Apostila_Mecanica_dos_solos_II_UFBA

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Universidade Federal da Bahia − Escola Politécnica
Departamento de Ciência e Tecnologia dos Materiais
(Setor de Geotecnia)
MECÂNICA DOS SOLOS II
Conceitos introdutórios
Autores: Sandro Lemos Machado e Miriam de Fátima C. Machado
Disponível em formato “ post escript” no seguinte endereço: http:\\www.geotec.eng.ufba.br
 
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MECÂNICA DOS SOLOS II
Conceitos introdutórios
SUMÁRIO 
1. FLUXO DE ÁGUA EM SOLOS 05
1.1 Introdução 05
1.2 Conservação da energia 06
1.3 Lei de Darcy. 12
1.4 Validade da lei de Darcy 14
1.5 Coeficiente de permeabilidade dos solos 14
1.6 Métodos para determinação da permeabilidade dos solos 15
1.7 Fatores que influem no coeficiente de permeabilidade do solo 20
1.8 Extensão da lei de Darcy para o caso de fluxo tridimensional 21
1.9 Permeabilidade em extratos estratificados 21
1.10 Lei de fluxo generalizada (conservação da massa) 23
1.11 Capilaridade nos solos 27
2. COMPRESSIBILIDADE DOS SOLOS 30
2.1 Introdução 30
2.2 Compressibilidade dos solos 30
2.3 Ensaio de compressão confinada 31
2.4 Interpretação dos resultados de um ensaio de compressão confinada 33
2.5 Cálculo dos recalques totais em campo 39
2.6 Analogia mecânica do processo de adensamento proposta por Terzaghi 42
2.7 Teoria do adensamento unidirecional de Terzaghi 46
2.8 Obtenção dos valores de Cv. 51
2.9 Deformações por fluência no solo 53
2.10 Aceleração dos recalques em campo 54
3. FLUXO BIDIMENSIONAL – REDES DE FLUXO 56
3.1 Introdução 56
3.2 Equação para fluxo estacionário e bidimensional 56
3.3 Métodos para resolução da equação de Laplace 59
3.4 Redes de fluxo 60
3.5 Fluxo de água através de maciços de terra 68
3.6 Fluxo de água através de maciços de terra e fundações permeáveis 74
3.7 Fluxo de água através de maciços anisotrópicos 74
3.8 Fluxo de água em meios heterogêneos 77
4. RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO 80
4.1 Introdução 80
4.2 O conceito de tensão em um ponto 82
4.3 Círculo de Mohr 83
4.4 Resistência dos solos 86
4.5 Ensaios para a determinação da resistência ao cisalhamento dos solos 87
4.6 Características genéricas dos solos submetidos à ruptura 93
4.7 Trajetórias de tensões 105
4.8 Aplicação dos resultados de ensaios a casos práticos 108
2
5. EMPUXOS DE TERRA 111
5.1 Introdução 111
5.2 Coeficientes de empuxo 111
5.3 Método de Rankine 115
5.4 Método de Coulomb 118
5.5 Aspectos gerais que influenciam na determinação do empuxo 123
5.6 Estruturas de arrimo 125
6. ESTABILIDADE DE TALUDES 144
6.1 Introdução 144
6.2 Métodos de análise de estabilidade 146
6.3 Considerações gerais 162
� BIBLIOGRAFIA CONSULTADA 164
3
NOTA DOS AUTORES
✁ Este trabalho foi desenvolvido apoiando−se na estruturação e ordenação de tópicos
já existentes no Departamento de Ciência e Tecnologia dos Materiais (DCTM),
relativos à disciplina Mecânica dos Solos. Desta forma, a ordenação dos capítulos
do trabalho e a sua lógica de apresentação devem muito ao material desenvolvido
pelos professores deste Departamento, antes do ingresso do professor Sandro
Lemos Machado à UFBA, o que se deu em 1997.✁ Vale ressaltar também que o capítulo de origem e formação dos solos, cujo
conteúdo é apresentado no volume 1 deste trabalho, tem a sua fundamentação no
material elaborado, com uma enorme base de conhecimento regional, pelos
professores do DCTM e pelo aluno Maurício de Jesus Valadão, apresentado em
um volume de notas de aulas , de grande valor didático e certamente referência
bibliográfica obrigatória para os alunos que cursam a disciplina Mecânica dos
Solos.
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1. FLUXO DE ÁGUA EM SOLOS.
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Antes de iniciarmos uma exposição mais ou menos detalhada das bases teórica atuais
que se dispõe para tratar dos problemas de fluxo de água no solo, é conveniente esclarecer as
razões pelas quais a resolução de tais problemas é de vital importância para o engenheiro
geotécnico. Ao se mover no interior de um maciço de solo, a água exerce em suas partículas
sólidas forças que influenciam no estado de tensões do maciço. Os valores de pressão neutra e
com isto os valores de tensão efetiva em cada ponto do solo são alterados em decorrência de
alterações no regime de fluxo. Na zona não saturada, mudanças nos valores de umidade do
solo irão alterar de forma significativa os seus valores de resistência aocisalhamento. De uma
forma geral, são os seguintes os problemas onde mais se aplicam os conceitos de fluxo de
água nos solos:
✘
Estimativa da vazão de água (perda de água do reservatório da barragem), através
da zona de fluxo.✘
Instalação de poços de bombeamento e rebaixamento do lençol freático✘
Problemas de colapso e expansão em solos não saturados✘
Dimensionamento de sistemas de drenagem✘
Dimensionamento de “liners” em sistemas de contenção de rejeitos✘
Previsão de recalques diferidos no tempo✘
Análise da influência do fluxo de água sobre a estabilidade geral da massa de solo
(estabilidade de taludes).✘
Análise da possibilidades da água de infiltração produzir erosão, araste de material
sólido no interior do maciço, “piping”, etc.
Como se pode observar, o conhecimento das leis que regem os fenômenos de fluxo de
água em solos é aplicado nas mais diversas situações da engenharia. Um caso de particular
importância na engenharia geotécnica, o qual aplica diretamente os conceitos de fluxode
água em solos, é o fenômeno de adensamento, característico de solos moles, de baixa
permeabilidade. Por conta dos baixos valores de permeabilidade destes solos, os recalques
totais a serem apresentados por eles, em decorrência dos carregamentos impostos, não
ocorrem de imediato, se apresentando diferidos no tempo. A estimativa das taxas derecalque
do solo com tempo, bem como a previsão do tempo requerido para que o processo de
adensamento seja virtualmente esgotado, são questões freqüentemente tratadaspelo
engenheiro geotécnico, o qual terá que utilizar de seus conhecimentos acerca do fenômeno de
fluxo de água em solos, para respondê−las. O capítulo 2 deste volume trata do tema
compressibilidade/adensamento.
A influência do fluxo de água na estabilidade das massas de solo se dá pelo fato de
que quando há fluxo no solo, a pressão a qual água está sujeita é de natureza hidrodinâmica e
este fato produz várias repercussões importantes. Em primeiro lugar, dependendo dadireção
do fluxo, a pressão hidrodinâmica pode alterar o peso específico submerso do solo. Por
exemplo, se a água flui em sentido descendente, o peso específico submerso do soloé
majorado. Se o fluxo ocorre em uma direção ascendente, se exerce um esforço sobreas
partículas de solo o qual tende a diminuir o seu peso específico submerso. Em segundolugar
e de acordo com o princípio das tensões efetivas de Terzaghi, e conservando−se a tensão total
atuando em um ponto na massa de solo e modificando−se o valor da tensão neutra naquele
ponto, a sua tensão efetiva será modificada. Como já vimos anteriormente, a tensão efetiva é
a responsável pelas respostas do solo, seja em termos de resistência ao cisalhamento, seja em
termos de deformações, o que vem a ilustrar ainda mais a importância dos fenômenos de
fluxo de água nos solos.
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Conforme apresentado no capítulo 4 do volume 1 deste trabalho, a água no solo pode
se apresentar de diferentes formas, dentre as quais podemos citar a água adsorvida,a água
capilar e a água livre. A água adsorvida está ligada às superfícies das partículas do solo por
meio de forças elétricas, não se movendo no interior da massa porosa e portanto não
participando dos problemas de fluxo. O fluxo de água capilar apresenta grande importância
em algumas questões da mecânica do solo, tais como o umedecimento de um pavimento por
fluxo ascendente. Contudo, na maioria dos problemas de fluxo em solos, os efeitos da parcela
de fluxo devido à capilaridade são de pequena importância e podem ser desprezados,
principalmente se considerarmos as complicações teóricas adicionais que surgiriam se estes
fossem levados em conta. A água livre ou gravitacional é aquela que sob o efeito da
gravidade terrestrepode mover−se no interior do maciço terroso sem outro obstáculo senão
aqueles impostos por sua viscosidade e pela estrutura do solo.
Em uma massa de solo a água gravitacional está separada da água capilar pelo nível
do lençol freático. Nem sempre é fácil se definir ou localizar o nível do lençol freático. Em
um solo suficientemente fino, ao efetuar−se uma escavação, o espelho de água que se forma
define o lençol freático. Tal superfície de separação porém não existe no soloadjacente, já
que devido a natureza do solo em questão deve haver solo totalmente saturado acima do
espelho de água formado (ascensão capilar).
O estudo dos fenômenos de fluxo de água em solos é realizado apoiando−se em três
conceitos básicos: conservação da energia (Bernoulli), permeabilidade dos solos (lei de
Darcy) e conservação da massa. Estes conceitos serão apresentados de forma resumida nos
próximos itens deste capítulo. Após a exposição dos mesmos será apresentada uma
formulação ampla, aplicável a todos os casos de fluxo de água em solos. Esta formulação é
então simplificada, de modo a considerar somente os casos de fluxo de água em solos
saturados, homogêneos e isotrópicos. Obedecendo−se estas restrições, são apresentadas as
equações utilizadas para os casos de fluxo bidirecional estacionário e fluxo unidirecional
transiente (teoria do adensamento de Terzaghi).
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O conceito de energia total de um fluido, formulado por Bernoulli, é apresentado aos
alunos do curso de engenharia civil nas disciplinas de Física e Fenômenos dos Transportes.
Para fins de Geotecnia, contudo, é mais prático se utilizar o conceito de densidade de energia,
geralmente expressos em relação ao peso ou ao volume de fluido. A eq. 1.1 apresentaa
proposta de Bernoulli para representar a energia total em um ponto do fluido, expressa em
termos da razão energia/peso. A energia total ou carga total é igual à soma de três parcelas:
(carga total = carga altimétrica + carga piezométrica + carga cinética).
g
vu
zh
w
total
2
2
++=
γ
 (1.1)
Onde, htotal é a energia total do fluido; z é a cota do ponto considerado com relação a
um dado referencial padrão (DATUM); u é o valor da pressão neutra; v é a velocidade de
fluxo da partícula de água e g é o valor da aceleração da gravidade terrestre, geralmente
admitido como sendo igual a 10 m/s2.
Como se pode observar desta equação, este modo de expressar o teorema de Bernoulli
conduz à representação da energia específica do fluido em termos de cotas equivalentes,
possuindo a unidade de distância (m, cm, mm, etc.).Notar que a relação Joule/Newton
possui unidade de comprimento. Como será visto no próximo item deste capítulo, a
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representação da energia total de um fluido em termos de cotas equivalentes é preferível
quando do estudo de problemas envolvendo fluxo de água nos solos.
Para a grande maioria dos problemas envolvendo fluxo de água em solos, a parcela da
energia total da água no solo referente à energia cinética, termo (v2/2g), pode ser desprezada.
Isto faz com que a eq. 1.1 possa ser escrita de uma forma mais simplificada:
w
total
u
zh
γ
+= (1.2)
A carga altimétrica (z) é a diferença de cota entre o ponto considerado e o nívelde
referência. A carga piezométrica é a pressão neutra no ponto, expressa em altura de coluna
d‘água.
A fig. 1.1 apresenta a variação das parcelas de energia de posição (z) e de pressão do
fluido (u/γw) em um reservatório de água em situação estática (sem a ocorrência de fluxo).
Conforme se pode observar desta figura, as parcelas de energia de posição (ou gravitacional)
e de pressão variam de tal forma a manter constante o valor do potencial total da águano
solo.
Figura 1.1 – Variação das energias de posição, pneumática e total ao longo de um
reservatório de água em condições estáticas.
Conforme será visto no item seguinte deste capítulo, para que haja fluxo de água entre
dois pontos no solo, é necessário que a energia total em cada ponto seja diferente. A água
então fluirá sempre do ponto de maior energia para o ponto de menor energia total.
Costuma−se definir a energia livre da água em um determinado ponto do solo como a
energia capaz de realizar trabalho (no caso, fluxo de água). Considerando−se a condição
necessária para que haja fluxo no solo exposta acima, a energia livre poderia ser representada
pela diferença entre os valores de energia total nos dois pontos considerados da massa de
solo. Desta forma, caso o nível de referência (DATUM) apresentado na fig. 1.1 fosse
modificado, o valor da energia total em cada ponto também o seria, porém a diferençaentre
as energias totais permaneceria constante, ou seja, a energia livre da água entre os dois pontos
permaneceria inalterada, independente do sistema de referência.
No item seguinte deste capítulo, o termo htotal da equação de Bernoulli será
denominado de potencial total da água no solo e será representado pelo símbolo h.
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No esquema apresentado na fig. 1.2a, a água se eleva até uma certa cota (h1) nos dois
lados do reservatório. O potencial total é soma da cota atingida pela água e a cota do plano de
referência. Nesse caso, o potencial total é o mesmo nos dois lados do reservatório (pontos F1 e
F2), portanto, não há fluxo. Somente ocorre fluxo quando há diferença de potenciais totais
entre dois pontos e ele seguirá do ponto de maior potencial para o de menor potencial.
Considerando−se o caso b da fig. 1.2, tem−se no lado esquerdo (ponto F1) maior potencial
total que no ponto F2, no lado direito. Dessa forma, a água está fluindo da esquerda para
direita, ou seja, de F1 para F2. Ocorrendo movimento de água através de um solo, ocorre uma
transferência de energia da água para as partículas do solo, devido ao atrito viscoso que se
desenvolve. A energia transferida é medida pela perda de carga e a força correspondentea
essa energia é chamada de força de percolação. A força de percolação atua nas partículas
tendendo a carregá−las, conseqüentemente, é uma força efetiva de arraste hidráulico que atua
na direção do fluxo de água.
Figura 1.2 – Forças de percolação. 
Na fig. 1.2b, pode−se observar que a amostra de solo está submetida às forças
F1=γw.h1.A, graças à carga h1 atuando do lado esquerdo do reservatório e do lado direito, atua
a força F2=γw.h2.A
A força resultante que se dissipa uniformemente em todo o volume de solo (A.L) é
dada por:
)hh.(A.FFFp 21w21 −=−= γ Sendo, i= −∆h/L, temos:
i.V.Fp wγ= (1.3)
i.fp wγ= (fp: Força de percolação por unidade de volume)
A análise do equilíbrio de uma massa de solo sujeita à percolação da água admite dois
procedimentos distintos:
• Peso total (saturado) do solo + forças de superfície devido às pressões da água
intersticial;
• Peso efetivo (submerso) do solo + forças de percolação.
h
1
F
2
F
1
L
A
h
h2
h
1
F
2
F
1
L
A
FP
(a) (b)
8
O primeiro procedimento envolve a consideração do equilíbrio da massa de solo como
um todo (sólido + água), ao passo que o segundo analisa as condições de equilíbrio apenas do
esqueleto sólido do solo. Ambos são igualmente válidos e a aplicação de um ou outro
depende do problema a ser analisado, em termos de conveniência.
É interessante ressaltar, no segundo procedimento, as condições particulares defluxos
ascendentes e descendentes de água. Uma vez que as forças de percolação atuam na direção
do fluxo, ocorre um acréscimo de pressões efetivas no caso de fluxo descendente e uma
redução das pressões efetivas no caso de fluxo ascendente, os seja:
R=w‘± Fp 
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Ruptura hidráulica é o processo de perda da resistência e da estabilidade de uma massa
de solo por efeito das forças de percolação. Um primeiro tipo de ruptura hidráulicaé aquele
em que a perda de resistência do solo decorre da redução das pressões efetivas devidoa um
fluxo d‘àgua ascendente. Nestas condições, a força de percolação gerada pode se igualar às
forças gravitacionais efetivas, desde que os gradienteshidráulicos sejam suficientemente
elevados. Assim, a resultante das forças efetivas será nula. A fig. 1.3 mostra um esquema
explicando como isso poderá ocorrer. Nesta figura, a areia está submetida a um fluxo
ascendente de água, ou seja, a água percola do ramo da esquerda para direita, em virtude da
carga h, que é dissipada por atrito, sendo portanto satisfeita a primeira condiçãopara
ocorrência do fenômeno (fluxo ascendente).
Figura 1.3 – Permeâmetro com fluxo ascendente – Areia movediça.
A segunda condição, conforme já exposto, consiste na verificação da condição de
tensão efetiva igual a zero (σ‘=0) ou força de percolação igual ao peso submerso do solo
(Fp=W‘). Fazendo o equilíbrio no Ponto A temos (pressão igual à tensão total):
Tensão total:
σA = γw.h1 + γsat. L (1.4)
Pressão neutra
uA = γw. (h1 +L + h) (1.5)
Igualando as equações 1.4 e 1.5 tem−se a eq. 1.6:
Fluxo descendente (+): γ‘ = γsub + γ w·i → ❂ v’ ❃ ❄ sub❅ ❄ w ❆ i ❆ dz
Fluxo ascendente (−): γsub − γ w·i→ ❂ v’ ❃ ❄ sub❇ ❄ w ❆ i ❆ dz
Areia 
saturada
L
h1
h
A
Areia 
saturada
L
h1
h
A
9
w
wsatc
c L
h
i
γ
γγ −
==
(1.6)
onde: ic é chamado gradiente hidráulico critico (aproximadamente igual a 1,0 para a
maioria dos solos). A condição i≥ ic implica, portanto, em pressões efetivas nulas em
quaisquer pontos do solo.
No caso de solos arenosos (sem coesão), a resistência está diretamente vinculada às
pressões efetivas atuantes (s =σ‘ tg φ‘). Atingida a condição de fluxo para ic, resulta uma
perda total da resistência ao cisalhamento da areia, que passa a se comportarcomo um líquido
em ebulição. Este fenômeno é denominado areia movediça. Nota−se, portanto, que a areia
movediça não constitui um tipo especial de solo, mas simplesmente, uma areia através da qual
ocorre um fluxo ascendente de água sob um gradiente hidráulico igual ou maior que ic.
A ocorrência de areia movediça na natureza é rara, mas o homem pode criar esta
situação nas suas obras. A fig. 1.4 apresenta duas situações em que este fenômeno pode
ocorrer. No caso (a) tem−se uma barragem construída sobre uma camada de areiafina
sobreposta a uma camada de areia grossa. A água do reservatório de montante percolará,
preferencialmente, pela areia grossa e sairá a jusante através da areiafina com fluxo
ascendente. No caso (b) tem−se uma escavação em areia saturada e rebaixamento do nível de
água para permitir a execução dos trabalhos.
Figura 1.4 – Condições de areia movediça criada em obras. Modificado de Pinto,
2000.
Um outro tipo de ruptura hidráulica é aquele que resulta do carreamento de partículas
do solo por forças de percolação elevadas, sendo o fenômeno designado, comumente, pelo
termo em inglês“piping” (entubamento). Este fenômeno pode ocorrer, por exemplo, na saída
livre da água no talude de jusante de uma barragem de terra, onde as tensões axiais sendo
pequenas, resultam em valores baixos das forças de atrito interpartículas que, assim, tornam−
se passíveis de serem arrastadas pelas forças de percolação. Iniciado o processo, com o
carreamento de partículas desta zona do maciço, desenvolve−se um mecanismo de erosão
tubular regressiva, que pode levar ao colapso completo da estrutura.
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Devido aos graves problemas que podem resultar da ocorrência de forças de
percolação elevadas, torna−se imprescindível o controle destas forças em umaobra de terra.
Este controle pode ser feito, basicamente, por dois procedimentos distintos, sendo usual a
adoção conjunta de ambos em um mesmo projeto, que são: redução da vazão de percolação e
adoção de dispositivos de drenagem.
A fig. 1.5 sintetiza as soluções clássicas para uma barragem de terra, que incorporam
os seguintes dispositivos para a redução da vazão de percolação: construção de tapetes
impermeabilizante a montante (1); construção de revestimentos de proteção do talude de
montante (2); zoneamento do maciço, com núcleo constituído de material de baixa
permeabilidade (3); construção de trincheira de vedação (cut off) , escavada na fundação e
preenchida com material de baixa permeabilidade (4); construção de cortina de injeção (5).
Adicionalmente, em termos de dispositivos de drenagem, podem ser adotadas as
seguintes soluções: execução de filtros verticais e inclinados (6); construção detapetes
filtrantes (filtros horizontais), (7); zoneamento do maciço com material mais permeável na
zona de jusante (8); execução de drenos verticais ou poços de alívio (9); construção de
enrocamento de pé (10).
Figura 1.5 – Elementos para controle de forças de percolação.
Devido à percolação de água de um solo relativamente fino para um solo mais
granular (areias e pedregulhos), existe a possibilidade de carreamento das partículas finas
para o solo granular, com crescente obstrução dos poros e consequente redução da drenagem.
Tal condição ocorre, por exemplo, entre o material do maciço de uma barragem de terra e o
enrocamento executado no pé do talude de jusante (ver fig. 1.5). Há portanto, necessidadede
evitar estes danos mediante a colocação de filtros de proteção entre o solo finopassível de
erosão e o enrocamento de pé, os quais devem satisfazer duas condições básicas:
• Os vazios (poros) do material usado como filtro devem ser suficientemente
pequenos para impedir o carreamento das partículas do solo adjacente a ser
protegido;
• Os vazios (poros) do material usado como filtro devem ser suficientemente
grandes para garantir uma elevada permeabilidade e evitar o desenvolvimento
de altas pressões hidrostáticas.
A escolha do material de filtro, baseada nestes requisitos básicos, é feitaa partir da
curva granulométrica do solo a ser protegido. Terzaghi propôs as seguintes relações:
D 15
f ■ 4a5D 85 s 
11
D 15
f ❏ 4a5D 15 s (1.7)
sendo, f, o índice relativo ao material de filtro e, s, o índice relativo ao solo a ser protegido e
ainda, D(%), o diâmetro correspondente à porcentagem que passa, ou seja, semelhante as
definições de D10 e D60.
Na fig. 1.6 tem−se um exemplo de como escolher a curva granulométrica de um filtro,
para proteger um solo com curva granulométrica conhecida. Estabelecidos os limitespara
D(15)f (pontos A e B), traçam−se, por estes pontos, curvas granulométricas de coeficiente de
uniformidade aproximadamente iguais ao solo a ser protegido, definindo−se, portanto, uma
faixa de granulometrias possível de atender às condições exigidas para o filtro de proteção.
Figura 1.6 – Escolha da faixa de variação granulométrica para filtros de proteção.
Modificado de Bueno & Vilar, 1985.
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Conforme estudado na disciplina Fenômenos de Transporte, os problemas de fluxo
podem ser divididos em duas grandes categorias: fluxo (ou escoamento) laminar e fluxo
turbulento. No regime de fluxo laminar as partículas do fluido se movimentam em trajetórias
paralelas, uma não interferindo no movimento das outras. No regime de fluxo turbulento, as
trajetórias de fluxo são irregulares, cruzando−se umas com as outras de forma inteiramente
aleatória. Osborne Reynolds, em seu experimento clássico estudando fluxo em condutos
fechados, estabeleceu um limite inferior de velocidade no qual o fluxo muda as suas
características de laminar para turbulento. Este limite é denominado de velocidade crítica, e
os fenômenos de fluxo que ocorrem com valores de velocidade abaixo da velocidade crítica
são considerados como pertencentes a categoria de fluxo laminar, caso contrário, são tratados
como problemas de fluxo turbulento. No caso de fluxo laminar de água no solo, a resistência
ao fluxo é devida principalmente à viscosidade da água e as condições de contorno do
problema possuem menor importância. A velocidade critica de escoamento, vc, é governada
por um número admensional, denominado de número de Reynolds (R). A eq. 1.8 apresenta a
expressão utilizada para o cálculo do número de Reynolds. Verifica−se experimentalmente
que a velocidade crítica para escoamento em tubos corresponde a um número de Reynolds de
aproximadamente 2000.
12
νDv
R
⋅= (1.8)
Onde: v é a velocidade de fluxo do fluido, D é o diâmetro do tubo eν é a viscosidade
cinemática do fluido (expressa nas unidades L2/T).
É difícil se estudar as condições de fluxo para cada poro, de maneira individual dentro
do solo. Somente as condições médias existentes em cada seção transversal de solo podem ser
estudadas. Pode−se dizer, contudo, que para os tamanhos de poros geralmente encontrados
nos solos, o fluxo através dos mesmos é invariavelmente laminar. Somente para o caso de
solos mais grossos, como no caso dos pedregulhos, escoamento turbulento pode ocorrer,
ainda assim requerendo para isto altos valores de gradientes hidráulicos.
O engenheiro Francês H. Darcy realizou um experimento, o qual era constituído de
um arranjo similar àquele apresentado na fig. 1.7, para estudar as propriedades de fluxo de
água através de uma camada de filtro de areia. Este experimento, realizado em 1856, se
tornou clássico para as áreas de hidráulica e geotecnia e deu origem a uma lei que
correlaciona a taxa de perda de energia da água (gradiente hidráulico) no solo com a sua
velocidade de escoamento (lei de Darcy).
L
∆h
h1
h2
h
h1
h2
i = −dh/dz
z
Figura 1.7 – Esquema ilustrativo do experimento realizado por Darcy.
No experimento apresentado na fig. 1.7, os níveis de água h1 e h2 são mantidos
constantes e o fluxo de água ocorre no sentido descendente através do corpo de prova.
Medindo o valor da taxa de fluxo que passa através da amostra (vazão de água), representada
pelo símboloq, para vários valores de comprimento da amostra (L) e de diferença de
potencial total (∆h), Darcy descobriu que a vazão“q” era proporcional a razão∆h/L (ou
gradiente hidráulico da água através da amostra,i). Isto é ilustrado na eq. 1.9 apresentada
adiante.
Ai kA 
L
h
kq ⋅⋅=⋅∆⋅−= (1.9)
Na eq. 1.9, k é uma constante de proporcionalidade denominada de coeficiente de
permeabilidade do solo. Quanto maior o valor de k, maior vai ser a facilidade encontrada pela
água para fluir através dos vazios do solo. O coeficiente de permeabilidade,k, tem dimensão
de velocidade (L/T), e pode ser definido como a velocidade de percolação da água no solo
13
para um gradiente hidráulico unitário.A é o valor da seção transversal da amostra de solo
perpendicular à direção do fluxo.
No lado direito da fig. 1.7 está representada a variação do potencial total da água em
função da cota (z) da água no experimento. Conforme apresentado nesta figura, o valor do
potencial total da água é constante (e igual a h1) até que a água comece a fluir dentro da
amostra de solo, passando a h2 na outra extremidade da amostra (extremidade inferior).
Considerando−se a amostra de solo como homogênea, pode−se admitir uma variação linear
do potencial total da água dentro da amostra (valores de gradientes hidráulicos (i) constantes).
Em outras palavras, as perdas de carga eventualmente ocorrendo no exterior da massade solo
são desprezadas.
A vazão (q) dividida pela área transversal do corpo de prova (A) indica a velocidade
com que a água percola no solo. O valor da velocidade de fluxo da água no solo (v), é dado
pela eq. 1.10, apresentada a seguir.
i k 
L
h
kv ⋅=∆⋅−= (1.10)
Esta velocidade é chamada de velocidade de descarga (v). A velocidade de descarga é
diferente da velocidade real da água nos vazios do solo. Isto ocorre porque a área efetivaque
a água tem para percolar na seção de solo não é dada pela área transversal total daamostra
(A), mas sim pela sua área transversal de vazios. Aplicando−se as noções desenvolvidas em
índices físicos pode−se admitir que a relação entre a área transversal de vazios e a área
transversal total seja dada pela porosidade do solo (n). Deste modo, a velocidade de
percolação real da água no solo é dada pela eq. 1.11. Como os valores possíveis para a
porosidade do solo estão compreendidos entre 0 e 1, percebe−se que a velocidade de
percolação real da água no solo é maior do que a velocidade de descarga. Apesar disto,
devido a sua aplicação prática mais imediata, a velocidade de descarga é a velocidade
empregada na resolução de problemas envolvendo fluxo de água em solos.
n
v
vreal = (1.11)
✂☎✄ ❘✚✄✟❙❚✧✝✸❋✬✭✑✔✧✝✑✔✤✳✑✔✧❀▼❯✤❍✬✔✑✔✤✳❖P✧✝✌✏✷✲◗
A lei de Darcy para o escoamento da água no solo é válida somente para os casos de
fluxo laminar. Pesquisas efetuadas posteriormente a postulação da lei de Darcy demostraram
que o valor limite do número de Reynolds para o qual regime de fluxo muda de laminar para
turbulento no solo se situa entre 1 e 2. Esta enorme diferença entre o número de Reynolds
crítico para escoamentos em condutos forçados e no solo deve−se ao fato de que no solo os
canalículos ligando os diversos poros em seu interior são irregulares, tortuosos e mesmo
eventualmente não contínuos.
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Poucas propriedades em engenharia (senão nenhuma) podem variar em tão largas
faixas para um “mesmo material” quanto o coeficiente de permeabilidade dos solos. A fig. 1.8
ilustra valores de permeabilidade típicos para diversos tipos de solo. Conforme se pode
observar da fig. 1.8, a depender do tipo de solo podemos encontrar valores de coeficientes de
permeabilidade da ordem de 10 cm/s (solos grossos, pedregulhos) até valores tão pequenos
quanto 1 x 10−10 cm/s. É interessante notar que os solos finos, embora possuam índices de
vazios geralmente superiores àqueles alcançados pelos solos grossos, apresentam valores de
coeficiente de permeabilidade bastante inferiores a estes.
14
Valores típicos:
102 10−1010−810−610−410−210
cm/s
Pedregulho Areia Areia fina, silte e mistura de
argila com ambos
Argila
Figura 1.8 – Faixas de variação de valores do coeficiente de permeabilidade para
diferentes tipos de solo.
Os solos, quando não saturados, apresentam coeficientes de permeabilidade menores
do que quando saturados. Considerando−se dados experimentais, pode−se atribuir a solos
com grau de saturação de 90% coeficientes de permeabilidade da ordem de 70% do
correspondente ao estado saturado. Esta diferença não pode ser atribuída exclusivamente ao
menor índice de vazios disponível, pois as bolhas de ar existentes são um obstáculo ao fluxo.
Neste caso, a situação da água na interface água/ar das bolhas é parcialmente responsável pela
diferença.
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A avaliação da permeabilidade de um solo pode ser feita diretamente, através de
ensaios de campo e laboratório ou indiretamente, utilizando−se de correlações empíricas. 
A determinação do coeficiente de permeabilidade em laboratório é conceitualmente
muito simples, mas os ensaios são de difícil realização. Os ensaios de campo não são tão bem
controlados como os de laboratório, porém resultam do comportamento dos maciços de solo,
isto é, na maneira como se encontram na natureza, enquanto que a validade dos resultadosde
laboratório são função da qualidade e da representatividade das amostras utilizadas nos
ensaios.
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Os solos granulares podem ter o seu coeficiente de permeabilidade estimado
utilizando−se os resultados de ensaios para a determinação de sua granulometria. Para estes
solos, uma boa indicação do coeficiente de permeabilidade é dada pela equação de Hazen, a
qual correlaciona o coeficiente de permeabilidade do solo com o diâmetro efetivo (d10) de sua
curva característica. Esta equação, proposta por Hazen (1911) deve ser usada somente para os
casos de areia e pedregulho, com pouca ou nenhuma quantidade de finos.
2
10dCk ⋅= (1.12)
Para k expresso em cm/s e o diâmetro efetivo expresso em cm, temos 90 < C <120
sendo o valor de C = 100 muito usado. Outra equação também utilizada na estimativa de
valores de coeficientes de permeabilidade é a fórmula de Sing:
( )ke logβα += (1.13)
Onde α = 10β e β = 0,01⋅IP + δ. δé uma constante do solo, geralmente adotada como
igual a 0,05. Na eq. 1.13 k é expresso em cm/s.
A proporcionalidadeentre k e d102, adotada na fórmula de Hazen, tem respaldo em
dedução de fluxo de água através de tubos capilares. Recomenda−se que o coeficiente de
uniformidade do solo (Cu) seja menor que 5, para a utilização desta relação. Deve se notar
15
que na equação proposta por Hazen o diâmetro equivalente dos vazios das areias, e, portanto,
a sua permeabilidade, é determinada pela sua fração mais fina, pouco interferindo a sua
fração granulométrica mais grossa.
Duas outras equações que se aplicam à avaliação da permeabilidade em meios porosos
são as de Taylor (eq. 1.14) e a de Kozeny−Carman (eq. 1.15):
k ❃ C .D2
❄
w❜ e
3
1 ❅ e
(1.14)
k ❃
❄
w❜ e
3
1 ❅ e
1
k
o ❆ S2
(1.15)
Sendo: e = índice de vazios do solo,γw = peso específico do fluido,µ= viscosidade do
fluido, ko = fator que depende da forma dos poros e da tortuosidade da trajetória da linha de
fluxo, S= superfície específica, D = diâmetro de uma esfera equivalente ao tamanho dos grãos
do solo, C = fator de forma.
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Conforme será apresentado no capítulo 2, através do ensaio de adensamento e
fazendo−se uso da teoria da consolidação unidirecional de Terzaghi, pode−se estimaro
coeficiente de permeabilidade dos solos através da eq. 1.16. Nesta equação, av é o coeficiente
de compressibilidade do solo (expresso em termos de m2/kN), Cv é o seu coeficiente de
adensamento (expresso em termos de m2/s), γw é o peso específico da água, (expresso em
termos de kN/m3) e eo é o índice de vazios inicial da amostra. Neste caso, k é expresso em
m/s.
o
wvv
e
Ca
k
+
⋅⋅
=
1
γ (1.16)
Uma outra forma de se obter o coeficiente de permeabilidade do solo durante o ensaio
de adensamento é realizando−se um ensaio de permeabilidade a carga variável, através da
célula edométrica, entre dois estágios de carregamento. Isto é feito principalmente quando se
deseja agilizar a obtenção de resultados e estudar a variação do coeficiente depermeabilidade
do solo com o seu índice de vazios.
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São os ensaios de laboratório mais utilizados. A seguir são apresentados, de modo
sucinto, os métodos empregados na realização de cada tipo de ensaio.
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O esquema montado para a realização deste ensaio se assemelha em muito comaquele
elaborado por Darcy para a realização de sua experiência histórica (fig. 1.7) sendo
reapresentado na fig. 1.9. Este ensaio consta de dois reservatórios onde os níveis d’águasão
mantidos constantes e com diferença de altura (∆H), como demonstra a fig. 1.9. Medindo−se
a vazão q e conhecendo−se as dimensões do corpo de prova (comprimento L e a área da seção
transversal A), calcula−se o valor da permeabilidade, k, através da eq. 1.17.
16
q ❃ k ❢ i ❢ a q ❃ vol ❣ t vol ❃ k ❢ i ❢ a ❢ t i ❃✐❤ H ❣ L
Deste modo temos:
k ❃ vol ❢ L
A ❢ ❤ H ❢ t (1.17) em que:
vol: quantidade de água medida na proveta 
L: comprimento da amostra medido no sentido do fluxo
A: área da seção transversal da amostra 
∆H: diferença de nível entre o reservatório superior e inferior
t: tempo medido entre o início e o fim do ensaio
O permeâmetro de carga constante é sempre utilizado toda vez que temos que medir a
permeabilidade em solos granulares (solos com razoável quantidade de areia e/ou
pedregulho), os quais apresentam valores de permeabilidade elevados.
∆H
∆L
Figura 1.9 – Esquema utilizado no ensaio de permeabilidade a carga constante.
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O permeâmetro de carga variável é usado quando ensaiamos solos com baixos valores
de permeabilidade. Seu uso é requerido porque senão teríamos que dispor de um tempo muito
longo para percolar a quantidade de água necessária para a determinação de k com o uso do
permeâmetro de carga constante. Além disto, devido às baixas velocidades de fluxo, a
evaporação da água para a atmosférica passa a ter grande importância e cuidados especiais
devem ser tomados durante a realização dos ensaios. A fig. 1.10 apresentada a seguirilustra o
esquema montado para a realização do ensaio de permeabilidade a carga variável.
No ensaio de permeabilidade a carga variável medem−se os valores de h obtidos para
diversos valores de tempo decorrido desde o início do ensaio (notar que a diferença de
potencial entre os dois lados da amostra, aqui representada por h(t), não é mais uma
constante). São também anotados os valores de temperatura quando da efetuação de cada
medida. O coeficiente de permeabilidade do solo é então calculado fazendo−se usoda lei de
Darcy e levando−se em conta que a vazão de água através do corpo de prova pode ser
representada pela eq. 1.18 (conservação da massa), apresentada adiante.
17
Carga variável (solos finos)
A
L
h = f(t)
a
Figura 1.10 – Esquema montado para a realização do ensaio de permeabilidade a
carga variável.
dt
dh
aq −= (1.18)
A lei de Darcy pode ser expressa em termos de vazão pela eq. 1.19, apresentada a
seguir.
A 
L
h
kq ⋅⋅= (1.19)
Igualando−se as expressões 1.18 e 1.19 chega−se a eq. 1.20, apresentada abaixo.
❇ a ❃
h
o
h
1
dh
h
❃ kA
L t
o
t
1
dt (1.20) onde, integrando−se obtém−se:
a.ln
h
o
h
1
❃ k.A
L
❤ t explicitando−se o valor de k, obtém−se:
k ❃ a.L
A. ❤ t ❢ ln
h
o
h
1
ou k ❃ 2,3. a.L
A. ❤ t ❢ log
h
o
h
1
(1.21)
18
Sendo;
a: área interna do tubo de carga 
A: seção transversal da amostra 
L: altura do corpo de prova 
ho: distância inicial do nível d‘água para o reservatório inferior 
h1: distância, para o tempo 1, do nível d‘água para o reservatório inferior
∆t: intervalo de tempo para o nível d‘água passar de ho para h1
✂☎✄❑❬▲✄ ❘✚✄✟✩✜✠✣✢✥✧✗✬✭✎✒✢✵✑✔✤✳✛✜✧✗❳❡✼☞✎
Geralmente utilizados em furos de sondagens, podem ser realizados pela introdução de
água no furo de sondagem, medindo−se a quantidade de água que infiltra no maciço com o
decorrer do tempo de ensaio ou retirando−se água de dentro do furo e medindo−se a vazão
bombeada. O primeiro procedimento constitui o ensaio de infiltração e o segundo é conhecido
por ensaio de bombeamento. A fig. 1.11 apresenta o esquema utilizado no ensaio de
bombeamento. Neste ensaio, uma vazão constante de retirada de água (q) é imposta ao poço
filtrante esperando−se o equilíbrio do nível de água no fundo do poço. Poços testemunhas são
abertos a certas distâncias (x1 e x2) do poço filtrante, anotando−se as profundidades do lençol
freático nestes poços. O coeficiente de permeabilidade do solo é então calculado fazendo−se
uso da eq. 1.22, apresentada adiante.
Figura 1.11 – Esquema utilizado no ensaio de bombeamento. Modificado de
Caputo (1981).
( )2122
1
2
ln
yy
x
x
q
k
−⋅




⋅
=
π
 (1.22)
O ensaio de tubo aberto (infiltração) é utilizado para solos mais finos e a determinação
do coeficiente de permeabilidade é feita enchendo−se um furo revestido (escavadoaté uma
profundidade determinada, abaixo do lençol freático) com uma determinada quantidade de
água e deixando−se a água percolar pelo solo, fig. 1.12. Durante o processo de infiltração são
19
realizadas leituras do nível de água no revestimento do furo e do tempo decorrido desde o
início do ensaio. O coeficiente de permeabilidade para o caso do ensaio de infiltração é
calculado com o uso da eq. 1.23, apresentada adiante.





∆
∆⋅



=
t
h
h
r
k
4
1 (1.23)
Os ensaios de campo para a determinação do coeficiente de permeabilidade do solo,se
realizados com perícia, tendem a fornecer valores de coeficiente de permeabilidade mais
realísticos, já que são realizados aproximadamente na mesma escala do problema de
engenharia e levam em conta os eventuais “defeitos” do maciço de solo (fraturas,anisotropia
do material, não homogeneidade, etc.). Os ensaios de laboratório, embora realizados com
maior controle das condições de controle do problema, utilizam em geral amostras de solo de
pequenas dimensões, que deixam a desejar quanto a representatividade do maciço. Maiores
detalhes sobre a realização de ensaiosde permeabilidade em campo são obtidos emDe Lima
(1983) e ABGE (1981).
Figura 1.12 – Esquema ilustrativo do ensaio de infiltração. Modificado de Caputo
(1981).
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Além de ser uma das propriedades do solo com maior faixa de variação de valores, o
coeficiente de permeabilidade de um solo é uma função de diversos fatores, dentre os quais
podemos citar a estrutura, o grau de saturação, o índice de vazios, etc.
Quanto mais poroso é o solo maior será a sua permeabilidade. Essa correlaçãopode
ser visualizada através das equações 1.14 e 1.15. Deve−se salientar, contudo, que a
permeabilidade depende não só da quantidade de vazios do solo mas também da disposição
relativa dos grãos.
20
Amostras de um mesmo solo, com mesmo índice de vazios, tenderão a apresentar
permeabilidades diferentes em função da estrutura. A amostra no estado disperso terá uma
permeabilidade menor que a amostra de estrutura floculada. Este fator é marcante no caso de
solos compactados que, geralmente, quando compactados no ramo seco, apresentam uma
disposição de partículas (estrutura floculada) que permite maior passagem de águado que
quando compactados mais úmido (estrutura dispersa), ainda que com o mesmo índice de
vazios. Solos sedimentares, os quais por sua gênese possuem uma estrutura estratificada,
geralmente apresentam fortes diferenças entre os valores de permeabilidade obtidos fazendo−
se percolar água nas direções vertical e horizontal, em uma mesma amostra (anisotropia
surgida em decorrência da estrutura particular destes solos). Quanto maior o grau de
saturação de um solo maior será sua permeabilidade, pois a presença de ar nos vaziosdo solo
constitui um obstáculo ao fluxo de água. Além disto, quanto menor o Sr, menor a seção
transversal de água necessária para a ocorrência do fluxo.
Além dos fatores relacionados acima, a permeabilidade também sofre influência das
características do fluido que percola pelos vazios do solo. A permeabilidade dependedo peso
específico e da viscosidade do fluido (geralmente água). Essas duas propriedades variam com
a temperatura, entretanto, a variação da viscosidade é muito mais significativa do que o peso
específico (quanto maior a temperatura, menor a viscosidade e menor o peso específico da
água). É prática comum se determinar a permeabilidade a uma dada temperatura de ensaio e,
em seguida, corrigir o resultado para uma temperatura padrão de 20oC, através da fórmula:
k
20
❃ k
T
❜
T❜
20
(1.24)
onde: kT e µT são, respectivamente, permeabilidade e viscosidade na temperatura de
ensaio e k20 e µ20, são, respectivamente, permeabilidade e viscosidade na temperatura padrão
(20oC).
✂☎✄❑♥▲✄✟✩✜♦✝☛✮✤✥✠✣✢✥✖✗✎★✑✔✧✪▼◆✤✥✬✔✑✔✤✵❖P✧✝✌✲✷✏◗❀✼☞✧✝✌✏✧✪✎★✛✜✧✗✢✥✎★✑✔✤✳✯●✸✭✓✔♦✗✎★♣❴✌✏✬✭✑✔✬✭❳❨✤✥✠✣✢✥✬✭✎✒✠☞✧✝✸q✄
A lei de Darcy pode ser estendida para o caso de fluxo tridimensional através da eq.
1.25 apresentada adiante. Para o caso de solo isotrópico (kx=ky=kz), a eq. 1.25 pode ser
simplificada, resultando na eq. 1.26.
r
V ❃ ❇ kx ❆❉s hs x ❆
t
i ❅ ky ❆✉s hs y ❆
t
j ❅ ky ❆✉s hs z ❆
t
k (1.25)
r
V ❃ ❇ k ❆ s hs x ❆
t
i ❅ s hs y ❆
t
j ❅ s hs z ❆
t
k (1.26)
✂☎✄❑✈▲✄✟✴✾✤✥✌✏❳❨✤✥✧✝❩✒✬✭✸❋✬✭✑✔✧✝✑✔✤✳✤✥❳✇♣❴✤✥✌✏✌✏✤✥✠✣✎✒✢✳✩✜✢✥☛✍✌✏✧✗☛✮✬✭❲✥✬✭✷✏✧✗✑✔✎❊✢
Os depósitos de solos naturais podem exibir estratificação ou serem constituídos por
camadas com diferentes coeficientes de permeabilidade na direção verticale horizontal. A
permeabilidade média do maciço dependerá da direção do fluxo em relação à orientação das
camadas. Dois casos podem ser facilmente considerados: fluxo na direção paralela à
estratificação e fluxo perpendicular à estratificação.
21
Fluxo paralelo aos planos das camadas do solo:
A fig. 1.13 mostra um esquema de fluxo paralelo à direção das camadas do solo. O
solo é constituído por camadas de material com coeficiente de permeabilidade diferentes (k1,
k2, kn). Na direção horizontal todas as camadas estão sujeitas ao mesmo gradiente hidráulico
(i). Como V=ki, e k é diferente para as camadas, então a velocidade de fluxo será diferente
para cada camada (V1= k1.i, V2=k2.i, Vn =kn.i).
Considerando um comprimento unitário na direção perpendicular ao plano do papel,
temos que área de fluxo de cada camada será h1, h2,....hn, respectivamente, e esta valerá h para
todas as camadas.
Figura 1.13 – Fluxo paralelo aos planos das camadas.
A vazão total que passa pelo solo é soma da vazões em cada camada. Assumindo kx
como a permeabilidade média do solo, paralela à estratificação e aplicandoa eq. 1.27
podemos determinar a permeabilidade média do maciço (eq. 1.28).
q ❃ q
1 ❅ q2 ❅ q3 ❅ ... ❅ qn (1.27)
mas, kx ih
❃ k
1
ih
1 ❅ k2ih2 ❅ ... ❅ knihn
k
x
❃ i ① 1
n
k
i
h
i
i ① 1
n
h
i
(1.28)
Fluxo perpendicular aos planos das camadas do solo:
Um esquema de fluxo perpendicular à estratificação do maciço é apresentado nafig. 1.14.
Na direção vertical, sendo contínuo o escoamento, a vazão que passa através de cada camada
é a mesma e a perda de carga é diferente em cada uma delas (∆h1, ∆h2, ∆hn). Desde que a
vazão é constante em todas as camadas e a área da seção transversal ao fluxo éa mesma, a
velocidade de fluxo também será a mesma em todas as camadas. Considerando−se ainda que
h1, h2, hn, são a espessura de cada camada de solo e k1, k2, kn, os coeficientes de
permeabilidade de cada camada, podemos escrever a equação da permeabilidade médiana
direção vertical (kz), eq. 1.29:
q ❃ q
1
❃ q
2
❃ q
3
❃ ... ❃ q
n
V
z
A ❃ V
1
A
1
❃ V
2
A
2
❃ ... ❃ V
n
A
n
ou V
z
❃ V
1
❃ V
2
❃ ... ❃ V
n
 
q1
 
q2 
qn
 h
 h
1
 h
2
h
n
k1
 k
2
. k
3
22
V
z
❃ k
z
❤ h
h
i
❃ k
1
❤ h
1
h
1
❃ k
2
❤ h
2
h
2
❃ ....❃ k
n
❤ h
n
h
n
Se a perda de carga total∆h é dado pelo somatório das perdas de cargas através de
cada uma das camadas e o coeficiente de permeabilidade do conjunto é kz, ter−se−á:
❤ h ❃❡❤ h
1 ❅ ❤ h2 ❅ ❤ h3 ❅ ... ❅ ❤ hn ou
V
z
h
i
k
z
❃ V1h1
k
1
❅ V2 h2k
2
❅ ... ❅ Vn hnk
n
k
z
❃ i ① 1
n
h
i
i ① 1
n h
i
k
i
(1.29)
Figura 1.14 – Fluxo perpendicular aos planos das camadas.
✂☎✄✆✂✝②③✄④▼◆✤✥✬✔✑✔✤✵✯●✸✭✓✔♦✗✎★⑤⑥✤✥✠✣✤✥✌✏✧✗✸✭✬✭⑦④✧✗✑✔✧
A seguir é apresentado um tratamento matemático sumário o qual permite chegar de
uma forma direta às equações básicas que se utilizam hoje para tratar dos problemas
envolvendo fluxo de água em solos. Considere−se uma região de fluxo (ou seja, uma região
de solo por onde há fluxo de água) a qual forma um elemento paralelepipédico de dimensões
dx, dy e dz (fig. 1.15).
d
z
dx
dy
Vy(x,y,z)
Vy(x,y+dy,z)
Figura 1.15 – Movimento de água na direção y através da região de solo
considerada.
z
y
x
 
i 1 
i 2 
i n
 h
 h1
 h
2
h
n
k
1
 k
2
. k
3
V
23
Na fig. 1.15 está representada a parcela de fluxo através do elemento de solo
considerado, correspondente a componente da velocidade de fluxo da água na direção y, vy.
Deve−se notar da análise da fig. 1.15 que a componente vy da velocidade da água não provoca
nenhum fluxo através das outras quatro faces do elemento de solo (vy está contida nos outros
dois planos ortogonais do paralelepípedo). Desta forma, a quantidade de fluxo que passa pela
face cujo centro tem coordenadas (x,y,z) pode ser dada pela eq. 1.30, apresentada adiante. Na
eq. 1.30, vy é a componente do fluxo na direção y e o produto dx⋅dz corresponde ao valor da
área pela qual o fluxo está ocorrendo. Deve−se notar ainda que o símbolo qy tem unidade de
vazão, isto é, é expresso em termos de L3/T.
( ) ( ) xzyyyy ddVq ⋅⋅= (1.30)
Para a outra face do elemento de solo a qual sofre a influência do fluxo de água
provocado por vy, o centro da área de fluxo tem coordenadas (x,y+dy,z). A velocidade de
fluxo na direção y não é mais necessariamente vy, devendo ser melhor representada por
vy+dvy. dvy representa a variação da velocidade de fluxo na direção y, devido a variação
espacial da coordenada do centro da face de fluxo, dy. A eq. 1.31 representa a quantidade de
fluxo passando pela outra facedo elemento de solo
( ) ( ) ( ) xzyyxzdyyydyyy dddVVddVq ⋅⋅+=⋅⋅= ++ (1.31)
A taxa de armazenamento de água no solo devida a componente da velocidade de
fluxo na direção y será dada pela diferença entre as quantidades de fluxo que passam pelas
duas faces aqui consideradas (diferença entre os termos dados pelas equações 1.31 e 1.30). A
eq. 1.32 representa a taxa de armazenamento da água no solo devido a componente de fluxo
na direção y. O sinal negativo na eq. 1.32 significa que para haver o acúmulo de água no solo
a componente da velocidade na direção y, na face de saída, deve ser maior do que na face de
entrada.
dq
y
❃ ❇ dvy ❆ dx ❆ dy❆ dz (1.32)
dvy pode ser calculado fazendo uso do conceito de diferencial total (eq. 1.33). Deve−
se notar que os centros das faces consideradas possuem as mesmas coordenadas z e x, de
modo que dz = dx = 0. Deste modo, o termo dvy pode ser representado pela eq. 1.34.
Substituindo−se a eq. 1.34 na eq. 1.32 chega−se a eq. 1.35, apresentada adiante.
dz
Vy
dy
Vy
dx
V
dV
zyx
y
y
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ++= (1.33)
dy
y
V
dV
y
y
∂
∂= (1.34)
dq
y
❃ ❇⑨⑧ V y
⑧ y ❆ dx ❆ dy❆ dz
 (1.35)
A taxa de armazenamento total da água no solo será dada pelas contribuições do fluxo
nas três direções: x, y e z (eq. 1.36). Seguindo−se o mesmo procedimento apresentadopara o
0 0
24
caso da direção y, pode−se mostrar que a taxa de armazenamento total da água no solo édada
pela eq. 1.37, apresentada adiante (lei de conservação da massa). 
zyxtotal dqdqdqdq ++= (1.36)
dq
total
❃ ❇ ⑧ V x⑧ x ❅
⑧ V y
⑧ y ❅
⑧ V z
⑧ z ❆ dx❆ dy❆ dz
 (1.37)
O termo dx⋅dy⋅dz representa o volume do elemento infinitesimal de solo considerado.
Deste modo, podemos exprimir a taxa de armazenamento total da água no solo, em relação ao
próprio volume do elemento infinitesimal, pela eq. 1.38.
dq
total
dv
❃ ❇ ⑧ V x⑧ x ❅
⑧ V y
⑧ y ❅
⑧ V z
⑧ z
 (1.38)
Por sua vez, o termo dqtotal/dv pode ser expresso como uma função dos índices físicos
do solo. A fig. 1.16 apresenta um diagrama de fases para o elemento de solo considerado, em
termos de índice de vazios. Conforme se pode observar do diagrama de fases apresentado
nesta figura, a relação volume de água/volume total do elemento de solo é dada por
Sr⋅e/(1+e), onde e é o índice de vazios inicial da amostra e Sr o seu grau de saturação. O
termo dqtotal/dv corresponde a variação da relação Sr⋅e/(1+e) no tempo, podendo ser
representado pela eq. 1.39. Igualando−se as Equações 1.38 e 1.39 chega−se a eq. 1.40, a qual
atende aos requerimentos impostos pelo princípio da conservação da massa de água no solo.
⑧ Sr ❆ e
⑧ t 1 ❅ e
❃ dqtotal
dv
 (1.39)
⑧ Sr ❆ e
⑧ t 1 ❅ e
❃ ❇ ⑧ V x⑧ x ❅
⑧ V y
⑧ y ❅
⑧ V z
⑧ z ❆ dx ❆ dy❆ dz
(1.40)
Pesos Volumes
1
e
1 + eSr⋅e
0
γw⋅Sr⋅e
γs
Ar
Solo
Água
Figura 1.16 – Diagrama de fases para o elemento de solo considerado.
A eq. 1.25 apresentada anteriormente representa a lei de Darcy aplicada para umcaso
de fluxo tridimensional. Da eq. 1.25 pode−se deduzir as igualdades apresentadas na eq. 1.41,
mostrada adiante.
V
x
❃ ❇ k x ⑧ h⑧ x ;V y
❃ ❇ ky ⑧ h⑧ y ;V z
❃ ❇ kz ⑧ h⑧ z
 (1.41)
25
Substituindo−se os termos apresentados na eq. 1.41 dentro da eq. 1.40 chega−se a eq.
1.42, apresentada adiante, a qual representa a equação geral para o caso de fluxo de água em
solos.
⑧ Sr ❆ e
⑧ t 1 ❅ e
❃ ⑧
k
x ❆ ⑧ h
⑧ x
⑧ x ❅
⑧ ky ❆ ⑧ h⑧ y
⑧ y ❅
⑧ kz ❆ ⑧ h⑧ z
⑧ z ❆ dx ❆ dy❆ dz
(1.42)
Para o caso de fluxo em solo não saturado, heterogêneo e anisotrópico, tanto os
valores dos coeficientes de permeabilidade em cada direção (kx, ky e kz) quanto os valores do
potencial total da água no solo serão dependentes das coordenadas do ponto considerado e do
grau de saturação do solo, de modo que a resolução analítica da eq. 1.42 se torna bastante
árdua, senão impossível. Deve−se ressaltar, contudo, que com o desenvolvimento das técnicas
computacionais de representação do contínuo (como o método dos elementos finitos, por
exemplo), a resolução de tais problemas se tornou possível, em tempo viável, para uma
enorme variedade de condições de contorno. Para o caso de fluxo de água em solo saturado,
homogêneo e isotrópico, a eq. 1.42 é reduzida a eq. 1.43 apresentada a seguir.








∂
++=⋅
+ 
2
2
2
2
2
2
1
1
zyxto
hhh
k
e
e
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
 (1.43)
A eq. 1.43 é utilizada na resolução de dois tipos de problemas fundamentais para a
mecânica dos solos envolvendo fluxo de água: Fluxo bidimensional estacionário (fluxo
estacionário, do inglês “steady state flow”) e a teoria do adensamento unidirecional de
Terzaghi (Fluxo transiente, do inglês “transient flow”). Diz−se que o movimento de água no
solo está em um regime estacionário quando as condições de contorno do problema não
mudam com o tempo. No caso da eq. 1.43 para fluxo estacionário, o índice de vazios do solo
é uma constante, de modo que esta equação pode ser rescrita (considerando−se o fluxo
somente em duas direções) como a eq. 1.44.
0
2
22
2
=



+⋅
zx
hh
k
∂
∂
∂
∂
 (1.44)
A resolução analítica da eq. 1.44 nos fornece duas famílias de curvas ortogonais entre
si (linhas de fluxo e linhas equipotenciais). Além de ser resolvida analiticamente, a eq. 1.44
pode ser resolvida utilizando−se uma grande variedade de métodos, como o método das
diferenças finitas, o métodos dos elementos finitos, através de modelos reduzidos ouatravés
de analogias com as equações que governam os problemas de campo elétrico ou
termodinâmicos. Os métodos utilizados para a resolução da eq. 1.44 são apresentadosno
capítulo 3 deste trabalho. A título ilustrativo, a fig. 1.17 apresenta a resolução de um
problema de fluxo de água através da fundação de uma barragem de concreto contendo uma
cortina de estacas pranchas em sua extremidade esquerda. Notar a ortogonalidade entre as
linhas de fluxo e as linhas equipotenciais encontradas na resolução do problema.
Diz−se que o movimento de água no solo está em um regime transiente quando as
condições de contorno do problema mudam com o tempo. Neste caso, o valor do índice de
vazios do solo irá mudar com o desenvolvimento do processo de fluxo. Um dos casos mais
importantes de fluxo transiente em solos é o caso da teoria do adensamento unidirecional de
Terzaghi, estudada no capítulo seguinte. Para o caso de fluxo transiente unidirecional a eq.
1.43 se transforma na eq. 1.45 apresentada a seguir.
26
⑧ Sr ❆ e
⑧ t 1 ❅ e
❃ k ⑧ 2 h
⑧ h2
 (1.45)
Figura 1.17 – Esquema ilustrativo de resolução de um problema de fluxo
estacionário bidimensional. Modificado de Holtz & Kovacs, 1981.
Como veremos no capítulo seguinte, as variações no potencial total da água no solo,
para o caso dp adensamento, serão provocadas por carregamentos externos aplicados na
superfície do terreno, sob determinadas condições de contorno. Os carregamentos aplicados
ao solo irão fazer surgir excessos de pressão neutra, os quais tenderão a se dissipar pela
expulsão da água presente nos vazios do solo (diminuição do seu índice de vazios).
✂☎✄✆✂▲✂☎✄④✛✜✧✝✼☞✬✭✸✭✧✗✌✏✬✭✑✔✧✗✑✔✤✵✑✔✎✒✢✳❁✵✎✒✸✭✎✒✢
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Neste item é feita uma revisão sumária de alguns conceitos envolvendo o fenômeno da
capilaridade em solos. O assunto capilaridade já deve ser do conhecimento dos alunos deste
curso de mecânica dos solos, sendo normalmente estudado nas disciplinas de física aplicada.
Para o estudo da ascensão da franja capilar nos solos, os seus vazios são associados a tubos
capilares interconectados, ainda que muito irregulares. Logo, a capilaridade semanifesta nos
solos pela propriedade que possuem os líquidos de poderem subir, a partir do nível do lençol
freático, pelos canais tortuosos do solo, formados pelos seus vazios. 
No caso dos solos, o líquido o qual ascende além do nível freático é geralmente a
água, pura ou contendo alguma substância dissolvida. A explicação dos fenômenos capilares
é feita com base numa propriedade do solo associada com a superfície livre de qualquer
líquido, denominadatensão superficial. A tensão superficial resulta da existência de forças de
atração de curto alcance entre as moléculas, denominadas de forças de Van der Waals, ou
simplesmente forças de coesão. A distância limite de atuação destas forças, isto é, a distância
máxima que uma molécula consegue exercer atração sobre as outras, é conhecida pelo nome
raio da esfera de ação molecular ‘r’, que na água, não excede 5x10−6 cm. 
Deste modo, qualquer molécula cuja esfera de ação não esteja totalmente no interior
do líquido, não se equilibra, porque a calota inferior da sua esfera de ação está repleta de
moléculas que a atrai, o que não acontece com a calota superior, que cai fora do líquido, e não
está cheia de moléculas como a inferior (vide fig. 1.18). Tais moléculas são atraídas para o
interior do líquido pela resultante destas forças de coesão não equilibradas. Evidentemente,
27
esta resultante é nula quando a molécula se encontra a uma distância ‘r’ ou maior que rda
superfície do líquido. 
Figura 1.18 − Forças intermoleculares, modificado de Libardi (1993). 
Além disto, pela ação destas forças, a superfície do líquido se contrai minimizando sua
área, e adquire uma energia potencial extra que se opõe a qualquer tentativa de distendê−la,
ou seja, ocorrendo uma distensão, a tendência da superfície é sempre voltar a sua posição
original. Baseando−se nestas observações, a superfície ativa do líquido é tambémchamada de
membrana contrátil. 
Quando a membrana contrátil de um líquido se apresenta curva, pelo fato da mesma
possuir moléculas tracionadas, uma força resultante surge, sendo responsável por fenômenos
tais como a ascensão capilar. A curvatura do menisco por sua vez é função da intensidade da
força com que as moléculas do líquido são atraídas por outras moléculas do mesmo líquido,
pelo ar e pelas moléculas da superfície sólida eventualmente em contato com o líquido. A
formação de meniscos capilares é ilustrada na fig. 1.19, mostrada adiante. 
Conforme podemos observar nesta figura, F1 representa a força resultante de atração
das partículas sólidas (em sua parte superior e inferior) sobre as moléculas de água que se
encontram no ponto P e F2 representa a resultante das forças de atração entre aspróprias
moléculas do fluido. Desprezando−se a atração entre as moléculas de líquido e ar, caso F2 =
2F1, o menisco não apresentará curvatura, ouθ será de 90º. Caso F2 < 2F1, o menisco será
côncavo, ou seja,θ será menor que 90º (como no caso dos meniscos formados pela água e a
maioria das superfícies de contato). Caso F2 > 2F1, o menisco será convexo, ou seja, θ será
maior do que 90º (como nos casos dos meniscos formados pelo mercúrio e a maioria das
superfícies de contato).
 F2 resultante líquido
F1 resultante
sólido
F1 resultante
sólido
P
θ
Figura 1.19 − Formação de meniscos capilares. modificado de Libardi (1993).
r
Força resultante
F = 0
Líquido
ar
28
Imergindo−se a ponta de um tubo fino de vidro num recipiente com água, essa subirá
no tubo capilar até uma determinada altura, a qual será maior quanto mais fino foro tubo.
Existirá sempre uma tensão superficial (Ts) no contato entre a água e o vidro, formando um
ânguloθ (cujo valor depende da relação entre as forças apresentadas na fig. 1.19), o qual é
também é conhecido como ângulo de molhamento ou de contato. Ts eθ assumirão valores
que dependerão do tipo de fluido e da superfície de contato em questão. No caso da água,
considerada pura e o vidro quimicamente limpo, na temperatura ambiente, Ts é
aproximadamente igual a 0,074 N/m e θ é igual a zero.
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Sob efeito da capilaridade, o movimento da água é contrário a atração da gravidade.
Essa ascensão da água nos solos é chamada de ascensão capilar e é bastante variável a
depender do tipo de solo.
No solos, a altura de ascensão depende do diâmetro dos vazios. Como estes são de
dimensões muito variadas, a superfície superior de ascensão não fica bem caracterizada,
sendo possível que bolhas de ar fiquem enclausuradas no interior do solo. Ainda assim, existe
uma altura máxima de ascensão capilar que depende da ordem de grandeza do tamanho
representativo dos vazios do solo. Para solos arenosos, a altura de ascensão capilar é da
ordem de centímetros, enquanto que em terrenos argilosos esta pode atingir dezenas de
metros.
Cálculo da altura de ascensão capilar– O cálculo da altura de ascensão capilar é
feito através da forma de Laplace, representada pela eq. 1.46 mostrada a seguir. Nesta
equação, r1 e r2 são raios de curvatura ortogonais do menisco de água. 






+=
21
11
rr
Tsσ
 (1.46)
Caso o menisco de água seja esférico, temos r1=r2, o que, utilizando−se o esquema
apresentado na fig. 1.20, faz com que a equação de Laplace seja transformada na eq. 1.47,
utilizada para calcular a altura de ascensão capilar da água.
( )
r
Ts
h
w ⋅
⋅⋅=
γ
θcos2
 (1.47)
Figura 1.20 – Cálculo da altura de ascensão capilar da água.
29
O fenômeno da capilaridade é responsável pela falsa coesão das areias, quando estas
se encontram parcialmente saturadas. Em areias puras, areias de praias porexemplo, não há
aderência entre os seus grãos, seja no estado seco ou completamente saturado. Nota−se
entretanto, que quando nessas areias existe um teor de umidade entre zero e a umidade de
saturação, surge um menisco entre os contatos dos grãos, que tende a aproximar as partículas
de solo. Essas forças de atração surgem em decorrência do fenômeno da capilaridade e são
responsáveis pela coesão aparente das areias
Nas argilas, quando secas, há uma diminuição considerável do raio de curvatura dos
meniscos, levando a um aumento das pressões de contato e a uma aproximação das partículas,
provocando o fenômeno da retração por secagem no solo. Durante o processo de secagem das
argilas, as tensões provocadas em decorrência da capilaridade podem se elevar a pontode
provocar trincas de tração no solo.
30
2. COMPRESSIBILIDADE DOS SOLOS.
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Quando as cargas de uma determinada estrutura são transmitidas ao solo, estasgeram
uma redistribuição dos estados de tensão em cada ponto do maciço (acréscimos de tensão), a
qual, por sua vez, irá provocar deformações em toda área nas proximidades do carregamento,
inevitavelmente resultando em recalques superficiais.
Os dois fatores mais importantes na análise de uma fundação qualquer são 1) – As
deformações do solo, especialmente aquelas que irão resultar em deslocamentosverticais
(recalques na cota de assentamento da estrutura) e 2) A resistência ao cisalhamento do solo,
responsável pela estabilidade do conjunto solo/estrutura.
Para análise do primeiro requerimento imposto à fundação (recalques admissíveis da
fundação), deve−se considerar e estudar aspectos relativos à deformabilidade (ou
compressibilidade) dos solos. A natureza das deformações do solo sob os carregamentos a ele
impostos, pode ser elástica, plástica, viscosa ou mesmo se apresentar (como na maioria dos
casos) como uma combinação destes três tipos de deformação. As deformações elásticas
geralmente causam pequenas mudanças no índice de vazios do solo, sendo totalmente
recuperadas quando em um processo de descarregamento. Não se deve nunca confundir os
termos elasticidade e linearidade, já que um material pode se comportar de maneira elástica e
não linear.
Diz−se que um material se comporta plasticamente quando, cessadas as solicitações a
ele impostas, não se observa nenhuma recuperação das deformações ocorridas no corpo. Em
todos os dois tipos de deformação relatados acima, a resposta do solo a uma mudança no seu
estado de tensões efetivo é imediata. Quando o solo, mesmo com a constância do seu estado
de tensões efetivo, continua a apresentar deformações com o tempo, diz−se que ele está a
apresentar um comportamento do tipo viscoso (processo de fluência).
As deformações de compressão do solo, as quais são as principais responsáveis pelo
aparecimento de recalques na superfície do terreno, são devidas ao deslocamento relativodas
partículas de solo (no sentido de torná−las mais próximas umas das outras), tendo as
deformações que ocorrem dentro das partículas geralmente uma pequena influência nas
deformações volumétricas totais observadas.
Já que nos depósitos naturais o solo se encontra geralmente confinado lateralmente,os
recalques apresentados pelas estruturas de fundação são devidos, em sua maior parte, às
variações volumétricas de compressão apresentadas no interior do maciço de solo. Pode−se
ainda dizer que, neste caso, as deformações no sentido vertical compõem a maior parte das
deformações volumétricas observadas. 
✙✜✄ ✙✚✄✟✛✜✎✒❳❡✼☞✌✏✤✥✢✥✢❍✬❋❩❊✬❋✸✭✬✭✑✔✧✗✑✔✤✵✑✔✎✒✢✳❁✵✎✒✸✭✎✒✢
Como o solo é um sistema particulado, composto de partículas sólidas e espaços
vazios, os quais podem estar parcialmente ou totalmente preenchidos com água, os
decréscimos de volume por ele apresentados podem ser atribuídos, de maneira genérica,a três
causas principais:
✘
Compressão das partículas sólidas✘
Compressão dos espaços vazios do solo, com a conseqüente expulsão de água, no
caso de solo saturado.✘
Compressão da água (ou do fluido) existente nos vazios do solo.
Para a magnitude das cargas geralmente aplicadas na engenharia geotécnica aos solos,
as deformações ocorrendo na água e nas partículas sólidas podem ser desprezadas,
31
calculando−se as deformações volumétricas do solo a partir das variações em seu índice de
vazios. 
A compressibilidade de um solo irá depender do arranjo estrutural das partículas queo
compõe e do grau em que as partículas do solo são mantidas uma em contato com a outra.
Uma estrutura mais porosa, como no caso de uma estrutura floculada, irá resultar em um solo
mais compressível do que um solo contendo uma estrutura mais densa. Um solo composto
basicamente de partículas lamelares será mais compressível do que um solo possuindo
partículas predominantemente esféricas.
Quando há acréscimos de pressão no solo, é natural que este se deforme, diminuindo o
seu índice de vazios. Se a pressão anteriormente aplicada ao solo é então retirada, alguma
expansão (recuperação elástica) irá ocorrer, mas nunca na totalidade das deformações sofridas
anteriormente. Em outras palavras, o comportamento apresentado pelo solo é
preferencialmente de natureza elastoplástica. No caso de solos saturados econsiderando−se as
hipótese efetuadas anteriormente (água e partícula sólidas incompressíveis),caso haja
diminuição de volume do solo (acréscimos de pressão), o solo deverá expulsar água de seus
vazios, o contrário ocorrendo no caso de alívio de pressões. Para o caso dos solos finos, os
quais tendem a possuir baixos valores de permeabilidade, estes processos de deformação
podem requerer muito tempo para que ocorram em sua totalidade.
O processo de compressão gradual do solo devido a expulsão de água em seus vazios é
denominado de adensamento, e a equação governando o processo de adensamento do solo já
foi apresentada no capítulo anterior (eq. 1.45). Nota−se pois, que no processo de adensamento
estudamos dois fenômenos de natureza distinta, que ocorrem simultaneamente no solo: um
processo de fluxo e um processo de compressão do solo, devido à modificações nos valores
de tensão efetiva atuando no interior do maciço. Vê−se daqui que a análise do processo de
adensamento do solo deve ser feita de modo acoplado, isto é, considerando−se características
de deformabilidade e fluxo do solo de modo conjunto. 
✙✜✄❑❈▲✄✟✩✜✠✣✢✥✧✗✬✭✎★✑✔✤✳✷✏✎✒❳❨✼✣✌✏✤✥✢✥✢✥✖✝✎❴✷✏✎✒✠✣❲✥✬✭✠☞✧✝✑✔✧
O estudo da compressibilidade dos solos é normalmente efetuado utilizando−se o
edômetro, um aparelho desenvolvido por Terzaghi para o estudo das característicasde
compressibilidade do solo e da taxa de compressão do solo com o tempo. Este aparelhofoi
posteriormente modificado por Casagrande, sendo algumas vezes denominado de
consolidômetro. A fig. 2.1 apresenta, de modo esquemático, o aparelho utilizado nos ensaios
de compressão confinada.
Figura 2.1 – Esquema utilizado nos ensaios de compressão confinada. Modificado
de Caputo (1981).
32
Utilizando−se o aparelho apresentado na fig. 2.1, uma amostra de solo, compactada ou
indeformada, é submetida a valores crescentes de tensão vertical, sob a condição de
deformações radiais nulas. O ensaio de adensamento é normalmente realizado mantendo−se a
amostra saturada e utilizando−se duas pedras porosas (uma no topo e outra na base do corpo
de prova) de modo a acelerar a velocidade dos recalques na amostra e por conseguinte,
diminuir o tempo necessário para a execução do ensaio. Durante cada estágio de
carregamento são efetuadas leituras, através de um extensômetro, dos deslocamentos verticais
do topo da amostra e do tempo decorrido para obtenção de cada valor de deslocamento.
A taxa de mudança de volume da amostra com o tempo (notar que neste caso, como as
deformações radiais são nulas, a deformação volumétrica do solo é numericamente igual à
deformação axial) varia enormemente de acordo com o tipo de solo ensaiado. Solos não
coesivos, como no caso das areias puras, se deformam quase instantaneamente, enquanto que
os solos finos requerem longos períodos para que o processo de adensamento do solo se
complete.
As leituras dos deslocamentos medidos no topo do corpo de prova devem ser obtidas
até que se assegure uma percentagem de adensamento média de pelo menos 90%. No caso de
solos finos, com muito baixos valores de permeabilidade, o tempo requerido para que se
passe de um carregamento para o outro pode ser superior a um dia ou até mesmo mais, a
depender da natureza do solo ou no caso de se desejar estudar as suas características de
fluência.
✙✜✄ ❘✚✄✟✞✡✠☞☛✍✤✥✌✏✼☞✌✏✤✥☛✍✧✗✕✏✖✗✎★✑✔✎✒✢✳✹✻✤✥✢✥✓✔✸✭☛✍✧✗✑✔✎✒✢✵✑✔✤✳✓✔❳♠✩✜✠✣✢✥✧✝✬❋✎★✑✔✤✳✛✜✎✒❳❡✼☞✌✏✤✥✢✥✢❍✖✗✎❴✛✜✎❊✠☞❲✥✬✭✠✣✧✗✑✔✧▲✄
Existem diversos modos de se representar os resultados de um ensaio de adensamento.
O processo de adensamento se inicia relativamente veloz, mas com o tempo, a taxa de
deformações do solo decresce substancialmente. Após transcorrido o tempo necessário, as
leituras do extensômetro se tornam praticamente constantes, e pode ser assumido que a
amostra atingiu uma condição de equilíbrio (não há mais variações no estado de tensões
efetivo do solo), apesar de que, teoricamente falando, o tempo requerido para que o processo
de adensamento se complete é infinito. Em vista destas características,os resultados das
leituras efetuadas em cada estágio de adensamento são colocados em gráficos em função do
logaritmo do tempo, na maioria dos casos e em função da raiz quadrada do tempo, em
algumas circunstâncias.
Já que a compressão do solo ocorre em função de variações nos valores de seu índice
de vazios, a sua curva de compressão é normalmente representada em termos de índicede
vazios versus o logaritmo da tensão vertical (novamente aqui se adota um gráfico semi−log,
em decorrência do fato de que os valores de tensão vertical aplicados ao solo em um ensaio
de adensamento variam enormemente, indo de valores tão baixos quanto 2 kPa até valoresda
ordem de 2 MPa).
O valor do índice de vazios ao final de cada estágio de carregamento do solo pode ser
obtido considerando−se a hipótese de carregamento confinado (εv = ∆H/H) e utilizando−se o
diagrama de fases apresentado na fig. 7.2. Da análise da fig. 7.2 temos:
e
f
❃ e
o ❅
❤ h
h
o
1 ❅ eo onde; (2.1)
ef: índice de vazios ao final do estágio de carregamento atual
∆h: variação de altura do corpo de prova (acumulada) ao final do estágio
ho: altura inicial do corpo de prova (antes do início do ensaio)
eo: índice de vazios inicial do corpo de prova (antes do início do ensaio)
33
As figs. 2.2, 2.3 e 2.4 apresentam os resultados obtidos em um ensaio de adensamento
típico. Na fig. 2.2 são apresentadas variações de altura da amostra em função dologaritmo do
tempo e em função da raiz quadrada do tempo (estes gráficos apresentam os resultados
obtidos em um estágio de carregamento). Na fig. 2.3 são apresentados resultados típicos de
um ensaio de adensamento executado em argilas normalmente adensadas. Nesta figura, a
amostra foi comprimida,em primeiro carregamento, a partir do ponto A até o pontoB. Em
seguida esta sofreu um processo de descarregamento até o ponto D, para, finalmente, ser
recarregada até o ponto B, e, novamente em primeiro carregamento, atingir o pontoC. Como
podemos notar, a curvaσv′ x e apresenta histerese, ou seja, deformações plásticas
irreversíveis. Isto pode ser claramente observado se se toma o valor deσv′ de 175 kPa, por
exemplo, em que cada um dos trechos de carga/descarga/recarga corta a linha correspondente
a esta tensão com valores diferentes de índice de vazios. 
 (a) (b)
Figura 2.2 – Resultados típicos obtidos em um estágio de carregamento de um
ensaio de adensamento.
Figura 2.3 – Representação dos resultados de um ensaio de adensamento em termos
de índice de vazios x tensão vertical. Escala linear. Modificado de Atkinson & Bransby
(1978).
34
A inclinação em cada ponto da curva de compressão do solo é dada pelo seu
coeficiente de compressibilidade (av), representado pela eq. 2.2. Da análise da fig. 2.3 nota−se
que durante o ensaio de adensamento o solo se torna cada vez mais rígido (ou menos
compressível), conduzindo a obtenção de valores de av cada vez menores (pode−se notar que
o coeficiente de compressão do solo varia de forma inversamente proporcional ao seu módulo
de elasticidade).
’v
v
e
a
σ∆
∆−= (2.2)
O sinal negativo na eq. 2.2 é necessário pois o índice de vazios e a pressão vertical do
solo variam em sentido contrário (acréscimos na tensão vertical irão causar decréscimos no
índice de vazios do solo).
Na análise da fig. 2.3, a expressãoprimeiro carregamentosignifica que os
carregamentos que ora se impõem ao solo superam o maior valor por ele já sofrido em sua
história de carregamento prévia. Este conceito é bastante importante, pois o solo (assim como
qualquer material que apresente um comportamento elastoplástico), guarda em sua estrutura
indícios dos carregamentos anteriores. Assim, na fig. 2.3, dizemos que o trecho da curva de
compressão do solo entre os pontos A e B corresponde a um trecho de carregamento virgem
da amostra, no sentido de que a amostra ensaiada nunca antes experimentara valores de tensão
vertical daquela magnitude. Quando isto ocorre, dizemos que a amostra de solo é
normalmente adensada. É fácil perceber que para o trecho da curva de compressão B−D−B
(trecho de descarga/recarregamento), a amostra não pode ser classificadacomo normalmente
adensada, já que a tensão a qual lhe é imposta neste trecho é inferior a tensão máxima por ela
já experimentada (ponto B). Nota−se também que no trecho B−D−B o comportamento do
solo é essencialmente elástico, ou seja, as deformações que ocorrem no solo neste trecho,
além de pequena monta, são quase que totalmente recuperáveis. Quando o estado de tensões
ao qual o solo está submetido é inferior ao máximo valor de tensão por ele já sofrido, o solo é
classificado como pré−adensado. A partir do ponto B da curva de compressão do solo, todo
acréscimo de tensão irá levar o solo a um estado de tensão superior ao maior estado de tensão
já experimentado anteriormente, de modo que no trecho B−C o solo é novamente classificado
como normalmente adensado.
Na fig. 2.4 os mesmos resultados já apresentados na fig. 2.3 estão plotados em escala
semi−log. Como se pode observar, em escala semi−log estes resultados podem ser
aproximados por dois trechos lineares (embora para o trecho descarga/recarga, D−B−D, esta
simplificação não se ajuste de forma tão satisfatória como nos trechos de carregamento
virgem A−B e B−C). As inclinações dos trechos de descarregamento/recarregamento e
carregamento virgem da curva de compressão em escala semi−log são dadas pelosíndices de
recompressão (Ce) e de compressão (Cc), respectivamente. As Equações 2.3e 2.4 ilustram as
expressões utilizadas no cálculo dos índices de compressão e recompressão do solo.
( )




−
−=
vi
vf
if
c
ee
c
σ
σ
log
 (trecho de compressão virgem do solo) (2.3)
( )




−
−=
vi
vf
if
e
ee
c
σ
σ
log
 (trechos de descompressão e recompressão do solo) (2.4)
35
A fig. 2.5 ilustra o efeito do pré−adensamento sobre os solos. Nesta figura, emque a
curva de compressão do solo foi aproximada por trechos lineares, um solo normalmente
adensado é comprimido até um determinado valor deσv′ (representado pelo ponto B1), a
partir do qual sofre um processo de descompressão, atingindo o ponto D1. Se, neste ponto o
solo é recarregado, a trajetória de tensões seguida no espaçoσv′ x e, pode ser representada
pela reta D1−B1, a menos de uma pequena histerese, de valor normalmente negligenciável.
Atingindo novamente o valor de B1, o solo irá seguir a reta de compressão virgem. Sendo
novamente descarregado o solo para qualquer valor deσv′ > B1 (como B2, por exemplo),
teremos resultados semelhantes.
Figura 2.4 – Representação dos resultados de um ensaio de adensamento em termos
de índice de vazios x tensão vertical. Escala semi−log. Modificado de Atkinson &Bransby
(1978).
Figura 2.5 – Efeito do pré−adensamento na curva de compressão dos solos.
Atkinson & Bransby (1978)
Conforme será visto neste capítulo, quando do cálculo de recalques em campo, a curva
de compressão do solo é geralmente representada por dois segmentos lineares, com
inclinações distintas, a saber, um trecho de recompressão do solo, o qual possui como
inclinação o valor de Ce e um trecho de carregamento virgem do solo, cuja inclinação é dada
pelo índice Cc. O valor da tensão a qual separa os trechos de recompressão e de compressão
virgem do solo é normalmente denominado de tensão de pré−adensamento, e representa,
conceitualmente, o maior valor de tensão já sofrido pelo solo em campo.
36
Deve−se ter em mente que quando um ensaio de adensamento é realizado em uma
amostra indeformada coletada em campo, durante o processo de amostragem há uma
descompressão do solo a ser ensaiado, pois que as camadas a ele sobrejacentes são retiradas.
Deste modo, sempre que um ensaio de adensamento é realizado, a amostra sofre inicialmente
um processo de recompressão, que continua até que o carregamento imposto pela prensa de
adensamento ao solo supere o maior valor de tensão vertical já sofrido por ele emcampo
(valor da o de tensão de pré−adensamento do solo). A depender da história geológica do solo,
o valor da tensão de pré−adensamento calculada a partir do ensaio de compressão confinada
pode ser maior ou igual ao valor da tensão vertical efetiva do solo em campo. Quando a
tensão de pré−adensamento calculada para o solo supera o valor da sua tensão efetiva de
campo, diz−se que o solo é pré−adensado. Quando este valor é aproximadamente igual ao
valor da tensão vertical efetiva de campo, diz−se que o solo é normalmente adensado.
A fig. 2.6 ilustra a formação de um depósito de solo pré−adensado. Na hipótese de um
solo sedimentar, durante o seu processo de formação, o acúmulo de tensão ocasionado pelo
peso das camadas sobrepostas de solo leva−o continuamente a um estado de tensões que
supera o máximo valor já vivificado por ele em toda a sua história geológica. Se por um
evento geológico qualquer, o processo de deposição for interrompido e passar a existirno
local do maciço de solo um processo de erosão, a tensão vertical efetiva em campo passa a ser
menor do que a máxima tensão já vivificada pelo solo, isto é, o solo passa a uma condição
pré−adensada. É importante frisar que neste caso, a tensão de pré−adensamento determinada
no ensaio de compressão confinada terá valor aproximadamente igual à tensão vertical
máxima de campo, ilustrada na fig. 2.6. Neste ponto pode−se definir o conceito de razão de
pré−adensamento de um solo (RPA) ou OCR (do inglês “over consolidation ratio”). A razão
de pré−adensamento de um solo, dada pela eq. 2.5, é a relação entre a máxima tensão vertical
já experimentada pelo solo e a tensão vertical efetiva atual de campo, ou seja, é a razão entre
a tensão de pré−adensamento do solo e a sua tensão vertical efetiva de campo. A fig. 2.7
apresenta uma curva de compressão típica, em escala semi−log, obtidaa partirde um ensaio
de adensamento realizado em uma amostra indeformada de solo. Estão ilustrados nesta figura
os trechos de recompressão e compressão virgem do solo. A tensão de pré−adensamento deve
necessariamente se situar entre estes dois trechos.
vcampo
vp
vcampo
vRCO
σ
σ
σ
σ
== max..
 (2.5)
Onde σvp representa a tensão de pré−adensamento do solo.
Figura 2.6 – Processo de formação de um solo pré−adensado. 
37
Conforme apresentado na fig. 2.7, há uma transição gradual entre as inclinações dos
trechos de recompressão e de compressão virgem do solo. O valor da tensão de pré−
adensamento do solo é determinado empiricamente, a partir de dois processos gráficos,
conhecidos como métodos de Casagrande e Pacheco Silva. A fig. 2.8 apresenta a
determinação da tensão de pré−adensamento do solo pelo método de Casagrande.
0.70 
0.75 
0.80 
0.85 
0.90 
0.95 
1.00 
ín
di
ce
 d
e 
va
zi
os
10 100 1000 10000 
Tensão vertical (kPa)
CompressãoRecompressão
Figura 2.7 – Curva de compressão típica obtida em um ensaio de compressão
confinada.
0.70 
0.75 
0.80 
0.85 
0.90 
0.95 
1.00 
ín
di
ce
 d
e 
va
zi
os
10 100 1000 10000 
Tensão vertical (kPa)
Tensão de 
Pré−Adensamento
Bissetriz
Tangente
Figura 2.8 – Determinação da tensão de pré−adensamento do solo pelo método de
Casagrande.
Conforme ilustrado na fig. 2.8, para obtenção da tensão de pré−adensamento do solo
pelo método de Casagrande procede−se da seguinte maneira: Determina−se o ponto de maior
38
curvatura da curva de compressão confinada do solo. Por este ponto traça−se uma tangenteà
curva e uma reta horizontal. A tensão de pré−adensamento do solo será determinadapela
interseção do prolongamento da bissetriz do ângulo formado por estas duas retas com o
prolongamento da reta de compressão virgem do solo. 
A fig. 2.9 ilustra o procedimento utilizado para obtenção da tensão de pré−
adensamento do solo desenvolvido por Pacheco Silva (pesquisador brasileiro do IPT−SP). A
determinação da tensão de pré−adensamento do solo pelo método de Pacheco Silva é
realizada prolongando−se o trecho com a inclinação da reta virgem até que se toque uma reta
horizontal, fixada em um valor correspondente ao do índice de vazios inicial do solo (antes do
ensaio de adensamento). Neste ponto, uma vertical é traçada até se atingir a curva de
compressão do solo. Traça−se então uma horizontal indo do ponto de interseção com a curva
de compressão até o prolongamento do trecho de compressão virgem, realizado
anteriormente. Este ponto é adotado como sendo correspondente ao valor da tensão de pré−
adensamento do solo. Deve−se ter em mente que como os processos aqui ilustrados são
empíricos e gráficos, o valor da tensão de pré−adensamento do solo irá variar emfunção da
pessoa que realiza os cálculos ou em função do método empregado. Os resultados obtidos,
contudo, não devem se apresentar muito destoantes.
0.70 
0.75 
0.80 
0.85 
0.90 
0.95 
1.00 
ín
di
ce
 d
e 
va
zi
os
10 100 1000 10000 
Tensão vertical (kPa)
Tensão de
pré−adensamento
de 330 kPa
Figura 2.9 – Determinação da tensão de pré−adensamento do solo pelo método de
Pacheco Silva.
❷✜❸❑❹▲❸✟❺✜❻✝❼❋❽✏❾✔❼✭❿❴➀✔❿❊➁✳➂✻➃✥❽✏➄✗❼✭➅✗❾✔➃✥➁✵➆❴❿✒➇✍➄✗➈✭➁✳➃❍➉♠❺✜➄✗➉❡➊☞❿➋❸
Neste item se ilustrará o procedimento normalmente adotado para o cálculo dos
recalques totais do solo em campo. É importante frisar que os recalques totais irão ocorrer no
solo somente após virtualmente completado o seu processo de adensamento. Conforme
relatado anteriormente, no caso de solos finos, o tempo requerido para que isto ocorra em
campo pode ser extremamente longo (até mesmo da ordem de séculos). O cálculo dos
recalques diferidos no tempo é normalmente realizado utilizando a teoria do adensamento
unidirecional de Terzaghi, a qual será exposta, de modo sucinto, no item seguinte.
O cálculo dos recalques no solo é freqüentemente realizado utilizando−se a eq. 2.1,
expressa em termos de ∆h (eq. 2.6)
39
➌➎➍ h ➏✐➐❧➏ ➌⑨➍ e
1 ➑ e
o
➒ h
o (2.6)
Ondeρ é o valor do recalque do solo em superfície e ho é a altura inicial da camada de
solo compressível (ou da camada de solo para a qual se quer calcular o recalque). Ovalor de
∆e é calculado fazendo−se uso das equações 2.3 e 2.4, apresentadas anteriormente.
Substituindo−se as Equações 2.3 e 2.4 na eq. 2.6, encontram−se as seguintes equações parao
cálculo do recalque do solo em campo:
1) Solo normalmente adensado:
o
o
vo
vo
h
e
Cc
⋅
+



 ∆+⋅
=
1
’
’
log
 
σ
σσ
ρ
 (2.7)
Na eq. 2.7, o termo∆σ corresponde ao acréscimo de tensão vertical provocado pela
construção, enquanto que o termo σvo’ corresponde ao estado de tensões inicial efetivo do solo
em campo. A fig. 2.10 ilustra o significado dos termos apresentados na eq. 2.7.
z
σo
σo = γz
∆σ
Figura 2.10− Estado inicial de tensões no solo (tensões geostáticas) e acréscimos de
tensão provocados pela estrutura.
2) Solo pré−adensado comσvo’ + ∆σ menor do que a tensão de pré−adensamento do
solo:
o
o
vo
vo
h
e
Ce
⋅
+



 ∆+⋅
=
1
’
’
log
 
σ
σσ
ρ
 (2.8)
40
3) Solo pré−adensado comσvo’ + ∆σ maior do que a tensão de pré−adensamento do
solo:








 ∆+⋅+



⋅
+
=
vp
vo
vo
vp
o
o
c CcCe
e
h
σ
σσ
σ
σρ ’log
’
log
1
 
 (2.9)
Para o cálculo dos recalques totais do solo utilizando−se as Equações 2.7 a 2.9, deve−
se considerar o ponto médio da camada para o cálculo das tensões geostáticas do solo (valor
deσvo’) e do valor do acréscimo de tensões (∆σ). No caso de um aterro extenso, em que suas
dimensões são bem superiores a espessura da camada compressível, pode−se assumir, sem
incorrer em erros significativos, um acréscimo de tensão∆σ constante em toda a espessura da
camada compressível. Na fig. 2.10 é ilustrada a distribuição de acréscimos detensão vertical
no maciço, provocados por uma fundação de forma circular. No caso de um aterro extenso,a
relação z/a é aproximadamente zero, de modo que o acréscimo de tensão no solo pode ser
considerado como constante com a profundidade e aproximadamente igual ao valor da
pressão aplicada pela placa circular. Para os outros casos, os acréscimos detensão provocados
pela estrutura devem ser estimados em vários pontos da camada compressível.
O uso das eq. 2.7 a 2.9 é razoável para o caso de carregamento extenso, mas o erro
cometido ao utilizá−las para uma distribuição de tensões verticais tal como aquela ilustrada
na fig. 8.5 pode ser demasiado. Nestes casos, é preferível dividir a camada de solo
compressível em um número n de camadas, empregando−se as Eqs. 2.7 a 2.9 para calcular os
recalques em cada divisão adotada. O recalque total da camada compressível de solo será
então dado pelo somatório dos recalques calculados para cada subcamada. As Eqs. 2.10a
2.12 devem então ser utilizadas para o cálculo dos recalques totais por adensamento no solo,
para um caso mais geral de carregamento. 
1) Solo normalmente adensado:
i
n
i voi
ivoi
oi
i
n
i
z
e
Cc
∆



 ∆+
+
∆= ∑∑
== 11 ’
’
log
1
= 
σ
σσ
ρρ
 (2.10)
Onde Cci representa o índice de compressão do solo, eoi representa o índice de vazios
inicial, σvoi’ representa o valor da tensão vertical geostática efetiva inicial e∆σi representa o
créscimo de tensão vertical, relativos ao centro da subcamada (i).∆zi representa a espessura
da subcamada (i).
2) Solo pré−adensado comσvo’ + ∆σ menor do que a tensão de pré−adensamento do
solo:
i
n
i voi
ivoi
i
oi
i
Ce
e
z∑
=









 ∆+⋅
+
∆=
1 ’
’
log
1
 
σ
σσ
ρ
 (2.11)
Onde Cei representa o índice de recompressão do solo na subcamada considerada.
3) Solo pré−adensado comσvo’ + ∆σ maior do que a tensão de pré−adensamento do
solo:
41
∑
=










 ∆+⋅+




⋅
+
∆=
n
i vpi
ivoi
i
voi
vpi
i
oi
i
CcCe
e
z
1 ’
’
log
’
log
1
 
σ
σσ
σ
σρ
 (2.12)
❷✜❸❑➓▲❸✟➔❚→✣➄✗❼✭❿✒➣✝➈❋➄❀↔❫➃✥❽✏↕✗→✣➈✭❽✲➄❀➀✔❿❴➙✾➛✏❿✒❽✏➃✥➁✥➁✥❿★➀✔➃✳➔❚➀✔➃✥→✣➁✥➄✝➉❨➃✥→✣➇✮❿❴➙✾➛✏❿✒➊✣❿✒➁✥➇✮➄❀➊✣❿✒➛✜➆❴➃✥➛✏➜④➄✝➣✗➝✣➈❍❸
Conforme relatado anteriormente, casose considere o solo saturado e as partículas de
água e sólidos incompressíveis, toda a variação de volume apresentada pelo solo deverá
ocorrer em função de variações em seu índice de vazios. Caso o solo esteja saturado, já que
consideramos a água como incompressível, variações no índice de vazios do solo somente
poderão ocorrer caso ocorra também expulsão de água de seus vazios (no caso de um
processo de compressão) ou absorção de água para dentro de seus vazios (no caso de um
processo de expansão). Vê−se daqui que, considerando−se as hipóteses citadas acima,para
que o solo se deforme é necessário que ocorra um processo de fluxo de água em seu interior.
No capítulo 1 foram apresentadas as principais leis governando os processos de fluxo deágua
nos solos. Do exposto naquele capítulo, pode−se concluir que, conservando−se todas as
condições de contorno do problema, a velocidade do fluxo de água em cada ponto do solo
será proporcional ao seu coeficiente de permeabilidade. Ora, conforme também relatado
naquele capítulo, o coeficiente de permeabilidade talvez seja a propriedade dos solos de maior
amplitude de variação, apresentado valores de cerca de 10 cm/s para o caso de pedregulhos e
valores da ordem de 10−9 cm/s para argilas de baixa permeabilidade. Se a velocidade de fluxo
é proporcional ao coeficiente de permeabilidade do solo, é fácil entender porque a
compressão dos solos grossos se processa quase que imediatamente a aplicação do
carregamento ao solo, enquanto que o processo de adensamento dos solos argilosos pode
requerer períodos superiores a cem anos para que seja virtualmente completado.
O processo de adensamento e a teoria de Terzaghi, apresentada a seguir, podem ser
bem entendidos somente se uma importante hipótese simplificadora é explicada e apreciada.
A relação entre o índice de vazios e a tensão vertical é assumida como sendo linear.
Conforme apresentado na fig. 2.3, contudo, o comportamento do solo sob compressão
confinada é de sorte tal que este se torna cada vez menos compressível, diminuindo o valorde
seu coeficiente de compressibilidade (av, eq. 2.2). Complementarmente, é assumido que esta
relação é independente do tempo e da história de tensões do solo, o que só seria válido caso o
solo apresentasse um comportamento perfeitamente elástico. Conforme apresentado na fig.
2.3, contudo, o solo apresenta deformações residuais ao ser descarregado, isto é,o
comportamento tensão/deformação do solo é preferencialmente elastoplástico. O processo de
adensamento pode então ser explicado, partindo−se desta hipótese preliminar, conforme
apresentado nos parágrafos seguintes.
Admitamos uma amostra de solo em equilíbrio com as tensões geostáticas de campo
(σvo’ inicial de campo, calculado conforme descrito no capítulo de tensões geostáticas), com
índice de vazios eo. Imediatamente após a aplicação de um acréscimo de carregamento∆σv, o
índice de vazios é ainda eo. Conforme ilustrado na fig. 2.11, o acréscimo de tensões no solo
somente se converterá em um acréscimo de tensões efetiva quando o índice de vazios dosolo
não for mais eo, mas sim ef (quando isto ocorrer, a tensão efetiva atuando no elemento de solo
será igual aσvf). Em outras palavras, o acréscimo de tensão provocado no solo (∆σv) irá
ocasionar uma redução em seu índice de vazios (∆e). De acordo com o discutido
anteriormente, para que isto ocorra, uma certa quantidade de tempo é requerida, a qual é
função do tipo de solo. Assim, considerando−se o princípio das tensões efetivas de Terzaghi,
existe somente uma possibilidade para explicar este retardo na resposta do solo: Oincremento
de tensão aplicado ao elemento de solo é no início totalmente suportado pela água,ou seja,
logo após a aplicação do incremento de tensão∆σv, gera−se um incremento na pressão neutra
do solo∆u, numericamente igual ao valor de∆σv. Este aumento na pressão neutra do solo,
42
também denominado de ue, ocasiona um processo de fluxo transiente em seu interior, o qual é
governado pela eq. 1.45, apresentada no capítulo fluxo de água em solos.
Tensão vertical efetiva
e
eo
ef
e(t)
∆σv
ue(t)
σvo σvfσv(t)
Figura 2.11 – Conversão de pressão neutra em tensão efetiva durante o processo de
adensamento do solo.
Se a amostra de solo se apresentasse hermeticamente selada, não permitindo o escape
de água dos vazios do solo, as condições iniciais do problema continuariam a existir
indefinidamente. Acontece que, no ensaio de adensamento descrito anteriormente, as pedras
porosas colocadas no topo e na base da amostra tendem a dissipar imediatamente o excesso de
pressão gerado pelo carregamento, passando a drenar a água expulsa dos vazios do solo com
o transcorrer do processo. Como as pedras porosas dissipam rapidamente o excessode
pressão provocado pelo carregamento, e dentro da amostra ainda há excessos de pressão
neutra, surgem gradientes hidráulicos, os quais vão fomentar o processo de fluxo. Tem−se
então que durante o processo de adensamento, gradualmente, o índice de vazios do solo
decresce (indo de eo a e(t), para um tempo t decorrido desde a aplicação do carregamento), o
excesso de pressão neutra é dissipado e a tensão efetiva no elemento de solo é aumentada do
mesmo valor do decréscimo do excesso de pressão neutra. Isto ocorre porque o acréscimo de
tensão fornecido ao solo é suposto constante com o tempo, de modo que empregando−se a
proposta de Terzaghi para o princípio das tensões efetivas, escrito de forma incremental,
temos:
evv u∆−∆=∆ σσ ’ (2.13)
Como o valor de ∆σv é constante temos:
ev u∆−=∆ ’σ (2.14)
É razoável supor que a quantidade de excesso de pressão neutra dissipada ao longo da
altura da amostra de solo não seja a mesma. De fato, quanto mais próximo o ponto
considerado na amostra de solo estiver das superfícies de drenagem, maior vai sero valor do
excesso de pressão neutra dissipado. O processo de adensamento continua até que em todos
os pontos da amostra de solo se tenha e = ef. Teoricamente, a partir deste instante, não há
mais no interior do solo gradientes hidráulicos, de modo que não há mais água sendo expulsa
do corpo de prova e o excesso de pressão neutra em todos os pontos da amostra é igual a zero.
A tensão efetiva em todos os pontos da amostra de solo é igual aσvf e a amostra é dita como
∆e
43
adensada para aquele valor de tensão vertical. Deve−se ter em mente que ao finaldo processo
de adensamento do solo em campo, não há mais excesso de pressão neutra ao longo do
extrato de solo considerado, contudo, as pressões neutras geostáticas continuam a existir. Em
campo, as pedras porosas empregadas no topo e na base do corpo de prova durante um ensaio
de adensamento são representadas por camadas de solo possuindo valores de permeabilidade
bem superiores aos valores de permeabilidade do estrato de solo mole estudado. Deste modo,
a condição de ensaio de laboratório pode ser representativa da situação formada por um
extrato de argila mole compreendido entre dois extratos de areia.
O grau de adensamento em cada ponto da amostra, u(z,t), é normalmente calculado
com o uso da eq. 2.15.
u z,t ➏ uo ➌ u t
u
o
➌ u
f
➏ 1 ➌ ue t
ue
o
 (2.15)
Substituindo−se a eq. 2.14 dentro da eq. 2.15 tem−se:
u z,t ➏
➞ t ‘ ➌ ➞
o
‘
➞
f
‘ ➌ ➞
o
‘
 (2.16)
Logo após a aplicação do carregamento ao solo temos ue(z,0) = ueo, de modo que o
valor do grau de adensamento em todos os pontos da amostra de argila é zero (vide eq. 2.15).
Ao final do adensamento temos ue(z,∞) = 0, o que faz com que o grau de adensamento em
cada ponto da amostra seja igual a 1. 
Uma analogia mecânica do processo de adensamento foi desenvolvida por Terzaghi,
por intermédio da qual o processo de adensamento do solo pode ser melhor entendido. A fig.
2.12 ilustra a analogia proposta por Terzaghi para explicar o processo de adensamento no
solo, a qual é apresentada nos parágrafos seguintes:
Uma mola de altura inicial H é imersa em água em um cilindro. Nesta analogia, a
mola tem uma função semelhante à estrutura do solo e a água do cilindro tem uma função
análoga à pressãoneutra. Neste cilindro é ajustado um pistão de área transversal A, através do
qual uma carga axial pode ser transmitida ao sistema, que representa o solo saturado. O
pistão, por sua vez, é dotado de uma válvula a qual pode estar, fechada, aberta ou
parcialmente aberta. A válvula do pistão controla a facilidade com que a água pode sair do
sistema e seu significado é semelhante ao do coeficiente de permeabilidade do solo.
Aplica−se uma carga p ao pistão. Se a válvula do pistão está fechada, toda a pressão
decorrente da carga aplicada (p/A) será suportada pela água, visto que a compressibilidade da
água é bem inferior à compressibilidade da mola. Se agora abrimos a válvula do pistão, a
água começa a ser expulsa do sistema, em uma velocidade que é função da diferença entre a
pressão na água e a pressão atmosférica. Com a saída da água do sistema, o pistão se
movimenta e a mola passa a ser solicitada em função deste deslocamento. Em qualquer
instante, a soma das forças exercidas pela mola e pela água no pistão deve ser iguala carga p
aplicada externamente. Este processo continua até que toda a carga p esteja sendosuportada
pela mola, sendo a pressão na água existente dentro do sistema devida somente ao seu peso
próprio (os excessos de pressão na água do sistema ao final do processo são nulos). Neste
ponto não há mais fluxo de água para fora do sistema. A fig. 2.12 no seu lado direito, ilustra a
variação das parcelas da carga aplicada suportadas pela água e pela mola com o tempo
Embora análogo ao que ocorre nos solos, no esquema mecânico ilustrado pela fig.
2.12, os excessos de pressão em cada instante se distribuem de maneira uniforme ao longo de
todo o sistema. Conforme já relatado anteriormente, contudo, em uma massa de solo, em um
cada instante, o valor do excesso de pressão neutra em relação à pressão neutra inicial será
diferente em cada ponto do maciço. Quanto mais próximo o ponto considerado estiver de
44
uma camada permeável, maior será a sua dissipação de pressão neutra (ou maiorserá o seu
grau de adensamento), para o mesmo instante, em relação aos outros pontos do maciço. O
fenômeno de adensamento dos solos é então melhor explicado fazendo−se uso da fig. 2.13.
Nesta figura, não mais um, mas vários pistões existem no sistema, cada pistão possuindo uma
abertura através da qual a água se comunica com os reservatórios superior e inferior.
p
A
 Válvula
mola
 Água
p
Tempo
Força
Força aplicada pela
mola ao pistão
Força aplicada pela
água ao pistão
Figura 2.12 – Analogia mecânica do processo de adensamento de Terzaghi.
p
A
Altura de
ascensão
da água
Ho = p/Aγw
 t = 0
 t = t4
 t = ∞
 t = t3
 t = t2
 t = t1
Figura 2.13 – Analogia completa do processo de adensamento proposto por
Terzaghi.
Conforme pode−se observar da fig. 2.13, para o início do processo de adensamento
(t=0), todos os pontos do solo apresentarão um valor de excesso de pressão neutra igual. Com
o passar do tempo, os valores de excesso de pressão neutra vão diminuindo progressivamente
até se anularem ao final do processo de adensamento. Nota−se porém, que os pontos situados
mais no interior do sistema apresentam sempre menores valores de dissipaçãodo excesso da
H
45
pressão de água (ou maiores valores de excesso de pressão de água) do que os pontos situados
mais próximos à superfície. A abertura existente no pistão superior funciona entãocomo se
fosse uma camada drenante, coletando a água expulsa do sistema. Pode−se notar também que
o excesso de pressão neutra na parte superior do sistema é dissipado logo após a aplicação do
carregamento.
❷✜❸✆➟✝❸✟➆★➃✥❿✒➛✏➈✭➄✪➀✔❿★➔❚➀✔➃✥→☞➁❍➄✗➉❨➃✥→✣➇✮❿★➠P→✣➈✭➀✔➈❋➛✏➃✥❽✏➈✭❿✒→✣➄✗❼✔➀✔➃✵➆❴➃✥➛✏➜④➄✗➣✝➝☞➈q❸
A teoria para o processo de adensamento unidirecional foi proposta por Terzaghi em
1925 e é baseada nas hipóteses listadas abaixo, algumas das quais já foram citadas no capítulo
de fluxo de água em solos:
1) O solo é homogêneo (isto é, os valores de k independem da posição z)
2) O solo está completamente saturado (Sr = 100%)
3) As partículas sólidas e a água são virtualmente incompressíveis (γw é constante e as
mudanças de volume no solo são decorrentes somente de mudanças em seu índice
de vazios.
4) O adensamento é unidirecional
5) A lei de Darcy é válida (conforme relatado no capítulo anterior, isto implica que a
natureza do fluxo ocorrendo no solo deve ser laminar)
Com o uso destas hipóteses, a aplicação dos princípios de conservação da energia e da
massa, chega−se a eq. 1.45 a qual é reapresentada neste capítulo (eq. 2.17).
( ) te
e
z
h
k
o ∂
∂
∂
∂
+
=
12
2
 (2.17)
6) Certas propriedades do solo, como a permeabilidade e o coeficiente de
compressibilidade (av) são constantes (adota−se uma relação linear entre o índice
de vazios e a tensão vertical efetiva)
Pode−se dizer que as três primeiras hipóteses listadas acima não se distanciam muito
da realidade para a maioria dos casos encontrados em campo. A quarta hipótese é valida para
os casos de aterro extenso, do ensaio de adensamento, e para o caso de extratos de solo mole
situados a grandes profundidades. Para os casos onde a distribuição de acréscimos de tensões
no solo não é constante com a profundidade, ela conduz a resultados apenas aproximados. A
quinta hipótese geralmente leva a resultados bastantes satisfatórios, sendo a validade da lei de
Darcy raramente questionada. A sexta hipótese, pelo que já foi discutido neste capítulo, é a
que mais se distancia da realidade: sabe−se que com o aumento das pressões atuando nosolo
(e a conseqüente diminuição no valor do seu índice de vazios), os valores do seu coeficiente
de permeabilidade e de seu coeficiente de compressibilidade se tornam cada vez menores.
Para a resolução analítica do problema de adensamento, temos que modificar a eq.
2.17 de modo que nos dois lados da igualdade apareçam as mesmas variáveis. Isto é feito
geralmente exprimindo−se o índice de vazios do solo e o potencial total da água, h, em
função do excesso de pressão neutra gerado pelo carregamento externo. Do processo de
adensamento sabe−se que:
evv dudd −= σσ ’ (2.18)
A eq. 2.18 nada mais é do que o princípio das tensões efetivas de Terzaghi escrito de
forma incremental. Se o acréscimo de tensões totais aplicado ao solo não varia durante o
processo de adensamento (o que corresponde a realidade para a maioria dos casos) temos:
46
ev dud −=’σ (2.19)
Conforme ilustrado na fig. 2.13, o excesso de energia da água em cada ponto do solo
pode ser dado pela eq. 2.20, apresentada a seguir.
w
euh
γ
= (2.20)
Substituindo−se a eq. 2.2 na eq. 2.19 temos:
ev
e
v duade
du
de
a ⋅== ou (2.21)
Substituindo−se as eqs. 2.21 e 2.20 na eq. 2.17 tem−se finalmente:
t
u
z
u
Cv ee
∂
∂
∂
∂
=⋅
2
2
 (2.22)
Onde o termo Cv, denominado de coeficiente de adensamento do solo, é dado pela eq.
2.23. Da análise dimensional da eq. 2.23 chega−se a conclusão que o coeficiente de
adensamento do solo possui dimensões de L2/T (este é geralmente expresso em termos de
cm2/s).
( )
wv
o
a
ek
Cv
γ⋅
+⋅= 1 (2.23)
Na análise da hipótese 6 adotada para resolução analítica do problema de
adensamento, foi comentado que tanto k como av tendem a diminuir com o índice de vazios
do solo. Consiste portanto em um fato bastante feliz a ocorrência destes parâmetros em
posições diferentes na eq. 2.23, pois isto faz com que o valor do coeficiente de adensamento
não varie muito com o índice de vazios do solo, fazendo com que a teoria do adensamento
unidirecional de Terzaghi forneça resultados satisfatórios.
Na resolução da eq. 2.22 são adotadas as seguintes condições de contorno, as quais
têm como base a analogia mecânica apresentada na fig. 2.13.
1) − Existe drenagem no topo do extrato de solo, de modo que para z = 0 tem−se ue =
0 para qualquer valor de t.
2) − Existe drenagem na base do extrato de solo, de modo que para z = 2⋅Hd, ue = 0
para qualquer valor de t.
3) − O valor do excesso de pressão neutra no início do processo de adensamento é
igual ao acréscimo de tensão total:∆σv =∆ue, para t = 0, em todos os pontos da
camada de solo.
O termo Hd, citado na segunda condição de contorno, se refere a distância de
drenagem da camada de solo e é igual a maior distância que a água tem que percorrer para
alcançar uma camada drenante. A fig. 2.14 apresenta a distribuição do excesso depressão
neutra no solo para um determinado tempo decorrido após o início do processo de
adensamento.
47
Figura 2.14 – Distribuição do excesso de pressão neutra para um tempo t ao longo
de uma camada de solo com drenagem dupla, para o caso de um aterro extenso.
Conforme apresentado na fig. 2.14, a distância de drenagem para o caso de uma
camada de solo com drenagem dupla corresponde a metade da espessura total (H) do estrato
de solo. Isto ocorre porque devido a condição de simetria do problema, a água situada na
metade superior da camada de solo tende a ser expulsa pela camada drenante superior, o
contrário ocorrendo para as moléculas de água situadas abaixo da metade da camada de solo
(Hd = H/2). Para o caso de uma única camada drenante, a distância de drenagem será igual a
espessura da camada de solo (Hd = H). Além dos valores de excesso de pressão neutra, ue, na
fig. 2.14 está apresentada a distribuição das pressões neutras geostáticas, para o caso do lençol
freático situado na superfície do terreno. No caso da fig. 2.14, o acréscimode pressão neutra
inicial, ao longo de toda a camada é dado porγa⋅h, ondeγa e h são o peso específico e a altura
do aterro lançado sobre a camada de solo compressível, ou seja, o aterro é considerado como
um aterro extenso. A eq. 2.22 é normalmente resolvida para o caso de aterro extenso (ueo
constante ao longo de toda a camada), embora seja possível se obter soluções analíticas
fechadas para o caso da eq. 2.22, considerando−se diferentes distribuições de ueo. A solução
da eq. 2.22 é geralmente apresentada em termos da percentagem de adensamento médiada
camada, U(t), em função do fator tempo (Τ). Tanto a percentagem de adensamento média da
camada quanto o fator tempo são admensionais, e possibilitam o uso da solução da eq.2.22
para diferentes configurações geométricas. A solução da eq. 2.22 nos fornece curvas de
distribuição de excessos de pressão neutra tais como aquelas apresentadas na fig. 2.15, para o
caso de uma camada com dupla drenagem (a) ou drenagem simples (b). As curvas
apresentadas na fig. 2.15 correspondem à evolução do processo de adensamento para cada
instante adotado (t1, t2, ..., t5) e por isto são denominadas de isócronas. A percentagem de
adensamento em cada ponto da camada de solo, u(z,t) é dada pela eq. 2.15. A percentagem de
adensamento média de toda a camada de solo, U(t), é dada pela eq. 2.24 apresentada a seguir.
Como se pode observar da eq. 2.24, a percentagem de adensamento média corresponde a uma
relação entre a área compreendida pelos valores de ueo e a área dos valores de pressão neutra
já dissipados. A fig. 2.16 ilustra o significado da percentagem de adensamento média da
camada de solo.
1001)(
2
0
2
0 ⋅














⋅
−=
∫
∫
⋅
Hd
eo
Hd
e
dzu
dzu
tU (2.24)
48
H
u
e
z
H/2
t
1 
< t
2
 < t
3
 < t
4
 < t
5
t
5
t
4
t
3
t
2
t
1
H
u
e
z t
1 
< t
2
 < t
3
 < t
4
 < t
5
t
5
t
4
t
3
t
2
t
1
(a) (b)
Figura 2.15 – Distribuição dos excessos de pressão neutra ao longo de uma camada
de solo com o tempo e a profundidade. (a) – Camada de solo com drenagem dupla. (b) –
Camada de solo com drenagem simples.
u
u
ez
U = 1− Área
Área
Área dos valores de ue
para um determinado
tempo t
Área inicial dos 
valores de ue
Figura 2.16 – Interpretação geométrica dos valores de percentagem de
adensamento média.
Pode−se mostrar também que, a partir do uso da eq. 2.2, considerando−se o valor de
av constante para o cálculo do recalque diferido do solo, chega−se a eq. 2.25, a qual
correlaciona a percentagem de adensamento média da camada com o recalque ocorridoaté
um determinado instante e o recalque total previsto.
100
)(
)( ⋅=
ρ
ρ t
tU
 (2.25)
O valor deρ (recalque total da camada de solo, a ser obtido ao final do processo de
adensamento), é calculado com o auxílio das eqs. 2.7 a 2.12.
O fator tempo é dado pela eq. 2.26. Conforme se pode observar da eq. 2.26, o tempo
requerido para que se processe uma determinada percentagem de adensamento na camadade
solo varia de maneira diretamente proporcional ao quadrado da distância de drenagem (Hd).
Este é um dos motivos pelos quais o ensaio de adensamento em laboratório é realizadoem
amostras de pequena espessura. Considerando−se uma camada de argila com 8 m de
49
espessura e drenagem dupla (Hd = 4m), um ensaio de laboratório realizado no mesmo solo
empregando−se corpos de prova com 2cm de altura (Hd = 0,01m) demorará 1/160.000 vezes
o tempo necessário em campo para que se complete o adensamento da camada de solo!
2
dH
tCv⋅=Γ
 (2.26)
Conforme também veremos adiante, com base na eq.2.26, alguns métodos foram
desenvolvidos para acelerar a velocidade dos recalques na camada de solo compressível.
Nestes métodos, a aceleração do processo de adensamento é geralmente realizada
diminuindo−se a distância de drenagem (Hd) em campo.
A eq. 2.27 apresenta a solução da eq. 2.22, em termos de percentagem de adensamento
média e fator tempo, para o caso de um aterro extenso. Na eq. 2.27, N é um contador da série
resultante da resolução da eq. 2.22, o qual vai de 1 a infinito. Notar que na eq. 2.27 U não
está expresso em percentagem.
( )
( )
∑
∞ Γ⋅
⋅+
−
+
−=
0
4
12
22
22
exp
12
18
1)(
π
π
N
N
tU (2.27)
A eq. 2.27 pode ser aproximada pelas eqs. 2.28 e 2.29, apresentadas a seguir, para
valores de percentagem de adensamento menores que 60% (eq. 2.28) e maiores que 60% (eq.
2.29). Pode−se mostrar que para o caso de uma distribuição de ueo linear com a profundidade,
chega−se à mesma eq. 2.27. Para diferentes formas de distribuição de ueo, relações diferentes
da eq. 2.27 são obtidas.
2
4
U
π=Γ , p/ U < 0,6. (2.28)
( ) 0851.01log9332.0 −−⋅−=Γ U , p U > 0,6 (2.29)
A tabela 2.1 apresenta diversos valores de U e T, para diferentes formas de
distribuição de acréscimos de carregamento,∆σv, com a profundidade (ou, de outra forma, de
distribuição de ueo com a profundidade). Conforme se pode observar da tabela 2.1, os casos 3
e 4 apresentam os valores de U e T obtidos para uma distribuição de tensões linear com a
profundidade, considerando−se uma única camada de drenagem. O valor do fator tempo
necessário para que ocorra uma determinada percentagem de adensamento média da camada
para o caso 3 é superior àquele encontrado para o caso 4. Em outras palavras, para uma
mesma configuração geométrica, a distribuição do excesso de pressões neutrasapresentada
para o caso 3 irá demorar mais tempo para se dissipar do que aquela apresentada para o caso
4. Para que ocorra uma percentagem de adensamento de 90%, por exemplo, a distribuição de
pressões apresentadas no caso 3 irá demorar um tempo cerca de 30% maior, relativamente ao
caso 4. Isto ocorre porque para o caso 3 os maiores valores de acréscimos de pressão ocorrem
próximos da camada impermeável, de modo que estes demoram mais tempo para serem
dissipados, aumentando o tempo requerido para o adensamento do solo. 
Para outras formas de distribuição de acréscimos de tensões verticais no solo,pode−se
resolver a eq. 2.22 através de processos numéricos, como o método das diferenças finitas.
Pode−se notar daqui que o uso das eqs. 2.28 e 2.29 para se calcular o tempo necessário para
que ocorra uma determinada percentagem de adensamento no solo, para qualquer forma de
distribuição de tensões no solo, é apenas uma aproximação. Acontece que, os valores de Cv
normalmente determinados em laboratório podem trazer consigo variações até mesmo
superiores a 30%, que foi o erro estimado ao se trocar as soluções da eq. 2.22 obtidas para os
50
casos 3 e 4. Isso sem se falar de outros problemas como representatividade da amostra, etc.
Por conta disto, a resolução da eq. 2.22 para a distribuição de acréscimosde tensãorealmente
ocorrendo em campo é feita somente em alguns casos especiais. Deve−se salientar contudo,
que a resolução numérica da eq. 2.22 pode ser feita de maneira rápida e simples,
possibilitando ao engenheiro mais exigente a obtenção de resultados com menos
possibilidades de discrepâncias com o comportamento apresentado em campo. A fig. 2.17
apresenta a resolução numérica da eq. 2.22 para o caso de uma distribuição de acréscimos de
tensão linear com a profundidade. São apresentadas nesta figura a distribuição dos excessos
de pressão neutra iniciais e isócronas para 20, 40, 60 e 80% de percentagem de adensamento
média.
Tabela 2.1 – Valores de U e t para diferentes formas de distribuição de acréscimos
de tensão no solo.
U FATOR TEMPO (T)
CASO 1 CASO 2 CASO 3 CASO
4
0,1 0,008 0,048 0,050 0,003
0,2 0,031 0,090 0,102 0,009
0,3 0,071 0,115 0,158 0,024
0,4 0,126 0,207 0,221 0,049
0,5 0,197 0,281 0,294 0,092
0,6 0,287 0,371 0,383 0,166
0,7 0,403 0,488 0,500 0,272
0,8 0,567 0,652 0,685 0,440
0,9 0,848 0,933 0,940 0,720
0 
20 
40 
60 
80 
100 
120 
140 
160 
E
xc
es
so
 d
e 
po
ro
 p
re
ss
ão
 (
kP
a)
0 100 200 300 400 
Cota em relação ao topo (Cm)
U = 20 % U = 40 % U = 60 %
U = 80% Po
Po = 50 + 25Z (m)
Figura 2.17 – Resolução numérica da eq. 2.22 para uma distribuição de excessos de
pressão neutra inicial linear.
❷✜❸❑➡▲❸✟➢➥➤✒➇✍➃✥→☞➦✏➧✝❿❴➀✔❿✒➁✵➨❚➄✗❼✭❿✒➛✏➃✥➁✳➀✔➃✵❺✜➩➫❸
O cálculo dos recalques no tempo (ou recalques diferidos no tempo) é normalmente
realizado com o emprego das eqs. 2.25 e 2.26. A partir do valor de recalque total (ρ),
51
calculado utilizando−se as eqs. 2.7 a 2.12 e do valor desejado do recalque diferido notempo,
ρ(t), calcula−se a percentagem de adensamento média da camada U (eq. 2.25). O valor do
fator tempo necessário para que ocorra a percentagem de adensamento média determinada é
obtido fazendo−se uso das eqs. 2.28 e 2.29 (ou com o uso dos valores apresentados na tabela
2.1). Com o uso da eq. 2.26, o tempo necessário para que ocorra o valor do recalque
especificado é determinado. Deve−se notar que para que isto seja possível, contudo, ovalor
do coeficiente de adensamento do solo, Cv, deve ser determinado.
O valor do coeficiente de adensamento do solo é determinado a partir de dois métodos
gráficos, denominados de métodos de Casagrande e de Taylor. Deve−se notar que o valor do
coeficiente de adensamento do solo é determinado para cada estágio de carregamento, ou para
o estágio de carregamento cujo valor de tensão vertical se aproxime do valor da tensão
vertical que será imposto ao solo pela construção. No método de Casagrande, marcam−se os
valores dos deslocamentos verticais do topo da amostra no eixo das ordenadas, em escala
aritmética, e os valores dos tempos correspondentes no eixo das abcissas, em escala
logarítmica, para cada estágio de carga. O processo gráfico utilizado na obtenção do Cv pelo
método de Casagrande é ilustrado na fig. 2.18. O adensamento total (U = 100%) ocorrerá no
ponto de interseção das tangentes ao ponto de inflexão da curva de adensamento e ao trecho
aproximadamente retilíneo obtido após o adensamento primário da amostra (parte
representante do processo de fluência do solo). O valor do recalque inicial (U = 0%)será
determinado escolhendo−se dois instantes 1/4t e t para valores de tempo correspondentesao
início do processo de adensamento. Obtém−se a diferença entre suas ordenadas e este valor é
rebatido verticalmente acima da ordenada correspondente a 1/4t. A leitura no eixo dos
deslocamentos será o valor procurado. 
O adensamento de 50% será lido exatamente a meio caminho dos valores de
deslocamento estimados para U=100% e U=0%. O valor do tempo necessário para que
ocorresse 50% de adensamento (t50) do solo servirá para que o seu coeficiente de
adensamento (Cv) seja calculado através da relação abaixo (na tabela 2.1, primeira coluna,
para um valor de U = 0,5 tem−se T = 0,197):
50
2197,0
t
H
Cv d
⋅
= (2.30)
A determinação do coeficiente de adensamento do solo pelo método de Taylor é
realizado conforme ilustrado na fig. 2.19. Conforme ilustrado nesta figura, os resultados
obtidos do ensaio de adensamento são colocados em um gráfico contendo os deslocamentos
medidos no topo do corpo de prova em função da raiz do tempo. Deste modo, o trecho inicial
da curva obtida pode ser aproximada por uma reta. Em um ponto qualquer, em que a
distância entre a reta ajustada e o eixo das ordenadas seja dada por d, uma nova reta traçada, a
partir da mesma origem da reta original, deve passar a uma distância de 1,15⋅d do mesmo
eixo. O ponto correspondente à interseção desta nova reta com a curva dos dados
experimentais será a medida da raiz quadrada do tempo correspondente a uma percentagem
de adensamento de 90%. Elevando−se este valor ao quadrado temos o valor do t90. O valor do
coeficiente de adensamento do solo é então calculado utilizando−se a eq. 2.31, apresentada a
seguir (notar que na primeira coluna da tabela 2.1, tem−se para U = 0,90 um valor de T =
0,848). Embora sendo métodos empíricos e gráficos, os valores de Cv calculados utilizando−
se um dos dois métodos apresentados tendem a ser aproximadamente iguais.
90
2848,0
t
H
Cv d
⋅
= (2.31)
52
Figura 2.18 – Processo de cálculo do Cv pelo método de Casagrande.
Raiz do tempo (min1/2)
R
e
ca
lq
ue
 d
a 
am
os
tr
a 
(m
m
)
d
0,15d
√t90
Figura 2.19 – Processo de cálculo do Cv pelo método de Taylor.
❷✜❸❑➭▲❸✟➯➲➃✥➳✥❿✒➛✏➉❨➄✝➦✲➵❊➃✥➁✳➊✣❿✒➛✜➸●❼✭❾✔➺✥→✣❽✏➈❋➄❀→✣❿❴➻✳❿❊❼❋❿✔❸
Conforme ilustrado na fig. 2.18, após cessado o processo de adensamento, o solo
continua a se deformar com o tempo, de modo que a curva recalque da amostra x log(t) passa
a apresentar um trecho com inclinação aproximadamente constante. Este trechoda curva é
denominado de trecho de compressão secundária do solo ou trecho de fluência, sendo que no
processo de compressão secundária o solo apresenta um comportamento viscoso. O trecho da
curva situado entre as ordenadas U = 0 e U = 100% é também denominado de compressão
primária do solo. Há uma enorme diferença conceitual entre os processos de adensamento e
de fluência. No processo de adensamento, a resposta do solo a uma mudança em seu estado
de tensões efetivo é admitida como instantânea. As deformações no solo são diferidas no
tempo porque o estado de tensões efetivo em cada ponto do solo varia com o tempo, em
53
função da dissipação dos excessos de pressão neutra. No processo de fluência, todos os
excessos de pressão neutra gerados pelo carregamento já foram dissipados, de modo queo
estado de tensões efetivo em cada ponto passa a ser constante com o tempo.
O cálculo dos recalques por fluência do solo é feito através do índice de compressão
secundária, calculado a partir de dados experimentais, utilizando−se a eq. 2.32, apresentada a
seguir. Notar que Cα é admensional.
)log(t
e
C
∆
∆=α
 (2.32)
❷✜❸✆➼✝➽③❸④➔❚❽✏➃✥❼✭➃✥➛✏➄✝➦✲➧✝❿❴➀✔❿✒➁✵➂➾➃❍❽✲➄✝❼✭➅✗❾✔➃✥➁✵➃✥➉♠❺✜➄✝➉❨➊☞❿✔❸
Não raras as vezes, o tempo necessário para que ocorra uma determinada percentagem
de adensamento do solo em campo é demasiadamente longo. Acontece que, em alguns casos,
a obra só pode ser finalizada após completado virtualmente o processo de adensamentodo
solo, sob pena desta vir a apresentar um mau funcionamento ou mesmo ter o seu uso
impedido. Nestes casos, a aceleração dos recalques por adensamento do solo em campo pode
ser a solução mais viável.
Os métodos de aceleração de recalques em campo mais utilizados são o sobre
adensamento e o método dos drenos verticais de areia. No caso do método do sobre
adensamento, a aceleração de recalques é feita calculando−se o recalque total a ser
apresentado pelo solo quando da instalação da estrutura e submetendo−o previamente auma
tensão vertical de valor maior do que aquela prevista após a execução do projeto. Deste
modo, o valor do recalque total previsto para ser atingido pelo solo em decorrência daobra
pode ser atingido para relativamente baixos valores de tempo. Deve−se notar que devido ao
sobre adensamento, o recalque total a ser atingidopelo solo agora é maior (e funçãoda
sobrecarga aplicada ao terreno). Como explicitado na eq. 2.25, para um mesmo recalque total
previsto para ocorrer em campo em função da estrutura (notar que agora este valor
corresponde aρ(t), pois o recalque total previsto para o solo em decorrência do carregamento
prévio é maior do que o seu valor), quanto maior for o valor deρ, menor será o valor da
percentagem de adensamento correspondente, e por conseguinte, menor o tempo necessário
para atingi−la. O processo de aceleração de recalques por sobre adensamento algumas vezes
tem o seu uso restringido pelas condições de estabilidade do terreno de fundação.
Conforme apresentado na eq. 2.26, o tempo para que ocorra uma determinada
percentagem de adensamento no solo é proporcional ao quadrado da distância de drenagem
(Hd), dada pela geometria do problema. O método dos drenos verticais de areia trabalha
empregando esta constatação, diminuindo a distância de drenagem do problema. A fig. 2.20
ilustra a instalação de drenos verticais de areia em campo para aceleraro processo de
adensamento da camada compressível de solo. Conforme ilustrado nesta figura, o movimento
de água após a instalação dos drenos verticais passa a ser aproximadamente horizontal, em
sentido radial aos drenos. A distância de drenagem neste caso passa a ser aproximadamente
igual a metade da distância horizontal entre o centro dos drenos (ou a metade do espaçamento
entre os drenos verticais de areia). Na parte inferior do aterro é normalmente instalado um
colchão de areia, cuja função é recolher a água expulsa do solo durante o processo de
adensamento. O espaçamento entre os drenos de areia é determinado então em funçãodo
tempo esperado para que o processo de adensamento seja virtualmente completado (como o
processo de adensamento continua, em teoria, por um período indefinido, adota−se
normalmente valores em torno de U=95%, como correspondente ao final do processo de
adensamento em campo).
54
Figura 2.20 – Uso de drenos verticais de areia na aceleração dos recalques por
adensamento do solo em campo. Modificado de Caputo, 1981.
55
3. FLUXO BIDIMENSIONAL – REDES DE FLUXO
➚③❸✆➼✝❸✟➪✡→☞➇✍➛✏❿✒➀✔❾✔➦✏➧✗❿
De uma forma geral, abordou−se no capítulo 1 que a água livre ou gravitacional pode
se movimentar de um ponto a outro dentro do solo, desde que haja diferença de potencial
entre esses dois pontos. Durante esse movimento, ocorre uma transferência de energia da
água para as partículas do solo devido ao atrito viscoso, sendo essa energia medidapela perda
de carga. Quando o fluxo de água ocorre sempre na mesma direção, como no caso dos
permeâmetros estudados no capítulo1, diz−se que o fluxo éunidimensional. Quando as
partículas de água seguem caminhos curvos e paralelos, o fluxo é ditobidimensional,como
no exemplo da percolação de água pelas fundações de uma barragem. Em virtude da
ocorrência freqüente do fluxo bidimensional em obras de engenharia e de sua importância na
estabilidade das barragens, este merece especial atenção. 
O estudo do fluxo bidimensional é feito, usualmente, através de um procedimento
gráfico conhecido como Rede de fluxo. O processo consiste, basicamente, em traçar na região
em que ocorre o fluxo, dois conjuntos de curvas conhecidas como linhas de fluxo e linhas
equipotenciais. A fundamentação teórica para resolução de problemas de fluxo de água foi
desenvolvida por Forchheimer e difundida por Casagrande (1937). O fluxo de água através do
meio poroso é descrito por uma equação diferencial (equação de Laplace), bastante conhecida
e estudada, pois se aplica a outros fenômenos físicos, como exemplo, fluxo elétrico. 
É importante frisar que o estudo do fluxo de água em obras de engenharia é de grande
importância, pois visa quantificar a vazão que percola no maciço, controlar o movimento da
água através do solo e evidentemente proporcionar uma proteção contra os efeitos nocivos
deste movimento (liquefação em fundos de valas, erosão, piping, etc).
➚③❸ ❷✚❸✟➶✜➅✝❾✔➄✗➦✏➧✗❿★➊☞➄✝➛✲➄❀➸●❼✭❾✔➹✗❿★➶✜➁✥➇✮➄✝❽✏➈❋❿❊→☞❻✝➛✲➈✭❿★➃✳➘✺➈✭➀✔➈✭➉❨➃✥→✣➁✥➈✭❿✒→✣➄✗❼
Tomando um ponto definido por suas coordenadas (x, y, z), considerando−se o fluxo
através de um paralelepípedo elementar em torno deste ponto, e assumindo a validade dalei
de Darcy, a aplicação dos principios de conservação da energia e da massa, chega −sea eq.
1.42, a qual é representada neste capítulo como eq. 3.1.
➴
Sr ➒ e➴
t 1 ➑ e ➏
➴ kx ➒ ➴ h➴
x➴
x
➑
➴ ky ➒ ➴ h➴
y➴
y
➑
➴ kz ➒ ➴ h➴
z➴
z
➒ dx ➒ dy➒ dz (3.1)
A eq. 3.1 representa a equação geral de fluxo de água em solo não saturado,
heterogêneo e anisotrópico, pois tanto os valores dos coeficientes de permeabilidade em cada
direção (kx, ky, kz) quanto os valores do potencial total de água no solo serão dependentes das
coordenadas do ponto considerado e do grau de saturação.
A eq. 3.1 pode ser simplificada para eq. 3.2, supondo−se que:
− o solo está saturado (Sr=100%);
− o fluxo de água está em regime estacionário (steady state flow), de modo que
durante o fluxo não ocorre mudança do índice de vazios, ou seja, não ocorre compressão e
nem expansão do solo;
− as partículas sólidas e de água são incompressíveis
− O fluxo é bidimensional. Em quase todos os problemas práticos de mecânica dos
solos, as análises são desenvolvidas em um plano, considerando−se uma seção típica do
maciço, situada entre dois planos verticais e paralelos, de espessura unitária. Esse
56
procedimento é justificado pela dimensão longitudinal ser muito maior que as dimensões da
seção transversal, para boa parte das obras geotécnicas.
0
h
k
h
k
2
z
2
z
x
2
x 2
=+⋅
∂
∂
∂
∂
(3.2)
Considerando−se ainda isotropia em relação à permeabilidade, isto é, kx = kz a eq. 3.2
se reduzirá na eq. 3.3, a qual é conhecida como equação de Laplace:
0
hh
2
z
2
x
2
2
=







+
∂
∂
∂
∂
(3.3)
É importante observar que a permeabilidade k do solo não interfere na equação de
Laplace. Consequentemente, em solos isotrópicos a solução analítica do problema defluxo
depende unicamente das condições de contorno.
A solução da equação diferencial de Laplace é constituída por dois grupos de funções
(φ, ψ), as quais podem ser representadas dentro da zona de fluxo em estudo, por duas famílias
de curvas ortogonais entre si que formam um reticulado chamado Rede de fluxo.
A funçãoφ (x, z), chamada de função carga hidráulica ou função potencial, obedece a
eq. 3.4
φ (x, z) = − k.h + c (3.4)
➷➮➬
➷
z
➏ Vz➏ ➌ k
➷
h➷
z
➷✡➬
➷
x
➏ Vx ➏ ➌ k
➷
h➷
x
A função ψ(x, z), chamada de função de fluxo, é definida de maneira que:➷➮➱
➷
z
➏ Vx ➏ ➌ k
➷
h➷
x
(3.5)
➷➮➱
➷
x
➏ ➌ Vz➏ k ➷ h➷
z
(3.6)
Paraφ (x, z)=cte, o valor de h (x, z) também é uma constante. Essa situação representa
na zona de fluxo o lugar geométrico dos pontos de mesma carga hidráulica total, denominado
de linha equipotencial. Por sua vez, a funçãoψ(x, z)=cte, representa fisicamente a trajetória
da água ao longo da região onde se processa o fluxo. Dá−se o nome delinhas de fluxoàs
curvas determinadas pela função ψ(x, z)=cte.
Na fig. 3.1 considere a linha AB, representativa da trajetória da água passando pelo
ponto P, com velocidade tangencial (v). Dessa figura temos:
tg ✃⑨➏ Vz
Vx
➏ dz
dx
ou Vx.dz – Vz.dx = 0 (3.7)
substituindo as equações 3.5 e 3.6 em 3.7, temos:
57
➷➮➱
➷
z
dz➑
➷➮➱
➷
x
dx ➏ 0 ou dψ = 0 (3.8)
portanto ψ = cte
Assim, as curvas dadas porψ = cte, definem as trajetórias das partículas de fluxo
(linhas de fluxo), pois em cada ponto elas são tangentes aos vetores de velocidade. 
x 
Vx
Vz
θ
 ψ
z 
A
B
P
 
x 
 ψ
2
z 
Vx
1
2
ψ
1
Figura 3.1 – Trajetória de uma partícula de fluído.
No gráfico mais à direita da fig. 3.1, pode−se observar que a vazão unitária (q) que
passa pela seção 1−2, compreendida entre as duas linhas de fluxo (ψ1, ψ 2) é dado por:
q ➏ ❐
2
❐
1
Vx ➒ dz➏ ❐
2
❐
1
d
➱ ➏ ➱
1
➌ ➱
2
(3.9)
Se a rede de fluxo é desenhada de modo queψn − ψn−1 = const., pode−se dizer que o
fluxo entre duas linhas de fluxo é constante. O trecho compreendido entre duaslinhas de
fluxo consecutivas quaisquer é denominado decanal de fluxo. Portanto, a vazão em cada
canal de fluxo é constante e igual para todos os canais.
Outra importante particularidade referente as linhas de fluxo e linhas equipotenciais
diz respeito a ortogonalidade (interseção a 90o), a qual pode ser verificada pelas equações
abaixo (as linhas de fluxo e eqüipotenciais somente serão ortogonais para o caso de solos
isotrópicos):
Para ψ(x, z)=cte, tem−se:
dz
dx
❐✗❒
cte
➏ ➌
➷❧➱❰❮Ï➷
x➷✡➱Ð❮④➷
z
➏ Vz
Vx
(3.10)
Para φ (x, z)=cte, tem evidentemente dφ =0, o que implica em:
➷➮➬
➷
z
dz➑
➷Ñ➬
➷
x
dx ➏ 0 (3.11)
dz
dx Ò ❒ cte➏
➌ ➷➮➬❀❮Ó➷ x➷➮➬⑨❮❊➷
z
➏ ➌ Vx
Vz
(3.12)
58
Logo tem−se:
dz
dx
❐✗❒
cte
➏ ➌ 1
dz
dx Ò ❒ cte
(3.13)
De acordo com a eq. 3.13, as familias de curvasφ (x, z)=cte é ortogonal aψ(x,z)=cte.
Assim as curvas da funçãoφ interceptam as curvas da funçãoψ segundo ângulos retos, ou,
em outras palavras, as linhas de fluxo cruzam as linhas equipotenciais segundo ângulos retos.
➚③❸❑➚▲❸✟↔❫Ô✥➇✍❿✒➀✔❿✒➁✳➀✔➃✵➂➾➃❍➁✥❿✒❼✭❾✔➦✏➧✗❿❴➀✔➄❀➶✜➅✗❾✔➄✝➦✏➧✗❿❴➀✔➃✵Õ◆➄✗➊✣❼❋➄✝❽✏➃
A equação de Laplace (3.3) pode ser resolvida por uma grande variedade de métodos,
como por exemplo métodos numéricos, analíticos e gráficos, bem como através de modelos
reduzidos ou através de analogias com as equações que governam os problemas de campo
elétrico ou termodinâmicos.
Os métodos analíticos consistem na solução matemática (integração) da equação de
Laplace, obedecendo as condições de contorno específicas e envolvendo a determinação das
funçõesφ (x, z) eψ(x,z). A complexidade do processo de solução analítica, contudo, somente
justifica a sua aplicação a problemas de fluxo de geometria relativamente simples.
Os métodos numéricos, como por exemplo método das diferenças finitas e métodos
dos elementos finitos, permitem subdividir a zona de fluxo em uma série de pequenos
elementos geométricos, sendo o comportamento do fluxo estudado em cada um deles,
mediante funções simples. A aplicação destas técnicas pressupõe familiaridade com algebra
matricial, cálculo variacional, mecânica dos sólidos e técnicas computacionais. A principal
vantagem dos métodos numéricos é permitir a simulação de casos complexos, como
geometrias mais complicadas, materiais com várias camadas com diferentes permeabilidades,
solos não saturados e regime não estacionário, ou seja, utilizando a eq. 3.1.
Quando o problema envolve configuração complexa torna−se, às vezes, necessário
recorrer a modelos reduzidos para resolver o problema de percolação de água. Desses
modelos dois são os mais usuais: modelos físico e analogia elétrica.
O modelo físico consiste em reproduzir a seção transversal por onde percola a água
num tanque com parede lateral de vidro ou acrílico. Para o traçado das linhas de fluxo,
utiliza−se corante colocado em determinadas posições no paramento de montante. As linhas
de fluxo que passam pelo corante vão tingir a água, permitindo a visualização do conjunto das
linha de percolação. As linhas equipotenciais são obtidas a partir da instalação depiezômetros
dentro do modelo. A partir desses dados pode−se traçar a rede de fluxo do problema.
A analogia elétrica permite determinar uma rede de fluxo estabelecendo−se a
correspondência entre voltagem e carga hidráulica, condutividade elétrica e permeabilidade e
corrente elétrica e vazão. Isto é possível porque o fluxo elétrico através de umcondutor
também obedece à equação de Laplace.
Finalmente, o método gráfico por tentativas é o mais usado para resolução da equação
de Laplace. Consiste em desenhar, dentro da região em que ocorre o fluxo, as famílias de
curvas equipotenciaisφ (x, z) e de fluxoψ(x, z), que se interceptam em ângulos retos,
formando uma figura denominadarede de fluxo. Ao se traçar manualmente, as duas famílias
de curvas, respeitando as condições de fronteira e ortogonalidade, ter−se−á uma aproximação
da solução única do problema (fig. 3.2). Essa aproximação, se o desenho for realizadocom
cuidado, é suficientemente boa para fins de engenharia, principalmente se leva−se em
consideração as incertezas surgentes quando da obtenção de valores para o coeficiente de
permeabilidade do solo.
59
Figura 3.2 – Rede de fluxo de uma barragem vertedouro. Modificado de Holtz &
Kovacs (1981).
A determinação gráfica das redes de fluxo será descrita em detalhe nos itens seguintes,
por ser a mais usada para a solução de problemas de percolação de água em solos.
➚③❸ Ö✚❸✟➂✻➃✥➀✔➃✥➁✵➀✔➃✳➸●❼✭❾✔➹✗❿
Qualquer que seja o método adotado para determinação da rede de fluxo é necessário
definir previamente as condições limites ou de contorno do escoamento, as quais podem se
representar numa situação de fluxo confiando ou de fluxo não confinado. Procura−se definir
quatro condições limites, a saber:
× superfície de entrada (equipotencial de carga máxima)× superfície de saída (equipotencial de carga mínima)× linha de fluxo superior× linha de fluxo inferior
Diz−que o fluxo éconfinadoquando as quatro condições limites são possíveis de
determinação, sendo o fluxonão confinadoquando uma das condições limites não está
determinada a priori. As condições de fluxo não confinado serão estudada em detalhe nos
próximos itens.
Um problema clássico para o traçado de rede de percolação é ilustrado na fig. 3.3,
onde uma parede de estacas pranchas é engastada num solo permeável.
N A
H
A B C D
M N
R
im permeável
N A
N A
H
A B C D
M N
R
im permeável
N A
Figura 3.3 – Percolação de água através da fundação de uma cortina de estacas
prancha – Fluxo confinado.
60
Na fig. 3.3 pode−se observar que a água percola da esquerda para direita em função da
diferença de carga total existente. A linha AB é uma equipotencial de carga máxima, pois
qualquer ponto sobre esta linha tem a mesma carga de elevação e a mesma carga de pressão
(u=hw.γw). A linha CD é a equipotencial de saída ou de carga mínima. A linha BRC representa
a linha de fluxo superior e linha MN é uma linha de fluxo que representa o caminho
percorrido por uma partícula d‘água que vem de uma longa distância (linha de fluxo inferior).
Nem a estaca prancha, nem a rocha são meios permeáveis, logo o fluxo é limitadopor esses
dois meios.
A fig. 3.4 apresenta a solução gráfica para o problema clássico da cortina de estacas
pranchas em fundações permeáveis mostrado na fig. 3.3. Na fig. 3.4, pode−se observar que as
9 linhas equipotenciais são perpendiculares às 5 linhas fe fluxo, formando elementos,
aproximadamente, quadrados. A rede é formada por 4 canais de fluxo (nf=4), sendo número
de canais de fluxo igual ao número de linhas de fluxo menos um (nf=L.F.−1) e por neq=8
número de quedas de potencial (neq = L.eq. −1). Os canais de fluxo tem espessuras variáveis
ao longo de seu desenvolvimento, pois a seção disponível para passagem de água por baixo
da estaca prancha é menor do que a seção pela qual água penetra no terreno. Em função disso,
ao longo do canal de fluxo, a velocidade da água é variável. Quando o canal se estreita,
devendo ser constante a vazão, a velocidade tem que ser maior, logo o gradiente hidráulico é
maior (lei de Darcy). Em consequência, sendo constante a perda de potencial de uma linha
equipotencial para outra, o espaçamento entre as equipotenciais deve diminuir, de modoque a
relação entre linhas de fluxo e equipotenciais se mantém constante.
Figura 3.4 – Rede de fluxo através de uma fundação permeável de uma cortina de
estacas prancha – Fluxo confinado.
Consideremos agora, um elemento isolado de uma rede de fluxo, como aquele
representado na fig. 3.5, o qual é formado por linhas linhas de fluxo distanciadas entre si de b
no plano do desenho e de uma unidade de comprimento no sentido normal ao papel.
Segundo a lei de Darcy, a vazão (q) no canal de fluxo é dada por:
q ➏ k .i A sendo i ➏ ➌➎➍ htrecho
l
trecho
A = b.1
q ➏ k ➍ h
l
b.1 (3.14)
61
h1
h2 h3 h4
q
q b
l
equipotenciais
LF
LF
III
h1
h2 h3 h4
q
q b
l
equipotenciais
LF
LF
I
II
Figura 3.5 – Canal de fluxo de uma rede com vazão constante e perda de carga∆h,constante entre suas equipotenciais. Considerar a largura de 1m normal ao papel.
Onde:∆h representa a perda de carga entre as equipotenciais (hi − hf), l a distância
entre elas, b é largura do canal de fluxo e k é a permeabilidade do solo.
No traçado de uma rede de fluxo, por questão de facilidade de desenho, costuma−se
fazerl=b, do que resulta a eq. 3.15. A perda de carga entre duas equipotenciais consecutivas é
constante, requisito para que a vazão num determinado canal de fluxo também seja constante.
Ao se fazerl=b e como as linhas de fluxo são perpendiculares às linhas equipotenciais, resulta
uma figura formada por “quadrados” de lados ligeiramente curvos, conforme pode ser
observado na fig. 3.4.
q ➏ k ➍ h (3.15)
A carga total disponível (h) é dissipada através das neq (número de equipotenciais), de
forma que entre duas equipotencias consecutivas temos:
➍ h ➏ h
n
eq
(3.16)
Substituindo a eq. 3.16 em 3.15 tem−se a eq. 3.17, a qual expressa a vazão em cada
canal de fluxo (trecho entre duas linhas de fluxo consecutivas quaisquer). Observar que a
vazão é constante e igual para todos os canais.
q ➏ k h
n
eq
(3.17)
A vazão total do sistema de percolação (Q), por unidade de comprimento, é
conseguida multiplicando−se a vazão do canal (q) pelo número de canais de fluxo (nf), assim
teremos:
Q ➏ q. nf Q ➏ k h nf
n
eq
(3.18)
onde, h é a perda de carga total, nf/neq é denominado de fator de forma e depende da
rede traçada. Q é a vazão por unidade de comprimento da seção.
62
Considerando−se ainda a fig. 3.5, os quadrados I e II estão contidos dentro do mesmo
canal de fluxo, onde tem−se que:
qI = qII= q = cte k I
➍ h
I
l
I
b
I
.1 ➏ k
II
➍ h
II
l
II
b
II
.1
Mas: kI = kII e 
b
I
l
I
➏ bII
l
II
➏ constante➏ 1 qudrados
Então:
➍ h
I
➏ ➍ h
II
➏ cte (3.19)
➚③❸ Ö✚❸✮➼✝❸✟➙✾➛✲❿❊➊☞➛✏➈✭➃✥➀✔➄✗➀✔➃❍➁✳➘✺❻✝➁✥➈✭❽✏➄✗➁✳➀✔➃✵❾✔➉❨➄❀➂➾➃✥➀✔➃✵➀✔➃✳➸●❼✭❾✔➹✝❿
Ø As linhas de fluxo e as linhas equipotenciais são perpendiculares entre si, isto é, sua
intersecção ocorre a 90o (ver eq. 3.13).Ø A vazão em cada canal de fluxo é constante e igual para todos os canais. Se
tomarmos dois elementos (I e II) contidos entre as memas equipotenciais teremos:
∆hI = ∆hII = ∆h = cte k I
➍ h
I
l
I
b
I
.1 ➏ k
II
➍ h
II
l
II
b
II
.1
Como:
b
I
l
I
➏ bII
l
II
➏ constante➏ 1 qudrados então temos:qI=qII=q = cte (3.20)
Ø As linhas de fluxo não se interceptam, pois não é possível ocorrerem duas
velocidade diferentes para a mesma partícula de água em escoamentoØ As linhas equipotenciais não se interceptam, pois não é possível se ter duas cargas
totais para um mesmo pontoØ A perda de carga entre duas equipotenciais consecutivas quaisquer é constante.
➚③❸ Ö✚❸ ❷✚❸✟➂✻➃✥❽✏❿✒➉❨➃✥→✣➀✔➄✗➦✏➵✒➃✥➁✵Ù⑥➃✥➛✏➄✗➈✭➁✵➊☞➄✝➛✲➄❀❿❴➆★➛✏➄✗➦✏➄✗➀✔❿★➀✔➃✳➂✻➃✥➀✔➃✥➁✳➀✔➃✵➸●❼✭❾✔➹✗❿
A solução é obtida por tentativas iniciando−se com um pequeno número de linhas e
obedecendo−se as condições limites. A maior qualidade e menor tempo gasto no traçadoé
conseguido através do treino. Existem, entretanto, recomendações gerais que auxiliam o
traçado das redes, principalmente nas primeiras tentativas.
× Aproveitar todas as oportunidades para estudar o aspecto de redes de fluxo bem
construídas. Quando a representação gráfica estiver bem assimilada, tentedesenhá−la sem
olhar o desenho original. Repita a tentativa até ser capaz de reproduzir a rede de maneira
satisfatória.× Delimitar a zona de fluxo que se deseja estudar, analisando suas condições de fronteira
(determinação das linhas de fluxo e equipotenciais limites);× Usualmente, é suficiente traçar a rede com um número de canais de fluxo entre 3 a5. O
uso de muitos canais de fluxo dificulta o traçado e desvia a atenção de aspectos essenciais.
63
× Traçar duas famílias de curvas ortogonais entre si que satisfaçam as condições defronteira
e que constituam uma solução ótima com elementos aproximadamente “quadrados”;× Deve−se observar sempre a aparência de toda rede, sem tratar de corrigir detalhes antes
que toda a rede esteja aproximadamente bem traçada;× Frequentemente, há partes das redes de fluxo em que as linhas de fluxo devem ser
aproximadamente retas e paralelas. Nestes casos, os canais são mais ou menos do mesmo
tamanho e os quadrados vão resultar muito parecidos. O traçado da rede pode ser facilitado
se iniciarmos por essa zona;× Há uma tendência de se errar em traçar transições muito abruptas entre trechos
aproximadamente retilíneos e trechos curvos das linhas equipotenciais ou de fluxo.
Lembre−se sempre que as transições são suaves, com formatos semelhantes aosde elipses
ou de parábolas. O tamanho dos diferentes quadrados deve ir mudando gradualmente.× Em geral, a primeira tentativa de traçado pode não conduzir a uma rede de quadrados em
toda a região de fluxo. Pode ocorrer, ao final da rede, que entre duas equipotencias
sucessivas a perda de carga seja uma fração da perda entre as equipotenciais vizinhas
anteriores (formam−se retângulos ou invés de quadrados). Geralmente, isto não é
prejudicial e esta fileira pode ser considerada para o cálculo do número de equipotenciais
(neq), estimada a fração da perda de carga que resultou. Se por razões de apresentaçãose
deseja que todas as fileiras de quadrados tenham o mesmo∆h, pode−se corrigir a rede
mudando o número de canais de fluxo seja por interpolação ou começando novamente.
Não se deve tentar convergir a fileira incompleta em uma de quadrados através de
correções puramente gráficas, a não ser que, o que falta ou sobra na fileira incompleta, seja
muito pouco. A mesma abordagem pode ser aplicada aos canais de fluxo, onde se
considera frações da vazão (q).× Uma superfície de saída na rede em contato com o ar, se não é horizontal, não é nem linha
de fluxo, nem equipotencial, de forma que os quadrados limitados por essa superfície
podem ser incompletos. 
Num primeiro contato com o assunto, pode parecer ao principiante que a melhor
solução será obtida por quem tiver maiores facilidades para desenho. Na verdade, obedecendo
às condições teóricas anteriormente estabelecidas, está se obedecendo às condições da
equação de Laplace e isto conduzirá a uma solução única, que independe da habilidade
artística de quem procura resolver o problema.
A fig. 3.6 apresenta alguns exemplos rede de fluxo em fundações permeáveis.
➚③❸ Ö✚❸❉➚▲❸✟➔❚➊✣❼❋➈✭❽✏➄✗➦✏➧✝❿❴➀✔➄✗➁✵➂➾➃❍➀✔➃✥➁✳➀✔➃✵➸●❼✭❾✔➹✗❿
O traçado da rede de fluxo nos problemas que envolvem o escoamento de água nos
solos tem como objetivo a obtenção da vazão que percola através da seção estudada, do
gradiente hidráulico e da velocidade em qualquer ponto, das pressões neutras, subpressões e
da força de percolação.
Ø Vazão:
A vazão total que percola pelo maciço pode ser determinada pela eq. 3.18, apresentada
anteriormente.
Ø Gradientes hidráulicos:
A diferença de carga total que prova percolação, dividida pelo número de faixas de
perda de potencial, indica a perda de carga de uma equipotencial para a seguinte. Esta perda
de carga, dividida pela distância entre as equipotenciais, é o gradiente. Como a distância entre
equipotenciais é variável ao longo de uma linha de fluxo, o gradiente varia de ponto para
ponto.
64
➍ h ➏ h
n
eq
 i ➏ ➍ htrecho
l
trecho
(3.21)
Figura 3.6 – Exemplos de rede de fluxo em fundações permeáveis – Fluxo
confinado. 
De particular interesse é o gradiente na face de saída do fluxo, em virtude da forçade
percolação atuar de baixo para cima, podendo provocar situação de areia movediça, discutida
no capítulo1. Pode−se observar, na rede da fig. 3.5 por exemplo, que esta situação crítica
ocorre junto ao pé de jusante da barragem, onde a distância entre as duas linhas
equipotenciais é mínima.
65
Ø Velocidade:
Uma vez que se tem o gradiente hidráulico em um ponto bastará multiplicá−lo pelo
coeficiente de permeabilidade do solo, para ter a velocidade da água em magnitude. A
velocidade (V) de escoamento é tangente à linha de fluxo que passa pelo ponto e tem a
direção do escoamento, sendo seu módulo dado por:
V ➏ Ki (3.22)
Ø Pressões neutras:
Em determinadas situações, comopor exemplo no caso de estruturas de concreto
(barragem vertedouro), construídas sobre fundações onde ocorre o fluxo de água, as pressões
neutras atuarão na base da estrutura exercendo uma força contrária ao seu peso, oque pode
conduzi−la a uma situação instável. Particularmente, nestes casos, essas pressões neutras são
denominadas de subpressões. Considere a barragem vertedouro esquematizada na fig. 3.7, a
qual está sujeita a percolação de água pela sua fundação. 
Para determinar as subpressões atuantes em sua base basta considerar a rede de fluxo e
determinar as cargas em diversas posições. Fixemos a referência de nível (RN) na superfície
impermeável. A partir daí podemos determinar a carga total em cada equipotenciallimite,
que é, respectivamente, a soma das cargas altimétrica (z) e piezométrica (u/gw) ao longo de
sua extensão. Em cada eqüipotencial, o valor da carga total é constante, mas os valores das
parcelas de carga altimétrica e potencial variam.
Figura 3.7 – Rede de fluxo pela fundação de uma barragem vertedouro de concreto
e diagrama de subpressões. Modificado de Bueno & Vilar (1985).
No ponto 0, a carga total disponível é: htotal(o) = Z0 + h = Z0 +u0/gw .
No final da rede, isto é, na última equipotencial, a carga disponível é: htotal(f) = Zf = Z0.
A perda de carga por percolação será : htotal(o)− htotal(o) = h, que será dissipada entre neq
equipotenciais, ou seja, entre duas equipotenciais consecutivas dissipa−se∆h=h/neq. Como já
foi visto, neq depende da rede traçada.
Para calcular as subpressões de água em qualquer ponto da rede (por exemplo os
pontos 1 e P), deve−se considerar as perdas de cargas que ocorrem até cada um desses pontos.
Sendo assim, considere−se o ponto 1 na base do vertedouro. A carga inicial é
htotal(o)=Z0+ h e o ponto 1 localiza−se na segunda equipotencial da rede. Logo, da
equipotencial que passa pelo ponto (0) à equipotencial que passa por (1) houve uma perda de
carga ∆h, assim teremos:
h
total 1
➏ u1Ú
w
➑ Z
1
➏ h
total 0
➌❡➍ h ➏ Z
0
➑ h ➌❡➍ h (3.23)
RN
66
u
1Ú
w
➏ Z
0
➌ Z
1
➑ h ➌❡➍ h (3.24)
Mesmo raciocínio pode ser estendido aos outros pontos de forma a se obter o
diagrama de subpressões ao longo da base da barragem (fig. 3.7). Importante notar que,
mesmo que o ponto onde se deseja determinar a pressão neutra não se situe sobre uma
equipotencial da rede traçada, o procedimento descrito acima também se aplica. A rigor a
rede traçada representa apenas algumas equipotencias e algumas linhas de fluxo, porémsobre
qualquer ponto sempre passará uma equipotencial. Seja o ponto P situado entre a 4a e a 5a
equipotenciais. Estimando que a perda de carga até ele seja 4,5∆h, pode−se determinar a
subpressão sobre ele:
h
total P
➏ uPÚ
w
➑ Z
P
➏ h
total 0
➌ 4,5➍ h ➏ Z
0
➑ h ➌ 4,5➍ h (3.25)
u
PÚ
w
➏ Z
0
➌ Z
P
➑ h ➌ 4,5➍ h (3.26)
O problema pode ser resolvido também graficamente. Para tanto basta dividir a perda
de carga em parcelas iguais, correspondentes ao número de quedas de equipotenciais, e
transformá−las em cotas tal que se represente na fig. 3.7. No ponto 1, por exemplo, a carga de
pressão corresponderá à distância vertical entre o ponto e o número de quedas de
equipotenciais (um no caso). No ponto 4 a mesma situação se repete, bastando observar que
ocorreram quatro perdas de carga. Observar que as cargas altimétricas ou de posição são
consideradas positivas acima RN e negativas abaixo do RN.
Ø Forças de percolação:
Como já visto no capítulo 1, quando a água escoa através de uma massa de solo seu
efeito não se limita à pressão hidrostática, que ocorre quando a água está em equilíbrio, mas
esta exerce também uma pressão hidrodinâmica sobre as partículas do solo, na direção do
fluxo, efeito que pode representar−se por empuxos hidrodinâmicos tangentes às linhas de
percolação. 
Na fig. 3.8 o elemento destacado tem lado (a), gradiente hidráulico i=−∆h/a e perda de
carga entre duas equipotenciais consecutivas de ∆h=h/neq.
Figura 3.8 – Determinação da força de percolação a partir da rede de fluxo.
Modificado de Bueno & vilar (1985).
67
Considerando−se como nulo o potencial total na equipotencial de saída da água, na
face de entrada do elemento atua o potencial total htotal(n) = n∆h, onde n é o número de quedas
de equipotencial, (∆h), a contar de jusante
Na face de saída potencial total será htotal(n−1) = (n−1)∆h, 
Isto origina uma diferença de energia total de ∆htotal =htotal(n) − htotal(n−1) = ∆h.
Multiplicando ∆h pelo peso específico da água, (γw), e pela área do elemento (a·1),
temos a força de percolação atutante entre as duas faces do elemento, Fp (eq. 3.27).
Dividindo−se a força de percolação pelo volume do elemento, (a2.1), e levando−se em
consideração que a razão, (∆h/a) corresponde ao gradiente médio i atuando no elemento,
chega−se à eq. 3.28, que corresponde à força de percolação por unidade de volume atuando
no elemento de solo.
Fp ➏ ➍ h ➒ a ➒ Ú
w (3.27)
A força de percolação por unidade de volume do elemento considerado será (fp):
fp ➏ i. Ú
w (3.28)
A força de percolação, nas superfícies de saída, não deve ultrapassar a resistência ao
cisalhamento entre as partículas, caso contrário provocará o fenômeno de erosão ou arraste
(piping). Para combater esse fenômeno utilizam−se os filtros que são estruturas porosas
colocadas convenientemente dentro do maciço para recolher a água que percola e evitara
formação de altos gradientes hidráulicos.
➚③❸❑❹▲❸✟➸●❼✭❾✔➹✝❿❴➀✔➃✳Û❚➣✝❾✔➄✪➔❚➇✍➛✏➄✗➩✗Ô❍➁✳➀✔➃✳↔❫➄✝❽✲➈✭➦✏❿✒➁✵➀✔➃✳➆❴➃❍➛✲➛✏➄
O fluxo de água através de maciços de terra constitui um dos casos de maior
importância na aplicação da teoria de fluxo para resolução de problemas práticos.A
percolação através do maciço compactado enquadra−se no caso defluxo não confinado, uma
vez que uma das fronteiras da zona de fluxo (a linha de fluxo superior) não está previamente
determinada. Consideremos a fig. 3.9. Admitindo RN ao longo da superfície impermeável,
temos como condição limite, a equipotencial de carga máxima (linha AB), a equipotencial de
carga mínima (linha CD), a linha de fluxo inferior (linha AC). A linha que limita ofluxo na
região superior do maciço é denominada de linha freática e não está definida a priori. A linha
freática, formada pelos pontos do maciço que possuem valores de pressão neutra iguaisao
valor da pressão atmosférica, sendo uma linha de fluxo com características próprias, e sua
determinação constitui o primeiro passo para o traçado da rede de fluxo em meio não
confinado. 
DA
B
C
NA
NA
Linha freática
impermeável
DA
B
C
NA
NA
Linha freática
impermeável
A
B
C
NA
NA
A
B
C
NA
NA
Linha freática
impermeável
Figura 3.9 – Percolação através de barragem de terra – fluxo não confinado.
68
➚③❸❑❹▲❸✮➼✝❸✟➆❴➛✏➄✝➦✲➄✝➀✔❿❴➀✔➄❀Õ◆➈❋→✣➝✣➄✪➸●➛✏➃✥❻✝➇✮➈✭❽✏➄
Dupuit em 1963 estabeleceu as primeiras bases para a solução de fluxo não confinado
e mais tarde Kozeny propôs uma solução teórica para uma barragem homogênea com filtro
horizontal a jusante e fundação impermeável, como se mostra na fig. 3.10.
A solução Kozeny admite que a rede de fluxo é constituída por dois conjuntos de
parábolas confocais conjugadas, um deles representando as linhas de fluxo e o outro
representando as linhas equipotenciais. A parábola básica de Kozeny foi obtida através da
teoria das variáveis complexas (solução analítica exata para a equação de Laplace).
A partir da construção da parábola básica, seguida pelas correções de entrada e saída
dessa linha de fluxo no maciço compactado pode−se determinar a linha freática. Passaremos a
determinação da parábola básica.
Figura 3.10 – Solução teórica de Kozeny – Parábola básica.
Ø Traçado da parábola básica de Kozeny:
A parábola é uma curva que define o lugar geométrico dos pontos que equidistam de
um ponto, denominado foco e de uma diretriz . No caso em questão, conhecem−se dois
pontos da parábola, De F (foco), mostrados na fig. 3.11. Para a determinação gráfica da
posição da parábola, deve−se seguir o seguinte roteiro:× Marcar o ponto D tal que DC= (1/3 a 1/4) AC;× Centro em De raio DF, determinaro ponto Esobre a horizontal do prolongamento
do nível d’água;× Traçar uma vertical por E e determinar o segmento EG, a diretriz da parábola;× Dividir GF ao meio e obter o ponto N que é a origem da parábola;× Traçar uma vertical por N e obter o segmento NM;× Dividir NM e DM em parte iguais;× Ligar os pontos de divisão de DM ao ponto N, formando retas inclinadas ou linhas
auxiliares radiais;× Traçar linhas auxiliares horizontais passando pelos pontos de divisão do segmento
NM;× A intersecção das linhas auxiliares radiais com as linhas auxiliares horizontais
determinam os pontos da parábola.
A fig. 3.12 apresenta algumas posições rotineiras do foco (F) na parábola básica,
necessárias para o seu traçado.
69
Figura 3.11 – Construção da parábola básica de Kozeny. Modificado de Bueno &
Vilar (1985).
F F F F
ωω ωω Filtro de pé
Figura 3.12 – Posições de foco em barragem de terra.
Após traçada a parábola básica são feitas correções de entrada e saída desta linha no
maciço, a fim de que esta respeite as condições de contorno da linha freática, que são
esquematizadas abaixo:
Ø Condições de entrada da linha freática no maciço de terra
Deve−se lembrar, como condição rotineira, que a linha freática sendo uma linha de
fluxo deve ser perpendicular ao talude de montante (que é equipotencial) no seu ponto de
entrada (fig. 3.13). Paraω>90o a linha freática é perpendicular ao talude de montante, para o
caso deω ≤90o, a linha freática deve ser tangente à horizontal que passa pelo nível d‘água. É
importante observar que quandoω<90o (por exemplo nos casos de ensecadeira incorporada,
constituída de material granular), a linha freática não é perpendicular ao talude, porque para
satisfazer essa condição, a freática precisaria aumentar a sua energiacom o transcorrer do
fluxo, o que é contrário aos conceitos básicos apresentados até aqui (como a lei de Darcy, por
exemplo).
 
Figura 3.13 – Condições de entrada da linha freática no maciço.
70
Ø Condições de saída da linha freática no maciço de terra
Na fig. 3.14, apresentam−se condições de saída da freática, devendo ressaltar que,
rotineiramente, a freática é tangente ao talude de jusante para os casos em queω≤90o. Para
ω>90o (filtro de pé), a linha freática tangencia a vertical no ponto de saída do talude de
jusante.
Figura 3.14– Condições de saída da linha freática no maciço.
Outra condição a ser observada é o ponto de saída da freática no talude de jusante (fig.
3.15). Para condições diferente daquela proposta por Kozeny, filtro horizontal (ω=180o), o
ponto da saída da freática não coincide com o ponto de saída da parábola básica, sendo
necessário fazer a correção da saída da freática no talude de jusante. 
 
Figura 3.15– Correções para posicionar a linha freática
Casagrande, após observações em modelos, recomenda a seguinte correção na
parábola básica:
− determinar o ponto de encontro da parábola básica com o talude de jusante,
− determinar a distância (∆a +a) que vai do foco ao ponto de saída da parábola básica
no talude de jusante,
− determinar o ângulo (ω), ângulo entre o talude de jusante e a horizontal,
− determinar a relação ∆a/(∆a +a), a partir do ábaco mostrado na fig. 3.15,Ü calcular a distância (a) entre ponto 4 (ponto de encontro da linha freática e o talude de
jusante) e o ponto F (foco),
− traçar a linha freática passando pelo ponto 4, tangente ao talude de jusante (para
ω≤900) ou tangente à vertical que passa pelo ponto 4 (para ω>900). Quando o ângulo ω<300, o
valor de (a) pode ser calculado diretamente pela eq. 3.29:
71
a Ý l
cosÞ ß
l 2
cos2 Þ
à h2
sin2 Þ
(3.29)
onde, l e h são, respectivamente, a projeção horizontal e vertical da distância MF
A fig. 3.16 apresenta condições de saída da freática e da parábola básica no talude de
jusante para ω>900 e ω=900.
 
ω>900 ω=900
Figura 3.16 – Correções para posicionar a linha freática
Após o traçado da linha freática, as condições de contorno, ou seja, as condições
limites do problema de fluxo de água em barragens de terra ficam totalmente determinadas.
Assim, poderemos traçar a rede de percolação com linhas equipotenciais e de fluxo,
obedecendo às mesmas leis e recomendações já vistas.
Antes de passarmos a esse traçado, é importante ressaltar algumas condições decarga
da linha freática. Como os pontos da linha freática estão submetidos às pressões
piezométricas nulas (u/γw=0), a carga total fica restrita ao valor da carga de posição (z).
Assim, a perda de carga entre duas equipotencias consecutivas será apenas a diferença de
carga altimétrica (intervalos verticais iguais ∆z), fig. 3.17.
h
I
Ý z
I
à uIá
w
h
II
Ý z
II
à uIIá
w
mas, uI = uII = 0
então, hI − hII = zI − zII = ∆z=∆h (3.30)
A propriedade descrita pela eq. 3.30 constitui um elemento básico para o traçado da
rede de fluxo. 
Determinada a posição da linha freática, divide−se a carga total disponível em cotas
iguais definindo, assim, os pontos de intersecção da linha freática com as equipotenciais.
Como a linha freática é uma linha de fluxo, as linhas equipotenciais lhe são perpendiculares.
Evidentemente, o número de perdas de carga a escolher será um problema de tentativase
erros, até que se tenha uma solução que leve em conta os fundamentos das redes de fluxo.
Após o traçado das linhas equipotenciais (linhas aproximadamente parabólicas e
perpendiculares à linha freática), de modo que a perda de carga seja constante entreas
mesmas, deve−se traçar as demais linhas de fluxo. Essas linhas de fluxo devem formar
“quadrados” com as linhas equipotenciais, seguindo aproximadamente a forma da linha
freática, (fig. 3.17). Um exemplo de rede de fluxo em barragem de terra com filtro de pé está
apresentado na fig. 3.18.
72
Figura 3.17 – Esquema de construção de uma rede de fluxo.
O cálculo da vazão através do maciço de terra, é feito da mesma forma apresentada
para o cálculo da vazão através de uma fundação permeável, valendo portanto a eq. 3.31.
Q Ý q. nf Q Ý k h nf
n
eq
(3.31)
Onde, h é a perda de carga total, nf/neq é denominado de fator de forma e depende da
rede traçada. Q é a vazão por unidade de comprimento da seção.
A avaliação do fator de forma nf/neq, pode levantar dúvidas, pois o número de
equipotenciais (neq) pode ser diferente se as perdas de carga forem contadas sobre a freática
ou sobre a superfície impermeável horizontal (fronteira inferior da região de fluxo), (ver fig.
3.17). Essa aparente ambiguidade na realidade não existe se se considerar que na fórmula da
vazão, h =∆h neq, é a perda de carga total, consequentemente neq será sempre o mesmo se
determinado pelo número de vezes que∆h coube em h. Isto significa dizer que o número de
perdas altimétricas deve ser contados na vertical, pois esses foram os pontos usados
efetivamente para o traçado da rede e eventualmente ajustados pela geometria domaciço. O
cálculo das pressões piezométricas no maciço se faz de forma semelhante ao das pressões em
uma fundação permeável, ja visto.
Figura 3.18 – Exemplo de rede de fluxo em meio não confinado – Barragem de
terra com filtro de pé.
73
â③ã❑ä▲ã✟å●æ✭ç✔è✝é❴ê✔ë✳ì❚í✝ç✔î✪ï❚ð✍ñ✏î✗ò✗ó❍ô✳ê✔ë✳õ❫î✝ö✲÷✭ø✏é✒ô✵ê✔ë✳ù❴ë❍ñ✲ñ✏î❀ë✳å●ç✔ú✣ê✔î✗ø✏û✒ë❍ô✳ü✾ë✥ñ✏ý❨ë✥þ✗ò✝ë✥÷✭ô
No caso de fluxo de água em maciços e fundações permeáveis, a dificuldade está em
definir as condições limites do problema. Definidas as condições limites, a rede é traçada
segundo os mesmos procedimentos já vistos (traçar parábola básica, fazer as correções de
entrada e saída da linha freática, manter ortogonalidade entre as LF e LE, etc). A fig. 3.19
apresenta o traçado da rede de percolação em maciço de terra e fundação permeável,
constituído de material homogêneo e isotrópico. Nesta figura, as condições de contorno
podem ser visualizadas facilmente. A linha de fluxo limite será na fundação, limite entre o
material permeável e impermeável e as equipotenciais limites serão o talude de montante e o
filtro a jusante.
Figura 3.19 – Exemplo de rede de fluxo em maciço e fundações permeáveis.
â③ã✆ÿ✝ã✟å●æ✭ç✔è✝é❴ê✔ë✳ì❚í✝ç✔î✪ë❍ý♠õ❫î✗ö✏÷✭ø✏é✒ô✳ê✔ë✵ù❴ë✥ñ✏ñ✏î✪ï❚ú✣÷✭ô✥é✒ð✍ñ✁�✄✂☞÷✭ö✏é✒ôA percolação, na maioria dos casos práticos, ocorre em solos anisotrópicos com
relação à permeabilidade. Isto significa dizer que a permeabilidade é diferente nas duas
direções ortogonais tomadas (kx ≠ kz). Essa situação ocorre com frequência em solos
sedimentares bem como nos maciços compactados, onde geralmente, o coeficiente de
permeabilidade na direção horizontal tende a ser maior que o da direção vertical.
Para o caso de solo anisotrópico em relação ao coeficiente de permeabilidade, a
equação de fluxo bidimensional é da forma:
k
x
☎ 2 h☎
x2
à
k
z
☎ 2h☎
z2
Ý 0 (3.32)
Para resolver o problema seguindo os principios já apresentados, devemos transformar
a eq. 3.32, para fluxo em meio anisotrópico (kx ≠ kz), em um fluxo em meio isotrópico
(equação de Laplace). Para tanto, usa−se o artifício de transformar as coordenadas do
problema, modificando as dimensões da zona de fluxo, conforme se demonstra a seguir. Esta
transformação consiste em reduzir as distâncias horizontais, pois a permeabilidade vertical é
menor do que a horizontal. A consequência disto se faz sentir na equação de fluxo (3.32), que
pode ser escrita na forma da eq. 3.33.
k
x
k
z
☎ 2 h☎
x2
à ☎ 2h☎
z2
Ý 0 ou 
☎ 2 h
k
z
k
x
☎
x2
à ☎ 2h☎
z2
Ý 0
(3.33)
74
Admitindo a seguinte transformação de escala na direção x, de forma que se tenha:
x
t
Ý x kz
k
x
(3.34)
☎
x
t
2 Ý kz
k
x
☎
x2 (3.35)
Substituindo a eq. 3.35 em 3.33, encontramos a equação de Laplace para meios
anisotropicos:
☎ 2 h☎
x
t
2
à ☎ 2h☎
z2
Ý 0 (3.36)
Da eq. 3.36, pode−se verificar que procedendo uma mudança de variável para
xt=(kz/kx)0.5x, uma região homogênea e anisotropica pode ser transformada numa região
fictícia isotrópica onde a equação de Laplace é válida, e consequentemente a teoria até aqui
desenvolvida é aplicável. Esta região fictícia é chamada seção transformada.
Na prática, a partir da seção real ((kx ≠ kz) desenha−se uma seção transformada em
escala tal que satisfaça a eq. 3.34. A seguir, traça−se a rede de fluxo na seção transformada
com elementos quadrados e em seguida retorna−se ao problema original desdobrando as
dimensões da direção que foi reduzida. Na seção real, as linhas equipotenciais nãosão
necessariamente ortogonais às linhas de fluxo e os elementos da rede podem assumir a
aparência de retângulos ou losangos, dependendo da relação de permeabilidades. Na fig. 3.20
são apresentados exemplos de redes traçadas em coordenadas transformadas e depois
retornadas à sua condição real.
 
(a) seção transformada (b) Seção real
 
(a) seção transformada (b) Seção real
Figura 3.20 – Exemplos de rede de fluxo em meios anisotrópicos.
75
Para o cálculo de gradientes hidráulicos o que vale é a seção real, pois o gradiente é
igual a perda de carga dividida pela distância entre as equipotenciais na escala real e não a
distância entre as equipotenciais na escala transformada.
O cálculo da vazão nos casos de meios anisotrópicos deve ser feita considerando−se
uma permeabilidade equivalente (keq) determinada em função das permeabilidades reais. 
Consideremos um elemento da rede de fluxo em que o escoamento se dá paralelo ao
eixo das abcissas, conforme indica a fig. 3.21. Na seção real o elemento é retangular, sendo
∆x maior do que ∆z, pela transformação das abcissas.
vx
z
xkx
kz
Seção real (anisotrópica)
vx
z
Seção transformada (isotrópica)
kequiv
xt
= kt
∆z
∆x ∆xt
∆zvx
z
xkx
kz
Seção real (anisotrópica)
vx
z
Seção transformada (isotrópica)
kequiv
xt
= kt
∆z
∆x ∆xt
∆z
Figura 3.21– Determinação da vazão para meios anisotrópicos.
Na direção x, a velocidade de fluxo na seção real é igual a:
V
x
Ý ß k
x
☎
h☎
x
(3.37)
A velocidade de fluxo na seção transformada (isotrópica) é igual a:
V
x
Ý ß k
x
t
☎
h☎
x
t
ou 
V
x
Ý ß k
x
t
☎
h
k
z
k
x
☎
x
(3.38)
Igualando−se as equações 3.37 e 3.38, temos a eq. 3.39:
ß k
x
☎
h☎
x
Ý ß k
x
t
☎
h
k
z
k
x
☎
x
k
x
t
Ý k
x
k
z
k
x
k
x
t
Ý k
eq
Ý k
x
k
z
(3.39)
onde, kxt ou keq é o coeficiente de permeabilidade da seção transformada. keq é a média
geométrica dos coeficientes de permeabilidade horizontal e vertical. Assim,a vazão total de
percolação num sistema anisotrópico é dado pela eq. 3.40.
Q Ý k
eq
h
nf
n
eq
L (3.40)
76
sendo,L igual ao comprimento da barragem onde o fluxo ocorre e as demais variáveis
já foram definidas anteriormente.
â③ã✝✆▲ã✟å●æ✭ç✔è✝é❴ê✔ë✳ì❚í✝ç✔î✪ë❍ý♠õ❫ë✥÷✭é✒ô✟✞✾ë✥ð✍ë✥ñ✏é✒í✡✠✥ú✣ë✥é✒ô
No projeto de uma barragem, procura−se conciliar os materiais disponíveis na região
com a seção típica. Em função disso, é comum projetar a seção típica com materiais de
permeabilidades diferentes. Por exemplo, pode−se ter um núcleo argiloso de baixa
permeabilidade, abas de material arenoso de permeabilidade mais elevada e, ainda, fundação
formada por camadas de diferentes permeabilidades. Nesses casos tem−se percolação de água
através de meios heterogêneos, ou seja, as propriedades do material variam de pontopara
ponto.
Para o traçado de uma rede de fluxo num meio heterogêneo permanecem válidas as
condições estabelecidas para o fluxo em meio homogêneo, devendo−se acrescentar as
condições de transferência das linhas de fluxo de um meio para o outro.
Quando a água flui através de uma fronteira entre dois solos de permeabilidades
diferentes, as linhas de fluxo mudam de direção. Essa variação na direção ocorresegundo
ângulos de interseção inversamente proporcionais aos coeficientes de permeabilidade
(semelhante a lei de refração da luz). Quando a água flui de um solo de alta permeabilidade
para outro de baixa permeabilidade os canais de fluxo devem se alargar para dar passagem a
mesma vazão e perda de carga. Por outro lado, se o fluxo vai de um material de menor para
um material de maior permeabilidade, o canal de fluxo deve estreitar. A fig. 3.22 apresenta as
condições gerais de transferência de canais de fluxo do solo 1 para o solo 2.
Figura 3.22 – Transferência das linhas de fluxo entre meios de diferentes
permeabilidades (k1>k2). Modificado de Vargas (1977)
Nesta figura, a água está percolando de um meio de maior permeabilidade (solo 1)
para um meio de menor permeabilidade (solo 2). Pelo princípio da continuidade, a vazão
deve ser a mesma nos dois canais, portanto tem que haver um alargamento dos canais de
fluxo no meio 2, tal que a transferência de um meio para outro satisfaça as equações:
q
1
Ý q
2 k1
☛
h
a
a.1Ý k
2
☛
h
b
c.1
k
1
k
2
Ý c
b
(3.41)
77
Mas,
sin ☞ Ý a
AB
sin ✌ÑÝ c
AB
ABÝ a
sin ☞ Ý
c
sin ✌
cos☞➎Ý a
AC
cos✌ÑÝ b
AC
AC Ý a
cos☞ Ý
b
cos✌
a Ý c
sin ✌ sin ☞❴Ý
b
cos✌ cos☞
c
b
Ý tg ✌
tg ☞ Ý
k
1
k
2
(3.42)
Como pode ser observado pela eq. 3.42, a deflexão das linhas de fluxo são tais que as
tangentes dos ângulos de intersecção com a fronteira são inversamente proporcionais aos
coeficientes de permeabilidade.
Caso a permeabilidade k1 for menor que k2 (fig. 3.23), pode−se notar que os canais de
fluxo devem estreitar no meio 2 para dar passagem à mesma vazão que percolava nos canais
do meio 1.
Figura 3.23– Transferência das linhas de fluxo entre meios de diferentes
permeabilidades (k1<k2). Modificado de Bueno & Vilar (1985).
O traçado de rede de fluxo em seções heterogêneas é mais complexo que o traçado
para seções homogêneas, em virtude da transferência das linhas de um meio para outro. Este
traçado requer uma boa dose de experiência bem como conhecimento dos princípios básicos
da teoria. O fluxo em um meio heterogêneo pode admitir mais de uma solução para o mesmo
problema, dependendo as hipóteses adotadas. Na fig. 3.24, temos um exemplo de duas
soluções de rede de fluxo para um mesmo maciço constituído de dois materiais. O talude de
montante é constituído por um material altamente permeável (enrocamento), o meio 1 é o
núcleo do maciço com uma permeabilidade menor que o material do meio2 (k2 = 5k1).
78
Figura 3.24– Redes de fluxo no mesmo maciço constituído de zonas de diferentes
permeabilidades. Modificado de Bueno & Vilar (1985).
Na primeira rede, a solução adotada foi traçar arede com elementos quadrados no
meio 1 e retangulares no meio 2, mantendo a igualdade de vazão e perda de carga. Na última
rede, a solução adotada permitiu o traçado de malhas quadradas em cada um dos meios.
79
4. RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO.
✍ ã✏✎✝ã✒✑✡ú☞ð✍ñ✏é✒ê✔ç✔ø✔✓✗é
Vários materiais empregados na construção civil resistem bem à tensões de
compressão, porém têm uma capacidade bastante limitada de suportar tensões de tração e de
cisalhamento. Assim ocorre com o concreto e também com os solos em geral. No caso dos
solos, devido a natureza friccional destes materiais, pode−se mostrar que a ruptura dos
mesmos se dá preferencialmente por cisalhamento, em planos onde a razão entre a tensão
cisalhante e a tensão normal atinge um valor crítico. Estes planos são denominados deplanos
de ruptura e ocorrem em inclinações as quais são função dos parâmetros de resistência do
solo. Conforme já relatado anteriormente neste trabalho, as deformações em um maciço de
terra são devidas principalmente aos deslocamentos que ocorrem nos contatos entre as
partículas do solo, de modo que, na maioria dos casos, as deformações que ocorrem dentro
das partículas do solo podem ser desprezadas (considera−se a água e as partículassólidas
como incompressíveis). Pode−se dizer também, que as tensões cisalhantes sãoa principal
causa do movimento relativo entre as partículas do solo. Por estas razões, aonos referirmos à
resistência dos solos estaremos implicitamente falando de sua resistência ao cisalhamento. 
A resistência do solo forma, ao lado da permeabilidade e da compressibilidade,o
suporte básico para resolução dos problemas práticos da engenharia geotécnica. Trata−se de
uma propriedade de determinação e conhecimento extremamente complexos, pois às suas
próprias dificuldades devem ser somadas às dificuldades pertinentes ao conhecimento da
permeabilidade e da compressibilidade, visto que estas propriedades interferemdecisivamente
na resistência do solo. Dentre os problemas usuais em que é necessário conhecer a resistência
do solo, destacam−se a estabilidade de taludes, a capacidade de carga de fundações eos
empuxos de terra sobre estruturas de contenção.
Ao falarmos de resistência de um determinado material, o conceito de rupturadeve ser
esclarecido e avaliado, levando−se em consideração as característicasdo material em questão.
Esta necessidade decorre do fato de que materiais diferentes possuem curvas
tensão/deformação diferentes, de modo que diferentes definições de ruptura podem ser
necessárias para caracterizar o seu comportamento. Em algumas situações, se um material é
carregado até uma condição de ruptura iminente, as deformações apresentadas são tão grandes
que, para todos os propósitos práticos, o material deve ser considerado como rompido. Isto
significa que o material não pode mais suportar de modo satisfatório as cargas aele aplicadas.
Deve−se ressaltar contudo, que em muitos casos (inclusive para alguns solos), a curvatensão
deformação apresentada pelo material é de natureza tal que impede que uma definição precisa
do ponto de ruptura seja dada. Desta forma, poderíamos definir como ruptura a máxima
tensão a qual um determinado material pode suportar, ou, de outra forma, a tensão
apresentada pelo material para um nível de deformação suficientemente grande para
caracterizar uma condição de ruptura do mesmo. 
Conforme será visto adiante, para o caso das areias fofas e das argilas normalmente
adensadas, a curva tensão/deformação obtida não permite uma definição precisa doponto de
ruptura. Nestes casos, é usual se convencionar como ponto de ruptura do material o valorde
tensão para o qual se obtém uma deformação axial em torno de 20%.
O estudo do comportamento de resistência de um determinado material é normalmente
realizado por intermédio de um critério de ruptura.Um critério de ruptura expressa
matematicamente a envoltória de ruptura de um material, a qual separa a zona de estados de
tensão possíveis da zona de estados de tensão impossíveis de se obter para o mesmo.Em
outras palavras, todos os estados de tensão de um material devem se situar no interior da sua
envoltória de ruptura. Conforme relatado anteriormente, cada material, em função de suas
características, deve possuir um critério de ruptura que melhor se adapte ao seu
80
comportamento. Para o caso dos solos, o critério de ruptura mais utilizado é ocritério de
ruptura de Mohr−Coulomb.
Segundo este critério, inicialmente postulado por Mohr, em 1900, a ruptura de um
material se dá quando a tensão cisalhante no plano de ruptura alcança o valor da tensão
cisalhante de ruptura do material, o qual é uma função única da tensão normal neste plano.
Em outras palavras:
( )ffff f στ = (4.1)
Ondeτ ff e σff são a tensão de cisalhamento de ruptura e a tensão normal no plano de
ruptura.
A envoltória de ruptura obtida para os solos é notadamente não linear, principalmente
se utilizamos largos intervalos de tensão normal na sua determinação. Pode−se dizer,
contudo, que para uma faixa limitada de tensões, a envoltória de ruptura dos solos pode ser
razoavelmente ajustada por uma reta. A adequação de uma reta ao critério de ruptura de Mohr
foi proposta por Coulomb, de modo que freqüentemente nos referimos a este critério como
critério de ruptura de Mohr−Coulomb. A fig. 4.1 apresenta uma envoltória de ruptura típica
obtida para um solo, para diversos valores de tensão normal e o seu ajuste utilizando−se uma
reta, para a faixa de interesse de valores de σ (tensão normal).
0 
10 
20 
30 
40 
50 
T
en
sã
o 
ci
sa
lh
an
te
 (
kP
a)
0 20 40 60 80 100 
Tensão normal (kPa)
Pontos experimentais
Faixa de valores
de interesse
φ
c (coesão)
Figura 4.1 – Envoltória de ruptura típica obtida para um solo e o seu ajuste à
proposta de Mohr – Coulomb.
Conforme se pode observar da fig. 4.1, a envoltória de ruptura de Mohr−Coulomb
pôde ser ajustada pela eq. 4.2, apresentada adiante, para a faixa de tensões de interesse,
obtendo−se resultados satisfatórios. Nesta equação, o coeficiente linear da reta que define o
critério de ruptura é denominado de coesão e a sua contribuição para a resistênciado solo
independe da tensão normal atuando no plano de ruptura. Conforme exposto nos capítulos
anteriores, a coesão do solo decorre da existência de uma força resultante de atração entre as
partículas de argila, sendo responsável por exemplo, pela alta resistência dos torrões formados
pelos solos finos, quando secos. Mesmo para o caso de total saturação, os solos finos podem
apresentar interceptos de coesão não nulos. O coeficiente angular da reta é dado pela tg(φ),
onde φ é denominado de ângulo de atrito interno do solo. Os parâmetros c eφ são
denominados de parâmetros de resistência do solo. Conforme será visto no decorrer deste
trabalho, para um mesmo solo, a depender das condições de ensaio especificadas, pode−se
81
obter valores de c eφ totalmente diferentes. Deste modo, deve−se evitar considerar estes
parâmetros como propriedades intrínsecas do solo.
( )φστ tgc ffff ⋅+= (4.2), ou, simplismente, ( )φστ tgc ⋅+=
Onde c é a coesão (ou intercepto de coesão) do solo eφ é o seu ângulo de atrito
interno.
Na prática, é impossível quantificar as interferências causadas pelas características do
solo na resistência, porém, constata−se que a utilização da envoltória de Mohr−Coulomb é
uma maneira eficiente e confiável de representação da resistência do solo, residindo
justamente em sua simplicidade um grande atrativo para sua aplicação na prática.
✍ ã ✕✚ã✒✖✘✗✜é✒ú✣ö✏ë✥÷✭ð✮é★ê✔ë✳ù❴ë❍ú☞ô✙✓✝é❴ë✥ý✇ç✔ý♠ü✾é✒ú✣ð✮é
O conceito de tensão em um ponto já foi exposto no capítulo de tensões geostáticas,
apresentado neste trabalho. Neste item far−se−á apenas uma revisão sucinta da análise de
tensões para o caso dos estados planos de tensão e deformação, utilizando−se os conceitos
envolvidos na construção dos círculos de Mohr. Diz−se que um solo está em um estado plano
de tensão quando a tensão ortogonal ao plano considerado é nula. No caso de um estado plano
de deformação, asdeformações em um sentido ortogonal ao plano analisado são nulas e a
tensão ortogonal será uma função das componentes de tensão contidas no plano considerado.
Inúmeros problemas da engenharia geotécnica permitem soluções considerando um estado
plano de tensões. O elemento de solo ilustrado na fig. 4.2 está submetido a um estado plano
de tensões. Por esta razão, as componentes do tensor de tensões que têm por direção a normal
ao plano considerado são nulas (vide fig. 8.1), ou seja: τxy = τyx = τzy = τyz = σy = 0.
τzx
σz
 τxz
σx
α
σα
τα
x
z
Figura 4.2 – Elemento de solo sujeito a um estado plano de tensões.
As tensões em um plano passando por um ponto do solo (planoα da fig. 4.2) podem
ser sempre decompostas em suas componentes cisalhante (τα, na fig. 4.2) e normal ao plano,
(σα). Em Mecânica dos Solos, as tensões normais de compressão são tomadas com sinal
positivo.
Em um determinado ponto, as tensões normais e de cisalhamento variam conforme o
plano considerado. No caso geral, existem sempre três planos em que não ocorrem tensões de
cisalhamento. Estes planos são ortogonais entre si e recebem o nome de planos de tensões
principais. As tensões normais a estes planos recebem o nome de tensões principais; a maior
82
das três é chamada de tensão principal maior,σ1, a menor é denominada tensão principal
menor, σ3 e a outra é chamada de tensão principal intermediária,σ2. No estado plano de
tensão, leva−se em consideração apenas as tensõesσ1 e σ3, ou seja, despreza−se o efeito da
tensão principal intermediária.
Conhecendo−se os planos e as tensões principais num ponto, pode−se sempre
determinar as tensões normais e de cisalhamento em qualquer plano passando por esteponto.
Este cálculo pode ser feito, igualando−se as forças (produto tensão x área) decompostas nas
direções normal e tangencial ao plano considerado. Sendoα o ângulo do plano considerado
com o plano principal maior, obtém−se:
α
σσ
τ
ασσσσσ
α
α
2sen
2
)(
2cos
2
)(
2
31
3131
⋅
−
=
⋅−++=
 (4.3)
De maneira semelhante, conhecidas as tensões em dois planos ortogonais quaisquer,
podem−se determinar as tensões em qualquer outro plano usando−se as equações de
equilíbrio dos esforços. Esta solução pode ser obtida mais facilmente pelo o conceito de
Círculo de Mohr, o qual será exposto a seguir.
✍ ã❑â▲ã✒✗✛✚✭ñ✏ö✏ç✔æ❋é★ê✔ë✳õ❫é✢✜✣ñ
O estado de tensão em todos os planos passando por um ponto pode ser representado
graficamente, num sistema de coordenadas em que as abcissas são as tensões normais e as
ordenadas são as tensões de cisalhamento. O círculo de Mohr tem seu centro no eixodas
abcissas e pode ser construído quando se conhece as duas tensões principais em um ponto,
com as respectivas inclinações dos planos onde estas atuam, ou as tensões normais e de
cisalhamento em dois planos quaisquer. A fig. 4.3 ilustra a construção de um círculode Mohr
para o caso de um estado plano de tensões. As tensões atuando em um plano com uma
inclinaçãoα em relação ao plano principal podem ser obtidas com o uso da eq. 4.3, mostrada
anteriormente. A eq. 4.3 pode escrita de uma forma mais geral, conforme apresentado na eq.
4.4. Pode−se ainda demonstrar que o raio do círculo de Mohr é dado pela eq. 4.5 e que o
ângulo que o plano vertical faz com o plano principal é dado pela eq. 4.6.
( )
( )ατασστ
ατασσσσσ
α
α
2cos2sen
2
)(
2sen2cos
2
)(
2
⋅−⋅
−
=
⋅+⋅−++=
xz
zx
xz
zxzx
 (4.4)
2
2
2
)(
xz
zxR τ
σσ
+



 −= (4.5)
2
2








−
⋅
= yx
xz
p
atg
σσ
τ
α
 (4.6)
As tensões principais maior e menor podem ser obtidas somando−se ou diminuindo−
se o valor do raio do círculo de Mohr à coordenada de seu centro. Este procedimento resulta
na eq. 4.7, apresentada adiante.
83
2
xz
2
zxzx
3
2
xz
2
zxzx
1
2
)(
2
2
)(
2
τ
σσσσ
σ
τ
σσσσ
σ
+



 −−



 +=
+



 −+



 +=
 (4.7)
α
σ
α
τ
zx
σ
z
τ
xz
σ
x
τ
α
σ
τ
 σ
1
σ
3
 (σ
x
;τ
xz
)
 (+)
 Convenção de sinais
 c
 polo
Estado de tensões
 Círculo de Mohr
α
α
 (σα;τα)
 (σ
z
;τ
zx
)
(σ
x
 + σ
z
)/2
Figura 4.3 – Construção de um círculo de Mohr para o caso de um estado plano de
tensões.
Um ponto notável destaca−se do círculo de Mohr: é o polo, ou origem dos planos,
representado na fig. 4.3. Desejando−se conhecer as tensões em um plano com inclinação
conhecida, basta traçar uma paralela ao citado plano, pelo polo. A interseção desta paralela
com o círculo de Mohr, fornecerá as tensões no plano. A fig. 4.3 ilustra a obtenção das
tensões em um plano inclinado de α com a horizontal.
Da análise do círculo de Mohr, diversas conclusões podem ser obtidas, como as
seguintes:
1) A máxima tensão de cisalhamento ocorre em planos que formam ângulos de 45o
com os planos principais (estes planos são ortogonais entre si).
2) A máxima tensão de cisalhamento é igual a τmáx = (σ1 −σ3)/2.
3) As tensões de cisalhamento em planos perpendiculares são numericamente iguais,
mas de sinal contrário.
4) Em dois planos formando o mesmo ângulo com o plano principal maior, com
sentido contrário, ocorrem tensões normais iguais e tensões de cisalhamento
numericamente iguais e de sinais opostos.
Pela definição de envoltória de ruptura dada anteriormente, pode−se dizer que para
que um estado de tensão seja possível em um determinado ponto do solo, o círculo de Mohr
representativo deste estado de tensões deve estar totalmente contido na envoltória de
resistência do solo. Particularmente, nos casos de ruptura iminente, o círculo de Mohr
tangenciará a envoltória de ruptura. A fig. 4.4 apresenta uma envoltória de resistência obtida
a partir de diversos círculos de Mohr construídos para uma condição de ruptura iminente.
Conforme se pode notar, os círculos de Mohr para uma condição de ruptura tendem a
tangenciar a envoltória de ruptura do solo. Na prática, por ser o solo um material
heterogêneo, a sua envoltória de resistência é obtida a partir de um ajuste desta aos círculos
84
de Mohr de ruptura obtidos experimentalmente, geralmente utilizando−se o método dos
mínimos quadrados.
Figura 4.4 – Ajuste da envoltória de ruptura do solo a círculos de Mohr obtidos
para a sua condição de ruptura.
A fig. 4.5 ilustra um círculo de Mohr na ruptura sendo tangenciado pela envoltória de
resistência do solo. Conforme se pode observar nesta figura, o plano de ruptura do solo faz
um ângulo de 45o + φ/2 com o plano principal maior. Como apenas a parte superior do círculo
de Mohr foi apresentada, devido a simetria do problema, pode−se mostrar que existe um
outro plano de ruptura, situado também a 45o + φ/2 do plano principal maior, só que em
sentido oposto ao plano apresentado na fig. 4.5. Pode−se dizer então, que os planos de ruptura
em um solo, admitindo−se como correto o uso de critério de ruptura de Mohr Coulomb,
perfazem entre si um ângulo de 90o + φ. Para a condição de ruptura, pode−se também
demonstrar que os valores das tensões principais estão relacionados entre si pela eq. 4.8,
apresentada adiante.
φφσσ NcN ⋅⋅+⋅= 231 (4.8)
)45(tan=N :Onde
2
2 φ
φ +
 (4.9)
Figura 4.5 – Definição do plano de ruptura em um ponto do solo.
85
✍ ã ✍ ã✒✣✻ë✥ô✥÷✭ô✥ð✤✠✥ú☞ö✏÷✭î❀ê✔é✒ô✟✥✵é✒æ✭é✒ô
Conforme relatado anteriormente, de uma maneira geral, a resistência dos solos é
decorrente da ação integrada de dois fatores, denominados de atrito e coesão. Conformeserá
visto adiante, o ângulo de atrito do solo está associado ao efeito de entrosamento entre as suas
partículas. Por outro lado, a possibilidade ou não de drenagem, ou seja, do desenvolvimento
de pressões neutras, merece uma atenção especial no estudo dos solos. Como princípio geral,
deve ser fixado que o fenômeno de cisalhamento é basicamente um fenômeno de atrito eque
portanto a resistência de cisalhamento dos solos depende predominantemente da tensão
efetiva normal ao plano de cisalhamento.
✍ ã ✍ ã✦✎✝ã✟ï❚ð✮ñ✏÷✭ð✮é
A lei de atrito Coulomb resultou de observações empíricas. Posteriormente, Terzaghi
elaborou uma teoria que fornece embasamento teórico para as constatações empíricasdas leis
de atrito.
Segundo Terzaghi, em sua “Teoria Adesiva do Atrito”, a superfície de contato real
entre dois corpos constitui apenas uma parcela da superfície aparente de contato, dado queem
um nível microscópico, as superfícies dos materiais são efetivamente rugosas. O contato entre
as partículas se dá então apenas nas protuberâncias mais salientes. Sendo assim, as tensões
transmitidas nos contatos entre as partículas de solo são de valor muito elevado, sendo
razoável admitir que haja plastificação do material na área dos contatos entre as partículas.
Deste modo, caso haja acréscimos de carregamento no solo, a área de contato entre as suas
partículas (zona plastificada), tende a aumentar proporcionalmente ao acréscimo de
carregamento, resultando em uma maior resistência por atrito do solo.
No caso de partículas grossas, a altura das protuberâncias é muito menor do que o
diâmetro das partículas, de modo que cada contato aparente engloba minúsculos contatos
reais, donde se deve esperar altas tensões nesses pontos de contato. Nas partículasfinas, ainda
que mais lisas, são pouco prováveis os contatos face a face, devido às forças de superfície.
Assim, os contatos devem se dar, predominantemente, através das quinas das partículas e
cada contato deve ocorrer através de uma única protuberância, resultando um esquema
resistente semelhante ao que ocorre nas partículas grossas. 
✍ ã ✍ ã ✕✚ã✒✗✜é✒ë✥ô✧✓✗é
A coesão consiste na parcela de resistência de um solo que existe independentemente
de quaisquer tensões aplicadas e que se mantém, ainda que não necessariamente a longo
prazo, se todas as tensões aplicadas ao solo forem removidas. Várias fontes podemoriginar
coesão em um solo. A cimentação entre partículas proporcionada por carbonatos, sílica,
óxidos de ferro, dentre outras substâncias, responde muitas vezes por altos valores de coesão.
É interessante notar que os agentes cimentantes podem advir do próprio solo, após processos
de intemperização. Tal ocorre, por exemplo, na silificação de arenitos, quando a sílica é
dissolvida pela água percolante e depositada como cimento (Paraguassu, 1972).
Excetuando−se o efeito da cimentação, pode−se afirmar serem todas as outras formas
de coesão o resultado de um fenômeno de atrito causado por forças normais, atuantesnos
contatos inter−partículas. Essas tensões inter−partículas, também denominadas de “internas”
ou “intrínsecas”, são o resultado da ação de muitas variáveis no sistema solo−água−ar−
eletrólitos, podendo−se destacar as forças de atração e de repulsão, originadas porfenômenos
eletrostáticos e eletromagnéticos e as propriedades da água adsorvida junto às partículas.
A coesão aparente é uma parcela da resistência ao cisalhamento de solos úmidos, não
saturados, que não tem sua origem na cimentação e nem nas forças intrínsecas de atração.
Esse tipo de coesão deve−se ao efeito de capilaridade na água intersticial.A pressão neutra
86
negativa atrai as partículas gerando novamente um fenômeno de atrito, visto que ela origina
uma tensão efetiva normal entre as mesmas. Saturando−se totalmente o solo, ousecando−o
por inteiro, esta parcela desaparece, donde o nome de aparente. A sua intensidade cresce com
a diminuição do tamanho das partículas. A coesão aparente pode ser uma parcela bastante
considerável da resistência ao cisalhamento do solo, principalmente nos solos argilosos.
A despeito das dificuldades de explicação física e da medida do seu valor, tem−se
constatado que a coesão aumenta com os seguintes fatores:
★
quantidade de argila e atividade coloidal★
razão de pré−adensamento (over consolidation ration – OCR)★
diminuição da umidade
✍ ã✝✩▲ã✒✪✜ú✣ô✥î✗÷✭é✒ô✫✂☞î✝ñ✏î✪î✭✬Pë✥ð✍ë✥ñ✏ý❨÷✭ú☞î✝ø✔✓✗é❴ê✔î✭✣✻ë✥ô✥÷✭ô✥ð✦✠❍ú☞ö✏÷✭î✪î✝é✮✗✜÷✭ô✥î✝æ✯✜✣î✗ý❡ë✥ú☞ð✍é❴ê✔é✒ô✫✥✳é✒æ✭é✒ô
A determinação da resistência ao cisalhamento de um solo pode ser feita através de
ensaios em campo ou em laboratório. Os ensaios em laboratório mais usuais são osensaios de
cisalhamento direto e os ensaios triaxiais, ao passo que os ensaios de campo mais utilizados
são os ensaios de Palheta “Vane−Test”, sondagens à percussão e cisalhamento direto “in situ”.
No caso dos ensaios de laboratório, para cada solo são ensaiados vários corpos de
prova indeformados ou preparados sob condições idênticas. Para cada corpo de prova obtém−
se uma curva tensão/deformação, a qual convenientemente interpretada fornece tensões que
permitirão, num diagrama σ x τ, a definição da envoltória de resistência.
✍ ã✝✩▲ã✦✎✝ã✒✪✜ú✣ô✥î✗÷✭é✒ô✵ë✥ý✱✰◆î✡✲❊é✒ñ✏î✗ð✦�❊ñ✲÷✭é
✍ ã✝✩▲ã✦✎✝ã✦✎✝ã✒✪✜ú☞ô❍î✗÷✭é❴ê✔ë✫✗✜÷❋ô❍î✗æ✳✜☞î✝ý❨ë✥ú✣ð✮é✴✬P÷✭ñ✏ë✥ð✮é
Para o ensaio de cisalhamento direto o solo é colocado numa caixa de cisalhamento
constituída de duas partes, conforme apresentado na fig. 4.6. A parte inferior é fixa enquanto
que a parte superior pode movimentar−se, aplicando tensões cisalhantes no solo. As pedras
porosas, nas extremidades do corpo de prova, permitem a drenagem durante o ensaio. Sobre o
corpo de prova são aplicadas tensões normais que permanecem constantes até o final do
ensaio. Essas tensões devem variar para cada corpo de prova, com o intuito de poder definir
pares de tensões diferentes na ruptura. 
O corpo de prova pode ser rompido aplicando−se tensões controladas (medem−se as
deformações provocadas) ou deformações controladas (medem−se as tensões provocadas).
Três leituras são tomadas durante o ensaio: deslocamento horizontal (δh), força cisalhante
aplicada (S) e deformação vertical (εv) a qual fornecerá a variação de volume do corpo de
prova (notar que durante o ensaio o corpo de prova permanece em uma condição de
compressão confinada). 
O gráficos da fig. 4.7 mostram resultados típicos de ensaios de cisalhamento direto e
que de uma maneira geral representam o que ocorre num solo ao ser cisalhado, independente
do tipo de ensaio. A curva cheia é característica das areias compactas: nota−se um valor bem
definido da tensão cisalhante de ruptura, normalmente para pequenas deformações, e um
aumento de volume à medida em que o solo é cisalhado. Já a curva pontilhada é comum nas
areias fofas: após atingida uma determinada deformação axial, as deformaçõescrescem
continuamente sem acréscimos apreciáveis de tensão cisalhante. Contrárioas areias
compactas, ocorre agora uma redução de volume. 
O comportamento das areias fofa e compacta é explicado da seguinte forma: no caso
da areia compacta, os grãos de solo encontram−se entrosados. Iniciadas as deformações
cisalhantes os grãos deslizarão uns por sobre os outros de forma a atingir uma posição de
87
menor compacidade, ocorrendo um aumento de volume. Já no caso das areias fofas, as
tensões cisalhantes permitem um maior entrosamento dos grãos, com conseqüente redução de
volume.
Figura 4.6 – Esquema adotado para a realização do ensaio de cisalhamento direto.
Das curvas tensão/deformação dos vários corpos de prova são tomados os valores das
tensões cisalhantes de ruptura, os quais, conjugados com as tensões normais correspondentes,
permitem a definição da envoltória de resistência do solo para o intervalo de tensões
ensaiado.
εa
τ
 εv
εv de compressão
positiva
Areia compacta
Areia fofa
Figura 4.7 – Resultado típico de um ensaio de cisalhamento direto realizado em
areias fofa e compacta.
Algumas deficiências limitam a aplicabilidade do ensaio de cisalhamento direto. A
primeira delas é o fenômeno da ruptura progressiva, que se manifesta principalmente nos
solos de ruptura do tipo frágil. A ruptura progressiva pode se dá porque a deformação
cisalhante ao longo do plano de ruptura não é uniforme: ao iniciar o cisalhamento ocorre uma
concentração de deformações próximo às bordas da caixa de cisalhamento, que tendem a
decrescer em direção ao centro da amostra. Obviamente, as tensões em cadalocal serão
diferentes, de forma que quando nas regiões próximas à borda da caixa de cisalhamento
forem atingidas a deformação e a tensão de ruptura, teremos próximo ao centro da amostra
tensões inferiores à de ruptura.
À medida que aumentam as deformações, a ruptura caminha em direçãoao centro e
uma vez que as extremidades já passaram pela ruptura, teremos agora tensões menores que a
de ruptura, nessas extremidades. Dessa forma, o valor de resistência que se mede no ensaio é
88
mais conservador do que a máxima resistência que se poderia obter para o solo, porque a
deformação medida durante o ensaio não consegue representar o que realmente ocorre, mas
somente uma média das deformações que se processam na superfície de ruptura.
Tratando−se de solos de ruptura plástica, tal não ocorre, porque em todos os pontos da
superfície de ruptura atuam esforços iguais, independentemente de qualquer concentração de
tensões.
Outro aspecto que merece ser citado refere−se ao fato de que o plano de rupturaestá
determinado a priori e pode não ser na realidade o mais fraco. Por sua vez, os esforços que
atuam em outros planos que não o de ruptura, não podem ser estimados durante a realização
do ensaio senão quando no instante de ruptura. Além, disso, a área do corpo de prova diminui
durante o ensaio.
Por último, deve−se salientar a dificuldade de controle (conhecimento) das pressões
neutras antes e durante o ensaio. Embora existam pedras porosas que permitam a dissipação
de pressões neutras, não existe nenhum mecanismo que permita avaliar o desenvolvimento
das pressões neutras no corpo de prova, tal qual seria possível num ensaio de compressão
triaxial.
De uma forma resumida, podemos citar as seguintes vantagens e desvantagens do ensaio de
cisalhamento direto:
− Vantagens:
 Ensaios em areias (moldagem)
 Planos preferenciais de ruptura
− Desvantagens:
 Ruptura progressiva
 Rotação dos planos principais
 Não há controle de drenagem
 − Outras propostas:
 “Ring shear” e cisalhamento simples
✍ ã✝✩▲ã✦✎✝ã ✕✚ã✒✪✜ú☞ô❍î✗÷✭é❴ê✔ë✫✗✜é✒ý✵✂✣ñ✲ë❍ô✥ô✙✓✗é★ù❴ñ✏÷✭î✗è✝÷❋î✝æ
Este tipo de ensaio é o que mais opções oferece para a determinação da resistência do
solo. Basicamente ele consiste num corpo de prova cilíndrico com altura h de 2 a 2,5 vezes o
seu diâmetro,φ (são normalmente adotados diâmetros de corpos de prova de 3,2, 5,0 e
7,5cm), envolvido por uma membrana impermeável e que é colocado dentro de uma câmara,
tal qual se esquematiza na fig.4.8.
Preenche−se a câmara com água e aplica−se uma pressão na água que atuará em todo
o corpo de prova. O ensaio é realizado acrescendo a tensão vertical, o que induz tensões de
cisalhamento no solo, até que ocorra a ruptura ou deformações excessivas. Deve−senotar a
versatilidade do ensaio. As diversas conexões da câmara com o exterior permitemmedir ou
dissipar pressões neutras e medir variações de volume do corpo de prova.
Existem várias maneiras de se conduzir o ensaio:
★
Ensaio Não Adensado e Não Drenado − Neste ensaio a amostra é submetida a uma
pressão confinante e a um carregamento axial até ruptura sem ser permitida
qualquer drenagem. O teor de umidade do corpo de prova permanece constante e
as tensões medida são tensões totais. Este ensaio é também chamado de ensaiodo
tipo Q, (do inglês “quick”), sem drenagem ou ensaio UU (“unconsolidated
undrained”). Neste tipo de ensaio, em se tratando de solos saturados, a pressão
89
confinante aplicada será toda absorvida pela água intersticial, de modo que a
tensão efetiva de confinamento do solo permanece inalterada. Símbolo: UU 
★
Ensaio Adensado e Não Drenado − Neste ensaio permite−se drenagem do corpo de
prova somente sob a ação da pressão confinante. Aplica−se a pressão confinante e
espera−se que o corpo de prova adense. A seguir, fecham−se os registros de
drenagem, e a tensão axial é aumentada até a ruptura, sem que se altere a umidade
do corpo de prova. As tensões medidas neste ensaio durante a fase de cisalhamento
são tensões totais. Este ensaio é também chamado de ensaio do tipo R (do inglês
“rapid”), adensado rápido, adensado sem drenagem, ou ensaio CU (“consolidated
undrained”). É importante salientar que neste tipo de ensaio, permite−se a
dissipação das pressões neutras originadas pelo confinamento do corpo de prova.
Durante a fase de cisalhamento, os valores de pressão neutra desenvolvidos podem
ser medidos. Neste caso o comportamento obtido para o solo pode ser descrito
tanto em termos de tensão total quanto em termos de tensão efetiva. Símbolo: CU.
★
Ensaio Adensado e Drenado − Neste ensaio há permanente drenagem do corpo de
prova. Aplica−se a pressão confinante e espera−se que o corpo de prova adense. A
seguir, a tensão axial é aumentada lentamente, de modo que todo excesso de
pressão neutra no interior do corpo de prova seja dissipado. Desta forma, a tensão
neutra no cisalhamento permanece praticamente nula (ou constante, no caso de
ensaios realizados com contra pressão) e as tensões totais medidas são tensões
efetivas. Este ensaio é também chamado de ensaio lento ou do tipo S (do inglês
“slow”), ensaio drenado, ensaio adensado − drenado ou ensaio CD (“consolidated
drained”). É importante salientar que neste tipo de ensaio, permite−se a dissipação
de pressões neutras em todas as suas fases e que as tensões medidas são efetivas.
Símbolo: CD.
Figura 4.8 – Ensaio de compressão triaxial. Modificado de Bueno & Vilar, 1985.
As curvas tensão/deformação são traçadas em função da diferença de tensões
principais (σ1 − σ3) ou da relaçãoσ’1/σ’3 , dependendo da finalidade do ensaio (vide fig. 4.9).
A máxima diferença de tensões principais (σ1 − σ3)máx, corresponde à resistência (ou ao valor
90
de ruptura) à compressão do corpo de prova no ensaio considerado. Geralmente, costuma−se
definir a envoltória em função dos valores de (σ1 − σ3)máx dos diversos corpos de prova,
porém a segunda forma de representação também é utilizada, sobretudo em ensaios emqueσ
’3 é variável (ensaios CU, por exemplo). De qualquer forma, convém ressaltar que os valores
de máximo não ocorrem para a mesma deformação, quando se observam as duas formas de
representação. Isso introduz na envoltória uma diferença no ângulo de atrito, resultando
valores ligeiramente maiores quando se considera a relaçãoσ’1/σ’3. Obviamente, para o caso
dos ensaios CD, estes dois critérios irão fornecer os mesmos resultados (pede−se ao aluno que
reflita sobre esta afirmação).
Após ensaiados vários corpos de prova com diferentes tensões de confinamento,
define−se a envoltória de resistência do solo com os círculos de Mohr obtidos para a condição
de ruptura, conforme se exemplifica na fig. 4.10. Evidentemente, dependendo do ensaio
podem−se traçar os círculos de Mohr em termos de tensões totais ou efetivas, podendo−se
obter assim uma envoltória referida a tensões totais (c,φ) e outra referida a tensões efetivas
(c’,φ’).
εa
σ1 – σ3
Tensão de ruptura:
(σ1 – σ3)max
εa
σ’1/σ’3
Tensão de ruptura:
(σ’ 1/σ’3)max
εa1
εa2
εa2 < εa1
Figura 4.9 – Diferentes formas de se definir ruptura para o caso de um ensaio
triaxial do tipo CU.
τ
σ
Envoltória efetiva
 c’’ e φ’
Envoltória total
c e φ
Figura 4.10 – Envoltórias de resistência obtidas a partir de ensaios triaxiais.
O aspecto que os corpos de prova mostram ao final do ensaio é bastante característico.
Os solos que apresentam ruptura do tipo frágil mostram uma superfície de ruptura bem
definida, podendo−se inclusive determinar a direção do plano de ruptura; já os solos de
comportamento plástico mostram um embarrigamento do corpo de prova, sem a possibilidade
de distinção dos planos de ruptura.
91
A seguir listam−se, de modo resumido, as principais vantagens e desvantagens do
ensaio triaxial:
 − Vantagens:
Permite controle de drenagem (Ensaios CD, CU e UU).
Não há ruptura progressiva
Permite ensaios em diversas trajetórias de tensão
− Desvantagens
Dificuldade na moldagem de corpos de prova de areia.
✍ ã✝✩▲ã✦✎✝ã❉â▲ã✒✪✜ú☞ô❍î✗÷✭é❴ê✔ë✫✗✜é✒ý✵✂✣ñ✲ë❍ô✥ô✙✓✗é✴✥✳÷✭ý✵✂✣æ✭ë✥ô
Este ensaio pode ser entendido como um caso especial do ensaio de compressão
triaxial. A tensão confinante é a pressão atmosférica, ou σ3 = 0. O valor da tensão principal na
ruptura,σ1, recebe o nome de resistência à compressão simples. Algumas observações sobre
este tipo de ensaio:
1) Ensaio possível apenas em solos coesivos.
2) Ensaioexecutado em amostras saturadas cujo resultado deve ser aproximadamente
igual ao obtido por ensaio UU.
3) Este ensaio é do tipo rápido, simples, fácil de execução e barato.
4) Neste ensaio não há medição de pressões neutras.
✍ ã✝✩▲ã ✕✚ã✒✪✜ú✣ô✥î✗÷✭é✒ô✵ë✥ý✱✗✜î✝ý✵✂☞é
✍ ã✝✩▲ã ✕✚ã✦✎✝ã✒✪✜ú☞ô❍î✗÷✭é❴ê✔ë✵ü✶î✝æ✯✜✣ë✥ð✍î ✶ ✷❚î✝ú☞ë✵ù❴ë✥ô✥ð
Este ensaio não é normalizado pela ABNT, mas sim pela ASTM D2573−72. O Vane
Test é o principal ensaio de campo utilizado na determinação da resistêncianão drenada de
solos moles, consistindo na rotação, a uma velocidade padrão, de uma de uma palheta
cruciforme (em planta), em profundidades pré−definidas. A resistência não drenada do solo é
obtida em função do torque requerido para se fazer girar a palheta. 
✍ ã✝✩▲ã ✕✚ã ✕✚ã✒✥✳é✒ú✣ê✔î✗í✝ë✥ý✱✸❀ü✾ë✥ñ✏ö✲ç✔ô❍ô✙✓✗é
A sondagem à percussão é um procedimento geotécnico de campo, capaz de amostrar
o subsolo. Quando associada ao ensaio de penetração dinâmica (SPT), mede a resistência do
solo ao longo da profundidade perfurada. Ao se realizar uma sondagem à percussão
pretende−se conhecer:
★
O tipo de solo atravessado através da retirada de uma amostra deformada, a cada
metro perfurado.★
A resistência oferecida pelo solo à cravação de um amostrador padrão.★
A posição do nível d’água.
A partir do valor da resistência à penetração oferecido pelo solo (N), pode−seinferir
empiricamente diversas propriedades do solo. Este procedimento está normalizado pela
Associação Brasileira de Normas Técnicas, ABNT (NBR 6484).
92
✍ ã✝✩▲ã ✕✚ã❉â▲ã✒✪✜ú☞ô❍î✗÷✭é✒ô✳ê✔ë✫✗✜é✒ú✣ë
Consiste em penetrar um cone na ponta de uma haste, que é protegida por um tubo de
revestimento, e medir−se o esforço necessário para tanto. Vários são os tipos de cone e
as formas de penetração (estática ou dinâmica, cones mecânicos ou elétricos e
piezocones).
O ensaio de penetração estática, com cone holandês ou de Bejeman mede a resistência
de ponta e o atrito lateral, permitindo estimativas deφ e c. Os resultados obtidos podem ser
usados diretamente (preferencialmente) para dimensionamento de fundações, ou
correlacionados com o N do SPT.
Há correlações entre os resultados das sondagens e parâmetros de resistência,
deformabilidade e permeabilidade para uma grande variedade de solos. 
✍ ã✝✩▲ã ✕✚ã ✍ ã✒✗✜÷✭ô✥î✗æ✳✜✣î✗ý❨ë✥ú✣ð✮é✴✬P÷✭ñ✏ë✥ð✮é ✹ ✑❧ú◆ô✥÷✭ð✍ç ✺
O ensaio de cisalhamento direto “in situ” é realizado geralmente em argilas fissuradas,
folhelhos e rochas brandas. São ensaios especiais e caros exigindo muitos cuidados,
conhecimento e preparativos prévios. Eles visam abarcar descontinuidades que não estariam
contidas em corpos de provas usuais em laboratórios.
✍ ã✝✩▲ã❉â▲ã✒✣✻ë✥ð✮ñ✏é✒î✝ú☞þ✝æ❋÷✭ô✥ë❍ô
Consiste em após a ocorrência de uma ruptura em campo, estimar os parâmetros de
resistência do solo. Para tanto é necessário o conhecimento da geometria, antes e após a
ruptura, cargas atuantes, pressões e outros elementos relevantes.
Quando um caso é bem documentado, a retroanálise nos fornece os resultados mais
precisos e mais confiáveis, pois a ocorrência de um fenômeno em verdadeira grandeza
possibilita em muito a ampliação dos conhecimentos da Mecânica dos Solos.
✍ ã❑ä▲ã✒✗✜î✝ñ✲î✝ö✏ð✮ë✥ñ✔✚✭ô✥ð✮÷✭ö✏î✗ô✫✻⑥ë✥ú✣ó✥ñ✏÷✭ö✲î✝ô✳ê✔é✒ô✫✥✳é✒æ✭é✒ô✫✥✳ç✼✲✒ý❡ë✥ð✮÷✭ê✔é✒ô✵î✗é❴ö✏÷✭ô✥î✝æ✯✜✣ë✥ý❨ð✍ú☞é
✍ ã❑ä▲ã✦✎✝ã✒✣✻ë✥ô✥÷✭ô✥ð✦✠❍ú☞ö✏÷✭î✪ê✔î✝ô✳ï❚ñ✏ë✥÷✭î✗ô
Nos solos de granulação grossa, dada a forma mais ou menos regular das partículas,
reduzem−se os pontos de contato dentro da massa de solo. As tensões transmitidas nesses
pontos são altas fazendo com que os contatos sejam diretos, partícula a partícula.A ação da
película adsorvida é desprezível e a resistência das areias resulta exclusivamente do atrito
entre partículas.
Os altos valores de permeabilidade dos solos grossos, a exceção da ocorrência de
eventos sísmicos, fazem com que a situação drenada melhor represente a resistência das
areias. A equação representativa da resistência desses solos é, por analogiacom o atrito entre
corpos sólidos, da forma:
( )’’ φστ tg⋅= (4.10)
A rigor, a resistência das areias é atribuída a duas fontes. Uma delas, deve−se ao atrito
propriamente dito, que por sua vez se compõe de duas parcelas: a primeira, devida ao
deslizamento e a outra devida ao rolamento das partículas, uma por sobre as outras.A
Segunda fonte de contribuição refere−se a uma parcela de resistência estrutural representada
pelo arranjo das partículas.
93
As principais características que interferem na resistência das areias são a
compacidade, a presença de água, o tamanho, a forma e a rugosidade dos grãos e a
granulometria. 
✍ ã❑ä▲ã✦✎✝ã✦✎✝ã✒✽❧ú✣ê✔÷✭ö✏ë✳ê✔ë✟✷❚î✿✾④÷✭é✒ô✟✗✜ñ✔✚✭ð✮÷✭ö✏é
Uma situação particular de carregamento pode ocorrer com areias saturadas em
condições não drenadas, sobretudo com as areias finas fofas. Frente a solicitações
extremamente rápidas e na impossibilidade das pressões neutras serem dissipadas, pode
ocorrer a liquefação do solo. Um fenômeno desse tipo foi uma das causas da espetacular
ruptura da barragem de Fort Peck (EUA), construída em aterro hidráulico.
Tal fenômeno pode ser explicado pelas variações de volume a que estão sujeitos os
solos. No caso das areias fofas, de compacidade relativamente baixa, o cisalhamento provoca
redução de volume do solo. Estando o solo saturado, e sendo as solicitações no solo
suficientemente rápidas (como no caso dos sismos), essa redução virá acompanhada de um
aumento das pressões na água intersticial, que se não forem dissipadas a tempo, poderão
reduzir a tensão efetiva a zero e conseqüentemente provocar a liquefação do solo.
Em se tratando das areias compactas, ocorre o processo inverso, ou seja, aumento de
volume do solo. As pressões neutras despertadas agora serão negativas, o que faz aumentar as
tensões efetivas a afastar a possibilidade de liquefação.
A redução de volume por um lado e o aumento por outro, conduzem à idéia de um
estado de compacidade intermediário, no qual não ocorrem variações de volume. Esse estado
de compacidade é definido em termos de um índice de vazios crítico, que parece depender
fundamentalmente das condições de solicitação.
Compreende−se que uma vez conhecido o índice de vazios crítico teríamos um valor
de referência, quanto a compacidade, que serviria para separar a possibilidade ou não de
liquefação do maciço. Conforme referido, o índice de vazios crítico depende das condições de
confinamento, de modo que quanto maiores as tensões de confinamento, menores os índices
de vazios críticos.
Quanto à técnica de obtenção do índice de vazios crítico, vários são os processos, em
função das definições criadas por diversos autores. Segundo Casagrande, o ecrít corresponde
ao estado inicial de compacidade de um corpo de prova o qual, submetido a um ensaio
triaxial com tensão confinante constante, não viesse a apresentar variação devolume entre o
início do cisalhamento e o instante de ruptura. A fig. 4.11 apresenta as variações de volume
obtidas para altos valores de deformação axial em corpos de prova de areia confeccionados
com diferentes valores de índice de vazios inicial. Conforme se pode observar, amostras que
para uma menor tensão de confinamento se comportam como compactas (aumento de
volume), passam a se comportar como fofas para valores de tensões maiores. 
A fig. 4.12 ilustra resultados de ensaios triaxiais obtidos a partir de corpos de prova de
areia com índice de vazios inicial de 0,605 e 0,834. Conforme se pode observar desta figura,
o corpo de prova com um índice de vazios inicial de 0,605 se comportou de maneira análoga
a uma areia compacta, enquanto que o comportamento apresentado pela amostra com índice
de vazios inicial de 0,834 é típico de uma areia no seu índice de vazios crítico (asvariações
volumétricas para altos valores de deformação axial são praticamente nulas). É interessante
notar destas figuras que tanto a resistência final obtida pelas amostras quanto oseu índice de
vazios para altos valores de deformação axial são praticamente idênticos e iguais ao valor do
índice de vazios crítico, para a tensão de confinamento utilizadano ensaio.
94
Figura 4.11 – Variações volumétricas de corpos de prova com diferentes índice de
vazios iniciais, quando ensaiados sob diferentes valores de tensão confinante.Modificado
de Holtz & Kovacs (1981).
Figura 4.12 – Resultados típicos de ensaios triaxiais obtidos em areia. Modificado
de Taylor (1948).
95
✍ ã❑ä▲ã✦✎✝ã ✕✚ã✒✗✜é✒ë✥ô✙✓✝é❴ú✣î✗ô✵ï❚ñ✲ë❍÷❋î✝ô
Areias úmidas usualmente exibem uma parcela de resistência independente da tensão
normal. Tal resistência deve−se à capilaridade, que como se sabe origina pressões neutras
negativas. Ora, como a resistência das areias é função da tensão efetiva,o fato desta aumentar
origina a parcela de resistência citada, conhecida como coesão aparente.
A coesão é circunstancial e desaparece quando o solo é totalmente saturado, visto que
isso elimina os meniscos. Os principais fatores que interferem nessa atração inter−partículas
são o grau de saturação e o tamanho das partículas.
Existem ainda outras areias que apresentam em seus pontos de contato algum agente
cimentante como os óxidos de ferro ou cimentos calcários, por exemplo, o que também enseja
o aparecimento da coesão em areias. Neste caso, desde que o agente cimentante não seja
passível de desaparecer, a areia apresenta uma coesão verdadeira ou perene.
✍ ã❑ä▲ã✦✎✝ã❉â▲ã✒❀❚ú☞í✝ç✔æ✭é❴ê✔ë✳ï❚ð✍ñ✏÷❋ð✍é❴ë✥ý❁✣➾ë✧✂☞é✒ç✔ô❍é
Quando se despeja uma areia sobre uma superfície horizontal, a inclinação naturalque
o talude toma é denominado de ângulo de repouso. Com certa freqüência, costuma−se
assumir que o ângulo em repouso é igual ao ângulo de atrito da areia.
Na realidade, o ângulo em repouso corresponde ao atrito que se desenvolve numa
camada superficial inclinada de areia tal qual se observa quando um corpo sólido desliza ao
longo de um plano inclinado, e não engloba em si as características de compacidade da massa
de areia. Como já se falou, a resistência das areias é composta de uma parcela devida ao atrito
por deslizamento, outra devida ao atrito por rolamento e uma terceira parcela proporcionado
pelo arranjo estrutural das partículas.
A simples observação da Tabela 4.1, permite constatar as diferenças que a
compacidade introduz no ângulo de atrito das areias: passa−se de um ângulo da ordem de 300
em uma areia muito fofa para um ângulo de 380 em uma areia muito compacta de grãos
arrendodados e graduação uniforme.
✍ ã❑ä▲ã✦✎✝ã ✍ ã✒✣➾ë❍ô✥÷✭ô✥ð✦✠✥ú✣ö✏÷✭î✪ë✥ý✇å●ç✔ú✣ø✁✓✝é❴ê✔î✝ô✟✗✜î✗ñ✏î✝ö✲ð✍ë✥ñ✔✚✭ô✥ð✮÷✭ö✏î✗ô✵ê✔î✪ï❚ñ✏ë✥÷✭î
− Compacidade:O ângulo de atrito interno das areias depende fundamentalmente do
seu índice de vazios, o qual, governa o entrosamento entre partículas. Como as areias têm
intervalos de índices de vazios bem variáveis, a comparação entre elas é geralmente feita pela
compacidade relativa. Nota−se que, em média, o ângulo de atrito interno no estado mais
compacto é cerca de 7 a 100 maior do que o ângulo de atrito interno da mesma areia no estado
mais fofo. A fig. 4.13 apresenta a variação do ângulo de atrito interno de uma areia em
função de sua porosidade. Na fig. 4.13,φcv corresponde ao valor do ângulo de atrito obtido
para uma condição de deformação a volume constante (valor de resistência residual)e fu
corresponde ao valor do atrito entre as partículas de quartzo. Vê−se desta figura, que mesmo
para o caso das areias fofas, a compacidade e a estrutura do solo desempenham um papel
importante na definição do seu ângulo de atrito interno
− Tamanho dos Grãos:Ao contrário do que se julga comumente, o tamanho das
partículas, sendo constantes as outras características, pouca influência tem na resistência da
areia. Pode−se dizer contudo, que areias com partículas maiores apresentam valores de
resistência ao cisalhamento um pouco superiores.
− Distribuição Granulométrica:Quanto mais bem distribuídas granulometricamente
as areias, melhor o entrosamento existente e, conseqüentemente, maior o ângulode atrito da
areia. 
96
Tabela 4.1 – Valores típicos de ângulo de atrito para diversos tipos de solos grossos.
composta à partir de Terzaghi (1967) e Leonards (1962).
Solo Compacidade
Grãos
arredondados,
granulometria
uniforme
Grãos angulares,
solos bem
graduados
Areia Média:
Muito Fofa 28−30 32−34
Compacidade
média
32−34 36−40
Muito
Compacta
35−38 44−46
Pedregulhos
Arenosos:
G(65%)
S(35%)
G(80%)
S(20%)
Fofo −−− 39
Compacidade
média
37 41
Fofo 34 −−−
Compacto −−− 45
Fragmentos de Rocha 40−55
Areia Siltosa* Fofa
Compacta
Silte Inorgânico Fofo
Compacto
27−33
30−34
27−30
30−35
• − Para tensões efetivas inferiores a 500 kPa.
Figura 4.13 – Variação do ângulo de atrito interno de uma areia em função de sua
porosidade. Modificado de Rowe (1962).
97
No que se refere ao entrosamento, é interessante notar que o papel dos grãos grossos é
diferente do desempenhado pelos finos. Consideremos, por exemplo, que uma areia tenha
20% de grãos grossos e 80% de grãos finos. O comportamento desta areia é determinado
principalmente pelas partículas finas, pois as partículas grossas ficam envolvidas pela massa
de partículas finas, pouco colaborando no entrosamento. Consideremos, de outra parte, uma
areia com 80% de grãos grossos e 20% de grãos finos. Neste caso, os grãos finos tenderão a
ocupar os vazios entre os grossos, aumentando o entrosamento e conseqüentemente o ângulo
de atrito interno.
− Formato dos Grãos:Embora o formato dos grãos de areia seja de difícil descrição,
nele estando envolvida sua esfericidade (formato médio), seu arredondamento (formato dos
cantos) e sua rugosidade, tem−se verificado que as areias constituídas de partículas esféricas
e arredondadas têm ângulos de atrito sensivelmente menores do que as areias constituídas de
grãos angulares.
A maior resistência das areias de grãos angulares é devida ao maior entrosamento
entre grãos. Mesmo no estado fofo, ou para grandes deformações, quando a resistência
residual está sendo solicitada, as areias com grãos angulares apresentam maior ângulo de
atrito interno.
Da análise feita acima sobre a influência das características da areia na sua resistência
ao cisalhamento, se verifica que os fatores de maior influência são, em ordem hierárquica, a
compacidade, a distribuição granulométrica e o formato dos grãos. Revendo−se os resultados
publicados por diversos pesquisadores, a seguinte tabela de valores típicos, em função destes
três fatores, foi elaborada:
Tabela 4.2 – Valores típicos de ângulo de atrito em areias em função de suas
características intrínsecas.
Graduação das Areias Compacidade
Fofa Compacta
Areias Bem Graduadas
 Grãos Angulares 370 470
 Grãos Arredondados 300 400
Areias Mal Graduadas
 Grãos Angulares 350 430
 Grãos Arredondados 280 350
✍ ã❑ä▲ã ✕✚ã✒✣✻ë✥ô✥÷✭ô✥ð✦✠❍ú☞ö✏÷✭î✪ê✔î✝ô✳ï❚ñ✏í✗÷✭æ✭î✗ô
Muitos fatores fazem com que o estudo da resistência dos solos argilosos seja mais
complexo que o dos solos arenosos. No caso dos solos argilosos, o seu histórico de tensões
desempenha um papel fundamental em seu comportamento. Isto ocorre porque, conforme
apresentado no capítulo de compressibilidade, os solos finos exibem um comportamento
essencialmente elastoplástico, de modo que as suas deformações não são totalmente
recuperadas quando de um processo de descarregamento. O pré−adensamento do solo,
portanto, o conduz a um estado mais denso do que o mesmo solo normalmente adensado,
fazendo com que o mesmo apresente maiores valores de resistência, principalmente no que se
refere a sua coesão. Em outras palavras, com o aumento da máxima tensão já vivificada pelo
solo, mais contatos entre partículas podem resultar plastificados, assim permanecendo mesmo
com o descarregamento do solo, o que gera uma parcela de resistência adicional nos solos pré
adensados.
98
As baixas permeabilidades dos solos argilosos respondem por uma dissipação lenta
das pressões neutras despertadas por um acréscimo de cargas. Torna−se necessário
representar essas condições de dissipação de pressões neutras em cada caso para conhecer
com mais propriedade o comportamento dos solos. Para retratar esses comportamentosexistem três formas clássicas de conduzir os ensaios de resistência, como já foi visto
anteriormente: ensaios não drenados (rápidos), adensados rápidos e drenados (lentos).
Deve−se lembrar também que o mesmo comportamento que caracteriza as areias no
tocante as curvas tensão/deformação também ocorre nas argilas. Uma argila pré−adensada
experimenta expansões volumétricas quando cisalhada e o seu comportamento
tensão/deformação é muito semelhante ao das areias compactas. As argilas normalmente
adensadas ou levemente pré−adensadas (OCR < 4) assemelham−se às areias fofas e
experimentam, portanto, reduções de volume quando cisalhadas. A fig. 4.14 apresenta
resultados típicos de ensaios triaxiais do tipo CD obtidos em corpos de prova de solo argiloso.
Conforme se pode observar da fig. 4.14, a razão de pré−adensamento do solo possui
um papel semelhante, para o caso das argilas, ao papel desempenhado pela compacidade, para
o caso das areias. Também o fenômeno da dilatação para o caso das argilas possui causas
diferenciadas daquelas para o caso das areias.
εa
σ1 − σ3
εv
εv de compressão
positiva
Argila pré−adensada
Argila normalmente
adensada
Figura 4.14 – Resultados típicos de ensaios triaxiais drenados (CD) realizados em
solo argiloso.
Cabe destacar ainda as interferências do fator estrutura. Conforme já relatado neste
trabalho, o amolgamento das amostras, quer provocado pela amostragem quer pelo
cisalhamento, interfere decisivamente nos valores de resistência dos solos argilosos, seu efeito
sendo maior para o caso dos solos exibindo alta sensibilidade.
Pode−se dizer então que a resistência das argilas é basicamente influenciadapelas
condições de dissipação das pressões neutras, razão de pré−adensamento e amolgamento. Nos
itens seguintes far−se−á uma discussão acerca do comportamento apresentadopelos solos
argilosos para cada tipo de ensaio triaxial.
✍ ã❑ä▲ã ✕✚ã✦✎✝ã✒✗✜é✒ý✵✂✣é✒ñ✏ð✮î✝ý❨ë✥ú✣ð✮é❴ê✔î✝ô✳ï❚ñ✏í✗÷✭æ✭î✗ô✵ë✥ý✱✪✜ú✣ô✥î✝÷❋é❊ô✟✬Pñ✏ë✥ú✣î✗ê✔é❊ô✳é✒ç✵✰◆ë✥ú✣ð✮é❊ô❃❂✏✗✛✬❅❄
Em um ensaio triaxial do tipo consolidado drenado, os corpos de prova apresentam
resistências ao cisalhamento crescentes com as tensões normais aplicadas (tensões de
confinamento). Neste caso, todas as tensões medidas são tensões efetivas. A definição da
envoltória é possível a partir do ensaio de vários corpos de prova submetidos a diferentes
condições de confinamento. Uma vez determinada as curvas tensão/deformação, toma−se o
99
maior valor de tensão desviadora, (σ’1 −σ’3)máx, e, como já se conheceσ’3 (mantido constante
durante o ensaio), é possível locar num diagramaτ x σ os círculos de Mohr correspondentes à
ruptura de cada corpo de prova. Deve−se notar que no caso do ensaio triaxial, a tensão
desviadora corresponde ao diâmetro do círculo de Mohr. A estes círculos de Mohr deve−se
adequar a envoltória de resistência do solo, dentro da faixa de tensões de interesse.Para o
caso dos solos normalmente adensados, a envoltória de resistência passa pela origemdo
sistema de coordenadas, ou intercepta o eixoτ num valor muito próximo de zero, de forma
que c’≅ 0, o que em termos práticos permite definir a envoltória para um solo saturado
normalmente adensado, em termos de tensões efetivas, utilizando−se a eq. 4.11. A fig. 4.15
ilustra a obtenção de uma envoltória de ruptura para o caso de um solo normalmente
adensado, utilizando−se ensaios do tipo CD. Se o mesmo solo estiver pré−adensado,
modificam−se as características de resistência. Seja a curva de compressão de um solo
deixado consolidar desde o instante de sua deposição como representado na fig. 4.16. A
amostra principia a consolidar a partir do ponto 0. Uma vez atingido o ponto A, mede−se a
sua resistência. O mesmo com referência ao ponto B. As resistências medidas são
representadas por A’ e B’ e note que estas resistências correspondem ao intervalo
normalmente adensado do solo, definindo uma envoltória cujo prolongamento passa pela
origem.
( )’’ φστ tg⋅= (4.11)
τ
σ
φ’
Círculos de Mohr
Na ruptura
Figura 4.15 – Envoltória de resistência drenada de um solo normalmente adensado.
Atingindo o ponto 1, a amostra é descarregada até 2. Posteriormente o recarregamento
se inicia, e atingidos os pontos C e D, mede−se novamente a resistência do solo. As
resistências são representadas por C’ e D’ e agora observa−se que estas amostras, ensaiadas no
intervalo pré adensado do solo, mostram uma resistência maior que as amostras normalmente
adensadas. Este acréscimo de resistência é responsável pela introdução do parâmetro de
coesão na envoltória de resistência do solo, de forma que para solos pré−adensados, em
condições drenadas, a envoltória característica é dada pela eq. 4.12.
( )’’’ φστ tgc ⋅+= (4.12)
Ao prosseguir o recarregamento, uma vez ultrapassada a tensão correspondente ao
ponto 1 (no caso, a tensão de pré−adensamento), se medirmos a resistência no ponto E,
teremos um valor E’, situado sobre o prolongamento da envoltória normalmente adensada,
pois que estamos novamente na curva de compressão virgem da amostra. É fácil se perceber
que para o caso da amostra pré−adensada, o intercepto de coesão obtido será funçãoda razão
de pré−adensamento média do trecho ensaiado.
100
O acréscimo de resistência pode ser explicado pela constatação experimental de que
existe uma relação entre o decréscimo do índice de vazios e o aumento de resistência (Fig.
4.16). Note que para a mesma tensão, a amostra pré−adensada apresenta um índice de vazios
menor do que a normalmente adensada, donde o ganho de resistência mostrado. Uma
explicação física para tal fato já foi mostrada quando se discutiu as causasfísicas da
resistência dos solos. Por causa do pré−adensamento resultaram contatos plastificados que
permaneceram com a retirada das cargas, gerando a parcela adicional de resistência.
Índice de
vazios
0
1
2 A
B
 DC E
σ
σ
τ
Envoltória
normalmente
adensada
Trecho
Pré−adensado
(ganho de
coesão)
 A´’ B´’
 D´’ C´
E’
Figura 4.16 – Ganho de coesão do solo devido ao seu pré−adensamento.
✍ ã❑ä▲ã ✕✚ã ✕✚ã✒✗✜é✒ý✵✂✣é✒ñ✏ð✮î✝ý❨ë✥ú✣ð✮é❴ê✔î✝ô✳ï❚ñ✏í✗÷✭æ✭î✗ô✵ë✥ý✱✪✜ú✣ô✥î✝÷❋é❊ô✳ï❚ê✔ë✥ú✣ô✥î✗ê✔é❊ô✙❆✙✣✻þ✡✂✣÷❋ê✔é❊ô❃❂✏✗✛❇❅❄ ã
Nestes ensaios a primeira etapa é realizada com total dissipação das pressões neutras
geradas pela tensão confinante. Durante a fase de cisalhamento da amostra, aspressões
neutras desenvolvidas são impedidas de se dissipar, ou seja, não ocorrem variações
volumétricas por cisalhamento. A fig. 4.17 apresenta os resultados típicos obtidos a partir de
um ensaio triaxial do tipo CU, em argilas normalmente adensadas e pré−adensadas. 
Conforme ilustrado nesta figura, as argilas normalmente adensadas tendem a
desenvolver pressões neutras positivas durante o cisalhamento, o contrário ocorrendopara o
caso dos solos pré−adensados. Isto ocorre pelas diferentes tendências de variação volumétrica
destes solos. No caso dos solos normalmente adensados, estes tendem a apresentar
deformações volumétricas de compressão (há uma tendência de diminuição de volume do
101
corpo de prova), de modo que para se contrapor a esta tendência, excessos de pressão neutra
positivos são gerados. O contrário ocorre no caso das argilas pré−adensadas.
εa
σ1 − σ3, u
Argila pré−adensada
Argila normalmente
adensada u
 u
Figura 4.17 – Resultados típicos obtidos a partir de ensaios triaxiais do tipo CU,
realizados em solos normalmente adensados e pré−adensados.
Durante a realização dos ensaios são conhecidas, de imediato, as tensões totais
atuantes. É possível também efetuar leituras de pressão neutra e conhecer as tensões efetivas
em cada fase do ensaio. Nota−se, como no caso drenado, que as resistências sãocrescentes
com as tensões normais aplicadas. Os círculos de Mohr em termos de tensões efetivas
definem uma envoltória praticamente igual à obtida em ensaios drenados, donde é muito
usual determinar a resistência drenada nos ensaios adensados−rápidos com leitura depressões
neutras .
A utilização das tensões totais fornece, para os solos normalmente adensados
saturados, uma envoltóriacujo prolongamento também intercepta a origem do diagramaσ x
τ, como no caso das tensões efetivas (fig. 4.18).
Assim é possível obter duas envoltórias a partir dos ensaios CU, que para os solos
saturados normalmente adensados têm as seguintes equações características:
( )’’ φστ tg⋅= (4.13) (Neste caso, leva−se em consideração os valores de pressão
neutra medidos durante o ensaio).
( )φστ tg⋅= (4.14) (tensões totais).
O ânguloφ é denominado de ângulo de atrito aparente, ou ângulo de atrito em termos
de tensões totais. A relação entreφ’ e φ depende das pressões neutras despertadas no instante
da ruptura. 
Com relação à fig. 4.18 é importante notar que o círculo de tensões efetivas (E)
encontra−se deslocado para a esquerda do círculo de tensões totais (T), com o valordo
deslocamento igual ao valor da pressão neutra (u), uma vez que esta é positiva nos solos
normalmente adensados. Por sua vez o raio permanece o mesmo nos dois círculos.
No caso dos solos pré−adensados, a tendência de variação de volume é no sentido de
expansão. Isto origina um aspecto interessante, pois estando a drenagem impedida, originam−
se pressões neutras negativas e conseqüentemente a tensão efetiva torna−se maior que a total.
Os círculos de tensões efetivas (E) situam−se agora à direita dos círculos de tensões totais
(T), resultando que os parâmetros de resistência do solo em termos de tensões totais são
102
superiores aos obtidos em termos de tensão efetiva. A fig. 4.19 ilustra círculos deMohr
obtidos em ensaios CU realizados em amostras pré−adensadas.
τ
σ
Solos normalmente
adensados, ensaios CU.
Envoltória efetiva (E): φ’
−−−−−
Envoltória total (T): φ
____
u
E
T
Figura 4.18 – Envoltórias de ruptura total e efetiva obtidas em ensaios do tipo CU,
realizados em amostras normalmente adensadas.
τ
σ
Solos pré − adensados, ensaios
CU.
Envoltória efetiva (E): c’ e φ’
−−−−−
Envoltória total (T): c e φ
____
−u
E
T
Trecho pré−adensado
Figura 4.19 – Envoltórias de ruptura total e efetiva obtidas em ensaios do tipo CU,
realizados em amostras pré−adensadas.
Tal situação acontece em solos fortemente pré−adensados, com razões de pré−
adensamento da ordem de 10, o que implica a necessidade de cuidados na adoção de
parâmetros para esses solos, em análises a longo prazo. As envoltórias obtidas emensaios
adensados rápidos sobre solos saturados pré−adensados resultam:
( )’’ φστ tgc ⋅+= (4.15) (Neste caso, leva−se em consideração os valores de pressão
neutra medidos durante o ensaio).
( )φστ tgc ⋅+= (4.16) (tensões totais).
Em termos práticos, existe uma grande semelhança entre os parâmetros de resistência
obtidos em termos de tensões efetivas, quer se empreguem ensaios drenados ou do tipo CU.
Dessa forma, o ensaio mais empregado para a determinação da envoltória de resistência
efetiva do solo é o ensaio CU, com leitura de pressões neutras.
✍ ã❑ä▲ã ✕✚ã❉â▲ã✒✗✜é✒ý✵✂✣é✒ñ✏ð✮î✝ý❨ë✥ú✣ð✮é❴ê✔î✝ô✳ï❚ñ✏í✗÷✭æ✭î✗ô✵ë✥ý✱✪✜ú✣ô✥î✝÷❋é❊ô✟❈❉✓✝é✮✬➲ñ✲ë❍ú☞î✝ê✔é✒ô✳é✒ç❊✣➾þ✿✂☞÷✭ê✔é✒ô❋❂●❇❍❇❅❄
Em todas as fases do ensaio não drenado, a pressão gerada no corpo de prova é
impedida de dissipar. Em geral, conhecem−se a cada instante as tensões totais aplicadas, se
bem que seja possível fazer leituras de pressão neutra. Mais uma vez é fundamental conhecer
103
o papel desempenhado pelas pressões neutras, o que será descrito a seguir, considerando o
solo saturado.
Suponhamos que a amostra estava inicialmente adensada, em campo, sob uma tensão
σo’. Imediatamente após a amostragem, o desconfinamento do solo tenderá a provocar um
aumento de volume, quando então se contrapõe uma pressão neutra negativa igual à tensãoσo
(uo = −σo). A aplicação da tensão confinante gerará acréscimos de pressão neutra no corpo de
prova. Estando a drenagem impedida e como o solo se encontra saturado, toda a tensão
confinante será suportada pela água intersticial. Tal situação significa que não houve ganho
de resistência pelo confinamento do solo, já que não houve acréscimo de tensão efetiva.
Finalmente, durante a fase de cisalhamento, novas pressões neutras são geradas.Ao
ensaiar vários corpos de prova, nota−se, de imediato, que todos os círculos de Mohr têm o
mesmo raio e fornecem uma envoltória de resistência horizontal, como a representada na fig.
4.20. Na fig. 4.20, está também representado o círculo de Mohr correspondente ao estado de
tensões efetivas de ruptura, que para o caso de um ensaio UU é sempre o mesmo,
independente do valor da tensão confinante total. A envoltória de resistência obtida nos
ensaios UU é representada pela eq. 4.17, apresentada a seguir. Note que para esta situação o
ângulo de atrito em termos de tensões totais (φ) é igual a zero, e que, qualquer que seja o
círculo considerado:
uc=τ (4.17) (tensões totais).
Onde o termo cu representa a coesão não drenada do material
τ
σ
 Ensaio UU
Envoltória efetiva (E): c´’ e φ́
−−−−−
Envoltória total (T): τ = c
u
____
E
T
T
Figura 4.20 – Resultados de ensaios típicos de um ensaio UU.
Em qualquer um dos círculos de Mohr apresentados na fig. 4.20, temos:
( )
2
max31 σστ
−
== uc
 (4.18).
✍ ã❑ä▲ã ✕✚ã ✍ ã✒✣➾ë❍ô✥÷✭ô✥ð✦✠✥ú✣ö✏÷✭î✪ê✔é✒ô✫✥✳é✒æ✭é✒ô✵ü✶î✝ñ✏ö✲÷✭î✝æ❋ý❡ë✥ú☞ð✍ë✟✥✵î✗ð✮ç✔ñ✏î✝ê✔é✒ô
Também no caso dos solos parcialmente saturados a tensão efetiva é a determinante
das características de resistência. Nos solos de granulação fina as pressões neutras negativas
devidas à capilaridade podem desempenhar um papel importante no aumento das tensões
efetivas e, consequentemente, da resistência.
A determinação das pressões neutras é bastante complexa devida ao caráter bifásico da
fase fluída (ar + água), de modo que fica mais difícil empregar os conceitos do princípio das
tensões efetivas. Descreve−se a seguir o comportamento a esperar nos diversostipos de
ensaios.
104
Em se tratando de ensaios drenados nos quais se proporciona a drenagem do ar e da
água, é de esperar comportamento semelhante ao que se observam para o solo saturado.
Nos ensaios não drenados, embora não possa ocorrer dissipação das tensões
intersticiais, ocorre uma redução de volume quando da aplicação da tensão confinante, devido
à alta compressibilidade do ar. Tem−se um ganho gradual de resistência que depende do grau
de saturação inicial e que continua até que todo o ar se dissolva na água intersticial. O corpo
de prova tende a se saturar por efeito das tensões confinantes crescentes. A envoltória
resultante em termos de tensões totais é curva, porém na prática, novamente, costuma−se
aproximá−la a uma reta.
No caso dos ensaios adensados−rápidos pode ocorrer um comportamento semelhante
ao observado nos ensaios não drenados, desde que na fase de cisalhamento possam ocorrer
variações volumétricas devido à compressão do ar ainda presente nos vazios do solo.
✍ ã❑ä▲ã❉â▲ã✒✣✻ë✥ô✥÷✭ô✥ð✦✠❍ú☞ö✏÷✭î■✣✻ë✥ô✥÷✭ê✔ç✔î✝æ
Duas amostras do mesmo solo, com diferentes características iniciais, quando
submetidas às mesmas solicitações atingem estados finais praticamente constantes, desde que
haja prazo suficiente para que se processem as variações volumétricas geradaspelas
solicitações aplicadas. No caso de uma argila saturada, a umidade final será a mesma para as
duas amostras e no caso das areias, as duas amostras tenderão para um mesmo índice de
vazios.
A resistência medida nessas condições finais, isto é, após consideráveis deformações,
é conhecida por resistência residual ou última (τres ou τult). Pelo exposto, nota−se que a
resistência residual nas argilas independe das condições iniciais (histórico detensões),
havendo uma relação única entre a tensão efetiva, a umidade e a resistência residual. Tem−se
constatado ocorrer uma redução deφr’ (ângulo de atrito residual) com o aumento de IP e
também queφr’ é dependente do nível de tensões aplicado. Por essa razão, quando se
determinaφr’ é necessário reproduzir as condições de solicitação reais, inclusive quanto aos
deslocamentos a esperar. Estas observações são a base para a formulação dos conceitos
fundamentais da mecânica dos solos dos estados críticos, que tem como característicamais
marcante tratar de forma conjunta resistência e deformabilidade, sendo o alicerce de um dos
modelos constitutivos mais utilizados para representar o comportamento dos solos: oCam−
Clay.
✍ ã✆ÿ✝ã✟ù★ñ✲î✿❏✥ë✥ð✤�✒ñ✏÷❋î✝ô✳ê✔ë✵ù❴ë✥ú✣ô✥û✒ë✥ô
Até o momento utilizou−se o círculo de Mohr para representar o estado de tensõesde
ruptura de um corpo de prova. Imagine que se quisesse representar os sucessivos estados de
tensão por que passa um corpo de prova, antes da sua ruptura. O uso de círculos de Mohr para
representação de todos os estados de tensão pelo qual passou o solo levaria inevitavelmente a
uma configuração extremamente confusa, principalmente quando as duas componentes de
tensão, σ1 e σ3, variam ao longo do ensaio.
Sendo assim, pode−se dizer que a utilização do círculo de Mohr para representar a
evolução dos estados de tensão num elemento do solo, durante um determinado
carregamento, não é adequada. O estudo da trajetória de tensões seguida por um corpo de
prova em um ensaio é extremamente importante, já que em um material elastoplástico, como
o solo, o estado final de tensões e deformações é dependente da trajetória de tensõesadotada
(possibilidade de ocorrência de deformações plásticas ou irrecuperáveis). 
O estudo da trajetória de tensões seguida pelo solo em um determinado ensaio é então
realizado utilizando−se dois parâmetros, denominados det e s e representados pelas eqs. 4.19
e 4.20, apresentadas a seguir. 
105
( )
2
31 σσ −=t (4.19)
( )
2
31 σσ +=s (4.20).
Conforme apresentado na fig. 4.21, o pontoP do círculo de Mohr possui coordenadas
e t e corresponde ao plano de máxima tensão cisalhante. Em outras palavras, o parâmetro s irá
sempre corresponder à coordenada no eixoσ do centro do círculo de Mohr et corresponderá
à tensão de cisalhamento máxima (logicamentet ocorre em um plano o qual faz um ângulo de
45o com o plano principal maior). Os parâmetross e t são algumas vezes representados pelos
símbolosp e q, respectivamente. Neste trabalho se utilizarão os símboloss e t, pois que os
símbolosp e q já são utilizados na mecânica dos solos dos estados críticos, com definições
diferentes das aqui apresentadas para os parâmetros s e t.
σ
τ
P (s,t)
Figura 4.21 – Definição dos parâmetros s e t.
A fig. 4.22 apresenta uma trajetória de tensões típica seguida por um corpo de prova
em um ensaio triaxial drenado. Conforme se pode notar desta figura, a trajetória de tensões
seguida em termos des e t possui uma inclinação de 45o com o eixos. Isto é explicado pelo
fato de que em um ensaio triaxial convencional drenado, o valor da tensão principal menor
permanece inalterado, ouδσ3 = 0. Os parâmetross e t podem ser representados de forma
incremental pelas eqs. 4.21 e 4.22, apresentadas adiante. Como δσ3 = 0, temos δt/δs = 1.
( )
2
31 δσδσδ
−
=t (4.21).
( )
2
31 δσδσδ
+
=s (4.22).
Conforme apresentado na fig. 4.22, na ruptura, o círculo de Mohr tangencia a
envoltória de ruptura definida em termos deτ e σ. Além disto, uma nova envoltória de
ruptura pode ser definida, em termos dos parâmetross e t. Esta nova envoltória, que passa
pelo pontoP(s;t) de cada círculo de Mohr para uma condição de ruptura, é definida em
termos dos parâmetros de resistência c’* eα’, os quais se correlacionam com os parâmetros c’
e φ’ pelas eqs. 4.23 e 4.24, apresentadas adiante.
( ) ( )’’sen αφ tg= (4.23).
106
( )’cos
’*
’
φ
c
c =
 (4.24).
σ,s
τ,t
___ τ = c´’ + σ⋅tg(φ′’)
 
1 
1
Estado de tensão na
ruptura
t = c´* + s·tg(α´)
Figura 4.22 – Trajetória de tensões seguida em um ensaio triaxial drenado.
Assim sendo, na definição da envoltória de ruptura do solo a partir de ensaios
triaxiais, os pontos des e t obtidos na ruptura podem ser ajustados por uma reta, de modo a se
obter os parâmetros c* eα, utilizando−se o método dos mínimos quadrados, por exemplo. Os
parâmetros de resistência do solo, c′ e φ′, podem então ser obtidos com o uso das eqs. 4.23 e
4.24, apresentadas anteriormente. As eqs. 4.23 e 4.24 podem ser utilizadas tanto para tensões
totais como para tensões efetivas. 
No caso dos ensaios triaxiais consolidados não drenados, há geração de pressões
neutras durante o cisalhamento do corpo de prova. Deste modo, em um ensaio triaxial dotipo
CU, caso haja medidas de pressão neutra, pode−se traçar duas trajetórias de tensões distintas
para o solo, uma em termos de tensão efetiva e outra em termos de tensão total. Adefinição
dos parâmetross e t em termos de tensão efetiva é feita como segue: do princípio das tensões
efetivas de Terzaghi sabe−se queσ’1 = σ1 – u eσ’3 = σ3 – u. Substituindo−se os valores deσ’1
e σ’3 nas eqs. 4.19 e 4.20 temos:
( ) ( ) ( )
t
22
)u(u
2
’’
’t 313131 =
−
=
−−−
=
−
=
σσσσσσ
 (4.25)
( ) ( )
us
2
uu
2
’’
’s 3131 −=
−+−
=
+
=
σσσσ
 (4.26).
Como se pode notar das eqs. 4.25 e 4.26, o parâmetrot tem seu valor independente da
pressão neutra no solo:t = t’. De certa forma, isto já deveria ser esperado, pois que este
parâmetro reflete o valor da máxima tensão cisalhante atuando em um ponto, e a água, por
não poder suportar tensões cisalhantes, não pode interferir em seu valor. O parâmetro s’, o
qual corresponde à média das tensões efetivas principais atuando no ponto é dado pela eq.
4.26. Isto faz com que a trajetória de tensões em termos de tensões efetivas (TTE), obtida em
um ensaio CU, se desloque para a esquerda da trajetória de tensões em termos de tensões
totais (TTT), do valor de u. A fig. 4.23 apresenta trajetórias de tensões típicas obtidas para o
caso de ensaios triaxiais do tipo CU, realizados em uma amostra de argila emseu trecho
normalmente adensado e pré−adensado. Conforme se pode observar desta figura, no trecho
normalmente adensado, o solo apresenta sempre pressões neutras positivas, de modo quea
trajetória de tensões efetiva, TTE, se encontra sempre à esquerda da trajetória de tensões
totais. Para o caso do trecho pré−adensado, há inicialmente geração de pressões neutras
positivas no corpo de prova (vide fig. 4.17), sendo que com o cisalhamento da amostras estas
passam a se apresentar negativas. Deste modo a trajetória de tensões TTE obtida para o caso
107
de solos pré−adensados inicialmente se situa a esquerda da trajetória TTT, passando à sua
direita com o progresso do cisalhamento do solo.
A trajetória de tensões efetivas, indica portanto, a pressão neutra existenteem
qualquer fase do carregamento. Ela indica, também, a tendência do desenvolvimento das
pressões neutras durante o carregamento. Quando a trajetória se desenvolve paralelamente à
trajetória TTT, não está havendo variação na pressão neutra; quando a trajetória se
desenvolve perpendicularmente à trajetória TTT, a variação de pressão neutra éigual à
própria variação da tensão principal maior.
Determinando−se a envoltória das trajetórias de tensões, obtém−se os parâmetros de
resistência do solo. O conceito de trajetória de tensões é bastante útil quando sepretende
determinar a envoltória correspondente a um número elevado de ensaios, situação em queos
círculos de Mohr ficam mais sobrepostos.
s
t
 T T T
T T E
T recho p ré−adensado T recho no rm a lm ente
adensad o
T ensão de
P ré−adensam ento
T T T
T T E
u
φ’
Figura 4.23 – Trajetórias de tensões típicas obtidas em ensaios CU, em amostras
normalmente adensadas e pré−adensadas.
❑✛▲✝▼◆▲✒❖✘P❘◗✳❙✯❚✔❯✿❱✁❲✿❳✮❨✼❳✢❩✫❬✔❭✙❩✙❪✼◗✳❫✦❯✿❨✼❳✢❩✟❨✼❭✫❭✙❴❵❩✧❯✡❙✳❳✢❩✟❯✭❚✔❯✡❩✙❳✄❩✟P❘❬✁❛✿❫✦❙✳❚✔❳✢❩
Nos itens anteriores foi apresentado o comportamento do solo sob uma variedade de
condições de ensaio, principalmente no tocante às condições de drenagem, durante as fases de
adensamento e cisalhamento do corpo de prova. É óbvio que qualquer ensaio deve procurar se
aproximar o mais possível das condições de campo. Em particular, o processo de
carregamento em campo deve ser interpretado de modo que se estabeleçam condiçõescríticas
para o problema, as quais poderão ocorrer a curto prazo ou a longo prazo, relativamente à
construção da obra. Por exemplo, a construção de um aterro sobre argila mole de baixa
permeabilidadeinduzirá pressões neutras na argila, as quais, ao término da construção, mal
terão começado a se dissipar. A fig. 4.24 ilustra o desenvolvimento de tensões de
cisalhamento e neutras durante a construção de um aterro em solo mole. Conforme ilustrado
nesta figura, durante a fase de construção do aterro, crescem as tensões cisalhantes no ponto P
e as pressões neutras, de modo que a resistência ao cisalhamento do solo permanece
praticamente inalterada. Após a construção do aterro, o solo passa a sofrer oprocesso de
adensamento, durante o qual ocorrem a dissipação do excesso de pressão neutra geradono
solo e a diminuição do seu índice de vazios. Durante este período, as tensões cisalhantes
induzidas ao solo permanecem inalteradas, já que o aterro não tem a sua alturamodificada. A
resistência do solo, no entanto, cresce com a dissipação das pressões neutra pelo processo de
adensamento e com a diminuição do índice de vazios do solo, de modo que a situação mais
crítica neste caso ocorre ao final da construção. Também na fig. 4.24 está representada a
108
variação dofator de segurançado solo de fundação com o tempo. Logicamente, menores
valores de F.S. indicam uma condição mais crítica. Neste caso, deve−se utilizar o ensaio UU
na análise da estabilidade do solo de fundação do aterro, pois com o decorrer da dissipação
das pressões neutras há um aumento da estabilidade global do problema. 
No caso de taludes de escavação, o que ocorre é o contrário. Neste caso, há um alívio
de tensões, de modo que o solo tende a se expandir e a curto prazo gera excessos de pressão
neutra negativos. Ora, do princípio das tensões efetivas sabe−se que quanto “mais negativo”
for o valor da pressão neutra, maior vai ser o valor da resistência ao cisalhamento do solo.
Também sabe−se que um aumento no índice de vazios do solo irá faze−lo menos resistente.
Deste modo, a condição mais crítica para o solo ocorre a longo prazo, e os ensaios a serem
realizados devem ser do tipo CD. Nestes casos, recomenda−se também que a faixa de tensões
escolhida para os ensaios de laboratório sejam representativas daquelas em campo, pois o solo
irá se encontrar em uma situação pré−adensada e os parâmetros de resistênciado solo irão
variar com a sua razão de pré−adensamento. A fig. 4.25 ilustra o desenvolvimento de tensões
de cisalhamento e neutras durante a realização de escavações no solo. 
 
Figura 4.24 – Variação das tensões de cisalhamento, da pressão neutra, da
resistência ao cisalhamento e do fator de segurança do solo, em decorrência daconstrução
de um aterro em solo mole.
De um modo geral, os ensaios drenados, ou do tipo CD, são utilizados para a análise
de problemas em que a situação mais crítica ocorre a longo prazo e em casos onde a
velocidade de construção da obra é inferior à capacidade do solo de dissipar as pressões
neutras geradas. Em outras palavras, não há sentido em se realizar ensaios do tipo UU para
areia ou solo possuindo altos valores de permeabilidade (ou mesmo para o caso dos solos não
saturados), pois, para estes solos, as tensões neutras provocadas pela construção são
dissipadas quase que instantaneamente.
Os ensaios CU são utilizados em situações intermediárias, ou, em outras palavras,
quando ocorrem acréscimos de tensões rápidos em um solo que já completara o seu processo
de adensamento para a condição de campo. Os ensaios CU são utilizados normalmente na
análise de estabilidade de aterros sobre solos moles, no caso de construção em etapas, ou na
análise da estabilidade de um talude de montante de uma barragem, sob rebaixamento rápido
109
 
Figura 4.25 – Variação da pressão neutra, da resistência ao cisalhamento e do fator
de segurança do solo, em decorrência de um processo de escavação no solo.
110
5. EMPUXOS DE TERRA.
❜ ▲✏❝✿▲✒❞❡❴❵❫✤❬✔❳✢❨✼❪✼❱✔❲✡❳
Algumas vezes, na engenharia civil, não dispomos de espaço suficiente para fazer uma
transição gradual das elevações do terreno onde queremos implantar uma determinadaobra.
Nestes casos, os taludes necessários podem ser suficientemente altos ou inclinados, de modo
que a estabilidade dos mesmos não é assegurada a longo prazo. As estruturas de contenção
são projetadas para prover suporte para estas massas de solo não estáveis. Os empuxos de
terra são as solicitações do solo sobre estas estruturas, e estes são dependentes da interação
solo/estrutura.
O cálculo dos empuxos de terra constitui uma das mais antigas preocupações da
engenharia civil, tratando−se de um problema de elevado valor prático, de ocorrência
freqüente e de determinação complexa.
Os muros de arrimo, os escoramentos de escavações, os encontros de pontes, os
problemas de capacidade de carga de fundações, entre outras, são as obras que exigem, em
seus dimensionamentos e análises de estabilidade, o conhecimento dos valores dos empuxos.
Tais estruturas freqüentemente requerem verificações adicionais no seu dimensionamento,
não só a análise da sua estabilidade global, como a segurança de seus elementos de
construção. 
Para o estudo dos empuxos de terra, em síntese, existem duas linhas de conduta:
❢
A primeira, de cunho teórico, apoia−se em tratamentos matemáticos elaboradosa
partir de modelos reológicos que tentam traduzir, tanto quanto possível, o
comportamento preciso da relação tensão x deformação dos solos.❢
A segunda forma de abordagem é de caráter empírico/experimental, sendo
recomendações colhidas de observações em modelos de laboratório e em obras
instrumentadas.
Vale ressaltar que a automação dos métodos numéricos, como o método das diferenças
finitas, o método dos elementos finitos ou o método dos elementos de contorno e a evolução
das técnicas de amostragem e ensaios, tem propiciado, nos últimos anos, um desenvolvimento
significativo dos processos de cunho teórico. As análises pelo método dos elementos finitos
(MEF) são, dentre os processos teóricos, as mais difundidas. O uso do MEF propicia o
cálculo tanto dos empuxos quanto das deformações do solo e da estrutura. Todos os aspectos
do problema, como a interação solo/estrutura, seqüência construtiva, comportamento
tensão/deformação do solo, podem ser abordados. As maiores dificuldades de aplicação do
MEF dizem respeito à definição de uma curvaσ x ε que defina o comportamento
generalizado do solo. Neste aspecto, vale dizer que a aplicação da teoria da plasticidade aos
solos vem fornecendo resultados satisfatórios.
❜ ▲ ❣❤▲✒✐✛❳✢❭✧❥✙❙✳❚✁❙✳❭✙❴❘❫✦❭✧❩✟❨✼❭✟❦✛❧❊P❵❪✼♠✿❳
Os empuxos laterais de solo sobre uma estrutura de contenção são normalmente
calculados por intermédio de um coeficiente, o qual é multiplicado pelo valor da tensão
vertical efetiva naquele ponto. O valor deste coeficiente irá depender do processo deinteração
solo/estrutura, ou seja, dos movimentos relativos entre a estrutura de contenção eo solo.
Deste modo, pode−se dizer que, a depender do tipo de estrutura, obter−se−ão diferentes
valores de coeficientes. Estes coeficientes são denominados de coeficientesde empuxo do
solo e a depender da direção do movimento lateral imposto pela estrutura de contenção, estes
são denominados de coeficiente de empuxo ativo (Ka) ou passivo (Kp). No caso do solo não
apresentar deslocamentos laterais, o coeficiente de empuxo é denominado de coeficiente de
111
empuxo em repouso do solo (Ko), cujo cálculo e aplicação já foram mencionados no capítulo
de tensões geostáticas deste trabalho. As tensões horizontais efetivas do solo neste caso são
calculadas utilizando−se a eq. 5.1, apresentada adiante. Conforme também relatado naquele
capítulo, a expressão mais utilizada para o cálculo do coeficiente de empuxo emrepouso do
solo é a equação de Jáky (1948), a qual também é reproduzida a seguir (eq. 5.2).
’’
vh Ko σσ ⋅= (5.1)
( )’sen1 φ−=Ko (5.2)
Considerando−se o solo como um material elástico, linear e isotrópico, em uma
condição de compressão confinada, o coeficiente de empuxo em repouso do solo é dado pela
eq. 5.3, apresentada adiante.
υ
υ
−
=
1
Ko
 (5.3)
Onde υ é o valor do coeficiente de Poisson do solo.
Vários resultadospublicados na literatura especializada demonstram ser o coeficiente
de empuxo em repouso do solo uma função não só de suas propriedades de resistência, mas
também da sua história de tensões em campo e do seu grau de saturação. Assim, solos pré−
adensados tendem a exibir maiores valores de Ko, os quais se apresentam crescentescom a
razão de pré−adensamento. Para altos valores de O.C.R., pode−se encontrar valores de Ko
superiores à unidade. Tem−se demonstrado que os solos não saturados tendem a exibir
valores de Ko decrescentes com o seu valor de sução. A tabela 5.1 apresenta valores típicos
de Ko para diversos tipos de solo.
Tabela 5.1 – Valores de Ko (composta a partir de Bernatzik, 1947; Bishop, 1957,
1958; Simons, 1958; Terzaghi e Peck, 1967).
TIPO DE SOLO LL LP IP ATIVIDADE K O
Areia Compacta (e=0,60) − − − − 0,49
Areia Média (e=0,70) − − − − 0,52
Areia Fofa (e=0,88) − − − − 0,64
Areia Fofa Saturada − − − − 0,46
Areia Compacta Saturada − − − − 0,36
Argila Residual de média plasticidade − − 9,3 0,44 0,42
Argila Residual de alta plasticidade − − 31 1,55 0,66
Argila Mole, Orgânica, Indeformada 74 28 45 1,20 0,57
Argila Marinha, Indeformada 37 21 16 0,21 0,48
Argila Sensível 34 24 10 0,18 0,52
Argilas − − − − 0,60 a 0,80
Areias não Compactadas
(Fofas ou Compactas)
− − − − 0,40 a 0,50
Areias Compactadas por Camadas − − − − 0,80
Para a determinação dos outros coeficientes de empuxo considere−se um semi−espaço
infinito de solo, constituído por um solo isotrópico, não saturado e de superfície horizontal
(fig. 5.1), no qual foi inserido um muro extenso, delgado o suficiente para não acarretar
mudanças no estado de tensões inicial do solo. Admitamos agora que através de um artifício
112
qualquer este muro seja movimentado para a direita, com deslocamentos uniformes em toda a
sua extensão. A fig. 5.2 ilustra o que acontece, em termos de tensões horizontais, em dois
elementos de solo situados à esquerda e à direita do muro (elemento A e elementoB,
respectivamente).
Figura 5.1 – Esquema ilustrativo utilizado na definição dos empuxos de terraativo
e passivo. Modificado de Perloff & Baron (1976).
Conforme ilustrado na fig. 5.2, os elementos A e B partem de um mesmo valor de
tensão horizontal,σ’xo, que corresponde ao valor da tensão horizontal em repouso do solo.
Com o deslocamento do muro, o valor da tensão horizontal no elemento B aumenta, enquanto
que o valor da tensão horizontal no elemento A diminui. Deve−se notar contudo, que este
crescimento não se dá indefinidamente, de modo que valores máximo e mínimo são obtidos
para as tensões horizontais atuando nestes elementos. Estes valores limitescorrespondem às
tensões horizontais para um estado ativo (elemento A) ou passivo (elemento B)do solo. Da
fig. 5.2 pode−se notar também que os deslocamentos relativos necessários para se atingir uma
condição de empuxo ativo são menores do que aquelas requeridos para se atingir uma
condição de empuxo passivo.
Figura 5.2 – Tensões horizontais nos elementos A e B da fig. 5.1. Modificado de
Perloff & Baron (1976).
113
A fig. 5.3 ilustra o que acontece nos elementos de solo A e B em termos de círculos de
Mohr. Conforme ilustrado nesta figura, ambos os elementos partem de um círculo de Mohr
possuindo como tensões principaisσv e Ko⋅σv. Conforme apresentado nesta figura, no estado
em repouso o solo se encontra afastado da ruptura. Com o deslocamento do muro, as tensões
horizontais no elemento B se tornam maiores que o valor da tensão vertical, sendo seu valor
limite alcançado quando o círculo de Mohr passa a tangenciar a envoltória de resistência do
solo. Neste instante, diz−se que o solo está em um estado de ruptura passiva. Conforme
apresentado no capítulo anterior, para uma condição de ruptura, as tensões principais estão
relacionadas de acordo com a eq. 5.4, apresentada adiante.
τ
σ
φ
’
σ
v
K
a
σ
v
K
p
σ
v
K
o
σ
v
c’
Empuxo
Passivo (elemento B)
Empuxo
Ativo (elemento A)
Figura 5.3 – Círculos de Mohr inicial e finais para os elementos A e B.
φ⋅⋅+φ⋅σ=σ NcN 231 (5.4)
)45(tan=N :Onde
2
2 φ
φ +
 (5.5)
No estado passivo, a tensão horizontal,σ’xp ou σ’hp, corresponde a tensão principal
maior, σ1. Se assume−se o solo como granular, ou sem coesão, pode−se demostrar que o
coeficiente de empuxo passivo do solo é dado pela eq. 5.6, apresentada adiante. Da eq. 5.6
nota−se que o coeficiente de empuxo passivo do solo é sempre superior à unidade.




 +===
2
452
φφ
σ
σ
tgNKp
v
hp
’
’
 (5.6)
No estado ativo, a tensão horizontal,σ’xa ou σ’ha, corresponde a tensão principal
menor,σ3. Se assume−se o solo como granular, ou sem coesão, pode−se demostrar que o
coeficiente de empuxo ativo do solo é dado pela eq. 5.7, apresentada adiante. Da eq. 5.7
nota−se que o coeficiente de empuxo ativo do solo é sempre inferior à unidade.




 −===
2
45
1
’
’
2 φ
φσ
σ
tg
N
Ka
v
hp
 (5.7)
Segundo Mello (1975), em termos práticos, adota−se a postura de calcular os empuxos
ativo e passivo (EA e EP), alterando−os, em seguida, com o auxílio de um fator para fugir−se
da situação de ruptura. No caso ativo, o valor de EA será majorado por um coeficiente
114
tomado, em geral, entre 1,3 a 1,5. Para a situação passiva, o valor de EP será dividido por um
fator compreendido na faixa de 1,4 a 1,5. Desta forma, os valores de projeto estarãosituados
dentro da fase de equilíbrio elástico. No caso ativo, este procedimento implica em obras de
maior porte, portanto mais caras. Em compensação o inverso ocorre para a situação passiva.
Em ambos, porém, há uma garantia da ausência da ruptura do solo arrimado.
❜ ▲✝♥◆▲✒♦q♣✙❫✤❳✢❨✼❳✮❨✼❭✫rs❯✿❴❵t✿❙✯❴❘❭
Os processos clássicos utilizados para a determinação dos empuxos de terra são
métodos de equilíbrio limite. Admite−se, nestes métodos, que a cunha de solo situadaem
contato com a estrutura de suporte esteja num dos possíveis estados de plastificação, ativo ou
passivo. Esta cunha tenta deslocar−se da parte fixa do maciço e sobre ela são aplicadas as
análises de equilíbrio dos corpos rígidos. A análise de Rankine apoia−se nas equações de
equilíbrio interno do maciço. Estas equações são definidas para um elemento infinitesimal do
meio e estendida a toda a massa plastificada através de integração. Esta análise enquadra−se
no teorema da região inferior (TRI) da teoria da plasticidade.
Como filosofia básica este teorema defende, em primeiro lugar, o equilíbrio de tensões
entre os campos externos e internos que se estabelecem sobre a cunha plastificada. As tensões
externas são motivadas por solicitações aplicadas na superfície do terreno pela ação do peso
próprio da cunha. As solicitações internas são as reações que se desenvolvem na cunha, como
conseqüência das solicitações externas. Para resolução das equações de equilíbrio, todos os
pontos dentro da cunha de ruptura são supostos em estado limite e as tensões se relacionam
pelo critério de ruptura de Mohr – Coulomb.
A solução de Rankine , estabelecida para solos granulares e estendida por Rèsal para
solos coesivos, constitui a primeira contribuição ao estudo das condições de equilíbrio limite
dos maciços, tendo em conta as equações de equilíbrio interno do solo. Em razão disto,estas
equações são conhecidas como estados de plastificação de Rankine. 
O método de Rankine, que consiste na integração, ao longo da altura do elemento de
suporte, das tensões horizontais atuantes, calculadas a partir do sistema de equações
estabelecido para o maciço, fundamenta−se nas seguintes hipóteses:
1) Maciço homogêneo de extensão infinita e de superfície plana (horizontal).
2) O solo no interior da cunha de ruptura se encontra nos estados de plastificação de
Rankine.
3) A inserção do muro não interfere nos resultados obtidos.
Embora teoricamente a solução de Rankine só seja válida para muro de parede
vertical, perfeitamente lisa, que é quando se atingem os estados de plastificação de Rankine
(superfície de escorregamento fazendo um ângulo igual a 45 +φ/2 ou 45 −φ/2 com o plano
principal maior, para as condições ativae passiva, respectivamente, fig. 5.4),ela é estendida
também aos casos em que o tardoz do muro faz um ânguloβ com a vertical. Quando a
superfície do terreno é inclinada de um ângulo i com a horizontal, há que considerar−se o
muro com uma rugosidade suficiente para inclinar as tensões resultantes do mesmo valor.
À medida que se afasta das condições teóricas fundamentais, o método fornece valores
que se distanciam cada vez mais dos valores práticos observados. A presença do atrito ou de
adesão na interface solo/muro gera tensões tangenciais que contribuem para resistir ao
deslocamento da cunha plastificada. Neste caso, a utilização da teoria de Rankine faz com que
o empuxo ativo seja sobrestimado e o empuxo passivo, subestimado. Além disso, o atrito
propicia uma redução da componente horizontal do empuxo (menor quanto maior for o valor
do coeficiente de atrito (δ) entre o solo e o muro) e provoca o encurvamento das superfícies
de escorregamento. A fig. 5.4 ilustra cunhas de ruptura obtidas pelo método de Rankine para
uma variedade de situações. A fig. 5.5 ilustra as formas das cunhas de ruptura obtidas
considerando−se o atrito na interface solo/muro.
115
 
 
Figura 5.4 – Aplicação da teoria de Rankine para a obtenção de cunhas de ruptura
no solo, para cálculo do empuxo sobre estruturas de contenção. Modificado de Perloff&
Baron (1976).
Figura 5.5 – Formato das cunhas de ruptura obtidas pelo método de Rankine
quando se considera o atrito na interface solo/muro. Modificado de Perloff & Baron
(1976).
Sobre o procedimento do método de Rankine existe a desvantagem de que a obtenção
dos valores de Ka e Kp para geometrias complexas e/ou outras formas de carregamento que
não carregamento extenso conduz a procedimentos de cálculos bastante árduos.
Para os solos não coesivos, a variação das tensões horizontais é linear com a
profundidade. O diagrama resultante será triangular e o empuxo consistirá na integração das
tensões laterais ao longo da altura. A fig. 5.6 ilustra a obtenção do empuxo ativo sobre uma
estrutura de contenção pelo método de Rankine, para o caso de solos não coesivos e coesivos.
Conforme se pode observar, para o caso dos solos coesivos, os valores de empuxo obtidos até
uma profundidade de z = zo são negativos. A ocorrência de empuxo negativo sobre a estrutura
de contenção é pouco provável, pois neste caso haveria uma tendência do solo se“descolar”
do muro. Além disto, até a profundidade de z = zo, é provável a ocorrência de trincas de
tração no solo. Deste modo o empuxo negativo sobre a estrutura de contenção é geralmente
desprezado, calculando−se o empuxo a partir da altura reduzida do muro, h = H – zo,
116
conforme se ilustra na fig. 5.6. Conforme também apresentado na fig. 5.6, a integração dos
esforços horizontais ao longo do muro de arrimo resulta na eq.5.8, que representa o empuxo
ativo atuando sobre a estrutura de contenção.
h/3
Ea= Kaγh2/2
h
Solo não coesivo
h/3
Ea = Kaγh2/2
h = H −Zo
Solo coesivo
z
c
o =
⋅ −


2
45
2
γ
φ
tan
 H
Figura 5.6 – Aplicação do método de Rankine para cálculo do empuxo ativo sobre
estruturas de contenção.
2
2 γ⋅⋅= hKaEa
 (5.8)
A presença da coesão possibilita manter um corte vertical, sem necessidade de
escoramento, até uma determinada altura no solo (altura crítica), na qual o empuxo resultante
é nulo. Da fig. 5.6 é fácil perceber que isto ocorre quando z = 2⋅zo. Esta é a altura na qual
podem ser feitas escavações sem escoramento no solo. A eq. 5.9, apresentada a seguir,
expressa a altura crítica de corte sem escoramento.




 −⋅
⋅=
2
45
4
’
’
φγ tg
c
zc
 (5.9)
No caso de solos coesivos, empuxo passivo, o valor do empuxo é calculado conforme
apresentado pela eq. 5.10. Notar que agora h corresponde novamente à altura total da
estrutura de arrimo.
Kphc
hKp
Ep ⋅⋅⋅+
⋅⋅= 2
2
2 γ
 (5.10)
Embora esteja se considerando o caso de estruturas de contenção suportando solos
coesivos, deve−se salientar que quando da execução destas estruturas em campo, sempre que
possível, deve−se utilizar materiais granulares no aterro anterior ao muro. Os materiais
granulares, não coesivos, são sempre preferíveis, pois apresentam maiores valores de ângulo
de atrito e geralmente não apresentam grandes variações volumétricas em processos de
secagem/umedecimento.Além disto, é imprescindível que as estruturas de contenção
possuam um bom sistema de drenagem, de modo a evitar empuxos na estrutura de contenção
provocados pela água. Com base na experiência local, pode−se afirmar que o efeito da água
tem sido decisivo na instabilização de estruturas de contenção.
O efeito da água é ilustrado na fig. 5.7. No caso de o nível do lençol freático
interceptar a estrutura de contenção, existirão dois empuxos sobre a estrutura, um originado
pela água e outro pelo solo. O empuxo da água será aplicado a uma altura (h – hw)/3 da base
da contenção e o empuxo de solo a uma alturaaproximadamenteigual a h/3. Deve−se notar
117
que neste caso há uma mudança no peso específico do solo, que passa aγsat, e que as tensões
neutras devem subtraídas das tensões horizontais do solo sobre a estrutura, pois os
coeficientes de empuxo devem sempre ser utilizados em termos de tensão efetiva. Caso o
nível d’ água se eleve até a superfície do terreno, o que consiste na situação mais
desfavorável, o empuxo ativo sobre a estrutura de contenção será dado pela eq. 5.11.
Es
Ew
u u
hw
h − hw
Figura 5.7 – Efeito da água no empuxo do solo sobre estruturas de contenção.
22
22
wsub
a
hhKa
E
γγ ⋅
+
⋅⋅
=
 (5.11)
No caso de taludes com uma inclinaçãoi com a horizontal, pode−se mostrar que os
coeficientes de empuxo ativo e passivo são dados pelas eqs. 5.12 e 5.13, respectivamente. Os
valores dos empuxos sobre as estruturas de contenção são dados pelas eqs. 5.14 e 5.15,
respectivamente.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )’coscoscos
’coscoscos
’
’
φ
φ
σ
σ
22
22
−+
−−
==
ii
ii
Ka
v
ha
 (5.12)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )’coscoscos
’coscoscos
’
’
φ
φ
σ
σ
22
22
−−
−+
==
ii
ii
Kp
v
hp
 (5.13)
( )ihKaEa cos⋅⋅⋅= 2
2 γ
 (5.14)
( )ihKpEp cos⋅⋅⋅= 2
2 γ
 (5.15)
❜ ▲ ❑❤▲✒♦q♣✙❫✤❳✢❨✼❳✮❨✼❭✫✐✛❳✢❪✼◗✳❳✢❧✵✉
O método de Coulomb para cálculo dos empuxos de terra foi enunciado em 1776.
Enquadra−se na filosofia do Teorema da Região Superior (TRS) da teoria da plasticidade,
que estabelece o equilíbrio de uma massa de solo, se, para um deslocamento arbitrário, o
118
trabalho realizado pelas solicitações externas for menor do que o das forças internas. Em caso
negativo, a massa estará em condição de instabilização ou de plastificação.
O método de Coulomb admite as seguintes hipóteses básicas:
❢
É atendida a condição de deformação plana ao longo do eixo do muro, logo o
problema é bidimensional.❢
Ao longo da superfície de deslizamento, o material está em estado de equilíbrio
limite (uso do critério de Mohr – Coulomb).❢
Ocorre deslizamento relativo entre o solo e o muro. Tensões cisalhantes se
desenvolvem nesta interface. A direção das tensões cisalhantes é determinadapelo
movimento relativo solo/muro.❢
A superfície de ruptura é geralmente assumida como planar.
A fig. 5.8 ilustra o esquema idealizado por Coulomb para cálculo dos empuxos sobre
estruturas de contenção.
Figura 5.8 – Ilustração do método de análise de Coulomb. Modificado de Perloff & Baron,
1976.
O cálculo do empuxo é efetuado estabelecendo−se as equações de equilíbrio das forças
atuantes sobre uma cunha de deslizamento hipotética. Uma das forças atuantes é o empuxo,
que no estado ativo corresponde à reação da estrutura de suporte sobre a cunha e, no passivo,
à força que a estrutura de arrimo exerce sobre ela. O empuxo ativo será o máximovalor dos
empuxos determinados sobre as cunhas analisadas; o passivo, o mínimo.
Na mobilização do empuxo ativo, o muro se movimenta de modo que o solo é forçado
a mobilizar a sua resistência ao cisalhamento, até a ruptura iminente. A ativação da resistência
ao cisalhamento do solo pode ser entendida como o fim de um processo deexpansão que se
desencadeia no solo a partir de uma posição em repouso. Isto significa que o valor do empuxo
sobre a estrutura de contenção vai diminuindo, com a expansão, até que se atinge um valor
crítico, situado no limiar da ruptura, ou da plastificação.
Quando as análises de equilíbrio são efetuadas para as diversas cunhas hipotéticas,
supõe−se que este limiar da ruptura tenha sido alcançado em todas elas. Portanto, omaior
valor de empuxo estabelecido na análise destas cunhas será o crítico, pois no processo de
ativação ele será atingido em primeiro lugar, sendo por conseguinte o empuxo ativo. Isto
corresponde dizer que o empuxo ativo é um ponto de máximo dentre os valores determináveis
de empuxo. Um fato inverso ao descrito neste dois últimos parágrafos ocorrerá parao caso
passivo.
Tendo em vista a filosofia do Teorema da Região Superior, na qual se enquadra, o
processo de Coulomb tem como princípio a comparação entre os trabalhos de forças externas
e o de forças internas. Isto eqüivale a um equilíbrio estático de forças, paraum dado
deslocamento. Assim, nos casos de geometria mais simples, será possível estabelecer uma
119
equação geral para o problema e encontrar o seu valor máximo, ou mínimo, correspondente
às situações ativa e passiva, respectivamente. 
Em seguida serão fornecidos os casos em que esta abordagem é possível. Solução
analítica do método de Coulomb para solos granulares. 
Empuxo Ativo – A eq. 5.16 apresenta o valor do coeficiente de empuxo ativo obtido
pelo método de Coulomb. Na fig. 5.9 estão apresentadas todas as variáveis contidas naeq.
5.16, para o caso de empuxo passivo. No caso de empuxo ativo, a resultante R do solo atuará
desviada também deφ’ da normal à cunha, mas agora em sentido oposto. Do mesmo modo,
devido ao movimento descendente da cunha no caso ativo, Ea será inclinada da normal à
contenção também deδ, mas em sentido contrário àquele apresentado na fig. 5.9. Deste
modo, no uso das eqs. 5.16 e 5.17, deve−se atentar para a convenção de sinais adotada na fig.
5.9(b).
( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2
2
2
sensen
sensen
1sensen
sen




+⋅−
−′⋅+′+−⋅
′+=
βαδα
βφδφδαα
φα
Ka
 (5.16)
Muro
Caso ativo
Normal
δ (+)
E
p
Muro
Caso passivo
 Normal
δ (+)
 
b)
E
a
Figura 5.9 – (a) − Método de Coulomb para o caso de empuxo passivo. (b) – Convenção
de sinais para δ. Modificado de Perloff & Baron, 1976.
Empuxo Passivo: A eq. 5.17 apresenta o valor do coeficiente de empuxo passivo
obtido pelo método de Coulomb
( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2
2
2
sensen
sen‘sen
1sensen
sen
Kp




+⋅+
+′⋅+−+⋅
′−=
βαδα
βφδφδαα
φα
 (5.17)
No caso de um carregamento vertical uniformemente distribuído sobre a superfície do
terreno, o peso específico do solo pode ser majorado pela eq. 5.18, apresentada adiante, de
modo a levar em consideração o carregamento q (notar que q tem dimensões de tensão). 
( ) ( )




+⋅⋅
⋅+=
βαα
γγ
sensen
2
h
q
q
 (5.18)
 (a)
120
Para casos mais gerais, o cálculo do empuxo de terra deve ser feito de forma gráfica.
Estes processos gráficos são todos semelhantes entre si, de modo que neste trabalho
apresentar−se−á apenas o processo gráfico direto para a obtenção do empuxo de coulomb,
sem se utilizar a rotação de eixos proposta por Cullman. As figs. 5.10 e 5.11 ilustram a
composição de forças ao longo de uma cunha de deslizamento, para os caso de empuxo ativo
e passivo.
 
Figura 5.10 – Composição de forças utilizada pelo método gráfico para o caso de
empuxo ativo. Modificado de Perloff & Baron, 1976.
Figura 5.11 – Composição de forças utilizada pelo método gráfico para o caso de
empuxo passivo. Modificado de Perloff & Baron, 1976.
A fig. 5.12 ilustra a obtenção do empuxo ativo sobre uma estrutura de contenção
utilizando−se o método gráfico. Considerou−se nesta figura um terrapleno horizontale a
presença do nível d’água. Conforme se pode observar da fig. 5.12, adotou−se a hipótese de
solo com intercepto de coesão não nulo, inclusive vislumbrando−se a possibilidade de
consideração de uma parcela de adesão no contato solo/muro. No caso de solos coesivos, vale
notar que as cunhas potenciais de ruptura não mantém a sua inclinação até a superfíciedo
terreno, prolongando−se verticalmente para profundidades inferiores a zo (vide fig. 5.6). O
empuxo ativo total sobre a estrutura é obtido considerando−se o empuxo do solo e da água
separadamente. O empuxo da água é calculado utilizando−se a eq. 5.19, apresentada adiante,
onde h’ representa a profundidade da base de assentamento da estrutura até o nível do lençol
freático (no caso da fig. 5.12, h’ corresponde a 12m).
2
’2h
E waw
⋅
=
γ
 (5.19)
121
O empuxo do solo é calculado para diversas cunhas potenciais de ruptura, conforme
ilustrado na fig. 5.12. Neste caso, para a parte submersa do solo, o peso da cunha é calculado
utilizando−se o valor doγsub do solo. Para o caso de empuxo ativo o valor do empuxo do solo
corresponde ao máximo valor de P’ (ou Ea’) encontrado. O empuxo total será então obtido
pelo somatório (vetorial) dos dois valores calculado. Deve−se notar, conforme ilustrado na
fig. 5.12, que neste caso o empuxo da água possui um ponto de aplicação, um valor e uma
direção diferentes do empuxo do solo.
15 m
3 mNível de água
Solo coesivo
EMPUXO ATIVO
β= 85o
N.A.
δ’
Ea’ (solo)
E (água)
Ea
Resultante
Figura 5.12 – Obtenção gráfica do empuxo ativo sobre estruturas de contenção.
Modificado de Perloff & Baron, 1976.
Para o caso do empuxo passivo o procedimento é o mesmo, a menos da mudança dos
vetores apresentados na fig. 5.12, conforme ilustrado na fig. 5.11. Também neste caso, o
empuxo passivo do solo corresponde ao valor mínimo do empuxo obtido.
Na prática, conforme já relatado anteriormente, é sempre preferível se executar o
aterro da contenção com solos granulares, de modo que neste caso os vetores c’a e C’,
apresentados na fig. 5.12 são nulos. Do mesmo modo, na construção de qualquer estrutura de
122
contenção, um bom sistema de drenagem deve ser previsto, de modo que eventuais empuxos
provocados pela água são geralmente desprezados na fase de projeto. No caso de cargas
uniformemente distribuídas, pode−se majorar o peso específico do solo conforme eq. 5.18.
Na caso de linhas de carregamento (carga por unidade linear) o seus valores devem ser
acrescentados ao peso das cunhas potenciais que as contém, de modo análogo ao ilustradonas
figs. 5.10 e 5.11. Neste caso, a linha unindo os vetores P’ da fig. 5.12 poderá apresentar
sobressaltos ou descontinuidades.
❜ ▲ ❜ ▲✒❖✘❩✙P❘❭✙❚✔❫✦❳✄❩✟✈✇❭✙❬✔❯✿❙✯❩✫①✡❪✼❭✫❞②❴❘❥✙◗✳❪✼❭✙❴❘❚✁❙✳❯✿❧✱❴❘❯■③❍❭✙❫✦❭✙❬✔❧✵❙✳❴❘❯✡❱✔❲✡❳✴❨✼❳✮❦✛❧✵P❘❪✼♠✡❳
A seguir é feito um comentário resumo sobre alguns fatores que influem no valor do
empuxo em uma estrutura de contenção. Aspectos referentes a vários destes fatores já foram
relatados anteriormente.
a) Influência da Pressão Neutra.
O empuxo devido à água deve ser considerado separadamente. Não é possível incluir
esforços devidos à percolação de água nas teorias de Rankine e Coulomb. Ao assumir o nível
de água estático, lembrar que os coeficientes de empuxo referem−se a tensões efetivas, e que
a água exerce igual pressão em todas as direções, sendo o empuxo da água sempre
perpendicular à face da contenção.
b) Influência de Sobrecargas Aplicadas à Superfície do Terreno.
Esforços laterais devidos a sobrecargas aplicadas na superfície do terreno nemsempre
são de fácil avaliação. Alguns tipos de sobrecargas (uniformemente distribuídas,lineares, etc)
podem ser consideradas, bastando incluí−las nos polígonos de forças das construções gráficas.
No caso da cargas uniformemente distribuídas, pode−se também utilizar o artifício
representado na eq. 5.18. No cálculo dos acréscimos dos empuxos devidos à carregamentos
em superfície, alguns resultados de instrumentação comprovam a aplicabilidade dasfórmulas
da Teoria de Elasticidade. Entretanto, são necessárias algumas correçõesempíricas para
adequá−las aos valores reais medidos. Um dos aspectos a considerar e querequer correção
refere−se à rigidez da estrutura.
Vários autores sugerem aplicar, para carregamentos futuros, um fator multiplicativo
de 2 nas expressões da Teoria da Elasticidade, para levar em conta a possível restrição a
deformações imposta pela estrutura.
c) Influência do Atrito entre o Solo e o Muro.
A influência do atrito entre o solo e o muro pode ser evidenciada observando−se que
quando o muro move−se, o solo que ele suporta expande−se ou é comprimido conforme seja
o estado ativo ou passivo. No primeiro caso, o solo apresenta uma tendência de descer ao
longo da parede que, se impedida, origina tensões tangenciais ascendentes que suportam em
parte a massa de solo deslizante. Alivia−se, assim, o valor do empuxo sobre o muro. No caso
passivo ocorre simplesmente o contrário.
O método de Rankine, que desconsidera o atrito entre o solo e o muro, fornece
soluções do lado da segurança. O método de Coulomb considera o atrito e fornece soluções
mais realistas. O emprego de uma ou de outra teoria está associado, inclusive,como já foi
referido, à geometria do problema. As obras dimensionadas pelo método de Rankine serão
mais caras pois, como se sabe, este método fornece valores mais conservativosem face de
não considerar o atrito entre o solo e o muro. Por outro lado, esta teoria é de extrema
simplicidade e portanto menos trabalhosa do que a solução de Coulomb.
A presença do atrito na interface solo/muro, além de reduzir o valor do empuxo,
provoca a sua inclinação. Isto torna os muros mais estáveis já que a componente horizontal do
empuxo, que é diminuída, está diretamente relacionada com a estabilidade do muro quantoao
escorregamento e ao tombamento. O ângulo de atrito entre o solo e o muro depende
123
fundamentalmente do ângulo de atrito do solo. Na falta de um valor específico, recomenda−
se adotar para δ um valor situado entre o intervalo apresentado na eq. 5.20.
’
’
3
2
3
φδφ 〈〈
 (5.20)
A tabela 5.2 apresenta alguns valores de δ/φ’ em função do material do muro
Tabela 5.2 – Valores de δ/φ’ em função do material do muro.
Material do muro δ/φ’
Concreto liso e argamassa 0,8 – 1,0
Concreto rugoso 0,9 – 1,0
Aço liso 0,5 – 0,7
Aço rugoso 0,8 – 0,9
Madeira lisa 0,7 –0,9
Madeira rugosa 0,9 – 1,0
d) Ponto de Aplicação do Empuxo.
A teoria de Rankine, admitindo uma distribuição hidrostática de tensões, fixa o ponto
de aplicação do empuxo a 1/3 da altura, medida a partir da base. A teoria de Coulomb nada
estabelece a respeito. Neste ponto, vale ressaltar que não só o valor do empuxo é importante
no dimensionamento de uma estrutura de contenção, mas também o ponto de aplicação deste
empuxo desempenha uma função essencial. Isto é importante principalmente na verificação
da estabilidade da estrutura de fundação quanto ao tombamento, o que será visto nos
próximos itens. Por enquanto, deve−se observar que a forma de distribuição das tensões
horizontais sobre a estrutura de contenção, a qual determina o ponto de aplicação do empuxo,
irá depender de alguns fatores como a presença de água no solo, a existência de
carregamentos em superfície e a liberdade de movimentação da estrutura. A fig.5.13 ilustra
algumas formas de distribuição de tensões horizontais sobre a estrutura a depender de alguns
fatores relatados acima.
Carregamento em supe
Figura 5.13 – Diferentes formas de distribuição das tensões provenientes dos
empuxos de terra sobre as estruturas de fundação.
124
e) Fendas de Tração.
Em solos que apresentam coesão existe a possibilidade de surgimento de fendas de
tração. A profundidade que estas podem atingir é determinada pelo ponto em que a tensão
lateral se anula (zo).
❜ ▲✝④◆▲✒❦✛❩✙❫✤❬✔❪✼❫✦❪✼❬✔❯✡❩✫❨✼❭✟❖✘❬✔❬✔❙✯❧❊❳
Pode−se utilizar estruturas de arrimo em obras temporárias, como na abertura de valas
para implantação de condutos e metrôs. Nestes casos, geralmente, introduzem−se os
elementos da estrutura anteriormente à escavação e à medida que se processa a escavação,
complementa−se a estrutura com os elementos adicionais: pranchões de madeira, estroncas,
tirantes, etc. Completada a obra, procede−se ao reaterro da escavação e oselementos
utilizados no escoramento podem ser retirados e reaproveitados.
Em obras definitivas, como no caso dos muros de arrimo, é normal proceder−se à
escavação, deixar um espaço livre atrás de onde será implantada a estrutura, para facilidade
de trabalho, e, uma vez completada a estrutura, procede−se ao reaterro do espaço deixado
livre. Deve−se frisar, entretanto, que estas não são regras gerais para estruturas temporárias e
definitivas, havendo comumente exceções.
❜ ▲✝④◆▲✦❝✿▲✒⑤✮❙✳P❘❳✢❩✟❨✼❭✫❦✛❩✙❫✦❬✔❪✼❫✤❪✼❬✁❯✿❩✟❨✼❭✫❖✘❬✁❬✔❙✳❧✵❳
As estruturas de contenção são basicamente divididas em flexíveis e rígidas. Estas
podem ser de vários tipos e proporcionam estabilidade de várias maneiras. Existem os muros
de arrimo de gravidade, de gravidade aliviada, muros de flexão, muros de contraforte,
cortinas de estacas prancha, cortinas de estacas secantes ou justapostas, cortinas de perfis
metálicos combinados com pranchões de madeira, paredes diafragma e eventualmente partes
de estruturas projetadas para outro fim, que têm por finalidade retenção, como por exemplo
os subsolos dos edifícios e os encontros de pontes. Na fig. 5.14 ilustram−se alguns dos mais
utilizados tipos de estrutura de contenção. As ancoragens são normalmente utilizadas para
obras provisórias, principalmente na escavação de valas a céu aberto. 
No caso do muro de gravidade, como o próprio nome indica, conta−se com o peso
próprio do muro para lhe assegurar estabilidade. Os muros de gravidade são normalmente
construídos em alvenaria de pedra. Suas seções normalmente possuem forma tal que os
mesmos não precisam ser armados. Por questões de economia de concreto, a seção do muro
de gravidade pode ser reduzida, no entanto é necessário a adoção de armadura para absorver
os esforços de tração que aparecem. Assim, esses muros passam a ser denominadosde muros
de gravidade aliviada. Atualmente, está sendo muito difundida a construção de muros de
arrimo por meio de gabiões. Os muros de arrimo construídos em gabiões funcionam também
por gravidade, e se compõem de elementos em forma de prisma retangular, fabricados em
malha metálica, a qual é preenchida com fragmentos de rocha. Estes elementos são
superpostos de modo a formar a estrutura de arrimo. Com relação aos muros de alvenaria, os
gabiões possuem a vantagem de serem mais flexíveis, garantindo a mobilização de todoo
solo anterior ao tardoz da contenção. Por serem construídos utilizando−se de fragmentos de
rocha, sem preenchimento, este tipo de contenção é altamente permeável, o que facilita a
drenagem do solo. Para que com o fluxo o solo não penetre nos vazios do gabião, é
necessário que se crie uma camada de transição, o que normalmente é feito com ouso de
geotêxteis. Nos locais onde têm sido empregados os muros de arrimo em gabiões, algumas
vezes, tem sido verificado um processo de depredação, que consiste na retirada da malha
metálica que mantém unidos os fragmentos de rocha, de modo que quando do seu uso
exposto ao público, recomenda−se uma proteção adicional. Para serem estáveis,os muros de
arrimo geralmente requerem bases que variam de 30% a 60% da altura do muro, de modo que
125
os mesmos não costumam ser utilizados em locais onde o espaço disponível é pequeno ou
onde o terreno é muito valorizado. De um modo geral, a utilização de muros de arrimose
restringe até uma altura de aproximadamente 10m. Nos casos dos muros tipo cantoneira ou
contraforte, também trabalha−se por gravidade, mas, neste caso, conta−se com opeso próprio
do solo para garantir a estabilidade da estrutura. 
Os muros de flexão ou cantoneira são estruturas mais esbeltas, com seção transversal
em forma de “L” que resistem aos empuxos por flexão, utilizando parte do peso próprio do
maciço arrimado, que se apóia sobre a base do “L”, para manter−se em equilíbrio.Em geral
utilizado para alturas em torno de 6m. Muros contrafortes são os que possuem elementos
verticais de maior porte,chamados contrafortes ou gigantes, espaçados, em planta, de alguns
metros, e destinados a suportar os esforços de flexão pelo engastamento na fundação. 
Os crib wall (parede de engradados) são estruturas formadas por elementos pré−
moldados de concreto armando ou de madeira ou aço, que são montados no local, em forma
de fogueiras justapostas e interligadas longitudinalmente, cujo espaço interno é cheio de
preferência com material granular graúdo.
Figura 5.14 – Tipos mais usuais de estruturas de contenção.
Com o progresso dos métodos construtivos, tem se empregado cada vez mais a
construção de estruturas de contenção utilizando−se geotêxteis ou outros elementos
estruturais. Este é o caso dos muros de arrimo construídos utilizando−se as técnicas de terra
armada ou solo envelopado. Embora esteja fora do propósito deste trabalho a apresentação
detalhada dos princípios de funcionamento destas estruturas, pode−se dizer que, nestescasos,
há a incorporação de elementos estruturais ao solo no sentido de conferir a este resistência à
tração. Em ambos os casos, trabalha−se com o atrito entre o solo e os elementos estruturais,
126
de modo que o uso de solos granulares é sempre preferível. No caso destas estruturas e
mesmo no caso dos muros de arrimo em gabiões, além das verificações de estabilidade
normalmente realizadas, deve−se também realizar análises do sentido de verificar a
estabilidade interna da estrutura de contenção. As cortinas atirantadas são exemplos de
estruturas de contenção utilizadas em locais onde não há espaço para a execução de muros de
arrimo ou onde o terreno é bastante valorizado, justificando o seu uso. Em seu procedimento
executivo, o solo é escavado paulatinamente (até uma profundidade que não requeira o uso de
escoramentos) e placas de concreto são fixadas no talude por intermédio de tirantes. 
As estacas prancha são peças de madeira, concreto armado ou aço (ou até mesmo
PVC), que se cravam formando por justaposição as cortinas e se prestam para estruturas de
retenção de água ou solo, podendo ser utilizadas tanto para obras temporárias quanto para
permanentes. Quanto ao método construtivo pode−se ter estacas prancha em balanço,em que
a profundidade de cravação é suficiente para suportar os esforços laterais. Estetipo é
normalmente aplicado para pequenos desníveis. Quando os desníveis se tornam maiores,
passa−se a utilizar cortinas de estacas prancha ancoradas.
Parede diafragma são paredes de concreto armado, concretadas em painéis com
espessura de 30 até 120cm, antes do inicio da escavação. A largura dos painéis pode variar
entre 2 a 4 metros, podendo ser executados em sequência ou alternados. A escavação éfeita
com caçamba tipo “ clan shell” e a concretagem é submersa afastando−se a lama bentonítica
que estabiliza o furo. A sequênciade execução de uma parede diafragma pode ser vista nafig.
5.15.
Figura 5.15 – Esquema de execução de uma parede diafragma. Modificado de
Gaioto 1993.
As paredes constituídas de estações justapostos ou secantes, que podem ser atirantadas
ou não, tem processo de execução semelhante ao da parede diafragma, visto acima. O solo
127
entre os estações pode ser contido, dependendo do caso, por concreto projetado, armado ou
não.
❜ ▲✝④◆▲ ❣❤▲✒❦✛❩✙❫✤❯✡✉✢❙✳◗✳❙✳❨✼❯✡❨✼❭✟❨✼❭✫♦q❪✼❬✁❳✄❩✟❨✼❭✟❖✘❬✔❬✔❙✳❧✵❳
A determinação dos esforços laterais sobre muros de arrimo, pode ser feita por
qualquer dos métodos tradicionais, desenvolvidos anteriormente. De qualquer forma,
relembra−se que os esforços são decisivamente determinados pelas deformaçõesem jogo e
muita vezes, dada a rigidez da estrutura, não ocorrem deformações suficientes para mobilizar
os estados de equilíbrio plástico. 
Experimentos com areias densas realizados por Terzaghi mostraram que a distribuição
linear de esforços, tal qual preconizado nas teorias tradicionais, tem chance deocorrer quando
o muro sofre um giro em torno do seu pé. Para areias compactas basta que o topo do muro se
desloque cerca de 0,001 da sua altura, para que o estado de tensões passe do repouso para o
ativo. Como o deslocamento é muito pequeno, parece lícito supor que essa situação ocorre
comumente nos muros de arrimo em balanço. 
Na verificação da estabilidade de um muro de arrimo há que se atentar para a
possibilidade de deslizamento e tombamento. Além disso, deve−se considerar a possibilidade
de ruptura do talude formado (estabilidade global), bem como verificar as tensões aplicadas
ao solo de fundação e os recalques (segurança a ruptura do solo de fundação). Conforme já
relatado, para alguns tipos de estruturas de contenção deve−se fazer verificações de sua
estabilidade interna (gabiões, contenções em terra armada, solo envelopado, etc).
Um sistema de drenagem, mesmo rústico, pode proporcionar sensíveis benefícios a
um muro de arrimo, com redução de esforços sobre ele.
A seguir são apresentados os procedimentos usuais utilizados no dimensionamento (na
verdade, verificação) de muros de arrimo. A fig. 5.16 ilustra os esforços atuando emuma
estrutura de contenção.
Figura 5.16 – Esforços em um muro de arrimo. Modificado de Venkatramaiah,
1993.
Conforme apresentado na fig. 5.16, a capacidade de carga do solo, aplicada na base do
muro, tem de resistir, com segurança, ao peso do muro e às componentes verticaisdas outras
forças. O empuxo ativo age no sentido de instabilizar o muro, provocando o seu tombamento,
128
girando−o em torno de seu pé. A tendência ao tombamento é contraposta pelo peso próprio
do muro e pela componente vertical do empuxo ativo. Por outro lado, a componente
horizontal do empuxo ativo tende a empurrar o muro no sentido externo, o que é resistido
pelas tensões de cisalhamento desenvolvidas na base do muro e pelo empuxo passivo
mobilizado no lado esquerdo de sua base. O peso do muro age assim de duas formas distintas:
provoca um momento na direção contrária ao momento instabilizante do empuxo ativo e
causa resistência ao cisalhamento na base do muro. Por estas razões, estas estruturas são
denominadas de estruturas de gravidade.
Por equilíbrio de forças temos:
pvav EEWN −+= (5.21)
phah EET −= (5.22)
Para qualquer configuração do problema, Ea, Ep e W podem sempre ser obtidos, de
modo que as resultantes T e N podem sempre ser calculadas. A excentricidade e da força N,
relativa ao centro da base do muro, pode ser obtida igualando−se os momentos em torno do
ponto B:
2121 zEbEzExExWxN phpvahav ⋅−⋅−⋅+⋅+⋅=⋅ ’ (5.23) 
( )
∑
∑=⋅−⋅−⋅+⋅+⋅=
V
M
N
zEbEzExExW
x phpvahav 2121’
 (5.23) 
2
b
xe −= ’
 (5.24) 
Isto simplesmente significa que a resultante de W, Ea e Ep é justamente igual e oposta
a resultante de T e N e deve ter a mesma linha de ação para o equilíbrio do muro. O problema
de dimensionamento do muro se transforma então em um procedimento de tentativa e erro. A
largura necessária para a base geralmente se situa entre 30% e 60% da altura do muro.
Os critérios para um projeto satisfatório de uma seção de um muro de arrimo podem
ser enunciados como segue:
(a) – A base do muro deve ser tal que a máxima tensão exercida no solo de fundação
não exceda a sua tensão admissível.
(b) – Não devem se desenvolver tensões de tração significantes em nenhuma parte do
muro.
(c) – O muro deve ser seguro contra o deslizamento, ou seja, o fator de segurança ao
deslizamento deve ser adequado.
(d) – O muro deve ser seguro quanto ao tombamento, ou seja, o fator de segurança ao
tombamento deve ser adequado.
(e) – Deve haver segurança à ruptura do conjunto solo/muro (ruptura global). 
Para qualquer configuração do problema esses critérios são investigados como segue:
(a) – A pressão exercida pela força N na base do muro é uma função de seu módulo e
de sua excentricidade,e. Assumindo uma variação linear da pressão na base do
muro, o equilíbrio de forças é atendido quando as tensões máximas e mínimas na
base são dadas pela eq. 5.25, mostrada adiante (vide fig. 5.17). Deve−se também
limitar o valor da excentricidade, de modo que não ocorram tensões de tração no
129
solo. Pode ser mostrado que paraque esta condição seja atendida temos
que e ≤ b/6.










 −=




 +=
b
e
b
N
b
e
b
N
6
1
6
1
2
1
.
.
σ
σ
 (5.25) 
Figura 5.17 – Tensões desenvolvidas no solo da base do muro de arrimo.
Modificado de Venkatramaiah, 1993.
(b) As seções necessárias para que se obtenha uma segurança global do conjunto
solo/muro geralmente conduzem à satisfação desta condição.
(c) Se o ângulo de atrito entre o solo e a base do muro éδ’, o requerimento de
segurança contra o deslizamento é que a obliqüidade da reação R seja menor do
que δ’. Isto pode ser expresso como:
( )’δtg
N
T ≤
 (5.26) 
O fator de segurança contra o deslizamento da base do muro pode ser representado
pela eq. 5.27, isto é, o somatório das forças horizontais resistentes pelo somatório das forças
horizontais atuantes. Deve−se procurar adotar um fator se segurança ao deslizamento superior
a 1,5 para solos granulares e superior a 2,0 para solos coesivos ou quando a resistência
passiva for considerada.
( )
T
tgN
SF desl
’
.. .
δ⋅=
 (5.27) 
(d) Para que o muro seja seguro quanto ao tombamento, a reação R deve cruzar a base
do muro. Se o requerimento de que não surjam tensões de tração no solo da base
do muro é atendido, então o muro é seguro quanto ao tombamento. Mesmo assim,
deve−se considerar um fator de segurança adequado, neste caso, também superior
a 1,5 para solos granulares e superior a 2,0, para solos coesivos. A eq. 5.28 nos
fornece o valor do fator se segurança quanto ao tombamento do muro (Fs=∑MR\
∑MA) :
( ) ( )
1
221
zE
zExbExbW
SF
ah
phav
tomb ⋅
⋅+−⋅+−⋅
=...
 (5.28) 
130
A segurança à ruptura global deve ser verificada através da análise de estabilidadede
superfícies de ruptura que englobem a estrutura de contenção. Isto é feito normalmente
utilizando−se um dos métodos desenvolvidos para o cálculo da estabilidade de taludes
(geralmente o método das lamelas), os quais são estudados no próximo capítulo.
As dimensões do muro de arrimo são definidas por tentativas de modo a atender as
condições apresentados acima, isto é, segurança quanto ao deslizamento, tombamento,
capacidade de carga da fundação. Como pré−dimensionamento pode−se adotar as dimensões
apresentadas na fig. 5.18.
0,3H a H/12
0,5D a D
D
0,5 a 0,7H
H/8 a H/6
1:4
H
 
>20cm
H/12 a H/10
B= 0,4 a 0,7H
B/3
H
Figura 5.18 – Sugestões de medidas para dimensionamento de muros de arrimo.
Finalmente, chama−se a atenção para os benefícios que um sistema de drenagem
interna propicia: a saturação do maciço, com elevação das pressões neutras, aumentará
consideravelmente os esforços sobre o muro. Talbot apresenta uma regra prática para a
drenagem de muros de arrimo, que consiste na relação:
Ad
Am
⑥
0,01 (5.29)
onde: Ad: área da seção transversal dos drenos. Am: área do muro a ser drenado.
Os drenos devem ter inclinação mínima de 2% para assegurar o fácil escoamento das
águas, bem como dispor de pingaduras de 5cm para evitar o efeito antiestético deixadopelo
corrimento da água sobre o muro. De maneira geral utiliza−se uma camada drenante
constituída por material de alta permeabilidade (brita, cascalho) com cercade 40cm de
espessura. Na parte interna do muro deve ser colocado um dreno (por exemplo manilhas
perfuradas, tubos de PVC). Externamente ao muro, deve existir um coletor para a água
proveniente das pingaduras e do dreno interno. Este coletor evita o solapamento da base do
muro e conduz a água para um local adequado. A fig. 5.19 ilustra as considerações citadas
acima.
As cortinas de estacas prancha, conforme já exposto, são constituídas por peças de
madeira, concreto ou aço, cravadas no terreno, que se destinam a retenção de água ousolo.
Tem larga aplicação em obras portuárias, proteção de taludes, abertura de valas, etc.
Atualmente, o emprego de estacas prancha de madeira encontra−se limitado emvirtude do
seu comprimento relativamente pequeno (em torno de 5m), ocorrência de danos durante a
cravação, principalmente em terrenos mais resistentes, bem como, duração reduzida em
ambientes sujeitos a variação do lençol freático. As estacas de concreto apresentam maior
resistência que as de madeira, no entanto, os problemas de cravação também tornam o seu uso
restrito. As estacas prancha metálicas tem sido usadas com maior frequência devido à maior
facilidade de cravação e de recuperação, melhor estanqüeidade e possibilidade de reutilização,
no entanto, estas estacas podem apresentar problemas de corrosão. 
131
Coletor externo 
Camada drenante 
Dreno interno
Drenos com incl. de 2% e 
pingaduras
Figura 5.19 – Sistemas de drenagem em muros de arrimo.
⑦✫⑧⑩⑨✟⑧❷❶✟⑧✄❸❺❹❼❻❷❽❵❾◆❿✦➀✦❿➂➁◆❽❘➁❤➃➄➁✛➃❅➁❤➃➆➅➈➇✡➉➊❻●❿➂➋➌❽❘❹❡➁❤➃②➃✏❹❼❻❷❽❘➅➈❽❵❹❡➍➄➉➈❽❵➋➄➅➈➎➄❽
As cortinas diferem estruturalmente dos muros de arrimo, por serem flexíveis eterem
peso próprio desprezível em face das demais forças atuantes.
Baseados em seu tipo estrutural e esquema de carregamento, as cortinas podem ser
classificadas como cortinas sem ancoragem (cantilever) e cortinas ancoradas. Por sua vez, as
cortinas ancoradas podem ser subdividas em cortinas de extremidade livre ou de extremidade
fixa, de acordo com a profundidade de penetração da estaca prancha no solo (ficha),
resultando esta diversidade, em diferentes métodos de cálculo, como veremos adiante.
Para o cálculo das cortinas admite−se geralmente as seguintes hipóteses
simplificadoras: 
➏ distribuição hidrostática das pressões ativas e passivas, similar às teorias clássicas de
distribuição de empuxo do solo sobre estruturas de contenção.➏ ângulo de atrito entre o solo −cortina é considerado nulo➏ flexibilidade da cortina negligenciada.
⑦✫⑧⑩⑨✟⑧❷❶✟⑧➑➐✢⑧➓➒❺➇✿➉➊❻●❿➔➋➄❽❵❹❡❹❼➃✏→➣❽❘➋➄➅➈➇✡➉➈❽❘↔↕➃✏→➛➙✧➅➈❽❘➋➜❻●❿✤➀✦➃✏➝✟➃●➉✧➞
São usadas para estabilizar pequenas alturas de solo. Em geral, são usadas como
estruturas temporárias de suporte, podendo, no caso de solos arenosos e com pedregulhos,
serem usadas como estruturas permantes. 
Uma cortina sem ancoragem resiste ao empuxo devido ao seu engastamento no solo e,
portanto, é necessário existir um comprimento mínimo de embutimento da estacano solo,
abaixo do fundo da escavação, que garanta o equilíbrio, com margem de segurança adequada.
A estabilidade de uma cortina de estaca prancha sem ancoragem ou em balanço é
somente devido à resistência passiva desenvolvida abaixo da superfície do terreno edo
mesmo lado da escavação. O modo de ruptura é por rotação no entorno do pontoo, conforme
mostra a fig. 5.20a, consequentemente, a resistência passiva atua tanto na frente da cortina,
acima do pontoo, como na parte posterior da cortina, abaixo do pontoo (fig 5.20b). Em
geral, adota−se para projetos uma simplificação (fig 5.20c), assumindo−se que aresistência
passiva abaixo do pontoo é representada por uma força concentrada Ep2 agindo no pontoo,
ou seja, na profundidade f abaixo da superfície do terreno, do lado da escavação.
O comprimento da ficha (f) é determinada fazendo somatário dos momentos no ponto
o igual a zero. Desta forma teremos, para um solo não coesivo (c=0):
M
o ➟ 0 Ep1 f3 ➟ Ea
h ➠ f
3
 (5.30)
Substituindo na eq. 5.30, os valores de Ea e Ep1 teremos:
132
1
2 ➡ kp➡
➢
➡ f
2
➡
f
3 ➟
1
2 ➡ ka➡
➢
➡ h ➠ f
2
➡
h ➠ f
3
kp➤ f 3 ➥ ka➤ h ➦ f 3 ➧ 0 (5.31)
O
Ea
Ep
1
Ep
2
Ea
Ep
1
Ep
2
H
 f
O
(a) (b) (c)
Figura 5.20 – Cortina de estaca prancha sem ancoragem − Solo não coesivo
O comprimento teórico da ficha (f) é obtido resolvendo a eq. 5.31, que é uma equação
do 3o grau. A favor da segurança, aconselha−se adotar o valor final da ficha 20% maior que o
calculado, assim teremos:
f
final ➟ 1,2➡ f
(5.32)
Caso o solo a ser contido apresente coesão e ângulo de atrito (c≠ 0, φ ≠ 0), isto
conduz a um diagrama de pressões como o apresentado na fig. 5.21. Desta forma, cabe
ressaltar que, aqui são válidas todas as considerações já mencionadas no cálculode tensões
horizontais conforme prevê as teorias clássicas. Outro ponto digno de nota, é referente à
presença de nível d’água. Caso o nível de água esteja na mesma posição nosdois lados da
cortina, a distribuição de pressão neutra será hidrostática e balanceada, consequentemente,
poderá ser desconsiderada para fins de cálculo. Caso contrário, isto é, a água esteja apenas um
lado da cortina. o efeito do empuxo hidrostático deve que ser considerado.
O
 
Ea
Ep
1 Ep
2
 h
f
O
 z
o
➨ 2c➩ ka
2c➩ kp
➫ ➩ f ➩ kp➭ 2c➩ kp ➫ ➩ h➭ f ➩ ka➨ 2c➩ ka
Figura 5.21 – Cortina de estaca prancha sem ancoragem − Solo com coesão e ângulo de
atrito.
➯✫➲⑩➳✟➲❷➵✟➲ ➸❋➲➓➺❺➻✿➼➊➽●➾➔➚➄➪❵➶❡➹✱➚➄➘➈➻✿➼➈➪❵➴◆➪❘➶
133
A utilização de ancoragens, permite uma redução das deformações laterais, dos
momentos solicitantes e da profundidade de cravação da estaca. Pode ser utilizado uma ou
mais linhas de tirantes. De uma maneira geral, as estacas prancha são cravadas no solo até a
profundidade fixada em projeto e em seguida procede−se a escavação em estágios, quando
vão sendo colocados os elementos de suporte adicionais (estroncas, tirantes, etc).
A estabilidade das cortinas ancoradas é devido à resistência passiva desenvolvida na
frente da estaca e devido a força de ancoragem do tirante. 
Existem dois métodos clássicos de cálculo de cortinas ancoradas, que são: cortinasde
extremidade livre (fig. 5.22a) ou de extremidade fixa (engastada) (fig. 5.23a). Cadaum destes
métodos será apresentado a seguir.
➪➷➞■➺➬➻✿➼➊➽●➾➔➚➄➪❘➶②➴❤➮❍➮✏➱↕➽❷➼➊➮✏✃❐➾➔➴❒➪❵➴❤➮❡❮✦➾➂❰❵➼➊➮
Para o cálculo, admite−se que as estacas correspondem a vigas verticais sobredois
apoios, sendo um a ancoragem e o outro a reação do solo na frente da ficha. Nesse método de
analise é assumido que a profundidade de embutimento da estaca, abaixo do nível da
escavação, é insuficiente para produzir a fixação da mesma. Dessa forma, a estaca é livre para
girar na parte inferior e o diagrama de momento obtido tem a forma apresentada na fig.
5.22b. O modo de ruptura é por rotação em torno do ponto de aplicação da ancoragem (T) e
em projetos é essencial assegurar que os momentos estabilizantes disponíveis excedam os
momentos instabilizantes, por uma margem de segurança adequada.
O
T
 
O
T
f
 h
 h
1
Ea
Ep f
O
T
 h
 h
1
(a) (b) (c)
Figura 5.22 – Cortina de estaca prancha ancorada − extemidade livre.
A profundidade de embutimento da estaca, ou seja, a ficha, é determinada fazendo o
somatório dos momentos, em relação ao ponto de aplicação da ancoragem igual a zero.
Assim, para um solo não coesivo, temos:
M
T ➟ 0 Ep 23 ➡ f ➠ h Ï h1 ➟ Ea
2
3 ➡ h ➠ f Ï h1 (5.33)
Substituindo−se na eq. 5.33, os valores de Ea e Ep, chegaremos a uma equação de 3o
grau, que resolvida, nos permite encontrar o valor da ficha(f). Uma vez determinada a ficha,
a força no tirante pode ser calculada, visto que a soma algébrica das forças horizontais deve
ser igual a zero. Assim, temos:
F
h ➟ 0 T ➠ E p Ï Ea ➟ 0 (5.34)
134
Neste caso, também se recomenda acrescer o valor da ficha calculado de 20%.
Ð ➞❊➺❺➻✿➼➊➽●➾➔➚➄➪❵➶❡➴❤➮❍➮●➱✟➽❷➼➊➮✏✃❐➾➔➴◆➪❘➴❤➮ÒÑ✄➾➂➱❵➪
Este método de análise é utilizado quando a parte cravada da cortina é suficiente para
considera−la engastada no terreno. Assim, para efeito de cálculo, considera−se a estaca
apoiada no topo (ponto de aplicação de T) e engastada na extremidade inferior, pontoa (fig.
5.23a). Para tanto, é preciso que os pontosa e T sejam o mais rígidos possíveis. Na prática,
isto é conseguido por meio de uma ancoragem adequada, no ponto T e, no pontoa, fazendo
as pressões ativas iguais às pressões passivas (ppa=paa). Desta forma, obtém−se o valor de x:
pp
a ➟ paa x ➟ pb➢
➡ kpÏ ka
(5.35)
T
 x
 h
 y
 f
 h
1
 a
 b
O
 
 pb
Pp
O
T
 . a Pa
 x
 h
 y
 f
R
f
. g
 c
 d e
a) (b)
Figura 5.23 – Cortina de estaca prancha ancorada − extemidade fixa.
Como pode ser observado na fig. 5.23, os empuxos abaixo do pontoa, isto é, referente
ao trechoy, não podem ser obtidos, uma vez quey é uma incógnita. Assim adota−se uma
simplificação, a qual consiste em admitir a existência de uma força resultante R, na linha do
apoioa, que equilibre o sistema, (empuxos passivos e ativos no trechooa). A força R atua no
centro de rotaçãoa, não influindo, portanto, no equilíbrio de momentos. Dessa forma,
tomando−se somatório dos momentos em relação ao ponto de aplicação de R igual a zero,
obtém −se o esforço no tirante (T). Em seguida, fazendo−se equilíbrio das forças horizontais,
encontra−se o valor de R, conforme mostra a eq. 5.36.
T ➠ R ➠ Ep➟ Ea (5.36)
A estabilidade do pontoa é assegurada aprofundando−se a cravação da estaca no solo
de um valor igual ay, o qual pode ser determinado pela eq. 5.37, a qual é obtida tomando−se
somatório dos momentos devido à força R e aos empuxos passivos e ativos no trecho oa.
y ➟ 6R➢
➡ kpÏ ka
(5.37)
135
O comprimento da ficha é dado pela eq. 5.38. É conveniente aumentar este valor de
20 a 40%.
f ➟ x ➠ y (5.38)
➯✫➲⑩➳✟➲ Ó❃➲✄Ô❺➶✔➘➈➪❵❰❘➪❵Õ➈Ö◆➮✏➶×➮➆Ô❺➶✁➘➈➻✿➼➈➪❵✃❐➮✏➚②➽❷➻✡➶
As escavações com escoramentos são normalmente utilizadas em obras subterrâneas
(metrôs, galerias, túneis), valas para instalação de sistemas de águas pluviais, esgotos,
adutoras e sub−solos de edifícios. Os escoramentos compõem−se, de um modo geral, dos
seguintes elementos: paredes, longarinas, estroncas e tirantes (fig. 5.24). Parede é a parte em
contato direto com o solo a ser contido, podendo ser formada por materiais como madeira,
aço ou concreto. As paredes podem ser flexíveis ou rígidas. No primeiro tipo enquadram−se
as cortinas de estacas prancha e similares e no segundo as paredes diagrama. Longarina é o
elemento linear, longitudinal, em que a parede se apóia. Estroncas ou escoras sãoelementos
de apoio das longarinas. Dispõem−se, portanto, no plano vertical das longarinas, sendo
perpendiculares às mesmas e podem ser constituídas de barras de madeira ou aço (fig. 5.24a).
Escoras ou estroncas
Viga de 
solidarização 
Escoras 
inclinadas
(a) (b)
Ancoragem
Tirante
 
(c)
Figura 5.24 – Escoramento de escavações.
As estroncas são elementos submetidos à compressão e ao peso próprio. Em
escavações estreitas, os momentos devidos ao peso próprio são pequenos, porém em
escavações largas isso pode ter grande interferência, sendo necessário pensar em apoios e
136
contraventamentos para essas estroncas, o que diminui o espaço útil dentro da escavação.
Nestas situações, tem−se utilizado tirantes ancorados no terreno (fig. 5.24c). Outra alternativa
mais simples, consiste na colocação de escoras inclinadas e apoiadas no fundo da escavação.
(fig. 5.24b). Tirantes são elementos lineares introduzidos no maciço contido e ancorados em
profundidade por meio de um trecho alargado, denominado bulbo, os quais trabalham a
tração (fig 5.24c) Uma vez definido o tipo de parede, deve−se definir o tipo de escoramento a
empregar. O mais comum é utilizar estroncas, porém devido a problemas tais como largura da
vala, circulação interior e deslocamentos da parede pode−se optar por tirantes ancorados no
solo.
A conjugação de perfis metálicos (H ou I) com pranchões de madeira, suportados por
estroncas a diferentes profundidade, é um dos tipos de escoramento flexível mais utilizado.
Na fig. 5.25, estão apresentados, em planta e corte, esquemas de implantação desse tipo de
estrutura de arrimo.
Figura 5.25 – Escoramento com estaca e pranchões de madeira. Modificado de
Gaioto, 1993.
Como visto, o escoramento é normalmente usado para suportar as paredes das
escavações, sendo a estabilidade assegurada por meio de estacas ou escoras agindo
transversalmente a escavação (figs 5.24 e 5.25). A estaca é, inicialmente, cravada no terreno.
Em seguida, inicia−se a escavação, que prossegue até a colocação do primeiro nível de
estroncas. Quando o primeiro nível de estroncas é instalado, a profundidade da escavação é
ainda pequena e, as deformações da massa de solo são praticamente nulas, portanto, oestado
original de tensões permanece praticamente inalterado (repouso). Ao prosseguir aescavação
até a profundidade do segundo nível de estroncas, a rigidez da primeira estronca impede os
deslocamentos da parte superior do escoramento, porém a profundidadeda escavação gera
esforços laterais suficientes para provocar um deslocamento dos perfis para dentro da
escavação (fig. 5.26a). Á medida que a escavação continua, mais se acentuam os
deslocamentos, de forma que quando se atinge o fundo da vala, o estado do escoramento se
encontra na posiçãoAB‘ (giro em torno do topo) e normalmente nos níveis inferiores, esses
deslocamentos são suficientes para mobilizar a situação de equilíbrio plástico ativo de
Rankine. Assim, nos escoramentos, temos uma situação de equilíbrio elástico,próximo à
superficie, e uma situação de equilíbrio plástico, a maiores profundidades e os diagramas de
137
esforços laterais têm uma forma diferente da especificada nas teorias tradicionais (fig. 5.26b).
Na parte superior desenvolvem−se pressões que mais se aproximam do repouso (portanto
mais elevadas), resultando um diagrama teórico de forma parabólica, por conseguinte, com o
máximo aproximadamente no centro da altura da parede. Esse fenômeno de transferência de
pressões de um nível que passou pela condição de ruptura, para outro nível adjacente, é
conhecido como arqueamento.
BB‘
A
1
2
3
(a) (b)
Figura 5.26 – Distribuição das pressões laterais resultantes das deformações de uma vala
escorada.
Como pode−se observar, as condições de deformação da teoria de Rankine não são
satisfeitas e, portanto, essa teoria não pode ser usada para o cálculo de esforços laterais em
valas escoradas. Segundo a teoria de Rankine, a pressão lateral sobre uma estrutura de
contenção varia linearmente com a profundidade. Entretanto, os resultados obtidos da
instrumentação instalada em escoramentos de valas tem demonstrado, frequentemente, que as
maiores pressões ocorrem à meia altura, e às vezes, na parte superior dessasestruturas. A
interpretação dessas medidas indica que distribuição de tensões está diretamente relacionada
com as deformações sofridas pela estrutura de arrimo durante o processo construtivo.
Interferem nessas deformações o tempo decorrido entre a escavação e a colocação das
estroncas, a forma de colocação das estroncas e as variações da temperatura.
O procedimento usual para avaliação dos esforços laterais em escavações com
escoramentos é semi−empírico, sendo baseado em medidas de cargas que atuavam nas
estroncas, em grande número de escavações feitas em areia e argila. A partir dos esforços
medidos, criaram−se diagramas para vários tipos de solos. Tais diagramas fornecem,
geralmente, valores conservadores. Os diagramas de esforços laterais no solomais utilizados
são devidos a Therzaghi & Peck (1967), em que os carregamentos são em função do tipo de
solo, conforme mostrado na fig. 5.27. Observar que os diagramas aparentes apresentados
referem−se exclusivamente aos esforços devido ao solo. Havendo água e/ou sobrecarga a sua
contribuição também deve ser levada em conta.
O esforço lateral em solos arenosos, segundo Terzaghi & Peck, apresenta uma
distribuição uniforme e constante e vale 0,65 vezes o valor obtido pela teoria de Rankine
(0,65.ka.γ.h). Já em solo argiloso, o comportamento da escavação depende do valor do
número de estabilidade (N=γ.H/c), onde c é a coesão da argila adjacente à escavação. Se o
número de estabilidade é menor que 4 (N<4), a argila adjacente à escavação deve estar em
equilíbrio elástico e para essa condição, Terzaghi & Peck recomendam a utilização do
diagrama da fig.5.27b . Se N>4, uma zona de plastificação pode ser esperada próxima da base
da escavação e o diagrama da fig. 5.27c deve ser usado. Em geral o valor dem na fig. 5.27c
138
deve ser tomado como unitário (um), entretanto, em casos de argilas moles normalmente
consolidadas m=0,4 (isto quando γ.h/c >4).
AREIA ARGILA RIJA FISSURADA ARGILA MOLE A MÉDIA
0,65 ka. γ. H
H
 
0,2 a 0,4. γ. H
H
0,25 H
0,25 H
0,50 H
 
K‘ γ. H
H
0,25 H
0,75 H
k’ Ø 1Ù m 4cÚ H
(a) (b) (c)
Figura 5.27 – Diagrama de esforços laterais para dimensionamento dos elementos
de escavações escoradas.
No dimensionamento estrutural dos perfis, pode−se considera−lo como uma viga
contínua com a parte superior em balanço e intermediariamente apoiado nas estroncas e a
parte inferior em balanço ou com as condições de apoio determinadas pela profundidade de
embutimento do perfil (ficha). Um processo rápido para determinação dos esforços sobre as
estroncas está representado na fig. 5.28.
Pb
Pa
P
Q
Qu
 lj
 lu
 ln
 li
 . li/2
 . ln/2
 . lj/2
 . lu/2
1o. apoio
apoio (i)
apoio (u)
Pb, Pa, P, Q, Qu... 
resultantes das forças 
devido às tensões nas 
áreas indicadas
 
Forças nas estroncas
na primeira: P1 = Pb+Pa
na intermediária: Pi = P
na última: Pu = Q/2+Qu
Figura 5.28 – Processo simplificado para determinação dos esforços nas estroncas.
➯✫➲⑩➳✟➲ Ó❃➲➑Û✢➲✄Ô➬➶❼➽❷➪ Ð ➾✤❮✦➾➔➴❒➪❵➴❤➮➆➴◆➪❘➶②Ô❺➶✔➘➈➪❘❰❵➪❘Õ➈Ö➆➮✏➶❡Ô➬➶✔➘➈➻✿➼➈➪❵➴◆➪❘➶
Além do cálculo estrutural das partes componentes do escoramento, é necessário
realizar verificações, tais como: profundidade de embutimento da ficha, estabilidade do fundo
da escavação (levantamento e piping), escorregamento de todo o sistema, deslocamento da
parede.
a) Verificação da ficha
139
Os perfis metálicos com pranchões de madeira, não constituem, abaixo da escavação,
uma parede contínua como as estacas prancha. A resistência mobilizada pela ficha (f) se
concentra em torno dos perfis, que são cravados isoladamente, dessa forma, é necessário
verificar o empuxo passivo disponível para garantir o apoio do perfil. Uma forma de cálculo
proposta por Weissenbach, considerando perfil com aba bo =30cm e espaçamento entre perfis
L>1,50m, é dada pelas expressões:
E
p ➟ 7,0 f 2 (para areia úmida de densidade média) (5.39)
E
p ➟ 3,5 f 2 (para areia submersa de densidade média) (5.40)
Para outros tipos de solos, outras larguras de aba e espaçamento entre estacas
inferiores a 1,50m, deve−se utilizar fatores de correções nas fórmulas acima (f1, f2 e f3):
f1 (correção devido ao solo):
2,0 − Margas em blocos (c>10kN/m2)
1,5 − Areia (Dr >70%)
0,6 − Silte e argila
f
2 ➟ b30
(b= largura da aba do perfil − cm)
f
2 ➟ L1,5
(L= espaçamento entre perfis − m)
Na verificação da ficha procura−se um fator de segurança mínimo de 1,5. 
b) Ruptura do fundo
Este mecanismo de ruptura normalmente tem maior importância quando o fundo da
escavação se encontra em argila mole, não se revelando condicionante de projeto para outros
tipos de solo. O mecanismo de ruptura associado a este fenômeno pode ser assemelhadoa
ruptura de fundação direta, que está esquematizado na fig. 5.29.
Figura 5.29 – Estabilidade do fundo da escavação. Modificado de Caputo, 1981.
Nestes casos, o coeficiente de segurança da vala com relação ao mecanismode ruptura
de fundo pode ser obtido através da comparação do carregamento do lado externo da vala
140
com a capacidade de carga do solo calculada, por exemplo, através da teoria geral de
capacidade de carga de Terzaghi. Para as condições da fig. 5.29, o coeficiente de segurança é
dado por:
Fs➟
c ➡ Nc➢
➡ H ➠ q
 (5.41)
onde Nc pode ser obtido conforme sugerido por Skempton e que está apresentado na
fig. 5.30.
B
 
q
H
Figura 5.30 Fatores de capacidade de carga segundo skempton. Modificado de
Caputo, 1981.
É importante ressaltar que a ficha da parede de contenção tem atuação favorável no
sentido de aumentar o coeficiente de segurança contra a ruptura de fundo, uma vez que esta
aumenta a estabilidade pelo acréscimo de sobrecarga.
Em solos arenosos, em presença de água, o fluxo para dentro da escavação, pela base,
tenderá a promover o aparecimento de areia movediça. Há necessidade, portanto, de impedir
que as pressões neutras geradas superem o peso total de solo no fundo da escavação. O
controle da percolação de água, o aumento da ficha e a colocação de filtros são medidas que
auxiliam a garantir a estabilidade do fundo da escavação.
c) Estabilidade geral
A estabilidade de todo o sistema pode ser calculada por qualquer método de cálculo
de equilíbrio limite, normalmente empregado para avaliação da estabilidade detaludes. Nos
casos normais os valores mais aceitospara o coeficiente de segurança são 1,3 para obras
provisorias, e 1,5, para obras permanentes.
➯✫➲⑩➳✟➲ Ó❃➲ ➸❋➲✄Ô➬➶✔➘➈➪❘❰❵➪❘Õ➈Ö➆➮✏➶❡➘➈➻✡✃➛➽❷➪✟❮➔Ü◆➴❤➮✏➶
141
Nas escavações a céu aberto, é sempre mais econômico prever a execução de taludes
sem ou com bermas do que paredes verticais escoradas ou ancoradas, levando−se sempre em
consideração a resistência ao cisalhamento do solo.
A tabela 5.3 apresenta algumas indicações sobre as inclinações admissíveis do talude,
em função da profundidade da escavação e das características do solo (peso específico,
ângulo de atrito e coesão).
Tabela 5.3 − Sugestões de inclinações admissíveis de taludes sem escoramentos.
Solo γ
 (kN/m3)
φ
(graus)
Coesão
(kPa)
Profundidade da
escavação (m)
Inclinação do
talude
Areia muito
fina
18 22,5 10
0,0 − 3,0
3,0 − 6,0
6,0 − 9,0
9,0 − 12,0
12,0 − 15,0 
1:1,5
1:1,75
1:1,9
1:2,2
1:2,5
Silte 20 20 15
0,0 − 3,0
3,0 − 6,0
6,0 − 9,0
9,0 − 12,0
12,0 − 15,0 
1:1,5
1:1,5
1:1,8
1:2,15
1:2,5
Argila mole 19 15 25
0,0 − 3,0
3,0 − 6,0
6,0 − 9,0
9,0 − 12,0
12,0 − 15,0 
1:1,5
1:1,5
1:1,5
1:1,8
1:2,4
Argila rija 20 10 35
0,0 − 3,0
3,0 − 6,0
6,0 − 9,0
9,0 − 12,0
12,0 − 15,0 
1:1,5
1:1,5
1:1,5
1:1,8
1:2,6
Ý❒Þ✝ß◆Þ à❤Þ➔á◆Þ✒âäã✔å✢æ✧ç✼è❵é✼ê✳é✼ë✡é✼ì❅í✛ã✔î✳ï✦ê✳ð✔ë■é✼ì✫ç✼ñ✵ë■ò✛ó✧ð✁ë✿ô✡ë✿õ✁ö✿å
A escavação em solos permanece verticalmente, sem suporte, até que a profundidade
atinja a chamada profundidade crítica (Hcr). Supondo que a ruptura ocorra segundo uma
superfície plama, a altura crítica é dada por:
Hcr ➟ 4c➢ tg 45➠
÷
2
(5.42)
No caso de solo puramente coesivo (φ=0°), a altura crítica resulta em:
Hcr ➟ 4c➢ (5.43)
De acordo com Terzaghi, a altura crítica será:
142
Hcr ➟ 2,67c➢ tg 45➠
÷
2
(5.44)
Para solo argiloso (φ=0°), tem−se:
Hcr ➟ 2,67c➢ (5.45)
143
6. ESTABILIDADE DE TALUDES
➳✫➲➑Û➷➲✼ø❤➚②➽❷➼➈➻✡➴◆Ü◆Õ➈ù❘➻
As superfícies de terrenos não horizontais, conhecidas genericamente como taludes,
podem ser agrupadas em duas categorias: taludes naturais (aqueles formados pela ação da
natureza, sem interferência humana, denominados genericamente de encostas), ou artificiais
(formados ou modificados, pela ação direta do homem, com por exemplo os taludes de corte
e aterro). Graças ao desnível existente no terreno, estes taludes são submetidos a forças
gravitacionais e eventualmente de percolação, que tendem a mover o solo para baixo,
instabilizando−o. Quando a resistência do solo não é suficiente para conter a ação destas
forças instabilizantes, uma parte do terreno passa a se mover em relação aoutra, ocorrendo a
ruptura. De acordo com a velocidade de movimento da parte do solo instável, os movimentos
de terra podem ser classificados em: rastejo, escorregamento e desmoronamento.
Os rastejos são movimentos bastante lentos e contínuos que ocorrem nas camadas
superficiais do maciço, não ocorrendo necessariamente uma ruptura clássica, com separação
das massas estável e instável do solo. Os movimentos devido ao rastejo são geralmente da
ordem de alguns milímetros por ano, mas são capazes de provocar encurvamento em árvores,
deslocamento de cercas, rupturas de tubulações ancoradas na superfície do terreno,etc. A
velocidade de rastejo é afetada por diversos fatores, tais como, a geometria do talude, as
características tensão−deformação do solo, e as condições de umidade do solo, que porsua
vez são afetadas pelo clima da região. Já os desmoronamentos são movimentos rápidos,
resultante da ação da gravidade sobre a massa de solo que se destaca do restante do maciço e
rola talude abaixo, acumulando−se no pé da encosta. 
Os escorregamentos, por sua vez, são movimentos que podem ser lentos ou rápidos e
procedem do deslocamento de uma cunha de solo que se movimenta em relação ao resto do
maciço, segundo uma superfície de ruptura bem definida. A fig. 6.1 ilustra os tipos mais
importantes de superfície de escorregamento. A forma da superfície de ruptura pode ser
circular ou não circular, quando em presença de solo homogêneo e não homogêneo,
respectivamente. 
Superfície 
circular
 
Superfície 
plana
 
Superfície 
composta
Figura 6.1 − Tipos de superfícies de ruptura.
144
Taludes íngremes geralmente apresentam superfícies de ruptura plana, enquanto que
taludes suaves escorregam segundo superfícies cilíndricas. A presença de um extrato com
resistência significativamente diferente, como por exemplo a ocorrência de um extrato de solo
mole, ou de um contato rocha−solo, ou mesmo as estruturas herdadas da rocha mãe pelo solo
podem condicionar a forma e a posição da superfície de ruptura.
Os escorregamentos de taludes são normalmente causados por uma redução da
resistência interna do solo que se opõe ao movimento da massa deslizante e/ou por um
acréscimo das solicitações externas aplicadas ao maciço. Dessa forma, pode−se dizer que os
escorregamentos podem ocorrer devido a ações externas, internas ou mistas. As ações
instabilizantes externas são aquelas que alteram o estado de tensão atuantesobre o maciço,
como por exemplo o aumento da inclinação do talude, disposição de material ao longo dasua
crista e os efeitos sísmicos. Estas alterações podem resultar num acréscimo de tensões
cisalhantes que igualando ou superando a resistência intrínseca do solo levam o maciço à
condição de ruptura. As ações internas são aquelas que atuam reduzindo a resistência ao
cisalhamento do solo constituinte do talude sem mudar o seu aspecto geométrico.Estas
causas podem ser, por exemplo, o aumento da pressão na água intersticial ou o decréscimo da
coesão do solo, causado pela continuação do processo de intemperismo ou pelo aumentodo
seu grau de saturação (redução da coesão aparente do solo). O fenômeno de liquefação das
areias e a erosão interna do maciço são chamados de causas intermediárias, pois não se
enquadram em nenhuma das duas categorias descritas anteriormente. 
A ação da água tem sido uma das maiores responsáveis na ocorrência de muitos
escorregamentos de taludes. Ao infiltrar em um maciço de terra, a água, pode produzir os
seguintes efeitos potencializadores da ocorrência de deslizamentos de terra:
ú introdução de uma força de percolação, no sentido do escorregamento;ú aumento do peso específico do solo e, portanto, da componente da força da gravidade que
atua na direção do escorregamento;ú perda de resistência do solo por encharcamento;ú diminuição da resistência efetiva do solo pelo desenvolvimento das pressões neutras;
Além da água, outro agente importante na instabilização de taludes é a ação antrópica,
que pode alterar a geometria dos taludes, realizando cortes, escavações e aterros, perfurando
túneis, alterando a cobertura vegetal, etc.
Os taludes podem eventualmente por si só manterem suas conformações geométricas
estáveis. Em caso negativo, contudo, será necessário estabilizá−los. Isto requer a construção
de obras que vão desde uma simples mudança em sua geometria (retaludamento), incluindo−
se, por vezes, bermas, que além de alterar a forma geométrica permitem fazer a drenagem
superficial do maciço, até obras de contenção, abrangendo os muros de arrimo, placas de
ancoragem, os escoramentos, etc.
Nos projetos de estabilização o fundamental é atuar sobre os mecanismos
instabilizadores, eliminando as causas com obras ou medidas para melhorar a segurança. Se a
ação instabilizadora é a percolação de água no maciço, devem ser convenientes obrasde
drenagem profunda e/ou impermeabilização a montante do talude. Os efeitos de erosão
podem ser combatidos adotando proteção vegetal com gramíneas e rede de drenagem
superficial com canaletas, descidas d‘água, linhas de declive, etc. Se o deslizamento ocorrer
por efeito das forças gravitacionais, o retaludamento deve ser a primeira opção a ser pensada.
Nas obras de estabilização é importante considerar também as soluções mais simples,
às vezes, elas são as mais adequadas. As obras mais caras só se justificam quando o processo
de instabilização não pode ser controlado pelas obras mais simples ou quando as condições
geológicas e geotécnicas obrigam a utilização de obras mais complexas.145
A segurança de um maciço é usualmente quantificada através de um número, o qual é
denominado fator de segurança (FS). Através deste número, busca−se determinar a razão
entre a resistência ao cisalhamento disponível (s= c+σ tg φ) e os esforços atuantes ao longo
da superfície potencial de ruptura, ou seja:
FSû Resistência disponível
Esforçosatuantes
(6.1)
A resistência disponível na superfície de ruptura pode ser explicitada através das
forças resultantes da coesão e atrito do solo, produto dos parâmetros de resistência pela área
(A) da superfície provável de ruptura. Como veremos, alguns métodos de cálculo de
estabilidade atestam o equilíbrio dos taludes através da somatória de forças queatuam sobre
eles, assim temos:
FSû F R
F
A
(6.2)
Já em outros métodos, o FS é obtido através da razão entre os momentos devido as
forças que atuando sobre a cunha tendem a mantê−la em equilíbrio (MR) e o momento das
forças que tendem instabilizá−la (MA). Esses momentos são tomados em relação a um ponto
situado fora do talude. 
FSû M R
M
A
(6.3)
Um maciço com fator de segurança igual à unidade está na condição de equilíbrio
limite, ou seja, os esforços atuantes são iguais à resistência disponível. Em outras palavras,
este maciço está na iminência de ruptura. Por outro lado, do ponto de vista conceitual, taludes
com fator de segurança acima da unidade são seguros e abaixo da unidade “deveriam” ter
rompido. É importante ressaltar que tanto a quantificação da resistência do maciço como a
quantificação dos esforços atuantes admitem simplificações e erros. Como oproblema admite
erros, deve−se trabalhar a favor da segurança. Dessa forma, a fração do fatorde segurança
que ultrapassa a unidade é um artifício para substituir as incerteza e fenômenos quenão
possam ser levados em conta na análise. 
O cálculo da estabilidade dos taludes de terra pode consistir, por exemplo, na
determinação do ângulo de inclinação sob o qual o talude mantém−se em equilíbrio plástico,
logicamente considerando as condições peculiares de cada talude e a influência das pressões
neutras provenientes da submersão, percolação, adensamento ou deformações de
cisalhamento. Isto se dará, se em todos os pontos do maciço taludado, as tensões de
cisalhamento igualarem as resistências ao cisalhamento. O talude existente será considerado
estável se o seu ângulo de inclinação for menor, dentro de certa segurança, que o talude de
equilibrio calculado; e instável no caso contrário.
ü✫ý þ❃ý✄ÿ✁�✄✂✆☎✞✝✟☎✞✠✡✝☞☛✍✌✏✎✍✑✓✒✕✔✖✠✗☛✘✝☞☛✙☛✚✠✗✂✆✌✏✛✘✔✜✒✕✔✖✝✢✌✏✝☞☛
As análises da estabilidade de um talude são usualmente realizadas segundo a
abordagem do equilíbrio limite, que é uma ferramenta da teoria da plasticidade para análises
de corpos rígidos que admite como hipóteses: 
146
✣ Existência de uma superfície de escorregamento de forma conhecida (plana, circular,
espiral−logarítmica ou mista), que delimita, acima dela, a porção instável do maciço. Esta
massa de solo instável, sob a ação da gravidade, move−se como um corpo rígido;✣ Emprego do critério de resistência de Mohr−Coulomb ao longo da superfície de ruptura
pré−fixada;
As análises de estabilidade são feitas no plano, considerando−se uma seção típica do
maciço situada entre dois planos verticais e paralelos de espessura unitária.Estuda−se o
equilibrio da porção do solo acima da superfície de ruptura pré fixada, assumindo −seos
valores das forças atuantes e calculando−se a força de cisalhamento resistente necessária. Esta
força necessária é comparada com a resistência ao cisalhamento disponível,o que resulta num
coeficiente de segurança. Para que ocorra a ruptura é necessário que a soma das forças (ou
dos momentos), que tendem a produzir o escorregamento, superam ou igualem a soma das
forças (ou dos momentos) resistentes, devidas à resistência ao cisalhamento do solo ao longo
da superfície em análise.
Apresenta−se nos próximos itens os principais métodos de análise de estabilidade de
taludes desenvolvidos a partir dos conceitos de equilíbrio limite. A maioria dessesmétodos
quantificam o fator de segurança ao longo de uma dada superfície por uma função de cálculo
e, através de um algoritmo de busca, localiza a superfície de menor FS.
ü✫ý þ❃ý✥✤❋ÿ✁�✥✂✆☎✦✝✢☎✧✝✢☎★✂✆✌✓✒✪✩✢✝☞☛✡✔✖✎✍✫✗✔✖✎✙✔✜✂✆☎
Um talude é considerado infinito quando a relação entre as suas grandezas
geométricas, extensão e espessura, for muito grande. Nestes taludes, a superfície de ruptura é
admitida como sendo paralela á superfície do terreno. 
Para analisar a estabilidade de um talude considerado infinito (fig. 6.2), inclinado de
um ânguloi com a horizontal e profundidadeh, consideremos um elemento isolado desse
talude e as tensões que atuam sobre as três faces deste elemento.
NT
W
h
1
 h
.i
b
N
T
A
C
D
B
U
 bo
F
e
F
d
 h
w
=h
1
.cos2 (i)
Figura 6.2 − Talude infinito com percolação de água.
O nível de água é paralelo á superficie do terreno. Assim, quando há percolação de
água através do maciço, assume−se uma rede de percolação constituída de linhas de fluxo
paralelas ao talude e as equipotenciais perpendiculares à ele. As forças nas duas faces
verticais são iguais e se equilibram, pois se assim não fosse, as tensões emplanos verticais
dependeriam da posição ao longo do talude, o que seria contrário à hipótese de que todo o
147
talude se move como uma só massa. Assim, somente as tensões na face BD, devem ser
consideradas, juntamente com o peso, no equilibrio do elemento de solo. As tensões induzidas
pelo peso da cunha ABDC sobre a face BD tem como força resultante W, que atua
verticalmente no ponto médio do segmento BD. A esta força se opõe a reação do resto do
maciço sobre a cunha, R, que por ser a única força vertical deve ter o mesmo ponto de
aplicação de W. As forças de empuxo lateral (Fe e Fd), são iguais e tem a mesma linha de
ação. Para o elemento considerado temos:
✣ Força peso:
W û h ✬ h
1 ✭✯✮ b ✰ h1 ✮ b ✮✕✭ sat (6.4)
✣ Componente normal da força peso: 
N û W ✮ cos i û h ✬ h1 ✮✜✭✱✮ b ✰ h1 ✮ b ✮✲✭ sat ✮ cos i (6.5)
✣ Componente cisalhante da força peso:
T û W ✮ sen i û h ✬ h1 ✭✳✮ b ✰ h1 ✮ b ✮✕✭ sat ✮ sen i (6.6)
✣ Tensão normal na base do elemento:
✴
n
û N
BD
 mas como, BD û b
cos i
, então temos:
✴
n
û ✭✳✮ b ✮ h ✬ h1 ✰ h1 ✮ b ✮✕✭ sat ✮ cos
2 i
b
✵ ✭✳✮ h ✬ h1 ✰ h1 ✮✕✭ sat ✮ cos2 i
(6.7)
✣ Tensão cisalhante na base do elemento, eq. 6.8:
✶ û T
BD
û ✭✱✮ b ✮ h ✬ h1 ✰ h1 ✮ b ✮✜✭ sat ✮ cos i ✮ sen i
b
✵ ✭ h ✬ h1 ✰ h1 ✮✜✭ sat cos i ✮ sen i
✣ Pressão neutra na base do elemento:
u
✭ w
û h
w
û h
1 ✮ cos2 i ou u û ✭ w ✮ h1 ✮ cos2 i (6.9)
As pressões neutras que atuam no elemento de solo ABCD estão representadas na fig.
6.2. Note−se que no elemento da fig. 6.2, a resultante dessas pressões na face AB éigual e
oposta à face CD, restando apenas as pressões na face BD, cuja resultante vale:
U û u ✮ BD û ✭ w ✮ h1 ✮ BD ✮ cos2 i (6.10)
mas como BD û b
cos i
, podemos escrever a eq. 6.11.
148
U û ✭ w ✮ h1 ✮ b ✮ cos i (6.11)
✣ Resistência ao cisalhamento ao longo do plano de ruptura, em termos de tensão
efetiva:
✶
f
û c’ ✰ ✴ ✬ u ✮ tan ✷ ’ (6.12)
Para que ocorra o escorregamento é necessário que as tensões cisalhantes devidoà
força peso (τ) se iguale à resistência ao cisalhamento (τf) do solo ao longo de BD. Assim,
podemos escrever:
FSû
✶
f✶ û
c’ ✰ ✭✱✮ h ✬ h1 ✰ h1 ✮✜✭ sat ✮ cos2 i ✬ ✭ w ✮ h1 ✮ cos2 i ✮ tan ✷ ’
✭✯✮ h ✬ h1 ✰ h1 ✮✕✭ sat ✮ sen i ✮ cos i
(6.13)
Esta equação pode ser reescrita sobre a forma da eq. 6.14.
FSû c
’ ✰ ✭✯✮ h ✮ cos2 i ✬ ✭✳✮ h1 ✮ cos2 i ✰ ✭ sat ✮ h1 ✮ cos2 i ✬ ✭ w ✮ h1 ✮ cos2 i tan ✷ ’
✭✳✮ h ✬ h1 ✰ h1 ✮✕✭ sat ✮ sen i ✮ cos i
FSû c
’
✭✱✮ h ✬ h1 ✰ h1 ✮✜✭ sat ✮ sen i ✮ cos i
✰ ✭✳✮ h ✬ h1 ✰ ✭ sub✮ h1 ✮ tan ✷
’
✭✳✮ h ✬ h1 ✰ ✭ sat ✮ h1 ✮ tan i
(6.14)
A equação acima é uma expressão geral que fornece o valor do fator de segurança para
a situação mais completa. As soluções particulares podem ser obtidas a partirdela fazendo
nulos os termos não participantes, ou substituindo adequadamente os termos. 
No caso de talude constituído de solo não saturado e comcoesão, o γsub e γsat devem ser
substituídos por γ. Após simplificações dos termos, obteremos a eq. 6.15. 
FSû c
’
✭✳✮ h ✮ sen i ✮ cos i
✰ tan ✷
’
tan i
(6.15)
No caso de solo não saturado e não coesivo (c’=0), então teremos o coeficiente de
segurança dado pelo eq. 6.16.
FSû tan ✷
’
tan i
(6.16)
No caso de solo saturado (nível de água coincidente com a superfície do terreno) e não
coesivo (c’=0), o fator de segurança do talude será determinado pela eq. 6.17, obtida apartir
das devidas substituições na eq. 6.14.
FSû ✭ sub✮ tan ✷
’
✭ sat ✮ tan i
(6.17)
149
É importante observar que, nos casos de solo não coesivo (c’=0), o fator de segurança
não depende da profundidade h. Na eq. 6.16, nota−se, também, que para ocorrer
escorregamento é necessário que o ângulo de atrito do solo seja inferior ao do talude (φ < i). 
✸✺✹ ✻✼✹ ✻✾✽❀✿❂❁✕❃❅❄✞❃❆❄✞❃❆❇✄❈❊❉❋❇✥●■❍✆❃❆❄✞❏✍❑▲❁✕❉◆▼❊❁✕❃
O método do círculo de atrito, ou método de Taylor, admite superfície de ruptura
circular e analisa a estabilidade do corpo rígido formado pelo solo situado acima desta
superfície. Traçando−se uma superfície potencial de ruptura circular com centro O e raio r
(fig. 6.3), verifica−se que a cunha de ruptura, AEB, está sob a ação das seguintes forças:
Figura 6.3 − Método do círculo de atrito. Modificado de Caputo, 1981.
• força peso (W) da massa que tende a deslizar, com direção, sentido, módulo e ponto de
aplicação conhecidos;
• força de atritoF, cuja direção faz um ânguloφcom a normal à superfície de deslizamento
e portanto tangência um círculo de centroO e raio r.sen(φ). O módulo de F é
desconhecido;
• força resultante da coesão do solo (C) que se desenvolve ao longo da superfície de ruptura
e que constitui do produto da coesão do solo pelo comprimento do arco de AB, isto é
C=c.L. A resultanteC tem sentido de atuação conhecido e direção da corda AB. O ponto
de aplicação dista do centroO de um valora, determinado considerando−se a igualdade
entre o momento resultante e o momento da resultante, dado pela expressão:
a û r ✮ LLc (6.18)
onde, Lc é o comprimento da corda AB.
150
Para haver equilíbrio, estas três forças devem concorrer em um mesmo ponto (M),
interseção de W com C. Torna−se, assim, possível, pelo traçado do polígono de forças (W, F e
Cm), determinar−se a forçaCm e, conseqüentemente, a coesãocm necessária para que o talude
esteja em equilíbrio. Comparando−a com a coesão existentec, tem−se fator de segurança em
termos de coesão para o círculo estudado:
FS
c
û c
c
m
(6.19)
Pode−se, também, adotando um valor deφm menor que oφ do solo, definir um fator
de segurança em relação ao atrito:
FS❖➆û tan ✷
tan ✷
m
(6.20)
O fator de segurança para o círculo estudado é definido por um valor deFSc = FSφ.
Deve−se ressaltar que para se definir o fator de segurança do maciço é necessário realizar
uma busca da superfície crítica, a qual deve conduzir para o meno valor de F.S. possívelpara
a configuração geométrica considerada.
Utilizando um processo matemático de tentativas, Taylor, baseado no método do
círculo de atrito, elaborou dois gráficos que correlacionam o número de estabilidade (N) com
o ângulo de inclinação do talude. As hipóteses embutidas nas soluções apresentadas são:
talude homogêneo e sem percolação de água (análise em termos de tensões totais), superfície
de ruptura cilíndrica e envoltória de resistência do soloτ=c+σ tanφ. Os gráficos elaborados
por Taylor são apresentados nas fig.s 6.4 e 6.5. Na fig. 6.4 temos o caso do círculo deruptura
passando pelo pé do talude, já na fig. 6.5, temos o caso de rupturas profundas em argilas
moles (φ=0).O emprego destes gráficos é alto explicativo e existem esquemas indicando qual
o caso a que pertence cada talude e quais as curvas que deverão ser utilizadas. Para a
utilização do gráfico da fig. 6.4, calcula−se, primeiramente, o número de estabilidade (N),
definido como:
N û cm
✭✯✮ H
(6.21)
onde: cm é coesão mobilizada (cm=c/FS), c é a coesão do solo,γ é o seu peso específico
do solo e H é a altura do talude.
Com o número de estabilidade e com o ângulo de atrito do material, encontra−se no
gráfico, o taludei estável. Pode−se, inversamente, a partir do talude existente e do ângulo de
atrito disponível, calcular o valor de N’ necessário para a sua estabilidade.Se o valor de N
disponível for maior que o N’ necessário a estabilidade do talude está assegurada.
O gráfico da fig. 6.5 permite o cálculo da estabilidade de taludes em terrenos moles
(caracterizados porφ =0, indicando a hipótese de carregamento rápido do solo, sem a
possibilidade de dissipação das pressões neutras) e em duas situações definidas pelos
esquemas apresentados ao lado deste gráfico. Se a superfície de ruptura for limitada por uma
camada mais resistente a uma profundidade D+H, deverão ser utilizadas as linhas cheias do
gráfico. No caso da superfície de ruptura passar pelo pé do talude, utilizam−seas linhas
tracejadas. Quando a camada resistente encontra−se ao nível da base do talude ouacima, a
superfície de ruptura passará acima do pé do talude. Neste caso, a solução pode serobtida
usando−se as curvas tracejadas.
151
Figura 6.4 − Gráfico de Taylor − Ruptura pelo pé do talude. Modificado de
Venkatramaiah, 1993.
Figura 6.5 − Gráfico de Taylor − Rupturas profundas. Modificado de Caputo, 1985.
152
O método de Taylor fornece valores razoavelmente aproximados de fator de segurança
para os casos em que as condições de campo se aproximam das condições idealizadas pelo
método: solo homogêneo sem a presença de água. Para situações de campo mais elaboradas,
com diferentes camadas e presença de água, deve−se lançar mão de métodos mais elaborados,
como por exemplo o método das fatias, que veremos a seguir.✸✺✹ ✻✼✹ P◗✽❀✿❂❁✕❃❅❄✞❃❆❄✞❑✏❘❚❙✄❑✏❁✜▼❊❑✏❘
Os métodos das fatias são os mais aplicados a problemas práticos, principalmente por
sua flexibilidade em analisar problemas com diversas camadas de solos com propriedades
diferentes, variação da resistência em uma mesma camada, diferentes configurações de
pressão neutra, diversas formas de superfície de ruptura, etc. Estes métodos são assim
denominados por dividirem a massa de solo acima da superfície de ruptura em fatias, como
ilustrado na fig. 6.6, para efeito de integração numérica. Nesta figura, estão apresentados os
esforços atuantes em uma fatia genérica e o equilíbrio de forças nessa fatia. Tais forças são:
✣ Peso total da fatia W;✣ Força normal na base da fatia,N, (N=σ.bo). Em geral, essa força tem duas componentes, a
força normal efetivaN’ , (N’=σ’.bo) e força devida à pressão neutraU, U=u.bo, ondeu é a
pressão neutra no centro da base da fatia e bo é o comprimento da base;✣ Força cisalhante na base da fatiaT, (T = τ i bo), ondeτ ι é a tensão cisalhante na base da
fatia e bo é o comprimento da base da fatia).✣ Componente vertical da força lateral Xi, Xi+1✣ Componente horizontal da força lateral Ei, Ei +1. 
Como pode observar qualquer força externa pode ser incluída na análise de equilíbrio
da fatia e a superfície de ruptura pode ter uma forma qualquer: circular (método de Bishop,
Fellenius), mista (método de Janbu).
❯❲❱ ❳❨❱ b
h
 
❩ ❬
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❩ ❬ ❪❴❫ ❵ ❬
❛❝❜
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Figura 6.6 − Método das fatias: superfície de ruptura e esforços envolvidos.
Modificado de Geo−Slope (1999).
O fator de segurança é definido como a razão entre a tensão cisalhante de ruptura ea
tensão cisalhante atuante na base de cada fatia.
FSû ✶
r
i✶
m
i
û ci
’ ✰ ✴
i
’ ✮ tan ✷ i’✶
m
i
(6.22)
153
Note−se que a definição do fator de segurança envolve apenas os esforços na base da
fatia, como pode ser observado na fig. 6.6. A maioria dos métodos das fatias admite o fator
de segurança como constante ao longo da superfície de ruptura. Isto implica em considerar
um valor de fator de segurança representativo da segurança de toda a superfície, ou seja, o
valor do fator de segurança deve funcionar como uma espécie média. A divisão do maciço em
fatias é apenas para facilitar o processo de integração numérica.
Para determinar o valor do fator de segurançautilizam−se os fundamentos da estática,
ou seja, o equilíbrio de forças nas duas direções e o equilíbrio de momentos, além docritério
de ruptura de Mohr−coulomb. 
Para uma superfície potencial de ruptura qualquer, dividida emn fatias, o problema é
indeterminado, pois tem−se 3n equações de equilíbrio e 6n−3 incógnitas, como apresentado a
seguir:
Equações Incógnitas
n equilíbrio de forças horizontais n força normal na base da fatia (N)
n equilíbrio de forças verticais n força cisalhante na base da fatia (T)
n equilíbrio de momentos n ponto de aplicação da normal (N)
 n−1 força horizontal interfatias (Ei)
 n−1 forca vertical interfatias (Xi)
 n−1 ponto de aplicação de Ei
3n: equações 6n−3: incógnitas
Para resolução do sistema, adota−se geralmente as seguintes hipóteses:
✣ Caso a fatia seja suficientemente delgada, pode−se admitir o ponto de aplicação de N, no
centro da base da fatia. Com isso passamos a ter 5n−3 incógnitas e 3n equações.✣ A tensão cisalhante na base da fatia pode ser obtida em função dos parâmetros de
resistência do solo e de um fator de segurança, conservado constante ao longo de toda a
superfície de ruptura. Assim teremos mais uma incógnita (Fs) e mais uma equação
(τ=c´+σ‘ tan φ‘), resultando em 5n−2 incógnitas e 4n equações.✣ Existe uma relação entre os esforços normais e tangenciais nas laterais dasfatias a qual
pode ser definida por uma função f(x) multiplicada por uma constante,λ, que funciona
como um tipo de fator de escala da função f(x), onde x indica a posição ao longo da
superfície de ruptura:
X
i
E
i
û❡❞ ✮ f x (6.23)
onde,λ: constante relacionada com a inclinação das forças resultantes nas lateraisdas
fatias; f(x): função empírica de modificação da inclinação das forças entre as fatias. Temos
agora: n−1 equações e uma incógnita (λ), o que resulta em 5n−1 equações e incógnitas,
fazendo portanto o sistema estaticamente determinado.
Vários autores propuseram soluções para este problema adotando hipóteses
simplificadoras diferentes, o que acabou resultando em diferentes métodos de análise,
conforme veremos a seguir. Algumas destas soluções não atendem a todas equações de
equilíbrio.
154
✸✺✹ ✻✼✹ P☞✹✆❢❣✽❀✿❤❁✜❃❅❄✞❃❆❄✦❏✍✐❥❏❤❍❊❍❊❏❤❦✞▼✆●■❘
Uma das primeiras soluções do tipo método das fatias foi proposta por Fellenius, o
qual admitiu que as forças entre fatias são iguais e opostas, ou seja os esforçosinterfatias são
desprezados. O fator de segurança é determinado diretamente pelo equilíbrio de momentos
em torno do centro geométrico do círculo estudado. O equilíbrio de forças não é garantido.
Consideremos o caso mais genérico de taludes com percolação de água. O valor da
pressão neutra ao longo da superfície de ruptura é obtido traçando−se a rede de percolação e,
em cada ponto desta superfície, toma−se o valor da carga piezométrica, hw. Após adivisão
do maciço em fatias, pode−se determinar o peso (W) de cada fatia, que é decomposto em sua
base, em uma força tangencial (T) e uma normal (N). Desprezando as forças laterais entre as
fatias (E, X) pode−se determinar o equilíbrio de momentos em torno do centro geométrico do
círculo. Desta forma, fazendo o equilíbrio de momentos resistentes temos (ver fig 6.6):
Mr û T
r ✮ R û bo✮ c’ ✰ ✴ ’ ✮ tan ✷ ’ ✮ R û R c’ ✮ bo✰ N’ ✮ tan ✷ ’ (6.24)
A eq. 6.24 envolve a força normal efetiva atuante na base da fatia, que é dada por:
N ’ û N ✬ U û W ✮ cos ❧ ✬ u ✮ bo (6.25)
Do equilibrio de momento devido às forças atuantes obtém−se:
Ma û T
m ✮ R û R ✮ W ✮ sin ❧ (6.26)
Sendo o fator de segurança de Fellenius dado pela relação entre momentos resistentes
e atuantes, então podemos escrever a eq. 6.27.
FSû { c
’ ✮ bo ✰ W ✮ cos ❧ ✬ u ✮ bo ✮ tan ✷ ’ }
W ✮ sin ❧
(6.27)
Havendo qualquer esforço externo ao talude, como por exemplo uma sobrecarga ou
uma berma em uma região que englobe a superfície de ruptura analisada, considera−se asua
interferência incluindo−o no somatório dos momentos, instabilizantes, Ma. No caso de
maciços heterogêneos, constituídos de dois ou mais solos, considera−se os diferentespesos
específicos no cálculo do peso da fatia e utiliza−se para cada trecho da superfície de ruptura a
envoltória de resistência ao cisalhamento do solo da base. 
A determinação do coeficiente de segurança é feita por tentativas, pesquisando−se uma
série de círculos, com diferentes centros. Para cada centro, deve−se tambémcalcular os
coeficientes de segurança para diferentes raios. A pesquisa do centro do círculo que
representa o coeficiente de segurança mínimo é feita considerando uma malha de pontos
equidistantes, que permitem o traçado de isolinhas de igual coeficiente de segurança, em
torno do valor mínimo (fig. 6.7).
155
1.757
Figura 6.7 − Busca da superfície crítica (F.S. mínimo). Modificado do Geo−slope
(1999).
✸✺✹ ✻✼✹ P☞✹ ✻♠✽❀✿❤❁✜❃❅❄✞❃❆❄✦❏✍♥♦▼❊❘◆♣✦❃rq
O método proposto por BISHOP (1955), conhecido como método de Bishop
simplificado, admite, para uma superfície circular, que não existem esforços cisalhantes
interfatias (X), somente esforços normais (E), (ver Fig. 6.6). O fator de segurança é
determinado tomando−se o somatório de momentos, em torno do centro geométrico do
círculo estudado, e garantindo que este somatório seja igual a zero. O método garante ainda o
equilíbrio de forças na vertical. Fazendo−se o equilibrio de momentos chega−se na eq. 6.28,
idêntica à eq. 6.27, obtida do método de Fellenius,
FSû { c
’ ✮ bo✰ W ✮ cos ❧ ✬ u ✮ bo ✮ tan ✷ ’ }
W ✮ sin ❧
(6.28)
Para este caso, porém, o valor de N’ (N’= W. cosα−u.bo), utilizado no método de
Fellenius, é substituído pelo valor obtido fazendo−se o equilibrio das forças na direção
vertical. Assim temos:
W ✰ X
i
✬ X
i s 1 û Tm ✮ sin ❧ ✰ N’ ✮ cos ❧ ✰ u ✮ bocos ❧ (6.29)
sendo: Tm a força devido à resistência ao cisalhamento mobilizada, a qual é dada por:
T
m
û c
’ ✮ bo✰ N ’ ✮ tan ✷ ’
FS
(6.30)
Substituindo a eq. 6.30 em 6.29 e rearranjando de tal forma a explicitar N’, obteremos
a eq. 6.31.
156
N ’ û
W ✰ X
i
✬ X
i s 1 ✬ u ✮ cos ❧ ✰ c
’
FS ✮ sin ❧ bo
cos ❧ ✰ sin ❧ ✮ tan ✷
’
FS
(6.31)
Levando o valor de N’ na eq. 6.28 e considerando que b= bo. cos(α), após alguns
rearranjos teremos a eq. 6.32.
FSû 1
W ✮ sin ❧ ✮
c’ ✮ b ✰ W ✬ u ✮ b ✰ Xi ✬ Xi s 1 ✮ tan ✷ ’
M t
(6.32)
onde, Mα é dado pela eq. 6.33
M t û cos ❧ ✰ sin ❧ ✮ tan ✷
’
FS
(6.33)
Para a resolução da eq. 6.32 é necessário determinar os valores de Xi −Xi+1, o que pode
ser feito por aproximações sucessivas, satisfazendo a condiçãoΣ(X
i
−Xi+1)=0. Este método é
conhecido como método de Bishop rigoroso, pouco usado na prática. Como visto, no método
rigoroso os esforços cisalhante interfatias são encontrados através de aproximações
sucessivas, de forma a garantir que o somatório de forças cisalhantes e normaisinterfatias, ao
longo de toda a superfície de ruptura, seja igual a zero. O método garantiria assim o equilíbrio
de forças e de momentos.
Um processo variante do método descrito acima, denomina−se deMétodo de Bishop
Simplificado, o qual consiste em considerar (X
i
−Xi+1)=0. Desta forma, a expressão geral para
calculo do fator de segurança (eq. 6.32) pode ser reescrita sob a forma da eq. 6.34.
FSû 1
W ✮ sin ❧ ✮
c’ ✮ b ✰ W ✬ u ✮ b ✮ tan ✷ ’
M t (6.34)
 
Como o fator de segurança aparece em ambos os lados das equações 6.32 e 6.34, (Mα
depende do fator de segurança), deve−se adotar um processo de aproximação sucessiva para
se obter o valor correto de FS para o método de Bishop Simplificado. As análises são feitas
atribuindo−se inicialmente um valor arbitrário a FS para o cálculo de Mα, o que vai resultar
em um valor calculado de FS, geralmente diferente do arbitrado. Com este novo valor
calcula−se Mα e assim procede−se sucessivamente até obter−se o valor final de FS igual ao
arbitrado. O método converge rapidamente para uma solução única, de modo que, em geral,
3 ou 4 tentativas é suficiente para se obter um valor aproximadamente constante paraFS.
Como uma primeira estimativa do valor de FS, é comum adotar−se o valor obtido pelométodo de Fellenius, ou seja: FS(Bishop, 1a interação)=FSFellenius. A fig. 6.8 permite a determinação
gráfica de Mα, em função da inclinação de cada fatia, do ângulo de atrito do solo da base da
superfície de escorregamento e do Fator de Segurança estimado para a superfície de
escorregamento.
Como procedimento prático recomenda−se dividir o talude em cerca de 10 fatias,a
partir deste valor há pouco ganho na precisão e um considerável aumento dos cálculos. Cada
par de valores, centro e raio de círculo hipotético, conduz a um valor de fator de segurança. O
157
valor critico de FS será obtido por tentativas, considerando−se o menor valor obtido para
cada centro, no traçado das isolinhas de Fator de Segurança.
Figura 6.8 − Gráfico para determinação de Mα. Modificado de Gaioto, (1993)
Desenhado o talude em escala, determina−se uma malha de centros potenciais; em
seguida, escolhe−se um centro e um raio que determinarão uma superfície de deslizamento e
calcula−se o fator de segurança para essa superfície. Mantendo−se o centro docírculo, adota−
se um novo raio e determina−se um novo fator de segurança. Prossegue variando o raio até
obter−se o FS mínimo. Escolhe−se um novo centro e repete−se os passos anteriores, até
percorrer toda a malha desejada. Após a determinação dos valores mínimos de FS paracada
centro, traçam−se curvas que unem os fatores de segurança iguais, com o objetivo de
determinar a posição do centro que fornece o menor deles (ver fig 6.7).
Devido a natureza repetitiva dos cálculos e necessidade de trabalhar com várias
superfícies de ruptura, os métodos das fatias tornam−se particularmente adequadospara
solução por computador. 
✸✺✹ ✻✼✹ P☞✹ P✉✽❀✿❤❁✜❃❅❄✞❃❆✈✺q✟❏❂❦✦❇✥❏❤❉
É um método que atende às condições de equilíbrio de forças e de momentos. O
método de SPENCER assume que a inclinação das forças resistentes nas laterais das fatias é
constante, isto é: f(x)=1 eλ≠0. O método de Spencer pode ser compreendido como um caso
particular do método de MORGENSTERN & PRICE (1965) para a função f(x) constante,
conforme veremos a seguir.
✸✺✹ ✻✼✹ P☞✹ ✇♠✽❀✿❤❁✜❃❅❄✞❃❆①②❏❤❉◆❑✏❍✞❄✦❏✯③✘④■●■▼❊❍❊❈✆⑤r❉❋▼❊❃❆⑥⑦▼✆⑧⑨▼❊❁✕❏✙⑩✟✽❀❃❅❉◆❶▲❏❤❦✞❘❋❁✜❏❤❉◆❦❸❷❺❹❻❉◆▼❊❇✄❏
O método Geral de Equilíbrio Limite (GLE − “General Limit Equilibrium Method of
Slices”), é um método rigoroso de cálculo, proposto por MORGENSTERN & PRICE (1965).
Os demais métodos vistos anteriormente, isto é, os métodos de Fellenius, Bishop
simplificado, Janbu simplificado e Spencer podem facilmente ser considerados como casos
particulares deste ultimo método.
158
O GLE atende a todas a equações de equilíbrio e a superfície de ruptura pode ter uma
forma qualquer (circular, não circular ou composta). Os esforços normais e cisalhantes
interfatias mantêm uma relação definida por uma função f(x), como veremos a seguir.
A fig. 6.9 apresenta as forças agindo numa superficie de ruptura composta. As
seguintes variáveis associadas a cada fatia devem ser definidas:
W = peso total da fatia de largura b e altura h,
N = força normal total na base da fatia de comprimento bo,
Tm= força cisalhante mobilizada na base da fatia. Esta é uma percentagem da
resistência ao cisalhamento definida pela equação de Mohr−Coulomb, ( eq. 6.30),
E = força horizontal interfatia, sendo o subscriton designando o lado esquerdo e
n+1 designando o lado direito,
X = força vertical interfatia, sendo o subscrito n designando o lado esquerdo e n+1
designando o lado direito,
D = carga externa linear (força por unidade de comprimento)
kW = força dinâmica horizontal devido ao efeito sísmico aplicada no centro de cada
fatia, 
R = braço de alavanca de momento associado à força cisalhante mobilizada Sm,
f = braço de alavanca de momento associado à força normal N,
x = distância horizontal da fatia ao centro de rotação,
e = distância vertical do centróide de cada fatia ao centro de rotação,
d = distância perpendicular entre a carga externa aplicada ao centro de rotação,
h = altura correspondente ao centro da base de cada fatia,
A = resultante da pressão hidrostática,
a = distância perpendicular da resultante da pressão hidrostática ao centro de rotação
(o subscrito L significando o lado esquerdo e o R, lado direito)
ω = ângulo da carga linear com a horizontal
α = ângulo entre a tangente ao centro da base de cada fatia e a horizontal.
O GLE usa as seguintes equações da estática para obtenção do fator de segurança:✣ Equilíbrio de forças na direção vertical em cada fatia, o qual permite explicitar o valor da
força normal na base da fatia (N), dado pela eq. 6.35.
N’ û
W ✰ X
i
✬ X
i s 1 ✬ u ✮ cos ❧ ✰ c
’
FS ✮ sin ❧ bo✰ D ✮ sin ❧
cos ❧ ✰ sin ❧ ✮ tan ✷
’
FS
(6.35)
✣ Equilíbrio de forças na direção horizontal em cada fatia, o qual permite explicitar a força
normal interfatia (E), dado pela equação abaixo (eq. 6.36):
E
n s 1 û En ✰ c
’ ✮ bo✬ u ✮ bo✮ tan ✷ ’ cos ❧
FS
✰ N ✮ tan ✷
’ ✮ cos ❧
FS
✬ sin ❧ ✬ kW ✰ D ✮ cos ❼
 (6.36)
✣ Equilíbrio de momento num ponto arbitrário acima do maciço, considerando todas as
fatias, o que permite explicitar o Fator de segurança em relação ao momento (FSM):
159
FS
M
û c
’ ✮ bo✮ R ✰ N ✬ u ✮ bo ✮ R✮ tan ✷ ’
W ✮ x ✬ N ✮ f ✰ kW ✮ e ❽ D ✮ d ❽ A ✮ a
(6.37)
Figura 6.10 − Representação das forças agindo numa superfície de ruptura
composta. Modificado do Geo−slope, 1999.
✣ Somatório, considerando todas as fatias, das forças na direção horizontal, o qual permite
definir o Fator de Segurança com relação a força FSF.
FS
F
û c
’ ✮ bo✮ cos ❧ ✰ N ✬ u ✮ bo ✮ cos ❧ ✮ tan ✷ ’
N ✮ sin ❧ ✰ kW ✬ D ✮ cos ❼ ❽ A
(6.38)
Os esforços normais e cisalhantes interfatias mantêm uma relação definida por uma
função f(x), ondex indica a posição ao longo da superfície de ruptura. Durante o processo de
solução, um fator de escalaλ é determinado. Este fatorλ define a magnitude da inclinação da
força interfatias resultante. Como já exposto, os esforços interfatias serelacionam pela eq.
6.39.
X
i
E
i
û❡❞ ✮ f x (6.39)
A fig. 6.10 ilustra algumas das funções típicas de inclinação de forças interfatias.
Pode−se calcular, para cada valor deλ, um fator de segurança para o equilíbrio de momentos
e um fator de segurança para o equilíbrio de forças. O método admite que existe um valorde
λ para o qual o valor do fator de segurança de forças é igual ao fator de segurança de
momentos. Em geral adota−se um procedimento de cálculo para determinação do valorde λ
que atende às duas equações de fator de segurança. Primeiro calculam−se os fatores de
segurança relativos a forças e a momentos para diferentes valores deλ. Ajusta−se um
polinômio a cada um dos conjuntos de pontos deFS versusλ. O valor deλ que leva estes
dois polinômios ao mesmo valor de fator de segurança define a resposta para o problema.
Observa−se na fig. 6.11 que paraλ=0 as expressões para os fatores de segurança relativos aos
160
momentos e às forças representam os resultados do método de Bishop simplificado eo
método de Janbu simplificado, respectivamente. O método de Fellenius pode ser representado
como um ponto no eixo λ=0.
É importante ressaltar que análises de estabilidade feitas empregando métodosque
satisfazem todas as condições de equilíbrio apresentam diferenças nos resultados inferiores a
5%; o método de Bishop simplificado, apesar de não satisfazer todas as condições de
equilíbrio, obtém resultados com precisão semelhante. O método de Fellenius apresenta erros
em relação aos métodos rigorosos de até 50% para condições de pressão neutra elevadas,não
sendo recomendada a sua utilização na prática da engenharia.
Pode−se também notar na fig. 6.11, que a inclinação da curva FSM versusλ é menor
do que aquela obtida para a curva FSF versusλ . Isto ocorre para a maioria dos casos
estudados e explica os melhores resultados obtidos pelo método de Bishop simplificado
(equilíbrio de momentos), em comparação com o método de Jambu simplificado (equilíbrio
de forças).
x
X
/E
λ=1
λ=0.5
x
X
/E
λ=1
λ=0.5
x
X
/E
λ=1
λ=0.5
x
X
/E
λ=1
λ=0.5
f(x) constante f(x) senoidal
❾ ❿
➀ ❿
➀ ❿ ➁r➂
❾ ❿ ➁❅➂ ➃
➄θ➅
θ➅ ➆➈➇
➉ ➊
f(x) trapezoidal f(x) especificada
i
i
i
Figura 6.11− Funções de inclinação de força interfatias típicas. Modificado de
Lins, 1996.
F
S
Fm
Ff
θ➋
θ➌ ➍✗➎
Bishop
Simplificado
Fellenius
Janbu 
Simplificado
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50
1,90
2,00
2,10
2,20
2,30
tan θι=λ f(x i)
Morgenstern 
& Price
λ
Figura 6.11 − Variação de FSM e FSM com λ. Modificado do Geo−slope, 1999.
161
✸✺✹ P✉➏✡❃❅❦✞❘◆▼❊❄✦❏❂❉❋❑▲➐✄➑❅❏❂❘❝❶▲❏❤❉◆❑✏▼❊❘
✣ A grande maioria das análises de estabilidade de taludes é realizada assumindo superfícies
de ruptura de projeção circular ou poligonal, ou seja, admitindo−se um estado plano de
deformações. Pode−se dizer, porém que observações de campo mostram que a
configuração de ruptura, na maioria dos casos, é claramente tridimensional e a análise
plana pode não ser a mais representativa. Para estudar estas situações, vários autores
adaptaram os métodos das fatias para uma situação tridimensional, criando o método das
colunas, onde a massa deslizante é dividida em colunas que têm esforços atuando entre
colunas e na sua base. Uma consequência destas observações é que as superficies de
deslizamento observadas em campo tendem a ter uma área resistente maior do queaquelas
prismáticas ou cilíndricas. Assim, pode−se dizer que para boa parte dos casos
considerados, uma análise bidimensional irá levar a resultados conservadores.
✣ O cálculo do FS obtido a partir dos métodos de análise de estabilidade apresentados
anterirormente é feita em termos determinísticos, isto é, uma análisede estabilidade nos
diz se o talude rompe ou não. Entretanto, existem incertezas concernentes ao cálculo do
Fator de Segurança, que estão relacionadas com a quantificação das resistências ao
cisalhamento das camadas consideradas (principalmente a inferência de parâmetros de
resistência representativos), configuração geométrica do problema e a quantificação das
solicitações (influência do método de cálculo e das construções existentes e futuras, com
suas respectivas cargas permanentes e acidentais). Dessa forma, uma análise em termos
probabilísticos poderia ter um melhor significado, permitindo atrelar um valor de FSa
uma dada probabilidade de ruptura do maciço. No caso de uma análise determinística,para
efeito de projeto, usualmente adotam−se valores mínimos de Fator de Segurança como
referência. Os valores de FS adotados são geralmente uma função dos riscos de prejuízos
(humanos e materiais) que trariam a ruptura da obra e das restrições de recalquesdas
estruturas assentes na crista do talude.
✣ A grande maioria das análises de estabilidade realizadas utilizam parâmetros de resistência
obtidos para a condição saturada do solo. Embora esta condição consista na situação mais
crítica de ocorrência em campo, boa parte dos taludes, principalmente em áreas tropicais e
semiáridas, permanecem em condições não saturadas a maior parte do tempo. Neste casos,
temos uma variação da resistência do solo com a sucção e/ou umidade durante as diversas
épocas do ano. Nas épocas de chuva, o Fator de Segurança do talude tem o seu valor
reduzido, o contrário ocorrendo nos períodos de baixa precipitação. Isto é explicado pelo
fato de que os solos, principalmente aqueles com uma considerável quantidade de finos,
tem o seu valor de coesão altamente variável com a sua umidade, no sentido de que quanto
menor a umidade maior a resistência ao cisalhamento. Pode−se dizer que, se por um lado,
o emprego de parâmetros de resistência para a condição não saturada do solo em um
cálculo rigoroso da estabilidade de um maciço exigiria uma análise de infiltração da água
no solo, para uma dada chuva crítica ou a análise da eficácia de um determinado
tratamento de impermeabilização do talude, obtendo−se uma distribuição de umidades no
maciço, atrelada a um determinado tempo de recorrência, por outro, a despeito de certas
hipótese simplificadoras, abordagens mais simples podem ser utilizadas. Assim é que é
valida a realização de ensaios triaxiais ou de cisalhamento direto, utilizando−se de
amostras não saturadas, na umidade de campo, por exemplo. Estes ensaios, principalmente
se realizados em conjunto com a determinação da sucção do solo, nos dão um indicativo
de quanto o solo pode ganhar em resistência ao cisalhamento com a sucção, e nos
fornecem dados valiosos no julgamento de que solução adotar para um determinado local
(se uma obra de proteção ou de estabilização ou uma obra de contenção propriamente
162
dita). Vale ressaltar que diversos trabalhos têm sido publicados na literatura, mostrando
novas maneiras de estimativa da resistência não saturada dos solos, como a partir da curva
característica de sucção (Fredlund, et al., 1995; Öberg & Sällfors, 1997 e Machado &
Vilar, 1998). Por outro lado, outros trabalhos têm apontado para o desenvolvimento de
técnicas laboratoriais e de campo que permitem a obtenção da curva característica de
sucção e mesmo da curva de condutividade hidráulica do solo em um tempo bastante
inferior ao despendido atualmente (Fourie & Papageorgian, 1995 e Machado & Dourado,
2001).✣ de Em áreas muito valorizadas esta solução pode ser preferível à adoção de estruturas de
contenção do talude.
✣ A análise da estabilidade de um talude pode ser feita em termos de tensões totais ouem
termos de tensões efetivas. Deve−se, portanto, estudar qual é a condição mais crítica para
definição dos parâmetros de resistência a serem usados. No caso de parâmetros efetivos de
resistência, a pressão neutra pode ser levada em conta através do traçado de rede de fluxo
(resolução gráfica); “Grid” de pressões neutras observadas em campo a partirde
piezômetros ou estimativa da posição da linha freática.
✣ Os métodos mais elaborados para cálculo de estabilidade como os métodos de Spencer,
Janbu, GLE, MEF apresentam resultados para o fator de segurança bem semelhantes, com
variações inferiores a 5%. O método de Bishop, apesar de não satisfazer todas asequações
de equilibrio, apresenta precisão semelhante.
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− BIBLIOGRAFIA CONSULTADA
ABGE. Ensaios de permeabilidade em solos: Orientações para a execução no campo,
1a. Tentativa, boletim no. 4, 38p, 1981..
ALMEIDA, M.S.S. (1996). Aterros sobre solos moles. Rio de Janeiro:UFRJ. 
ATKINSON, J. H. and BRANSBY, P. L. The mechanic of soils − An introduction to
critical state soil mechanics.ed. McGraw−Hill, 1978.
BARATA, F. E. Propriedades mecânicas dos solos. Ed. Livros técnicos e científicos
S.A. Rio de Janeiro, 1984.
BISHOP, A. W. The use of the slip circle in the stability analysis of slopes.
Geotechnique, vol. 5, no 1, 1955.
BISHOP, A. W. & BEJERRUM, L. The relevance of the triaxial test to the solution of
stability problems. Proc. ASCE Conf. on Shear Strength of Cohesive Soils, Boulder, p 437 −
501, 1960.
BISHOP, A. W. & HENKEL, D. J. The measurement of soil properties in the triaxial
test. 2a. ed., Edward Armold, London, 227p, 1962.
BUENO, B. S. & VILAR, O. M. Mecânica dos solos. Gráfica EESC/USP, vols. 1e 2.
São Carlos, 1985.
CAPUTO, H. P. Mecânica dos solos e suas aplicações. Ed. Livros técnicos e
científicos S.A, Vols. 1, 2 e 3. Rio de Janeiro, 1981.
CASAGRANDE, A. Research on the Atterberg limits of soils. Public Roads, vol.13,
No.8, pp.121−136, 1932.
CASAGRANDE, A. Seepage through dams. Journal of the new England water works
association. Vol. LI, no. 2, 1937.
CASAGRANDE, A. Classification and identification of soils,Transations ASCE, vol.
113, p.901−992, 1948.
CEDERGREN, H.R. Seepage, drainage, and flow nets. 2nd ed., John Wiley & Sons:
New York., 533p, 1977.
CRIAG, R. F. Soil mechanics. Chapman & Hall, London, 1992.
CRUZ, P.T. 100 Barragens Brasileiras. São Paulo: Oficina de textos, USP, São Paulo,
1996.
DE LIMA, M. J. C. P. Prospecção Geotécnica do sub−solo. ed. LTC, Rio de Janeiro,
1983.
FANG, H.Y. Foundation Engineering Handbook, Ed. Van Nostrand Reinhold, New
York, 1991.
FELLENIUS, W. Calculation of the stability of earth dams. Trans. 2nd Cong. On large
Dams, Washington, 1936.
FOURIE, A. B. & PAPAGEORGIAN, G. A technique for the rapid determinationofthe soil moisture retention relationship and hydraulic conductivity of unsaturated soils. Proc.
of the 1st Int. Conf. on unsaturated soils. Paris, 1995.
FREDLUND, D. G. & RAHARDJO, H. Soil Mechanics for unsaturated soils. John
Wiley & Sons, New York, 1993.
FREDLUND, D. G.; VANAPALLI, S. K.; XING, A. And PUFAHL, D. E. Predicting
the shear strength function for unsaturated soils using the soil water characteristic curve.
Proc. of the 1st Int. Conf. on unsaturated soils. Paris, 1995.
GAIOTO, N. Estruturas de Arrimo e Empuxo de terra. EESC− USP, 40p, 1993.
GEO−SLOPE INTERNACTIONAL USER GUIDE. Alberta, Canadá, 1999.
GRUPO de GEOTECNIA DO DCTM – Notas de aula de mecânica de solos. Versão
anterior existente no DCTM.
HACHICH, W. C.; FALCONI, F.F.; SAES, J.L.; FROTA, R. G. Q.; CARVALHO, C.
S. & NIYAMA, S. Fundações − teoria prática. ed. Pini, São Paulo, 1996.
164
HAZEN, A. Discussion on dams and sand foundations. Transactions of ASCE, vol.
72, 1911.
HEAD, K.H. Manual of laboratory soil testing, Penetch Press, London, vol. 1 a 3,
1980.
HOLTZ, R. & KOVACS. An introduction to Geotechnical Engineering. Prentice Hall,
New Jersey, 1981.
JÁKY, J. Pressures in silos. II ICSMFE, vol I, p. 103, 1948.
LAMBE, T. W. & WHITMAN, R. V. Soil Mechanics. John, Wiley & Sons, Inc. New
York, 1969.
LEONARDS, G.A. Engineering properties of soils. Foundation Engineering. ed.
G.A.. Leonards, McGraw−Hill, p. 66−240, 1962.
LIBARDI, P. L. Potenciais de água no solo, série didática no. 007, Dpto de Engenharia
Rural, Piracicaba, São Paulo, 1993.
LINS, P. G. C. (1996). Considerações sobre a aplicação do método dos elementos
finitos à análise de estabilidade de taludes.Dissertação de mestrado − EESC− USP, 129p,
1996.
MACHADO, S. L. Alguns conceitos de mecânica dos solos dos estados críticos.
Gráfica EESC/USP. São Carlos, 1997.
MACHADO, S. L. e DOURADO, K. A. Novas técnicas para obtenção da curva
característica de sucção do solo. 4o Simpósio Brasileiro de Solos não Saturados. Porto Alegre
− RS, 2001.
MACHADO, S. L. & VILAR, O. M. Resistência ao cisalhamento de solos não
saturados: Ensaios de laboratório e determinação expedita. Solos e Rochas, V(21),No (2),
agosto de 1998.
MITCHELL, J.K. Fundamentals of soils behavior. John Wiley & Sons, 422p, 1976.
MOLITERNO, A. Caderno de Muros de Arrimo. Editora Edgard Blucher Ltda.
MORGENSTERN, N. R. And PRICE, V. E. The analysis of the stability of general
slip surfaces. Geotechnique, vol. 13, no 2, 1965.
NOGUEIRA, J. B. Mecânica dos solos − Ensaios de laboratório. EESC − USP, 248p,
1995.
ÖBERG, A. L. & SÄLLFORS, G. A. Determination of shear strength parameters of
unsaturated silts and sands based on the water retention curve. Geotechnical Testing Journal,
GTJODJ, Vol. 20, No 1, 1997.
ORTIGÃO, J. A. R. Introdução à mecânica dos solos dos estados críticos. Ed. Livros
técnicos e científicos S.A, Rio de Janeiro, 1993.
PERLOFF, W. H. & BARON, W. Soil Mechanics − Principles and Applications.John
Wiley & Sons: New York., 745p, 1976.
PINTO, C. S. Resistência ao cisalhamento dos solos. Politécnica − USP, São Paulo.
PINTO, C. S. Curso básico de mecânica dos solos. Oficina de textos, USP, SãoPaulo,
2000.
RESAL, J. La Poussé de terres. Paris, 1910.
ROWE, P. W The stress dilatancy relation for static equilibrium of a assembly of
particles in contact. Proc. Royal Soc., A269, pp 500−527, 1962.
SKEMPTON, A.W. The porepressure coefficients A and B, Geotechnique, vol.4:4,
p.143−147, 1954.
TAYLOR, D.W. Fundamentals of soil mechanics, John Wiley & Sons, 700p, 1948.
TERZAGHI, K. & PECK, R.B. Soil mechanics in engineering pratice. John Wiley &
Sons, New York, 2a. Ed, 1967.
TERZAGHI, K. Theoretical soil mechanics. John Wiley & Sons, New York, 1943.
TSCHEBOTARIOFF, G. P. Foundations, Retaining and Earth Structures. Ed.
Mcgraw−Hill Kogakusha, Ltd, 
VARGAS, M. Introdução à mecânica dos solos. Ed. Mcgraw−Hill, USP, 1977.
165
VENKATRAMAIAH, C. Geotechnical Engineering. John, Wiley & Sons, Inc. New
York, 1993.
166