Geodesia_Aula3-SolucaoExercicios

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Exercícios
3) Transformar as coordenadas geodésicas em cartesianas. Considerar que os dados estão 
no sistema de referência SIRGAS 2000.
◦ Latitude: j = 19°51’57,2632’’ S
◦ Longitude: l = 43°58’15,9462’’ W
◦ Altura geométrica: h = 846,755 m
◦ Solução:
𝑒2 =
𝑎2 − 𝑏2
𝑎2
→ 𝑒2 =
6.378.137,0002 − 6.356.752,3142
6.378.137,0002
→ 𝑒2 = 0,006694380
𝑁 =
𝑎
1 − 𝑒2 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜑 0,5
→ 𝑁 =
6.378.137,000
1 − 0,006694380 ∙ 𝑠𝑒𝑛2 −19°51′57,2632′′
0,5 → 𝑁 = 6.380.603,743
Exercícios – Solução (continuação)
3) Dados: SIRGAS 2000; j = 19°51’57,2632’’ S; l = 43°58’15,9462’’ W; h = 846,755 m
CONTINUAÇÃO: 𝑒2 = 0,006694380 𝑁 = 6.380.603,743
𝑋 = 𝑁 + ℎ ∙ cos𝜑 ∙ cos 𝜆
𝑋 = 6.380.603,743 + 846,755 ∙ cos −19°51′57,2632′′ ∙ cos −43°58′15,9462′′
𝑋 = 4.319.359,699
𝑌 = 𝑁 + ℎ ∙ cos𝜑 ∙ sen 𝜆
𝑌 = 6.380.603,743 + 846,755 ∙ cos −19°51′57,2632′′ ∙ sen −43°58′15,9462′′
𝑌 = −4.166.948,238
𝑍 = 𝑁 ∙ 1 − 𝑒2 + ℎ ∙ sen𝜑
𝑍 = 6.380.603,743 ∙ 1 − 0,006694380 + 846,755 ∙ sen −19°51′57,2632′′
𝑍 = −2.154.029,224
RESPOSTAS:
X = 4.319.359,699 m
Y = - 4.166.948,238 m
Z = - 2.154.029,224 m
Exercícios
4) Transformar as coordenadas geodésicas em cartesianas. Considerar que os dados estão 
no sistema de referência SAD-69.
◦ Latitude: j = 26°46’48,81504’’ S
◦ Longitude: l = 52°03’38,83019’’ W
◦ Altura geométrica: h = 813,75 m
◦ Solução:
𝑒2 =
𝑎2 − 𝑏2
𝑎2
→ 𝑒2 =
6.378.160,0002 − 6.356.774,7192
6.378.160,0002
→ 𝑒2 = 0,006694542
𝑁 =
𝑎
1 − 𝑒2 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜑 0,5
→ 𝑁 =
6.378.160,000
1 − 0,006694542 ∙ 𝑠𝑒𝑛2 −26°46′48,81504′′
0,5 → 𝑁 = 6.382.498,631
Exercícios – Solução (continuação)
4) Dados: SAD-69; j = 26°46’48,81504’’ S; l = 52°03’38,83019’’ W; h = 813,750 m
CONTINUAÇÃO: 𝑒2 = 0,006694542 𝑁 = 6.382.498,631
𝑋 = 𝑁 + ℎ ∙ cos𝜑 ∙ cos 𝜆
𝑋 = 6.382.498,631 + 813,750 ∙ cos −26°46′48,81504′′ ∙ cos −52°03′38,83019′′
𝑋 = 3.503.671,313
𝑌 = 𝑁 + ℎ ∙ cos𝜑 ∙ sen 𝜆
𝑌 = 6.382.498,631 + 813,750 ∙ cos −26°46′48,81504′′ ∙ sen −52°03′38,83019′′
𝑌 = −4.494.314,786
𝑍 = 𝑁 ∙ 1 − 𝑒2 + ℎ ∙ sen𝜑
𝑍 = 6.382.498,631 ∙ 1 − 0,006694380 + 813,750 ∙ sen −26°46′48,81504′′
𝑍 = −2.856.873,785
RESPOSTAS:
X = 3.503.671,313 m
Y = - 4.494.314,786 m
Z = - 2.856,873,785 m
Exercícios
5) Dadas as coordenadas cartesianas no sistema SIRGAS 2000 e os parâmetros de 
transformação do sistema SIRGAS 2000 para o sistema SAD 69, pede-se as coordenadas 
cartesianas no sistema SAD 69.
Parâmetros de Transformação de SIRGAS para SAD:
DX = + 67,35; DY = - 3,88; DZ = + 38,22
Coordenadas 
cartesianas
X 4.450.258,452 m
Y -5.512.269,675 m
Z -3.892.182,276 m
Exercícios – Solução
5) SIRGAS 2000 → SAD 69
X = 4.450.258,452; Y = -5.512.269,675; Z = -3.892.182,276
Parâmetros de Transformação de SIRGAS para SAD:
DX = + 67,35; DY = - 3,88; DZ = + 38,22
𝑋𝑆𝐴𝐷 = 𝑋𝑆𝐼𝑅𝐺𝐴𝑆 + ∆𝑋
𝑋𝑆𝐴𝐷 = 4.450.258,452 + 67,35 = 4.450.325,802 RESPOSTAS:
X = 4.450.352,802 m
Y = - 5.512.273,555 m
Z = - 3.892.144,056 m
𝑌𝑆𝐴𝐷 = 𝑌𝑆𝐼𝑅𝐺𝐴𝑆 + ∆𝑌
𝑌𝑆𝐴𝐷 = −5.512.269,675 + −3,88 = −5.512.273,555
𝑍𝑆𝐴𝐷 = 𝑍𝑆𝐼𝑅𝐺𝐴𝑆 + ∆𝑍
𝑍𝑆𝐴𝐷 = −3.892.182,276 + 38,22 = −3.892.144,056
Exercícios
6) Transformar as coordenadas cartesianas em geodésicas. Considerar que os dados estão 
no sistema de referência SIRGAS 2000.
◦ X = 3.981.899,050 m
◦ Y = - 4.333.837,210 m
◦ Z = - 2.452.025,196 m
Exercícios – Solução
6) SIRGAS 2000. Cartesianas para Geodésicas
X = 3.981.899,050; Y = -4.333.837,210; Z = -2.452.025,196
Roteiro: determinar e2, e’2, p, tan u, sen u, cos u. Depois, determinar j, N, l e h.
𝑒2 =
𝑎2 − 𝑏2
𝑎2
→ 𝑒2 =
6.378.137,0002 − 6.356.752,3142
6.378.137,0002
→ 𝑒2 = 0,006694380
𝑒′2 =
𝑎2 − 𝑏2
𝑏2
→ 𝑒′2 =
6.378.137,0002 − 6.356.752,3142
6.356.752,3142
→ 𝑒′2 = 0,006739497
𝑝 = 𝑋2 + 𝑌2 → 𝑝 = 3.981.899,0502 + (−4.333.837,210)2→ 𝑝 = 5.885.377,219
Exercícios – Solução (continuação)
6) SIRGAS 2000. Cartesianas para Geodésicas
X = 3.981.899,050; Y = -4.333.837,210; Z = -2.452.025,196
𝑒2 = 0,006694380 𝑒′2 = 0,006739497 𝑝 = 5.885.377,219
tan 𝑢 =
𝑍 ∙ 𝑎
𝑝 ∙ 𝑏
→ tan𝑢 =
−2.452.025,196 ∙ 6.378.137,000
5.885.377,219 ∙ 6.356.752,314
→ tan 𝑢 = −0,418031663
sin 𝑢 =
tan 𝑢
1 + tan𝑢 2
→ sin 𝑢 =
−0,418031663
1 + −0,418031663 2
→ sin 𝑢 = −0,385688211
cos 𝑢 =
1
1 + tan 𝑢 2
→ cos 𝑢 =
1
1 + −0,418031663 2
→ cos 𝑢 = 0,92262918
Exercícios – Solução (continuação)
6) SIRGAS 2000. Cartesianas para Geodésicas
X = 3.981.899,050; Y = -4.333.837,210; Z = -2.452.025,196
𝑒2 = 0,006694380 𝑒′2 = 0,006739497
tan 𝑢 = −0,418031663 sin 𝑢 = −0,385688211 cos 𝑢 = 0,92262918
tan𝜑 =
𝑍 + 𝑒′2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛3𝑢
𝑝 − 𝑒2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠3𝑢
→ tan𝜑 = −0,41943761 → 𝜑 = −22°45′18.0344′′
tan 𝜆 =
𝑌
𝑋
→ tan 𝜆 = −1,113553 → 𝜆 = −47°25′24,3221′′
𝑁 =
𝑎
1 − 𝑒2 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜑 0,5
→ 𝑁 =
6.378.137,000
1 − 0,006694380 ∙ 𝑠𝑒𝑛2 −22°45′18,0344′′
0,5 → 𝑁 = 6.381.333,352
ℎ =
𝑝
cos𝜑
− 𝑁 → ℎ = 782,055 𝑚
𝑝 = 5.885.377,219
Exercícios - extra
7) Transformar as coordenadas cartesianas em geodésicas. Considerar que os dados estão 
no sistema de referência SIRGAS 2000.
◦ X = 4.014.823,061 m
◦ Y = - 4.253.545,474 m
◦ Z = - 2.536.815,065 m
Exercícios – Solução
7) SIRGAS 2000. Cartesianas para Geodésicas
X = 4.014.823,061; Y = -4.253.545,474; Z = -2.536.815,065
Roteiro: determinar e2, e’2, p, tan u, sen u, cos u. Depois, determinar j, N, l e h.
𝑒2 =
𝑎2 − 𝑏2
𝑎2
→ 𝑒2 =
6.378.137,0002 − 6.356.752,3142
6.378.137,0002
→ 𝑒2 = 0,006694380
𝑒′2 =
𝑎2 − 𝑏2
𝑏2
→ 𝑒′2 =
6.378.137,0002 − 6.356.752,3142
6.356.752,3142
→ 𝑒′2 = 0,006739497
𝑝 = 𝑋2 + 𝑌2 → 𝑝 = 4.014.823,0612 + (−4.253.545,474)2→ 𝑝 = 5.849.055,762
Exercícios – Solução (continuação)
7) SIRGAS 2000. Cartesianas para Geodésicas
X = 4.014.823,061; Y = -4.253.545,474; Z = -2.536.815,065
𝑒2 = 0,006694380 𝑒′2 = 0,006739497 𝑝 = 5.849.055,762
tan 𝑢 =
𝑍 ∙ 𝑎
𝑝 ∙ 𝑏
→ tan𝑢 =
−2.536.815,065 ∙ 6.378.137,000
5.849.055,762 ∙ 6.356.752,314
→ tan 𝑢 = −0,435172657
sin 𝑢 =
tan 𝑢
1 + tan𝑢 2
→ sin𝑢 =
−0,435172657
1 + −0,435172657 2
→ sin𝑢 = −0,399026881
cos 𝑢 =
1
1 + tan 𝑢 2
→ cos 𝑢 =
1
1 + −0,435172657 2
→ cos 𝑢 = 0,916939228
Exercícios – Solução (continuação)
7) SIRGAS 2000. Cartesianas para Geodésicas
X = 4.014.823,061; Y = -4.253.545,474; Z = -2.536.815,065
𝑒2 = 0,006694380 𝑒′2 = 0,006739497 𝑝 = 5.849.055,762
tan 𝑢 = −0,435172657 sin 𝑢 = −0,399026881 cos 𝑢 = 0,916939228
tan𝜑 =
𝑍 + 𝑒′2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛3𝑢
𝑝 − 𝑒2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠3𝑢
→ tan𝜑 = −0,43663627 → 𝜑 = −23°35′16,1772′′
tan 𝜆 =
𝑌
𝑋
→ tan 𝜆 = −1,059460257 → 𝜆 = −46°39′13,5756′′
𝑁 =
𝑎
1 − 𝑒2 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜑 0,5
→ 𝑁 =
6.378.137,000
1 − 0,006694380 ∙ 𝑠𝑒𝑛2 −23°35′16,1772′′
0,5 → 𝑁 = 6.381.558,201
ℎ =
𝑝
cos𝜑
− 𝑁 → ℎ = 754,000 𝑚