A Conquista da Matemática 6 ano

Prévia do material em texto

COLÉGIO TIRADtiüTES LTDA
e
Gtgvarrrrt
Bacharel e licenciado em Matemática
pela Pontifi cia Universidade Católica (PUC- SP)
Professor de Matemática em escolas de ensino
fundamental e ensino médio desde 1960.
EOLÉGIO TIRADEIITES LTDA
l\ 2r:- I l. I í.. /\lV$l/vJ uJ\Â/j
(Falecido em2lll1995)
Bacharel e licenciado em Ciências Matemáticas pela
Universidade de São Paulo (USP).
Foi professor de Matemática da Pontificia Universidade
Católica e da Universidade de São Paulo.
Foi professor de escolas públicas e particulares de ensino
fundamental e ensino médio.
Gtgva"rJfiJ JÍ-
Licenciado em Matemática pela
Universidade de São Paulo (USP).
Professor de Matemática em escolas de ensino
fundamental e ensino medio desde 1985.
((ÉFrD
A Conquista da Matemática: a + nova
Copyright @ José Ruy Giovanni, Benedito Castrucci,
José Ruy Giovanni Jr. - 2002
Todos os direitos de edicão reservados à
Editora FTD S.A.
Matriz: Rua Rui Barbosa, 156 - Bela Vista
CEP 01326-010 - São Paulo - SP
Caixa Postal 65149 - CEP 01390-970
Tel. (0XX11) 3253 5011 - Fax (OXX11) 32848500 r. 298
lnternet: http://www.ftd.com.br
E-mail: exatas@ftd.com.br
Dados lnternacionais de Catalogaçáo na Publicação (ClP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Giovann, José Ruy, 1937-
A conquista da matemática : a + nova / José Ruy
Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni
Júnior, - São Paulo : FTD, 2002. - (ColeÇão aconquista da matemática)
Edicão não-consumível
Obra em 4 v. para alunos de 5c a 8c series
Suplementado pelo manual do professor.
1. Matemática (Ensino fundamenial) l, Castrucci,
Benedito, 1909- ll Giovanni Júnior, José Ruy,
1963- lll Título. lV, Série
02-4719 CDD-3127
lndices para catálogo sistemático:
1, Matemática : Ensino fundamenÍal 372 l
tsBN 85-322-4983-3
Ano de publicacão: 2002
Editora
Júnia La Scala
Lditorqç assislqnlqs
Arnaldo Rodrigues
Dario [/]artins
Fabiano A. L. Wolff
Sandra Lucia Abrano
Sorel Hernandes L. Silva
LoLaboradora
Esmeralda Silva Ribeiro
?reparaçt^o
Lucila Barreiros Facchini
Ravisâo
Eliete Soares da Silva
Luciana Pereira Azevedo
lcono3rafia
Loorduaçào. Sônia Oddi
P,-sguisa: Caio Mazzilli, Elizete l\4. Santos,
lzilda Canosa
Arrrtôncra: Cristina Mota, Maria Rosa
Alexandre, PaúÍcia Black
Ldiçao fu arte e projeto 5rá/ico
Maria Paula Sanio Siqueira
lLustraçõas
Vinhetas: Lúcia Hiratsuka
Abartrras: Hilton Mercadante
Miolo: Adelmo Naccari, Alberto De SteÍano,
Alexandre Argozino Neto, Sérgio Naccari
Lapa
Claudson Rocha sobre imagens de
Hulton Getty (14 Bis), Corel Stock Photo
(ônibus espacial e avião)
Digitaçâo
José Aparecido A da Silva
Dialr a rnação a ed\l o r açô,o etatrôrl i ca
EXATA Editoracão
A Matqnrí-t\ca zstô,, proantz aA^ 
^o55oi5 
vidan, dqsde- nunna sioaytLzt conlaSznn, ald
na hora de- da[inir 5a v9^a co/v\(tra dqvsEqr ytalaàvi*a ow a (irc^Lot ^o 
u5o zttn connytLaxt:t
co,,nttytwtador<t, no uclt<-s-dqsca- da holsa d,zvaksrzt, noE (ndicqs d.z ytohraa a riqwaa da
wnn pa6...
l4as, aytanar da- qLa zstar ytr<santq qnn tantrst Antsunqntos ittnportantzs da saavida a-
da lnunnan\dada, ytod< [1,.rqcar, a ytrincí1tio, qwz a1luns tq'^aE da Matq,lní'tica nõ,o tàttn
aytLicaçõ,o iunqdiata no ,t^ando aA^ qltavivsl/l^os. lsl;rt ytoda larolr sA^ vocà u,Aa certo
d,atapontannanto.
Navzrd.ada, a aytlicação da l"latqttnô,tica no cotidiarno ocorra cot^o rqçwLtado do
dqçqnvoLvinnqnto q- do aytrol;unda,mqntc, ds- cqrtot concqitoE naLa ytraszntzs.
Lomo qr,tt todaç at ãrqas dz a*udo, ytara antandqr a l'lats1/t^írtica s swas aytLicaçÓat
stno nqcqtsó,rios dadricnçõ,o e-qEtu-do. Por qttqnnotivtr, c^o a5ctavsr asta col,zçino,
procur6^/v\o5 aytrzsa2ntar a vocâ an Lin/nas A^qstras d,zstz procas5o s,lt,n Linlwalattn sittnpLzs,
5at/t^ I urlir ao ri 3o r que- a Mat znnÓ*tica exi1a.
t\c-c'r de' {ora dasta (1rocs55o, ficar à ytarta do conlnqci'nnqnto Anatqü^i't\co d' ho\a'
qstar à A^orr1su^ das ,ttnwdanç-co do 'tnundo.
Nõ.o do qwavocàqrnr.
Nõ.o í o qtls- qlsraA^o5.
Lnt ô,o nos aco,t/lyt anha nqst e- Liv r ol
COLÉGIO TIRAD::.TES LTDA
Z A noção de número 12
Um corvo com senso numerico 12 Numeral de um número 13 A origem da palavra algarismo 14
3 O conjunto dos números naturais 15
Os símbolos < (menor que) e > (maior que) 16
+
5
L
1
Tratando a informacão 1 31
oytaraçoat
Utilizando a calculadora para resolver expressÕes numéricas 60
ldeias associadas à divisão 62
Consideracões sobre a divisão de números naturais 64
Por dentro da energia eléÍrica 47
Troque idéias com o colega
Tratando a inÍormacào 3 6-
Troque idéias com o colega 64
60
1
Relação fundamental da divísáo 65
A importância dos parênteses 67
Expressões numéricas 67
Troque idéias com o colega 68
l0 Resolvendo probtemas 69
n Potenciação de números naturais 7l
Raiz quadrada exata de um número nalural 82
Calculando potência com a calculadora 84
0 quadrado de um número 78 0 cubo de um número 79 Potências de
Expressões numéricas B3
Retomando o que aprendeu g5
10 B0
A importância dos parênteses 83
Sistqnnm dre- nttir^qr açôrr
As civilizacões do passado 20
0 sistema egípcio de numeracão 21 0 sistema babilônico de numeracão 22
0 sistema romano de numeracão 23 Troque idéias com o colega 25
0 sistema de numeracão indo-arábico 26
0 zero 27 0 valor posicional 28 Lendo e escrevendo um número natural 29
ldéias associadas a adicão 36
Decompondo e somando 36 propriedades da adicão de números naturais 3z
0 quadrado mágico 40 Troque idéias com o colega 41
ldéias associadas a subtracão 4l
Relacão fundamental da subtracão 43 conhecendo algumas teclas da calculadora 44
Expressões numéricas 45 Troque idéras com o colega 46
Tratando ainÍormacáo 2 48
6 ldéias associadas a multiplicacão 5O
consideracões sobre a multiplicação 52 o algontmo da multiplicacão 52
Outros algoritmos para a multiplicação 53 Troque idéias com o colega 54
Troque idéias com o colega 56
Expressões numéricas 5B
Propriedades da multiplicacão de números naturais 56
A importância dos parênteses 59
Descobrindo a solucão de problemas, por etapas 69 Troque ideias com o colega 73 Tratando ainformacáo 4 74
Swtní^rio
D iviri h i í, idad,a: diviEor eE e nníl,lipl,os
Nocão de divisibilidade BB
Troque idéias com o colega 89 Encontrando o resto com a calculadora ?0
Critérios de divisibilidade 91
Divisibilidade por 2 92 Divisibilidade por 3 92 Divisibilidade por 6 93
Divisibilidade por 4 94 Divisibilidade por 8 ?5 Divisibilidade por 9 ':5
Divisibilidade por 5 96 Divisibilidade por 10 96 Tratando a inÍormacão 5 98
Divisores, fatores e mÚltiplos de um número 99
Quando um número é múltiplo de outro loc Troque idéias com o colega 102
Números primos 104
o crivo de Eratóstenes 105 como reconhecer outros números primos? ic6
Primos sem parentesco 105
DecomposiÇão em fatores primos 109
Máximo divisor comum, mínimo múltiplo comum 11i
Retomando o que aPrendeu 1 14
GqotÂelria
Ponto, reta e plano 118
0 conhecimento geométrico e os povos antigos i18 Representando o ponto, a reta e o plano 11!l
Figuras geométricas I19 Troque idéias com o colega 121r
11 A reta l2I
posições de uma reta em relacão ao çháo 122 Posicões relativas de duas retas em um plano -122
Troqueidéiascomocolega 124 semi-reta i25 Segmentodereta 125
Troque idéias com o colega 127 Medida de um segmento - segmentos congruentes 127
7 Q cnot e ângulos 129
Um giro pode ser medido 129
Zl Polígonos ).32
Polígonos convexos 133 Nomes dos polÍgonos 133 A palavra "polígono" 134
Troque idéias com o colega 135
ZZ Triângulos e quadriláteros 135
Triângulos i35 Quadriláteros 136 Essas retas são paralelas? 136
Troque idéias com o colega 139
A {ornna {racioní^ria dos nútÂeros racionaig
?1 A idéia de fração t42
Notícias antigas a respeito de frações 142 Conhecendo as fraÇóes 143 As Írações e o tangram 145
ZrJ Resolvendo problemas que envolvem fraçôes 147
Notícia curiosa 150
a7 Comparando números Íracionários
ZL Fracões equivatentes
Uma propriedade importante Simplificacão de Íracóes Troque idéias com o colega
21 Reduzindo duas ou mais Íracões ao mesmo denominador
26 Adicão e subtracão
IVlalba Tahan Troque ideias com o colega21 A forma mista
Troque ideias com o coíega A aritmética da Emília
JQ vtuttiolicacão
Multiplicando um nÚmero natural por um número fracionário Multiplicando números fracionários
A técnica do cancelamento Troque ideias com o colega
3l Divisão
Números inversos Troque idéias com o colega
jZ As fracões e a porcentagem i7g
33 Resolucão de probtemas 1g2
Retomando o que aprendeu lg9 +tü Tratando a informaÇão 6 I90
A {orma dqcinnal dog ni,n^qro5 raciÍrhai5
3+ Trocando dinheiro Ig4
0 real 196
,7 Representacão decimal 198
Ampliando o quadro posicional ou de ordens 198 (D Unidade decimal 19g e Uma forma especral 199 (§
Númerosracionaisnaformadecimal 200 (l Escrevendoumnúmerodecimal naforma deÍraçáo 202
jL Propriedade geral dos números decimais 204
Comparando números decimais
31 Adicão e Subtracão de números decimais 206
Troque idéias com o colega 2Og
j6 Muttipticacão de números decimais 2Og
Multiplicando por 10, por 100, por 10OO 209 Ç Multiplicando um número natural por um decimal 209 eMultiplicando um número decimal por outro número decimal 210 (!l Depois da estimativa, auerificaÇào 212
Divisão de números decimais 2lz
Dividindo por 10, por 100, por l. OOO 212 ô Diuidirdo por um número natural, diferente de zero 213 ,íã
Dividindo por um número decimal 215 § Troque ldéias com umcolega 2lj qb
A divisão não exata: um quociente aproximado 21g
N Otnúmeros decimais e o cálculo de porcentagens 2lg
Explorando a calculadora 220
+l Potenciacão de números decimais 220
Retomando o que aprendeu 221
31
Pled,indo co ttnp rittrrenl ot o. trry, u [bieg
4? uniaudes de medida de comprimentolt-
Diferentes povos - medidas diferentes Alguns dos povos que "Íizeram" a Matemática
Uma nova unidade padrão 0 metro linear A resistência ao metro
Troque idéias com o colega -r.
Aô41 fransformaÇão das unidades de medida de comprimentot,
$$ erti^etro de um polígono
Troque idéias com o colega
t11 Unidades de medida de superfície
Troque idéias com o colega Transformacão das unidades de medida de superfície
As medidas agrárias 0 alqueire Troque idéias com o colega
Sf, Ar"urdas figuras geométricas planas
Área do retângulo Área do quadrado Área do paralelogramo
Area do triângulo Area do trapézio Decompondo Íiguras para calcular a área
Troque idéias com o colega Retomando o que aprendeu Explorando medidas com a calculadora
V ol,,ttttna- a- CC^(t alidade
S-l vroindo o espaÇo ocupado
Revisitando os sólidos geométricos
Nossa língua portuguesa Troque idéias com o colega
S] uniaudes de medida de volume
iQ uniaudes de medida de capacidade :
Troque idéias com o colega Troque idéias com o colega
51 Outras unidades para medir capacidade
Transformacão das unidades de medida de capacidade Troque idéias com o colega :1 ir:
Retomando o que aprendeu '
Plqdindo a n^a55c.
5Z unoudes de medida de massa
Troque idéias com o colega
7, Transformação das unidades de medida de massa
Uma relacão importante Troque idéias com o colega ,1 ", Retomando o que aprendeu
lndicaçao de l,eilura 217
tsilo[iograf ia 277
Rzsyto*at doE exarcicio5 2Bo
G[o$6,rio 2Bs
Projato zs2
0 üro n^an^viva
1)
HoJE A nnmÍlrn srLVA
LEVANTOU CEDO. r
L desse
outro á ímoor.
CarUndo
rÁ ruo cENTRo
DA CIDADE,
PA55ÁRAM EM
UM CATXA
elerpôrurco.
DONA MARIA
PRECISAVÁ DE
UM EXTRATO
DE 5UÁ CONTA.
J
or nwA\qro5
Áindo bem
que o minho
conto não estó
negotivo...
6O5 s E, FINALMENTE, O MELHOR DO DIA.I
r-!- -
E*
-
b
I,J
.9o
É
ó
I
-
compror um Por
de sopotos poro
vô Corlos2
Unna Ínigtón a Autito ant$a
No ftw{ ía contngem, se sobrqsse peírttha
rw saquínÍw, era porque qÍgww w e(ha
íw'úa se e*trcviqío,
Foi ossirru que o hfrmefiLafradana
csntqrz cnnf aranío qw{tíaíes. D e
urn (a.do, a qrwttilaíe de peírinÍws;
do outro, a q1wúínle le we[fiss.
s ew reb anÍw e[e as s ocir,,v a
unwildinÍw e o il$Ídava
o postor so[tava suss ove 1o pssto, 
G: o . ( \---^. *r.
peÁrtnÍw
ff.'*'* til-iír
[-7,-# ?n,n.
G
a
Hô Ínuíto, muíto temp o,,.
10
Mas, p ara coffiP ar et o ftomem us av il pruwllp shen-
te os {elos das fi:ucros. SurgíudaíutnaifriacoÍia$n
aas {ois cott)tttttos Ete ete comparava: o nítr@ro,
E, atnla, faziam ÍnÍff css em p edaço s d" p*rt
Os fromens não usolstÍL apeíws as peúinÍws
efiL c.ofltagefls. Etes ta nb on regkvsv utl fllí-
meros fazenlo tws emcardss.
l*r,- ---*
Poucos de 
em hoie' Na antiga
Tcheco
55 incisões
uma com
os rls 
E isso vem de um Período 
de
30 mil anos atras'
\,"*."ot'ou\o"^
À.lsrRtr J *u*u.,o
iTALIA
Em 1993, aOos d19r,s1t-1"]^' i"ii
T,ilí i;Í ! i; ; ;;i' !r: : .? : l^,';"P 
a Ís e s ;
\\\\\
II\I\
I\I\I
I\\\\
\\\\\
\\\\\
I\\\\
\\\\\
\\\\I
\\\\t
\\\\\
úónÀu n
:'ffi;ffii;i,,iu ' u 
Estováquia
ott ossos.
ZA rroçao da-niunqro
Se você der a uma crianca de dois anos de idade,
que ainda não aprendeu a contar, três brinquedos, deixá-
la brincar e, depois de algum tempo, retirar dois deles
sem que ela perceba, qual será a reacáo da criança?
Certamente a criança sentirá falta dos brinquedos
retirados. Mas será que ela contou os brinquedos para
sentir falta de dois? Provavelmente nã0.
.\ I t r
A crianca mostrou uma nocão que todas as pessoas
têm: a noção de número, embora ainda não saiba repre-
sentar números por meio de palavras ou de símbolos.
Um corvo ::-
senso numerlco
O senso numéríco pode ser
observado em algumas
espécíes írracíonak.
Aquí está a hktóría do corvo
que não se dekava
entanar, até que...
Um fazendeiro estava
disposto a matar um corvo
que Íez um ninho na torre
de sua casa. Por diversas
vezes tentou surpreender
o pássaro, mas foi em vão.
O corvo esperava o
homem sair da torre e só
então retomava ao ninho.
Certo dia, o fazendeiro
resolveu tentar algo diferente:
dois homens entraÍam na torre.
Daí, um saiu e o outro ficou lá
dentro, aguardando o corvo.
Mas o pássaro não se enganou.
Manteve-se afastado até que o
segundo homem saísse da torre.
O fazendeiro repetiu essa
tentativa com três e com quatro
homens. Mesmo assim não
obteve sucesso. O corvo só
retoÍnava ao ninho quando o
último homem havia saído da
torre.
Finalmente, cinco homens
entraram na torre, quatro
saíram e só um permaneceu Iá
dentro.
Desta vez o corvo perdeu
a conta.
Incapaz de distingüir
entre quafuo e cinco, o corvo
voltou ao ninho.
12
Esse senso numérico - mesmo a crianca em desenvolvimento o possui - permite que elareconheça que alguma coisa mudou numa pequena colecão quando, sem que ela saiba, ,, obl.to é
retirado ou adicionado à coleçã0.
0 senso numérico não deve ser confundido com contagem: o senso numérico pode ser observa-
do em algumas espécies irracionais, ao passo que a contagem e um atributo exclusivamente humano.
Nrnner al, de w,A^ ní,A^aro
Número é a idéia de quantidade.
cada número tem um nome e pode ser representado por um símbolo.
Para representar os números, usamos símbolos:
1,2,3, 4,5, ...
l, ll, lll, lv, v, ...
indo-arábicos
r)manos
A ausência de unidades associamos um número, o zero, que é representado pelo símbolo 0.
0s símbolos 0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 são denominados algarismos em homenagem ao
matemático árabe al-Khowarizmi.
Na língua francesa
Na língua portuguesa
Na língua inglesa
13
um, dois, trâs, guotno, one, two, three,
f our, f ive, ...
A orígem da palavra algarísmo
A criação foí dos híndus, mas um árabe levou a fama
Há muitos, muitos anos viveu o matemático árabe Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi
(780-8s0).' 
Autor do primeiro com explicações detalhadas dos cálculos hindus,
ganhou tanta râputação ocidental que o seu nome se tornou sinônimo do
próprio sistema de num s hindus'
Assim , apalavraalgarismo tem origem no nome al-Khowarizmi.
Hoje
1
2
J
4
5
6
7
8
9
10
100
Egípcios
I
Babilônios
T
II
IrI
nrI
m
II
rÍ
ITI
nfi
m
mrI
ITII
lTm
nrÍ
Y<<<
A
B
f
^
E
F
Z
H
e
I
P
il
lil
ilil
ill
il
il
ilt
ilt
ilr
lil
ill
-
-
-
-
-
--
-
(:rc
Este quadro mostra como
alguns pouos da Antiguidade
representauam os números.
ililt
ilil
n
Século XII
Século XIII
Século XIV
Século XV
Porvolta de1524
Atual
t 7 ?r9 B 7 t,r96, 2o
1 x tt
^
I
L, t q B .t E 9o
,f
9o
1 ,, Ç 6
L , t , 3 A ,
O s símb olo s indo - ar ábicos
softeram oárias
transformações na sua
representação, antes de
adquirirem, no século XVl,
a aparência que conserT)am
até hoje.
14
Gregos Maias
L Considere o grupo dos dedos de uma das
mãos e o grupo das vogais do nosso alfabeto.
a) Os dois grupos têm a mesma quantidade de
elementos? sim
b) Qual é o nome e o símbolo que associamos à
quantidade de elementos dos dois grupos? cinco;5
2 Onde são usados os números naturais?
resposta em aberto
3 Que nome você dá à quantidade de flores
que aparecem a seguir? sete
4 Para escrever os números naturais usamos
os símbolos 0, 1,, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 e 9. Como são
chamados esses símbolos? Explique por que eles
re ceb em e s s e nome' 
:H i:':."ffi 
.J1':iifl,**: 
[], ".,
5 Existe um símbolo associado à ausência de
idade. Dê o nome e represente esse símbolo.
;0
(5 Quantos símbolos você usa para escrever o
número nafi;ral362? rrês
texto "A origem da palavra algarismo,,
quadro com os símbolos utilizados por
da Antiguidade. Analise-o e respondá:
a) Quais os símbolos utilizados pelos egípcios
e pelos maias (povo que habitava parte da Amé-
rica Central antes da chegada dos europeus) para
representar a quantidade seis? Que símbolo uti-
li",amos , paÍa escrever essa mesma quan-
tidade? |
b) A partir dos símbolos conhecidos, como você
acha que os egípcios e os maias poderiam re-
presentar o número 12? nl;-
3 0 coerj urnto dos ninnqro5 natnraiE
lniciando pelo zero e acrescentando sempre uma unidade, teremos os números naturais:
0s números naturais constituem um conjunto numérico denominado conjunto dos números natu-
rais, que se indica pela letra N:
N : {0, 1,2,3, 4,5,6,7,8, ...1
Quando se exclui o zero do conjunto N, temos o conjunto dos números naturais não-nulos,
indicado por N *:
N* : {1,2,3, 4,5,6,7, ...}
15
0,1,2,3, 4, 5, 6,7,9,9, 10, 11,72, ...
Considerando a sucessão dos nÚmeros naturais, podemos observar que:
p Todo número natural tem um sucessor. Exemplos:
I 0sucessorde0é0+1:1
2 Osucessordelel+l:2
3 0 sucessor de 37 e37 + 1 : 38
4 Osucessorde 199é 199 + 1 : 200
De maneira geral, dado um número natural, o seu sucessor é obtido adicionando-se
uma unidade ao número.
) Zero é o menor dos números naturais e não é sucessor de nenhum outro número natural.
! Com exceção do zero, todo número natural tem um antecessor. Exemplos:
1 0antecessordel é1 - 1 :0
2 0 antecessor de2é2 - 1 : 1
3 O antecessor de26é26 - l:25
4 0 antecessor de 500 é 500 - I : 499
De maneira geral, dado um número
natural diferente de zero, o seu
antecessor é obtido subtraindo-se
uma unidade do número.
A partir do 1, qualquer nÚmero natural é
maior que todos os números que o prece-
dem e é menor que todos os números que
o seguem. Exemplo:
4>3,4>2,
4>7,4>0e
4<5,4<6,
4<7,4<8,...
Não existe o maior dos nÚmeros naturais,
isto é, existem infinitos números naturais.
Os símbolos
< (-"nor que) e
> (maior que)
Quando relacionamos duas quanti-
dades, podemos dizer que essas quantida-
des são iguais ou diferentes. Para duas
quantidades a e b, ternos:
relação de igualdade: a : b
relação de desigualdade: a * b
Numa relação de desigualdade,
podemos ter duas situações:
aémenorqueb:a<b
aémaiorqueb: a>b
Em algumas situações podemos
utTlizar também os símbolos < (menor ou
igual) e > (maior ou igual).
16
-l
I
)
)
Dois ou mais números que se seguem na sucessão dos números naturais são denominados conse-
cutivos, Exemplos:
I 3 e 4 são números naturais consecutivos.
2 i0, 11 e 12 são números naturais consecutivos.
A sucessão 0,2,4,6, 8, 10, 12,14,16, 18, ... é chamada sucessão de números naturais pares.
Asucessão 1,3,5,7,9,11, 13, 15,17,19, ... é chamada sucessão de números naturais ímpares,
L Escreva o antecessor e o sucessor de cada um dos seguintes números naturais:
a) 25 z+"za
b) 61 oo"oz
c) 99 sa"roo
d) 899 8e8 e eoo
e) 1 001 T ooo e 'r oo2
f) 9100eoeeee1ol
g) 12999 12ee8e13ooo
h) 10 001 ro ooo e 1o oo2
2 Qralé o sucessor par do número nat:ural46? 48
3 Qual é o sucessor ímpar do número natrralTT? le
4 Observe a conta de energia elétrica:
A meta de
de energia tem
ser calculada
média dos
malo, junho e
de
287
304
312 +
Somar os
consumos desses
três meses e
dividir por três
llr&F
I o.trr e or
leI.PJ.
(queéareduçáo consumo
obrigatória de 20"/"1
h-k*-Il!ú-úr*t^ mlaf|e{
:;!?:ff :;i§,rór.*,ú,@ú&É corm m :rreior àÊma
E{ssio ã/01./2@
l"TBfr5lttlollf , ,oo,
I 
tunklpb ldúlr.t
I SAo PAULo I RESI B
nÉ.lçlo C.rdud p.b d. Ldtur.to.a. Mr. a.nsbtE & Ulur.l&a.tu hilD Htw. l-d. bd Lb6 hrú
| 23los/or I 23toa/ot I r7 ..? za2Ba ol
RnhlT.do 6 ÚltlM McE
a) Discuta com seus colegas o significado de média. resposta em aberro
b) Como fica a média nesse caso? sor rwn
maio
junho
julho
903
c) Há mais alguma situação no seu dia-a-dia em que você acha importante calcular a média?
resposta enr ati)eriC
xarclcl(75
lhruD*Alu.l I k lldlur.ôffi tM thrttt*&&|ü.
I I lú'c{.olor. ,e lMúo lcÚr*o l!rc ,^E}É
I roz xwx I rool 2rco | 2aloa I zss23z9 | oooor | 2s, | 2s6a
Fonte: Folha de S. Paulo, S jun. 2001
17
I
Sistema àe numeraçào é o conjunlo de reqrao que
permite escrever e ler qualquer número, utilizanào
eímboloa e palavrae,
A histôria da Humaniàade noe moelra a existênaia
àe muitoe sieíemae àe numeraçàoz àoe egípaioe,
babilônioe, chineses, maias, romanos etc.
5i gtqu^cL5 dra-
:'l i
',/;i
rl
-v
:J
, 'fr
I
-
c7'
,
+--.-r-.1,
E o noeeo sislema àe numeraçào?
àabemos que nooeo eisLema àe
numeraçào é àecimal, islo é, aoníamoo
os elementoo àe um conjunto em
gru?oo àe dez, Eeee costume teve
origem sobretuào no fato àe o homem
íer aprendiào a contar ueanào oe
àeàoe dao màos.
.qô
r
ó
E.
o
p
z
Compramoe muilaa aoieas por àúzia
(grupoe àe àoze)t
laranjae, bananae, ovoa,.,
Noa relógioe, conlafioo
por gru?oe àe aeeeenla
(eeesenta segunàoe
equivalem a un minuío e
aeeâenta minulos
equivalem a uma hora),
Noo levanlamentoa
eetaírelicoa, por e»<emplo,
na votaçào ào represenlanle
àe claaae, aonlafios por
gru?oe àe cinao, ueanào
umafiguraaseim, §,
õ
B
L
ii
§õ
O
I
z
E
o
.s
I
À
t
E
=ô
Eetuàaremoa a7ora o coniunto àe regraa que
no6 ?ermitetn eecrever aom símboloa os
números dentro ào eiatema decimal e a eua
relaçào aom outroe eietemao àe numeraçào.
Eotou curioeo ?ara saber
como oulrog ?ovo1
aonlavam.
\íI\
Ag civi Lizaçozt do ftc,$5ado
Locatke-serta tefio elo espqço.
!
rnAqui está a localização de algumas
das antigas civilizações.
Essas antrgas civilizações
viveram há muitos, muitos
anos. Na linha de tempo
está indicado o período de
maior desenvolvimento
dessas civilizaÇões.
mesopotâmicos
egípcios
gregos
hindus
chineses
romanos
maras
500 a.C.
700 a.C
1100 a.C.
m
100 d.c.
1 000
m
A
m
$
ê
m
&
20
antes de Cristo depois de CÍisto
Cr
--,-.- O.-E -.i-
3500 a.C.
§f,ooo o.c.
O s egípcio s cnoran um [o s
praneiros sktemss derumuroçao de
que se tem.wtício.
Os hieróglifos egípcios - assim é
chamada a sua escrita - são quase todos
figuras da flora e da fauna do rio Nilo ou
figuras de utensílios que eles utilizavam.
d
L
o
lo
l
o
!
1
)
O
o
!
,o
E
e
z
o
_a
@
I)"jualgumas dessas
haste vertical
nn
nn
I
Iil
21
t27
enn 
I
representacões:
osso do calcanhar corda enrolada
dedo indicador ave ou pexe ou grno
homem erguendo os bracos para o céu
A partu da idéia de agrupamentos foi possvel a escrita de números muito grandes.
As regras eram as seguintes:
) Cada símbolo pode ser repetido no máximo 9 vezes.
) Cada 10 símbolos repetidos são trocados por outro, de um agrupamento superior.
) Adicionam-se os valores dos símbolos utilizados para encontrar o valor do número escrito.
I/"jualguns exemplos:
2002 49
ult
flor de Lótus
0 siste A^a de nv.A^araçi^o
'l=o - lt1 ----
-9 '-
WB
0 sistenna habií,ônic o de nu,r,^arc^ça,o
E " escavryões arqueotógtas naregiãa da
Me s op otfunia f or am erwontr críos 6 [o co s de ar gí[a cnm
tnscnções W se as seÍfle[Íwystrl a smÍws.
Dai o nome da escrita desse povo: cune iforme.
Erct usavam dois símbolos para registrar quantidades:
Icravo
la u"u
O "crauo" podia ser utilizado até 9 vezes, representando os números de 1 a 9. O número
10 era representado pelo símbolo "asna".
um
I
dois
YI
três quatro
IYI III
II
l+l:2
cinco
IIYII
n0ve
IIIIIIIII
I
oito
IIIIIIYI
sete
IIIIIII
seis
IYIIII
O sistema de numeração babilônico não possuía um símbolo para representar o zero.
Era usado um espaco entre os símbolos para diferenciar as posicões dos agrupamen-
tos. A contagem era feita em agrupamentos de 60 em 60.
il"juos exemplos:
II
1x60+1
60+1:61
Relacione os números apresentados no sistema egípcio com os seus correspondentes no sistema
babilônico.
,) n lll lll lll d9
B)<<< I I Y
dgnnnl
C)< YIIIIIIII
r <r
1x60+10+1
60+10+l:71
d) Íllnlnl
D)rr<I
22
o
Co
C
CoIo
c
E
a
o
_o3
0 siste/ha ro/vrúrno de Nrfr^araçt^o
l a r* 
"poca 
enl que Cisto wvw Ronw üú a seÁe de um y qsto e p oduo so ín pn o.
Çuerretrose conquistadores, os romanos necessitavam lidar com grandes quantidades.
Eles utilizavam o sistema romano de numeracã0.
Er*sistema de numerac ão erabaseado em sete símbolos:
I
1
X
10
C
100
10 : X
20:XX
30 : XXX
L
50
V
5
D
500
M
1 000
100:C
2OO : CC
40: 50 - 10: XL
90: 100 - 10: XC
1000:M
2000:MM
300: CCC 3 000: MMM
400: 500 - 100: CD
900: 1 000 - 100: cM
Aprru, de, hoje, esses símbolos numéricos serem parecidos com as letras maiúsculas
do alfabeto latino, a sua forma inicial não tinha referência nesse alfabeto,
O cinco, por exemplo, indicava os 5 dedos da mão e era representado assim:
Co o passar do tempo ele foi simplificado: 
",.
il"juas mudanças que ocorreram com o número mil:
crooc)(
lPururepresentar um número no sistema romano de numeraçã0, basta colocar os símbo-
los lado a lado. Esse sistema apresenta as seguintes regras:
,, 0s símbolos fundamentais podem ser repetidos, no máximo, três vezes.
1:l
2:ll
3:lll
, Um símbolo colocado à esquerda de outro símbolo de maior valor indica uma subtracão dos
respectivos valores.
4:5-1:lV
9:10-1:lX
C pode ser subtraído
apenasdeDeM.I pode ser subtraído
apenasdeVeX.
23
dot. or.,
) Na representacão dos números, os símbolos ficam lado a lado e seus valores são adicionados.
6:5+1:Vl
15: 10 + 5: XV
37:30+7:XXXVll
254:200+50+4:CCLIV
962 :900 + 60 + 2: CMLXII
1 823 : 1 000 + 800 + 20 + 3 : MDCCCXXIII
20 000 000 : xx
45 007 : XLVVI
) Um símbolo com um traco acima dele representa milhares e com dois tracos representa
milhões.
5000:v
6720: VIDCCXX
flfo sistema romano de numeracão não havia um símbolo para representar o zero.
Atualmente, esse sistema de numeracão é pouco usado, sendo empregado, por exemplo:
na numeracão dos capítulos de um livro ou na
numeracão de volumes de uma colecão
o!
-qôÊ
co
I
z
em mo çíJA
o
ocL
o
a
o
O
§Srv:
na destgnacão, pela ordem cronologca
de rers e papas de mesmo nome
&
Eh
T
Éi
24
1
r
I
t_
ü
GILÍ à
\
s
Brincando com palitos
e numeração romana
Abaixo enconÍam-se cinco igualdades falsas. tocando em cada uma delas a posição de um só
palito, elas se tornam verdadeiras. Veja a solução que foi encontrada para a primeira:
t, ?rr r, r, l, a, r, r,
ra-
I--
--
ra-
-
ra
|ft"'o dcotrn $"a,
?rr
)t
t, ? t
r,
tt rrttt
0t
xl +ll = Xlll
V*l=Vl
Xll+ V = XVll,t t
25
rl
j O tigl au.a de ywrurar acp^o indo - ar ínbico
0 Brasil, assim como a maioria dos países, utiliza o sistema de numeracão indo-arábico, que é
um sistema decimal.
A palavra "decimal" tem sua origem na pala.vra latina decem, que significa dez, ou seja, os
agrupamentos são sempre feitos de dez em dez. E por esse motivo que usualmente é chamado de
sistema de numeração decimal.
A denominacão "indo-arábico" deve-se ao fato de seus símbolos e suas regras terem sido inven-
tados pela antiga civilizacão hindu e aperfeiÇoados e divulgados pelos árabes.
ASIA
A antiga civilizacão hindu habitava ... onde hoje localiza-se o Paquistão.
o vale do rio lndo...
Conheça a seguir as características do nosso sistema de numeracão.
Com apenas 10 símbolos pode-se escrever qualquer número, por maior que seja.
0 sistema decimal é de base 10, já que os agrupamentos são feitos de dez em dez.
O sistema decimal é posicional porque, dependendo da posicão que ocupa no numeral, o mesmo
símbolo representa valores diferentes. Exemplo: o numeral323 tem o algarismo 3 com valor posicional
trezentos e valor posicional três.
0 sistema indo-arábico utiliza o zero (uma das suas grandes criacões) para indicar uma "casa vazia"
dentre os agrupamentos de dez do número considerado.
0 sistema decimal é multiplicativo porque um algarismo escrito à esquerda de outro vale dez vezes
o valor posicional que teria se estivesse ocupando a posiÇão desse outro.
Exemplo: 666 :6 x 100 + 6 x 10 + 6.
26
\
,l
)
)
789
O zero
Não parece, mas o zero já causou muíta confusão
_ _ - - 
O1P,i^eiros que chegaram à noção de zero foram os babilônios, povo que viveu por volta de
2500 a.C., na Mesopotâmia (atual Iraque).
Aqui pertinho de nós, nas Américas, os maias também chegaram à representação do zeto.para
eles, o conceito de vazio era tão importante que tinham um deus específicó, o deus 2ero, deus
da Morte.
Os indianos conheciam a noção devazio, e empregavam a palavr a shúnynpara representá-lo.
Os árabes levaram pata a Europa o termo indiano que, em árabe, tornou-se th|r-.,tutnizad.o, d.eu
origem ao termo zephirum, depois zéfiro, zefro e, finalmente, zero.
_ 
Na Europa o zeÍo encontrou forte resistência. Tânto superstições, que ligavam a idéia do nada
ao diabo, quanto o medo do desconhecido impediu* o s"rLso. Além disso,"com apopularização do
conhecimento do zero- e 
-dos gutros algarismos indo-arábicos, havia o perigo de que qualquer umpudesse fazer contas, habilidade até então detida por poucos.
A representação do zero ao longo da hístórÍa
Os babilônios tinham
oários símbolos para o zero,
conn estas futplns de triângulos.
Os babilônios também
usaaam o símbolo ao lado,
formado por dois sinais,
p ar a s ep ar ar al garismo s.
Criatitsos, os maias daoam
ao zero oários ícones, como
esta elipse.
O símbolo maia mais
famoso para o zero era a
elipse com forma de olho.
No calendário, os maias
usaoam este desenho para
representar o zero.
Num antigo tabuleiro de
calcular, de origem
desconhecida, este era o
símbolo para o zero.
Dos indíanos até os árabes,
aforma do zero mudou de
um ponto para um círculo.
Fonte de pesquisa: Superinteressante, abrll de 2001.
o
o
o
0
27
0 valor do algarismo depende da posiÇão que ele ocupa no número.
) No número26, o valor do algarismo2é2 x 10 : 20 unidades, porque ele ocupa a posicão ou
ordem das dezenas.
) No número 263,o valor do algarismo 2 é 2x 100 : 200unidades, porque ele ocupa a posição ou
ordem das centenas.
)Nonúmero2635,ovalordoalgarismo2é2x1000:2000unidades,porqueeleocupaa
posiÇão ou ordem das unidades de milhar.
Veja o exemplo:
5627
Pelo quadro de ordens que apresentamos, temos:
UMCDM
48 025 
-) 4
48 025
48 025
4:8025
20+5ou
1000+2x10+5
28
D
2
: quatro dezenas de milhar mais oito unidades de milhar mais duas dezenas mais cinco
unidades ou
40000+8000
4x10000+8
+
X
I ' 1e pssição ou 1? ordem: 7 unidades
2e pssição ou 2e ordem: 2 dezenas : 2 x 10 ou 20 unidades
3e pssição ou 3e ordem: 6 centenas : 6 x 100 ou 600 unidades
4e posição ou 4? ordem: 5 unidades de milhar: 5 x I 000 ou 5 000 unidades
Temos, entã0, o seguinte quadro de posiÇões ou de ordens:
10e
ordem
unidades
de
bilhão
9e
ordem
centenas
de
milhão
8e
ordem
dezenas
de
milhão
7?
ordem
unidades
de
milhão
6?
ordem
centenas
de
milhar
5e
ordem
dezenas
de
milhar
Àa+-
ordem
unidades
de
mrlhar
)aJ-
ordem
centenas
de
unidades
simples
2?
ordem
dezenas
de
unidades
simples
1AI-
ordem
unidades
simples
Lqndo a- q5crqvqndo tutn nínnqro nalutral,
No sistema de numeração decimal, os números são lidos ou escritos mais Íacilmente quando
separamos os algarismos em grupos de três, comecando pela direita.
Cada grupo de três algarismos constítui uma cíasse e cada classe tem um nome, como pode-
mos ver no quadro a seguir.
Consideremosos números que estão colocados no quadro:
20+5(vinteecinco)
700 + 50 (setecentos e cinqüenta) mit
2 (dois) milhões
Lê-se: dois milhões, setecentos e cinqüenta mil e vinte e cinco
5
0
4
2
4
5
U
6
2
U
4
0
5
0
0
7
I
0
2
2
5
200 + 50 + 4 (duzentos e cingüenta e quatro)
5 (cinco) milhões
Quando todas as ordens de uma classe são representadas por 0, não se lê essa classe.
I t----* 600 + 40 (seiscentos e quarenta)L-_-- 100 r 4 (cento e quatro) mil
200 + 80 + 3 (duzentos e oitenta e três) milhoes
6 íseis) bilhões
Lê-se: seis bilhões, duzentos e oitenta e três mirhões, cento e quatro mil,
seiscentos e quarenta
Lê-se: cinco milhões, duzentos e cinqüenta e quatro
CI,ASSE DOS
BILHOES
dezenas unidades
de de
bilhão bilhão
CLASSE DOS
MILHOES
dezenas unidades
de de
milhão milhão
CI.,ASSE DOS
MILHARES
centenas dezenas
de de
milhar milhar
centenas
de
milhão
2750 025
CLASSE DAS
UNIDADES SI[/IPLES
centenas dezenas unidades
simples
Observe, agora, Como fazemos para representar um número usando algarismOS:
vinte e três mil e cinqüenta e oito
vinte e três mil : 2 dezenas de milhar mais 3 unidades de milhar
cinqüenta e oito : 5 dezenas mais 8 unidades
Milhares
2
Unidades simples
23 058
cinco milhões, cento e vinte mil e seiscentos
cinco milhoes : 5 unidades de milhão
cento e vinte mil : 1 centena de milhar mais 2 dezenas de milhar
seiscentos : 6 centenas
Milhões Milhares
2
Unidades simples
8
I- Qual é o sistema de numeração atualmente
adotado no Brasil e na maioria dos países do
mundO? slstema de numeração decinral
2 Qual é o valor do algarismo 6 nos números
seguintes?
a) ôo c) 265144 6oooo
:ooooco d) 92619 ôoo
3 Escreva o número formado por:
a) nove centenas mais seis dezenas mais oito
unidades e6B
b) três unidades de milhar mais quatro cente-
nas mais sete dezenas mais três unidades 347s
c) quatro unidades de milhar mais cinco dezenas
4 050
-> 
5 120 600
d) cinco dezenas de milhar mais duas unidades
de milhar mais sete centenas mais três dezenas
mais uma unidade szt31
e) duas unidades de milhão mais cinco cente-
nas de milhar 2 5oo ooo
4 Usando os algarismos seguintes e sem rePe-
ti-los, escreva todos os números formados por
essestrêsalgarismos.Oua]gtlt"u1ro-D1)?,*r,r*
5 Usando algarismos, escreva o número:
a) doze mil, quatrocentos e dois 12 4oZ
b) sete mil, cento e cinqüenta 7 150
c) cento e treze mil, cento e trinta e um 1 13 13
d) um milhão, cento e um mil e um 1 10r 001
6
b)
30
5
6 No sistema d.e numeração decimal, quantos
números entre 100 e 1 000 você pode escrever
de forma que o número representàdo pelo alga_
rismo da dezena se'
centena seja o r"r rl?"o":r"r;,XT#J:T[#;;
de às unidades seja o seu sucessor?
quatro números: 123,345, 567 e 799
7 Pesquise marcas e preços de carros. Escreva
os valores com algarismos e p"" 
"1::rt:Sem aberto
T*tonao
lnbf^or,^o
mento de
com o us
condições
nurnero que expressa a quantia de R$ 2 106 565,00.
lc@pltul&&.€tCr t%nr:
lóàr'lo-ã,i-lã&'f l" làã6saoo zl"6'l I SHiiâ l"il^,2 í06s6s,oo
§ãopouto 0q e júlAo e2002
DACÁ Q - pn-t-BANco#
sooaz8zzg_oo -
dors milhóes, cento e seis mil, quinhentos e
sessenta e cinco reais
organÍzando Ínformações em uma tabela
de classe. Na classe do 5a ano,
o dos votos, o professor
traço ao lado do nome do
3t
t_
vamos construir uma tabela com os resultados dessa eleição.
Primeiro escolhemos um título, por exemplo: "Resultado da eleição Para rePresentante 
de
classe,,. Depois, escrevemos em cada colr'r, o iipo de informação que ela contém' 
Ficou assim:
Resultado da eteição para rePresentante de classe
Candidato
Alexandre
Juliana
Daniel
Brancos
NuIos
Total
Contagem
ZZI
ZZZZ
zt_)
Número de votos
11
20
42
Analisando a tabela, ]uliana é quem teve o maior número de votos' Mas 
a classe havia combinado
que o candidato, para ser eleito, dãveria ter ao menos a metade dos votos 
mais um voto (maioria
absoluta). Caso contrário, haveria um 2q turno com os dois candidatos mais 
votados'
Observenovamenteatabelaedigase}ulianafoieleitanoloturno'nao
/P"o ó conn V"u
1. Lendo um jornal ou uma revista, assistindo ao noticiário da televisão, entramos em 
contato com
uma grande quantidade de números, tabelas e gráficos que nos dão uma 
série de informações'
Obseive a tabela e depois responda às questóes'
O sucesso de Gustavo Kuerte tênis no Brasil' Atabela
mostra o que ocoÍreu oom o e primeira grande^vitória
,)lnt"= de Guga (1996) rDepois de Guga 
(2000)
600 000
luto000
219
mllhões
1,2
mllháo
Fonte: Confeàeração Brasileira de Tênis, Lisonda e Wilson, inVeja' 14mal 2007'
praticantes
32
bolinhas
vendidas Por
ouadras em clubes' ou academiasinscritos
Agora, responda:
a) Qual é o assunto da tabela? E a fonte? :"ri;::JÍ.t," 
do tênls no Bras l; confederação Brasileira de rênis, Lisonda
b) Onde e quando a tabela foi publicada? rcvisÍa veja, 14/3t01
c) De 1996 a 2000, os números da tabela aumentaram ou diminuíram? Escreva esses números
d) O tênis é o seu esporte preferido? Se não, qual é? resposta em aberto
Y_9:9 :ub" o significado de "pesquisa"? Para responder você pode pesquisar no dicionário...
Hildebrando pesquisou na sua classe qual o esporte preferidã e organüo, os dados numa tabela:
Tema: esporte preferido
Contagem Quantidade de
entrevistados
Futebol
Natação
3. Pesquise emjornais e revistas outras tabelas, cole-as no caderno e responda:
a) Qual é o título da tabela? respostas em aberro
b) Qualéoassr.rlto?
c) Qualéafonte?
d) Onde e quando foi publicada?
e) Essa tabela ajuda a compreender o assunto abordado?
Escolha um tema interessante e faça uma tabela igual à de Hildebrando. Depois identifique qual
foi o item mais escolhido e qual o menos escolhidã. proÍessor: A crasse pode consrruir um painel com essas tabeiâs
33
,ff
t-\
',
Qf Ct a5
.,.tiranào uma
quanliàaàe de
oul,ra,
Eu fico cotn 06
3 cameloe,
L I díia5 c^550 ciadat à ad,içao
A adiÇão é usada quando queremos juntar duas ou mais quantidades ou 
quando queremos
acrescentar uma dada quantidade a outra'
Acompanhe as situações a seguir, em que vamos empregar a adição.
li Uma emPresa tem I 7 48 Pessoas
trabalhando na sua fábrica e 566 pessoas
trabalhando no escritorio.
Quantas Pessoas trabalham, ao todo,
nessa empresa?
Para resolver esse Problema,
devemos Íazer 1748 + 566.
l7 48 -------> parcela
+ 566 ------> parcela
2 3 I 4 -------+ soÍlâ ou totat (resultado da operaÇão)
Nessa empresa trabalham 2 314 pessoas.
2? Uma partida de futebol tem a duração de 90 minutos de jogo. Na final de um campeonato, a
partida foi prorrogada em 15 minutos. Qual o tempo total de jogo dessa partida de futebol?
,, _t.. I _: ? ,â
Para resolver esse problema, devemos 
I ' :;:r"'
acrescentar aos 90 minutos de jogo or-"''" 
- 
te;")"
acrescentar aos 9U mlnutos 0e Jogo 0s
15 minutos da prorrogacã0. f1 ,.-áA
90 min ------> parcela
+ 15 min ---- parcela
105 min ------> sotl'râ outotal
Como 60 minutos correspondem a t hora, então 105 minutos correspondem a t hora e 45
minutos. O tempo total de jogo foi de 105 min ou ih 45min'
Observe como podemos obter a soma de dois números a partir da decomposiÇão desses números.
3 463 + 325
3463 3000+400+60+3
+ 325 ---------> 300 + 20 + 5
3000+700+80+8:3788
T
3 788
36
a- 5otU^Ctndçt
a adiçao da- níAnqroE naturrais
Observe as seguintes sítuacões:
li Consideremos os números naturais 40 e 24 e vamos determinar a sua soma:
40 + 24:64
Trocando a ordem das parcelas, determrnamos a sua soma:
24 + 40:64
De acordo com o que foi apresentado, escrevemos:
40+24:24+40
Esse fato sempre ocorrerá quando considerarmos dois números naturais. Daí:
Numa adição de dois números naturais, a ordem das parcelas não altera a soma.
Entã0, se a e b são números naturais quaisquer, temos a + b : b + a.
Essa propriedade é chamada propriedade comutativa da adicã0.
22 Consideremos os números naturais 16,20 e 35 evamos determinara sua soma, procedendo
de dois modos diferentes:
16+20+35: 16*20*ê:
:36 +35: :16+55 :
- 
-71 
- 
11
- tL : lI
De acordo com as situaçõesapresentadas, temos:
(16 + 20l, + 35 : 16 + (20+ 35)
Esse fato se repete sempre quando consideramos três números naturais quaisquer. Então:
Numa adição de três ou mais números naturais quaisquer, podemos associar as
parcelas de modos diferentes.
Então, se a, b e c são números naturais quaisquer, temos (a + b) * c : a + (b + c).
Essa propriedade é chamada propriedade assocjativa da adíção.
3! Consideremos os números naturais 15 e 0 e vamos determinar a sua soma, independentemente
da ordem das parcelas:
15+0:15 0+15:15
Você nota que o número 0 não influi no resultado da adicã0, quando esse número é uma das
parcelas. Então:
Numa adição de um número naturalcom zero a soma é sempre igual a esse número natural.
Entã0, se aé um número natural qualquer,temosa + 0:0 + à: à.
Nessas condicões, o número 0 é chamado elemento neutro da adicã0.
37
-)xarclclo5
a)
b)
L Caicule as somas, decompondo os números:
2346 + 7 623
1837 + 269
2 Urncarro sai de São Pauio com o hodômetro
marcando 28 596 quilômetros e vai até Rio Cla-
ro, distante 175 quilômetros de São Paulo. Ao
chegar a Rio Claro, qual a quilometÍagem que o
hodômetro desse carro estará marcando?
T, too
z
c
E
§
oô
,ao
a
O hodômetro é um aparelho usado nos ueículos para
marcar o número de quilômetros percorridos.
3 Fazendo seus exercÍcios diários, Beto correu
2570 metros no sábado. No domingo, ele cor-
reu 750 metros a mais.
a) Quantos metros Beto correu
b) Quantos metros ele correu
mana?
c) 3476 + 785
d) 2569 + 576
130
140
à
3
150
160
170
180
20
,_
200
no domingo?
no final de se-
4- Numa escola, o horário de início das aulas
é às 7h 15min e cada aula tem a duração de
50 minutos.
a) A que horas termina a primeira aula? .
b) A que horas é o intervalo, se são dadas três
aulas seguidas antes do intervalo?
5 Ivo, Bete e Guto estão jogando videogame
em um torneio de três partidas.
I
O quadro mostra o número de pontos que cada
um marcou nessas partidas.
72 2? 33
Ivo 9070 73620 10 090
Bete 8230 14740 9980
Guto 10 060 72900 70 720
a) Quem ganharia o torneio, se o vencedor fosse
aquele que fizesse mais pontos nas três partidas?
b) Quem ganharia o torneio, se o vencedor
fosse aquele que fizesse mais pontos escolhen-
do os dois melhores resultados e desprezando
o pior?
C
m
oo
E
.9
C
oa
38
Éi
t
í6 O quadro indica a população de cada estado
do Brasil, de acordo com dados de 2000 do Ins-
tituto Brasileiro de Geografia e Estaística (IBGE).
Acre
Alagoas
Amapá
Amazonas
Bahia
Ceará
Distrito Federal
Espírito Santo
Goiás
Maranhão
Mato Grosso
Mato Grosso do Sul
Minas Gerais
Pará
Paruíba
Paraná
Pemambuco
Piauí
Rio de Janeiro
Rio Grande do Norte
Rio Grande do Sul
Rondônia
Roraima
Santa Catarina
São Paulo
Sergipe
Tocantins
577 226
2879 772
475 843
2 813 085
73 066910
7 418 476
2043 769
3 094390
4996 439
5 642960
2502260
2 074877
17 866 402
6 189 550
3 439 344
9 558 454
7 971937
2 841 202
1.4367 083
2771.538
1.0 181.749
1 377 792
324752
5 349 580
36969 476
1 787 714
1 155 913
a) Qual é a população de seu estado?
b) Seu estado fica em que região?
c) Calcule apopulação total daregião onde fica
localizado seu estado. respostas em aberro
sando todos os algarismos seguintes/ res-
a:
a) Qual é o menor número que pode ser formado?
2 479
b) Qual é o maior número de 4 algarismos que
pode ser formado? s 742
c) Por último, calcule a soma dos números que
você encontrou. 12221
€! Em cada Q devem ser indicados números
de 1 a 9, sem repetição, de modo que a soma dos
números dispostos em cada diâmetro seja sem-
pre 15.
9 Quais os números escondidos?
a) 721 ns
+ 116 476
1201.
b) 6I8 6e8
*251 +zso
c) a2a
+250
326
+ 250
d)
56
1 3I 13e
+ Il1 + s21
r0 6 0 106054
I
LO Os estudantes de um colégio responde-
ram a seguinte pergunta: "Você prefere Mate-
mática ou Ciências?" Cada estudante escolheu
uma única matéria. As respostas foram comPu-
tadas e aiguns dados colocados no quadro:
Sexo
Matéria Masculino Feminino
Matemática 137 98
Ciências 105 177
a) Quantos estudantes escolheram a Matemática?
b) Quantos estudantes do sexo feminino resPon-
deram à pergunta? zrs
c) Quantos estudantes, ao todo, responderam à
pergunla? +st
11 Uma livraria recebeu 376livtos de Lite-
ratura Infantil. Como ela já possuia1,l,4|livros
desse gênero no estoque, quantos livros de Li-
teratura Infantil essa livraria Passou a ter? t sza
L2 O governo orgartiza, periodicamente,
campanhas de vacinação contra a paralisia in-
fantil. Numa dessas campanhas em um deter-
minado município, foram vacinadas 17 296
crianças da zona urbana e 1. 649 da zona rural.
Quantas crianças foram vacinadas nesse muni-
cípío? no+a
L3 Partindo do alto da pirâmide chegue à
base, passando de uma casa a outra sem puiar
nenhuma fileira, de modo que a soma seja 60.
o
'u/ 8
8 J 9
4 v\ 1 5
9 3 )5 4 2
6 1 /r., J 9 7
4 5 / 8 5 1 5
7 5 2 4 .) 8 4
6 1 6 tas' 3 1 5 6 7
7 9 5 4 \ 9 7 6 5 4
O quadrado mágÍco
A Matemática e a magia, quem diría,
iá foram íntimas
Os quadrados mágicos já eram conheci-
dos pelos calculistas chineses há 6000 anos
antes de Cristo.
Observe
o exemplo:
Se adicionar todos os números de cada
linha horizontal, a soma é 15. Se, da mesma
forma, adicionar todos os números de cada
linha vertical, a soma também é 15. E quer ,
saber a soma dos números das diagonais? E 15.
Segundo os calculistas antigos, um
quadrado mágico de nove elementos e
constante quinze (como o nosso exemplo) era
um amuleto eficiente, indicado para livrar
uma pessoa da peste e da mordida do
escorpião.
Esse foi o primeiro quadrado mágico de
que se tem notícia, encontrado na China, em
cerca de 2800 a.C. Até hoje ele é utilizado
como talismã. Observe-o e encontre seme-
Ihanças com o quadrado mágico de nove
elementos e constante 15 do nosso exemplo.
Mosogueáum
guodrodo mágico?
6 7 2
1 5 9
8 3 4
40
o
Criando quadrados mágicos
Em uma folha de papel, faça um quadrado
de 1-2 cm de lado e divida-o em 9 quadrados
iguais.
Vai ficar assim:
Sugestões:
I díia5 c\s5ociadag à stht r açao
minuendo
subtraendo
diferença ou resto
(resultado da operação)
Recorte 9 papeizinhos e escreva os
algarismos de 2 a 10.
Organize os algarismos 2,3, 4,5, 6,
7 , 8,9, 10 de maneira que a soma na
horizontal, na vertical e na diagonal seja
sempre 18. Encontre arranjos diferentes para
obter essa soma.
Ganha o grupo que mais arranjos
conseguir.
1
A subtração é empregada quando:
Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade.
Exemplo:
Paraa partida final de um campeonato de futebol foram colocados à venda 65 915 ingressos.
Desses, 420081áforam vendidos. Quantos ingressos ainda restam?
Para resolver esse problema, devemos fazer 65 915 - 42008.
65915_-
-42008--------'
23 907 --------
Restam 23 907 ingressos para vender.
Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas tem a mais que a outra.
Exemplo:
Uma imobiliária anunciou um apartamento por 38 650 reais e outro imóvel, menor, por 27 930
reais. Quanto o primeiro custa a mais que o segundo?
l 8
2 6 10
I 4 5
nu**"*i#ff
4t
Para reso(ver esse prob(ema, devemos fazer 38 650 - 27 930'.
38 650 
-- 27 9 3 0 _-*
10 7 20 
-
minuendo
subtraendo
diferenca ou resto
Ele custa l0 720 reais a mais que o segundo.
Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a outra.
Exemplo:
Um filme tem a duração de 135 minutos.
Se você já assistiu a 100 minutos desse filme,
quanto tempo falta para o término da sessão?
Para resolver esse problema, devemos
fazer 735 - 100:
135
-100
035
Faltam 35 minutos para terminar o filme.
L Encontre a soma de uma
fila do quadrado mágico e
depois descubra os números
que faltam.
1.4
12
?
?
17?
13?
6 À vista, o preço de um automóvel é de26 454
reais. Aprazo, o mesmo automóvel custa 38 392
reais. A diferença entre esses valores é chamada
juros. Se você comprar esse automóvei a prazo,
qual é a quantia qrepagará de juros? ' e3!r ,ea s
2 Efetue as subtrações que são possíveis no
conjunto N. [rdique as que não são possíveis.
a) 7720 - 845 ü5 c) 49L5- 6100
b) 570 - 700 , d)3901 -3901
3 Qual é a condição para que um número na-
tural subtraído de outro natural resulte em um
número natural?
-ro t _rr'e ser I a o oir cua ac seg! r,t.j - rleto
4 Sendo x : 9 - 5 " y - 5 - 9, use os sinais: ou * para comparar os números r e y.
5 Encontre os números que faltam, utilizando
aadiçãoeasubtração.
b) ll
7 Aleií;:ra de um
hidrômetro feita no
día 20 de março
indicava 2 431 metros
cúbicos e uma nova
leitura, feita um mês
depois, indicava 2 590
metros cúbicos.
Quantos metros cúbicos
de água foram
consumidos nesse
período? ,-!r'-
t*
z
-l
Hidrômetro é um aparelho
semelhante a um relógio:
marca o consumo de água
em centímetros cúbicos.
a)e
€t D. Pedro II, imperador do Brasil, faleceu em
1891 com 66 anos de idade. Em que ano ele nasceu?
9 Se você acrescentar um zero à direita do nú-
meto 124, esse número terá um aumento de
quantas unidades?
2-.
xarclcl(]9
42
LO Na escola onde Cristina estuda, a última
aula começa às 11h 25min e termina às
12h 10min. Quantos minutos dura essa aula?
45 min
11 Num torneio de basquete, duas equipes
empataram em 1a lugar. O critério usado para o
desempate é o melhor saldo de pontos (diferen-
ça entre pontos marcados e pontos sofridos).
Verificou-se que:
Equipe B
Pontos
marcados
Pontos
sofridos
370 339
Nessas condições, qual das duas equipes foi con-
siderada campeã do torneio?
A equ pe 8, que tenr 3T pontos de saldo sobre 28 pontos de saldo da
equipe Á
L2 Sabe-se que a profundidade
média do oceano Pacífico é de
4 188 metros e a profundidade
média do oceano Atlântico é
de3736 metros. Qual é a
diferença entre essas duas
profundidades? 452rr.-os
lD
À
\
4 Pense e complete no caderno com os núme-
ros que faltam: To
+?
2480 2490 ?
? 9634 ?
3520
í
7 870
?
?
Pontos I Pontos
Ral,açao [ttnd,annqnta(, da gurhtr açao
Observeque: 9-5:4 e
enÇa
ndo
Em Matemática, dizemos que as sentencas 9 - 5: 4 e 5 + 4:9 são equivalentes.
9-5:4e5+4:9
I t o sinal <+ quer dizer:equivale a.
Daí, podemos escrever arelacão fundamental da subtracão:
minuendo - subtraendo : diferenca ê subtraendo + diferenca : minuendo
0u seja, a subtracão é a operacão inversa da adiçã0.
Professor: A ideia da operação lnversa pode ser ilustrada com situaçóes do cotidiano (por exemplo,
colocar e tirar um óculos, chapéu etc ) ou com br ncadeiras (por exemplo, escravos de Jó)
L Numa adição, uma das parcelas é 1.48 e a
soma é 301. Qual é a outra parcela? rsa
2 Numa subtração, o subtraendo é75 e a dife-
rença é208. Qual é o minuendo? 2a3
3 Escrevaia adição equivalente a cada subtra-
ção e, a seguil, dê o valor do número natural
representado pela letra r.
a) x - 155 : 45 x-2oo b) x - 420: 0 x= azo
xarclcl(75
43
1 880,1 890, 1 9OO,2470,2 500;9614, I624,964
4{f'4<Equipe A
403 375
a,cu{,ad
ttl
-Conhecendo algumas teclas da calculadora
.)1
d)1
70
00
tr-
J_
í^rU
838
760
3 600
1,864
762
15
2
77
Resultado
1 000
2 400
1 800
7 847
As teclas que ele apertou para chegar a estes resultados foram:
c)++
d)
o(or 6çs/v\ V"U
1. Antecipe os resultados antes de você teclar :
a)2 0 0 2 0
b)3 0 - 3:
1ê
2a
ôa
J-
44
2. Quantas yezes, no máximo, você terá que acionar a tecla : para que o resultado continue
positivo?
a)8 5 - 8: , b)7 9 - 4: ,
3. (Saresp) Usando somente as teclas 1 e 0 , como você faria para escrever o número 2342?
a)100+100+10+10+1 ',. _t,.,-r,.,.,1-'.''n"o"u
*b)1000 + 1000+ 100+ 100 + 100 + 10 + 10+ 10 + 10 + 1 + 1
c) 1 000 + 1 000 + 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1
d)1000 + 1000 + 100+ 100+ 100 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1
4. Joãozinho resolveu várias operações utilizando uma calculadora e encontrou os resultados a seguir.
Número das operações Números digitados na calculadora
44
_'
1fF 7, I g.
cE 4 5 6.
a3lo
IE
lo
C
€
õ§(,
, içual
L n ndiçao
rq550a5 nwL^anccrt5
Vamos primeiro procurar no drcionário
o significado do termo "expressão".
Expressão: ato de exprimir; enunciação do
pensamento por meio de gestos ou palavras
escritas ou falas; representação.
Exprimir: dar a entender, conhecer, revelar,
manifestar, representar, Íazer conhecer suas
idéias.
Podemos definir uma expressão numérica como a representaÇão numérica de uma dada situa-
ção. Acompanhe o exemplo.
Tiago recebeu 30 reais de mesada. Gastou 3 reais na compra de um gibi e 5 reais na excursão
da escola. Ainda bem que recebeu os 7 reais que havia emprestado para o Edu, pois assim comprou
o presente de aniversário de sua mãe, no valor de 25 reais, Será que ainda sobrou dinheiro com
Tiago?
Vamos expressar a situação acima de três manetras:
Primeira maneira
A mesada menos o valor do gibi: 30 - 3 : 27
O que sobrou menos o valor da excursão: 27 - 5 : 22
O que sobrou mais o que Edu pagou: 22 + 7 : 29
Esse totalmenos o presente da mãe: 29 - 25 : 4
Segunda maneira
30-3t\
mesada gibt
5+7-25
\\\
excursão Edu
Terceira maneira
ganhou gastou
(qll-(3+5+25)
I
37 33:4
: 27 5 + 7 - 25 :22+ 7 - 25: 29 - 25 : 4
da mãepresente
Portanto, Tiago ainda ficou com 4 reais.
45
L:
Acompanhe mais esses exemplos:
Qual o valor da expressão numérica 30 + 12 - 25 - 7?
___1
30 + 12 _ 25 _ 7 : y__ 25 _ 7 : t7 _ 7 :70
2 Determinar o valor da expressão 20 - (6 + 4) - 7.
Como nessa expressão aparecem parênteses, devemos
indicadas no interior dos parênteses:
inicialmente efetuar as operacões
20-(6+4)-7:
I- Qual é o valor da expressão numérica
58-46+20?
2 Dona Noêmia, a bibliotecária da escola, or-
ganízort um quadro com o movimento de reti-
rada e devolução dos 40 livros indicados para
leitura da 5a série.
Dos livros indicados para a 5ê série, quantos es-
tavam na biblioteca no início da 6a Íeíra? Monte
uma expressão para calcular.
.t..2-,
3 Coloque convenientemente parênteses na ex-
pressão 50 - 10 + 25 - 7,para que o seu valor
seja 14.
4 Um número natural é expresso por
(53 - 38 + 40) - 51 + (90 - 7 + 82) + 101.
Qual é esse número natural? ?7()
__------l20-10-7:10-7:3
I
5 Coloque convenientemente os parênteses
para que a expressão 50 - 77 - 37 + 6 dê como
resultado 10. ' i' :i c
6 Utilizando os números 10, 11, 15 e 20, escreva
uma expressão que tenha como valor o número:
a)6 b)56
resoostas ern aberto
c) 36 d)4
IJse os números
de 7 a76, para que a
soma seja constante
no quadrado mágico
a seguir. Alguns
números já foram colocados. Descubra o
valor da constante.
10
?15
76
xq-rclct(75
Movimento na biblioteca
2a Íeira
3a feira
4a Íerra
5u feira
10
B
46
11
13
3
?
?
I
À
C
Eo
E
E
ô
Por dentro da energia elétrica
Em época de economía, é necessárío saber maís a respeíto da energía elétríca
Energia é a propriedade de um
sistema que lhe permite rcalízar trabalho.
Pode ter várias formas: potencial, mecâni-
ca, química, eletromagnética, elétrica,
calorífica etc. Energia elétrica - oueletricidade - é como se designam osfenômenos que envolvem cargas elétricas.
No Brasil, onde é grande o número
de rios, a opção hidráulica é mais utlliza-
da e apenas uma pequena parte é gerada
a partir de combustíveis fósseis, em
usinas termelétricas.
As partes principais de uma usina hidrelétrica são:
a barragem - represa o fluxo da âgua do rio;
as comportas e o vertedouro - controlam o nível de água da represa;
a casa de máquinas - onde estão instalados os geradores acoplados às turbinas.
Para transformar a força das águas em energia elétrica, a água represada passa por dutos
forçados e gira a turbina que, por estar interligada ao eixo do gerador, faz corrr que este entre em
movimento, gerando a eletricidade.
O consumo de energia elétrica depende da potência do aparelho utilizado e do tempo de
utilização. Os aparelhos elétricos possuem diferentes potências, consumindo mais ou menos energia.
Essa potência é expressa em watts (W) e deverá estar mencionada na placa de identificação afixada
no próprio aparelho. É o medidor de energia elétrica (relógio de luz) que registra o consumo de
eletricidade. O consumo do mês é calculado com base na diferenÇa entre a leitura obtida no mês em
curso e a do mês anterior.
Fonte de pesquisa: www.bandeirante.com.br
Comoler o seu relógio de luz
de ponteÍros
Você pode acompanhar o gasto da energia
de sua casa, constrltando o medidor de energia
elétrica. Esse medidor é composto por quaÍo
relógios pequerros. Os ponteiros giram sempre no
senüdo crescente dos números, ou seja, do menor
para o maio4, podendo ser no sentido horário ou
anti-horário.
O primeiro relógio, a partir da esquerda,
marca os números que se referem à unidade
milhat, o segundo se refere à centena, o terceiro
à dezena e o quarto à unidade simples.
Para se fazer aleitura, comece pelo
relógio da direita, escrevendo o último número
ultrapassado. Se o ponteiro estiver entre dois
números, o menor deles é que deve ser
considerado.
ç.
z
E
-t
É
ô
.a
I
@
47
l
-/
lTI
/,
rti*-(
sá
I
\
§
-
Lemos 3 048.
ita), considerando que, quando um ponteiro passa pelo zero, o ponteiro do relógio da esquerda
Acima temos a última 1"t** i"["*XliO, casa de lacira,cuja meta de consumo é277k\Ath.
Desenhe os relógios do medidor fazendo os ponteiros com a próxima leitura, supondo que o
consumo do mês seja igual à meta.
ya-
lratando
Organizando ínformações em
gtáÍicos de barras
Jnbl^oçao
Na última aula, a professora
Andréa fezumapesquisa com os
alunos. Ela levou vários cubos
coloridos para cada aluno escolher
o cubo com a sua cor preferida.
Em seguida, todôs ajudaram a organizar os dados
da pesquisa em uma tabela.
Depois Andréa pediu aos alunos que colocassem
seus cubos apoiados no aparador de giz da lousa,
formando uma pilha de cada cor.
Veja como o eixo vertical que ela desenhou ao lado das pilhas indica as quantidades:
E assirn eles construír arn urn gr áfic o de b arr as.
48
Quanticlacle I
1ft"'o ácom W"u
1. Leia a reportagem da revista Veja, deTZ /7/01.
40 anos
Fontes: Unesco, Embaixada de Cuba e Ministério da Educação
Vamos representar essa tabela em um gráÍico de barras:
Todas as crianças na escola
Todas* as crianças na escola há
Estados Unidos 130 anos
Para aÍolto estatísüco, 'lodas" querdizêr mais de 95%.
Anos
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
2
Legenda
f Brasit
! crruu
f Coréia do Sul
lapão
f rrança
f nstados Unid,os
Os gráficos de barras são utilizados, em geral, para comparar coisas de mesma natureza.
Pa íses
49
Na semana passada. o presidente Fernando
Henrique Cardoso lançou o plano Nacional de
Educação. gue garante investimentos para manter
todas as crianças na escola, patamar que o Brasíl
atingiu em 1999. O quadro mostra há quanto tempo
alguns países iá alcançaram a meta.
L- 15 anosi cuba
Responda:
a) Para oue serve um gráfico? E uma legenda?-' p;;;;r"á;.t"i,"no-"no!',sicos qLr-,cos.soclís.eccnómcosetc.Pà'ae\picarsroo.osorcoresJsadosnosgrá'rcos.rnaoasetc
b) Qual a fonte da tabela? Onde e q"X:* foi publicada?
c) esse mite?
para t
d) Que título você daria a esse gráfico? resposta em aberto
e) O que indica o eixo horizontal? E o eixo vertical? Paísesi tempo (em anos) em que todas* as crianças têm escola
f) Na situação descrita, quantos anos a França está à frente do Brasil? E a Coréia do SuI? 128; 38
2. Procure, em jornais e revistas, gráficos de barras e cole no caderno. Dê um título e trace, se
possível, os eixos horizontal e vertical de cada gráÍico.
6 ldíias c=55ociad,as à nntt[ti pí,ica çao
A multiplicação é empregada em situaÇões em que precisamosl
Adicionar parcelas iguais.
Exemplo:
Um edifício tem 6 andares. Em cada andar há 4 aparlamentos. Quantos apartamentos tem o
edifício todo?
Para resolver essa situação, podemos fazer:
4+4+4+4+4-t4:24
Essa mesma igualdade
6 vezes
pode ser representada por:
6x4:24
6 vezes 4
Daí, podemos escrever:
4+4+4+4+4-t4:6 produto
fator
fator
6 vezes
0 edifício tem 24 apartamentos.
24 ---------
50
Saber quantas combinações podemos fazer.
Exemplo:
Pedro está escolhendo um sorvete de uma bola com um tipo de cobertura. Mas as opcões são
muitas. De quantas maneiras diferentes pedro pode montar o sorvete?
Para facilitar a resolucão desse problema, vamos Íazer uma tabela:
Como são 4 tipos de sorvete e 3 tipos de cobertura, calculamos o número de maneiras diferen-
tes de montar o sorvete efetuando o produto de 4 por 3.
trpos de sorvete
I
4 x 3 : 12 ------> maneiras diferentes de montar o soryete
I
I
tio be cobertura'l
Pedro oofe montar o seu sorvete de 12 maneiras.
I
Lxemplo:l
Parafazer refresco de uva, utilizam-se 4 copos de água para cada copo de suco concentrado.
Quantos copos de água são necessários para fazer refresco usando 2 copos de suco concentrado? E
usando 3 copos? E 4 copos?
1 copo de suco --------- 4 x 1
2 copos de suco --------- 4 x 2
3 copos de suco ---------' 4 x 3
4 copos de suco ------- 4 x 4
4 copos de água
8 copos de água
12 copos de água
16 copos de água
Usar al ideia de proporcionalidade.
51
Sorvete Cobertura
Coco Caramelo
Abacaxi
Flooo' Chocolate
Creme Morango
LonsidzraçÕrs sohre a nnwl,ti
) Multiplicar qualquer número natural por 1 dá como resultado o proprio número.
5 x 1 :5 + equivaleacincoparcelasiguaisal
20 x I : 20 + equivale avinte parcelasiguais a 1
) Paravaler igualdades como 1 x 5 : 5 x 1 e 1 x 20 : 20 x 1, devemos ter:
1x5:5
lx20:20
Multiplicar um número natural qualquer por 0 dá 0.
5 x 0 : 0 
-+ 
equivale a cincoparcelasiguais a0
20 x 0:0 
- 
equivaleavinteparcelasiguaisa}
Para valer igualdades como 0 x 5 : 5 x 0 e 0 x 20 : 20 x 0, devemoster:
0x5:0
0x20:0
0 a[goritnno da rtnttl,tiytLicaçao
Vamos multiplicar 6 x 24.
Fazendo um esquema:
20
Agora vamos multiplicar 12 x 26.
Fazendo um esquema:
20
Usando o algoritmo:
20+4
x6
t44
6 x 24:144
Usando o algoritmo:
24
120
20+6
xl0+2
+12
40
60
200
312
12 x 26 :372
â \/ ô^ - /^ tt
6x20-120
f-
t- 6x4:24
52
10
Também podemos resolver assim:
26x 12: (20+ 6) x (10 + 2) : 20x 10 + 20 x2+ 6 x 10 + 6 x 2
:200+40
= 312
+ 60 +12
0u assim: 26
x12
52
260
------- 2 x 26
--------> 10 x 26
312
0utros a[qoritnn 05 para a nntiltipLi
Depois,faziamuma decomposição do 11 utilizando os dobros:
11 : 8 + 2 + I
Entáo,calculavam substituindo os números encontrados na decomposiÇão do 11 pelos
números da tabela:
,--12;t_s
11 x36:(8+2+1) x36
:288+72+36
: 396
Portanto, 11 x 36 é igual a 396.
Unn a[,goritnno viajado!
n)
' V oci ji ouvu fatar em. « gelosíd' 7
É u^algoritmo de multiplicação também conhecido como "método da grade". Foi usa-
do no século Xll, na Índia, de onde foi levado para China e, de lá, para a Arábia. Do mundo. muÇulmano seguiu para a ltália, onde os venezianos o assimilaram e difundiram.
0 atgoritn^o ajípcio
Í{a 20oo rrnos) os egípcios já.anÍwr.farnítimííoíe cotn fup[kações.
{Purucalcular 11 x 36, por exemplo, os egípcios construíam uma tabela. Nessa tabela, '
utilizavam a adiÇão e os dobros, assim:
36 (1 x 36)
36 + 36:72 (2 x 36)
72 + 72: 144 (4 x 36)
144 + 144 :288 (8 x 36)
288 + 288:576 (16 x 36)
fu[urvamos conhecê-lo calculando 327 x 32:
3 2 7 X
9.Á e4 ,1 3
2
.foruro, os números em cada diagonal a partir do canto inferior direito da grade. No
caso de a soma ser maior ou iguala 10, o algarismo das dezenas é elevado à diagonalseguinte.
3 2 7 X
y4 e1 4 3
'.94 91 1-/+ 2
4
ft".,. a col ft"a,
Com um colega, calcule com os dedos:
a)7X8 so b)8x6 +a
Ainda em dupla, construa as tabuadas
do 5 até a tabuada do 10.
Enúo, 327 x 32 é igual a lO 464.
COLLbT'
Veja um exemplo de como é possível
multiplicar usando os dedos:
8x9
Em uma mão, dobre tantos dedos quantos
faltam para 5 completar a quantidade 8.
Na outra mão, dobre a quantidade de dedos
necessária para 5 completar 9. Assim:
wfl
A seguir:
multiplique por 10 o total de dedos abaixados
multiplique as quantidades de dedos
levantados
adicione os dois resultados
Dedos abaíxados; (3 * 4) x 70 : 70
Dedos que permaneceram leaantados:2 X 7 : i- .. --72
3 2 7 X
y4 e1 2./t 3
e1 yi T-i 2
Você sabÍa que a mão é consÍderada a
prÍmeÍra máquína de calcular?
Veja outro exemplo:
9x7
Usando os dedos:
Então (4 + 2) x 10 :
1x3:3 63
Uma dica: so e Posível multíPlícar
assím de 5 em diante'
54
1
0
6
xurclcl(]5
ao triplo da distância de
A atéB. Qual
é a distância
de B até C?
L Três pontos turísticos, A, B e C, são ligados
poÍ uma estrada. Sabe-se que de A até B sáo 275
metros e que de B até C a distância corresponde
2 Marlene não consegue decidir o que vai ves-
tir. EIa pode escolher entre 2 saias (preta ou cin-
za) e 3 blusas (branca, amarela ou vermelha).
Quantas são as opções de Marlene? PararesPon-
der, faça uma tabela ou um desenho.
Sáo T 2 opÇÕes diÍerentes
3 Na padaria do seu João o pão recheado cus-
ta R$ 2,00. Ajude seu Joáo a fazer um quadro
com o preço de2,3,4,5,6 e 7 desses pães.
Quantidade de pães 1. 2 3...
Preço total 2,00 ? ?
4,00; 6,00; 8,00; 10,00; 12,00,14,44
4 Aparede lateral de uma piscina foi revestida
com 13 linhas de 43 azulejos em cada linha.
Quantos azulejos foram usados para revestir
essa parede? 559 azr telos
5 Um agricultor verificou que um hectare de
terra produz 65 toneladas de cana-de-açúcar e que
cada tonelada de cana produz92lttros de álcool.
Quantos litros de álcool são produzidos em:
Exercício 8
) b)
2
7 1
1 3 4 8 X
%1 %t%
4%t%t%t%
8872JlJ
a) L hectare de terra? b)
5 980 litros
50 hectares de terra?
299 000 litros
Um hectare equirsale a um hectômetro quadrado
(10 000 metros quadrados).
6 O carro de André, quando bem regulado,
percoffe aproximadamente 12 quilômetros com
um litro de gasolina. Faça um quadro como este
a seguir e diga quantos quilômetros é possível
André percorrer com as quantidades indicadas.
Quantidade, g 4 5 10 72 15 16
cle [tros
Distância????????
percorrida
'24 36 18 60 12A 144 ',l 80 192
7 Encontre os algarismos escondidos.
a)7ztb)7zt
x8 X 4a x48
2s6 296 2so
IllI 1480
6
Il
L
çt
E
õô
29 6
If II 1tt6
€3 Multiplique, pelo algoritmo da gelosia, os fa-
tores:
a) 307 x89 b) 1.348xL4
€) Multiplique, utilizando o método de dobrar
e adicionar:
a)15x48
(1+2+4+8)x48:120
b)13x23
(1 +4+8)x23:299
LO Encontre os valores ds t, À g O
1 IAO t42s
X3r.3
rAO4 4284
55
^e
34x12
\
34x(10+2)
(34x10)+(34x2)
340 + 68
300+40+60+8
\','
300+100+8:408
11 Veja como Camila calcula:
ProÍessor: Com esquema deste tipo, desenvolve-se o cálculo mental
Agora, calcule do mesmo jeito que Camila:
a) 24x 35 aao
b) 35 X 24 eqo
c) 45 X 92 qtqo
d) 92 x 45 +-,oo
L2 Determine o número natural que se deve
colocar no lugar de n para que sejam verdadei-
ras as igualdades:
a) 27 x 37 :37 x n t:2.,
b) 385 X n:385 n: l
c) 31 x (73 x n): (31 x 73) x 28 :28
Quantidade
de amigos
J
4
6
10
Número de
apertos de mão
?
?
2
a'
Duas sÍtuações muito parecÍdas
11 Desenhe uma circunferência no caderno e marque 3 pontos nela. Faça traços com uma régua para
ligar esses pontos, de 2 em 2.
a) Quantos traços com a régua você fez? z
b) Se fossem 4 pontos nessa circunferência, quantos traÇos você faria? o
c) E se fossem 5 pontos? ro
2e Três amigos se enconttam em uma festa. Cada um cumprimenta o outro uma única vez com um
aperto de mão.
a) Quantos apertos de mão foram dados? s
Outros amigos foram chegando e os cumprimentos
continuaram/ sempre uma única vez, com um aperto
de mão.
b) Preencha uma tabela como esta a seguiq, com o
número de apertos de mão.
c) Como você e seu colega encontraram as respostas?
Conte paÍa a classe.
Os cumprimentos
riedradat d,a A^vLti (,icaçao de núA^aro5 natwrais
Observe as seguintes situacões:
13 Consideremos os números naturais 14 e 25 e vamos determinar o seu produto:
14 x 25: 350
Trocando a ordem dos fatores, determinamos novamente o produto:
25 x 14: 350
De acordo com as situações apresentadas, podemos escrever:
14x25:25x74
56
Esse fato sempre se repete quando temos dois números naturais quaisquer. Assim:
Numa multiplicaÇão de dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores
não altera o produto.
Essa propriedade é chamada propriedade comutativa da multiplicaÇão.
2A Vamos considerar, agora, os números naturais 5, 1B e23e determinar o seu produto:
.5 x 18 x23: 5 x 18 x23=
:9o xz3:zoto :5;;i-:2o7o
De acordo com as situações apresentadas, temos:
(5x18) x23:5x(18x23)
Esse fato sempre se repete quando temos três números naturais quaisquer. Assim:
Numa multiplicação de três ou mais números naturais quaisquer,
podemos associar os fatores de modos diferentes.
Essa proprledade é chamada propriedade associativa da multiplicaÇão.
33 Consideremos os números naturais 7 e25 e vamos determinar o seu produto, independente da
ordem dos fatores.
lx25:25 25xl:25
Você nota que o número 1 não influi no resultado da multiplicação quando um dos fatores é 1.
Como I x 25 : 25 x I : 25,temos:
Numa multiplicaÇão de um número natural qualquer por 1, o produto é sempre
igual a este número natural.
Nessas condições, o número 1 é chamado elemento neutro da multiplicaçã0.
41 Considerando o produto 4 x (77 + 32)
:(17 +32)+(17 +32)+(77 +32)+$7 +32]':----------> petadefiniÇãodemuttipticaÇão
:17 +32+17 +32+17 +32+17 +32:
: 17 + 17 + 17 + 17 + 32 + 32 + 32 + 32 : ---------------- pela propriedade comutativa
4 vezes
:(4x17)+(4x32)
4 vezes
Entã0, podemos escrever:
4, (t7 + 32): (4 x 17) + @ x 32)
57
Essa igualdade nos leva a dizer que:
Para multiplicar um número natural por uma soma de dois ou mais números,
podemos multiplicar o número por cada uma das parcelas e, a seguir,
adicionar os resultados obtidos.
4 r (17 + 321: (4 x 17) + (4 x 32)
Essa propriedade é chamada propriedade distributiva da multiplicaçáo.
Essa propriedade pode ser estendida para a multiplicacão
indicada.
7x(20-11) :(7x20)-(7x
de um número por uma diferenca
11)
Uma escola comprou várias caixas de lápis de cor para serem distribuídas entre as cinco clas-
ses do 5e ano. Cada sala recebeu 6 caixas com 6 lápis de cor, B caixas com 12 lápis de cor e uma
caixa com 24\ápis de cor.
Para descobrir quantos lápis de cor cada classe recebeu, fazemos os seguintes cálculos:
6 caixas de 6 lápis --- 6 x 6 : 36
8 caixas de 12 lápis ------+ g x 12 : 96
1 caixa de 24 lápis ------ 24
36+96+24:156
De uma forma mais simplificada:
+
+ 8 x 12 + 24: 36 + 96 + 24: 156
'i
Cada classe recebeu 156 lápis de cor.
Naexpressã06x6+8x12+24aparecemmultiplicaçõeseadiçoes.Observeque,para
calcular o resultado, efetuamos as multiplicacões antes das adições.
Nas expressões em que aparecem as operacões de multiplicacã0, de adicão e de subtracão,
efetuamos as operacões na seguinte ordem:
) Primeiro as multiplicacões.
) Depois as adicões ou as subtracões, na ordem em que aparecem, da esquerdapara a direita.
ra550q5 nutLta"|ca5
Veja alguns exemplos:
Determinar o valor da expressão7 + 9 x 6.
7+9x6:7+54:67
Dar o valor da expressão numérica 50 - 9 x 4.
3 x7 + 9 - 4 x 5 : 2l + 9 - 20: 30 - 20 : l0
b) 80-(6x7+5) :
:80-(42+5):
:80 - 47 :33
aaaaaaa
aaaaaaa
aaaaaaa
4x2+4x5
b)........
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaa
aaaa
aaaa
2x(8+8) +3x4
50-9x4:50-36:14
Qual é o valor da expressão numérica 3 x 7 + 9 - 4 x 5't
c) (80-6) x(7+5) :
:74 x 12:
: BB8
(6 Dada a expressão numérica
(3 x 7 + ? x 15) x (81 - 4 x20), determine o
seu valor. s1
7 Expresse a quantidade de pontinhos de cada
item por meio de uma expressão numérica:
Existem outras respostas.
a) .. , g)* , ? 1 { ri
A innportância doE ytarànleses
a)80-6x7+5:
:80-42+5:
:38+5:43
Observe as expressões numéricas e o valor de cada uma delas:
Verifique como a colocação dos parênteses influi no valor de cada um dos exemplos.
L Qual é o valor da expressão numérica
81,-7 x11? 4
2 Sabendo quea : 10 + 3 X 2,b : 1,0 x 3 + 2,
determine a eb.Em seguida, usando os símbo-
Ios : ou *, compare os números a eb.
a:16;b-32,a*ó
3 Dada a expressão 12 + 8 X 5, é preciso colo-
car convenientemente os parênteses para que o
valor dessa expressão seja 100. Escreva a expres-
são comesses parênteses. (12 + 8) x s
4 Determine o valor numérico da expressão
50-(6x 8+2). o
5 Coloque convenientemente parênteses na ex-
pressão 20 - 3 X 6 X 2,para que seu valor seja 4.
120 3x6) x2
59
3x(3+3+2)
Os nove círculos
Distribua os números 2, 4,5, 6,70,1.2, 15 e 30 nos
círculos, de modo que o produto seja 60 em cada fila
horizontal ou vertical cujos círculos estejamligados.
I
UtílÍzando a calculadora para
resolver expressões numérícas
Para resolver expressões
numéricas usando uma
calculadora, necessitamos
do recurso da memória.
RCLoU MR
chama a memória
memória
aditiaa
limpn n última
entrada digitada
Exemplos:
1. Calcular 20 + (30 x 12)
Teclar: 2OM+3
2. Calcular 100 - (30 + 12 + 5)
Teclar:100M*
3. Calcular 72 x 17 + 75 x 26
Teclar:72x1
4. Calcular 23 x 74 - 77 x 12
Teclar:23x1
aBlatÊtõ
l3
o
õo
(,
M* MR Aparece no visor o resultado 380.
5 M- MR Aparece o resultado 53.
7ly'l+ 6 M+ MR Aparece o resultado 594.
X 2 M- MR Aparece o resultado 118.
frot" dcoyrn W"u
a) 727 - (21. + 15 + 11) BO
b) 15x47+72X19gss
c) 21x12-13x10
d)58 (5+3+12+6+9)
Memóría... ah! a memóría...
M*
60
,otf"
-
0x1
0+
memória
subtratiua
limpa todos
os registros
m'
CE
.a
il
q
§t
IC'
7'l o,
4,1 s1
xrç
Ç{D
t 2 3. :
+
lnterpretando gráÍicos
1.
a)
b)
d)
e)
do4qparao5a? rs
e do 5a para o 6a? tz
Sidney
Atlanta
Barcelona
Seul
Los Angeles
Moscou
Montreal
Munique
México
Tóquio
tl (
.a \ a:'ôri
In{ol^oçao
fico foi publicado pela revista Veja, de 74/7 /99.
o gráÍico com um amigo e responda no caderno:
Que tipo de gráfico é esse e qual a fonte que a revista usou?
gráfico de barras; ONti
Refaça o grâÍíco, incluindo o eixo horizontal e vertical. O
que é representado no eixo horizontal? E no eixo vertical?
respectrvame r:e, i-.opu acao â a'lo
c) Quantos anos se passaram
do 1a bilhão para o 2a bilhão?
do 2o para o 3a?
do 3n para o 4q?
Você acha que a população mundial chegará a 7 bilhões?
Quando? resposta em aberto
Pesquise: qual era a população do Brasil em7999? Aproxi-
madamente quantas vezes a população mundial no ano
de 7999 era maior que a do Brasil? aprox madamente 37 vezes
Exercício 2
a) Aurélio Miguel, judô, ourc
equipe de Íutebol, prata;
Joaquim Cruz, atletismo,
Róbson Caetano, atietisÍ
Torben Grael e Nelson Fa
I ars Grapl c Clínio dc Frp
, O gráfico a seguir é chamado "pictórico" , por usar ilustrações para representar o conteúdo. Nele
aparece o resultado do Brasil nas Olimpíadas Mundiais, em número de medalhas conquistadas.
ada
A população mundial só atingiu 1 bilhão
de pessoas no século passado. Em
outubro deste ano, o mundo terá
6 bilhôes. Compare o crescimento.
f,f,
\--, J
-Foanao
2000
1996
1 992
1 988
1984
1 980
1 976
1972
1968
1964
1 2 3 4 5 6 7 I 9101112131415 de medalhas
Fontes de pesquisa: Guia dos curiosos, de Marcelo Duarte, Cia. das Letras, São Paulo e internet,
no endereço http: / / cÍ1.rol.com.br:8000/veja-olimpiadas
a) Pesquise e diga em quais esportes o Brasil obteve medalhas na Olimpíada de 1988?
b) Pode-se dizer que, em Los Angeles, o Brasil duplicou o número de medalhas em relação a Moscou?
c) Pode-se dizer que, emAtlanta, o Brasil quadruplicou o número de medalhas em relação a Barcelona?
Não, quintuplicou
61
I A PASSOS
t
LARGOS
DE MEDALHAS CONQUISTADAS PELO BRASIL
J ldíiag c\s5octadas à divigoro
A divisão é empregada quando precisamos:
Exemplos:
Um colegio levouT2 alunos numa excursão ao Jardim Zoológico e para isso dividiu igualmente
a quantidade de alunos em 4 microônibus. Quantos alunos foram em cada microônibus?
Para resolver esse problema, devemos fazer 72 : 4.
DU
/-\ /-\
--> 72
32
0
I
Ii
resto
2 Uma indústria produziu 183 peças e quer colocá-las eml2caixas, de modo que todas as caixas
tenham o mesmo número de pecas. Quantas peÇas serão colocadas em cada caixa?
Para resolver esse problema, devemos fazer 183 : 12.
dividendo --------+ - -+ divisor
--------+ quociente
Como o resto é igual a 3, esta é uma
divisão não exata.
Em cada caixa ficarão 15 pecas, so-
brando 3 peÇas.
------->8
U
1
D
divisor
quociente
Como o resto e igual a 0, esta divisão é exata.
Foram colocados 18 alunos em cada microônibus.
CDU
183 72
63 15
3 ou
resto
Diviàir uma quantiàaàe em
parlee iguaio.
Nesto idéía, queremos
sober guontos grupos
- serão formodos.Saber quantao vezee uma quantiàade
aabe em outra quantiàaàe,
Exemplos:
1 Quantas equipes de voleibol podem ser organizadas por um professor de Educação Física que
tem 96 alunos?
Como uma equipe de voleibol é formada por
saber quantos grupos de 6 cabem em 96. Assim,
6 jogadores, queremos
E possível organizar 16 equipes de voleibol.
2 Em uma caixa cabem 12 garrafas de água. Como tenho 320 garrafas para colocar em caixas
como essas, quantas caixas completas vou obter?
Queremos saber quantos grupos de 12 cabem em
Esta é uma divisão não exata,
Serão 26 caixas completas e
com resto 8.
sobrarão 8 garrafas
L Em um teatro há126 poltronas distribuídas
igualmente em 9 fileiras. Quantas poltronas há
em cada fileira? 14 poitronas
2 Quantos garrafões de 5litros são necessários
para engarrafar 315 litros de âg,ta? 63 sarraÍóes
3 Numa pista de atletismo, uma volta tem 400
metros. Numa corrida de 10 000 metros, quantas
voltas o atleta dará nessa pista? 25 vottas
4 Tênho 185 papéis de carta e quero distribuí-
los igualmente entre mim e minhas 3 irmãs.
Quantos papéis de carta cada uma receberá?
46 papéis; restará '1
5 Se em t hora há 60 minutos, quantas horas
há em 1 440 minutos? 24hoÂs
calculamos 96 : 6.
6 Divida 8 250 por 35 e responda:
a) Qual é o resultado da divisão? 235
b) Qual é o resto? 25
c) Sem efetuar a divisão, dê o quociente e o res-
to de B 25L por 35. quociente 23s e resto 26
7 Ernum restaurante, a despesa de um grupo
com 8 pessoas foi 104 reais. Como todos darão a
mesma quantia
ParaPagaÍ a
conta, determine
a quantia que
cada um deve dar.
13 reais
€B Um livro tem 21.6páginas. Quero terminar a
leitura desse'livro em 18 dias, Iendo o mesmo
número de páginas todos os dias. Quantas pá-
ginas preciso ler por dia? 12 pásrnas
CD
fi
8 26
DU
U
0
0
8
t2
de água
xarctcloS
63
€) Quantos grupos de 18 alunos podem ser or-
ganizados com 666 alunos? 37 srupos
I-O Uma loja oferece um cupom para sorteio de
prêmios a cada 5 reais gastos. Gláucia gastou L37
reais nessa loja. Quantos cupons ela obteve e
quantos reais faltam para receber mais um cupom?
27 cupons; Ía tam 3 reais
I- L Uma tonelada de um certo tipo de cana-
de-açúcar produz aproximadamente 35litros de
álcool. Quantas toneladas de cana são necessá-
rias para produzir 6 970litros de álcool?
82 toneladas
L2 Um elevador pode carrega{, no máximo,
560 quilogÍamas. Na fila para entrar nesse ele-
vador há um grupo de pessoas que "pesam",
juntas,6 160 quilogramas. Quantas viagens, no
mínimo, esse elevador Íarápara transportar to-
das essas pessoas? 11 viasens
L3 Para pintar uma casa, gasta-se 1 galão de
tinta para cadal2 metros quadrados. Sabendo-
se que essa casa tern372 metros quadrados para
serem pintados, quantos galões de tinta serão
consumidos? 31 salóes
Consid,er sobrea divig ao de núAneroE naturraiE
é possÍvel a divisão de um número natural por outro número natural.
Não existe número que multiplicado por 0
dê 5, Logo, não existe divisão por zero.
Nem sempre a divisão de um número natural não-nulo por outro número natural não-nulo dá um
número natural.
Exemplo:
5
2,5
Quando o dividendo é 0 e o divisor é um número natu-
ral diferente de 0, o quociente é 0.
Exemplo:
I
015-o
Qual o número que multiplicado por 5 dá zero? E o
próprio zero.
) Quando o dividendo e o divisor são números naturais
iguais e não-nulos, o quociente é 1.
Exemplo:
t lt
1
0 número 2,5 não pertence a N.
Charada
Pense em um número de
dois algarismos e divida-o por
10. A seguir, escreva outro
número cuja dezena é dada
pelo quociente da divisão que
você Íez e cuja unidade é o
resto dessa mesma divisão.
O que acontece com o
número assim obtido e com o
númerop ?Porquê?
S;
e 7x10+4-74
4
64
Você nota que 50 : 3 x 16 +
resto
quociente
divisor
dividendo
Veja alguns exemplos de como aplicar essa relaÇão:
1 Numadivisãonãoexata, odivisor é7,o quocienteé 13eo restoé 5. Determinarodividendo,
Rel,açao {wnd'aunanlal, da d'ivisa.o
Vamos chamar o dividendo de n:
frt,7 ---+n:7x13+5slts n:91+5
n:96
Você nota que 48 : 3 x 16 + 0
cll-
J
an
trJt-
=UJc)
E
l-
o
o-
TLJ
Jo
C-}
2
l>
b)