Cálculo Numérico Computacional - Atividade 3 (1)

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Interpolar uma função f(x) é aproximá-la por outra função g(x), selecionada entre uma classe de funções que satisfazem certas propriedades. 
Normalmente, precisamos recorrer a esta ferramenta em 2 situações: a primeira, quando são conhecidos apenas alguns valores numéricos da 
função para um conjunto de pontos, e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado; a segunda, quando a função em estudo tem 
uma expressão tal que operações como a diferenciação e a integração são difíceis (ou impossíveis) de serem realizadas (FERNANDES, 2015, p. 101). 
FERNANDES, D. B. Cálculo numérico. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2015. 
Considere a tabela a seguir, a qual relaciona o calor específico da água e a temperatura e, a partir do exposto acima, utilize a fórmula de Lagrange para 
determinar o polinômio interpolador de maior grau possível que modela o calor específico em função da temperatura. Em seguida, calcule o calor 
específico da água a 27,5 graus célsius. 
x=Temperatura (°C) 
P(x)=L0.f(x0) m + L1.f(x1) + L2.f(x2) + L3.f(x3) 
L0 = 
(𝐱 – 𝐱𝟏).(𝐱 − 𝐱𝟐).(𝐱 − 𝐱𝟑)
(𝐱𝟎 − 𝐱𝟏).(𝐱𝟎 − 𝐱𝟐).(𝐱𝟎 − 𝐱𝟑)
 = 
(𝐱 – 𝟐𝟓).(𝐱 − 𝟑𝟎).(𝐱 − 𝟑𝟓)
(𝟐𝟎 − 𝟐𝟓).(𝟐𝟎 − 𝟑𝟎).(𝟐𝟎 − 𝟑𝟓)
 =−
(𝐱𝟑−𝟗𝟎𝐱𝟐+𝟐𝟔𝟕𝟓𝐱−𝟐𝟔𝟐𝟓𝟎)
𝟕𝟓𝟎
 
 
L1= 
(𝐱 – 𝐱𝟎).(𝐱 − 𝐱𝟐).(𝐱 − 𝐱𝟑)
(𝐱𝟏 − 𝐱𝟎).(𝐱𝟏 − 𝐱𝟐).(𝐱𝟏 − 𝐱𝟑)
 = 
(𝐱 – 𝟐𝟎).(𝐱 − 𝟑𝟎).(𝐱 − 𝟑𝟓)
(𝟐𝟓 − 𝟐𝟎).(𝟐𝟓 − 𝟑𝟎).(𝟐𝟓 − 𝟑𝟓)
 = 
𝐱𝟑−𝟖𝟓𝐱𝟐+𝟐𝟑𝟓𝟎𝐱−𝟐𝟏𝟎𝟎𝟎 
𝟐𝟓𝟎
 
 
L2= 
(𝐱 – 𝐱𝟎).(𝐱 – 𝐱𝟏).(𝐱 – 𝐱𝟑)
(𝐱𝟐 – 𝐱𝟎).(𝐱𝟐 – 𝐱𝟏).(𝐱𝟐 – 𝐱𝟑)
 = 
(𝐱 – 𝟐𝟎).(𝐱 – 𝟐𝟓).(𝐱 – 𝟑𝟓)
(𝟑𝟎 – 𝟐𝟎).(𝟑𝟎 – 𝟐𝟓).(𝟑𝟎 – 𝟑𝟓)
 = −
(𝐱𝟑−𝟖𝟎𝐱+𝟐𝟎𝟕𝟓𝐱−𝟏𝟕𝟓𝟎𝟎)
𝟐𝟓𝟎
 
 
 L3 = 
(𝐱 – 𝐱𝟎).(𝐱 − 𝐱𝟏).(𝐱 − 𝐱𝟐)
(𝐱𝟑 − 𝐱𝟎).(𝐱𝟑 − 𝐱𝟏).(𝐱𝟑 − 𝐱𝟐)
 = 
(𝐱 – 𝟐𝟎).(𝐱 − 𝟐𝟓).(𝐱 − 𝟑𝟎)
(𝟑𝟓 − 𝟐𝟎).(𝟑𝟓 − 𝟐𝟓).(𝟑𝟓 − 𝟑𝟎)
 = 
𝐱𝟑−𝟕𝟓𝐱𝟐+𝟏𝟖𝟓𝟎𝐱−𝟏𝟓𝟎𝟎
𝟕𝟓𝟎
 
 
F(x) = Calor especifico 
F(x0) = 0,99907; F(x1) = 0,99852; F(x2) = 0,99826; F(x3) 0,99818 
P(x) = 𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟎𝟕 . −
(𝐱𝟑−𝟗𝟎𝐱𝟐+𝟐𝟔𝟕𝟓𝐱−𝟐𝟔𝟐𝟓𝟎)
𝟕𝟓𝟎
+ 𝟎, 𝟗𝟗𝟖𝟓𝟐 .
𝐱𝟑−𝟖𝟓𝐱𝟐+𝟐𝟑𝟓𝟎𝐱−𝟐𝟏𝟎𝟎𝟎 
𝟐𝟓𝟎
+ 𝟎, 𝟗𝟗𝟖𝟐𝟔 . −
(𝐱𝟑−𝟖𝟎𝐱+𝟐𝟎𝟕𝟓𝐱−𝟏𝟕𝟓𝟎𝟎)
𝟐𝟓𝟎
+ 𝟎, 𝟗𝟗𝟖𝟏𝟖 .
𝐱𝟑−𝟕𝟓𝐱𝟐+𝟏𝟖𝟓𝟎𝐱−𝟏𝟓𝟎𝟎
𝟕𝟓𝟎
 
P(x) = 𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟎𝟕 .
(𝐱𝟑−𝟗𝟎𝐱𝟐+𝟐𝟔𝟕𝟓𝐱−𝟐𝟔𝟐𝟓𝟎)
𝟕𝟓𝟎
+ 𝟑(𝟎, 𝟗𝟗𝟖𝟓𝟐 .
𝐱𝟑−𝟖𝟓𝐱𝟐+𝟐𝟑𝟓𝟎𝐱−𝟐𝟏𝟎𝟎𝟎 
𝟐𝟓𝟎
) + 𝟑(𝟎, 𝟗𝟗𝟖𝟐𝟔 .
(𝐱𝟑−𝟖𝟎𝐱+𝟐𝟎𝟕𝟓𝐱−𝟏𝟕𝟓𝟎𝟎)
𝟐𝟓𝟎
) + 𝟎, 𝟗𝟗𝟖𝟏𝟖 .
𝐱𝟑−𝟕𝟓𝐱𝟐+𝟏𝟖𝟓𝟎𝐱−𝟏𝟓𝟎𝟎
𝟕𝟓𝟎
 
P(x) = 
−𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏𝐱𝟑+𝟎,𝟎𝟏𝟐𝟔𝒙𝟐−𝟎,𝟒𝟖𝟏𝟕𝟓𝒙+𝟕𝟓𝟒,𝟕𝟕𝟕𝟓
𝟕𝟓𝟎
 
P(x) = −𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟒𝟔𝟕𝐱𝟑 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟔𝟖𝒙𝟐 − 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟔𝟒𝟐𝟑𝟑𝒙 + 𝟏, 𝟎𝟎𝟔𝟑𝟕 
P(27,5) = −𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟒𝟔𝟕(𝟐𝟕, 𝟓)𝟑 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟔𝟖(𝟐𝟕, 𝟓)𝟐 − 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟔𝟒𝟐𝟑𝟑(𝟐𝟕, 𝟓) + 𝟏, 𝟎𝟎𝟔𝟑𝟕 
 
P (27,5) = 0,099836