Questão resolvida - Para equação diferencial y2y4(ou seja,a derivada primeira somada com o dobro da própria função é igual a 4) Classifique V - Cálculo II

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• Para equação diferencial (ou seja,a derivada primeira somada com o y’ + 2y = 4
dobro da própria função é igual a 4) Classifique V para Verdadeira e F para Falsa
 
( F ) y = 2e + 22x
 
( F ) y = e + 22x
 
( F ) y = - e + 2-2x
 
 F y = - 2e + 2 ( ) -2x
 
Resolução:
 
Primeiro, temos que o termo é igual a , então, a reescrevemos a EDO como;y’
dy
dx
 
+ 2y = 4
dy
dx
 
Essa é uma EDO de primeira ordem separável, então, vamos manipular os termos para ficar 
com os termos de de um lado e os termos de do outro, como segue;x y
 
+ 2y = 4 = 4 - 2y dy = 4 - 2y dx
dy
dx
→
dy
dx
→ ( )
 
= dx
dy
4 - 2y
 
Saparados os termos, vamos, então, integra os 2 membros;
 
= dx = x + k∫ dy
4 - 2y
∫ →∫ dy
4 - 2y
1
 
 
(1)
(2)
 
Vamos resolver a integral em , separadamente, usando a técnica de integração por y
substituição;
 
; u = 4 - 2y du = -2dy -2dy = du∫ dy
4 - 2y
→ → →
 
dy = - , substituindo e resolvendo;
du
2
 
= = - du = - ln u + k = - ln 4 - 2y + k∫ dy
4 - 2y
∫
-
u
du
2 1
2
∫1
u
1
2
( ) 2
1
2
( ) 2
 
Voltando para a solução da EDO (2), temos;
 
- ln 4 - 2y + k = x + k
1
2
( ) 2 1
 
Agora, usando propriedades matemáticas, isolamos na equação (3) para obtermos o y
resultado da EDO;
 
- ln 4 - 2y + k = x + k - ln 4 - 2y = x + k - k
1
2
( ) 2 1 →
1
2
( ) 1 2
 
Fazemos : k - k = k1 2
 
- ln 4 - 2y = x + k ln 4 - 2y = - 2 x + k e = e
1
2
( ) → ( ) ( ) → ln 4-2y( ) -2 x+k( )
 
4 - 2y = e -2y = e - 4 y = y = - +-2 x+k( ) → -2 x+k( ) →
e - 4
-2
-2 x+k( )
→
e
2
-2 x+k( ) -4
-2
 
y = - + 2
e
2
-2 x+k( )
 
 
(3)
(Resposta)