Slides de Aula Unidade II estatística unip

Prévia do material em texto

Profa. Maria Laura
UNIDADE II
Estatística
 Teoria elementar das probabilidades.
 Definição de probabilidade como frequência relativa.
Objetivo
 Experimento aleatório: são aqueles que, apesar de serem repetidos exatamente da mesma 
maneira, não apresentam resultados obrigatoriamente iguais. 
Exemplo: Jogar um giz na parede.
 Espaço amostral ou conjunto universo (S): é o conjunto de todos os resultados possíveis de um 
experimento. Exemplo: Lançar uma moeda: S = {ca, co}; lançar um dado: S = {1,2,3,4,5,6}.
 Evento: é um subconjunto qualquer formado por um ou mais elementos do espaço amostral, 
e é definido sempre por uma sentença. 
Exemplo: “Obter um nº ímpar na face superior do lançamento de 
um dado”, ou seja: A = {1, 3, 5}.
Probabilidades
 Abordagem clássica: Em que: P(A) é a probabilidade de ocorrer o evento A.
n(A) é o número de elementos favoráveis ao evento A.
n(S) é o número total de elementos do espaço amostral.
Exemplo 1: Qual é a probabilidade de se “obter um número 4 na face superior” ao se jogar
um dado honesto? 
Probabilidades
Exemplo 2: Qual é a probabilidade de, ao se jogar um dado 
honesto, se obter um número primo? 
Exemplo 1: Uma moeda honesta é jogada uma única vez, qual é a probabilidade de que o 
resultado seja Cara?
Probabilidades – Eventos sucessivos – Árvore de decisões
Fonte: Autoriaprópria.
Árvore de decisões
Lançamento de 
uma moeda
Cara
Coroa
Exemplo 2: Duas moedas honestas são jogadas simultaneamente, qual é a probabilidade de 
que pelo menos uma seja Cara?
Probabilidades – Eventos sucessivos – Árvore de decisões
Exemplo 2: Duas moedas honestas são jogadas simultaneamente, qual é a probabilidade de 
que pelo menos uma seja Cara?
Probabilidades – Eventos sucessivos – Árvore de decisões
Fonte: Autoriaprópria.
1ª 
moeda 
jogada
2ª 
moeda 
jogada
Caminho 1
Caminho 2
Caminho 3
Caminho 4
Lançamento de 
duas moedas
Cara
Cara
Coroa
Coroa
Cara
Coroa
Exemplo 3: Jogou-se uma moeda honesta três vezes sucessivamente. Qual a probabilidade 
de obtermos pelo menos duas caras?
Probabilidades – Eventos sucessivos – Árvore de decisões
Fonte: Autoriaprópria.
1º 
lançamento
Caminho 4
Caminho 6
Caminho 7
Caminho 8
2º
lançamento
3º
lançamento
Lançamento de 
uma moeda
Cara
Cara
Cara
Coroa
Coroa
Cara
Coroa
Coroa
Cara
Cara
Coroa
Coroa
Cara
Coroa
Caminho 1
Caminho 2
Caminho 3
Caminho 5
Jogamos dois dados honestos simultaneamente. Eu ganho se a soma das faces sorteadas 
dos dados resultar 7. Qual a probabilidade de eu ganhar?
a) 25,0%.
b) 50,0%.
c) 16,7%.
d) 28,0%.
e) 62,5%.
Interatividade
Jogamos dois dados honestos simultaneamente. Eu ganho se a soma das faces sorteadas 
dos dados resultar 7. Qual a probabilidade de eu ganhar?
a) 25,0%.
b) 50,0%.
c) 16,7%.
d) 28,0%.
e) 62,5%.
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
36 
possibilidades
Resposta
Fonte: Autoriaprópria.
Qtd. de 
jogadas
Número
de Caras
obtidas
Número 
de Coroas 
obtidas
Probabilidade 
de sair Cara
Probabilidade 
de sair Coroa
1 0 1 0% 100%
10 4 6 40% 60%
100 59 41 59% 41%
1.000 585 415 58,5% 41,5%
Fonte: Autoriaprópria.
 Abordagem como 
frequência relativa:
Exemplo: Jogamos uma moeda mil vezes, e em 585 dessas vezes saiu Cara. 
Qual é a probabilidade de sair Cara?
Onde: P(A) é a probabilidade de ocorrer o evento A.
fr(A) é a frequência que o evento ocorreu.
fr(S) é a frequência total. 
Probabilidades
 Evento soma: representa: Alternativa >> Palavra-chave: OU
Exemplo 1: Lançamos um dado. Qual a probabilidade de se tirar o nº 3 OU o nº 5?
Cálculos de probabilidades
Exemplo 2: Em uma caixa existem dez bolinhas idênticas, numeradas de 1 a 10. Qual a 
probabilidade de, ao se retirar uma bolinha, ela seja múltiplo de 2 OU de 5?
Cálculos de probabilidades
 Evento produto: representa Obrigação >> Palavra-chave: E
 Exemplo: Determine a probabilidade de sair o nº 5 em dois lançamentos sucessivos de 
um dado.
Cálculos de probabilidades
Fonte: Autoriaprópria.
 Exemplo: Dois caçadores, Pedro e João, atiram contra uma caça simultaneamente. Sabemos 
que Pedro tem uma probabilidade de acertar esse tipo de caça de 40%, enquanto João 
acerta em 55% das vezes. 
Calcular a probabilidade de:
a) A caça ser atingida.
b) Ambos atingirem simultaneamente a caça.
Cálculos de probabilidades
Pedro atira
Acerta o tiro João atira
Acerta o tiro
Erra o tiro
Erra o tiro João atira
Acerta o tiro
Erra o tiro
Cálculos de probabilidades
0,40
0,60
0,45
0,45
0,55
0,55 0,40 x 0,55 = 0,22 ou 22%
0,40 x 0,45 = 0,18 ou 18%
0,60 x 0,55 = 0,33 ou 33%
0,60 x 0,45 = 0,27 ou 27%
Fonte: Livro-texto.
Exemplo:
a) A caça ser atingida.
P (caça ser atingida) = P (Pedro e João acertarem) + P (Pedro 
acertar e João errar) + P (Pedro errar e João acertar) = 0,22 + 0,18 
+ 0,33 = 0,73 ou 73%
b) Ambos atingirem simultaneamente a caça
P (ambos atingirem a caça) = P (Pedro acertar) × P (João acertar) 
= 0,40 x 0,55 = 0,22 ou 22%
Dois alpinistas estão escalando uma mesma montanha, mas por trilhas diferentes. O alpinista A 
tem 62% de probabilidade de chegar ao cume, já o alpinista B, que está na trilha mais difícil, tem 
só 35% de chances de alcançar o cume. Qual a probabilidade de um, e apenas um, alcançar o 
cume?
a) 25%.
b) 53%.
c) 47%.
d) 28%.
e) 42%.
Interatividade
Dois alpinistas estão escalando uma mesma montanha, mas por trilhas diferentes. O alpinista A 
tem 62% de probabilidade de chegar ao cume, já o alpinista B, que está na trilha mais difícil, tem 
só 35% de chances de alcançar o cume. Qual a probabilidade de um, e apenas um, alcançar o 
cume?
a) 25%.
b) 53%.
c) 47%.
d) 28%.
e) 42%.
Resposta
Alpinista A
Atinge o 
cume
Alpinista B
Atinge o 
cume
Não atinge o 
cume
Não atinge o 
cume
Alpinista B
Atinge o 
cume
Não atinge o 
cume
0,62
0,38
0,65
0,65
0,35 0,62 x 0,35 = 0,22 ou 22%
0,62 x 0,65 = 0,40 ou 40%
0,38 x 0,35 = 0,13 ou 13%
0,38 x 0,65 = 0,25 ou 25%
Fonte: Autoria própria
P (um e apenas um alcançar o cume) = P (A atinge e B não atinge) 
+ P (A não atinge e B atinge) = 0,40 + 0,13 = 0,53 ou 53%.
0,35
Eventos dependentes (evento vinculados ou condicionados): é a probabilidade de um evento 
ocorrer, dado que outro evento já tenha ocorrido.
Exemplo 1: Uma urna contém duas bolas brancas e uma vermelha. Retiram-se duas bolas da 
urna ao acaso, uma em seguida da outra e sem que a primeira tenha sido recolocada. Qual é a 
probabilidade das duas serem brancas? 
Cálculos de probabilidades
Exemplo 2. Retiram-se com reposição duas peças de um lote de 10 peças, em que 4 são sem 
defeito. Qual a probabilidade de que ambas sejam defeituosas?
Cálculos de probabilidades
Exemplo 3. Uma rifa composta por 15 números irá definir o ganhador de dois prêmios 
sorteados um de cada vez. Se você adquiriu três números, qual é a probabilidade de ganhar 
os dois prêmios?
Cálculos de probabilidades
P (ganhar o 1º prêmio) → P(A) =
3
15
P (ganhar o 2º prêmio) → P(B) =
2
14
P A × P B =
3
15
×
2
14
=
6
210
= 0,0286 ou 2,86%
n(S) = 15 números
Exemplo 4: Temos uma caixa com bolinhas idênticas que diferem apenas na cor. Vinte das 
bolinhas são amarelas e 15 são verdes. Nessas condições, pede-se:
a) A probabilidade de se obter a combinação verde-amarelo retirando-se uma bolinha, 
anotando-se a cor, repondo a bolinha na caixa e, então, retirando-se uma segunda bolinha.
Cálculos de probabilidades
Exemplo 4: Temos uma caixa com bolinhas idênticas que diferem apenas na cor. Vinte das 
bolinhas são amarelas e 15 são verdes. Nessas condições, pede-se:
b) A probabilidade de se obter a combinação verde-amarelo, retirando-se uma bolinha, 
colocando ela de lado e, então, retirando-se uma segunda bolinha.
Cálculos de probabilidadesExemplo 5: No almoxarifado de uma empresa estão armazenadas, misturadas e não 
identificadas peças de determinado tipo, advindas de dois fornecedores diferentes. Sabemos 
que 650 delas são do fornecedor A e 460 do fornecedor B. Sabemos também que 12% das 
peças do fornecedor A são defeituosas, enquanto que apenas 5% das do fornecedor B 
apresentam defeitos. Pegou-se uma peça ao acaso e verificou-se que ela era defeituosa. 
Qual a probabilidade de que essa peça seja do fornecedor B?
Cálculos de probabilidades
Exemplo 5: Pegou-se uma peça ao acaso e verificou-se que ela era defeituosa. 
Qual a probabilidade de que ela seja do fornecedor B?
Cálculos de probabilidades
Peças
1110
Fornecedor A 
650
Sem defeito
Com defeito
Fornecedor B
460
Sem defeito
Com defeito
0,5856
0,4144
0,12
0,88
0,95
0,05 0,4144 x 0,05 = 0,0207
0,5856 x 0,12 = 0,0703
Fonte: Autoria própria
Em uma empresa há 10 homens e 25 mulheres. Entre os homens, 5 são formados em Direito 
e, entre as mulheres, 7 são formadas em Direito também. Os demais são formados em 
Administração. Ao se sortear uma pessoa desse grupo, qual é a probabilidade de ser um 
homem formado em Administração?
a) 20%.
b) 18%.
c) 14%.
d) 22%.
e) 32%.
Interatividade
Em uma empresa há 10 homens e 25 mulheres. Entre os homens, 5 são formados em Direito 
e, entre as mulheres, 7 são formadas em Direito também. Os demais são formados em 
Administração. Ao se sortear uma pessoa desse grupo, qual é a probabilidade de ser um 
homem formado em Administração?
a) 20%.
b) 18%.
c) 14%.
d) 22%.
e) 32%.
Resposta
Homens
10
Administração
5 Mulheres 
25
Administração 
18
Direito
5
Direito 7
Fonte: Autoria própria
Em que:
n = número de elementos do espaço amostral.
x = número de elementos de cada agrupamento.
Fatorial: a! = 1 x 2 x 3 x ... a 
Por definição: 0! = 1 1! = 1
Exemplo: 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120
 Pergunta-se: Quantos diferentes jogos de seis dezenas podemos fazer na Mega-Sena?
O que é número de combinações?
 Análise combinatória determina o número de combinações, sem levar em conta a ordem 
de sua disposição: “ab” = “ba”. 
Análise combinatória
Pergunta: Quantos jogos diferentes de seis dezenas podemos fazer na Mega-Sena?
São 60 números (n = 60) e queremos fazer jogos com seis números (x = 6), logo:
Qual a probabilidade de se ganhar na Mega-Sena com um único jogo de seis dezenas?
Análise combinatória
Fonte: https://escolaeducacao.com.br/como-surgiu-o-dinheiro/
Fonte Homens Mulheres Total
Mestres 35 48 83
Doutores 15 18 33
Total 50 66 116
Fonte: Autoriaprópria.
O quadro apresentado mostra como os docentes de determinada instituição de ensino se 
distribuem de acordo com o gênero e a titulação acadêmica. Digamos que sorteemos um 
docente aleatoriamente, qual a probabilidade de:
a) Ser um doutor.
b) Ser uma mulher.
c) Ser mestre e mulher.
d) Ser doutor ou homem.
Aplicações
Fonte Homens Mulheres Total
Mestres 35 48 83
Doutores 15 18 33
Total 50 66 116
Fonte: Autoriaprópria.
O quadro apresentado mostra como os docentes de determinada instituição de ensino se 
distribuem de acordo com o gênero e a titulação acadêmica. Digamos que sorteemos um 
docente aleatoriamente, qual a probabilidade de:
a) Ser um doutor.
b) Ser uma mulher.
Aplicações
Fonte: Autoriaprópria.
O quadro apresentado mostra como os docentes de determinada instituição de ensino se 
distribuem de acordo com o gênero e a titulação acadêmica. Digamos que sorteemos um 
docente aleatoriamente, qual a probabilidade de:
c) Ser mestre e mulher.
d) Ser doutor ou homem.
Aplicações
Fonte Homens Mulheres Total
Mestres 35 48 83
Doutores 15 18 33
Total 50 66 116
Fonte
Porcentagem
de utilização
na cervejaria
Índice de 
contaminação
A 20% 20%
B 30% 5%
C 50% 2%
Fonte: Autoriaprópria.
 Uma fábrica de cerveja se abastece de água de três diferentes fontes, em quantidades de 
acordo com a tabela abaixo. A tabela mostra também o índice de contaminação da água 
de cada uma das fontes, levantado pelo controle de qualidade da cervejaria. A água é 
armazenada em tanques sem identificação da fonte. Foi testada água de um dos tanques 
para verificar possível contaminação.
Qual a probabilidade de que a água esteja contaminada?
Sabendo que a água está contaminada, qual a probabilidade dela ter vindo da fonte A?
Aplicações
a) Qual a probabilidade de que a água esteja contaminada?
b) Sabendo que a água está contaminada, qual
a probabilidade dela ter vindo da fonte A?
Aplicações
Fábrica de cerveja
(Abastecimento
da água) 
Fonte A
Não contaminada
Contaminada
Fonte B
Não contaminada
Contaminada
Fonte C
Não contaminada
Contaminada
0,20 0,20
0,02
0,30 x 0,05 = 0,015
0,20 x 0,20 = 0,04
0,30
0,50
0,05
0,50 x 0,02 = 0,01
Fonte: Autoriaprópria.
0,80
0,98
0,95
O quadro mostra os resultados da avaliação final de uma amostra de alunos em uma 
universidade. Considerando que essa amostra é representativa da universidade como um 
todo, qual é a probabilidade de que um aluno escolhido aleatoriamente seja aprovado?
a) 65,4%.
b) 70,0%.
c) 80,5%.
d) 47,5%.
e) 75,5%.
Interatividade
Resultado Número de alunos amostrados
Aprovados antes do exame 46
Aprovados no exame 62
Reprovados no exame 35
Fonte: Autoriaprópria.
O quadro mostra os resultados da avaliação final de uma amostra de alunos em uma 
universidade. Considerando que essa amostra é representativa da universidade como um 
todo, qual é a probabilidade de que um aluno escolhido aleatoriamente seja aprovado?
a) 65,4%.
b) 70,0%.
c) 80,5%.
d) 47,5%.
e) 75,5%.
Resposta
Resultado Número de alunos amostrados
Aprovados antes do exame 46
Aprovados no exame 62
Reprovados no exame 35
Total 143
Fonte: Autoriaprópria.
ATÉ A PRÓXIMA!