Fundamentos da álgebra - Estácio

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1a
          Questão
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	
		
	 
	4
	
	5
	
	10
	
	25
	
	8
	Respondido em 06/10/2023 08:50:20
	
	Explicação:
52 = 5.3 = 25 = 4
	
		2a
          Questão
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	Seja S={1,2,3,⋯,n} um conjunto não vazio e denotamos por Sn o conjunto de todas as funções bijetoras, onde Sn  = {f:S→S; f bijetiva}. Considerando uma operação "o" chamada de composição de funções dizemos que (Sn,o) é um grupo chamado de grupo das permutações dos n elementos do conjunto S. Dado o triângulo equilátero abaixo de vértices 1, 2 e 3, determine o simétrico de R2π3�2π3 através de uma rotação no sentido anti-horário em torno do centro O. 
		
	
	R−12π3=(123231)�2π3−1=(123231)
	
	R−12π3=(123132)�2π3−1=(123132)
	 
	R−12π3=(123312)�2π3−1=(123312)
	
	R−12π3=(123213)�2π3−1=(123213)
	
	R−12π3=(123123)�2π3−1=(123123)
	Respondido em 06/10/2023 08:50:18
	
	Explicação:
Dado o triângulo equilátero, devemos realizar uma rotação de 120º no sentido anti-horário, conforme o enunciado. 
R2π3=(123231)�2π3=(123231)
Cálculo de R−12π3�−12π3:
	
		3a
          Questão
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	Em 1914, o alemão A. Franenkel, a partir dos seus estudos, apresentou a definição formal de anel. Onde este é uma estrutura algébrica, ou seja, um conjunto não vazio, onde estão definidas duas composições internas, a adição e a multiplicação. No estudo de grupos há uma estrutura menor, que preserva as propriedades do grupo, chamada de subgrupo. De forma análoga, também se tem o subanel. Considerando o anel Z11 determine o conjunto solução da equação x3 - x = 0.
		
	
	S = {1,-1}
	
	S = {0,10}
	
	S = {0,-1}
	
	S = {0,10,-1}
	 
	S = {0,1,10}
	Respondido em 06/10/2023 08:50:16
	
	Explicação:
Seja x3 - x = 0 ⇒ x(x2 -1) = 0 ⇒ =x(x - 1) (x + 1) = 0. Como Z11 é um anel de integridade, temos: x = 0 ou x - 1 = 0 ⇒ x = 1 ou x + 1 = 0 ⇒ x = -1 = 10. Logo, o conjunto solução é S = {0,1,10}.
	
		4a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 0,2
	
	
		
	
	a−1=−pp2−2q2√2�−1=−��2−2�22
	
	a−1=2p−q√2�−1=2�−�2
	 
	a−1=pp2+2q2+−qp2−2q2√2�−1=��2+2�2+−��2−2�22
	 
	a−1=pp2−2q2+−qp2−2q2√2�−1=��2−2�2+−��2−2�22
	
	a−1=pp2−2q2+−qp2−2q2�−1=��2−2�2+−��2−2�2
	Respondido em 06/10/2023 08:50:14
	
	Explicação:
	
		5a
          Questão
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	Em Matemática a teoria dos grupos é o ramo que estuda as estruturas algébricas chamadas de grupos. O conceito de grupo formaliza a ideia de simetria, que pode ser entendida através de invariantes por grupos de transformações. Tendo isto em mente, seja  b um elemento do grupo H com a operação * e elemento neutro e. Determine a solução da equação b * x * b-1= b.
		
	
	x = 0
	
	x = e
	
	x = 1
	
	x = -b
	 
	x = b
	Respondido em 06/10/2023 08:50:12
	
	Explicação:
	
		6a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 0,2
	
	Seja H um subgrupo do grupo G. O conjunto aH diz-se a classe lateral esquerda de H em G contendo a. O conjunto Ha diz-se a classe lateral direita de H em G contendo a. O elemento a diz-se um representante da classe lateral aH (ou Ha). Dada a tábua de operação do grupo quociente (G/H,+), onde H = {0,4,8} um subgrupo de G=(Z12,+), determine o inverso de 1 + H.
		
	
	1 + H
	 
	2 + H
	
	H
	
	4 + H
	 
	3 + H
	Respondido em 06/10/2023 08:50:10
	
	Explicação:
De acordo com a tábua de operação o elemento neutro do grupo quociente G/H é H.
Como (1 + H) + (3 + H) = H temos que o inverso aditivo de 1 + H é 3 + H.
	
		7a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 0,2
	
	Em 1914, o alemão A. Franenkel, a partir dos seus estudos, apresentou a definição formal de anel. Onde este é uma estrutura algébrica, ou seja, um conjunto não vazio, onde estão definidas duas composições internas, a adição e a multiplicação. No estudo de grupos há uma estrutura menor, que preserva as propriedades do grupo, chamada de subgrupo. De forma análoga, também se tem o subanel. Neste contexto, seja f:Z→Z3�:�→�3 definida por f(x)=¯¯¯x�(�)=�¯. Determine a imagem da função f�. 
		
	 
	Im(f)=Z3��(�)=�3
	 
	Im(f)=1,2��(�)=1,2
	
	Im(f)=Z��(�)=�
	
	Im(f)=0,1��(�)=0,1
	
	Im(f)=0��(�)=0
	Respondido em 06/10/2023 08:50:08
	
	Explicação:
Seja ¯¯¯x∈Z3=0,1,2�¯∈�3=0,1,2, então ¯¯¯x=f(x)�¯=�(�). Portanto, para 0=f(0),1=f(1)0=�(0),1=�(1) e 2=f(2)2=�(2). Ou seja, a imagem Im(f)=Z3��(�)=�3.
 
	
		8a
          Questão
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	
		
	
	{(0,0), (0,1), (1,1)}
	
	{(0,0), (1,1)}
	 
	{(0,0), (0,1)}
	
	{(0,0)}
	
	{(0,1)}
	Respondido em 06/10/2023 08:50:05
	
	Explicação:
	
		9a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 0,2
	
	
		
	 
	f3
	
	f2
	 
	f6
	
	f4
	
	f1
	Respondido em 06/10/2023 08:50:01
	
	Explicação:
	
		10a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 0,2
	
	Seja H um subgrupo do grupo G. O conjunto aH diz-se a classe lateral esquerda de H em G contendo a. O conjunto Ha diz-se a classe lateral direita de H em G contendo a. O elemento a diz-se um representante da classe lateral aH (ou Ha). Sejam G=(Z12,+) e H = {0,4,8} um subgrupo de G. A tábua do grupo quociente (G/H,+) está logo abaixo, mas falta uma operação. Marque a alternativa que indica o resultado dessa operação.
		
	
	1 + H
	
	H
	 
	9 + H
	 
	2 + H
	
	3 + H
	Respondido em 06/10/2023 08:49:59
	
	Explicação:
De acordo com o enunciado (G/H,+) é um grupo quociente, então todas as propriedades de grupos são válidas. Na tábua de operação os elementos do grupo configuram apenas uma vez na linha e coluna da tabela. Portanto, o único elemento que falta é a classe lateral 2 + H.
	
		1a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 0,2
	
	
		
	
	[f] = {a, b, c, d, f, g}
	
	[f] = {b, d, g}
	
	[f] = {a, b, d}
	 
	[f] = {a, c, f}
	 
	[f] = {b, d, f, g}
	Respondido em 06/10/2023 09:10:33
	
	Explicação:
	
		2a
          Questão
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	Homomorfismo de grupos é um conceito importante e presente, por exemplo, na álgebra linear no estudo das transformações lineares. Seja f:(GL3 (R�),∙) → (R�*,∙) definida por f(A)=det A�(�)=���⁡ � um homomorfismo de grupo. Marque a alternativa que indica um elemento do N(f)�(�).
		
	
	⎡⎢⎣3211251−10⎤⎥⎦[3211251−10]
	 
	⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦[100010001]
	
	⎡⎢⎣111111001⎤⎥⎦[111111001]
	
	⎡⎢⎣3015134−15⎤⎥⎦[3015134−15]
	
	⎡⎢⎣135246−41−1⎤⎥⎦[135246−41−1]
	Respondido em 06/10/2023 09:10:36
	
	Explicação:
 GLn(R)���(�) é o grupo linear de grau n� sobre R�.
GLn(R)={A∈Mn(R):detA≠0}���(�)={�∈��(�):����≠0}
O núcleo desse homomorfismo é definido por N(f)={A∈GL3(R):detA=1}�(�)={�∈��3(�):����=1}. Logo, qualquer matriz de ordem 3 de elementos reais onde detA=1����=1 é um elemento do núcleo de f�. A matriz identidade tem determinante igual a 1.
	
		3a
          Questão
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	Em 1914, o alemão A. Franenkel, a partir dos seus estudos, apresentou a definição formal de anel. Onde este é uma estrutura algébrica, ou seja, um conjunto não vazio, onde estão definidas duas composições internas, a adição e a multiplicação. No estudo de grupos há uma estrutura menor, que preserva as propriedades do grupo, chamada de subgrupo. De forma análoga, também se tem o subanel. Neste contexto, seja a função f� definida de  Z6×Z6→Z6×Z6�6×�6→�6×�6 onde (a,b)→(3a,4b)(�,�)→(3�,4�) um homomorfismo de anéis. Marque a alternativa que indica a N(f)�(�).
		
	
	N(f)=(0,0),(0,2),(0,4),(3,0),(3,2),(3,4)�(�)=(0,0),(0,2),(0,4),(3,0),(3,2),(3,4)
	 
	N(f)=(0,0),(0,3),(2,0),(2,3),(4,0),(4,3)�(�)=(0,0),(0,3),(2,0),(2,3),(4,0),(4,3)
	
	N(f)=(1,0),(3,0),(3,2),(3,4)�(�)=(1,0),(3,0),(3,2),(3,4)
	
	N(f)=(0,4),(3,1),(3,2),(3,4)�(�)=(0,4),(3,1),(3,2),(3,4)
	
	N(f)=(0,0),(0,2),(0,4)�(�)=(0,0),(0,2),(0,4)
	Respondido em 06/10/2023 09:10:37
	
	Explicação:
Temos que: 
 
portanto:
	
		4a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 0,2
	
	Marque a alternativa que indica o ideal no anel Z12 gerado pelo elemento [2].
		
	
	[2] = Z12
	
	[2] = { 0, 6}
	 
	[2] = { 0, 2, 4, 6, 8 }
	 
	[2] = { 0, 2, 4, 6, 8, 10 }
	
	[2] = { 0, 4, 8}
	Respondido em 06/10/2023 09:10:38Explicação:
Seja Z12 = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 }.
2. Z12 = 2. { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 } = { 0, 2, 4, 6, 8, 10 }
	
		5a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 0,2
	
	
		
	 
	[4] = {2,4,6,8,0}
	 
	[4] = {2,4,6,8}
	
	[4] = {2,4,6,10}
	
	[4] = {4,6,8,0}
	
	[4] = {2,4,8,0}
	Respondido em 06/10/2023 09:10:40
	
	Explicação:
	
		6a
          Questão
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	Seja S={1,2,3,⋯,n} um conjunto não vazio e denotamos por S_n o conjunto de todas as funções bijetoras, onde Sn  = {f:S→S; f bijetiva}. Considerando uma operação "o" chamada de composição de funções dizemos que (Sn,o ) é um grupo chamado de grupo das permutações dos n elementos do conjunto S. Dado β=(1234567891087594102631)β=(1234567891087594102631) em S10, determine a ordem de β.
 
		
	
	o(β)=5�(β)=5
	
	o(β)=1�(β)=1
	
	o(β)=3�(β)=3
	 
	o(β)=4�(β)=4
	
	o(β)=2�(β)=2
	Respondido em 06/10/2023 09:10:42
	
	Explicação:
A ordem da permutação dada é determinada através do cálculo das potências. O critério de parada é quando encontramos a identidade.
Portanto, a ordem da permutação é 4.
	
		7a
          Questão
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	Em 1914, o alemão A. Franenkel, a partir dos seus estudos, apresentou a definição formal de anel. Onde este é uma estrutura algébrica, ou seja, um conjunto não vazio, onde estão definidas duas composições internas, a adição e a multiplicação. Determine todos os divisores de zero do anel Z15.
		
	
	3,5,9 e 10 
	
	3,5 e 9
	
	1,3,9,10 e 12
	 
	3,5,6,9,10 e 12
	
	2,5,9,10 e 12
	Respondido em 06/10/2023 09:10:43
	
	Explicação:
Considerando x e y dois elementos Z15 diferentes de zero. Eles são divisores se x . y = 0 , a ≠ 0 e b ≠ 0 ou se o produto desses números é nulo então xy é múltiplo de 15. Logo, os divisores são 3, 5, 6, 9, 10 e 12.
	
		8a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 0,2
	
	Considerando dois ideais A = [12] e B = [21] em Z, determine [12] ∩ [21]
		
	
	72
	 
	84
	 
	3
	
	21
	
	12
	Respondido em 06/10/2023 09:10:11
	
	Explicação:
Dados os ideais A = [12] e B = [21] em Z, basta calcular o mmc (12,21) = 84.
	
		9a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 0,2
	
	
		
	
	A propriedade comutativa não é verificada.
	 
	Não é um grupo, pois G1 não é satisfeita.
	
	G1, G2 e G3 são satisfeitas, portanto Z é um grupo.
	 
	Não é um grupo, pois G3 não é satisfeita.
	
	O elemento neutro da operação é = 3
	Respondido em 06/10/2023 09:10:45
	
	Explicação:
	
		10a
          Questão
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	Homomorfismo de grupos é um conceito importante e presente, por exemplo, na álgebra linear no estudo das transformações lineares. Seja f:Z�12→Z�24 definida por f([¯¯¯x]12)=[4¯¯¯x]24�([�¯]12)=[4�¯]24 um homomorfismo de grupo. Determine a imagem de f.
		
	
	N(f)={¯¯¯1,¯¯¯5,¯¯¯7,¯¯¯9}�(�)={1¯,5¯,7¯,9¯}
	
	N(f)={¯¯¯0,¯¯¯4}�(�)={0¯,4¯}
	 
	N(f)={¯¯¯0,¯¯¯6}�(�)={0¯,6¯}
	
	N(f)={¯¯¯1,¯¯¯6}�(�)={1¯,6¯}
	
	N(f)={¯¯¯1,¯¯¯5,¯¯¯9}�(�)={1¯,5¯,9¯}
	Respondido em 06/10/2023 09:10:46
	
	Explicação:
De acordo com a definição:
  
é o elemento neutro de Z24. Então temos f(¯¯¯x)=¯¯¯0�(�¯)=0¯.
Precisamos verificar todos os elementos de f([¯¯¯x]12)=[¯¯¯¯¯¯4x]24�([�¯]12)=[4�¯]24 cujo resultado da operação tem zero como resultado. Esses elementos pertencem ao núcleo.