Matemática discreta

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Matemática
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5) conferir de novo antes
a) Como mencionado anteriormente, a proposição "Exatamente n dessas proposições nesta lista são 
falsas" é paradoxal e não pode ser avaliada como verdadeira ou falsa de forma consistente, 
independentemente do valor de n.
b) A proposição "No mínimo n dessas proposições nesta lista são falsas" não é paradoxal e pode ser 
avaliada como verdadeira ou falsa de forma consistente. Se assumirmos que a proposição é verdadeira, 
então sabemos que pelo menos n proposições na lista são falsas. Além disso, também sabemos que, no 
máximo, 100 - n proposições podem ser verdadeiras. Portanto, podemos concluir que exatamente n ou 
mais proposições na lista são falsas. Por outro lado, se a proposição é falsa, então sabemos que menos 
de n proposições na lista são falsas. Portanto, a proposição é falsa se e somente se menos de n 
proposições na lista são falsas.
c) Se a lista contém 99 proposições, então a proposição "No mínimo n dessas proposições nesta lista são 
falsas" é verdadeira para qualquer valor de n entre 1 e 99, inclusive. Isso ocorre porque sempre há pelo 
menos uma proposição que é falsa na lista, portanto, a proposição é verdadeira para n = 1. Além disso, 
se escolhermos n = 99, sabemos que todas as proposições, exceto uma, são falsas, o que satisfaz a 
proposição. Portanto, a proposição é verdadeira para n = 1 a 99, inclusive.
6)
A negação dessa proposição "Se estudar então irei bem na prova" é "Se eu não fui bem na prova, então 
não estudei.".
Lógica proposicional
Essa questão traz um conteúdo de lógica proposicional, onde há uma proposição "se... então...". Para 
realizar a negação de uma proposição desse tipo, devemos:
Negar as ambas as partes;
Inverter a ordem das proposições encontradas após a negação.
Assim, teremos ao negar ambas as partes:
"Se não estudar então não irei bem na prova."
Após realizar a inversão das partes:
"Se eu não fui bem na prova então não estudei.".
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7) Se a afirmação "Se Ana é gerente, então Carlos é diretor" é falsa, isso significa que Ana pode ser 
gerente e Carlos não ser diretor. Então, a partir dessa informação, podemos concluir que a afirmação 
necessariamente verdadeira é a opção (a): "Ana não é gerente, ou Carlos é diretor". Isso ocorre porque, 
se Ana não é gerente, a primeira parte da afirmação falsa não se aplica e, portanto, não é possível 
determinar se Carlos é diretor ou não. Por outro lado, se Carlos é diretor, a segunda parte da afirmação 
falsa é verdadeira, mas a primeira parte não é, já que Ana não é gerente. Assim, a opção (a) é a única 
que é sempre verdadeira, independentemente do status de Ana e Carlos.
8) A afirmação "Se estou feliz, então passei no concurso" pode ser reescrita na forma contrapositiva 
como "Se não passei no concurso, então não estou feliz". Isso ocorre porque a contrapositiva de uma 
afirmação condicional (se A, então B) é outra afirmação condicional que mantém a mesma verdade 
lógica da primeira (se não B, então não A).
Portanto, a opção correta é a (c): "Se não passei no concurso, então não estou feliz".
(Se A, então B) é equivalente a (Se Não B, então Não A)
A = "estou feliz"
B = "passei no concurso"
Não A = "não estou feliz"
Não B = "não passei no concurso"
Respondendo, uma afirmação equivalente para “Se estou feliz, então passei no concurso” é: "Se não 
passei no concurso, então não estou feliz".
Alternativa correta é a letra c).
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9)
a) "Existe um único objeto 𝑥 tal que a propriedade P(𝑥) é verdadeira, implicando que existe pelo menos 
um objeto 𝑥 tal que P(𝑥) é verdadeira."
b) "Para todo objeto 𝑥, a propriedade P(𝑥) é verdadeira, implicando que existe um único objeto 𝑥 tal 
que P(𝑥) é verdadeira."
c) "Existe um único objeto 𝑥 tal que a propriedade ¬P(𝑥) é verdadeira, implicando que não é verdade 
que para todo objeto 𝑥, a propriedade P(𝑥) é verdadeira."
a) ∃! 𝑥𝑃(𝑥) ⟶ ∃𝑥𝑃(𝑥)
O valor verdade desta proposição é verdadeiro. Esta proposição afirma que se 
existe exatamente um objeto que satisfaz a propriedade P, então existe pelo menos 
um objeto que satisfaz a propriedade P. Isso é claramente verdadeiro, já que se há 
um objeto que satisfaz a propriedade P, então existe pelo menos um objeto que 
satisfaz a propriedade P.
b) ∀𝑥𝑃(𝑥) ⟶ ∃! 𝑥𝑃(𝑥)
O valor verdade desta proposição é falso. Esta proposição afirma que se todos os 
objetos satisfazem a propriedade P, então existe exatamente um objeto que satisfaz
a propriedade P. Isso não é verdadeiro em todos os casos, pois pode haver 
situações em que não há objetos que satisfazem a propriedade P.
c) ∃! 𝑥¬𝑃(𝑥) ⟶ ¬∀𝑥𝑃(𝑥)
O valor verdade desta proposição é verdadeiro. Esta proposição afirma que se 
existe exatamente um objeto que não satisfaz a propriedade P, então não todos os 
objetos satisfazem a propriedade P. Isso é claramente verdadeiro, pois se há 
apenas um objeto que não satisfaz a propriedade P, então não pode haver todos os 
objetos que satisfazem a propriedade P.
10) Podemos mostrar que ∀𝑥(𝑃(𝑥) ∨ 𝑄(𝑥)) e ∀𝑥𝑃(𝑥) ∨ ∀𝑥𝑄(𝑥) não são 
logicamente equivalentes através de um contraexemplo. Vamos considerar um 
conjunto universo com dois elementos, a saber, 𝑎 e 𝑏, e definir as propriedades 
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P(𝑥) como "𝑥 é 𝑎" e Q(𝑥) como "𝑥 é 𝑏". Assim, temos que:
∀𝑥(𝑃(𝑥) ∨ 𝑄(𝑥)) é verdadeira, pois para todos os elementos 𝑥 no conjunto 
universo, ou 𝑃(𝑥) é verdadeira (no caso, 𝑥 = 𝑎), ou 𝑄(𝑥) é verdadeira (no caso, 𝑥 =
𝑏).
∀𝑥𝑃(𝑥) ∨ ∀𝑥𝑄(𝑥) é falsa, pois não podemos encontrar um único elemento que 
satisfaça ambas as propriedades 𝑃(𝑥) e 𝑄(𝑥).
Portanto, ∀𝑥(𝑃(𝑥) ∨ 𝑄(𝑥)) e ∀𝑥𝑃(𝑥) ∨ ∀𝑥𝑄(𝑥) não são logicamente equivalentes, 
já que encontramos um modelo onde a primeira é verdadeira e a segunda é falsa.
Para mostrar que duas proposições não são logicamente equivalentes, precisamos 
encontrar um modelo, isto é, uma interpretação que atribua valores verdade 
diferentes para as proposições em questão.
No caso das proposições dadas, vamos utilizar um universo com apenas dois 
elementos, 𝑎 e 𝑏, e definir as propriedades P(𝑥) como "𝑥 é 𝑎" e Q(𝑥) como "𝑥 é 𝑏". 
Assim, temos que a primeira proposição ∀𝑥(𝑃(𝑥) ∨ 𝑄(𝑥)) é verdadeira, pois para 
qualquer elemento 𝑥 do universo, ou 𝑃(𝑥) é verdadeira (no caso, 𝑥 = 𝑎), ou 𝑄(𝑥) é 
verdadeira (no caso, 𝑥 = 𝑏).
Por outro lado, a segunda proposição, ∀𝑥𝑃(𝑥) ∨ ∀𝑥𝑄(𝑥), é falsa neste modelo. 
Para que ela fosse verdadeira, teríamos que encontrar um único elemento que 
satisfaça ambas as propriedades 𝑃(𝑥) e 𝑄(𝑥), mas não há nenhum elemento que 
seja simultaneamente 𝑎 e 𝑏.
Portanto, neste modelo, a primeira proposição é verdadeira e a segunda é falsa, o 
que significa que elas não são logicamente equivalentes. Note que não precisamos 
examinar todos os possíveis modelos para concluir que as proposições não são 
equivalentes, apenas encontramosum modelo específico em que elas diferem.
A proposição ∀𝑥𝑃(𝑥) ∨ ∀𝑥𝑄(𝑥) pode ser lida da seguinte forma: "Para todo 
elemento 𝑥, 𝑃(𝑥) é verdadeira ou para todo elemento 𝑥, 𝑄(𝑥) é verdadeira".
A proposição ∀𝑥(𝑃(𝑥) ∨ 𝑄(𝑥)) pode ser lida da seguinte forma: "Para todo 
elemento 𝑥, 𝑃(𝑥) ou 𝑄(𝑥) é verdadeira".
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11) Para mostrar que ∃𝑥(𝑃(𝑥) ∨ 𝑄(𝑥)) e ∃𝑥𝑃(𝑥) ∨ ∃𝑥𝑄(𝑥) são logicamente 
equivalentes, podemos usar uma tabela-verdade. Vamos começar criando uma 
tabela-verdade para ∃𝑥(𝑃(𝑥) ∨ 𝑄(𝑥)):
Agora, vamos criar uma tabela-verdade para ∃𝑥𝑃(𝑥) ∨ ∃𝑥𝑄(𝑥):
Podemos ver que as duas tabelas-verdade são idênticas. Em outras palavras, para 
cada combinação de valores de 𝑃(𝑥) e 𝑄(𝑥), as duas fórmulas têm o mesmo valor 
lógico. Portanto, ∃𝑥(𝑃(𝑥) ∨ 𝑄(𝑥)) e ∃𝑥𝑃(𝑥) ∨ ∃𝑥𝑄(𝑥) são logicamente 
equivalentes.
A expressão lógica "∃𝑥(𝑃(𝑥) ∨ 𝑄(𝑥))" pode ser lida da seguinte forma:
"Existe pelo menos um valor de 𝑥 para o qual a proposição 𝑃(𝑥) é verdadeira ou a 
proposição 𝑄(𝑥) é verdadeira."
Essa expressão é uma afirmação existencial, em que o símbolo "∃" indica a 
existência de um valor que satisfaça a proposição dentro dos parênteses. A 
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proposição dentro dos parênteses, 𝑃(𝑥) ∨ 𝑄(𝑥), é uma disjunção lógica entre as 
proposições 𝑃(𝑥) e 𝑄(𝑥). A disjunção lógica é verdadeira se pelo menos uma das 
proposições é verdadeira. Portanto, a expressão lógica afirma que há pelo menos 
um valor de 𝑥 que torna a proposição 𝑃(𝑥) verdadeira ou há pelo menos um valor 
de 𝑥 que torna a proposição 𝑄(𝑥) verdadeira.
A expressão lógica "∃𝑥𝑃(𝑥) ∨ ∃𝑥𝑄(𝑥)" pode ser lida da seguinte forma:
"Existe pelo menos um valor de 𝑥 para o qual a proposição 𝑃(𝑥) é verdadeira, ou 
existe pelo menos um valor de 𝑥 para o qual a proposição 𝑄(𝑥) é verdadeira."
Essa expressão é uma disjunção lógica, em que o símbolo "∨" significa "ou". A 
primeira parte da expressão, ∃𝑥𝑃(𝑥), afirma que existe pelo menos um valor de 𝑥 
que torna a proposição 𝑃(𝑥) verdadeira. Da mesma forma, a segunda parte da 
expressão, ∃𝑥𝑄(𝑥), afirma que existe pelo menos um valor de 𝑥 que torna a 
proposição 𝑄(𝑥) verdadeira. Portanto, a expressão lógica como um todo afirma que
pelo menos uma das proposições é verdadeira, ou seja, que há pelo menos um 
valor de 𝑥 que torna 𝑃(𝑥) verdadeira ou há pelo menos um valor de 𝑥 que torna
𝑄(𝑥) verdadeira.
∃𝑥(𝑃(𝑥) ∨ 𝑄(𝑥)) e ∃𝑥𝑃(𝑥) ∨ ∃𝑥𝑄(𝑥) são logicamente equivalentes porque elas 
expressam a mesma afirmação de que pelo menos uma das proposições é 
verdadeira.
A primeira expressão, ∃𝑥(𝑃(𝑥) ∨ 𝑄(𝑥)), afirma que há pelo menos um valor de 𝑥 
que torna a proposição 𝑃(𝑥) verdadeira ou há pelo menos um valor de 𝑥 que torna 
a proposição 𝑄(𝑥) verdadeira.
Já a segunda expressão, ∃𝑥𝑃(𝑥) ∨ ∃𝑥𝑄(𝑥), afirma que existe pelo menos um valor 
de 𝑥 que torna 𝑃(𝑥) verdadeira ou existe pelo menos um valor de 𝑥 que torna 𝑄(𝑥)
verdadeira.
Como as duas expressões afirmam que pelo menos uma das proposições é 
verdadeira, elas são logicamente equivalentes. Isso significa que se uma delas for 
verdadeira, a outra também será verdadeira, e se uma delas for falsa, a outra 
também será falsa.
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12 Podemos representar as premissas e a conclusão usando símbolos lógicos da 
seguinte forma:
p → q
¬q → r ∨ s
¬r → ¬s
r → (t ∧ u)
¬u
Conclusão: ¬p
Podemos então usar dedução natural para mostrar que a conclusão é uma 
consequência lógica das premissas:
Suponha que p é verdadeiro.
Da premissa 1, segue que q é verdadeiro.
Suponha que ¬q é verdadeiro.
Da premissa 2, segue que r ∨ s é verdadeiro.
Se r é verdadeiro, então t ∧ u é verdadeiro, pela premissa 4.
Mas ¬u é verdadeiro, pela premissa 5.
Isso implica que ¬t é verdadeiro.
Da premissa 3, segue que ¬r é verdadeiro.
Mas isso contradiz o fato de que r ∨ s é verdadeiro.
Portanto, ¬¬q é verdadeiro, ou seja, q é verdadeiro.
Da premissa 1, segue que ¬p é falso.
Portanto, ¬p é verdadeiro, concluindo que "Senhoras e senhores, meu cliente é 
inocente".
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