Questão resolvida - Qual a explicação matemática do vetor gradiente de uma função f(x,y)_ - Cálculo III

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Qual a explicação matemática do vetor gradiente de uma função ?f x, y( )
 
Resolução:
 
O vetor gradiente de uma função , denominada por , é um vetor que contém as f x, y( ) 𝛻f
derivadas parciais de em relação a suas variáveis independentes, ou seja, e . O vetor f x y
gradiente fornece informações sobre a taxa de variação da função em todas as direções f
do espaço bidimensional.
Matemáticamente, definimos o vetor gradiente da seguinte forma:
 
𝛻f = i+ j
𝜕f
𝜕x
𝜕f
𝜕y
Sendo:
 
• a derivada parcial de em relação a , representando a taxa de variação de na 
𝜕f
𝜕x
f x f
direção do eixo .x
• é a derivada parcial de em relação a , representando a taxa de variação de 
𝜕f
𝜕y
f y f
na direção do eixo .y
 
Dessa forma, o vetor gradiente aponta na direção de maior crescimento da função no f
ponto específico , e sua magnitude indica a taxa de variação máxima nessa direção. Se x, y( )
o vetor gradiente tiver magnitude zero em um ponto , isso indica que a função tem um x, y( )
ponto crítico nesse ponto, onde a taxa de variação é zero em todas as direções.