Matemática para Ensino Superior Combinatória II

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Combinatória 
 
Problemas extras 
 
1. Quantas são as placas de automóveis que podemos formar usando 3 letras e 4 algarismos? 
Como existem 26 letras em nosso alfabeto e 10 algarismos disponíveis temos 
 
 
2. Quantos são os anagramas da palavra CAPÍTULO: 
a) possíveis? 
Para determinar o total de anagramas basta calcularmos 8! = 40 320. 
b) começados e terminados por consoante? 
Para escolher a primeira consoante existem 4 possibilidades e para escolher a última consoante existem 3 
possibilidades (pois uma já foi utilizada na primeira posição). As demais letras podemos permutá-las entre si de 6! modos. 
Logo temos: 
 
c) que têm as vogais e as consoantes intercaladas? 
Vamos primeiramente determinar os anagramas começados com consoantes. Na primeira posição existem 4 
consoantes possíveis; em seguida existem 4 vogais possíveis; depois existem 3 possibilidades de consoantes seguida de 3 
possibilidades de vogais e assim sucessivamente. Desta forma temos: 
 
 Em seguida determinamos os anagramas iniciados por vogais. Analogamente temos: 
 
Logo temos 576 + 576 = 1152 anagramas com vogais e consoantes intercaladas. 
d) com as letras c, a e p juntas nessa ordem? 
Imagine que as letras c, a e p juntas nessa ordem formassem um único bloco. Restariam 5 letras que juntas ao bloco 
poderiam ser permutadas, ou seja, 5 + 1 = 6. Logo o modo de termos tais anagramas é 6! = 720. 
e) com as letras c, a e p juntas em qualquer ordem? 
Neste caso basta permutarmos as letras c, a e p do item anterior entre si. Existem 3! maneiras disto ocorrer. Logo 
temos: 
 
f) com C em primeiro lugar e A em segundo lugar? 
Existe apenas uma letra C para ser colocada no primeiro lugar e uma letra A para ser colocada no segundo lugar. As 
demais letras podem ser permutadas de 6! maneiras. Ou seja: 
 
g) com C em primeiro lugar ou A em segundo lugar? 
Devo contar todos os anagramas que começam por C e em seguida contar todos anagramas que possuem A na 
segunda posição. Porém devemos tomar cuidado de descontar aqueles que se iniciam com C e são seguidos de A. 
Os anagramas que iniciam-se com C possuem a primeira letra fixada e as demais podem ser permutadas de 7! 
maneiras. Os anagramas que possuem A na segunda posição possuem as demais letras permutadas entre si de 7! maneiras. 
Logo temos: 
 
h) começando com C em primeiro lugar ou A em segundo lugar ou P em terceiro lugar? 
Fixando a primeira letra (pode ser C, A ou P) devemos permutar as restantes entre si, ou seja, existem 7! modos de 
começar com uma determinada letra o anagrama. Como desejamos que o anagrama comece com C ou A ou P, temos . 
Em seguida devemos verificar quais são os anagramas que começam com C seguido de A, dos anagramas 
começados com C e com P em terceiro lugar e os anagramas que possuem A em segundo lugar e são seguidos por P em 
terceiro. Fixando tais letras em seus respectivos lugares devemos permutar entre si as 6 letras restantes, fato que ocorre de 6! 
maneiras. Logo temos modos de ocorrer nossa segunda prerrogativa. 
Finalmente determinamos quantos anagramas iniciam-se por C seguidos de A e P em terceiro lugar. Restarão 5 letras 
para serem permutadas entre si, o que nos dá 5! maneiras disto ocorrer. 
Para determinar o número de anagramas que satisfazem nossa solicitação podemos utilizar a notação de conjuntos. 
Para isso temos: 
 
i) nas quais a letras a é uma das letras à esquerda de p e a letra c é uma das letras à direita de p? 
Existem 3! = 6 modos de permutarmos as letras a, p e c entre si. Logo existe 1/6 de anagramas em que ocorre da 
letra a ser uma das letras à esquerda de p e a letra c ser uma das letras à direita de p. Desta forma temos: 
 
 
3. Um baralho de pôquer possui as seguintes cartas { 7, 8, 9, 10, VALETE, DAMA, REI, ÀS } com 4 naipes (ouros, paus, 
copas e espadas). Ao iniciar o jogo cada jogador recebem uma mão com 5 cartas. 
a) quantas são as possíveis mãos que um jogador pode receber? 
O baralho de pôquer possui 32 cartas (8 tipos com 4 naipes). Para formar uma mão precisamos escolher 5 dessas 
cartas disponíveis. Logo o número de mãos disponíveis é dado por: 
 
 
b) em quantas destas possíveis mãos o jogador receber um par (2 cartas de um grupo e as outras 3 de grupos diferentes)? 
Para receber um par o jogador pode receber, por exemplo, duas cartas 7 e as outras três devem ser diferentes entre 
si (para não formar mais um par) e não deve ser 7 (pois assim formaria uma trinca de 7). 
A primeira decisão que deve ser tomada é escolher que tipo de par teremos. Para isto existem 8 possibilidades (pode 
ser de 7, 8, 9, 10, V, D, R ou A). 
Escolhido o tipo de par a próxima é definir de qual naipe será este par. Sabemos que existem 4 naipes no baralho 
(ouros, paus, copas e espadas). Então para formar o par devemos escolher 2 naipes dentre os 4 cartas disponíveis, ou seja, 
. Por exemplo, se desejo formar um par de 7 sei que existem 4 cartas 7 no baralho (7 de ouros, 7 de paus, 7 de copas e 7 
de espadas). Dentre estas 4 devo escolher 2 para formar o par desejado, por exemplo, 7 de ouros e 7 de copas. 
Em seguida escolheremos as demais cartas. Neste momento devemos tomar cuidado para não selecionarmos cartas 
que sejam idênticas entre si, nem iguais aquelas usadas no par. Existem 7 possibilidades para escolher o tipo de cartas (não 
deve ser igual a do par). Nessa escolha não podemos escolher cartas iguais entre si (elas devem ser diferentes para não 
formar mais um par). Logo devo escolher 3 cartas diferentes entre si dentre as 7 possibilidades existentes, ou seja, . 
Finalmente devemos escolher o naipe das demais cartas. Como cada carta possui 4 naipes, temos 
possibilidades para a escolha dos naipes das demais cartas. 
Efetuando os cálculos temos: 
8 
tipo de par escolha dos naipes do par 
escolha dos tipos 
 das outras três cartas 
 
escolha dos naipes 
 das outras três cartas 
 
 
 
c) em quantas destas possíveis mãos o jogador receber dois pares (2 cartas de um grupo, 2 cartas de outros grupo e 1 carta 
em um terceiro grupo)? 
Um erro muito comum neste tipo de exercício é formar os pares separadamente. Isto cria uma artificialidade 
inexistente ao exercício que é a de formar o primeiro par e, depois dele estar formado, escolher o segundo par. 
Primeiramente devemos dentre os 8 possíveis pares os 2 que serão formados. Isto pode ocorrer de . 
Em seguida devemos escolher os naipes do primeiro par. Existem modos para isto ocorrer. 
Agora devemos escolher os naipes do segundo par. Para isto existem possibilidades. 
Neste momento devemos escolher qual será a quinta carta. Devemos lembrar que ela não deve coincidir com o tipo 
do primeiro par, nem com o tipo do segundo par. Portanto existem 6 possibilidades para esta escolha. 
Para finalizar devemos escolher o naipe da quinta carta, onde há 4 possibilidades. 
Efetuando os cálculos temos: 
 4 
escolha dos 
dois pares 
 
escolha dos naipes 
 do primeiro par 
 
escolha dos naipes 
do segundo par 
 
escolha da 
 quinta carta 
 escolha do naipe 
da quinta carta 
 
 
 
d) uma trinca (três cartas de um grupo e as outras duas em dois outros grupos diferentes)? 
Primeiramente vamos escolher que tipo de trinca ocorrerá. Isto pode ocorrer de 8 maneiras diferentes. 
Escolhido o tipo de trinca devemos escolher os naipes que a formarão. Como existem 4 naipes disponíveis e temos 
que escolher três deles isto ocorrer em modos. 
Neste momento devemos escolher quais serão as demais cartas que não devem do mesmo grupo da trinca. Existem 
outros 7 grupos disponíveis dos quais devemos escolher 2 deles, isto é, maneiras. 
Escolhidas as demais cartas temos que determinar os naipes de cada uma delas, o que ocorre em 
maneiras diferentes. 
Logo temos: 
 
escolha do 
 tipo de trinca 
 
escolha dos 
naipes da trinca 
 escolha das demais cartas 
escolha dos naipes 
das demais cartas 
 
 
 
e) um “four” (quatro cartas em um grupo e uma em outrogrupo)? 
Num primeiro momento iremos escolher o tipo que será o four. Para isto existem 8 maneiras diferentes. 
Em seguida escolhemos os naipes que o four terá. Para isto existe apenas 1 possibilidade de naipe pois dos 4 naipes 
disponíveis devemos escolher 4 naipes para o four. 
Neste momento devemos escolher o tipo da quinta carta. Existem apenas 7 possibilidades para que isto ocorra pois a 
carta não deverá ser do mesmo tipo do four. 
Finalmente determinamos os naipes da última carta (4 naipes disponíveis). 
Realizando os cálculos temos: 
 
escolha do 
 tipo de four 
 
escolha do 
naipe do four 
 
escolha da 
quinta carta 
 
escolha do naipe 
 da quinta carta 
 
 
 
f) um “full hand” (três cartas de um grupo e duas em outro grupo)? 
Primeiramente vamos escolher o tipo do 1º grupo a ser formado (seja ele trinca ou par). Para isto existem 8 
possibilidades. Escolhido o tipo de par vamos escolher os naipes de suas cartas. Isto ocorre de 4 maneiras. 
Em seguida escolheremos o tipo do 2º grupo. Neste caso existem apenas 7 possibilidades pois as cartas deste grupo 
não devem ser do mesmo tipo que as cartas do 1º grupo. Para escolhermos os naipes das cartas do 2º grupo temos 
possibilidades. 
Fazendo os cálculos temos: 
 
escolha do 
 tipo do 1º 
grupo 
 
escolha dos 
naipes do 1º 
grupo 
 
escolha do 
tipo do 2º 
grupo 
 
escolha dos 
naipes do 2º 
grupo 
 
 
 
g) uma sequência (5 cartas de grupos consecutivos, não sendo todas do mesmo naipe)? 
Vejamos quais sequências são possíveis usando grupos consecutivos. 
{7, 8, 9, 10, V}; {8, 9, 10, V, D}; {9, 10, V, D, R}; {10, V, D, R, A} 
 Desta forma temos 4 possíveis sequências feitas de grupos consecutivos. 
 Neste momento devemos escolher os naipes das cartas da sequência. Para isto temos 
possibilidades de escolha. 
Porém devemos lembrar que as cartas não devem ser do mesmo naipe, ou seja, sequências do tipo 
{ouro, ouro, ouro, ouro, ouro}; {copas, copas, copas, copas, copas}; 
{espadas, espadas, espadas, espadas, espadas} e {paus, paus, paus, paus, paus} 
não devem pertencer à escolha dos naipes. 
Logo temos: 
 
 
h) um “flush” (5 cartas do mesmo naipe, não sendo elas de 5 grupos consecutivos)? 
Sabemos que existem 4 possibilidades das cartas serem do mesmo naipe. 
Também sabemos que dos 8 grupos existentes temos que escolher 5 para compor o flush o que nos daria 
possibilidades de escolha dos grupos. Porém de todos estes grupos 4 são feitos com grupos consecutivos. Logo existem 
 possibilidades para a escolha desejada. 
Calculando temos: 
 
escolha do naipe do flush escolha do tipo de flush 
 
 
 
i) um “straight flush” (5 cartas de grupos consecutivos, todas do mesmo naipe)? 
Vimos nos itens anteriores que existem 4 possibilidades de termos uma sequência formada por grupos consecutivos. 
Também sabemos para que todas as cartas sejam do mesmo naipe existem 4 possibilidades. 
Logo existem sequências formadas conforme solicitado. 
 
j) um “royal straight flush” (10, valete, dama, rei e às de mesmo naipe)? 
A sequência da forma que é solicitada existe de apenas uma maneira. 
Como existem 4 naipes disponíveis temos: 
 
 
4. Uma equipe esportiva composta por 6 jogadoras está disputando uma partida de 2 tempos. No intervalo do primeiro para o 
segundo tempo podem ser feitas até 3 substituições e, para isto, o técnico dispõe de 4 jogadoras no banco. Quantas 
formações distintas podem iniciar o segundo tempo? 
O técnico pode começar o segundo tempo com: 
 nenhuma substituição; 
 uma substituição; 
 duas substituições; 
 três substituições. 
Chamemos as jogadoras em campo pelas iniciais de seus nomes A, B, C, D, E e F e as jogadoras substitutas de G, 
H, I e J. 
Na primeira situação não houve substituições. Logo a formação que estava em campo continuará jogando, o que 
perfaz em 1 formação (aquela que já estava jogando). 
Na segunda situação o técnico deverá fazer 1 substituição. Para isto ele dispõe de 4 jogadoras substitutas das quais 
ele deve escolher 1 jogadora para entrar em campo, ou seja, maneiras. Daquelas que estavam jogando o técnico 
deverá decidir quem continuará no jogo. Para isto ele dispõe de 6 jogadoras em campo das quais ele deverá escolher 5 para 
continuar jogando, ou seja, maneiras. Usando o princípio multiplicativo temos formações fazendo apenas 
1 substituição. 
Na terceira situação o técnico deverá fazer 2 substituições. Para isto ele dispõe de 4 jogadoras substitutas das quais 
ele deve escolher 2 jogadoras para entrar em campo, ou seja, maneiras. Daquelas que estavam jogando o técnico 
deverá decidir quem continuará no jogo. Para isto ele dispõe de 6 jogadoras em campo das quais ele deverá escolher 4 para 
continuar jogando, ou seja, maneiras. Usando o princípio multiplicativo temos formações fazendo 2 
substituições. 
Na última situação o técnico deverá fazer 3 substituições. Para isto ele dispõe de 4 jogadoras substitutas das quais 
ele deve escolher 3 jogadoras para entrar em campo, ou seja, maneiras. Daquelas que estavam jogando o técnico 
deverá decidir quem continuará no jogo. Para isto ele dispõe de 6 jogadoras em campo das quais ele deverá escolher 3 para 
continuar jogando, ou seja, maneiras. Usando o princípio multiplicativo temos formações fazendo 3 
substituições. 
Adicionando os valores obtidos temos: