + 𝐶 
 Exemplo 3: Resolva a integral indefinida: 
∫[2𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) − 3𝑠𝑒𝑛(𝑥)] 𝑑𝑥 
 ∫[2𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) − 3𝑠𝑒𝑛(𝑥)] 𝑑𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) + 3𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝐶 
3 – MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO SIMPLES 
 Este método que é também conhecido como “A Regra da Cadeia para 
Antidiferenciação” consiste em mudar a variável da função de modo a obter uma 
57 
 
 
 
 
integral mais simples. Este método exige que conheça bem as derivadas básicas 
como seja capaz de observar certos padrões nas funções dentro da integral. 
 ∫ 𝑓(𝑔(𝑥))[𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥] = ∫ 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 = 𝐹(𝑢) + 𝐶 = 𝐹(𝑔(𝑥)) + 𝐶 
 
em que: 
 𝑢 = 𝑔(𝑥) → 𝑑𝑢 = 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 
 
 Exemplo: Resolva as integrais indefinidas: 
𝑎) ∫
3𝑥2
𝑥3 − 2
𝑑𝑥 
 𝑢 = 𝑥3 − 2 ⟶ 𝑑𝑢 = 3𝑥2𝑑𝑥 ⟹ ∫
1
𝑥3 − 2
(3𝑥2 𝑑𝑥) = ∫
1
𝑢
𝑑𝑢 
 
 ∫
1
𝑢
𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶 = 𝑙𝑛|𝑥3 − 2| + 𝐶 
 
𝑏) ∫ 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥) 𝑑𝑥 
 𝑢 = 2𝑥 ⟶ 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥 ⟹ ∫
𝑐𝑜𝑠 (2𝑥)
2
(2 𝑑𝑥) = ∫
𝑐𝑜𝑠 (𝑢)
2
𝑑𝑢 
 
 ∫
𝑐𝑜𝑠 (𝑢)
2
𝑑𝑢 = −
𝑠𝑒𝑛(𝑢)
2
+ 𝐶 = −
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
2
+ 𝐶 
 
𝑐) ∫ 𝑥√𝑥 + 1 𝑑𝑥 
 𝑢 = √𝑥 + 1 ⟶ 𝑢2 − 1 = 𝑥 → 2𝑢𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 ⟹ ∫(𝑢2 − 1)𝑢(2𝑢𝑑𝑢) 
 
 ∫(𝑢2 − 1)𝑢(2𝑢𝑑𝑢) = 2 ∫(𝑢4 − 𝑢2)𝑑𝑢 = 2 (
𝑢5
5
−
𝑢3
3
) + 𝐶 = 
 
 =
25
(𝑥 + 1)
5
2 −
2
3
(𝑥 + 1)
3
2 + 𝐶 
 
𝑑) ∫ 𝑠𝑒𝑐(𝑥) 𝑑𝑥 
 
58 
 
 
 
 
 ∫ sec(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫
𝑠𝑒𝑐(𝑥) [𝑠𝑒𝑐(𝑥) + 𝑡𝑔(𝑥)]
𝑠𝑒𝑐(𝑥) + 𝑡𝑔(𝑥)
𝑑𝑥 = 
 
 = ∫
𝑠𝑒𝑐2(𝑥) +𝑠𝑒𝑐(𝑥) 𝑡𝑔(𝑥)
𝑠𝑒𝑐(𝑥) + 𝑡𝑔(𝑥)
𝑑𝑥 
 
 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐(𝑥) + 𝑡𝑔(𝑥) ⟶ 𝑑𝑢 = [𝑠𝑒𝑐(𝑥) 𝑡𝑔(𝑥) + 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)]𝑑𝑥 ⟹ ∫
1
𝑢
𝑑𝑢 
 
 ∫
1
𝑢
𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶 = 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐(𝑥) + 𝑡𝑔(𝑥)| + 𝐶 
4 – MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA 
 Este método é um caso especial de integração por substituição em que a 
variável de interesse na integração é substituída por uma função trigonométrica. 
 Para uso desta técnica é necessário conhecer algumas relações 
trigonométricas básicas aprendidas no ensino médio, sendo elas: 
 1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) 1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) 
 
 𝑡𝑔2(𝑥) + 1 = 𝑠𝑒𝑐2(𝑥) 𝑠𝑒𝑐2(𝑥) − 1 = 𝑡𝑔2(𝑥) 
 
 Exemplo: Resolva as integrais indefinidas: 
𝑎) ∫
1
√1 − 𝑥2
𝑑𝑥 
 
 Existe para esta integral duas substituições trigonométricas possíveis, 𝑥 =
𝑐𝑜𝑠(𝑢) ou 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑢). 
 Se usarmos 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑢), temos: 
 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑢) → 𝑑𝑥 = −𝑠𝑒𝑛(𝑢)𝑑𝑢 ⇒ ∫
−𝑠𝑒𝑛(𝑢)
√1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑢)
𝑑𝑢 
 
∫
−𝑠𝑒𝑛(𝑢)
√1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑢)
𝑑𝑢 = ∫
−𝑠𝑒𝑛(𝑢)
√𝑠𝑒𝑛2(𝑢)
𝑑𝑢 = ∫
−𝑠𝑒𝑛(𝑢)
𝑠𝑒𝑛(𝑢)
𝑑𝑢 = − ∫ 𝑑𝑢 = −𝑢 + 𝐶 
 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑢) → 𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (𝑥) ⇒ −𝑢 + 𝐶 = − arccos(𝑥) + 𝐶 
 
 Se usarmos 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑢), temos: 
 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑢) → 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑢)𝑑𝑢 ⇒ ∫
𝑐𝑜𝑠(𝑢)
√1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝑢)
𝑑𝑢 
 
59 
 
 
 
 
 ∫
𝑐𝑜𝑠(𝑢)
√1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝑢)
𝑑𝑢 = ∫
𝑐𝑜𝑠(𝑢)
√𝑐𝑜𝑠2(𝑢)
𝑑𝑢 = ∫
𝑐𝑜𝑠(𝑢)
𝑐𝑜𝑠(𝑢)
𝑑𝑢 = ∫ 𝑑𝑢 = 𝑢 + 𝐶 
 
 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑢) → 𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (𝑥) ⇒ 𝑢 + 𝐶 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝐶 
 
 Note que as respostas são igualmente satisfatórias uma vez que se diferem de 
uma constante, ou seja possuem uma mesma função primitiva. 
 
𝑏) ∫
1
𝑥2 + 9
𝑑𝑥 
 𝑥 = 3𝑡𝑔(𝑢) → 𝑑𝑥 = 3𝑠𝑒𝑐2(𝑢)𝑑𝑢 ⇒ ∫
3𝑠𝑒𝑐2(𝑢)
9𝑡𝑔2(𝑢) + 9
𝑑𝑢 
 
 ∫
3𝑠𝑒𝑐2(𝑢)
9𝑡𝑔2(𝑢) + 9
𝑑𝑢 = ∫
3𝑠𝑒𝑐2(𝑢)
9𝑠𝑒𝑐2(𝑢)
𝑑𝑢 = ∫
1
3
𝑑𝑢 =
1
3
𝑢 + 𝐶 
 
 𝑥 = 3𝑡𝑔(𝑢) → 𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑥
3
) ⇒
1
3
𝑢 + 𝐶 =
1
3
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑥
3
) + 𝐶 
 
𝑐) ∫
1
𝑥2√𝑥2 − 4
𝑑𝑥 
 
 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑐(𝑢) → 𝑑𝑥 = 2𝑠𝑒𝑐(𝑢)𝑡𝑔(𝑢)𝑑𝑢 ⇒ ∫
2𝑠𝑒𝑐(𝑢)𝑡𝑔(𝑢)
4𝑠𝑒𝑐2(𝑢)√4𝑠𝑒𝑐2(𝑢) − 4
𝑑𝑢 
 
 ∫
2 𝑠𝑒𝑐(𝑢) 𝑡𝑔(𝑢)
4𝑠𝑒𝑐2(𝑢)√4𝑠𝑒𝑐2(𝑢) − 4
𝑑𝑢 = ∫
2 𝑠𝑒𝑐(𝑢) 𝑡𝑔(𝑢)
4𝑠𝑒𝑐2(𝑢) ⋅ 2𝑡𝑔(𝑢)
𝑑𝑢 =
1
4
∫
1
sec(𝑢)
𝑑𝑢 
 
 =
1
4
∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑢) 𝑑𝑢 =
1
4
𝑠𝑒𝑛(𝑢) + 𝐶 
 
 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑐(𝑢) → 𝑠𝑒𝑐(𝑢) =
𝑥
2
→ 𝑐𝑜𝑠(𝑢) =
2
𝑥
→ 
 
 
 𝑠𝑒𝑛(𝑢) =
√𝑥2 − 4
𝑥
⇒
1
4
𝑠𝑒𝑛(𝑢) + 𝐶
=
√𝑥2 − 4
4𝑥
+ 𝐶 
60 
 
 
 
 
5 – MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS 
 Este método permite lidar com integrandos que são quocientes de polinômios. 
Quando o grau do numerador for maior que o grau do denominador, pode-se utilizar 
o algoritmo da divisão de Euclides (método da chave) para escrevê-lo como uma 
soma de um polinômio e um quociente cujo grau do numerador é menor que o grau 
do denominador. Assim, vamos nos dedicar a esses tipos de quocientes de 
polinômios: o grau do denominador é maior do que o grau do numerador. Nesses 
casos vamos empregar um resultado da Álgebra que nos permite reescrever o 
quociente como uma soma de quocientes mais simples, as chamadas frações 
parciais, sendo cada uma delas possível de ser integrada. 
 I. Decomposição em frações parciais: Os denominadores das frações parciais 
são obtidos fatorando 𝐷(𝑥) como produto de fatores lineares e quadráticos, onde os 
fatores quadráticos não tem raízes reais (são irredutíveis). 
 Aqui vamos apresentar os quatro casos básicos mais comuns de obtenção de 
frações parciais. 
 1º Caso: Os fatores de 𝐷(𝑥) são lineares e distintos. 
 𝐷(𝑥) = (𝑎1𝑥 + 𝑏1) ∙ (𝑎2𝑥 + 𝑏2) ∙ … ∙ (𝑎𝑛𝑥 + 𝑏𝑛) 
 
 
𝑁(𝑥)
𝐷(𝑥)
=
𝐴1
𝑎1𝑥 + 𝑏1
+
𝐴2
𝑎2𝑥 + 𝑏2
+ ⋯ +
𝐴𝑛
𝑎𝑛𝑥 + 𝑏𝑛
 
 
 2º Caso: Os fatores de 𝐷(𝑥) são lineares e repetidos. 
 𝐷(𝑥) = (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑝 
 
 
𝑁(𝑥)
𝐷(𝑥)
=
𝐴1
(𝑎𝑥 + 𝑏)1
+
𝐴2
(𝑎𝑥 + 𝑏)2
+ ⋯ +
𝐴𝑝
(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑝
 
 
 3º Caso: Os fatores de 𝐷(𝑥) são quadráticos, irredutíveis e distintos. 
 𝐷(𝑥) = (𝑎1𝑥
2 + 𝑏1𝑥 + 𝑐1) ∙ (𝑎2𝑥
2 + 𝑏2𝑥 + 𝑐2) ∙ … ∙ (𝑎𝑚𝑥
2 + 𝑏𝑚𝑥 + 𝑐𝑚) 
 
 
𝑁(𝑥)
𝐷(𝑥)
=
𝐴1𝑥 + 𝐵1
𝑎1𝑥
2 + 𝑏1𝑥 + 𝑐1
+
𝐴2𝑥 + 𝐵2
𝑎2𝑥
2 + 𝑏2𝑥 + 𝑐2
+ ⋯ +
𝐴𝑚𝑥 + 𝐵𝑚
𝑎𝑚𝑥
2 + 𝑏𝑚𝑥 + 𝑐𝑚
 
 
 4º Caso: Os fatores de 𝐷(𝑥) são quadráticos, irredutíveis e repetidos. 
 𝐷(𝑥) = (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑞 
 
 
𝑁(𝑥)
𝐷(𝑥)
=
𝐴1𝑥 + 𝐵1
(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)1
+
𝐴2𝑥 + 𝐵2
(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)2
+ ⋯ +
𝐴𝑞𝑥 + 𝐵𝑞
(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑞
 
 
 Observações: 
 Os coeficientes 𝐴𝑖 e 𝐵𝑖 presentes nos numeradores das frações parciais nos 
casos apresentados são números reais a se determinar. 
61 
 
 
 
 
 É comum a fração a ser decomposta apresentar mais de um caso básico de 
decomposição, nesta situação soma-se os diferentes modelos de frações 
parciais obtidas. 
 
 Exemplo 1: 
 𝐷(𝑥) = (𝑎𝑥 + 𝑏)2 ∙ (𝑎1𝑥
2 + 𝑏1𝑥 + 𝑐1) ∙ (𝑎2𝑥
2 + 𝑏2𝑥 + 𝑐2) 
 
 
𝑁(𝑥)
𝐷(𝑥)
=
𝐴1
(𝑎𝑥 + 𝑏)1
+
𝐴2
(𝑎𝑥 + 𝑏)2
+
𝐴3𝑥 + 𝐵3
𝑎1𝑥
2 + 𝑏1𝑥 + 𝑐1
+
𝐴4𝑥 + 𝐵4
𝑎2𝑥
2 + 𝑏2𝑥 + 𝑐2
 
 
 II. Integração por frações parciais: 
 Para resolver a integral com método de integração por frações parciais vamos 
seguir os seguintes passos: 
 Usar o método de divisão de Euclides na função racional caso seja impropria. 
 Reescrever o denominador como fatores de polinômios irredutíveis. 
 Reescrever a parcela própria da função racional como soma de frações parciais 
usando os modelos apropriados de cada caso básico discutido anteriormente. 
 Calcular as constantes reais desconhecidas nas frações parciais. 
 Calcular a integral de cada fração parcial obtida e do quociente obtido pelo 
método de divisão de Euclides, este último se função racional era impropria, 
usando técnicas apropriadas para obter o resultado da integral da função 
racional. 
 Observação: Para reduzir a quantidade de cálculo na integração das frações 
parciais vamos utilizar estes dois resultados de integral: 
 ∫
𝑎
𝑥2 + 𝑎2
𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑥
𝑎
) + 𝐶 ∫
1
𝑥 + 𝑎
𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|𝑥 + 𝑎| + 𝐶 
 
 Exemplo: Resolva as integrais indefinidas: 
𝑎) ∫
𝑥 − 1
𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥
𝑑𝑥 
 
 Note que a função dentro da integral é própria não necessitando aplicar o 
método de divisão de Euclides. 
 Reescrevendo o denominador em fatores de polinômios irredutíveis: 
 𝐷(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥 = 𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 1) 
 
 Reescrevendo a função racional como soma de frações parciais: 
 
𝑥 − 1
𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥
=
𝑥 − 1
𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)
=
𝐴1
𝑥
+
𝐴2
𝑥 − 2
+
𝐴3
𝑥 + 1
 
 
 Calculando as constantes reais desconhecidas: 
 
𝑥 − 1
𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)
=
𝐴1
𝑥
+
𝐴2
𝑥 − 2
+
𝐴3
𝑥 + 1
 
 
62 
 
 
 
 
 𝐴1(𝑥 − 2)(𝑥 + 1) + 𝐴2𝑥(𝑥 + 1) + 𝐴3𝑥(𝑥 − 2) = 𝑥 − 1 
 (𝑥 → 0) ⇒ 𝐴1 ∙ (−2) ∙ 1 + 𝐴2 ∙ 0 ∙ 1 + 𝐴3 ∙ 0 ∙ (−2) = −1 → −2𝐴1 = −1 → 
 
 → 𝐴1 =
1
2
 
 
 (𝑥 → 2) ⇒ 𝐴1 ∙ 0 ∙ 3 + 𝐴2 ∙ 2 ∙ 3 + 𝐴3 ∙ 2 ∙ 0 = 1 → 6𝐴2 = 1 → 𝐴2 =
1
6
 
 
 (𝑥 → −1) ⇒ 𝐴1 ∙ (−3) ∙ 0 + 𝐴2 ∙ (−1) ∙ 0 + 𝐴3 ∙ (−1) ∙ (−3) = −2 → 
 
 → 3𝐴3 = −2 → 𝐴3 = −
2
3
 
 
 
𝑥 − 1
𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥
=
1
2𝑥
+
1
6(𝑥 − 2)
−
2
3(𝑥 + 1)
 
 
 Calculando a integral da função racional pelas frações parciais: 
 ∫
𝑥 − 1
𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥
𝑑𝑥 = ∫ [
1
2𝑥
+
1
6(𝑥 − 2)
−
2
3(𝑥 + 1)
] 𝑑𝑥 = 
 
 =
1
2
∫
1
𝑥
𝑑𝑥 +
1
6
∫
1
𝑥 − 2
𝑑𝑥 −
2
3
∫
1
𝑥 + 1
𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 
 
 =
12
𝑙𝑛|𝑥| +
1
6
𝑙𝑛|𝑥 − 2| −
2
3
𝑙𝑛|𝑥 + 1| + 𝐶 
 
𝑏) ∫
𝑥4 + 16
𝑥3 + 4𝑥
𝑑𝑥 
 Note que a função dentro da integral é imprópria devemos aplicar o método de 
divisão de Euclides. 
 
 
 ∫
𝑥4 + 16
𝑥3 + 4𝑥
𝑑𝑥 = ∫ [𝑥 −
4𝑥2 − 16
𝑥3 + 4𝑥
] 𝑑𝑥 =
𝑥2
2
− 4 ∫
𝑥2 − 4
𝑥3 + 4𝑥
𝑑𝑥 
 
 Reescrevendo o denominador da fração própria obtida em fatores de 
polinômios irredutíveis: 
 𝐷(𝑥) = 𝑥3 + 4𝑥 = 𝑥(𝑥2 + 4) 
63 
 
 
 
 
 
 Reescrevendo a fração própria obtida como soma de frações parciais: 
 
𝑥2 − 4
𝑥3 + 4𝑥
=
𝑥2 − 4
𝑥(𝑥2 + 4)
=
𝐴1
𝑥
+
𝐴2𝑥 + 𝐵2
𝑥2 + 4
 
 
 Calculando as constantes reais desconhecidas: 
 
𝑥2 − 4
𝑥(𝑥2 + 4)
=
𝐴1
𝑥
+
𝐴2𝑥 + 𝐵2
𝑥2 + 4
 
 
 𝐴1(𝑥
2 + 4) + (𝐴2𝑥 + 𝐵2)𝑥 = 𝑥
2 − 4 
 
 (𝑥 → 0) ⇒ 𝐴1 ∙ 4 + 𝐵2 ∙ 0 = −4 → 4𝐴1 = −4 → 𝐴1 = −1 
 
 (𝑥 → −2), 𝐴1 = −1 ⇒ (−1) ∙ 8 + (−2𝐴2 + 𝐵2) ∙ (−2) = 0 → 
 
 → 2𝐴2 − 𝐵2 = 4 → 𝐵2 = 2𝐴2 − 4 
 
 (𝑥 → 2), 𝐴1 = −1 ⇒ (−1) ∙ 8 + (2𝐴2 + 𝐵2) ∙ 2 = 0 → 2𝐴2 + 𝐵2 = 4 
 
 𝐵2 = 2𝐴2 − 4 ⇒ 2𝐴2 + 𝐵2 = 4 → 2𝐴2 + 2𝐴2 − 4 = 4 → 4𝐴2 = 8 → 
 
 → 𝐴2 = 2 
 
 𝐴2 = 2 ⇒ 𝐵2 = 2𝐴2 − 4 = 4 − 4 → 𝐵2 = 0 
 
 
𝑥2 − 4
𝑥3 + 4𝑥
= −
1
𝑥
+
2𝑥
𝑥2 + 4
 
 
 Calculando a integral da função racional 
 ∫
𝑥4 + 16
𝑥3 + 4𝑥
𝑑𝑥 =
𝑥2
2
− 4 ∫ [−
1
𝑥
+
2𝑥
𝑥2 + 4
] 𝑑𝑥 = 
 
 =
𝑥2
2
+ 4 ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 − 4 ∫
2𝑥
𝑥2 + 4
𝑑𝑥 =
𝑥2
2
+ 4 𝑙𝑛|𝑥| − 4 ∫
2𝑥
𝑥2 + 4
𝑑𝑥 
 
 𝑢 = 𝑥2 + 4 ⟶ 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 ⇒ ∫
2𝑥
𝑥2 + 4
𝑑𝑥 → ∫
1
𝑢
𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝑢| + 𝐾 
 
 𝑢 = 𝑥2 + 4 ⇒ 𝑙𝑛|𝑢| + 𝐾 = 𝑙𝑛|𝑥2 + 4| + 𝐾 
 
64 
 
 
 
 
 ∫
𝑥4 + 16
𝑥3 + 4𝑥
𝑑𝑥 =
𝑥2
2
+ 4 𝑙𝑛|𝑥| − 4 ∫
2𝑥
𝑥2 + 4
𝑑𝑥 = 
 
 =
𝑥2
2
+ 4 𝑙𝑛|𝑥| − 4 𝑙𝑛|𝑥2 + 4| + 𝐶 =
𝑥2
2
+ 4 𝑙𝑛 |
𝑥
𝑥2 + 4
| + 𝐶 
6 – MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES 
 Da fórmula da derivada do produto de duas funções obtém-se um método de 
integração muito conveniente denominado integração por partes. 
 ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 
 
 Escolhendo de forma adequada 𝑢 e 𝑑𝑣, pode ser mais fácil calcular a segunda 
do que a primeira. Quando se escolhem as substituições para 𝑢 e 𝑑𝑣, geralmente 
pretendemos que 𝑑𝑣 seja o fator do integrando mais complicado que se possa 
integrar diretamente, e que 𝑢 seja uma função cuja derivada seja uma função mais 
simples. 
 Exemplo: Resolva as integrais indefinidas: 
𝑎) ∫ 𝑥𝑙𝑛(𝑥)𝑑𝑥 
 𝑢 = ln(𝑥) → 𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑥𝑑𝑥 → 𝑣 =
𝑥2
2
 
 
 ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ⇒ ∫ 𝑥𝑙𝑛(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑥2
2
ln(𝑥) − ∫
𝑥2
2
∙
1
𝑥
𝑑𝑥 
 
 ∫ 𝑥𝑙𝑛(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑥2
2
ln(𝑥) −
1
2
∫ 𝑥 ∙ 𝑑𝑥 =
𝑥2
2
ln(𝑥) −
𝑥2
4
+ 𝐶 
 
𝑏) ∫ 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 
 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) → 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 → 𝑣 = 𝑒𝑥 
 
 ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ⇒ ∫ 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) − ∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑑𝑥 
 ∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑑𝑥 
 
 �̅� = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) → 𝑑�̅� = −𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 𝑑�̅� = 𝑒𝑥𝑑𝑥 → �̅� = 𝑒𝑥 
 
65 
 
 
 
 
 ∫ �̅�𝑑�̅� = �̅��̅� − ∫ �̅�𝑑�̅� ⟹ ∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) + ∫ 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 
 
 ∫ 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) − ∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑑𝑥 
 ∫ 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) − ∫ 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 
 
 2 ∫ 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
 
 ∫ 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥)
2
+ 𝐶 =
𝑒𝑥
2
(𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑐𝑜𝑠(𝑥)) + 𝐶 
Exercícios de Fixação 
01 – Resolva as integrais indefinidas usando o método adequado: 
 𝑎) ∫ 3𝑥4𝑑𝑥 𝑏) ∫
2
√𝑥
3 𝑑𝑥 𝑐) ∫ 𝑥
3(2𝑥2 − 3)𝑑𝑥 
 𝑑) ∫(𝑥 + 1)√𝑥𝑑𝑥 𝑒) ∫
2𝑥2 + 4𝑥 − 4
√𝑥
𝑑𝑥 𝑓) ∫
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑐𝑜𝑠2(𝑥)
𝑑𝑥 
 𝑔) ∫
3𝑡𝑔(𝑥) − 4𝑐𝑜𝑠2(𝑥)
𝑐𝑜𝑠 (𝑥)
𝑑𝑥 
 
02 – Resolva as integrais indefinidas usando o método adequado: 
 𝑎) ∫ √1 − 4𝑥𝑑𝑥 𝑏) ∫ 5𝑥 √(9 − 4𝑥2)2
3
𝑑𝑥 
 𝑐) ∫
2𝑥
(1 − 𝑥)7
𝑑𝑥 𝑑) ∫ 𝑠𝑒𝑐2(5𝑥) 𝑑𝑥 
 𝑒) ∫ 2𝑠𝑒𝑛(𝑥) √1 + 𝑐𝑜𝑠 (𝑥)
3
𝑑𝑥 𝑓) ∫
𝑥2 + 2𝑥
√𝑥3 + 3𝑥2 + 1
𝑑𝑥 
 𝑔) ∫
𝑥 + 3
(3 − 𝑥)
2
3
𝑑𝑥 ℎ) ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑠𝑒𝑛[𝑐𝑜𝑠(𝑥)]𝑑𝑥 
 
03 – Calcule 𝐹(𝑥) por dois métodos: 
 𝐹(𝑥) = ∫(2𝑥 + 1)3𝑑𝑥 
a) Expandindo (2𝑥 + 1)3 pelo teorema do binômio; 
b) Tomando 𝑢 = 2𝑥 + 1. 
c) Explique a diferença entre as respostas de (a) e (b). 
 
66 
 
 
 
 
04 – Calcule 𝐹(𝑥) por dois métodos: 
 𝐹(𝑥) = ∫
(√𝑥 − 1)2
√𝑥
𝑑𝑥 
a) Expandindo (√𝑥 − 1)2 e multiplicando o resultado por 𝑥
−
1
2; 
b) Tomando 𝑢 = √𝑥 − 1. 
c) Explique a diferença entre as respostas de (a) e (b). 
05 – Calcule 𝐹(𝑥) por três métodos: 
 𝐹(𝑥) = ∫ 2𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑑𝑥 
a) Tomando 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥); 
b) Tomando 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥); 
c) Usando a identidade 2𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥). 
c) Explique a diferença entre as respostas de (a), (b) e (c). 
 
06 – Resolva as integrais indefinidas pelo método de integração por substituição 
simples: 
 𝑎) ∫
1
3 − 2𝑥
𝑑𝑥 𝑏) ∫
3𝑥2
5𝑥3 − 1
𝑑𝑥 
 𝑐) ∫[𝑐𝑜𝑡𝑔(5𝑥) + 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(5𝑥)]𝑑𝑥 𝑑) ∫
2𝑥3
𝑥2 − 4
𝑑𝑥 
 𝑒) ∫
𝑙𝑛2(3𝑥)
𝑥
𝑑𝑥 𝑓) ∫
𝑡𝑔[𝑙𝑛(𝑥)]
𝑥
𝑑𝑥 
 
07 – Resolva as integrais indefinidas usando o método adequado: 
 𝑎) ∫ 𝑒2−5𝑥𝑑𝑥 𝑏) ∫
1 + 𝑒2𝑥
𝑒𝑥
𝑑𝑥 𝑐) ∫
𝑒3𝑥
(1 − 2𝑒3𝑥)2
𝑑𝑥 
 𝑑) ∫
𝑒2𝑥
𝑒𝑥 + 3
𝑑𝑥 𝑒) ∫ 32𝑥𝑑𝑥 𝑓) ∫ 𝑎𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 
 𝑔) ∫ 𝑥210𝑥
3
𝑑𝑥 ℎ) ∫ 𝑒𝑥2𝑒
𝑥
3𝑒
𝑥
𝑑𝑥 
 
08 – Resolva as integrais indefinidas usando o método adequado: 
 𝑎) ∫
1
√1 − 4𝑥2
𝑑𝑥 𝑏) ∫
1
4𝑥 √𝑥2 − 16
𝑑𝑥 𝑐) ∫
𝑒𝑥
𝑒2𝑥 + 7
𝑑𝑥 
 𝑑) ∫
1
√15 + 2𝑥 − 𝑥2
𝑑𝑥 𝑒) ∫
2𝑥3
3 − 4𝑥 + 2𝑥2
𝑑𝑥 
 
09 – Resolva as integrais indefinidas usando o método adequado: 
67 
 
 
 
 
 𝑎) ∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑒𝑥) 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑒𝑥)𝑑𝑥 𝑏) ∫
𝑠𝑒𝑛ℎ(√𝑥)
√𝑥
𝑑𝑥 
 𝑐) ∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ2(3𝑥) 𝑑𝑥 𝑑) ∫ 𝑠𝑒𝑐ℎ2(𝑥) 𝑡𝑔ℎ5(𝑥) 𝑑𝑥 
 𝑒) ∫ 𝑡𝑔ℎ(𝑥) 𝑙𝑛[𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥)] 𝑑𝑥 
 
10 – Resolva as integrais indefinidas pelo método de integração por partes: 
 𝑎) ∫ 𝑥𝑒3𝑥𝑑𝑥 𝑏) ∫ 𝑙𝑛2(𝑥) 𝑑𝑥 
 𝑐) ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑙𝑛[𝑐𝑜𝑠(𝑥)] 𝑑𝑥 𝑑) ∫ 𝑥2 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) 𝑑𝑥 
 𝑒) ∫ 𝑐𝑜𝑠(√𝑥) 𝑑𝑥 
 
11 – Resolva as integrais indefinidas pelo método de integração por substituição 
trigonométrica: 
 𝑎) ∫
1
𝑥2√4 − 𝑥2
𝑑𝑥 𝑏) ∫
1
𝑥√25 − 𝑥2
𝑑𝑥 
 𝑐) ∫
𝑥2
(4 + 𝑥2)2
𝑑𝑥 𝑑) ∫
2
𝑥√25 + 𝑥4
𝑑𝑥 
 𝑒) ∫
2
(5 − 4𝑥 − 𝑥2)
3
2
𝑑𝑥 𝑓) ∫
𝑙𝑛3(𝑥)
𝑥√𝑙𝑛2(𝑥) − 4
𝑑𝑥 
 𝑔) ∫
𝑒𝑥
(𝑒2𝑥 + 8𝑒𝑥 + 7)
3
2
𝑑𝑥 
 
12 – Resolva as integrais indefinidas pelo método de integração por frações parciais: 
 𝑎) ∫
1
𝑥2 − 4
𝑑𝑥 𝑏) ∫
4𝑥 − 11
2𝑥2 + 7𝑥 − 4
𝑑𝑥 
 𝑐) ∫
1
𝑥3 + 3𝑥2
𝑑𝑥 𝑑) ∫
𝑥2 − 3𝑥 − 7
(2𝑥 + 3)(𝑥 + 1)2
𝑑𝑥 
 𝑒) ∫
𝑥4 + 3𝑥3−5𝑥2 − 4𝑥 + 17
𝑥3+𝑥2 − 5𝑥 + 3
𝑑𝑥 𝑓) ∫
−24𝑥3+30𝑥2 + 52𝑥 + 17
9𝑥4 − 6𝑥3−11𝑥2 + 4𝑥 + 4
𝑑𝑥 
 𝑔) ∫
1
2𝑥3 + 𝑥
𝑑𝑥 ℎ) ∫
𝑥2 + 𝑥 + 1
(𝑥2 + 1)(2𝑥 − 1)𝑑𝑥 
 𝑖) ∫
1
𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥
𝑑𝑥 𝑗) ∫
5𝑥3−𝑥2 + 15𝑥 − 10
(𝑥2 − 2𝑥 + 5)2
𝑑𝑥 
68 
 
 
 
 
 𝑘) ∫
18
(4𝑥2 + 9)2
𝑑𝑥 𝑙) ∫
[𝑠𝑒𝑐2(𝑥) + 1]𝑠𝑒𝑐2(𝑥)
1 + 𝑡𝑔3(𝑥)
𝑑𝑥 
 
 
 
 
Unidade VI – Aplicações de Integral 
 
 As integrais surgiram no estudo das áreas, mas, assim como as derivadas, 
revelaram possuir muitas outras aplicações. 
1 – INTEGRAL DEFINIDA 
 Se 𝑓 é uma função de 𝑥, então a sua integral definida é uma integral restrita à 
valores em um intervalo específico, digamos, 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 . O resultado é um 
número que depende apenas de 𝑎 e 𝑏, e não de 𝑥. 
 I. Definição: Seja 𝑓 uma função contínua no intervalo [𝑎, 𝑏]. Suponha que este 
intervalo seja dividido em 𝑛 partes iguais de largura: 
 ∆𝑥 = 
(𝑏 − 𝑎)
𝑛
 
 
e seja 𝑥𝑗 um número pertencente ao 𝑗’ésimo intervalo, para 𝑗 = 1, 2, . . . , 𝑛. Neste 
caso, a integral definida de 𝑓 em [𝑎, 𝑏], denotada e dada por: 
 ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = lim
𝑛→∞
∑ 𝐴𝑗
𝑛
𝑗=1
= lim
𝑛→∞
[∑ 𝑓(𝑥𝑗)
𝑛
𝑗=1
] ∆𝑥 
 
se o limite existir. 
 
69 
 
 
 
 
 II. Teorema Fundamental do Cálculo: Se 𝑦 = 𝑓 (𝑥) é uma função contínua 
no intervalo [𝑎, 𝑏] e 𝐹’(𝑥) = 𝑓 (𝑥), ou seja 𝐹(𝑥) é uma primitiva ou antiderivada 
𝑓 (𝑥), então: 
 ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)|
𝑎
𝑏
= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 
 
 Exemplo: Resolva as integrais definidas: 
𝑎) ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥
𝜋
0
 
 
 ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥
𝜋
0
= [− cos(𝑥)]|
0
𝜋
= − cos(𝜋) + cos(0) = 1 + 1 = 2 
 
𝑏) ∫ 𝑥𝑒𝑥
2+1𝑑𝑥
1
0
 
 𝑢 = 𝑥2 + 1 → 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 ⇒ ∫
𝑒𝑢
2
𝑑𝑢 
 
 𝑥 = 0 ⇒ 𝑢 = 𝑥2 + 1 = 02 + 1 = 1 
 
 𝑥 = 1 ⇒ 𝑢 = 𝑥2 + 1 = 12 + 1 = 2 
 
 ∫ 𝑥𝑒𝑥
2+1𝑑𝑥 =
1
0
∫
𝑒𝑢
2
𝑑𝑢
2
1
=
𝑒𝑢
2
|
0
2
=
𝑒2
2
−
𝑒0
2
=
𝑒2 − 1
2
 
2 – INTEGRAL IMPRÓPRIA 
 É semelhante a uma integral definida, porem pelo menos um de seus limites de 
integração tende ao −∞ ou +∞, e/ou existe pelo menos um valor 𝑘 ∈ ℝ que não 
pertence ao domínio do integrando, mas está dentro do intervalo real fechado 
formado pelos limites de integração. 
 Definições: 
 Se 𝑓 é uma função contínua em [𝑎, +∞), então: 
 ∫ 𝑓(𝑥)
+∞
𝑎
𝑑𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
 𝑏→+∞
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 
se este limite existir. 
 
 Se 𝑓 é uma função contínua em (−∞, 𝑏], então: 
 ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
−∞
𝑑𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
 𝑎→−∞
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 
70 
 
 
 
 
se este limite existir. 
 
 Se 𝑓 é uma função contínua em ℝ = (−∞, +∞), então: 
 ∫ 𝑓(𝑥)
+∞
−∞
𝑑𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
 𝑎→−∞
∫ 𝑓(𝑥)
0
𝑎
𝑑𝑥 + 𝑙𝑖𝑚
 𝑏→+∞
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
0
𝑑𝑥 
se estes limites existirem. 
 
 Se 𝑓 é uma função contínua em (𝑎, 𝑏] e se 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = ±∞, então: 
 ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
 𝑡→𝑎+
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑡
𝑑𝑥 
se este limite existir. 
 
 Se 𝑓 é uma função contínua em [𝑎, 𝑏) e se 𝑙𝑖𝑚
 𝑡→𝑏−
𝑓(𝑥) = ±∞, então: 
 ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
 𝑡→𝑏−
∫ 𝑓(𝑥)
𝑡
𝑎
𝑑𝑥 
se este limite existir. 
 
 Se 𝑓 é uma função contínua em [𝑎, 𝑏] exceto 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] e se 𝑙𝑖𝑚
 𝑥→𝑐
|𝑓(𝑥)| = ∞, 
então: 
 ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
 𝑡→𝑐−
∫ 𝑓(𝑥)
𝑡
𝑎
𝑑𝑥 + 𝑙𝑖𝑚
 𝑠→𝑐+
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑠
𝑑𝑥 
se estes limites existirem. 
 
 Exemplo: Verifique se as integrais improprias convergem ou divergem, caso 
seja convergente determine seu valor usando o método adequado: 
𝑎) ∫
4
𝑥2
𝑑𝑥
∞
2
 
 ∫
4
𝑥2
𝑑𝑥 = lim
𝑏→∞
∫
4
𝑥2
𝑑𝑥 =
𝑏
2
∞
2
lim
𝑏→∞
(−
4
𝑥
)|
2
𝑏
= lim
𝑏→∞
(
4
𝑥
)|
𝑏
2
= 4 lim
𝑏→∞
(
1
2
−
1
𝑏
) = 
 
 = 4 ∙
1
2
= 2 
 
 convergente 
 
𝑏) ∫
1
𝑥2 + 1
𝑑𝑥
∞
−∞
 
 ∫
1
𝑥2 + 1
𝑑𝑥
∞
−∞
= lim
𝑎→−∞
∫
1
𝑥2 + 1
𝑑𝑥
0
𝑎
+ lim
𝑏→∞
∫
1
𝑥2 + 1
𝑑𝑥
𝑏
0
= 
71 
 
 
 
 
 
 = lim
𝑎→−∞
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥)|
𝑎
0
+ lim
𝑏→∞
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥)|
0
𝑏
= 
 
 = lim
𝑎→−∞
[𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(0) − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑎)] + lim
𝑏→∞
[𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑏) − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(0)] = 
 
 = lim
𝑎→−∞
[−𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑎)] + lim
𝑏→∞
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑏) = − (−
𝜋
2
) +
𝜋
2
= 𝜋 
 
 convergente 
 
𝑐) ∫
1
(𝑥 − 1)2
𝑑𝑥
2
0
 
 𝑢 = 𝑥 − 1 → 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 ⇒ ∫
1
𝑢2
𝑑𝑢 
 
 𝑥 = 0 ⇒ 𝑢 = 𝑥 − 1 = 0 − 1 = −1 
 
 𝑥 = 2 ⇒ 𝑢 = 𝑥 − 1 = 2 − 1 = 1 
 
 ∫
1
(𝑥 − 1)2
𝑑𝑥
2
0
= ∫
1
𝑢2
𝑑𝑥
1
−1
= 2 ∫
1
𝑢2
𝑑𝑥
1
0
= 2 𝑙𝑖𝑚
 𝑡→0+
∫
1
𝑢2
𝑑𝑥
1
𝑡
= 
 
 = 2 lim
𝑡→0+
(−
1
𝑢
)|
𝑡
1
= 2 lim
𝑡→0+
(
1
𝑡
− 1) = 2(∞ − 1) = ∞ 
 
 divergente 
3 – CÁLCULO DE ÁREAS 
 O cálculo da área de uma região plana pode ser feito via integral definida. A 
seguir, estudaremos as situações mais comuns. 
 Teorema: Sejam 𝑓, 𝑔: [𝑎, 𝑏] → ℝ funções contínuas. A área de uma região 
plana 𝑅 delimitada pelo gráfico das funções contínuas 𝑦 = 𝑓(𝑥) , 𝑦 = 𝑔(𝑥) e 
pelas retas 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏 é: 
 𝐴(𝑅) = ∫ |𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)|
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 
 
 Observações: 
 Se 𝑓(𝑥) ≥ 0 e 𝑔(𝑥) = 0, para todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], então: 
 
 
72 
 
 
 
 
 
→ 𝐴(𝑅) = ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 
 
 
 
 Se 𝑓(𝑥) ≤ 0 e 𝑔(𝑥) = 0, para todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], então: 
 
 
→ 𝐴(𝑅) = − ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 
 
 
 
 Se 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥), para todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], então: 
 
 
→ 𝐴(𝑅) = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 
 
 
 
 
 Exemplo 1: Determinar a área limitada pela curva 𝑦 = 𝑥2 + 4𝑥 − 21 e pelo 
eixo 𝑥. 
𝑦 = 0 → 𝑥2 + 4𝑥 − 21 = 0 → {
𝑥 = −7
𝑥 = 3
 
 
 
 
 
→ 𝐴 = − ∫ (𝑥2 + 4𝑥 − 21)
3
−7
𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 𝐴 = ∫ (𝑥2 + 4𝑥 − 21)
−7
3
𝑑𝑥 = (
𝑥3
3
+ 2𝑥2 − 21𝑥)|
3
−7
= 
73 
 
 
 
 
 
 = (−
343
3
+ 98 + 147) − (9 + 18 − 63) =
500
3
𝑢. 𝑎. 
 
 Exemplo 2: Determinar a área limitada pelas curvas 𝑦 = 5𝑥 − 𝑥2e 𝑦 = 2𝑥. 
 {
𝑦 = 5𝑥 − 𝑥2
𝑦 = 2𝑥
⇒ 2𝑥 = 5𝑥 − 𝑥2 → 𝑥2 − 3𝑥 = 0 → {
𝑥 = 0
𝑥 = 3
 
 
 
 
→ 𝐴 = ∫ [(5𝑥 − 𝑥2) − (2𝑥)]
3
0
𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 𝐴 = ∫ (3𝑥 − 𝑥2)
3
0
𝑑𝑥 = (
3𝑥2
2
−
𝑥3
3
)|
0
3
= (
27
2
− 9) − (0 − 0) =
9
2
𝑢. 𝑎. 
 
 
 Exemplo 3: Determinar a área limitada pelas curvas 𝑥 = 𝑦2 − 4 e o eixo 𝑦. 
 𝑥 = 0 → 𝑦2 − 4 = 0 → {
𝑦 = −2
𝑦 = 2
 
 
 
 
→ 𝐴 = − ∫ (𝑦2 − 4)
2
−2
𝑑𝑦 
 
 
 
 𝐴 = ∫ (𝑦2 − 4)
−2
2
𝑑𝑦 = 2 ∫ (𝑦2 − 4)
−2
0
𝑑𝑦 = 2 (
𝑦3
3
− 4𝑦)|
0
−2
= 
 
 = 2 (−
8
3
+ 8) − 2(0 − 0) =
32
3
𝑢. 𝑎. 
4 – CÁLCULO DO VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO 
 Se giramos uma região plana em torno de uma reta, obtemos o que é chamado 
um sólido de revolução. 
74 
 
 
 
 
 Teorema 1: Sejam 𝑓, 𝑔: [𝑎, 𝑏] → ℝ funções contínuas tais que 
𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) ≥ 0 para todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. O volume do sólido de revolução 𝑆 obtido 
girando a região plana 𝑅 delimitada pelo gráfico das funções contínuas 𝑦 = 𝑓(𝑥), 
𝑦 = 𝑔(𝑥) e pelas retas 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏 ao redor do eixo 𝑥 é: 
 
 
 
→ 𝑉(𝑆) = 𝜋 ∫ [𝑓2(𝑥) − 𝑔2(𝑥)]
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 
 
 
 Observações: 
 Se 𝑓(𝑥) ≥ 0 e 𝑔(𝑥) = 0, para todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], então: 
 
→ 𝑉(𝑆) = 𝜋 ∫ 𝑓2(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 
 
 
 Se 𝑓(𝑥) ≥ 0 e 𝑔(𝑥) = 0, para todo 
𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], e a rotação da superfície acontece ao redor de uma reta 𝑦 = 𝑙, 
então: 
𝑉(𝑆) = 𝜋 ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑙]2
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 
 
 Se a função 𝑓 é negativa em algum subconjunto de [𝑎, 𝑏], o sólido de revolução 
obtido a partir da região limitada pelo gráfico de 𝑓 , o eixo dos 𝑥 e as retas 
𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏 coincide com o sólido de revolução obtido a partir da região 
limitada pelo gráfico de |𝑓|, o eixo dos 𝑥 e as retas 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏. O fato de 
que o integrando 𝑓2(𝑥) ≥ 0, implica em que seja válida a mesma fórmula para 
ambos os casos. 
 
 Exemplo 1: Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do 
eixo dos 𝑥 a região limitada pelos gráficos de 4𝑦 = 13 − 𝑥2 e 2𝑦 = 𝑥 + 5. 
 {
𝑦 =
13− 𝑥2
4
𝑦 =
𝑥 + 5
2
 ⇒ 
𝑥 + 5
2
=
13 − 𝑥2
4
→ 𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 0 → {
𝑥 = −3
𝑥 = 1
 
 
→ 𝑉 = 𝜋 ∫ [(
13 − 𝑥2
4
)
2
− (
𝑥 + 5
2
)
2
]
1
−3
𝑑𝑥 
75 
 
 
 
 
 
 
 𝑉 =
𝜋
16
∫ (𝑥4 − 30𝑥2 − 40𝑥 + 69)
1
−3
𝑑𝑥 = 
 
 =
𝜋
16
(
𝑥5
5
− 10𝑥3 − 20𝑥2 + 69𝑥)|
−3
1
=
𝜋
16
(
196
5
+
828
5
)
=
64𝜋
5
𝑢. 𝑣. 
 
 
 
 
 Exemplo 2: Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno da 
reta 𝑥 = −2 a região limitada pelo gráfico de 𝑦 = 𝑥 + 1, −1 ≤ 𝑥 ≤ 1. 
 𝑦 = 𝑥 + 1 → 𝑥 = 𝑦 − 1 
 
 −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 → −1 ≤ 𝑦 − 1 ≤ 1 → 0 ≤ 𝑦 ≤ 2 
 
 
→ 𝑉 = 𝜋 ∫ [(𝑦 − 1) − (−2)]2
2
0
𝑑𝑦 
 
 
76 
 
 
 
 
 𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑦2 + 2𝑦 + 1)
2
0
𝑑𝑦 = 𝜋 (
𝑦3
3
+ 𝑦2 + 𝑦)|
0
2
=
26𝜋
3
𝑢. 𝑣. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Teorema 2 (Método das Arruelas): Sejam 𝑓, 𝑔: [𝑎, 𝑏] → ℝ funções contínuas 
tais que 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) ≥ 0 para todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. O volume do sólido de revolução 
𝑆 obtido girando a região plana 𝑅 delimitada pelo gráfico das funções contínuas 
𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑦 = 𝑔(𝑥) e pelas retas 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏 ao redor do eixo 𝑦 é: 
 
 
 
 
→ 𝑉(𝑆) = 2𝜋 ∫ 𝑥[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 
 
 
 
 
 Exemplo 3: Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do 
eixo dos 𝑦 a região limitada pela curva 𝑦 = (𝑥 − 1)2 , e 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 e o eixo dos 
 𝑥. 
 
 
 
 
 
 
 
 
77 
 
 
 
 
 𝑉 = 2𝜋 ∫ 𝑥(𝑥 − 1)2
2
0
𝑑𝑥 = 2𝜋 ∫ (𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥)
2
0
𝑑𝑥 = 
 
 = 2𝜋 (
𝑥4
4
−
2𝑥3
3
+
𝑥2
2
)|
0
2
=
4𝜋
3
𝑢. 𝑣. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 – CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE ARCO 
 Teorema: Seja 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ uma função derivável. A porção 𝐴𝐵 do gráfico de 
𝑓 , comprendida entre os pontos: 𝐴 = (𝑎, 𝑓(𝑎)) e 𝐵 = (𝑏, 𝑓(𝑏)) é chamado 
arco e seu comprimento é igual a: 
 𝐿 = ∫ √1 + [𝑓′(𝑥)]2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
 Exemplo: Calcule o comprimento do arco da curva 𝑦 = ln (cos(𝑥)) tal que 
0 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
4
 . 
 𝑓′(𝑥) = 𝑦′ =
−𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos (𝑥)
= −𝑡𝑔(𝑢) ⟹ 𝐿 = ∫ √1 + 𝑡𝑔2(𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
4
0
 
 
 𝐿 = ∫ 𝑠𝑒𝑐(𝑥)𝑑𝑥
𝜋
4
0
= ∫
𝑠𝑒𝑐(𝑥) [𝑠𝑒𝑐(𝑥) + 𝑡𝑔(𝑥)]
𝑠𝑒𝑐(𝑥) + 𝑡𝑔(𝑥)
𝑑𝑥
𝜋
4
0
= 
 = ∫
𝑠𝑒𝑐2(𝑥) +𝑠𝑒𝑐(𝑥) 𝑡𝑔(𝑥)
𝑠𝑒𝑐(𝑥) + 𝑡𝑔(𝑥)
𝑑𝑥
𝜋
4
0
 
 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐(𝑥) + 𝑡𝑔(𝑥) ⟶ 𝑑𝑢 = [𝑠𝑒𝑐(𝑥) 𝑡𝑔(𝑥) + 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)]𝑑𝑥 ⟹ ∫
1
𝑢
𝑑𝑢 
 
78 
 
 
 
 
 𝑥 =
𝜋
4
⇒ 𝑢 = √2 + 1 
 
 𝑥 = 0 ⇒ 𝑢 = 1 
 
 𝐿 = ∫
1
𝑢
𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝑢||
1
√2+1
=
√2+1
1
ln(√2 + 1) − ln(1) = ln(√2 + 1) 𝑢. 𝑐. 
6 – CÁLCULO DA ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃO 
 Teorema: Seja 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ uma função derivável. A área da superfície de 
revolução 𝑆 obtido girando a porção 𝐴𝐵 do gráfico de 𝑓 , comprendida entre os 
pontos: 𝐴 = (𝑎, 𝑓(𝑎)) e 𝐵 = (𝑏, 𝑓(𝑏)) ao redor do eixo 𝑦 é igual a: 
 𝐴(𝑆) = 2𝜋 ∫ 𝑥√1 + [𝑓′(𝑥)]2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
 Exemplo: Um paraboloide de revolução é a superfície obtida ao girarmos um 
ramo de parábola em torno de seu eixo. Ache a área do paraboloide de revolução 
obtido pela rotação do arco da parábola 𝑦 = 𝑥2, para 𝑥 ∈ [0, √2], em torno do 
eixo 𝑦. 
 𝑓′(𝑥) = 𝑦′ = 2𝑥 ⟹ 𝐴 = 2𝜋 ∫ 𝑥√1 + (2𝑥)2 𝑑𝑥
√2
0
 
 
 𝑢 = 1 + 4𝑥2 ⟶ 𝑑𝑢 = 8𝑥𝑑𝑥 ⟹
1
8
∫ √𝑢𝑑𝑢 
 
 𝑥 = √2 ⇒ 𝑢 = 9 
 
 𝑥 = 0 ⇒ 𝑢 = 1 
 
 𝐴 = 2𝜋 ∙
1
8
∫ √𝑢𝑑𝑢 =
9
1
𝜋
4
∙
2√𝑢3
3
|
1
9
=
𝜋
2
(9 −
1
3
) =
13𝜋
3
𝑢. 𝑎. 
79 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios de Fixação 
01 – Resolva as integrais definidas usando o método adequado: 
 𝑎) ∫ (3𝑥2 − 4𝑥 + 1)𝑑𝑥
3
0
 𝑏) ∫ √5𝑥 − 1𝑑𝑥
10
1
 
 𝑐) ∫
𝑥2 + 2𝑥
√𝑥3 + 3𝑥2 + 4
3 𝑑𝑥
1
0
 𝑑) ∫ (𝑥 + 2)√𝑥 + 1 𝑑𝑥
3
0
 
 𝑒) ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥) 𝑐𝑜𝑠 (𝜋𝑥)𝑑𝑥
1
0
 𝑓) ∫
2𝑥
𝑥2 − 5
𝑑𝑥
5
3
 
 𝑔) ∫ [𝑡𝑔(2𝑥) + 𝑠𝑒𝑐(2𝑥)]𝑑𝑥
𝜋
6
0
 ℎ) ∫
1
𝑥
𝑑𝑥
𝑒3
𝑒
 
 𝑖) ∫ 𝑥𝑒4−𝑥
2
𝑑𝑥
2
0
 𝑗) ∫
1 + 𝑥
1 + 𝑥2
𝑑𝑥
1
0
 
 𝑘) ∫
1
𝑥[1 + 𝑙𝑛2(𝑥)]
𝑑𝑥
𝑒
1
 𝑙) ∫ 𝑠𝑒𝑐ℎ2(𝑥) 𝑑𝑥
𝑙𝑛(3)
0
 
 𝑚) ∫ 𝑠𝑒𝑛ℎ3(𝑥) 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥)𝑑𝑥
2
0
 𝑛) ∫ 𝑥23𝑥𝑑𝑥
2
0
 
 𝑜) ∫ 𝑒3𝑥𝑠𝑒𝑛(4𝑥)𝑑𝑥
𝜋
4
0
 𝑝) ∫
𝑥3
√16 − 𝑥2
𝑑𝑥
2
0
 
 𝑞) ∫ 𝑥2√25 − 𝑥2 𝑑𝑥
5
0
 𝑟) ∫
𝑥 − 3
𝑥3 + 𝑥2
𝑑𝑥
2
1
 
 𝑠) ∫
5𝑥2 − 3𝑥 + 18
9𝑥 − 𝑥3
𝑑𝑥
2
1
 𝑡) ∫
5𝑥2 + 4
𝑥3 + 4𝑥
𝑑𝑥
4
1
 
 𝑢) ∫
12
𝑒2𝑥 + 16
𝑑𝑥
𝑙𝑛(5)
𝑙𝑛(2)
 
 
02 – Verifique se as integrais improprias convergem ou divergem, caso seja 
convergente determine seu valor usando o método adequado: 
80 
 
 
 
 
 𝑎) ∫ 𝑒−𝑥𝑑𝑥
∞
0
 𝑏) ∫ 𝑥 5−𝑥
2
𝑑𝑥
0
−∞
 𝑐) ∫ 𝑥 2−𝑥𝑑𝑥
∞
0
 
 𝑑) ∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥)𝑑𝑥
∞
−∞
 𝑒) ∫
𝑥
√9 − 𝑥2
3 𝑑𝑥
∞
5
 𝑓) ∫
3
𝑥2 − 9
𝑑𝑥
∞
√3
 
 𝑔) ∫ 𝑒−|𝑥|𝑑𝑥
∞
−∞
 ℎ) ∫
1
𝑥 𝑙𝑛2(𝑥)
𝑑𝑥
∞
𝑒
 𝑖) ∫ 𝑙𝑛(𝑥) 𝑑𝑥
∞
1
 
 
03 – Verifique se as integrais improprias convergem ou divergem, caso seja 
convergente determine seu valor usando o método adequado: 
 𝑎) ∫
1
√1 − 𝑥
𝑑𝑥
1
0
 𝑏) ∫
1
√16 − 𝑥2
𝑑𝑥
4
2
 𝑐) ∫
1
𝑥3
𝑑𝑥
∞
0
 
 𝑑) ∫
1
𝑥2 − 2𝑥 − 3
𝑑𝑥
4
0
 𝑒) ∫
1
√𝑥 + 1
3 𝑑𝑥
0
−2
 𝑓) ∫
1
𝑥 √𝑙𝑛(𝑥)
5
𝑑𝑥
2
1
2
 
 𝑔) ∫
1
√𝑥 − 2
3 𝑑𝑥
3
1
 
 
04 – Represente e calcule a área limitada pelas curvas dadas. 
 𝑎) 𝑦 = 4 − 𝑥2; 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 
 𝑏) 𝑦 = 4𝑥 − 𝑥2; 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 
 𝑐) 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥 − 12; 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 
 𝑑) 𝑥2 = −𝑦; 𝑦 = −4 
 𝑒) 𝑥2 + 𝑦 + 4; 𝑦 = −8 
 
05 – Calcule a área limitada pelas curvas dadas. 
 𝑎) 𝑥3 = 2𝑦2; 𝑥 = 0; 𝑦 = −2 
 𝑏) 𝑦2 = 𝑥 − 1; 𝑥 = 3 
 𝑐) 𝑦3 = 𝑥2; 𝑥 − 3𝑦 + 4 = 0 
 𝑑) 𝑦 = 2𝑥3 − 3𝑥2 − 9𝑥; 𝑦 = 𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥 
 𝑒) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥); 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥; 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦 
 𝑓) 𝑦 = 8 − 𝑥2; 𝑥 − 3𝑦 + 4 = 0; 𝑦 = 𝑥2 
 𝑔) 𝑦 = 𝑡𝑔2(𝑥); 𝑒𝑖𝑥𝑜𝑥; 𝑥 =
𝜋
4
 
 
 
 
 
 
06 – Ache o volume do solido de revolução descrito quando a região dada da figura 
for rotacionada em torno da reta indicada, sabendo que a equação da curva no 
gráfico é 𝑦2 = 𝑥3. 
a) 𝑂𝐴𝐶 em torno do 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 
81 
 
 
 
 
 
b) 𝑂𝐴𝐶 em torno da reta 𝑦 = 8 
 
c) 𝑂𝐵𝐶 em torno do 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦 
 
d) 𝑂𝐵𝐶 em torno da reta 𝑥 = 4 
 
 
07 – Ache o volume do sólido de revolução gerado. 
 a) Pela região limitada pela curva 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐(𝑥), pelo eixo 𝑦 e pela reta 𝑥 = 𝜋 4⁄ 
quando girada em torno do eixo 𝑥. 
 b) Pela região limitada pelo arco de curva do seno em torno do eixo 𝑥. 
 c) Pela região limitada pela curva 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥), pelo eixo 𝑦 e pela reta 𝑥 =
𝜋 6⁄ , pelo eixo 𝑥 quando girada em torno do eixo 𝑥. 
 d) Pela região limitada pela parábola 𝑥 = 2𝑦2 + 6𝑦 + 4 e pela reta 𝑥 = −4 
quando girada em torno da reta 𝑥 = −4. 
 e) Pela região limitada pelo laço de curva 𝑥2𝑦2 = (𝑥2 − 9)(1 − 𝑥2) quando 
girada em torno do eixo 𝑥. 
 f) Pela região limitada pela curva 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) e pelas retas 𝑥 = 𝜋 6⁄ , 
𝑥 = 5𝜋 6⁄ e 𝑦 = 2 quando girada em torno do eixo 𝑥. 
 
08 – Ache o volume do sólido de revolução gerado. 
 a) Pela região limitada pela curva 𝑦 = 3𝑥 − 𝑥3, pelo eixo 𝑥 e pela reta 𝑥 = 1 
quando girada em torno do eixo 𝑦. 
 b) Pela região limitada pela parábola 𝑥2 = 4𝑦 e pela reta 𝑦 = 1 quando girada 
em torno da reta 𝑦 =1. 
 c) Pela região limitada pela curva 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥2) , pelo eixo 𝑥 e pelas retas 
𝑥 = √𝜋 2⁄ e 𝑥 = √𝜋 quando girada em torno do eixo 𝑦. 
 d) Pela região no primeiro quadrante, limitada pela curva 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑦2), pelo 
eixo 𝑦, pelo eixo 𝑥, onde 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 quando girada em torno do eixo 𝑥. 
 
09 – Ache o comprimento do arco da curva formado. 
 a) Pela curva 9𝑦2 = 4𝑥3 da origem ao ponto (3, 2√3). 
 b) Pela curva 8𝑦 = 𝑥4 + 2𝑥−2 do ponto onde 𝑥 = 1 ao ponto onde 𝑥 = 2. 
 c) Pela curva 𝐶 do ponto onde 𝑥 = 0 ao ponto onde 𝑥 = 3 
 𝐶: 𝑦 =
1
3
(𝑥2 + 2)
3
2 
 d) Pela curva 𝐷 do ponto onde 𝑥 = 1 ao ponto onde 𝑥 = 4 
 𝐷: 𝑦 =
√𝑥
3
(3𝑥 − 1) 
 e) Pela curva 𝐸 no primeiro quadrante, do ponto onde 𝑥 = 1/8 ao ponto onde 
𝑥 = 1. 
82 
 
 
 
 
 𝐸: 𝑥
2
3 + 𝑦
2
3 = 1 
 f) Pela curva 9𝑦2 = 𝑥(𝑥 − 3)2 no primeiro quadrante, do ponto onde 𝑥 = 1 ao 
ponto onde 𝑥 = 3. 
 
10 – Ache a área da superfície de revolução gerada. 
 a) Pela parábola 4𝑥 = 𝑦2 da origem ao ponto (1, 2) quando girada em torno do 
eixo 𝑥. 
 b) Pela curva 8𝑦 = 2𝑥4 + 𝑥−2 do ponto onde 𝑥 = 1 ao ponto onde 𝑥 = 2 
quando girada em torno do eixo 𝑥. 
 c) Pela curva 𝑦 = 2√𝑥
3
 do ponto onde 𝑥 = 1 ao ponto onde 𝑥 = 8 quando 
girada em torno do eixo 𝑦. 
 d) Pelo menor arco da circunferência 𝑥2 + 𝑦2 = 25 do ponto onde 𝑥 = −3 ao 
ponto onde 𝑥 = 3 quando girada em torno do eixo 𝑦. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
83 
 
 
 
 
Gabarito dos Exercícios de Fixação 
 
Unidade I 
01) 𝑆𝑜𝑚𝑎 = 7 
 
02) 𝑥 =
2
3
 
 
03) 𝑚 = −
5
6
 
 
04 − 𝑎) 7 
 
04 − 𝑏) 𝑆 = [
5
2
, 3] 
 
05) 𝑓(𝑎) = 1 
 
06) 𝑦 =
13
4
 
 
07) √2 
 
08) 𝛼 = 1 
 
09) 𝑓−1(𝑥) =
1
1 − 𝑥
 
 
10) 𝑥 = −
1 − √5
2
 
 
11) 𝐵 = [9, ∞), 
 𝑓−1(𝑥) = 1 + √𝑥 − 9 
 
12) 𝐼𝑚 = [−4,5], 
 𝑓−1(𝑥) = 5 + √𝑥 + 4 
 
13 − 𝑎) 100 
 
13 − 𝑏)103,5 
 
13 − 𝑐) 1 𝑎𝑛𝑜 
 
14 − 𝑎) 2 
 
14 − 𝑎) 2𝑚 
 
15 − 𝑏) 𝑆 = [1,2] 
15 − 𝑐) 2√2 
 
16 − 𝑏) 𝑆 = (2,4) 
 
16 − 𝑐) log2 𝜋 
 
19 − 𝑎) 𝑆 = {0, ln
3
2
} 
 
19 − 𝑏) 𝑆 = {ln 2} 
 
19 − 𝑐) 𝑆 = {ln
5
4
} 
 
19 − 𝑑)𝑆 = {
1 + 3√2
2
} 
 
 
Unidade II 
01 − 𝑎) 3 
 
01 − 𝑏) 2 
 
01 − 𝑐) 5 
 
01 − 𝑑) ∄ 
 
02 − 𝑎) 4 
 
02 − 𝑏) − 2 
 
02 − 𝑐) 4 
 
02 − 𝑑) ∄ 
 
03 − 𝑎) 8 
 
03 − 𝑏) − 5 − 6√2 
 
03 − 𝑐) − 3 
 
03 − 𝑑) − 2 
 
03 − 𝑒) 2 
 
03 − 𝑓) 4 
 
03 − 𝑔) 2√2 
 
03 − ℎ) 2 
 
03 − 𝑖) 
5
14
 
 
03 − 𝑗) 1 
 
03 − 𝑘) − 1 
 
04 − 𝑎) 
1
3
 
 
04 − 𝑏) 0 
 
04 − 𝑐) 0 
 
04 − 𝑑) 2 
 
04 − 𝑒) 0 
 
04 − 𝑓) 1 
 
04 − 𝑔) ∞ 
 
04 − ℎ) ∞ 
 
04 − 𝑖) ∞ 
 
04 − 𝑗) ∞ 
 
04 − 𝑘) 
1
3
 
 
04 − 𝑙) 2 
 
05 − 𝑎) 𝑒 
80 
 
 
 
 
 
05 − 𝑏) 𝑒−1 
 
05 − 𝑐) 𝑒 
 
05 − 𝑑) 1 
05 − 𝑒) 𝑙𝑛(2) 
 
05 − 𝑓) 2 
 
05 − 𝑔) 𝑒 
 
05 − ℎ) 
1
𝑙𝑜𝑔(5)
 
 
05 − 𝑖) 
1
5
 
 
05 − 𝑗) − 1 
 
05 − 𝑘) 
3
2
 
 
05 − 𝑙) 0 
 
05 − 𝑚) 0 
 
05 − 𝑛) − 1 
 
06) 𝑎 = 𝑏 = 
1
2
 
 
07) 𝑐 =
2
3
 
 
08 − 𝑎) 𝑦 = 2 
 
08 − 𝑏) 𝑦 = −1 
 
08 − 𝑐) 𝑦 = 1, 𝑦 = 5 
 
08 − 𝑑) não possui 
 
09 − 𝑎) 𝑥 = −1, 𝑥 = 1, 
 𝑥 = 2 
 
09 − 𝑏) 𝑥 = −1, 𝑥 = 1 
 
09 − 𝑐) 𝑥 = −2−, 𝑥 = 2+ 
 
09 − 𝑑) 𝑥 = −2+, 𝑥 = 2− 
 
10 − 𝑎) 𝑟(𝑥) = 𝑥 + 1 
 
10 − 𝑏) 𝑟(𝑥) = 𝑥 − 1 
 
10 − 𝑐) 𝑟(𝑥) = 2𝑥 − 1 
 
10 − 𝑑) não possui 
 
11) 𝑟1(𝑥) = −
𝑏
𝑎
𝑥, 
 𝑟2(𝑥) =
𝑏
𝑎
𝑥 
 
 
Unidade III 
01 − 𝑎) 3 
 
01 − 𝑏) 
1
4
 
 
01 − 𝑐) 5 
 
01 − 𝑑) 3𝑥2 
 
01 − 𝑒) 
1
(𝑥 + 1)2
 
 
01 − 𝑓)
3
2√3𝑥 + 4
 
 
02 − 𝑎) 2𝑥 + 
1
2√𝑥
 
 
02 − 𝑏) (
2
5
)
𝑥
𝑙𝑛 (
2
5
) 
 
02 − 𝑐) 3𝑥𝑙𝑛(3) 
 
02 − 𝑑) 6𝑥 
 
02 − 𝑒) 
2
3√𝑥2
3 
 
02 − 𝑓) −
4
𝑥2
−
10
𝑥3
 
 
03 − 𝑎) 
 3𝑥2𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝑥3𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
 
03 − 𝑏) 10𝑥4 − 12𝑥3 
 
03 − 𝑐) 
1 − 𝑥2
(𝑥2 + 1)2
 
03 − 𝑑) 
15𝑥2 − 18𝑥 − 15
(5𝑥 − 3)2
 
 
03 − 𝑒) 
(𝑥2 + 1)𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 2𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥)
(𝑥2 + 1)2
 
 
03 − 𝑓) (2𝑥 + 1)𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 
 +(𝑥2 + 1)𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
 
04 − 𝑎) 3 ∙ 23𝑥−1𝑙𝑛(2) 
 
04 − 𝑏) 2𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥2) 
 
04 − 𝑐) 
 7(2𝑥 + 5)(𝑥2 + 5𝑥 + 2)6 
 
04 − 𝑑) 
6𝑥5
(𝑥2 + 5𝑥 + 2)
 
 
04 − 𝑒) − 3𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑥3 − 4) 
 
04 − 𝑓) 3sec (3𝑥)𝑡𝑔(3𝑥) 
 
04 − 𝑔) 𝑒𝑠𝑒𝑛(𝑥)cos (𝑥) 
 
04 − ℎ) −𝑒𝑥sen (𝑒𝑥) 
 
04 − 𝑖) 
 −
5
(2𝑥 + 1)2
(
3𝑥 + 2
2𝑥 + 1
)
4
 
 
04 − 𝑗)
2
3(𝑥 + 1)2
√
𝑥 + 1
𝑥 − 1
3
 
 
81 
 
 
 
 
05 − 𝑎) 4𝑠𝑒𝑐ℎ2(4𝑥) 
 
05 − 𝑏) 
 𝑥 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) 
 
05 − 𝑐) 2𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) 
 
05 − 𝑑) 2𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥2) 
 
05 − 𝑒) 
 [1 + 𝑠𝑒𝑐ℎ2(𝑥)]𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) 
 
05 − 𝑓) −
2𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)
[1 + 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥)]2
 
 
05 − 𝑔) 
 [1 − 𝑡𝑔ℎ(𝑥)]𝑒𝑥𝑠𝑒𝑐ℎ(𝑥) 
 
05 − ℎ) 
 −
𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ(√𝑥2 + 1)
√𝑥2 + 1
 
 
05 − 𝑖) 𝑐𝑜𝑡ℎ(𝑥) 
 
05 − 𝑗) 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑐ℎ2(𝑒𝑥) 
 
05 − 𝑘) 
 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) 𝑐𝑜𝑠ℎ[𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥)] 
 
05 − 𝑙) 3𝑒𝑐𝑜𝑠ℎ (3𝑥)𝑠𝑒𝑛ℎ(3𝑥) 
 
06 − 𝑎) 
 𝑒𝑥𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) +
𝑒𝑥
√𝑥2 + 1
 
 
06 − 𝑏) 
𝑒𝑥
1 − 𝑒2𝑥
 
 
06 − 𝑐) 
2𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥)
√𝑥2 − 1
 
 
06 − 𝑑) 
1
𝑥 𝑙𝑛(𝑥) √1 − 𝑙𝑛2(𝑥)
 
 
06 − 𝑒) 
𝑒𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ(−𝑥)
|𝑥|√𝑥2 + 1
 
 
06 − 𝑓) 
 
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔ℎ(𝑥) − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ(𝑥)
(1 − 𝑥2)[1 + 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ(𝑥)]2
 
 
06 − 𝑔) 
1
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥)√1 − 𝑥2
 
 
06 − ℎ) 
 
1
[1 + 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠2(𝑥)]√1 − 𝑥2
 
 
 
06 − 𝑖) 
2 + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐(𝑥) − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥)
|𝑥|√1 − 𝑥2
 
 
06 − 𝑗) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥2) +
2𝑥2
𝑥4 + 1
 
 
07 − 𝑎) − 𝑒 
 
07 − 𝑏) − 2688 
 
07 − 𝑐) 512 
 
07 − 𝑑) 336 
 
07 − 𝑒) 
6(𝑥 + 1)
√(𝑥2 + 2𝑥 − 1)7
 
 
07 − 𝑓) − 8𝑒−2𝑥 
 
07 − 𝑔) 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
 
07 − ℎ) 𝑒𝑥 + 2−𝑥𝑙𝑛3(2) 
 
08 − 𝑎) −
𝑥2
𝑦2
 
 
08 − 𝑏) − 1 
 
08 − 𝑐) −
2𝑥𝑦2 + 𝑠𝑒𝑛(𝑦)
2𝑥2𝑦 + 𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑦)
 
 
08 − 𝑑) 
 𝑒cos(𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥)
 𝑒sen(𝑦)𝑐𝑜𝑠(𝑦)
 
 
08 − 𝑒) − 2𝑥𝑦𝑒𝑥
2
 
 
08 − 𝑓) 
5 − 18𝑥
18𝑦
 
 
08 − 𝑔) −
1
4
 
 
08 − ℎ) − 1 
 
08 − 𝑖) −
5
4
 
 
08 − 𝑗) 
1
2
 
 
 
Unidade IV 
01 − 𝑎) não possui 
 
01 − 𝑏) 𝑥 = 2 
 
01 − 𝑐) [2, ∞) 
 
01 − 𝑑) (−∞, 2] 
 
02 − 𝑎) 𝑥 = 1 
 
02 − 𝑏) 𝑥 = 0, 𝑥 = 2 
 
02 − 𝑐) [0, 1], [2, ∞) 
 
02 − 𝑑) (−∞, 0], [1, 2] 
 
03 − 𝑎) 𝑥 =
1
5
 
 
03 − 𝑏) 𝑥 = 1 
 
03 − 𝑐) (−∞,
1
5
] , [1, ∞) 
 
03 − 𝑑) [
1
5
, 1] 
82 
 
 
 
 
 
04 − 𝑎) não possui 
 
04 − 𝑏) 
1
8
 
 
04 − 𝑐) [
1
8
, ∞) 
 
04 − 𝑑) (−∞,
1
8
] 
 
05 − 𝑎)𝑥 = −1, 𝑥 = 2 
 
05 − 𝑏) 𝑥 = 0 
 
05 − 𝑐) (−∞, −1], [0, 2] 
 
05 − 𝑑) [−1, 0], [2, ∞) 
06 − 𝑎) 𝑥 = −7, 𝑥 = 0 
 
06 − 𝑏) 𝑥 = −9, 𝑥 = −4, 
 𝑥 = 2 
 
06 − 𝑐) [−9, −7], [−4, 0], 
 [2, ∞) 
 
06 − 𝑑) (−∞, −9], [−7, −4], 
 [0, 2] 
 
07) 𝑎 = −3, 𝑏 = 7 
 
08) 𝑎 = −2, 𝑏 = 9, 𝑐 = −12, 
 𝑑 = 7 
 
09 − 𝑎) (0, 0) 
 
09 − 𝑏) 𝑥 > 0 
 
09 − 𝑐) 𝑥 < 0 
 
10 − 𝑎) (0, 0), (4, −256) 
 
10 − 𝑏) 𝑥 < 0 𝑜𝑢 𝑥 > 4 
 
10 − 𝑐) 0 < 𝑥 < 4 
 
11 − 𝑎) (−2, 0) 
 
11 − 𝑏) 𝑥 < −2 
 
11 − 𝑐) 𝑥 > −2 
 
12 − 𝑎) (−
2𝜋
3
; 0) , (−
𝜋
3
; 0), 
 (0, 0), (
𝜋
3
; 0) , (
2𝜋
3
; 0) 
 
12 − 𝑏) − 𝜋 < 𝑥 < −
2𝜋
3
, 
 −
𝜋3
< 𝑥 < 0,
𝜋
3
< 𝑥 <
2𝜋
3
 
 
12 − 𝑐) −
2𝜋
3
𝑥 < −
𝜋
3
, 
 0 < 𝑥 <
𝜋
3
,
2𝜋
3
< 𝑥 < 𝜋 
 
13 − 𝑎) (0, 0) 
 
13 − 𝑏) 0 < 𝑥 < 𝜋 
 
13 − 𝑐) − 𝜋 < 𝑥 < 0 
 
14 − 𝑎) (0, 0) 
 
14 − 𝑏) 𝑥 < 0 
 
14 − 𝑐) 𝑥 > 0 
 
15 − 𝑎) (2, 3) 
 
15 − 𝑏) 𝑥 < 2 
15 − 𝑐) 𝑥 > 2 
 
16) 𝑎 = −1, 𝑏 = 3 
 
17) 𝑎 = 2, 𝑏 = −6, 𝑐 = 0, 
 𝑑 = 3 
 
18 − 𝑎) − 2 
 
18 − 𝑏) − ∞ 
 
18 − 𝑐) 
1
4
 
 
18 − 𝑑) 0 
 
18 − 𝑒) 3 
 
18 − 𝑓) 1 
 
18 − 𝑔) 
1
𝑙𝑛(3)
 
 
18 − ℎ) −
1
𝜋2
 
 
18 − 𝑖) 
1
24
 
 
18 − 𝑗) 
1
6
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
83 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 − 𝑎) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 − 𝑏) 
 
 
19 − 𝑐) 
 
19 − 𝑑) 
 
19 − 𝑒) 
 
19 − 𝑓) 
84 
 
 
 
 
 
19 − 𝑔) 
 
19 − ℎ) 
 
 
 
Unidade V 
01 − 𝑎) 
3
5
𝑥5 + 𝐶 
 
01 − 𝑏) 3𝑥
2
3 + 𝐶 
 
01 − 𝑐) 
1
3
𝑥6 −
3
4
𝑥4 + 𝐶 
 
01 − 𝑑) 
2
5
𝑥
5
2 +
2
3
𝑥
3
2 + 𝐶 
 
01 − 𝑒) 
2
5
𝑥
5
2 +
8
3
𝑥
3
2 − 8𝑥
1
2 + 𝐶 
 
01 − 𝑓) 𝑠𝑒𝑐(𝑥) + 𝐶 
 
01 − 𝑔) − 2𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) − 3𝑡𝑔(𝑥) + 𝑥 + 𝐶 
 
02 − 𝑎) 
1
6
(1 − 4𝑥)
3
2 + 𝐶 
 
02 − 𝑏) −
3
8
(9 − 4𝑥2)
5
3 + 𝐶 
02 − 𝑐) −
2
5
(1 − 𝑥)−5 + 
 
1
3
(1 − 𝑥)−6 + 𝐶 
 
02 − 𝑑) 
1
5
𝑡𝑔(5𝑥) + 𝐶 
 
02 − 𝑒) 
3
2
[1 + 𝑐𝑜𝑠(𝑥)]
4
3 + 𝐶 
 
02 − 𝑓) 
2
3
√𝑥3 + 3𝑥2 + 1 + 𝐶 
 
02 − 𝑔) 
 
3
4
(3 − 𝑥)
4
3 − 18(3 − 𝑥)
1
3 + 𝐶 
 
02 − ℎ) 𝑐𝑜𝑠 [𝑐𝑜𝑠 (𝑥)] + 𝐶 
 
03 − 𝑎) 
2𝑥4 + 4𝑥3 + 3𝑥2 + 𝑥 + 𝐶 
 
03 − 𝑏) 
1
8
(2𝑥 + 1)4 + 𝐶 
 
04 − 𝑎) 
2
3
𝑥
3
2 − 2𝑥 + 2𝑥
1
2 + 𝐶 
 
04 − 𝑏)
2
3
(√𝑥 − 1)
3
+ 𝐶 
 
05 − 𝑎) 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) + 𝐶 
 
05 − 𝑏) −𝑐𝑜𝑠2(𝑥) + 𝐶 
85 
 
 
 
 
 
05 − 𝑐) −
1
2
𝑐𝑜𝑠(2𝑥) + 𝐶 
 
06 − 𝑎) −
1
2
𝑙𝑛|3 − 2𝑥| + 𝐶 
 
06 − 𝑏)
1
5
𝑙𝑛|5𝑥3 − 1| + 𝐶 
 
06 − 𝑐) 
 
1
5
𝑙𝑛|1 − 𝑐𝑜𝑠 (5𝑥)| + 𝐶 
 
06 − 𝑑) 
 𝑥2 + 4𝑙𝑛|𝑥2 − 4| + 𝐶 
06 − 𝑒)
1
3
𝑙𝑛3(3𝑥) + 𝐶 
 
06 − 𝑓) 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐[𝑙𝑛(𝑥)]| + 𝐶 
 
07 − 𝑎) 
1
2
𝑒2−5𝑥 + 𝐶 
 
07 − 𝑏) 2𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) + 𝐶 
 
07 − 𝑐)
1
6(1 − 2𝑒3𝑥)
+ 𝐶 
 
07 − 𝑑) 
 𝑒𝑥 − 3𝑙𝑛(𝑒𝑥 + 3) + 𝐶 
 
07 − 𝑒) 
32𝑥
2𝑙𝑛(3)
+ 𝐶 
 
07 − 𝑓) 
𝑎𝑥𝑒𝑥
1 + 𝑙𝑛(𝑎)
+ 𝐶 
 
07 − 𝑔)
10𝑥
3
3𝑙𝑛(10)
+ 𝐶 
 
07 − ℎ)
 6𝑒
𝑥
𝑙𝑛(6)
+ 𝐶 
 
08 − 𝑎) 
1
2
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 𝐶 
 
08 − 𝑏) 
1
16
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐 (
𝑥
4
) + 𝐶 
 
08 − 𝑐) 
 
√7
7
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑒𝑥√7
7
) + 𝐶 
 
08 − 𝑑) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (
1 − 𝑥
4
) + 𝐶 
 
08 − 𝑒) 
1
2
𝑥2 + 2𝑥 +
5
4
𝑙𝑛(2𝑥2 − 4𝑥 + 3) 
 −
√2
2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔[(𝑥 − 1)√2] + 𝐶 
 
09 − 𝑎) 
1
2
𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝑒𝑥) + 𝐶 
09 − 𝑏) 2𝑐𝑜𝑠ℎ(√𝑥) + 𝐶 
 
09 − 𝑐) 𝑥 −
1
3
𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ(3𝑥) + 𝐶 
 
09 − 𝑑) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (
1 − 𝑥
4
) + 𝐶 
 
09 − 𝑒)
1
2
𝑙𝑛2[𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥)] + 𝐶 
 
10 − 𝑎) 
1
3
𝑥𝑒3𝑥 −
1
9
𝑒3𝑥 + 𝐶 
 
10 − 𝑏) 
𝑥𝑙𝑛2(𝑥) − 2𝑥𝑙𝑛(𝑥) + 2𝑥 + 𝐶 
 
10 − 𝑐) − cos (𝑥) ln [cos (𝑥)] 
 +cos(𝑥) + 𝐶 
 
10 − 𝑑) 𝑥2 cosh(𝑥) − 
 2𝑥𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) + 2cosh (𝑥) + 𝐶 
 
10 − 𝑒) 
 2√𝑥 𝑠𝑒𝑛(√𝑥) + 2𝑐𝑜𝑠(√𝑥) + 𝐶 
 
11 − 𝑎) −
√4 − 𝑥2
4𝑥
+ 𝐶 
 
11 − 𝑏) 
 
1
5
𝑙𝑛 |
5 − √25 − 𝑥2
𝑥
| + 𝐶 
 
11 − 𝑐) 
1
4
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
1
2
𝑥) +
𝑥
2(𝑥2 + 4)
+ 𝐶 
 
11 − 𝑑) 
 
1
5
𝑙𝑛 (
√25 + 𝑥4 − 5
𝑥2
) + 𝐶 
 
11 − 𝑒) 
𝑥 + 2
9√5 − 4𝑥 − 𝑥2
+ 𝐶 
 
11 − 𝑓) 
1
3
[𝑙𝑛2(𝑥) − 4]
3
2 + 
 4[𝑙𝑛2(𝑥) − 4]
1
2 + 𝐶 
 
11 − 𝑔)
𝑒𝑥 + 4
9√𝑒2𝑥 + 8𝑒𝑥 + 7
+ 𝐶 
 
12 − 𝑎) 
1
4
𝑙𝑛 |
𝑥 − 2
𝑥 + 2
| + 𝐶 
 
12 − 𝑏) 𝑙𝑛 |
(𝑥 + 4)3
2𝑥 − 1
| + 𝐶 
 
12 − 𝑐)
1
9
𝑙𝑛 |
𝑥 + 3
𝑥
| −
1
3𝑥
+ 𝐶 
 
12 − 𝑑)
3
𝑥 + 1
+ 𝑙𝑛|𝑥 + 1| − 
 
1
2
𝑙𝑛|2𝑥 + 3| + 𝐶 
 
12 − 𝑒)
1
2
𝑥2 + 2𝑥 −
3
𝑥 − 1
− 
 𝑙𝑛|𝑥2 + 2𝑥 + 3| + 𝐶 
 
12 − 𝑓) 
 −𝑙𝑛 [(3𝑥 + 2)
2
3(𝑥 − 1)2] − 
 
1
3(3𝑥 + 2)
−
3
𝑥 − 1
+ 𝐶 
 
86 
 
 
 
 
12 − 𝑔)
1
2
𝑙𝑛 |
𝑥2
2𝑥2 + 1
| + 𝐶 
 
12 − ℎ) 
 
1
10
𝑙𝑛[(𝑥2 + 1)(2𝑥 + 1)3] + 
 
2
5
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥) + 𝐶 
 
12 − 𝑖)
1
2
𝑙𝑛 (
𝑥2
𝑥2 + 𝑥 + 1
) − 
 
1
√3
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
2𝑥 + 1
√3
) + 𝐶 
 
12 − 𝑗)
5
2
𝑙𝑛(𝑥2 − 2𝑥 + 5) + 
 
65
16
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑥 − 1
2
) − 
 
47𝑥 − 15
8(𝑥2 − 2𝑥 + 5)
+ 𝐶 
 
 
12 − 𝑘) 
 
1
6
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
2
3
𝑥) +
𝑥
4𝑥2 + 9
+ 𝐶 
 
12 − 𝑙) 𝑙𝑛|𝑡𝑔(𝑥) + 1| + 
 
2
√3
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 [
2𝑡𝑔(𝑥) − 1
√3
] + 𝐶 
 
 
Unidade VI 
01 − 𝑎) 12 
 
01 − 𝑏) 
134
3
 
 
01 − 𝑐) 2 − √2
3
 
 
01 − 𝑑) 
256
15
 
 
01 − 𝑒) 0 
 
01 − 𝑓) 𝑙𝑛(5) 
 
01 − 𝑔) 
1
2
𝑙𝑛(4 + 2√3) 
 
01 − ℎ) 2 
 
01 − 𝑖) 
1
2
(𝑒4 − 1) 
 
01 − 𝑗) 
𝜋
4
+
1
2
𝑙𝑛(2) 
 
01 − 𝑘) 
𝜋
4
 
 
01 − 𝑙) 
4
5
 
 
01 − 𝑚) 
1
4
𝑠𝑒𝑛ℎ4(2) 
 
01 − 𝑛) 
 
36
𝑙𝑛(3)
−
36
𝑙𝑛2(3)
+
16
𝑙𝑛3(3)
 
 
01 − 𝑜) 
4
25
(𝑒
3𝜋
4 + 1 ) 
01 − 𝑝)
128
3
− 24√3 
 
01 − 𝑞) 
625𝜋
16
 
 
01 − 𝑟) 4𝑙𝑛 (
4
3
) −
3
2
 
 
01 − 𝑠) 13𝑙𝑛(2) − 4𝑙𝑛(5) 
 
01 − 𝑡)6𝑙𝑛(2) 
 
01 − 𝑢)
3
8
𝑙𝑛 (
125
41
) 
 
02 − 𝑎) 1 
 
02 − 𝑏) 
1
2𝑙𝑛(5)
 
 
02 − 𝑐) 
1
𝑙𝑛2(2)
 
 
02 − 𝑑) divergente 
 
02 − 𝑒) divergente 
 
02 − 𝑓) 
𝜋
3
 
 
02 − 𝑔) 2 
 
02 − ℎ) 1 
 
02 − 𝑖) divergente 
 
03 − 𝑎) 2 
 
03 − 𝑏) 
𝜋
3
 
 
03 − 𝑐) divergente 
 
03 − 𝑑) divergente 
 
03 − 𝑒) 0 
 
03 − 𝑓) 0 
 
03 − 𝑔) 0 
 
04 − 𝑎) 
32
3
 𝑢. 𝑎. 
87 
 
 
 
 
 
 
04 − 𝑏) 
22
3
 𝑢. 𝑎. 
 
 
04 − 𝑐)
343
6
 𝑢. 𝑎. 
 
 
04 − 𝑑) 
32
3
 𝑢. 𝑎. 
 
 
04 − 𝑒)
32
3
 𝑢. 𝑎. 
 
 
05 − 𝑎) 
12
5
 𝑢. 𝑎. 05 − 𝑏) 
8√2
3
 𝑢. 𝑎. 
 
05 − 𝑐) 
27
10
 𝑢. 𝑎. 05 − 𝑑) 
253
12
 𝑢. 𝑎. 
 
05 − 𝑒) (√2 − 1) 𝑢. 𝑎. 
 
05 − 𝑓) 64 𝑢. 𝑎. 
 
05 − 𝑔) (1 −
𝜋
4
 ) 𝑢. 𝑎. 
 
06 − 𝑎) 64𝜋 𝑢. 𝑣. 06 − 𝑏) 
704𝜋
5
 𝑢. 𝑣. 
 
06 − 𝑐) 
384𝜋
7
 𝑢. 𝑣. 06 − 𝑑) 
3456𝜋
35
 𝑢. 𝑣. 
 
07 − 𝑎) 𝜋 𝑢. 𝑣. 07 − 𝑏) 
𝜋2
2
 𝑢. 𝑣. 
 
07 − 𝑐) (𝜋√3 −
𝜋2
3
 ) 𝑢. 𝑣. 
 
07 − 𝑑) 
1250𝜋
3
 𝑢. 𝑣. 07 − 𝑒) 
16𝜋
3
 𝑢. 𝑣. 
 
07 − 𝑓) 𝜋 𝑢. 𝑣. 
 
08 − 𝑎) 
8𝜋
5
 𝑢. 𝑣. 08 − 𝑏) 
32𝜋
15
 𝑢. 𝑣. 
 
08 − 𝑐) 
1
2
(2 + √2)𝜋 𝑢. 𝑣. 
 
08 − 𝑑) 𝜋 𝑢. 𝑣. 
 
09 − 𝑎) 
14
3
 𝑢. 𝑐. 09 − 𝑏) 
33
16
 𝑢. 𝑐. 
88 
 
 
 
 
 
09 − 𝑐) 12 𝑢. 𝑐. 
 
09 − 𝑑) 
22
3
 𝑢. 𝑐. 
 
09 − 𝑒) 
9
8
 𝑢. 𝑐. 
 
09 − 𝑓) (2√3 −
4
3
 ) 𝑢. 𝑐. 
 
10 − 𝑎) 
8
3
(2√2 − 1)𝜋 𝑢. 𝑎. 
 
10 − 𝑏) 
16911𝜋
1024
 𝑢. 𝑎. 
10 − 𝑐) 
1
27
(296√37 − 13√13)𝜋 𝑢. 𝑎. 
 
10 − 𝑑) 10𝜋 𝑢. 𝑎.