CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS - Atividade A4

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Considere uma mola com uma massa de 3 kg e de comprimento natural 0,5 m. Para esticá-la até um comprimento de 0,8 m, é necessária uma força de 22,5 N. Suponha que a mola seja esticada até o comprimento de 0,8 m e, em seguida, seja liberada com velocidade inicial nula. O movimento realizado obedece à equação diferencial: , onde  é uma função do tempo  que indica a posição da massa  e  é a constante elástica.
 
Com base na situação descrita, assinale a alternativa correta. (Dica: Lei de Hooke: ).
· A situação descrita é um PVI dado por: ,  e 
· Resposta correta
A posição da massa em qualquer momento  é expressa por 
· 
A solução geral do problema descrito é dada por .
· 
A situação descrita é um PVI dado por:  e .
· 
A equação auxiliar da EDO possui duas raízes reais e distintas.
“Uma equação diferencial linear de segunda ordem tem a forma , onde  e  são funções contínuas” (STEWART, 2016, p. 1028). Se , a equação é dita linear homogênea, caso contrário, se  a equação é dita linear não homogênea.
 
STEWART, J. Cálculo.
São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
 
Com relação às equações homogêneas, assinale a alternativa correta:
· 
A equação diferencial  tem solução .
· 
A equação diferencial  tem solução .
· 
A equação diferencial  tem solução .
· Resposta correta
A equação diferencial  tem solução .
· 
A equação diferencial  tem solução .
Uma equação diferencial pode ser classificada de acordo com a sua linearidade em equação diferencial linear e equação diferencial não linear. As equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades: Considere que a variável independente é  e a variável dependente é , temos que: (i) A variável dependente  e todas as suas derivadas são do primeiro grau, isto é, possuem grau 1. (ii) Cada coeficiente depende apenas da variável independente .
 
Considere a variável  uma função da variável , isto é, . Analise as afirmativas a seguir.
 
I. A equação diferencial  é linear.
II. A equação diferencial  é linear.
III. A equação diferencial  é linear.
IV. A equação diferencial  é linear.
 
Assinale a alternativa correta.
· 
III e IV, apenas.
· Sua resposta (incorreta)
I, II e IV, apenas.
· 
I, II e III, apenas.
· Resposta correta
I, III e IV, apenas.
· 
II e IV, apenas.
As equações diferenciais podem ser classificadas de acordo com alguns critérios. Por exemplo, podemos classificar uma equação diferencial de acordo com sua ordem e grau. No caso da classificação pela ordem, temos que esta é definida pela ordem da mais alta derivada que aparece na equação, e a classificação pelo grau é dada pelo expoente da derivada de maior ordem que aparece na equação.
 
De acordo com a classificação de ordem e grau, assinale a alternativa correta:
· A equação diferencial  é de ordem 1 e grau 2.
· Resposta correta
A equação diferencial  é de ordem 1 e grau 1.
· 
A equação diferencial  é de ordem 3 e grau 2.
· 
A equação diferencial  é de ordem 2 e grau 2.
· 
A equação diferencial  é de ordem 3 e grau 2.
De acordo com Sodré (2003, p. 5), “se são conhecidas condições adicionais, podemos obter soluções particulares para a equação diferencial e, se não são conhecidas condições adicionais, poderemos obter a solução geral”. Uma condição adicional que pode ser conhecida é o valor da função em um dado ponto. Assim, uma equação diferencial mais essa condição adicional é chamada de Problema de Valor Inicial (PVI).
 
SODRÉ, U. Notas de aula. Equações diferenciais ordinárias,2003.  Disponível em: http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/pdfs/edo.pdf. Acesso em: 20 dez. 2019.
 
Assinale a alternativa que apresenta a solução do PVI: , .
· 
· Resposta correta
.
· 
.
· 
.
· 
.
Uma equação diferencial de variáveis separáveis é toda equação diferencial de primeira ordem e primeiro grau que pode ser escrita na forma . O nome separável vem do fato de que a equação pode ser separada em uma função de  e uma função de . A solução de tal equação é obtida ao integrarmos ambos os lados da igualdade.
 
Dado que  é uma constante real, assinale a alternativa abaixo que corresponde à solução da equação diferencial separável .
 
· .
· 
.
· 
.
· Resposta correta
.
· 
.
Em um circuito elétrico, tem-se que o gerador fornece uma voltagem constante de  um capacitor com capacitância de  e um resistor com uma resistência de . Sabe-se que esse circuito pode ser modelado matematicamente por meio da seguinte equação diferencial: , onde  é a carga, medida em coulombs.
 
Dado que , assinale a alternativa correta.
· 
A função carga é expressa por .
· 
A EDO é uma equação linear de segunda ordem.
· 
O fator integrante da EDO é .
· 
O fator integrante da EDO é .
· Resposta correta
A função corrente é expressa por .
Um problema de valor inicial (PVI), para equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem, consiste em determinar uma solução  que satisfaça às condições iniciais da forma  e . Por meio dessas condições, é possível determinar o valor das constantes obtidas na solução geral.
 
Considere o seguinte PVI: ,  e . Analise as afirmativas a seguir:
 
I. A equação auxiliar apresenta duas raízes reais e distintas.
II. A solução do PVI é .
III. O valor de umas das constantes da solução geral é .
IV. A EDO dada não é homogênea.
 
É correto o que se afirma em:
· I e II, apenas.
· 
IV, apenas.
· 
I e IV, apenas.
· 
I e III, apenas.
· 
II, apenas.
As equações diferenciais lineares e homogêneas de segunda ordem podem ser expressas por meio da seguinte forma: , onde  e  são funções contínuas. Para resolvermos equações desse tipo, precisamos escrever uma equação auxiliar, a qual é uma equação de segundo grau.
 
Com relação à solução de equações diferenciais lineares e homogêneas de segunda ordem, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s).
 
I. (   ) A equação auxiliar pode apresentar duas raízes reais distintas.
II. (   ) A equação auxiliar sempre apresenta raízes reais.
III. (  ) A equação auxiliar da EDO homogênea de segunda ordem  é expressa por .
IV. (  ) A equação auxiliar de raízes complexas  e  apresenta como solução a função .
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
· 
V, V, V, F.
· Resposta correta
V, F, F, F.
· 
V, F, V, V.
· 
F, V, V, F.
· 
F, V, V, F.
De acordo com Stewart (2016, p. 543), “a técnica para resolver as equações diferenciais separáveis foi primeiro usada por James Bernoulli (em 1690) para resolver um problema sobre pêndulos e por Leibniz (em uma carta para Huygens em 1691). John Bernoulli explicou o método geral em um artigo publicado em 1694”.
 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
 
Sabe-se que o método de resolução de uma equação diferencial separável é a integração de ambos os membros da igualdade, assim, assinale a alternativa que corresponde à solução da equação diferencial .
· 
· 
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· 
.
· 
.
· Resposta correta
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