Aula 05 - Estatística Descritiva

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Aula 05 - Estatística
Descritiva terça-feira, 8 de setembro de 2020
12:08
Distribuições de Frequência e seus Gráficos
Objetivos da aula
•
Aprender como construir uma distribuição de frequência incluindo
limites, pontos médios, frequências relativas, frequências acumuladas e
limites reais ou fronteiras.
•
Aprender construir histogramas de frequência, polígonos de frequência,
histogramas de frequência relativa e ogivas.
Distribuições de frequência
Sabemos que há muitas maneiras para se organizar e descrever um conjunto de dados.
Algumas características importantes que devem ser consideradas quando organizamos e descrevemos um conjunto de dados são seu
centro, sua variabilidade (ou dispersão) e sua forma.
Quando um conjunto de dados tem muitos valores, pode ser difícil de observar padrões.
A partir de agora veremos como organizar conjuntos de dados agrupando-os em intervalos chamados de classes e formando uma
distribuição de frequência.
Definição
Uma distribuição de frequência é uma tabela que mostra classes ou intervalos dos valores com a contagem do número de ocorrências
em cada classe ou intervalo. A frequência de uma classe é o número de ocorrências de dados na classe.
Na distribuição de frequência mostrada na Tabela 2.2 há seis classes. As frequências para cada uma das seis classes são 5, 8, 6, 8, 5 e 4.
Cada classe tem um limite inferior de classe, que é o menor número que pode pertencer à classe, e um limite superior de classe, que é o
maior número que pode pertencer à classe.
Na distribuição de frequência mostrada, os limites inferiores de classe são 1, 6, 11, 16, 21 e 26 e os limites superiores de classe são 5, 10,
15, 20, 25 e 30.
A amplitude de classe é a distância entre os limites inferiores (ou superiores) de classes consecutivas. Por exemplo, a amplitude de classe
na distribuição de frequência mostrada é 6 - 1 = 5. Note que as classes não se sobrepõem.
A diferença entre os valores máximo e mínimo dos dados é chamada de amplitude. Na Tabela 2.2, suponha que o valor máximo seja 29, e
o valor mínimo seja 1. A amplitude é, então, 29 - 1 = 28.
Construindo uma distribuição de frequência com base em um conjunto de dados
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A diferença entre os valores máximo e mínimo dos dados é chamada de amplitude. Na Tabela 2.2, suponha que o valor máximo seja 29, e
o valor mínimo seja 1. A amplitude é, então, 29 - 1 = 28.
Construindo uma distribuição de frequência com base em um conjunto de dados
1)
Decida o número de classes para serem incluídas na distribuição de frequência. O número de classes situa-se usualmente entre 5 e
20; caso contrário, pode ser difícil detectar padrões.
2)
Encontre a amplitude de classe como a seguir. Determine a amplitude dos dados, divida a amplitude pelo número de classes e
arredonde para um número próximo mais conveniente.
3)
Encontre os limites de classe. Você pode usar o menor valor dos dados como o limite inferior da primeira classe. Para encontrar os
demais limites inferiores, adicione a amplitude de classe ao limite inferior da classe precedente. Então, encontre o limite superior da
primeira classe. Lembre-se de que as classes não se sobrepõem. Encontre os limites superiores da classes restantes.
4) Faça uma marca de contagem para cada registro na linha da classe apropriada.
5) Conte as marcas para encontrar a frequência total f para cada classe.
Exemplo 1 - Construindo uma distribuição de frequência com base em um conjunto de dados O conjunto de
dados a seguir lista os preços (em dólares) de 30 aparelhos GPS (global positioning system) portáteis. Construa uma
distribuição de frequência com sete classes.
Limite inferior Limite superior
65 104
105 144
145 184
185 224
225 264
265 304
305 344
Classes Frequência
65-104 6
105-144 9
145-184 6
185-224 4
225-264 2
265-304 1
305-344 2
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305-344 2
30
Exemplo 2
Construa uma distribuição de frequência usando as idades das 50 mulheres mais influentes listadas abaixo. Use sete
classes.
a) Estabeleça o número de classes.
b) Encontre os valores mínimo e máximo e a amplitude das classes.
c) Encontre os limites das classes.
d) Faça as marcas de contagem.
e) Escreva a frequência f para cada classe.
Limite inferior Limite superior
26 34
35 43
44 52
53 61
62 70
71 79
80 88
Classe Frequência
26-34 2
35-43 5
44-52 12
53-61 18
62-70 11
71-79 1
80-88 1
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Após construirmos uma distribuição de frequência padrão tal como a dos exemplos anteriores, podemos incluir diversas características
adicionais que ajudam a fornecer um melhor entendimento dos dados.
Essas características: ponto médio, frequência relativa e frequência acumulada de cada classe podem ser incluídas como colunas
adicionais em sua tabela.
Ponto Médio
O ponto médio de uma classe é a soma dos limites inferior e superior da classe dividida por dois. O ponto médio é, às vezes, chamado de
marca da classe (representante da classe).
A frequência relativa de uma classe é a fração, ou proporção, de dados que está nessa classe. Para calcular a frequência relativa de uma
classe, divida a frequência pelo tamanho da amostra. Caso queira expressar em percentagem, basta multiplicar esse resultado por 100.
A frequência acumulada de uma classe é a soma das frequências dessa classe com todas as anteriores. A frequência acumulada da última
classe é igual ao tamanho n da amostra.
Por exemplo, o ponto médio da primeira classe no Exemplo 1 é:
Usando a amplitude de classe de 49, os pontos médios restantes são:
e assim sucessivamente.
Pode-se escrever a frequência relativa como uma fração, um decimal ou percentagem. A soma das frequências relativas de todas as
classes deve ser igual a 1 ou 100%. Devido a arredondamentos, a soma pode ser ligeiramente menor ou maior que 1. Então, valores como
0,99 e 1,01 podem ser encontrados.
Exemplo 3 - Encontrando pontos médios, frequências relativas e frequências acumuladas
Usando a distribuição de frequência construída no exemplo 1, determine o ponto médio e as frequências relativa e acumulada para cada
classe. Descreva quaisquer padrões.
Página 4 de Probabilidade e Estatística
classe. Descreva quaisquer padrões.
Classe F Ponto médio Frequência
Relativa
Frequência Acumulada
65 - 104 6 84,5 0,2 6
105 - 144 9 124,5 0,3 15
145 - 184 6 164,5 0,2 21
185 - 224 4 204,5 0,13 25
225 - 264 2 244,5 0,07 27
265 - 304 1 284,5 0,03 28
305 - 344 2 324,5 0,07 30
Exemplo 4
Usando a distribuição de frequência construída no exemplo 2, encontre o ponto médio e as frequências relativa e acumulada para cada
classe. Descreva quaisquer padrões.
a) Use as fórmulas para determinar cada ponto médio, a frequência relativa e a frequência acumulada.
b) Organize os resultados em uma distribuição de frequência.
c) Descreva quaisquer padrões encontrados.
Classe
Frequência f
26 - 34 2
35 - 43 5
44 - 52 12 53
- 61 18 62 -
70 11 71 - 79
1
80 - 88 1
Ponto
Médio
Frequência
Relativa
Frequência
Acumulada
Gráficos de distribuições de frequência
Às vezes, é mais fácil identificar padrões de um conjunto de dados olhando um gráfico da distribuição de frequência. Um desses gráficos é
o histograma de frequência.
Definição
Um histograma de frequência é um diagrama de barras que representa a distribuição de frequência de um conjunto de dados. Um
histograma tem as seguintes propriedades:
1) A escala horizontal é quantitativa e indica os valores dos dados.
2) A escala vertical indica as frequências das classes.
Página 5 de Probabilidade e Estatística
2) A escala vertical indica as frequências das classes.
3) Barras consecutivas devem estar encostadas umas nas outras.
Em virtude de as barras consecutivas do histograma estarem encostadas, elas devem começar e terminarnas
fronteiras da classe ao invés de em seus limites.
As fronteiras das classes, também denominadas limites reais, são os números que separam as classes sem formar
lacunas entre elas. Para valores de dados inteiros, subtrair 0,5 de cada limite inferior para encontrar as fronteiras
inferiores de classes.
Para encontrar as fronteiras superiores das classes, adicione 0,5 a cada limite superior. A fronteira superior de uma
classe será igual à fronteira inferior da classe seguinte.
Exemplo 5 - Construindo um histograma de frequência
Faça um histograma de frequência para a distribuição de frequência do exemplo 4. Descreva qualquer padrão.
Classe Fronteiras das classes Frequência,
65 - 104
105 - 144
145 - 184
185 - 224
225 - 264
265 - 304
305 - 344
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Outra maneira de representar graficamente uma distribuição de frequência é usar um polígono de frequência. Um
polígono de frequência é um gráfico de linha que enfatiza as mudanças contínuas das frequências.
Exemplo 6 - Construindo um polígono de frequência
Faça um polígono de frequência para a distribuição de frequência do exemplo 3. Descreva quaisquer padrões. Página 6 de
Probabilidade e Estatística
Um histograma de frequência relativa tem a mesma forma e a mesma escala horizontal do correspondente histograma de frequência. A
diferença é que a escala vertical indica as frequências relativas, e não as frequências absolutas.
Exemplo 7 - Construindo um histograma de frequência relativa
Faça um histograma de frequência relativa para a distribuição de frequência do exemplo 3.
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Para descrever o número de registros de dados que são menores que ou iguais a certo valor, construa um gráfico de frequência
acumulada.
Um gráfico de frequência acumulada ou ogiva é um gráfico de linhas que mostra a frequência acumulada até cada classe em sua
fronteira superior. As fronteiras superiores são marcadas no eixo horizontal e as frequências acumuladas são marcadas no eixo vertical.
Instruções
Construindo uma ogiva (gráfico de frequência acumulada)
1) Construa uma distribuição de frequência que inclua uma coluna com as frequências acumuladas.
2)
Especifique as escalas horizontal e vertical. A escala horizontal consiste nas fronteiras superiores das classes e a escala vertical indica
as frequências acumuladas.
3) Assinale os pontos que representam as fronteiras superiores e inferiores das classes e as frequências acumuladas correspondentes.
4) Conecte os pontos em ordem da esquerda para a direita com segmentos lineares.
5)
O gráfico deve começar na fronteira inferior da primeira classe (a frequência acumulada é zero) e deve terminar na fronteira superior
da última classe ( a frequência acumulada é igual ao tamanho da amostra.)
Exemplo 8 - Construindo uma ogiva
Desenhe uma ogiva para a distribuição de frequência do exemplo 3. Página 7 de Probabilidade e Estatística
Desenhe uma ogiva para a distribuição de frequência do exemplo 3.
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