Introdução a logica matemática Enunciados simples e compostos

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Introdução à Lógica Matemática
Prof. Sérgio Gonçalves de Sousa
Matemática Básica II
Departamento de Matemática - FFP/UERJ
Prof. Sérgio Sousa - Dep. de Matemática - FFP/UERJ Introdução à Lógica Matemática
Introdução
Em Matemática, é comum fazermos afirmações acerca dos objetos
matemáticos - números, figuras, etc.
As afirmações sobre os objetos matemáticos são expressas por meio
de proposições, enunciados, teoremas, lemas, etc.
Por exemplo, alguns enunciados têm uma estrutura lógica simples,
como:
(1) A lua é um satélite natural da Terra;
(2) O número π é irracional;
(3) A equação 5x2 + 3x − 4 = 0 não tem ráızes reais.
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enquanto outros têm uma estrutura lógica complexas (compos-
tas), como:
(4) A lua é um satélite natural da Terra ou 10 não é um
número natural;
(5) O dobro de qualquer número ı́mpar é ı́mpar;
(6) Todo triângulo equilátero é isósceles.
As afirmações que fazemos, por sua vez, podem estar corretas ou
não, ser verdadeiras ou falsas.
Um enunciado pode ser classificado de acordo com a sua estrutura
lógica em simples ou composta; ou de acordo com seu valor lógico
em verdadeiro ou falso.
Quanto aos valores lógicos, os enunciados (1), (2), (4) e (6) são
verdadeiras enquanto os enunciados (3) e (5) são falsos.
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Além de serem usados para expressar afirmações, os enunciados tam-
bém são usados para justificar se outros enunciados são verdadeiros
ou não.
Vejamos, o enunciado:
“Todo triângulo cujos lados a, b e c satisfazem à equação
a2 + b2 = c2 é retângulo”
pode ser utilizada para justificar que o enunciado
“O triângulo de lados 3, 4 e 5 é retângulo”
é verdadeiro.
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Já o enunciado
“Todo triângulo retângulo tem lados a, b e c que satsifazem à
equação a2 + b2 = c2”
pode ser usado para justificar que o enunciado
“O triângulo de lados 3, 4 e 6 é retângulo”
não é verdadeiro.
Expressar afirmações por meio de enunciados e justificar enunciados
verdadeiros por meio de outros enunciados é a essência do pensa-
mento matemático.
Por essa razão, o estudo dos enunciados contribui para a formação
de todos que se interessam pela Matemática.
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Enunciados, afirmações ou proposições
A Lógica, em um ńıvel introdutório, estuda a formação, a relação e
avaliação dos enunciados. Suas propriedades e inter-relações. Em
particular, estuda a afirmação dos enunciados e de seu uso na justi-
ficativa da veracidade de outros enunciados.
Definição
Um enunciado é um conjunto de palavras, frases ou śımbolos ao
qual se pode atribuir um predicado de verdadeiro ou de falso, mas
não ambos.
Os enunciados também são chamados de proposições ou afirma-
ções
Os enunciados podem abordar conteúdos matemáticos ou não. Dessa
forma, somos capazes de aplicar os conceitos, técnicas e resultados
da Lógica não só a Matemática mas, também, nos outros ramos do
conhecimento e no dia-a-dia.
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São enunciados as frases e śımbolos a seguir:
O ćırculo de raio 1 cm tem área 2π cm2.
Se ela é carioca, então ela é brasileira.
Todo homem é mortal.√
5−2 > 0, 24− 110
Já as frases, simbolos ou palavras abaixo não são enunciados. Ve-
jam:
O ćırculo de raio r .
x + y = 10
O dia está lindo hoje.
2π
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Exerćıcios
1. Classifique e justifique as frases a seguir como enunciado ou não.
a) 2 é primo
b) meu primo
c) x e y
d) Carlos e Joana são casados
e) 2× 3 = 7
f) para todo n ∈ N tem-se que 2n é par
g) o sucessor de 2021
h) o sucessor dela é um homem
i) (x , y) está no 4º quadrante
j) reconhecer enunciados é fácil
Solução: São enunciados as letras (a), (d), (e) e (f).
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Valor lógico de uma proposição
A Lógica Matemática adota como regras fundamentais do pensa-
mento os dois seguintes prinćıpios (ou axiomas):
Prinćıpio do Terceiro Exclúıdo
Toda proposição é verdadeira ou é falsa.
Isso quer dizer que não existe uma terceira possibilidade. Existem
somente duas possibilidades: a verdade ou a falsidade.
Prinćıpio da Não Contradição
Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
Dizemos que uma proposição (ou enunciado) tem valor lógico ver-
dade se ela for verdadeira e que uma proposição (ou enunciado) tem
valor lógico falsidade se ela for falsa.
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Valor lógico de uma proposição
Os valores lógicos verdade e falsidade de uma proposição são re-
presentadas abreviadamente pelas letras V e F , respectivamente.
Assim, o que os prinćıpios da não contradição e do terceiro ex-
clúıdo afirmam é que:
Toda proposição tem um, e somente um, dos valores V, F.
Definição
Proposições ou enunciados simples são aquelas que não contém
uma outra proposição como parte integrante de si mesma.
Usamos uma letra minúscula do nosso alfabeto para representar um
enunciado simples.
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Valor lógico de uma proposição
São exemplos de enunciados simples:
p: O ćırculo de raio 1 cm tem área 2π cm2.
q: A lua é um satélite natural da Terra.
r: 2 é par.
t:
√
5−2 < 0, 24− 110
Para indicar que um enunciado simples qualquer s possui valor lógico
verdade, escrevemos V (s) = V . Para indicar que s tem valor lógico
falsidade, escrevemos V (s) = F .
Nos exemplos acima,
como p é uma afirmação falsa, temos que V (p) = F .
como q é uma proposição verdadeira, temos que V (q) = V .
como r é um enunciado verdadeiro, temos que V (r) = V .
como t é uma afirmação falsa, temos que V (t) = F .
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Exerćıcios
2. Determinar o valor lógico das proposições abaixo.
u: O comprimento da circunferência de raio 4 cm é 8π cm.
Solução: Como o comprimento da circunferência de raio 4 cm é
dado por 2 · π · 4 = 8π cm segue que V (u) = V .
q: Fortaleza é a capital do estado do Maranhão.
Solução: V (q) = F , pois Fortaleza é a capital do estado do Ceará
e não do estado do Maranhão.
a: sin2 30◦ + cos2 60◦ = 1
Solução: Como sin2 30◦ + cos2 60◦ = (12)
2 + (12)
2 = 14 +
1
4 =
2
4 =
1
2 ̸= 1 segue que V (a) = F .
r: Tiradentes morreu afogado.
Solução: V (r) = F , pois é sabido das aulas de História que Tira-
dentes morreu enforcado.
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Exerćıcios
b: A equação x2 − 1x+1 = −1 com x ̸= −1 possui apenas uma raiz
real.
Solução:
x2 − 1
x + 1
+ 1 = 0 ⇔ x
2 · (x + 1)− 1 + 1 · (x + 1)
x + 1
= 0
⇔ x2 · (x + 1)− 1 + 1 · (x + 1) = 0
⇔ x3 + x2 − 1 + x + 1 = 0
⇔ x3 + x2 + x = 0
⇔ x · (x2 + x + 1) = 0
⇔ x = 0 ou x2 + x + 1 = 0
Como x2 + x + 1 = 0 não possui raiz real (verifique!!) segue que
x = 0 é a única raiz real. Logo, V (b) = V .
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Exerćıcios
p: A matriz M =
[
5 3
10 −6
]
é inverśıvel.
Solução: Como det(M) = 5 · (−6) − 3 · 10 = −60 ̸= 0 segue que
M é inverśıvel. Portanto, V (p) = V .
t: O produto de dois números ı́mpares é um número ı́mpar.
Solução: Todo número ı́mpar é escrito da forma 2k + 1 com k
inteiro positivo. Assim,
(2n + 1) · (2m + 1) = 4nm + 2n + 2m + 1
= 2 · (2nm + n +m)︸ ︷︷ ︸+1
= 2k + 1, k = 2nm + n+m
Como k = 2nm + n + m é um número inteiro positivo segue que
(2n + 1) · (2m + 1) = 2k + 1 é ı́mpar. Logo, V (t) = V .
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c: O quadrado é um paralelogramo.
Solução: Um quadrilátero é chamado paralelogramo quando os pa-
res de lados opostos são congruentes. Como os pares de lados opos-
tos do quadrado são sempre conguentes segue que o quadrado é um
paralelogramo. Logo, V (c) = V .
d:
√
5−2 < 0, 24− 110
Solução: Como
√
5−2 =
√(
1
5
)2
= 15 = 0, 2 e 0, 24− 0, 1 = 0, 14
segue que V (d) = F .
x: Todo número diviśıvel por 5 termina por 5.
Solução: V (x) = F , pois sabemos que um número é diviśıvel por
5 quando termina em 5 ou 0.
z: O conjunto solução da equação |x + 5| = 6 em Z é um conjunto
unitário.
Solução: V (x) = F , verifique!!
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Formação de Enunciados Compostos
Vimos na aula anterior que os enunciados (proposições ou afirma-
ções) podem ser combinados entre si para formar outros enunciados
logicamente estruturados e mais complexos.
Na Lógica Matemática, a formação de enunciados mais complexos
a partir de outros enunciados se dá utilizando certas part́ıculas re-
servadas especificamente para este fim.
Definição
As part́ıculas
não, e, ou, se ... então, se e somente se,
são chamadas de conectivos lógicos.
Os conectivos lógicos são usados para formar proposições estrutu-
ralmente mais complexas.
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Definição
Um enunciado composto (ou proposição composta) é aquela
constitúıda de um ou mais enunciado simples e um ou mais
conectivo lógico.
São compostas as proposições:
A Terra é plana e 5 tem divisores diferentes de 1.
Se Maria Betânia é carioca, então ela é brasileira.
Carlos não é mecânico.√
5−2 > 0, 24− 110 ou o sol é uma estrela.
Lisboa é a capital de Portugal se e somente se tan π4 = 3.
Eu vou, eu vou e eu vou.
Se Carlos não é mecânico e a Terra é plana, então 2 > 5 ou o
sol é um estrela.
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Negação
Definição
A negação é uma proposição composta obtida quando aplicamos o
conectivo não a um enunciado.
A negação de“A Terra é plana” é a proposição
A Terra não é plana
A negação de “5 tem divisores próprios diferentes de 1” é a propo-
sição
5 não tem divisores próprios diferentes de 1.
Podemos usar outras palavras sinônimas do conectivo não como não
é verdade que, não se dá que, é falso que, etc. para escrever a
negação de um enunciado.
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Conjunção
Definição
A conjução é uma proposição composta obtida com a aplicação do
conectivo lógico e em um ou mais de um enunciado.
A conjunção de“Pitágoras é filósofo”com“ 5 > 3”é a proposição
Pitágoras é Filósofo e 5 > 3.
A conjunção dos enunciados “5 não é igual a 5”; “Maria Betânia é
carioca” com“5 tem divisores próprios diferentes de 1” é a proposi-
ção
5 não é igual a 5 e Maria Betânia é carioca e 5 tem divisores
próprios diferentes de 1.
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Disjunção
Definição
A disjunção é uma proposição composta obtida com a aplicação do
conectivo lógico ou em um ou mais de um enunciado.
A disjunção de “a reta toca a circunferência em um único ponto”
com“o triângulo é retângulo” é a propsição
a reta toca a circunferência em um único ponto ou o triângulo é
retângulo.
A disjunção de“o número múltiplo de 3” com“o triângulo tem dois
lados”com“Carlos é mecânico” é a proposição
o número é múltiplo de 3 ou o triângulo tem dois lados ou Carlos
é mecânico.
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Condicional
Definição
A condicional é a proposição composta formada a parti da aplicação
do conectivo se... então... a um ou mais enunciado.
A condicional do enunciado “Carlos é mecânico” pelo enunciado “o
triângulo tem dois lados ou o número 5 não é múltiplo de 3” é a
proposição
se o triângulo tem dois lados ou o número 5 não é múltiplo de 3
então Carlos é mecânico.
A condicional do enunciado“o triângulo é a metado de um quadrado
e a reta é uma curva” a partir do enunciado“Sócrates não é filósofo”
é a proposição
se Sócrates não é filósofo então: o triângulo é a metado de um
quadrado e a reta é uma curva.
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Bicondicional
Definição
A bicondicional é a proposição composta formada a partir da apli-
cação do conectivo ... se e somente se ... a um ou mais enunciado.
A bicondicional do enunciado“15 é primo” com“Tiradentes morreu
afogado ou a matriz A não é inverśıvel” é a proposição
15 é primo se e somente se Tiradentes morreu afogado ou a
matriz A não é inverśıvel.
A bicondicional do enunciado “f (x) = x é uma função cont́ınua e
11 não é primo” com“9 é múltiplo de 12 ou a Terra é plana, mas
Carlos é mecânico” é a proposição
f (x) = x é uma função cont́ınua e 11 não é primo se e somente
se 9 é múltiplo de 12 ou a Terra é plana, mas Carlos é mecânico.
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Observações
1. A ordem em que os enunciados ocorrem escritos na formação de
um outro enunciado pode ser relevante. Isto que dizer que, quando
trocamos a ordem das ocorrências dos enunciados usados na for-
mação de um enunciado, nem sempre obtemos um enunciado com
mesmo significado que o enunciado original.
Veja como exemplo, a condicional
se x é positivo então x2 é positivo
não tem o mesmo significado da condicional
se x2 é positivo então x é positivo.
Veja outro exemplo, a condicional
se 2 é ı́mpar então 1 é ı́mpar e 3 é par
não tem o mesmo significado da conjunção
se 2 é ı́mpar então 1 é ı́mpar, e 3 é par.
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Observações
2. O número de vezes em que um enunciado ocorre na formação
de outro enunciado pode ser relevante. Em geral, quando tentamos
simplificar a escrita de um enunciado, eliminando palavras repetidas,
nem sempre obtemos um enunciado com mesmo significado que o
enunciado original.
Veja como exemplo, a condicional
se Carla está assistindo a aula então Carla está assistindo a aula
não tem o mesmo significado que o enunciado
Carla está assintindo a aula.
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Exerćıcios
1. Classifique as proposições compostas e depois as reescrevas ex-
plicitando os conectivos lógicos não, e, ou, se ... então ..., ... se e
somente se ... .
a) (−2)2 é inteiro, par e positivo.
Solução: Conjunção.
(−2)2 é inteiro e (−2)2 é par e (−2)2 é positivo.
b) caso chova, nós ficaremos molhados.
Solução: Condicional.
se chover então nós ficaremos molhados
c) eu fui à praia mas não fiquei no sol
Solução:
Conjunção.
eu fui à praia e eu não fiquei no sol
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Exerćıcios
1. Classifique as proposições compostas e depois as reescrevas ex-
plicitando os conectivos lógicos não, e, ou, se ... então ..., ... se e
somente se ... .
a) (−2)2 é inteiro, par e positivo.
Solução: Conjunção.
(−2)2 é inteiro e (−2)2 é par e (−2)2 é positivo.
b) caso chova, nós ficaremos molhados.
Solução: Condicional.
se chover então nós ficaremos molhados
c) eu fui à praia mas não fiquei no sol
Solução: Conjunção.
eu fui à praia e eu nãofiquei no sol
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Exerćıcios
d) quando faz sol eu vou à praia.
Solução: Condicional.
se faz sol então eu vou à praia
e) Carlos ou Vera passará no concurso.
Solução: Disjunção.
Carlos passará no concurso ou Vera passará no concurso
f) nem Carlos nem Vera passará no concurso.
Solução: Conjunção.
Carlos não passará no concurso e Vera não passará no concurso
g) 3 é ı́mpar.
Solução: Negação.
3 não é par
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Exerćıcios
h) x2 ser par é uma condição necessária e suficiente para x ser par
Solução: Bicondicional.
x2 ser par se, e somente se, x ser par
i) eu gostar de novela, não acontece
Solução: Negação.
eu não gosto de novela
j) x é ı́mpar se não é par
Solução: Condicional.
se x não é par então x é ı́mpar
k) Carlos sai de casa sempre que Maria entra
Solução: Condicional.
se Maria entra em casa então Carlos sai de casa
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Enunciados componentes
Uma proposição pode ser escrita de várias maneiras diferentes.
Por exemplo, as proposições:
10, 15 e 4 são múltiplos de 2
10 é múltiplo de 2 e 15 é múltiplo de 2 e 4 é múltiplo de 2
expressam a mesma informação. Mas somente a segunda está escrita
de maneira estruturada, com uso dos conectivos lógicos.
Para iniciar qualquer tipo de análise lógica de uma proposição de-
vemos reescrevê-la de forma estruturada, com uso de conectivos.
Dessa forma, explicitaremos detalhadamente a maneira como a pro-
posição é formada, a partir de proposições mais simples, por meio
de conectivos.
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Enunciados componentes
Definição
Sejam p1, p2, ..., pn enunciados que não possuem ocorrências de co-
nectivos lógicos (enunciados simples). Dizemos que p1, p2, ..., pn são
os enunciados componentes de um enunciado P, quando P é obtido
a partir de p1, p2, ..., pn pela aplicação dos conectivos.
Vejamos alguns exemplos.
(a) P: Maria não gosta de estudar Lógica.
O enunciado componente de P é a proposição simples:
p: Maria gosta de estudar Lógica
(b) Q: está chovendo ou fazendo sol
Os enunciados componentes de Q são as proposições simples:
q1: está chovendo
q2: está fazendo sol
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Enunciados componentes
(c) R: se 5 não é primo, então 5 é igual a 1 ou a Terra não é plana.
Os enunciados componentes de R são as proposições simples:
r1: 5 é primo
r2: 5 é igual a 1
r3: a Terra é plana
(d) T: João e Ricardo são felizes por serem saudáveis e ricos
Os enunciados componentes de T são as proposições simples:
t1: João é feliz
t2: Ricardo é feliz
t3: João é saudável
t4: Ricardo é saudável
t5: João é rico
t6: Ricardo é rico
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Enunciados componentes
(e) S: Não é verdade que Carlos não trabalha.
O enunciado componente de S é a proposição simples:
s: Carlos trabalha
(f) F: se eu não vou então eu vou e vou.
Os enunciados componentes de F são as proposições simples:
f1: eu vou
Observação:
1. Os enunciados componentes que aparecem nas legendas são sim-
ples (não pode ter ocorrência de conectivo lógico).
2. Os enunciados componentes que aparecem nas legendas não
podem estar escritos de maneira parcial e nem abreviados.
3. Em algumas afirmações os sujeitos, verbos, predicados, etc. estão
ı́mplicitos nos enunciados mas devem ser escritas explicitamente nos
enunciados componentes da legenda.
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Exerćıcios
1. Para cada proposição abaixo, determine seus enunciados compo-
nentes e defina uma legenda para o enunciado.
P: eu trabalho mas eu não ganho dinheiro.
Solução. Os enunciados componentes de P são:
p1: eu trabalho
p2: eu ganho dinheiro
S: eu vou ao jogo se eu não lavar o carro
Solução. Os enunciados componentes de S são:
s1: eu vou lavo o carro
s2: eu vou ao jogo
R: 4 nunca foi um número primo
Solução. Os enunciados componentes de R são:
r1: 4 é um número primo
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