Matemática 1

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Matemática I
Introdução à Matemática
A matemática (do grego μάθημα, transl. máthēma, 'ciência', conhecimento' ou 'aprendizagem', e μαθηματικός, mathēma-tikós, 'inclinado a aprender'.
É a ciência do raciocínio lógico e abstrato, que estuda quan-tidades, medidas, espaços, estruturas, variações e estatísticas. Um trabalho matemático consiste em procurar por padrões, formular conjecturas e, por meio de deduções rigorosas a partir de axiomas e definições, estabelecer novos resultados. A matemática desenvolveu-se principalmente na Mesopotâ-mia, no Egito, na Grécia, na Índia e no Oriente Médio. A partir da Renascença o desenvolvimento da matemática intensi-ficou-se na Europa, quando novas descobertas científicas leva-ram a um crescimento acelerado que dura até os dias de hoje.
Registros arqueológicos mostram que a matemática sempre foi parte da atividade humana. Ela evoluiu a partir de conta-gens, medições, cálculos e do estudo sistemático de formas geométricas e movimentos de objetos físicos. Raciocínios mais abstratos que envolvem argumentação lógica surgiram com os matemáticos gregos aproximadamente em 300 a.C., notada-mente com a obra Os Elementos e Euclides. A necessidade de maior rigor foi percebida e estabelecida por volta do século XIX.
Há muito tempo busca-se um consenso quanto à definição do que é a matemática. No entanto, nas últimas décadas do século XX tomou forma uma definição que tem ampla aceitação entre os matemáticos: matemática é a ciência das regularidades (padrões). Segundo esta definição, o trabalho do matemático consiste em examinar padrões abstratos, tanto reais como imaginários, visuais ou mentais. Ou seja, os matemáticos procuram regularidades nos números, no espaço, na ciência e na imaginação e formulam teorias com as quais tentam explicar as relações observadas. Uma outra definição seria que matemática é a investigação de estruturas abstratas definidas axiomaticamente, usando a lógica formal como estrutura comum. As estruturas específicas geralmente têm sua origem nas ciências naturais, mais comumente na física, mas os matemáticos também definem e investigam estruturas por razões puramente internas à matemática (matemática pura), por exemplo, ao perceberem que as estruturas fornecem uma generalização unificante de vários subcampos ou uma ferramenta útil em cálculos comuns.
A matemática é usada como uma ferramenta essencial em muitas áreas do conhecimento, tais como engenharia, medi-cina, física, química, biologia, e ciências sociais. Matemática aplicada, ramo da matemática que se ocupa de aplicações do conhecimento matemático em outras áreas do conhecimento, às vezes leva ao desenvolvimento de um novo ramo, como aconteceu com Estatística ou teoria dos jogos. O estudo de matemática pura, ou seja, da matemática pela matemática, sem a preocupação com sua aplicabilidade, muitas vezes mostrou-se útil anos ou séculos adiante, como aconteceu com os estudos das cônicas ou de teoria dos números feitos pelos gregos, úteis, respectivamente, em descobertas sobre astronomia feitas por Kepler no século XVII, ou para o desenvolvimento de segurança em computadores nos dias de hoje.
Introdução ao conceito de fração
Às vezes, ao tentar partir algo em pedaços, como por exemplo, uma pizza, nós a cortamos em partes que não são do mesmo tamanho.
Logo isso daria uma grande confusão, pois quem ficaria com a parte maior? Ou quem ficaria com a parte menor? É lógico que alguém sairia no prejuízo.
Pensemos neste exemplo: Dois irmãos foram juntos comprar chocolate. Eles compraram duas barras de chocolate iguais, uma para cada um. Iam começar a comer quando chegou uma de suas melhores amigas e vieram as perguntas: Quem daria um pedaço para a amiga? Qual deveria ser o tamanho do pedaço? Eles discutiram e chegaram à seguinte conclusão:
Para que nenhum dos dois comesse menos, cada um daria metade do chocolate para a amiga.
· Você concorda com esta divisão? Por quê?
· Como você poderia resolver esta situação para que todos comessem partes iguais?
· O que você acha desta frase: Quem parte e reparte e não fica com a melhor parte, ou é bobo ou não tem arte.
Elementos gerais para a construção de frações
Para representar os elementos que não são tomados como partes inteiras de alguma coisa, utilizamos o objeto matemático denominado fração.
O conjunto dos números naturais, algumas vezes inclui o zero e outras vezes não, tendo em vista que zero foi um número criado para dar significado nulo a algo. Nesse momento o conjunto N será representado por:
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }
Logo, todos os números naturais representam partes inteiras.
Os números que não representam partes inteiras, mas que são partes de inteiros, constituem os números racionais não-negativos, aqui representados por Q+, onde está letra Q significa quociente ou divisão de dois números inteiros naturais.
Q+ = { 0,..., 1/4,..., 1/2,..., 1,...,2,... }
Numeral: Relativo a número ou indicativo de número.
Número: Palavra ou símbolo que expressa quantidade.
Definição de fração
Os numerais que representam números racionais não-negativos são chamados frações e os números inteiros utilizados na fração são chamados numerador e denominador, separados por uma linha horizontal ou traço de fração.
onde Numerador indica quantas partes são tomadas do inteiro, isto é, o número inteiro que é escrito sobre o traço de fração e Denominador indica em quantas partes dividimos o inteiro, sendo que este número inteiro deve necessariamente ser diferente de zero.
Observação: A linguagem HTML (para construir páginas da Web) não proporciona ainda um método simples para a implementar a barra de fração, razão pela qual, às vezes usaremos a barra / ou mesmo o sinal ÷, para entender a divisão de dois números.
Exemplo: Consideremos a fração 1/4, que pode ser escrita como:
Em linguagem matemática, as frações podem ser escritas tanto como no exemplo acima ou mesmo como 1/4, considerada mais comum.
	1/4
	1/4
	1/4
	1/4
A unidade foi dividida em quatro partes iguais. A fração pode ser visualizada através da figura anexada, sendo que foi sombreada uma dessas partes.
Leitura de frações
(a) O numerador é 1 e o denominador é um inteiro 1<d<10
A leitura de uma fração da forma 1/d, onde d é o denominador que é menor do que 10 é feita como:
	Fração
	1/2
	1/3
	1/4
	1/5
	1/6
	1/7
	1/8
	1/9
	Leitura
	um meio
	um terço
	um quarto
	um quinto
	um sexto
	um sétimo
	um oitavo
	um nono
(b) O numerador é 1 e o denominador é um inteiro d>10
Quando a fração for da forma 1/d, com d maior do que 10, lemos: 1, o denominador e acrescentamos a palavra avos.Avos: É um substantivo masculino usado na leitura das frações, designa cada uma das partes iguais em que foi dividida a unidade e se cujo denominador é maior do que dez.
	Fração
	Leitura
	1/11
	um onze avos
	1/12
	um doze avos
	1/13
	um treze avos
	1/14
	um quatorze avos
	1/15
	um quinze avos
	1/16
	um dezesseis avos
	1/17
	um dezessete avos
	1/18
	um dezoito avos
	1/19
	um dezenove avos
 (c) O numerador é 1 e o denominador é um múltiplo de 10
Se o denominador for múltiplo de 10, lemos:
	Fração
	Leitura
	Leitura Comum
	1/10
	um dez avos
	um décimo
	1/20
	um vinte avos
	um vigésimo
	1/30
	um trinta avos
	um trigésimo
	1/40
	um quarenta avos
	um quadragésimo
	1/50
	um cinquenta avos
	um quinquagésimo
	1/60
	um sessenta avos
	um sexagésimo
	1/70
	um setenta avos
	um septuagésimo
	1/80
	um oitenta avos
	um octogésimo
	1/90
	um noventa avos
	um nonagésimo
	1/100
	um cem avos
	um centésimo
	1/1000
	um mil avos
	um milésimo
	1/10000
	um dez mil avos
	um décimo milésimo
	1/100000
	um cem mil avos
	um centésimo milésimo
	1/1000000
	um milhão avos
	um milionésimo
Observação: A fração 1/3597 pode ser lida como: um, três mil quinhentos e noventa e sete avos.
Tipos de frações
A representação gráfica mostra a fração 3/4 que é uma fração cujo numerador é um número natural menor do que o denominador.
	1/4
	1/4
	1/4
	1/4
A fração cujo numerador é menor que o denominador, isto é, a parte é tomada dentro do inteiro, é chamada fraçãoprópria. A fração cujo numerador é maior do que o denominador, isto é, representa mais do que um inteiro dividido em partes iguais é chamada fração imprópria.
Fração aparente: é aquela cujo numerador é um múltiplo do denominador e aparenta ser uma fração mas não é, pois representa um número inteiro. Como um caso particular, o zero é múltiplo de todo número inteiro, assim as frações 0/3, 0/8, 0/15 são aparentes, pois representam o número inteiro zero.
Frações Equivalentes: São as que representam a mesma parte do inteiro. Se multiplicarmos os termos (numerador e denominador) de uma fração sucessivamente pelos números naturais, teremos um conjunto infinito de frações que constitui um conjunto que é conhecido como a classe de equivalência da fração dada.
Propriedades fundamentais
(1) Se multiplicarmos os termos (numerador e denominador) de uma fração por um mesmo número natural, obteremos uma fração equivalente à fração dada:
(2) Se é possível dividir os termos (numerador e denominador) de uma fração por um mesmo número natural, obteremos uma fração equivalente à fração dada:
A fração como uma classe de equivalência
A classe de equivalência de uma fração é o conjunto de todas as frações equivalentes à fração dada. Ao invés de trabalhar com todos os elementos deste conjunto infinito, simplesmente poderemos tomar a fração mais simples deste conjunto que será a representante desta classe. Esta fração será denominada um número racional. Aplicando a propriedade fundamental, podemos escrever o conjunto das frações equivalentes a 1/3, como:
C(1/3) = { 1/3, 2/6, 3/9, 4/12, 5/15, 6/18, ... }
Número Misto
Quando o numerador de uma fração é maior que o denominador, podemos realizar uma operação de decompo-sição desta fração em uma parte inteira e uma parte fracionária e o resultado é denominado número misto.
1. Transformação de uma fração imprópria em um número misto
2. Transformação de um número misto em uma fração imprópria
Simplificação de Frações
Simplificar frações é o mesmo que escrevê-la em uma forma mais simples, para que a mesma se torne mais fácil de ser manipulada.
O objetivo de simplificar uma fração é torná-la uma fração irredutível, isto é, uma fração para a qual o Máximo Divisor Comum entre o Numerador e o Denominador seja 1, ou seja, o Numerador e o Denominador devem ser primos entre si. Essa simplificação pode ser feita através dos processos de divisão sucessiva e pela fatoração.
A divisão sucessiva corresponde a dividir os dois termos da fração por um mesmo número (fator comum ) até que ela se torne irredutível.
Respectivamente, dividimos os termos das frações por 2, 2 e 3.
Observação: Outra maneira de divisão das frações é obter o Máximo Divisor Comum entre o Numerador e o Denominador e simplificar a fração diretamente por esse valor.
Exemplo: Simplificaremos a fração 54/72, usando o Máximo Divisor Comum. Como MDC(54,72)=18, então 54:18=3 e 72:18=4, logo:
Comparação de duas frações
1) Por redução ao mesmo denominador
Se duas frações possuem denominadores iguais, a maior fração é a que possui maior numerador. Por exemplo:
2) Tanto os numeradores como os denominadores das duas frações são diferentes
Devemos reduzir ambas as frações a um denominador comum e o processo depende do cálculo do Mínimo Múltiplo Comum entre os dois denominadores e este será o denominador comum às duas frações. Na sequência, divide-se o denominador comum pelo denominador de cada fração e multiplica-se o resultado obtido pelo respectivo numerador.
Exemplo: Vamos comparar as frações 2/3 e 3/5. Como os denominadores são 3 e 5, temos que MMC(3,5)=15. Reduzindo ambas as frações ao mesmo denominador comum 15, aplica-se a regra de dividir o denominador comum pelo denominador de cada fração e na sequência multiplica-se esse respectivo número pelo numerador.
Multiplicando os termos da primeira fração por 5 e multiplicando os termos da segunda fração por 3, obteremos:
Temos então os mesmos denominadores, logo:
e podemos garantir que
 3) As frações possuem um mesmo numerador
Se os numeradores de duas frações forem iguais, será maior a fração cujo denominador for menor.
Exemplo: Uma representação gráfica para a desigualdade
pode ser dada geometricamente por:
Observe que a área amarelada é maior na primeira figura.
Adição e Subtração de Frações
Para adicionar ou subtrair frações de mesmo denominador, somam-se os numeradores e repete-se o denominador. Temos que analisar dois casos: 
Denominadores iguais 
Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador. Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador. 
Observe os exemplos: 
Denominadores diferentes 
Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações. 
Exemplo: somar as frações: 4/5 e 5/2
Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc (5,2) = 10.
Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1.      
Multiplicação de Frações
Multiplica-se o numerador com numerador e denominador com denominador. Se necessário, simplifique o produto.
Veja os exemplos:
Divisão de frações
Consideremos inicialmente uma divisão D de duas frações, denotada por:
Um modo fácil para explicar esta divisão é tomar as duas frações com o mesmo denominador e realizar a divisão do primeiro numerador pelo segundo numerador, isto é:
pois 1/2 é equivalente a 3/6 e 2/3 é equivalente a 4/6. O desenho abaixo mostra as frações 1/2 e 2/3, através de suas respectivas frações equivalentes: 3/6 e 4/6.
	3/6
	1/6
	1/6
	1/6
	1/6
	1/6
	1/6
	4/6
	1/6
	1/6
	1/6
	1/6
	1/6
	1/6
Realizar a divisão entre dois números fracionários ou não A e B, é o mesmo que procurar saber quantas partes de B estão ocupadas por A. Quantas partes da fração 4/6 estão ocupadas pela fração 3/6?
No desenho, os numeradores das frações estão em cor amarela. Como temos 3 partes em amarelo na primeira fração e 4 partes em amarelo na segunda fração, a divisão corresponde à fração 3/4, ou seja, em cada 4 partes amarelas, 3 estão ocupadas.
Este argumento justifica a divisão de duas frações pela multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda fração e observamos que de fato isto funciona neste caso:
Na verdade, há um tratamento mais geral que o deste caso particular. A divisão de um número real a/b pelo número real c/d é, por definição, a multiplicação do número a/b pelo inverso de c/d. Acontece que o inverso de c/d é a fração d/c, assim:
Resumindo, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Se necessário simplifique. 
Veja o exemplo abaixo:
1. Para comprar um bolo, João deu R$ 9,00, Sílvia R$ 15,00 e Lauro R$ 21,00. Que fração do bolo coube a cada um?
A) João 1/3, Sílvia 3/5, Lauro 1/4
B) João 1/5, Sílvia 1/3, Lauro 7/15
C) João 1/5, Sílvia 1/3, Lauro 1/2
D) João 1/6, Sílvia 1/4, Lauro 2/5
2.(CESGRANRIO) Ordenando os números racionais p = 13/24, q = 2/3 e r = 5/8, obtermos:
A) p < r < q
B) q < p < r
C) r < p < q
D) q < r < p
3. Um pai tem uma caixa de doces para dividir entre seus filhos. Se Luís receber 1/8 da caixa, Ari 2/6, Carla 2/7 e Lia 1/4, então quem vai receber mais doce será:
A) Lia
B) Carla
C) Ari
D) Luís
4.(UFGO) Uma fração equivalente a 3/4 cujo denominador é um múltiplo dos números 3 e 4 é:
A) 6/8
B) 9/12
C) 15/24
D) 12/16
5.(OBM) Dezoito quadrados iguais são construídos e sombre-ados como mostra a figura. Qual fração da área total é sombreada?
A) 7/18
B) 4/9
C) 1/3
D) 5/9
Soluções dos Exercícios Básicos Sobre Frações
Exercício 1
Para determinarmos a fração que coube a cada um, vamos antes determinar “o todo”, isto é, o valor total do bolo.
9 + 15 + 21 = 45. Valor total do bolo: R$ 45,00.
O valor de 45 será o denominador das frações. Vejamos agora a parte de cada um.
João deu R$ 9,00 de R$ 45,00, então a fração correspondente será:
Numerador = 9 (quantidadede partes que João deu).
Denominador = 45 (quantidade em que “o todo” foi dividido).
Então, João de 45 deu 9!
Logo, a fração é 9/45 (“nove quarenta e cinco avos”) que simplificando é equivalente a 1/5. Veja a simplificação:
Façamos as outras partes um pouco mais rápido!
Sílvia deu R$ 15,00 de R$ 45,00. A Fração correspondente e já simplificando é:
Lauro deu R$ 21,00 de R$ 45,00. A Fração correspondente e já simplificado é:
Portanto, a fração do bolo que coube a cada um é:
João 1/5, Sílvia 1/3 e Lauro 7/15.
Exercício 2
Para ordenarmos os números dados precisamos saber antes qual é o maior e o menor, isto é, fazer a comparação dos números p, q e r. Para isso, vamos reduzi-los ao mesmo denominador e depois é só comparar os numeradores.
Caso não saiba reduzir frações ao mesmo denominador, aprenda a técnica no seguinte artigo, pois não iremos abordá-la passo a passo aqui:
MMC e Frações.
As frações são: 13/24, 2/3 e 5/8.
O mmc (24,3,8) = 24. Verifique você mesmo!
Calculando o MMC.
Fração 13/24:
“24 dividido por 24 é igual a 1 e 1 vezes 13 é 13”. Temos 13/24.
Fração 2/3:
“24 dividido por 3 é igual a 8 e 8 vezes 2 é 16”. Temos 16/24.
Fração 5/8:
“24 dividido por 8 é igual a 3 e 3 vezes 5 é 15”. Temos 15/24.
Veja:
13/24 é equivalente a 13/24 = p .
16/24 é equivalente a 2/3 = q.
15/24 é equivalente a 5/8 = r.
13/24 < 15/24 < 16/24, logo dá equivalência acima, temos 13/24 < 5/8 < 2/3 e daí p < r < q.
Observação: há pelo menos dois outros modos de resolver este exercício. Um é transformando as frações dadas para números decimais e a outra é utilizando a álgebra e lógica matemática. Mas não iremos demonstrar estes dois métodos neste artigo.
Exercício 3
Este exercício é semelhante ao anterior e muitos estudantes o resolveriam utilizando o método algébrico, equação do primeiro grau. Mas, nós vamos resolvê-lo apenas utilizando nosso conhecimento de frações, Aritmética do 6º ano do ensino fundamental. Vejamos!
Não precisamos nós preocupar com a quantidade de doces que a caixa possui, pois nossa preocupação é saber quem receberá a maior parte da caixa, para isso, basta saber qual é a maior fração.
Vamos reduzir as frações ao mesmo denominador, utilizando a técnica do exercício anterior.
As frações são: 1/8, 2/6, 2/7 e 1/4.
mmc(8,6,7,4) = 168. Verifique você mesmo!
Fração 1/8:
“168 dividido por 8 é igual a 21 e 21 vezes 1 é igual a 21. Temos 21/168.
Fração 2/6:
“168 dividido por 6 é igual a 28 e 28 vezes 2 é igual a 56. Temos 56/168.
Fração 2/7:
“168 dividido por 7 é igual a 24 e 24 vezes 2 é 48. Temos 48/168.
Fração 1/4:
“168 dividido por 4 é igual a 42 e 42 vezes 1 é 42. Temos 42/168.
Temos as seguintes equivalências:
1/8 e 21/168, 2/6 e 56/168, 2/7 e 48/168, 1/4 e 42/168.
Comparando: 21/168 < 42/168 < 48/168 < 56/168.
Logo, 1/8 < 1/4 < 2/7 < 2/6. Então, 2/6 equivale a maior parte e quem a recebeu foi Ari.
Observação: pensando antes de resolver o problema diretamente!
Veja que as frações 1/8 e 1/4 possuem o mesmo numerador, logo a menor será 1/8, pois imagine repartindo (igualmente) 1 em 8 partes, essas partes serão menores do que se repartíssemos 1 por 4, certo?
Então, 1/8 < 1/4.
Agora, o mesmo raciocínio vale para 2/7 e 2/6. A menor será 2/7, repartindo 2 partes (igualmente) para 7, vamos obter quantidades menores do que se repartíssemos para 6, certo?
Então, 2/7 < 2/6.
Ainda sim, precisamos comparar as frações. Mas, observando as alternativas, já podemos eliminar alguma(s)?. Dê uma olhada, pensando desse modo!
Exercício 4
Quando uma fração é equivalente a outra?
Bem, duas ou mais frações são ditas equivalentes, quando representam a mesma parte do inteiro.
Exemplo: 1/2 e 2/4, veja a imagem abaixo.
Repare que no primeiro círculo (esquerda) “tomamos metade” (parte colorida), já no segundo, tomamos dois quadrantes do círculo que somados nos fornece a metade, isto é, a mesma parte do inteiro.
As frações 1/2 e 2/4 representam a metade do inteiro, o primeiro foi dividido em duas partes e o segundo em quatro, mas colorimos duas dessas partes, obtendo do mesmo modo a metade.
Logo, as frações são equivalentes. Podemos escrever, 1/2 ~ 1/4.
Um outro exemplo de frações equivalentes: 1/3 e 2/6.
Para verificar através do desenho, faça o seguinte: desenho dois retângulos de mesmas dimensões. Divida o primeiro em três partes iguais e o segundo em seis partes também iguais (faça um retângulo embaixo do outro para uma melhor visualização).
Pinte uma parte do primeiro e duas do segundo, obtendo assim o “mesmo tamanho” (área).
Você verificará que as frações representam a mesma parte do inteiro (retângulo). Se tiver dúvidas comente!
Após esta explicação sobre frações equivalentes, vamos resolver o exercício!
Como o denominador deve ser múltiplo de 3 e 4 ao mesmo tempo, podemos eliminar as alternativas A e D, concorda?
No caso da A, 8 é múltiplo de 4, mas não de 3 e no caso da D, 16 é múltiplo de 4, mas não de 3.
Ficamos somente com as alternativas B e C.
Na letra B, vamos simplificar a fração 9/12.
Simplificando a C:
Repare que 3/4 é equivalente a 9/12, sendo que 12 é múltiplo de 3 e 4.
Observações:
1. Exercícios semelhantes a este, mais elaborados, podem ser resolvidos fazendo uso da álgebra.
2. Para descobrir os múltiplos de 3 e 4, basta calcular o mmc(3,4) = 12, assim todo número múltiplo de 12 será múltiplo de 3 e 4.
Exercício 5
Primeiro, sabemos que existem 18 quadrados iguais. Então, 18 será o número do denominador de nossa fração.
Agora, observando a imagem acima, vamos contar os quadrados coloridos. Repare que alguns quadrados estão apenas coloridos pela metade (na diagonal), precisamos de duas metades coloridas para formar um quadrado.
Temos um total de 10 metades coloridas e 3 quadrados inteiros coloridos.
2 metades coloridas = 1 quadrado colorido, logo 10 metades = 5 quadrados.
Total de quadrados coloridos = 3 + 5 = 8. Este, será nosso numerador da fração. Portanto, a fração da área total sombreada é de:
Porcentagem e Juros
Razão Centesimal 
Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:
Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:
As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.
Considere o seguinte problema:
João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?
Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.
50% de 50 = 25 cavalos
Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcenta-gem procurada. Portanto, chegamos a seguinte definição:
“Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.”
 
Exemplos:
· Calcular 10% de 300.
        
   
· Calcular 25% de 200kg.
        
Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.
Juros Simples
Podemos definir juros como o rendimento de uma aplicação financeira, valor referente ao atraso no pagamento de uma prestação ou a quantia paga pelo empréstimo de um capital. Atualmente, o sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, por ser mais lucrativo. Os juros simples eram utilizados nas situações de curto prazo, hoje não utilizamos a capitalização baseada no regime simples. Mas vamos entender como funcionava a capitalização no sistema de juros simples. 
No sistema de capitalização simples, os juros são calculados baseados no valor da dívida ou da aplicação. Dessa forma, o valor dos juros é igual no período de aplicação ou composição da dívida. A expressão matemática utilizada para o cálculo das situações envolvendo juros simples é a seguinte:
J = C ∙ i ∙ t
Onde:
J = juros
C = capital
i = taxa de juros
t = tempo de aplicação (mês, bimestre, trimestre, semestre, ano...)
M=C+ J
M = montante final
C = capital
J = juros
Exemplo 1 
Qual o valor do montante produzido por um capital de R$ 1.200,00, aplicado no regime de juros simples a uma taxa mensal de 2%, durante 10 meses?
Capital: 1200
i = 2% = 2/100 = 0,02 ao mês (a.m.)
t = 10 meses
J = C * i * t
J = 1200 * 0,02 * 10
J = 240
M = C + j
M = 1200 + 240
M = 1440
O montante produzido será deR$ 1.440,00.
Exemplo 2
Vamos construir uma planilha especificando passo a passo a aplicação de um capital durante o período estabelecido inicialmente.
Um capital de R$ 5.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros mensais de 3% ao mês durante 12 meses. Determine o valor dos juros produzidos e do montante final da aplicação.
O montante final foi equivalente a R$ 6.800,00, e os juros produzidos foram iguais a R$ 1.800,00.
Exemplo 3
Determine o valor do capital que aplicado durante 14 meses, a uma taxa de 6%, rendeu juros de R$ 2.688,00.
J = C * i * t
2688 = C * 0,06 * 14
2688 = C * 0,84
C = 2688 / 0,84
C = 3200
O valor do capital é de R$ 3.200,00.
Exemplo 4
Qual o capital que, aplicado a juros simples de 1,5% ao mês, rende R$ 3.000,00 de juros em 45 dias?
J = 3000
i = 1,5% = 1,5/100 = 0,015
t = 45 dias = 45/30 = 1,5
J = C * i * t
3000 = C * 0,015 * 1,5
3000 = C * 0,0225
C = 3000 / 0,0225
C = 133.333,33
O capital é de R$ 133.333,33.
Exemplo 5
Qual foi o capital que, aplicado à taxa de juros simples de 2% ao mês, rendeu R$ 90,00 em um trimestre?
J = C * i * t
90 = C * 0,02 * 3
90 = C * 0,06
C = 90 / 0,06
C = 1500
O capital corresponde a R$ 1.500,00.
Exemplo 6
Qual o tempo de aplicação para que um capital dobre, considerando uma taxa mensal de juros de 2% ao mês, no regime de capitalização simples?
M = C * [1 + (i *t)]
2C = C * [1 + (0,02 * t)]
2C = C * 1 + 0,02t
2C/C = 1 + 0,02t
2 = 1 + 0,02t
2 – 1 = 0,02t
1 = 0,02t
t = 1 / 0,02
t = 50
O tempo para que o capital aplicado a uma taxa mensal de 2% dobre é de 50 meses.
Juros Composto
O atual sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, pois ele oferece uma maior rentabilidade se comparado ao regime de juros simples, onde o valor dos rendimentos se torna fixo, e no caso do composto o juro incide mês a mês de acordo com o somatório acumulativo do capital com o rendimento mensal, isto é, prática do juro sobre juro. As modalidades de investimentos e financiamentos são calculadas de acordo com esse modelo de investimento, pois ele oferece um maior rendimento, originando mais lucro.
Considere que uma pessoa aplique R$ 500,00 durante 8 meses em um banco que paga 1% de juro ao mês. Qual será o valor ao final da aplicação?
A tabela demonstrará mês a mês a movimentação financeira na aplicação do regime de juros compostos.
No final do 8º mês o montante será de R$ 541,43.
Uma expressão matemática utilizada no cálculo dos juros compostos é a seguinte:
M = C · (1 + i)t
onde:
M: montante
C: capital
i: taxa de juros
t: tempo de aplicação
 
Obs.: Os cálculos envolvendo juros compostos exigem conhecimentos de manuseio de uma calculadora científica.
Exemplo 1
Qual o montante produzido por um capital de R$ 7.000,00 aplicados a uma taxa de juros mensais de 1,5% durante um ano?
C: R$ 7.000,00
i: 1,5% ao mês = 1,5/100 = 0,015
t: 1 ano = 12 meses
M = C · (1 + i)t
M = 7000 · (1 + 0,015)12
M = 7000 · (1,015)12 
M = 7000 · 1,195618
M = 8369,33
O montante será de R$ 8.369,33.
Com a utilização dessa fórmula podemos também calcular o capital de acordo com o montante.
Exemplo 2
Qual o montante produzido por um capital de R$ 7.000,00 aplicados a uma taxa de juros mensais de 1,5% durante um ano?
C: R$ 7.000,00
i: 1,5% ao mês = 1,5/100 = 0,015
t: 1 ano = 12 meses
M = C * (1 + i)t
M = 7000 * (1 + 0,015)12
M = 7000 * (1,015)12 
M = 7000 * 1,195618
M = 8369,33
O montante será de R$ 8.369,33.
Com a utilização dessa fórmula podemos também calcular o capital de acordo com o montante.
Exemplo 3 
Calcule o valor do capital que, aplicado a uma taxa de 2% ao mês, rendeu em 10 meses a quantia de R$ 15.237,43?
M: R$ 15.237,43
t: 10
i: 2% a.m. = 2/100 = 0,02
M = C · (1 + i)t
15237,43 = C · (1 + 0,02)10
15237,43 = C · (1,02)10
15237,43 = C · 1,218994
C = 15237,43 / 1,218994
C = 12500,00
O capital é de R$ 12.500,00.
Calculando a taxa de juros da aplicação.
Questão 1
Uma pesquisa realizada pelo IBGE constatou que a população de uma cidade havia aumentado de 82.350 para 105.200 habitantes. Calcule o valor desse aumento em índices percentuais.  
Questão 2
Os custos de uma prefeitura com a área da educação aumentaram cerca de 18%. Considerando que a prefeitura destinava a quantia de R$ 900.000,00, qual deverá ser o novo valor destinado para a educação?
Questão 3
Uma mercadoria no valor de R$ 460,00 sofreu um desconto e teve seu preço reduzido para R$ 331,20. Determine a taxa de juros utilizada no desconto. 
Questão 4
Um funcionário de uma empresa recebeu a quantia de R$ 315,00 a mais no seu salário, referente a um aumento de 12,5%. Sendo assim, o seu salário atual é de:
a) R$ 2.205,00
b) R$ 2.520,00
c) R$ 2.835,00
d) R$ 2.913,00
e) R$ 3.050,00
 
Questão 5
Dentro de um recipiente há um líquido que perdeu, por meio de evaporação, 5% de seu volume total, restando 42,75 litros. Qual era o volume total desse líquido?
Questão 6
Três laboratórios produzem certo medicamento. A tabela abaixo mostra, para um certo mês, o número de unidades produzidas desse medicamento e a porcentagem de vendas dessa produção.
Se, nesse mês, os três laboratórios venderam um total de 13.900 unidades desse medicamento, então o valor de x é:
a) 80
b) 75
c) 70
d) 65
e) 60
Questão 7
Uma pessoa aplicou o capital de R$ 1.200,00 a uma taxa de 2% ao mês durante 14 meses. Determine os juros e o montante dessa aplicação.
Questão 8
Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos, sob taxa de juros de 5% ao mês, gerou um montante de R$ 26.950,00. Determine o valor do capital aplicado. 
Questão 9
Um investidor aplicou a quantia de R$ 500,00 em um fundo de investimento que opera no regime de juros simples. Após 6 meses o investidor verificou que o montante era de R$ 560,00. Qual a taxa de juros desse fundo de investimento?
Questão 10
Uma quantia foi aplicada a juros simples de 6% ao mês, durante 5 meses e, em seguida, o montante foi aplicado durante mais 5 meses, a juros simples de 4% ao mês. No final dos 10 meses, o novo montante foi de R$ 234,00. Qual o valor da quantia aplicada inicialmente? 
Questão 11
Aplicando hoje na caderneta de poupança a quantia de R$ 20.000,00, qual será o montante gerado ao final de 4 anos, sabendo que a rentabilidade mensal é de 0,5%?
Questão 12
Determinado capital gerou, após 24 meses, um montante de R$ 15.000,00. Sabendo que a taxa de juros é de 2% ao mês, determine o valor desse capital.
Questão 13
Qual o tempo necessário para que um capital, aplicado a uma taxa efetiva de 3% a.m., duplique seu valor?
Questão 14
Um capital de R$ 5000,00, aplicado durante um ano e meio, produziu um montante de R$ 11.000,00. Determine a taxa de juros dessa aplicação.
Questão 15
Quanto terei de aplicar hoje num fundo de renda fixa para que, ao final de 10 anos a uma taxa de 1,3%a.m., haja um montante de R$ 100.000,00? 
Respostas
Resposta Questão 1
Resposta Questão 2
Resposta Questão 3
	R$
	%
	460
	100
	331,20
	x
 
 
460 * x = 331,20 * 100
460x = 33120
x = 33120
      460
x = 72
 100% – 72% = 28%
O desconto oferecido foi de 28%.
Resposta Questão 4
Resposta Questão 5
Resposta Questão 6
Resposta Questão 7
Capital (C) = R$ 1.200,00
Tempo (t) = 14 meses
Taxa (i) = 2% ao mês = 2/100 = 0,02
Fórmula dos juros simples
J = C * i * t
J = 1200 * 0,02 * 14
J = 336
Montante
M = C + J
M = 1200 + 336
M = 1536
O valor dos juros da aplicação é de R$ 336,00 e o montante a ser resgatado é de R$ 1.536,00.
 
Resposta Questão 8
Montante (M) = R$ 26.950,00
Tempo (t) = 2 anos = 24 meses
Taxa (i) = 5% ao mês = 5/100 = 0,05
Para determinarmos o capital precisamos fazer a seguinte adaptação:
M = C + J
J = M – C
Substituindo na fórmula J = C * i * t, temos:
M – C = C * i * t
26950 – C = C * 0,05 * 24
26950 – C = C * 1,2
26950 = 1,2C + C
26950 = 2,2C
C = 26950/2,2
C = 12250
Portanto, o capital aplicado foi de R$ 12250,00.
Resposta Questão 9
Capital (C) = R$ 500,00
Montante (M) = R$ 560,00
Tempo (t) = 6 meses
Calculando os juros da aplicação
J = M – C
J = 560 – 500
J = 60
Aplicando a fórmula J = C * i * t
60 = 500 * i * 6
60 = 3000*i
i = 60/3000
i = 0,02 que corresponde a 2%.
A taxa dejuros do fundo de investimentos é igual a 2%.
Resposta Questão 10
1ª aplicação
Taxa (i) = 6% ao mês = 0,06
Tempo (t) = 5 meses
J = C * i * t
J = C * 0,06 * 5
J = 0,3*C
M = C + J
M = C + 0,3C
M = 1,3C
2º aplicação
Capital (C) = 1,3C
Taxa (i) = 4% ao mês = 0,04
Tempo (t) = 5 meses
O capital da 2º aplicação será o montante da 1º. Observe:
J = C * i * t
J = 1,3C * 0,04 * 5
J = 0,26C
M = C + J
234 = 1,3C + 0,26C
234 = 1,56C
C = 234 / 1,56
C = 150
Portanto, o capital inicial é de R$ 150,00.
Resposta Questão 
S=P* (1+i)n
P= 20000
i = 0,5%a.m. = 0,005
n = 4 anos = 48 meses (observe que o tempo e a taxa devem estar no mesmo período)
S = ?
Aplicando a fórmula:
S = 20000*(1+0,005)48
S = 20000*(1,005)48
S= 20000*1,2704891611
S = 25409,78
O montante produzido será de R$ 25409,78.
Resposta Questão 12
S=P* (1+i)n
Resposta Questão 13
S=P* (1+i)n
Resposta Questão 14
S=P* (1+i)n
Resposta Questão 15
Matemática Financeira (Amortização)
Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma do reembolso do Capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que Juros são sempre calculados sobre o saldo devedor.
Os principais sistemas de amortização são:
1. Sistema de Pagamento único:
Um único pagamento no final.
2. Sistema de Pagamentos variáveis:
Vários pagamentos diferenciados.
3. Sistema Americano:
Pagamento no final com juros calculados período a período.
4. Sistema de Amortização Constante (SAC):
A amortização da dívida é constante e igual em cada período.
5. Sistema Price ou Francês (PRICE):
Os pagamentos (prestações) são iguais.
6. Sistema de Amortização Misto (SAM):
Os pagamentos são as médias dos sistemas SAC e Price.
7. Sistema Alemão:
Os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto o primeiro pagamento que corresponde aos juros cobrados no momento da operação.
Em todos os sistemas de amortização, cada pagamento é a soma do valor amortizado com os juros do saldo devedor, isto é:
Pagamento = Amortização + Juros
Em todas as nossas análises, utilizaremos um financiamento hipotético de R$300.000,00 que será pago ao final de 5 meses à taxa mensal de 4%.
Na sequência, será essencial o uso de tabelas consolidadas com os dados de cada problema e com informações essenciais sobre o sistema de amortização. Em todas as análises, utilizaremos a mesma tabela básica que está indicada abaixo, com os elementos indicados:
	Sistema de Amortização
	n
	Juros
	Amortização do Saldo devedor
	Pagamento
	Saldo devedor
	0
	 
	 
	 
	300.000,00
	1
	 
	 
	 
	 
	2
	 
	 
	 
	 
	3
	 
	 
	 
	 
	4
	 
	 
	 
	 
	5
	 
	 
	 
	0
	Totais
	 
	300.000,00
	 
	 
Os mais utilizados são:
Quando você adquire uma dívida, seja um empréstimo ou um financiamento, existem algumas formas possíveis para o pagamento da dívida, também conhecidas como sistemas de amortização:
· Tabela SAC - Também conhecido como Sistema de Amortização Constante, ou Método Hamburguês, é caracterizado por pagamentos mensais decrescentes, que embutem uma amortização constante;
· Tabela Price - Também chamado de Sistema de Prestações Fixas, ou Sistema Francês, é caracterizado por pagamentos mensais iguais, embutindo uma amortização crescente;
· Sistema Americano - É caracterizado por pagamentos mensais equivalentes aos juros, não havendo amortizações mensais e prevendo a amortização total da dívida inicial em um único pagamento ao final de um período estipulado (em meses ou anos);
· Pagamento Único - Ao final de um período estipulado, será realizado um único pagamento, correspondendo à amortização total da dívida inicial acrescida dos juros.
Sistema de Pagamento Único
O devedor paga o Montante=Capital + Juros compostos da dívida em um único pagamento ao final de n=5 períodos. O Montante pode ser calculado pela fórmula:
M = C (1+i)n
Uso comum: Letras de câmbio, Títulos descontados em bancos, Certificados a prazo fixo com renda final.
	Sistema de Pagamento Único
	n
	Juros
	Amortização do
Saldo devedor
	Pagamento
	Saldo devedor
	0
	0
	0
	0
	300.000,00
	1
	12.000,00
	 
	 
	312.000,00
	2
	12.480,00
	 
	 
	324.480,00
	3
	12.979,20
	 
	 
	337.459,20
	4
	13.498,37
	 
	 
	350.957,57
	5
	14.038,30
	300.000,00
	364.995,87
	0
	Totais
	64.995,87
	300.000,00
	364.995,87
	 
Sistema de Pagamentos Variáveis
O devedor paga o periodicamente valores variáveis de acordo com a sua condição e de acordo com a combinação realizada inicialmente, sendo que os juros do Saldo devedor são pagos sempre ao final de cada período.
Uso comum: Cartões de crédito.
Dado: O devedor pagará a dívida da seguinte forma:
· No final do 1o.mês: R$ 30.000,00 + juros
· No final do 2o.mês: R$ 45.000,00 + juros
· No final do 3o.mês: R$ 60.000,00 + juros
· No final do 4o.mês: R$ 75.000,00 + juros
· No final do 5o.mês: R$ 90.000,00 + juros
	Sistema de Pagamentos Variáveis
	n
	Juros
	Amortização do Saldo devedor
	Pagamento
	Saldo devedor
	0
	0
	0
	0
	300.000,00
	1
	12.000,00
	30.000,00
	42.000,00
	270.000,00
	2
	10.800,00
	45.000,00
	55.800,00
	225.000,00
	3
	9.000,00
	60.000,00
	69.000,00
	165.000,00
	4
	6.600,00
	75.000,00
	81.600,00
	90.000,00
	5
	3.600,00
	90.000,00
	93.600,00
	0
	Totais
	42.000,00
	300.000,00
	342.000,00
	 
Sistema Americano
O devedor paga o Principal em um único pagamento no final e no final de cada período, realiza o pagamento dos juros do Saldo devedor do período. No final dos 5 períodos, o devedor paga também os juros do 5o. período.
	Sistema Americano
	n
	Juros
	Amortização do
Saldo devedor
	Pagamento
	Saldo devedor
	0
	0
	0
	0
	300.000,00
	1
	12.000,00
	 
	12.000,00
	300.000,00
	2
	12.000,00
	 
	12.000,00
	300.000,00
	3
	12.000,00
	 
	12.000,00
	300.000,00
	4
	12.000,00
	 
	12.000,00
	300.000,00
	5
	12.000,00
	300.000,00
	312.000,00
	0
	Totais
	60.000,00
	300.000,00
	360.000,00
	 
Sistema de Amortização Constante (SAC)
O devedor paga o Principal em n=5 pagamentos sendo que as amortizações são sempre constantes e iguais.
Uso comum: Sistema Financeiro da Habitação
	Sistema de Amortização Constante (SAC)
	n
	Juros
	Amortização do
Saldo devedor
	Pagamento
	Saldo devedor
	0
	0
	0
	0
	300.000,00
	1
	12.000,00
	60.000,00
	72.000,00
	240.000,00
	2
	9.600,00
	60.000,00
	69.600,00
	180.000,00
	3
	7.200,00
	60.000,00
	67.200,00
	120.000,00
	4
	4.800,00
	60.000,00
	64.800,00
	60.000,00
	5
	2.400,00
	60.000,00
	62.400,00
	0
	Totais
	36.000,00
	300.000,00
	336.000,00
	 
Sistema Price (Sistema Francês)
Todas as prestações (pagamentos) são iguais.
Uso comum: Financiamentos em geral de bens de consumo.
Cálculo: O cálculo da prestação P é o produto do valor financiado Vf=300.000,00 pelo coeficiente K dado pela fórmula
onde i é a taxa ao período e n é o número de períodos. Para esta tabela, o cálculo fornece:
P = K × Vf = 67.388,13
	Sistema Price (ou Sistema Francês)
	n
	Juros
	Amortização do
Saldo devedor
	Pagamento
	Saldo devedor
	0
	0
	0
	0
	300.000,00
	1
	12.000,00
	55.388,13
	67.388,13
	244.611,87
	2
	9.784,47
	57.603,66
	67.388,13
	187.008,21
	3
	7.480,32
	59.907,81
	67.388,13
	127.100,40
	4
	5.084,01
	62.304,12
	67.388,13
	64.796,28
	5
	2.591,85
	64.796,28
	67.388,13
	0
	Totais
	36.940,65
	300.000,00
	336.940,65
	 
Sistema de Amortização Misto (SAM)
Cada prestação (pagamento) é a média aritmética das prestações respectivas no Sistemas Price e no Sistema de Amortização Constante (SAC).
Uso: Financiamentos do Sistema Financeiro da Habitação.
Cálculo:
PSAM = (PPrice + PSAC) ÷ 2
	n
	PSAC
	PPrice
	PSAM
	1
	72.000,00
	67.388,13
	69.694,06
	2
	69.600,00
	67.388,13
	68.494,07
	3
	67.200,00
	67.388,13
	67.294,07
	4
	64.800,00
	67.388,13
	66.094,07
	5
	62.400,00
	67.388,13
	64.894,07
	Sistema de Amortização Misto (SAM)
	n
	Juros
	Amortização do Saldo devedor
	Pagamento
	Saldo devedor
	0
	0
	0
	0
	300.000,00
	1
	12.000,00
	57.694,06
	69.694,06
	242.305,94
	2
	9.692,24
	58.801,83
	68.494,07
	183.504,11
	3
	7.340,16
	59.953,91
	67.294,07
	123.550,204
	4.942,01
	61.152,06
	66.094,17
	62.398,14
	5
	2.495,93
	62.398,14
	64.894,07
	0
	Totais
	36.470,34
	300.000,00
	336.470,94
	 
Sistema Alemão
O sistema Alemão consiste em liquidar uma dívida onde os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto o primeiro pagamento que corresponde aos juros cobrados no momento da operação financeira. É necessário conhecer o valor de cada pagamento P e os valores das amortizações Ak, k=1,2,3,...,n.
Uso comum: Alguns financiamentos.
Fórmulas necessárias: Para k=1,2,...,n.
	
	
	
A prestação mensal do financiamento, pode ser calculada com as fórmulas acima.
P = (300.000×0,04)÷[1-(1-0,04)5]=64.995,80
A1 = 64.995,80 × (1-0,04)4 = 55.203,96
A2 = 55.203,96 ÷ (1-0,04) = 57.504,13
A3 = 57.504,13 ÷ (1-0,04) = 59.900,13
A4 = 59.900,13 ÷ (1-0,04) = 62.395,97
A5 = 62.395,97 ÷ (1-0,04) = 64.995,80
	Sistema Alemão
	n
	Juros
	Amortização do Saldo devedor
	Pagamento
	Saldo devedor
	0
	12.000,00
	0
	12.000,00
	300.000,00
	1
	9.791,84
	55.203,96
	64.995,80
	244.796,04
	2
	7.491,68
	57.504,13
	64.995,80
	187.291,91
	3
	5.095,67
	59.900,13
	64.995,80
	127.391,78
	4
	2.599,83
	62.395,97
	64.995,80
	64.995,80
	5
	 
	64.995,80
	64.995,80
	0
	Totais
	36.979,02
	300.000,00
	336.979,02
	 
Razão e Proporção
Razão
Existem várias maneiras de comparar duas grandezas, por exemplo, quando se escreve A>B ou A<B ou ainda A=B, estamos a comparar as grandezas A e B. Mas essa comparação, muitas vezes, pouco nos diz. Daí o utilizar-se, no dia a dia, a razão entre duas grandezas, isto é o quociente entre essas grandezas.
Por exemplo: a razão entre 6 e 3 é expressa por 6:3 ou 6/3 . Se eu pretendo comparar a e b determino a razão a : b  ou  a/b,  agora se eu disser que a razão entre elas é 2, estou a afirmar que a é duas vezes  maior que b.
1-Vamos ver outro exemplo: Manuel faz na sua prancha 4km em 2.5 horas. Qual a razão entre a distância percorrida  e o tempo?
Claro que sabemos que a essa razão chamamos de velocidade (em km/h)
2-Qual a razão entre os volumes contidos nas gar-rafas A e B;    B e D e ainda entre A e C ?
Basta sempre dividirmos o que foi mandado:
, ,  
Proporção
Vamos agora trabalhar de forma diferente:
3-Dadas duas grandezas quaisquer: 8  e  A sabe-se que a razão entre 8 e A é 2.5. Determine A? 
4-Observa-se agora o seguinte quadro que explica o custo de um livro:
	Nº de páginas
	80
	90
	100
	140
	200
	Preço
	1200
	14000
	1500
	2100
	3000
Podes verificar que as razões entre o preço e o seu nº de páginas é sempre a mesma :
   e    ...  Procura-se confirmar que o mesmo se verifica nas outras colunas.
Quando isto acontece dizemos que as duas grandezas são diretamente proporcionais, e ao valor 15 (razão) chamaremos constante de proporcionalidade.
Questão 1
A distância entre duas cidades é de aproximadamente 500 km. Determine a velocidade média de um veículo que faz esse percurso em 8 horas e 30 minutos.
Questão 2
Determine a densidade demográfica de uma cidade que possui 13.834. 971 habitantes, e que ocupa uma área de 564.692 km². A densidade demográfica é calculada através da divisão entre número de habitantes e área em km². 
 
Questão 3
Um carro percorre cerca de 668 km com aproximadamente 48 litros de combustível. Para determinarmos o consumo desse carro, devemos dividir a distância percorrida pela quantidade de litros de combustível. 
Questão 4
Um minério com massa igual a 32,24 kg possui volume igual a 12,40 cm³. Determine a densidade desse minério.
Respostas
Resposta Questão 1
Temos que 8 horas e 30 minutos correspondem a 8,5 horas, e que a velocidade medida de um veículo é dada pela divisão entre a distância e o tempo da viagem.
A velocidade média do veículo é de, aproximadamente, 58,8 km/h.
Resposta Questão 2
A densidade indica que existem 25 habitantes por km². 
Resposta Questão 3
O consumo desse carro é de, aproximadamente, 13,96 quilômetros por litro. 
Resposta Questão 4
A densidade desse minério corresponde a 2,6 g/cm³. 
Equações
Introdução às equações de primeiro grau
Para resolver um problema matemático, quase sempre devemos transformar uma sentença apresentada com palavras em uma sentença que esteja escrita em linguagem matemática. Esta é a parte mais importante e talvez seja a mais difícil da Matemática.
	Sentença com palavras
	Sentença matemática
	2 melancias + 2Kg = 14Kg
	2 x + 2 = 14
Normalmente aparecem letras conhecidas como variáveis ou incógnitas. A partir daqui, a Matemática se posiciona perante diferentes situações e será necessário conhecer o valor de algo desconhecido, que é o objetivo do estudo de equações.
Equações do primeiro grau em 1 variável
Trabalharemos com uma situação real e dela tiraremos algumas informações importantes. Observe a balança:
A balança está equilibrada. No prato esquerdo há um "peso" de 2Kg e duas melancias com "pesos" iguais. No prato direito há um "peso" de 14Kg. Quanto pesa cada melancia?
2 melancias + 2Kg = 14Kg
Usaremos uma letra qualquer, por exemplo x, para simbolizar o peso de cada melancia. Assim, a equação poderá ser escrita, do ponto de vista matemático, como:
2x + 2 = 14
Este é um exemplo simples de uma equação contendo uma variável, mas que é extremamente útil e aparece na maioria das situações reais. Valorize este exemplo simples.
Podemos ver que toda equação tem:
1. Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas variáveis ou incógnitas;
2. Um sinal de igualdade, denotado por =.
3. Uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro ou membro da esquerda;
4. Uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro ou membro da direita.
Estudamos várias situações contendo variáveis. A letra x é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa des-conhecida e equação tem o prefixo equa que provém do Latim e significa igual.
	2 x + 2
	=
	14
	1o. membro
	sinal de igualdade
	2o. membro
As expressões do primeiro e segundo membro da equação são os termos da equação.
Para resolver essa equação, utilizamos o seguinte processo para obter o valor de x.
	2x + 2 = 14
	Equação original
	2x + 2 - 2 = 14 - 2
	Subtraímos 2 dos dois membros
	2x = 12
	Dividimos por 2 os dois membros
	x = 6
	Solução
Observação: Quando adicionamos (ou subtraímos) valores iguais em ambos os membros da equação, ela permanece em equilíbrio. Da mesma forma, se multiplicamos ou dividimos ambos os membros da equação por um valor não nulo, a equação permanece em equilíbrio. Este processo nos permite resolver uma equação, ou seja, permite obter as raízes da equação.
Exemplos:
1. A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.
Solução: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo a=c-4. Assim:
c + a = 22
c + (c - 4) = 22
2c - 4 = 22
2c - 4 + 4 = 22 + 4
2c = 26
c = 13
Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos.
1. A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?
Solução: Identificaremos a população da cidade A com a letra a e a população da cidade com a letra b. Assumiremos que a=3b. Dessa forma, poderemos escrever:
a + b = 100.000
3b + b = 100.000
4b = 100.000
b = 25.000
Resposta: Como a=3b, então a população de A corresponde a: a=3×25.000=75.000 habitantes.
1. Uma casa com 260m2 de área construída possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual é a área de cada quarto, se as outras dependências da casa ocupam 140m2?
Solução: Tomaremos a área de cada dormitório com letra x.
3x + 140 = 260
3x = 260 -140
3x = 120
x = 40
Resposta: Cada quarto tem 40m2.
Exercícios Rápidos: Resolver as equações
1. 2x + 4 = 10
2. 5k - 12 = 20
3. 2y + 15 - y = 22
4. 9h + 2 = 16 + 2h
RESPOSTAS: 1-3; 2-6,4; 3-7; 4-2
Desigualdades do primeiro grau em 1 variável
Relacionadas com as equações de primeiro grau, existem as desigualdades de primeiro grau, (também denominadasine-quações) que são expressões matemáticas em que os termos estão ligados por um dos quatro sinais:
	<
	menor
	>
	maior
	<
	menor ou igual
	>
	maior ou igual
Nas desigualdades, o objetivo é obter um conjunto de todas os possíveis valores que pode(m) assumir uma ou mais incógnitas na equação proposta.
Exemplo: Determinar todos os números inteiros positivos para os quais vale a desigualdade:
2x + 2 < 14
Para resolver esta desigualdade, seguiremos os seguintes passos:
	Passo 1
	2x + 2 < 14
	Escrever a equação original
	Passo 2
	2x + 2 - 2 < 14 - 2
	Subtrair o número 2 dos dois membros
	Passo 3
	2x < 12
	Dividir pelo número 2 ambos os membros
	Passo 4
	x < 6
	Solução
Concluímos que o conjunto solução é formado por todos os números inteiros positivos menores do que 6:
S = {1, 2, 3, 4, 5}
Exemplo: Para obter todos os números pares positivos que satisfazem à desigualdade
2x + 2 < 14
obteremos o conjunto solução:
S = {2, 4}
Observação: Se há mais do que um sinal de desigualdade na expressão, temos várias desigualdades "disfarçadas" em uma.
Exemplo: Para determinar todos os números inteiros positivos para os quais valem as (duas) desigualdades:
12 < 2x + 2 < 20
poderemos seguir o seguinte processo:
	12
	<
	2x + 2
	<
	20
	Equação original
	12 - 2
	<
	2x + 2 - 2
	<
	20 - 2
	Subtraímos 2 de todos os membros
	10
	<
	2x
	<
	18
	Dividimos por 2 todos os membros
	5
	<
	x
	<
	9
	Solução
O conjunto solução é:
S = {6, 7, 8, 9}
Exemplo: Para obter todos os números inteiros negativos que satisfazem às (duas) desigualdades
12 < 2x + 2 < 20
obteremos apenas o conjunto vazio, como solução, isto é:
S = Ø = { }
Introdução às equações algébricas
Equações algébricas são equações nas quais a incógnita x está sujeita a operações algébricas como: adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação.
Exemplos:
1. a x + b = 0
2. a x² + bx + c = 0
3. a x4 + b x² + c = 0
Uma equação algébrica está em sua forma canônica, quando ela pode ser escrita como:
ao xn + a1 xn-1 + ... + an-1 x1 + an = 0
onde n é um número inteiro positivo (número natural). O maior expoente da incógnita em uma equação algébrica é denominado o grau da equação e o coeficiente do termo de mais alto grau é denominado coeficiente do termo dominante.
Exemplo: A equação 4x²+3x+2=0 tem o grau 2 e o coeficiente do termo dominante é 4. Neste caso, dizemos que esta é uma equação do segundo grau.
A fórmula quadrática de Sridhara (Bhaskara)
Mostraremos na sequência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.
Bhaskara (à esquerda), Sridhara (à direita)
O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.
Seja a equação:
a x² + b x + c = 0
com a não nulo e dividindo todos os coeficientes por a, temos:
x² + (b/a) x + c/a = 0
Passando o termo constante para o segundo membro, teremos:
x² + (b/a) x = -c/a
Prosseguindo, faremos com que o lado esquerdo da equação seja um quadrado perfeito e para isto somaremos o quadrado de b/2a a ambos os membros da equação para obter:
x² + (b/a) x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²
Simplificando ambos os lados da equação, obteremos:
[x+(b/2a)]2 = (b² - 4ac) / 4a²
Notação: Usaremos a notação R[x] para representar a raiz quadrada de x>0. R[5] representará a raiz quadrada de 5. Esta notação está sendo introduzida aqui para fazer com que a página seja carregada mais rapidamente, pois a linguagem HTML ainda não permite apresentar notações matemáticas na Internet de uma forma fácil.
Extraindo a raiz quadrada de cada membro da equação e lembrando que a raiz quadrada de todo número real não negativo é também não negativa, obteremos duas respostas para a nossa equação:
x + (b/2a) = + R[(b²-4ac) / 4a² ]
ou
x + (b/2a) = - R[(b²-4ac) / 4a² ]
que alguns, por preguiça ou descuido, escrevem:
contendo um sinal ± que é lido como mais ou menos. Lembramos que este sinal ± não tem qualquer significado em Matemática.
Como estamos procurando duas raízes para a equação do segundo grau, deveremos sempre escrever:
x' = -b/2a + R[b²-4ac] /2a
ou
x" = -b/2a - R[b²-4ac] /2a
Sendo ∆ é o discriminante da equação do segundo grau, definido por:
Δ = b² - 4ac
A fórmula de Bhaskara ainda pode ser escrita como:
Equação do segundo grau
Uma equação do segundo grau na incógnita x é da forma:
a x² + b x + c = 0
onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao quadrado.
Equação Completa do segundo grau
Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.
Exemplos:
1. 2 x² + 7x + 5 = 0
2. 3 x² + x + 2 = 0
Equação incompleta do segundo grau
Uma equação do segundo grau é incompleta se b=0 ou c=0 ou b=c=0. Na equação incompleta o coeficiente a é diferente de zero pois caso não fosse, não seria uma equação do segundo grau.
1. Quando B=0
ax²+c=0 → ax²=-c → x²=-c/a →
2. Quando C=0
ax²+bx=0 → x(ax+b)=0 → 
3. Quando B=C=0
ax²=0 →
Exemplos:
1. 4 x² + 6x = 0
2. 3 x² + 9 = 0
3. 2 x² = 0
Resolução de equações incompletas do 2º. grau
Equações do tipo ax²=0: Basta dividir toda a equação por a para obter:
x² = 0
significando que a equação possui duas raízes iguais a zero.
Equações do tipo ax²+c=0: Novamente dividimos toda a equação por a e passamos o termo constante para o segundo membro para obter:
x² = -c/a
Se -c/a for negativo, não existe solução no conjunto dos números reais.
Se -c/a for positivo, a equação terá duas raízes com o mesmo valor absoluto (módulo) mas de sinais contrários.
Equações do tipo ax²+bx=0: Neste caso, fatoramos a equação para obter:
x (ax + b) = 0
e a equação terá duas raízes:
x' = 0   ou    x" = -b/a
Exemplos gerais
1. 4x²=0 tem duas raízes nulas.
2. 4x²-8=0 tem duas raízes: x'= x"= -
3. 4x²+5=0 não tem raízes reais.
Resolução de equações completas do 2ᵒ grau
Como vimos, uma equação do tipo: ax²+bx+c=0, é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-la basta usar a fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:
onde Δ=b²-4ac é o discriminante da equação.
Para esse discriminante Δ há três possíveis situações:
1. Se Δ <0, não há solução real, pois não existe raiz quadrada real de número negativo.
2. Se Δ =0, há duas soluções iguais
3. Se Δ >0, há duas soluções reais e diferentes:
Exemplos: Preencher a tabela com os coeficientes e o discriminante de cada equação do segundo grau, analisando os tipos de raízes da equação.
	Equação
	a
	b
	c
	Delta
	Tipos de raízes
	x²-6x+8=0
	1
	-6
	8
	4
	reais e diferentes
	x²-10x+25=0
	1
	-10
	25
	0
	Reais Iguais
	x²+2x+7=0
	1
	2
	7
	-24
	Complexos e diferentes
	x²+2x+1=0
	1
	2
	1
	0
	Reais e iguais
	x²+2x=0
	1
	2
	0
	4
	Reais e diferentes
O uso da fórmula de Bhaskara
Você pode realizar o Cálculo das Raízes da Equação do segundo grau com a entrada dos coeficientes a, b e c em um formulário, mesmo no caso em que D é negativo, o que força a existência de raízes complexas conjugadas. Para estudar estas raízes, visite o nosso link Números Complexos.
Mostraremos agora como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:
x² - 5 x + 6 = 0
1. Identificar os coeficientes: a=1, b= -5, c=6
2. Escrever o discriminante D = b²-4ac.
3. Calcular D=(-5)²-4×1×6=25-24=1
4. Escrever a fórmula de Bhaskara:
5. Substituir os valores dos coeficientes a, b e c na fórmula:
Questão 1
Determine o valor de x na equação a seguir aplicando as técnicas resolutivas.
a) 3 – 2∙(x + 3) = x – 18 
b) 50 + (3x − 4) = 2∙(3x – 4) + 26
Questão 2
Em um concurso os participantes devem responder a um total de20 questões. Para cada resposta correta o candidato ganha 3 pontos e para cada resposta errada perde 2 pontos. Determine o número de acertos e erros que um candidato obteve considerando que ele totalizou 35 pontos. 
Questão 3
(UFG – 2010 – 2ª Fase)
Uma agência de turismo vende pacotes familiares de passeios turísticos, cobrando para crianças o equivalente a 2/3 do valor para adultos. Uma família de cinco pessoas, sendo três adultos e duas crianças, comprou um pacote turístico e pagou o valor total de R$ 8.125,00. Com base nessas informações, calcule o valor que a agência cobrou de um adulto e de uma criança para realizar esse passeio.
Questão 4
(UFG – 2010 – 2ª Fase)
Segundo uma reportagem publicada na Folha on-line (31/08/2009), a chamada camada pré-sal é uma faixa que se estende, abaixo do leito do mar, ao longo dos estados de Espírito Santo e Santa Catarina e engloba três bacias sedimentares. O petróleo encontrado nessa área está a profundidades que superam os 7.000 m, abaixo de uma extensa camada de sal, e sua extração colocaria o Brasil entre os dez maiores produtores do mundo. Para extrair petróleo da camada pré-sal, a Petrobras já perfurou poços de petróleo a uma profundidade de 7.000 m, o que representa um aumento de 582% em relação à profundidade máxima dos poços perfurados em 1994. De acordo com essas informações, calcule a profundidade máxima de um poço de petróleo perfurado pela Petrobras, no ano de 1994.
Questão 5
Resolva a equação: 4x2 + 8x + 6 = 0
Questão 6
Encontre as raízes da equação: x2 – 4x – 5 = 0
Questão 7
(PUCCAMP) Se v e w são as raízes da equação x2 + ax + b = 0, em que a e b são coeficientes reais, então v2 + w2 é igual a:
a) a2 - 2b
b) a2 + 2b
c) a2 – 2b2
d) a2 + 2b2
e) a2 – b2
Questão 8
(UEL) A soma de um número racional não inteiro com o dobro do seu inverso multiplicativo é 33/4. Esse número está compreendido entre:
a) 5 e 6
b) 1 e 5
c) 1/2 e 1
d) 3/10 e 1/2
e) 0 e 3/10
Questão 9
(FACESP) O conjunto solução, no campo real, da equação z4 – 13z2 + 36 = 0 é:
a) S = {-3, -2, 0, 2, 3}
b) S = {-3, -2, 2, 3}
c) S = {-2, -3}
d) S = {0, 2, 3}
e) S = {2, 3}
Questão 10
(Cesgranrio) O produto das raízes positivas de x4 – 11x2 + 18 = 0 vale:
a) 2√3
b) 3√2
c) 4√3
d) 4√2
e) 2√3
Questão 11
Determine o valor de x para a equação x10 – 33x5 + 32 = 0.
Questão 12
Encontre o valor de x para a equação x6 + 6x3 + 9 = 0
Respostas
Resposta Questão 1
A)
B) 
Resposta Questão 2
Acertos: representados pela letra x.
Erros: representados por 20 − x.
Portanto:
3 * x – 2 * (20 – x) = 35
3x – 40 + 2x = 35
5x = 35 + 40
5x = 75
x = 75/5
x = 15
O candidato obteve 15 acertos e 5 erros.
Resposta Questão 3
Adulto = x
Criança = 2/3 de x
Resposta Questão 4
A profundidade do poço perfurado em 1994 era de aproximadamente 1 026 metros.
Resposta Questão 5
Os coeficientes da equação são: a = 4, b = 8, c = 6. Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:
Δ = 8² – 4.4.6
Δ = 64 – 96
Δ = – 32
Como Δ < 0, a equação não possui raiz real.
Resposta Questão 6
Os coeficientes dessa equação são: a = 1, b = – 4, c = – 5. Agora basta aplicar esses valores na fórmula de Bhaskara:
Δ = (– 4)² – 4.1.(– 5)
Δ = 16 + 20
Δ = 36
x = – (– 4) ± √36
        2.1
x = 4 ± 6
     2
x' = 10 = 5
  2
x'' = – 2 = – 1
  2
Nesse caso, a equação tem duas raízes reais: – 1 e 5.
Resposta Questão 7
Ao identificar os coeficientes da equação, encontramos: A = 1, B = a e C = b. Agora basta aplicar esses valores na fórmula de Bhaskara. Para não nos confundirmos, neste exercício utilizaremos letras maiúsculas na fórmula de Bhaskara. Ao substituir os coeficientes, utilizaremos letras minúsculas como de costume:
Δ= a2 – 4.1.b
Δ= a2 – 4.b
Essa equação terá duas raízes, o que as diferenciará será o sinal ± que antecede a raiz quadrada. Então, iremos considerar como v o resultado com a raiz quadrada positiva e comow o resultado com a raiz quadrada negativa. A soma dos quadrados de v e w é dada por:
v2 + w2
Como possuem sinais opostos, os dois termos com raiz serão cancelados, restando apenas:
a² + a² – 4b + a² + a² – 4b
 4
4a² – 8b
 4
a² – 2b
Portanto, a alternativa correta é a letra a.
Resposta Questão 8
Chamaremos por x o número que estamos procurando, seu inverso multiplicativo é 1/x. Se a soma de x com o dobro de seu inverso multiplicativo é 33/4, teremos:
x + 2. 1 = 33
         x    4
4x² + 8 = 33x
 4x
4x² – 33x + 8 = 0
Para resolver essa equação do 2° grau, utilizaremos a fórmula de Bhaskara:
Δ = (– 33)² – 4.4.8
Δ= 1089 – 128
Δ= 961
x = – (– 33) ± √961
      2.4
x = 33 ± 31
     8
x' = 64 = 8
  8
x'' = 2 = 1
       8    4
Encontramos duas raízes para a equação, mas observe que o exercício refere-se apenas à raiz que é um número racional não inteiro, portanto, o primeiro resultado não é interessante, pois 8 é um número inteiro. Sendo assim, utilizaremos o valor de x'', uma vez que ¼ = 0,25.
A alternativa correta é a letra e, pois ¼ é maior que zero e é menor que 3/10, que equivale a 0,3.
Resposta Questão 9
Primeiramente vamos reescrever essa equação para convertê-la em uma equação do segundo grau. Portanto:
z2 = x
Podemos escrever a equação z4 – 13z2 + 36 = 0 como (z2)2 – 13z2 + 36 = 0. Onde há z2, substituiremos por x. Teremos a seguinte equação do segundo grau:
x2 – 13x +36 = 0
Utilizaremos a Fórmula de Bhaskara para resolver a equação de segundo grau. Para isso, temos os coeficientes a = 1; b = – 13 e c = 36.
x = – b ±√Δ
       2.a
Vamos encontrar o valor de delta:
Δ = b2 – 4.a.c
Δ= (– 13)2 – 4.1.36
Δ= 169 – 144
Δ= 25
Substituindo os valores na fórmula de Bhaskara, temos:
x = – b ±√Δ
         2.a
x = – (-13) ±√25
             2.1
x = 13 ± 5
       2
x' = 13 + 5 = 18 = 9
     2        2
x'' = 13 – 5 = 8 = 4
       2       2
Os possíveis valores para x são 4 e 9. Sabemos também que z2 = x. Vamos agora verificar os valores de z, se x' = 9:
(z')2 = 9
z' = √9
z' = ± 3
Se x'' = 4, temos ainda:
(z'')2 = 4
z'' = √4
z'' = ± 2
Portanto, as raízes da equação são: – 3, – 2, 2 e 3. A alternativa correta é a (b). 
Resposta Questão 10
Vamos reescrever a equação x4 – 11x2 + 18 = 0 da seguinte forma:
(x2)2 – 11x2 + 18 = 0
Fazendo x2 = y, teremos:
y2 – 11 y + 18 = 0
Tendo agora uma equação do 2º grau, podemos destacar os coeficientes a = 1; b = – 11 e c = 18. Vamos então aplicar esses valores na Fórmula de Bhaskara:
y = – b ±√Δ
       2.a
Encontraremos os valores de delta:
Δ = b2 – 4.a.c
Δ= (– 11)2 – 4.1.18
Δ= 121 – 72
Δ= 49
Vamos agora substituir os valores para encontrar y:
Y = – b ±√Δ
      2.a
y = – (– 11) ±√49
         2.1
x = 11 ± 7
      2
x' = 11 + 7 = 18 = 9
     2       2
x'' = 11 – 7 = 4 = 2
      2       2
Fazendo x2 = y e considerando y' = 9, temos:
(x')2 = 9
x' = √9
x' = ± 3
Para y'' = 2, segue:
(x'')2 = 2
x'' = √2
x'' = ± √2
O exercício pediu que multiplicássemos as raízes positivas, sendo assim, teremos:
x'.x'' = 3.√2
Portanto, a alternativa correta é a (b).
Resposta Questão 11
Para resolvermos a equação, vamos reescrevê-la a fim de convertê-la em uma equação de 2º grau:
(x5)2 – 33x5 + 32 = 0
Façamos x5 = y. Teremos a seguinte equação:
y2 – 33y + 32 = 0
Os coeficientes dessa equação são a = 1, b = – 33 e c = 32. Vamos então resolvê-la utilizando a fórmula de Bhaskara:
y = – b ±√Δ
       2.a
Vamos primeiramente encontrar o valor de delta:
Δ = b2 – 4.a.c
Δ= (– 33)2 – 4.1.32
Δ= 1089 – 128
Δ= 961
Substituindo os valores na Fórmula de Bhaskara, teremos:
y = – b ±√Δ
       2.a
y = – (– 33) ±√961
        2.1
x = 33 ± 31
       2
x' = 33 + 31 = 64 = 32
     2         2
x'' = 33 – 31 =  2 = 1
        2        2
Mas como x5 = y, se y' = 32
(x')5 = 32
x' = 5√32
x' = 2
Se y'' = 1:
(x'')5 = 1
x'' = 5√1
x'' = 1
Portanto, os valores possíveis para x são 1 e 2.
Resposta Questão 12
Novamente vamos tentar deixar essa equação no formato de uma equação de 2 º grau.
(x 3)2 + 6x3 + 9 = 0
Fazendo x3 = y, temos:
y2 + 6y + 9 = 0
Os coeficientes dessa equaçãosão a = 1, b = 6 e c = 9. Vamos resolvê-la utilizando a fórmula de Bhaskara:
y = – b ±√Δ
      2.a
Vamos primeiramente encontrar o valor de delta:
Δ = b2 – 4.a.c
Δ= 62 – 4.1.9
Δ= 36 – 36
Δ= 0
Agora substituir os valores na Fórmula de Bhaskara:
y = – b ±√Δ
     2.a
y = – 6 ±√0
       2.1
y = – 6 ± 0
     2
y = – 6
     2
y = – 3
Mas como x3 = y:
x3 = y
x3 = – 3
x = 3√-3
Portanto, o valor de x é a raiz cúbica de – 3.
Definição de Fatoração
A fatoração é a transformação da soma e/ou subtração de vários termos em um produto de diversos fatores.
Vejamos alguns exemplos onde temos alguns dos principais tipos de fatoração:
· 5x+5y=5(x+y)
· ac+ad+bc+bd=(a+b)(c_d)
· x²-7²=(x+7)(x-7)
· (m+n)²=m²+2mn+n²
· (j-k)²=j²-2jk+k²
· (x+y)³=x³+3x²y+3xy²+y³
· (x-y)³=x³+3x²y+3xy²-y³
de fatoração em particular.
A fatoração é um recurso que utilizamos na simplificação de sentenças matemáticas. Quando for o caso, podemos utilizá-la na simplificação de uma fração ou de uma equação, por exemplo.
Fator Comum: ax + bx = x(a + b) 
A forma mais básica de fatoração é a colocação de fatores comuns em evidência.
No exemplo abaixo o fator 5 é comum a todos os termos e por isto é possível colocá-lo em evidência:
5x+5y
Colocamos o fator 5 em evidência o destacando e o multi-plicando pela a expressão quociente da divisão da sentença original por tal fator, inserida entre parênteses:
5x+5y=5(x+y)
Exemplos:
7a +7b=7(a+b)
15x+5y=5(3x+y)
14m+28n=7(2m+4n)
Agrupamento: ax + bx + ay + by = (a + b)(x + y) 
No tipo de fatoração por agrupamento não temos um fator que é comum a todos os termos, no entanto temos fatores que são comuns a alguns termos e outros fatores que são comuns a outros termos.
Vejamos o exemplo abaixo:
4x+6x+4y+6y
Note que o fator x é comum aos dois primeiros termos, assim como o fator y é comum aos dois últimos termos, então podemos colocá-los em evidência:
4x+6x+4y+6y=x(4+6)+y(4+6)
Veja que ainda temos o fator (4 + 6) em comum e que também pode ser colocado em evidência:
x(4+6)+y(4+6)=(4+6)(x+y)
Assim sendo:
4x+6x+4y+6y=(4+6)(x+y)
Obviamente, como mostrado abaixo, podemos continuar os cálculos somando 4 com 6, mas o foco aqui é a fatoração em si:
(4+6)(x+y)=10(x+y)
No lugar dos fatores x e y, poderíamos evidenciar os fatores 4 e 6, visto que ambos são comuns ao fatores 4x e4y, no caso do 4 e 6x e 6y, no caso do 6:
4x+6x+4y+6y=4(x+y)+6(x+y)
E ao colocarmos o fator (x + y) em evidência, chegamos ao mesmo resultado obtido anteriormente, apenas com uma mudança na ordem dos fatores, que como sabemos não altera o produto:
4(x+y)+6(x+y)= (x+y)(4+6)
Diferença de Dois Quadrados: a2 - b2 = (a + b)(a - b) 
Este os próximos quatro tipos de fatoração que veremos estão relacionados aos produtos notáveis. Aos estudá-los vimos que o produto da soma pela diferença de dois termos nos leva à diferença de dois quadrados, então podemos utilizar de forma inversa este conhecimento na fatoração da diferença de dois quadrados.
Vejamos este exemplo na sequência:
25y²-9z²
Visto que a2 - b2 = (a + b)(a - b), podemos realizar a fatoração como a seguir:
25y²-9z²=(5y)²-(3z)²=(5y+3z)(5y-3z)
Tal fatoração foi realizada se encontrando o valor de a e b, que são respectivamente a raiz quadrada do primeiro e do segundo termo e então os substituindo em (a + b)(a - b).
Logo:
25y²-9z²=(5y+3z)(5y-3z)
Exemplos
· 169a²-196b²=(13a+14b)(13a-14b)
· 49w²-36y²=(7w+6y)(7w-6y)
Trinômio Quadrado Perfeito - Soma: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 
Quando desenvolvemos o quadrado da soma de dois termos chegamos a um trinômio quadrado perfeito, que é o que demonstra a sentença acima, só que temos os membros em ordem inversa. Então o quadrado da soma de dois termos é a forma fatorada de um trinômio quadrado perfeito.
Como fatorar o trinômio abaixo?
x²+14x=49
Se o pudermos escrever como a2 + 2ab + b2 estaremos diante de um trinômio quadrado perfeito, que fatorado é igual a (a + b)2.
Obtemos o valor de a extraindo a raiz quadrada de x2 no primeiro termo e o valor de b extraindo a raiz quadrada de 49 no terceiro termo, portanto a = x e b = 7.
Ao substituirmos a por x e b por 7 nos termos do trinômio a2 + 2ab + b2 devemos chegar a uma variação do trinômio original:
x²+2·x·7+7²
Realizando a substituição de a e b, vamos então analisar a2 + 2ab + b2 termo a termo para verificar se o polinômio obtido é igual ao polinômio original.
Quando substituímos a por x em a2 chegamos ao x2 original.
Ao substituirmos a por x e b por 7 em 2ab obtivemos 2 . x . 7, equivalente ao 14x original.
E finalmente substituindo b por 7 em b2 chegamos a 72, equivalente ao 49 do terceiro termo do polinômio original.
Como foi possível escrever x2 + 14x + 49 na for-ma a2 + 2ab + b2, então estamos mesmo diante de um trinômio quadrado perfeito que pode ser fatorado assim:
x²+2·x·7+7²=(x+7)²
Portanto: 
x²+14x+49=(x+7)²
Se o polinômio em questão não fosse um trinômio quadrado perfeito, não poderíamos realizar a fatoração desta forma, visto que a conversão de x2 + 14x + 49 em a2 + 2ab + b2 le-varia a um polinômio diferente do original. Por exemplo, se o trinômio fosse x2 + 15x + 49, o segundo termo 15x iria diferir do segundo termo obtido via substituição de a e b que é 14x, portanto não teríamos um trinômio quadrado perfeito.
Note que realizamos uma verificação termo a termo para verificar se realmente tínhamos um trinômio quadrado perfeito, mas você não precisará fazer tal verificação quando no enunciado da questão estiver explícito que os polinômios realmente são trinômios quadrados perfeitos.
Trinômio Quadrado Perfeito - Diferença: a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 
Assim como o caso da soma visto acima, de forma análoga temos o caso da diferença.
Vejamos este outro trinômio:
4x²-20x+25
Como 2x é a raiz quadrada de 4x2, do primeiro termo, e 5 é a raiz quadrada de 25 do terceiro termo, podemos reescrevê-lo como a seguir, substituindo a por 2x e b por 5 temos:
(2x)²-2∙2x∙5+5²
Como os respectivos termos do polinômio original e do polinômio acima são iguais, temos um trinômio quadrado perfeito:
Portanto, temos realmente um trinômio quadrado perfei-to que pode ser escrito na formaa2 - 2ab + b2 = (a - b)2:
(2x)²-2∙2x∙5+5²=(2x-5)²
Logo:
4x²-20x+25=(2x-5)²
Cubo Perfeito - Soma: a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 
Na sentença acima temos um polinômio e a sua forma fatorada, que nada mais é que o cubo da soma de dois termos.
Se temos um polinômio a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 podemos fatorá-lo como (a + b)3.
Vamos analisar o polinômio abaixo:
343+441y+189y²+27y³
Nosso objetivo é escrevê-lo na forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, substituindo a por 7 que é a raiz cúbica de 343 e substituindo b por 3y que é a raiz cúbica de 27y3:
7³+3∙7²∙3y+3∙7∙(3y)²+(3y)³
Como visto nos dois tipos anteriores, também neste tipo e no próximo, se não estiver claro no enunciado da questão que realmente se trata de um cubo perfeito, precisamos verificar se todos os membros do polinômio original são iguais aos termos do polinômio obtido via substituição de a e b em a3 + 3a2b + 3ab2 + b3. Como os respectivos termos do polinômio original e do polinômio acima são iguais, temos de fato um cubo perfeito.
Então temos um cubo perfeito que é fatorado como:
343+441y+189y²+27y³=(7+3y)³
Exemplos
1. 125a³+150a²+60ab²+8b³=
(5a)³+3(5a)²∙2b+3∙5a∙(2b)²+(2b)³=(5a+2b)³
2. 8x6+12x4y³+6x²y6+y9
(2x²)³+3∙(2x²)²∙y³+3∙2x²∙(y³)²+(y³)³=(2x²+y³)³
Cubo Perfeito - Diferença: a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3
A forma fatorada do polinômio no primeiro membro da sentença acima é o cubo da diferença de dois termos.
O polinômio a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 é fatorado como (a - b)3.
Vamos fatorar a sentença abaixo de forma análoga a que fizemos no tipo de fatoração anterior:
8a³-84a²b+294ab²-343b³
Extraímos a raiz cúbica de 8a3 que é 2a e de 343b3 que é 7b e então substituímos a e b respectivamente por 2ae 7b em a3 - 3a2b + 3ab2 - b3:
(2a)³-3∙(2a)²∙7b+3∙2a∙(7b)²-(7b)³
Como os respectivos termos do polinômio original e do polinômio acima são iguais, temos um cubo perfeito.
Então:
8a³-84a²b+294ab²-343b³=(2a-7b)³
Exemplos
1. 125a³-150a²+60ab²-8b³=
(5a)³-3(5a)²∙2b+3∙5a∙(2b)²-(2b)³=(5ª-2b)³2. 8x6-12x4y³+6x²y6-y9
(2x²)³-3∙(2x²)²∙y³+3∙2x²∙(y³)²-(y³)³=(2x²-y³)³
01. Fatorar: (a + b) . x + 2(a + b)
 
 
02. Fatorar: (x + y)2 - (x - y)2
 
 
03. Fatorar: x4 - y4
 
04. Fatorar: 25x2 + 70x + 49
 
 
05. Calcular 2 4992
 
 
06. Dado que x = a + x-1, a expressão x2 + x-2  é igual a:
 
a) a2 + 2
b) 2a + 1
c) a2 + 1
d) 2a -1 
e) a2
 
07. (PUC) Sendo x3 + 1 = (x + 1) (x2 + ax + b) para todo x real, os valores de a e b são, respectivamente:
 
a) -1 e -1
b) 0 e 0
c) 1 e 1
d) 1 e -1
e) -1 e 1
08. Decomponha em fatores do primeiro grau: 6x2 - 5xy + y2
 
 
09. (FUVEST) A soma dos quadrados de dois números positivos é 4 e a soma dos inversos de seus quadrados é 1. Determine:
 
a) O produto dos dois números.
b) A soma dos dois números.
        
                                             
10. (FUVEST) A diferença entre o cubo da soma de dois números inteiros e a soma de seus cubos pode ser:
 
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
Respostas
01. (a + b) . (x . 2)
02. 4xy
03. (x2 + y2) . (x + y) . (x - y)
04. (5x + 7)2
05. 6 245 001
06. A      
07. E
08. (3x - y) . (2x - y)
09. a) 2
      b) 
10. C
Potência e Radiciação 
A potenciação é uma multiplicação de fatores iguais
Exemplos 2³ = 2 .2 .2 = 8. Você sabe também que:
· 2 é a base
· 3 é o expoente
· 8 é a potência ou resultado
1) O expoente é par
a) (+7)² = (+7) . (+7) = +49
b) (-7)² = (-7) . (-7) = +49
c) (+2)⁴ = (+2) . (+2) . (+2) . (+2) = + 16
d) (-2)⁴ = (-2) . (-2) . (-2) . (-2) = + 16
Conclusão: Quando o expoente for par, a potência é um nú-mero positivo
2) Quando o expoente for impar
a) (+4)³ = (+4) . (+4) . (+4) = + 64
b) (-4)³ = (-4) . (-4) . (-4) = - 64
c) (+2)⁵ = (+2) . (+2) . (+2) . (+2) . (+2) = +32
d) (-2)⁵ = (-2) . (-2) . (-2) . (-2) . (-2) = -32
Conclusão : Quando o expoente é ímpar, a potência tem o mesmo sinal da base.
1) Calcule as potências:
a) (+7)²= 
b) (+4)² = 
c) (+3)² = 
d) (+5)³ =
 e) (+2)³ = 
f) (+3)³ = 
g) (+2)⁴ = 
h) (+2)⁵ = 
i) (-5)² = 
j) (-3)² = 
k) (-2)³ = 
l) (-5)³ = 
m) (-1)³ = 
n) (-2)⁴ = 
o) (-3)³ = 
p) (-3)⁴ = 
2) Calcule as potências:
a) (-6)² = 
b) (+3)⁴ = 
c) (-6)³ = 
d) (-10)² = 
e) (+10)² = 
f) (-3)⁵ = 
g) (-1)⁶ = 
h) (-1)³ = 
i) (+2)⁶ = 
j) (-4)² = 
k) (-9)² = 
l) (-1)⁵⁴ = 
m) (-1)¹³ = 
n) (-4)³ = 
o) (-8)² = 
p) (-7)² = 
3) Calcule as potências
a) 0⁷ = 
b) (-2)⁸ = c) (-3)⁵ = 
d) (-11)³ = 
e) (-21)² = 
f) (+11)³ = 
g) (-20)³ = 
h) (+50)² = 
4) Calcule o valor das expressões (primeiro as potências)
a) 15 + (+5)² = 
b) 32 – (+7)² =
c) 18 + (-5)² = 
d) (-8)² + 14 =
e) (-7)² - 60 = 
f) 40 – (-2)³ = 
g) (-2)⁵ + 21 = 
h) (-3)³ - 13 = 
i) (-4)² + (-2)⁴ = 
j) (-3)² + (-2)³ =
k) (-1)⁶ + (-3)³ = 
l) (-2)³ + (-1)⁵ = 
Respostas
1
a. 49
b. 16
c. 9
d. 125
e. 8
f. 27
g. 16
h. 32
i. 25
j. 9
k. -8
l. -125
m. -1
n. 16
o. -27
p. 81
2
a) 36
b) 81
c) -216
d) 100
e) 100
f) -243
g) 1
h) -1
i) 64
j) 16
k) 81
l) 1
m) -1
n) -64
o) 64
p) 49
3
a) 0
b) 256
c) -243
d) -1331
e) 441
f) 1331
g) -8000
h) 2500
4
a) 40
b) -17
c) 43
d) 78
e) -11
f) 48
g) -11
h) -40
i) 32
j) 1
k) -26
l) -9
Todo o número inteiro elevado a 1 é igual a ele mesmo.
Exemplos:
a) (+7)¹ = +7
b) (-3)¹ = -3
Todo o número inteiro elevado a zero é igual a 1.
Exemplos:
a) (+5)⁰ = 1
b) (-8)⁰= 1
Observe como a colocação dos parênteses é importante:
a) (-3)² = (-3) . (-3) = +9
b) -3² = -(3 . 3) = -9
Para que a base seja negativa, ela deve estar entre parênteses.
1) Calcule as potências:
a) (+6)¹ = 
b) (-2)¹ = 
c) (+10)¹ = 
d) (-4)⁰ = 
e) (+7)⁰ = 
f) (-10)⁰ = 
g) (-1)⁰ = 
h) (+1)⁰ = 
i) (-1)⁴²³ = 
j) (-50)¹ = -
k) (-100)⁰ = 
l) 20000⁰ = 
2) Calcule:
a) (-2)⁶ = 
b) -2⁶ = 
3) Calcule as potências:
a) (-5)² = 
b) -5² = 
c) (-7)² =
d) -7² = 
e) (-1)⁴ = 
f) -1⁴ = 
4) Calcule o valor das expressões (primeiro as potências):
a) 35 + 5²= 60
b) 50 - 4² = 
c) -18 + 10² = 
d) -6² + 20 = 
e) -12-1⁷ = -
f) -2⁵ - 40 = 
g) 2⁵ + 0 - 2⁴ = 
h) 2⁴ - 2² - 2⁰ = 
i) -3² + 1 - .65⁰ = 
j) 4² - 5 + 0 + 7² = 
k) 10 - 7² - 1 + 2³ = 
l) 3⁴ - 3³ + 3² - 3¹ + 3⁰ = 
Resolução 
1
a) 6
b) -2
c) 10
d) 1
e) 1
f) 1
g) 1
h) 1
i) -50
j) 1
k) 1
2
a) 64
b) -64
3
a) 25
b) -25
c) 49
d) -49
e) 1
f) -1
4
a) -14
b) 82
c) -16
d) -13
e) -72
f) 16
g) 11
h) -9
i) 60
j) -32
k) 61
Propriedades
1) Produto de potência de mesma base: conserva-se a base e somam-se os expoentes.
Observe: a³ . a² = ( a .a .a ) . ( a .a ) = a⁵
Note que: a³ . a² = a³ ⁺ ² = a⁵
Exemplos
a) (-5)⁷ . (-5)² = (-5) ⁷ ⁺ ² = (-5)⁹
b) (+2)³ . (+2)⁴ = (+2)³ ⁺ ⁴ = (+2)⁷
1) Reduza a uma só potência:
a) 5⁶ . 5² = 
b) x⁷. x⁸= 
c) 2⁴ . 2 . 2⁹ = 
d) x⁵ .x³ . x = 
e) m⁷ . m⁰ . m⁵ = 
f) a . a² . a = 
2) Reduza a uma só potência:
a) (+5)⁷ . (+5)² = 
b) (+6)² . (+6)³ = 
c) (-3)⁵ . (-3)² = 
d) (-4)² . (-4) = 
e) (+7) . (+7)⁴ = 
f) (-8) . (-8) . (-8) = 
g) (-5)³ . (-5) . (-5)² = 
h) (+3) . (+3) . (+3)⁷ = 
i) (-6)² . (-6) . (-6)² = 
j) (+9)³ . (+9) . (+9)⁴ = 
Resolução
1
a) 5⁹
b) x¹⁵
c) 2¹⁴
d) x⁹
e) m¹²
f) a⁴
2
a) (+5)⁹
b) (+6)⁵
c) (-3)⁷
d) (-4)³
e) (+7)⁵
f) (-8)³
g) (-5)⁶
h) (+3)⁹
i) (-6)⁵
j) (+9)⁸ 
Propriedades
Observe: a⁵ : a² = (a . a . a . a .a ) : (a .a ) = a³
Note que: a⁵ : a² = a⁵⁻² = a³
Exemplos:
a) (-5)⁸ : (-5)⁶ = (-5)⁸⁻⁶ = (-5)²
b) (+7)⁹ : (+7)⁶ = (+7)⁹⁻⁶ = (+7)³
1) Reduza a um a só potência:
a) a⁷ : a³ = 
b) c⁸ : c² = 
c) m³ : m = 
d) x⁵ : x⁰ = 
e) y²⁵ : y²⁵ = 
f) a¹⁰² : a = 
2) Reduza a uma só potência:
a) (-3)⁷ : (-3)² =
b) (+4)¹⁰ : (+4)³ = 
c) (-5)⁶ : (-5)² = 
d) (+3)⁹ : (+3) = 
e) (-2)⁸ : (-2)⁵ = 
f) (-3)⁷ : (-3) = 
g) (-9)⁴ : (-9) = 
h) (-4)² : (-4)² = 
3) Calcule os quocientes:
a) (-5)⁶ : (-5)⁴ = 
b) (-3)⁵ : (-3)² = 
c) (-4)⁸ : (-4)⁵= 
d) (-1)⁹ : (-1)² = 
e) (-7)⁸ : (-7)⁶= 
f) (+10)⁶ : (+10)³ =
Resolução
1
a) a⁴
b) c⁶
c) m²
d) x⁵ 
e) y⁰= 1
f) a¹⁰¹
2
a) (-3)⁵
b) (+4)⁷
c) (-5)⁴
d) (+3)⁸
e) (-2)³
f) (-3)⁶
g) (-9)³
h) (-4)⁰ = 1
3
a) (R: 25)
b) (R: -27 )
c) (R: -64)
d) (R: -1)
e) (R: 49)
f) (R: 1000)
Propriedades
Observe: (a²)³ = a²˙³ = a⁶
Exemplo: [(-2)³]⁴ = (-2)³˙⁴ = (-2)¹²
1) Aplique a propriedade de potência de potência.
a) [(-4)² ]³ = 
b) [(+5)³ ]⁴ = 
c) [(-3)³ ]² = 
d) [(-7)³ ]³ = 
e) [(+2)⁴ ]⁵ = 
f) [(-7)⁵ ]³ =
g) [(-1)² ]² = 
h) [(+2)³ ]³ = 
i) [(-5)⁰ ]³ = 
2) Calcule o valor de:
a) [(+3)³]² = 
b) [(+5)¹]⁵ = 
c) [(-1)⁶]² = 
d) [(-1)³]⁷ =
 e) [(-2)²]³ = 
f) [(+10)²]² =
Respostas
1
a) (-4)⁶
b) (+5)¹²
c) (-3)⁶
d) (-7)⁹
e) (+2)²⁰ 
f) (-7)¹⁵
g) (-1)⁴
h) (+2)⁹
i) (-5)⁰ = 1
2
a) 729
b) -243
c) 1 
d) -1
e) 64
f) 10000
Propriedades
Observe: ( a . b )³ = ( a . b ) . (a . b ) . ( a . b ) = ( a . a . a ) . (b . b . b ) = a³ . b³
Exemplos: [(-2) . (+5) ] = (-2)³ . (+5)³
Vamos recordar:
 = 7, porque 7² = 49
No conjunto dos números inteiros, a raiz quadrada de 49 pode ser:
+7, por5que (+7)² = 49.
-7, porque (-7)² = 49.
Como o resultado de uma operação, deve ser único, vamos adotar o seguinte critério:
Exemplos:
a) +√16 = +4
b) - √16 = -4
c) √9 = 3
d) -√9 = -3
Os números negativos não têm raiz quadrada no conjunto Z
Veja:
a) √-9 = nenhum inteiro, pois (nenhum inteiro)² = -9
b) √-16 = nenhum inteiro, pois (nenhum inteiro)² = -16
1) Determine as raízes:
a) = 
b) = 
c) = 
d) -= 
e) = 
f) -- = 
g) = 
h) -- = 
i) = 
j) -= 
k) = 
l) - = 
2) Calcule caso exista em Z:
a) √4 = 
b) √-4 = 
c) -√4 = 
d) √64 = 
e) √-64 = 
f) -√64 = 
g) -√100 = 
h) √-100 = 
3) Calcule:
a) √25 + √16 = 
b) √9 - √49 = 
c) √1 + √0 =
d) √100 - √81 + √4 =
e) -√36 + √121 + √9 = 
f) √144 + √169 -√81 = 
Respostas
1
a) 2
b) 5
c) 0
d) -5
e) 9
f) -9
g) 6
h) -1
i) 20
j) -11
k) 13
l) -30
2
a) 2
b) não existe
c) -2
d) 8
e) não existe
f) -8
g) -10
h) não existe
3
a) 9
b) -4
c) 1
d) 3 
e) 8
f) 16
Expressões Numéricas 
As expressões devem ser resolvidas obedecendo à seguinte ordem de operações:
1) Potenciação e radiciação;
2) Multiplicação e divisão
3) Adição e subtração
Nessas operações são realizados :
1) parênteses ( )
2) colchetes [ ]
3) chaves { }
Exemplos:
1) Calcular o valor das expressões :
1°) exemplo
(-3)² - 4 - (-1) + 5²
9 – 4 + 1 + 25
5 + 1 + 25
6 + 25
31
2°) exemplo
15 + (-4) . (+3) -10
15 – 12 – 10
3 – 10
-7
3°) exemplo
5² + √9 – [(+20) : (-4) + 3]
25 + 3 – [ (-5) +3 ]
25 + 3 - [ -2]
25 +3 +2
28 + 2
30
1) Calcule o valor das expressões:
a) 5 + ( -3)² + 1 =b) 10 + (-2)³ -4 = 
c) 12 – 1 + (-4)² = 
d) (-1)⁵ + 3 – 9 = 
e) 18 – (+7) + 3² =
f) 6 + (-1)⁵ - 2 = 
g) (-2)³ - 7 – (-1) = 
h) (-5)³ - 1 + (-1)⁹ = 
i) 5⁰ - ( -10) + 2³ =
j) (-2)³ + (-3)² - 25 = 
2) Calcule o valor das expressões:
a) 3 - 4² + 1 = 
b) 2³ - 2² - 2 = 
c) (-1)⁴ + 5 - 3² = 
d) 5⁰ - 5¹ - 5⁰ = 
e) (-3)². (+5) + 2 = 
f) (-1)⁷ - (-1)⁸ = 
g) 5 + (-3)² + 7⁰ = 
h) √49 + 2³ - 1 = 
3) Calcule o valor das expressões:
a) (-3)² + 5 = 
b) (-8)² - (-9)² = 
c) -72⁰ + (-1)⁸ = 0d) (-12)⁰ + (+12)⁰ = 
e) 10³ - (-10)² - 10⁰ = 
f) (-7)² + (-6)² - (-1)² = 
g) (-1)⁶ + (+1)⁵ + (-1)⁴ + (+1)³ = 
h) 2⁶ - 2⁵ - 2⁴ - 2³ - 2² - 2 = 
4) Calcule o valor das expressões:
a) (-3) . (+7) + (-8) . (-3) = 
b) (-3)³ + (+2)² - 7 = 
c) 8 + (-3 -1)² = 
d) (-2 + 6)³ : (+3 – 5)² = 
e) –(-5)² + (-7 + 4) = 
f) (-2)⁶ + (+5) . (-2) = 
5) Calcule o valor das expressões:
a) (-3)³ . (-2)² + (3) + 5⁰ = 
b) (-1)³ + 3 + (+2) . (+5) = 
c) (-2) . (-7) + (-3)² = 
d) 2 . (-5)² - 3 . (-1)³ + 4 = 
e) –[ -1 + (-3) . (-2)]²= 
f) –(5 – 7)³ - [ 5 - 2² - (4 – 6)] = 
g) (-3 + 2 – 1)³ - ( -3 + 5 – 1)⁸ + 3 = 
h) 8 – [ -7 + (-1) . (-6) + 4]²= 
i) 14 – [(-1)³ . (-2)² + (-35) : (+5)] = 
j) 5³ - [ 10 + (7 -8)² ]² - 4 + 2³ = 
k) (-1)⁸ + 6⁰ - [15 + (-40) : (-2)³ ] = 
l) -3 –{ -2 – [(-35) : (+5) + 2² ]} = 
6) Calcule o valor das expressões:
a) (- 3 + 5 + 2) : (-2) = 
b) (+3 – 1)² - 15 = 
c) (-2)³ - (-1 + 2)⁵ = 
d) 40 : (-1)⁹ + (-2)³ - 12 = 
e) 10 – [5 – (-2) + (-1)] = 
f) 2 – { 3 + [ 4 – (1 – 2) + 3 ] – 4} = 
g) 15 – [ (-5)² - (10 - 2³ ) ] = 
h) 13 – [(-2) – (-7) + (+3)² ] = 
i) 7² - [ 6 – (-1)⁵ - 2²] = 
j) 2³ - [(-16) : (+2) – (-1)⁵] = 
k) 50 : { -5 + [ -1 –(-2)⁵ : (-2)³ ]} = 
7) Calcule o valor das expressões:
a) 10 + (-3)² = 
b) (-4)² - 3 = 
c) 1 + (-2)³ = 
d) -2 + (-5)² = 
e) (-2)² + (-3)³ = 
f) 15 + (-1)⁵ - 2 = 12g) (-9)² -2 – (-3) = 
h) 5 + (-2)³ + 6 = 
8) Calcule o valor das expressões:
a) 5 – { +3 – [(+2)² -(-5)² + 6 – 4 ]} = 
b) 15 – { -3 + [(5 – 6)² . (9 -8 ) ² + 1]} = 
c) 18 – { 6 – [ -3 – (5 – 4) – (7- 9)³ ] – 1 } = 
d) -2 + { -5 –[ -2 – (-2)³ - 3- (3 -2 )⁹ ] + 5 } = 
e) 4 – {(-2)² . (-3) – [ -11 + (-3) . (-4)] – (-1)} = 
Respostas
1
a) 15 
b) -2
c) 27
d) -7
e) 20
f) 3
g) -
h) 14
i) -127
j) 19
k) -24
2
a) -12
b) 2
c) -3
d) -5
e) 47
f) -2
g) 15
h) 14
3
a) 14
b) -17
c) 2
d) 899
e) 84
f) 4 
g) 2
4
a) 3
b) -30
c) 24
d) 16
e) -28
f) 54
5
a) -110
b) 12
c) 23
d) 57
e) -25
f) 5
g) -6
h) -1
i) 25
j) 8
k) -18
l) -4
6
a) -2
b) -11
c) -9
d) -60
e) 4
f) -5
g) -8
h) -1
i) 46
j) 15
k) -5
7
a) 19
b) 13
c) -7
d) 23
e) -23
f) 82
g) 3
8
a) -17
b) 16
c) 17
d) -4
e) 16
1) O resultado de (-1001)² é:
a) 11 011
b) -11 011
c) 1 002 001 
d) -1 002 001
2) O valor da expressão 2⁰ - 2¹ - 2² é:
a) -4
b) -5 
c) 8
d) 0
3) O valor da expressão (-10)² - 10² é:
a) 0 
b) 40
c) -20
d) -40
4) O valor da expressão √16 - √4 é
a) 2 
b) 4
c) 6
d) 12
5) O valor da expressão 10 + √9 – 1 é:
a) 14
b) 18
c) 12 
d) 20
6) O valor da expressão (-4)⁴ - (-4) é :
a) 20
b) -20
c) 252
d) 260 
7) O valor da expressão (-2)⁴ + (-9)⁰ - (-3)² é :
a) 8 
b) 12
c) 16
d) -26
8) O valor da expressão (-7)² + (+3) . (-4) – (-5) é :
a) 7
b) 37
c) 42 
d) 47
9) A expressão (-7)¹⁰ : (-7)⁵ é igual a:
a) (-7)⁵ 
b) (-7)²
c) (-7)¹⁵
d) (-1)²
10) O valor da expressão –[-2 + (-1) . (-3)]² é :
a) -1 
b) -4
c) 1
d) 4
Respostas
1. C
2. B
3. A
4. A
5. C
6. D
7. A
8. C
9. A
10. A
1. Simplificar 
2.Efetuando 43 + 34 – 92 
3. Escrever na forma de um único radical a expressão x
4. Escrever o radical na forma de potência de expoente racional
5. Racionalizar o denominador da fração 
6. O valor de 
a) 2
b) 3
c) 
d) 2
e) 5
7. O valor da expressão 10-2·[(-3)²-(-2)³]: é:
a) -0,1
b) -1,7
c) -17
d) 0,1
e) 1,7
8. O valor da expressão 
a) 0,4
b) 2,5
c) a
d) 1,5
e) 1
 
9. O valor da 
a) 43
b) 25
c) 11
d) 36
e) 17
 
10. O valor da expressão numérica -4² + (3 -5) . (-2)³ + 3² - (-2)⁴ é
a) 7
b) 8
c) 15
d) -7 
11.  Calcular: 23; (-2)3; ; -23
 
 
12.  Calcular: (0,2)4; (0,1)3
 
13.  Calcular: 2-3; (-2)-3; -2-3  
14.  O valor da expressão (-1)0 + (-6) : (-2) – 24 é:  
a) 20
b) -12
c) 19,5
d) 12
e) 10  
15.  (USF) Dadas as expressões A = -a2 – 2a + 5 e B = b2 + 2b + 5:  
a) Se a = 2 e b = -2, então A = B;
b) Se a = 2 e b = 2, então A = B;
c) Se a = -2 e b = -2, então A = B;
d) Se a = -2 e b = 2, então A = B;
e) Se a = -2 e b = 2, então A = B. 
16.  (UFSM)
Números que assustam:
* 5,68 bilhões de pessoas vivem hoje no planeta.
* 5,7 bilhões de pessoas eram estimadas para viver no planeta hoje.
* 90 milhões nascem a cada ano.
* 800 milhões passam fome.
* 8,5 é a média de filhos por mulher em Ruanda.
* 1,4% da renda mundial está nas mãos dos 20% mais pobres.
* 35 milhões de pessoas migraram do hemisfério Sul para o Norte nas últimas três décadas. (Fonte: ONU)  
De acordo com o texto, os números que representam a quantidade de pessoas que vivem no planeta, nasce a cada ano e passa fome são,respectivamente:  
a) 568 . 109; 9 . 106; 8 . 106
b) 5,68 . 106; 9 . 106; 8 . 106
c) 568 . 107; 9 . 107; 80 . 107
d) 56,8 . 109; 90 . 109; 8 . 109
e) 568 . 108; 90 . 106; 80 . 106  
17.  (FATEC) Das três sentenças abaixo: 
I. 2x+3 = 2x . 23
II. (25)x = 52x
III. 2x + 3x = 5x
a) somente a I é verdadeira;
b) somente a II é verdadeira;
c) somente a III é verdadeira;
d) somente a II é falsa;
e) somente a III é falsa.  
18.  Simplificando a expressão [29 : (22 . 2)3]-3, obtém-se:  
a) 236
b) 2-30
c) 2-6
d) 1
e) a  
19.  Se 53a = 64, o valor de 5-a é: 
a) –1/4
b) 1/40
c) 1/20
d) 1/8
e) ¼  
20.  (FUVEST) O valor de (0,2)3 + (0,16)2 é:  
a) 0,0264
b) 0,0336
c) 0,1056
d) 0,2568
e) 0,6256  
Respostas 
01.
02., 
03.
04.
05.
06. A	
07. B	
08. B	
09. A 
10. D
11. 23 = 8; (-2)3 = -8; -23 = -8 
12. (0,2)4 = 0,0016; (0,1)3 = 0,001 
13. 2-3 = 0,125; (-2)-3 = -0,125; -2-3 = -0,125  
14. A	
15. C	
16. C
17. E
18. B	
19. E	
20. D
Introdução aos conjuntos
No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem definição. 
Para um estudo mais aprofundado sobre a Teoria dos Conjuntos, pode-se ler: Naive Set Theory, P.Halmos ou Axiomatic Set Theory, P.Suppes. O primeiro deles foi traduzido para o português sob o título (nada ingênuo de): Teoria Ingênua dos Conjuntos.
Alguns conceitos primitivos
Conjunto: representa uma coleção de objetos.
a. O conjunto de todos os brasileiros.
b. O conjunto de todos os números naturais.
c. O conjunto de todos os números reais tal que x²-4=0.
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.
Elemento: é um dos componentes de um conjunto.
a. José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros.
b. 1 é um elemento do conjunto dos números naturais.
c. -2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x²-4=0.
Em geral, um ele mento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z. 
Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto.
a. José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros.
b. 1 pertence ao conjunto dos números naturais.
c. -2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x²-4=0.
Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo ϵ que se lê: "pertence".
Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1 pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:
1 ϵ N
Para afirmar que 0 não é um número natural ou que 0 não pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:
0 ɇ N
Um símbolo matemático muito usado para a negação é a barra / traçada sobre o símbolo normal.
Algumas notações para conjuntos
Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de duas chaves { e } através de duas formas básicas e de uma terceira forma geométrica:
Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e }.
a. A={a,e,i,o,u}
b. N={1,2,3,4,...}
c. M={João, Maria, José}
Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.
a. A={x: x é uma vogal}
b. N={x: x é um número natural}
c. M={x: x é uma pessoa da família de Maria}
Diagrama de Venn-Euler:  Os conjuntos são mostrados grá-ficamente.
Subconjuntos
Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por AB, se todos os elementos de A também estão em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A está propriamente contido em B, quando o conjunto B, além de conter os elementos de A, contém também outros elementos. O conjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto B é o superconjunto que contém A.
Alguns conjuntos especiais
Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por Ø. O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos.
Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o conjunto universo.
Reunião de conjuntos
A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.
A U B = { x: x ϵ A ou x ϵ B }
Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então A U B={a,e,i,o,3,4}.
Interseção de conjuntos
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.
A ∩ B = { x: x ϵ A e x ϵ B }
Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então A∩B=Ø.
Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.
Propriedades dos conjuntos
1. Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunião de A e B, denotada por A U B e a interseção de A e B, denotada por A∩B, ainda são conjuntos no universo.
2. Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:
A U A = A   e   A ∩ A = A
3. Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
A ⊂ A U B,  B ⊂ A U B,  A ∩ B ⊂ A,  A ∩ B ⊂ B
4. Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
A ⊂ B equivale a A U B = B
A ⊂ B equivale a A ∩ B = A
5. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
A U (B U C) = (A U B) U C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
6. Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
A U B = B U A 
A ∩ B = B ∩ A
7. Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
A U Ø = A
8. Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio.
A ∩ Ø = Ø
9. Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
A ∩ U = A
10. Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C)
A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
Os gráficos abaixo mostram a distributividade.
Diferença de conjuntos
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
A-B = {x: x ϵ A e x ɇ B}
Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como:
Complemento de um conjunto
O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CAB, é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
CAB = A-B = {x: x ϵ A e x ɇ B}
Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por:
Quando não há dúvida sobre o universo U em que estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a letra c posta como expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Muitas vezes usamos a palavra complementar no lugar de complemento.
Exemplos: Øc=U e Uc=Ø.
Leis de Augustus De Morgan
1. O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é a interseção dos complementares desses conjuntos.
(A U B)c = Ac ∩ Bc
2. O complementar da reunião de uma coleção finita de conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos.
(A1 U A2 U... U An)c = A1c ∩ A2c ∩...∩ Anc
3. O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a reunião dos complementares desses conjuntos.
(A ∩ B)c = Ac U Bc
4. O complementar da interseção de uma coleção finita de conjuntos é a reunião dos complementares desses conjuntos.
(A1 ∩ A2 ∩...∩ An)c = A1c U A2c U... U Anc
Diferença simétrica
A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem à reunião dos conjuntos A e B e não pertencem à interseção dos conjuntos A e B.
A∆B = { x: x ϵ A U B e x ɇ A∩B }
O diagrama de Venn-Euler para a diferença simétrica é:
Exercício: Dados os conjuntos A, B e C, pode-se mostrar que:
1. A=Ø se, e somente se, B=A∆B.
2. O conjunto vazio é o elemento neutro para a operação de diferença simétrica. Usar o item anterior.
3. A diferença simétrica é comutativa.
4. A diferença simétrica é associativa.
5. A∆A=Ø (conjunto vazio).
6. A interseção entre A e B∆C é distributiva,isto é:
A ∩ (B ∆ C) = (A ∩ B) ∆ (A ∩ C)
7. A ∆ B está contida na reunião de A∆C e de B∆C, mas esta inclusão é própria, isto é:
A ∆ B ⊂  (A ∆ C) U (B ∆ C)
Introdução aos Números Naturais
O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos. No século VII, os árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema numérico.
Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo. Caso queira se aprofundar no assunto, veja o belíssimo livro: "História Universal dos Algarismos, Tomos I e II, Editora Nova Fronteira, 1998 e 1999", de Georges Ifrah.
Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este conjunto como:
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra N. As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos números.
Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por:
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
A construção dos Números Naturais
1. Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero.
Exemplos: Seja m um número natural.
(a) O sucessor de m é m+1.
(b) O sucessor de 0 é 1.
(c) O sucessor de 1 é 2.
(d) O sucessor de 19 é 20.
2. Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos.
Exemplos:
(a) 1 e 2 são números consecutivos.
(b) 5 e 6 são números consecutivos.
(c) 50 e 51 são números consecutivos.
3. Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.
Exemplos:
(a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos.
(b) 5, 6 e 7 são consecutivos.
(c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.
4. Todo número natural dado n, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado).
Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero.
(a) O antecessor do número m é m-1.
(b) O antecessor de 2 é 1.
(c) O antecessor de 56 é 55.
(d) O antecessor de 10 é 9.
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma sequência real seja um outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação sequência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares:
P = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também chamado, a sequência dos números ímpares.
I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}
Igualdade e Desigualdades
Diremos que um conjunto A é igual a um conjunto B se, e somente se, o conjunto A está contido no conjunto B e o conjunto B está contido no conjunto A. Quando a condição acima for satisfeita, escreveremos A=B (lê-se: A é igual a B) e quando não for satisfeita denotaremos tal fato por:
A≠B
(lê-se: A é diferente de B). Na definição de igualdade de conjuntos, vemos que não é importante a ordem dos elementos no conjunto.
Exemplo com igualdade: No desenho, em anexo, observamos que os elementos do conjunto A são os mesmos elementos do conjunto B. Neste caso, A=B.
Consideraremos agora uma situação em que os elementos dos conjuntos A e B serão distintos.
Sejam A={a,b,c,d} e B={1,2,3,d}. Nem todos os elementos do conjunto A estão no conjunto B e nem todos os elementos do conjunto B estão no conjunto A. Também não podemos afirmar que um conjunto é maior do que o outro conjunto. Neste caso, afirmamos que o conjunto A é diferente do conjunto B.
Exercício: Há um espaço em branco entre dois números em cada linha. Qual é o sinal apropriado que deve ser posto neste espaço: <, > ou =?
	159
	 
	170
	852
	 
	321
	587
	 
	587
Exercício: Representar analiticamente cada conjunto, isto é, através de alguma propriedade e depois por extensão, apresentando os elementos:
a. Conjunto N dos números Naturais
b. Conjunto P dos números Naturais Pares
c. Conjunto I dos números Naturais Ímpares
d. Conjunto E dos números Naturais menores que 16
e. Conjunto L dos números Naturais maiores que 11
f. Conjunto R dos números Naturais maiores ou iguais a 28
g. Conjunto C dos números Naturais que estão entre 6 e 10
Operações com Números Naturais
Na sequência, estudaremos as duas principais operações possíveis no conjunto dos números naturais. Praticamente, toda a Matemática é construída a partir dessas duas operações: adição e multiplicação.
A adição de números naturais
A primeira operação fundamental da Aritmética, tem por finalidade reunir em um só número, todas as unidades de dois ou mais números. Antes de surgir os algarismos indo-arábicos, as adições podiam ser realizadas por meio de tábuas de calcular, com o auxílio de pedras ou por meio de ábacos.
Propriedades da Adição
1. Fechamento: A adição no conjunto dos números naturais é fechada, pois a soma de dois números naturais é ainda um número natural. O fato que a operação de adição é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A adição é uma lei de composição interna no conjunto N. 
2. Associativa: A adição no conjunto dos números naturais é associativa, pois na adição de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a soma do segundo e o terceiro.
3. Elemento neutro: No conjunto dos números naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será o próprio número natural.
4. Comutativa: No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que se somando a segunda parcela com a primeira parcela.
Curiosidade: Tabela de adição
Para somar dois números, com a tabela, um em uma linha e outro em uma coluna, basta fixar um número na 1a. coluna e um segundo número na 1a. linha. Na interseção da linha e coluna fixadas, obtemos a soma dos números.
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	20
	11
	12
	13
	14
	15
	16
	17
	18
	19
	20
	21
Por exemplo, se tomarmos o número 7 na linha horizontal e o número 6 na linha vertical, obteremos a soma 13 que está no cruzamento da linha do 7 com a coluna do 6.
Multiplicação de Números Naturais
É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominado multiplicador.
Exemplo: 4 vezes 9 é somar o número 9 quatro vezes:
4 x 9 = 9 + 9 + 9 + 9 = 36
O resultado da multiplicação é denominado produto e os números dados que geraram o produto, são chamados fatores. Usamos o sinal × ou · ou x, para representar a multiplicação.
Propriedades da multiplicação
1. Fechamento: A multiplicação é fechada no conjunto N dos números naturais, pois realizando o produto de dois ou mais números naturais, o resultado estará em N. O fato que a operação de multiplicação é fechada em N é conhecido na literaturado assunto como: A multiplicação é uma lei de composição interna no conjunto N.
2. Associativa: Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro número natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo.
(m.n).p = m.(n.p)
(3.4).5 = 3.(4.5) = 60
3. Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais existe um elemento neutro para a multiplicação que é o 1. Qualquer que seja o número natural n, tem-se que:
1.n = n.1 = n
1.7 = 7.1 = 7
4. Comutativa: Quando multiplicamos dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo resultado que multiplicando o segundo elemento pelo primeiro elemento.
m.n = n.m
3.4 = 4.3 = 12
Propriedade Distributiva
Multiplicando um número natural pela soma de dois números naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos.
m.(p+q) = m.p + m.q
6x(5+3) = 6x5 + 6x3 = 30 + 18 = 48
Divisão de Números Naturais
Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo.
No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata.
Relações essenciais numa divisão de números naturais
1. Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo.
35 : 7 = 5
2. Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente.
35 = 5 x 7
3. A divisão de um número natural n por zero não é possível pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderíamos escrever:
n ÷ 0 = q
e isto significaria que:
n = 0 x q = 0
o que não é correto! Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível.
Potenciação de Números Naturais
Para dois números naturais m e n, a expressão mn é um produto de n fatores iguais ao número m, ou seja:
mn = m . m . m ... m . m
m aparece n vezes
O número que se repete como fator é denominado base que neste caso é m. O número de vezes que a base se repete é denominado expoente que neste caso é n. O resultado é denominado potência.
Esta operação não passa de uma multiplicação com fatores iguais, como por exemplo:
23 = 2 × 2 × 2 = 8
43 = 4 × 4 × 4 = 64
Propriedades da Potenciação
1. Uma potência cuja base é igual a 1 e o expoente natural é n, denotada por 1n, será sempre igual a 1.
Exemplos:
a. 1n = 1×1×...×1 (n vezes) = 1
b. 13 = 1×1×1 = 1
c. 17 = 1×1×1×1×1×1×1 = 1
2. Se n é um número natural não nulo, então temos que n0=1. 
Exemplos:
a. n0 = 1
b. 50 = 1
c. 490 = 1
3. A potência zero elevado a zero, denotada por 0o, é carente de sentido no contexto do Ensino Fundamental. 
4. Qualquer que seja a potência em que a base é o número natural n e o expoente é igual a 1, denotada por n1, é igual ao próprio n. 
Exemplos:
a. n¹ = n
b. 5¹ = 5
c. 64¹ = 64
5. Toda potência 10n é o número formado pelo algarismo 1 seguido de n zeros.
Exemplos:
a. 103 = 1000
b. 108 = 100.000.000
c. 10o = 1
Números grandes
No livro "Matemática e Imaginação", o matemático americano Edward Kasner apresentou um número denomina-do googol que pode ser representado por 1 seguido de 100 zeros. 
1 Googol = 10100
Ele pensou que este era um número superior a qualquer coisa que passasse pela mente humana sendo maior do que qualquer coisa que pode ser posta na forma de palavras. Um googol é um pouco maior do que o número total de partículas elementares conhecidas no universo, algo da ordem de 1080. Se o espaço com estas partículas fosse comprimido de uma forma sólida com neutrons, este ficaria com algo em torno de 10128partículas.
Outro matemático criou então o googolplex e o definiu como 10 elevado ao googol.
1 Googolplex = 10Googol
Múltiplos de números Naturais
Diz-se que um número natural a é múltiplo de outro natural b, se existe um número natural k tal que:
a = k × b
Exemplos:
(a) 15 é múltiplo de 5, pois 15=3×5.
(b) 24 é múltiplo de 4, pois 24=6×4.
(c) 24 é múltiplo de 6, pois 24=4×6.
(d) 27 é múltiplo de 9, pois 27=3×9.
Se a=k×b, então a é múltiplo de b, mas também, a é múltiplo de k, como é o caso do número 35 que é múltiplo de 5 e de 7, pois:
35=7×5
Se a=k×b, então a é múltiplo de b e se conhecemos b e queremos obter todos os seus múltiplos, basta fazer k assumir todos os números naturais possíveis. Para obter os múltiplos de 2, isto é, os números da forma a=k×2 onde k é substituído por todos os números naturais possíveis. A tabela abaixo nos auxiliará:
0=0×2, 2=1×2, 4=2×2, 6=3×2, 8=4×2, 10=5×2, 12=6×2
O conjunto dos números naturais é infinito, assim existem infinitos múltiplos para qualquer número natural. Se y é um número natural, o conjunto de todos os múltiplos de y, será denotado por M(y). Por exemplo:
M(7)={ 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, ... }
M(11)={ 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, ... }
Observação: Como estamos considerando 0 como um número natural, então o zero será múltiplo de todo número natural. Tomando k=0 em a=k.b obtemos a=0 para todo b natural. Por exemplo:
0=0×2,  0=0×5,  0=0×12,  0=0×15
Observação: Um número b é múltiplo dele mesmo.
a = 1 × b   se, e somente se,    a = b
Por exemplo, basta tomar o mesmo número multiplicado por 1 para obter um múltiplo dele próprio, como: 3=1x3, 5=1x5 e 15=1x15.
Divisores de números Naturais
A definição de divisor está relacionada com a de múltiplo. Um número natural b é divisor do número natural a, se a é múltiplo de b.
Exemplo: 3 é divisor de 15, pois 15=3×5, logo 15 é múltiplo de 3 e também é múltiplo de 5.
Um número natural tem uma quantidade finita de divisores. Por exemplo, o número 6 poderá ter no máximo 6 divisores, pois trabalhando no conjunto dos números naturais não podemos dividir 6 por um número maior do que ele.
Os divisores de um número y também formam um conjunto finito, aqui denotado por D(y).
Exemplos:
(a) Divisores de 6: D(6)={1,2,3,6}
(b) Divisores de 18: D(18)={1,2,3,6,9,18}
(c) Divisores de 15: D(15)={1,3,5,15}
Observação: O número zero é múltiplo de todo número natural e além disso, zero não divide qualquer número natural, exceto ele próprio.
Se aceitarmos que 6÷0=b, então teremos que admitir que:
6 = 0 x b
mas não existe um número b que multiplicado por 0 (zero) seja igual a 6, portanto a divisão de 6 por 0 é impossível.
A divisão de 0/0 (zero por zero) é indeterminada, o que significa que pode existir uma situação que ela passe a ter significado, no sentido seguinte:
Se aceitarmos que 0÷0=X, então poderemos escrever que:
0 ÷ 0 = X ÷ 1
Como temos uma igualdade de frações, gerando uma proporção, deveremos aceitar que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos nesta proporção e assim:
0 × 1 = 0 × X = 0
que não é contraditório e isto pode ser realizado para todo X real, razão pela qual a expressão da forma 0÷0 é dita indeterminada.
Números primos
Um número primo é um número natural com exatamente dois divisores naturais distintos.
Exemplos:
(a) 1 não é primo pois D(1)={1}
(b) 2 é primo pois D(2)={1,2}
(c) 3 é primo pois D(3)={1,3}
(d) 5 é primo pois D(5)={1,5}
(e) 7 é primo pois D(7)={1,7}
(f) 14 não é primo pois D(14)={1,2,7,14}
Observação: 1 não é primo pois tem apenas 1 divisor e todo número natural pode ser escrito como o produto de números primos, de forma única.
Crivo de Eratóstenes
É um processo para obter números primos menores do que um determinado número natural n. Devemos construir uma tabela contendo os primeiros n números naturais. Para determinar os números primos nesta tabela, basta seguir os seguintes passos.
1. Antes de iniciar, lembramos que 1 não é um número primo.
2. Marcamos o número 2, que é o primeiro número primo e eliminamostodos os múltiplos de 2 que encontrarmos na tabela.
3. Marcamos o número 3 e eliminamos todos os múltiplos de 3 que encontrarmos na tabela.
4. Determinamos o próximo número primo, que será o próximo número não marcado da tabela e eliminamos todos os múltiplos desse número primo que encontrarmos na tabela.
5. Continuamos o processo, sempre voltando ao passo anterior, com o próximo número primo.
6. Os números que não foram eliminados são os números primos.
	1
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	3
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	73
	74
	75
	76
	77
	78
	79
	80
	81
	82
	83
	84
	85
	86
	87
	88
	89
	90
	91
	92
	93
	94
	95
	96
	97
	98
	99
	100
Na tabela, listamos os 100 primeiros números naturais, indicando com a cor mais forte os números primos e com a cor clara os números que não são primos. Como exemplo, 2 é primo, enquanto 25 não é primo, pois é múltiplo de 5.
No quadro abaixo, mostramos os números primos menores do que 100, obtidos pelo crivo de Eratóstenes.
P = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97}
Mínimo Múltiplo Comum
Diz-se que um número m é múltiplo comum dos número a e b se m é múltiplo de a e também é múltiplo de b, ou seja.
m = k × a   e    m = w × b
onde k e w números naturais.
Exemplos: Múltiplos comuns
(a) 24 é múltiplo comum de 6 e 8.
(b) 15 é múltiplo comum de 3 e 5.
Determinaremos agora todos os números que tem 18 como múltiplo comum, o que é o mesmo que obter todos os divisores naturais de 18.
18 é múltiplo comum de 1 e 18 pois 18=1x18
18 é múltiplo comum de 2 e  9 pois  18=2x9
18 é múltiplo comum de 3 e  6 pois  18=3x6
O número 18 é múltiplo comum de todos os seus divisores, logo:
D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9,18 }
Agora obteremos os múltiplos comuns dos números a e b. Para isso denotaremos por M(a) o conjunto dos múltiplos de a, por M(b) o conjunto dos múltiplos de b e tomaremos a interseção entre os conjuntos M(a) e M(b).
Exemplo: Múltiplos comuns de 3 e 5.
M(3)={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,...}
M(5)={0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,...}
M(3)∩M(5)={0,15,30,45,...}
Como estamos considerando 0 (zero) como número natural, ele irá fazer parte dos conjuntos de todos os múltiplos de números naturais e será sempre o menor múltiplo comum, mas por definição, o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de dois ou mais números naturais é o menor múltiplo comum a esses números que é diferente de zero. Logo, no conjunto:
M(3) ∩M(5)={0, 15, 30, 45, ...}
o Mínimo Múltiplo Comum entre 3 e 5 é igual a 15.
Ao trabalhar com dois números a e b, utilizamo a notação MMC(a,b) para representar o Mínimo Múltiplo Comum entre os números naturais a e b, lembrando sempre que o menor múltiplo comum deve ser diferente de zero. Por exemplo:
M(4)={0,4,8,12,16,20,24,...}
M(6)={ 0, 6, 12, 18, 24, ...}
MMC(4,6)=min {12,24,36,...}=12
O conjunto dos múltiplos do MMC(a,b) é igual ao conjunto dos múltiplos comuns de a e b. Por exemplo, se a=3 e b=5:
M(3)={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,...}
M(5)={0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,...}
M(3)∩M(5)={0,15,30,45,...}
M(15)={0,15,30,45,60,...}
Observe que M(15)=M(3)∩M(5)
Método prático para obter o MMC
Do ponto de vista didático, o processo acima é excelente para mostrar o significado do MMC mas existe um método prático para realizar tal tarefa sem trabalhar com conjuntos.
1. Em um papel faça um traço vertical, de forma que sobre espaço livre tanto à direita como à esquerda do traço.
2. À esquerda do traço escreva os números naturais como uma lista, separados por vírgulas, para obter o MMC(a,b,c,...). Por exemplo, tomaremos 12, 22 e 28 do lado esquerdo do traço vertical e do lado direito do traço poremos o menor número primo que divide algum dos números da lista que está à esquerda. Aqui usamos o 2.
3. Dividimos todos os números da lista da esquerda, que são múltiplos do número primo que está à direita do traço, criando uma nova lista debaixo da lista anterior com os valores resultantes das divisões (possíveis) e com os números que não foram divididos.
4. Repetimos a partir do passo 3 até que os valores da lista que está do lado esquerdo do traço se tornem todos iguais a um.
5. O MMC é o produto dos números primos que colocamos do lado direito do traço e neste caso: MMC(12,22,28)=924.
Exemplo: Obtemos o MMC dos números 12 e 15, com a tabela:
e depois dividimos todos os números da lista da esquerda pelos números primos (quando a divisão for possível), criando novas listas sob as listas anteriores. O MMC(12,15)=60 é o produto de todos os números primos que colocamos do lado direito do traço.
Máximo Divisor Comum
Para obter o Máximo Divisor Comum devemos introduzir o conceito de divisor comum a vários números naturais. Um número d é divisor comum de outros dois números naturais a e b se, d divide a e d divide b simultaneamente. Isto significa que devem existir k1 e k2 naturais tal que:
a = k1 × d    e   b = k2 × d
Exemplos: Divisores comuns.
(a) 8 divide 24 e 56, pois 24=3x8 e 56=7x8.
(b) 3 divide 15 e 36, pois 15=5x3 e 36=12x3.
Observação: Um número d é divisor de todos os seus múltiplos. O conjunto dos divisores comuns de dois números é finito, pois o conjunto dos divisores de um número é finito. O conjunto dos divisores de um número natural y, será denotado por D(y).
Obteremos agora os divisores comuns aos números 16 e 24, isto é, obteremos a interseção entre os conjunto D(16) e D(24).
D(16)={ 1, 2, 4, 8, 16 }
D(24)={ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 }
D(16)∩D(24)={1, 2, 4, 8}
Ocorre que o menor divisor comum entre os números 16 e 24, é 1, assim não interessa o menor divisor comum mas sim o maior divisor que pertence simultaneamente aos dois conjuntos de divisores.
Denotaremos por MDC(a,b), o Máximo Divisor Comum entre os números naturais a e b. Por exemplo, tomemos os conjuntos de divisores D(16)={1,2,4,8,16} e D(24)={1,2,3,4,6, 8,12,24}, então:
MDC(16,24)=max( D(16)∩D(24))=8
Método prático para obter o MDC
De forma similar ao cálculo do MMC(a,b), temos também um procedimento prático para determinar o MDC(a,b) entre dois números naturais, pois encontrar conjuntos de divisores para cada número pode ser trabalhoso. Para introduzir este método, determinaremos o MDC entre os números 30 e 72, a título de exemplo.
1. Construímos uma grade com 3 linhas e algumas colunas, pondo os números dados na linha do meio. Na primeira coluna coloque o maior deles e na segunda coluna o menor.
	 
	 
	 
	 
	 
	72
	30
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
2. Realizamos a divisão do maior pelo menor colocando o quociente no espaço sobre o número menor na primeira linha e o resto da divisão no espaço logo abaixo do maior número na terceira linha.
	 
	2
	 
	 
	 
	72
	30
	 
	 
	 
	12
	 
	 
	 
	 
3. Passamos o resto da divisão para o espaço localizado à direita do menor número na linha central.
	 
	2
	 
	 
	 
	72
	30
	12
	 
	 
	12
	 
	 
	 
	 
4. Realizamos agora a divisão do número 30, pelo resto obtido anteriormente que é 12. Novamente, o quociente será colocado sobre o número 12 e o resto da divisão ficará localizado abaixo do número 30.
	 
	2
	2
	 
	 
	72
	30
	12
	 
	 
	12
	6
	 
	 
	 
5. Realizamos agora a (última!) divisão do número 12, pelo resto obtido anteriormente que é 6. De novo, o quociente será posto sobre o número 6 e o resto da divisão ficará localizado abaixo do número 12.
	 
	2
	2
	2
	 
	72
	30
	12
	6
	 
	12
	6
	0
	 
	 
6. Como o resto da última divisão é 0 (zero), o último quociente obtido representa o MDC entre 30 e 72, logo denotamos tal fato por:
MDC(30,72) = 6
Exercícios:
a. Se a diferença entre dois números naturais é 126 e o máximo divisor comum entre eles é 18, quais são esses números?
Solução: Se X e Y são os números procurados, eles devem ser múltiplos de 18 e podem ser escritos na forma X=18a e Y=18b onde a e b devem ser determinados. Assim: 18a-18b=126, de onde segue que 18(a-b)=18×7, o que é equivalente a: a-b=7. Tomandoa=8 e b=1 teremos X=144 e Y=18.
b. Se a soma de dois números naturais é 420 e o máximo divisor comum entre eles é 60, quais são esses números?
Solução: Sejam X e Y os números procurados. Se MDC(X,Y)=60, os números X e Y devem ser múltiplos de 60, logo podem ser escritos na forma X=60a e Y=60b onde a e b são números inteiros positivos. Assim: 60a+60b=420, o que garante que a+b=7. Devemos escolher números naturais tal que a+b=7, e assim, temos várias opções.
Se a=6 e b=1 então X=360 e Y= 60
Se a=5 e b=2 então X=300 e Y=120
Se a=4 e b=3 então X=240 e Y=180
Se a=3 e b=4 então X=180 e Y=240
Se a=2 e b=5 então X=120 e Y=300
Se a=1 e b=6 então X= 60 e Y=360
c. Se a divisão entre dois números naturais é igual a 6/5 e o máximo divisor comum entre eles é 15, quais são esses números?
Solução: Sejam X e Y os números procurados. Se MDC(X,Y)=15, então X e Y devem ser múltiplos de 15, logo podem ser escritos na forma X=15a e Y=15b. Assim: (15a)/(15b)=6/5, logo a/b=6/5. Algumas soluções para o problema, são:
Se a= 6 e b= 5 então X= 90 e Y= 75
Se a=12 e b=10 então X=180 e Y=150
Se a=18 e b=15 então X=270 e Y=225
Relação entre o MMC e MDC
Uma relação importante e bastante útil entre o MMC e o MDC é o fato que o MDC(a,b) multiplicado pelo MMC(a,b) é igual ao produto de a por b, isto é:
MDC(a,b) × MMC(a,b) = a × b
MDC(12,15) × MMC(12,15)=12 × 15
Esta relação é útil quando precisamos obter o MMC e o MDC de dois números, basta encontrar um deles e usar a relação acima.
Exemplo: Para obter o MMC(15,20) e o MDC(15,20), o primeiro passo é obter o que for possível. Se MDC(15,20)=5 e 15 x 20=300, basta lembrar que MDC(15,20)×MMC(15,20)= 15×20 e fazer:
5 × MMC(15,20) = 300
de onde se obtém que MMC(15,20)=60.
Exercício: Se a soma de dois números é 320 e o mínimo múltiplo comum entre eles é 600, quais são esses números? Qual é o máximo divisor comum entre eles?
Solução: Se X e Y são os números procurados, eles devem ser divisores de 600, logo devem pertencer ao conjunto D(600):
{1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,25,30,75,100,120,150,200,300,600}
Pares de números deste conjunto que somam 320, são: 300 e 20 ou 200 e 120. O primeiro par não serve pois MMC(300,20)=300. Os números que servem são X=200 e Y=120 pois MMC(200,120)=600 e MDC(200,120)=40.
Primos entre si
Dois números naturais são primos entre si quando o MDC entre eles é igual a 1. Por exemplo, 16 não é um número primo, 21 também não é um número primo mas 16 e 21 são primos entre si pois MDC(16,21)=1.
Radiciação de números naturais
Radiciação de ordem n é o processo pelo qual dado um número natural a devemos determinar um número natural b tal que:
bn = a
onde n é um número natural. É o processo inverso da potenciação.
Neste trabalho, representaremos a operação de radiciação por
Rn[a], a1/n, pot(a,1/n), pow(a,1/n), 
que se lê: raiz n-ésima de a. Uma notação simples e muito comum no meio científico é aquela que usa o acento circunflexo: a^(1/n).
Raiz quadrada: A raiz quadrada de um número não negativo (não somente natural) é um outro número não negativo b tal que:
b2 = a
A raiz quadrada de um número a>0 pode ser denotada por a1/2.
Exemplo: Para obter a raiz quadrada de 36 deve-se obter o valor numérico de b de forma que:
b2 = b × b = 36
Neste trabalho, usaremos o processo de tentativa, para dividir 36 por seus divisores até que o divisor seja igual ao quociente
36÷2=18, 36÷3=12, 36÷4=9, 36÷6=6
Portanto 6 é a raiz quadrada de 36.
Raiz cúbica: A raiz cúbica de um número (não somente natural) a é um número b tal que:
b3 = b . b . b = a
A raiz cúbica de um número a pode ser denotada por a1/3.
Exemplo: Para determinar a raiz cúbica de 64, deve-se obter um número b de forma a obter
b3=b×b×b=64
Por tentativa, temos:
1×1×1=1, 2×2×2=8, 3×3×3=27, 4×4×4=64
Portanto 4 é raiz cúbica de 64.
Em estudos mais avançados, pode-se aprender a extrair a raiz quadrada ou a raiz cúbica de um número não necessariamente natural, com qualquer precisão que se queira.
Símbolos
	: pertence
	: existe
	: não pertence
	: não existe
	⊂: está contido
	: para todo (ou qualquer que seja)
	: não está contido
	: conjunto vazio
	: contém
	N ou : conjunto dos números naturais
	: não contém
	Z ou : conjunto dos números inteiros
	/ : tal que
	Q ou : conjunto dos números racionais
	: implica que
	Q'= I: conjunto dos números irracionais
	: se, e somente se
	R ou : conjunto dos números reais
	: União
	C ou : conjunto dos números complexos
	: Intersecão 
	Diferente
Números Naturais
O conjunto de números naturais é indicado por:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}
O símbolo N* é usado para indicar o conjunto de números naturais, sem o zero:
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}
A necessidade de contar surgiu no começo das civilização na formação de rebanhos, plantação. No começo o homens rela-cionava pedras ao objeto de contagem.
Números Inteiros 
O conjunto dos números inteiros é o conjunto dos números naturais acrescido dos seus opostos negativos. Pode-se dizer que os números inteiros expressam quantidades (inteiros positivos) e a "falta" de quantidades (inteiros negativos).
Números Inteiros
Este novo conjunto é indicado por Z:
Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4, 5, ...}
O símbolo Z* é usado para indicar o conjunto de números inteiros, sem o zero:
Z* = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Como todos os números naturais também são números inteiros, dizemos que N é um subconjunto de Z ou que N está contido em Z:
N ⊂ Z.
Já me perguntaram diversas vezes porque este conjunto é chamado de Z. Esta denominação vem da palavra alemã Zahl, que significa algarismo.
Os números naturais com o tempo foram se tornando incom-pletos, um grande exemplo são as temperaturas abaixo de zero.
Números Racionais
Quando dividimos um número inteiro (a) por outro número inteiro (b) obtemos um número racional. Todo número racional sempre é representado por uma parte inteira e por uma parte fracionária.
Por exemplo, se a=6 e b=2, obtemos o número racional 3,0. Se a=1 e b=2, obtemos o número racional 0,5. Ambos têm um número finito de casas após a vírgula e são chamados de racionais de decimal exata.
Existem casos em que o número de casas após a vírgula é infinito. Por exemplo, a=1 e b=8 nos dá o número racional 0,666666... É a chamada dízima periódica. Podemos considerar que os números racionais englobam todos os números inteiros e os que ficam situados nos intervalos entre os números inteiros.
O conjunto de números racionais é indicado por Q:
Q = {a/b | a  Z e b  Z*}
O símbolo Q* é usado para indicar o conjunto dos números racionais sem o zero:
Q* = Q - {0}
Como todos os números inteiros também são números racionais, dizemos que Z é um subconjunto de Q ou que Z está contido em Q:
Z ⊂ Q.
E, como já foi visto acima, todos os números naturais também são números inteiros. Então,
N ⊂ Z ⊂ Q
Os números quebrados das balanças por exemplo, são racionais (35g=0,035kg)
Números Irracionais
Quando a divisão de dois números tem como resultado um número com infinitas casas depois da vírgula que não se repetem periodicamente, obtemos um número chamado de irracional. Não é possível situar um número irracional como um ponto numa reta.
O número irracional mais famoso é o pi (π), inicial da palavra grega  que significa periferia, circunferência. Com o uso de computadores, os matemáticos conseguiram descobrir mais de 1 bilhão de casas após a vírgula para o número π.
O Número de Euler e a proporção áurea são uma das principais representações de números irracionais
Números Reais
O conjunto formado por todos os números racionais e irracionais é o conjunto dos números reais, indicado por R.
Como todo número natural é inteiro, como todo número inteiro é racional e como todo número racional é real, temos:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Indicamos por R* o conjunto de números reais sem o zero, ou seja,
R* = R - {0}
São todos os números que usamos no cotidiana, dízimas, positivos e negativos...
Números Complexos
Fato de um número negativo não ter raiz quadrada parece ter sido sempre claro para os matemáticos quese depararam com esta questão, até a concepção do modelo dos números complexos. Um número complexo é um número  que pode ser escrito na forma =x+iy, em que x e y são números reais e i denota a unidade imaginária. Esta tem a propriedade i²=-1  sendo que x e y são chamados respectivamente parte real e parte imaginária de 
Esses números, são os mais recentes descobertos, eles são usados em tecnologias de ponta, da elétrica, eletrônica, computação, conhecidos também como números imaginários, serão vistos no volume 3
Diagrama de Conjuntos Numéricos
 
Os conjuntos são os dos números: naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexo.
Questão 1
Considerando que A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A ∩ B = {4, 5} e A – B = {1, 2, 3}, determine o conjunto B. 
Questão 2
Dados os conjuntos A = {0, 1}, B = {0, 1, 2} e C = {2, 3}, determine (A U B) ∩ (B U C).
Questão 3
Considerando os conjuntos U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 2}, B = {2, 3, 4}, C = {4, 5} determine (U – A) ∩ (B U C).
Questão 4
O dono de um canil vacinou todos os seus cães, sendo que 80% contra parvovirose e 60% contra cinomose. Determine o porcentual de animais que foram vacinados contra as duas doenças.  
 
Questão 5
Os senhores A, B e C concorriam à liderança de certo partido político. Para escolher o líder, cada eleitor votou apenas em dois candidatos de sua preferência. Houve 100 votos para A e B, 80 votos para B e C e 20 votos para A e C. Em consequência:
a) venceu A, com 120 votos.
b) venceu A, com 140 votos.
c) A e B empataram em primeiro lugar.
d) venceu B, com 140 votos.
e) venceu B, com 180 votos.
 
Questão 6
(UFPA) Um professor de Matemática, ao lecionar Teoria dos Conjuntos em uma certa turma, realizou uma pesquisa sobre as preferências clubísticas de seus n alunos, tendo chegado ao seguinte resultado:
• 23 alunos torcem pelo Paysandu Sport Club;
• 23 alunos torcem pelo Clube do Remo;
• 15 alunos torcem pelo Clube de Regatas Vasco da Gama;
• 6 alunos torcem pelo Paysandu e pelo Vasco;
• 5 alunos torcem pelo Vasco e pelo Remo. 
Se designarmos por A o conjunto dos torcedores do Paysandu, por B o conjunto dos torcedores do Remo e por C o conjunto dos torcedores do Vasco, todos da referida turma, teremos, evidentemente, A ∩ B = Ø. Concluímos que o número n de alunos dessa turma é
a) 49.
b) 50.
c) 47.
d) 45.
d) 46.
Questão 7
(UFMG) Uma escola realizou uma pesquisa sobre os hábitos alimentares de seus alunos. Alguns resultados dessa pesquisa foram:
• 82% do total de entrevistados gostam de chocolate;
• 78% do total de entrevistados gostam de pizza; e
• 75% do total de entrevistados gostam de batata frita.
Então, é CORRETO afirmar que, no total de alunos entrevistados, a porcentagem dos que gostam, ao mesmo tempo, de chocolate, de pizza e de batata frita é, pelo menos, de:
a) 25%.
b) 30%.
c) 35%.
d) 40%.
Questão 8
Dados os conjuntos A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = { 4, 5, 6, 7 } e C = { 4, 5, 6, 8}, descubra o resultado de: (A - C) ∩ (B - C)
Questão 9
Dados os conjuntos C = {15,25,30,35} e D = {15, 25,40,50}, obtenha o n (A U B):
Respostas
Resposta Questão 1
Resolveremos o exercício com o auxílio dos Diagramas de Venn. Observe:
A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A ∩ B = {4, 5}
A – B = {1, 2, 3}
 
O conjunto B é formado pelos seguintes elementos: {4, 5, 6, 7, 8}. 
Resposta Questão 2
A = {0, 1}
B = {0, 1, 2}
C = {2, 3}
A U B = {0, 1, 2}
B U C = {0, 1, 2, 3}
(A U B) ∩ (B U C) = {0, 1, 2}
 
Resposta Questão 3
U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 2}
B = {2, 3, 4}
C = {4, 5}
(U – A) ∩ (B U C)
(U – A) → {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} – {1, 2} → {0, 3, 4, 5, 6}
(B U C) → {2, 3, 4} U {4, 5} → {2, 3, 4, 5}
(U – A) ∩ (B U C) = {0, 3, 4, 5, 6} ∩ {2, 3, 4, 5}
(U – A) ∩ (B U C) = {3, 4, 5}
 
Resposta Questão 4
80 – x + x + 60 – x = 100
140 – 2x + x = 100
– x = 100 – 140
– x = – 40
x = 40
O porcentual de animais vacinados contra as duas doenças é de 40%.
 
Resposta Questão 5
Votos recebidos pelo candidato A = 100 + 20 = 120
Votos recebidos pelo candidato B = 100 + 80 = 180
Votos recebidos pelo candidato C = 80 + 20 = 100
Portanto, letra e.
Resposta Questão 6
Para resolver essa questão, devemos desenhar os diagramas de todos os conjuntos descritos no enunciado, destacando a sua intersecção.
Efetuando a adição, temos que: 17 + 18 + 5 + 6 + 4 = 50
O número n de alunos dessa turma é 50. A resposta dessa questão é a alternativa “b”.
Resposta Questão 7
Inicialmente devemos nomear as incógnitas da equação da questão:
x = pessoas que gostam de pizza.
y = pessoas que gostam de chocolate.
z = pessoas que gostam de batata frita.
w = pessoas que gostam de chocolate e batata frita.
s = pessoas que gostam de batata frita e pizza.
v = pessoas que gostam de chocolate e pizza.
d = pessoas que gostam ao mesmo tempo de chocolate, pizza e batata frita.
Agora que já sabemos quais são as incógnitas, vamos escrever as equações:
Gostam de chocolate: Selecionaremos todas as variáveis que possuem chocolate:
y + w + v + d = 82%
Gostam de pizza: Selecionaremos todas as variáveis que possuem pizza:
x + s + v + d = 78%
Gostam de batata frita: Selecionaremos todas as variáveis que possuem batata frita:
z + d + s + w = 75%
Agora vamos realizar a soma das equações das pessoas que gostam de chocolate com as pessoas que gostam de pizza:
y + w + v + d + x + s + v + d = 82% + 78%
y + w + v + d + x + s + ( v + d ) = 160% → Veja que y + w + v + d + x + s = 100% de pessoas.
100% + v + d = 160%
v + d = 160% - 100%
v + d = 60%
Some as equações gerais com a equação referente às pessoas que gostam de batata frita (v + d = 60%):
z + d + s + w + v + d = 75% + 60%
z + d + s + w + v + (d) = 135% → Observe que z + d + s + w + v = 100%.
100% + d = 135.
Obtemos, então, o sistema:
v + d = 60% → Primeira equação
100% + d = 135% → Segunda equação
Resolvendo a segunda equação, obtemos:
100% + d = 135%
d = 35% → Pessoas que gostam ao mesmo tempo de chocolate, batata frita e pizza.
Substituindo o valor de d na primeira equação, temos:
v + d = 60%
v + 35% = 60%
v = 25% → Pessoas que gostam de chocolate e pizza.
A resposta correta para essa questão é a alternativa “c”.
Resposta Questão 8
A – C = {0, 1, 2, 3} → Esse é o conjunto de todos os elementos de A que não pertencem a B;
B – C = {7} → Esse é o conjunto de todos os elementos que pertencem a B e não pertencem a C;
Logo, a intersecção entre (A - C) ∩ (B – C) é vazia, visto que nenhum número se repete nesses dois conjuntos.
Resposta Questão 9
n (C U D) → Significa a união dos elementos do conjunto C e D.
C U D = { 15,25,30, 35, 40, 50} → A união é dada pela representação de todos os termos numéricos sem repetição em um mesmo conjunto.
Aplicações das relações e funções no cotidiano
Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamente nos deparamos com gráficos, tabelas e ilustrações. Estes, são instrumentos muito utilizados nos meios de comunicação. Um texto com ilustrações, é muito mais interessante, chamativo, agradável e de fácil compreensão. Não é só nos jornais ou revistas que encontramos gráficos. Os gráficos estão presentes nos exames laboratoriais, nos rótulos de produtos alimentícios, nas informações de composição química de cosméticos, nas bulas de remédios, enfim em todos os lugares. Ao interpretarmos estes gráficos, verificamos a necessidade dos conceitos de plano cartesiano.
O Sistema ABO dos grupos sanguíneos é explicado pela recombinação genética dos alelos (a,b,o) e este é um bom exemplo de uma aplicação do conceito de produto cartesiano. Uma aplicação prática do conceito de relação é a discussão sobre a interação de neurônios (células nervosas do cérebro).
Ao relacionarmos espaço em função do tempo, número do sapato em função do tamanho dos pés, intensidade da fotossíntese realizada por uma planta em função da intensidade de luz a que ela é exposta ou pessoa em função da impressão digital, percebemos quão importantes são os conceitos de funções para compreendermos as relações entre os fenômenos físicos, biológicos, sociais...
Observamos então que as aplicações de plano cartesiano, produto cartesiano, relações e funçõesestão presentes no nosso cotidiano.
Valores assumidos por uma ação numa Bolsa de Valores
O Plano Cartesiano
Referência histórica: Os nomes Plano Cartesiano e Produto Cartesiano são homenagens ao seu criador René Descartes (1596-1650), filósofo e matemático francês. O nome de Descartes em Latim, era Cartesius, daí vem o nome cartesiano.
O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo OY). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém-se o plano cartesiano ortogonal.
Cada ponto P=(a,b) do plano cartesiano é formado por um par ordenado de números, indicados entre parênteses, a abscissa e a ordenada respectivamente. Este par ordenado representa as coordenadas de um ponto.
O primeiro número indica a medida da do deslocamento a partir da origem para a direita (se positivo) ou para a esquerda (se negativo).
O segundo número indica o deslocamento a partir da origem para cima (se positivo) ou para baixo (se negativo). Observe no desenho que: (a,b)≠(b,a) se a≠b. 
Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes sendo que tais eixos são retas concorrentes na origem do sistema formando um ângulo reto (90 graus). Os nomes dos quadrantes são indicados no sentido anti-horário, conforme a figura, com as cores da bandeira do Brasil.
	Quadrante
	sinal de x
	sinal de y
	Ponto
	 Centro
	não tem
	não tem
	(0,0)
	Primeiro
	+
	+
	(3,4)
	Segundo
	-
	+
	(-8,3)
	Terceiro
	-
	-
	(-5,-5)
	Quarto
	+
	-
	(6,-4)
Produto Cartesiano
Dados dois conjuntos A e B não vazios, definimos o produto cartesiano entre A e B, denotado por AxB, como o conjunto de todos os pares ordenados da forma (x,y) onde x pertence ao primeiro conjunto A e y pertence ao segundo conjunto B.
AxB = { (x,y): xA e yB }
Observe que AxB≠BxA, se A é não vazio ou B é não vazio. Se A=Ø ou B=Ø, por definição: AxØ=Ø=ØxB.
Se A possui m elementos e B possui n elementos, então AxB possui mxn elementos.
Exemplo: Dados A={a,b,c,d} e B={1,2,3}, o produto cartesiano AxB, terá 12 pares ordenados e será dado por:
AxB → →{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3),(d,1),(d,2),(d,3)}
Relações no Plano Cartesiano
Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma relação em AxB é qualquer subconjunto R de AxB.
A relação mostrada na figura acima é:
R = { (a,3), (b,3), (c,2), (c,3), (d,2), (d,3) }
Uma relação R de A em B pode ser denotada por R:A→B.
Exemplo: Se A={1,2} e B={3,4}, o produto cartesiano é AxB={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} e neste caso, temos algumas relações em AxB:
1. R1={(1,3),(1,4)}
2. R2={(1,3)}
3. R3={(2,3),(2,4)}
Domínio e Contradomínio de uma Relação
As relações mais importantes são aquelas definidas sobre conjuntos de números reais e nem sempre uma relação está definida sobre todo o conjunto dos números reais. Para evitar problemas como estes, costuma-se definir uma relação R:A→B, onde A e B são subconjuntos de R, da seguinte forma:
O conjunto A é o domínio da relação R, denotado por Dom(R) e B é o contradomínio da relação, denotado por CD(R).
Dom(R) = { xϵA: existe y em B tal que (x,y) ϵ R}
Im(R)={yϵB: existe xϵA tal que (x,y) ϵ R}
Representações gráficas de relações em AxB.
R={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(d,1),(d,2),(d,3)}
R2={(a,1),(b,2),(c,3),(d,1)}
R3={(a,1),(b,1),(b,2),(c,3),(d,3)}
Propriedades de Relações
1. Reflexiva: Uma relação R é reflexiva se todo elemento de A está relacionado consigo mesmo, ou seja, para todo xϵA: (x,x) ϵ R, isto é, para todo xϵ A: xRx.
Exemplo: Uma relação reflexiva em A={a,b,c}, é dada por:
R = {(a,a),(b,b),(c,c)}
2. Simétrica: Uma relação R é simétrica se o fato que x está relacionado com y, implicar necessariamente que y está relacionado com x, ou seja: quaisquer que sejam xϵA e yϵA tal que (x,y) ϵR, segue que (y,x) ϵ R.
Exemplo: Uma relação simétrica em A={a,b,c}, é:
R = {(a,a),(b,b),(a,b),(b,a)}
3. Transitiva: Uma relação R é transitiva, se x está relacionado com y e y está relacionado com z, implicar que x deve estar relacionado com z, ou seja: quaisquer que sejam xϵA, yϵA e zϵA, se (x,y) ϵR e (y,z) ϵR então (x,z) ϵR.
Exemplo: Uma relação transitiva em A={a,b,c}, é:
R = {(a,a),(a,c),(c,b),(a,b)}
4. Anti-simétrica: Sejam xϵA e yϵA. Uma relação R é anti-simétrica se (x,y) ϵR e (y,x) ϵR implica que x=y. Alternativamente, uma relação é anti-simétrica: Se x e y são elementos distintos do conjunto A então x não tem relação com y ou (exclusivo) y não tem relação com x, o que significa que o par de elementos distintos (x,y) do conjunto A poderá estar na relação desde que o par (y,x) não esteja.
Exemplo: Uma relação anti-simétrica em A={a,b,c}, é:
R = {(a,a),(b,b),(a,b),(a,c)}
Relação de equivalência
Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada relação de equivalência sobre A se, e somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva.
Exemplo: Se A={a,b,c} então a relação R em AxA, definida abaixo, é de equivalência:
R = {(a,a),(b,b),(c,c),(a,c),(c,a)}
Funções no Plano Cartesiano
Referência histórica: Leonhard Euler (1707-1783), médico, teólogo, astrônomo e matemático suíço, desenvolveu trabalhos em quase todos os ramos da Matemática Pura e Aplicada, com destaque para a Análise - estudo dos processos infinitos - desenvolvendo a ideia de função. Foi o responsável também pela adoção do símbolo f(x) para representar uma função de x. Hoje, função é uma das ideias essenciais em Matemática.
Uma função f de A em B é uma relação em AxB, que associa a cada variável x em A, um único y em B. Uma das notações mais usadas para uma função de A em B, é:
f:A→B
Quatro aspectos chamam a atenção na definição apresentada:
· O domínio A da relação.
· O contradomínio B da relação.
· Todo elemento de A deve ter correspondente em B.
· Cada elemento de A só poderá ter no máximo um correspondente no contradomínio B.
Estas características nos informam que uma função pode ser vista geometricamente como uma linha no plano, contida em AxB, que só pode ser "cortada" uma única vez por uma reta vertical, qualquer que seja esta reta.
Relações que não são funções
1. Seja A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relação
R4 = { (a,1), (b,2), (c,3), (d,3), (a,3) }
não é uma função em AxB, pois associado ao mesmo valor a existem dois valores distintos que são 1 e 3.
2. Seja A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relação
R5 = { (a,1), (a,3), (b,2), (c,3) }
não é uma função em AxB, pois nem todos os elementos do primeiro conjunto A estão associados a elementos do segundo conjunto B.
Tipos de Funções
Existem três tipos básicos de função: Injetora, Sobrejetora e Bijetora.
1. Função Injetora
Vejamos agora este outro diagrama de flechas: 
Podemos notar que nem todos os elementos de B estão associados aos elementos de A, isto é, nesta função o conjunto imagem difere do contradomínio.
Além disto podemos notar que esta função tem uma outra característica distinta da função anterior.
Veja que não há nenhum elemento em B que está associado a mais de um elemento de A, ou seja, não há em B qualquer elemento com mais de uma flechada. Em outras palavras não há mais de um elemento distinto de A com a mes-ma imagem em B.
Nesta função temos:
· Domínio: D(f) = { 0, 1, 2 }
· Contradomínio: CD(f) = { 1, 2, 3, 5 }
· Conjunto Imagem: Im(f) = { 1, 3, 5 }
Definimos esta função por:
f:A→B, f(x)=2x+1
Veja que não há no D(f) qualquer elemento que substituindo x em 2x + 1, nos permita obter o elemento 2 do CD(f), isto é, o elemento 2 do CD(f) não é elemento da Im(f).
2. Função Sobrejetora
Vamos analisar o diagrama de flechas abaixo: 
Como sabemos o conjunto A é o domínio da função e o conjunto B é o seu contradomínio.
É do nosso conhecimento que o conjunto imagem é o conjunto formado por todos os elementos do contradomínio que estão associados a pelo menos um elemento do domínio e neste nosso exemplo, todos os elementos de B estão associados a pelo menos um elemento de A, logo nesta função o contradomínio é igual ao conjunto imagem.
Classificamoscomo sobrejetora as funções que possuem o contradomínio igual ao conjunto imagem.
Note que em uma função sobrejetora não existem elementos no contradomínio que não estão flechados por algum elemento do domínio.
Nesta função de exemplo temos:
· Domínio: D(f) = { -2, -1, 1, 3 }
· Contradomínio: CD(f) = { 12, 3, 27 }
· Conjunto Imagem: Im(f) = { 12, 3, 27 }
Esta função é definida por:
f:A→B, f(x)=3x²
Substituindo a variável independente x, de 3x2, por qualquer elemento de A, iremos obter o elemento de B ao qual ele está associado, isto é, obteremos f(x).
3. Função Bijetora
Na explicação do último tipo de função vamos analisar este outro diagrama de flechas:
Do explicado até aqui concluímos que este é o diagrama de uma função sobrejetora, pois não há elementos em B que não foram flechados.
Concluímos também que esta é uma função injetora, já que todos os elementos de B recebem uma única flechada.
Esta função tem:
Domínio: D(f) = { -1, 0, 1, 2 }
Contradomínio: CD(f) = { 4, 0, -4, -8 }
Conjunto Imagem: Im(f) = { 4, 0, -4, -8 }
Esta função é definida por:
 
Ao substituirmos x em -4x, por cada um dos elementos de A, iremos encontrar os respectivos elementos de B, sem que sobrem elementos em CD(f) e sem que haja mais de um elemento do D(f) com a mesma Im(f).
Funções que como esta são tanto sobrejetora, quanto injetora, são classificadas como funções bijetoras.
Relações Inversas 1
Seja R uma relação de A em B. A relação inversa de R, denotada por R-1, é definida de B em A por:
R-1 = { (y,x) ϵBxA: (x,y) ϵ R }
Exemplo: Sejam A={a,b,c}, B={d,e,f} e R uma relação em AxB, definida por
R = {(a,d),(a,e),(a,f),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c.e),(c,f)}
Então:
R-1 = {(d,a),(e,a),(f,a),(d,b),(e,b),(f,b),(d,c),(e,c),(f,c)}
Uma função será inversa se ela for bijetora. Se f : A→B é considerada bijetora então ela admite inversa f : B→A. Por exemplo, a função y = 3x-5 possui inversa y = (x+5)/3.
 →
Podemos estabelecer a seguinte diagramação:
Note que a função possui relação de A→B e de B→A, então podemos dizer que ela é inversa.
Observação: O gráfico da relação inversa R-1 é simétrico ao gráfico da relação R, em relação à reta y=x (identidade).
Funções crescentes e decrescentes
Função crescente: Uma função f é crescente, se quaisquer que sejam x e y no Domínio de f, com x<y, tivermos f(x)<f(y). Isto é, conforme o valor de x aumenta, o valor da imagem de x pela função também aumenta.
Exemplo: Seja a função f:R→R definida por f(x)=8x+2. Para os valores: a=1 e b=2, obtemos f(a)=10 e f(b)=18. Como o gráfico de f é uma reta, a<b e f(a)<f(b) então a função é crescente.
Função decrescente: Uma função f é decrescente, se para quaisquer x e y do Domínio de f, com x<y, tivermos f(x)>f(y). Isto é, conforme o valores de x aumentam, os valores da imagem de x pela função f diminuem.
Exemplo: Seja a função f:R→R definida por f(x)=-8x+2. Para a=1 e b=2, obtemos f(a)=-6 e f(b)=-14. Como o gráfico de f é uma reta, a<b e f(a)>f(b), a função é decrescente.
Funções Compostas
Dadas as funções f:A→B e g:B→C, a composta de f com g, denotada por g◦f, é a função definida por (g◦f)(x)=g(f(x)). gof pode ser lida como "g bola f". Para que a composição ocorra o CoDom(f)=Dom(g).
Exemplo: Sejam as funções reais definidas por f(u)=4u+2 e g(x)=7x-4. As composições fog e gof são possíveis e neste caso serão definidas por:
(f◦g)(x)=f(g(x))=g(7x-4)=4(7x-4)+2=28x-14
(g◦f)(u)=g(f(u))=g(4u+2)=7(4u+2)-4=28u+10
Como a variável u não é importante no contexto, ela pode ser substituída por x e teremos:
(g◦f)(x)=g(f(x))=g(4x+2)=7(4x+2)-4=28x+10
Observação:Em geral, f©g é diferente de g©f.
Exemplo: Consideremos as funções reais definidas por f(x)=x²+1 e g(x)=2x-4. Então:
(f◦g)(x)=f(g(x))=f(2x-4)=(2x-4)²+1=4x²-16x+17 (g◦f)(x)=g(f(x))=g(x²+1)=2(x²+1)-4=2x²-2
Funções Inversas 2
Dada uma função bijetora f:A→B, denomina-se função inversa de f à função g:B→A tal que se f(a)=b, então g(b)=a, quaisquer que sejam a em A e b em B. Denotamos a função inversa de f por f-1.
Observação importante: Se g é a inversa de f e f é a inversa de g, valem as relações:
g◦f=IA     e    f◦g=IB
onde IA e IB são, respectivamente, as funções identidades nos conjuntos A e B. Esta característica algébrica permite afirmar que os gráficos de f e de sua inversa de g são simétricos em relação à função identidade (y=x).
Exemplo: Sejam A={1,2,3,4,5}, B={2,4,6,8,10} e a função f:A→B definida por f(x)=2x e g:B→A definida por g(x)=x/2. Observemos nos gráficos as situações das setas indicativas das ações das funções.
Obtenção da inversa: Seja f:R→R, f(x)=x+3. Tomando y no lugar de f(x), teremos y=x+3. Trocando x por y e y por x, teremos x=y+3 e isolando y obteremos y=x-3. Assim, g(x)=x-3 é a função inversa de f(x)=x+3. Assim fog=gof=Identidade. Com o gráfico observamos a simetria em relação à reta identidade.
Operações com Funções
Dadas as funções f e g, podemos realizar algumas operações, entre as quais:
· (f+g)(x) = f(x)+g(x)
· (f-g)(x) = f(x)-g(x)
· (f.g)(x) = f(x).g(x)
· (f/g)(x) = f(x)/g(x), se g(x)≠0.
Funções Pares e Ímpares
Função par: Uma função real f é par se, para todo x do domínio de f, tem-se que f(x)=f(-x). Uma função par possui o gráfico simétrico em relação ao eixo vertical OY.
Exemplo: A função f(x)=x² é par, pois f(-x)=x²=f(x). Observe o gráfico de f! Outra função par é g(x)=cos(x) pois g(-x)=cos(-x)=cos(x)=g(x).
Função ímpar: Uma função real f é ímpar se, para todo x do domínio de f, tem-se que f(-x)=-f(x). Uma função ímpar possui o gráfico simétrico em relação à origem do sistema cartesiano.
Exemplo: As funções reais f(x)=5x e g(x)=sen(x) são ímpares, pois: f(-x)=5(-x)=-5x=-f(x) e g(-x)=sen(-x)=-sen(x)=-g(x). Veja o gráfico para observar a simetria em relação à origem.
Funções afim ou do 1º grau
Função
Sejam a e b números reais, sendo a não nulo. Uma função afim é uma função f:R→R que para cada x em R, associa f(x)=ax+b.
Exemplos:
1. f(x)=-3x+1
2. f(x)=2x+7
3. f(x)=(1/2)x+4
Se b é diferente de zero, o gráfico da função afim é uma reta que não passa pela origem (0,0). O gráfico da função linear é uma reta que sempre passa pela origem (0,0).
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau,  y = ax + b, com a≠0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:
1. Para   x = 0, temos   y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).
2. Para   y = 0, temos   0 = 3x - 1; portanto, x=1/3 e outro ponto é (1/3,0).
Marcamos os pontos (0, -1) e (1/3,0) no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.
		x
	y
	0
	-1
	
	0
	
Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.
O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.
1. Função crescente: a > 0. 
2. Função decrescente: a < 0.
Raiz da função 
Calcular o valor da raiz da função é determinar o valor em que a reta cruza o eixo x, para isso consideremos o valor de y igual a zero, pois no momento em que a reta intersecta o eixo x, y = 0. Observe a representação gráfica a seguir:
Podemos estabelecer uma formação geral para o cálculo da raiz de uma função do 1º grau, basta criar uma generalização com base na própria lei de formação da função, considerando y = 0 e isolando o valor de x (raiz da função). Veja: 
y = ax + b 
y = 0 
ax + b = 0 
ax = –b 
x = –b/a 
Portanto, para calcularmos a raiz de uma função do 1º grau, basta utilizar a expressão x = x = –b/a.
Exemplo 1 
Calcule a raiz da função y = 2x – 9, esse é o momento em que a reta da função intersecta o eixo x. 
Resolução: 
x = –b/a 
x = –(–9)/2 
x = 9/2 
x = 4,5 
Exemplo 2 
Dada a função f(x) = –6x + 12, determine a raiz dessa função. 
Resolução 
x = –b/a 
x = –12 / –6 
x = 2
Função Identidade
É uma função f:R→R que para cada x em R,associa f(x)=x. O gráfico da Identidade é uma reta que divide o primeiro quadrante e também o terceiro quadrante em duas partes iguais.
Funções constantes
Seja b um número real. A função constante associa a cada xєR o valor f(x)=b.
Exemplos:
1. f(x)=1
2. f(x)=-7
3. f(x)=0
O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo das abscissas (eixo horizontal).
Questão 1
Determine os zeros das funções a seguir:
a) y = 5x + 2
b) y = – 2x
c) f(x) =  x + 4
              2
Questão 2
Classifique cada uma das funções seguintes em crescente ou decrescente:
a) y = 4x + 6
b) f(x) = – x + 10
c) y = (x + 2)2 – (x – 1)2
Questão 3
(UFPI) A função real de variável real, definida por f (x) = (3 – 2a).x + 2, é crescente quando:
a) a > 0
b) a < 3/2
c) a = 3/2
d) a > 3/2
e) a < 3
Questão 4
(FGV) O gráfico da função f (x) = mx + n passa pelos pontos (– 1, 3) e (2, 7). O valor de m é:
a) 5/3
b) 4/3
c) 1
d) 3/4
e) 3/5
Questão 5
Determine a função afim f(x) = ax + b, sabendo que f(1) = 5 e f(–3) = –7.
Questão 6
Seja a função f de R em R definida por f(x) = 54x + 45, determine o valor de f(2 541) – f(2 540).
Questão 7
Uma função f é dada por f(x) = ax + b, em que a e b são números reais. Se f(–1) = 3 e f(1) = –1, determine o valor de f(3).
Questão 8
A função R(t) = at + b expressa o rendimento R, em milhares de reais, de certa aplicação. O tempo t é contado em meses, R(1) = –1 e R(2) = 1. Nessas condições, determine o rendimento obtido nessa aplicação, em quatro meses. 
Respostas
Resposta Questão 1
a) y = 5x + 2
Primeiramente, façamos y = 0, então:
5x + 2 = 0, o número 2 mudará de lado e o sinal também será mudado.
5x = – 2, o número 5 mudará de lado e realizará uma divisão.
x = – 2
        5
O zero da função y = 5x + 2 é o valor: x = – 2
                                                           5
b) y = – 2x
Façamos y = 0, então:
– 2x = 0, o número – 2 mudará de lado e realizará uma divisão. Mas como o número zero dividido por qualquer número resulta em zero, x = 0.
O zero da função y = – 2x é x = 0.
c) f(x) =  x + 4
              2
Façamos f(x) = 0, então:
x + 4 = 0, o número 4 mudará de lado e o sinal também será mudado.
2
x = - 4, o número 2 mudará de lado e realizará uma multiplicação.
2
x = (– 4) . 2
x = – 8
Portanto, o zero da função f(x) = x + 4 é dado por x = – 8.
                                            2
Resposta Questão 2
Em uma função do tipo y = ax + b, o coeficiente a de x indica se a função é crescente ou decrescente.
a) y = 4x + 6
Nessa função, a = 4 > 0, portanto, y é uma função crescente.
b) f(x) = – x + 10
Como a = – 1 < 0, f(x) é uma função decrescente.
c) y = (x + 2)2 – (x – 1)2
Nesse caso precisamos desenvolver os parênteses através dos produtos notáveis.
x2 + 4x + 4 – (x – 1)2
x2 + 4x + 4 – (x2 – 2x + 1)
x2 + 4x + 4 – x2 + 2x – 1
6x + 3
y = 6x + 3. Como a = 6 > 0, y é uma função crescente.
Resposta Questão 3
Para que a função seja crescente, é necessário que o coeficiente de x seja positivo, logo:
3 – 2a > 0
– 2a > 0 – 3
(– 1). (– 2a) > (– 3). (– 1)
2a < 3
a < 3
      2
Portanto, a alternativa correta é a letra b.
Resposta Questão 4
O primeiro ponto que é dado é o (– 1, 3), em que o valor de x é – 1 e o valor de f(x) é 3. Substituindo esses valores na função, temos:
f (x) = mx + n
3 = m.(– 1) + n
n = 3 + m
Vamos também substituir o segundo ponto (2, 7) na função, sendo que x vale 2 e f(x) vale 7:
f (x) = mx + n
7 = m.2 + n
n = 7 – 2m
Nas duas substituições feitas, encontramos dois valores para n. Se igualarmos essas duas equações, teremos:
3 + m = 7 – 2m
m + 2m = 7 – 3
3m = 4
m = 4
       3
A alternativa correta é a letra b.
Resposta Questão 5
f(1) = 5
f(1) = a * 1 + b
5 = a + b
a + b = 5
f(–3) = –7
f(–3) = a * (–3) + b
f(–3) = –3a + b
–3a + b = –7
Sistema de equações
Isolando a na 1º equação
a + b = 5
a = 5 – b
Substituindo o valor de a na 2º equação 
–3a + b = –7
–3 * (5 – b) + b = –7
–15 + 3b + b = –7
4b = –7 + 15
4b = 8
b = 2 
Substituindo o valor de b na 1º equação
a = 5 – b
a = 5 – 2
a = 3
A função será definida pela seguinte lei de formação: f(x) = 3x + 2.
Resposta Questão 6
f(2 541) = 54 * 2 541 + 45
f(2 541) =  137 214 + 45
f(2 541) = 137 259
f(2 540) = 54 * 2 540 + 45
f(2 540) = 137 160 + 45
f(2 540) = 137 205
f(2 541) – f(2 540) → 137 259 – 137 205 → 54
A diferença será igual a 54.
 
Resposta Questão 7
f(x) = ax + b
f(–1) = 3
f(–1) = a * (–1) + b
3 = – a + b
f(1) = –1
f(1) = a * 1 + b
–1 = a + b
Sistema de equações
Isolando b na 1ª equação
–a + b = 3
b = 3 + a
Substituindo o valor de b na 2ª equação
a + b = –1
a + 3 + a = –1
2a = –1 – 3
2a = –4
a = – 2
Substituindo o valor de a na 1ª equação
b = 3 + a
b = 3 – 2
b = 1
A função será dada pela expressão f(x) = – 2x + 1. O valor f(3) será igual a:
f(3) = –2 * 3 + 1
f(3) = – 6 + 1
f(3) =  – 5
O valor de f(3) na função f(x) = – 2x + 1 é igual a –5.
Resposta Questão 8
R(1) = –1
R(1) = a * 1 + b
–1 = a + b
a + b = –1
R(2) = 1
R(2) = a * 2 + b
1 = 2a + b
2a + b = 1
Sistema de equações
 Isolando b na 1ª equação
a + b = –1
b = –1 – a
Substituindo o valor de b na 2ª equação
2a + b = 1
2a + (–1 – a) = 1
2a – 1 – a = 1
a = 1 + 1
a = 2
 Substituindo o valor de a na 1ª equação
b = – 1 – a
b = –1 – 2
b = –3
A função será dada pela seguinte lei de formação: R(t) = 2t – 3.
Fazendo f(4), temos:
R(t) = 2 * 4 – 3
R(t) = 8 – 3
R(t) = 5
 O rendimento obtido nessa aplicação será de R$ 5 000,00. 
Funções quadráticas ou do 2º grau
Sejam a, b e c números reais, com a não nulo. A função quadrática é uma função f:R→R que para cada x em R, f(x)=ax²+bx+c.
Exemplos:
1. f(x)=x²
2. f(x)=-4 x²
3. f(x)=x²-4x+3
4. f(x)=-x²+2x+7
O gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada parábola.
Domínio, contradomínio e imagem de uma função
Como nem toda relação é uma função, às vezes, alguns elementos poderão não ter correspondentes associados para todos os números reais e para evitar problemas como estes, costuma-se definir o Domínio de uma função f, denotado por Dom(f), como o conjunto onde esta relação f tem significado.
Consideremos a função real que calcula a raiz quadrada de um número real. Deve estar claro que a raiz quadrada de -1 não é um número real, assim como não são reais as raízes quadradas de quaisquer números negativos, dessa forma o domínio desta função só poderá ser o intervalo [0, ∞), onde a raiz quadrada tem sentido sobre os reais.
Como nem todos os elementos do contradomínio de uma função f estão relacionados, define-se a Imagem de f, denotada por Im(f), como o conjunto de todos os elementos do contradomínio que estão relacionados com elementos do domínio de f, isto é:
Im(f) = { y em B: existe x em A tal que y=f(x) }
Observe que, se uma relação R é uma função de A em B, então A é o domínio e B é o contradomínio da função e se x é um elemento do domínio de uma função f, então a imagem de x é denotada por f(x).
Exemplos: Cada função abaixo, tem características distintas.
1. f:R→R definida por f(x)=x²
Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f)=[0,∞)
2. f:[0,2]→ R definida por f(x)=x²
Dom(f)=[0,2], CoDom(f)=R e Im(f)=[0,4]
3. A função modular é definida por f:R→R tal que f(x)=|x|, Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f)=[0, ∞) e seu gráfico é dado por:
1. Uma semi-circunferência é dada pela função real f:R→R, definida por
Dom(f)=[-2,2], CoDom(f)=R, Im(f)=[0,2] e seu gráfico é dado por:
A função quadrática (Parábola)
A função quadrática f:R->R é definida por
f(x)=ax²+bx+c
onde a, b e c são constantes reais, sendo que Dom(f)=R, Im(f)=R. Esta função também é denominada função trinômia do segundo grau, uma vez que a expressão
a x² + b x + c = 0
representa uma equação trinômia do segundo grau ou simplesmente uma equação do segundo grau. O gráfico cartesiano desta função polinomial do segundo grau é uma curva plana denominada parábola.
Aplicações práticas das parábolas
Dentre as dezenas de aplicações da parábola a situações da vida, as mais importantes são:
Faróis de carros: Se colocarmos uma lâmpada no foco de um espelho com a superfície parabólica e esta lâmpada emitir um conjunto de raios luminosos que venham a refletir sobreo espelho parabólico do farol, os raios refletidos sairão todos paralelamente ao eixo que contem o "foco" e o vértice da superfície parabólica. Esta é uma propriedade geométrica importante ligada à Ótica, que permite valorizar bastante o conceito de parábola no âmbito do Ensino Fundamental.
Antenas parabólicas: Se um satélite artificial colocado em uma órbita geoestacionária emite um conjunto de ondas eletromagnéticas, estas poderão ser captadas pela sua antena parabólica , uma vez que o feixe de raios atingirá a sua antena que tem formato parabólico e ocorrerá a reflexão desses raios exatamente para um único lugar, denominado o foco da parábola, onde estará um aparelho de receptor que converterá as ondas eletromagnéticas em um sinal que a sua TV poderá transformar em ondas que por sua vez significarão filmes, jornais e outros programas que você assiste normalmente.
Radares: Os radares usam as propriedades óticas da parábola, similares às citadas anteriormente para a antena parabólica e para os faróis.
Lançamentos de projéteis: Ao lançar um objeto no espaço (dardo, pedra, tiro de canhão) visando alcançar a maior distância possível tanto na horizontal como na vertical, a curva descrita pelo objeto é aproximadamente uma parábola, se considerarmos que a resistência do ar não existe ou é pequena.
Sob estas circunstâncias o ângulo de maior alcance horizontal é de 45 graus.
O sinal do coeficiente do termo dominante
O sinal do coeficiente do termo dominante desta função polinomial indica a concavidade da parábola ("boca aberta"). Se a>0 então a concavidade estará voltada para cima e se a<0 estará voltada para baixo.
Exemplo: A parábola, que é o gráfico da função f(x)=x²+2x-3, pode ser vista no desenho.
O modo de construir esta parábola é atribuir valores para x e obter os respectivos valores para f(x). A tabela a seguir mostra alguns pares ordenados de pontos do plano cartesiano onde a curva deverá passar:
	x
	-3
	-2
	-1
	0
	1
	2
	f(x)
	0
	-3
	-4
	-3
	0
	5
Como a>0, a concavidade ("boca") da nossa parábola estará voltada para cima.
Exemplo: Construir a parábola f(x)=-x²+2x-3.
Este exemplo é análogo ao anterior, só que nesse caso, a<0, logo sua concavidade será voltada para baixo. A diferença entre esta parábola e a do exemplo anterior é que, houve a mudança do sinal do coeficiente do termo dominante. A construção da tabela nos dá:
	x
	-1
	0
	1
	2
	3
	f(x)
	-6
	-3
	-2
	-3
	-6
Relacionamento entre o discriminante e a concavidade
Podemos construir uma tabela que relaciona o sinal do discriminante com o sinal do coeficiente do termo dominante da função polinomial.
	Delta
	A parábola no plano cartesiano
	a>0 
concavidade
(boca) para cima
	a<0 
concavidade
(boca) para baixo
	Δ > 0
	Corta o eixo horizontal em 2 pontos
	
	
	Δ = 0
	Toca em 1 ponto do eixo horizontal
	
	
	Δ < 0
	Não corta o eixo horizontal
	
	
Exercícios: Construir o gráfico cartesiano de cada uma das funções do segundo grau:
a. f(x) = x²-3x-4
b. f(x) = -3x²+5x-8
c. f(x) = 4x²-4x+1
Máximos e mínimos com funções quadráticas
Existem muitas aplicações para a função quadrática e uma delas está relacionada com a questão de máximos e mínimos.
Exemplo: Determinar o retângulo de maior área que é possível construir se o seu perímetro mede 36 m.
Solução: Se x é a medida do comprimento e y é a medida da largura, a área será dada por: A(x,y)=xy, mas acontece que 2x+2y=36 ou seja x+y=18, assim:
A(x) = x(18-x)
Esta parábola corta o eixo OX nos pontos x=0 e x=18 e o ponto de máximo dessa curva ocorre no ponto médio entre x=0 e x=18, logo, o ponto de máximo desta curva ocorre em x=9. Observamos que este não é um retângulo qualquer mas é um quadrado pois x=y=9 e a área máxima será A=81m²
Ponto Crítico
Este ponto é o qual a parábola inverte seu sentido, de crescente para decrescente ou vice-versa, a ele chamamos de Vértice. O Vértice como qualquer outro ponto possui coordenadas tanto em x como em y, no caso P(Xv, Yv)
Funções cúbicas
Sejam a, b, c e d números reais, sendo a diferente de zero. A função cúbica é uma função f:R→R que para cada x em R, associa f(x)=ax³+bx²+cx+d.
Exemplos:
1. f(x)=x³
2. f(x)=-4x³
3. f(x)=2x³+x²-4x+3
4. f(x)=-7x³+x²+2x+7
O gráfico da função cúbica do item (a), se assemelha a uma parábola tanto no primeiro como no terceiro quadrante, mas no primeiro os valores de f(x) são positivos e no terceiro os valores de f(x) são negativos.
Funções Polinomiais
Uma função polinomial real tem a forma
f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + ao
sendo Dom(f)=R, CD(f)=R e Im(f) dependente de f.
Observação: A área de um quadrado pode ser representada pela função real f(x)=x² onde x é a medida do lado do quadrado e o volume de um cubo pode ser dado pela função real f(x)=x³ onde x é a medida da aresta do cubo. Esta é a razão pela qual associamos as palavras quadrado e cubo às funções com as potências 2 e 3.
Aplicação: As funções polinomiais são muito úteis na vida. Uma aplicação simples pode ser realizada quando se pretende obter o volume de uma caixa (sem tampa) na forma de paralelepípedo que se pode construir com uma chapa metálica quadrada com 20 cm de lado, com a retirada de pequenos quadrados de lado igual a x nos quatro cantos da chapa. Concluímos que V(x)=(20-2x)x² e com esta função é possível obter valores ótimos para construir a caixa.
Questão 1
Encontre o valor de f(x) = x² + 3x – 10 para que f(x) = 0
Questão 2
Calcule o valor de 5x² + 15x = 0 para que f(x) = 0
Questão 3
(UfSCar–SP) Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = – 2t² + 8t (t ≥ 0) , onde t é o tempo medido em segundo e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Determine, após o chute:
a) o instante em que a bola retornará ao solo.
b) a altura atingida pela bola.
Questão 4
Determine x pertence aos reais tal que (x² – 100x)².(x² – 101x + 100)² = 0.
Questão 5
Calcule o valor de k de modo que a função f(x) = 4x² – 4x – k não tenha raízes, isto é, o gráfico da parábola não possui ponto em comum com o eixo x.
Questão 6
Determine os valores de m, para que a função f(x) = (m – 2)x² – 2x + 6 admita raízes reais.
Questão 7
O gráfico da função quadrática definida por y = x² – mx + (m – 1), em que m Є R, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Determine y associado ao valor de x = 2.
Questão 8
Determine os pontos de intersecção da parábola da função f(x) = 2x² – 3x + 1, com o eixo das abscissas.
Questão 9
Uma indústria produz, por dia, x unidades de determinado produto, e pode vender tudo o que produzir a um preço de R$ 100,00 a unidade. Se x unidades são produzidas a cada dia, o custo total, em reais, da produção diária é igual a x² + 20x + 700. Portanto, para que a indústria tenha lucro diário de R$ 900,00, qual deve ser o número de unidades produzidas e vendidas por dia? 
Questão 10
Um fabricante vende mensalmente c unidades de um determinado artigo por V(x) = x² – x, sendo o custo da produção dado por C(x) = 2x² – 7x + 8. Quantas unidades devem ser vendidas mensalmente, de modo que se obtenha o lucro máximo? 
Questão 11
Uma bola é largada do alto de um edifício e cai em direção ao solo. Sua altura h em relação ao solo, t segundos após o lançamento, é dada pela expressão h = –25t² + 625. Após quantos segundos do lançamento a bola atingirá o solo?
Questão 12
A trajetória de um projétil foi representada no plano cartesiano por  com uma unidade representando um quilômetro. Determine a altura máxima que o projétil atingiu.
Respostas
Resposta Questão 1
Os coeficientes dessa função são: a = 1, b = 3 e c = – 10. Para resolver essa equação, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:
Δ = b² – 4.a.c
Δ = 3² – 4.1.(– 10)
Δ = 9 + 40
Δ = 49
x = – b ± √Δ
        2.a
x = – 3 ± √49
           2.1
x = – 3 ± 7
      2
x1 = – 3 + 7
        2
x1 = 4
        2
x1 = 2
x2 = – 3 – 7
         2
x2 = – 10
        2
x2 = – 5
Os dois valores de x para que f(x) = 0 são x1 = 2 e x2 = – 5.
Resposta Questão 2
Vamos resolver essa função do 2° grau isolandoa variável x:
5x² + 15x = 0
5x.(x + 3) = 0
x1 = 0
x2 + 3 = 0
x2 = – 3
Portanto, os valores de x para os quais f(x) = 0 são 0 e – 3.
Resposta Questão 3
a) Houve dois momentos em que a bola tocou o chão: o primeiro foi antes de ela ser chutada e o segundo foi quando ela terminou sua trajetória e retornou para o chão. Em ambos os momentos a altura h(t) era igual a zero, sendo assim:
h(t) = – 2t² + 8t
0 = – 2t² + 8t
2t² – 8t = 0
2t.(t – 4) = 0
t' = 0
t'' – 4 = 0
t'' = 4
Portanto, o segundo momento em que a bola tocou no chão foi no instante de quatro segundos.
b) A altura máxima atingida pela bola é dada pelo vértice da parábola. As coordenadas do seu vértice podem ser encontradas através de:
xv = – b
          2a
yv = – Δ
        4a
No caso apresentado, é interessante encontrar apenas yv:
yv = – Δ
        4a
yv = – (b² – 4.a.c)
        4a
yv = – (8² – 4.2.0)
          4.(– 2)
yv = – (64 – 0)
          – 8
yv = 8
Portanto, a altura máxima atingida pela bola foi de 8 metros.
Resposta Questão 4
Devemos encontrar as raízes de cada equação dentro dos parênteses. Para isso, vamos resolver a primeira equação colocando x em evidência:
x² – 100x = 0
x(x – 100) = 0
x1 = 0
x2 – 100 = 0
x2 = 100
A segunda equação pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara:
x² – 101x + 100 = 0
Δ = b² – 4.a.c
Δ = (– 101)² – 4.1.100
Δ = 10201 – 400
Δ = 9801
x = – b ± √Δ
      2.a
x = – (– 101) ± √9801
         2.1
x = 101 ± 99
            2
x3 = 101 + 99
            2
x3 = 200
        2
x3 = 100
x4 = 101 – 99
             2
x4 = 2
        2
x4 = 1
Os valores de x que satisfazem a equação são 0, 1 e 100.
Resposta Questão 5
∆ < 0
b² – 4ac < 0
(–4)² – 4 * 4 * (–k) < 0
16 + 16k < 0
16k < – 16
k < –1
O valor de k para que a função não tenha raízes reais deve ser menor que – 1.
Resposta Questão 6
Para essa situação temos que ∆ ≥ 0.
∆ ≥ 0
b² – 4ac ≥ 0
(–2)² – 4 * (m – 2) * 6 ≥ 0
4 – 4 * (6m – 12) ≥ 0
4 – 24m + 48 ≥ 0
– 24m ≥ – 48 – 4
– 24m ≥ – 52
24m ≤ 52
m ≤ 52/24
m ≤ 13/6
O valor de m que satisfaça a condição exigida é m ≤ 13/6.
 
Resposta Questão 7
Um ponto em comum significa dizer uma única raiz, então ∆ = 0.
y = x² – mx + (m – 1)
Substituir m = 2, no intuito de obter a lei da função
y = x² – 2x + (2 – 1)
y = x² – 2x +1
Substituindo x = 2, para determinarmos o valor de y
y = 2² – 2 * 2 + 1
y = 4 – 4 + 1
y = 1
Temos que a equação possui a lei de formação y = x² – 2x +1. E quando x = 2, o valor de y se torna igual a 1.
 
Resposta Questão 8
No instante em que a parábola cruza o eixo das abscissas o valo de y ou f(x) é igual a zero. Portanto:
f(x) = 0
2x² – 3x + 1 = 0
Os pontos de interseção são:
x = 1 e y = 0
x = 1/2 e y = 0
Resposta Questão 9
Função Receita
y = 100 * x
Função Custo
y = x² + 20x + 700
Função Lucro = Receita – Custo
y = 100x – (x² + 20x + 700)
y = 100x – x² – 20x – 700
y = –x² + 80x – 700
Lucro diário de R$ 900,00
–x² + 80x – 700 = 900
–x² + 80x –700 – 900 = 0
–x² + 80x – 1600 = 0
Vamos utilizar Xv na determinação da quantidade de produtos a serem produzidos e vendidos visando o lucro diário de R$ 900,00.
A empresa deverá produzir e vender a quantidade de 40 produtos. 
Resposta Questão 10
L(x) = V(x) – C(x)
L(x) = x² – x – (2x² – 7x + 8)
L(x) = x² – x – 2x² + 7x – 8
L(x) = –x² + 6x – 8 
Aplicando Xv
A empresa deverá vender mensalmente 3 unidades do produto.
Resposta Questão 11
Quando a bola atingir o solo, sua posição será igual a zero, então:
h = 0
0 = –25t² + 625
25t² = 625
t² = 625 / 25
t² = 25
√t² = √25
t = 5
A bola levará 5 segundos para atingir o solo.
Resposta Questão 12
Vamos calcular a altura máxima através da fórmula do yv.
A altura máxima atingida pelo projétil foi de 62,5 metros.
A função exponencial
Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em expoente.
	A função f:IRIR+ definida por f(x)=ax, com a IR+ e a1, é chamada função exponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos, maiores que zero).
Temos 2 casos a considerar:
	 quando a>1;
	 quando 0<a<1.
	
Acompanhe os exemplos seguintes:
1. a>1
y=2x (nesse caso, a=2, logo a>1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:
	x
	-2
	-1
	0
	1
	2
	y
	1/4
	1/2
	1
	2
	4
2. 0<a<1
y=(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:
	x
	-2
	-1
	0
	1
	2
	y
	4
	2
	1
	1/2
	1/4
Nos dois exemplos, podemos observar que
a) o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes;
b) o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1);
c) os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é Im=IR+.
Além disso, podemos estabelecer o seguinte:
	a>1
	0<a<1
	
f(x) é crescente e Im=IR+
Para quaisquer x1 e x2 do domínio:
x2>x1 y2>y1 (as desigualdades têm mesmo sentido)
	
f(x) é decrescente e Im=IR+
Para quaisquer x1 e x2 do domínio:
x2>x1 y2<y1 (as desigualdades têm sentidos diferentes)
Leis dos expoentes
Se x e y são números reais, a e b são números reais positivos, então:
1. axay=ax+y
2. ax/ay=ax-y
3. (ax) y=ax.y
4. (a b)x=axbx
5. (a/b)x=ax/bx
6. a-x=1/ax
Exemplo 1
(Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0 * 2 –0,2t, em que v0 é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.
Temos que v(10) = 12 000, então:
v(10) = v0 * 2 –0,2*10
12 000 = v0 * 2 –2
12 000 = v0 * 1/4
12 000 : 1/ 4 = v0
v0 = 12 000 * 4
v0 = 48 000
A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.
Exemplo 2
(EU-PI) Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,0320 = 1,80.
Temos a seguinte função exponencial
P(x) = P0 * (1 + i)t
P(x) = 500 * (1 + 0,03)20
P(x) = 500 * 1,0320
P(x) = 500 * 1,80
P(x) = 900
O PIB do país no ano de 2023 será igual a R$ 900 bilhões.
Para resolver inequações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes:
1º) redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base;
2º) aplicação da propriedade: 
	a>1
	0<a<1
	am > an m>n
(as desigualdades têm mesmo sentido)
	am > an m<n
(as desigualdades têm sentidos diferentes)
Exemplos de equações exponenciais:
1) 3x =81 → 3x =34 (a solução é x=4)
2) 2x-5=16 → 2x-5=24 (a solução é x=9)
3) [16x-42x-1-10=22x-1][footnoteRef:1] (a solução é x=1) [1: Esse tipo de equação será realizado nos exercícios resolvidos.] 
4) [32x-1-3x-3x-1+1=0][footnoteRef:2] (as soluções são x’=0 e x’’=1) [2: Esse tipo de equação será realizado nos exercícios resolvidos.] 
A função exponencial natural é a função exp: R→R+, definida como a inversa da função logaritmo natural, isto é:
Ln[exp(x)]=x,    exp[Ln(x)]=x
O gráfico da função exponencial é obtido pela reflexão do gráfico da função Logaritmo natural em relação à identidade dada pela reta y=x.
Inequações Exponenciais 
Chamamos de inequações exponenciais toda inequação na qual a incógnita aparece em expoente.
Para resolver inequações exponenciais, devemos realizar os mesmos dois passos importantes da equação:
1º) redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base;
2º) aplicação da propriedade
Antes de resolver uma inequação exponencial, deve-se observar a situação das bases nos dois membros, caso as bases sejam diferentes, reduza-as a uma mesma base e, em seguida, forme uma inequação com os expoentes. Atente-se as regras dos sinais:
Caso a > 1, mantenha o sinal original.
Caso 0 < a < 1, inverta o sinal.
Essas regras serão mais bem visualizadas nas resoluções que se seguem. Vamos resolveros exemplos das inequações anteriores.
Exemplos
· 2x ≥ 128
Por fatoração, 128 = 27. Portanto:
2x ≥ 27  → como as bases são iguais e a > 1, basta formar uma inequação com os expoentes.
x ≥ 7
S = {x ∈ R | x ≥ 7}
· 4x + 4 > 5 . 2x
Perceba que, por fatoração, 4x = 22x e 22x é o mesmo que (2x)². Reescrevendo a inequação, temos:
(2x)² + 4 > 5 . 2x
Chamando 2x de t, para facilitar a resolução, ficamos com:
t2 + 4 > 5t
t2 – 5t + 4 > 0
Aqui temos uma inequação de 2º grau, onde deve ser feito o estudo dos sinais. Não vamos mostrar o processo de resolução da inequação de 2º grau, visto que o texto trata das exponenciais. Fica como sugestão de exercícios para os leitores.
Ao resolver, você encontrará D = 9, t1 = 1 e t2 = 4. Como a > 0, a concavidade da parábola ficará para cima. Isso significa que, como estamos procurando valores que tornem a inequação positiva, ficamos com:
t < 1 ou t > 4.
Retornando à variável inicial:
t = 2x
2x < 1               →  x < 0                 →          lembre-se que todo número elevado a 1 é igual ao próprio número, e que todo número elevado a zero é igual a 1.
2x > 4               → 2x > 22              →          x > 2.
S = {x ∈ R | x < 0 ou x > 2}
Questão 1
Se x é um número real, resolva a equação exponencial 32x + 3x + 1 = 18:
Questão 2
Resolva a equação exponencial:
– 5x – 1 – 5x + 5x + 2 = 119
Questão 3
(UFJF) Dada a equação 23x – 2 · 8x + 1 = 4x – 1, podemos afirmar que sua solução é um número:
a) natural.
b) maior do que 1.
c) de módulo maior do que 1.
d) par.
e) de módulo menor do que 1.
Questão 4
(Mackenzie – SP) A soma das raízes da equação 22x + 1 – 2x + 4 = 2x + 2 – 32 é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 6
e) 7
Questão 5
(Mack – SP) Dadas as funções f(x) = 2 x² – 4 e g(x) = 4 x² – 2x, se x satisfaz f(x) = g(x), então 2x é:
a) ¼
b) 1
c) 8
d) 4
e) ½
Questão 6
(Uepg – PR) Dadas as funções definidas por f(x) = (4/5)x e g(x) = (5/4)x, é correto afirmar:
(01) Os gráficos de f(x) e g(x) não se interceptam.
(02) f(x) é crescente e g(x) é decrescente.
(04) g(– 2) . f(– 1) = f(1)
(08) f [g(0)] = f(1)
(16) f(– 1) + g(1) = 
Questão 7
Na função exponencial a seguir, calcule o valor de k. Considere uma função crescente.
g(x) = (3k + 16)x
Questão 8
Considerando que f(x) = 49x, determine o valor de f(1,5).
Questão 9
Seja f : R → R uma função definida por f(x) = a * 3bx, em que a e b são constantes reais. Dado que f(0) = 900 e f(10) = 300, calcule k tal que f(k) = 100.
Questão 10
Em determinadas condições, o número de bactérias de uma cultura cresce em função do tempo, obedecendo à seguinte função  . Considerando t medido em horas, determine a quantidade de bactérias nessa colônia após 2 dias.
Questão 11
(Fatec-SP - Adaptada) Suponhamos que a população de uma certa cidade seja estimada, para daqui a x anos, por . Determine a população referente ao terceiro ano.
Questão 12
(PUCC-SP) Numa certa cidade, o número de habitantes, num raio de r jm a partir do seu centro é dado por P(r) = k * 23r, em que k é constante e r > 0. Se há 98 304 habitantes num raio de 5 km do centro, quantos habitantes há num raio de 3 km do centro?
Respostas
Resposta Questão 1
Para resolver a equação exponencial 32x + 3x + 1 = 18, reescreveremos como produto de potências aquelas potências cujo expoente possui somas.
32x + 3x + 1 = 18
(3x)2 + 3x · 31= 18
Tome y = 3x. Temos a seguinte equação em função de y:
y2 + y · 31= 18
y2 + 3y – 18 = 0
Vamos então resolver essa equação do 2° grau pela fórmula de Bhaskara:
Δ = b² – 4.a.c
Δ = 3² – 4.1.(– 18)
Δ = 9 + 72
Δ = 81
y = – b ± √Δ
 2.a
y = – 3 ± √81
      2.1
y = – 3 ± 9
       2
	y1 = – 3 + 9
        2
y1 = 6
        2
y1 = 3
	y2 = – 3 – 9
       2
y2 = – 12
        2
y2 = – 6
Voltando à equação y = 3x, temos:
	Para y1 = 3
3x = y
3x = 3
x1 = 1
	Para y2 = – 6
3x = y
3x = – 6
x2 = Ø
Há, portanto, um único valor real para x. A solução da equação é x = 1.
Resposta Questão 2
Como temos na equação a adição e a subtração de potências, não podemos escrever o primeiro membro como uma só potência, mas podemos desmembrar as potências na maior quantidade possível. Isso corresponde a escrever a equação da seguinte forma:
– 5x – 1 – 5x + 5x + 2 =
– 5x · 5– 1 – 5x + 5x · 52 =
Colocando o termo 5x em evidência, temos:
5x · (– 5– 1 – 1 + 52) =
5x · (– 1/5 – 1 + 25) =
5x∙=119
5x=119∙
5x = 5
x = 1
Portanto, a solução da equação exponencial – 5x – 1 – 5x + 5x + 2 = 119 é x = 1.
Resposta Questão 3
A fim de facilitar a resolução da equação exponencial 23x – 2 · 8x + 1 = 4x – 1, vamos reescrever todas as potências na base 2. A saber, temos: 4 = 22 e 8 = 23. Substituindo na equação:
23x – 2 · 8x + 1 = 4x – 1
23x – 2 · (23)x + 1 = (22)x – 1
23x – 2 · 23(x + 1) = 22(x – 1)
23x – 2 · 23x + 3 = 22x – 2
2(3x – 2 ) + (3x + 3) = 22x – 2
Como temos uma equação exponencial que apresenta potências de mesma base nos dois lados da equação, podemos igualar os expoentes:
(3x – 2) + (3x + 3) = 2x – 2
6x + 1 = 2x – 2
6x – 2x = – 2 – 1
4x = – 3
x = – 3
 4
|x| = ¾
Portanto, a alternativa que classifica corretamente o resultado da equação é a letra e, que afirma que x é um número de módulo menor do que 1.
Resposta Questão 4
Para resolver a equação exponencial 22x + 1 – 2x + 4 = 2x + 2 – 32, começaremos separando as potências que apresentam somas no expoente, escrevendo-as como produto de potências.
22x + 1 – 2x + 4 = 2x + 2 – 32
2x · 2x · 21 – 2x · 24 = 2x · 22 – 32
Façamos 2x = y→
y · y · 21 – y · 24 = y · 22 – 32
y2 · 21 – y · 16 = y · 4 – 32
2y2 – 16y – 4y + 32 = 0
2y2 – 20y + 32 = 0
Chegamos a uma equação do 2° grau, que pode ser resolvida fórmula de Bhaskara. A fim de trabalhar com números menores, podemos dividir toda a equação por 2, sem prejuízo no resultado final.
y2 – 10y + 16 = 0
Δ = b² – 4.a.c
Δ = (– 10)² – 4.1.16
Δ = 100 – 64
Δ = 36
y = – b ± √Δ
 2.a
y = – (– 10) ± √36
 2.1
y = 10 ± 6
 2
	y1 = 10 + 6
 2
y1 = 16
 2
y1 = 8
	y2 = 10 – 6
 2
y2 = 4
 2
y2 = 2
Agora que encontramos os possíveis valores de y, podemos resolver a equação exponencial que criamos no início do exercício:
	Para y1 = 8
2x = y
2x = 8
2x = 23
x1 = 3
	Para y2 = 2
2x = y
2x = 2
2x = 21
x2 = 1
O enunciado pediu a soma das raízes da equação exponencial. Como as raízes são x1 = 3 e x2= 1, então a soma é x1 + x2 = 3 + 1 = 4. Portanto, a alternativa correta é a letra c. 
Resposta Questão 5
Como queremos que x satisfaça a igualdade f(x) = g(x), vamos substituir cada uma das funções na igualdade:
f(x) = g(x)
2 x² – 4 = 4 x² – 2x
Utilizando as propriedades de potenciação, podemos reescrever o segundo membro da equação:
2 x² – 4 = (22)x² – 2x
2 x² – 4 = 22(x² – 2x)
2 x² – 4 = 22x² – 4x
Fazendo uso do princípio básico de resolução de equação exponencial, se as bases são iguais, podemos estabelecer uma nova igualdade apenas com os expoentes. Teremos então:
x² – 4 = 2x² – 4x
x² – 4x + 4 = 0
Utilizando a Fórmula de Bhaskara, faremos:
∆ = b² – 4.a.c
∆ = (– 4)² – 4.1.4
∆ = 16 – 16
∆ = 0
x = – b ± √∆
      2.a
x = – (– 4) ± √0
     2.1
x = 4 ± 0
​     2
x = 2
O exercício pede que encontremos o valor de 2x, como x = 2, temos que 2x = 22 = 4. Portanto, a alternativa correta é a letra d.
Resposta Questão 6
Para resolver questões desse tipo, nós devemos verificar se cada afirmativa é verdadeira. Feito isso, nós somamos os números das afirmativas corretas. Vamos então analisar cada uma das afirmativas propostas:
(01) Os gráficos de f(x) e g(x) não se interceptam.
Precisamos saber se existe algum valor de f(x) que seja igual ao de g(x). Devemos então ter algum valor de x para que a igualdade a seguir seja verdadeira:
f (x) = g (x)
x = – x
O único valor em que temos x = – x é x = 0. Sendo assim:
f(0) = 1
g(0) = 1
As duas funções interceptam-se quando x = 0. Portanto, a afirmativa é falsa.
(02) f(x) é crescente e g(x) é decrescente.
Para saber se a função logarítmica é crescente ou decrescente, devemos analisar a base da potência. Se ela for maior do que 1, então a função será crescente; se for algum valor entre 0e 1, a função será decrescente. A base da função f(x) é 4/5, valor que equivale ao decimal 0,8, o que nos garante que a função f(x) é decrescente. Já a base da função g(x) é 5/4, que corresponde ao decimal 1,25, através disso afirmamos que a função g(x) é crescente. Essas análises contrariam a afirmativa, portanto, ela é falsa.
(04) g(– 2) . f(– 1) = f(1)
Substituindo cada valor nas funções, temos:
g(– 2) . f(– 1) = f(1)
Essa afirmativa é verdadeira.
(08) f [g(0)] = f(1)
Nesse caso, estamos lidando com uma função composta. Primeiramente, precisamos verificar o valor de g(0), temos então:
g(0) = 1
Sendo assim:
f [g(0)] = f [1] = f(1)
Portanto, a afirmativa é verdadeira.
(16) f(– 1) + g(1) = 
Vamos substituir os valores de x nessas funções para calcular o valor da soma
f(– 1) + g(1) =  + 
f(– 1) + g(1) = = 
Essa afirmativa também é verdadeira.
Somando os números correspondentes às afirmativas verdadeiras, temos: 04 + 08 + 16 = 28.
Resposta Questão 7
Para que a função seja crescente, é necessário que o valor da base seja maior do que 1. Faremos então:
3k + 16 > 1
3k > 1 – 16
3k > – 15
3k > – 15
k > 
k> – 5
Então a função g(x) = (3k + 16)x é crescente para k > – 5.
Resposta Questão 8
Para facilitar os cálculos na resolução desse exercício, vamos escrever o 1,5 como fração, isto é:
1,5 =  = 
Vamos então calcular f(1,5):
f(1,5) = 491.5
f(1,5) = 493/2
Por conveniência, vamos aplicar as propriedades de potenciação e escrever49 como 72. Temos então:
f(1,5) = √493
f(1,5) = √(72)3
f(2,5) = √76
f(1,5) = √(73)2
f(1,5) = 73
f(1,5) = 343
Portanto, para x = 1,5, a função vale 343.
Resposta Questão 9
f(0) = 900
f(x) = a * 3bx
f(0) = a * 3b*0
900 = a * 1
900 = a
a = 900
f(10) = 300
f(x) = a * 3bx
f(10) = a * 310b
300 = 900 * 310b
300/900 = 310b
1/3 = 310b
3–1 = 310b
10b = – 1
b = –1/10
b = – 0,1
f(k) = 100
f(x) = a * 3bx
f(k) = 900 * 3–0,1k
100 = 900 * 3–0,1k
100/900 = 3–0,1k
1/9 = 3–0,1k
9–1 = 3–0,1k
3–2 = 3–0,1k
–0,1k = – 2
0,1k = 2
k = 20
O valor de k na função exponencial de acordo com as condições fornecidas é 20.
Resposta Questão 10
2 dias = 48 horas
Após dois dias a colônia terá 6561 bactérias.
Resposta Questão 11
A população referente ao 3 ano é de 19 875 habitantes. 
Resposta Questão 12
P(r) = k * 23r
98 304 = k * 2 3*5
98 304 = k * 215
98 304 = k * 32 768
k =98 304 / 32 768
k = 3
Calculando o número de habitantes num raio de  3 km
P (r) = k * 23r
P (3) = 3 * 23*3
P (3) = 3 * 29
P (3) = 3 * 512
P(3) = 1536
O número de habitantes num raio de 3 km é igual a 1536.
Definição de Logaritmo
Na matemática, o logaritmo (do grego: logos= razão e arithmos= número), de base b, maior que zero e diferente de 1, é uma função que faz corresponder aos objetos x a imagem y tal que:
Se by=x dizemos que logb x = y.
Por exemplo:  portanto . Em termos sim-ples o logaritmo é o expoente que uma dada base deve ter para produzir certa potência. No último exemplo o logaritmo de 81 na base 3 é 4, pois 4 é o expoente que a base 3 deve usar para resultar 81. 
Log b a=x sendo que bx = a
Log3 81=4
Existem ainda dois tipos diferentes de logaritmos:
Antilogaritmo é definido por:
Antilogba = x  sendo que b a= x
Ex.: Antilog3 4=81
Cologaritmo é definido por:
CoLog b a= - Log b a
Ex.: Colog3 4= - Log3 4
Propriedades do Logaritmo
Utilizando a notação dos logaritmos também podemos representá-la assim:
Log39=2
Pela nomenclatura dos logaritmos nesta sentença temos:
Propriedades básicas dos logaritmos
1. y = loga x
2. a > 0 e a ≠ 1 (base), se a=1→ x=1
3. x > 0 (logaritmando)
Quando a base de um logaritmo tiver como base o número e (número de Euler), dizemos que este logaritmo se trata de um logaritmo neperiano ou logaritmo natural.
Loge x= Lnx
Na matemática, o número de Euler, denominado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é a base dos logaritmos naturais. As variantes do nome do número incluem: número de Napier, número de Neper1 , constante de Néper, número neperiano, constante matemática, número exponencial etc. A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi descoberta por Jakob Bernoulli, quando tentava encontrar um valor para a seguinte expressão (muito comum no cálculo de juros compostos). O valor é aproximadamente:
2,718 281 828 459 045 235 360 287
Ou simplesmente 2,7 ou 2,72
Propriedades básicas dos logaritmos naturais
1. Ln(1)=0
2. Ln(x.y)=Ln(x)+Ln(y)
3. Ln(xk)=k.Ln(x)
4. Ln(x/y)=Ln(x)-Ln(y)
Genericamente de forma simbólica temos a seguinte definição de logaritmo:
Logba=x → bx=a
Para os números reais positivos a e b, com b ≠ 1, denomina-se logaritmo de a na base b o expoente real x, tal que bx = a
Vejamos a sentença abaixo:
10³=1000
O expoente desta potência, no caso 3, é o logaritmo de 1000 que podemos representar assim:
Log101000=3
Como você já sabe, na representação de alguns símbolos matemáticos, alguma parte muito utilizada em geral é omitida. Como exemplo temos que a¹  pode, de forma simplificada, ser expresso como a, com a omissão do expoente 1.
Um outro exemplo pode ser uma raiz quadrada qualquer, que em vez de a expressarmos como, utilizamos apenas .
Ao trabalharmos com logaritmos na base 10 normalmente a omitimos, então em vez de , utilizamos , que como você pode notar, teve a base 10 omitida. Estas simplificações têm por objetivo simplificar tanto a escrita, quanto a leitura de tais símbolos, facilitando assim a compreensão de tais expressões.
Assim sendo a expressão  em geral é escrita como 
Propriedades Algébricas
Considerando a, b, c, M e N números reais positivos, com b ≠ 1 e c ≠ 1, temos as seguintes propriedades dos logaritmos:
1. logbb=1
Para qualquer logaritmo cujo logaritmando seja igual a base, o logaritmo será igual a 1.
Isto fica claro no exemplo abaixo, já que todo número real elevado a 1 é igual a ele próprio:
Log88=1 → 8¹=8
2. logb1=0
Qualquer logaritmo cujo logaritmando seja igual a 1, o logaritmo será igual a 0.
Veja abaixo um exemplo onde arbitramos 6 para um dos possíveis valores de b:
Log61=0 →60=1 
3. logb(M∙N)= logbM+ logbN
O logaritmo na base b do produto de M por N é igual à soma do logaritmo na base b de M com o logaritmo na base b de N.
Vamos tomar como exemplo o log3(9∙27).
Pela propriedade do logaritmo de um produto temos:
log3(9∙27)= log39+ log327
Como vimos acima o log39=2, pois a base 3 elevada ao expoente 2 é igual a 9: 3²=9
Claramente o log327=3, já que devemos elevar a base 3 ao expoente 3 para obtermos 27: 3³=27
Realizando a substituição destes logaritmos na expressão original temos:
log39+ log327=2+3=5
Então chegamos a:
log3243=5
O logaritmo de 243 na base 3 é igual a 5, pois este é o expoente ao qual 3 precisa ser elevado para obtermos 243.
4. logb= logbM- logbN
O logaritmo na base b do quociente de M por N é igual à diferença entre o logaritmo na base b de M e o logaritmo na base b de N.
Agora vamos utilizar o log3 neste outro exemplo.
Segundo a propriedade do quociente de um logaritmo temos:
log3=log327- log39
Já que como visto o log39=2 e log327=3 temos que:
log327- log39=3-2=1
O logaritmo de 3 na base 3 é igual a 1, já que este é o expoente ao qual a base 3 é elevada para 3 ser obtido.
5. logb(NM)= M∙logbN
Para qualquer valor real M, o logaritmo na base b da potência NM é igual ao produto do expoente M pelo logaritmo na base b de N, a base da potência.
Calculemos o logaritmo de log516625.
Ao decompormos 15625 em fatores primos iremos obter 56:
log516625=log5(56)
De acordo com a propriedade do logaritmo de uma potência temos:
log5(56)=6∙ log5(5)
O log5 5 é igual a 1, pois 51 = 5, portanto:
6∙ log5(5)=6∙1=6
O logaritmo de 15625 na base 5 é igual a 6, visto que este é o expoente ao qual 5 deve ser elevado para obtermos 15625.
6. logb()= ∙logbN
Para qualquer valor natural M, não nulo, o logaritmo na base b da raiz  é igual ao produto do inverso do índice M pelo logaritmo na base b de N, o radicando daraiz.
Vamos calcular o logaritmo da raiz cúbica de 343 na base 7.
Pela propriedade do logaritmo de uma raiz, temos que:
log7 = ∙log7 343
O log7 343 é igual a 3, pois 73 = 343, logo: 
O log7  é igual a 1, como já era de se esperar, já que 73 = 343, obviamente =7, então log7 =log77=1, pois 71 = 7.
7. logba=
Esta é uma propriedade muito importante, pois através dela podemos realizar a mudança da base de um logaritmo.
Como exemplo vamos mudar o logaritmo de log4 256 para a base 16.
Segundo a propriedade da mudança de base temos:
Log16256=
Vamos realizar a conferência deste resultado, verificando se a igualdade é verdadeira. Para isto nós sabemos que:
Log16256=2 → 16²=256
=4→44=256
=2→4²=16
Portanto, substituindo tais logaritmos confirmamos a igualdade:
Log16256==2 →=2
Graficamente temos que a função logarítmica é o inverso da exponencial, logo temos:
Como o domínio da função Logaritmo natural é o conjunto dos números reais positivos, então a imagem da função exp é o conjunto dos números reais positivos e como a imagem de Ln é o conjunto R de todos os números reais, então o domínio de exp também é o conjunto R de todos os números reais.
Observação: Através do gráfico de f(x)=exp(x), observamos que:
1. exp(x)>0 se x é real)
2. 0<exp(x)<1 se x<0
3. exp(x)=1 se x=0
4. exp(x)>1 se x>0
No Ensino Médio, a função exponencial é definida a partir da função logarítmica e ciclicamente define-se a função logarítmica em função da exponencial como:
f(x)=exp(x), se e somente se, x=Ln(y)
Exemplos:
1. Ln[exp(5)]=5
2. exp[ln(5)]=5
3. Ln[exp(x+1)1/2]=(x+1)1/2
4. exp[Ln((x+1)1/2]=(x+1)1/2
5. exp[3.Ln(x)]=exp(Ln(x³)]=x³
6. exp[k.Ln(x)]=exp[Ln(xk)]=xk
7. exp[(7(Ln(3)-Ln(4)]=exp[7(Ln(3/4))]=exp[(Ln(3/4)]7)=(3/4)7
A Constante e de Euler e seu logaritmo natural
Existe uma importantíssima constante matemática, o número e é um número irracional e positivo e em função da definição da função exponencial, temos que:
Ln(e)=1
Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), um dos primeiros a estudar as propriedades desse número.
O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais, é:
e=2,718281828459045235360287471352662497757
Conexão entre o número e e a função exponencial
Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita como a potência de base e com expoente x, isto é:
ex = exp(x)
Significado geométrico de e
Tomando um ponto v do eixo OX, com v>1 tal que a área da região do primeiro quadrante localizada sob a curva y=1/x e entre as retas x=1 e x=v seja unitária, então o valor de v será igual a e.
O logaritmo natural (ou neperiano) de u, muitas vezes, denotado por Ln(u), pode ser definido do ponto de vista geométrico, como a área da região plana localizada sob o gráfico da curva y=1/x, acima do eixo y=0, entre as retas x=1 e x=u, que está no desenho colorido de vermelho.
A área em vermelho representa o logaritmo natural de u, denotado por Ln(u). Em função do gráfico, em anexo, usaremos a definição:
Ln(u)=área(1,u)
Se u>1, a região possuirá uma área bem definida, mas tomando u=1, a região se reduzirá a uma linha vertical (que não possui área ou seja, possui área nula) e neste caso tomaremos Ln(1)=área(1,1). Assim:
Ln(1)=0
Quando aumentamos os valores de u, esta função também aumenta os seus valores, o que significa que esta função é crescente para valores de u>0.
O conceito de Integral de uma função real, normalmente estudado na disciplina Cálculo Diferencial e Integral, justifica a forma como apresentamos o Logaritmo 
Propriedades básicas da função exponencial
Se x e y são números reais e k é um número racional, então:
1. y=exp(x) se, e somente se, x=Ln(y).
2. exp[Ln(y)]=y para todo y>0.
3. Ln[exp(x)]=x para todo x real.
4. exp(x+y)=exp(x) exp(y)
5. exp(x-y)=exp(x)/exp(y)
6. exp(x.k)=[exp(x)]k
Outras funções exponenciais
Podemos definir outras funções exponenciais como g(x)=ax, onde a é um número real positivo diferente de 1 e de x. Primeiro, consideremos o caso onde o expoente é um número racional r.
Tomando x=ar na equação x=exp[Ln(x)], obtemos:
ar=exp[Ln(ar)]
Como Ln[ar]=r.Ln(a), a relação acima fica na forma:
ar = exp[r.Ln(a)]
Esta última expressão, juntamente com a informação que todo número real pode ser escrito como limite de uma sequência de números racionais, justifica a definição para g(x)=ax, onde x é um número real:
ax=exp[x.Ln(a)]
Relação de Euler e Números Complexos
Se i é a unidade imaginária e x é um número real, então vale a relação:
eix = exp(ix) = cos(x) + i sen(x)
OBS: Será usada essa relação mais na frente em números imaginários.
Algumas Aplicações
Funções exponenciais desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e outras. Vamos apresentar alguns exemplos com aplicações destas funções.
Lei do resfriamento dos corpos: Um indivíduo foi encontrado morto em uma sala com temperatura ambiente constante. O legista tomou a temperatura do corpo às 21:00 h e constatou que a mesma era de 32 graus Celsius. Uma hora depois voltou ao local e tomou novamente a temperatura do corpo e constatou que a mesma estava a 30 graus Celsius. Aproximadamente a que horas morreu o indivíduo, sabendo-se que a temperatura média de um corpo humano normal é de 37 graus Celsius?
Partindo de estudos matemáticos pode-se construir uma função exponencial decrescente que passa pelos pontos (21,32) e (22,30) onde abscissas representam o tempo e as ordenadas a temperatura do corpo.
A curva que descreve este fenômeno é uma função exponencial da forma:
f(t) = C eA t
então obtemos que:
A = Ln(30)-Ln(32)
C = 32/ (30/32)21
A função exponencial que rege este fenômeno de resfria-mento deste corpo é dada por:
f(t) = 124,09468 e-0,0645385t
e quando f(t) = 37 temos que:
t = 18,7504... = 18 horas + 45 minutos
que pode ser observado através do gráfico.
Observação: Neste exemplo, usamos a construção de um gráfico e as propriedades operatórias das funções exponenciais e logarítmicas.
Curvas de aprendizagem: Devido ao seu uso por psicólogos e educadores na descrição do processo de aprendizagem, as curvas exponenciais realizam um papel importante.
A curva básica para este tipo de estudo é da forma:
f(x) = c - a e-k.x
onde c, a e k são constantes positivas. Considerando o caso especial em que c=a temos uma das equações básicas para descrever a relação entre a consolidação da aprendizagem y=f(x) e o número de reforços x.
A função:
f(x) = c - a e-k.x
cresce rapidamente no começo, nivela-se e então aproxima-se de sua assíntota y=c.
Estas curvas também são estudadas em Economia, na representação de várias funções de custo e produção.
Crescimento populacional: Em 1798, Thomas Malthus, no trabalho "An Essay on the Principle of Population" formulou um modelo para descrever a população presente em um ambiente em função do tempo. Considerou N=N(t) o número de indivíduos em certa população no instante t. Tomou as hipóteses que os nascimentos e mortes naquele ambiente eram proporcionais à população presente e a variação do tempo conhecida entre os dois períodos. Chegou à seguinte equação para descrever a população presente em um instante t:
N(t)=No ert
onde No é a população presente no instante inicial t=0 e r é uma constante que varia com a espécie de população.
O gráfico correto desta função depende dos valores de No e de r. Mas sendo uma função exponencial, a forma do gráfico será semelhante ao da função y=Kex.
Este modelo supõe que o meio ambiente tenha pouca ou nenhuma influência sobre a população.
Desse modo, ele é mais um indicador do potencial de sobrevivência e de crescimento de cada espécie de população do que um modelo que mostre o que realmente ocorre.
Consideremos por exemplo uma população de bactérias em um certo ambiente. De acordo com esta equação se esta população duplicar a cada 20 minutos, dentro de dois dias, estaria formando uma camada em volta da terra de 30 cm de espessura. Assim, enquanto os efeitos do meio ambiente são nulos, a população obedece ao modelo N=Noert.Na realidade, se N=N(t) aumenta, o meio ambiente oferece resistência ao seu crescimento e tende a mantê-lo sobre controle. Exemplos destes fatores são, a quantidade disponível de alimentos, acidentes, guerras, epidemias,...
Como aplicação numérica, consideremos uma colônia de bactérias se reproduzindo normalmente. Se num certo instante havia 200 bactérias na colônia, passadas 12 horas havia 600 bactérias. Quantas bactérias haverá na colônia após 36 horas da última contagem?
No instante inicial havia 200 bactérias, então No=200, após 12 horas havia 600 bactérias, então
N(12)=600=200 er12
logo
e12r=600/200=3
assim
ln(e12r)=ln(3)
Como Ln e exp são funções inversas uma da outra, segue que 12r=ln(3), assim:
r=ln(3)/12=0,0915510
Finalmente:
N(48) = 200 e48.(0,0915510) = 16200 bactérias
Então, após 36 horas da útima contagem ou seja, 48 horas do início da contagem, haverá 16200 bactérias.
Desintegração radioativa: Os fundamentos do estudo da radioatividade ocorreram no início do século por Rutherford e outros. Alguns átomos são naturalmente instáveis, de tal modo que após algum tempo, sem qualquer influência externa sofrem transições para um átomo de um novo elemento químico e durante esta transição eles emitem radiações. Rutherford formulou um modelo para descrever o modo no qual a radioatividade decai. Se N=N(t) representa o número de átomos da substância radioativa no instante t, No o número de átomos no instante t=0 e k é uma constante positiva chamada de constante de decaimento, então:
N(t) = No e-k.t
esta constante de decaimento k, tem valores diferentes para substâncias diferentes, constantes que são obtidas experimentalmente.
Na prática usamos uma outra constante T, denominada meia-vida do elemento químico, que é o tempo necessário para que a quantidade de átomos da substância decaia pela metade.
Se N=No/2 para t=T, temos
No/2 = No e-k.T
assim
T=Ln(2)/k
Na tabela, apresentamos indicadores de meia-vida de alguns elementos químicos:
	Substância
	Meia-vida T
	Xenônio 133
	5 dias
	Bário 140
	13 dias
	Chumbo 210
	22 anos
	Estrôncio 90
	25 anos
	Carbono 14
	5.568 anos
	Plutônio
	23.103 anos
	Urânio 238
	4.500.000.000 anos
Para o Carbono 14, a constante de decaimento é:
k = Ln(2)/T = Ln(2)/5568 = 12,3386 por ano
Propriedades Algébricas Resumo (Tabela)
Logaritmos trocam números por expoentes. Mantendo-se a mesma base, é possível tornar algumas poucas operações mais fáceis:
	Operação com números
	Operação com expoentes
	Identidade logarítmica
	a∙b
	a+b
	logb(a∙b)= log a+ log b
	a/b
	a-b
	logb= log a- log b
	ab
	a∙b
	logb(ab)= b∙log a
	
	a/b
	logb()=∙log a
Sendo A o expoente de a e B o expoente de b.
Base para um logaritmo
Existe um importante número real e=2,71828... (atribuído a Euler) tal que
Ln(e) = 1
A partir da observação anterior, o número e representa a base para os logaritmos naturais e poderemos escrever:
Ln(u) = Loge(u)
que lemos como "logaritmo do número real u na base e".
A partir do exposto acima, temos uma propriedade que possibilita a mudança logarítmica de uma base positiva para outra base positiva, sendo que ambas devem ser diferentes de:
Loga(b) = Ln(b) / Ln(a)
Logaritmo decimal
No âmbito do Ensino Médio, usa-se bastante a base 10, uma vez que neste ambiente a base decimal recebe as preferências para o trabalho com o nosso sistema de numeração, mas devemos observar que em contextos mais avançados, a base decimal tem pouca utilidade. Quando escrevermos Log a partir daqui neste trabalho, entenderemos o Logaritmo na base decimal e escrevemos:
y = Log(x)
para entender que y é o Logaritmo de x na base 10 e nesta base 10, temos algumas características interessantes com os logaritmos das potências de 10
1. Log(1)=0
2. Log(0) não tem sentido
3. Log(10)=Log(101)=1
4. Log(1/10)=Log(10-1)=-1
5. Log(100)=Log(10²)=2
6. Log(1/100)=Log(10-2)=-2
7. Log(1000)=Log(10³)=3
8. Log(1/1000)=Log(10-3)=-3
9. Log(10n)=n
10. Log(10-n)=-n
A partir da propriedade
Log 10n=n
temos que o Logaritmo de 10n na base 10 é o expoente n, o que nos faz pensar que para todo x real positivo vale a relação:
Log(10x) = x
Cálculos de logaritmos de alguns números
Com a definição estranha é possível obter o um valor aproximado para o Log(2). Consideremos que y=Log(2) e 10y=2. Inicialmente, temos que Log(2) é positivo e menor do que 1, pois 1<2<10 assim
0<Log(2)<1
É interessante obter dois números que sejam potências de 2 e que estejam muito próximos de potências de 10.
Por exemplo:
1000<1024=210
8192=213<10000,
logo 1000<1024<8192<10000, assim, aplicando o logaritmo de base 10, teremos:
3<10 Log(2)<13 Log(2)<4
então
0,300=3/10<Log(2)<4/13=0,308
e a média aritmética entre 0,300 e 0,308 é 0,304, que é uma boa estimativa para Log(2), isto é:
Log(2)=0,304
O ideal é encontrar outras potências de 10 que estejam próximas de potências de 2, o que não é fácil para alguém que não tenha uma calculadora que opere com muitos decimais, o que pode ser visualizado através da tabela mostrando algumas de tais potências:
	Intervalo
	Valores
	Média
	1<2 <10
	0<Log(2)<1
	0,500
	1<2²<10
	0<Log(2)<1/2
	0,250
	10<24<10²
	1/4<Log(2)<2/4
	0,375
	10<25<10²
	1/5<Log(2)<2/5
	0,300
	10<26<10²
	1/6<Log(2)<2/6
	0,250
	10²<28<10³
	2/8<Log(2)<3/8
	0,313
	10³<210<104
	3/10<Log(2)<4/10
	0,350
	10³<211<104
	3/11<Log(2)<4/11
	0,318
	10³<212<104
	3/12<Log(2)<4/12
	0,292
	10³<213<104
	3/13<Log(2)<4/13
	0,269
	104<214<105
	4/14<Log(2)<5/14
	0,321
	104<215<105
	4/15<Log(2)<5/15
	0,300
	104<216<105
	4/16<Log(2)<5/16
	0,282
	105<217<106
	5/17<Log(2)<6/17
	0,393
	105<218<106
	5/18<Log(2)<6/18
	0,306
	105<219<106
	5/19<Log(2)<6/19
	0,289
	106<220<107
	6/20<Log(2)<7/20
	0,325
Voltando ao estudo básico, Log(2)=0,3010299956639812... e com este valor, podemos obter os logaritmos das potências de 2, como por exemplo:
1. Log(4)=Log(2²)=2Log(2)=0,60206
2. Log(8)=Log(2³)=3Log(2)=0,90309
3. Log(16)=Log(24)=4Log(2)=1,20412
4. Log(32)=Log(25)=5Log(2)=1,50515
5. Log(2n)=n.Log(2)
6. Log(1/2)=Log(2-1)=(-1)Log(2)=-0,30103
7. Log(1/4)=Log(2-2)=(-2)Log(2)=-0,60206
8. Log(1/8)=Log(2-3)=(-3)Log(2)=-0,90309
9. Log(1/16)=Log(2-4)=(-4)Log(2)=-1,20412
10. Log(1/32)=Log(2-5)=(-5)Log(2)=-1,50515
11. Log(2-n)=(-n).Log(2)
Temos também que Log(3)=0,47712, o que nos permite realizar uma grande quantidade de cálculos com logaritmos.
Com Log(2) e Log3, não é possível calcular os logaritmos dos números primos maiores do que 5, mas é possível obter uma grande quantidade de logaritmos de números naturais.
Exemplo: Usaremos Log(2)=0,301 e Log(3)=0,477, para calcular alguns logaritmos.
1. Log(5)=Log(10/2)=Log(10)-Log(2)=1-0,301=0,699
2. Log(6)=Log(2.3)=Log(2)+Log(3)=0,301+0,477=0,778
3. Log(8)=Log(2³)=3 Log(2)=0,903
4. Log(9)=Log(3²)=2 Log(3)=0,954
Uma estimativa razoável para Log(7)=0,8451 pode ser obtida com a média aritmética entre Log(6) e Log(8), isto é:
Log(7)=0,840
Característica e mantissa de um logaritmo na base 10
Se um número está entre duas potências consecutivas de 10, o expoente da menor delas é a característica do logaritmo deste número e a diferença entre o logaritmo do número e a característica é a mantissa que é a parte decimal do logaritmo.
Observação: Na tabela abaixo aparece o sinal negativo para o logaritmo apenas para o número que está antes da vírgula.
	Número
	Logaritmo
	Característica
	Mantissa
	0,002
	¯3,30103
	-3
	0,30103
	0,02
	¯2,30103
	-2
	0,30103
	0,2
	¯1,30103
	-1
	0,30103
	2
	 0,30103
	0
	0,30103
	20
	 1,30103
	1
	0,30103
	200
	 2,30103
	2
	0,30103
	2000
	 3,30103
	3
	0,30103
Esta notação simplifica operações com logaritmos, visando mostrar que, se a divisão de dois números é um múltiplo de 10, basta mudar a característica e preservar a mantissa do logaritmo. Isto poderá ser observado na Tábua moderna de logaritmos.
¯3,30103 significa que apenas a característica é negativa, valendo -3 e ela deve ser somada à mantissa que é um número positivo 0,30103 e isto significa que o resultado deve ser um número com um sinal negativo, isto é, -2,69897.
Logaritmos Importantes
Alguns valores de logaritmos na base dez são importante paraa fixação para fins de cálculos, percebe que são todos números primos pois deles originam-se os outros números, podemos defini-los através da fatoração:
	Logaritmo
	Valor
	Log 2
	0,3010
	Log 3
	0,4771
	Log 5
	0,6990
	Log 7
	0,8451
Questão 1
Estabeleça o domínio das funções a seguir:
a) y = log3 (x – ½)
b) y = log(x – 1) (3x + 6)
c) y = log(x + 2) (x² – 4)
Questão 2
Construa o gráfico das funções:
a) y = log2 x
b) y = log1/2 x 
Questão 3
O anúncio de certo produto aparece diariamente num certo horário na televisão. Após t dias do início da exposição (t exposições diárias), o número de pessoas (y) que ficam conhecendo o produto é dado por y = 3 – 3.(0,95)t, em que y é dado em milhões de pessoas.
a) Para que valores de t teremos pelo menos 1,2 milhões de pessoas conhecendo o produto?
b) Faça o gráfico de y em função de t. 
Questão 4
Um capital de R$ 12.000,00 é aplicado a uma taxa anual de 8%, com juros capitalizados anualmente. Considerando que não foram feitas novas aplicações ou retiradas, encontre:
a) O capital acumulado após dois anos.
b) O número inteiro mínimo de anos necessários para que o capital acumulado seja maior que o dobro do capital inicial.
(Se necessário, use log 2 = 0,301 e log 1,08 = 0,033).
Questão 5
(Cesgranrio – RJ) Se log √a = 1,236, então o valor de log ³√a é:
a) 0,236.
b) 0,824
c) 1,354
d) 1,854
Questão 6
Sabendo que log 2 = x, log 3 = y e log 5 = z, calcule os seguintes logaritmos em função de x, y ez:
a) log 10
b) log 27
c) log 7,5
Questão 7
Aplicando as propriedades operatórias do logaritmo, calcu-le logx a, sabendo que a = 
Questão 8
(PUC-PR) O valor da expressão log2 0,5 + log3 √3 + log4 8 é:
a) 1
b) – 1
c) 0
d) 2
e) 0,5
Respostas
Resposta Questão 1
a) Para a função y = log3 (x – ½), temos apenas uma restrição:
x – ½ > 0 → x > ½
Então, o domínio da função logarítmica é D = {x  | x > ½}.
b) Para a função y = log(x – 1) (– 3x + 9), temos as restrições:
– 3x + 9 > 0 → – 3x > – 9 → x < 3
x – 1 > 0 → x > 1
x – 1 ≠ 1 → x ≠ 2
Portanto, o domínio da função logarítmica y é D = {x  | 1 < x < 2 ou 2 < x < 3}
c) Para a função y = log(x + 2) (x² – 4), temos as restrições:
x² – 4 > 0 → – √4 > x > √4 → – 2 > x > 2
x + 2 > 0 → x > – 2
x + 2 ≠ 1 → x ≠ – 1
O domínio da função logarítmica y é D = {x  | – 2 < x < – 1 ou – 1 < x < 2} 
Resposta Questão 2
a) Como a = 2 > 1, já sabemos que se trata de uma função crescente. Vamos escolher alguns valores de x para calcular os valores de y e montar o gráfico da função logarítmica:
 
Gráfico da função y = log2 x
 
b) Como a = ½ < 1, estamos trabalhando com uma função decrescente. Vamos escolher alguns valores de x para calcular os valores de y e montar o gráfico da função logarítmica:
Gráfico da função y = log1/2 x
Resposta Questão 3
a) Queremos encontrar o valor de t para y ≥ 1,2. Vamos então substituir esse valor de y na função:
3 – 3.(0,95)t = y
3 – 3.(0,95)t ≥ 1,2
– 3.(0,95)t ≥ 1,2 – 3
3.(0,95)t ≤ 1,8
(0,95)t ≤ 1,8
             3
(0,95)t ≤ 0,6
Para resolver essa inequação, vamos aplicar o logaritmo em ambos os lados da equação:
log (0,95)t ≤ log 0,6
t . log (0,95) ≤ log 0,6
t ≤ log 0,6
      log 0,95
t ≤ 9,95
Portanto, em até 10 dias, 1,2 milhões de pessoas terão visto o anúncio do produto.
b) y = 3 – 3.(0,95)t é uma função crescente e o gráfico da função logarítmica é:
 
Gráfico da função y = 3 – 3.(0,95)t
Resposta Questão 4
a) O capital acumulado após um ano pode ser calculado através da fórmula de juros compostos:
M = C . (1 + i)t
Sendo C o capital de R$ 12.000,00, i a taxa de juros de 0,08 e t o tempo de 2 anos, temos:
M = C . (1 + i)t
M = 12000 . (1 + 0,08)2
M = 12000 . 1,082
M = 13996,8
Então, após dois anos, o capital acumulado foi de R$ 13.996,80.
b) Considere x como o número de anos, i como a taxa de juros de 0,08, Ccomo o capital inicial e M como o montante que deverá ser maior que o dobro do capital inicial, sendo assim, teremos:
C . (1 + i)t > M
C . (1 + i)t > 2C
(1 + i)t > 2
(1 + 0,08)t > 2
1,08t > 2
Aplicando o logaritmo em ambos os lados da inequação, teremos:
log 1,08t > log 2
t . log 1,08 > log 2
t > log 2
log 1,08
t > 0,301
     0,033
t > 9,121
Portanto, será necessário o mínimo de 10 anos para que o capital acumulado seja o dobro do capital inicial.
Resposta Questão 5
Aplicando as propriedades operatórias dos logaritmos, temos que:
log √a = log a1/2 = 1 .log a
                     2
log √a = 1,236
1 .log a = 1,236
2                       
log a = 2,472
Se log a = 2,472, então podemos calcular log ³√a:
log 3√a = log a1/3 = 1 .log a = 2,472 = 0,824
                 3                  3
A alternativa correta é a letra b.
Resposta Questão 6
a) Aplicando a propriedade operatória do logaritmo do produto e sabendo que 2.5 = 10, temos:
log 10 = log (2.5) = log 2 + log 5 = x + z
Portanto, log 10 = x + z.
b) Para determinarmos log 27, vamos utilizar o logaritmo da potência, uma vez que 27 = 3³. Sendo assim, temos:
log 27 = log 3³ = 3.log 3 = 3.y
Então, log 27 = 3y.
c) Precisamos encontrar uma forma de representar o número 7,5 em função de 2, 3 e 5. Passando para a forma fracionária 75/10, podemos simplificá-lo por 5 e teremos a fração15/2. Sabemos ainda que 15 é o produto entre 3 e 5. Podemos fazer então:
log 7,5 = log 15 = log 3 . log 5 = log 3 + log 5 – log 2 = y + z – x
 2          log 2                                       
Portanto, log 7,5 = y + z – x.
Resposta Questão 7
Aplicando todas as propriedades operatórias do logaritmo, temos:
logx a = logx n.x².m-3.
                y4.√z
logx a = (logx n + logx x² + logx m-3) – (logx y4 + logx √z)
logx a = logx n + logx x² + logx m-3 – logx y4 – logx z1/2
Aplicando agora a propriedade do logaritmo da potência aos logaritmos destacados, temos:
logx a = logx n + 2.logx x – 3.logx m – 4.logx y – 1 .logx z
                                                                2
Sabemos que logx x = 1, logo:
logx a = logx n + 2.1 – 3.logx m – 4.logx y – 1 .logx z
                                                         2
logx a = 2 + logx n – 3.logx m – 4.logx y – 1 .logx z
                                                       2 
Resposta Questão 8
Vamos calcular individualmente cada um dos logaritmos:
1º) log2 0,5 = x
2x = 0,5
x = – 1
2º) log3 √3 = y
3y = √3
y = ½
3°) log4 8 = z
4z = 8
(2)²z = 2³
2z = 3
z = 3/2
Somando todos os valores encontrados, temos:
log2 0,5 + log3 √3 + log4 8
– 1 + 1/2 + 3/2
Portanto, a alternativa correta é a letra a.
Função Modular
Função é uma lei ou regra que associa cada elemento de um conjunto A a um único elemento de um conjunto B. O conjunto A é chamado de domínio da função e o conjunto B de contradomínio. A função modular é uma função que apresenta o módulo na sua lei de formação.
De maneira mais formal, podemos definir função modular como:
f(x) = |x| ou y = |x|
A função f(x) = |x| apresenta as seguintes características:
f(x) = x, se x≥ 0
ou
f(x) = – x, se x < 0
Essas características decorrem da definição de módulo.
O módulo de um número real é sempre positivo ou nulo. O módulo de um número real nunca é negativo.
Representando geometricamente, o módulo de um número real x é igual a distância do ponto que representa, na reta real, o número x ao ponto 0 de origem. Assim:
· 
Se | x | < a (com a>0) significa que a distância entre x e a origem é menor que a, isto é, x deve estar entre –a e a, ou seja, | x | < a -a < x < a.
· Se | x | > a (com a>0) significa que a distância entre x e a origem é maior que a, isto é, deve estar à direita de a ou à esquerda de –a na reta real, ou seja: | x | > a x > a ou x < -a.
Exemplo 1. Construa o gráfico da função f(x) = | –x|
Solução: primeiro vamos analisar o gráfico da função acima sem a utilização do módulo na sua lei de formação, ou seja, vamos fazer o gráfico de g(x) = – x 
O gráfico a esquerda é o f(x)= -x, já o da direita é o g(x0= |-x|
O módulo presente na lei da função faz com que a parte do gráfico que se localiza abaixo do eixo x “reflita” no momento em que toca o eixo x.Mas por quê? Simples, a parte do gráfico abaixo do eixo x representa os valores negativos de y e, como o módulo de um número é sempre um valor positivo.
Exemplo 2. Construa o gráfico da função f(x) = |x2 – 5x+4|
Solução: pela definição de módulo, temos que:
f(x) = x2 – 5x+4, se x≥ 0
e
f(x) = – (x2 – 5x+4), se x<0 
Daí, segue que:
x2 – 5x+4= 0
x = 1 ou x = 4
Temos também que:
– (x2 – 5x+4) = 0
x = 1 ou x = 4
Unindo as partes dos dois gráficos que se encontram acima do eixo x teremos o gráfico da função f(x) = | x2 – 5x+4|
Sendo que o gráfico de f(x) = |x| é semelhante ao gráfico de f(x) = x, sendo que a parte negativa do gráfico será “refletida” sempre para um f(x) positivo.
Um outro exemplo para uma função modular seria a função modular do 2º grau , sendo f(x) = |x2 – 4| , assim:
  , assim temos o gráfico: 
· Equações modulares
Toda a equação que contiver a incógnita em um módulo num dos membros será chamada equação modular.
Exemplos:
a) | x2-5x | = 1
b) | x+8 | = | x2-3 |
Algumas equações modulares resolvidas:
1) Resolver a equação | x2-5x | = 6.
Resolução: Temos que analisar dois casos:
caso 1: x2-5x = 6
caso 2:	 x2-5x = -6
Resolvendo o caso 1:
x2-5x-6 = 0 => x’=6 e x’’=-1.
Resolvendo o caso 2:
x2-5x+6 = 0 => x’=3 e x’’=2.
	Resposta: S={-1,2,3,6}
2) Resolver a equação | x-6 | = | 3-2x |.
Resolução: Temos que analisar dois casos:
caso 1: x-6 = 3-2x
caso 2:	 x-6 = -(3-2x)
Resolvendo o caso 1:
x-6 = 3-2x => x+2x = 3+6 => 3x=9 => x=3
Resolvendo o caso 2:
x-6 = -(3-2x) => x-2x = -3+6 => -x=3 => x=-3
	Resposta: S={-3,3}
· Inequações modulares
Chamamos de inequações modulares as inequações nos quais aparecem módulos de expressões que contém a incógnita.
Algumas inequações modulares resolvidas:
1) Resolver a inequação | -2x+6 | < 2.
Resolução: 
S = {x IR | 2<x<4}
2) Dê o conjunto solução da inequação |x2-2x+3| 4.
Resolução:
|x2-2x+3| 4 => -4 x2-2x+3 4.
Então temos duais inequações (que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo):
Eq.1: -4 x2-2x+3
Eq.2: x2-2x+3 4
Resolvendo a Eq.1:
-4 x2-2x+3 => -4-3 x2-2x => -7 x2-2x => x2-2x+7 0 => sem raízes reais
Resolvendo a Eq.2:
x2-2x+3 4 => x2-2x-1 0
· Módulo e raiz quadrada
Consideremos os números reais x e y.
Temos por definição, que 
se e somente se, y2 = x e y0. Daí podemos concluir que
só é verdadeiro se x0.
Se tivermos x<0, não podemos afirmar que
pois isso contradiz a definição.
Por exemplo, se x=-3, teríamos:
o que é um absurdo, pois o primeiro membro é positivo e o segundo negativo. Usando a definição de módulo, podemos escrever:
o que é verdadeiro para todo x real.
Devemos proceder da mesma forma em relação a todas raízes de índice par:
Com relação às raízes de índice ímpar, podemos escrever:
 com x ϵ e n ϵ ˟
Resolvendo uma função modular
 Determinação do domínio
Vamos determinar o domínio de algumas funções utilizando inequações modulares:
Exemplo 1: Determinar o domínio da função 
Resolução:
Exemplo 2: Determinar o domínio da função
Resolução:
 Gráfico
Vamos construir o gráfico da função f(x)=|x|:
	x
	y=f(x)
	-1
	1
	-2
	2
	0
	0
	1
	1
	2
	2
Gráfico da função f(x)=|x|:
Questão 1
Dada a função modular f(x) = |2 – x| – 2, escreva a função sem utilizar módulo nas sentenças.
Questão 2
Esboce o gráfico da função modular definida por f(x) = |4x² + 8x – 5|:
Questão 3
(Fuvest) Seja f(x) = |2x² – 1|, x . Determine os valores de x para os quais f(x) < 1.
Questão 4
(Puc – MG) O gráfico da função f(x) = |x| + 2 é constituído por:
a) duas semirretas de mesma origem
b) duas retas concorrentes
c) duas retas paralelas
d) uma única reta que passa pelo ponto (0,2)
Questão 5
Se f(x) = x² + 2x e g(x) = |x³| + 2x, determine a composta de f com g e de g com f.
Questão 6
Construa o gráfico da função modular f(x) = 2 + |x – 1|.
Questão 7
(UFSC) Sejam as funções f(x) = |x – 1| e g(x) = (x² + 4x – 4).
a) Calcule as raízes de f[g(x)] = 0
b) Esboce o gráfico de f[g(x)], indicando os pontos em que o gráfico intercepta o eixo cartesiano.
Questão 8
(UFF – RJ) Considere a função f definida por  . Pede-se:
a) f(0)
b) (f o f)(– 2)
c) o valor de m tal que f(m) = – 125
d) f –1 = ¼
Respostas
Resposta Questão 1
Pela definição de função modular, temos que f(x) = |x| equivale a . A função dada no enunciado apresenta o módulo |2 – x|, com o qual faremos:
2 – x = 0
– x = – 2
x = 2
Agora vamos analisar a função:
	x ≥ 2
2 – x ≥ 0
f(x) = |2 – x| – 2
f(x) = 2 – x – 2
f(x) = – x
 
	x < 2
2 – x < 0
f(x) = |2 – x| – 2
f(x) = – (2 – x) – 2
f(x) = – 2 + x – 2
f(x) = x – 4
Podemos representar essa função sem o utilizar o módulo da seguinte forma:
Resposta Questão 2
Vamos determinar alguns pontos principais do gráfico da função f(x) = |4x² + 8x – 5| e verificar quais são os valores de x para os quais temos f(x) = 0. Nesse momento, podemos desconsiderar o módulo para resolver a equação 4x² + 8x – 5 = 0. Através da fórmula de Bhaskara, temos:
Δ = b² – 4.a.c
Δ = 8² – 4.4.(– 5)
Δ = 64 + 80
Δ = 144
x = – b ± √Δ
       2.a
x = – 8 ± √144
      2.4
x = – 8 ± 12
       8
	x1 = – 8 + 12
        8
x1 = 4
       8
x1 = 1
        2
	x2 = – 8 – 12
      8
x2 = – 20
        8
x2 = – 5
        2
Temos então que a função toca o eixo x nos pontos (1/2, 0) e (– 5/2, 0). Podemos determinar o vértice da parábola através do cálculo de máximo e mínimo:
Xv = – b
        2a
Xv = – 8
        2.4
Xv = – 1
Yv = – Δ
        4a
Yv = – 144
         4.4
Yv = – 9
O vértice da parábola da função f(x) = 4x² + 8x – 5 é nos pontos (– 1, – 9). Mas como essa função é modular, ela não pode ter pontos com valores de y negativos. Dessa forma, essa parte da função será “refletida” de modo que o vértice da parábola da função f(x) = |4x² + 8x – 5| seja no ponto (– 1, 9). Observe na figura a seguir o gráfico da função modular f(x) = |4x² + 8x – 5| em vermelho. A parte do gráfico compreendida entre – 5/2 < x < 1/2 foi refletida para cima do eixo x. Se a função não fosse modular, utilizaríamos a curva da cor cinza.
Gráfico da função modular f(x) = |4x² + 8x – 5|
Resposta Questão 3
Para determinar os valores de x para os quais temos f(x) < 1, resolveremos a seguinte inequação modular:
|2x² – 1| < 1
– 1 < 2x² – 1 < 1
– 1 + 1 < 2x² < 1 + 1
0 < x² < 2
2           2
√0 < x < √1
0 < x < ±1
Portanto, temos dois intervalos possíveis que correspondem aos valores de x tais que f(x) < 1, são eles – 1 < x < 0 e 0 < x < 1. Outra forma de mostrar essa solução é através da reta numérica:
Representação dos valores de x para os quais temos f(x) < 1
Resposta Questão 4
Para responder à questão, vamos verificar como é o gráfico da função modular f(x) = |x| + 2:
Gráfico da função modular f(x) = |x| + 2
Na figura acima, podemos observar duas funções. Na cor cinza, temos o gráfico da função modular f(x) = |x|, mas como estamos trabalhando com a função f(x) = |x| + 2, basta “elevá-la” duas unidades para conseguir o gráfico procurado, que está na cor vermelha. Observe que esse gráfico é constituído por duas semirretas com origem no ponto (0,2). Portanto, a alternativa correta é a letra a.
Resposta Questão 5
Primeiramente vamos encontrar a composição das funções f[g(x)]:
f(x) = x² + 2x
f[g(x)] = [g(x)]² + 2.[g(x)]
f[g(x)] = (|x³| + 2x)² + 2.(|– x³| + 2x)
f[g(x)] = |x³|² + 4x.|x³| + 4x² + 2.|x³| + 4x
f[g(x)] = |x|6 + 2.|x³| + 4x.(|x³| + x + 1)
Vamos agora determinar a composição das funções g[f(x)]:
g(x) = |x³| + 2x
g[f(x)] = |[f(x)]|³ + 2.[f(x)]
g[f(x)] = |x² + 2x|³ + 2.(x² + 2x)
g[f(x)] = |x|³.|x + 2|³ + 2x² + 4x
g[f(x)] = |x|6 + 6|x|5 + 12|x|4 + 8|x|3 + 2x² + 4x
Resposta Questão 6
Para formular esse gráfico, podemos tomar como parâmetro o gráfico de f(x) = |x – 1|, que na imagem abaixo está retratado com a cor rosa. Esse gráfico toca o eixo x no ponto (1,0), pois |x – 1| = 0 se, e somente se, x = 1. Basta então “subir” o gráfico duas unidades. Dessa forma, podemos obter o gráfico de f(x) = 2 + |x – 1|, que na figura está representado com a cor vermelha:
Gráfico da função modular f(x) = 2 + |x – 1|
Resposta Questão7
a) Inicialmente vamos realizar a composição das funções f[g(x)].
f(x) = |x – 1|
f[g(x)] = |g(x) – 1|
f[g(x)] = |(x² + 4x – 4) – 1|
f[g(x)] = |x² + 4x – 5|
Para determinar as raízes da equação f[g(x)] = 0, utilizaremos a fórmula de Bhaskara:
Δ = 4² – 4.1.(– 5)
Δ = 16 + 20
Δ = 36
x = – 4 ± √36
      2.1
x = – 4 ± 6
      2
x = – 2 ± 3
x' = – 2 + 3 = 1
x'' = – 2 – 3 = – 5
As raízes de f[g(x)] são 1 e – 5.
b) Se desconsiderarmos que se trata de uma função modular, podemos analisar que a função f[g(x)]1 = x² + 4x – 5 corresponde ao gráfico de uma parábola com concavidade para cima. Através dos cálculos de máximo e mínimo de uma parábola, podemos determinar as coordenadas do vértice:
Xv = – b
        2a
Xv = – 4
        2.1
Xv = – 2
Yv = – Δ
       4a
Yv = – 36
        4.1
Yv = – 9
Portanto, o vértice da parábola de f[g(x)]1 é o ponto (– 2, – 9). Mas como estamos trabalhando com uma função modular, a parte da parábola que se encontra no 3° quadrante, isto é, os valores de f[g(x)] < 0, é refletida no 2° quadrante. Na imagem a seguir temos o gráfico correspondente à função f[g(x)]. Observe que, em vermelho, temos a curva assumida pelo gráfico da função modular, já, em rosa, temos a curva da função caso esta não fosse modular:
Gráfico da função modular f[g(x)] = |x² + 4x – 5|
Resposta Questão 8
a) O módulo de zero é o próprio zero, portanto, é menor do que 4. Sendo assim, usaremos a lei da função: f(x) = 4x. Para x = 0, temos:
f(x) = 4x
f(0) = 4.0
f(0) = 0
Sendo assim, temos f(0) = 0.
b) Vamos calcular primeiro o valor de f(– 2). Como |– 2| < 4, utilizaremos f(x) = 4x:
f(x) = 4x
f(– 2) = 4.(– 2)
f(– 2) = – 8
Agora calcularemos a composição (f o f) (– 2) que corresponde a f(f(– 2)) = f(– 8). Como |– 8| ≥ 4, utilizaremos f(x) = x³:
f(x) = x³
(f o f) (– 2) = (– 8)³
(f o f) (– 2) = – 512
Portanto, (f o f) (– 2) = – 512.
c) O valor de f(m) = – 125 só pode corresponder a uma das leis da função. Mas como – 125 não é múltiplo de 4, a função não pode ser f(x) = 4x. Sendo assim, utilizaremos a função f(x) = x³:
f(x) = x³
– 125 = x³
x = 
x = – 5
d) Como |¼| < 4, utilizaremos f(x) = 4x:
f–1(¼) = a
f(a) = ¼
4a = ¼
a = 1
     16
Temos então que f–1(¼) = 1/16.
Triângulos
É uma figura geométrica formada por três retas que se encontram duas a duas e não passam pelo mesmo ponto, formando três lados e três ângulos.
Triângulos é uma figuras muito presente na arquitetura
Para fazer o cálculo do perímetro de um triângulo basta fazer a soma da medida de todos os lados, a soma dos ângulos internos é sempre 180º.
Observando o triângulo podemos identificar alguns de seus elementos: 
♦ A, B e C são os vértices. 
♦ Os lados dos triângulos são simbolizados pelo encontro dos vértices (pontos de encontros):,,  segmentos de retas. 
♦ Os ângulos têm duas formas de representá-los: no caso do triângulo ele tem 3 lados, consequentemente, 3 ângulos: Â,   ou AC, BA, BÂC.
Tipos de triângulos 
♦ O triângulo pode ser classificado segundo a medida do seu lado.
Triângulo escaleno: Todos os lados e ângulos são diferentes.
Triângulos isósceles: dois lados iguais e os ângulos opostos a esses lados iguais. 
Triângulo equilátero: Todos os lados e ângulos iguais. Concluímos que seus ângulos serão de 60°. 
♦ O triângulo pode ser classificado segundo seus ângulos internos.
Triângulo retângulo: tem um ângulo que mede 90º.
Obtusângulo: tem um ângulo maior que 90°.
Acutângulo: Tem todos os ângulos menores que 90°.
Condição de existência de um triângulo
Para construir um triângulo não podemos utilizar qualquer medida, tem que seguir a condição de existência:
Para construir um triângulo é necessário que a medida de qualquer um dos lados seja menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da diferença entre essas medidas.
| b - c | < a < b + c
| a - c | < b < a + c
| a - b | < c < a + b
Exemplo:
14 – 8 < 10 < 14 + 10
14 – 10 < 8 < 14 + 10
10 – 8 < 14 < 10 + 8
Semelhança de Triângulo 
Temos que dois triângulos são congruentes:
Quando seus elementos (lados e ângulos) determinam a congruência entre os triângulos. Quando dois triângulos determinam a congruência entre seus elementos.
Casos de congruência:
1º LAL (lado, ângulo, lado): dois lados congruentes e ângulos formados também congruentes.
2º LLL (lado, lado, lado): três lados congruentes.
3º ALA (ângulo, lado, ângulo): dois ângulos congruentes e lado entre os ângulos congruente.
4º LAA (lado, ângulo, ângulo): congruência do ângulo adja-cente ao lado, e congruência do ângulo oposto ao lado.
Através das definições de congruência de triângulos podemos chegar às propriedades geométricas sem a necessidade de efetuar medidas. A esse método damos o nome de demonstração.
Dizemos que, em todo triângulo isósceles, os ângulos opostos aos lados congruentes são congruentes. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.
Se invertermos a afirmação feita acima, teremos um fato verdadeiro: as condições são satisfeitas somente quando os triângulos são semelhantes. 
Vejamos um desenho para que possamos compreender melhor: 
Antes, temos que determinar a correspondência dos vértices de cada triângulo, pois assim determinaremos a cor-respondência dos lados e dos ângulos entre estes dois triângulos. 
Os vértices A, B, C correspondem, respectivamente, aos vértices A’, B’, C’. Sendo assim, montaremos as razões de proporcionalidade entre os lados correspondentes. 
Uma das condições é que todos os lados correspondentes possuam uma proporcionalidade, que chamaremos neste caso de k. Ressaltando que essa razão foi construída pela divisão de cada lado correspondente: veja que o lado A’B’ do segundo triângulo corresponde ao lado AB do primeiro triângulo. Por este fato, a divisão foi feita entre eles, e de mesmo modo com os outros lados.
Trigonometria e aplicações
Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triângulo retângulo, assunto comum na oitava série do Ensino Fundamental. Também dispomos de uma página mais aprofundada sobre o assunto tratado no âmbito do Ensino Médio. A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns.
Algumas aplicações da trigonometria são:
· Determinação da altura de um certo prédio.
· Os gregos determina-ram a medida do raio de terra, por um processo muito sim-ples.
· Seria impossível se medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se torna simples.
· Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos.
· Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa.
Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo.
Triângulo Retângulo
Trigonometria (do grego trigōnon "triângulo"+ metron "medida") é um ramo da matemática que estuda as relações entre os comprimentos de 2 lados de um triângulo retân-gulo (triângulo onde um dos ângulos mede 90 graus), para di-ferentes valores de um dos seus ângulos agudos. A abordagem da trigonometria penetra outros campos da geometria, como o estudo de esferas usando a trigonometria esférica. 
A trigonometria tem aplicações importantes em vários ramos, tanto como na matemática pura, quanto na matemática apli-cada e, consequentemente, nas ciências naturais. A trigono-metria é comumente ensinada no Ensino Médio. É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede noventa graus, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, então os outros dois ângulos medirão 90°.
Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90°, estes ângulos são denominados complementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ângulos complementares.
Lados de um triângulo retângulo
Os lados de um triângulo retângulo recebemnomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos.
	Termo
	Origem da palavra
	Cateto
	Cathetós:
(perpendicular)
	Hipotenusa
	Hypoteinusa:
Hypó(por baixo) + teino(eu estendo)
Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as se-guintes notações:
	Letra
	Lado
	Triângulo
	Vértice = Ângulo
	Medida
	a
	Hipotenusa
	
	A = Ângulo reto
	A=90°
	b
	Cateto
	
	B = Ângulo agudo
	B<90°
	c
	Cateto
	
	C = Ângulo agudo
	C<90°
Teorema de Pitágoras
Num triângulo retângulo, os lados perpendiculares, aqueles que formam um ângulo de 90º, são denominados catetos e o lado oposto ao ângulo de 90º recebe o nome de hipotenusa. O teorema de Pitágoras é aplicado ao triângulo retângulo e diz que: hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos:
H² = c² + c².
No caso abaixo a é a hipotenusa, pois é o maior lado, o lado maior num triangulo pitagórico é sempre oposto ao ângulo reto, b e c são os catetos.
Nomenclatura dos catetos
Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo sob análise. Se estivermos operando com o ângulo C, então o lado oposto, indicado por c, é o cateto oposto ao ângulo C e o lado adjacente ao ângulo C, indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C.
	Ângulo
	Lado oposto
	Lado adjacente
	
	
C
	C
cateto oposto
	B
cateto adjacente
	
	
B
	B cateto oposto
	C 
cateto adjacente
	
Um dos objetivos da trigonometria é mostrar a utilidade dos conceitos matemáticos no nosso cotidiano. Iniciaremos estudando as propriedades geométricas e trigonométricas no triângulo retângulo. O estudo da trigonometria é extenso e minucioso.
Propriedades do triângulo retângulo
1. Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos complementares.
2. Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois lados que são os catetos.
3. Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura (ver gráfico acima) é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado será o segmento AD, denotado por h e perpendicular à base.
A hipotenusa como base de um triângulo retângulo
Tomando informações da mesma figura acima, obtemos:
1. O segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa CB, indicada por a.
2. O segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa CB, indicada por a.
3. O segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa CB, indicada por a.Parte superior do formulárioParte inferior do formulário
Relações Métricas no triângulo Retângulo (Parte 1)
Observe os triângulos:
Os triângulos AHB e AHC são semelhantes, então podemos estabelecer algumas relações métricas importantes:
Aplicações do Teorema de Pitágoras
Diagonal do quadrado
Dado o quadrado de lado l, a diagonal D do quadrado será a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos l, com base nessa definição usaremos o teo-rema de Pitágoras para uma ex-pressão que calcula a diagonal do quadrado em função da medida do lado.
D²=L²+L²
D²=2L²
 
D=L
Altura de um triângulo equilátero
O triângulo PQR é equilátero, vamos calcular sua altura com base na medida l dos lados. Ao determinarmos a altura (h) do triângulo PQR, podemos observar um triângulo retângulo PHQ catetos: h e l/2 e hipotenusa h. Aplicando o teorema de Pitágoras temos:
→ → 
 → → → 
Diagonal do bloco retangular (paralelepípedo)
Observe o bloco de arestas a, b e c, iremos calcular a diagonal (d), mas usaremos a diagonal x da base em nossos cálculos. 
Veja:
x² = a² + b²
d² = x² + c²
substituindo, temos:
d²=a²+b²c² → 
Diagonal do cubo (caso particular do paralelepípedo) 
Consideremos o cubo um caso particular de um bloco retangular, então:
d²=a²+b²c² → → 
a=b=c=l → D=L
Relações Trigonométricas do Triângulo Retângulo
Outra maneira de calcular a medida dos lados de um triângulo retângulo é através da medida de um ângulo e um lado, usan-do a Trigonometria. As principais relações trigonométricas são: Seno, Cosseno e Tangente. Há outras três: Cotangen-te, Secante e Cossecante.
1. Seno de um ângulo
É dado pela razão entre os lados que formam o outro ângulo agudo, dado pela ordem :
2. Cosseno de um ângulo
Cosseno: É a razão entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipotenusa e é dado pela razão entre os lados que formam o próprio ângulo agudo, dado pela ordem::
3. Tangente de um ângulo
É dado pela razão entre o Seno e o Cosseno de um ângulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte ordem::
4. Cotangente de um ângulo
É dado pela razão entre o Cosseno e o Seno de um ângulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte ordem:
5. Secante de um ângulo
É dado pelo inverso do cosseno desse ângulo ou entre os lados que formam o próprio ângulo, dado na seguinte ordem:
6. Cossecante de um ângulo
É dado pelo inverso do seno desse ângulo ou entre os lados que formam o outro ângulo agudo, dado na seguinte ordem:
Projeções de segmentos
Introduziremos algumas ideias básicas sobre projeção. Já mostramos, no início deste trabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um prédio, determina uma sombra que é a projeção oblíqua do prédio sobre o solo. Tomando alguns segmentos de reta e uma reta não coincidentes é possível obter as projeções destes segmentos sobre a reta.
Nas quatro situações apresentadas, as projeções dos segmentos AB são indicadas por A'B', sendo que no último caso A'=B' é um ponto.
Projeções no triângulo retângulo
Agora iremos indicar as projeções dos catetos no triângulo retângulo.
1. m = projeção de c sobre a hipotenusa.
2. n = projeção de b sobre a hipotenusa.
3. a = m+n.
4. h = média geométrica entre m e n. 
Relações Métricas no triângulo retângulo (Parte 2)
Para extrair algumas propriedades, faremos a decomposição do triângulo retângulo ABC em dois triângulos retângulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o ângulo A será decomposto na soma dos ângulos CÂD=B e DÂB=C.
Observamos que os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB são semelhantes.
	Triângulo
	hipotenusa
	cateto maior
	cateto menor
	ABC
	a
	b
	c
	ADC
	b
	n
	h
	ADB
	c
	h
	m
Assim:
a/b = b/n = c/h
a/c = b/h = c/m
b/c = n/h = h/m
Logo:
a/c = c/m    equivale a    c² = a.m
a/b = b/n    equivale a    b² = a.n
a/c = b/h    equivale a    a.h = b.c
h/m = n/h    equivale a    h² = m.n
Existem também outras relações do triângulo inicial ABC. Como a=m+n, somando c² com b², obtemos:O papel da trigonometria
A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vem seu significado mais amplo: Medida dos Triângulos, assim através do estudo da Trigonometria podemos calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos).
Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular distâncias inacessíveis, como a altura de uma torre, a altura de uma pirâmide, distância entre duas ilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre outras.
A Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que além de seu uso na Matemática, também é usado no estudo de fenômenos físicos, Eletricidade, Mecânica, Música, Topografia, Engenharia entre outros.
c² + b² = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a²
Que resulta no Teorema de Pitágoras:
a² = b² + c²
A demonstração acima, é uma das várias demonstrações do Teorema de Pitágoras.
Funções trigonométricas básicas
As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo e seus ângulos. As três funções básicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo é indicado pela letra x.
	Função
	Notação
	Definição
	seno
	sen(x)
	
	cosseno
	cos(x)
	
	tangente
	tan(x)
	
Tomando um triângulo retângulo ABC,com hipotenusa H medindo 1 unidade, então o seno do ângulo sob análise é o seu cateto oposto CO e o cosseno do mesmo é o seu cateto adjacente CA. Portanto a tangente do ângulo analisado será a razão entre seno e cosseno desse ângulo.
Relação fundamental: Para todo ângulo x (medido em radianos), vale a importante relação:
cos²(x) + sen²(x) = 1
Ângulos notáveis
	Graus
	Radianos
	sen
	cos
	tg
	0
	0
	0
	1
	0
	30
	
	
	
	
	45
	
	
	
	1
	60
	
	
	
	
	90
	
	1
	0
	∞
Leis dos Cossenos e Senos
Resolver triângulos é estabelecer um conjunto de cálculos que nos permitam determinar os lados, ângulos e outros segmentos do triângulo. A lei dos senos e dos cossenos, são utilizadas para a resolução de triângulos quaisquer.
Lei dos Cossenos
Muitos casos o triângulo envolvido não é retângulo, nesse caso devemos usar a lei dos cossenos. Considere um triângulo ABC qualquer de lados a, b e c:
Para esses triângulos podemos escrever:
a²=b²+c²-2·b·c·cosÂ
Essa equação pode ser para qualquer ângulo obedecendo a sequência:
Em qualquer triângulo quando um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.
Lei dos Senos
A lei dos senos estabelece a relação entra a mediada de um lado e o seno do ângulo oposto a esse lado. Para um triângulo ABC de lados a, b, c, podemos escrever.
 Questão 1
Um avião percorreu a distância de 5 000 metros na posição inclinada, e em relação ao solo, percorreu 3 000 metros. Determine a altura do avião.
Questão 2
Do topo de uma torre, três cabos de aço estão ligados à superfície por meio de ganchos, dando sustentabilidade à torre. Sabendo que a medida de cada cabo é de 30 metros e que a distância dos ganchos até à base da torre é de 15 metros, determine a medida de sua altura. 
Questão 3
Uma escada de 12 metros de comprimento está apoiada sob um muro. A base da escada está distante do muro cerca de 8 metros. Determine a altura do muro. 
 
Questão 4
Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros, considerando que a cerca de arame terá 4 fios.  
Questão 5
A rua Tenório Quadros e a avenida Teófilo Silva, ambas retilíneas,  cruzam-se conforme um ângulo de 30º. O posto de gasolina Estrela do Sul  encontra-se na avenida Teófilo Silva a 4 000 m do citado cruzamento. Portanto, determine em quilômetros, a distância entre o posto de gasolina Estrela do Sul e a rua Tenório Quadros?
Questão 6
Um avião levanta voo sob um ângulo constante de 20º. Após percorrer 2 000 metros em linha reta, qual será a altura atingida pelo avião, aproximadamente? (Utilize: sem 20º = 0,342; cos 20º = 0,94 e tg 20º = 0,364)
Questão 7
Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo, um ângulo de 30º (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 1 000 metros, qual a altura atingida pelo avião?
Questão 8
De um ponto A, um agrimensor enxerga o topo T de um morro, conforme um ângulo de 45º. Ao se aproximar 50 metros do morro, ele passa a ver o topo T conforme um ângulo de 60º. Determine a altura do morro.
Questão 9
Determine os valores de x, y, w e z em cada caso:
Questão 10
Em um triângulo retângulo, determine as medidas dos ângulos agudos e da hipotenusa, sabendo que um dos catetos mede 3 cm e o outro mede √3 cm.
Questão 11
(Cesgranrio) Uma rampa plana, de 36 m de comprimento, faz ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente de:
a) 6√3 m.
b) 12 m.
c) 13,6 m.
d) 9√3 m.
e) 18 m.
Questão 12
(UFAM) Se um cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo medem 2a e 4a, respectivamente, então a tangente do ângulo oposto ao menor lado é:
a) 2√3
b) √3
     3
c) √3
     6
d) √20
     20
e) 3√3
Respostas
Resposta Questão 1
Resposta Questão 2
Resposta Questão 3
Resposta Questão 4
Resposta Questão 5
Resposta Questão 6
A altura atingida pelo avião será de 684 metros. 
Resposta Questão 7
A altura será de 500 metros. 
Resposta Questão 8
Resposta Questão 9
a) Através do cosseno de 30°, temos:
cos 30° = cat. adjacente a 30°
                hipotenusa
√3 = 16
2     x
√3 • x = 16 • 2
x = 32
     √3
x = 32•√3
     √3•√3
x = 32•√3
     3
 Portanto, a hipotenusa mede  32•√3 unidades.
                                               3
b) Através do seno de y:
sen y = cat. oposto a y
            hipotenusa
sen y = 13
            26
sen y = 1
            2
O seno de y é ½. Podemos então concluir que y = 30°.
c) Pelo seno de 60°:
sen 60° = cat. oposto a 60°
              hipotenusa
√3 = w
  2   18
2∙w = 18√3
w = 18√3
      2
w = 9√3
Concluímos que w = 9√3 unidades.
d) Através do cosseno de 45°:
cos 45° = cat. adjacente a 45°
               hipotenusa
√2 = 20
2     z
√2 • z = 20 • 2
z = 40 . √2
      √2   √2
x = 40√2
      2
x = 20√2
Portanto, a hipotenusa mede 20√2 unidades.
Resposta Questão 10
Como sabemos apenas as medidas dos catetos, vamos utilizar o Teorema de Pitágoras para determinar a medida da hipotenusa (h):
(hipotenusa)² = (cateto)² + (cateto)² 
h² = 3² + (√3)²
h² = 9 + 3
h = √12
h = 2√3 cm
Considere um ângulo α oposto ao lado de 3 cm. Calculando sua tangente, temos:
tg α = cat. oposto a α
         cat. adjacente a α
tg α = 3
         √3
tg α = 3
         √3
tg α = 3 . √3
        √3   √3
tg α = 3√3
          3
tg α = √3
Se tg α = √3, logo α = 60°. Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180° e que esse é um triângulo retângulo, podemos determinar a medida de outro ângulo agudo β:
β + α + 90° = 180°
β + 60° + 90° = 180°
β + 150° = 180°
β = 180° – 150°
β = 30°
Portanto, os ângulos agudos desse triângulo valem 30° e 60°.
Resposta Questão 11
Podemos representar no triângulo ilustrado a seguir a situação descrita no problema. A hipotenusa representa a rampa percorrida pela pessoa citada:
Representação geométrica da questão 3
Na figura, a altura que a pessoa foi elevada está representada pelo lado vermelho (cateto oposto ao ângulo de 30°). Vamos chamar esse lado do triângulo de x para determinar seu valor. Para tanto, utilizaremos a fórmula do seno:
sen 30° = cat. oposto
               hipotenusa
1 = x
2   36
2x = 36
x = 36
      2
x = 18 m
Portanto, ao subir a rampa, a pessoa eleva-se verticalmente 18 m. Logo, a alternativa correta é a letra e.
Resposta Questão 12
Pelo enunciado do exercício, sabemos que a hipotenusa mede 4a e um dos catetos mede 2a, mas não sabemos de qual cateto se trata. Precisamos determinar a medida do segundo cateto. Chamando-o de c, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
(hipotenusa)² = (cateto)² + (cateto)²
(4a)² = (2a)² + c²
16a² = 4a² + c²
c² = 16a² – 4a²
c² = 12a²
c = √12a²
c = 2a√3
Agora que conhecemos o terceiro lado da figura, podemos esboçar o triângulo com o qual estamos trabalhando:
Representação geométrica da questão 4
Vamos chamar de α o ângulo oposto a 2a, que é o menor cateto. Agora podemos determinar a tangente de α:
tg α = cat. oposto a α
         cat. adjacente a α
tg α = 2a
         2a√3
tg α = 1
         √3
tg α = 1 . √3
        √3  √3
tg α = √3
          3
Portanto, a alternativa que indica a resposta correta é a letra b.
Seno, cosseno e tangente da soma e da diferença
Na circunferência trigonométrica, sejam os ângulos a e b com 0<a<2π e 0<b<2π, a>b, então;
sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b)
cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)
Dividindo a expressão de cima pela de baixo, obtemos:
Dividindo todos os quatro termos da fração por cos(a)cos(b), segue a fórmula:
	
	
Como
sen(a-b) = sen(a)cos(b) - cos(a)sen(b)
cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)
podemos dividir a expressão de cima pela de baixo, para obter:
Fórmulas de arco duplo, arco triplo e arco metade
Conhecendo-se as relações trigonométricas de um arco de medida a, podemos obter estas relações trigonométricas para arcos de medidas 2a, 3a e a/2, que são consequências imediatas das fórmulas de soma de arcos.
Fórmulas de arco duplo
Nas situações acima tomandob=a, obtemos algumas fórmulas do arco duplo:
sen(2a)=sen(a)cos(a)+cos(a)sen(a)=2sen(a)cos(a)
cos(2a)=cos(a)cos(a)-sen(a)sen(a)=cos²(a)-sin²(a)
de onde segue que
Substituindo sin²(a)=1-cos²(a) nas relações acima, obtemos uma relação entre o cosseno do arco duplo com o cosseno do arco:
cos(2a) = cos²(a) - sin²(a)
 = cos²(a) - (1-cos²(a)
 = 2 cos²(a) - 1
Substituindo cos²(a)=1-sin²(a) nas relações acima, obtemos uma relação entre o seno do arco duplo com o seno do arco:
cos(2a) = cos²(a) - sin²(a)
 = 1 - sin²(a) - sin²(a))
 = 1 - 2sin²(a)
Fórmulas de arco triplo
Se b=2a em sen(a+b)=sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b), então
sen(3a)= sen(a+2a)
 = sen(a)cos(2a) + cos(a)sen(2a)
 = sen(a)[1-2sin²(a)]+[2sen(a)cos(a)]cos(a)
 = sen(a)[1-2sin²(a)]+2sen(a)cos²(a))
 = sen(a)[1-2sin²(a)]+2sen(a)[1-sin²(a)]
 = sen(a)-2sin³(a))+2sen(a)-2sin²(a))
 = 3 sen(a) - 4 sin³(a)
Se b=2a em cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b), então
cos(3a)= cos(a+2a)
 = cos(a)cos(2a) - sen(a)sen(2a)
 = cos(a)[2cos²(a)-1]-sen(a)[2sen(a)cos(a)]
 = cos(a)[2cos²(a)-1]-2sen²(a)cos(a)
 = cos(a)[2cos²(a)-1-2(1-cos²(a))]
 = cos(a)[2cos²(a)-3+2cos²(a)]
 = cos(a)[4cos²(a)-3]
 = 4 cos³(a) - 3 cos(a)
As fórmulas do arco triplo são
sen(3a) = 3sen(a)-4sin³(a)
cos(3a) = 4cos³(3a)-3cos(a)
Fórmulas de arco metade
Partindo das fórmulas do arco duplo
cos(2a) = 2cos²(a) - 1
cos(2a) = 1 - 2sin²(a)
e substituindo 2a=c, obtemos:
cos(c) = 2cos²(c/2) - 1
cos(c) = 1 - 2sin²(c/2)
Assim
Dividindo a expressão de cima pela de baixo, obtemos a tangente da metade do arco, dada por:
Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros, obtemos uma fórmula que expressa a tangente da metade do arco em função do cosseno do arco.
Função seno
Dado um ângulo de medida x, a função seno é a relação que associa a cada x em R, o seno do ângulo x, denotado pelo número real sen(x). A função é denotada por f(x)=sen(x) ou y=sen(x).
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2π].
	x
	0
	
	
	
	π
	
	
	
	2 π
	y
	
0
	
	
1
	
	
0
	
	
-1
	
	
0
Gráfico: Na figura, o segmento Oy' que mede sen(x), é a proje-ção do segmento OM sobre o eixo OY.
Propriedades da função seno
1. Domínio: A função seno está definida para todos os valores reais, sendo assim Dom(sen)=R.
2. Imagem: O conjunto imagem da função seno é o intervalo I={y em R: -1<y<1}
3. Periodicidade: A função é periódica de período 2 π. Para todo x em R e para todo k em Z:
sen(x) = sen(x+2π) = sen(x+4 π) =...= sen(x+2k π)
Justificativa: Pela fórmula do seno da soma de dois arcos, temos
sen(x+2k π) = sen(x)cos(2k π) + cos(x)sen(2k π)
para k em Z, cos(2k π)=1 e sen(2k π)=0
sen(x+2k π) = sen(x)(1)+cos(x)(0) = sen(x)
A função seno é periódica de período fundamental T=2 π.
Completamos o gráfico da função seno, repetindo os valores da tabela em cada intervalo de medida 2 π.
4. Sinal:
	Intervalo
	[0, π/2]
	[π/2, π]
	[π,3 π/2]
	[3 π/2,2 π]
	Função seno
	positiva
	positiva
	negativa
	negativa
5. Monotonicidade:
	Intervalo
	[0, π/2]
	[π/2, π]
	[π,3 π/2]
	[3 π/2, 2π]
	Função seno
	crescente
	decrescente
	decrescente
	crescente
6. Limitação: O gráfico de y=sen(x) está inteiramente contido na faixa do plano situada entre as retas horizontais y=-1 e y=1. Para todo x real temos:
-1 < sen(x) < 1
7. Simetria: A função seno é ímpar, pois para todo x real, tem-se que:
sen(-x) = -sen(x)
Função cosseno
Dado um ângulo de medida x, a função cosseno é a relação que associa a cada x em R o número real cos(x). Esta função é denotada por f(x)=cos(x) ou y=cos(x).
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2π].
	x
	0
	
	
	
	π
	
	
	
	2 π
	y
	
1
	
	
0
	
	
-1
	
	
0
	
	
1
Gráfico: O segmento Ox, que mede cos(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo horizontal OX.
Propriedades da função cosseno
1. Domínio: A função cosseno está definida para todos os valores reais, assim Dom(cos)=R.
2. Imagem: O conjunto imagem da função cosseno é o intervalo I={y em R: -1 < y < 1}
3. Periodicidade: A função é periódica de período 2π. Para todo x em R e para todo k em Z:
cos(x)=cos(x+2π)=cos(x+4 π)=...=cos(x+2k π)
Justificativa: Pela fórmula do cosseno da soma de dois arcos, temos
cos(x+2kπ)=cos(x) cos(2kπ)-sen(x) sen(2kπ)
Para todo k em Z: cos(2kπ)=1 e sen(2kπ)=0, então
cos(x+2kπ)=cos(x) (1)-sen(x) (0)=cos(x)
A função cosseno é periódica de período fundamental T=2π.
4. Sinal:
	Intervalo
	[0,/2π]
	[π/2, π]
	[π,3π/2]
	[3π/2,2π]
	Função cosseno
	positiva
	negativa
	negativa
	positiva
5. Monotonicidade:
	Intervalo
	[0, π/2]
	[π/2, π]
	[π,3π/2]
	[3π/2,2π]
	Função cosseno
	decrescente
	decrescente
	crescente
	crescente
6. Limitação: O gráfico de y=cos(x) está inteiramente contido na faixa do plano situada entre as retas horizontais y=-1 e y=1. Para todo x real temos:
-1 < cos(x) < 1
7. Simetria: A função cosseno é par, pois para todo x real, tem-se que:
cos(-x) = cos(x)
Função tangente
Como a tangente não existe para arcos da forma (k+1) π/2 onde k está em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função tangente como a relação que associa a este x real, a tangente de x, denotada por tan(x).
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2π].
	x
	0
	π/4
	π/2
	3 π/4
	π
	5π/4
	3π/2
	7π/4
	2π
	y
	0
	1
	
	-1
	0
	1
	
	-1
	0
Gráfico: O segmento AT, mede tan(x).
Pelo gráfico, notamos que quando a medida do arco AM está próximo de π/2 (ou de - π /2), a função tangente cresce muito rapidamente, pois a reta que passa por OM tem coeficiente angular cada vez maior vai se tornando cada vez mais vertical e a interseção com a reta t vai ficando mais distante do eixo OX.
Propriedades
1. Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma /2+kπ, onde k em Z, temos
Dom(tan)={x em R: x diferente de π/2+k π }
2. Imagem: O conjunto imagem da função tangente é o conjunto dos números reais, assim I=R.
3. Periodicidade A função é periódica e seu período é π
Para todo x em R, sendo x diferente de π/2+kπ, onde k pertence a Z
tan(x)=tan(x+ π)=tan(x+2π)=...=tan(x+kπ)
Justificativa: Pela fórmula da tangente da soma de dois arcos, temos
A função tangente é periódica de período fundamental T=π.
Podemos completar o gráfico da função tangente, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.
4. Sinal:
	Intervalo
	[0,π/2]
	[π/2, π]
	[π,3 π/2]
	[3π/2,2π]
	Função tangente
	positiva
	negativa
	positiva
	negativa
5. Monotonicidade: A tangente é uma função crescente, exceto nos pontos x=k π/2, k inteiro, onde a função não está definida.
6. Limitação: A função tangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de (2k+1) π/2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
7. Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x real onde a tangente está definida, tem-se que:
tan(x)=-tan(-x)
Função cotangente
Como a cotangente não existe para arcos da forma (k+1) http://pe.olx.com.br/grande-recife/imoveis/excelente-oportunidade-em-boa-viagem-179035848?xtmc=boa+viagem&xtnp=1&xtcr=19 onde k é um inteiro, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função cotangen-te como a relação que associa a cada x real, a cotangente de x, denotada por:
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2π].
	x
	0
	π/4
	π/2
	3 π/4
	π
	5 π/4
	3 π/2
	7 π/4
	2π
	y
	
	1
	0
	-1
	
	1
	0
	-1
	
Gráfico: O segmento Os' mede cot(x).
Observando no gráfico o que ocorre quando a medida do arco AM está próxima de π (ou -π), podemos verificar que o gráfico da função cotangente cresce muito rapidamente, pois a reta que passa por OM vai ficando cada vez mais horizontal e a sua interceção com a reta s vai se tornando muito longe.
Propriedades
1. Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma π+kπ, onde k em Z, temos
Dom(cot)={x em R: x é diferente de (k+1)π }
2. Imagem: O conjunto imagem da função cotangente é o conjunto dos números reais, assim I=R.
3. Periodicidade A função é periódica e seu período é π
Para todo x em R, sendo x diferente de π+kπ, onde k em Z
cot(x)=cot(x+π)=cot(x+2π)=...=cot(x+kπ)A função cotangente é periódica de período fundamental 2π.
4. Sinal:
	Intervalo
	[0, π/2]
	[π/2, π]
	[π,3π/2]
	[3π/2,2π]
	Função tangente
	positiva
	negativa
	positiva
	negativa
5. Monotonicidade: A cotangente é uma função sempre decrescente, exceto nos pontos x=kπ, k inteiro, onde a função não está definida.
6. Limitação: A função cotangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de kπ/2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
7. Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x real, tem-se que:
cot(x)=-cot(-x)
Função secante
Como a secante não existe para arcos da forma (2k+1)π/2 onde k em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função secante como a relação que associa a este x real, a secante de x, denotada por sec(x).
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2π].
	x
	0
	π/4
	π/2
	3 π/4
	π
	5π/4
	3π/2
	7π/4
	2 π
	y
	1
	
	
	-
	1
	-
	
	
	1
Gráfico: O segmento OV mede sec(x).
Quando x assume valores próximos de π/2 ou de 3π/2, cos(x) se aproxima de zero e a fração 1/cos(x) em valor absoluto, tende ao infinito.
Propriedades
1. Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma π/2+kππ, onde k em Z, temos
Dom(sec)={x em R: x é diferente de (2k+1)π/2}
2. Imagem: Para todo x pertencente ao domínio da secante, temos que sec(x) < -1 ou sec(x) > 1, assim o conjunto imagem da secante é dado pelos conjuntos:
Im(sec)={y emR: y < -1    ou    y > 1}
3. Periodicidade A função é periódica e seu período é 2π
Para todo x em R, sendo x diferente de π+kπ, onde k em Z
sec(x)=sec(x+2π)=sec(x+4π)=...=sec(x+2kπ)
por este motivo, a função secante é periódica e seu período é 2π, podemos então completar o gráfico da secante, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.
4. Sinal:
	Intervalo
	[0,π/2]
	[π/2,π]
	[π,3π/2]
	[3π/2,2π]
	Função secante
	positiva
	negativa
	negativa
	positiva
5. Monotonicidade:
	Intervalo
	[0,π/2]
	[π/2,π]
	[π,3π/2]
	[3π/2,2π]
	Função secante
	crescente
	crescente
	decrescente
	decrescente
6. Limitação: A função secante não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de (2k+1)π/2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
7. Simetria: A função secante é par, pois para todo x onde a secante está definida, tem-se que:
sec(x)=sec(-x)
Função cossecante
Como a cossecante não existe para arcos da forma kπ onde k em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definir a função cossecante como a relação que associa a este x real, a cossecante de x, denotada por csc(x)
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2π].
	x
	0
	π/4
	π/2
	3π/4
	π
	5π/4
	3π/2
	7π/4
	2π
	y
	
	
	1
	
	
	-
	-1
	-
	
Gráfico: O segmento OU mede csc(x).
Quando x assume valores próximos de 0, π ou de 2π, sen(x) se aproxima de zero e a fração 1/sen(x) em valor absoluto, tende ao infinito.
Propriedades
1. Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma kπ, onde k em Z, temos
Dom(csc)={x em R: x diferente de kπ}
2. Imagem: Para todo x pertencente ao domínio da cossecante, temos que csc(x)<-1 ou csc(x)>1, assim o conjunto imagem da cossecante é dado pelos conjuntos:
Im(csc)={y em R: y < -1    ou    y > 1}
3. Periodicidade: A função é periódica e seu período é 2π
Para todo x em R, sendo x diferente de kπ, onde k em Z
csc(x)=csc(x+π)=csc(x+2π)=...=csc(x+kπ)
por este motivo, a função cossecante é periódica e seu período é 2π, podemos então completar o gráfico da secante, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.
4. Sinal:
	Intervalo
	[0,π /2]
	[π/2,π]
	[π,3π/2]
	[3π/2,2π]
	Função cossecante
	positiva
	positiva
	negativa
	negativa
5. Monotonicidade:
	Intervalo
	[0,π/2]
	[π/2,π]
	[π,3π/2]
	[3π/2,2π]
	Função cossecante
	decrescente
	crescente
	crescente
	decrescente
6. Limitação: A função cossecante não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de kπ, a função cresce (ou decresce) sem controle.
7. Simetria: A função secante é ímpar, pois para todo x onde a cossecante está definida, tem-se que:
csc(x)=-csc(-x)
Questão 1
Determine o valor de A = sen 105° + cos 105°.
Questão 2
Quanto vale (tg 15°). (sen 15°)?
Questão 3
(PUC – SP) Se tg (x + y) = 33 e tg x = 3, então tg y é igual a:
a) 0,2
b) 0,3
c) 0,4
d) 0,5
e) 0,6
Questão 4
(UFAM) O cosseno do arco de medida 255° é igual a:
a) √6 – √3
         4
b) √6 – √2
         4
c) –√2 – √6
          4
d) √2 + √6
         4
e) √2 – √6
         4
Respostas
Resposta Questão 1
Para resolver essa expressão, precisamos identificar os valores de sen 105° e de cos 105°. Para tanto, podemos considerar que 105° = 45° + 60°. Através do cosseno da soma de dois arcos, temos:
cos (x + y) = cos x . cos y – sen x . sen y
cos (45° + 60°) = cos 45° . cos 60° – sen 45° . sen 60°
cos (105°) = √2 . 1 – √2 . √3
                     2     2     2     2
cos (105°) = √2 – √6
                     4     4
A partir do seno da soma de dois arcos, temos:
sen (x + y) = sen x . cos y + sen y . cos x
sen (45° + 60°) = sen 45° . cos 60° + sen 60° . cos 45°
sen (105°) = √2 . 1 + √3 . √2
                      2     2     2     2
sen (105°) = √2 + √6
                      4     4
Vamos agora encontrar o valor de A:
A = sen 105° + cos 105°
A = √2 – √6 + √2 + √6
       4      4      4      4
A = 2√2
        4
A = √2
       2
Resposta Questão 2
Para encontrar o valor dessa expressão, precisamos primeiro determinar o valor de tg 15° e de sen 15°. Uma das alternativas para encontrar esses valores é utilizar a diferença entre os ângulos de 60° e 45°. Temos, então:
tg (x – y) = tg x – tg y 
                    1 + tg x . tg y
tg (60° – 45°) = tg 60° – tg 45° 
                         1 + tg 60° . tg 45°
tg (15°) = √3 – 1 
                 1 + √3.1
tg (15°) = √3 – 1 
                1 + √3
Vamos agora determinar o valor de sen (15)°:
sen (x – y) = sen x . cos y – sen y . cos x
sen (60° – 45°) = sen 60° . cos 45° – sen 45° . cos 60°
sen (15°) = √3 . √2 – √2 . 1
                     2     2      2    2
sen (15°) = √6 – √2
                    4      4
sen (15°) = √6 – √2
                     4
Resolvendo a expressão, temos:
(tg 15°). (sen 15°) = (√3 – 1 ) . (√6 – √2)
                           (1 + √3)         4
(tg 15°). (sen 15°) = √18 – √6 – √6 + √2
                                    4 + 4√3
Fatorando √18, encontramos que √18 = 3√2. Assim:
(tg 15°). (sen 15°) = 3√2 – 2√6 + √2
                                    4 + 4√3
(tg 15°). (sen 15°) = 4√2 – 2√6
                                   4 + 4√3
(tg 15°). (sen 15°) = 2√2 – √6
                                  2 + 2√3
Resposta Questão 3
O cálculo da adição de arcos da tangente é dado por:
tg (x + y) = tg x + tg y 
                  1 – tg x . tg y
Sabendo que tg (x + y) = 33 e tg x = 3, temos:
33 = 3 + tg y 
        1 – 3.tg y
33 – 99.tg y = 3 + tg y
100.tg y = 30
tg y = 30
          100
tg y = 0,3
Portanto, a alternativa correta é a letra b.
Resposta Questão 4
O valor do cosseno de 255º é desconhecido por nós, mas pode ser obtido a partir da soma de arcos. Uma das possibilidades é desmembrar o ângulo de255° na soma 180° + 75°. Os valores de seno e cosseno de 180° são conhecidos, entretanto, precisamos encontrá-los para o ângulo de 75°, o que pode ser feito a partir da soma dos arcos de 30° e 45°:
cos (x + y) = cos x . cos y – sen x . sen y
cos (30° + 45°) = cos 30° . cos 45° – sen 30° . sen 45°
cos (75°) = √3 . √2 – 1 . √2
                    2     2     2     2
cos (75°) = √6 – √2
                    4     4
cos (75°) = √6 – √2
                  4
Vamos agora encontrar o valor do cosseno de 255°:
cos (x + y) = cos x . cos y – sen x . sen y
cos (180° + 75°) = cos 180° . cos 75° – sen 180° . sen 75°
cos (255°) = (– 1) . √6 – √2 – 0 . sen 75°
          4
cos (255°) = √2 – √6
                     4
Concluímos então que a alternativa correta é a letra e.
Circunferência
Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência. A circunferência possuicaracterísticas não comumente encontradas em outras figuras planas. Círculo (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo 0 é menor ou igual que uma distância r dada.  A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência. A circunferência possui características não comumente encontradas em outras figuras planas, como o fato de ser a única figura plana que pode ser rodada em torno de um ponto sem modificar sua posição aparente. É também a única figura que é simétrica em relação a um número infinito de eixos de simetria. A circunferência é importante em praticamente todas as áreas do conhecimento como nas Engenharias, Matemática, Física, Química, Biologia, Arqui-tetura, Astronomia, Artes e também é muito utilizado na indústria e bastante utilizada nas residências das pessoas.
Algumas definições
Raio - Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência.
Arco – é uma parte da circunferência limitada por dois pontos, que se chamam extremidades do arco.
Corda – é um segmento de infinitos pontos alinhados, cujos pontos extremos com um ponto da circunferência. Quando esse segmento passa pelo centro da circunferência, temos o que chamamos de diâmetro. O diâmetro é sempre a corda maior: como é a corda que passa pelo centro, sua medida é igual a duas vezes a medida do raio.
Assim, para medir a maior distância entre dois pontos de uma circunferência, deve medir o diâmetro, ou seja, o seu instrumento de medida (régua, trena ou fita métrica) deve passar pelo centro da circunferência. Em alguns casos, porém, apenas uma parte da circunferência é utilizada.
Tangente – é a reta que tem um único ponto comum à circunferência, este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato.
Secante – é a reta que intercepta a circunferência em dois pontos distintos, se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer também que é a reta que contém uma corda.
Para simbolizar a corda que une os pontos P e Q, utilizamos a notação de segmento de reta, ou seja, corda PQ.
Por outro lado, o arco também começa em P e termina em Q mas, como você pode ver, a corda e o arco são diferentes e por isso a simbologia também deve ser diferente. Para o arco, usamos PQ.
Da mesma forma que a maior corda é o diâmetro, o maior arco é aquele que tem as
extremidades em um diâmetro. Esse arco é chama-do semicircunferência, e a parte do círculo correspondente é chamada semicírculo.
O Comprimento da circunferência- Quanto maior for o raio (ou o diâmetro) de uma circunferência maior será o seu comprimento. Imagine que você vai caminhar em torno de uma praça circular: você andará menos em uma praça com 500 metros de diâmetro do que numa praça com 800 metros de diâmetro. No exemplo abaixo, cada uma das três circun-ferências foi cortada no ponto marcado com uma tesourinha, e a linha do traçado de cada uma delas foi esticada.
Círculo- É o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo 0 é menor ou igual que uma distância r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. É uma figura geométrica bastante comum em nosso dia-a-dia. Observe à sua volta  quantos objetos circulares estão presentes: nas moedas, nos discos, a mesa de refeição...
Agora pense, o que faríamos para:
* riscar no tecido o contorno de uma toalha de mesa redonda?
*desenhar um círculo no seu caderno? 
* marcar o limite das escavações de um poço no chão?
Quando falamos em círculo, ninguém tem dúvida quanto ao formato dessa figura geométrica. No entanto, em geometria, costuma-se fazer uma pequena distinção entre círculo e circunferência, sobre a qual você já deve ter ouvido falar. A superfície de uma moeda, de uma pizza ou de um disco é um círculo.
Quando riscamos no papel ou no chão apenas o contorno do círculo, este contorno é chamado circunferência. O compasso é um instrumento utilizado para desenhar circunferências.  
O compasso possui duas “pernas”, uma delas tem uma ponta metálica, que deve ser assentada no papel, no local que será o centro da circunferência, a outra ponta, com a grafite, deve ser girada para obter o traçado da circunferência.
Antes de traçar uma circunferência, devemos decidir qual será a abertura entre as pernas do compasso.  
À distância entre as duas pontas do compasso define o raio da circunferência.
Utilizando uma tachinha, um barbante e um giz podem-se riscar uma circunferência no chão ou no tecido. Os operários, jardineiros e pedreiros, por exemplo, costumam usar uma corda e duas estacas. 
Posições Relativas entre Reta e circunferência
* Tangente:
A reta tem um só ponto A comum com a circunferência, e os outros pontos da reta são exteriores à circunferência. A tangente a um círculo, num ponto, é a perpendicular ao raio que tem extremidade nesse ponto.
d = r
* Secante:
A reta tem dois pontos distintos A e B comuns com a circunferência.
d <  r
* Externo:
A reta não tem ponto comum com a circunferência. Todos os pontos da reta são exteriores à circunferência
d > r
Posições Relativas entre duas circunferência
Obs: (d = distância entre os Centros) 
1 - Não se interceptam: 
* Externamente: 
A duas circunferências não têm ponto em comum.
d > r1 + r2 
* Internamente: 
As duas circunferências não têm pontos em comum e os pontos de uma delas são interiores à outra.
d < |r1 - r2| 
2 - São Tangentes:
* Externamente: 
As duas circunferências têm um único ponto em comum e os demais pontos de uma delas são exteriores à outra. O ponto comum é o ponto de tangência.
d = r1 + r2 
* Internamente: 
As duas circunferências têm um único ponto em comum e os demais pontos de uma delas são interiores à outra. O ponto comum é o ponto da tangência.
d = |r1 - r2| 
3 - São Secantes:
As duas circunferências têm dois pontos distintos em comum. São denominadas circunferências SECANTES.
|r1 - r2| < d < r1 + r2 
4 - Caso particular: Concêntricas: 
As duas circunferências são interiores e os centros das duas são coincidentes.
d = 0 
Geometria Euclidiana
O grande organizador da geometria grega é Euclides (300 a.C.). A base da geometria euclidiana, que dominou de forma absoluta até o século XIX, tem como postulado a existência de apenas uma linha paralela a uma linha “m” que contém um dado ponto não pertencente à linha “m”.
Teorema de Pitágoras, o mais importante da geometria euclidiana, foi “descoberto” empiricamente pelos agricultores egípcios, e só posteriormente foi depurado do seu conteúdo empírico pelos geômetras gregos.
A  identificação da geometria euclidiana como sendo a própria geometria do mundo.
Com o desenvolvimento das Ciências, começou a ficar claro que, por trás do mundo do dia-a-dia, existe um Universo mais vasto que só pode ser interpretado com a ajuda de uma geometria mais ampla. Todavia, até ao século XIX, a arquitetura lógica euclidiana serviu de modelo de estruturação de outros ramos do conhecimento, pois foi considerada altamente satisfatória. Há que referir como exceção o 5º postulado que, desde a Antiguidade, despertou a atenção de vários matemáticos, o que acabará por conduzir ao aparecimento de novas geometrias.
A  origem da geometria que ainda hoje é ensi-nada nas escolas remon-ta à Antiguidade; consi-dera-se que os povos gregos, obedecendo a moti-vações de ordem prática suscitada por atividades como a As-tronomia, a Navegação e a Agricultura, desenvol-veram técnicas adequa-das para medir a terra, iniciando-se na geome-tria.
Durante séculos esse sistema valeu como mo-delo insuperável do as-ber dedutivo: os termos da teoria são introdu-zidos depois de terem sido definidos e as proposições não são aceitas se não foram demonstradas. As proposições primitivas, base da cadeia sobre a qual se desenvolvem as deduções sucessivas,Euclides as escolhia de tal modo que ninguém pudesse levantar dúvidas sobre a sua veracidade: eram auto evidentes, portanto isentas de demonstração. Leibniz afirmaria mais tarde que os gregos raciocinavam com toda a exatidão possível em matemática e deixaram à humanidade modelos de arte demonstrativa.
Panorama histórico
No entanto, existe a certeza de que, devido a Euclides, os conceitos de geometria adquiriram forma cientifica na Grécia. Embora a sua origem se encontre no antigo Egito, local onde sentiu a necessidade de efetuarem medições da terra devido às inundações periódicas do rio Nilo.
Medir as terras para fixar os limites das propriedades era uma tarefa importante nas civilizações antigas, especialmente no Egito. Ali, as enchentes do Nilo derrubavam os marcos fixados no ano anterior, obrigando os proprietários a refazer os limites de suas áreas de cultivo. Os egípcios tornaram-se hábeis delimitadores de terras e devem Ter descoberto e utilizando inúmeros princípios úteis relativos às características de linhas, ângulos e figuras - como por exemplo, o de que a soma dos três ângulos de um triângulo é igual a dois ângulos retos, e o de que a área de um paralelogramo é igual à do retângulo que tenha a mesma base e a mesma altura.
Os antigos egípcios devem ter obtido esses princípios por intermédio da observação e da experimentação - isto é, por intermédio de um raciocínio indutivo, medindo formas e comparando resultados. Os egípcios se limitaram à acumulação de conhecimentos que os habilitavam a resolver problemas de traçado de limites, de comparação de áreas, de projetos arquitetônicos e de engenharia de construções.
Os gregos perceberam o que os egípcios eram capazes de fazer, e assimilaram seus princípios empíricos. A este conhecimento, os gregos deram o nome de geometria - isto é, medida da terra. Mas os gregos apreciavam a Geometria também em virtude de seu interesse teórico. Aos gregos não bastou o critério empírico; procuraram encontrar demonstrações dedutivas rigorosas das leis acerca do espaço, que governavam as aplicações práticas da Geometria. Alguns filósofos gregos, em particular Pitágoras e Platão, davam enorme importância intelectual à Geometria, considerando que em sua forma pura e abstrata ela se aproximava bastante da metafísica e da religião. 
Biografia de Euclides
Euclides de Alexandria nasceu em 325 a.C. e morre em 265 a.C., foi um matemático grego, que ficou conhecido pelo seu mais famoso trabalho “Os Elementos”. Muito pouco sabe sobre sua vida, sabe-se que ensinou em Alexandria, no Egito, durante o reinado do Rei Ptolomeu (306-283 a.c.). Alcançou grande prestígio pela forma brilhante como ensinava Geometria e Álgebra, conseguindo assim atrair para suas lições públicas um grande número de discípulos.
É um dos mais influentes matemáticos gregos da Antiguidade. É possível que tenha aprendido matemática em Atenas, com os discípulos de Platão.
Euclides tornou-se professor e estudioso da escola em Alexandria conhecida como Museum. Enquanto esteve no Museum, ele escreveu seu trabalho de maior influência, os Elementos.
Fundou a primeira escola de matemática de Alexandria, onde havia a biblioteca mais impressionante da Antiguidade, onde havia cerca de 700.000 volumes e foi ai que suas obras tomaram forma.
Como Euclides escreveu “Os Elementos”, que é usado a mais de 2.000 anos, esse lhe rendeu o título de “Pai da Geometria”.
Obras de Euclides
Estes livros e a bíblia são provavelmente os livro mais reproduzidos e estudados na história do mundo ocidental.
Como todos sabem, sua obra Stoichia (Os Elementos, 300 a.c), foi sua mais famosa. Essa obra consiste em uma obra de treze volumes, escrita em grego, que cobria toda aritmética, a álgebra e a geometria conhecidas até então no mundo grego, reunindo o trabalho de seus predecessores, como Hipócrates e Eudóxio, sistematizava todo o conhecimento geométrico dos antigos e intercalava os teoremas já conhecidos então com a demonstração de muitos outros, que completavam lacunas e davam coerência e encadeamento lógico ao sistema por ele criado. são os livros mais difundidos da história. Mais de mil edições foram impressas desde a primeira versão impressa de 1482 e, mesmo antes desta data, foram os textos básicos da matemática padrão do ocidente. A qualidade das definições e o desenvolvimento axiomático da aritmética evoluíram muito desde a época de Euclides porém, o valor fundamental dos textos euclidianos é difícil de ser superado
Nos Elementos, Euclides chama "postulados" as leis que não podem ser demonstradas, que tratam de retas, ângulos, e figuras - logo são consideradas verdadeiras, e utilizadas para demonstrar as outras leis geométricas. As leis demonstráveis são chamadas "teoremas" ou "proposições".
Foi o texto mais influente de todos os tempos e com maior número de edições publicadas, tão marcante que seus sucessores o chamavam de  “o elementador”. O tratado começa sem introdução ou preâmbulo, com definições “postulados e axiomas”, que os modernos denominam ser pressuposições. A seguir vêm as proposições, apresentadas e demonstradas com grande rigor e rara clareza, com base nos pressupostos. A complexidade é crescente e à medida que o texto avança as proposições se apoiam em pressupostos e proposições anteriormente demonstrados.
Polígonos Circunscritos e Inscritos
Na geometria costumamos relacionar algumas figuras, entre elas a circunferência e os polígonos. As duas propriedades seguintes pertencem a essa relação: 
· Qualquer polígono regular é inscritível em uma circunferência. 
· Qualquer polígono regular e circunscritível a uma circunferência. 
Temos que polígonos regulares são figuras em que todos os seus lados e todos os seus ângulos são congruentes, isto é, possuem medidas iguais. Observe alguns polígonos inscritos e circunscritos a seguir: 
Polígonos regulares inscritos
Polígonos regulares circunscritos
No caso dos polígonos inscritos apresentados, observe que o vértice de cada polígono é tangente à circunferência. Esse ponto de tangência divide a circunferência em partes iguais, as quais recebem o nome de arco de circunferência. O triângulo inscrito divide a circunferência em 3 arcos de comprimentos iguais, o pentágono em 5 arcos iguais e o octógono em 8 arcos iguais. Cada segmento de reta que forma o lado do polígono é considerado uma corda da circunferência. 
Polígonos Regulares Especiais
1. Quadrado inscrito
As medidas do lado e do apótema do quadrado podem ser escritas em função da medida do raio da circunferência circunscrita a ele.
Medida do lado
O ΔOAB é retângulo isósceles.
Medida da apótema
O ΔOAB é retângulo.
2. Quadrado circunscrito
As medidas do lado e do apótema do quadrado podem ser escritas em função da medida do raio da circunferência inscrita a ele.
Medida do apótema
A medida do ângulo central do quadrado é 90º, pois med(Ô) = 360º/4 = 90º.
Medida do lado
O ΔOMB é retângulo isósceles.
3. Hexágono regular inscrito
As medidas do lado e do apótema do hexágono regular podem ser escritas em função da medida do raio da circunferência circunscrita a ele.
Medida do lado
A medida do ângulo central do hexágono regular é 60º, pois med(Ô) = 360º/6 = 60º.
Medida do apótema
O ΔOMA é retângulo.
4. Hexágono regular circunscrito
As medidas do lado e do apótema do hexágono regular podem ser escritas em função da medida do raio da circunferência inscrita a ele.
 Medida do apótema
A medida do ângulo central do quadrado regular é 90º, pois med(Ô) = 360º/4 = 90º.
Medida do lado
O ΔOMB é retângulo.
5. Triângulo equilátero inscrito
As medidas do lado e do apótema do triângulo eqüilátero podem ser escritas em função da medida do raio da circunferência circunscrita a ele.
 Medida do lado
Temos um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência, e as linhas tracejadas representam os lados de um hexágono regular inscrito nessa circunferência.
Medida do apótema
O ΔOMA é retângulo.
6. Triângulo equilátero circunscrito
As medidas do lado e do apótema do triângulo podem ser escritas em função da medida doraio da circunferência inscrita a ele.
Medida do apótema
A medida do ângulo central do quadrado é 90º, pois med(Ô) = 360º/4 = 90º.
Medida do lado
O ΔOMA é retângulo.
7. Pentágono regular inscrito
As medidas do lado e do apótema do pentágono regular podem ser escritas em função da medida do raio da circunferência circunscrita a ele.
 Medida do lado
A medida do ângulo central do pentágono regular é 72º, pois med(Ô) = 360º/5 = 72º.
Medida do apótema
O ΔOMB é retângulo.
8. Pentágono regular circunscrito
As medidas do lado e do apótema do pentágono regular podem ser escritas em função da medida do raio da circunferência inscrita a ele.
 
Medida do apótema
A medida do ângulo central do quadrado é 90º, pois med(Ô) = 360º/4 = 90º.
 Medida do lado
O ΔOMB é retângulo.
Introdução
A Geometria está apoiada sobre alguns postulados, axiomas, definições e teoremas, sendo que essas definições e postulados são usados para demonstrar a validade de cada teorema. Alguns desses objetos são aceitos sem demonstração, isto é, você deve aceitar tais conceitos porque os mesmos parecem funcionar na prática!
A Geometria permite que façamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc.
Algumas definições
Polígono: É uma figura plana formada por três ou mais segmentos de reta que se intersectam dois a dois. Os segmentos de reta são denominados lados do polígono. Os pontos de intersecção são denominados vértices do polígono. A região interior ao polígono é muitas vezes tratada como se fosse o próprio polígono
Polígono convexo: É um polígono construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da figura original. Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então todo o segmento tendo estes dois pontos como extremidades, estará inteiramente contido no polígono.
	Polígono
	No. de lados
	Polígono
	No. de lados
	Triângulo
	3
	Quadrilátero
	4
	Pentágono
	5
	Hexágono
	6
	Heptágono
	7
	Octógono
	8
	Eneágono
	9
	Decágono
	10
	Undecágono
	11
	Dodecágono
	12
Polígono não convexo: Um polígono é dito não convexo se dados dois pontos do polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades, contiver pontos que estão fora do polígono.
Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas.
Paralelogramo: É um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Pode-se mostrar que num paralelogramo:
1. Os lados opostos são congruentes;
2. Os ângulos opostos são congruentes;
3. A soma de dois ângulos consecutivos vale 180o;
4. As diagonais cortam-se ao meio.
Losango: Paralelogramo que tem todos os quatro lados congruentes. As diagonais de um losango formam um ângulo de 90o.
Retângulo: É um paralelogramo com quatro ângulos retos e dois pares de lados paralelos.
Quadrado: É um paralelogramo que é ao mesmo tempo um losango e um retângulo. O quadrado possui quatro lados com a mesma medida e também quatro ângulos retos.
Trapézio: Quadrilátero que só possui dois lados opostos paralelos com comprimentos distintos, denominados base menor e base maior. Pode-se mostrar que o segmento que liga os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e o seu comprimento é a média aritmética das somas das medidas das bases maior e menor do trapézio.
Trapézio isósceles: Trapézio cujos lados não paralelos são congruentes. Neste caso, existem dois ângulos congruentes e dois lados congruentes. Este quadrilátero é obtido pela retirada de um triângulo isósceles menor superior (amarelo) do triângulo isósceles maior.
"Pipa" ou "papagaio": É um quadrilátero que tem dois pares de lados consecutivos congruentes, mas os seus lados opostos não são congruentes.
Neste caso, pode-se mostrar que as diagonais são perpen-diculares e que os ângulos opostos ligados pela diagonal menor são congruentes.
Triângulo e região triangular
No desenho abaixo, o triângulo ABC é a reunião dos segmentos de reta AB, BC e AC. A reunião de todos os pontos localizados no triângulo e também dentro do triângulo é chamada uma região triangular. A região triangular ABC é limitada pelo triângulo ABC. Os pontos dos lados do triângulo ABC bem como os pontos do interior do triângulo ABC são pontos da região triangular.
	Triângulo ABC
	Região triangular ABC
	
	
Duas ou mais regiões triangulares não são sobrepostas, se a interseção é vazia, é um ponto ou é um segmento de reta. Cada uma das regiões planas abaixo é a reunião de três regiões triangulares não sobrepostas.
O conceito de região poligonal
Uma região poligonal é a reunião de um número finito de regiões triangulares não-sobrepostas e coplanares (estão no mesmo plano). Na gravura abaixo, apresentamos quatro regiões poligonais. Observe que uma região triangular é por si mesmo uma região poligonal e além disso uma região poligonal pode conter "buracos".
Uma região poligonal pode ser decomposta em várias regiões triangulares e isto pode ser feito de várias maneiras
Duas ou mais regiões poligonais são não-sobrepostas quando a interseção de duas regiões quaisquer, é vazia, é um conjunto finito de pontos, é um segmento de reta ou é um conjunto finito de pontos e um segmento de reta.
O estudo de área de regiões poligonais depende de alguns conceitos primitivos:
1. A cada região poligonal corresponde um único número real positivo chamado área.
2. Se dois triângulos são congruentes então as regiões limitadas por eles possuem a mesma área.
3. Se uma região poligonal é a reunião de n regiões poligonais não-sobrepostas então sua área é a soma das áreas das n-regiões.
Observação: Para facilitar o estudo de regiões poligonais, adotaremos as seguintes práticas:
a. Os desenhos de regiões poligonais serão sombreadas apenas quando houver possibilidade de confusão entre o polígono e a região.
b. Usaremos expressões como a área do triângulo ABC e a área do retângulo RSTU no lugar de expressões como a área da região triangular ABC e a área da região limitada pelo retângulo RSTU.
Exemplo: A área da figura poligonal ABCDEFX pode ser obtida pela decomposição da região poligonal em regiões triangulares.
Após isto, realizamos as somas dessas áreas triangulares.
Área(ABCDEFX)=área(XAB)+área(XBC)+...+área(XEF)
Unidade de área
Para a unidade de medida de área, traçamos um quadrado cujo lado tem uma unidade de comprimento.
Esta unidade pode ser o metro, o centímetro, o quilômetro, etc.
Área do Retângulo
A figura ao lado mostra o retângulo ABCD, que mede 3 unidades de comprimento e 2 unidades de altura. O segmento horizontal que passa no meio do retângulo e os segmentos verticais, dividem o retângulo em seis quadrados tendo cada um 1 unidade de área.
A área do retângulo ABCD é a soma das áreas destes seis quadrados. O número de unidades de área do retângulo coincide com o obtido pelo produto do número de unidades do comprimento da base AB pelo número de unidades da altura BC.
O lado do retângulo pode ser visto como a base e o lado adjacente como a altura, assim, a área A do retângulo é o produto da medida da base b pela medida da altura h.
A = b × h
Área do quadrado
Um quadrado é um caso particular de retângulo cuja medida da base é igual à medida da altura. A área do quadrado pode ser obtida pelo produto da medida da base por si mesma.
Esta é a razão pela qual a segunda potência do número x, indicada por x², tem o nome de quadrado de x e a área A do quadrado é obtida pelo quadrado da medida do lado x.
A = x²
Exemplo: Obter a área do retângulo cujo comprimento da base é 8 unidades e o comprimento da altura é 5 unidades.
A = b×h
A = (8u)x(5u) = 40u²
No cálculo de áreas em situações reais, usamos medidas de comprimento em função de alguma certa unidade como: metro, centímetro, quilômetro, etc...
Exemplo: Para calcular a área de um retângulo com 2 m de altura e 120 cm de base, podemos expressar a área em metros quadrados ou qualquer outra unidade de área.
1. Transformando as medidas em metrosComo h=2m e b=120cm=1,20m, a área será obtida através de:
A = b×h
A = (1,20m)×(2m) = 2,40m²
2. Transformando as medidas em centímetros
Como h=2m=200cm e b=120cm, a área do retângulo será dada por:
A = b×h
A = (120cm)×(200cm) = 24000cm²
Área do Paralelogramo
Combinando os processos para obtenção de áreas de triângulos congruentes com aqueles de áreas de retângulos podemos obter a área do paralelogramo.
Qualquer lado do paralelogramo pode ser tomado como sua base e a altura correspondente é o segmento perpendicular à reta que contém a base até o ponto onde esta reta intercepta o lado oposto do paralelogramo.
No paralelogramo ABCD abaixo à esquerda, os segmentos verticais tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base AB.
No paralelogramo RSTV acima à direita, os dois segmentos tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base RV. A área A do paralelogramo é obtida pelo produto da medida da base b pela medida da altura h, isto é, A=b×h.  
Área do Triângulo
A área de um triângulo é a metade do produto da medida da base pela medida da altura, isto é, A=b.h/2.  
Exemplo: Mostraremos que a área do triângulo equilátero cujo lado mede s é dada por A=s²R/2, onde R[z] denota a raiz quadrada de z>0. Realmente, com o Teorema de Pitágoras, escrevemos h²=s²-(s/2)² para obter h²=(3/4)s² garantindo que h=Rs/2.
Como a área de um triângulo é dada por A=b.h/2, então segue que:
A = s × s/2 = s²/2
Observação: Triângulos com bases congruentes e alturas congruentes possuem a mesma área.
Comparação de áreas entre triângulos semelhantes
Conhecendo-se a razão entre medidas correspondentes quaisquer de dois triângulos semelhantes, é possível obter a razão entre as áreas desses triângulos.
Propriedade: A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes.
	
Área do losango
O losango é um paralelogramo e a sua área é também igual ao produto do comprimento da medida da base pela medida da altura.
A área do losango é o semi-produto das medidas das diagonais, isto é, A=(d1d2)/2. 
Área do trapézio
Em um trapézio existe uma base menor de medida b1, uma base maior de medida b2 e uma altura com medida h.
A área A do trapézio é o produto da média aritmética entre as medidas das bases pela medida da altura, isto é, A=(b1+b2).h/2.
Polígonos regulares
Um polígono regular é aquele que possui todos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes. Existem duas circunferências associadas a um polígono regular.
Circunferência circunscrita: Em um polígono regular com n lados, podemos construir uma circunferência circunscrita (por fora), que é uma circunferência que passa em todos os vértices do polígono e que contém o polígono em seu interior.
Circunferência inscrita: Em um polígono regular com n lados, podemos colocar uma circunferência inscrita (por dentro), isto é, uma circunferência que passa tangenciando todos os lados do polígono e que está contida no polígono.
Elementos de um polígono regular
1. Centro do polígono é o centro comum às circunferências inscrita e circunscrita.
2. Raio da circunferência circunscrita é a distância do centro do polígono até um dos vértices.
3. Raio da circunferência inscrita é o apótema do polígono, isto é, a distância do centro do polígono ao ponto médio de um dos lados.
4. Ângulo central é o ângulo cujo vértice é o centro do polígono e cujos lados contém vértices consecutivos do polígono.
	
	
	Apótema: OM,
Raios: OA,OF
Ângulo central: AOF
	Apótema: OX,
Raios: OR,OT
Ângulo central: ROT
5. Medida do ângulo central de um polígono com n lados é dada por 360º/n graus. Por exemplo, o ângulo central de um hexágono regular mede 60º graus e o ângulo central de um pentágono regular mede 360º/5=72º graus.
Áreas de polígonos regulares
Traçando segmentos de reta ligando o centro do polígono regular a cada um dos vértices desse polígono de n-lados, iremos decompor este polígono em n triângulos congruentes.
Assim, a fórmula para o cálculo da área da região poligonal regular será dada pela metade do produto da medida do apótema a pelo perímetro P, isto é:
A = a × Perímetro / 2
Comparando áreas entre polígonos semelhantes
Apresentamos abaixo dois pentágonos irregulares semelhantes. Dos vértices correspondentes A e L traçamos diagonais decompondo cada pentágono em três triângulos.
Os pares de triângulos correspondentes ABC e LMN, parecem semelhantes, o que pode ser verificado diretamente através da medição de seus ângulos com um transferidor. Assumiremos que tal propriedade seja válida para polígonos semelhantes com n lados.
Observação: Se dois polígonos são semelhantes, eles podem ser decompostos no mesmo número de triângulos e cada triângulo é semelhante ao triângulo que ocupa a posição correspondente no outro polígono.
Este fato e o teorema sobre razão entre áreas de triângulos semelhantes são usados para demonstrar o seguinte teorema sobre áreas de polígonos semelhantes.
Teorema: A razão entre áreas de dois polígonos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes.
	
O círculo como o limite de regiões poligonais regulares
Nas figuras abaixo, temos três regiões poligonais regulares inscritas em círculos congruentes.
Quando aumenta o número de lados do polígono inscrito observamos que também aumenta:
1. O apótema, aproximando-se do raio do círculo como um limite.
2. O perímetro, aproximando-se da circunferência do círculo como um limite.
3. A área, aproximando-se da área do círculo como um limite.
Neste trabalho não é possível apresentar uma definição precisa de limite e sem ela não podemos construir uma expressão matemática para o cálculo do perímetro ou da área de uma região poligonal regular inscrita num círculo.
A ideia de limite nos permite aproximar o perímetro da circunferência pelo perímetro do polígono regular inscrito nessa circunferência, à medida que o número de lados do polígono aumenta.
O mesmo ocorre com o cálculo da área do círculo, pois à medida que o número de lados da região poligonal inscrita aumenta, as áreas dessas regiões se aproximam da área do círculo. Este também é um processo através de limites.
Perímetro do círculo e área
Perímetro da circunferência de um círculo é o valor limite da sequência dos perímetros dos polígonos regulares inscritos de n lados na circunferência à medida que o número n de lados aumenta indefinidamente.
Área do círculo é o valor limite da sequência das áreas das regiões poligonais regulares inscritas no círculo quando o número n de lados das poligonais aumenta arbitrariamente.
Relações associadas ao perímetro
1. Com base nestas duas definições temos um importante resultado sobre a relação existente entre o perímetro e o diâmetro da circunferência:
A razão entre o perímetro e o diâmetro
de uma circunferência é uma constante
2. Sejam duas circunferências de diâmetros D1 e D2, com perímetros P1 e P2, respectivamente. A razão entre os perímetros P1 e P2 é igual à razão entre os diâmetros D1 e D2. Como o diâmetro é o dobro do raio, então, o mesmo ocorre para a razão entre os raios r1 e r2.
		
	=
	
	=
	
3. Para todo círculo (e também circunferência), a razão entre o perímetro e o diâmetro é uma constante, denominada Pi, denotada pela letra grega π que é um número irracional (não pode ser escrito como a divisão de dois números inteiros). Uma aproximação para Pi com 10 dígitos decimais é:
π = 3,1415926536....
Área do círculo
Área de um círculo de raio r é o limite das áreas das regiões poligonais regulares inscritas no mesmo. Nesse caso, o diâmetro D=2r. As fórmulas para a área do círculo são:
Área =  πr² = ¼ πD²
Proporção com áreas: Sejam dois círculos de raios, respectivamente, iguais a r1 e r2, áreas A1 e A2 e diâmetros D1 e D2. A razão entre as áreas desses dois círculos é a mesma que a razão entre os quadrados de seus raios ou os quadrados de seus diâmetros.
		
	=
	
	=Arcos
O comprimento de um arco genérico AB pode ser descrito em termos de um limite. Imaginemos o arco AB contendo vários pontos A=Po, P1, P2, P3, ..., Pn-1, Pn=B, formando n pequenos arcos e também n pequenos segmentos de reta de medidas respectivas iguais a: AP1, P1P2, ..., Pn-1B.
A ideia aqui é tomar um número n bastante grande para que cada segmento seja pequeno e as medidas dos arcos sejam aproximadamente iguais às medidas dos segmentos.
O comprimento de um arco AB de uma circunferência de raio r é o valor limite da soma dos comprimentos destas n cordas quando n cresce indefinidamente.
Um arco completo de circunferência corresponde a um ângulo que mede 360 graus=2π·radianos. Se o raio da circunferência for r, o perímetro da circunferência coincidirá com o comprimento do arco da mesma e é dado por:
Perímetro da circunferência = 2πr
Comprimento do arco: Seja um arco AB em uma circunferência de raio r e m a medida do ângulo correspondente, sendo m tomado em graus ou em radianos. O comprimento do arco pode ser obtido (em radianos) por:
Comprimento do arco AB = π r m/180 = r m
Tais fórmulas podem ser justificadas pelas seguintes regras de três simples e diretas.
Se o ângulo relativo ao arco AB mede m graus, obtemos:
360 graus ……… 2 Pi r
m graus ……… Comprimento de AB
logo
comprimento do arco AB = m r π / 180
Se o ângulo relativo ao arco AB mede m radianos, obtemos:
2 Pi rad ……… 2 Pi r
m rad ……… comprimento de AB
assim
Comprimento do arco AB = r m radianos
Setor circular
Setor circular é uma região limitada por dois raios e um arco do círculo.
Usando a figura acima, podemos extrair algumas informações:
1. OACB é um setor circular
2. OADB é um setor circular
3. r é o raio de cada um dos setores
4. ACB é o arco do setor OACB
5. ADB é o arco do setor OADB.
6. Tomando m como a medida do arco ACB (em graus ou radianos), a área do setor circular OACB será dada por:
Área do setor circular OACB = π r² m/360 = ½ m r²
Basta usar regras de três simples e diretas. Se o ângulo relativo ao arco AB mede m graus, obtemos:
360 graus ……… Área do círculo
m graus ……… Área do setor OACB
logo
Área(setor OACB) = π r² m / 360
Se o ângulo relativo ao arco AB mede m radianos, obtemos:
2 Pi rad ……… Área do círculo
m rad ……… Área setor OACB
assim
Área(setor OACB) = ½ m r² radianos
Segmento circular
Segmento circular é uma região limitada por uma corda e um arco do círculo. Na figura abaixo, existem dois segmentos circulares: o segmento ACB e o segmento ADB.
A área do segmento ACB pode ser obtida subtraindo a área do triângulo AOB da área do setor OACB.
Área(segmento) = Área(setor OACB) - Área(triângulo AOB)
A área do segmento ADB pode ser obtida subtraindo a área do segmento ACB da área do círculo ou somando a área do triângulo AOB à área do setor OADB.
Curiosidades sobre o número Pi
1. Na Bíblia Sagrada, no primeiro livro de Reis 7:23, existe a passagem:
"Fez também o mar de fundição; era redondo e media dez côvados duma borda à outra, cinco côvados de altura e trinta de circunferência."
sugerindo que os construtores da casa de Salomão usavam o valor 3 para a razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência.
2. Arquimedes (287-212 a.C.) mostrou que o valor da razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência estava entre 3+1/7 e 3+10/71.
3. O símbolo π usado para a razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência somente foi introduzido no século XVIII.
4. O valor de π correto com 10 dígitos decimais foi usado no cálculo do comprimento da linha do Equador terrestre.
5. Uma vez conhecida uma unidade de comprimento, é impossível construir um segmento de comprimento π através de régua e compasso.
6. O número π exerce um papel muito importante na Matemática e nas ciências, predominantemente quando determinamos perímetros, áreas, centros de gravidade, informações sobre segmentos e setores circulares e elípticos, inclusive em cálculos de navegação, etc.
7. Com o uso de computadores, já foi realizado o cálculo do valor exato de π com mais de cem mil dígitos decimais.
Detalhes sobre o cálculo de π: De modo análogo ao resultado obtido através do limite de polígonos regulares inscritos também podemos aproximar o perímetro e a área do círculo de raio r, pelo valor limite de polígonos regulares circunscritos no círculo quando o número de lados desse cresce arbitrariamente.
Tais relações estão na tabela com dados sobre o polígono regular dado:
	Número de lados
do polígono
	Perímetro do polígono
inscrito dividido por 2r
	Perímetro do polígono
circunscrito dividido por 2r
	6
	3,00000
	3,46411
	12
	3,10582
	3,21540
	24
	3,13262
	3,15967
	48
	3,13935
	3,14609
	96
	3,14103
	3,14272
	192
	3,14145
	3,14188
	256
	3,14151
	3,14175
	512
	3,14157
	3,14163
	1024
	3,14159
	3,14160
Observe na tabela que quanto maior o número de lados de cada polígono mais dígitos decimais coincidem para obter o valor do número Pi, tanto para os polígonos inscritos como para os circunscritos. Com um polígono de 1024 lados, praticamente temos 4 algarismos exatos.
Questão 1
Qual a área e o perímetro de um campo de futebol, de base 25 m e altura 5 m?
a) A= 100m², P= 50m
b) A= 150 m², P= 60m
c) A= 125 m², P= 60 m
d) A= 120 m², P= 50 m
Questão 2
Calcule a área e o perímetro da figura a baixo:
10 cm
12cm12 cm
  5cm
 
Questão 3
Calcule o perímetro da figura plana a seguir:
                        12 cm
 6 cm
Questão 4
Calcule a área e o perímetro do losango de diagonal maior 8 cm e diagonal menor 4 cm e lados 8 cm.
Questão 5
(ENEM) Em canteiros de obras de construção civil, é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras.
 
A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto. Nessas condições, a área a ser calçada corresponde
a) à mesma área do triângulo AMC.
b) à mesma área do triângulo BNC.
c) à metade da área formada pelo triângulo ABC.
d) ao dobro da área do triângulo MNC.
e) ao triplo da área do triângulo MNC.
Questão 6
(UFMT) Assinale a medida do lado de um quadrado, sabendo-se que o número que representa o seu perímetro é o mesmo que representa sua área.
a) 5
b) 4
c) 6
d) 8
Questão 7
Uma escola pretende ladrilhar o seu pátio retangular, que possui as seguintes dimensões: 4 m e 5,5 m. Os ladrilhos utilizados são quadrados com 16 cm de lado. Calcule o número de ladrilhos necessários.
Questão 8
Uma cadeira tem o seu assento na forma de um quadrado. Suponhamos que uma formiga, partindo de um dos cantos da cadeira, andou três metros para contornar todo o assento. Qual é a área do assento da cadeira?
Questão 9
Calcule a área de um círculo de raio 7 cm.
Questão 10
Calcule a área de um círculo cujo diâmetro mede 18 cm.
Questão 11
Qual a área de um círculo no qual foi inscrito um quadrado de lado 4 cm?
Questão 12
(Ufpe 96) Num círculo, inscreve-se um quadrado de lado 7 cm. Sobre cada lado do quadrado, considera-se a semicir-cunferência exterior ao quadrado com centro no ponto médio do lado e raio 3,5cm, como na figura a seguir. Calcule a área da região hachurada.
Apesar de parecer difícil, esse exercício exige apenas que você saiba calcular a área do quadrado e do círculo. Todo o trabalho pode ser feito em três passos:
I- calcular a área limitada pelos semicírculos hachurados;
II- calcular a área do círculo e
III- diminuir o resultado da primeira área pelo resultado da segundo
Questão 13
Um fazendeiro precisou construir uma parte de uma tampa de concreto para sua cisterna. Essa parte corresponde a uma semicircunferência, ou seja, ao setor circular de ângulo 180 graus. O diâmetro da cisterna é de 3 metros, conforme constatou o fazendeiro. Sabendo que o custo de construçãodessa tampa é de R$100,00 por metro quadrado, qual o valor gasto?
Questão 14
Qual a área de um setor circular de ângulo 30 graus, que tem um diâmetro de 10 metros?
Questão 15
Calcule a área da região não sombreada na figura a seguir:
Questão 16
(FATEC – 08) Na figura, o Raio do círculo de centro S é três vezes o raio do círculo de centro O, e os ângulos centrais sombreados, RST e POQ, são tais que a medida de RST é a metade da medida de POQ.
Se, no círculo de centro O, a área do setor circular sombreado POQ é igual a 4, então, no círculo de centro S, a área do setor circular sombreado RST é:
a) 6     
b) 12     
c) 18     
d) 28     
e) 30
Respostas
Resposta Questão 1
                          25 m
 5 m
Esse campo tem a forma de um retângulo, então para calcularmos a área basta multiplicar a base pela altura:
A= 25 * 5= 125 m²
O perímetro é a soma de todos os lados:
P = 25 + 5 + 25 + 5
P= 60 m.
Letra C
Resposta Questão 2
Na figura temos um trapézio, para calcular sua área devemos somar a base maior com a base menor e multiplicar pela altura e dividir por dois:
A= (B + b) h
          2
A= (10 + 5) 6 ---------- Lembrando que a altura tem que fazer um ângulo reto
           2                     com a base, por isso 6 cm é a altura, não 12 cm.
A= 15 * 6
         2
A= 90
      2
A= 45 cm ²
P= 10 + 5 + 12 + 12
P= 39 cm
Resposta Questão 3
Basta somar todos os lados:
P= 12 + 12 + 6 +6
P= 36 cm
Resposta Questão 4
Vamos esboçar esse losango:
8 cm
 
Para calcular a área de um losango, multiplica-se a diagonal maior pela menor e divide por dois:
A= D * d
        2
A= 8 * 4
       2
A= 32/2
A= 16 cm ²
P= 8 + 8 +8+8
P= 32 cm
Resposta Questão 5
Para solucionar essa questão, devemos determinar a medida dos segmentos BP, PA, BM, MC, AN e NC. Essas medidas são estabelecidas por meio do ponto médio, que é o ponto que divide o segmento em duas partes iguais. Observe no desenho as medidas dos segmentos de acordo com os seus três pontos médios: M, N e P.
Agora que sabemos as medidas dos segmentos descritos anteriormente, podemos calcular a área.
Dados para o cálculo da área do triângulo MCN:
a = base
2
b = altura
2
Fórmula para calcular a área do triângulo: A = base x altura
                                                                            2
Cálculo da área do triângulo MCN:
AMCN = a . b
            2   2
              2
AMCN = ab . 1
             4    2
AMCN = ab
             8
8 . AMCN = ab
Dados para o cálculo da área do triângulo BAC:
a = base
b = altura
Fórmula para calcular a área do triângulo: A = base . altura
                                                                            2
Cálculo da área do triângulo MCN:
ABAC = a . b
              2
ABAC = 8 . AMCN
                 2
ABAC = 4 AMCN
ABAC = 3 AMCN + AMCN
Logo, AABMN = 3 AMCN
A área a ser calçada corresponde a 3 AMCN . Letra “e”.
Resposta Questão 6
Essa questão será resolvida pelo método de tentativas. Sendo assim, consideremos que o quadrado possui como medida de lado: 4, 5, 6 ou 8.
O cálculo da área de um quadrado é dado pela seguinte fórmula: A = (lado)2 → A = l2.
Já a fórmula do perímetro é a soma dos quatro lados do quadrado: P = l1 + l2 + l3 + l4
→ Considerando o lado do quadrado como 4, temos:
A = l2 → A = 42 → A = 16
P = l1 + l2 + l3 + l4 → P = 4 + 4 + 4 + 4 = 16
Quando o lado do quadrado é 4, a área é igual ao perímetro.
→ Considerando o lado do quadrado como 5:
A = l2 → A = 52 → A = 25
P = l1 + l2 + l3 + l4 → P = 5 + 5 + 5 + 5 = 20
Quando o lado do quadrado é 5, a área é diferente do perímetro.
→ Considerando o lado do quadrado como 6:
A = l2 → A = 62 → A = 36
P = l1 + l2 + l3 + l4 → P = 6 + 6 + 6 + 6 = 24
Quando o lado do quadrado é 6, a área é diferente do perímetro.
→ Considerando o lado do quadrado como 8:
A = l2 → A = 82 → A = 64
P = l + l + l + l → P = 8 + 8 + 8 + 8 = 32
Quando o lado do quadrado é 8, a área é diferente do perímetro.
Logo, a resposta para essa questão é a alternativa "b".
Resposta Questão 7
Dados da questão:
Dimensão do pátio: 4 m e 5,5 m
Dimensão do lado do ladrilho: 16 cm → 0,16 m
Cálculos:
Área total do pátio = 4 m x 5,5 m = 22 m2
Área do ladrilho = (0,16 m)2 = 0,0256 m2
Quantidade de ladrilhos necessários: 22 m2 : 0,0256 m2 = 859, 375 ladrilhos.
São necessários aproximadamente 859 ladrilhos para cobrir toda a área do pátio da escola.
Resposta Questão 8
Para solucionar essa questão, devemos realizar o cálculo do perímetro (que é a soma dos lados de um polígono) com a finalidade de descobrir a medida do lado do assento da cadeira. Como o assento é quadrado, todos os seus lados possuem a mesma medida.
P = l + l + l + l
3 = 4l
3/4 = l
0,75 = l
Cada lado do assento da cadeira mede 0,75 metros. Para saber a sua área, vamos utilizar a fórmula para o cálculo de área de um quadrado.
A = l2
A = (0,75 m)2
A = 0,5625 m2
A área do assento da cadeira é de: 0,5625 m2
Resposta Questão 9
Basta utilizar a fórmula para área do círculo:
A = π·r2
A = 3,14 · 72
A = 3,14 · 49
A = 153,86 cm2
Resposta Questão 10
Utilizando a fórmula da área do círculo, substitua o valor do raio e realize os cálculos:
A = π·r2
A = 3,14 · 92
A = 3,14 · 81
A = 254,34 cm2
Repare que o valor utilizado para o raio foi 9 cm e não 18 cm. Isso acontece porque 18 cm é o comprimento do diâmetro e não do raio. Uma vez que o raio é metade do diâmetro, basta fazer a substituição correta na fórmula.
Resposta Questão 11
Como o quadrado está inscrito no círculo, encontrando sua diagonal encontraremos também o diâmetro do círculo:
d = l√(2)
d = 4√(2)
O raio de um círculo é metade de seu diâmetro, portanto, r = 2√(2)
Agora, basta calcular a área desse círculo.
A = π·r2
A = 3,14 · [2√(2)]2
A = 3,14 · 4 · 2
A = 25,15 cm2
Resposta Questão 12
I- A figura abaixo representa a área limitada pelos semi-círculos. Para calculá-la é preciso calcular a área do quadrado e somar com a área dos quatro semicírculos.
O lado do quadrado mede 7 cm. Sua área, portanto, é
Aq = l2 = 72 = 49 cm2
Agora, basta calcular a área de um semicírculo e multiplicar por 4, já que temos 4 deles no exercício.
As = π · r2
       2
As = 3,14 · 3,52
       2
As = 38,465
         2
As = 19,2325 cm2
Para descobrir a área dos quatro semicírculos, basta multiplicar a área do semicírculo por 4
4*As = 19,2325 · 4
4*As = 76,93 cm2
Portanto, a área delimitada pelos semicírculos é a área dos semicírculos somada à área do quadrado:
A = 76,93 + 49 = 125,93 cm²
II- Para calcular a área do círculo é necessário saber seu raio, que é metade da diagonal do quadrado.
d = l ·√(2) = 7·√(2) = 9,9 cm
O raio do círculo é metade da diagonal do quadrado:
d = 9,9 = 4,95 cm
2     2                 
Com o raio do círculo em mãos, calcule sua área:
Ac = π·r2
Ac = 3,14 · 4,952
Ac = 3,14 · 24,5
Ac = 76,93 cm2
III- Basta finalizar o exercício diminuindo a área da região limitada pelos semicírculos pela área do círculo.
A – Ac = 125,93 – 76,96 = 49 cm²
Resposta Questão 13
Utilize a fórmula para cálculo da área do setor circular:
A = π · r2 · a
          360
A = 3,14 · 1,52 · 180 = 3,14 · 2,25 = 5,39 = 2,69 m2
               360                      2              2
Observe que o raio é 1,5m, já que o diâmetro é 3m. Uma vez que o metro quadrado custará R$100,00, basta multiplicar esse valor pela área da tampa da cisterna.
100,00 · 2,69 = 269,00
O Fazendeiro gastará R$269,00.
Resposta Questão 14
Utilizando a fórmula, teremos:
A = 3,14 · 52 · 30
             360
A = 3,14 · 25
           12
A = 78,5
        12
A = 6,54 m2
Resposta Questão 15
Utilizando a fórmula para cálculo de área, teremos a seguinte expressão:
A = 3,14 · 62 · 40
       360
A = 3,14 · 36
     9
A = 113,04
      9
A = 12,56 m2
Resposta Questão 16
Primeiramente, vamos organizar os dados do exercício.
i) Seja o raio do círculo de centro O = r, então o raio do círculo de centro S = 3r
ii) Seja “a” o ângulo do setor circular RST, então o ângulo do setor circular POQ é 2.a
iii) Sejam I e II as áreas dos setores circulares RST e POQ respectivamente.
iv) II = 4
v) A fórmula para calcular a área daregião circular é A = π · r2 · a, onde r = raio do setor circular e a = ângulo do setor circular.              360
Agora basta substituir esses dados na fórmula da área. Mas isso deve ser feito de modo organizado para evitar erros. Observe os cálculos das áreas de RST e POQ respectivamente
I = π · a · (3 · r)2
   360
I = π · a · 9 · r2
   360
I = π · a · r2
    40
40 · I = π · a · r2
Por outro lado,
II = π · 2 · a · r2
 360
II = π · a · r2
 180
180 · II = π · a · r2
Logo,
40 · I = 180 · II
I = 180 · II
     40
Como II = 4,
I = 180 · 4 = 18
 40   
Matemática Volume 1
		Matemática Volume 1
RaoniExatas | 154
RaoniExatas | 153 
Tabela Trigonométrica