Exercicios - Estatística e Probabilidade

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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDIMENSIONAIS 
 
1. 
 
 
A variável aleatória discreta X� assume apenas os 
valores 0, 1, 2, 3, 4 e 5. A função densidade de 
probabilidade de X� é dada por: 
P(X = 0) = P (X = 1) = P(X = 2) = P(X = 3) = a 
P(X = 4) = P(X = 5) = b 
P(X ≥≥ 2) = 3P(X << 2) 
A variância de X� é igual a : 
 
 
9 
 
12 
 
4 
 
6 
 
3 
Data Resp.: 09/10/2023 07:23:53
 
Explicação: 
Podemos reescrever os valores de P� (x�<2) e P�(x�≥2): 
P� (x�<2) = P� (x�=0) + P� (x�=1) = 2a� 
P� (x�≥2) = P� (x�=2) + P� (x�=3) + (x�=4) + P�(x�=5) = 2a� + 2b� 
Com esses valores acima podemos reescrever a igualdade P� (x�≥2) = 3P� (x�<2): 
P� (x�≥2) = 2a� + 2b�= 6a� =3∗2a∗2�=3P� (x�<2) 
Então subtraímos 2a dos dois lados e podemos afirmar que: 
2b� =4a� ⇒ b� = 2a� 
Sabemos que todos os valores da função probabilidade somam uma unidade. Então 
podemos igualar a soma dos valores das probabilidades P� (x�=0), P(X=1), P(X=2), 
P(X=3), P(X=4) e P(X=5) a 1: 
∑xP(X=x)∑��(�=�)= 4a�+ 2b� =1 
Então podemos substituir esse valor de b� na equação: 
4a + 2b= 8a = 1 ⇒ a = 1818 
b = 2a ⇒ b = 1414 
Então podemos calcular os valores esperados de X� e X2�2: 
E(X)�(�)= 1818*0+ 1818 *1+ 1818*2+ 1818*3+ 1414*4+ 1414*5= 6+8+1086+8+108 = 3 
E(X2)�(�2) = 1818 * 0 + 1818 *1+ 1818 *4+ 1818 *9+ 1414 *16+ 1414 * 
25 = 14+32+50814+32+508=12 
Com esses dois valores podemos calcular a variância: 
Var(x)=E(X2)−E2(X)=12−9=3���(�)=�(�2)−�2(�)=12−9=3 
 
 
 
 
2. 
 
 
A "Tropical Juices Inc." está estudando o volume de suco 
extraído de laranjas de sua principal fazenda. A empresa 
coletou uma amostra de 5 laranjas e obteve os seguintes 
volumes em mililitros: 150, 155, 152, 148, e 156. Baseado 
nesses dados, qual é o desvio padrão aproximado do volume 
de suco extraído dessas laranjas? 
 
 
3,0 mL. 
 
1,2 mL. 
 
2,5 mL. 
 
3,6 mL. 
 
4,0 mL. 
Data Resp.: 09/10/2023 07:25:51
 
Explicação: 
Média: 
μ=150+155+148+1565=152,2 mL�=150+155+148+1565=152,2 mL 
Variância: 
σ2=(150−152,2)2+(155−152,2)2+(152−152,2)2+(148−152,2)2+(156−152,2)25=8,99mL2�2=(150−1
52,2)2+(155−152,2)2+(152−152,2)2+(148−152,2)2+(156−152,2)25=8,99��2 
Desvio padrão: 
σ=√ 8,96 =2,99 mL�=8,96=2,99 mL 
Aproximadamente 3 mL3 mL. 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DE DADOS QUANTITATIVOS 
 
3. 
 
 
(IDECAN/2022) Observe o gráfico do tipo boxplot ou diagrama 
de caixas abaixo e assinale a opção correta a partir do que é 
mostrado: 
 
 
 
O 2º quartil está abaixo de 28. 
 
O limite superior está acima de 36. 
 
O 1º quartil está abaixo de 24. 
 
Não temos outliers abaixo do limite inferior. 
 
O 3º quartil está acima de 34. 
Data Resp.: 09/10/2023 07:26:44
 
Explicação: 
Outliers, ou valores atípicos, são observações que se afastam significativamente do padrão 
esperado em um conjunto de dados. Esses valores são considerados extremos ou incomuns 
em relação aos demais valores da amostra ou população. Na imagem, temos outliers no 
limite superior. 
 
 
 
 
4. 
 
 
Em uma pesquisa sobre salários de funcionários de uma 
empresa, foram coletados os seguintes valores mensais: R$ 
3.000, R$ 3.500, R$ 4.200, R$ 4.800 e R$ 25.000. Após a 
análise inicial, o professor identificou um valor que pode ser 
considerado um outlier. Qual dos seguintes é o valor que mais 
provavelmente representa um outlier? 
 
 
R$3.000 
 
R$4.800 
 
R$3.500 
 
R$25.000 
 
R$4.200 
Data Resp.: 09/10/2023 07:27:27
 
Explicação: 
Outlier se refere a um valor atípico em relação ao restante do conjunto de dados. No contexto 
da pesquisa sobre salários de funcionários, é importante identificar valores que estejam muito 
acima ou muito abaixo da faixa usual de salários, pois podem indicar situações incomuns ou 
erros nos dados. 
Entre os valores fornecidos, R$ 25.000 é o valor que mais provavelmente representa um 
outlier, pois está muito acima dos demais salários. O professor espera que os alunos saibam 
reconhecer que um salário tão elevado em comparação com os outros valores é uma 
indicação de um possível valor atípico. Portanto, a resposta correta é a alternativa R$ 25.000. 
 
 
 
 
 
 
PROBABILIDADES 
 
5. 
 
 
Um dado não viciado, com a forma de um cubo e com 
as faces numeradas de 1 até 6, foi lançado 3 vezes. 
Sabendo que a soma dos resultados obtidos foi igual 
a 5, qual é a probabilidade de o resultado do segundo 
lançamento do dado ter sido igual a 2? 
 
 
1/5 
 
1/6 
 
1/3 
 
1/18 
 
1/2 
Data Resp.: 09/10/2023 07:29:18
 
Explicação: 
A resposta correta é 1/3. 
 
 
 
 
6. 
 
 
Um assistente virtual baseado em inteligência artificial foi 
projetado para responder perguntas de forma precisa. Durante 
um teste, o assistente respondeu corretamente a 80% das 
perguntas. Qual é a probabilidade de o assistente responder 
corretamente a próxima pergunta? 
 
 
20%. 
 
10%. 
 
80%. 
 
50%. 
 
60%. 
Data Resp.: 09/10/2023 07:31:09
 
Explicação: 
Dado que o assistente já respondeu corretamente a 80% das perguntas, isso implica que há 
uma probabilidade de 80% de ele responder corretamente à próxima pergunta. Portanto, a 
resposta correta é 80%. 
 
 
 
 
 
 
PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA 
 
7. 
 
 
(FGV/2021) Dois eventos A e B são tais que P[A] = 0,8, P[B] = 
0,5 e P[A|B]= 0,4. Assim, a probabilidade condicional P[B|A] é 
igual a 
 
 
25%. 
 
40%. 
 
50%. 
 
15%. 
 
30%. 
Data Resp.: 09/10/2023 07:33:14
 
Explicação: 
Analisando o enunciado temos que: 
P(A) = 0,80 
P(B) = 0,50 
P(A|B) = 0,40 
 
Logo, 
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) Logo -> P(A ∩ B) = P(A|B) * P(B) = 0,40*0,50 = 0,20 
P(B|A) = P(B ∩ A)/P(A) = 0,20/0,80 = 2/8 = 1/4 = 0,25 = 25% 
 
 
 
 
8. 
 
 
Carlos tem probabilidade 2/3 de resolver um problema 
de probabilidade. Joana, sua colega de classe, tem 
probabilidade 3/4 de resolver o mesmo problema. Se 
os dois tentarem resolvê-lo de forma independente, 
qual é a probabilidade do problema ser solucionado? 
 
 
1/12 
 
11/12 
 
1/3 
 
2/3 
 
3/4 
Data Resp.: 09/10/2023 07:34:43
 
Explicação: 
A resposta correta é: 11/12 
 
 
 
 
 
 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS UNIDIMENSIONAIS 
 
9. 
 
Um fabricante de brinquedos realiza testes de qualidade em 
seus produtos. Durante o processo de produção, há uma 
probabilidade de 0,2 de um brinquedo ser considerado 
defeituoso. Considerando a importância da distribuição 
binomial, qual das alternativas abaixo melhor representa a 
 
natureza dessa distribuição nesse contexto? 
 
 
Probabilidade de um brinquedo ser selecionado aleatoriamente para o teste de 
qualidade. 
 
Média aritmética da quantidade de brinquedos defeituosos encontrados nos testes. 
 
Identificação única de cada brinquedo produzido. 
 
Cor da embalagem utilizada para os brinquedos. 
 
Número total de brinquedos produzidos pela empresa. 
Data Resp.: 09/10/2023 07:36:03
 
Explicação: 
A distribuição binomial é aplicada quando há um experimento com um número fixo de 
tentativas independentes, cada uma com dois resultados possíveis, sucesso ou fracasso. No 
contexto do fabricante de brinquedos realizando testes de qualidade, a distribuição binomial é 
utilizada para analisar a quantidade de brinquedos defeituosos encontrados nos testes. A 
média aritmética dessa quantidade é um indicador importante para a qualidade dos produtos 
e representa a natureza dessa distribuição nesse contexto. Portanto, a alternativa "Média 
aritmética da quantidade de brinquedos defeituosos encontrados nos testes." é a correta, pois 
está relacionada à aplicação da distribuição binomial para calcular a média da quantidade de 
brinquedos defeituosos nos testes de qualidade, de acordo com a definição e as 
características dessa distribuição. 
 
 
 
 
10. 
 
 
A entrada de clientes em uma loja segue um 
processo de Poisson homogêneo com intensidade λ 
por hora. Considerando que, em um determinado dia, 
chegaram 8 clientes em um período de 8 horas, qual 
é a probabilidade de que tenhamchegado 
exatamente 5 clientes nas primeiras 4 horas? 
 
 70 × (1/3)4 × (2/3)470 × (1/3)4 × (2/3)4 
 (128/3) × e−4(128/3) × �−4 
 (256/30) × e−4(256/30) × �−4 
 (125/24) × e−4(125/24) × �−4 
 3003 × (1/2)153003 × (1/2)15 
Data Resp.: 09/10/2023 07:37:35
 
Explicação: 
A resposta correta é: 3003 × (1/2)15