Atividade 2_Algebra Linear Computacional

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ALGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL
ATIVIDADE 2
Pergunta 1
As matrizes são tipos de arranjos de números com n linha e m colunas. Podemos obter as matrizes a partir de leis de formação. Por exemplo, uma matriz 2x2 pode ter a seguinte formação:
Nessa forma, teremos a seguinte matriz: 
Situação similar podemos pensar para uma matriz 3x3. Assim, assinale a alternativa que apresenta uma matriz 3x3 que obedeça à seguinte lei de formação:
 
· 
· 
· 
· 
· 
A alternativa está correta, pois você montou a matriz da seguinte forma:
 
Ao olhar os índices de cada elemento, podemos aplicar as condições do problema encontrando:
Pergunta 2
Um sistema pode ser resolvido pelo método da substituição isolando uma variável ou substituindo em outras. Outro método que podemos usar é a regra de Cramer, na qual podemos nos apoiar no conceito de determinante. Por fim, temos o método de escalonamento de matrizes dos coeficientes numéricos de um sistema de equações lineares, com a finalidade de simplificar o sistema por meio de operações entre os elementos pertencentes às linhas de uma matriz. Usando o conceito de escalonamento, assinale a alternativa correta referente ao resultado da seguinte matriz escalonada:
 
· 
· 
· 
· 
· 
A alternativa está correta, pois, primeiramente, você precisa fazer:
 
Em um primeiro momento, subtraímos os elementos da linha L2 pela metade dos elementos da linha L1. Também subtraímos os elementos da linha L3 pelo sêxtuplo dos elementos da linha L2 (após os cálculos anteriores):
Pergunta 3
Suponha que você esteja analisando duas aplicações financeiras. Sua aplicação inicial foi de R$ 20000,00 por um ano em duas aplicações: A e B. A aplicação A rendeu 10% ao ano e a B rendeu 25% ao ano. Sabe-se que o ganho proporcionado pela aplicação B foi superior ao de A em R$ 100,00. Com base nessas informações, assinale a alternativa que apresenta em R$ a diferença dos valores aplicados em cada investimento.
· 6000.
· 7000.
· 5000.
· 8000.
· 9000.
A alternativa está correta, pois você, primeiramente, deve escrever o sistema linear. Lembre-se de que x seria a aplicação A e B equivale à aplicação y:
 
 
Ao resolver o sistema linear, tem-se:  e 
Pergunta 4
As matrizes quadradas têm sua importância, pois, por meio do cálculo do seu determinante, podemos associar o seu valor a um escalar. Por exemplo, ele tem a sua importância no uso de sistemas lineares. Uma das técnicas usadas em matriz  seria a multiplicação pelas diagonais. Diante do exposto, assinale a alternativa que apresenta, respectivamente, o valor de , tal que  .
· -4 e -1.
· -4 e 1.
· 4 e -1.
· 0 e 4.
· 4 e 1.
A alternativa está correta, pois, colocando os valores de -4 e 1 na matriz, encontraremos:
 
 
Pergunta 5
Considere as seguintes informações: 1) o sistema de equações não se altera quando permutamos as posições das equações; 2) o sistema de equações não se altera quando multiplicamos os membros de uma das equações por qualquer número real não nulo; 3) por inferência, podemos, então, substituir uma equação por outra obtida a partir da inclusão “membro a membro” dessa equação, na qual foi aplicada a transformação do Teorema II. Essas informações são concernentes aos três axiomas de Eliminação de Gauss. Assim, usando o conceito de eliminação gaussiana, assinale a alternativa correta referente à matriz triangular da seguinte matriz:
 
 
· 
· 
· 
· 
· 
Pergunta 6
Os sistemas de equações lineares estão presentes nas mais diversas áreas, como na modelagem de sistemas elétricos, no dimensionamento de sistemas que estão em equilíbrio estático, na economia etc. Além disso, quando modelamos matematicamente, temos de procurar uma solução para o sistema de equações lineares.
 
Considerando o exposto, sobre sistemas de equações lineares, analise as afirmativas a seguir:
 
I. O modelo de resolução de Cramer pode ser aplicado quando o número de equações é maior que o número de incógnitas.
II. Se o determinante incompleto de um conjunto de equações lineares for o sistema apresentará uma única solução.
III. O sistema
é um sistema possível determinado.
 
IV. O sistema
é um sistema impossível.
 
Está correto o que se afirma em:
· II e III, apenas.
· I, II e IV, apenas.
· II e IV, apenas.
· I, II e III, apenas.
· II, III e IV, apenas.
A alternativa está correta, pois, quando o determinante for diferente de zero, teremos que o sistema possui uma única solução. Já o sistema
é um sistema impossível, pois, isolando y na primeira equação, teremos:
 ? substituindo na segunda equação, iremos encontrar?  ? ? , o que seria um erro.
Pergunta 7
As matrizes obedecem a certas propriedades de álgebra. Por exemplo, o produto entre as duas matrizes, geralmente, não é comutativo, . A única exceção seria quando isto é, quando a matriz B for a inversa de A. Usando o conceito de propriedade de matriz inversa, assinale a alternativa correta referente à matriz 
· 
· 
· 
· 
· 
A alternativa está correta, pois você precisa calcular da seguinte forma:
Nesse caso, chegamos aos seguintes sistemas:
O outro sistema que encontramos foi:
Resolvendo esse par de sistemas, temos:
Pergunta 8
Existem várias maneiras de resolver um sistema linear. Por exemplo, podemos usar o método de substituição de variáveis ou colocar os coeficientes das equações em uma forma matricial. Desse modo, considere a seguinte equação linear:
  
 
Esse sistema pode ser escrito na seguinte forma matricial:
.
 
Assim, assinale a alternativa que apresenta o valor de z no sistema linear evidenciado.
· 5.
· -10.
· 0.
· 10.
· -5.
A alternativa está correta, pois, primeiramente, o determinante dos coeficientes deve ter sido igual a -3. Após isso, temos de calcular o seguinte determinante:
 
 
Ao dividir o resultado do determinante apresentado por -3, encontraremos -10.
Pergunta 9
As matrizes obedecem às operações algébricas, por exemplo, soma, subtração, multiplicação por um escalar e multiplicação entre duas matrizes. Assim, no caso especial da multiplicação, temos que essa operação entre duas matrizes  ocorre somente se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.
 
Sobre a multiplicação de matrizes, analise as asserções a seguir e relação proposta entre elas.
I. Considere que a matriz seja  e  . Observa-se que essas duas matrizes comutam.
Porque:
II. A matriz B é inversa de A.
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
· A asserção I é uma proposição verdadeira e a asserção II é uma proposição falsa.
· As asserções I e II são proposições falsas.
· As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
· As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
· A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
A alternativa está correta, pois, quando multiplicamos a matriz A e B, iremos encontrar a matriz inversa.
 
=
Pergunta 10
A fim de calcular determinantes , somente multiplicamos, de maneira cruzada, os elementos. Para matrizes , empregamos a regra de Sarrus, na qual são repetidas as duas primeiras colunas e, em seguida, multiplicamos os elementos também de maneira cruzada. No caso de matrizes de ordem maior, empregados o teorema de Laplace. Considerando o emprego do conceito do teorema de Laplace, assinale a alternativa que apresenta o valor do seguinte determinante:
 
· 70.
· -60.
· 65.
· -65.
· 60.
A alternativa está correta, pois, primeiramente, você usou , onde No caso, podemos escolher a coluna 2: