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Aula 02
Curso: Raciocínio Lógico p/ IBGE (Técnico em Informações Geográficas e Estatísticas)
Professor: Arthur Lima
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
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AULA 02: ÁLGEBRA
SUMÁRIO PÁGINA
1. Teoria 01
2. Resolução de exercícios 55
3. Questões apresentadas na aula 103
4. Gabarito 122
Caro aluno,
Nesta aula trataremos de tópicos de álgebra propriamente dita, como
Funções, Equações e Matrizes. Aproveitaremos para ver mais um tópico útil de
matemática básica, que são as progressões aritméticas e geométricas.
Bons estudos!
1. TEORIA
1.1 EQUAÇÕES DE 1º GRAU
Para começar o estudo deste tópico, vamos trabalhar o seguinte exemplo:
“João tinha uma quantidade de bolas cheias, porém 5 murcharam, restando apenas
3 cheias. Quantas bolas tinha João?”. Neste caso, a variável que pretendemos
descobrir é o número de bolas. Chamando essa variável de x, sabemos que x
menos 5 bolas que murcharam resulta em apenas 3 bolas cheias.
Matematicamente, temos:
x – 5 = 3
portanto,
x = 8 bolas
Este é um exemplo bem simples. Note que a variável x está elevada ao
expoente 1 (lembra-se que 1x x= ?) . Quando isso acontece, estamos diante de
uma equação de 1º grau. Estas equações são bem simples de se resolver: basta
isolar a variável x em um lado da igualdade, passando todos os demais membros
para o outro lado, e assim obtemos o valor de x.
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Antes de prosseguirmos, uma observação: você notará que eu não gosto de
usar a letra x, mas sim uma letra que “lembre” o que estamos buscando. No
exemplo acima, eu teria usado B (de bolas), pois acho que isso evita esquecermos
o que representa aquela variável – principalmente quando estivermos trabalhando
com várias delas ao mesmo tempo.
O valor de x que torna a igualdade correta é chamado de “raiz da equação”.
Uma equação de primeiro grau sempre tem apenas 1 raiz. Vejamos outro exemplo:
3x - 15 = 0
3x = 15
x = 5
Note que as equações abaixo NÃO são de primeiro grau:
a) 2 16 0x − =
b) 30 0x x+ − =
c)
1
5 0x
x
+ − =
Uma equação do primeiro grau pode sempre ser escrita na forma 0ax b+ = ,
onde a e b são números que chamaremos de coeficientes, sendo que,
necessariamente, 0a ≠ (a deve ser diferente de zero, caso contrário 0.x = 0, e não
estaríamos diante de uma equação de primeiro grau). Veja que, isolando x em
0ax b+ = , temos:
b
x
a
−
=
Portanto, a raíz da equação é sempre dada por
b
a
−
. Na equação de primeiro
grau 2 13 0x − = , a = 2 e b = -13. Portanto, a raiz será x =
( 13) 13
2 2
b
a
− − −
= = .
Agora imagine o seguinte problema: “O número de bolas que João tem,
acrescido em 5, é igual ao dobro do número de bolas que ele tem, menos 2.
Quantas bolas João tem?”
Ora, sendo B o número de bolas, podemos dizer que B + 5 (o número de
bolas acrescido em 5) é igual a 2B – 2 (o dobro do número de bolas, menos 2). Isto
é:
B + 5 = 2B – 2
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Para resolver este problema, basta passar todos os termos que contém a
incógnita B para um lado da igualdade, e todos os termos que não contém para o
outro lado. Veja:
-(-2) + 5 = 2B – B
2 + 5 = B
7 = B
Sobre este tema, resolva a questão a seguir:
1. CEPERJ – PREF. SÃO GONÇALO – 2011) Antônio recebeu seu salário. As
contas pagas consumiram a terça parte do que recebeu, e a quinta parte do restante
foi gasta no supermercado. Se a quantia que sobrou foi de R$440,00, o valor
recebido por Antonio foi de:
a) R$780,00
b) R$795,00
c) R$810,00
d) R$825,00
e) R$840,00
RESOLUÇÃO:
Seja S o salário recebido por Antonio. Se ele gastou a terça parte (isto é,
3
S
)
com as contas, sobraram
2
3 3
S
S S− = . Desse valor restante, a quinta parte (ou seja,
1 2
5 3
S× ), foi gasta no supermercado. Como sobraram 440 reais, podemos dizer que:
2 1 2
440
3 5 3
S S− × =
Vamos resolver a equação de primeiro grau acima, com a variável S:
2 1 2
440
3 5 3
10 2
440
15 15
8
440
15
15
440
8
825
S S
S S
S
S
S
− × =
− =
=
= ×
=
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Resposta: D.
1.1.1 SISTEMAS LINEARES
Em alguns casos, pode ser que tenhamos mais de uma incógnita. Imagine
que um exercício diga que:
x + y = 10
Veja que existem infinitas possibilidades de x e y que tornam essa igualdade
verdadeira: 2 e 8, -2 e 12 etc. Por isso, faz-se necessário obter mais uma equação
envolvendo as duas incógnitas para poder chegar nos seus valores exatos.
Portanto, imagine que o mesmo exercício diga que:
x – 2y = 4
Portanto, temos o seguinte sistema, formado por 2 equações e 2 variáveis:
10
2 4
x y
x y
+ =�
�
− =�
A principal forma de resolver esse sistema é usando o método da
substituição. Este método é muito simples, e consiste basicamente em duas etapas:
1. Isolar uma das variáveis em uma das equações
2. Substituir esta variável na outra equação pela expressão achada no item
anterior.
A título de exemplo, vamos isolar a variável x na primeira equação acima.
Teremos, portanto:
10x y= −
Agora podemos substituir x por 10 – y na segunda equação. Assim:
2 4
(10 ) 2 4
10 3 4
10 4 3
6 3
2
x y
y y
y
y
y
y
− =
− − =
− =
− =
=
=
Uma vez encontrado o valor de y, basta voltar na equação x = 10 – y e obter
o valor de x:
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10
10 2
8
x y
x
x
= −
= −
=
Existem outros métodos de resolução de sistemas lineares, sendo que
falaremos de um deles mais adiante nesta aula – por agora tente conhecer bem o
método da substituição, que auxiliará a resolver diversas questões de sua prova!
Treine este método com a questão abaixo:
2. CEPERJ – SEFAZ/RJ – 2011) Os professores de uma escola combinaram
almoçar juntos após a reunião geral do sábado seguinte pela manhã, e o transporte
até o restaurante seria feito pelos automóveis de alguns professores que estavam
no estacionamento da escola. Terminada a reunião, constatou-se que:
• Com 5 pessoas em cada carro, todos os professores podem ser transportados e 2
carros podem permanecer no estacionamento.
• Se 2 professores que não possuem carro desistirem, todos os carros podem
transportar os professores restantes, com 4 pessoas em cada carro.
O número total de professores na reunião era:
A) 40
B) 45
C) 50
D) 55
E) 60
RESOLUÇÃO:
Chamemos de C o número de carros disponíveis. Com 5 pessoas em cada
carro, seria possível deixar 2 carros no estacionamento, isto é, usar apenas C – 2
carros. Sendo P o número de professores, podemos dizer que P é igual ao número
de carros que foram usados (C – 2) multiplicado por 5, que é a quantidade de
professores em cada carro:
( 2) 5P C= − ×
Se 2 professores desistirem,isto é, sobrarem P – 2 professores, estes podem
ser transportados nos C carros, ficando 4 pessoas em cada carro. Portanto, o
número de professores transportados neste caso (P – 2) é igual à multiplicação do
número de carros (C) por 4, que é a quantidade de professores em cada carro:
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Alexandre
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14/12/2018
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REVISAR
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2 4P C− = ×
Temos assim um sistema linear com 2 equações e 2 variáveis:
( 2) 5
2 4
P C
P C
= − ×
− = ×
Vamos isolar a variável P na segunda equação:
4 2P C= × +
A seguir, podemos substituir essa expressão na primeira equação:
( 2) 5
4 2 ( 2) 5
4 2 5 10
2 10 5 4
12
P C
C C
C C
C C
C
= − ×
× + = − ×
+ = −
+ = −
=
Descobrimos, portanto, que o total de carros é C = 12. O total de professores
é dado por:
4 2
12 4 2
50
P C
P
P
= × +
= × +
=
Resposta: C
1.2 EQUAÇÕES DE 2º GRAU
Assim como as equações de primeiro grau se caracterizam por possuírem a
variável elevada à primeira potência (isto é, 1x ), as equações de segundo grau
possuem a variável elevada ao quadrado ( 2x ), sendo escritas na forma
2 0ax bx c+ + = , onde a, b e c são os coeficientes da equação. Veja um exemplo:
2 3 2 0x x− + =
Nesta equação, a = 1 (pois 2x está sendo multiplicado por 1), b = -3 e c = 2.
As equações de segundo grau tem 2 raízes, isto é, existem 2 valores de x que
tornam a igualdade verdadeira. No caso da equação acima, veja que x = 1 e x = 2
são raízes, pois:
21 3 1 2 0− × + =
e
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22 3 2 2 0− × + =
Toda equação de segundo grau pode ser escrita também da seguinte forma:
1 2( ) ( ) 0a x r x r× − × − =
Nesta forma de escrever, 1r e 2r são as raízes da equação. Tratando do
exemplo acima, como as raízes são 1 e 2, podemos escrever:
1 ( 1) ( 2) 0x x× − × − =
Desenvolvendo a equação acima, podemos chegar de volta à equação inicial:
2
2
1 ( 1) ( 2) 0
2 1 ( 1) ( 2) 0
3 2 0
x x
x x x
x x
× − × − =
− − + − × − =
− + =
A fórmula de Báskara nos dá as raízes para uma equação de segundo grau.
Basta identificar os coeficientes a, b e c e colocá-los nas seguintes fórmulas:
2 4
2
b b ac
x
a
− + −
=
e
2 4
2
b b ac
x
a
− − −
=
Como a única diferença entre as duas fórmulas é um sinal, podemos
escrever simplesmente:
2 4
2
b b ac
x
a
− ± −
=
Para exemplificar, vamos calcular as raízes da equação 2 3 2 0x x− + =
utilizando a fórmula de Báskara. Recordando que a = 1, b = -3 e c = 2, basta
substituir estes valores na fórmula:
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2
2
4
2
( 3) ( 3) 4 1 2
2 1
3 9 8
2
3 1
2
b b ac
x
a
x
x
x
− ± −
=
− − ± − − × ×
=
×
± −
=
±
=
Observe esta última expressão. Dela podemos obter as 2 raízes, usando
primeiro o sinal de adição (+) e depois o de subtração (-). Veja:
1
3 1 4
2
2 2
x
+
= = =
e
2
3 1 2
1
2 2
x
−
= = =
Na fórmula de Báskara, chamamos de “delta” ( ∆ ) a expressão 2 4b ac− , que
vai dentro da raiz quadrada. Na resolução acima, 2 4 1b ac− = , ou seja, o “delta” era
um valor positivo ( 0∆ > ). Quando 0∆ > , teremos sempre duas raízes reais para a
equação, como foi o caso.
Veja que, se ∆ for negativo, não é possível obter a raiz quadrada. Portanto,
se 0∆ < , dizemos que não existem raízes reais para a equação de segundo grau.
Já se 0∆ = , a fórmula de Báskara fica
0
2 2
b b
x
a a
− ± −
= = . Isto significa que
teremos apenas 1 raiz para a equação, ou melhor duas raízes idênticas. Por
exemplo, vamos calcular as raízes de 2 2 1 0x x− + = . Veja que a = 1, b = -2 e c = 1.
Calculando o valor de “delta”, temos:
2
2
4
( 2) 4 1 1
4 4 0
b ac∆ = −
∆ = − − × ×
∆ = − =
Na fórmula de Báskara, temos:
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2 4
2
2
( 2) 0
2 1
2
1
2
b b ac
x
a
b
x
a
x
x
− ± −
=
− ± ∆
=
− − ±
=
×
= =
Portanto, chegamos apenas ao valor x = 1. Essa equação de segundo grau
tem 0∆ = , o que leva a apenas 1 raíz, isto é, a 2 raízes de mesmo valor (x = 1).
Esta equação poderia ter sido escrita assim:
1 x (x – 1) x (x – 1) = 0
ou simplesmente
(x – 1)2 = 0
Tente resolver a questão abaixo:
3. VUNESP – ISS/SJC – 2012) Em uma sala, o número de meninos excede o
número de meninas em três. O produto do número de meninos pelo número de
meninas é um número que excede o número total de alunos em 129. O total de
alunos nessa sala é
(A) 25.
(B) 27.
(C) 30.
(D) 32.
(E) 36.
RESOLUÇÃO:
Seja A o número de meninas e B o número de meninos. O enunciado diz que
B excede A em 3, ou seja,
B = A + 3
Além disso, é dito que o produto entre A e B (isto é, A x B) excede o número
total de alunos em 129. Como o total de alunos é dado pela soma A + B, temos:
A x B = A + B + 129
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Temos um sistema com duas equações e duas variáveis:
B = A + 3
A x B = A + B + 129
Substituindo B por A + 3 na última equação, temos:
A x (A + 3) = A + (A + 3) + 129
A2 + 3A = 2A + 132
A2 + A – 132 = 0
Podemos resolver essa equação do 2º grau com a fórmula de Báskara, onde
os coeficientes são a = 1, b = 1 e c = -132:
2(1) 1 4 1 ( 132)
2 1
1 529
2
1 23
2
A
A
A
− ± − × × −
=
×
− ±
=
− ±
=
A = -12 ou A = 11
Como A é o número de meninas, ele deve necessariamente ser um número
positivo. Assim, podemos descartar -12 e afirmar que A = 11 meninas. Portanto, o
número de meninos é:
B = A + 3 = 11 + 3 = 14
O total de alunos é:
A + B = 11 + 14 = 25
Resposta: A
Resolva ainda essa questão:
4. COPS/UEL – CELEPAR – 2010) Entre os números x e y existe a seguinte
relação: x3 + 3xy + xy2 = 27. Nessas condições:
a) Se x = 3 e y é negativo, então y = -3.
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b) Se x = 3 e y é positivo, então y = 3.
c) Se x = 4 então y = 8.
d) Se x = 8 então y = 4.
e) Se x = -1 então y = -2.
RESOLUÇÃO:
As alternativas a) e b) dessa questão tratam do caso onde x = 3. Se isto
ocorrer, a expressão do enunciado se transforma em:
33 + 3.3.y + 3y2 = 27
27 + 9y + 3y2 = 27
9y + 3y2 = 0
Para resolver esta equação do segundo grau, você pode utilizar a fórmula de
Báskara que estudamos. Entretanto, veja a seguir uma forma diferente de resolver
(esta forma é válida apenas quando não temos o termo independente, isto é,
quando c = 0 em ay2 + by + c = 0). Basta colocar a variável emevidência:
y . (9 + 3y) = 0
Só existem duas formas do produto acima ser zero. Ou y = 0, ou 9 + 3y = 0, o
que implicaria em y = -3. Estas são as duas raízes.
Assim, veja que se x = 3 e y é negativo, então y = -3. Chegamos ao resultado
da alternativa A.
Resposta: A
1.2.1 EQUAÇÕES BIQUADRADAS
Observe a equação abaixo:
x4 – 2x2 – 3 = 0
Aqui temos uma equação de quarto grau, pois temos a variável x elevada à
quarta potência. Repare ainda que não temos o termo x3 e nem o termo x1 (ou
simplesmente x). Isto é, estes dois termos possuem coeficiente igual a zero.
Essas equações, onde temos x4 e não temos nem x3 nem x, são chamadas
de biquadradas. Elas são importantes porque podemos resolvê-las utilizando o
mesmo método que vimos para as equações de segundo grau, com algumas
adaptações.
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O primeiro passo é “criar” a variável y, definindo que y = x2. Assim, podemos
reescrever a equação inicial, agora em função de y. Basta lembrar que x4 = (x2)2:
x4 – 2x2 – 3 = 0
(x2)2 – 2x2 – 3 = 0
y2 – 2y – 3 = 0
Veja que nesta última linha temos uma equação de segundo grau com a
variável y. Sabemos resolvê-la, utilizando a fórmula de Báskara:
2 4
2
2 4 12
2
2 4
2
b b ac
y
a
y
y
− ± −
=
± +
=
±
=
Portanto, temos 2 valores para y:
y1 = 3 e y2 = -1
Atenção: até aqui obtemos o valor de y apenas. Mas a equação original tinha
a variável x, motivo pelo qual devemos buscar os valores de x. Para isto, basta
lembrar que y = x2. Considerando y1 = 3, temos:
y = x2
3 = x2
3x = ±
Veja que, a partir de y1, obtivemos 2 valores para x: 1 3x = e 2 3x = − . A
partir de y2 devemos obter outros 2 valores de x, totalizando 4 valores de x (o que
era previsível, afinal temos uma equação de 4º grau):
y = x2
-1 = x2
1x = ± −
Se estivéssemos trabalhando no conjunto dos números complexos (onde
existe raiz quadrada de números negativos), estas seriam as outras duas raízes da
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equação original: 3 1x = − e 4 1x = − − . Entretanto, em regra devemos considerar
que estamos no conjunto dos números reais, onde não existe raiz quadrada de
número negativo. Portanto, diante de 1x = ± − , devemos dizer simplesmente que a
equação biquadrada x4 – 2x2 – 3 = 0 só tem 2 raízes reais, e não 4.
Pratique a resolução de equações biquadradas utilizando a equação abaixo:
x4 – 13x2 + 36
Você deverá encontrar y1 = 4 e y2 = 9, e a seguir encontrar x1 = 2, x2 = -2, x3
= 3 e x4 = -3.
1.2.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DE 2º GRAU
Já aprendemos a resolver sistemas formados por duas ou mais equações de
primeiro grau, contendo duas ou mais variáveis. Utilizamos para isso o método da
substituição. Podemos ter sistemas contendo também equações de segundo grau,
onde aplicaremos o mesmo método para resolver. Veja um exemplo a seguir:
2 2
3
3
x y
x y
+ =�
�
− = −�
Isolando x na primeira equação, temos que x = 3 – y. Efetuando a
substituição na segunda equação, temos que:
(3 – y)2 – y2 = -3
9 – 6y + y2 – y2 = -3
y = 2
Logo, x = 3 – y = 3 – 2 = 1
Veja que neste caso a solução foi bem simples, pois a variável y2 foi
cancelada por –y2. Entretanto, ainda que isso não ocorra é possível resolver o
sistema, utilizando os conhecimentos de equações de 2º grau. Veja este outro
exemplo:
2 3
1
x y
x y
� + =
�
− = −�
Isolando x na segunda equação, temos x = y – 1. Substituindo na primeira
equação, temos:
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(y – 1)2 + y = 3
y2 – 2y + 1 + y = 3
y2 – y – 2 = 0
Com o auxílio da fórmula de Báskara podemos resolver esta equação de
segundo grau na variável y:
2( 1) ( 1) 4 1 ( 2)
2 1
y
− − ± − − × × −
=
×
1 3
2
y
±
=
y = 2 ou y = -1
Para y = 2 temos que x = y – 1 = 2 – 1 = 1. Da mesma forma, para y = -1
você pode ver que x = -2. Assim, este sistema possui duas soluções:
x = 1 e y = 2
ou
x = -2 e y = -1
1.3 FUNÇÕES
Observe os dois conjuntos abaixo:
Veja que as setas servem para associar um elemento do conjunto A a um
elemento do conjunto B. Vendo todas as setas, temos uma relação entre os
conjuntos A e B. Observe que podemos ter inúmeras relações entre esses dois
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���������������������������������������������������������������
conjuntos. Observe também que: existem elementos de A que estão ligados a mais
de um elemento de B; existem elementos de A que não estão ligados a nenhum
elemento de B; existem dois elementos de A ligados ao mesmo elemento de B.
Existe uma relação em especial envolvendo esses dois conjuntos, onde cada
elemento de A está ligado a um único elemento de B. Veja um exemplo abaixo:
É isso que chamamos de função. Ou seja, uma função é uma relação entre
elementos de dois conjuntos, que liga cada elemento de um conjunto a um único
elemento do outro conjunto. Note que o fato dos elementos 2 e 3 do conjunto A
estarem ligados ao mesmo elemento de B (5) não faz com que a relação deixe de
ser considerada uma função. O que importa é que cada elemento de A está ligado a
apenas 1 elemento de B.
Já o primeiro exemplo que vimos não era uma função por dois motivos:
- haviam elementos de A que não estavam ligados a nenhum elemento de B (4 e 6);
- havia um elemento de A ligado a mais de um elemento de B (5).
Voltando a falar do exemplo de função apresentado no desenho acima, você
precisa saber identificar os seguintes conjuntos:
- Domínio da função (D): é o conjunto onde a função é definida, ou seja, contém
todos os elementos que serão ligados a elementos de outros conjuntos. Trata-se,
neste exemplo, do conjunto A, afinal todos seus elementos são ligados a elementos
do conjunto B;
- Contradomínio da função (CD): é o conjunto onde se encontram todos os
elementos que poderão ser ligados aos elementos do Domínio. Neste caso, trata-se
do conjunto B;
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- Imagem da função (I): é formado apenas pelos valores do Contradomínio
efetivamente ligados a algum elemento do Domínio. Veja, por exemplo, que os
elementos 4 e 6 do conjunto B não estão ligados a nenhum termo do conjunto A.
Portanto, eles fazem parte do Contradomínio, porém não fazem parte do conjunto
Imagem.
Vamos olhar agora para o conjunto Imagem, isto é, os termos do conjunto B
que estão sendo “usados” pela função. Isso nos permitirá conhecer as
classificações das funções:
a) Função Injetora: se cada elemento do conjunto Imagem estiver ligado a um
único elemento do Domínio, a função é chamada injetora. Ex.:
Neste exemplo, o conjunto imagem é I = {1, 2, 3, 4, 5, 7}. Veja que o 6 não
faz parte da Imagem, apesar de ser parte do Contradomínio (B). E cada elemento
da Imagem está ligado a apenasum elemento do Domínio, que é o conjunto A. Por
isso, a função é Injetora.
b) Função Sobrejetora: se não sobrarem elementos do Contradomínio que não
fazem parte do conjunto Imagem, temos uma função sobrejetora. Em outras
palavras, trata-se dos casos onde Contradomínio = Imagem. Ex.:
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Alexandre
Typewriter
27/12/2018
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Percebeu que todos os elementos do conjunto B (Contradomínio) estão
sendo utilizados pela função (ou seja, este é o próprio conjunto Imagem)? Logo, a
função é Sobrejetora.
c) Função Bijetora: se as duas coisas acima acontecerem ao mesmo tempo,
isto é, a função for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, a função é dita
bijetora. Ex.:
Notou que cada elemento da Imagem está ligado a um único elemento do
Domínio (conj. A)? E que a Imagem é igual ao próprio Contradomínio (conj. B)?
Portanto, essa função é Bijetora.
Qual a importância dessa classificação? Ela nos permite saber se é possível
“inverter o sentido” da função. As funções bijetoras são as únicas que sempre
permitem inverter, ou seja, só elas tem uma “função inversa”. A função inversa pode
ser visualizada simplesmente trocando o sentido das setas, isto é, ligando cada
elemento do conjunto B a um único elemento de A.
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Agora que já vimos os conceitos básicos, vamos introduzir as notações
matemáticas. Para cada elemento x do Domínio, a função f levará a um elemento do
contradomínio, que denotaremos por f(x) (leia “f de x”, ou “função de x”). Ao definir
uma função, geralmente definimos quem é o domínio (D) e quem é o contradomínio
(CD) através da notação f:D�CD. Na função que vimos acima, tínhamos uma
f:A�B, ou seja, uma função com Domínio no conjunto A e Contradomínio no
conjunto B. Na maioria dos exercícios de concurso você terá →:f N N (domínio e
contradomínio iguais ao conjunto dos números naturais), →:f Z Z (inteiros) ou
→:f R R (domínio e contradomínio iguais ao conjunto dos números reais).
Ao representar uma função graficamente, colocamos no eixo horizontal os
valores que o Domínio pode assumir, isto é, os valores de x; e no eixo vertical os
valores que a Imagem pode assumir, ou seja, os valores de f(x), que também
podemos chamar simplesmente de y:
Exemplificando, vamos representar a função →:f R R onde f(x) = 2x. R , no
caso, é o conjunto dos números reais. Portanto, a função f(x) tem como Domínio
todos os números reais, e também os tem como Contradomínio. Se x for igual a 3,
por exemplo, f(x) será f(3) = 2x3 = 6. Portanto, teremos o ponto P (3, 6), que
podemos localizar no gráfico. Antes, porém, vamos calcular a função para outros
valores de x. Veja a tabela abaixo:
Valor de x Valor de f(x) = 2x Ponto (x, f(x))
0 0 (0, 0)
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���
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1 2 (1, 2)
-1 -2 (-1, -2)
-2 -4 (-2, -4)
Vamos representar os pontos acima no gráfico. Veja:
Observe que os pontos marcados formam uma reta. Para cada número real
x, teremos um número real dado por f(x) de forma que o ponto (x, f(x)) pertencerá à
reta desenhada acima.
Antes de avançarmos para as funções mais cobradas (linear e quadrática),
veja o exercício abaixo:
5. CEPERJ – SEEDUC – 2009) Considere a função :f N N→ tal que f(0)=0, e
( 1) ( ) 1f n f n n+ = + + para todo n N∈ . O valor de f(4) é:
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 13
RESOLUÇÃO:
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Máquina de escrever
revisar
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Podemos começar substituindo n por 0 na expressão ( 1) ( ) 1f n f n n+ = + + .
Veja:
(0 1) (0) 0 1
(1) (0) 0 1
f f
f f
+ = + +
= + +
Como f(0) = 0, então podemos fazer essa substituição na equação acima e
obter o valor de f(1):
(1) 0 0 1
(1) 1
f
f
= + +
=
Podemos agora substituir n por 1. Veja o que acontece:
( 1) ( ) 1
(1 1) (1) 1 1
(2) 1 1 1
(2) 3
f n f n n
f f
f
f
+ = + +
+ = + +
= + +
=
Substituindo n por 2, teremos:
( 1) ( ) 1
(2 1) (2) 2 1
(3) 3 2 1
(3) 6
f n f n n
f f
f
f
+ = + +
+ = + +
= + +
=
Finalmente, substituindo n por 3, obtemos o valor de f(4):
(3 1) (3) 3 1
(4) 6 3 1
(4) 10
f f
f
f
+ = + +
= + +
=
Resposta: D.
1.3.1 FUNÇÕES INVERSAS
Vamos trabalhar com a função que vimos acima, isto é, f(x) = 2x. Veja que
essa função leva um valor x ao valor f(x), que no caso é igual a 2x. Veja isso no
diagrama abaixo:
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������������� �������� ��!∀�
�
�
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���
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A função inversa fará o caminho contrário, isto é, levará os elementos do
conjunto da direita de volta aos elementos do conjunto da esquerda. O caso acima é
bem intuitivo: uma vez que f(x)=2x, isto é, os elementos da direita são o dobro
daqueles da esquerda, a função inversa será aquela que divide os elementos do
conjunto da direita por 2. Simbolizando a função inversa por 1( )f x− , fica claro que
neste caso 1( )
2
x
f x− = . Note, por exemplo, que 1
11
(11) 5,5
2
f − = = .
Se você tiver a função f(x) qualquer, e quiser obter a função inversa, basta:
1. Substituir f(x) por x
2. Substituir x por 1( )f x−
3. Rearranjar os termos, isolando 1( )f x− .
Para exemplificar, imagine ( ) 5
3
x
f x = + . Executando os dois primeiros passos
acima, temos:
1
( ) 5
3
( )
5
3
x
f x
f x
x
−
= +
= +
Agora vamos executar o último passo, isolando 1( )f x− :
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1
1
1
1
( )
5
3
( )
5
3
3( 5) ( )
( ) 3( 5)
f x
x
f x
x
x f x
f x x
−
−
−
−
= +
− =
− =
= −
Portanto, a função inversa de ( ) 5
3
x
f x = + é 1( ) 3( 5)f x x− = − . Para ficar mais
claro, observe que f(6) = 7, e que 1(7) 6f − = .
Note que:
- o conjunto imagem da função f(x) será o domínio da função inversa;
- o domínio da função f(x) será a imagem da função inversa;
Para finalizar, lembre-se: apenas as funções bijetoras admitem uma função
inversa.
1.3.2 FUNÇÕES COMPOSTAS
Veja as duas funções abaixo:
( ) 5f x x= +
e
( ) 1
2
x
g x = −
Você já sabe calcular, por exemplo, f(4) e g(4). Neste caso, f(4) =9 e g(4)=1.
O que seria, então, f(g(4))? Para responder, primeiramente precisamos calcular o
que está dentro dos parênteses, isto é, g(4), obtendo o resultado 1. Este resultado é
que será substituído na expressão da função f. Assim, f(g(4)) = f(1) = 1 + 5 = 6.
A função f(g(x)) é uma função composta. Trata-se de uma função formada
por outras duas. Assim, dado um valor de x, é preciso primeiro calcular o valor de
g(x) para, a seguir, substituir esse valorna função f, obtendo o resultado final. Ao
invés de sempre efetuar esses dois passos, é possível descobrir uma expressão
que já dê direto o valor de f(g(x)). Veja que basta substituir x por g(x) na expressão
da função f:
( ) 5
( ( )) ( ) 5
f x x
f g x g x
= +
= +
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Como ( ) 1
2
x
g x = − , podemos substituir o g(x) que se encontra no lado direito
da expressão acima. Veja o que obtemos:
( ( )) ( ) 5
( ( )) 1 5
2
( ( )) 4
2
f g x g x
x
f g x
x
f g x
= +
� �
= − +� �
�
= +
Portanto, a expressão acima já dá o resultado da aplicação da função g,
seguida da aplicação da função f. Veja que
4
( (4)) 4 6
2
f g = + = , como calculamos
acima.
Outra forma de simbolizar f(g(x)) é ( )f g x� . Vamos aproveitar as funções f(x)
e g(x) acima para calcular g(f(x)):
( ) 1
2
( )
( ( )) 1
2
( 5)
( ( )) 1
2
3
( ( ))
2
x
g x
f x
g f x
x
g f x
x
g f x
= −
= −
+
= −
+
=
Observe que as expressões de f(g(x)) e g(f(x)) são bem diferentes. Muito
cuidado com isso! Aqui, a ordem importa!
É possível ainda calcular a função composta ( )f f x� , ou f(f(x)). Basta
substituir o x, na expressão da função f, por f(x). Veja abaixo:
( ) 5
( ) ( ) 5
( ) ( 5) 5
( ) 10
f x x
f f x f x
f f x x
f f x x
= +
= +
= + +
= +
�
�
�
Vamos finalizar calculando g(g(x)), isto é, ( )g g x� :
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( ) 1
2
( )
( ) 1
2
1
2
( ) 1
2
3
( )
4 2
x
g x
g x
g g x
x
g g x
x
g g x
= −
= −
� �
−� �
� = −
= −
�
�
�
6. CEPERJ – SEE/RJ – 2011) Se
2
( )
1
f x
x
=
−
, a raiz da equação ( ) 10f f x =� é:
a) 1/3
b) 4/3
c) 5/3
d) 7/3
e) 8/3
RESOLUÇÃO:
Aqui trabalhamos com as funções compostas. Se
2
( )
1
f x
x
=
−
, então a função
composta ( )f f x� , ou simplesmente f(f(x)) é obtida substituindo o valor de x na
função pela expressão de f(x). Veja:
2
( )
1
f x
x
=
−
2
( ) ( ( ))
2
1
1
f f x f f x
x
= =
� �
−� �
−�
�
Veja que nós simplesmente substituímos o x pela expressão de f(x), isto é,
por
2
1x −
. Vamos rearranjar os termos dessa última equação:
2
( )
2
1
1
f f x
x
=
� �
−� �
−�
�
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2 2 2
( )
2 1 32 1
1 11 1
f f x
x xx
x xx x
= = =
− + −−� � � �
−� � � � − −− −� �
�
2 1 2 2
( ) 2
3 3 3
1
x x
f f x
x x x
x
− −
= = × =
− − −
−
�
Portanto,
2 2
( )
3
x
f f x
x
−
=
−
�
Portanto, para ( ) 10f f x =� , basta igualar a expressão acima à 10 e obter o
valor de x:
2 2
10
3
2 2 10 (3 )
2 2 30 10
12 32
32 8
12 3
x
x
x x
x x
x
x
−
=
−
− = × −
− = −
=
= =
Resposta: E.
1.3.3 FUNÇÕES LINEARES (1º GRAU)
Veja novamente o gráfico que desenhamos para a função f(x) = 2x:
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Calculamos diversos pontos para só então traçar o gráfico e perceber que se
tratava de uma reta. Entretanto, sem desenhar os pontos, você já deveria saber que
esta função teria, como gráfico, uma reta. Isto porque a função f(x) = 2x é uma
função do tipo f(x) = ax + b, que chamaremos de função de primeiro grau, onde a =
2 e b = 0.
Grave isso: as funções de primeiro grau tem como gráfico uma reta. Nestas
funções, o coeficiente “a” é chamado de coeficiente angular, pois ele dá a inclinação
da reta. Se a > 0, a reta será crescente (como a que vimos acima), e se a < 0 a reta
será decrescente. Já o coeficiente “b” é chamado coeficiente linear, e ele indica em
que ponto a reta cruza o eixo das ordenadas (eixo y, ou eixo f(x)). Veja que na
função f(x) = 2x, o termo b é igual a zero. Portanto, a função cruza o eixo Y na
posição y = 0.
Para fixar o conhecimento: a função f(x) = -3x + 5 é uma função de primeiro
grau (pois o maior expoente de x é 1), onde o coeficiente angular é a = -3 e o
coeficiente linear é b = 5. Portanto, seu gráfico é uma reta decrescente (a < 0), que
cruza o eixo y na posição y = 5 (pois este é o valor de b).
Muitas vezes o exercício pode solicitar o ponto onde a função cruza o eixo
horizontal. Veja este ponto, em destaque no gráfico abaixo:
Observe que, neste ponto, f(x) = 0. Portanto, para encontrar o valor de x,
basta igualar a função a 0:
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ax + b = 0
Veja que temos uma equação de primeiro grau. Já sabemos que a raiz será
b
x
a
−
= . Ou seja, a função f(x) cruza o eixo x no ponto P (
b
a
−
, 0).
Para começar a exercitar, resolva o exercício abaixo:
7. COPS/UEL – Polícia Militar/PR – 2010) Considere uma colisão de dois veículos.
Num sistema de coordenadas cartesianas, as posições finais destes veículos após a
colisão são dadas nos pontos A = (2, 2) e B = (4, 1). Para compreender como
ocorreu a colisão é importante determinar a trajetória retilínea que passa pelos
pontos A e B. Essa trajetória é dada pela equação:
a) x – y = 0
b) x + y – 5 = 0
c) x – 2y + 2 = 0
d) 2x + 2y – 8 = 0
e) x + 2y – 6 = 0
RESOLUÇÃO:
A equação de uma função linear (cujo gráfico é uma reta) é do tipo:
f(x) = ax + b
No ponto A temos x = 2 e y = f(2) = 2. Assim,
f(2) = a.2 + b
2 = 2a + b
b = 2 – 2a
No ponto B temos x = 4 e y = f(4) = 1. Logo,
f(4) = a.4 + b
1 = 4a + b
Como já vimos que b é igual a 2 – 2a, podemos efetuar a substituição nesta
última equação:
1 = 4a + (2 – 2a)
a = -1/2
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Portanto, b = 2 – 2 x (-1/2) = 3. Assim, a reta é dada pela função:
1
( ) 3
2
f x x= − +
Podemos chamar f(x) de y, afinal este é o valor que vai no eixo vertical do
gráfico. Assim,
1
3
2
y x= − +
2 6y x= − +
2 6 0x y+ − =
Resposta: E
1.3.4 FUNÇÕES DE 2º GRAU
As funções de segundo grau são aquelas do tipo 2( )f x ax bx c= + + . Aqui
usaremos os conceitos aprendidos para equações de segundo grau.
Primeiramente, é bom você saber que as funções de segundo grau têm um
gráfico na forma de parábola. Veja um exemplo:
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Neste exemplo, dizemos que a parábola tem concavidade para cima. Note
ainda que a curva cruza o eixo x em dois pontos, marcados no gráfico. Estas são as
raízes da função, ou seja, os pontos onde f(x) = 0. Paracalcular estas raízes, basta
igualar a função a zero e usar a fórmula de Báskara para resolver:
2 0ax bx c+ + =
Além disso, veja que a curva cruza o eixo vertical (f(x)) em um ponto, que é
dado pelo coeficiente c (que é o único que não multiplica x).
Saiba ainda que o coeficiente a nunca pode ser zero, pois se isso ocorrer,
restará apenas f(x) = bx + c, e não mais teremos uma parábola, e sim uma reta. O
sinal do coeficiente a determina se a concavidade será para cima ou para baixo. Isto
é, se a > 0, a concavidade será para cima, como na figura acima. E se a < 0, a
concavidade será para baixo, como você vê na figura a seguir:
Observe que até agora vimos exemplos de funções de segundo grau que
cruzavam o eixo X em 2 pontos, que chamamos de raízes. Você deve estar
lembrado que, ao estudar as equações de segundo grau, vimos que é possível que
as mesmas tenham 2 raízes reais (quando 0∆ > ); mas também pode ocorrer de
não ter nenhuma raíz real (se 0∆ < ). Neste caso, a parábola não cruzará o eixo X.
Veja um exemplo:
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Ainda, você lembra que se 0∆ = a função tem 2 raízes reais idênticas. Ou
seja, ela apenas toca o eixo X, em um único ponto. Observe esse exemplo abaixo:
Vamos fazer uma breve digressão, voltando ao tema Domínio, Contradomínio
e Imagem, para fixar esses conceitos. Veja o gráfico acima. Note que todos os
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valores de x são usados (para qualquer número real x, teremos um valor de f(x)).
Portanto, o domínio da função é o conjunto dos números reais. E veja que o
contradomínio é o conjunto dos números reais também, pois, a princípio, a função
f(x) pode assumir qualquer valor real. Entretanto, note que o gráfico da função
apenas toca o eixo x e volta a subir, de forma que nenhum valor f(x) negativo é
usado. Portanto, o conjunto Imagem (valores que a função efetivamente assume) é
formado pelos números reais não negativos, isto é, maiores ou iguais a zero.
Usando notações matemáticas, dizemos que temos uma função →:f R R , cuja
imagem é o conjunto = ∈ ≥{ | 0}I x R x (leia: “x pertencente aos Reais, tal que x é
maior ou igual a zero”).
As parábolas com concavidade para cima possuem um ponto onde f(x) atinge
o seu valor mínimo. Já as parábolas com concavidade para baixo possuem um
ponto onde f(x) atinge o seu valor máximo. Veja no desenho abaixo:
Veja que a curva em azul é uma função de segundo grau com a>0, ou seja,
com concavidade para cima. Neste caso, a função tem um ponto mínimo,
identificado pelas coordenadas X mínima (Xmín.) e Y mínima (f(x)mín.). Já a curva
em preto é uma função de segundo grau com a<0, tendo concavidade para baixo.
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Assim, a função tem um ponto máximo representado pelas coordenadas X máxima
(Xmáx.) e Y máxima (f(x)máx.).
Esse ponto de máximo ou mínimo da função de segundo grau é chamado de
Vértice. É fácil obter as coordenadas dele. Basta saber que:
2vértice
b
x
a
−
=
. A fórmula acima permite calcular o valor da coordenada X no vértice. Uma
vez calculado o valor de da coordenada X, basta substituí-la na função e calcular
( )vérticef x , que será o valor máximo ou mínimo da função, dependendo do caso.
Vamos rever os conceitos mencionados acima analisando a função
2 3 2( ) xf x x − += . Vemos que a = 1, b = -3 e c = 2. Como a > 0, então o gráfico da
função tem concavidade para cima. Calculando o valor de 2 4b ac∆ = − , vemos que
1∆ = , que é positivo, portanto a função tem 2 raízes reais, cruzando o eixo x em 2
pontos. Calculando essas raízes através da fórmula de Báskara, obtemos:
1
2
1
2
x
x
=
=
Como a concavidade é para cima, a função terá um ponto mínimo. A
coordenada X deste ponto será:
( 3) 3
2 2 1 2vértice
b
x
a
− − −
= = =
×
O valor mínimo da função será dado por:
2
2
3 2
3 3 3
( ) 3 2
2 2 2
3 1
( ) 2
2 4
( )
9 9
4 2
x
f
f
f x x − +
� � � �
= − × +� � � �
� �
= − + = −
=
Portanto, podemos fazer um esboço do gráfico desta função da seguinte
forma:
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Comece a exercitar seus conhecimentos sobre funções de segundo grau
resolvendo esta questão:
8. CEPERJ – PREF. ITABORAI – 2011) Sobre os gráficos das funções
:f ℜ → ℜ (ℜ é o conjunto dos números reais) definida por ( )f x x= e :g ℜ → ℜ
definida por 2( ) 3 2g x x x= − + , é correto afirmar que se interceptam em:
a) Um único ponto de abscissa positiva
b) Um único ponto de abscissa negativa
c) Dois pontos distintos com abscissas de sinais contrários
d) Dois pontos distintos com abscissas de mesmo sinal
e) Mais de dois pontos
RESOLUÇÃO:
As duas funções se interceptam nos pontos onde, para um mesmo valor da
abscissa x, os valores de f(x) e g(x) são iguais. Efetuando essa igualdade, temos:
2
2
( ) ( )
3 2
4 2 0
g x f x
x x x
x x
=
− + =
− + =
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Podemos obter os valores de x utilizando a fórmula de Báskara:
2
2
2
4
2
( 4) ( 4) 4(1)(2)
2(1)
4 16 8
2
4 8 4 2 2 4 2 2
2 2
2 2 2
b b ac
x
a
x
x
x
− ± −
=
− − ± − −
=
± −
=
± ± × ±
= = = = ±
Como 2 1,41≅ , então os valores possíveis para x são 3,41 e 0,59. Logo, as
funções f(x) e g(x) se interceptam em 2 pontos, nos quais as abscissas são
aproximadamente x = 0,59 e x = 3,41 (ambas positivas).
Resposta: D.
1.3.4 POLINÔMIOS OU FUNÇÕES POLINOMIAIS
Observe a função abaixo:
f(x) = 5x4 + 8,05x3 – 2x + 35
Note que ela é formada por uma soma de potências da variável x
multiplicadas por coeficientes. Os expoentes de x são todos números naturais (4, 3,
2, 1 e 0). Já os coeficientes são todos números reais (5; 8,05; 0; -2 e 35). Repare
que o termo x2 não aparece acima pois ele está multiplicado pelo coeficiente 0; e o
coeficiente 35 aparece sozinho porque ele está multiplicando x0, que é igual a 1.
Chamamos este tipo de função de polinômio ou função polinomial. Em nosso
exemplo temos um polinômio de 4º grau, pois o maior expoente de maior valor é
igual a 4. Da mesma forma, as funções lineares que estudamos acima são
polinômios de 1º grau, e as funções quadráticas são polinômios de 2º grau.
O grau de um polinômio determina o número de raízes que ele possui –
lembrando que uma raiz é um valor de x que torna f(x) = 0. Essas raízes podem
pertencer ou não ao conjunto dos números reais. O número de raízes reais é
também o número de vezes que o gráfico da função f(x) toca o eixo horizontal.
Podemos escrever um polinômio de forma genérica assim:
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f(x) = anx
n + an-1x
n-1 + …+ a2x
2 + a1x + a0
Sendo r1, r2, r3, ... rn as “n” raízes deste polinômio, podemos reescrevê-lo na
forma de produto, ou “fatorada”, assim:
f(x) = an (x – r1) (x – r2) ... (x – rn-1) (x – rn)
Para aprender a manipular polinômios, vamos usar os exemplos abaixo:
f(x) = 5x4 + 8x3 – 2x + 3
g(x) = 3x4 + x + 1
a) Somar f(x) com g(x). Para isso, basta somar os coeficientes dos termos que
multiplicam as mesmas potências de x. Veja:
f(x) + g(x) = (5x4 + 8x3 – 2x + 3) + (3x4 + x + 1)
Tirando os parênteses:
f(x) + g(x) = 5x4 + 8x3 – 2x + 3 + 3x4 + x + 1
Somando os termos de mesmo expoente:
f(x) + g(x) = (5+3) x4 + 8x3 + (–2 + 1) x + (3 + 1)
f(x) + g(x) = 8x4 + 8x3 – x + 4
b) Subtrair g(x) de f(x). Para isso, basta subtrair os coeficientes dos termos que
multiplicam as mesmas potências de x, porém efetuando as trocas de sinal
necessárias. Veja:
f(x) – g(x) = (5x4 + 8x3 – 2x + 3) – (3x4 + x + 1)
Tirando os parênteses:
f(x) – g(x) = 5x4 + 8x3 – 2x + 3 – 3x4 – x – 1
Somando os termos de mesmo expoente:
f(x) – g(x) = (5 – 3) x4 + 8x3 + (–2 – 1) x + (3 – 1)
f(x) – g(x) = 2x4 + 8x3 – 3 x + 2
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c) Multiplicar ou dividir f(x) por um número. Para isso, basta multiplicar ou dividir
cada coeficiente por este número. Veja:
10 . f(x) = 10 . (5x4 + 8x3 – 2x + 3)
10 . f(x) = 10 . 5x4 + 10 . 8x3 + 10 . (-2)x + 10 . 3
10 . f(x) = 50x4 + 80x3 – 20x + 30
f(x) / 10 = (5x4 + 8x3 – 2x + 3) / 10
f(x) / 10 = 0,5x4 + 0,8x3 – 0,2x + 0,3
d) Multiplicar f(x) por g(x). Para isso basta utilizar a propriedade distributiva da
multiplicação, de modo a multiplicar cada termo de um polinômio por cada termo do
outro. Repare que é preciso multiplicar os termos xn entre si, e não apenas os
coeficientes:
f(x) . g(x) = (5x4 + 8x3 – 2x + 3) . (3x4 + x + 1)
Multiplicando cada termo de f(x) por todos os termos de g(x):
f(x) . g(x) = (5x4.3x4 + 5x4.x + 5x4.1) + (8x3.3x4 + 8x3.x + 8x3.1) + (– 2x .3x4 – 2x .x –
2x . 1) + (3.3x4 + 3.x + 3.1)
Efetuando as multiplicações dentro dos parênteses:
f(x).g(x) = (15x8 + 5x5 + 5x4) + (24x7 + 8x4 + 8x3) + (– 6x5 – 2x2 – 2x) + (9x4 + 3x + 3)
Somando os termos de mesmo expoente:
f(x).g(x) = 15x8 + 24x7 – x5 + 22x4 + 8x3 – 2x2 + x + 3
Repare que ao multiplicar um polinômio de grau 4 por outro de grau 4
obtivemos um polinômio de grau 4 + 4 = 8.
e) Dividir f(x) por g(x). Aqui é preciso entender a metodologia da divisão de
polinômios, que é muito similar àquela utilizada para dividir números.
Antes de começar, lembre-se que em uma divisão comum, temos um
dividendo que é dividido por divisor, gerando um quociente e um resto. Se o resto
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for igual a zero, dizemos que a divisão é exata, ou seja, o dividendo é divisível pelo
divisor. Além disso:
Dividendo = Divisor x Quociente + Resto
Ao dividir f(x) por g(x), o polinômio f será o dividendo e g será o divisor.
Chamando de Q(x) o polinômio quociente e de R(x) o resto, temos que:
f(x) = g(x) . Q(x) + R(x)
Vamos trabalhar com os polinômios abaixo:
f(x) = 4x4 + 8x3 – 2x + 3
g(x) = 2x2 + x + 1
Devemos começar dividindo o termo de maior grau do dividendo (4x4) pelo
termo de maior grau do divisor (2x2), que tem por quociente 2x2:
4 3 2
2
4 8 2 3 2 1
2
x x x x x
x
+ − + + +
Agora devemos multiplicar o termo encontrado (2x2) pelo divisor (2x2+x+1), e
a seguir subtrair este valor do dividendo (4x4 + 8x3 – 2x + 3). Como:
2 2 4 3 2(2 1) 2 4 +2 +2x x x x x x+ + × =
temos:
4 3 2
4 3 2 2
4 8 2 3 2 1
(4 +2 +2 ) 2
x x x x x
x x x x
+ − + + +
−
Efetuando a subtração, temos:
4 3 2
4 3 2 2
3 2
4 8 2 3 2 1
(4 +2 +2 ) 2
6 2 2 3
x x x x x
x x x x
x x x
+ − + + +
−
= − − +
Agora vamos dividir o termo de maior expoente do resultado (6x3) pelo termo
de maior expoente do divisor (2x2), obtendo o resultado 3x, que devemos somar ao
quociente já encontrado:
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4 3 2
4 3 2 2
3 2
4 8 2 3 2 1
(4 +2 +2 ) 2 3
6 2 2 3
x x x x x
x x x x x
x x x
+ − + + +
− +
= − − +
Multiplicando o termo 3x pelo divisor (2x2+x+1), e depois subtraindo do
dividendo, temos:
4 3 2
4 3 2 2
3 2
3 2
2
4 8 2 3 2 1
(4 +2 +2 ) 2 3
6 2 2 3
(6 3 3 )
5 5 3
x x x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x
+ − + + +
− +
= − − +
− + +
= − − +
Dividindo (-5x2) por (2x2) temos -2,5. Devemos adicionar este valor ao
quociente:
4 3 2
4 3 2 2
3 2
3 2
2
4 8 2 3 2 1
(4 +2 +2 ) 2 3 2,5
6 2 2 3
(6 3 3 )
5 5 3
x x x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x
+ − + + +
− + −
= − − +
− + +
= − − +
A seguir devemos multiplicar -2,5 pelo divisor (2x2+x+1), e depois subtrair do
dividendo:
4 3 2
4 3 2 2
3 2
3 2
2
2
4 8 2 3 2 1
(4 +2 +2 ) 2 3 2,5
6 2 2 3
(6 3 3 )
5 5 3
( 5 2,5 2,5)
2,5 5,5
x x x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x
x x
x
+ − + + +
− + −
= − − +
− + +
= − − +
− − − −
= − +
Agora o dividendo é um polinômio de grau 1, inferior ao grau do divisor.
Portanto, chegamos ao final da divisão, obtendo o quociente 2( ) 2 3 2,5Q x x x= + − e o
resto ( ) 2,5 5,5R x x= − + , de fato,
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f(x) = g(x).Q(x) + R(x)
ou seja,
4x4 + 8x3 – 2x + 3 = (2x2 + x + 1) (2x2 + 3x – 2,5) + (-2,5x + 5,5)
Observe que sempre dividimos um polinômio por outro de grau menor ou
igual. E o resto sempre terá grau menor que o do dividendo. Isto é, só podemos
dividir um polinômio de grau 5 por outro de grau 5 ou menor que este. E, se
estivermos dividindo este polinômo por outro de grau 3, isto significa que o resto
poderá ter, no máximo, grau 2. Isto é, este resto terá a forma R(x) = ax2 + bx + c
(sendo que os coeficientes a, b e c podem ser iguais a zero).
Um caso muito comum é a divisão de um polinômio P(x) por um divisor na
forma (x – a), onde “a” é uma constante qualquer. Como o divisor é um polinômio de
grau 1, o resto certamente terá grau zero, ou seja, será um valor constante. O
teorema do resto nos diz que o resto dessa divisão é o próprio P(a). Entenda isso
através do exemplo abaixo:
Sendo P(x) = 5x4 + 8x3 – 2x + 3, qual é o valor do resto da divisão de P(x) por
(x – 1)?
Observe que o divisor é na forma (x – a), onde a = 1. De acordo com o
teorema acima, o resto é o próprio P(1), ou seja:
Resto = P(1) = 5.14 + 8.13 – 2.1 + 3 = 5 + 8 – 2 + 3 = 14
E se quiséssemos saber o valor do resto da divisão deste polinômio por
(x+2)? Temos novamente um divisor na forma (x – a), porém neste caso a = -2.
Afinal, [x – (-2)]= (x + 2). O resto da divisão é justamente P(a), ou seja, P(-2):
Resto = P(-2) = 5.(-2)4 + 8. (-2)3 – 2. (-2) + 3 = 80 – 64 + 4 + 3 = 23
Veja como isso já foi cobrado em concursos:
9. ESAF – AFRFB – 2009) Se um polinômio f for divisível separadamente por (x – a)
(x – b) com a � b, então f é divisível pelo produto entre (x – a) e (x – b). Sabendo-se
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que 5 e -2 são os restos da divisão de um polinômio f por (x - 1) e (x + 3),
respectivamente, então o resto da divisão desse polinômio pelo produto dado por
(x - 1) e (x + 3) é igual a:
RESOLUÇÃO:
Pelo teorema do resto que vimos acima, se f dividido por (x – 1) tem resto
igual a 5, isto significa que f(1) = 5. E se f dividido por (x + 3) tem resto igual a -2,
isto indica que f(-3) = -2.
O polinômio (x – 1).(x + 3) terá grau 2. Assim, ao dividir f por este polinômio,
o grau do resto será, no máximo, igual a 1. Genericamente, podemos representar
este resto por R(x) = ax + b, sendo que a e/ou b podem ser iguais a zero.
Assim, lembrando que P(x) = Q(x).D(x) + R(x), temos que:
f(x) = Q(x).(x – 1).(x + 3) + ax + b
Como f(1) = 5, substituindo x por 1 temos:
f(1) = Q(1).(1 – 1).(1 + 3) + a.1 + b
5 = Q(1).(0).(1 + 3) + a + b
5 = a + b
E como f(-3) = -2, podemos substituir x por –3:
f(-3) = Q(-3).(-3 – 1).(-3 + 3) + a.(-3) + b
-2 = Q(-3).(-3 – 1).(0) + -3a + b
-2 = -3a + b
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Portanto, temos um sistema linear com 2 equações e duas variáveis (a e b):
5 = a + b
-2 = -3a + b
Da primeira equação temos que b = 5 – a. Substituindo na segunda:
-2 = -3a + (5 – a)
-2 = -4a + 5
4a = 5 + 2
a = 7 / 4
Logo,
b = 5 – a = 5 – 7/4 = 13 / 4
Portanto,
R(x) = ax + b = (7/4)x + 13/4
Resposta: C
1.3.5 FUNÇÕES EXPONENCIAIS
A função f(x) = 2x é um exemplo de função exponencial. Repare que, neste
caso, a variável x encontra-se no expoente. De maneira geral, dizemos que funções
do tipo f(x) = ax são funções exponenciais. O coeficiente “a” precisa ser maior do
que zero, e também diferente de 1 (afinal 1 elevado a qualquer número é sempre
igual a 1).
Você verá que todos os valores de f(x) serão positivos. Assim, a função
exponencial tem domínio no conjunto dos números reais (R) e contradomínio no
conjunto dos números reais positivos (isto é, o zero não está incluso). Ou seja,
temos uma função do tipo f: R � R+
*.
Se a > 1, a função é crescente. Já se 0 < a < 1, a função é decrescente. A
título de exemplo, veja como são os gráficos de f(x) = 2x (crescente) e de g(x) = 0,5x
(decrescente):
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Repare que g(x) = 0,5x aproxima-se bastante do eixo horizontal à medida que
o valor de x cresce (para a direita), entretanto esta função nunca toca o eixo
horizontal. Da mesma forma, f(x) = 2x aproxima-se bastante do eixo horizontal à
medida que o valor de x decresce (para a esquerda), mas esta função também
nunca toca o eixo horizontal.
Um caso especial da função exponencial é aquele onde o coeficiente a é o
famoso “número de Euler”, representado pela letra “e”, e cujo valor é um número
irracional: e = 2,718281... . Trata-se da função f(x) = ex que, como veremos ao
estudar as funções logarítmicas, é o inverso da função g(x) = lnx. Esta função é
crescente, dado que e > 1:
1.3.6 FUNÇÕES LOGARÍTMICAS
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Antes de conhecermos as funções logaritmicas, penso ser interessante
relembrar o conceito de logaritmo e suas principais propriedades.
Sabemos que 32 = 9. Portanto, o número ao qual 3 precisa ser elevado para
atingir o valor 9 é o número 2. É exatamente isto que o logaritmo expressa. Ou seja,
o logaritmo de 9 na base 3 é 2: log39 = 2. Grave esta relação:
32 = 9 ⇔ log39 = 2
De maneira equivalente, podemos dizer que:
24 = 16 ⇔ log216 = 4
Na expressão logab = c, chamamos o número “a” de base do logaritmo. Veja
que o resultado do logaritmo (c) é justamente o expoente ao qual deve ser elevada
a base “a” para atingir o valor b.
De modo bastante resumido, as propriedades mais importantes dos
logaritmos são:
a)
logbaa b= . Exemplo:
17
5log5 17=
b) log .logn
a a
b n b= . Exemplo: 25 5log 12 2.log 12=
c) log ( . ) log log
a a a
b c b c= + . Exemplo: 2 2 2log (3.4) log 3 log 4= +
d) log ( / ) log log
a a a
b c b c= − . Exemplo: 2 2 2log (3 / 4) log 3 log 4= −
e)
log
log
log
c
a
c
b
b
a
= . Exemplo: 52
5
log 10
log 10
log 2
=
Para exercitar as propriedades do logaritmo, resolva a questão a seguir:
10. COPS/UEL – CELEPAR – 2010) Sabemos que logX = log 5 + log2 5 + log2
onde log é o logaritmo decimal. Então o valor de X é:
a) 4 5
b) 15,875 aproximadamente
c) 17,585 aproximadamente
d) 2 + 3 5
e) 20
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RESOLUÇÃO:
Se logX = log 5 + log2 5 + log2, então podemos dizer também que:
log log 5 log2 5 log210 10X + +=
Lembrando das propriedades das potências, temos que:
log log 5 log2 5 log210 10 10 10X = × ×
E lembrando da propriedade dos logaritmos de que log
b
aa b= , temos:
5 2 5 2X = × ×
20X =
Resposta: E
Obs.: na resolução acima utilizamos a propriedade a) dos logaritmos. Veja
uma segunda forma de resolver (e mais rápida), com base na propriedade c) que
estudamos:
logX = log 5 + log2 5 + log2
logX = log( 5 .2 5 .2)
logX = log(20)
X = 20
A função f(x) = log5(x) é um exemplo de função logarítmica. Veja que nela a
variável x encontra-se dentro do operador logaritmo. De maneira mais genérica,
dizemos que as funções do tipo f(x) = loga(x) são funções logarítmicas. Assim como
nas exponenciais, o coeficiente a precisa ser positivo (a > 0) e diferente de 1.
Aqui há uma inversão: o domínio é formado apenas pelos números reais
positivos (pois não há logaritmo de número negativo) e o contradomínio é o conjunto
dos números reais. Ou seja, temos f: R+
* � R.
Para exercitar, vamos calcular o domínio da função f(x) = log2(3x – 1). Veja
que é preciso que 3x – 1 seja positivo, ou seja:
3x – 1 > 0
x > 1/3
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067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
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������
������
��������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
���������������������������������������������������������������
Assim, o domínio é D = {x ∈R | x > 1/3}.
Se a > 1, a função é crescente. Já se 0 < a < 1, a função é decrescente. A
título de exemplo, veja os gráficos de f(x) = log2x e de g(x) = log0,5x:
Observe ainda a relação entre os gráficos da função logaritmica crescente
f(x) = log2x e da função exponencialcrescente g(x) = 2
x:
Repare que estes gráficos são simétricos em relação à reta pontilhada, que é
conhecida como “bissetriz dos quadrantes ímpares”. É como se esta linha
funcionasse como um “espelho” entre as duas funções, de modo que uma reflete a
outra.
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
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������
������
��������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
���������������������������������������������������������������
Da mesma forma, veja a relação entre os gráficos da função logaritmica
decrescente f(x) = log0,5x e da função exponencial decrescente g(x) = 0,5
x:
Mais uma vez os gráficos também são simétricos em relação à bissetriz dos
quadrantes ímpares. É por isso que dizemos que as funções logarítmica e
exponencial são inversas entre si.
1.4 MATRIZES E DETERMINANTES
Uma matriz Mmxn é uma tabela com m linhas e n colunas. Os elementos desta
tabela são representados na forma aij, onde i representa a linha e j representa a
coluna deste termo. Ex.: abaixo temos uma matriz A2x3. Veja que o termo a13, por
exemplo, é igual a -3:
7 4 3
2 1 0
A
−
�
= �
−� �
Dizemos que a ordem desta matriz é 2x3. Uma matriz é quadrada quando
possui o mesmo número de linhas e colunas. Ex.: abaixo temos uma matriz
quadrada de ordem 3:
1 3 0
3 1 5
0 5 1
A
�
�
= �
�
� �
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
�����������
������
������
��������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
���������������������������������������������������������������
Esta matriz possui uma diagonal principal, que neste exemplo é formada
pelos números 1. A outra diagonal é dita secundária.
O determinante de uma matriz é um número a ela associado. Aqui estamos
tratando apenas de matrizes quadradas. Em uma matriz quadrada de ordem 1, o
determinante é o próprio termo que forma a matriz. Ex.:
Se [3]A = , então det(A) = 3
Em uma matriz quadrada de ordem 2, o determinante é dado pela subtração
entre o produto da diagonal principal e o produto da diagonal secundária. Veja:
Se
5 1
7 2
A
�
= �
� �
, então det(A) = 5x2 – 1x7 = 3
Em uma matriz quadrada de ordem 3, o determinante é calculado da seguinte
forma:
det
a b c
d e f aei bfg cdh ceg bdi afh
g h i
� �
� �
= + + − − −� �
� �
�
Exemplificando:
Se
1 2 3
0 4 5
1 3 0
A
�
�
= �
�
� �
,
então det(A) = 1x4x0 + 2x5x1 + 3x0x3 – 3x4x1 – 2x0x0 – 1x5x3 = -17
Os conceitos de matrizes e determinantes vistos acima tem uma aplicação
importante na resolução de sistemas lineares. Vamos trabalhar com o sistema
abaixo, que possui 3 variáveis (x, y e z) e 3 equações:
2x + y + z = 4
x – y + z = 1
x + y = 2
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
�����������
������
������
��������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
���������������������������������������������������������������
Já aprendemos a resolver este sistema através do método da substituição
(que tal praticá-lo aqui?). Aqui veremos como resolver aplicando os conceitos de
matrizes e determinantes.
Os números que multiplicam as variáveis x, y e z em cada equação são
chamados de coeficientes. Podemos reescrever este sistema de equações em
forma matricial, separando os coeficientes em uma primeira matriz, as variáveis na
segunda e os resultados na terceira. Veja:
2 1 1 4
1 1 1 1
1 1 0 2
x
y
z
�
�
�
�
�
�
− × =�
�
�
�
�
�
� � � � � �
Para obtermos os valores de x, y e z, devemos:
� Calcular o determinante da primeira matriz (matriz dos coeficientes), que
chamaremos de D. Isto é,
2 1 1
det 1 1 1
1 1 0
D
� �
� �
= −� �
� �
�
� Substituir os coeficientes de x da primeira matriz (isto é, a primeira coluna)
pelos valores da matriz de resultados, obtendo o determinante desta nova
matriz, que chamaremos de Dx. Isto é,
4 1 1
det 1 1 1
2 1 0
Dx
� �
� �
= −� �
� �
�
� Substituir os cieficientes de y da primeira matriz pelos valores da matriz de
resultados, e obter Dy:
2 4 1
det 1 1 1
1 2 0
Dy
� �
� �
= � �
� �
�
� Repetir o procedimento, obtendo Dz:
2 1 4
det 1 1 1
1 1 2
D
� �
� �
= −� �
� �
�
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067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
�����������
������
������
��������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
���������������������������������������������������������������
Desta forma, os valores x, y e z que representam a solução deste sistema
linear serão:
Dx
x
D
= ,
Dy
y
D
= e
Dz
z
D
=
Ainda podemos classificar o sistema quanto à possibilidade ou não de
encontrar uma solução. Se:
a) D é diferente de 0, então o sistema é possível e determinado � é possível obter
valores únicos para x, y e z;
b) D = Dx = Dy = Dz = 0, então o sistema é possível e indeterminado � existem
infinitos valores possíveis para x, y e z;
c) D = 0 e pelo menos um dos demais determinantes (Dx, Dy e/ou Dz) for diferente
de zero, então o sistema é impossível � não existem valores x, y e z que resolvem
o sistema.
Vejamos uma questão sobre o assunto para você praticar esses conceitos:
11. ESAF – AFRFB – 2009) Com relação ao sistema ,
onde 3 z + 2 � 0 e 2 x + y � 0 , pode-se, com certeza, afirmar que:
a) é impossível.
b) é indeterminado.
c) possui determinante igual a 4.
d) possui apenas a solução trivial.
e) é homogêneo.
RESOLUÇÃO:
Observe que
2 1
1
3 2 2
x y z
z x y
− +
= =
+ +
pode ser separada nas duas equações
abaixo:
2
1
3 2
x y
z
−
=
+
e
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067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
�����������
������
������
��������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
���������������������������������������������������������������
1
1
2
z
x y
+
=
+
Reescrevendo-as de modo a eliminar as frações, temos:
2 3 2x y z− = +
e
1 2z x y+ = +
Para montar o sistema linear, devemos colocar todas as variáveis de um lado
da igualdade e o termo constante do outro lado. Fazendo isso com as equações
acima, temos:
2 3 2x y z− − =
e
2 1x y z+ − =
Assim, o nosso sistema linear é formado pelas 3 equações abaixo:
1
2 3 2
2 1
x y z
x y z
x y z
+ + =�
�
− − =�
� + − =�
Para podemos classificar este sistema, devemos montar as matrizes dos
coeficientes, para obter D, e as matrizes necessárias para obter Dx, Dy e Dz. Veja:
1 1 1
2 1 3
2 1 1
D = − −
−
Calculando este determinante:
D = 1 x (-1) x (-1) + 1 x (-3) x 2 + 1 x 2 x 1 – 1 x (-1) x 2) – 1 x 2 x (-1) – 1 x (-3) x 1
D = 1 – 6 + 2 + 2 + 2 + 3
D = 4
Portanto, o determinante do sistema é igual a 4, o que já nos permite
assinalar a alternativa C. Por fins didáticos, vamos obter Dx, Dy e Dz e classificar o
sistema.
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
�����������
������
������
��������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
���������������������������������������������������������������
Para obter Dx devemos substituir a primeira coluna (que possui os
coeficientes da variável x em cada equação) pelos termos constantes:
1 1 1
2 1 3 1 3 2 1 3 2 6
1 1 1
Dx = − − = − + + + + =
−
Para obter Dy devemos substituir a segunda coluna de D (coeficientes de y)
pelos elementos constantes:
1 1 1
2 2 3 2 6 2 4 3 2 5
2 1 1
Dy = − = − − + − + + = −
−
De maneira análoga podemos obter Dz:
1 1 1
2 1 2 1 4 2 2 2 2 3
2 1 1
Dz = − = − + + + − − =
Como 0D ≠ , estamos diantede um sistema possível e determinado. Isto é,
certamente será possível obter valores únicos para x, y e z que atendam as 3
equações ao mesmo tempo. Esses valores são:
6
1,5
4
Dx
x
D
= = =
5
1, 25
4
Dy
y
D
−
= = = −
3
0,75
4
Dz
z
D
= = =
Para conferir se não erramos os cálculos, podemos testar a primeira
equação, substituindo os valores de x, y e z que encontramos:
x + y + z = 1,5 + (-1,25) + 0,75 = 1
Resposta: C
1.5 PROGRESSÃO ARITMÉTICA E PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
1.5.1 PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
�����������
������
������
��������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
���������������������������������������������������������������
As progressões aritméticas (ou PAs) são sequências de números nas quais o
termo seguinte é equivalente ao termo anterior somado de um valor fixo, que
chamaremos de “razão” da PA. Veja a sequência abaixo:
{1, 4, 7, 10, 13, 16...}
Veja que 4 = 1 + 3; assim como 7 = 4 + 3; 10 = 7 + 3 etc. Trata-se de uma
progressão aritmética de razão 3. Em questões envolvendo progressões aritméticas,
é importante você saber obter o termo geral e a soma dos termos, conforme abaixo:
1. Termo geral da PA: trata-se de uma fórmula que, a partir do primeiro termo e
da razão da PA, permite calcular qualquer outro termo. Veja-a abaixo:
1 ( 1)na a r n= + × −
Nesta fórmula, na é o termo de posição n na PA (o “n-ésimo” termo); 1a é o
termo inicial, r é a razão e n é a posição do termo na PA. Usando a sequência
que apresentamos acima, vamos calcular o termo de posição 5. Já sabemos que:
- o termo que buscamos é o da quinta posição, isto é, 5a ;
- a razão da PA é 3, portanto r = 3;
- o termo inicial é 1, logo 1 1a = ;
- n, ou seja, a posição que queremos, é a de número 5: 5n =
Portanto,
1
5
5
5
( 1)
1 3 (5 1)
1 3 4
13
na a r n
a
a
a
= + × −
= + × −
= + ×
=
Isto é, o termo da posição 5 é o 13. Volte na sequência e confira. Perceba
que, com essa fórmula, podemos calcular qualquer termo da PA. O termo da
posição 100 é:
1
100
100
100
( 1)
1 3 (100 1)
1 3 99
298
na a r n
a
a
a
= + × −
= + × −
= + ×
=
2. Soma do primeiro ao n-ésimo termo:
1( )
2
n
n
n a a
S
× +
=
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
�����������
������
������
��������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
���������������������������������������������������������������
Assim, vamos calcular a soma dos 5 primeiros termos da PA que
apresentamos acima. Já sabemos que 1 1a = , 5n = e o termo na será, neste caso,
o termo 5a , que calculamos acima usando a fórmula do termo geral ( 5 13a = ). Logo:
1
5
( )
2
5 (1 13) 5 14
35
2 2
n
n
n a a
S
S
× +
=
× + ×
= = =
1.5.2 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG)
As progressões geométricas (PGs) lembram as PAs, porém ao invés de
haver uma razão r que, somada a um termo, leva ao termo seguinte, haverá uma
razão q que, multiplicada por um termo, leva ao seguinte. Veja um exemplo abaixo:
{1, 3, 9, 27, 81...}
Observe que cada termo é igual ao anterior multiplicado por 3. Assim, a razão
dessa PG é q = 3, e o termo inicial é 1 1a = . Veja abaixo as principais fórmulas
envolvendo progressões geométricas:
a) Termo geral:
1
1
n
na a q
−= ×
onde na é o termo de posição “n” na PG, 1a é o termo inicial e q é a razão.
b) Soma do primeiro ao n-ésimo termo:
1 ( 1)
1
n
n
a q
S
q
× −
=
−
onde nS é o termo de posição “n” na PG, 1a é o termo inicial e q é a razão.
c) Soma dos infinitos termos: em regra, tanto a soma de todos os termos das
PAs quanto das PGs é impossível de ser calculada, pois são sequências
infinitas. Entretanto, quando a razão “q” da PG está entre -1 e 1, isto é, |q| <
1, os termos da PG serão decrescentes (em valor absoluto), tendendo a zero.
Veja esta PG abaixo, cuja razão é q =
1
2
:
{10; 5; 2,5; 1,25; 0,625...}
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
�����������
������
������
��������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
���������������������������������������������������������������
Trata-se de uma PG com termo inicial 1 10a = e razão q =
1
2
. À medida que
andamos para a direita nessa PG, os termos vão diminuindo. A soma de todos
os seus termos será dada pela fórmula:
1
1
a
S
q∞
=
−
O símbolo S
∞
representa a soma dos infinitos termos da PG. Aplicando a
fórmula acima à PG apresentada, temos:
1
1
10
1
1
2
10 2
10 20
1 1
2
a
S
q
S
S
∞
∞
∞
=
−
=
−
= = × =
O quadro a seguir resume as principais fórmulas que você precisa saber para
resolver as questões sobre progressões aritméticas e geométricas.
Principais fórmulas de PA e PG
Termo geral da PA 1 ( 1)na a r n= + × −
Soma dos n primeiros termos da PA 1
( )
2
n
n
n a a
S
× +
=
Termo geral da PG 11
n
na a q
−= ×
Soma dos n primeiros termos da PG 1
( 1)
1
n
n
a q
S
q
× −
=
−
Soma dos infinitos termos da PG com |q| < 1 1
1
a
S
q∞
=
−
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
�����������
������
������
��������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
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2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS
12. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2010) O valor de um caminhão do tipo A novo
é de R$ 90.000,00 e, com 4 anos de uso, é de R$50.000,00. Supondo que o preço
caia com o tempo, segundo uma função linear, o valor de um caminhão do tipo A,
com 2 anos de uso, em reais, é de
a) 40.000,00
b) 50.000,00
c) 60.000,00
d) 70.000,00
e) 80.000,00
RESOLUÇÃO:
Seja “t” o tempo de uso de um caminhão e f(t) o preço deste caminhão, em
função do tempo de uso. Foi dito que esta é uma função linear, ou seja, uma função
de primeiro grau, do tipo: f(x) = ax + b. Ou melhor, usando a variável “t”:
f(t) = a.t + b
Sabemos que um caminhão novo (t = 0) tem preço f(0) = 90000. Ou seja,
f(0) = a.0 + b
90000 = b
Sabemos também que um caminhão com 4 anos de uso (t = 4) tem preço f(4)
= 50000. Isto é:
f(4) = a.4 + b
50000 = 4a + 90000
-40000 = 4a
a = -10000
Portanto, temos a função linear que nos dá a relação entre o tempo de uso e
o preço do caminhão:
f(t) = -10000t + 90000
Para t = 2 anos de uso, temos:
f(2) = -10000 x 2 + 90000 = 70000 reais
Resposta: D
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
Alessandra
Máquina de escrever
ok
�����������
������
������
��������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
���������������������������������������������������������������
13. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2010) O número de elementos do conjunto
soluções da equação x + y + z = 8 , onde x, y e z são números naturais positivos, é
a) 13
b) 15
c) 17
d) 19
e) 21
RESOLUÇÃO:
Vejamos quais as possibilidades de somar 3 números naturais positivos (o
zero não entra!!) e obter o resultado 8:
1 + 1 + 6
1 + 2 + 5
1 + 3 + 4
1 + 4 + 3
1 + 5 + 2
1 + 6 + 1
2 + 1 + 5
2 + 2 + 4
2 + 3 + 3
2 + 4 + 2
2 + 5 + 1
3 + 1 + 4
3 + 2 + 3
3 + 3 + 2
3 + 4 + 1
4 + 1 + 3
4 + 2 + 2
4 + 3 + 1
5 + 1 + 2
5 + 2 + 1
6 + 1 + 1
Temos 21 possibilidades.
Resposta: E
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
Alessandra
Máquina de escrever
ok
�����������
������
������
��������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
���������������������������������������������������������������14. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2010) A função geradora do gráfico abaixo é
do tipo y = mx + n
Então, o valor de m3 + n é
a) 2
b) 3
c) 5
d) 8
e) 13
RESOLUÇÃO:
Observe no gráfico que, para x = 3, temos y = 1. E para x = -2, temos y = -9.
Como a reta é do tipo y = mx + n, temos que:
1 = m.3 + n
-9 = m.(-2) + n
1 = 3m + n
-9 = -2m + n
Isolando n na primeira equação, temos:
n = 1 – 3m
Substituindo na segunda equação, temos:
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
�����������
������
������
��������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
���������������������������������������������������������������
-9 = -2m + (1 – 3m)
-9 = -2m + 1 – 3m
-10 = -5m
m = 2
Logo, n = 1 – 3m = 1 – 3.2 = -5.
Assim, m3 + n = 23 + (-5) = 3.
Resposta: B
15. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2010) Uma loja de eletrodomésticos possui
1.600 unidades de liquidificadores em estoque. Uma recente pesquisa de mercado
apontou que seriam vendidas 800 unidades a um preço de R$300,00, e que cada
diminuição de R$ 5,00, no valor do produto, resultaria em 20 novas vendas. Qual
valor de venda, em reais, permite que a receita seja máxima?
a) 230,00
b) 240,00
c) 250,00
d) 270,00
e) 280,00
RESOLUÇÃO:
Imagine a função f(p) = a.p + b, onde p é o preço de venda de cada
liquidificador e f(p) é o número de unidades que poderiam ser vendidas naquele
preço.
Foi dito que para o preço p = 300 reais temos f(300) = 800 unidades
vendidas. Uma queda de 5 reais no valor do produto (p = 295 reais) levaria a 20
vendas adicionais, ou seja, f(295) = 820 unidades. Assim, temos:
f(300) = a.300 + b
f(295) = a.295 + b
800 = a.300 + b
820 = a.295 + b
b = 800 – 300a
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
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������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
���������������������������������������������������������������
820 = 295a + (800 – 300a)
20 = -5a
a = -4
b = 800 – 300.(-4)
b = 2000
Assim, temos f(p) = -4p + 2000.
A receita é dada pela multiplicação do número de unidades vendidas, isto é,
f(p), pelo preço unitário p:
Receita(p) = f(p) x p
Receita(p) = (-4p + 2000) x p
Receita(p) = -4p2 + 2000p
Note que a equação acima é uma função de segundo grau do tipo y = ax2 +
bx + c, onde a = -4, b = 2000 e c = 0. Trata-se de uma parábola com concavidade
para baixo, pois a < 0. Para descobrirmos a receita máxima, basta encontrarmos o
vértice desta parábola.
O valor de x do vértice é xvértice = -b / 2a, ou seja:
pvértice = -2000 / (2 x -4) = 250 reais
Portanto, o preço p = 250 reais é aquele que leva ao máximo da função
Receita(p), ou seja, gera a receita máxima. Se você quisesse ainda descobrir o
valor desta receita máxima, bastaria calcular o valor de Receita(250).
Resposta: C
16. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2010) Um funcionário público tem uma
poupança de R$200,00 e pretende utilizá-la para pagar a 1ª prestação de um
empréstimo, a ser pago em 24 parcelas iguais de R$ 1.000,00. Sabendo-se que o
valor da prestação não pode superar um terço do salário do funcionário, qual o
menor valor, em reais, que ficará disponível, após o pagamento da 1ª prestação,
para os demais gastos?
a) 2.000,00
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067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
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b) 2.200,00
c) 3.000,00
d) 800,00
e) 1.200,00
RESOLUÇÃO:
Se a parcela (R$1000) deve ser menor ou igual a 1/3 do salário, então:
1
1000
3
S≤
3000 S≤
Portanto, o salário deve ser maior ou igual a 3000 reais. O menor valor
possível para este salário é 3000 reais. Após pagar 1000, sobram 2000 reais, e
mais os 200 reais que o funcionário tinha na poupança, totalizando:
3000 – 1000 + 200 = 2200 reais
Resposta: B
17. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2010) Qual é a soma dos múltiplos de 11
formados por 4 algarismos?
a) 4.504.500
b) 4.505.000
c) 4.505.500
d) 4.506.000
e) 4.506.500
RESOLUÇÃO:
O menor número com 4 dígitos que é múltiplo de 11 é 1001. Já o maior
número com 4 dígitos que é múltiplo de 11 é 9999. Imagine a progressão aritmética
onde o primeiro termo é a1 = 1001 e a razão é r = 11. Vejamos em que posição fica
o termo 9999:
an = a1 + r x (n – 1)
9999 = 1001 + 11 x (n – 1)
n = 819
A soma do termo a1 = 1001 até o termo a819 = 9999 é:
Sn = (a1 + an) x n / 2
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S819 = (1001 + 9999) x 819 / 2 = 4504500
Resposta: A
18. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2010) Qual é o número que deve ser somado
aos números 1, 5 e 7 para que os resultados dessas somas, nessa ordem, formem
três termos de uma progressão geométrica?
a) - 9
b) - 5
c) - 1
d) 1
e) 9
RESOLUÇÃO:
Imagine que devemos somar o número N aos números 1, 5 e 7 para ter uma
PG. Ou seja, os números 1 + N, 5 + N e 7 + N formam, nesta ordem, uma PG.
Dividindo um número desta PG pelo anterior obtemos a razão “q” da PG. Ou
seja,
5 7
1 5
N N
q
N N
+ +
= =
+ +
�
2(5 ) (1 )(7 )N N N+ = + +
2 225 10 7 7N N N N N+ + = + + + �
25 10 7 7N N N+ = + + �
25 7 7 10N N N− = + − �
18 2N= − �
9N = −
Note que, ao somar -9 aos números 1, 5 e 7, temos -8, -4 e -2. Esses três
números estão, nesta ordem, em uma PG de razão igual a ½.
Resposta: A
19. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2010) Em uma festa comunitária, uma barraca
de tiro ao alvo dá um prêmio ao cliente de R$ 30,00, cada vez que o mesmo acerta
a área central do alvo. Caso contrário, o cliente paga R$ 10,00. Um indivíduo deu 50
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tiros e pagou R$ 100,00. Nessas condições, o número de vezes que ele ERROU o
alvo foi
a) 10
b) 20
c) 25
d) 35
e) 40
RESOLUÇÃO:
Seja C o número de vezes que o jogador acertou o alvo, e E o número de
vezes que ele errou. Sabemos que ao todo foram 50 jogadas, ou seja:
C + E = 50
Como em cada acerto o jogador ganha 30 reais, o todo ele ganhou 30 x C
reais. E, como a cada erro o jogador perde 10 reais, ao todo ele perdeu 10 x E reais.
Ao todo, ele pagou 100 reais, ou seja, ficou com um saldo de -100 reais:
30C – 10E = -100
Isolando C na primeira equação, temos que C = 50 – E. Substituindo nesta
última, temos:
30 x (50 – E) – 10E = -100
1500 – 30E – 10E = -100
1600 = 40E
E = 40
Logo, ele errou 40 vezes.
Resposta: E
20. CESGRANRIO – BACEN – 2010) Gabriel brinca com 24 moedas de R$ 1,00.
Inicialmente, ele forma com elas três pilhas. Em seguida, dobra a segunda pilha
colocando nela moedas retiradas da primeira; depois, dobra a terceira com moedas
retiradas da segunda e, finalmente, dobra o que restou na primeira pilha com
moedas retiradas da terceira, ficando, assim, as três pilhas com o mesmo número
de moedas. O número de moedas que havia, no início, na pilha mais alta, era
(A) 6
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���
���������������������������������������������������������������(B) 7
(C) 8
(D) 11
(E) 12
RESOLUÇÃO:
Imagine que temos A moedas na primeira pilha e B moedas na segunda.
Assim, a terceira pilha terá o restante, ou seja, 24 – A – B. Vamos repetir os passos
de Gabriel:
- dobrar a segunda pilha colocando nela moedas retiradas da primeira:
Com isso, a segunda pilha ficou com 2B moedas, e a primeira pilha ficou com
A – B moedas.
- dobrar a terceira com moedas retiradas da segunda:
Com isso, a terceira pilha ficou com 2 x (24 – A – B), isto é, 48 – 2A – 2B
moedas. Já a segunda pilha ficou com:
2B – (24 – A – B) = 3B + A – 24 moedas
- dobrar o que restou na primeira pilha com moedas retiradas da terceira
Com isso, a primeira pilha ficou com 2 x (A – B) = 2A – 2B moedas. Já a
terceira ficou com:
48 – 2A – 2B – (A – B) = 48 – 3A – B moedas
As três pilhas ficaram com o mesmo número de moedas. Ou seja:
2A – 2B = 3B + A – 24 = 48 – 3A – B
Podemos separar duas equações:
2A – 2B = 3B + A – 24
3B + A – 24 = 48 – 3A – B
Simplificando as equações, temos:
A = 5B – 24
4B + 4A = 72
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Dividindo a segunda equação por 4 temos:
A = 5B – 24
B + A = 18
Substituindo A na segunda equação pela expressão 5B – 24 temos:
B + (5B – 24) = 18
6B = 42
B = 7
A = 11
Assim, a primeira pilha tinha 11 moedas, a segunda tinha 7 e a terceira tinha
o restante, ou seja, 24 – 11 – 7 = 6 moedas.
O número de moedas que havia, no início, na pilha mais alta, era 11.
Resposta: D
21. CESGRANRIO – BNDES – 2011) Numa prova de 45 questões, cada questão
respondida corretamente vale 8 pontos, e 7 pontos são deduzidos a cada questão
errada. Uma pessoa faz essa prova e fica com nota zero. Quantas questões essa
pessoa acertou?
(A) 0
(B) 15
(C) 21
(D) 24
(E) 30
RESOLUÇÃO:
Suponha que uma pessoa acertou C questões, tendo errado o restante, ou
seja, 45 – C. Como cada acerto vale 8 pontos, ela somou 8C pontos. E como cada
erro gera a dedução de 7 pontos, essa pessoa perdeu 7 x (45 – C). A pontuação
total foi zero, portanto:
8C = 7 x (45 – C)
8C = 315 – 7C
15C = 315
C = 21
Resposta: C
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22. CESGRANRIO – BNDES – 2011) Uma banca de jornal vende figurinhas a 12
centavos cada, se a pessoa comprar até 24 figurinhas. Para comprar de 25 até 48
figurinhas, o preço unitário passa a 11 centavos, e, para comprar acima de 48
figurinhas, o preço unitário passa a 10 centavos. Os irmãos Aldo, Baldo e Caldo
colecionam um álbum cada um deles, e, apesar de ainda faltarem figurinhas para
completar seu álbum, Caldo não tem dinheiro para comprar mais figurinhas. Aldo e
Baldo precisam de 24 figurinhas cada um para completar suas coleções e ambos
têm o dinheiro exato para comprar individualmente as figurinhas que faltam. Caldo
vai à banca com o dinheiro de seus irmãos e compra figurinhas suficientes para que
todos completem seus álbuns e ainda traz um troco de 6 centavos. Quantas
figurinhas faltam para Caldo completar seu álbum?
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 9
RESOLUÇÃO:
Sabemos que o dinheiro de Aldo permite comprar exatamente 24 figurinhas.
Para esta quantidade, o preço unitário é de 12 centavos. Portanto, Aldo tem 24 x
0,12 = 2,88 reais. O mesmo vale para Baldo.
Assim, Caldo foi à banca com um total de 2,88 + 2,88 = 5,76 reais. Como ele
voltou para casa com 6 centavos, ele gastou 5,70 reais na banca Vejamos quantas
figurinhas podem ser compradas ao preço unitário de 10 centavos (válido para
compras acima de 48 unidades):
5,70 / 0,10 = 57 figurinhas
Como 48 figurinhas foram destinadas aos seus irmãos, então Caldo ficou
com 57 – 48 = 9 figurinhas, que foram suficientes para completar o seu álbum.
Resposta: D
23. CESGRANRIO – BNDES – 2011) A soma dos infinitos termos de uma
progressão geométrica, cuja razão tem módulo menor que 1, é igual a 6, e a soma
dos quadrados dos termos dessa progressão é igual a 12. Quanto vale o primeiro
termo da progressão geométrica?
(A) 1
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(B) 3
(C) 6
(D) 9
(E) 12
RESOLUÇÃO:
A soma dos infinitos termos de uma PG de razão tal que |q| < 1 é:
1 6
1
a
S
q
∞ = =
−
A soma dos quadrados dos termos pode ser representada assim:
S2 = (a1)
2 + (a2)
2 + (a3)
2 + (a4)
2 + ...
Escrevendo os termos em função de a1 e q:
S2 = (a1)
2 + (a1 x q )
2 + (a1 x q
2)2 + (a1 x q
3)2 + ...
Tirando os parênteses:
S2 = a1
2 + a1
2 x q2 + a1
2 x q4 + a1
2 x q6 + ...
Note que temos uma nova PG cujo termo inicial é a1
2 e a razão é q2. Portanto,
a soma dos seus infinitos termos será dada por:
2
1
2
12
1
a
S
q
= =
−
Portanto, temos 2 equações:
1 6
1
a
q
=
−
�
2
1
2
12
1
a
q
=
−
A partir da primeira podemos ver que:
q = 1 – a1 / 6
Efetuando essa substituição na segunda, temos:
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2
1
2
1
12
1 1
6
a
a
=
� �
− −� �
�
�
2
2 1
1 12 12 1
6
a
a
� �
= − × −� �
�
�
2
2 1 1
1 12 12 1 2
6 36
a a
a
� �
= − × − × +� �
�
�
2
2 1
1 14
3
a
a a= − �
2
1 14 12a a=
Assim, dividindo ambos os lados por a1 (que deve ser diferente de zero):
14 12a = �
1 3a =
Resposta: B
24. CESGRANRIO – BNDES – 2010) Certa marca de café é comercializada
exclusivamente em embalagens de 250 g ou de 400 g. Se um consumidor dessa
marca comprar uma embalagem de cada, gastará, ao todo, R$ 3,30. Se, em vez
disso, esse consumidor comprar o correspondente a 900 g em embalagens desse
café, pagará, ao todo, R$ 4,60. A diferença, em reais, entre os preços das
embalagens de 400 g e de 250 g é
(A) 0,40
(B) 0,50
(C) 0,60
(D) 0,70
(E) 0,80
RESOLUÇÃO:
Seja P o preço de uma embalagem pequena e G o preço de uma embalagem
grande. Ao comprar uma embalagem de cada, o cliente gasta 3,30 reais:
P + G = 3,3
G = 3,3 – P
Para comprar exatamente 900g, é preciso adquirir duas embalagens
pequenas e uma grande (pois 2 x 250 + 400 = 900). Neste caso o cliente gasta 4,60:
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2P + G = 4,60
2P + (3,3 – P) = 4,60
P + 3,3 = 4,60
P = 1,3 reais
Logo,
G = 3,3 – 1,3 = 2 reais
Assim, a diferença de preço entre a embalagem grande e a pequena é de 2 –
1,3 = 0,7 reais.
Resposta: D
25. CESGRANRIO – BNDES – 2010) A sequência numérica (6, 10, 14, ... , 274,
278, 282) tem 70 números, dos quais apenas os três primeiros e os três últimos
estão representados. Qualquer número dessa sequência, excetuando-se o primeiro,
é igual ao termo que o antecede mais 4. A soma desses 70 números é
(A) 8.920
(B) 10.080
(C) 13.560
(D) 17.840
(E) 20.160
RESOLUÇÃO:
Temos uma progressão aritmética de razão r = 4 e n= 70 termos. Temos
ainda que a1 = 6 e a70 = 282. Portanto, a soma desses termos é:
S70 = (a1 + a70) x 70 / 2 = (6 + 282) x 35 = 10080
Resposta: B
26. CESGRANRIO – BNDES – 2008) Uma seqüência de números (a1, a2, a3,...) é
tal que a soma dos n primeiros termos é dada pela expressão Sn = 3n
2 + n.
O valor do 51o termo é
(A) 300
(B) 301
(C) 302
(D) 303
(E) 304
RESOLUÇÃO:
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Em primeiro lugar, note que o 51º termo de uma sequência é a diferença
entre a soma dos 50 primeiros termos (S50) e a soma dos 51 primeiros termos (S51):
a50 = S51 – S50
Usando a fórmula fornecida para o cálculo das somas nesta progressão,
temos:
Sn = 3n
2 + n
S50 = 3.50
2 + 50 = 7550
Sn = 3.51
2 + 51 = 7854
Logo,
a50 = S51 – S50
a50 = 7854 – 7550 = 304
Resposta: E
27. CESGRANRIO – BNDES – 2006) O valor de x no sistema é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
RESOLUÇÃO:
Podemos começar isolando y na primeira equação:
y = 2x + z – 4
Agora podemos fazer essa substituição nas outras duas equações, obtendo:
x + 3(2x + z – 4) + z = 14
3x + 2(2x + z – 4) – 4z = 0
Simplificando-as, temos:
7x +4z = 26
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7x – 2z = 8
Isolando 7x na primeira equação, temos: 7x = 26 – 4z. Substituindo na
segunda, temos:
(26 – 4z) – 2z = 8
18 – 6z = 0
z = 3
Portanto,
7x = 26 – 4.3
x = 2
y = 2x + z – 4
y = 2.2 + 3 – 4
y = 3
Resposta: C
28. CESGRANRIO – BNDES – 2004) Para arrecadar R$ 240,00 a fim de comprar
um presente para um colega que se aposentava, os funcionários de uma empresa
fizeram um rateio. No dia do pagamento, 5 funcionários resolveram não participar, o
que aumentou a quota de cada um dos demais em R$ 8,00. Quantos funcionários
efetivamente participaram do rateio?
(A) 8
(B) 9
(C) 10
(D) 12
(E) 15
RESOLUÇÃO:
Seja N o número de funcionários e P o valor que cada um pagaria
originalmente. Assim,
N x P = 240
P = 240 / N
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Com a desistência de 5 funcionários, ficaram N – 5, e cada um pagou 8 reais
a mais, ou seja, P + 8, o que também totalizou 240 reais:
(N – 5) x (P + 8) = 240
(N – 5) x (240/N + 8) = 240
240 + 8N – 1200/N – 40 = 240
8N – 1200/N = 40
8N2 – 1200 = 40N
8N2 – 40N – 1200= 0
N2 – 5N – 150= 0
Resolvendo essa equação de segundo grau, temos:
N = 15 ou N = -10
Como o número de funcionários deve ser um valor positivo, devemos adotar
a solução N = 15. Com a desistência de 5 funcionários, apenas 10 efetivamente
participaram do rateio.
Resposta: C
29. CESGRANRIO – BNDES – 2011) Na cantina de uma fábrica, o lanche
constituído de sanduíche e suco custa R$ 4,00. O sanduíche custa R$ 2,40 a mais
que o suco. O preço do suco, em reais, é
(A) 0,80
(B) 1,00
(C) 1,20
(D) 1,40
(E) 1,60
RESOLUÇÃO:
Sabemos que:
sanduíche + suco = 4,00
sanduíche = suco + 2,40
Podemos usar a segunda equação para fazer uma substituição na primeira:
(suco + 2,40) + suco = 4,00
2 x suco = 1,60
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suco = 0,80 reais
Resposta: A
30. COPS/UEL – CELEPAR – 2010) Uma pessoa, participando de um concurso,
responde metade das questões de Matemática na primeira hora. Na segunda hora,
resolveu metade do restante e, na terceira hora, respondeu às 9 últimas questões.
Nessas condições, a prova de Matemática tinha:
a) 30 questões
b) 34 questões
c) 36 questões
d) 38 questões
e) 40 questões
RESOLUÇÃO:
Seja Q a quantidade de questões da prova. Assim, Q/2 foram respondidas na
primeira hora, restando outras Q/2 questões. Destas, metade foram resolvidas na
segunda hora, isto é, (Q/2)/2 = Q/4. Assim:
Total de questões = primeira hora + segunda hora + terceira hora
Q = Q/2 + Q/4 + 9
4Q = 2Q + Q + 36
Q = 36
Resposta: C
31. CEPERJ – PREF. SÃO GONÇALO – 2011)
Seja
0, se x é um número racional
( )
2, se x é um número irracional
f x
x
��
= �
−��
, o valor de
( 6) ( 16)
(3,2) ( 8)
f f
f f
−
+
é:
a) 3 1−
b) 2 3 1−
c) 6
d) 6 1−
e) 2
RESOLUÇÃO:
49699682760
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Sabemos que 6 e 8 não possuem raiz quadrada exata. Portanto, 6 e 8
são irracionais. Seguindo a regra dada pelo enunciado ( ( ) 2f x x= − , para x
irracional), temos:
( 6) 6 2f = −
e
( 8) 8 2f = −
Sabemos que 16 é igual a 4, que é um número racional. Da mesma forma,
3,2 também é racional. Portanto, seguindo a regra do enunciado (f(x) = 0, se x é
racional), teremos:
( 16) 0f =
e
(3,2) 0f =
Logo, a expressão
( 6) ( 16)
(3,2) ( 8)
f f
f f
−
+
pode ser trabalhada da seguinte forma:
( 6) ( 16) ( 6 2) 0 6 2
(3,2) ( 8) 0 ( 8 2) 8 2
f f
f f
− − − −
= =
+ + − −
Notando que 6 3 2 3 2= × = × , e 8 4 2 2 2= × = × , temos:
6 2 3 2 2 2( 3 1) ( 3 1)
3 1
18 2 2 2 2 2
− × − − −
= = = = −
− −
Resposta: A.
32. CEPERJ – SEPLAG/RJ – 2012) Um controle remoto de TV e mais as duas
pilhas necessárias para seu funcionamento podem ser comprados em certo site da
internet por R$30,00. O controle, apenas, custa R$16,00 reais a mais que o preço
das duas pilhas. O preço de uma pilha é:
A) R$ 3,50
B) R$ 4,00
C) R$ 5,50
D) R$ 7,00
E) R$ 8,00
RESOLUÇÃO:
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
�����������
������
������
��������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
���������������������������������������������������������������
Seja 2P o preço das duas pilhas juntas. O controle remoto custa 16 reais a
mais que as duas pilhas, ou seja, custa 2P + 16.
Sabemos também que o preço do controle remoto e mais as duas pilhas é
igual a 30, ou seja:
Controle + Pilhas = 30
(2P+ 16) + 2P = 30
4P = 14
P = 14 / 4 = 7 / 2 = 3,5
Portanto, o preço de uma pilha é igual a R$3,50.
Resposta: A
33. CEPERJ – PREF. SÃO GONÇALO – 2011) Seja t a solução de 5 3 0x − = . O
valor de 10 11 19( 1) ( ... )t t t t− × + + + é:
a) 27
b) 32
c) 72
d) 81
e) 96
RESOLUÇÃO:
Inicialmente, vamos achar a solução de 5 3 0x − = . Veja abaixo:
5
5
5 5 5
5
55
1
5 5
3 0
3
3
3
3 3
x
x
x
x
x t
− =
=
=
=
= = =
Portanto, sabemos que t = 5 3 . Antes de substituir t por este valor na
equação dada, vamos manipular um pouco a equação. Veja que:
10 11 19
10 11 19 10 11 19
11 12 20 10 11 19
( 1) ( ... )
( ... ) 1 ( ... )
( ... ) ...
t t t t
t t t t t t t
t t t t t t
− × + + + =
× + + + − × + + + =
+ + + − − − −
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
�����������
������
������
��������������������������������
������������� ����������!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
���������������������������������������������������������������
Nesta última equação, veja que temos 11t e 11t− , que se cancelam. Isso
acontece com a maioria dos termos, exceto 20t e 10t− . Portanto:
11 12 20 10 11 19
20 10
20 101 1
5 5
1 1
20 10
5 5
4 2
( ... ) ...
3 3
3 3
3 3
81 9
72
t t t t t t
t t
× ×
+ + + − − − −
− =
� � � �
− =� � � �
� �
− =
− =
− =
Resposta: C.
34. CEPERJ – PREFEITURA SÃO GONÇALO – 2011) Em um determinado
concurso foram totalizados 1500 candidatos inscritos, entre homens e mulheres. No
dia da prova faltaram
4
9
das mulheres e estavam presentes
5
6
dos homens. E
verificou-se que o número de homens e mulheres presentes no dia da prova era o
mesmo. A porcentagem de mulheres inscritas nesse concurso foi de:
a) 30%
b) 40%
c) 45%
d) 50%
e) 60%
RESOLUÇÃO:
Vamos usar a letra m para representar o total de mulheres inscritas e h para
representar o total de homens inscritos no concurso. De início, sabemos que:
h + m = 1500
Faltaram
4
9
das mulheres. Como já vimos, a expressão “das” pode ser
substituída pelo símbolo de multiplicação, da seguinte forma:
4
9
das mulheres =
4
9
m
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
�����������
������
������
��������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
���������������������������������������������������������������
O número de mulheres presentes, portanto, foi:
4 5
9 9
m m m− =
O número de homens presente, conforme o enunciado, foi de
5
6
h . E, se o
número de homens e mulheres presentes foi igual, temos:
5 5
9 6
m h=
Logo,
6 2
9 3
h m m= = . Substituindo h na expressão h+m=1500 por
2
3
m ,
temos:
2
1500
3
5
1500
3
3
1500 900
5
m m
m
m
+ =
=
= × =
Assim, as mulheres inscritas eram 900 em um total de 1500 candidatos.
Percentualmente, elas eram:
900 9 3
0,6 60%
1500 15 5
= = = =
Resposta: E.
35. FGV – CAERN – 2010) Em um cofrinho há R$6,00 em moedas de 10 centavos
e de 25 centavos. A quantidade de moedas de 10 centavos é um múltiplo de 7.
Quantas moedas de 10 centavos há a mais do que moedas de 25 centavos?
a) 32
b) 25
c) 18
d) 11
e) 4
RESOLUÇÃO:
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
�����������
������
������
��������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
���������������������������������������������������������������
Como o número de moedas de 10 centavos é múltiplo de 7, vamos dizer que
temos “7N” moedas de 10 centavos, e M moedas de 25 centavos.
Ao todo, sabemos que temos 6 reais, isto é:
6 = 7N x 0,10 + M x 0,25
6 = 0,7N + 0,25M
Não temos mais informações, mas sabemos que N e M devem ser números
naturais (afinal não há número negativo de moedas, ou fracionário). Para simplificar
as contas, podemos multiplicar ambos os lados da equação acima por 4 (pois 0,25 x
4 = 1). Veja:
4 6 4 0,7 4 0,25
24 2,8
24 2,8
N M
N M
M N
× = × + ×
= +
= −
Podemos, agora, ir testando valores para N (1, 2, 3, 4, 5 etc.) até obter um
número natural para M. Se N = 1, temos:
M = 24 – 2,8 x 1 = 21,2
Veja que N não pode ser 1, pois com isso M seria um número fracionário.
Testando outros valores de N, veja o que acontece quando N = 5:
M = 24 – 2,8 x 5 = 24 – 14 = 10
Portanto, N = 5 e M = 10. Isto é, temos 10 moedas de 25 centavos e 7N, isto
é, 35 moedas de 10 centavos. Veja que isso totaliza 6 reais:
10 x 0,25 + 35 x 0,10 = 2,5 + 3,5 = 6
Assim, a diferença entre o número de moedas de 10 e de 25 centavos é de
35 – 10 = 25 (letra B).
Resposta: B
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
�����������
������
������
��������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
���������������������������������������������������������������
36. FGV – MEC – 2008) Em uma sala há homens, mulheres e crianças. Se todos
os homens fossem retirados da sala, as mulheres passariam a representar 80% dos
restantes. Se, ao contrário, fossem retiradas todas as mulheres, os homens
passariam a representar 75% dos presentes na sala. Com relação ao número total
de pessoas na sala, as crianças correspondem a:
(A) 12,5%
(B) 17,5%
(C) 20%
(D) 22,5%
(E) 25%
RESOLUÇÃO:
Chamemos de H, M e C o número de homens, mulheres e crianças,
respectivamente. Se saírem todos os homens da sala, sobram M + C pessoas.
Desta quantidade, M representa 80%. Isto é:
M = 80% x (M + C)
M = 0,8M + 0,8C
0,2M = 0,8C
M = 4C
Se saírem todas as mulheres da sala, sobram H + C pessoas. Desta
quantidade, H representa 75%, ou seja:
H = 75% x (H + C)
0,25H = 0,75C
H = 3C
Portanto, o total de pessoas na sala é de:
H + M + C = 3C + 4C + C = 8C
Veja que 8C corresponde ao total, isto é, 100% das pessoas na sala. Assim,
podemos montar a proporção abaixo para descobrir o percentual X que as crianças
(C) representam:
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
�����������
������
������
��������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
���������������������������������������������������������������
8C ------------------100%
C --------------------X
Efetuando a multiplicação cruzada (nas diagonais), temos:
8C x X = C x 100%
8X = 1
X = 1/8 = 0,125 = 12,5%
Assim, as crianças representam 12,5% do total de pessoas que estavam
inicialmente na sala.
Resposta: A
37. FGV – SEFAZ/RJ – 2011) A soma de dois números é 120, e a razão entre o
menor e o maior é 1/2. O menor número é
(A) 20 .
(B) 25 .
(C) 30 .
(D) 35 .
(E) 40 .
RESOLUÇÃO:
Sejam A e B os dois números do enunciado. A soma deles é 120:
A + B = 120
E a razão entre eles é de 1/2. Considerando que A é o menor deles, então:
1
2
A
B
= , portanto B = 2A
Substituindo B por 2A na primeira equação, temos:
A + 2A = 120
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
�����������
������
������
��������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
���������������������������������������������������������������
3A = 120
A = 40
Resposta: E
38. CEPERJ – PREF. SÃO GONÇALO – 2011) Os irmãos Pedro e Paulo estudam
no 8º ano do Ensino Fundamental e entraram em uma papelaria para comprar lápis
e canetas de que precisavam para o semestre. As canetas que compraram foram
todas do mesmo preço. Os lápis que compraram foram também todos do mesmo
preço. Pedro comprou 2 canetas e 5 lápis e pagou R$16,50. Paulo comprou 3
canetas e 2 lápis e pagou também R$16,50. Assim, quem comprar 1 caneta e um
lápis, iguais aos comprados pelos irmãos, pagará:
a) R$6,00
b) R$6,20
c) R$6,50
d) R$6,75
e) R$6,90
RESOLUÇÃO:
Temos duas variáveis nessa questão: o preço do lápis, que chamaremos de
L, e o preço da caneta, que chamaremos de C. Para descobri-las, precisamos de 2
equações, que foram fornecidas pelo enunciado. Veja:
- Pedro comprou 2 canetas e 5 lápis e pagou R$16,50.
Matematicamente, podemos escrever a frase acima como:
2 5 16,50C L× + × =
- Paulo comprou 3 canetas e 2 lápis e pagou também R$16,50.
Ou seja,
3 2 16,50C L× + × =
Temos, portanto, 2 equações e duas variáveis, montando o sistema linear
abaixo:
2 5 16,50
3 2 16,50
C L
C L
× + × =�
�
× + × =�
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
�����������
������
������
��������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
���������������������������������������������������������������Para resolvê-lo usaremos o método da substituição, que consiste em isolar
uma variável em uma equação e substituí-la na outra. Vamos isolar L na primeira
equação:
2 5 16,50
5 16,50 2
16,50 2
5
C L
L C
C
L
× + × =
× = − ×
− ×
=
Substituindo a expressão encontrada acima na segunda equação, temos:
( )
3 2 16,50
16,50 2
3 2 16,50
5
15 2 16,50 2 82,5
15 33 4 82,5
11 49,5
4,5
C L
C
C
C C
C C
C
C
× + × =
− ×� �
× + × =� �
�
+ × − =
+ − =
=
=
Como o preço da caneta é C = 4,5, podemos substituir esse valor em
qualquer das equações para obter o valor de L:
16,50 2
5
16,50 2 4,5
5
7,50
1,50
5
C
L
L
L
− ×
=
− ×
=
= =
Portanto, quem comprar 1 caneta e 1 lápis pagará 4,50 + 1,50 = 6,00.
Resposta: A.
39. CEPERJ – SEEDUC – 2009) No sistema
0,3 1,2 2,4
0,5 0,8 0,9
x y
x y
+ =�
�
− = −�
o valor de x é:
a) 1
b) -1
c) 0
d) 2
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
�����������
������
������
��������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
���������������������������������������������������������������
e) 2/3
RESOLUÇÃO:
Para facilitar as contas, podemos multiplicar os dois lados das duas
equações por 10. Veja:
3 12 24
5 8 9
x y
x y
+ =�
�
− = −�
Vamos isolar a variável y na primeira equação:
24 3 8
12 4
x x
y
− −
= =
Substituindo na segunda equação, podemos obter x:
5 8 9
8
5 8 ( ) 9
4
5 2 (8 ) 9
5 16 2 9
7 7
1
x y
x
x
x x
x x
x
x
− = −
−
− × = −
− × − = −
− + = −
=
=
Resposta: A.
40. CEPERJ – SEEDUC – 2009) A equação 2 0x bx c+ + = possui raízes 3 e 5.
Então, b+c é igual a:
a) 7
b) 10
c) 15
d) 19
e) 23
RESOLUÇÃO:
Veja na equação do enunciado que a = 1. Sendo r1 e r2 as duas raízes de
uma equação de segundo grau, essa equação pode ser escrita da seguinte forma:
( 1)( 2) 0a x r x r× − − =
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
�����������
������
������
��������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
���������������������������������������������������������������
Portanto, a equação do enunciado pode ser escrita como:
1 ( 3)( 5) 0x x× − − =
Desenvolvendo essa equação, utilizando a propriedade distributiva da
multiplicação, temos:
2
2
( 3)( 5) 0
5 3 15 0
8 15 0
x x
x x x
x x
− − =
− − + =
− + =
Comparando a última linha acima com 2 0x bx c+ + = , vemos que b = -8, e
que c = 15. Assim, b + c = -8 + 15 = 7.
Resposta: A.
41. CEPERJ – PREF. BELFORD ROXO – 2011) O ponto A 2( 2 15, 2)m m− − −
pertence ao eixo Y, e o ponto B 2(3, 7 10)m m− + pertence ao eixo x. O valor de m é:
a) -2
b) -3
c) 5
d) 2
e) 7
RESOLUÇÃO:
Essa questão é interessante pois envolve conhecimentos de plano cartesiano
e de equações de segundo grau. Se o ponto A pertence ao eixo Y, o valor da sua
coordenada X deve ser igual a zero. Portanto,
2 2 15 0m m− − =
Podemos usar a fórmula de Báskara para resolver a equação acima, onde
a = 1, b = -2 e c = -15:
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
�����������
������
������
��������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
���������������������������������������������������������������
2
2
4
2
( 2) ( 2) 4(1)( 15)
2(1)
2 4 60 2 8
1 4
2 2
b b ac
m
a
m
m
− ± −
=
− − ± − − −
=
± + ±
= = = ±
Portanto existem 2 valores possíveis para m: 5 (isto é, 1+4) e -3 (1-4). Ainda
não sabemos qual valor de m é a resposta do exercício, o que nos obriga a analisar
outras informações.
Como o enunciado disse que o ponto B está no eixo X, isso indica que a sua
coordenada Y tem valor igual a zero. Logo,
2
2
2
7 10 0
4
2
( 7) ( 7) 4(1)(10)
2(1)
7 49 40 7 3
2 2
m m
b b ac
m
a
m
m
− + =
− ± −
=
− − ± − −
=
± − ±
= =
Da expressão acima, os valores possíveis para m são 5 e -2. Veja que
somente o valor m = 5 atende às duas condições dadas pelo enunciado. Portanto,
essa deve ser a resposta.
Resposta: C.
42. CEPERJ – PREF. ITABORAÍ – 2011) Um vendedor ambulante compra uma
caixa de bombons por R$100,00 e vende pelo mesmo preço, depois de retirar 10
bombons e aumentar o preço da dezena em R$5,00. Então, o número original de
bombons na caixa era:
a) 31
b) 37
c) 40
d) 50
e) 51
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
�����������
������
������
��������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
���������������������������������������������������������������
RESOLUÇÃO:
Seja P o preço que o vendedor paga em cada bombom, e D o número de
dezenas de bombons em uma caixa. Portanto, o valor total que o vendedor paga em
uma caixa é dado pela multiplicação do número D pelo preço P:
D x P = 100 reais
Ao retirar 10 bombons (1 dezena), sobram D – 1 dezenas de bombons na
caixa. Entretanto, o preço da dezena é aumentado em R$5,00. Portanto, o preço
passa a ser P + 5. Como essa caixa é vendida por 100 reais, podemos dizer que a
multiplicação da nova quantidade (D – 1) pelo novo preço (P – 5) é igual a 100
também:
(D – 1) x (P + 5) = 100
Veja que temos 2 equações e duas variáveis (D e P). Vamos utilizar o
método da substituição, isolando a variável P na primeira equação:
P = 100/D
E, a seguir, substituindo P pela expressão encontrada acima, na segunda
equação:
2
2
2
( 1) ( 5) 100
100
( 1) ( 5) 100
100
100 5 5 100
100 5 100 5 100
5 5 100 0
20 0
D P
D
D
D
D
D D D D
D D
D D
− × + =
− × + =
+ − − =
+ − − =
− − =
− − =
Veja que temos uma equação de segundo grau com a variável D. Vamos
usar a fórmula de Báskara para obter os valores possíveis para D:
2
2
20 0
( 1) ( 1) 4 1 ( 20)
2 1
1 1 80 1 9
2 2
D D
D
D
− − =
− − ± − − × × −
=
×
± + ±
= =
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
�����������
������
������
��������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
���������������������������������������������������������������
Portanto, os valores que D pode assumir são:
1 9
5
2
D
+
= =
ou
1 9
4
2
D
−
= = −
Como D é o número de dezenas de bombons, só pode ser um número
positivo. Portanto, havia na caixa D = 5 dezenas, isto é, 50 unidades.
Resposta: D.
43. FGV – MEC – 2008) Em uma sala há homens, mulheres e crianças. Se todos
os homens fossem retirados da sala, as mulheres passariam a representar 80% dos
restantes. Se, ao contrário, fossem retiradas todas as mulheres, os homens
passariam a representar 75% dos presentes na sala. Com relação ao número total
de pessoas na sala, as crianças correspondem a:
(A) 12,5%
(B) 17,5%
(C) 20%
(D) 22,5%
(E) 25%
RESOLUÇÃO:
Chamemos de H, M e C o número de homens, mulheres e crianças,
respectivamente. Se saírem todos os homens da sala, sobram M + C pessoas.
Desta quantidade, M representa 80%. Isto é:
M = 80% x (M + C)
M = 0,8M + 0,8C
0,2M = 0,8C
M = 4C
Se saírem todas as mulheres da sala, sobram H + C pessoas. Desta
quantidade, H representa 75%, ou seja:
H = 75% x (H + C)
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
�����������
������
������
��������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
���������������������������������������������������������������
0,25H = 0,75C
H = 3C
Portanto, o total de pessoas na sala é de:
H + M + C = 3C + 4C + C = 8C
Veja que 8C corresponde ao total, isto é, 100% das pessoas na sala. Assim,
podemos montar a proporção abaixo para descobrir o percentual X que as crianças
(C) representam:8C ------------------100%
C --------------------X
Efetuando a multiplicação cruzada (nas diagonais), temos:
8C x X = C x 100%
8X = 1
X = 1/8 = 0,125 = 12,5%
Assim, as crianças representam 12,5% do total de pessoas que estavam
inicialmente na sala.
Resposta: A
44. FGV – BADESC – 2010) Ao caminhar, Márcia e Paula dão sempre passos
uniformes. O passo de Márcia tem o mesmo tamanho do de Paula. Mas, enquanto
Paula dá cinco passos, Márcia, no mesmo tempo, dá três passos. No início da
caminhada, Márcia estava 20 passos à frente de Paula. Se elas caminharem sem
parar, Paula, para alcançar Márcia, deverá dar o seguinte número de passos:
(A) 20
(B) 25
(C) 30
(D) 40
(E) 50
RESOLUÇÃO:
Repare que Paula está 20 passos atrás de Márcia, mas anda mais rápido
(caminha 5 passos enquanto Márcia caminha 3). Assim, em algum momento Paula
deverá alcançar Márcia.
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
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Vamos chamar de P o número de passos que Paula precisará dar até
alcançar Márcia, e M o número de passos que Márcia terá dado neste mesmo
tempo.
Sabemos que Paula precisará andar o mesmo número de passos de Márcia
(M) e mais 20 passos, que é a distância entre as duas. Portanto:
P = M + 20
Sabemos também que, se Paula dá 5 passos, Márcia dá 3. Assim, podemos
montar a proporção a seguir, entre os passos dados por cada uma delas:
5 --------------------- 3
P -------------------- M
Efetuando a multiplicação cruzada, temos:
5M = 3P
Desta última equação, vemos que M = 3P / 5. Efetuando essa substituição na
equação P = M + 20, temos:
20
3
20
5
2
20
5
50
P M
P P
P
P
= +
= +
=
=
Portanto, até alcançar Márcia, Paula precisou dar 50 passos.
Resposta: C
45. FGV – SEFAZ/RJ – 2011) A soma de dois números é 120, e a razão entre o
menor e o maior é 1/2. O menor número é
(A) 20 .
(B) 25 .
(C) 30 .
(D) 35 .
(E) 40 .
RESOLUÇÃO:
Sejam A e B os dois números do enunciado. A soma deles é 120:
A + B = 120
E a razão entre eles é de 1/2. Considerando que A é o menor deles, então:
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067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
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1
2
A
B
= , portanto B = 2A
Substituindo B por 2A na primeira equação, temos:
A + 2A = 120
3A = 120
A = 40
Resposta: E
46. FGV – SENADO – 2008) Em uma reunião todas as pessoas se
cumprimentaram, havendo ao todo 120 apertos de mão. O número de pessoas
presentes nessa reunião foi:
(A) 14.
(B) 15.
(C) 16.
(D) 18.
(E) 20.
RESOLUÇÃO:
Cada uma das N pessoas cumprimenta outras N – 1 pessoas (afinal,
ninguém cumprimenta a si mesmo). Ao todo, teríamos N x (N – 1) cumprimentos.
Entretanto, devemos dividir este número por 2. Isto porque estamos contando o
cumprimento de João a José e também o de José a João, sendo que este é apenas
1 cumprimento. Portanto,
( 1)
120
2
N N× −
=
N x (N – 1) = 240
Aqui você tem dois caminhos: ou você encontra um número N que,
multiplicado por seu antecessor (N – 1), é igual a 240, ou resolve a equação de
segundo grau N2 – N – 240 = 0.
Optando pelo primeiro caminho, veja que, se N = 16, temos que 16 x 15 =
240. Portanto, o gabarito é letra C.
Se decidíssemos resolver a equação de segundo grau, teríamos:
( 1) 1 4 240 1 31
2 2
N
− − ± + × ±
= =
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
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���
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Assim, teríamos N1 = 16 e N2 = -15. Como o número de pessoas não pode
ser negativo, devemos optar por N = 16.
Resposta: C
47. FGV – PREF. CONTAGEM – 2011) Considere o conjunto A =
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, e a sentença aberta em A: p(x) = x2 – 5x + 6 = 0.
Marque a alternativa abaixo que contém o conjunto dos elementos que satisfazem a
sentença aberta p(x).
(A) {0,5}
(B) {2,4}
(C) {3,5}
(D) {2,3}
RESOLUÇÃO:
Devemos substituir x por cada um dos números do conjunto A para verificar
se eles satisfazem a igualdade. Por outro lado, podemos calcular as raízes de p(x)
através da fórmula de Báskara:
( 5) 25 4 6 1 5 1
2 1 2
x
− − ± − × × ±
= =
×
Portanto, temos x1 = 3 e x2 = 2, como vemos na letra D.
Resposta: D
48. ESAF – AFT – 2010) Em um grupo de pessoas, há 20 mulheres e 30 homens,
sendo que 20 pessoas estão usando óculos e 36 pessoas estão usando calça jeans.
Sabe-se que, nesse grupo, i) há 20% menos mulheres com calça jeans que homens
com calça jeans, ii) há três vezes mais homens com óculos que mulheres com
óculos, e iii) metade dos homens de calça jeans estão usando óculos. Qual a
porcentagem de pessoas no grupo que são homens que estão usando óculos mas
não estão usando calça jeans?
a) 5%.
b)10%.
c)12%.
d)20%.
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e)18%.
RESOLUÇÃO:
Seja MJ o número de mulheres com calça jeans, e HJ o número de homens
com calça jeans. O enunciado afirma que MJ é 20% menor que HJ, isto é:
MJ = HJ – 20%HJ
MJ = 0,80HJ
Como o total de pessoas com calça jeans é 36, podemos dizer que:
MJ + HJ = 36
Substituindo MJ por 0,80HJ na equação acima, temos:
0,80HJ + HJ = 36
1,8HJ = 36
HJ = 20
Logo,
MJ = 0,80HJ = 0,80 x 20 = 16
Portanto, 16 mulheres e 20 homens estão de calça jeans. Sendo MO o
número de mulheres de óculos e HO o número de homens de óculos, o enunciado
disse que HO é 3 vezes maior que MO, ou seja,
HO = 3MO
Como o total de pessoas de óculos é igual a 20, temos que:
HO + MO = 20
Substituindo HO por 3MO na equação acima:
3MO + MO = 20
4MO = 20
MO = 5
Logo,
HO = 3 x 5 = 15
Assim, 15 homens e 5 mulheres estão usando óculos. A última informação
dada pelo enunciado é:
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
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�
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���
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iii) metade dos homens de calça jeans estão usando óculos
Isto é, 10 homens (metade dos 20 que estão de jeans) estão usando jeans e
óculos. Como 15 homens estão de óculos, isto significa que 5 deles estão de óculos
mas não estão de calça jeans.
O total de pessoas no grupo é de 50 (20 mulheres e 30 homens), sendo que
destes apenas 5 são homens que estão de óculos mas não de jeans. 5 equivale a
10% de 50, o que torna a alternativa B correta.
Resposta: B
49. ESAF – AFRFB – 2009) Em uma repartição, 3/5 do total dos funcionários são
concursados, 1/3 do total dos funcionários são mulheres e as mulheres concursadas
correspondem a 1/4 do total dos funcionários dessa repartição. Assim, qual entre as
opções abaixo, é o valor mais próximo da porcentagem do total dos funcionários
dessa repartição que são homens não concursados?
a) 21%
b) 19%
c) 42%
d) 56%
e) 32%
RESOLUÇÃO:
Seja H o número de homens, M o de mulheres e F o total de funcionários
dessa repartição. Podemos dizer que:
F = H + M
O enunciado diz ainda que 1/3 dos funcionários são mulheres:
M = 1/3 x F
Logo, os outros 2/3 são homens:
H = 2/3x F
Sendo MC as mulheres concursadas, sabemos que elas correspondem a 1/4
dos funcionários, ou seja,
MC = 1/4 x F
49699682760
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Como o enunciado disse que o total de concursados (HC + MC) é 3/5 x F,
podemos dizer:
HC + MC = 3/5 x F
(onde HC são os homens concursados)
Assim,
HC + 1/4 x F = 3/5 x F
HC = 7/20 x F
Podemos ainda dizer que o total de homens é a soma dos homens
concursados (HC) com os homens não concursados (HñC):
H = HC + HñC
2/3 x F = 7/20 x F + HñC
HñC = 40/60 x F – 21/60 x F
HñC = 19/60 x F
HñC = 0,31666 x F
HñC = 31,66% x F
Portanto, 31,66% dos funcionários são homens não concursados. Temos,
aproximadamente, a alternativa E.
Resposta: E
50. ESAF – AFRFB – 2009) Considere uma esfera, um cone, um cubo e uma
pirâmide. A esfera mais o cubo pesam o mesmo que o cone. A esfera pesa o
mesmo que o cubo mais a pirâmide. Considerando ainda que dois cones pesariam o
mesmo que três pirâmides, quantos cubos pesa a esfera?
a) 4
b) 5
c) 3
d) 2
e) 1
RESOLUÇÃO:
Vamos escrever equações a partir das informações do enunciado:
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
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������������� �������� ��!∀�
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������������� �����������������������������������
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- A esfera mais o cubo pesam o mesmo que o cone:
Esfera + Cubo = Cone
- A esfera pesa o mesmo que o cubo mais a pirâmide:
Esfera = Cubo + Pirâmide
ou seja,
Esfera – Cubo = Pirâmide
- Dois cones pesariam o mesmo que três pirâmides:
2 x Cone = 3 x Pirâmide
Como o enunciado quer uma relação entre o Cubo e a Esfera, vamos tentar
chegar a uma equação contendo apenas essas duas figuras. Na última equação,
podemos substituir “Cone” por “Esfera + Cubo”, de acordo com a primeira equação.
Da mesma forma, podemos substituir “Pirâmide” por “Esfera – Cubo”, de acordo
com a segunda equação. Assim:
2 x (Esfera + Cubo) = 3 x (Esfera – Cubo)
2 x Esfera + 2 x Cubo = 3 x Esfera – 3 x Cubo
3 x Cubo + 2 x Cubo = 3 x Esfera – 2 x Esfera
5 x Cubo = Esfera
Logo, a esfera pesa o mesmo que 5 cubos.
Resposta: B
51. ESAF – AFT – 2003) Uma estranha clínica veterinária atende apenas cães e
gatos. Dos cães hospedados, 90% agem como cães e 10% agem como gatos. Do
mesmo modo, dos gatos hospedados 90% agem como gatos e 10% agem como
cães. Observou-se que 20% de todos os animais hospedados nessa estranha
clínica agem como gatos e que os 80% restantes agem como cães. Sabendo-se
que na clínica veterinária estão hospedados 10 gatos, o número de cães
hospedados nessa estranha clínica é:
a) 50
b) 10
c) 20
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
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������������� �������� ��!∀�
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�
������������� �����������������������������������
���
���������������������������������������������������������������
d) 40
e) 70
RESOLUÇÃO:
Seja C o número de cães, G o número de gatos, Cc os cães que agem como
cães, Cg os cães que agem como gatos, Gc os gatos que agem como cães e Gg os
gatos que agem como gatos.
O número de gatos é igual a 10, ou seja, G = 10. Destes, 90% (ou seja, 9)
agem como gatos, isto é, Gg = 9, e os demais agem como cães, portanto Gc = 1.
90% dos cães agem como cães, e 10% agem como gatos, isto é:
Cc = 0,9C
Cg = 0,1C
Assim, o número de animais que agem como gatos é:
Cg + Gg = 0,1C + 9
E o número de animais que agem como cães é:
Cc + Gc = 0,9C + 1
O total de animais na clínica é igual a C + G. Assim, se 20% dos animais
agem como gatos:
20% x (C + G) = 0,1C + 9
0,2C + 0,2G = 0,1C + 9
0,1C = 9 – 0,2G
C = 90 – 2G
Como G = 10:
C = 90 – 2 x 10
C = 70 cães
Resposta: E
52. ESAF – ISS/RJ – 2010) Dois números a e b, a � 0, b � 0 e b > a, formam uma
razão � tal que � = b/a = (a+b)/b. Calcule o valor mais próximo de �.
a) 1,618
b) 1,732
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�
�
������������� �����������������������������������
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���������������������������������������������������������������
c) 1,707
d) 1,5708
e) 1,667
RESOLUÇÃO:
Vamos manipular a igualdade:
( )b a b
a b
+
=
( )b b a b a× = + ×
2 2
b a ab= +
2 2 0a ab b+ − =
Podemos considerar que b seja uma constante, e obter o valor da variável “a”
aplicando a fórmula de Báskara:
2 24 1 ( )
2 1
b b b
a
− ± − × × −
=
×
25
2
b b
a
− ±
=
5
2
b b
a
− ±
=
1 5
2
a b
− ±
= ×
Usando a aproximação 5 2, 25≅ , temos:
1 2, 25
2
a b
− ±
= ×
a = 0,625b ou a = -1,625b
Considerando a = 0,625b, temos:
� = b/a = b / 0,625b = 1 / 0,625 = 1,6
Temos, aproximadamente, o resultado da alternativa A. Se você utilizar uma
aproximação melhor para a raiz de 5, terá um resultado ainda mais próximo.
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067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
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�
������������� �����������������������������������
���
���������������������������������������������������������������
Note que, se considerássemos a = -1,625b, teríamos � = -0,615, que não
figura entre as alternativas de resposta.
Resposta: A
53. FCC – TRT/11a – 2012) Estão representados a seguir os quatro primeiros
elementos de uma sequência de figuras formadas por quadrados.
Mantido o padrão, a 20a figura da sequência será formada por um total de
quadrados igual a
(A) 100
(B) 96
(C) 88
(D) 84
(E) 80
RESOLUÇÃO:
A primeira figura tem 8 quadrados, a segunda tem 12, a terceira tem 16, e a
quarta tem 20. Temos a seguinte seqüência: {8, 12, 16, 20}. Trata-se de uma
progressão aritmética de razão r = 4, na qual o termo inicial e a1 = 8 e é solicitado o
20º termo, isto é, a20.
Pela fórmula do termo geral da PA, podemos obter esse termo:
an = a1 + r x (n – 1)
a20 = a1 + 4 x (20 – 1)
a20 = 8 + 4 x (20 – 1) = 84
Resposta: D
54. CEPERJ – PREF. BELFORD ROXO – 2011) A cada ano que passa o valor de
um veículo automotor diminui de 10% em relação ao seu valor no ano anterior. Se p
for o valor do veículo no 1º ano, o seu valor no 6º ano será:
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
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������������� �������� ��!∀�
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a) 5(0,1) p
b) 5 0,1p×
c) 5(0,9) p
d) 6 0,9p×
e) 6 0,1p×
RESOLUÇÃO:
Vamos resolver usando os conceitos de termo geral de PG que vimos acima.
Existem outras formas de resolver.
No segundo ano, o valor do veículo será p reduzido em 10%, ou seja, p
menos 10% de p. Matematicamente, podemos escrever o valor do segundo ano
como:
10%
0,1
0,9
p p
p p
p
− × =
− =
No terceiro ano, o valor será 0,9p reduzido em 10%, ou seja:
2
(0,9 ) 10% (0,9 )
(0,9 ) 0,1 (0,9 )
(1 0,1) 0,9
0,9 0,9
(0,9)
p p
p p
p
p
p
− × =
− × =
− × =
× =
Veja a sequência de valores a cada ano: 2{ ; 0,9p; (0,9) p...}p . Observe que,
de um termo para o seguinte, basta multiplicar por 0,9. Assim,temos uma PG com
termo inicial 1a p= e razão 0,9q = . E o exercício pediu o valor do carro no 6º ano,
isto é, o termo 6a desta PG. Pela fórmula do termo geral, temos:
1
1
6 1
6
5 5
6
0,9
0,9 0,9
n
na a q
a p
a p p
−
−
= ×
= ×
= × =
Resposta: C.
55. CEPERJ –OFICIAL SEFAZ/RJ – 2011 Carlos resolveu fazer uma poupança
durante este ano, da seguinte forma. Na primeira semana do ano, colocou 10 reais
em eu pequeno e vazio cofre. Na segunda semana, colocou 12 reais; na terceira
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
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semana, 14 reais, e assim por diante, aumentando o depósito em dois reais a cada
semana. Se ele mantiver a promessa e, como o ano tem 52 semanas, após o último
depósito ele terá acumulado uma quantia:
a) entre 3000 e 3100 reais
b) entre 3100 e 3200 reais
c) entre 3200 e 3300 reais
d) entre 3300 e 3400 reais
e) entre 3400 e 3500 reais
RESOLUÇÃO:
Carlos coloca 2 reais a mais a cada semana. Portanto, os depósitos feitos por
Carlos na poupança a cada semana são: { 10, 12, 14, 16, ... }. Trata-se de uma
progressão aritmética (pois o termo seguinte é igual ao termo anterior mais um valor
fixo), onde o termo inicial é 1 10a = e a razão é 2r = .
O exercício quer saber o valor total acumulado após 1 ano (52 semanas,
conforme o enunciado). Ou seja, ele quer a soma dos 52 primeiros termos desta PA.
Basta usar a fórmula da soma de PA que vimos acima, para n = 52:
1
52
52
( )
2
52 (10 )
2
n
n
n a a
S
a
S
× +
=
× +
=
Observe que, para resolver a equação acima, precisamos conhecer o termo
52a , o que fazemos com o auxílio da fórmula do termo geral:
1
52
52
52
52
( 1)
10 (52 1) 2
10 (51) 2
10 102
112
na a n r
a
a
a
a
= + − ×
= + − ×
= + ×
= +
=
Substituindo o termo 52a na fórmula da soma, temos:
52
52
52
52
52 (10 )
2
52 (10 112) 52 122
2 2
3172
a
S
S
S
× +
=
× + ×
= =
=
49699682760
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������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
����������������������������������������������������������������
Portanto, Carlos terá R$3172 ao final do ano, que é uma quantia entre 3100 e
3200 reais (letra B).
Resposta: B.
56. CEPERJ – RIO PREVIDÊNCIA – 2010) Na sequência aritmética: 6, 13, 20, 27,
34..., o primeiro termo que ultrapassa 2010 é:
a) 2012
b) 2013
c) 2014
d) 2015
e) 2016
RESOLUÇÃO:
Como você pode ver, a diferença entre um termo e o seguinte desta
sequência é sempre 7. Portanto, trata-se de uma PA de razão r = 7 e termo inicial
1 6a = . Para descobrir o primeiro termo acima de 2010, vamos imaginar
primeiramente que 2010 seja um termo da sequência, cuja posição “n” não
sabemos. Usando a fórmula do termo geral, vamos tentar descobrir esta posição
“n”:
1 ( 1)
2010 6 ( 1) 7
2004
1
7
na a n r
n
n
= + − ×
= + − ×
= −
Observe que 2004 não é divisível por 7. Se você fizer a divisão, encontrará
quociente 286 e resto 2. Precisaríamos, portanto, de um número com 5 unidades a
mais (isto é, 2009), para que esta divisão possa ser exata. Isto seria possível se, ao
invés de partir de 2010, partíssemos de um número 5 unidades maior (no caso,
2015). De fato, se testarmos 2015 na fórmula do termo geral da PA, teremos:
1 ( 1)
2015 6 ( 1) 7
2009
1
7
287 1
288
na a n r
n
n
n
n
= + − ×
= + − ×
= −
= −
=
Assim, 2015 é o primeiro termo daquela sequência que ultrapassa 2010 (e,
inclusive, sua posição na sequência é a 288ª).
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Resposta: D.
57. CEPERJ – PREF. CANTAGALO – 2010) Se x e y são positivos e se x, x.y e 3x
estão, nessa ordem, em progressão geométrica, então o valor de y é:
a) 2
b) 2
c) 3
d) 3
e) 9
RESOLUÇÃO:
Temos a seguinte PG: { x, x.y, 3x}. Veja que o termo inicial é 1a x= , e o
terceiro termo é 3 3a x= . Usando a fórmula de termo geral da PG, podemos
encontrar a razão q:
1
1
3 1
3 1
2
2
2
3
3
3
3
n
n
a a q
a a q
x x q
x
q
x
q
q
−
−
= ×
= ×
= ×
=
=
=
Portanto, a razão da PG é 3 . Lembrando da definição de PG, sabemos que
o segundo termo (x.y) nada mais é que o primeiro termo (x) multiplicado pela razão
3 . Ou seja,
. 3x y x= ×
Da igualdade acima vemos que 3y = .
Resposta: C.
58. VUNESP – ISS/SJC – 2012) Uma sequência é formada por 50 figuras conforme
o padrão que exibe as 4 primeiras figuras. Cada figura da sequência é formada por
quadradinhos claros e escuros.
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A diferença entre o número de quadradinhos escuros da última e da penúltima
figuras vale
(A) 99.
(B) 100.
(C) 101.
(D) 102.
(E) 103.
RESOLUÇÃO:
Repare que, da primeira para a terceira figura, há um acréscimo de 4
quadradinhos escuros (de 5 para 9). Isto porque foram acrescentadas duas linhas e
duas colunas de uma figura para a outra (de 3x3 para 5x5). Assim, na figura 7x7
teremos também mais 4 quadradinhos cinza, totalizando 13. E assim por diante,
formando uma progressão aritmética com termo inicial 5 e razão 4. A 49ª figura é,
na verdade, a 25ª figura desta progressão. Assim, usando a fórmula da PA, temos:
a25 = 5 + 4 x (25-1) = 101
Veja também que, da segunda para a quarta figura, há um acréscimo de 8
quadradinhos escuros (de 12 para 20). Isto porque foram acrescentadas duas linhas
e duas colunas de uma figura para a outra (de 4x4 para 6x6). Assim, temos uma
progressão aritmética de termo inicial 12 e razão 8. Queremos o 25º termo, que é a
figura da posição 50:
a25 = 12 + 8x(25-1) = 204
Assim, a diferença de número de quadradinhos escuros da última para a
penúltima figuras é:
204 – 101 = 103
Resposta: E
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3. QUESTÕES APRESENTADAS NA AULA
1. CEPERJ – PREF. SÃO GONÇALO – 2011) Antônio recebeu seu salário. As
contas pagas consumiram a terça parte do que recebeu, e a quinta parte do restante
foi gasta no supermercado. Se a quantia que sobrou foi de R$440,00, o valor
recebido por Antonio foi de:
a) R$780,00
b) R$795,00
c) R$810,00
d) R$825,00
e) R$840,00
�
2. CEPERJ – SEFAZ/RJ – 2011) Os professores de uma escola combinaram
almoçar juntos após a reunião geral do sábado seguinte pela manhã, e o transporte
até o restaurante seria feito pelos automóveis de alguns professores que estavam
no estacionamento da escola. Terminada a reunião, constatou-se que:
• Com 5 pessoas em cada carro, todos os professores podem ser transportados e 2
carros podem permanecer no estacionamento.
• Se 2 professores que não possuem carro desistirem, todos os carros podem
transportar os professores restantes, com 4 pessoas em cada carro.
O número total de professores na reunião era:
A) 40
B) 45
C) 50
D) 55
E) 60
�
3. VUNESP – ISS/SJC – 2012) Em uma sala, o número de meninos excede o
número de meninas em três. O produto do número de meninos pelo número de
meninas é um número que excede o número total de alunos em 129. O total de
alunos nessa sala é
(A) 25.
(B) 27.
(C) 30.
(D) 32.
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(E) 36.
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4. COPS/UEL – CELEPAR – 2010) Entre os números x e y existe a seguinte
relação: x3 + 3xy + xy2 = 27. Nessas condições:
a) Se x = 3 e y é negativo, então y = -3.
b) Se x = 3 e y é positivo, então y = 3.
c) Se x = 4 então y = 8.
d) Se x = 8 então y = 4.
e) Se x = -1 então y = -2.
�
5. CEPERJ – SEEDUC – 2009) Considere a função :f N N→ tal que f(0)=0, e
( 1) ( ) 1f n f n n+ = + + para todo n N∈ . O valor de f(4) é:
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 13
�
6. CEPERJ – SEE/RJ – 2011) Se
2
( )
1
f x
x
=
−
, a raiz da equação ( ) 10f f x =� é:
a) 1/3
b) 4/3
c) 5/3
d) 7/3
e) 8/3
�
7. COPS/UEL – Polícia Militar/PR – 2010) Considere uma colisão de dois veículos.
Num sistema de coordenadas cartesianas, as posições finais destes veículos após a
colisão são dadas nos pontos A = (2, 2) e B = (4, 1). Para compreender como
ocorreu a colisão é importante determinar a trajetória retilínea que passa pelos
pontos A e B. Essa trajetória é dada pela equação:
a) x – y = 0
b) x + y – 5 = 0
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c) x – 2y + 2 = 0
d) 2x + 2y – 8 = 0
e) x + 2y – 6 = 0
�
8. CEPERJ – PREF. ITABORAI – 2011) Sobre os gráficos das funções
:f ℜ → ℜ (ℜ é o conjunto dos números reais) definida por ( )f x x= e :g ℜ → ℜ
definida por 2( ) 3 2g x x x= − + , é correto afirmar que se interceptam em:
a) Um único ponto de abscissa positiva
b) Um único ponto de abscissa negativa
c) Dois pontos distintos com abscissas de sinais contrários
d) Dois pontos distintos com abscissas de mesmo sinal
e) Mais de dois pontos
�
9. ESAF – AFRFB – 2009) Se um polinômio f for divisível separadamente por (x – a)
(x – b) com a � b, então f é divisível pelo produto entre (x – a) e (x – b). Sabendo-se
que 5 e -2 são os restos da divisão de um polinômio f por (x - 1) e (x + 3),
respectivamente, então o resto da divisão desse polinômio pelo produto dado por
(x - 1) e (x + 3) é igual a:
�
10. COPS/UEL – CELEPAR – 2010) Sabemos que logX = log 5 + log2 5 + log2
onde log é o logaritmo decimal. Então o valor de X é:
a) 4 5
b) 15,875 aproximadamente
c) 17,585 aproximadamente
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d) 2 + 3 5
e) 20
�
11. ESAF – AFRFB – 2009) Com relação ao sistema ,
onde 3 z + 2 � 0 e 2 x + y � 0 , pode-se, com certeza, afirmar que:
a) é impossível.
b) é indeterminado.
c) possui determinante igual a 4.
d) possui apenas a solução trivial.
e) é homogêneo.
�
12. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2010) O valor de um caminhão do tipo A novo
é de R$ 90.000,00 e, com 4 anos de uso, é de R$50.000,00. Supondo que o preço
caia com o tempo, segundo uma função linear, o valor de um caminhão do tipo A,
com 2 anos de uso, em reais, é de
a) 40.000,00
b) 50.000,00
c) 60.000,00
d) 70.000,00
e) 80.000,00
13. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2010) O número de elementos do conjunto
soluções da equação x + y + z = 8 , onde x, y e z são números naturais positivos, é
a) 13
b) 15
c) 17
d) 19
e) 21
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14. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2010) A função geradora do gráfico abaixo é
do tipo y = mx + n
Então, o valor de m3 + n é
a) 2
b) 3
c) 5
d) 8
e) 13
15. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2010) Uma loja de eletrodomésticos possui
1.600 unidades de liquidificadores em estoque. Uma recente pesquisa de mercado
apontou que seriam vendidas 800 unidades a um preço de R$300,00, e que cada
diminuição de R$ 5,00, no valor do produto, resultaria em 20 novas vendas. Qual
valor de venda, em reais, permite que a receita seja máxima?
a) 230,00
b) 240,00
c) 250,00
d) 270,00
e) 280,00
16. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2010) Um funcionário público tem uma
poupança de R$200,00 e pretende utilizá-la para pagar a 1ª prestação de um
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empréstimo, a ser pago em 24 parcelas iguais de R$ 1.000,00. Sabendo-se que o
valor da prestação não pode superar um terço do salário do funcionário, qual o
menor valor, em reais, que ficará disponível, após o pagamento da 1ª prestação,
para os demais gastos?
a) 2.000,00
b) 2.200,00
c) 3.000,00
d) 800,00
e) 1.200,00
17. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2010) Qual é a soma dos múltiplos de 11
formados por 4 algarismos?
a) 4.504.500
b) 4.505.000
c) 4.505.500
d) 4.506.000
e) 4.506.500
18. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2010) Qual é o número que deve ser somado
aos números 1, 5 e 7 para que os resultados dessas somas, nessa ordem, formem
três termos de uma progressão geométrica?
a) - 9
b) - 5
c) - 1
d) 1
e) 9
19. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2010) Em uma festa comunitária, uma barraca
de tiro ao alvo dá um prêmio ao cliente de R$ 30,00, cada vez que o mesmo acerta
a área central do alvo. Caso contrário, o cliente paga R$ 10,00. Um indivíduo deu 50
tiros e pagou R$ 100,00. Nessas condições, o número de vezes que ele ERROU o
alvo foi
a) 10
b) 20
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c) 25
d) 35
e) 40
20. CESGRANRIO – BACEN – 2010) Gabriel brinca com 24 moedas de R$ 1,00.
Inicialmente, ele forma com elas três pilhas. Em seguida, dobra a segunda pilha
colocando nela moedas retiradas da primeira; depois, dobra a terceira com moedas
retiradas da segunda e, finalmente, dobra o que restou na primeira pilha com
moedas retiradas da terceira, ficando, assim, as três pilhas com o mesmo número
de moedas. O número de moedas que havia, no início, na pilha mais alta, era
(A) 6
(B) 7
(C) 8
(D) 11
(E) 12
21. CESGRANRIO – BNDES – 2011) Numa prova de 45 questões, cada questão
respondida corretamente vale 8 pontos, e 7 pontos são deduzidos a cada questão
errada. Uma pessoa faz essa prova e fica com nota zero. Quantas questões essa
pessoa acertou?
(A) 0
(B) 15
(C) 21
(D) 24
(E) 30
22. CESGRANRIO – BNDES – 2011) Uma banca de jornal vende figurinhas a 12
centavos cada, se a pessoa comprar até 24 figurinhas. Para comprar de 25 até 48
figurinhas, o preço unitário passa a 11 centavos, e, para comprar acima de 48
figurinhas, o preço unitário passa a 10 centavos. Os irmãos Aldo, Baldo e Caldo
colecionam um álbum cada um deles, e, apesar de ainda faltarem figurinhas para
completar seu álbum, Caldo não tem dinheiro para comprar mais figurinhas. Aldo e
Baldo precisam de 24 figurinhas cada um para completar suas coleções e ambos
têm o dinheiro exato para comprar individualmente as figurinhas que faltam. Caldo
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vai à banca com o dinheiro de seus irmãos e compra figurinhas suficientes para que
todos completem seus álbuns e ainda traz um troco de 6 centavos. Quantas
figurinhas faltam para Caldo completar seu álbum?
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 9
23. CESGRANRIO – BNDES – 2011) A soma dos infinitos termos de uma
progressão geométrica, cuja razão tem módulo menor que 1, é igual a 6, e a soma
dos quadrados dos termos dessa progressão é igual a 12. Quanto vale o primeiro
termo da progressão geométrica?
(A) 1
(B) 3
(C) 6
(D) 9
(E) 12
24. CESGRANRIO – BNDES – 2010) Certa marca de café é comercializada
exclusivamente em embalagens de 250 g ou de 400 g. Se um consumidor dessa
marca comprar uma embalagem de cada, gastará, ao todo, R$ 3,30. Se, em vez
disso, esse consumidor comprar o correspondente a 900 g em embalagens desse
café, pagará, ao todo, R$ 4,60. A diferença, em reais, entre os preços das
embalagens de 400 g e de 250 g é
(A) 0,40
(B) 0,50
(C) 0,60
(D) 0,70
(E) 0,80
25. CESGRANRIO – BNDES – 2010) A sequência numérica (6, 10, 14, ... , 274,
278, 282) tem 70 números, dos quais apenas os três primeiros e os três últimos
estão representados. Qualquer número dessa sequência, excetuando-se o primeiro,
é igual ao termo que o antecede mais 4. A soma desses 70 números é
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(A) 8.920
(B) 10.080
(C) 13.560
(D) 17.840
(E) 20.160
26. CESGRANRIO – BNDES – 2008) Uma seqüência de números (a1, a2, a3,...) é
tal que a soma dos n primeiros termos é dada pela expressão Sn = 3n
2 + n.
O valor do 51o termo é
(A) 300
(B) 301
(C) 302
(D) 303
(E) 304
27. CESGRANRIO – BNDES – 2006) O valor de x no sistema é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
28. CESGRANRIO – BNDES – 2004) Para arrecadar R$ 240,00 a fim de comprar
um presente para um colega que se aposentava, os funcionários de uma empresa
fizeram um rateio. No dia do pagamento, 5 funcionários resolveram não participar, o
que aumentou a quota de cada um dos demais em R$ 8,00. Quantos funcionários
efetivamente participaram do rateio?
(A) 8
(B) 9
(C) 10
(D) 12
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(E) 15
29. CESGRANRIO – BNDES – 2011) Na cantina de uma fábrica, o lanche
constituído de sanduíche e suco custa R$ 4,00. O sanduíche custa R$ 2,40 a mais
que o suco. O preço do suco, em reais, é
(A) 0,80
(B) 1,00
(C) 1,20
(D) 1,40
(E) 1,60
30. COPS/UEL – CELEPAR – 2010) Uma pessoa, participando de um concurso,
responde metade das questões de Matemática na primeira hora. Na segunda hora,
resolveu metade do restante e, na terceira hora, respondeu às 9 últimas questões.
Nessas condições, a prova de Matemática tinha:
a) 30 questões
b) 34 questões
c) 36 questões
d) 38 questões
e) 40 questões
31. CEPERJ – PREF. SÃO GONÇALO – 2011)
Seja
0, se x é um número racional
( )
2, se x é um número irracional
f x
x
��
= �
−��
, o valor de
( 6) ( 16)
(3,2) ( 8)
f f
f f
−
+
é:
a) 3 1−
b) 2 3 1−
c) 6
d) 6 1−
e) 2
32. CEPERJ – SEPLAG/RJ – 2012) Um controle remoto de TV e mais as duas
pilhas necessárias para seu funcionamento podem ser comprados em certo site da
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internet por R$30,00. O controle, apenas, custa R$16,00 reais a mais que o preço
das duas pilhas. O preço de uma pilha é:
A) R$ 3,50
B) R$ 4,00
C) R$ 5,50
D) R$ 7,00
E) R$ 8,00
33. CEPERJ – PREF. SÃO GONÇALO – 2011) Seja t a solução de 5 3 0x − = . O
valor de 10 11 19( 1) ( ... )t t t t− × + + + é:
a) 27
b) 32
c) 72
d) 81
e) 96
34. CEPERJ – PREFEITURA SÃO GONÇALO – 2011) Em um determinado
concurso foram totalizados 1500 candidatos inscritos, entre homens e mulheres. No
dia da prova faltaram
4
9
das mulheres e estavam presentes
5
6
dos homens. E
verificou-se que o número de homens e mulheres presentes no dia da prova era o
mesmo. A porcentagem de mulheres inscritas nesse concurso foi de:
a) 30%
b) 40%
c) 45%
d) 50%
e) 60%
35. FGV – CAERN – 2010) Em um cofrinho há R$6,00 em moedas de 10 centavos
e de 25 centavos. A quantidade de moedas de 10 centavos é um múltiplo de 7.
Quantas moedas de 10 centavos há a mais do que moedas de 25 centavos?
a) 32
b) 25
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c) 18
d) 11
e) 4
36. FGV – MEC – 2008) Em uma sala há homens, mulheres e crianças. Se todos
os homens fossem retirados da sala, as mulheres passariam a representar 80% dos
restantes. Se, ao contrário, fossem retiradas todas as mulheres, os homens
passariam a representar 75% dos presentes na sala. Com relação ao número total
de pessoas na sala, as crianças correspondem a:
(A) 12,5%
(B) 17,5%
(C) 20%
(D) 22,5%
(E) 25%
37. FGV – SEFAZ/RJ – 2011) A soma de dois números é 120, e a razão entre o
menor e o maior é 1/2. O menor número é
(A) 20 .
(B) 25 .
(C) 30 .
(D) 35 .
(E) 40 .
38. CEPERJ – PREF. SÃO GONÇALO – 2011) Os irmãos Pedro e Paulo estudam
no 8º ano do Ensino Fundamental e entraram em uma papelaria para comprar lápis
e canetas de que precisavam para o semestre. As canetas que compraram foram
todas do mesmo preço. Os lápis que compraram foram também todos do mesmo
preço. Pedro comprou 2 canetas e 5 lápis e pagou R$16,50. Paulo comprou 3
canetas e 2 lápis e pagou também R$16,50. Assim, quem comprar 1 caneta e um
lápis, iguais aos comprados pelos irmãos, pagará:
a) R$6,00
b) R$6,20
c) R$6,50
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d) R$6,75
e) R$6,90
39. CEPERJ – SEEDUC – 2009) No sistema
0,3 1,2 2,4
0,5 0,8 0,9
x y
x y
+ =�
�
− = −�
o valor de x é:
a) 1
b) -1
c) 0
d) 2
e) 2/3
40. CEPERJ – SEEDUC – 2009) A equação 2 0x bx c+ + = possui raízes 3 e 5.
Então, b+c é igual a:
a) 7
b) 10
c) 15
d) 19
e) 23
41. CEPERJ – PREF. BELFORD ROXO – 2011) O ponto A 2( 2 15, 2)m m− − −
pertence ao eixo Y, e o ponto B 2(3, 7 10)m m− + pertence ao eixo x. O valor de m é:
a) -2
b) -3
c) 5
d) 2
e) 7
42. CEPERJ – PREF. ITABORAÍ – 2011) Um vendedor ambulante compra uma
caixa de bombons por R$100,00 e vende pelo mesmo preço, depois de retirar 10
bombons e aumentar o preço da dezena em R$5,00. Então, o número original de
bombons na caixa era:
a) 31
b) 37
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d) 50
e) 51
43. FGV – MEC – 2008) Em uma sala há homens, mulheres e crianças. Se todos
os homens fossem retirados da sala, as mulheres passariam a representar 80% dos
restantes. Se, ao contrário, fossem retiradas todas as mulheres, os homens
passariam a representar 75% dos presentes na sala. Com relação ao número total
de pessoas na sala, as crianças correspondem a:
(A) 12,5%
(B) 17,5%
(C) 20%
(D) 22,5%
(E) 25%
44. FGV – BADESC – 2010) Ao caminhar, Márcia e Paula dão sempre passos
uniformes. O passo de Márcia tem o mesmo tamanho do de Paula. Mas, enquanto
Paula dá cinco passos, Márcia, no mesmo tempo, dá três passos. No início da
caminhada, Márcia estava 20 passos à frente de Paula. Se elas caminharem sem
parar, Paula, para alcançar Márcia, deverá dar o seguinte número de passos:
(A) 20
(B) 25
(C) 30
(D) 40
(E) 50
45. FGV – SEFAZ/RJ – 2011) A soma de dois números é 120, e a razão entre o
menor e o maior é 1/2. O menor número é
(A) 20 .
(B) 25 .
(C) 30 .
(D) 35 .
(E) 40 .
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46. FGV – SENADO – 2008) Em uma reunião todas as pessoas se
cumprimentaram, havendo ao todo 120 apertos de mão. O número de pessoas
presentes nessa reunião foi:
(A) 14.
(B) 15.
(C) 16.
(D) 18.
(E) 20.
47. FGV – PREF. CONTAGEM – 2011) Considere o conjunto A =
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, e a sentença aberta em A: p(x) = x2 – 5x + 6 = 0.
Marque a alternativa abaixo que contém o conjunto dos elementos que satisfazem a
sentença aberta p(x).
(A) {0,5}
(B) {2,4}
(C) {3,5}
(D) {2,3}
48. ESAF – AFT – 2010) Em um grupo de pessoas, há 20 mulheres e 30 homens,
sendo que 20 pessoas estão usando óculos e 36 pessoas estão usando calça jeans.
Sabe-se que, nesse grupo, i) há 20% menos mulheres com calça jeans que homens
com calça jeans, ii) há três vezes mais homens com óculos que mulheres com
óculos, e iii) metade dos homens de calça jeans estão usando óculos. Qual a
porcentagem de pessoas no grupo que são homens que estão usando óculos mas
não estão usando calça jeans?
a) 5%.
b)10%.
c)12%.
d)20%.
e)18%.
49. ESAF – AFRFB – 2009) Em uma repartição, 3/5 do total dos funcionários são
concursados, 1/3 do total dos funcionários são mulheres e as mulheres concursadas
correspondem a 1/4 do total dos funcionários dessa repartição. Assim, qual entre as
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opções abaixo, é o valor mais próximo da porcentagem do total dos funcionários
dessa repartição que são homens não concursados?
a) 21%
b) 19%
c) 42%
d) 56%
e) 32%
50. ESAF – AFRFB – 2009) Considere uma esfera, um cone, um cubo e uma
pirâmide. A esfera mais o cubo pesam o mesmo que o cone. A esfera pesa o
mesmo que o cubo mais a pirâmide. Considerando ainda que dois cones pesariam o
mesmo que três pirâmides, quantos cubos pesa a esfera?
a) 4
b) 5
c) 3
d) 2
e) 1
51. ESAF – AFT – 2003) Uma estranha clínica veterinária atende apenas cães e
gatos. Dos cães hospedados, 90% agem como cães e 10% agem como gatos. Do
mesmo modo, dos gatos hospedados 90% agem como gatos e 10% agem como
cães. Observou-se que 20% de todos os animais hospedados nessa estranha
clínica agem como gatos e que os 80% restantes agem como cães. Sabendo-se
que na clínica veterinária estão hospedados 10 gatos, o número de cães
hospedados nessa estranha clínica é:
a) 50
b) 10
c) 20
d) 40
e) 70
52. ESAF – ISS/RJ – 2010) Dois números a e b, a � 0, b � 0 e b > a, formam uma
razão � tal que � = b/a = (a+b)/b. Calcule o valor mais próximo de �.
a) 1,618
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b) 1,732
c) 1,707
d) 1,5708
e) 1,667
53. FCC – TRT/11a – 2012) Estão representados a seguir os quatro primeiros
elementos de uma sequência de figuras formadas por quadrados.
Mantido o padrão, a 20a figura da sequência será formada por um total de
quadrados igual a
(A) 100
(B) 96
(C) 88
(D) 84
(E) 80
54. CEPERJ – PREF. BELFORD ROXO – 2011) A cada ano que passa o valor de
um veículo automotor diminui de 10% em relação ao seu valor no ano anterior. Se p
for o valor do veículo no 1º ano, o seu valor no 6º ano será:
a) 5(0,1) p
b) 5 0,1p×
c) 5(0,9) p
d) 6 0,9p×
e) 6 0,1p×
55. CEPERJ – OFICIAL SEFAZ/RJ – 2011 Carlos resolveu fazer uma poupança
durante este ano, da seguinte forma. Na primeira semana do ano, colocou 10 reais
em eu pequeno e vazio cofre. Na segunda semana, colocou 12 reais; na terceira
semana, 14 reais, e assim por diante, aumentando o depósito em dois reais a cada
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semana. Se ele mantiver a promessa e, como o ano tem 52 semanas, após o último
depósito ele terá acumulado uma quantia:
a) entre 3000 e 3100 reais
b) entre 3100 e 3200 reais
c) entre 3200 e 3300 reais
d) entre 3300 e 3400 reais
e) entre 3400 e 3500 reais
56. CEPERJ – RIO PREVIDÊNCIA – 2010) Na sequência aritmética: 6, 13, 20, 27,
34..., o primeiro termo que ultrapassa 2010 é:
a) 2012
b) 2013
c) 2014
d) 2015
e) 2016
57. CEPERJ – PREF. CANTAGALO – 2010) Se x e y são positivos e se x, x.y e 3x
estão, nessa ordem, em progressão geométrica, então o valor de y é:
a) 2
b) 2
c) 3
d) 3
e) 9
58. VUNESP – ISS/SJC – 2012) Uma sequência é formada por 50 figuras conforme
o padrão que exibe as 4 primeiras figuras. Cada figura da sequência é formada por
quadradinhos claros e escuros.
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A diferença entre o número de quadradinhos escuros da última e da penúltima
figuras vale
(A) 99.
(B) 100.
(C) 101.
(D) 102.
(E) 103.
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4. GABARITO
1 D 2 C 3 A 4 A 5 D 6 E 7 E
8 D 9 C 10 E 11 C 12 D 13 E 14 B
15 C 16 B 17 A 18 A 19 E 20 D 21 C
22 D 23 B 24 D 25 B 26 E 27 C 28 C
29 A 30 C 31 A 32 A 33 C 34 E 35 B
36 A 37 E 38 A 39 A 40 A 41 C 42 D
43 A 44 C 45 E 46 C 47 D 48 B 49 E
50 B 51 E 52 A 53 D 54 C 55 B 56 D
57 C 58 E
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