A Conquista da Matemática 6 ano

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COLÉGIO TIRADtiüTES LTDA
e
Gtgvarrrrt
Bacharel e licenciado em Matemática
pela Pontifi cia Universidade Católica (PUC- SP)
Professor de Matemática em escolas de ensino
fundamental e ensino médio desde 1960.
EOLÉGIO TIRADEIITES LTDA
l\ 2r:- I l. I í.. /\lV$l/vJ uJ\Â/j
(Falecido em2lll1995)
Bacharel e licenciado em Ciências Matemáticas pela
Universidade de São Paulo (USP).
Foi professor de Matemática da Pontificia Universidade
Católica e da Universidade de São Paulo.
Foi professor de escolas públicas e particulares de ensino
fundamental e ensino médio.
Gtgva"rJfiJ JÍ-
Licenciado em Matemática pela
Universidade de São Paulo (USP).
Professor de Matemática em escolas de ensino
fundamental e ensino medio desde 1985.
((ÉFrD
A Conquista da Matemática: a + nova
Copyright @ José Ruy Giovanni, Benedito Castrucci,
José Ruy Giovanni Jr. - 2002
Todos os direitos de edicão reservados à
Editora FTD S.A.
Matriz: Rua Rui Barbosa, 156 - Bela Vista
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Dados lnternacionais de Catalogaçáo na Publicação (ClP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Giovann, José Ruy, 1937-
A conquista da matemática : a + nova / José Ruy
Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni
Júnior, - São Paulo : FTD, 2002. - (ColeÇão aconquista da matemática)
Edicão não-consumível
Obra em 4 v. para alunos de 5c a 8c series
Suplementado pelo manual do professor.
1. Matemática (Ensino fundamenial) l, Castrucci,
Benedito, 1909- ll Giovanni Júnior, José Ruy,
1963- lll Título. lV, Série
02-4719 CDD-3127
lndices para catálogo sistemático:
1, Matemática : Ensino fundamenÍal 372 l
tsBN 85-322-4983-3
Ano de publicacão: 2002
Editora
Júnia La Scala
Lditorqç assislqnlqs
Arnaldo Rodrigues
Dario [/]artins
Fabiano A. L. Wolff
Sandra Lucia Abrano
Sorel Hernandes L. Silva
LoLaboradora
Esmeralda Silva Ribeiro
?reparaçt^o
Lucila Barreiros Facchini
Ravisâo
Eliete Soares da Silva
Luciana Pereira Azevedo
lcono3rafia
Loorduaçào. Sônia Oddi
P,-sguisa: Caio Mazzilli, Elizete l\4. Santos,
lzilda Canosa
Arrrtôncra: Cristina Mota, Maria Rosa
Alexandre, PaúÍcia Black
Ldiçao fu arte e projeto 5rá/ico
Maria Paula Sanio Siqueira
lLustraçõas
Vinhetas: Lúcia Hiratsuka
Abartrras: Hilton Mercadante
Miolo: Adelmo Naccari, Alberto De SteÍano,
Alexandre Argozino Neto, Sérgio Naccari
Lapa
Claudson Rocha sobre imagens de
Hulton Getty (14 Bis), Corel Stock Photo
(ônibus espacial e avião)
Digitaçâo
José Aparecido A da Silva
Dialr a rnação a ed\l o r açô,o etatrôrl i ca
EXATA Editoracão
A Matqnrí-t\ca zstô,, proantz aA^ 
^o55oi5 
vidan, dqsde- nunna sioaytLzt conlaSznn, ald
na hora de- da[inir 5a v9^a co/v\(tra dqvsEqr ytalaàvi*a ow a (irc^Lot ^o 
u5o zttn connytLaxt:t
co,,nttytwtador<t, no uclt<-s-dqsca- da holsa d,zvaksrzt, noE (ndicqs d.z ytohraa a riqwaa da
wnn pa6...
l4as, aytanar da- qLa zstar ytr<santq qnn tantrst Antsunqntos ittnportantzs da saavida a-
da lnunnan\dada, ytod< [1,.rqcar, a ytrincí1tio, qwz a1luns tq'^aE da Matq,lní'tica nõ,o tàttn
aytLicaçõ,o iunqdiata no ,t^ando aA^ qltavivsl/l^os. lsl;rt ytoda larolr sA^ vocà u,Aa certo
d,atapontannanto.
Navzrd.ada, a aytlicação da l"latqttnô,tica no cotidiarno ocorra cot^o rqçwLtado do
dqçqnvoLvinnqnto q- do aytrol;unda,mqntc, ds- cqrtot concqitoE naLa ytraszntzs.
Lomo qr,tt todaç at ãrqas dz a*udo, ytara antandqr a l'lats1/t^írtica s swas aytLicaçÓat
stno nqcqtsó,rios dadricnçõ,o e-qEtu-do. Por qttqnnotivtr, c^o a5ctavsr asta col,zçino,
procur6^/v\o5 aytrzsa2ntar a vocâ an Lin/nas A^qstras d,zstz procas5o s,lt,n Linlwalattn sittnpLzs,
5at/t^ I urlir ao ri 3o r que- a Mat znnÓ*tica exi1a.
t\c-c'r de' {ora dasta (1rocs55o, ficar à ytarta do conlnqci'nnqnto Anatqü^i't\co d' ho\a'
qstar à A^orr1su^ das ,ttnwdanç-co do 'tnundo.
Nõ.o do qwavocàqrnr.
Nõ.o í o qtls- qlsraA^o5.
Lnt ô,o nos aco,t/lyt anha nqst e- Liv r ol
COLÉGIO TIRAD::.TES LTDA
Z A noção de número 12
Um corvo com senso numerico 12 Numeral de um número 13 A origem da palavra algarismo 14
3 O conjunto dos números naturais 15
Os símbolos < (menor que) e > (maior que) 16
+
5
L
1
Tratando a informacão 1 31
oytaraçoat
Utilizando a calculadora para resolver expressÕes numéricas 60
ldeias associadas à divisão 62
Consideracões sobre a divisão de números naturais 64
Por dentro da energia eléÍrica 47
Troque idéias com o colega
Tratando a inÍormacào 3 6-
Troque idéias com o colega 64
60
1
Relação fundamental da divísáo 65
A importância dos parênteses 67
Expressões numéricas 67
Troque idéias com o colega 68
l0 Resolvendo probtemas 69
n Potenciação de números naturais 7l
Raiz quadrada exata de um número nalural 82
Calculando potência com a calculadora 84
0 quadrado de um número 78 0 cubo de um número 79 Potências de
Expressões numéricas B3
Retomando o que aprendeu g5
10 B0
A importância dos parênteses 83
Sistqnnm dre- nttir^qr açôrr
As civilizacões do passado 20
0 sistema egípcio de numeracão 21 0 sistema babilônico de numeracão 22
0 sistema romano de numeracão 23 Troque idéias com o colega 25
0 sistema de numeracão indo-arábico 26
0 zero 27 0 valor posicional 28 Lendo e escrevendo um número natural 29
ldéias associadas a adicão 36
Decompondo e somando 36 propriedades da adicão de números naturais 3z
0 quadrado mágico 40 Troque idéias com o colega 41
ldéias associadas a subtracão 4l
Relacão fundamental da subtracão 43 conhecendo algumas teclas da calculadora 44
Expressões numéricas 45 Troque idéras com o colega 46
Tratando ainÍormacáo 2 48
6 ldéias associadas a multiplicacão 5O
consideracões sobre a multiplicação 52 o algontmo da multiplicacão 52
Outros algoritmos para a multiplicação 53 Troque idéias com o colega 54
Troque idéias com o colega 56
Expressões numéricas 5B
Propriedades da multiplicacão de números naturais 56
A importância dos parênteses 59
Descobrindo a solucão de problemas, por etapas 69 Troque ideias com o colega 73 Tratando ainformacáo 4 74
Swtní^rio
D iviri h i í, idad,a: diviEor eE e nníl,lipl,os
Nocão de divisibilidade BB
Troque idéias com o colega 89 Encontrando o resto com a calculadora ?0
Critérios de divisibilidade 91
Divisibilidade por 2 92 Divisibilidade por 3 92 Divisibilidade por 6 93
Divisibilidade por 4 94 Divisibilidade por 8 ?5 Divisibilidade por 9 ':5
Divisibilidade por 5 96 Divisibilidade por 10 96 Tratando a inÍormacão 5 98
Divisores, fatores e mÚltiplos de um número 99
Quando um número é múltiplo de outro loc Troque idéias com o colega 102
Números primos 104
o crivo de Eratóstenes 105 como reconhecer outros números primos? ic6
Primos sem parentesco 105
DecomposiÇão em fatores primos 109
Máximo divisor comum, mínimo múltiplo comum 11i
Retomando o que aPrendeu 1 14
GqotÂelria
Ponto, reta e plano 118
0 conhecimento geométrico e os povos antigos i18 Representando o ponto, a reta e o plano 11!l
Figuras geométricas I19 Troque idéias com o colega 121r
11 A reta l2I
posições de uma reta em relacão ao çháo 122 Posicões relativas de duas retas em um plano -122
Troqueidéiascomocolega 124 semi-reta i25 Segmentodereta 125
Troque idéias com o colega 127 Medida de um segmento - segmentos congruentes 127
7 Q cnot e ângulos 129
Um giro pode ser medido 129
Zl Polígonos ).32
Polígonos convexos 133 Nomes dos polÍgonos 133 A palavra "polígono" 134
Troque idéias com o colega 135
ZZ Triângulos e quadriláteros 135
Triângulos i35 Quadriláteros 136 Essas retas são paralelas? 136
Troque idéias com o colega 139
A {ornna {racioní^ria dos nútÂeros racionaig
?1 A idéia de fração t42
Notícias antigas a respeito de frações 142 Conhecendo as fraÇóes 143 As Írações e o tangram 145
ZrJ Resolvendo problemas que envolvem fraçôes 147
Notícia curiosa 150
a7 Comparando números Íracionários
ZL Fracões equivatentes
Uma propriedade importante Simplificacão de Íracóes Troque idéias com o colega
21 Reduzindo duas ou mais Íracões ao mesmo denominador
26 Adicão e subtracão
IVlalba Tahan Troque ideias com o colega21 A forma mista
Troque ideias com o coíega A aritmética da Emília
JQ vtuttiolicacão
Multiplicando um nÚmero natural por um número fracionário Multiplicando números fracionários
A técnica do cancelamento Troque ideias com o colega
3l Divisão
Números inversos Troque idéias com o colega
jZ As fracões e a porcentagem i7g
33 Resolucão de probtemas 1g2
Retomando o que aprendeu lg9 +tü Tratando a informaÇão 6 I90
A {orma dqcinnal dog ni,n^qro5 raciÍrhai5
3+ Trocando dinheiro Ig4
0 real 196
,7 Representacão decimal 198
Ampliando o quadro posicional ou de ordens 198 (D Unidade decimal 19g e Uma forma especral 199 (§
Númerosracionaisnaformadecimal 200 (l Escrevendoumnúmerodecimal naforma deÍraçáo 202
jL Propriedade geral dos números decimais 204
Comparando números decimais
31 Adicão e Subtracão de números decimais 206
Troque idéias com o colega 2Og
j6 Muttipticacão de números decimais 2Og
Multiplicando por 10, por 100, por 10OO 209 Ç Multiplicando um número natural por um decimal 209 eMultiplicando um número decimal por outro número decimal 210 (!l Depois da estimativa, auerificaÇào 212
Divisão de números decimais 2lz
Dividindo por 10, por 100, por l. OOO 212 ô Diuidirdo por um número natural, diferente de zero 213 ,íã
Dividindo por um número decimal 215 § Troque ldéias com umcolega 2lj qb
A divisão não exata: um quociente aproximado 21g
N Otnúmeros decimais e o cálculo de porcentagens 2lg
Explorando a calculadora 220
+l Potenciacão de números decimais 220
Retomando o que aprendeu 221
31
Pled,indo co ttnp rittrrenl ot o. trry, u [bieg
4? uniaudes de medida de comprimentolt-
Diferentes povos - medidas diferentes Alguns dos povos que "Íizeram" a Matemática
Uma nova unidade padrão 0 metro linear A resistência ao metro
Troque idéias com o colega -r.
Aô41 fransformaÇão das unidades de medida de comprimentot,
$$ erti^etro de um polígono
Troque idéias com o colega
t11 Unidades de medida de superfície
Troque idéias com o colega Transformacão das unidades de medida de superfície
As medidas agrárias 0 alqueire Troque idéias com o colega
Sf, Ar"urdas figuras geométricas planas
Área do retângulo Área do quadrado Área do paralelogramo
Area do triângulo Area do trapézio Decompondo Íiguras para calcular a área
Troque idéias com o colega Retomando o que aprendeu Explorando medidas com a calculadora
V ol,,ttttna- a- CC^(t alidade
S-l vroindo o espaÇo ocupado
Revisitando os sólidos geométricos
Nossa língua portuguesa Troque idéias com o colega
S] uniaudes de medida de volume
iQ uniaudes de medida de capacidade :
Troque idéias com o colega Troque idéias com o colega
51 Outras unidades para medir capacidade
Transformacão das unidades de medida de capacidade Troque idéias com o colega :1 ir:
Retomando o que aprendeu '
Plqdindo a n^a55c.
5Z unoudes de medida de massa
Troque idéias com o colega
7, Transformação das unidades de medida de massa
Uma relacão importante Troque idéias com o colega ,1 ", Retomando o que aprendeu
lndicaçao de l,eilura 217
tsilo[iograf ia 277
Rzsyto*at doE exarcicio5 2Bo
G[o$6,rio 2Bs
Projato zs2
0 üro n^an^viva
1)
HoJE A nnmÍlrn srLVA
LEVANTOU CEDO. r
L desse
outro á ímoor.
CarUndo
rÁ ruo cENTRo
DA CIDADE,
PA55ÁRAM EM
UM CATXA
elerpôrurco.
DONA MARIA
PRECISAVÁ DE
UM EXTRATO
DE 5UÁ CONTA.
J
or nwA\qro5
Áindo bem
que o minho
conto não estó
negotivo...
6O5 s E, FINALMENTE, O MELHOR DO DIA.I
r-!- -
E*
-
b
I,J
.9o
É
ó
I
-
compror um Por
de sopotos poro
vô Corlos2
Unna Ínigtón a Autito ant$a
No ftw{ ía contngem, se sobrqsse peírttha
rw saquínÍw, era porque qÍgww w e(ha
íw'úa se e*trcviqío,
Foi ossirru que o hfrmefiLafradana
csntqrz cnnf aranío qw{tíaíes. D e
urn (a.do, a qrwttilaíe de peírinÍws;
do outro, a q1wúínle le we[fiss.
s ew reb anÍw e[e as s ocir,,v a
unwildinÍw e o il$Ídava
o postor so[tava suss ove 1o pssto, 
G: o . ( \---^. *r.
peÁrtnÍw
ff.'*'* til-iír
[-7,-# ?n,n.
G
a
Hô Ínuíto, muíto temp o,,.
10
Mas, p ara coffiP ar et o ftomem us av il pruwllp shen-
te os {elos das fi:ucros. SurgíudaíutnaifriacoÍia$n
aas {ois cott)tttttos Ete ete comparava: o nítr@ro,
E, atnla, faziam ÍnÍff css em p edaço s d" p*rt
Os fromens não usolstÍL apeíws as peúinÍws
efiL c.ofltagefls. Etes ta nb on regkvsv utl fllí-
meros fazenlo tws emcardss.
l*r,- ---*
Poucos de 
em hoie' Na antiga
Tcheco
55 incisões
uma com
os rls 
E isso vem de um Período 
de
30 mil anos atras'
\,"*."ot'ou\o"^
À.lsrRtr J *u*u.,o
iTALIA
Em 1993, aOos d19r,s1t-1"]^' i"ii
T,ilí i;Í ! i; ; ;;i' !r: : .? : l^,';"P 
a Ís e s ;
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úónÀu n
:'ffi;ffii;i,,iu ' u 
Estováquia
ott ossos.
ZA rroçao da-niunqro
Se você der a uma crianca de dois anos de idade,
que ainda não aprendeu a contar, três brinquedos, deixá-
la brincar e, depois de algum tempo, retirar dois deles
sem que ela perceba, qual será a reacáo da criança?
Certamente a criança sentirá falta dos brinquedos
retirados. Mas será que ela contou os brinquedos para
sentir falta de dois? Provavelmente nã0.
.\ I t r
A crianca mostrou uma nocão que todas as pessoas
têm: a noção de número, embora ainda não saiba repre-
sentar números por meio de palavras ou de símbolos.
Um corvo ::-
senso numerlco
O senso numéríco pode ser
observado em algumas
espécíes írracíonak.
Aquí está a hktóría do corvo
que não se dekava
entanar, até que...
Um fazendeiro estava
disposto a matar um corvo
que Íez um ninho na torre
de sua casa. Por diversas
vezes tentou surpreender
o pássaro, mas foi em vão.
O corvo esperava o
homem sair da torre e só
então retomava ao ninho.
Certo dia, o fazendeiro
resolveu tentar algo diferente:
dois homens entraÍam na torre.
Daí, um saiu e o outro ficou lá
dentro, aguardando o corvo.
Mas o pássaro não se enganou.
Manteve-se afastado até que o
segundo homem saísse da torre.
O fazendeiro repetiu essa
tentativa com três e com quatro
homens. Mesmo assim não
obteve sucesso. O corvo só
retoÍnava ao ninho quando o
último homem havia saído da
torre.
Finalmente, cinco homens
entraram na torre, quatro
saíram e só um permaneceu Iá
dentro.
Desta vez o corvo perdeu
a conta.
Incapaz de distingüir
entre quafuo e cinco, o corvo
voltou ao ninho.
12
Esse senso numérico - mesmo a crianca em desenvolvimento o possui - permite que elareconheça que alguma coisa mudou numa pequena colecão quando, sem que ela saiba, ,, obl.to é
retirado ou adicionado à coleçã0.
0 senso numérico não deve ser confundido com contagem: o senso numérico pode ser observa-
do em algumas espécies irracionais, ao passo que a contagem e um atributo exclusivamente humano.
Nrnner al, de w,A^ ní,A^aro
Número é a idéia de quantidade.
cada número tem um nome e pode ser representado por um símbolo.
Para representar os números, usamos símbolos:
1,2,3, 4,5, ...
l, ll, lll, lv, v, ...
indo-arábicos
r)manos
A ausência de unidades associamos um número, o zero, que é representado pelo símbolo 0.
0s símbolos 0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 são denominados algarismos em homenagem ao
matemático árabe al-Khowarizmi.
Na língua francesa
Na língua portuguesa
Na língua inglesa
13
um, dois, trâs, guotno, one, two, three,
f our, f ive, ...
A orígem da palavra algarísmo
A criação foí dos híndus, mas um árabe levou a fama
Há muitos, muitos anos viveu o matemático árabe Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi
(780-8s0).' 
Autor do primeiro com explicações detalhadas dos cálculos hindus,
ganhou tanta râputação ocidental que o seu nome se tornou sinônimo do
próprio sistema de num s hindus'
Assim , apalavraalgarismo tem origem no nome al-Khowarizmi.
Hoje
1
2
J
4
5
6
7
8
9
10
100
Egípcios
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Babilônios
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-
-
-
-
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--
-
(:rc
Este quadro mostra como
alguns pouos da Antiguidade
representauam os números.
ililt
ilil
n
Século XII
Século XIII
Século XIV
Século XV
Porvolta de1524
Atual
t 7 ?r9 B 7 t,r96, 2o
1 x tt
^
I
L, t q B .t E 9o
,f
9o
1 ,, Ç 6
L , t , 3 A ,
O s símb olo s indo - ar ábicos
softeram oárias
transformações na sua
representação, antes de
adquirirem, no século XVl,
a aparência que conserT)am
até hoje.
14
Gregos Maias
L Considere o grupo dos dedos de uma das
mãos e o grupo das vogais do nosso alfabeto.
a) Os dois grupos têm a mesma quantidade de
elementos? sim
b) Qual é o nome e o símbolo que associamos à
quantidade de elementos dos dois grupos? cinco;5
2 Onde são usados os números naturais?
resposta em aberto
3 Que nome você dá à quantidade de flores
que aparecem a seguir? sete
4 Para escrever os números naturais usamos
os símbolos 0, 1,, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 e 9. Como são
chamados esses símbolos? Explique por que eles
re ceb em e s s e nome' 
:H i:':."ffi 
.J1':iifl,**: 
[], ".,
5 Existe um símbolo associado à ausência de
idade. Dê o nome e represente esse símbolo.
;0
(5 Quantos símbolos você usa para escrever o
número nafi;ral362? rrês
texto "A origem da palavra algarismo,,
quadro com os símbolos utilizados por
da Antiguidade. Analise-o e respondá:
a) Quais os símbolos utilizados pelos egípcios
e pelos maias (povo que habitava parte da Amé-
rica Central antes da chegada dos europeus) para
representar a quantidade seis? Que símbolo uti-
li",amos , paÍa escrever essa mesma quan-
tidade? |
b) A partir dos símbolos conhecidos, como você
acha que os egípcios e os maias poderiam re-
presentar o número 12? nl;-
3 0 coerj urnto dos ninnqro5 natnraiE
lniciando pelo zero e acrescentando sempre uma unidade, teremos os números naturais:
0s números naturais constituem um conjunto numérico denominado conjunto dos números natu-
rais, que se indica pela letra N:
N : {0, 1,2,3, 4,5,6,7,8, ...1
Quando se exclui o zero do conjunto N, temos o conjunto dos números naturais não-nulos,
indicado por N *:
N* : {1,2,3, 4,5,6,7, ...}
15
0,1,2,3, 4, 5, 6,7,9,9, 10, 11,72, ...
Considerando a sucessão dos nÚmeros naturais, podemos observar que:
p Todo número natural tem um sucessor. Exemplos:
I 0sucessorde0é0+1:1
2 Osucessordelel+l:2
3 0 sucessor de 37 e37 + 1 : 38
4 Osucessorde 199é 199 + 1 : 200
De maneira geral, dado um número natural, o seu sucessor é obtido adicionando-se
uma unidade ao número.
) Zero é o menor dos números naturais e não é sucessor de nenhum outro número natural.
! Com exceção do zero, todo número natural tem um antecessor. Exemplos:
1 0antecessordel é1 - 1 :0
2 0 antecessor de2é2 - 1 : 1
3 O antecessor de26é26 - l:25
4 0 antecessor de 500 é 500 - I : 499
De maneira geral, dado um número
natural diferente de zero, o seu
antecessor é obtido subtraindo-se
uma unidade do número.
A partir do 1, qualquer nÚmero natural é
maior que todos os números que o prece-
dem e é menor que todos os números que
o seguem. Exemplo:
4>3,4>2,
4>7,4>0e
4<5,4<6,
4<7,4<8,...
Não existe o maior dos nÚmeros naturais,
isto é, existem infinitos números naturais.
Os símbolos
< (-"nor que) e
> (maior que)
Quando relacionamos duas quanti-
dades, podemos dizer que essas quantida-
des são iguais ou diferentes. Para duas
quantidades a e b, ternos:
relação de igualdade: a : b
relação de desigualdade: a * b
Numa relação de desigualdade,
podemos ter duas situações:
aémenorqueb:a<b
aémaiorqueb: a>b
Em algumas situações podemos
utTlizar também os símbolos < (menor ou
igual) e > (maior ou igual).
16
-l
I
)
)
Dois ou mais números que se seguem na sucessão dos números naturais são denominados conse-
cutivos, Exemplos:
I 3 e 4 são números naturais consecutivos.
2 i0, 11 e 12 são números naturais consecutivos.
A sucessão 0,2,4,6, 8, 10, 12,14,16, 18, ... é chamada sucessão de números naturais pares.
Asucessão 1,3,5,7,9,11, 13, 15,17,19, ... é chamada sucessão de números naturais ímpares,
L Escreva o antecessor e o sucessor de cada um dos seguintes números naturais:
a) 25 z+"za
b) 61 oo"oz
c) 99 sa"roo
d) 899 8e8 e eoo
e) 1 001 T ooo e 'r oo2
f) 9100eoeeee1ol
g) 12999 12ee8e13ooo
h) 10 001 ro ooo e 1o oo2
2 Qralé o sucessor par do número nat:ural46? 48
3 Qual é o sucessor ímpar do número natrralTT? le
4 Observe a conta de energia elétrica:
A meta de
de energia tem
ser calculada
média dos
malo, junho e
de
287
304
312 +
Somar os
consumos desses
três meses e
dividir por três
llr&F
I o.trr e or
leI.PJ.
(queéareduçáo consumo
obrigatória de 20"/"1
h-k*-Il!ú-úr*t^ mlaf|e{
:;!?:ff :;i§,rór.*,ú,@ú&É corm m :rreior àÊma
E{ssio ã/01./2@
l"TBfr5lttlollf , ,oo,
I 
tunklpb ldúlr.t
I SAo PAULo I RESI B
nÉ.lçlo C.rdud p.b d. Ldtur.to.a. Mr. a.nsbtE & Ulur.l&a.tu hilD Htw. l-d. bd Lb6 hrú
| 23los/or I 23toa/ot I r7 ..? za2Ba ol
RnhlT.do 6 ÚltlM McE
a) Discuta com seus colegas o significado de média. resposta em aberro
b) Como fica a média nesse caso? sor rwn
maio
junho
julho
903
c) Há mais alguma situação no seu dia-a-dia em que você acha importante calcular a média?
resposta enr ati)eriC
xarclcl(75
lhruD*Alu.l I k lldlur.ôffi tM thrttt*&&|ü.
I I lú'c{.olor. ,e lMúo lcÚr*o l!rc ,^E}É
I roz xwx I rool 2rco | 2aloa I zss23z9 | oooor | 2s, | 2s6a
Fonte: Folha de S. Paulo, S jun. 2001
17
I
Sistema àe numeraçào é o conjunlo de reqrao que
permite escrever e ler qualquer número, utilizanào
eímboloa e palavrae,
A histôria da Humaniàade noe moelra a existênaia
àe muitoe sieíemae àe numeraçàoz àoe egípaioe,
babilônioe, chineses, maias, romanos etc.
5i gtqu^cL5 dra-
:'l i
',/;i
rl
-v
:J
, 'fr
I
-
c7'
,
+--.-r-.1,
E o noeeo sislema àe numeraçào?
àabemos que nooeo eisLema àe
numeraçào é àecimal, islo é, aoníamoo
os elementoo àe um conjunto em
gru?oo àe dez, Eeee costume teve
origem sobretuào no fato àe o homem
íer aprendiào a contar ueanào oe
àeàoe dao màos.
.qô
r
ó
E.
o
p
z
Compramoe muilaa aoieas por àúzia
(grupoe àe àoze)t
laranjae, bananae, ovoa,.,
Noa relógioe, conlafioo
por gru?oe àe aeeeenla
(eeesenta segunàoe
equivalem a un minuío e
aeeâenta minulos
equivalem a uma hora),
Noo levanlamentoa
eetaírelicoa, por e»<emplo,
na votaçào ào represenlanle
àe claaae, aonlafios por
gru?oe àe cinao, ueanào
umafiguraaseim, §,
õ
B
L
ii
§õ
O
I
z
E
o
.s
I
À
t
E
=ô
Eetuàaremoa a7ora o coniunto àe regraa que
no6 ?ermitetn eecrever aom símboloa os
números dentro ào eiatema decimal e a eua
relaçào aom outroe eietemao àe numeraçào.
Eotou curioeo ?ara saber
como oulrog ?ovo1
aonlavam.
\íI\
Ag civi Lizaçozt do ftc,$5ado
Locatke-serta tefio elo espqço.
!
rnAqui está a localização de algumas
das antigas civilizações.
Essas antrgas civilizações
viveram há muitos, muitos
anos. Na linha de tempo
está indicado o período de
maior desenvolvimento
dessas civilizaÇões.
mesopotâmicos
egípcios
gregos
hindus
chineses
romanos
maras
500 a.C.
700 a.C
1100 a.C.
m
100 d.c.
1 000
m
A
m
$
ê
m
&
20
antes de Cristo depois de CÍisto
Cr
--,-.- O.-E -.i-
3500 a.C.
§f,ooo o.c.
O s egípcio s cnoran um [o s
praneiros sktemss derumuroçao de
que se tem.wtício.
Os hieróglifos egípcios - assim é
chamada a sua escrita - são quase todos
figuras da flora e da fauna do rio Nilo ou
figuras de utensílios que eles utilizavam.
d
L
o
lo
l
o
!
1
)
O
o
!
,o
E
e
z
o
_a
@
I)"jualgumas dessas
haste vertical
nn
nn
I
Iil
21
t27
enn 
I
representacões:
osso do calcanhar corda enrolada
dedo indicador ave ou pexe ou grno
homem erguendo os bracos para o céu
A partu da idéia de agrupamentos foi possvel a escrita de números muito grandes.
As regras eram as seguintes:
) Cada símbolo pode ser repetido no máximo 9 vezes.
) Cada 10 símbolos repetidos são trocados por outro, de um agrupamento superior.
) Adicionam-se os valores dos símbolos utilizados para encontrar o valor do número escrito.
I/"jualguns exemplos:
2002 49
ult
flor de Lótus
0 siste A^a de nv.A^araçi^o
'l=o - lt1 ----
-9 '-
WB
0 sistenna habií,ônic o de nu,r,^arc^ça,o
E " escavryões arqueotógtas naregiãa da
Me s op otfunia f or am erwontr críos 6 [o co s de ar gí[a cnm
tnscnções W se as seÍfle[Íwystrl a smÍws.
Dai o nome da escrita desse povo: cune iforme.
Erct usavam dois símbolos para registrar quantidades:
Icravo
la u"u
O "crauo" podia ser utilizado até 9 vezes, representando os números de 1 a 9. O número
10 era representado pelo símbolo "asna".
um
I
dois
YI
três quatro
IYI III
II
l+l:2
cinco
IIYII
n0ve
IIIIIIIII
I
oito
IIIIIIYI
sete
IIIIIII
seis
IYIIII
O sistema de numeração babilônico não possuía um símbolo para representar o zero.
Era usado um espaco entre os símbolos para diferenciar as posicões dos agrupamen-
tos. A contagem era feita em agrupamentos de 60 em 60.
il"juos exemplos:
II
1x60+1
60+1:61
Relacione os números apresentados no sistema egípcio com os seus correspondentes no sistema
babilônico.
,) n lll lll lll d9
B)<<< I I Y
dgnnnl
C)< YIIIIIIII
r <r
1x60+10+1
60+10+l:71
d) Íllnlnl
D)rr<I
22
o
Co
C
CoIo
c
E
a
o
_o3
0 siste/ha ro/vrúrno de Nrfr^araçt^o
l a r* 
"poca 
enl que Cisto wvw Ronw üú a seÁe de um y qsto e p oduo so ín pn o.
Çuerretrose conquistadores, os romanos necessitavam lidar com grandes quantidades.
Eles utilizavam o sistema romano de numeracã0.
Er*sistema de numerac ão erabaseado em sete símbolos:
I
1
X
10
C
100
10 : X
20:XX
30 : XXX
L
50
V
5
D
500
M
1 000
100:C
2OO : CC
40: 50 - 10: XL
90: 100 - 10: XC
1000:M
2000:MM
300: CCC 3 000: MMM
400: 500 - 100: CD
900: 1 000 - 100: cM
Aprru, de, hoje, esses símbolos numéricos serem parecidos com as letras maiúsculas
do alfabeto latino, a sua forma inicial não tinha referência nesse alfabeto,
O cinco, por exemplo, indicava os 5 dedos da mão e era representado assim:
Co o passar do tempo ele foi simplificado: 
",.
il"juas mudanças que ocorreram com o número mil:
crooc)(
lPururepresentar um número no sistema romano de numeraçã0, basta colocar os símbo-
los lado a lado. Esse sistema apresenta as seguintes regras:
,, 0s símbolos fundamentais podem ser repetidos, no máximo, três vezes.
1:l
2:ll
3:lll
, Um símbolo colocado à esquerda de outro símbolo de maior valor indica uma subtracão dos
respectivos valores.
4:5-1:lV
9:10-1:lX
C pode ser subtraído
apenasdeDeM.I pode ser subtraído
apenasdeVeX.
23
dot. or.,
) Na representacão dos números, os símbolos ficam lado a lado e seus valores são adicionados.
6:5+1:Vl
15: 10 + 5: XV
37:30+7:XXXVll
254:200+50+4:CCLIV
962 :900 + 60 + 2: CMLXII
1 823 : 1 000 + 800 + 20 + 3 : MDCCCXXIII
20 000 000 : xx
45 007 : XLVVI
) Um símbolo com um traco acima dele representa milhares e com dois tracos representa
milhões.
5000:v
6720: VIDCCXX
flfo sistema romano de numeracão não havia um símbolo para representar o zero.
Atualmente, esse sistema de numeracão é pouco usado, sendo empregado, por exemplo:
na numeracão dos capítulos de um livro ou na
numeracão de volumes de uma colecão
o!
-qôÊ
co
I
z
em mo çíJA
o
ocL
o
a
o
O
§Srv:
na destgnacão, pela ordem cronologca
de rers e papas de mesmo nome
&
Eh
T
Éi
24
1
r
I
t_
ü
GILÍ à
\
s
Brincando com palitos
e numeração romana
Abaixo enconÍam-se cinco igualdades falsas. tocando em cada uma delas a posição de um só
palito, elas se tornam verdadeiras. Veja a solução que foi encontrada para a primeira:
t, ?rr r, r, l, a, r, r,
ra-
I--
--
ra-
-
ra
|ft"'o dcotrn $"a,
?rr
)t
t, ? t
r,
tt rrttt
0t
xl +ll = Xlll
V*l=Vl
Xll+ V = XVll,t t
25
rl
j O tigl au.a de ywrurar acp^o indo - ar ínbico
0 Brasil, assim como a maioria dos países, utiliza o sistema de numeracão indo-arábico, que é
um sistema decimal.
A palavra "decimal" tem sua origem na pala.vra latina decem, que significa dez, ou seja, os
agrupamentos são sempre feitos de dez em dez. E por esse motivo que usualmente é chamado de
sistema de numeração decimal.
A denominacão "indo-arábico" deve-se ao fato de seus símbolos e suas regras terem sido inven-
tados pela antiga civilizacão hindu e aperfeiÇoados e divulgados pelos árabes.
ASIA
A antiga civilizacão hindu habitava ... onde hoje localiza-se o Paquistão.
o vale do rio lndo...
Conheça a seguir as características do nosso sistema de numeracão.
Com apenas 10 símbolos pode-se escrever qualquer número, por maior que seja.
0 sistema decimal é de base 10, já que os agrupamentos são feitos de dez em dez.
O sistema decimal é posicional porque, dependendo da posicão que ocupa no numeral, o mesmo
símbolo representa valores diferentes. Exemplo: o numeral323 tem o algarismo 3 com valor posicional
trezentos e valor posicional três.
0 sistema indo-arábico utiliza o zero (uma das suas grandes criacões) para indicar uma "casa vazia"
dentre os agrupamentos de dez do número considerado.
0 sistema decimal é multiplicativo porque um algarismo escrito à esquerda de outro vale dez vezes
o valor posicional que teria se estivesse ocupando a posiÇão desse outro.
Exemplo: 666 :6 x 100 + 6 x 10 + 6.
26
\
,l
)
)
789
O zero
Não parece, mas o zero já causou muíta confusão
_ _ - - 
O1P,i^eiros que chegaram à noção de zero foram os babilônios, povo que viveu por volta de
2500 a.C., na Mesopotâmia (atual Iraque).
Aqui pertinho de nós, nas Américas, os maias também chegaram à representação do zeto.para
eles, o conceito de vazio era tão importante que tinham um deus específicó, o deus 2ero, deus
da Morte.
Os indianos conheciam a noção devazio, e empregavam a palavr a shúnynpara representá-lo.
Os árabes levaram pata a Europa o termo indiano que, em árabe, tornou-se th|r-.,tutnizad.o, d.eu
origem ao termo zephirum, depois zéfiro, zefro e, finalmente, zero.
_ 
Na Europa o zeÍo encontrou forte resistência. Tânto superstições, que ligavam a idéia do nada
ao diabo, quanto o medo do desconhecido impediu* o s"rLso. Além disso,"com apopularização do
conhecimento do zero- e 
-dos gutros algarismos indo-arábicos, havia o perigo de que qualquer umpudesse fazer contas, habilidade até então detida por poucos.
A representação do zero ao longo da hístórÍa
Os babilônios tinham
oários símbolos para o zero,
conn estas futplns de triângulos.
Os babilônios também
usaaam o símbolo ao lado,
formado por dois sinais,
p ar a s ep ar ar al garismo s.
Criatitsos, os maias daoam
ao zero oários ícones, como
esta elipse.
O símbolo maia mais
famoso para o zero era a
elipse com forma de olho.
No calendário, os maias
usaoam este desenho para
representar o zero.
Num antigo tabuleiro de
calcular, de origem
desconhecida, este era o
símbolo para o zero.
Dos indíanos até os árabes,
aforma do zero mudou de
um ponto para um círculo.
Fonte de pesquisa: Superinteressante, abrll de 2001.
o
o
o
0
27
0 valor do algarismo depende da posiÇão que ele ocupa no número.
) No número26, o valor do algarismo2é2 x 10 : 20 unidades, porque ele ocupa a posicão ou
ordem das dezenas.
) No número 263,o valor do algarismo 2 é 2x 100 : 200unidades, porque ele ocupa a posição ou
ordem das centenas.
)Nonúmero2635,ovalordoalgarismo2é2x1000:2000unidades,porqueeleocupaa
posiÇão ou ordem das unidades de milhar.
Veja o exemplo:
5627
Pelo quadro de ordens que apresentamos, temos:
UMCDM
48 025 
-) 4
48 025
48 025
4:8025
20+5ou
1000+2x10+5
28
D
2
: quatro dezenas de milhar mais oito unidades de milhar mais duas dezenas mais cinco
unidades ou
40000+8000
4x10000+8
+
X
I ' 1e pssição ou 1? ordem: 7 unidades
2e pssição ou 2e ordem: 2 dezenas : 2 x 10 ou 20 unidades
3e pssição ou 3e ordem: 6 centenas : 6 x 100 ou 600 unidades
4e posição ou 4? ordem: 5 unidades de milhar: 5 x I 000 ou 5 000 unidades
Temos, entã0, o seguinte quadro de posiÇões ou de ordens:
10e
ordem
unidades
de
bilhão
9e
ordem
centenas
de
milhão
8e
ordem
dezenas
de
milhão
7?
ordem
unidades
de
milhão
6?
ordem
centenas
de
milhar
5e
ordem
dezenas
de
milhar
Àa+-
ordem
unidades
de
mrlhar
)aJ-
ordem
centenas
de
unidades
simples
2?
ordem
dezenas
de
unidades
simples
1AI-
ordem
unidades
simples
Lqndo a- q5crqvqndo tutn nínnqro nalutral,
No sistema de numeração decimal, os números são lidos ou escritos mais Íacilmente quando
separamos os algarismos em grupos de três, comecando pela direita.
Cada grupo de três algarismos constítui uma cíasse e cada classe tem um nome, como pode-
mos ver no quadro a seguir.
Consideremosos números que estão colocados no quadro:
20+5(vinteecinco)
700 + 50 (setecentos e cinqüenta) mit
2 (dois) milhões
Lê-se: dois milhões, setecentos e cinqüenta mil e vinte e cinco
5
0
4
2
4
5
U
6
2
U
4
0
5
0
0
7
I
0
2
2
5
200 + 50 + 4 (duzentos e cingüenta e quatro)
5 (cinco) milhões
Quando todas as ordens de uma classe são representadas por 0, não se lê essa classe.
I t----* 600 + 40 (seiscentos e quarenta)L-_-- 100 r 4 (cento e quatro) mil
200 + 80 + 3 (duzentos e oitenta e três) milhoes
6 íseis) bilhões
Lê-se: seis bilhões, duzentos e oitenta e três mirhões, cento e quatro mil,
seiscentos e quarenta
Lê-se: cinco milhões, duzentos e cinqüenta e quatro
CI,ASSE DOS
BILHOES
dezenas unidades
de de
bilhão bilhão
CLASSE DOS
MILHOES
dezenas unidades
de de
milhão milhão
CI.,ASSE DOS
MILHARES
centenas dezenas
de de
milhar milhar
centenas
de
milhão
2750 025
CLASSE DAS
UNIDADES SI[/IPLES
centenas dezenas unidades
simples
Observe, agora, Como fazemos para representar um número usando algarismOS:
vinte e três mil e cinqüenta e oito
vinte e três mil : 2 dezenas de milhar mais 3 unidades de milhar
cinqüenta e oito : 5 dezenas mais 8 unidades
Milhares
2
Unidades simples
23 058
cinco milhões, cento e vinte mil e seiscentos
cinco milhoes : 5 unidades de milhão
cento e vinte mil : 1 centena de milhar mais 2 dezenas de milhar
seiscentos : 6 centenas
Milhões Milhares
2
Unidades simples
8
I- Qual é o sistema de numeração atualmente
adotado no Brasil e na maioria dos países do
mundO? slstema de numeração decinral
2 Qual é o valor do algarismo 6 nos números
seguintes?
a) ôo c) 265144 6oooo
:ooooco d) 92619 ôoo
3 Escreva o número formado por:
a) nove centenas mais seis dezenas mais oito
unidades e6B
b) três unidades de milhar mais quatro cente-
nas mais sete dezenas mais três unidades 347s
c) quatro unidades de milhar mais cinco dezenas
4 050
-> 
5 120 600
d) cinco dezenas de milhar mais duas unidades
de milhar mais sete centenas mais três dezenas
mais uma unidade szt31
e) duas unidades de milhão mais cinco cente-
nas de milhar 2 5oo ooo
4 Usando os algarismos seguintes e sem rePe-
ti-los, escreva todos os números formados por
essestrêsalgarismos.Oua]gtlt"u1ro-D1)?,*r,r*
5 Usando algarismos, escreva o número:
a) doze mil, quatrocentos e dois 12 4oZ
b) sete mil, cento e cinqüenta 7 150
c) cento e treze mil, cento e trinta e um 1 13 13
d) um milhão, cento e um mil e um 1 10r 001
6
b)
30
5
6 No sistema d.e numeração decimal, quantos
números entre 100 e 1 000 você pode escrever
de forma que o número representàdo pelo alga_
rismo da dezena se'
centena seja o r"r rl?"o":r"r;,XT#J:T[#;;
de às unidades seja o seu sucessor?
quatro números: 123,345, 567 e 799
7 Pesquise marcas e preços de carros. Escreva
os valores com algarismos e p"" 
"1::rt:Sem aberto
T*tonao
lnbf^or,^o
mento de
com o us
condições
nurnero que expressa a quantia de R$ 2 106 565,00.
lc@pltul&&.€tCr t%nr:
lóàr'lo-ã,i-lã&'f l" làã6saoo zl"6'l I SHiiâ l"il^,2 í06s6s,oo
§ãopouto 0q e júlAo e2002
DACÁ Q - pn-t-BANco#
sooaz8zzg_oo -
dors milhóes, cento e seis mil, quinhentos e
sessenta e cinco reais
organÍzando Ínformações em uma tabela
de classe. Na classe do 5a ano,
o dos votos, o professor
traço ao lado do nome do
3t
t_
vamos construir uma tabela com os resultados dessa eleição.
Primeiro escolhemos um título, por exemplo: "Resultado da eleição Para rePresentante 
de
classe,,. Depois, escrevemos em cada colr'r, o iipo de informação que ela contém' 
Ficou assim:
Resultado da eteição para rePresentante de classe
Candidato
Alexandre
Juliana
Daniel
Brancos
NuIos
Total
Contagem
ZZI
ZZZZ
zt_)
Número de votos
11
20
42
Analisando a tabela, ]uliana é quem teve o maior número de votos' Mas 
a classe havia combinado
que o candidato, para ser eleito, dãveria ter ao menos a metade dos votos 
mais um voto (maioria
absoluta). Caso contrário, haveria um 2q turno com os dois candidatos mais 
votados'
Observenovamenteatabelaedigase}ulianafoieleitanoloturno'nao
/P"o ó conn V"u
1. Lendo um jornal ou uma revista, assistindo ao noticiário da televisão, entramos em 
contato com
uma grande quantidade de números, tabelas e gráficos que nos dão uma 
série de informações'
Obseive a tabela e depois responda às questóes'
O sucesso de Gustavo Kuerte tênis no Brasil' Atabela
mostra o que ocoÍreu oom o e primeira grande^vitória
,)lnt"= de Guga (1996) rDepois de Guga 
(2000)
600 000
luto000
219
mllhões
1,2
mllháo
Fonte: Confeàeração Brasileira de Tênis, Lisonda e Wilson, inVeja' 14mal 2007'
praticantes
32
bolinhas
vendidas Por
ouadras em clubes' ou academiasinscritos
Agora, responda:
a) Qual é o assunto da tabela? E a fonte? :"ri;::JÍ.t," 
do tênls no Bras l; confederação Brasileira de rênis, Lisonda
b) Onde e quando a tabela foi publicada? rcvisÍa veja, 14/3t01
c) De 1996 a 2000, os números da tabela aumentaram ou diminuíram? Escreva esses números
d) O tênis é o seu esporte preferido? Se não, qual é? resposta em aberto
Y_9:9 :ub" o significado de "pesquisa"? Para responder você pode pesquisar no dicionário...
Hildebrando pesquisou na sua classe qual o esporte preferidã e organüo, os dados numa tabela:
Tema: esporte preferido
Contagem Quantidade de
entrevistados
Futebol
Natação
3. Pesquise emjornais e revistas outras tabelas, cole-as no caderno e responda:
a) Qual é o título da tabela? respostas em aberro
b) Qualéoassr.rlto?
c) Qualéafonte?
d) Onde e quando foi publicada?
e) Essa tabela ajuda a compreender o assunto abordado?
Escolha um tema interessante e faça uma tabela igual à de Hildebrando. Depois identifique qual
foi o item mais escolhido e qual o menos escolhidã. proÍessor: A crasse pode consrruir um painel com essas tabeiâs
33
,ff
t-\
',
Qf Ct a5
.,.tiranào uma
quanliàaàe de
oul,ra,
Eu fico cotn 06
3 cameloe,
L I díia5 c^550 ciadat à ad,içao
A adiÇão é usada quando queremos juntar duas ou mais quantidades ou 
quando queremos
acrescentar uma dada quantidade a outra'
Acompanhe as situações a seguir, em que vamos empregar a adição.
li Uma emPresa tem I 7 48 Pessoas
trabalhando na sua fábrica e 566 pessoas
trabalhando no escritorio.
Quantas Pessoas trabalham, ao todo,
nessa empresa?
Para resolver esse Problema,
devemos Íazer 1748 + 566.
l7 48 -------> parcela
+ 566 ------> parcela
2 3 I 4 -------+ soÍlâ ou totat (resultado da operaÇão)
Nessa empresa trabalham 2 314 pessoas.
2? Uma partida de futebol tem a duração de 90 minutos de jogo. Na final de um campeonato, a
partida foi prorrogada em 15 minutos. Qual o tempo total de jogo dessa partida de futebol?
,, _t.. I _: ? ,â
Para resolver esse problema, devemos 
I ' :;:r"'
acrescentar aos 90 minutos de jogo or-"''" 
- 
te;")"
acrescentar aos 9U mlnutos 0e Jogo 0s
15 minutos da prorrogacã0. f1 ,.-áA
90 min ------> parcela
+ 15 min ---- parcela
105 min ------> sotl'râ outotal
Como 60 minutos correspondem a t hora, então 105 minutos correspondem a t hora e 45
minutos. O tempo total de jogo foi de 105 min ou ih 45min'
Observe como podemos obter a soma de dois números a partir da decomposiÇão desses números.
3 463 + 325
3463 3000+400+60+3
+ 325 ---------> 300 + 20 + 5
3000+700+80+8:3788
T
3 788
36
a- 5otU^Ctndçt
a adiçao da- níAnqroE naturrais
Observe as seguintes sítuacões:
li Consideremos os números naturais 40 e 24 e vamos determinar a sua soma:
40 + 24:64
Trocando a ordem das parcelas, determrnamos a sua soma:
24 + 40:64
De acordo com o que foi apresentado, escrevemos:
40+24:24+40
Esse fato sempre ocorrerá quando considerarmos dois números naturais. Daí:
Numa adição de dois números naturais, a ordem das parcelas não altera a soma.
Entã0, se a e b são números naturais quaisquer, temos a + b : b + a.
Essa propriedade é chamada propriedade comutativa da adicã0.
22 Consideremos os números naturais 16,20 e 35 evamos determinara sua soma, procedendo
de dois modos diferentes:
16+20+35: 16*20*ê:
:36 +35: :16+55 :
- 
-71 
- 
11
- tL : lI
De acordo com as situaçõesapresentadas, temos:
(16 + 20l, + 35 : 16 + (20+ 35)
Esse fato se repete sempre quando consideramos três números naturais quaisquer. Então:
Numa adição de três ou mais números naturais quaisquer, podemos associar as
parcelas de modos diferentes.
Então, se a, b e c são números naturais quaisquer, temos (a + b) * c : a + (b + c).
Essa propriedade é chamada propriedade assocjativa da adíção.
3! Consideremos os números naturais 15 e 0 e vamos determinar a sua soma, independentemente
da ordem das parcelas:
15+0:15 0+15:15
Você nota que o número 0 não influi no resultado da adicã0, quando esse número é uma das
parcelas. Então:
Numa adição de um número naturalcom zero a soma é sempre igual a esse número natural.
Entã0, se aé um número natural qualquer,temosa + 0:0 + à: à.
Nessas condicões, o número 0 é chamado elemento neutro da adicã0.
37
-)xarclclo5
a)
b)
L Caicule as somas, decompondo os números:
2346 + 7 623
1837 + 269
2 Urncarro sai de São Pauio com o hodômetro
marcando 28 596 quilômetros e vai até Rio Cla-
ro, distante 175 quilômetros de São Paulo. Ao
chegar a Rio Claro, qual a quilometÍagem que o
hodômetro desse carro estará marcando?
T, too
z
c
E
§
oô
,ao
a
O hodômetro é um aparelho usado nos ueículos para
marcar o número de quilômetros percorridos.
3 Fazendo seus exercÍcios diários, Beto correu
2570 metros no sábado. No domingo, ele cor-
reu 750 metros a mais.
a) Quantos metros Beto correu
b) Quantos metros ele correu
mana?
c) 3476 + 785
d) 2569 + 576
130
140
à
3
150
160
170
180
20
,_
200
no domingo?
no final de se-
4- Numa escola, o horário de início das aulas
é às 7h 15min e cada aula tem a duração de
50 minutos.
a) A que horas termina a primeira aula? .
b) A que horas é o intervalo, se são dadas três
aulas seguidas antes do intervalo?
5 Ivo, Bete e Guto estão jogando videogame
em um torneio de três partidas.
I
O quadro mostra o número de pontos que cada
um marcou nessas partidas.
72 2? 33
Ivo 9070 73620 10 090
Bete 8230 14740 9980
Guto 10 060 72900 70 720
a) Quem ganharia o torneio, se o vencedor fosse
aquele que fizesse mais pontos nas três partidas?
b) Quem ganharia o torneio, se o vencedor
fosse aquele que fizesse mais pontos escolhen-
do os dois melhores resultados e desprezando
o pior?
C
m
oo
E
.9
C
oa
38
Éi
t
í6 O quadro indica a população de cada estado
do Brasil, de acordo com dados de 2000 do Ins-
tituto Brasileiro de Geografia e Estaística (IBGE).
Acre
Alagoas
Amapá
Amazonas
Bahia
Ceará
Distrito Federal
Espírito Santo
Goiás
Maranhão
Mato Grosso
Mato Grosso do Sul
Minas Gerais
Pará
Paruíba
Paraná
Pemambuco
Piauí
Rio de Janeiro
Rio Grande do Norte
Rio Grande do Sul
Rondônia
Roraima
Santa Catarina
São Paulo
Sergipe
Tocantins
577 226
2879 772
475 843
2 813 085
73 066910
7 418 476
2043 769
3 094390
4996 439
5 642960
2502260
2 074877
17 866 402
6 189 550
3 439 344
9 558 454
7 971937
2 841 202
1.4367 083
2771.538
1.0 181.749
1 377 792
324752
5 349 580
36969 476
1 787 714
1 155 913
a) Qual é a população de seu estado?
b) Seu estado fica em que região?
c) Calcule apopulação total daregião onde fica
localizado seu estado. respostas em aberro
sando todos os algarismos seguintes/ res-
a:
a) Qual é o menor número que pode ser formado?
2 479
b) Qual é o maior número de 4 algarismos que
pode ser formado? s 742
c) Por último, calcule a soma dos números que
você encontrou. 12221
€! Em cada Q devem ser indicados números
de 1 a 9, sem repetição, de modo que a soma dos
números dispostos em cada diâmetro seja sem-
pre 15.
9 Quais os números escondidos?
a) 721 ns
+ 116 476
1201.
b) 6I8 6e8
*251 +zso
c) a2a
+250
326
+ 250
d)
56
1 3I 13e
+ Il1 + s21
r0 6 0 106054
I
LO Os estudantes de um colégio responde-
ram a seguinte pergunta: "Você prefere Mate-
mática ou Ciências?" Cada estudante escolheu
uma única matéria. As respostas foram comPu-
tadas e aiguns dados colocados no quadro:
Sexo
Matéria Masculino Feminino
Matemática 137 98
Ciências 105 177
a) Quantos estudantes escolheram a Matemática?
b) Quantos estudantes do sexo feminino resPon-
deram à pergunta? zrs
c) Quantos estudantes, ao todo, responderam à
pergunla? +st
11 Uma livraria recebeu 376livtos de Lite-
ratura Infantil. Como ela já possuia1,l,4|livros
desse gênero no estoque, quantos livros de Li-
teratura Infantil essa livraria Passou a ter? t sza
L2 O governo orgartiza, periodicamente,
campanhas de vacinação contra a paralisia in-
fantil. Numa dessas campanhas em um deter-
minado município, foram vacinadas 17 296
crianças da zona urbana e 1. 649 da zona rural.
Quantas crianças foram vacinadas nesse muni-
cípío? no+a
L3 Partindo do alto da pirâmide chegue à
base, passando de uma casa a outra sem puiar
nenhuma fileira, de modo que a soma seja 60.
o
'u/ 8
8 J 9
4 v\ 1 5
9 3 )5 4 2
6 1 /r., J 9 7
4 5 / 8 5 1 5
7 5 2 4 .) 8 4
6 1 6 tas' 3 1 5 6 7
7 9 5 4 \ 9 7 6 5 4
O quadrado mágÍco
A Matemática e a magia, quem diría,
iá foram íntimas
Os quadrados mágicos já eram conheci-
dos pelos calculistas chineses há 6000 anos
antes de Cristo.
Observe
o exemplo:
Se adicionar todos os números de cada
linha horizontal, a soma é 15. Se, da mesma
forma, adicionar todos os números de cada
linha vertical, a soma também é 15. E quer ,
saber a soma dos números das diagonais? E 15.
Segundo os calculistas antigos, um
quadrado mágico de nove elementos e
constante quinze (como o nosso exemplo) era
um amuleto eficiente, indicado para livrar
uma pessoa da peste e da mordida do
escorpião.
Esse foi o primeiro quadrado mágico de
que se tem notícia, encontrado na China, em
cerca de 2800 a.C. Até hoje ele é utilizado
como talismã. Observe-o e encontre seme-
Ihanças com o quadrado mágico de nove
elementos e constante 15 do nosso exemplo.
Mosogueáum
guodrodo mágico?
6 7 2
1 5 9
8 3 4
40
o
Criando quadrados mágicos
Em uma folha de papel, faça um quadrado
de 1-2 cm de lado e divida-o em 9 quadrados
iguais.
Vai ficar assim:
Sugestões:
I díia5 c\s5ociadag à stht r açao
minuendo
subtraendo
diferença ou resto
(resultado da operação)
Recorte 9 papeizinhos e escreva os
algarismos de 2 a 10.
Organize os algarismos 2,3, 4,5, 6,
7 , 8,9, 10 de maneira que a soma na
horizontal, na vertical e na diagonal seja
sempre 18. Encontre arranjos diferentes para
obter essa soma.
Ganha o grupo que mais arranjos
conseguir.
1
A subtração é empregada quando:
Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade.
Exemplo:
Paraa partida final de um campeonato de futebol foram colocados à venda 65 915 ingressos.
Desses, 420081áforam vendidos. Quantos ingressos ainda restam?
Para resolver esse problema, devemos fazer 65 915 - 42008.
65915_-
-42008--------'
23 907 --------
Restam 23 907 ingressos para vender.
Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas tem a mais que a outra.
Exemplo:
Uma imobiliária anunciou um apartamento por 38 650 reais e outro imóvel, menor, por 27 930
reais. Quanto o primeiro custa a mais que o segundo?
l 8
2 6 10
I 4 5
nu**"*i#ff
4t
Para reso(ver esse prob(ema, devemos fazer 38 650 - 27 930'.
38 650 
-- 27 9 3 0 _-*
10 7 20 
-
minuendo
subtraendo
diferenca ou resto
Ele custa l0 720 reais a mais que o segundo.
Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a outra.
Exemplo:
Um filme tem a duração de 135 minutos.
Se você já assistiu a 100 minutos desse filme,
quanto tempo falta para o término da sessão?
Para resolver esse problema, devemos
fazer 735 - 100:
135
-100
035
Faltam 35 minutos para terminar o filme.
L Encontre a soma de uma
fila do quadrado mágico e
depois descubra os números
que faltam.
1.4
12
?
?
17?
13?
6 À vista, o preço de um automóvel é de26 454
reais. Aprazo, o mesmo automóvel custa 38 392
reais. A diferença entre esses valores é chamada
juros. Se você comprar esse automóvei a prazo,
qual é a quantia qrepagará de juros? ' e3!r ,ea s
2 Efetue as subtrações que são possíveis no
conjunto N. [rdique as que não são possíveis.
a) 7720 - 845 ü5 c) 49L5- 6100
b) 570 - 700 , d)3901 -3901
3 Qual é a condição para que um número na-
tural subtraído de outro natural resulte em um
número natural?
-ro t _rr'e ser I a o oir cua ac seg! r,t.j - rleto
4 Sendo x : 9 - 5 " y - 5 - 9, use os sinais: ou * para comparar os números r e y.
5 Encontre os números que faltam, utilizando
aadiçãoeasubtração.
b) ll
7 Aleií;:ra de um
hidrômetro feita no
día 20 de março
indicava 2 431 metros
cúbicos e uma nova
leitura, feita um mês
depois, indicava 2 590
metros cúbicos.
Quantos metros cúbicos
de água foram
consumidos nesse
período? ,-!r'-
t*
z
-l
Hidrômetro é um aparelho
semelhante a um relógio:
marca o consumo de água
em centímetros cúbicos.
a)e
€t D. Pedro II, imperador do Brasil, faleceu em
1891 com 66 anos de idade. Em que ano ele nasceu?
9 Se você acrescentar um zero à direita do nú-
meto 124, esse número terá um aumento de
quantas unidades?
2-.
xarclcl(]9
42
LO Na escola onde Cristina estuda, a última
aula começa às 11h 25min e termina às
12h 10min. Quantos minutos dura essa aula?
45 min
11 Num torneio de basquete, duas equipes
empataram em 1a lugar. O critério usado para o
desempate é o melhor saldo de pontos (diferen-
ça entre pontos marcados e pontos sofridos).
Verificou-se que:
Equipe B
Pontos
marcados
Pontos
sofridos
370 339
Nessas condições, qual das duas equipes foi con-
siderada campeã do torneio?
A equ pe 8, que tenr 3T pontos de saldo sobre 28 pontos de saldo da
equipe Á
L2 Sabe-se que a profundidade
média do oceano Pacífico é de
4 188 metros e a profundidade
média do oceano Atlântico é
de3736 metros. Qual é a
diferença entre essas duas
profundidades? 452rr.-os
lD
À
\
4 Pense e complete no caderno com os núme-
ros que faltam: To
+?
2480 2490 ?
? 9634 ?
3520
í
7 870
?
?
Pontos I Pontos
Ral,açao [ttnd,annqnta(, da gurhtr açao
Observeque: 9-5:4 e
enÇa
ndo
Em Matemática, dizemos que as sentencas 9 - 5: 4 e 5 + 4:9 são equivalentes.
9-5:4e5+4:9
I t o sinal <+ quer dizer:equivale a.
Daí, podemos escrever arelacão fundamental da subtracão:
minuendo - subtraendo : diferenca ê subtraendo + diferenca : minuendo
0u seja, a subtracão é a operacão inversa da adiçã0.
Professor: A ideia da operação lnversa pode ser ilustrada com situaçóes do cotidiano (por exemplo,
colocar e tirar um óculos, chapéu etc ) ou com br ncadeiras (por exemplo, escravos de Jó)
L Numa adição, uma das parcelas é 1.48 e a
soma é 301. Qual é a outra parcela? rsa
2 Numa subtração, o subtraendo é75 e a dife-
rença é208. Qual é o minuendo? 2a3
3 Escrevaia adição equivalente a cada subtra-
ção e, a seguil, dê o valor do número natural
representado pela letra r.
a) x - 155 : 45 x-2oo b) x - 420: 0 x= azo
xarclcl(75
43
1 880,1 890, 1 9OO,2470,2 500;9614, I624,964
4{f'4<Equipe A
403 375
a,cu{,ad
ttl
-Conhecendo algumas teclas da calculadora
.)1
d)1
70
00
tr-
J_
í^rU
838
760
3 600
1,864
762
15
2
77
Resultado
1 000
2 400
1 800
7 847
As teclas que ele apertou para chegar a estes resultados foram:
c)++
d)
o(or 6çs/v\ V"U
1. Antecipe os resultados antes de você teclar :
a)2 0 0 2 0
b)3 0 - 3:
1ê
2a
ôa
J-
44
2. Quantas yezes, no máximo, você terá que acionar a tecla : para que o resultado continue
positivo?
a)8 5 - 8: , b)7 9 - 4: ,
3. (Saresp) Usando somente as teclas 1 e 0 , como você faria para escrever o número 2342?
a)100+100+10+10+1 ',. _t,.,-r,.,.,1-'.''n"o"u
*b)1000 + 1000+ 100+ 100 + 100 + 10 + 10+ 10 + 10 + 1 + 1
c) 1 000 + 1 000 + 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1
d)1000 + 1000 + 100+ 100+ 100 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1
4. Joãozinho resolveu várias operações utilizando uma calculadora e encontrou os resultados a seguir.
Número das operações Números digitados na calculadora
44
_'
1fF 7, I g.
cE 4 5 6.
a3lo
IE
lo
C
€
õ§(,
, içual
L n ndiçao
rq550a5 nwL^anccrt5
Vamos primeiro procurar no drcionário
o significado do termo "expressão".
Expressão: ato de exprimir; enunciação do
pensamento por meio de gestos ou palavras
escritas ou falas; representação.
Exprimir: dar a entender, conhecer, revelar,
manifestar, representar, Íazer conhecer suas
idéias.
Podemos definir uma expressão numérica como a representaÇão numérica de uma dada situa-
ção. Acompanhe o exemplo.
Tiago recebeu 30 reais de mesada. Gastou 3 reais na compra de um gibi e 5 reais na excursão
da escola. Ainda bem que recebeu os 7 reais que havia emprestado para o Edu, pois assim comprou
o presente de aniversário de sua mãe, no valor de 25 reais, Será que ainda sobrou dinheiro com
Tiago?
Vamos expressar a situação acima de três manetras:
Primeira maneira
A mesada menos o valor do gibi: 30 - 3 : 27
O que sobrou menos o valor da excursão: 27 - 5 : 22
O que sobrou mais o que Edu pagou: 22 + 7 : 29
Esse totalmenos o presente da mãe: 29 - 25 : 4
Segunda maneira
30-3t\
mesada gibt
5+7-25
\\\
excursão Edu
Terceira maneira
ganhou gastou
(qll-(3+5+25)
I
37 33:4
: 27 5 + 7 - 25 :22+ 7 - 25: 29 - 25 : 4
da mãepresente
Portanto, Tiago ainda ficou com 4 reais.
45
L:
Acompanhe mais esses exemplos:
Qual o valor da expressão numérica 30 + 12 - 25 - 7?
___1
30 + 12 _ 25 _ 7 : y__ 25 _ 7 : t7 _ 7 :70
2 Determinar o valor da expressão 20 - (6 + 4) - 7.
Como nessa expressão aparecem parênteses, devemos
indicadas no interior dos parênteses:
inicialmente efetuar as operacões
20-(6+4)-7:
I- Qual é o valor da expressão numérica
58-46+20?
2 Dona Noêmia, a bibliotecária da escola, or-
ganízort um quadro com o movimento de reti-
rada e devolução dos 40 livros indicados para
leitura da 5a série.
Dos livros indicados para a 5ê série, quantos es-
tavam na biblioteca no início da 6a Íeíra? Monte
uma expressão para calcular.
.t..2-,
3 Coloque convenientemente parênteses na ex-
pressão 50 - 10 + 25 - 7,para que o seu valor
seja 14.
4 Um número natural é expresso por
(53 - 38 + 40) - 51 + (90 - 7 + 82) + 101.
Qual é esse número natural? ?7()
__------l20-10-7:10-7:3
I
5 Coloque convenientemente os parênteses
para que a expressão 50 - 77 - 37 + 6 dê como
resultado 10. ' i' :i c
6 Utilizando os números 10, 11, 15 e 20, escreva
uma expressão que tenha como valor o número:
a)6 b)56
resoostas ern aberto
c) 36 d)4
IJse os números
de 7 a76, para que a
soma seja constante
no quadrado mágico
a seguir. Alguns
números já foram colocados. Descubra o
valor da constante.
10
?15
76
xq-rclct(75
Movimento na biblioteca
2a Íeira
3a feira
4a Íerra
5u feira
10
B
46
11
13
3
?
?
I
À
C
Eo
E
E
ô
Por dentro da energia elétrica
Em época de economía, é necessárío saber maís a respeíto da energía elétríca
Energia é a propriedade de um
sistema que lhe permite rcalízar trabalho.
Pode ter várias formas: potencial, mecâni-
ca, química, eletromagnética, elétrica,
calorífica etc. Energia elétrica - oueletricidade - é como se designam osfenômenos que envolvem cargas elétricas.
No Brasil, onde é grande o número
de rios, a opção hidráulica é mais utlliza-
da e apenas uma pequena parte é gerada
a partir de combustíveis fósseis, em
usinas termelétricas.
As partes principais de uma usina hidrelétrica são:
a barragem - represa o fluxo da âgua do rio;
as comportas e o vertedouro - controlam o nível de água da represa;
a casa de máquinas - onde estão instalados os geradores acoplados às turbinas.
Para transformar a força das águas em energia elétrica, a água represada passa por dutos
forçados e gira a turbina que, por estar interligada ao eixo do gerador, faz corrr que este entre em
movimento, gerando a eletricidade.
O consumo de energia elétrica depende da potência do aparelho utilizado e do tempo de
utilização. Os aparelhos elétricos possuem diferentes potências, consumindo mais ou menos energia.
Essa potência é expressa em watts (W) e deverá estar mencionada na placa de identificação afixada
no próprio aparelho. É o medidor de energia elétrica (relógio de luz) que registra o consumo de
eletricidade. O consumo do mês é calculado com base na diferenÇa entre a leitura obtida no mês em
curso e a do mês anterior.
Fonte de pesquisa: www.bandeirante.com.br
Comoler o seu relógio de luz
de ponteÍros
Você pode acompanhar o gasto da energia
de sua casa, constrltando o medidor de energia
elétrica. Esse medidor é composto por quaÍo
relógios pequerros. Os ponteiros giram sempre no
senüdo crescente dos números, ou seja, do menor
para o maio4, podendo ser no sentido horário ou
anti-horário.
O primeiro relógio, a partir da esquerda,
marca os números que se referem à unidade
milhat, o segundo se refere à centena, o terceiro
à dezena e o quarto à unidade simples.
Para se fazer aleitura, comece pelo
relógio da direita, escrevendo o último número
ultrapassado. Se o ponteiro estiver entre dois
números, o menor deles é que deve ser
considerado.
ç.
z
E
-t
É
ô
.a
I
@
47
l
-/
lTI
/,
rti*-(
sá
I
\
§
-
Lemos 3 048.
ita), considerando que, quando um ponteiro passa pelo zero, o ponteiro do relógio da esquerda
Acima temos a última 1"t** i"["*XliO, casa de lacira,cuja meta de consumo é277k\Ath.
Desenhe os relógios do medidor fazendo os ponteiros com a próxima leitura, supondo que o
consumo do mês seja igual à meta.
ya-
lratando
Organizando ínformações em
gtáÍicos de barras
Jnbl^oçao
Na última aula, a professora
Andréa fezumapesquisa com os
alunos. Ela levou vários cubos
coloridos para cada aluno escolher
o cubo com a sua cor preferida.
Em seguida, todôs ajudaram a organizar os dados
da pesquisa em uma tabela.
Depois Andréa pediu aos alunos que colocassem
seus cubos apoiados no aparador de giz da lousa,
formando uma pilha de cada cor.
Veja como o eixo vertical que ela desenhou ao lado das pilhas indica as quantidades:
E assirn eles construír arn urn gr áfic o de b arr as.
48
Quanticlacle I
1ft"'o ácom W"u
1. Leia a reportagem da revista Veja, deTZ /7/01.
40 anos
Fontes: Unesco, Embaixada de Cuba e Ministério da Educação
Vamos representar essa tabela em um gráÍico de barras:
Todas as crianças na escola
Todas* as crianças na escola há
Estados Unidos 130 anos
Para aÍolto estatísüco, 'lodas" querdizêr mais de 95%.
Anos
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
2
Legenda
f Brasit
! crruu
f Coréia do Sul
lapão
f rrança
f nstados Unid,os
Os gráficos de barras são utilizados, em geral, para comparar coisas de mesma natureza.
Pa íses
49
Na semana passada. o presidente Fernando
Henrique Cardoso lançou o plano Nacional de
Educação. gue garante investimentos para manter
todas as crianças na escola, patamar que o Brasíl
atingiu em 1999. O quadro mostra há quanto tempo
alguns países iá alcançaram a meta.
L- 15 anosi cuba
Responda:
a) Para oue serve um gráfico? E uma legenda?-' p;;;;r"á;.t"i,"no-"no!',sicos qLr-,cos.soclís.eccnómcosetc.Pà'ae\picarsroo.osorcoresJsadosnosgrá'rcos.rnaoasetc
b) Qual a fonte da tabela? Onde e q"X:* foi publicada?
c) esse mite?
para t
d) Que título você daria a esse gráfico? resposta em aberto
e) O que indica o eixo horizontal? E o eixo vertical? Paísesi tempo (em anos) em que todas* as crianças têm escola
f) Na situação descrita, quantos anos a França está à frente do Brasil? E a Coréia do SuI? 128; 38
2. Procure, em jornais e revistas, gráficos de barras e cole no caderno. Dê um título e trace, se
possível, os eixos horizontal e vertical de cada gráÍico.
6 ldíias c=55ociad,as à nntt[ti pí,ica çao
A multiplicação é empregada em situaÇões em que precisamosl
Adicionar parcelas iguais.
Exemplo:
Um edifício tem 6 andares. Em cada andar há 4 aparlamentos. Quantos apartamentos tem o
edifício todo?
Para resolver essa situação, podemos fazer:
4+4+4+4+4-t4:24
Essa mesma igualdade
6 vezes
pode ser representada por:
6x4:24
6 vezes 4
Daí, podemos escrever:
4+4+4+4+4-t4:6 produto
fator
fator
6 vezes
0 edifício tem 24 apartamentos.
24 ---------
50
Saber quantas combinações podemos fazer.
Exemplo:
Pedro está escolhendo um sorvete de uma bola com um tipo de cobertura. Mas as opcões são
muitas. De quantas maneiras diferentes pedro pode montar o sorvete?
Para facilitar a resolucão desse problema, vamos Íazer uma tabela:
Como são 4 tipos de sorvete e 3 tipos de cobertura, calculamos o número de maneiras diferen-
tes de montar o sorvete efetuando o produto de 4 por 3.
trpos de sorvete
I
4 x 3 : 12 ------> maneiras diferentes de montar o soryete
I
I
tio be cobertura'l
Pedro oofe montar o seu sorvete de 12 maneiras.
I
Lxemplo:l
Parafazer refresco de uva, utilizam-se 4 copos de água para cada copo de suco concentrado.
Quantos copos de água são necessários para fazer refresco usando 2 copos de suco concentrado? E
usando 3 copos? E 4 copos?
1 copo de suco --------- 4 x 1
2 copos de suco --------- 4 x 2
3 copos de suco ---------' 4 x 3
4 copos de suco ------- 4 x 4
4 copos de água
8 copos de água
12 copos de água
16 copos de água
Usar al ideia de proporcionalidade.
51
Sorvete Cobertura
Coco Caramelo
Abacaxi
Flooo' Chocolate
Creme Morango
LonsidzraçÕrs sohre a nnwl,ti
) Multiplicar qualquer número natural por 1 dá como resultado o proprio número.
5 x 1 :5 + equivaleacincoparcelasiguaisal
20 x I : 20 + equivale avinte parcelasiguais a 1
) Paravaler igualdades como 1 x 5 : 5 x 1 e 1 x 20 : 20 x 1, devemos ter:
1x5:5
lx20:20
Multiplicar um número natural qualquer por 0 dá 0.
5 x 0 : 0 
-+ 
equivale a cincoparcelasiguais a0
20 x 0:0 
- 
equivaleavinteparcelasiguaisa}
Para valer igualdades como 0 x 5 : 5 x 0 e 0 x 20 : 20 x 0, devemoster:
0x5:0
0x20:0
0 a[goritnno da rtnttl,tiytLicaçao
Vamos multiplicar 6 x 24.
Fazendo um esquema:
20
Agora vamos multiplicar 12 x 26.
Fazendo um esquema:
20
Usando o algoritmo:
20+4
x6
t44
6 x 24:144
Usando o algoritmo:
24
120
20+6
xl0+2
+12
40
60
200
312
12 x 26 :372
â \/ ô^ - /^ tt
6x20-120
f-
t- 6x4:24
52
10
Também podemos resolver assim:
26x 12: (20+ 6) x (10 + 2) : 20x 10 + 20 x2+ 6 x 10 + 6 x 2
:200+40
= 312
+ 60 +12
0u assim: 26
x12
52
260
------- 2 x 26
--------> 10 x 26
312
0utros a[qoritnn 05 para a nntiltipLi
Depois,faziamuma decomposição do 11 utilizando os dobros:
11 : 8 + 2 + I
Entáo,calculavam substituindo os números encontrados na decomposiÇão do 11 pelos
números da tabela:
,--12;t_s
11 x36:(8+2+1) x36
:288+72+36
: 396
Portanto, 11 x 36 é igual a 396.
Unn a[,goritnno viajado!
n)
' V oci ji ouvu fatar em. « gelosíd' 7
É u^algoritmo de multiplicação também conhecido como "método da grade". Foi usa-
do no século Xll, na Índia, de onde foi levado para China e, de lá, para a Arábia. Do mundo. muÇulmano seguiu para a ltália, onde os venezianos o assimilaram e difundiram.
0 atgoritn^o ajípcio
Í{a 20oo rrnos) os egípcios já.anÍwr.farnítimííoíe cotn fup[kações.
{Purucalcular 11 x 36, por exemplo, os egípcios construíam uma tabela. Nessa tabela, '
utilizavam a adiÇão e os dobros, assim:
36 (1 x 36)
36 + 36:72 (2 x 36)
72 + 72: 144 (4 x 36)
144 + 144 :288 (8 x 36)
288 + 288:576 (16 x 36)
fu[urvamos conhecê-lo calculando 327 x 32:
3 2 7 X
9.Á e4 ,1 3
2
.foruro, os números em cada diagonal a partir do canto inferior direito da grade. No
caso de a soma ser maior ou iguala 10, o algarismo das dezenas é elevado à diagonalseguinte.
3 2 7 X
y4 e1 4 3
'.94 91 1-/+ 2
4
ft".,. a col ft"a,
Com um colega, calcule com os dedos:
a)7X8 so b)8x6 +a
Ainda em dupla, construa as tabuadas
do 5 até a tabuada do 10.
Enúo, 327 x 32 é igual a lO 464.
COLLbT'
Veja um exemplo de como é possível
multiplicar usando os dedos:
8x9
Em uma mão, dobre tantos dedos quantos
faltam para 5 completar a quantidade 8.
Na outra mão, dobre a quantidade de dedos
necessária para 5 completar 9. Assim:
wfl
A seguir:
multiplique por 10 o total de dedos abaixados
multiplique as quantidades de dedos
levantados
adicione os dois resultados
Dedos abaíxados; (3 * 4) x 70 : 70
Dedos que permaneceram leaantados:2 X 7 : i- .. --72
3 2 7 X
y4 e1 2./t 3
e1 yi T-i 2
Você sabÍa que a mão é consÍderada a
prÍmeÍra máquína de calcular?
Veja outro exemplo:
9x7
Usando os dedos:
Então (4 + 2) x 10 :
1x3:3 63
Uma dica: so e Posível multíPlícar
assím de 5 em diante'
54
1
0
6
xurclcl(]5
ao triplo da distância de
A atéB. Qual
é a distância
de B até C?
L Três pontos turísticos, A, B e C, são ligados
poÍ uma estrada. Sabe-se que de A até B sáo 275
metros e que de B até C a distância corresponde
2 Marlene não consegue decidir o que vai ves-
tir. EIa pode escolher entre 2 saias (preta ou cin-
za) e 3 blusas (branca, amarela ou vermelha).
Quantas são as opções de Marlene? PararesPon-
der, faça uma tabela ou um desenho.
Sáo T 2 opÇÕes diÍerentes
3 Na padaria do seu João o pão recheado cus-
ta R$ 2,00. Ajude seu Joáo a fazer um quadro
com o preço de2,3,4,5,6 e 7 desses pães.
Quantidade de pães 1. 2 3...
Preço total 2,00 ? ?
4,00; 6,00; 8,00; 10,00; 12,00,14,44
4 Aparede lateral de uma piscina foi revestida
com 13 linhas de 43 azulejos em cada linha.
Quantos azulejos foram usados para revestir
essa parede? 559 azr telos
5 Um agricultor verificou que um hectare de
terra produz 65 toneladas de cana-de-açúcar e que
cada tonelada de cana produz92lttros de álcool.
Quantos litros de álcool são produzidos em:
Exercício 8
) b)
2
7 1
1 3 4 8 X
%1 %t%
4%t%t%t%
8872JlJ
a) L hectare de terra? b)
5 980 litros
50 hectares de terra?
299 000 litros
Um hectare equirsale a um hectômetro quadrado
(10 000 metros quadrados).
6 O carro de André, quando bem regulado,
percoffe aproximadamente 12 quilômetros com
um litro de gasolina. Faça um quadro como este
a seguir e diga quantos quilômetros é possível
André percorrer com as quantidades indicadas.
Quantidade, g 4 5 10 72 15 16
cle [tros
Distância????????
percorrida
'24 36 18 60 12A 144 ',l 80 192
7 Encontre os algarismos escondidos.
a)7ztb)7zt
x8 X 4a x48
2s6 296 2so
IllI 1480
6
Il
L
çt
E
õô
29 6
If II 1tt6
€3 Multiplique, pelo algoritmo da gelosia, os fa-
tores:
a) 307 x89 b) 1.348xL4
€) Multiplique, utilizando o método de dobrar
e adicionar:
a)15x48
(1+2+4+8)x48:120
b)13x23
(1 +4+8)x23:299
LO Encontre os valores ds t, À g O
1 IAO t42s
X3r.3
rAO4 4284
55
^e
34x12
\
34x(10+2)
(34x10)+(34x2)
340 + 68
300+40+60+8
\','
300+100+8:408
11 Veja como Camila calcula:
ProÍessor: Com esquema deste tipo, desenvolve-se o cálculo mental
Agora, calcule do mesmo jeito que Camila:
a) 24x 35 aao
b) 35 X 24 eqo
c) 45 X 92 qtqo
d) 92 x 45 +-,oo
L2 Determine o número natural que se deve
colocar no lugar de n para que sejam verdadei-
ras as igualdades:
a) 27 x 37 :37 x n t:2.,
b) 385 X n:385 n: l
c) 31 x (73 x n): (31 x 73) x 28 :28
Quantidade
de amigos
J
4
6
10
Número de
apertos de mão
?
?
2
a'
Duas sÍtuações muito parecÍdas
11 Desenhe uma circunferência no caderno e marque 3 pontos nela. Faça traços com uma régua para
ligar esses pontos, de 2 em 2.
a) Quantos traços com a régua você fez? z
b) Se fossem 4 pontos nessa circunferência, quantos traÇos você faria? o
c) E se fossem 5 pontos? ro
2e Três amigos se enconttam em uma festa. Cada um cumprimenta o outro uma única vez com um
aperto de mão.
a) Quantos apertos de mão foram dados? s
Outros amigos foram chegando e os cumprimentos
continuaram/ sempre uma única vez, com um aperto
de mão.
b) Preencha uma tabela como esta a seguiq, com o
número de apertos de mão.
c) Como você e seu colega encontraram as respostas?
Conte paÍa a classe.
Os cumprimentos
riedradat d,a A^vLti (,icaçao de núA^aro5 natwrais
Observe as seguintes situacões:
13 Consideremos os números naturais 14 e 25 e vamos determinar o seu produto:
14 x 25: 350
Trocando a ordem dos fatores, determinamos novamente o produto:
25 x 14: 350
De acordo com as situações apresentadas, podemos escrever:
14x25:25x74
56
Esse fato sempre se repete quando temos dois números naturais quaisquer. Assim:
Numa multiplicaÇão de dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores
não altera o produto.
Essa propriedade é chamada propriedade comutativa da multiplicaÇão.
2A Vamos considerar, agora, os números naturais 5, 1B e23e determinar o seu produto:
.5 x 18 x23: 5 x 18 x23=
:9o xz3:zoto :5;;i-:2o7o
De acordo com as situações apresentadas, temos:
(5x18) x23:5x(18x23)
Esse fato sempre se repete quando temos três números naturais quaisquer. Assim:
Numa multiplicação de três ou mais números naturais quaisquer,
podemos associar os fatores de modos diferentes.
Essa proprledade é chamada propriedade associativa da multiplicaÇão.
33 Consideremos os números naturais 7 e25 e vamos determinar o seu produto, independente da
ordem dos fatores.
lx25:25 25xl:25
Você nota que o número 1 não influi no resultado da multiplicação quando um dos fatores é 1.
Como I x 25 : 25 x I : 25,temos:
Numa multiplicaÇão de um número natural qualquer por 1, o produto é sempre
igual a este número natural.
Nessas condições, o número 1 é chamado elemento neutro da multiplicaçã0.
41 Considerando o produto 4 x (77 + 32)
:(17 +32)+(17 +32)+(77 +32)+$7 +32]':----------> petadefiniÇãodemuttipticaÇão
:17 +32+17 +32+17 +32+17 +32:
: 17 + 17 + 17 + 17 + 32 + 32 + 32 + 32 : ---------------- pela propriedade comutativa
4 vezes
:(4x17)+(4x32)
4 vezes
Entã0, podemos escrever:
4, (t7 + 32): (4 x 17) + @ x 32)
57
Essa igualdade nos leva a dizer que:
Para multiplicar um número natural por uma soma de dois ou mais números,
podemos multiplicar o número por cada uma das parcelas e, a seguir,
adicionar os resultados obtidos.
4 r (17 + 321: (4 x 17) + (4 x 32)
Essa propriedade é chamada propriedade distributiva da multiplicaçáo.
Essa propriedade pode ser estendida para a multiplicacão
indicada.
7x(20-11) :(7x20)-(7x
de um número por uma diferenca
11)
Uma escola comprou várias caixas de lápis de cor para serem distribuídas entre as cinco clas-
ses do 5e ano. Cada sala recebeu 6 caixas com 6 lápis de cor, B caixas com 12 lápis de cor e uma
caixa com 24\ápis de cor.
Para descobrir quantos lápis de cor cada classe recebeu, fazemos os seguintes cálculos:
6 caixas de 6 lápis --- 6 x 6 : 36
8 caixas de 12 lápis ------+ g x 12 : 96
1 caixa de 24 lápis ------ 24
36+96+24:156
De uma forma mais simplificada:
+
+ 8 x 12 + 24: 36 + 96 + 24: 156
'i
Cada classe recebeu 156 lápis de cor.
Naexpressã06x6+8x12+24aparecemmultiplicaçõeseadiçoes.Observeque,para
calcular o resultado, efetuamos as multiplicacões antes das adições.
Nas expressões em que aparecem as operacões de multiplicacã0, de adicão e de subtracão,
efetuamos as operacões na seguinte ordem:
) Primeiro as multiplicacões.
) Depois as adicões ou as subtracões, na ordem em que aparecem, da esquerdapara a direita.
ra550q5 nutLta"|ca5
Veja alguns exemplos:
Determinar o valor da expressão7 + 9 x 6.
7+9x6:7+54:67
Dar o valor da expressão numérica 50 - 9 x 4.
3 x7 + 9 - 4 x 5 : 2l + 9 - 20: 30 - 20 : l0
b) 80-(6x7+5) :
:80-(42+5):
:80 - 47 :33
aaaaaaa
aaaaaaa
aaaaaaa
4x2+4x5
b)........
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaa
aaaa
aaaa
2x(8+8) +3x4
50-9x4:50-36:14
Qual é o valor da expressão numérica 3 x 7 + 9 - 4 x 5't
c) (80-6) x(7+5) :
:74 x 12:
: BB8
(6 Dada a expressão numérica
(3 x 7 + ? x 15) x (81 - 4 x20), determine o
seu valor. s1
7 Expresse a quantidade de pontinhos de cada
item por meio de uma expressão numérica:
Existem outras respostas.
a) .. , g)* , ? 1 { ri
A innportância doE ytarànleses
a)80-6x7+5:
:80-42+5:
:38+5:43
Observe as expressões numéricas e o valor de cada uma delas:
Verifique como a colocação dos parênteses influi no valor de cada um dos exemplos.
L Qual é o valor da expressão numérica
81,-7 x11? 4
2 Sabendo quea : 10 + 3 X 2,b : 1,0 x 3 + 2,
determine a eb.Em seguida, usando os símbo-
Ios : ou *, compare os números a eb.
a:16;b-32,a*ó
3 Dada a expressão 12 + 8 X 5, é preciso colo-
car convenientemente os parênteses para que o
valor dessa expressão seja 100. Escreva a expres-
são comesses parênteses. (12 + 8) x s
4 Determine o valor numérico da expressão
50-(6x 8+2). o
5 Coloque convenientemente parênteses na ex-
pressão 20 - 3 X 6 X 2,para que seu valor seja 4.
120 3x6) x2
59
3x(3+3+2)
Os nove círculos
Distribua os números 2, 4,5, 6,70,1.2, 15 e 30 nos
círculos, de modo que o produto seja 60 em cada fila
horizontal ou vertical cujos círculos estejamligados.
I
UtílÍzando a calculadora para
resolver expressões numérícas
Para resolver expressões
numéricas usando uma
calculadora, necessitamos
do recurso da memória.
RCLoU MR
chama a memória
memória
aditiaa
limpn n última
entrada digitada
Exemplos:
1. Calcular 20 + (30 x 12)
Teclar: 2OM+3
2. Calcular 100 - (30 + 12 + 5)
Teclar:100M*
3. Calcular 72 x 17 + 75 x 26
Teclar:72x1
4. Calcular 23 x 74 - 77 x 12
Teclar:23x1
aBlatÊtõ
l3
o
õo
(,
M* MR Aparece no visor o resultado 380.
5 M- MR Aparece o resultado 53.
7ly'l+ 6 M+ MR Aparece o resultado 594.
X 2 M- MR Aparece o resultado 118.
frot" dcoyrn W"u
a) 727 - (21. + 15 + 11) BO
b) 15x47+72X19gss
c) 21x12-13x10
d)58 (5+3+12+6+9)
Memóría... ah! a memóría...
M*
60
,otf"
-
0x1
0+
memória
subtratiua
limpa todos
os registros
m'
CE
.a
il
q
§t
IC'
7'l o,
4,1 s1
xrç
Ç{D
t 2 3. :
+
lnterpretando gráÍicos
1.
a)
b)
d)
e)
do4qparao5a? rs
e do 5a para o 6a? tz
Sidney
Atlanta
Barcelona
Seul
Los Angeles
Moscou
Montreal
Munique
México
Tóquio
tl (
.a \ a:'ôri
In{ol^oçao
fico foi publicado pela revista Veja, de 74/7 /99.
o gráÍico com um amigo e responda no caderno:
Que tipo de gráfico é esse e qual a fonte que a revista usou?
gráfico de barras; ONti
Refaça o grâÍíco, incluindo o eixo horizontal e vertical. O
que é representado no eixo horizontal? E no eixo vertical?
respectrvame r:e, i-.opu acao â a'lo
c) Quantos anos se passaram
do 1a bilhão para o 2a bilhão?
do 2o para o 3a?
do 3n para o 4q?
Você acha que a população mundial chegará a 7 bilhões?
Quando? resposta em aberto
Pesquise: qual era a população do Brasil em7999? Aproxi-
madamente quantas vezes a população mundial no ano
de 7999 era maior que a do Brasil? aprox madamente 37 vezes
Exercício 2
a) Aurélio Miguel, judô, ourc
equipe de Íutebol, prata;
Joaquim Cruz, atletismo,
Róbson Caetano, atietisÍ
Torben Grael e Nelson Fa
I ars Grapl c Clínio dc Frp
, O gráfico a seguir é chamado "pictórico" , por usar ilustrações para representar o conteúdo. Nele
aparece o resultado do Brasil nas Olimpíadas Mundiais, em número de medalhas conquistadas.
ada
A população mundial só atingiu 1 bilhão
de pessoas no século passado. Em
outubro deste ano, o mundo terá
6 bilhôes. Compare o crescimento.
f,f,
\--, J
-Foanao
2000
1996
1 992
1 988
1984
1 980
1 976
1972
1968
1964
1 2 3 4 5 6 7 I 9101112131415 de medalhas
Fontes de pesquisa: Guia dos curiosos, de Marcelo Duarte, Cia. das Letras, São Paulo e internet,
no endereço http: / / cÍ1.rol.com.br:8000/veja-olimpiadas
a) Pesquise e diga em quais esportes o Brasil obteve medalhas na Olimpíada de 1988?
b) Pode-se dizer que, em Los Angeles, o Brasil duplicou o número de medalhas em relação a Moscou?
c) Pode-se dizer que, emAtlanta, o Brasil quadruplicou o número de medalhas em relação a Barcelona?
Não, quintuplicou
61
I A PASSOS
t
LARGOS
DE MEDALHAS CONQUISTADAS PELO BRASIL
J ldíiag c\s5octadas à divigoro
A divisão é empregada quando precisamos:
Exemplos:
Um colegio levouT2 alunos numa excursão ao Jardim Zoológico e para isso dividiu igualmente
a quantidade de alunos em 4 microônibus. Quantos alunos foram em cada microônibus?
Para resolver esse problema, devemos fazer 72 : 4.
DU
/-\ /-\
--> 72
32
0
I
Ii
resto
2 Uma indústria produziu 183 peças e quer colocá-las eml2caixas, de modo que todas as caixas
tenham o mesmo número de pecas. Quantas peÇas serão colocadas em cada caixa?
Para resolver esse problema, devemos fazer 183 : 12.
dividendo --------+ - -+ divisor
--------+ quociente
Como o resto é igual a 3, esta é uma
divisão não exata.
Em cada caixa ficarão 15 pecas, so-
brando 3 peÇas.
------->8
U
1
D
divisor
quociente
Como o resto e igual a 0, esta divisão é exata.
Foram colocados 18 alunos em cada microônibus.
CDU
183 72
63 15
3 ou
resto
Diviàir uma quantiàaàe em
parlee iguaio.
Nesto idéía, queremos
sober guontos grupos
- serão formodos.Saber quantao vezee uma quantiàade
aabe em outra quantiàaàe,
Exemplos:
1 Quantas equipes de voleibol podem ser organizadas por um professor de Educação Física que
tem 96 alunos?
Como uma equipe de voleibol é formada por
saber quantos grupos de 6 cabem em 96. Assim,
6 jogadores, queremos
E possível organizar 16 equipes de voleibol.
2 Em uma caixa cabem 12 garrafas de água. Como tenho 320 garrafas para colocar em caixas
como essas, quantas caixas completas vou obter?
Queremos saber quantos grupos de 12 cabem em
Esta é uma divisão não exata,
Serão 26 caixas completas e
com resto 8.
sobrarão 8 garrafas
L Em um teatro há126 poltronas distribuídas
igualmente em 9 fileiras. Quantas poltronas há
em cada fileira? 14 poitronas
2 Quantos garrafões de 5litros são necessários
para engarrafar 315 litros de âg,ta? 63 sarraÍóes
3 Numa pista de atletismo, uma volta tem 400
metros. Numa corrida de 10 000 metros, quantas
voltas o atleta dará nessa pista? 25 vottas
4 Tênho 185 papéis de carta e quero distribuí-
los igualmente entre mim e minhas 3 irmãs.
Quantos papéis de carta cada uma receberá?
46 papéis; restará '1
5 Se em t hora há 60 minutos, quantas horas
há em 1 440 minutos? 24hoÂs
calculamos 96 : 6.
6 Divida 8 250 por 35 e responda:
a) Qual é o resultado da divisão? 235
b) Qual é o resto? 25
c) Sem efetuar a divisão, dê o quociente e o res-
to de B 25L por 35. quociente 23s e resto 26
7 Ernum restaurante, a despesa de um grupo
com 8 pessoas foi 104 reais. Como todos darão a
mesma quantia
ParaPagaÍ a
conta, determine
a quantia que
cada um deve dar.
13 reais
€B Um livro tem 21.6páginas. Quero terminar a
leitura desse'livro em 18 dias, Iendo o mesmo
número de páginas todos os dias. Quantas pá-
ginas preciso ler por dia? 12 pásrnas
CD
fi
8 26
DU
U
0
0
8
t2
de água
xarctcloS
63
€) Quantos grupos de 18 alunos podem ser or-
ganizados com 666 alunos? 37 srupos
I-O Uma loja oferece um cupom para sorteio de
prêmios a cada 5 reais gastos. Gláucia gastou L37
reais nessa loja. Quantos cupons ela obteve e
quantos reais faltam para receber mais um cupom?
27 cupons; Ía tam 3 reais
I- L Uma tonelada de um certo tipo de cana-
de-açúcar produz aproximadamente 35litros de
álcool. Quantas toneladas de cana são necessá-
rias para produzir 6 970litros de álcool?
82 toneladas
L2 Um elevador pode carrega{, no máximo,
560 quilogÍamas. Na fila para entrar nesse ele-
vador há um grupo de pessoas que "pesam",
juntas,6 160 quilogramas. Quantas viagens, no
mínimo, esse elevador Íarápara transportar to-
das essas pessoas? 11 viasens
L3 Para pintar uma casa, gasta-se 1 galão de
tinta para cadal2 metros quadrados. Sabendo-
se que essa casa tern372 metros quadrados para
serem pintados, quantos galões de tinta serão
consumidos? 31 salóes
Consid,er sobrea divig ao de núAneroE naturraiE
é possÍvel a divisão de um número natural por outro número natural.
Não existe número que multiplicado por 0
dê 5, Logo, não existe divisão por zero.
Nem sempre a divisão de um número natural não-nulo por outro número natural não-nulo dá um
número natural.
Exemplo:
5
2,5
Quando o dividendo é 0 e o divisor é um número natu-
ral diferente de 0, o quociente é 0.
Exemplo:
I
015-o
Qual o número que multiplicado por 5 dá zero? E o
próprio zero.
) Quando o dividendo e o divisor são números naturais
iguais e não-nulos, o quociente é 1.
Exemplo:
t lt
1
0 número 2,5 não pertence a N.
Charada
Pense em um número de
dois algarismos e divida-o por
10. A seguir, escreva outro
número cuja dezena é dada
pelo quociente da divisão que
você Íez e cuja unidade é o
resto dessa mesma divisão.
O que acontece com o
número assim obtido e com o
númerop ?Porquê?
S;
e 7x10+4-74
4
64
Você nota que 50 : 3 x 16 +
resto
quociente
divisor
dividendo
Veja alguns exemplos de como aplicar essa relaÇão:
1 Numadivisãonãoexata, odivisor é7,o quocienteé 13eo restoé 5. Determinarodividendo,
Rel,açao {wnd'aunanlal, da d'ivisa.o
Vamos chamar o dividendo de n:
frt,7 ---+n:7x13+5slts n:91+5
n:96
Você nota que 48 : 3 x 16 + 0
cll-
J
an
trJt-
=UJc)
E
l-
o
o-
TLJ
Jo
C-}
2
l>
b)50
50
20
2
0 dividendo é 96.
2 Em uma multiplicaÇão, Lrm dosfatores é 9 e o produto é762. Qual é o outro fator?
Considerando essa relacã0, escrevemos:
162:9 x n, então 162:9 : n
0 fator procurado é 18,
65
fator procurado
Diviàenào = àivieorX quoaienle * resto
5e a 2 b = c, entào a = b X c, ou, oe a = b X c,
enlàoazb=c,comb+O
xarclclo5
L Uma das seguintes divisões não é
efetuar no conjunto N dos números
Qualéessadivisão?g,o
possível
naturais.
2 Em qual das divisões seguintes o resultado
não representa um número natural? 12 : 24
0:8
27 :7
3 O professor
perguntou a
Marilu o resultado
da divisão 36 : 36.
Ela respondeu que
o resultado é 0,
enquanto Helena
deu 1 como resul-
tado. Qual das
duas falou o
resultado correto?
He ena
7
a)
Encontre os algarismos escondidos:
8:0
12:24
4 Podemos drzer que as divisões a seguir têm
resultados iguais? Jústifique a resposta.
10 : 5 40:20
S m, pois da 1a para a 2ê d v são o cjrvrdendo ê .. ir sor iorê I mirttipl ca
dos pelo mesmo número, 4
5 Qual é o valor do número natural n paÍa que
setenhan : 5 : B0 : 20? n- za
(5 Numa divisão exata, o dividendo é 32 e o
divisor é 8. Se eu multiplicar o dividendo por 5,
por qual número deverei multiplicar o divisor
para que o quociente seja o mesmo da divisão
anterior? 5
A'AL
00
osole ou zsole
oro I az oro I rz
ool ool
66
b; nlrt
s Ee-
c)nlo+
10E
€B A partir da divisão 72 : 2: 6 você pode es-
crever 72 : 2 X 6. Nessas condições, escreva a
multiplicação correspondente a cada uma das
divisões:
a) 24:8:3 24. B>':: c) 80:10:8 ao=.ro I
b) 35 : 7 : § 35=7, s d) 162 : 9 : 1,81ô2= e::18
9 Qual a multiplicação que corresponde à di-
visãoexatan : 15 :26?' T5x26
LO Numa divisão exata, o divisor é 45 e o quo-
ciente é 77. Qual é o dividendo? 765
I- I- Qual é o dividendo numa divisão onde o
divisor é 72, oquociente é 9 e o resto é o maior
possível? 1 1e
L2 Uma caixa contém uma certa quantidade
de laranjas. Essa quantidade foi repartida igual-
mente entre 6 casais. Cada casal recebeu 35 la-
ranjas e ainda restaram 5laranjas na caixa. Qual
a quantidade de laranjas que havia inicialmente
na caixa? 2 5 ara ;as
L3 Observando as divisões seguintes, deter-
mine o valor do número natural n em cada uma
delas:426
42
006
-6
0
n: 181 n: I 610
tx eEsües ntutndrica5
Vamos novamente tratar de expressões numéricas. Observe, por exemplo, que a expressão
numérica seguinte contém as operacões de divisã0, de adiçã0, de multiplicação e de subtração:
2l:3+3x4-8
Para calcular o valor de uma expressão numérica em que há as quatro operacões, obedecemos
a ordem a seguir.
) As divisões ou as multiplicações, na ordem em que aparecem, da esquerdapara a direita.
) Depois, as adições ou as subtrações, na ordem em que aparecem, da esquerdapara a direita.
Exemplos:
1 Qual é o valor da expressão numéricalT - 40 : 5?
17-40:5:17-8:9
2 Determinar o valor da expressão numérica 8 x 9 : 6.
B x 9 :6:72:6:12
3 Um número n é expresso por 60 : 10 x 2. Qual é o valor do número n?
60:10x2:6x2:12
4 Dar o valor da expressão numérica2l :3 + 3 x 4 - 8.
2t : !+ 3 x 4 - 8:7 + 12- 8: 19 - 8 : 11
Observe as expressões numéricas e o valor de cada uma delas:
c) 120:(4+4x5) :
: I20: (4 + 20):
:720 : 24:5
Verifique como a colocacão dos parênteses influi no valor de cada um dos exemplos.
dl20:4+4x5:
:30+20:50
b)120:(4+4) x5:
:120:Bx5:
: 15 x 5:75
innnrcrtàercia dot ràntasqs
67
xarclclol
I- Qual é o valor da expressão numérica:
a)96:6-4? b)81:9x9
2 Determine os números x e y e,a seguil, com-
pare-os, usando : ou #.
x:(g:4)x2 y:8:(4x2)
3 Usando os valores que você encontrou para
x e y no exercício anterior, responda:
a) Qualéovalordexf y?
b) Você pode calcular y - x no conjunto dos nú-
meros naturais?
c) Se você dividir x poÍ y, qual será o resultado
da divisão?
d) De acordo com o quociente obtido, o número
x é igual a quantas vezes o número y? r vezes
e) Se você dividir y por x, o quociente será um
número natural? ,ào
4 Calcule o valor da expressão:
a)(7x7+2):(77- 15:3+5) x2 6
b) (30 - s x 6): (7 + 2x 10) x (40 - 30 + 5) o
5 Dados osnúmeros a : 18 : 6 * 5 e
b : 18 : (6 - 5), calcule-os e, a seguir, efetue a
multiplicaçãoaxb, , e - : 1rL
6 Se você colocar convenientemente os parên-
teses, a expressão 20 + 40 - 30 : 5 terá umvalor
igual a 22. Escreva essa expressão com os pa-
rênteses. 20 L4o - 30) b
O melhor amigo
Descubra quem é o dono de cada cão.
GARLINHOS FLORA TONINHA ALEXANDRE
68
I 0 RaEo[v qndo prohLql'^o$
Resolver problemas é uma prática que acompanha os homens ao longo da historia. As ciências,
as sociedades, as artes devem muito do seu desenvolvimento à eterna resolução de problemas.
Como 1á dizia Polya, grande educador matemático: "Há, na solução de todo problema, um
pouco de descobrimento". E já que problemas não faltam no dia-a-dia, a Matemática está aqui para
ajudá-lo nessa fase de descobertas.
Descobrindo a solução de problemas, Por etapas
Não existem fórmulas mágicas para resolver um problema. O que há é um conjunto de
procedimentos necessários. E é Polya quem formula as quatro etapas essenciais paÍa a resolução de
problemas.
Leia com atenção, siga os passos necessários e faça descobertas que vão além dos problemas.
11 etapa Conrpreender tl proble'm'l
Leia o enunciado'
Identifique os dados fornecidos'
Identifiqueasincógnitas(oqueSequersaber).
Pense nàs possíveis relações 
entre os
dados e as incógnitas'
Se possível, crie um esquema 
que
rePresente a situação'
-t lt.tp..1 lr.,tt-.rr Lr r.tt Pl;tn,,
]oce Ja 
resolveu algum problema parecido?
E possível resolvê_lo por partes?
Quais são as operações matemáticas
aoequadas para essa situação?
Todo.s os dados do problema estão
envolvtdos no seu plano?
3! e t.tp.r Colocar o pl.tnrt cnr prrática
Ao executar o plano, explique cadaum dos passos e tente responder:
O que eu obtenho com esse
passo?
Ao encontrar dificuldades,
volte ao princípio e reordene as
idéias.
Leia o enunciado novamente 
e
;;;;fi.;" se o que foi Perguntado é o
que foi resPondid' '
Ha utgrr* outro modo de 
resolver
esse Problema?
Veja alguns exemplos:
1 Pedro e Cássio têm, juntos,
48 anos. Qual é a idade de cada
um?
Eu sou Pedro.
Tenho o triplo do
idode de Cóssio.
69
le etapa Compreender o problema
) Quais os dados do problema?
A soma das idades é 48 anos.
A idade de Pedro é o triplo da de Cássio.
) 0queépedido?
A idade de Pedro e de Cássio.
Cássio Pedro
48 a nos
23 etapa Traçar um plano
Observando o esquema acima, verifica-se que a soma das duas idades é igual a 4 vezes a idade
do mais moco. Então, para saber a idade de Cássio, devemos dividir essa soma por 4. E para saber
a idade de Pedro, multiplicamos a idade de Cássio por 3.
33 etapa Colocar o plano em prática
448
08
0
t2
x3
- idade de Cásslo 36 -- idade de Pedro
43 etapa Comprovar os resultados
12 ----+
*36_-->
48 -F
Cássio tem 12 anos e Pedro 36 anos.
2 Mariana comprou uma lapiseira e 3 canetas de mesmo preÇo, gastando ao todo 60 reais.
A lapiseira custou 24 reais. Quanto custou cada caneta?
le etapa Compreender o problema
) Quais os dados do problema?
Mariana comprou 3 canetas de mesmo preco e 1 rapiseira de 24 reais.
Mariana gastou 60 reais.
) 0queépedido?
0 custo de cada caneta.
lapiseira + 24
canetas - + ?
2e etapa Traçar um plano E
calcular o preco das três canetas, que é a diferenca entre 60 e 24.Ã
calcular o preco de uma caneta, que é a terca parte dessa diferenca.
70
idade de Cássio
ídade de Pedro
soma das idades
60
t2
L
3-" etapa Colocar o plano em prática
60 -------- gasto total
- 24 , preÇo de 7 lapiseíra
36 
- 
preço de 3 canetas
preço de 1 caneta
4e etapa Comprovar os resultados
24+3x12:60
Cada caneta custou 12 reais.
3 A soma de dois números naturais é 235. A diferenÇa entre esses mesmos números é 47.
Determinar os dois números.
le etapa Compreender o problema
) Quais os dados do problema?
A soma de dois números é235.
A diferença entre eles é 47.
?
+?
? -? _ 47
235
) 0queépedido?
0s dois números.
número maior
número menor
235
-47
188
4e etapa Comprovaros resultados
l4L + 94:235
l4l - 94: 47
0s números são 94 e 141.
soma dos números
número menor número maior
94
+47
7l
, diferenca
21 etapa Tracar um plano
Pelo esquema, verifica-se que a soma dos
números menos a diferença dos números dá o dobro
do número menor. Logo, para obter o número menor,
divide-se por 2 o resultado dessa subtraçã0. Para
obter o número maior, soma-se o número menor com
a diferença.
3e etapa Colocar o plano em prática
741 --------- número maior
xqrclclo5
L Os vestibulandos de uma faculdade foram
distribuídos em 112 salas de 35lugares cada uma
e em uma classe incompleta com 18 candidatos.
Quantos candidatos havia para esse vestibular?
3 938 candidatos
2 (Saresp) De uma lata com 2 kg de goiabada
foram consumidos 250 g no primeiro dia, 2OO g
no segundo e 450 g no terceiro. A quantidade
que sobrou na lata foi:
a) 900 g c) 1 550 g Lembre-se que 1 quilogtama
- b) 1 100 g d) 1 650 g é igual al' 000 gramas'
3 No restaurante, eu e três amigos dividimos
a conta de 64 reais igualmente entre nós. Paguei
a minha parte e restou-me 11 reais. Qual a quan-
tia que eu tinha quando entrei no restaurante?
27 reats
4 (Saresp) Paulo consegue fazer umamédia de
3 exercícios de Matemática em 10 minutos. Hoje a
professora passou 6 exercícios como tarefa. Quan-
to tempo Paulo deve gastar parafazer atareÍa?
a) 5 minutos
b) 10 minutos
, c) 20 minutos
d) 40 minutos
5 Um livro tem 190 págtnas. Li 78 e
quero terminá-lo em 4 dias, lendo
o mesmo número de páginas
em cada dia. Quantas
páginas lerei por dia?
28 páginas
6 (Saresp) A tabela incompleta a seguir, deve-
ria mostrar o número de crianças vacinadas em
um dia num Posto de Saúde. Complete-a, saben-
do que 10 crianças receberam vacina contra sa-
Íampo; tomaram vacina Sabin 2 crianças a mais
que as vacinadas contra sarampo; o número de
crianças vacinadas contra gripe foi o dobro do
das crianças vacinadas contra sarampo; foi va-
cinada contra tuberculose metade do número de
crianças que tomaram vacina contra sarampo.
Vacinas
Número de
crianças
Sabin Sarampo Gripe Tuberculose
?
Se todas as crianças receberam uma única vaci-
na, o total de crianças vacinadas nesse dia foi:
a) 47 b) 46 c) 45 d) 37
72
7 Numa partida de basquete, Júnior fez o trí-
plo dos pontos de Manuel. Os dois juntos marca-
ram 52 pontos. Quantos pontos Júnior marcou?
39 pontos
€3 (Saresp) Tenho 1320 Íigr:ri-
nhas. Meu primo tem a metade
do que tenho. Minha irmã tem o
triplo das figurinhas do meu pri-
mo. Quantas figurinhas minha
irmã tem?
a) 1 900 b) 1 930 c) 1940
9 O dobro de um número natural diminuído
de 63 é igual a 187. Determine esse número. 125
LO Ao final de um dia de trabalho de três
garçons, um deles contou 24 reais de gorjeta, o
segundo 57 reais e o terceiro recebeu 39 reais.
Como eles sempre dividem a gorjeta por igual,
quantos reais cada um recebeu nesse dia? +0,".i.
L I- (Saresp) As bombas de combustível dos
postos de serviço têm um contador que vai acu-
mulando o total de litros vendidos. Veja os to-
tais acumulados por dia em cadabomba do Pos-
to do Pedro.
1e bomba 2e bomba
Litros 15 635 10 215
Se o Posto do Pedro vender todos os dias a mes-
ma quantidade, em quantos dias ele venderá
103 400 litros?
a) 6 dias
b) 5 dias
L2 Uma quitanda
recebeu uma
remessa de 25
caixas de
ovos. Cada
caixa
contém
10 dúzias
de ovos.
, c) 4 dias
d) 3 dias
Quantas cartelas, com 30 ovos cada rLma,
podem ser formadas com essa quantidade?
1 00 carte as
d) 1 980
ffiffi,ffi
13 A bilheteria de um cinema abre com L0
reais em caixa. Na primeira sessão foram vendi-
dos 64 ingressos a 5 reais cada um e 36 ingres-
sos a 3 reãis cada um. Depois disso, quanto ha-
verá em caixa? 438 Íeais
L4 Isabel foi a uma feira de animais e com-
prou todos os pintinhos que estavam no cercado'
Cada um custou 2reais.Isabel tinha 2 notas de
20 reais. Ela ficou com:
L€3 (Saresp) Fernanda, Rita, Paula e Marcos
gostam de jógar "O jogo da memória" e combi-
íururn que as fichas para as jogadas valem:
L6 pontos 32Pontos 64Pontos
As partidas foram registradas em uma tabela e
o resultado final foi:
Jogador
Fernanda 1, 1.
Rita 1 1
Paula L 0
Marcos 1 0
Assinale a alternativa que indica
pontos correta.
a) Fernanda-l92Pontos
b) Rita - 60 pontos
c) Paula - L04 pontos
* d) Marcos-272pontos
a contagem de
J
1
2
4
a) L4 reais
b) 24reaís
c) 34 reais
d) 40 reais
as Pessoas têm, juntas, 70 anos. Sub-
e L0 anos da idade da mais velha e
acrescentando-se os mesmos 10 anos à idade da
mais jovem, as idades ficam iguais. Qual é a ida-
de de cada pessoa? 45 anos e 25 anos
LG Um escoteiro, perdido na floresta, escuta
os rojões da ca,6se-
gundos apó istância
entfe O eSCO 040 metros
O som percorre o ar na
oelocidade de 340 metros
por segundo
resp) Paulo deseja distribuir 60 bolas
de maneira que todos os favorecidos
a mesma quantidade/ sem sobrar ne-
nhumabolinha. Para qual dos gruPos abaixo ele
poderá fazer corretamente a distribuição?
a) Seus 6 primos. c) Seus 8 vizinhos.
b) Seus 7 sobrinhos. d) Seus L1 colegas'
A,
A alimentação
do Otávio
Otávio é um sapo. Ele
come vinte moscas Por dia'
Quando Otávio se disfarça, ele consegue
jejua. Em uma semana, quantas moscas Otávio
come? +zo
Fonte'. Pobremas - enigmas matemâticos,
de Patrícia Gwinner, Editora Vozes.
73
-2-----'\
O jogo de batalha navat
Chegou a hora de você jogar "batarha naval"r Convide de dois a quatro
colegas e use uma malha como esta a seguir, feita em papel quadriculaào,
para cada jogador ou dupla.
BATALHA NAVAL
Embarcações
COURAÇADO CRUZADORES DE SUBMARINOS
trtr
trtr
HIDROAVIOES
A B CID E F GlHlr
Pares ordenados
Os pares ordenados, que funcionam como se fossem
endereços dos quadrinhos da malha, são as coordenadas
desses "pontos".
figura temos as coordenadas do destroyer (H,7)
e (H, 2) e do hidroavião (E, 3), (F,4) e (E, 5).
A B C D E F G H I K L M N o A B C D E F G H I K L M N o
1
15
A B C D E F G H I K L M N o A B C D E F G H I K L M N o
[r-[T-t-] r-[T-n
Regras
Cada jogador ou dupla deve marcar, no quadro d_o lado esquerdo da malha, os cinco tipos de
embarcações, nas quantidades indicadas ãcima. Uma embaicação não deve encostar em outra.
Cada jogador, na sua vez, tem direito a três tiros. O tiro é dado pela indicação de uma letra e deum número, por exemplo, (D,5) ou (M, 13).
para afundá-la. A cada
rem o alvo também são
No quadro à direita da malha, o jogador marca os tiros dados nas embarcações do adversário.
Canha quem afundar primeiro todas as embarcações do inimigo.
74
lnlol^oç,^o
I I
I I
I
/toto ácotu V"u
P : (2,4)
Q: (4,2)
B : (3,0)
Veja a malha de batalha naval com uma só arma de cada tipo.
Dê as coordenadas de cada arma.
couraçado: (M, 2), (M, 3), (M, 4), (M, 5) e (M, 6)
cruzador: (D, 1 2), (E, 12],, \F, 12) e (G, 1 2)
hidroaviáo: (F, 5), (E, 6), e (G, 6)
Plano cartesiano
para localizar as embarcações na "batalha naval", utilizamos as coordenadas letra (horizontal)
e número (vertical), nessa ordem.
Da mesma maneira, identificamos os pontos de um plano por meio de pares de númetos, o
primeiro - chamado abscissa - 
marcado num eixo horizontal e o segundo - chamado ordenada -
num eixo vertical.
O plano no qual se estabelece um sistema de coordenadas como esse é chamado plano cartesiano,
em hornenagem ao seu criador, René de Descartes (1596-1650). O nome Descartes, em latim, era
Cartesius, daí o nome cartesiano.
Observe o plano cartesiano em que identificamos alguns Pontos com os respectivos pares
ordenados.
eixo das ordenadas
submarino: (N, 10)
destroyer'. (K, 1 3) e (1, 1 3)
5
4
3
2
1
t
eixo das abscissas
O ponto O : (0, 0), encontro dos eixos, é a origem do plano cartesiano'
A B C D E F G H I K L M N 3 A B C D E F G H I K L M N o
A B C D E F G H I K L M N o A B C D E F G H I K L M N o
75
T
++
++
+
T
/t"to dco^n W"u
1. (Saresp) Imagine um jogo em que o participante tenha que adivinhar a localização de algumas
peças desenhadas num tabuleiro que está nas mãos do óutro jogador. Veja um á"rr", tabuleiros
com uma peça desenhada.
A seqüência de comandosque acerta as
quatro partes da peça desenhada é:
a) D4,83,F4,84
b) D4,E4,F4,85
c) D4,83,F3,E4
.d) D4, E3, F4, E5
2' (Saresp) No guia da cidade podemos encontrar parte de um mapa de ruas e praças como este:
Na posição eE desse
mapa está a
a) Praça do Sol
b) Praça daPaz
c) Praça do Vento
d) Praça da Lua
3. Dê as coordenadas (x, y) dos pontos B, R, A, S,I e L.
B=(0,7)
R:(1,5)
A = 12,2)
s=(3,0)
t:(s, 1)
L:(7,0)
4. Em um papel quadriculado, trace os eixos das abscissas e das ordenadas e, a seguir, localize os
pontos P : (:6, 4),L : (5, 4), A : (4, 4),N : (3, 3) e O : (0, 0).
A B C D E F G H
1
2
J
4
5
6
76
NO
b
5
4
3
2
1
11 Potenciaçao da niunaro5 natwrait
Considere as seguintes situações:
13 Fiz um esquema da minha sala de aula. Como posso representar, matematicamente, o número
de carteiras dessa sala?
Em Matemática, existe uma forma abreviada para a expressão acima: 52.
Então: 5x5:52
21 0 prédio onde Jacira mora tem 4
andares. Em cada andar há 4 apartamentos.
Para cada apartamento há 4 vagas na
garagem. Como posso representar o número
de vagas na garagem desse prédio?
A representação do nÚmero de vagas
pode ser assim:
!x4"x4
3 fatores
Ou, na forma abreviada: 43
Então:4x4x4:43
São 5 I nhas e 5 co unas de carte ras. Para representar o número de carte ras é so fazer:
5x5
2 fatores
Os números representados por 52 e 43 são chamadas potências.
II
rl
:I
í*ú
t8Éfr
n s ts t-l-l
trJ J-L I
Et*u
m"l m
Iri4 rszTl
Voltando à primeira situacão, agora quero saber o número de carteiras que há na sala de aula,
Aí é só calcular:
52:5x5:25
2 fatores
) 0 número 5, que se repete como Íator, é chamado base.
) 0 nÚmero 2, que indica quantas vezes a base se repete como fator, é chamado expoente.
) 0 número 25 é o resultado da operacã0.
,expoente
': 5,_à3:
2 fatores
resultado
E quantas são as vagas na garagem no prédio onde Jacira mora?
43 :4 x 4 x 4:64
3 fatores
) 0 número 4, que se repete como fator, é chamado base.
) 0 número 3, que indica quantas vezes a base se repete como fator, é chamado expoente.
) 0 número 64 é o resultado da operacã0.
,expoente3:4x4x4:
3 fatores
resultado
5
-J
25
t_
4
_l
64
1_
Dados dois números naturais a e n (com n > 1), a expressão an representa um produto
de n fatores iguais ao número a, ou seja:
ân:âXaX axax..,xa
n fatores
78
da- wt^ ní.ttnqro
0bserve como representamos geometricamente um número elevado ao quadrado, isto é,
quando n: 2'.
rI
1
12:lX1:1
!2 
-_- 
lemos: um elevado ao quadrado ou o quadrado de um
22:2x2:4
22 --------- lemos; dois elevado ao quadrado ou o quadrado de dois
0
2
[t-l 3z 3:e
'illl 3z lemos; três elevado ao quadrado ou o quadradode três
3
elevado ao quadrado ou o quadrado de quatro
4
utho d'e aA^ nithero
Observe como representamos geometricamente um número elevado ao cubo, isto é, quando n 
: 3:
13:1x1x1:1
13 -------- lemos: um elevado ao cubo ou o cubo de um
23:2x2x2:8
23 --------- lemos: dois elevado ao cubo ou o cubo de doís
33:3x3x3:27
33 --------- lemos: três elevado ao cubo ou o cubo de três
43 :4 x 4 x 4:64
43 ------- lemos: quatro elevado ao cubo ou o cubo de quatro
79
Quando r ) 3, não temos como representar geometricamente a potência an, A leitura fica:
2a 
-- 
dois elevado à quarta potência ou a quarta potênciade dois
105 
- 
dez elevado à quinta potência ou a quinta potência de dez
e assim por diante.
) Todo número natural elevado a 1 é igual a ele mesmo.
11 : 1 21 :2 31 :3 41 :4
40:l
) Todo número natural, diferente de zero, elevado azero é igual a 1.
Potânci c\5 de to
20:l10 : 1
0bserve:
101: 10
lO2 :10 x 10 : 100
30:1
103: 10 x 10 x 10:
104:10x10x10x
1 000
10 : 10 000
Toda potência de 10 é igual ao número formado pelo algarismo 1 seguido de tantos zeros
quantas forem as unidades do expoente.
As potências de base 10 são úteis para escrever ou efetuar cálculos com números muito grandes.
Assim, o raio daTerra, que é de aproximadamente 6 400 000 m, pode ser indicado por 64 iO6 ,.
L A expressão "um produto de quatro núme-
ros iguais a cinco" pode ser escrita de duas ma-
neiras diferentes. Quais são essas maneiras?
5x5x5x5ou5a
2 Usando algarismos, represente de duas ma-
neiras diferentes o número de môedas abaixo.4x4ou42oo 
o 4 Calcule:a) 25 zz c) 37 zrct e) 1so, g) 132 rog
b) 73 s+z d) 110 , fl 01oo o n) ,9uooo 
ooo
Usando os símbolos ) ou <, compare as po-
cias:
3 A expressão a seguir pode ser escrita de ou-
tra maneira, usando apenas os números20 e9.
Qual é essa maneira? 2oe
@
@
@
o
o
o
80
6 Uma das provas da gincana da escola foi des-
cobrir o valor dos números naturais escritos nas
fichas. Será que alguma resposta está errada?
Náo, todas estáo corretas.
d)
c) '1A néri^.o
I potencio
',' ,1"- 2-
7 Represente geometricamente:
a) 5' b) 8' c) 1o2 d) 112
€l Escreva em forma de potência:
a) t'
b) u'
lcada E
representa 1)
r'{
O.
\, v
representa 1)
8l
a)
9 Se você elevar o número 6 a um expoente r,
encontrará 216. Qual é o valor do expoenten? 3
LO Você sabe que o valor de uma potência de
10 é 100 000. Qual é o expoente dessa potência? s
L I- Você pode afirmar que as expressões a se-
guir representam a mesma quantidade? si,
132
L2 Escreva, utTlízando potências de
números das frases a seguir:
dez, os
l0',3 x 'l 0', 3/ t 10:
L 3 Escreva por extenso os seguintes números:
a) 4 X 107 quarenta r lhóes c) 106 um rni hão
b) 9 x 105 nouecento, ,. ! d) 2 x 103 do,. ,,i
Sabe-se que a velocidade dahtz no vácuo
3 x 10E metros por segundo e que 1000
metros equivale a 1 quilômetro. Quantos quilô-
metros a luz percorre em um segundo?
3 .:< 'lOE metros : 3OO 0OO OOO nretros : 300 000 qu lÔnretros
â guinlo
potêncio
de í.
\22 + 52
A distância da Terra à Lua é de,
aproximadamente, 400 000 km.
tg
E
EIL
EIE
4x105km
c)
Na Floresta Amazônica já foram
registradas 2 500 espécies de
árvores.
25 x 10,
O coração humano dá 100 mil
batidas por dia, 3 milhÕes por
mês e 37 milhões por ano.
Uma pessoa tem de 120 mil a
150 mil fios de cabelo.
12x104.15x104
exata da wfr^ nínnero natwral,,
Pela potenciacão, o 5 é o número que elevado ao quadrado dá
25$2:5x5:25).
Ao dar essa resposta, efetuamos a operacão denominada
radiciaçã0.
No caso particular do exemplo, efetuamos a extracão da raiz
quadrada, indicada por:
J25:5 lê-se: raiz quadrada de vinte e cinco é igual a cinco
Observe que as sentenças J25 :5 e 52 : 25 são equivalentes, isto é:
",[2b:5e52:25
O símbolo da
raiz quadrada
é^f
Quol é o número noturol que elevodo oo guodrodo dá?5?
Para determinar a raiz quadrada de um número natural, basta achar um segundo
número natural que elevado ao quadrado seja igual ao número dado.
Exemplos:
1 HE : 3, pois 32 :9 2 xT44 : 12, pois 122 : 144
0bservacões
i Nem todo número natural é quadrado de outro. 0 número 7, por exemplo, não é quadrado de
nenhum número natural.
D 0s números naturais que são quadrados de outros denominam-se números quadrados perfeitos, e
somente eles possuem raiz quadrada exata. São números quadrados perfeitos, por exemplo:
91625 36 49 64 81 100...
) A medida do lado do quadrado representa a raiz quadrada da área do quadrado.
Exemplos: 6
.,116:4 +medidadotado
i
'----> área do quadrado
Araiz quadrada de 16 equivale à medida
do lado desse quadrado, no caso, 4.
^,86 : 6 medida do lado
área do quadrado
Araiz quadrada de 36 equivale à medida
do lado desse quadrado, no caso, 6.
6
82
xarctcloS
2 Calcule:
ú^lT 2
D -l4e l
d "l6a 8
L Umnúmero elevado ao quadrado resulta 81.
a) Qual é esse número? e
b) O que esse número representa em relação a
87? a raiz quadrada
3 Identifique os números que são chamados
de quadrados perfeitos. e ro 36,4e e G4
291,6»303641,495064
t9
Qual é a medida, em metros, do lado desse qua-
drado? r3
,6['2-too
Contém raiz quadrada, potenciação,
divisão e subtracão.
Observe as expressões numéricas:
33+1-52
Contém potenciação,
adicão e subtração.
2a:4+32x10
C ontem poten ci a ç ão, divis ão,
multiplicação e adição.
Para calcular o valor de uma expressão numérica em que aparecem raizquadrada,potenciação,
divisã0, multiplicaçã0, adição e subtraÇão, efetuamos essas operaÇões na seguinte ordem:
) As potenciações e as raízes quadradas, obedecendo à ordem em que aparecem (da esquerdapara
a direita).
) Depois, as divisões e as multiplicacões, na ordem em que aparecem (da esquerda para a direita).
) Finalmente, as adições e as subtraÇões, na ordem em que aparecem (da esquerdapara a direita).
Como exemplos, vamos determinar o valor das expressões numéricas.
a) 33 + I - 52 : 27 + I - 25 : 28 - 25 : 3
b)20, 4 + 32x 10 : 76 : 4+ 9 x 10 : 4 + 90 :94
c) J6a : 2 - loo :8 : 2- 1 - 4 - L :3
(25+42-2')x3:
:(32+16-B) x3:
:(48-B) x3--
:40 x 3: 120
25+(42-2s)x3:
:32+(16-8) x3:
:32+8x3:
:32 + 24: 56
Com umo lato de tínto,
pinto um guodrodo de
169 metros guodrodos.
Considere as expressões a seguir e o valor de cada uma:
25 + 42 -23 x3:
:32+16-8x3:
:32+16-24:
:48 - 24:24
Pelos resultados obtidos, você pode notar como é importante a colocacão ou não de parênteses.
83
4
11
12
15
xarctclos
L Dados os números, compare-os
sinais : ou t. : -,.
Um número natural é expresso por
- 33 x 3. Qual é esse número natural? o
5 Encontre a soma dos quadrados dos núme-
ros 10 e 5. O valor obtido é cubo de qual número?
l0 5 .. 100 2a - "2a. a
Dada a expressão numérica
' + l) : (54 - 7') - 3', determine o seu valor.z
Determine araiz quadrada do valor de
+ 2x22. -
usando os
2 Determine o valor das expressões:
ü72-40+18:32-1oo ro
b) (6'- 5') x 33 - to2 1sl
c) 62: (23+1)x(32-5) 16
3 Determine a soma do quadrado de 31com o
dobro de 31. , a23
7Q"ro u \!;.1^ \/""a
1. Utilizando a calculadora, resolva:
2. Utilizando a calculador::*:.:bll qrral é a maior potência que você consegue obter e que tenha:
rêcDostds oà.à colcu adoras r on -a, 1o oê 8 d O,rôsa) base 2 2'" - 67 108864 õ) base 4 q',:67 108864 e) base g ar: t6ttt zta
b) base 3 s'': 43046721 d) base5 5": 48828125 f) base 9 gu: +zoqatzt
3. Você sabe o que é capicua? Para ajudá-lo a descobrir, faça o que se pede nos itens a seguir.
a) verifique, com a sua calculadora, que \72,113 e 114 são capicuas. -i21 , 1. 33i e 1L a4-l
b) Você pode concluir que 11", sendo n um número natural qualquer, representa uma capicua?
c) Você descobriu o que é capicua? Nãc 11' , 1ô1 05r f;'c e 'apcLã
E um grupo de alqarismojque, lido dla e a a direita ou de direita para a esquerda, representa o mesmo
Calculando potência com a calculadora
É sirnples calcular potências usando a calculadoral
Para calcular 3a é só teclar:
3x3x3x3:81
Um outro jeito de calcular 3a é:
1vJ 
A operação "multiplicar" por 3 é fixada teclando-se
3 x.
ü56
15 625
b) 6u
7 716
, A partir daí,basta acionar por mais 3 vezes a tecla : para
obter o valor de 34.
ô97
4 t82 969
d) 7n
40 353 607
e) 2'0
1 024
Í) 2'o
1 048 576
84
a:2:20 x72 b:2x20 :72
6r tl I
cEl 1l S,
"X, 2,
o .'
{
+
x
fr*ando 
o qva-aYtrendeu
L Numa empresa, a distribuição dos salários é
representada pela tabela a seguir. Qual é o valor
da folha de pagamento dessa emPresa, em reais?
30 000 reats
Distribuição dos salários
Número de Salário de cada
funcionários um em reais
12 450
750
1.200
2 Urnatorneira goteja 7 vezes a cada 20 segun-
dos. Quantas vezes essa torneira goteja em:
a) L hora? 1 260 vezes
b) 2 horas? 2 520 vezes
c) meia hora? 630 vezes
d) t hora e meia? 1 8eo vezes
(6 (Vunesp-SP) Um determinado medicamen-
to deve ser ministrado a um doente três vezes
por dia, em doses de 5 mililitros cada vez, du-
rante 10 dias. Se cada frasco contém 100 milili-
tros do medicamento, quantos frascos são ne-
CeSSáfiOS? 2 f rasccs
7 CalcuJe o quadrado do número 6 e o cubo
do número 4. Com a soma dos dois resultados,
você encontra um número natural. Qual é a raiz
quadrada desse número? ro
€3 Qual a potência que cada figura representa?
Calcule o seu valor.
(cada E representa 1)
(cada Ú r"or"renta 1)
9 Uma concessionária de carros está promo-
vendo uma camPanha publicitária. resposta e.n alrer
GRANDE VENDA DE CARROS!!!
uoo"o SXTWA, Modero GLH 1.8, Moaeto 7,6 MFPD'
ano í997 ano 1994 ano 1996
20
8
a)
7 h: 60 min
Tmin:60s
b)
3 Ao dividir um número por 15, obtém-se o
quociente 13 e o resto 9. Qual é o resto da divi-
são desse número por 1L? 6
Qual é o valor da expressão
+ 42 + 4) : 7 + 2x(3 + 32 + 3r)? eo
5 Se você colocar 64 bandeirinhas em fileiras,
de modo que na primeira fileira haja uma ban-
deirinha, na segunda duas a mais do que na pri-
meira e assim sucessivamente, quantas fileiras
você vai obter? 8 'rer'ês
àvisroRg 9500, àvr*oRg 9000, ôuisroRg 10500,
99, de entrodo 99, de entrodo
+ t6 x 449, Íixos + s6 x 489, Íixos
Faça uma tabela como esta e preencha-a com o
preço de cada carro à vista e o Preço a PÍazo.
Depois, diga qual é a diferença entre os totais
dessas duas formas de pagamento.
Preço Dlferença de Preço
a prazo entre as 2 Íormas
99, de entrodo
+ 36 x 429, Íixos
Tipo Preço
de carro à vista
85
33,27
DivtEi biti dadq:
A eecola de ãerrinha aproveita ao
fêriao prepamndo-ee paa receber
seus alunos.O número de
estuàanf,es aufienta a caàa ano,
E àona Raquel, a diretora,Elisa ê a secretâria da eecola,
Bom dia,
àona Raquel,
Elisa estâ organizando ae claaeee do 59 ano.5ào 175 alunoe matriculaàoe e ae
claeeea devem ter 25 alunoe, no mínimo, e 35 alunoe, no mâximo, de moào que toàae
aa claesee fiquem com o meeffto número de alunoe,
Log
Elioa eotâ com algumaa dúvidao.
Quanloe serào oe alunoa
por classe?
De quantae maneirae
eu ?ooeo formar
eoeae claeeeg?
Quantas claeeee
eerào formaàae?
de algune câlaulos,Elisa chegou ao resultaào,
...5 claeeeâ aom
35 alunoe1erào 7 claeses com
25 alunoa ou... 7râ
jy-
\9,
Mas, aí, àona Raquel veio com a
noviàaàe, Maie 5 crianças ee
matricularam no 59 ano,
t otalizanào 1OO alunoe.
Yocê é ca?az de ajudar Eliea?
I ZNoçao dadiviEibiti d,ad,a-
Considere a divisão:
Dizemos que 40 é divisível por 5 ou que 5 é divisor de 40.
E nesta divisão:
Dizemos que 41 não é divisrvel por 5 ou que 5 não é divisor de 41.
Acompanhe alguns exemplos nos quais aplicamos a nocão de divisibilidade.
I Um professor de Educaqão Física convocou
80 alunos para uma demonstraqão de
ginástica. Ele pretende distribuir esses
alunos em grupos que tenham, no
mínimo, 6 e, no máximo, 10
alunos, sem que sobre aluno
fora do grupo. Quais são as
maneiras possiveis de formar
esses grupos?
Para resolver esse problema, dividimos B0 por 6, por 7, por 8, por 9 e por 10, e consideramos
apenas as divisões exatas:
o o resto é 7, a divtsão não é exata
m
10
3
808
00 10
exata
m
08
980i0
8008
exata
Como 80 é divisívelpor 8 e por 10, o professor pode formar 10 grupos de 8 alunos ou 8 grupos
de 10 alunos.
2 Sabe-se que o maior número divisÍvel por 11 e menor que 500 é dado por 500 - r, em que r
representa o resto da divisão de 500 por 11. Nessas condicões, qual o maior número, menor que
500, que é divisÍvel por 11?
Primeiro é necessário determinar o resto da divisão de 500 por 11:
Comoorestoé5,fazemos: 500 - r:500 - 5:495
0 maior número divisível por 11 e menor que 500 é 4gS.
IJma lesma está no fundo de um Poço que mede l'5 metros de
profundidade. No final de quantos dias ela consegue sair de dentro do poço, se
toda noite ela sobe 4 metros e toda manhã ela desce 3 metros? t z oiu.
L Verifique se:
a) 109 é divisível por 3 náo
b) 119 é divisível por 9 náo
c) 202 é divisível Por L1 náo
d) 310 é divisível por 5 sim
2 Você pode afirmar que todos os números
naturais são divisíveis por 1? sim
3 A afirmação a seguir é verdadeira ou falsa?
verdadeira
Todo número natural, diferente
de zero, é sempre divisível
por 1 e por ele mesmo.
4 Quais dos seguintes números são divisíveis
por 9? 25, 5i .;r^ 8 e 9-o
37 45 54 62 72
5 Verifique se o número 900 é divisível por:
Aresposta de Gláucia está certa ou errada? "",t"
7 Qualé a idade de Sílvio? +z anos
99938179
a) 15 sim
b) 20 sim
c) 25 sim
d) 30 sm
e) 40 náo
f) 60 sim
16 Observe a cena:
Gláucia, hó olgum \
lero noturol divisível
por todos os outros
números noturois?
A rhinho idade é um número
noturol entre 40 e50, e é
divisível por 6 eporTao
mesmo tempo.
89
€B O número 518 é divisível por Z7 . eual é o
p_róximo número natural divisível por 37?
€) Qual é o menor número natural que se deve
subtrair de779 para se obter um número divisí-
velpor23? o
1(O Qual é o menor número natural que se
deve adicionar a706 para se obter um número
divisível por 13? e
L 1 O campeonato nacional de futebol será
disputado por 60 equipes. A entidade organi-
zadora pretende formar grupos que tenhãm o
mesmo número de equipes com, no mínimo,
10 e, no máximo, 15 equipes em cada grupo.
Quais são as maneiras possíveis de formar es-
ses grupos?
o resto com a calculadora
ora, as divisões do início deste capítulo:
No caso da divisão exata, o quociente 8 aparece no visor.
E na outra divisão, apaÍece o número 8 ou um número com vírgula ou ponto, próximo de 8?
Aparece o resto da divisão no visor?
Da reiação fundamental da divisão:
dividendo : divisor X quociente * resto
concluímos que:
resto : dividendo - divisor X quociente
Então, na divisão 41 I 5 temos: resto : 41 - S X 8
1[8
Usando a calculadora:
para obter o quociente
O número 8, que é o quociente natural, aparece no visor à esquerda do ponto, e o resto 1 não
aParece.
para obter o resto
8M M+ MR
47
8.2
I r-i
f§rora t/""a
1. Obtenha o resto das divisões:
a)42:5 b)43:5 c)44:5
90
d)45:5 e)46:5
5:
2. lJtílízeacalculadoraparaverificarquaisdosnúmerossãodivisíveispor2,3,4,5,6,9e70.
a) 5 000 c) 6782 e) 56373 g) 336569 1) 567 247
b\ 6s36 d) 375 Í) 97297 h) 237 348 j) 753894
oÁi 2.2000.6936.6i82.237 3 e 753 894 por4:5000, 6936e231 348 por6: ô 936, 237 348e753894
por3:6936,56373.237348e753894 por5:5000e88375 por9.237348e753894
3. Complete o quadro no caderno com números naturais: por 10: 5 000
Dividendo
518
259
1 036
Divisor
t6
8
32
Quociente
?'r)
)..
)c,
Resto
?
?
?
4. Observando a tabela, responda:
a) Os números 259 e 8 são as metades, respectivamente, de 518 e de 16. O quociente e o resto de
259 : 8 são, respectivamente, as metades do quociente e do resto de 518 : 16? 
?"tH"l:J:" 
é isual, o resto
b) Os números 1 036 e 32sáo os dobros, respectivamente, de 518 e de 16. O quociente e o resto de
1 036 : 32 são, respectivamente, os dobros do quociente e do resto de 578 | 6?9 tln,"J" é isual' o resto
l3Cri tírios de-divigi hiLiaade
Vamos verificar se o número 69 534 e divisÍvel por 9.
& sg+
65
23
54
0
0 número 69 534 é divisÍvel por 9.
Será que o número 106 517 é divisívelpor 4?
íio srz
26
25
11
37
1 0 número 106 517 não é divisível por 4.
Verificar a divisibilidade de um número natural por outro número natural, pela divisã0, é trabalho-
so e demorado. Mas, para alguns números, existem regras práticas que permitem verificar, rapida-
mente e sem efetuar a divisã0, se um número natural é ou não é divisível por outro número natural.
Essas regras são denominadas critérios de divisibilidade.
Conheça alguns desses critérios a seguir.
91
Um número será divisível por 2 quando terminar em
0, 2, 4,6 ou 8, isto é, quando for par.
Exemplos:
I 7 206é divisível por2, poistermina em 6. 2 5 483 não é divisível por 2.
0 número 62 124 e divisível por 3?
Fazendo a divisão:
62 124
021
024
0
ls
I ZO ZOA ----+ E divisívetpor 3.
Nesse guodro, os
números divisíveis
por 2 sõo:
10, 12, 14, 16 , 18.
92
10
11
t2
13
14
15
16
L7
18
19
Quociente
2
2
2
2
2
2
Z
2
2
2
Vamos, agora, conhecer uma outra forma de verificar se 62 124 é divisÍvel por 3:
Primeiro adicionamos osvalores absolutos dos algarismos do número 62124 e, a seguir, divi-
dimos essa soma por 3.
6+2+1+2+4:15
G
0
Observe que o resto das duas drvisões é igual.
Como esse fato se repete sempre que a divisão de um número natural por 3 for exata, podemos
escrever:
Um número será divisÍvel por 3 quando a soma dos valores absolutos
dos seus algarismos for um número divisível por 3.
Exemplos:
I 7 092é divisível por3, poisT + 0 + 9 +2:18e 18édivisível por3.
2 6413nãoédivisÍvel por3,pois6 + 4+ 1+ 3:14e 14nãoédivisÍvel por3.
DiviEihil,idade
Considere o número natural 3 624.
Esse número é divisÍvel por 2, pois termina em 4. E também é divisÍvel por 3, pois
3 + 6 + 2 + 4 : 15 e 15 é divisÍvel por3,
Observe, agora, a divisão:
?az+
024
0
--------> A divisão é exata: o número 3 624 é divísível por 6.
Como esse fato sempre se repete (e você pode verificar isso), dizemos que:
Um número será drvisível por 6 quando for
divisível por 2 e por 3, ao mesmo tempo.
Exemplos:
I 0 número I 632 é divisÍvel por 6, pois é divisÍvel por 2 e por 3.
2 4 430 não é divisível por 6, pois, embora seja divisÍvel por 2, não é divisÍvel por 3.
Diviriht(,idade
Observe as divisões , em cada cartão:
Os restos dessas divisões são iguais a zero.
3 828
22
28
n
Oo
20
0
1 300
10
20
0
4
' 32s
'il zoo
37
10
20
0
Todos os números terminam em 00 e são divisíveis por 4.
I 728
l2
08
U
l+
a4n
À
0
Como esse fato se repete sempre que a divisão de um número natural por 4 for exata, podemos
escrever:
um número natural será divisível por 4 quando terminar em 00 ou quando o
número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.
Exemplos:
500 é divisivel por 4 (termina em 00).
1 380 é divisível por 4 (80 é divisível por 4).
4 526 não é divisvel por 4 (26 não é divisível por 4).
1
2
3
5 t32
11
33
12
0
32
0
t 532
33
t2
0
0s restos dessas divisões são iguais a zero.
l+
lzs
I
I
957
4
8
Divi5ihi[id
Observe as divisões, em cada cartão:
8
r 625
1 000
20
40
0
115 000
35
30
60
40
0
Todos os números terminam em 000 e são divisÍveis por 8.
13 000
50
20
40
0
3 ttz
7t
72
0
27 840
38
64
00
8
389
B
3 480
tt2
32
0
840
040
0
34 840
2B
44
40
0
0s restos das divisões são iguais a zero.
1
2
3
Um número natural será divisível por 8 quando terminar em 000 ou quando
o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisÍvel por 8.
Exemplos:
3 000 é divisÍvel por 8 (termina em 000).
7 520 é divisÍvel por 8 (520 e divisível por 8).
34 118 não é divisÍvel por 8 (118 não é divisÍvel por 8).
DivisihiLida
0 número 28314 é divisÍvel por 9? Às1q
13
4t
54
0
95
8
4 355
Determinando a divisibilidade de outra forma, adicionamos os valores absolutos dos algarismos
do número 28314 e, a seguir, efetuamos a divisão dessa soma por9.
2+8+3+7+4:78
í8 lg
o a,
1
2
Um número natural será divisível por 9 quando a soma dos
valores absolutos de seus algarismos for um número divisível por 9.
Exemplos:
6 408 é divisível por 9, pois 6 + 4 + 0 + 8 : 18 e 18 é divisÍvel por 9.
27 319 não é divisível por 9, pois 2 + 7 + 3 + 1 + 9 : 22e22não é divisível por 9.
I
2
3
Divisihil,idade
Observando os números naturais divisíveis por 5: 0,5, 10, 15,20,25,30, ,.. dizemos que:
Um número natural será divisÍvel por 5 quando terminar em 0 ou 5.
Exemplos:
42 020 é divisÍvel por 5, pois termina em 0.
6 045 é divisÍvel por 5, pois termina em 5.
21 237 não é divisível por 5.
Divisihi(,idadq
0bservando os números naturais divisiveis por 10: 0, 10, 20,30,40, 50, ... dizemos que:
Um número natural será divisrvel por 10 quando terminar em 0.
Exemplos:
I 11 500 e divisÍvel por 10.
2 4 203 não é divisível por 10.
96
72.
xarctcl(]5
L Observe os números indicados nas fichas e
identifique quais são divisíveis por:
") 
2)',i:,13:01'o'o b) 3?123,i3ii:333? o 0i',23'^Z?,1
1,1.02 2202 6 003
7 728 40M
2 Existem seis números de três algarismos que
podem ser escritos com os algarismos 2,5 e 9,
sem repeti-Ios.
a) Escreva esses números. 25s, 2s5. 52s, 5s2,s25,s52
b) Quais deles são divisíveis por 2? 5e2 e e52
c) Quais deles são divisíveis pot 3? nenhum deres
3 Observe os números indicados nas fichas e
diga quais deles são divisíveis por:
a)5 b)8 c)9 d)10
3465,6120 5648,6120,8976 3465,6120 6120
3 465 5 648 6720
4 Observe a seqüência:
aotraotrao
1a 2a 3a 4a 5a 64 7a ga_
a) Desenhe as figuras da 9a, 1.0a, 11a e 12a posição.
b) Qual é a figura da 15a, 27a,24",30a, 334 e 364
posição?
5 Observe a seqüência:
U f n C U l n C U
1ê 24 3ê 4a 5a 6-a 74 8ê 94
a)Desenhe as figuras da 104, 124,134,154 e 164
posição. r, c, : ;r, i
b) Qual é a Íigtra da 4a,8a,20a,24a,284,404 e 604
posição? .
6 Observe o número e responda:
15 n 1
a) Se você colocar 0 no lugar de n, o número
será divisível por 9? ..'i)
b) Qual é o algarismo de menor valor absoluto
que você deve colocar no lugar de n para que
esse número fique divisível por 9? 3
Para Íacilitar o trabalho, monte um painel com os critérios de divisibilidade e coloque-o na sala de aula
7 Usando apenas os algarismos 3 e 0, escreva
oito números de quatro algarismos e entre eles
identifique: 3000, 3003, 3 030, 3 300, 3303, 3 330, 3 033, 3333
a) os que são divisíveis por 4 3 000 e 3 300
b) os que são divisíveis por 8 e ooo
€l Descubra o número que está entre 1, e20 e é
divisível por 2, por 3 e por 4. p
€) Escreva o menor número formado por três
algarismos que seja divisível por:
a) 2 1oo
b)3
c)6
10 O número 15 568 é divisível, ao mesmo
tempo, por 4 e por 8. Essa afirmação é verdadei-
ra ou falsa? verdadeira
I- I- Observe o número a seguir:
40302n
a) Colocando o 0 no lugar de n, o número será
divisível:
) por 3? sim ) por 4? sim ) por 8? nao
b) Qual o algarismo de menorvalor que se deve
colocar no lugar de n para que o número seja
divisível por 8? 4
L 2 Escreva o maior número formado por três
algarismos que seja divisível ao mesmo tempo
por 2,3 e 4. ee6
L3 Quais números faltam para completar o
quadro? Encontre-os usando uma calculadora.
Dividendo Divisor Quociente Resto
756 1.25 ?a ?e
?1e52 54 36 8
102
102
d) 4 1oo
e) 8 ro4
Í) 9 108
? ror 23
233 0
2332
?a
9
0
23
97
?r asg 34 54
Ya-
lratando
A EstaútÍca é a paÉe da Matemática que estuda a coleta de
ínformações, Ínvestriando os métodos uUlzados para a obtenção de
dados, sua organÍzação em tabelas e gráfrcos e a anáhse desses gráfrcos.
ÀíorÍr"n^o
Estudando médÍas
Quando pretendemos estudar um fenômeno estatístico, recorremos a certos valores que
representam, de forma precisa, como se dá a distribuição dos dados relativos a esse fenômeno. Um
desses valores é a média aritmética.
Acompanhe os exemplos a seguir.
1. As idades dos jogadores titulares de uma equipe de
basquete sáo:25 antos,27 anos,22 anos, 30 anos e 31 anos.
Qual é a idade média dos jogadores titulares dessa equipe?
Para resolver esse problema, devemos Íazer:
25+27+22+30+31 135
5
Então, a idade média dos jogadores titulares dessa equipe é
27 anos.
O número 27 é charnado média aritmética dos números 25,
27,22,30 e 31.
2. No final do ano, a professora de Educação Física de Ana quer comparar as alturas atuais de suas
alunas com as alturas que elas tinham no início do ano. A professora perdeu a ficha de Ana mas sabe
que a altura média do grupo, em centímetros, era 140 e que as outras alunas mediam '1,32, 1.42,736,
757,740,736 e734. Ana era a mais alta da turma?
Para descobrir essa altura, basta lembrar que a média aritmética é quociente da soma das alturas
pela quantidade de alunas.
Então: (alturadeAna * 32+742+736+ 151 + 140 +736+ 134) :8:140ou
(alturadeAna + 977) : 8 : 140
Lembrando que dividendo : divisor X quociente'
altura de Ana + 977 :8 x 140
altura de Ana + 977 : 7720
O número que falta para977 chegar em 1 120 é dado pela diferença (1 120 - 977), isto é, por 149.
A altura de Ana era de 749 cm. Logo, ela não era a mais alta da turma.
Assim, podemos escrever:
A média aritmética de n números representa
a soma de todos os números, dividida por n.
J
7
3a feira
23
41 feira
22
5a feira
27
6ê feira
22
sábado
25
/t"t'' ,Í ç-ç:nn V""u
1. Uma livraria vendeu a seguinte quantidade de livros de literatura durante uma certa semana.
2a feira
13
Qual foi a média diária de livros vendidos durante essa semana? z:
98
2. Preparamos um refresco com 8 copos de água mineral e 2 copos de groselha. Se o copo de âgua
mineral custa 8 centavos de real, e o copo de groselha custa 13 centavos de real, qual é o custo de
cada copo de refresco? I centavos
3. Karina comprou 3 canetas por 20 reais cada uma e 2 canetas por 15 reais cada uma. Quanto ela
pagou, em média, por caneta? 18 reais
4. Amédia anual mínima de aprovação na escola de Caio, dada pela média aritmética das notas
bimestrais, é 6. Caio já tem as notas 5, 8 e 8.
a) QuaI é a soma mínima de notas bimestrais para aprovaçáo? z+
b) Qual é a nota mínima que Caio necessita no 4q bimestre para ser aprovado? s
1+ DiviEor e5, [ator s a- 
^^iltipLw 
d,a-
ILAA trtlltttqfo
É tacit determinar os fatores de um número natural.
Por exemplo, calculando 9 x 20 : 180, encontramos 9 e 20 como fatores de 180.
Veja mais exemplos.
I Quais são os fatores do número 30?
0s fatores de 30 são 1, 2,3,5,6, 10, 15 e 30.
Em Matemática, "fatores e divisores" de um número têm o mesmo significado. Assim, podemos
determinar os divisores naturais de um número por meio de multiplicações.
2 Quais são os divisores naturais do número 24?
I x 24:24 2x12:24 3x8:24 4x6:24
Entã0, o conjunto dos divisores de 24 éD (24) : {1,2,3, 4,6,8,12,241
Observe que qualquer número natural, com exceÇão do 0, tem por divisores o número 1 e ele
próprio.
1 x 30:30 2x15:30 3 x 10:30 5x6:30
Qrrand o wt^ nínnero í míl, de- oulro
A palavra "múltiplo" está ligada à operacão de multiplicacão. Assim, quando queremos determi-
nar os múltiplos de um número natural, por exemplo, o 4, multiplicamos o 4 pela sucessão de núme-
ros naturais:
4x0:0
4xl:4
4x2:8
4x3:12
4x4:16
4x5:20
4x6:24
4x7:28
4xB:32
4x9:36...
0 conjunto dos múltiplos naturais de 4 é M (4) : {0, 4, 8, 12, 16,20,24, 28,32,36, 40, 44, ...1
Observe as divisões nos cartões:
Então, podemos dizer:
42 é divisivel por 7 ) 51 é divisÍvel por 3 ) 100 e divisÍvel por 5
Pela relacão fundamental da divisão, também podemos afirmar que:
) 42 é múltiplo de 7 ) 51 é múltiplo de 3 ) 100 e múltiplo de 5
Considerando as duas observacões, temos:
Um número natural a é múltiplo de um número natural b,
diferente de zero, quando a for divisível por b ou b for divisor de a.
Exemplos:
0 número 132 é múltiplo de 11, pois 132 é divisível por 11,
conforme você pode verificar na divisão.
0 número 163 não e múltiplo de 11, pois 163 não é divisÍvel
11, conforme você pode verificar na divisã0.
Ser múltiplo de é o mesmo que ser divisível por.
2
p0r
Gz
22
0
ía-E
53
7
100
7x6:42 3 x 17 :51 5 x 20: 100
100
00
51
2t
0
L Escreva o conjunto dos divisores naturais de:
a) 9 {r,3, e} c) 21, r,3,1,211
b) 13 (1,13) d) 32 r,2,4,a,16,32t
2 Dentre os elementos do conjunto
A : 12, 3, 5, 6, 8, 9, 7011, identifique os que são
divisores de:
3 Verifique se92 é múltiplo de:
u) 4 sim b) 6 nao c) 8 náo d) 23 sim
4 Verifique se o número 6 é um divisor de:
u) 26 não b) 48 sim d 72 sim d) 86 não
5 Quais são os divisores de 15 que também são
divisoresdeZ1? 1eb
6 Escreva os seis primeiros múltiplos de 15.
0, 1 5, 30, 45, 60, 75
7 Determine:
u)14 2
b) 18 2,3,6, e
,)25 5
a)
os divisores de L4
que não são
divisores de 35.
d) 45 3,s,e
e) 54 2,3,6,s
f) 70 2,5, 10
b)
os divisores de 35
que não são
divisores de 14.
c) os divisores de 14 que são,
também, divisores de 35. l
€l Qual é o maior múltiplo de 13, menor qu" U0.0J
€) Qual é o menor múltiplo de 13, maior que 500?
507
ao maior
idade de
Paulo? 3o anos
LO A idade de Paulo corresponde
divisor par de 60, sem ser 60. Qual é a
101
L I- Considere:
Á, conjunto
dos divisores
naturais de 18
i - r 2,3 b,9 rôl
C, conjunto
dos divisores
"'*lr 1:,i9, . ..,
Escreva esses conjuntos e responda:
a) Quais os divisores comuns de78 e27? r,3 e
b) Qual é o maior desses divisores? e
c) Quais os divisores cornuns de 18 e 36? t, z o, a
d) Qual é o maior desses divisores? T8
e) Quais os divisores comuns de 27 e 36? r, 3, e
0 QuaI é o maior desses divisores? e
L2 Sabe-se que 8 é divisor de72 ede 208. Mos-
a) da soma desses números o o
b) da diferença entre esses números
13 Quantos múltiplos comuns de 3 e 5 há de
0a30? :l
L4 Éfácil saber quando um ano é bissexto. É
só verificar se o número que representa o ano é
divisível por 4 ou, no caso dos anos terminados
em 00, se é divisível por 400.
a)Diga se foi ano bissexto:
§ o ano do descobrimento do Brasil (1500).
Não, pois 15 0.
§ oanoda Independência(1822).
Não, pois 22
b) A década de 90 (de7997 a 2000) teve quantos
anos bissextos? rrês (T 992, 199ô e 2000)
c) Qual é o primeiro ano bissexto do século XXI
(iniciado em 2001)? 2oo4
9, 18
Em um ano bissexto,
o mês de fevereiro
tem 29 dios.
ooo
L5 Na_Olimpíada de Matemática da escola em que estudo, um grupo Íaz perguntas ao grupo ad-
versário. Leia as perguntas e diga quais as respostai.
Qual é o número natural...
Jogos cruzados
1. Copie o esquema da cruzadinha no caderno e comprete-a com um colega.
Horizontais
1. Múltiplo de 2 e de 3, menor que 10.
3. Três centos mais dois.
4. Múltiplo de 11 e de 2, no qual o algarismo das dezenas é igual ao das
centenas e o primeiro algarismo é igual ao último.
Verticais 9' EIe é múltiplo de todos os números.
1. Primeiro multiplo de 5 maior qtrc 64.
5. O valor absoluto do algarismo das unidades é o
dobro do valor absoluto do algarismo das
centenas.
6. Primeiro multiplo de 5 maior que 400.
7. Múltiplo de 11 maior que 800 e menor que 900.
8. Considerando os múltiplos de 5, ele é o quinto
múltiplo.
Utilizando as regras de divisibilidade, veriÍique se
o número obtido em@horizontal é divisíveipor
2,3,4,5,6,8,9 e 10. ]ustifique sua resposta.
COLLUt'
... mÚltiPlo de 3, com 3
olgorismos iguais e
tombém múltiplo de 2,
menor gue 500.
?a
s) @
o ')
,.@ ?s a
@
?
rõ\,
?a
102
... menot múltiplo
de2queémaior
que ?OO. zoz
-_----l-
2)
?c
e)
?t
?z
2. Em grupo de dois a quako jogadores, divirta-se com o jogo do dominó. Primeiro é necessário
fur"í as p"ças. Para iÂso, comÉine com o grupo a divisão de trabalho, copie as 34 peças a seguir e
depois recorte-as.
Peças
corte
7 15 5 39 L3 12 24 50 1.0 lL
22 15 30 6 42 20 4 18 2 27
3 35 7 54 6 27 3 64 8 72
9 1,4 7 30 15 60 10 L6 1,6 35
5 48 L2 21 3 72 9 70 7 28
I I
4 49 7 81 9 56 8 32 2 25
5 36 6 3 1, 45 5 63
múltiplo
,/--T--\/,\
103
Regras
1ê As peças devem ser embaralhadas com os números voltados para baixo e distribuídas de
maneira que cada participante fique com 10 peças ou, no caso de quatro jogadores, com 5 peças.
As peças restantes serão reservadas para compra.
2e Decidam quem vai iniciar, jogando "ç)ar" ott "írnpar" . o primeiro jogador vira na mesa uma de
suas Peças. O segundo jogador deve colocar, encostado a uma das pontas da 1a peça, outra peça
que tenha um múltiplo ou um divisor do número dessa ponta da 1a peça. Exemplo:
15 Ninnqro5 prirt^o5
Observe o quadro a seguir.
Note que:
) 0 número 1 tem apenas um divisor: o próprio 1.
) Todo número natural diferente de zero é divisível por 1 e por ele mesmo.
) Há números que são divisíveis apenas por 1 e por eles mesmos: 2,3, s,1,1r,13, 17, lg.
5lsg
Quando um dos jogadores não tiver múltiplo ou divisor de uma das pontas da seqüência de
peças da mesa, terá que comPrar peÇas ou/ caso não haja peça para comprar, passar a vez.
Vence o jogo quem primeiro terminar as peças. No caso de não ser possível continuar o jogo,
vence aquele que tiver a menor soma de números.
7 15
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
(5 é divisor de 15)
Jr
4a
1,2,3, 4, ...
1
1,2
1,3
1,2, 4
1,5
1,2,3,6
1,7
I,2,4,8
1,3,9
l, 2, 5, l0
1, 11
1,2,3,4,6, 12
1, 13
1,2,7, 14
1, 3, 5, 15
1,2,4,9, 16
l, 17
1,2,3,6, g, ig
1, i9
10
11
t2
13
t4
15
16
t7
18
i9
fl
J
104
) Há números que, além do 1 e deles mesmos, possuem outros divisores: 4,6,8,9, 10, 12,14,15, 16, 18'
) 0 zero tem infinitos divtsores'
um número que possui apenas dois divisores naturais distintos
(o número 1 e ele mesmo) é denominado número primo'
Assim, os números 2,3,5,7,1!,13, 17, i9 são números primos e a sua sucessão é infinita,
ou seja, existem infinitos nÚmeros primos.
Os números naturais que possuem mais de dois divisores distintos são chamados números
compostos. Assim, 4,6,8,9, 10, 12,14,15, 16 e 18 são números compostos.
Convém destacar que o número 1 não é primo nem composto.
0 Crivo deLralíttqnet
Oçr*td, uma estsnte de papíros., o grego Erstóstenes (276-794 a.C.) tÍtoÍLtou q.
prímidra tÁbrn de nunwro s prittw s.
furuachar os primos até i 000, elimine o i. A seguir, elimine os múltiplos de 2 exceto
o 2, depois os de 3 exceto o 3, e assim por diante até 31. Quando tiver riscado os múltiplos de
31, pode parar, você achou todos.
O número 7 não é primo,
pois tem openos um
divisor noturol, que á
ele mesmo. Z 3
W
11 18
tr
#
3s
31 #
N
kg
b
hl
ni
1
105
ffi
11
rinnosl,
Como reconhacqr
otfirw nínneroE
Considerando que o 2 é o único número natural par
que é primo, e que os próximos primos da seqüência de
números naturais são facilmente memorizados (3, 5, 7, 11,
13, 17, 19 etc.), usaremos uma regra que permitirá dizer
se um número natural dado e ou não um número primo.
Veja:
) Dividimos o número dado pelos números primos meno-
res que ele, até obter um quociente menor ou igual ao
divisor.
) Se nenhuma das divisões for exata, o número é primo.
Exemplos:
1 Vamos verificar se o número 173 é primo.
Aplicando os critérios de divisibilidade, 1 73 não é divi-
sível por 2 nem por 3 nem por 5. Prosseguindo as divisões:
As
63
8
Os
43
4
4ô'1
77
5
401
2t
2
401
17r
10
17 quociente é menor
que o divisor
PrÍmos sem
Parentesco
Uma famílía de números
individualktas
Primus é uma palavra
latina que significa "primeiro
e único". Ela foi escolhida
para denominar o grupo dos
números inteiros divisíveis
apenas por si mesmos e pelo
1. Se é inteiro e não é primo,
trata-se de um composto, ou
seja, pode ser dividido por
outros números.
Tüdo isso, claro, você
aprendeu na escola. O que
você provavelmente não sabe
é que os números primos são
utilíssimos na produção de
códigos secretos para
computadores. Criam-se
fórmulas com o produto entre
dois primos gigantes,
gerando um monumental
número composto. O segredo
só será desvendado por
quem descobrir os dois
primos usados. Como são
números astronômicos, com
mais de 100 dígitos, a
operação é muito difícil. O
maior primo conhecido até
2002 era213466e17 _ 7.
Fonte: Superinteressante, olut. 7992 ,
artigo de João Luiz Guimarães.
quociente e igual ao divisor
0 número 173 é primo.
2 Vamos verificar se o número 401 é primo.
Aplicando os critérios de divisibilidade, 401 não é divisível
por 2 nem por 3 nem por 5. Prosseguindo as divisões:
4ô'r
51
2
401
61
10
O número 401 é primo.
106
t,
3 Vamos verificar se o número 493 é primo.
Aplicando os critérios de divisibilidade, 493 não é divisível por 2 nem por 3 nem por 5. Prosse-
guindo as divisões:
Gzlt
03170
493
53
9
493
153
00
Gs
103
t2
O número 493 não é primo, pois é divisÍvel por L7, além de ser divisível por 1 e por 493.
L Quais são os divisores de 49? 1 ,1, 4s
2 Pela definição, o número 49 é primo? nao
3 Observando o quadro, resPonda:
a) Quais os números naturais primos compre-
endidos entre 30 e 40? -t 37
b) Quais são os divisores primos de 39? 'r 'r3
c) Quais são os divisores primos de 30? 2,3, .'
d) Quantos divisores primos tem o número 31?
e) Quantos divisores primos tem o número 36?
4 Dados os números, verifique quais deles são
primos. /7 !r'r !r
47 51 69
5 Considere o número natural expresso por
26 - 1,. Esse número é primo? og nao é número primo
6 O número natural n é expresso Por 42 + 52.
O número n éprimo? 41 é número primo
7 Quais dos seguintes números são primos?
a) 131 E prrmo c) 211, E primo
Número
30
31.
32
JJ
34
35
36
3/
38
39
Diüsores
7,2,3,5,6,70,15,30
7,31.
1,2,4,8,1,6,32
7,3,11,33
7,2,17,34
7,5,7,35
7,2,3,4,6,9,12,78,36
1,,37
7,2,79,38
1,,3,13,39
9791.83
107
b) 253 Não é primo d) 391 Não é pr mo
I rt
r-
In
Y
€i Agora você vai ver a cartela de um bingo especial.
Preste atenção: cada coluna representa rmaãezer.,a.
0a9 10a19 20a29
311
Cartela
30a39 40a49 50a59
34 47
39
60 a69 70 a79
67
76
67
52
56
453B
20
27
28
13
Jogue com seus colegas! Para isso, faça uma cartela para você, respeitando a dezena correspon-
dente a cada coluna. Os números deverão ser distribuídos de forma variada.Não deve haver àuas
cartelas iguais.
Regras
Nesse jogo de bingo trabalharemos com a divisibilidade e com números primos. As regras são as
mesmas estabelecidas Para o jogo de bingo comum. Um aluno ou professà, ," ,"rpo.,rãbiliru 
"*"caÍtlaÍ" as tiras sorteadas, enquanto os demais assinalam os númeroi. O vencedor éàquele que pri-
meiro preencher a cartela.
Tiras paÍa serem "cantad.as,,
Copie cada item em uma tira de papel. Dobre as tiras e coloque-as em um recipiente. Sorteie uma
tira por vez.
Números divisíveis por 2
Números divisíveis por 3
Números divisíveis por 6
Números divisíveis por 10
Número que possui um só divisor
Número 17
Números divisíveis por 4
Números divisíveis por 5
Números divisíveis por 9
Número 49
Número 91
Número primo divisível por 7 e por 7
Número primo terminado em 3
: Para melhor desenvolvimento do jogo,
Número 31
Número 11
-L\umero ,/,/
Número 47
Número 61
Número 71
Número primo maior que 70
Número 37
Número primo divisível por 1 e por 47
Número 91
Número 59
Número primo terminado em 9
Íaç
79
9
Número 67
Eratóstenes
108
I L Decou^ytosição r«n^ {ator s prinnot
Vamos escrever os números naturais compostos como uma multiplicação de dois fatores:
4
/\
2x2
4:2x2
Podemos, entã0, dizer:
Todo número natural não primo, maior que 1, pode ser escrito na forma de
multiplicação indicada, chamada forma fatorada completa, em que todos os
fatores são números primos.
Para chegar à forma fatorada completa de um número natural, fazemos uma operacão denomi-
nada decomposiÇão em fatores primos, que consiste em:
) dividir inicialmente o número dado pelo seu menor divisor primo
) dividir o quociente obtido pelo seu menor divisor primo
) repetir esse procedimento até obter o quociente 1
6
l\
2x3
6:2x3
\----:/J
produto de
fatores primos
10
/\
2x5
10:2x5
\----1!
30:5x2x3
produto de
fatores primos
produto de
fatores primos
Usando o mesmo recurso, veja o que acontece com o número 30:
30
/\
2x75
/\
3x5
30:2x3x5
30
/\
3x10
/\
2x5
30:3x2x5
30
/\
5x6
/\
2x3
Qualquer que seja a forma de escrever o 30 como uma multiplicacã0, encontramos:
30:2x3x5
I+ produto de fatores primos
109
Acompanhe os exemplos:
I As medidas da piscina de Vítor, em
metros, são dadas por números primos.
Nessa piscina cabem 70 metros cúbicos.
Quais são essas medidas?
Devemos escrever 70 na forma fatorada:
70:2x5_x7
forma fatorada
70
35
7
1
2 - -- 70 : 2 :35, pois 2 é o menor divisor primo de 70.
5 - 35 : 5: 7, pois 5 é o menor divisor primo de 35.
7 - 7 : 7 : 1,pois7 éomenordivisorprimode7.
A piscina de Vítor mede 2 metros, por 5 metros, por 7 metros.
Decompor em fatores primos o número 495.
3 ---> 495 : 3 : 165, pois 3 é o menor divisor primo de 495.
3 --------+ 165 : 3: 55, pois 3 é o menor divisor primo de 165.
5 --------+ 55 : 5: 71, pols 5 é o menor divisor primo de 55.
1 1 --------- 11 : 11: 1, pois 71 é o menor divisor primo de 11.
495:3x3x5x11:
2
495
165
55
11
1
+
todos os fatores
sao prmos
I- Escreva na forma de multiplicação de dois
Íatores primos os seguintes números naturais:
a)51 3/.17 b)65 5x13 ô 7f 7x.11
4 O professor perguntou a Paulinho se a ex-
pressão3 x 4 X ll representavaafatoraçãocom-
pleta de um número natural. Paulinho disse que
sim. Sua resposta está correta? nao
2 Escreva a forma fatorada completa do nú-
mgro56. E6-2> 2 2>..'at)2. .l
3 Quais as expressões a seguir que represen-
tam a fatoração completa do número?
a) 25 xg
b)g2xSx77
*c)24x32x11
,d) 72 x 11
110
/
a-.4
R
5 Decomponha em fatores primos ou escreva
a forma fatorada compieta de cada número.
a)48 2ox3 d)99 32x11 g) ,0r*u,.,
b)50 2x52 e)108 2,x33 h)180"x32xs
c) 80 24x5 f) 132 zzx3x11 l) 234
2x3'x13
6 Considere o número natural60.
a) Qual é a sua forma fatorada completa?2, x 3 x 5
b) Quais são os seus divisores naturais?
1,2,3, 4,5,6, 10, 12, 1 5, 20, 30, 60
7 Qralé a forma fatorada completa do núme-
ro natural 1 000? 23 x 53
€l Quando você decompóe24} em fatores pri-
mos, obtém 2" x 3 x 5. Quantovale x? 4
€) Quando decompõe o número 1 620 em fato-
res primos, você obtem 22 x n x 5. Qual é o fa-
tor que você deve colocar no lugar de r para que
a forma fatorada represente o número 1620?
n:34
LO Escreva o número natural cuja forma fa-
torada completa é:
a) 22 xs x 112 b) 22 x7 xlg c) 93 x17
2 420
17 Plinx]nno diviro r con^wM,
tn^íninno A^ihtifrlo cÍcn^tln^
Acompanhe as situacões a seguir.
13 Preciso saber quais são os divisores comuns dos números naturais 40 e 60 e, dentre estes,
qual éomaiordeles.
) Primeiro determinamos os divisores de 40 e os divisores de 60:
D (40) : 11,2,4, 5, B, 10, 20,40)
D (60) : 1I,2,3,4,5,6, 10, 12,15,20, 30, 60)
Observando esses conjuntos, pqrcebemos que os divisores comuns de 40 e 60 são: l, 2, 4, 5, l0
e 20.
) 0 maior desses divisores é 20. Então, o número 20 é o máximo divisor comum de 40 e 60.
lndicamos: m.d.c. (40, 60) :20.
Dados dois ou mais números naturais, não simultaneamente nulos, denomina-se
máximo divisor comum desses números o maior dos seus divisores comuns.
Uma outra forma de encontrar o máximo divisor comum (m.d.c.) é fazer a decomposição simul-
tânea e considerar apenas os fatores primos comuns a 40 e a 60:
40, 60
20, 30
10,15
5,15
5,5
1, 1
2 
-> 
fatorcomum
2 
-+ 
fator comum
2
3
5 --------- fator comum
0 produtodessesfatores será om.d.c. procurado: m.d.c. (40,60) :22 x5:4x5:20.
111
2? Num colégio, a 5?sérietem 48 alunos e a 6esérie, 42alunos.0 professorde EducaÇão Física
quer organizar uma demonstração de ginástica com todos os alunos dessas duas séries, mas ele está
com um problema.
Vamos resolver o problema do professor:
Para saber quantos serão os alunos em cada grupo, o professor deve encontrar o número que
é o maior divisor comum de 48 e 42.Ele deve determinar o m.d.c. (48,42).
Fazendo a decomposição simultânea e considerando apenas os fatores primos comuns a 48 e
a 42, temos:
48,42
24,21
12,21
6,21
3,27
1, 7
1, 1
0 professor deve colocar 6 alunos em cada grupo. Serão formados 8 grupos com os alunos de
5e série e 7 grupos com os alunos de 6e série.
Agora veja outros exemplos:
I Qual é o menor número natural, diferente de zero, que é múltiplo, ao mesmo tempo, de 6, B e 72?
Para resolver esse problema, inicialmente escrevemos os conjuntos de múltiplos:
M (6) : {0, 6, 12, L8,24, 30,36, 42, 48,54,60, ...}
M (B) : {0, B, 16, 24,32, 40, 48,56,64,72,80, ...1
M (12) : {0, 12,24,36,48,60,72,84,96,...}
Observando esses conjuntos, verificamos que o menor número natural, diferente dezero, que é
múltiplo ao mesmo tempo de 6, 8 e 12 é o número 24.
2 _-- fator comum
2
2
2
3 ---------> fator comum
7
m.d.c.(48,42):2x3:6
41! e
8
112
Quero formor grupos com o mesmo número
de olunos e colocor o moior número possível
de olunos em codo grupo.
Mos não posso
misturor os qlunos de
umo séria com outro.
Quontos olunos devo
colocor em codo grupo?
Quontos serõo os grupos
com os alunos da59 série? E com os olunos
da 6e série?
O número 24 é chamado mínimo múltiplo comum (m'm'c.) de 6, 8 e 12.
lndicamos: m.m.c. (6, 8, 12) : 24.
Dados dois ou mais números naturais, não-nulos, denomina-se
mínimo múltiplo comum (m.m.c.) desses números o menor dos
múltiplos comuns dos números dados, que seja diferente de zero.
Uma outra forma de encontrar o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) é fazendo a decomposição
simultânea dos três números dados:
6,8, 12
3, 4,6
3,2,3
3,1,3
1, 1, 1
2
2
2
3 m.m.c. (6,8, 12):23 x 3:8x3:24
2 Duas pessoas, fazendo exercícios diários, partem simultaneamente de um mesmo ponto e,
andando, contornam uma pista oval que circunda um jardim. Uma dessas pessoas dá uma volta
completa na pista em 72 minutos. A outra, andando mais devagar, leva 20 minutos para completar a
volta. Depois de quantos minutos essas duas pessoas voltarão a se encontrar no ponto de partida?
Para resolver esse problema, é necessário encontrar um número que representa o menor múlti-
plo comum dos números dados, ou seja, o m.m.c. Í2,20l.:
12,20
6, 10
3,5
1, 5
1, 1
2
2
3 m.m.c. (12,20):22x 3 x5 -- 4x 3 x 5:60
5
As duas pessoas voltarão a se encontrar no ponto de partida em 60 minutos.
113
xs_rctclo5
L Os números 54 e 72 possuem divisores co-
muns. Qual é o maior deles? 18
2 Aplicando a técnica da decomposição simul-
tânea em fatores primos, determine o m.d.c. dos
números naturais:
a) 50e75 2s
b) 112e70 14
c) 150 e 250 50
d) 90 e225 45
5 Quantos alunos tem, no mínimo, a 5ê série Á
de um colégio, se podemos contá-los de 8 em 8
ou de 10 em 10? 40aunos *lu
6 Tiês luminosos acendem em intervalos re-
gulares. O primeiro a cada 20 segundos, o se-
gundo a cada 24 segundos e o terceiro a cada 30
segundos. Se, em um dado instante, os três acen-
derem ao mesmo tempo, depois de quantos se-
gundos os luminosos voltarão a acender simul-
taneamente? r 2o seoundos
7 De um aeroporto partem,
todos os dias, três aviões que
fazem rotas internacionais.
O primeiro avião Íaz arota
de ida e volta em 4 dias, o
segundo em 5 dias e o
terceiro em 10 dias.
Se, num certo dia, os
três aviões partiram
simultaneamente,
depois de quantos
dias esses aviões
(/
partirão
novamente no
mesmo dia?
20 dÍas
2 o número JtT2TcTíl é divisível por 3 e por
5. Qual é a soma dos possíveis valores que c pode
assumir? i2
3 Quantos números formados por três algaris-
mos são múltiplos comuns de 90 e 135? Quais
são esSes números? 3 números: 27a.540 e 810
4 O ponto doJardirnZoológico é a única para-
da que é comum a duas linhas circulares de ôni-
e) 56,84e270
fl 504 e 588
g) 39,65 e91
h) 744,276e288
3 Duas tábuas devem ser cortadas em peda-
ços de mesmo comprimento, sendo esse com-
primento o maior possível. Se uma tábua tem
90 centímetros e a outra tem 126 centímetros,
qual deve ser o comprimento de cada pedaço se
toda a madeira deve ser aproveitadalls cenrírretros
4 Usando a decomposição simultânea em fa-
tores primos, determine:
a) m.m.c. (30,75) i50 d) m.m.c. (36,54,90) s+o
b) m.m.c. (18,60) 180 e) m.m.c. (48,20,40,36)
c) m.m.c. (66,1.02) 1 122
R"* 
ando o qt,.a o.1ra,.dqu
L Uma vila tem 50 casas numeradas de 1 a 50.
Em quantas casas dessa vila os números são
múltiplos de 2 e de 3 ao mesmo tempo? Quais
SãO elaS? 8 casas: 6, 12, 18,24.30,36, 42 e 48
t
114
bus. Os ônibus, A e B, com velocidades médias
iguais, circulam ininterruptamente. O percurso
do ônibus á tem 6 quilômetros de extensão. O
percurso do ônibus B tem 15 quilômetros. Se eles
partirem ao mesmo tempo do ponto do Jardim
Zoológico, a próxima oportunidade de se encon-
trarem nesse ponto será depois que o ônibus Á
tiver completado quantas voltas? , vorras
5 Sempre que Ivo anda 650 centímetros, 800
centímetros e 1 000 centímetros, ele dá um nú-
mero exato de passos. Qual é o maior compri-
mento.possível de cada passo dudo pgo."lypJ",,""
16 O planeta Rubro possui dois satélites natu-
rais: Iua Alva e lua Bela. O planeta gira em tor-
no da estrela Ganimedes e os satélites em torno
do planeta Rubro, de forma que o alinhamento
Ganimedes-Rubro-lua Alva ocorre a cada 18
anos e o alinhamento Ganimedes-Rubro-lua Bela
ocorre a cada 48 anos. Se no ano em que estamos
ocorrer o alinhamento Ganimedes-Rubro-lua
Alva-lua Bela, daqui a quantos anos esse fenô-
meno se repetirá? r 44 ., ros
7 Suponha que dois pilotos de Fórmuia 1 lar-
gam juntos num determinado circuito. Um de-
les completa cada volta em
72 segundos, enquanto o
outro completa cada
volta em 75 segundos.
Mantendo constantes
esses tempos, depois
de quantas voltas
completas o
mais rápido
ultrapassará
o outro?
115
Gqon^qtria
Voaê jâ íeve uma iàéia intuitiva? Uma iàéia intuitiva é ter um aonhecimenl,o imeàialo, um
entenàimento inelantâneo àe alguma coiea,
Ao obaerva?moe o munào, certaa iàéias formam-se em noeea mente àe moào inl,uitivo e
nos ajuàam a corn?reenàer a realiàaàe. Em Geometria, algumae iàéias também sào
intuiLivaa, 5ào elas o ponto, a reta e o plano,
Caàa eslrela àâ a iàéia àe Ponío.
Caàa linha àesíe treoho àa piela
àe atletismo àá a iàéia àe reta.
Sáo Luis
Caàa maraa àe aiàaàe em um
mapatambém àâ aiàéia
àe Ponto'
I
.g
E
õ,
6
O
vért ce
t a resta
a resta
----> vértice
A auperíraie àe um lago congelaào àâ
a iàéia àe plano.
vértice
/ll
I
I
I
I
A euperírcie àe um carn?o àefuíebol é
outra imagem que àá a iàéia àe plano.
' t-"t, I
,
\
l|Ponto , rztaapl,ano
9_con[r ecin^en
õD§
i.c
o
!
p
l
oD
l
o
oo
Um exemplo de como o conhecimento
geométrico era uttlizado, é esta placa de
barro babilônica, datada de 1300 a.C.
Ne/a, os traços grossos indicam canais de
irrigação, sendo o principaldeles em
formato de U. A área central demarcada por
esse canal pertencia às lavouras do rei.
0s pequenos círculos eram terras
destinadas à populaÇão.0 restante da área
pertencia aos templos dos deuses ali
cultuados. Parte da produção agrícola dos
templos também era do rei.
Por volta de 600 a.C., os ma-
temáticos gregos comeÇam a siste-
malizar os conhecimentos geométri-
cos que foram adquirindo, fazendo
com que a Geometria deixasse de ser
puramente experimental.
Esse trabalho de organização
lógica dos conhecimentos matemá-
ticos foi feito principalmente pelo
matemático grego Euclides, por vol-
ta de 300 a.C.
Para se ter idéia da importân-
cia dessa obra, a Geometria que en-
sinamos hoje é praticamente a mes-
ma de Euclides.
Há indícios de que os babilônios, desde 2000 a.C.,
desenvolveram um considerável conhecimento geo-
métrico.
No Antigo Egito, a Geometria era amplamente uti-
lizada.0s agrimensores usavam-na para medir terre-
nos, enquanto os construtores recorriam a ela parafa-
zer edificações. As famosas pirâmides, construídas pró-
ximas ao rio Nilo, são um otimo exemplo disso.
0s egípcios ganharam tanta fama que alguns ma-
temáticos gregos buscaram no Egito novas aplicações
na Geometria.
CHIPRE
Mar Mediterrâneo
lnÁere. SAUDITA\
la'lr
9^
z-q
á.-v-
-o
EnrrRÉtn
118
JT,à
R eEqnlando o lo,arelaeo l,ano
Em Geometria, o ponto não possui dimensões. A sua indicação é feita, geralmente, por letras
maiúsculas do nosso alfabeto.
A
a
ponto A
Contornando a face de um dado
apoiado em uma folha de papel, observamos
que todos os pontos dessa figura traçada
estão no plano, representado pela folha de
papel. S
B
a
ponto B
Em Geometria, a reta é imaginada sem espessura, não tem comeco nem fim e é ilimitada nos dois
sentidos. É impossÍvel representar uma reta no papel ou na lousa. Por esse motivo, representamos
apenas "uma parte" da reta. A sua indicação costuma ser feita com letras minúsculas do nosso alfabeto.
reta r reta s
Em Geometria, o plano é imaginado sem fronteiras, ilimitado em todas as direcões.
Assim como no caso da reta,
seria impossÍvel representar o plano
no papel ou na lousa. Por esse moti-
vo, representamos apenas "uma par-
te" do plano. A sua indicação e feita
com letras minúsculas do alfabeto
grego: o (alfa), Í3 (beta), y (gama), ...
plano B
As ideias de ponto, reta e plano são modelos criados pelo homem e usados para compreender
melhor certos aspectos do mundo.
plano a
As figuras geométricas que estão contidas em um plano, isto é, que têm todos os seus
pontos em um mesmo plano, são chamadas figuras geométricas planas.
119
Planejando a planiÍicação
Desmontando uma caixa de papeTão, obtemos uma planiÍicação dessa
caixa.Yeja, por exemplo, uma caixa com a forma de cubo:
1. Descubra quais das figuras uma superfície cúbica planificada.
Se necessário, copie as plan papel quadriculado e tente montar os cubos. ,, .l
",nc)e)r-IelI+HÉ+
L]
h)
>F>'
Há mais de uma planificação da superfície de um cubo.
VeriÍique qual dos seis dados corresponde à planificação dada. r
lft"'o sco^^ T"a,
d)
a)
,
120
I
xarctcloS
L Observando a sala de aula, você reconhece
algo que dê a idéia de:
a) ponto?
respostas em âberto
b) reta? c) plano?
2 Responda às perguntas a seguir, usando uma
das palavras:
ponto reta plano
a) Observando um mapa do seu estado, identi-
fique a cidade onde você mora. Arepresentação
da sua cidade no mapa lhe dá a idéia d" 9rÊ"1,"
b) Qual é a idéia que esta páginal}:.e traz? p ano
c) Assistindo a uma partida de basquete, é pos-
sível observara linha divisória da quadra. Qual
a idéia que essa linha divisória the dá? retê
descritos nas fichas.
po r" de gelaJe " 
'
uma corda superÍícte de urna
est Cadê p -. r ó. .r . pó,êd.
e'co1r-o oe c) plano?
d!às oàred-os
cabeça de superfície
alfinete de piscina
4 O professor de Geografia pediu para dese-
nhar o mapa do seu estado numa folha de pa-
pel. O desenho que você fez é sma figura geo-
métrica plana ou não plana? prana
5 Aplanta deuma casa, feitanuma certa esca-
la e em papel vegetal, é uma figura plana ou não
plana? p ana; náo plana
E uma maquete dessa mesma casa?
11 Arqta
Observando as figuras seguintes, intuímos que:
Por um ponto P qualquer de um
plano a podemos traçar (ou passam)
infinitas retas.
r
([
Por dois pontos, A e B, distintos
de um plano o, passa uma e uma so
reta.
121
A
Com três pontos, A, B e C, distintos, encontramos duas situacões:
figura 1 figura 2
Na figura 1, não é possível uma única reta passar pelos três pontos.
Na figura 2, uma única reta passa pelos três pontos. Nesse caso, dizemos que esses pontos
estão alinhados.
Considere as figuras:
I
I
B'tó
o
o,t
o
.,5
0 encontro do tampo com a
parte lateral de uma mesa
dá a idéia de reta. Em
relação ao chão, esta reta
ocupa a posição horizontal.
O mastro de uma bandeira dá a idéia
de reta. Em relacão ao chão, esta
reta ocupa a posição verttcal.
A beiada da frente do telhado de
uma casa dá a ideia de reta. Em
relação ao chão, esta reta ocupa a
posição inclinada.
P osiçüzt raltativat de-
Este mapa é parte da planta de uma cidade.
Observe que as ruas dão a idéia de retas.
da wt^a rqta o c^o chao
122
t'T
A
Eoo
o
6
6
No
,ç
Arual de Setembro e a avenida Castelo Branco não se cruzam. Dizemos que essas ruas são
paralelas.0 mesmo ocorre com a ruaT de Setembro e a avenida GetúlioVargas.
A rua da Liberdade "corta" aruaT de Setembro. Dizemos que essas ruas são concorrentes.0
mesmo ocorre com a rua da Liberdade e a avenida Getúlio Vargas.
Agora, acompanhe o modelo matemático a seguir.
As retas r e s, contidas em cr, não possuem
nenhum ponto comum.
As retas r e s são denominadas retas paralelas e
indica-se: r // s.
As retas r e t, contidas em ct, possuem um único pon-
to comum, que é o ponto A.
As retas r e t são denominadas retas concorrentes ou
secantes.
0bservações
) Lembrando que a reta é imaginada sem
comeco e sem fim, a figura representa
retas concorrentes ou secantes.
L Considerando um ponto M do plano, quan-
tas retas podem passar por esse poa,o1n,,n,.u",",".
2 Sáo dados dois pontos, P e Q, distintos.
Quantas retas podem passar pelo ponto Pe tam-
bém pelo ponto Q? uma única reta
Duas retas a e b podem coincidir, ou seja,
podem estar ocupando a mesma posicão no
plano. Nesse caso, dizemos que a e b são
retas coincidentes.
3 Quando levanta vôo, um avião faz uma tra-
jetória que dá a idéia de reta.
Em relação ao solo, essa reta é horizontal, verti-
cal ou inclinada? Inctinada
2-.
xarclcl(]5
123
b
4 O encontro de duas paredes de uma sala dá
a idéia de reta.
a) Em relação ao piso dessa sala, essa reta é ho-
tizontal, vertical ou inclinada? verricar
b) E em reiação ao rodapé que existe nessa mes-
ma sala, essas retas são concorrentes ou paralelas?
ab
a) aeb concorrentes
b) aec concorrentes
c) aed concorrentes
concorrentes
Quatro amigos moram em Ribeirão Preto, cidade localizada no estado
de São Paulo.
d) ced paralelas
e) beC concorren:es
A lonchonete
onde trobolho
f ico no ruo
Ámodor Bueno. § -* *'% 
orn 
^.'t\
,. "ot {9'* Jo., 
.,e 4/o
Meu locol de
trobolho f ico numo
ruo porolelo à de
9ueli, znlre os ruos
Borõo do Amozonos
Anita e Sueli trabalham em
o rocar d" ,.rbr;;;:"'"* 
ruas diÍerenres.
ryatitilii{J;tp3:r,T,::'.:',"âi:,,
Eu trobolho numo
ruo concorrenfe
à de Renoto.
Guia Brasil 1995, Editora Abril (adaptado).
7..
,
3.
Em que ruas trabalham Cláudio e Sueli?
C áud o trabalha na rua Visconde de Inhaúma, e Sueli na rua Comandante Marcondes Salgado
As ruas em que trabalham Cláudio e Anita são paralelas ou concorrentes?
para e es
A avenida J. Gonçalves é paralela à rua ]osé Bonifácio? rão
124
íetuti-reta
A figura 1 mostra a reta r, que passa pelos
pontos A e B. Essa reta não tem início nem fim.
Agora, considere o ponto A e "parte" da
reta R que, partindo de A, passa por B.
Nesse caso, tracamos a semi-reta com
origem no ponto A e que passa pelo ponto B,
como mostra a figura 2. lndicamor, Àd
Observe novamente aÍigura 1 e considere
o ponto B e a "parte" da reta que, partindo de B,
passa por A.
Nesse caso, tracamos a semi-reta com
origem no ponto B e que passa pelo ponto A,
como mostra a figura 3. lndicamos gÃ
figura 1
figura 2
I
figura 3
A semi-reta é uma parte da reta, tem origem e é infinita num so sentido.
Veja o campo de futebol. Cada uma das linhas laterais, prolongada indefinidamente nos dois
sentidos, sugere a ideia de reta.
Se considerarmos os pontos A e B,
que são as extremidades da linha lateral em
evidência no desenho, e os pontos dessa
linha situados entre A e B, a Íigura geomé-
trica obtida representa uma "parte" da reta.---------- r
Essa "parte" da reta, que colocamos em evidência na figura, denomina-se segmento de reta.
Se considerarmos uma reta re sobre ela marcarmos dois pontos, AeB, distintos, o
conjunto de pontos formado pelo ponto A, pelo ponto B e por todos os pontos da reta
que estão entre A e B é chamado segmento de reta AB.
125
A
A
0bserve:
segmento
) Os pontos A e B são as extremidades do segmento.
) A reta r é a rela suporte do segmento.
Para nomear o segmento, indicamos as letras das extremidades com um traço em cima, ou
seja, AB (segmento cujas extremidades são os pontos A e B).
0bservaÇões
) Dois segmentos que têm uma extremidade comum são denominados segmentos consecutivos.
) Dois segmentos que estão numa mesma reta suporte são denominados segmentos colineares.
) Um segmento está contido em outro quando todos os seus pontos também são pontos desse outro
segmento.
Assim:
B
São segmentos consecutivos: AB
São segmentos colineares: BC e
gCeBD;nAeeE
eBD;BCeDE
São segmentos consecutivos e colineares: BD e Of ; CD
0 le segmento está contido no 2e'. CD e BE; CE e BE
eAD
b)
OMeON
ON ou OM
3 Quantas e quais
as semi-retas que es-
tão representadas na
fiqurl? ."i. PÃ Pd Ú
PD, PE e PF
4 Observando a fígxaa seguir, identifique um
segmento que seja:
AB ou CD ou BC
5 segmentos
PO, OM, MN
NP, PM
L lndique as semi-retas rePresentadas nas fi-
guras seguintes e que têm origem no ponto O:
a)
2 Quantos e quais são os segmentos com ex-
tremidades nos pontos nomeados que você ob-
serva na figura?
N
126
a) Escreva dois segmentos que estão em retas
paralelas. ae " MN
b)_Escreva um segmento que esteja contido em
BC. eN. BC ou cN
c) Dois segmentos têm como extremidade co-
mum o ponto Á. Quais são? ns e r{\r o, Àõ e aB
(6 Analise a figura e associe V ouF a cada uma
das afirmações.
AB- e Ee são consecutivos e colineares. v
tvIC e CN são colineares e não consecutivos.r
BC e ew são consecutivos e não colineares.y
AB e eD são colineares e não consecutivos.y
a)
b)
c)
d)
Para ganhar dez moedas, Renata tem que vencer um desafio: arrumá-ras
em cinco fileiras, com quatro moedas 
"- "ád, fila.
Plqdidadew^se qnto - 5 tos con rwq ta5
Já vimos que não é possÍvel medir uma reta ou uma semi-reta. Mas o segmento de reta, por serlimrtado, pode ser medido em seu comprimento. \companÀ. .oro isso pode ser feito.
Considere os segmentos:
A
M
Pq
-
RS
Se usarmos um compasso, verificamos que:
) o segmento MN cabe 3 vezes no segmento AB.
) o segmento PQ cabe 5 vezes no segmento AB.
) o segmento RS cabe 15 vezes no segmento AB.
127
Vamos ajudá-la? Ç- ,
.--Y7-----\É__\.
__l
Comparando o segmento AB com os segmentos MN, P0 e RS,-o-btém-se de cada 
comparação
um número que representa a medida do comprimento do segmento AB.
) Quando a unidade é o segmento MN, a medida do segmento AB é 3. lndicamos med 
(AB) :3
) Quando a unidade é o segmento PQ, a medida do segmento AB e 5. lndicamos med (AB) 
: 5
) Quandoa unidade é o segmento RS, a medida do segmento AB é 15. lndicamos med (AB) 
: 15
Afinal, qual das medidas obtidas (3, 5, 15) é correta?
Na verdade, as três são corretas, pois cada medida foi obtida a partir de uma unidade 
padrão
diferente. Assim, quando mudamos a unidade padrã0, mudamos também o número 
que expressa a
medida do segmento.
A medida do comprimento de um segmento é um número obtido quando comparamos
o segmento considerado com outro segmento tomado como unidade 
padrã0.
Vamos agoramedir os Segmentos CD e EF usando como unidade padrão:
0s segmentos CD e EF têm a mesma medida'
Quando dois segmentos têm a mesma medida, tomada na 
mesma unidade,
dizemos que são segmentos congruentes.
como med (cD) :4 u e med (EF) :4 u, então co e rr são segmentos congruentes.
L Considere como unidade o segmento' ü ,
e use um comPasso para determinar a medida
de cada um dos segmentos a seguir.
a)
ô unldades
b)-
2 u r dades
2 Considerando como unidade , e obser-
vando a Íigwa, calcule:
DE
a) med (AB) + u c) med (Dg) , , e) med (BE)o '
b) med(Be)r, d) med (Ãe) u, 0 med(AE)
38 quartelróes
128
Ittll
lltll
rttl
rllrLlrUrUr
Z)GiroE eàn1Á,oE
um giro compíeto, meio giro, um terco ou um uarto de giro compreto?
Observe as fÍguras e ídentifique as situações.
Façaa experiência fixando com um percevejo as pontas de dois palitos de sorvete, de modoque eles girem em torno desse percevejo.
segure um dos palitos e faca o outro girar dando uma volta completa.
Dizemos que a medida de uma volta completa é 360" flê_se: trezentos e sessenta graus).
0 grau é uma unidade de medida de um giro que corresponde à
volta completa dividida por 360".
Um giro nos dá uma idéia de ângulo.
129
-!
-, ^I
5ar tÁqdtdo
Se você der um giro de meia-volta, terá andado metade do 
percurso anterior' A medida será de
180' (cento e oitenta graus), que é metade de 360"'
Um gko de meia-volta é representado
Por um ângulo raso'
Se você der um giro de metade de meia-volta, terá andado metade do 
percurso anterior. Logo,
a medida será de 90" (noventa graus).
*
Um gio da metade de meia-volta é
rePresentado Por um ângulo reto'
Considere a figura de um plano dividido em duas regiões por semi-retas como essas'
Note que na região vermelha é possível ter dois pontos que são extremidades de um segmen-
to, mas que não estãcontido somente na região vermelha. Já na região azul dois 
pontos quaisquer
determinam ,, t.ãr.nto contido nessa rÃetru região azul e, por isso, é chamada de região
convexa.
Uma região do plano, convexa, limitada por duas semi-retas de mesma origem,
não opostas e não coincidentes é denominada ângulo'
No ângulo da figura, destacamos:
) O ponto 0, origem das semi-retas é o vértice do ângulo'
) As semi-retas Ól e G são os lados do ângulo.
) A notação do ângulo e nôg.
Para medir um ângulo, utilizamos um transferidor'
130
TI
((
vértice
ru9
L (Saresp) Imagine que você tem um robô tar_
taruga e quer Íazê-lo andar num corredor sem
que ele bata nas pa-
redes. Para Íazer
isso, você pode
acionar 3 coman-
dos: aaançar (in-
dicando o número
de casas), airar à di-
reitaeairaràesquer-
da. Para que você
acione de forma
correta o comando,
imagine-se dentro
do robô.
Seus comandos, para que o robô vâ até o final,
deverão ser:
x a) avançat A,virar 90. à direita, avançar 3, virar
90'à direita, avançar 2
b) avançar 4, virarg0o à esquerda, avançar 3, vi_
rar 90o à esquerda, avançar 2
c) avançar 4,virar 90o à direita, avançar O,virar
90' à esquerda, avançar 2
d) avançar 4, virat 90. à esquerda, avançar 3,
virar 90o à direita, avançar 2
Acompanhe:
idor de modo que seucentr Ce do ângulo e que aescal zero no transferidor
fique sobre um dos lados do ângulo.
Fazendo dessa torma, é possível ler na
escala do transferidor o número interceptado
pelo outro lado do ângulo.
_ _ No exemplo, a me^dida do ângulo nôg O
55'. lndicamost med (A0B) : 55o.
2 Observe os ângulos formados pelos pontei_
ros dos relógios, nas di:erentes hoias.
a) Em quais das horas assinaladas os ponteiros
formam um ângulo reto? 3 horas
b) Dê uma outra hora em que os ponteiros de
um relógio formam um ângulo retô. e horas
c) Às 4 horas, o ângu1o entre os ponteiros é maior
ou menor que um ângulo reto? maioÍ
d) Das 2 horas às 3 horas, quantas voltas com_
pletas dá o ponteiro grande? 1 vorta
e) Das 12 horas às 12 horas e 30 minutos, o pon_
teiro grande gira quantos graus? 180.
3 Toda manhã Ali-
ce caminha pela pra-
ça em frente à sua
casa. Veja atrajetória
de Alice.
Em cada ponto assi-
nalado ela faz um
131
giro. Use um transferidor para medir esses giros.
30" '.
Zl Pol,iy^'5
observe as figuras geométricas desenhadas nesta folha;
figura 1
Essas figuras estão totalmente contidas em um único plano: o plano representado 
por esta
folha. Por isso, essas figuras são chamadas linhas planas.
Note, porém, que há algumas diferenças entre elas:
Nas figuras !,2 e 3 não há cruzamentos. Daí serem chamadas linhas simples'
Nas figuras 4 e 5 há cruzamentos. Por esse motivo elas são chamadas linhas 
não simples'
Nas figuras 2,3 e b podemos considerar que a origem da linha coincide com a sua extremidade'
Essas linhas são chamadas linhas fechadas'
Nas figuras 1 e 4, não há coincidência da origem da linha com a sua extremidade' 
Essas linhas são
chamadas linhas abertas'
Vamos, agora, destacar as linhas fechadas simples'
As linhas planas simples fechadas limitam uma região do plano: a região interna 
à linha. Essa
região está representada pela parte colorida em cada figura.
Entre essas duas figuras, a que está limita-
da pela linha fechada simples formada apenas por
segmentos de reta é denominada polígono.
)
)
)
)
figura 2 figura 3
Polígono é a reunião de uma linha fechada simples formada apenas 
por segmentos de
reta com a sua região interna.
Vejamos, entã0, algumas figuras geométricas que são polígonos'
132
Quando a região interna de um polígono é convexa, temos um polígono convexo.
NO
São polgonos convexos. São polígonos não convexos.
A partir de agora, o nosso estudo será apenas com os polígonos convexos,
) 0s segmentos AB, AC e BC são os lados do polrgono.
) 0s pontos A, B e C são os vértices do polígono.
) 0s segmentos N/lN, M, pQ, 0n e RM são os lados do polígono.
) 0s pontos M, lV, P, Q e R são os vértices do polígono.
Como, em qualquer polígono, o número de ângulos é igual ao número de lados, os polígonos
são geralmente nomeados a partir do número de ladoi. Alguns, por sua utilização mais freqüentã, têm
nomes especiais. São eles:
Número de lados
ou de ângulos Nome
3 triângulo
4 quadrilátero
5 pentágono
6 hexágono
7 heptágono
B octogono
9 eneágono
10 decágono
1 1 undecágono
12 dodecágono
15 pentadecágono
20 icoságono
0bservações
) Há dois polígonos da tabela que não utili-
zam o termo gono em seus nomes: triân-
gulo e quadrilátero.
) Há polígonos que não possuem nomes es-
peciais, como o polígono de 13 lados, o
de 19 lados e o de 25 lados, por exemplo.
Você sabe dizer qual o número máxi-
mo de lados que um polígono pode ter?
133
Noltnes doE
A palavra "polígono"
A palavra "poligono" é Íormada por dois termos gregos: poli, que significa "vátios" ,
"muitos", e gono, que significa "àngrllo".
Assim, polígono significa "vârios ângulos"'
L A figura a seguir é um polígono? Justifique
2 Por que a figura geométrica a seguir não
3 Cadal I representaumquarteirãonaplan-
ta de um parque florestal. A linha azul indica a
cerca e os portões desse Parque. Essa planta re-
presenta um polígono? Em caso afirmativo, o
polígono é convexo ou não convexo?
sim; polígono náo convexo
4 Todas as figuras seguintes são polígonos.
figura 1 figura 2
figura 3 t'igura 4
figura 5
a) Identifique os Polígonos convexos' rrsuras 1, 3 e 4
b) Dê o nome desses polígonos.
hexágono, hexagono, quadrilátero, pentágono' eneágono, dodecágono
5 Qual é o polígono que tem o menor número
de lados? rr ênsu o
134
6 Observe a Íigura e associe V ouP acada uma
das afirmações:
a) O triângulo ABC é um polígono convexo. v
b) Os lados do triângulo são os segmentosAB,
ACeBC. v
c) D é um ponto de um dos lados do triângulo.v
d) E é um ponto de um dos lados do triângulo.r
e) B é um ponto do triângulo ABC. v
f) E é um ponto da região interna do triângulo
ABC. V
Usando24
palitos de fósforos,
forme a Íígura:
Agora conte quantos triângulos há
nesta figura.
20 tnângu os, sendo 2 grandes, 6 med os e l2 pequenos
ZZIri ân yilot a qwadrilíntqrot
0s triângulos são polígonos de três lados.
Compare as medidas dos lados de cada triângulo, usando uma régua ou um compasso.
0s triângulos são classificados segundo as medidas dos seus lados.
Triângulo escaleno Triângulo isósceles Triângulo eqüilátero
Quando possui os três lados I Quando possui dois lados com Quando possui os três lados
com medidas diferentes. a mesma medida. com a mesma medida.
ned (M) + med (M) + ned (Ee) med (AB) - med (-iC) med (M) : med (re) : ned Ge)
Qradril,í^laroE
0s quadriláteros são polígonos de quatro lados.
Existem quadriláteros que têm lados paralelos.
Essas retas são paralelas?
Com régua e esquadro é ftácil descobrÍr
Veja como verificar, com régua e esquadro, se duas retas são paralelas:
Posicione o esquadro
em uma das retas.
Fixe a régua encostada
numlado do esquadro.
Deslize o esquailro e obserue que
o outro lado coincide com a reta s
mas não com a reta l.
As retas r e s sáo paralelas, as retas r e t náo são paralelas.
7ft"t" écr:nn V"u
Com régua e esquadro verifique se há lados paralelos nos quadriláteros a seguir.
136
Dentre os quadriláteros, alguns assumem formas particulares: os trapézios e os paralelogramos.
Trapézios são os quadriláteros que possuem dois lados paralelos e dois lados não-paralelos.
CD são paralelos.
BC não são paralelos,
PS e QR são paralelos.
PQ e RS não são paralelos.
Paralelogramos são os quadriláteros que possuem os lados opostos paralelos e congruentes,
D,c
AB e CDsão paralelos.
ÃD e Be são paralelos.
MN . PQ são paralelos.
MQ e tW- são paralelos.
Por apresentarem características próprias, alguns paralelogramos têm nomes particulares:
nge
ADe
Retângulo
0s quatro ângulos têm a
mesma medida.
Losango
0s quatro lados têm a
mesma medida.
I quadrado
] Os quatro ângulos e os quatro
lados têm a mesma medida.
137
I
R
o
A
L No início do capífuIo, você comParou as me-
didas dos lados de três triângulos. Classifique-
os quanto aos lados.
da esõreroa para a dlre te eoÜ áIe'o, esca ero e sósce es
2 No início do estudo de quadriláteros, você
verificou, com régua e esquadro, se os três qua-
driláteros dados têm ou náo lados paralelos.
Classifique-os.
da esquefda para a d re ta :rapézio, quad' láIero l'lalquer c- para elogramo
3 Desenhei alguns quadriláteros na malha qua-
Quais deles são:
a) paralelogramos?
ABCD e PSVf
driculada.
DC
b) trapézios?
EFGH e MNOP
4 O contorno do seu esquadro limita um tri-
ângulo escaleno, isósceles ou eqüilátero?
isósceles ou esca eno
5 A figura nos mostra um hexágono dividido
em um certo número de triângulos, todos do
mesmo tamanho.
a) Quantos triângulos você observa na ftÉ,T;H?'
b) Que tipo de triângulo é cada um deles?
eqüilátero
6 (Saresp-adaptado) A figura representa um
canteiro de flores construído com a forma de
quadrilátero de lados iguais e paralelos dois a
dois. Sua forma é a de um:
a) trapézio
b) retângulo
* c) losango
d) quadrado
7 Com6 palitos de fósforo formei um triângu-
lo eqüilátero.
Acrescente 3 palitos iguais a esses, de modo que
fiquem 5 triângulos eqüiláteros, sendo 4 peque-
nos e 1 grande.
€i Com 24palítos de fósforo formei estes qua-
drados:
i
t'
a
a
Retire 6 desses palitos para formar 3 quadrados
de tamanhos diferentes.
€) Verifique quais figuras Possuem lados Para-
lelos. a, b, c, e
d)a)
138
O tangram
O tangram é um quebra-cabeça muito antigo,
de origem chinesa, composto por 7 peças.
1. Usando um pedaço de cartolina, reproduza o quadriculado 4 X
2. Recorte as 7 peças do tangram e tente construir várias figuras.
3. Construa um triângulo usando 3 peças. ,a 
^/>,
4 e construa um tangram,
^ô.^as.
4. Agora construa um quadrado usando s e"eu". 1
5.
6.
Construa, usando as7 peças, um triângulo, um quadrado, um paralelogramo e um trapézio.
Há várias possibilidades
Cubra a figura com as peças do seu tangram.
139
A Of ntGt
-.
fACl0lACrtfV^
?reaieo àe um cano àe
meia polegaàa.
\
do5 -ntü/i.Aar05
aa
fCrlClOlhGtl5
E números escritoo aseim, você já viu?
íoaê iâ ?aoeou.?or I
àeese tiPo?
\
§
Uma pizza ê euficiente?
Caàa um pode comer
* o, pizza.
@W
23 Aidiiad,a-{raçao
Notíciag anti ito de [raçóet
A pot"*" ulraç-ão" vem da [oarn
fractiorw e E;er úzer dfui-dír,rasgqr,
fraçáo, no dicionário, também quer
dizer "parte de um todo".
Os números fracionários surgiram da
necessidade de representar uma medida que
não tem uma quantidade inteira de unidades,
isto é, da necessidade de se repartir a unidade
de medida.
As noticias mais antigas do uso das
frações vêm do Egito. As terras que margea-
vam o rio Nilo eram propriedade do Estado.
Este dividia as terras entre os grupos familia-
res, em troca de pagamento de tributos. Como
o rio Nilo sofria inundações periodicas, as ter-
ras tinham de ser sempre medidas, já que o
tributo era pago proporcionalmente à área a
ser cultivada,
c
!
C
9
o'-
m
a
f
o
o
@
@
Os,egipcios conheciam as frações de
numerador 1 e essa era a forma que eles usa-
vam para representá-las.
It
1
n
1
-6-1
J
142
O papiro de Rhind, datado do século
XVll a.C,, apresenta algumas tegras sobre
operações com t'rações e é um importante
documento matemdtico do Antigo Egito.
Conlnecqndo as
Aexpressãs  , sendo ae bnúmeros naturais, com b + 0, échamada defracãoe representa
b
um número racional escrito na forma fracionária (número fracionário).
Na fracão -L , temos a 
---+ numerador' b' -- b ---> denominador
) 0 denominador b indica em quantas partes iguais uma unidade foi dividida.
) 0 numerador a indica quantas dessas partes foram consideradas.
0 numerador e o denominador são os termos de uma fracão.
Observe a Íigura:
) a parte azul corresponde , + da figura.
) as partes amarelas correspond., , f, da figura.
) as partes laranjas correspond., u f, da figura.
algumas fracões:Veja como são lidas
1
6
47
3
5
1
4
2
T
1T
um quarto
3
8
1
9
1
1o
um n0n0
10
11
um sexto
143
um meio
três quintos
três oitavos
um décimo
quatro sétimos
xq.]rclcloS
Divida uma folha de papel sulfite em 3 par-
tes iguais. Essa é a única maneira de dividi-la
em ípartes iguais? Desenhe mais duas possibi-
lidades.
Você sabe fazer gelatina? O cozinheiro An-
tonio Miguel vai exPlicar.
Coloque o conteúdo do Pocote
de gelatino em uma vosilho.
Mexo bem oté
dissolver
completomente.
Ádicione 250 m(,
de águo fria.
Coloque em copinhos
e leve à gelodeiro otá
f icor consistente.
@@@
a) Quantos litros de água são necessários para
preparar 1 pacote de gelatina? ) t'r'o
b) E para PreParar 2 Pacotes? I rrtro
c) E se fossem 3 pacotes? I rtro e meLo
Despeje sobre o
pó 250 m( de água
fervente.
3 Observe as figuras e indique as que estão di-
vididas em partes de mesmo tamanho.
4 As figuras estão divididas pela metade'
a)
b)
a) A metade da figura L é igual à metade
g:uraZ? nâo
b) Por quê? Porque eias sáo de tamanhos d Íerentes
h)
e)
figura 1.
144
da fi-
5 Sabendo que são necessários 4 copos de água
para encher totalrrtente urna 1arra, então cada
copo-contém que fração do volume de água dajarra? 
4
T
{6 O triângulo colorido de verde representa que
fração de cada figura?
a) b)
7 Paru encher uma xícara com farinha são ne-
cessárias B colheres de farinha. Cada colher de
farinha representa que fração da quantidade de
farinha que se pode colocar na xícara?
0 tangram é um quebra-cabeÇas chinês
de origem milenar. E formado por apenas
7 pecas, mas com elas é possÍvel criar cerca
de 1 700 figuras! A regra é usar todas as
peÇas, lado a lado, sem sobreposicão.
1
4
oo
Eo
O
o
C
o
o§(,
11
8,8
31
10 10
75
12 12
b)
c)
€i Cada figura representa um segmento de reta.
Escreva as fraqões que cofi esponderf\ aos üeCh0S
assinaladosem azul e aos trechos assinalados
em vermelho em cada segrnento:
a)
§) As figuras mostram o marcador de combus-
tível de três carros. Se o tanque desses carros tem
capacidade para 40litros, qual a quantidade de
combustível que há em cada tanque?
a) tanque cheio 40 litros
o)+
L(O Para fazer suco, Márcia usou 15 metades
de laranjas. Quantas laranjas foram usadas?,.t
L L Se 60 minutos correspondem a uma hora,
que fração de hora são:
a) 30 minutos? |
b) 15 minutos? f
c) 45 minutos? a
tanque
de tanque
de tanque
20 Iitros
.)+
o)+ 30 litros
145
l<
7
'10 litros
Estas são algumas figuras que podem ser tormadas.
Como você já construiu um tangram agora é só brincar à vontade.
a Qoe fração do tangram cada peça representa?
laranja -
2 Cada peça desenhada representa parte de
uma figura. Essa parte está indicada pela fração
ao lado da peça. Desenhe a figura inteira.
Há várias respostas
1
4
3 Escreva uma fração que repres"rrt" qraiios
quadrados cabem nas figuras a seguir.
4 Considere as figuras do exercício2.Paracada
uma delas escreva a fração da figura que a soma
dos quadriláteros representa-
.rnlb:c) .:d:
7 I 16
xarclclos
,'t77
\\\
a) +b)
146
a) 
-4
Acompanhe as situacÕes aseguír;
1e Quantos ovos vou usar?
'Dívidindo em 4 grupãF
iguois, codo grupo
representof, aot
r ovos. I
5e preciso da metode
desses ovos Doro
fozer um bolo, guontos
ovos vou usar2 Dividindo em Z grupos
íguais, cado grupo
representaf do. oro..
Vou precisor de t
dos ovos d.ssr4
embologem. Quontos
. ovos vou usor2
a
1
-A- d. 12 ovos é o mesmo
que12:4:3
&&d
1
á d. 12 ovos é o mesmo
que 12 : 3:4
147
E eu vou pracisor
," * desses ovos.
Quontos ovos vou
usor2
Dividíndo em 3 grupos
iguoís, codo grupo
representaf ao.
ovos.
Vou usor 4 ovos.
i.t
ív
metade ou
'I
i d" 12 é o mesmo que t2 : 2 : 6
2r caio ganhou uma co\eção com ]5 \wrrnhos. 5â \eu a\erc.a §a.te 
da coreqão' Quantos lívrinhos
Caio iá leu?
Total de livrinhos da coleção: 15
Terça parte ou * 0.15 dá 5 ou-3
! a. 15 é o mesmo que 15 : 3 : 5
3
Caio já leu 5 livrinhos.
) Se Caio tivesse lido a quinta parte da
colecão, quantos livrinhos teria lido?
Total de [vrinhos: 15
Quinta parte ou l o. 15 dá 3 ou5
I o. 15eo mesmoque 15 : 5 : 3
5
Caio teria lido 3 livrinhos.
) E se tivesse lido a metade? Nesse caso, tente explicar com suas palavras e escreva a resposta no
caderno.
3Ê Cido tem um álbum de figurinhas.
Pela ilustracã0, vemos qr. + de 12 dá 8.
Esse mesmo problema pode ser resolvido assim: * o. t2dá4tz:3:4)
âo.vdá8ex4:8)
Cido tem 8 figurinhas nessa página do álbum'
ía t"nno + à;
f igurinhos desiso Pá9íno
poro color. Quontos
f igurinhos desso Pógino
148
42 Júlia adora água de coco. Paraa sua festa de aniversário, Júlia encomendou 20 cocos. Foram
consumido= + dessa quantrdade. Quantos cocos foram consumidos?
Pela ilustraÇã0, vemos aue a de 20 dá 16.
Esse mesmo problema pode ser
resolvido assim:
lo.20dá4(20:s:4)
5
Ao.20dá16(4x 4:16)
5
Foram consumidos 16 cocos.
\
j-J
L»
oa
0)
(:'
\\--7
()
\t z-/
/-\/\
--- --r)
())
Ç)
§oo
L Conheça melhor a sua classe, respondendo
às questões: respostas em aberto
a) Quantos alunos há na sua classe?
b) Quantos grupos de 4 alunos é possível for-
mar? Sobram alunos? Para responde4 faça um
desenho.
c) Dividindo a classe em grupos de 5 alunos, so-
bram alunos? Para respondel, faça um desenho.
d) Para que não sobre ninguém, cada grupo de-
verá ter quantos alunos?
2 Geraldo está colocando vidros na janela.
a) Quantos vidros são necessários para recobrir
a janela? 24
b) Quantos vidros estão colocados? 8
c) Metade da janela já foi recoberta? nao
d) Foram colocados que fração do total de vi-
dros da janela? +
3 Veja a receita do bolo de chocolate de dona
Estela.
quinta parte àe 1 litro de lelte
25O g àe farinha àe trigo
1
O de 1 quilograma de manteiga
oitava parte de 1 quilograma de ahocolate
I
)- 4uilolrama àe açúcar
a) Sabendo que 1 litro equivale a 1000 milili-
tros, quantos mililitros de leite são usados nessa
receita? 2oo
b) Que Íração do quilograma (1 000 gramas) re-
presenta 250 g de farinha? #
c) Quantos gramas representam f Wilogra-ma de açú,car? soo
4 lJmasala de aula tem40 alunos. Num deter-
minado dia, faltou -L ao, alunos.10
a) Quantos alunos faltaram nesse dia? 4 arunos
b) É possível faltar {- aor alunos? Por quê?
" Não, poÍque 40 não é divis,vel poÍ 3
149
5 Numa PÍova de Fórmulal,24 carros inicia-
ram a corrid.a. Desses, 9 aband.onou a Prova.'6
Quantos carros terminaram a corrida? 20 carros
6 Um professor de Educação Física verificou
que + dos alunos d.e uma classe pratica volei-^3
bol. Se a classe tern 42 alunos, determine
quantos alunos:
a) praticam voleibol. 14 atunos
b) não praticam esse esporte. 28 atunos
7 Um prêmio de 600 reais será repartido entre
os três primeiros colocados de umfestival de mú-
sica. Ao primeiro colocado cabe I dessa quan-
tia; ao segundo colocado.uU" -1-- i"ssa quantia3
e ao terceiro cabe a quantia restante. Nessas con-
dições, qual a quantia que deve receber cada um
dos três ganhadores?
T 
e colocado: 300 reais; 2o colocado: 200 rea s, 3a colocado: 1 00 reais
€3 Em um jogo de basquete, Oscar acertou 15
arremessos, sendo * a"t", de 3 pontos e os5',
restantes de 2 pontos.
a) Quantos arremessos de 3 pontos eleacertou?
b) Quantos arremessos de 2 pontos eleacertou?
c) Quantos pontos Oscar marcou nessa partida?
39 pontos
€) Diga quantos quadrinhos devem ser colori-
dos para representar:
f-O Em 11 àe àezembro üe 1997, § taüe\\s
Fovest 98, do jornal F olha de S. P aulo, publicou a
notícia a seguir.
Vestibular
Cerca de 5 mil inscritos disputam
768 oagas oferecidas pela Fundação
Nos dias 1,6 e 17 de dezembro , aEaap (Fundação
Armando Álvares Penteado) realiza as provas do seu
vestibular. Os 5 071 candidatos inscritos concorrerão
a768vagas em 19 cursos.
No dia 16, acontece o exame de habilitação es-
pecífica para os cursos de educação artística,
desenho industrial e arquitetura.
No dia 17, serâ Íeito o exame para todos os cur-
sos. Neste dia, os candidatos rcalizaráo testes de
língua portuguesa (30), matemática (25), física (5),
química (5),biologia (5), história (10), geografia (10),
língua estrangeira (10 de espanhol, inglês ou
alemão) e uma redação.
a) No total, quantos são os testes a serem res-
pondidos no exame do dia77? roo
b) Um candidato que acerte metade dessa pro-
va, quantos testes deve ter acertado? 50
c) Um candidato que tenha acertado todos os
testes de português e matemática, e apenas eles,
que fração da prova terá acertado?
d) Um candidato respondeu corretamente a um
quinto dessa prova. Quantos testes ele acertou?
5
6
4
9
a) t o"rigura
í o"rigura
c) da figura 15
150
NotícÍa curíosa
Imagine que você vai comer um.aprzza.
Comece comendo a metade, depois coma a
metade do restante e assim por diante. Se sua
faca for bem afiada, você nunca consumirá a
pizzaintetra, pois ela é formada por uma
série infinita de fatias.
Fonte: Superinteressante, ottt.. 7997
b) 12 d) da figura
1
64
bconnparandr núnneros {racion6rior
,9*:* :,,::"$:t :.oj ;"ps^:^ g:li g. .9yl9,.9 9 r g, p a rte s ( p e Ç a s ) i g u a i s.e'ot""o' 
\"ssário, 
peça aos arunos 0"i.,"0.ãúiã*;;;ã; õ:". Lil;iJ,J5r",IilJl. .?J,ÍJ"tn,," das Deeas Íica Íacirrarra
Podemos cobrir o disco verde usando apenas 2 peças amarelas, ou 3 pecas azuis ou 4 peças
laranja.
Agora, imagine quantas peÇas marrons você usaria para cobrir o disco verde. Faça o mesmo para
as pecas lilás, vermelhas e cinza, e descubra quantas delas são necessárias para cobrir o disco verde.
Considerando as pecas que compõem cada disco, podemos afirmar:
) Quanto menor é a peca, maior é o denominador dafração unitária que a representa.
-L.!. I . t. 1 <I.!108654s2
) Quanto maior é a peca, menor é o denominador dafração unitária que a representa.
1 _, I > 1=!r!Z'3'4'5'6
Agora veja as figuras a seguir:
1
5
Note que:
234
555
1 < 2 < 3 < 1_. 555555
5
5
Quando dois números racionais escritos na forma fracionária têm o mesmo
denominador, o menor é aquele que apresenta o menornumerador.
151
Em cada figura a seguir está pintada a metade do disco'
Podemos afirmar que:
4
8
1_2_3_4:5
246810
Para os exercícios a seguil, considere os discos
dados no início deste capítulo.
L Em 1 inteiro há quantas metades? E terços?
E quartos? 2,3e4
2 Quem é maior, 1 inteiro ou 8 oitavos?
São iguais
3 Escreva uma fração que represente:
a) a metade da metade do inteiro. f
b) a metade da metade da metade do inteiro.f
4 IJma metade é igual a quantos sextos? E a
quantosdécimos? 3e5
5 Uma terça parte é igual a quantos sextos? E
a quantos nonos? z:3
(6 Se você multiplicar o numerador e o deno-
minador de + por 3,vai obter uma fração que
representa um número maior ou menor g.r" {Z'2
E se multiplicar por 5? isua; isua
7 Se a altura da sua sala de aula fosse repre-
sentada pelo disco verde, então qual a cor do
disco que melhor representaria a sua altura?
resposta em aberto
€B Responda com V (verdadeiro) ou F (falso):
.11a) 5' 6 t
36
7 _3
---36
2-1-;- \ -;-
JJ
,2 3e) .: n t
JJ
8)
h)
b)
c)
510
ZC
36
,)
g-6'
I
Ẑ
2
4
3
6
5
10
152
d)
ZLFraçôar egnw aiqntqt
A parte colorida
representa * o,
figura.
A parte colorida
representa * ou
figura.
A parte colorida
representa # o,
figura.
Você nota que as frações +, +, " +
representam a mesnia parte da figura.
Dizemos que essas gão frações equivalentes
eescrevemoa, 3 = 6 : 94 8 t2'
As fracões estão representadas geometricamente. Observe os dois casos.
1e caso 2e caso
A parte colorida
representa * o,
figura.
A parte colorida
representa í ou
figura.
A parte colarida
representa i o,
figura.
1
2
Você nota que as frações +, +,, +
representam a mesma parte da figura.
Dizemos que essas são frações equivalentes
eescrevemor, 1- 2: 1642
Duas ou mais fracões que representam a mesma
porcão da unidade são chamadas de frações equivalentes.
Vimos, no primeiro caso, que são fracões equivalentes.
3
4'
riedada- iA^
Partindo de temos:
153
l, t, fracões equivalentes.
2',
2
4
32
6' 4'As frações representadas no segundo caso,
Para chega t u +, temos:
Daí, podemos enunciar a propriedade fundamental das frações:
Quando multiplicamos ou dividimos o numerador e o denominador
de uma traçáo por um mesmo número, diferente de zero, obtemos
sempre uma fração equivalente àfraçáo dada.
Simplificar uma fração significa obter uma Íracáo equivalente àfraçáo dada, escrita com termos
menores.
Vamos simplificar afração +
48:24:
72 36
Daí,
Para simplificar uma fração, devemos dividir o numerador e o denominador
da fração dada por um mesmo número diferente de zero e maior que 1.
Dividimos sucessivamente o numerador e o denominador daÍracão por um divisor comum, até
obtermos aÍracáo com os menores termos possíveis.
Essa fraçã0, cujos termos devem ser primos entre si, é chamada forma simplificada ou forma
irredutível da fração dada.
Assim, afraçáo 4 ea forma irredutível da fraÇão I3 72'
Outro caminho que podemos seguir para simplificar frações é efetuar uma única divisão pelo
maior divisor comum dos termos daÍracão, no caso, pelo número 24:
,24
482
NT
'\4'--.:24-
t2
1B
6:2
93
48 _2
723
154
xarclcl05
L Compare, usando :, ) ou (.
D + de Htro e 250 mililitros
,, +"í, , +.+
2 Escreva as frações em ordem crescente dos
números que elas representam:
a)1
'a
J
") +"+ sim
o) +"+r não
5 Escreva uma fração de denominador 20, que
seja equivalente a cada uma das frações a seguir:
1, 1.4 7
M14M1 3 1 I 14
u ta 14 la-' 1í
3 Um terço de uma quantidade é quantas ve-
zes maior que um sexto dessa quantidade? du..
4 Verifique se as frações são equivalentes:
b)39'7474
€3 Observando a Íigu-
ra, responda:
11
97
1539
24510
, i#"+ sm
or+"+sm
1_105_ 25.3-12..9-
z-10'q 20'5 20'1a(6 Escreva uma fração equivalente a:
L
a) -1 e oue tenha denominador 27.'9r
18
20
15
27
o) + e que tenha numerador 44. +
7 lJsando a equivalência de frações, diga qual
número se deve colocar no lugar de x para que:
,71,4-\1xu) q: * x-18 a, g 
: 
32 \:4
b) 3 _ 9 r:33 ü f_:_]_ r:4e11 x21.4
1
5
a) Aparte rosa representa qual fração da figuraÇ
b) Qual é a forma irredutível dessa Íraçáo? â-
€) Entre as frações a seguir, identifique as que
estão na sua forma irredutível. i :' ]
3 4 2, 5 10, 1ru '-=-, T"j -Ü -Ü T)
L0 Em um jogo, você acertou 15 de 20 tenta-
tivas. Escreva, na forma irredutível, a fração que
representa as jogadas que acertou'
I- L Obtenha a forma irredutível das frações:
b) 63' 105
3
5
L2 Sabendo que a hora tem 60 minutos, re-
presente com frações e simplifique:
a) 5 minutos em re- d) l0minutosemre-
lação a uma hora. lação a uma hora.
a) L05 5'633
5 da hora; 1
60 1:
b) 15 minutos em re-
lação a uma hora.
r'' ''' i'"10\ 2
g F--s -
84'7 
^s,i
c) 30 minutos em re-
lação a uma hora.
30 da hora. t h
ouz
e) 45 minutos em re-
Iação a uma hora.
45 o'a, 3
60 1)
. ^'r', ''' i''\í0 2
f) 60 minutos em re-
lação a uma hora.
. 11
, 10
ig
'.8
'.7
155
Um giro pelos quadrados
3ô
?
54
Substitua ? pu
números naturais, de
modo que as frações
sejam equivalentes.
Substitua tÉ pela Íração
equivalente irredutível.
?
40
60
2
I
t2
*- 2
3
11------- i e 5 são fracões com
d e n o mi n a d o r es diferentes.
52-----* 10 , ii são fracões equivalentes às
frações acima e têm o mesmo denominador.
1
2
5
10
Zl Redwind.o dwm ow n^aiE {raçtte5 c^o
A^a5n^o denonninador
O que + , f ,o0., ter em comum? Observe o esquema a seguir.
156
2
24
16
60
90
910
---------> 12 e n
Dadas duas ou mais fracões com denominadores diferentes, podemos obter frações equivalen-
tes às frações iniciais e que tenham o mesmo denominad or. Para tornar o cálculo mais simples, esse
denominador deve ser o menor múltiplo comum dos denominadores das frações dadas.
Essa operação e chamada redução das fracões ao menor denominador comum.
Veja o que foi feito:
1
5
Então:
1^1
2"5
52+ 10-10
As fracões obtidas são equivalentes às frações dadas e com denominadores iguais.
35
O que f e f Oodem ter em comum? Acompanhe:
são frações com denominadores diferentes.
910j7 e fi são frações equivalentes às frações iniciais,
mas têm o rnesmo denominador.
Veja o que foi feito:
35------> 4 e 6
5
6
3'
4
10
T2
Então:
3^5
4 " 6
9
t2
10
n
157
5l
bü
xurctclo
lztioB6
636363636
1,1, 30 28 45 t,
10 to 70 to to
29
5, M'
a
d) +,
.3e) 7l
'1154a) 4,5 1o 20
Í\ 1, 1 4 3O) e , g % %
Reduza ao menor denominador comum as frações:
52
1.8',9',
749
20' 75', 10'
,52
ualcular 9 9'
Representando geometricamente:
5
92
I
I
isi
l+-+l
^.,357g204nc) B' 6'12 24 24 2a r)
1,1, 21 16 54 22
30 60 60 60 60
527
-I
999
523
999
Z|Adiçâo aE,,htraçao
Observe os exemplos a seguir.
carcurar +. +
Representando geometricamente:
7
I
2
Para adicionar ou subtrair números representados por fracoes que têm
o mesmo denominador, adicionamos ou subtraímos os numeradores e
conservamos o denominador.
158
Agora acompanhe os exemplos de adiÇão e subtração de frações com denominadores diferentes.
carcurar + - +
Representando geometricamente :
i11i
r<--+--lt13r
rt
Calcular + . { e o mesmo que catcutat+ - +
Calcular + - ! eo mesmo que calcular + . +
mais
,|
2
mats
32+- + 
- 
-
66
.-s---*ioi
Então: 11
23
21_4_
52
32
6'6
45
10 10
5
6
frações com frações equivalentes
denominadores com o mesmo
diferentes denominador
carcurar +. +
Representando geometricamente :
mais
21
52
mais
9
10
frações com frações equivalentes
denominadores com o mesmo
diferentes denominador
I
I
2
5
1
2
4
10
5
10
I
10
Então:
159
carcurar + - +
Representando geometricamente:
frações com
denominadores
diferentes
ttt
10 10
frações equivalentes
com o mesmo
denominador
frações equivalentes
com o mesmo
denominador
'l
-T-
l5
I to
I
Calcular + - ! ao mesmo que calcula, + - +
Então:4185
52
frações com
denominadores
diferentes
carcurar + - +
Representando geometricamente :
:3
10
1
2
3
6
1_1
23
Calcular + - { eo mesmo que calcula, + - +
:1
6
1
3
2
6
Então:
menos
I<----i+ 4 1+
ll52
i4;
r5r
Para adicionar ou subtrair números representados por frações que têmdenominadores
diferentes, reduzimos as fracóes a um denominador comum e, em segurda, efetuamosa adição ou a subtração com essas frações.
Agora, vamos aplicar o que aprendemos na resolu çáo de prob)emas. Acompanhe as situações;
13 Parafazer um trabalho escolar, Daniel ,ro, f de uma folha de cartolina e sua írmã ,.o, f
da mesma folha. Que fração dessa folha os dois usaram?
Para resolver esse problema, calculamos + . +
2+1_g-,_3_11
34121212
t+
reduzindo ao menor
denominador comum
Os dois juntos usaram # Orfolha de cartolina.
22 Todos os 9 capÍtulos do livro que estou lendo têm a mesma quantidade de páginas. Já li 5
capÍtulos, Que fração do livro falta para eu terminar a leitura?
Para resolver esse problema, vamos considerar que foram lidos I do livro. Então falta fer f - f .9
,5954:-:--9999
Faltam, ainda, A Oo tiuro.
9
3! Renata fez uma pesquisa, em sua escola, sobre o grau de informacão a respeito da dengue. O
resultado foi dado pelo gráfico:
Renata esqueceu de escrever afraçáo correspondente
às pessoas mal informadas. Qual é essa fraçáo?
Para resolver esse problema, calculamos + . +
7114519
-:104202020
Então a fração dos mal informados é dada por 1 - *
,1920191:_:_'20202020
Os alunos mal informados correspondem , + do total pesquisado.
161
Z bem informado
l- mais ou menos informado
Z malinformado
Malba Tahan
O escritor árabe Malba Tahan nasceu em 1885 em uma aldeia nas proximidades de Meca, lugar
santo da religião muçulmana, o islamismo' Estudou no Chegou a
assumir o 
"uigo 
de queimaçã (prefeito), da cidade de El eu grande
herança do pá e inicliou uma lànga viagem pelo ]apão, 921' lutando pela
libertação de uma tribo na Arâbia Central.
E é Malba Tahan que nos conta a história de Beramis Samir em "O problema dos-camelos".
Na verdade, Malba Tahan nunca existiu! Ou melhor, existiu na imaginação de Júlio César de
Mello e Souza,professor, educador, pedagogo, conferencista e um dos nossos escritores mais
conhecidos internacionalmente.
Mas de onde surgiu a idéia de Júlio César assinar suas obras como Malba Tahan?
O Problema dos camelos
Beramis samir viajava por uma 
estrada 1::"':*::l:"*t".llili:r:Tlll::.Í,TJ:1il;
"-^ii;l#;:1H#:1ffi "Tilffi 
:T:ffffi ff ;;il;iúa'Beramisescutouorerato
do mais velho dos três homens'
- Somos 
irmãos e recebemos 35 t'T:t-::,:t^1t^::Jil:"
de nosso pai. Segundo " 
iãti'*""to' o mais velho dos filhos
deve receber a metade á"t t^À"f"t' o Íilho 
do meio recebe a
i"rçu purt", e o mais novo' a nona parte'
Como a herança era de 35 camelos' 
os herdeiros não
.or,r"!itã'Ji,iai-ü "ã* 
p "r^'""'i1": :: :::**" 
ímp ar e
;;J;* deles queria cortaÍ um camelo ao melo'
Como resolver essa situação?
Enouantoescutavaahistória,BeramisSamirrabiscavaa
areia coÀ um Pedacinho de madeira:
Herança de 35 camelos
Filho mais ttettto' j- de ss
Filho do meio:
1
-!- de 35
J
I arss
v
Beramis Samir, também conhecido 
como
"--lã 
no*"* que calculava"' ofereceu juntar
seu camelo aos 35 que os irmãos
Possuíam' com uma 
condição' l-o-
- Qual 
condição? -
perzuntaram ao mesmo tempo os irmãos'
' áJ*oortru^do esPa nto PeIa of erta'
"o homem que c alculav n;"'."#3i1"':
ainda assim
ele ficaria com a
sobra.
Os homens aceitaram a ProPosta'
Filho mqis nouo:
162
r
Muito antes de se tornar um escritor famoso, Júlio César trabalhava como colaborador do
jornal carioca O Imparcial . Já Íazia algum tempo que entregara ao editor do jornal
cinco contos que escrevera. Percebendo que seus contos haviam ficado em
um canto da redação, pegou-os de volta, sem fazer alarde. No dia seguinte,
entregou-os novamente ao editot dizendo que acabara de traduzi-los e
que Íaziam grande sucesso em Nova Iorque, de um autor conhecido,
chamado R. S. Slade. O primeiro deles, A vingança do judeu, Íoi
publicado já no dia seguinte, e na primeir a páginar. Os outros
quatro tiveram o mesmo destaque.
Aprendida a lição, ]úIio César dedicou-se aos eshrdos sobre
a cultura e a língua árabes, preparando-se para dar vida a Malba
Tâhan. 8rr.7925, publicou os Contos de mil e uma noites, o
primeiro de uma série de escritos de Malba Tahan. Sua obra
mais conhecida é O homem que calculava.
Filho mais oelho: 7z de36:78
Filho do meio:
Filho mais nooo:
Total: 34 camelos
E com um camelo a mais, Beramis Samir partiu para novas avenfuras.
!a,sa:u
!a,se:+
Fonte: O homem que calculaoa,de Malba Tahan, Coleçao Saraiva (adaptado).
163
a)
Professor: Os cálculos sáo Íacilitados com o uso dos discos reproduzidos pelos alunos
3 3_6
777
5 6 1'l
12 12 12
a)
b)
1
2
z
5
I
o
5
8
5
!
6
L Escreva e efefue a adição que as partes colo-
ridas de marrom e verde das figuras sugerem:
2 Escreva a subtração sugerida pela parte co-
lorida e pela parte assinalada com X na figura:
3 Calcule e, se possívef simplifique o resultado:
7 Calcule as expressões. Se quiser, use os re-
sultados da tabela da atividade anterior.
1.1.5
z'3'6
351
4'6 2
623"
1153
2364
€! No primeiro dia de
trabalho, Arnaldo
1
pintou f de um
muro e, no segundo
dia, pintou o triplo do
que havia pintado no
primeiro. Avalie se o
que ele fala é verdade.
Da renda de uma partida de futebol, f
responde às despesas gerais, )- caAeao clu-
be vencedor e o restante cabe ao clube perdedor.
Nessas condições, qual a fração da renda que
cabe ao clube perdedor? +
Frações
cruzada§
Encontre os
números que faltam.
1
4
+ 21 1
2
+ + +
?3'4 +
2
4
5
4
1 + 23 "r7
5
3
13
12
a)
b)
c)
d) 1
4
b)a)
I _5 _ 2
771
7 _3 _ 4
999
.1 5 2
^) q* g* 9
o) +.+-+
,7 4e) - *----=--'66
Uma pessoa gasta * ao seu salário com o4n
guet da casa onde mora e f com ativida-
des de lazer. Que fração do seu salário essa pes-
soa gasta em aluguel elazer? 
20
5 Use retângulos ou círculos para representar
geometricamente os cálculos a seguir.
,6 1a) u- 6
.173
" 10'10 10
732d) ls - 15 - 15
3 9^
- 
- 
-a 
^6 6',"
o)+++
(6 Faça um quadro como este no caderno. Com-
plete-a com frações equivalentes, mulüplican-
do o numerador e o denominador das frações
pelos números indicados.
?q
15
?t.,É
20
%,
30
?^
-
2r.
a:
12
1c
T6
br
24
lc
6
?ao:
8
Dtaú1
12
?a
9
?q
12
À.
T8
?a
12
?a
L
18
DtçÜ
24
?_eo
36
pinteí ametade
1
2
1,
Ĵ
3
4
5
6
164
n A {orA^c^trnigta
* o, l inteiro
Vamos combinar que cada figura representa um inteiro. Observe:
* ,, 1 inteiro
2
3
)r=
)1+
São dois inteiros , 1.Há duas maneiras de representar essa quantidade numericamente:J
+ -3- + L : 8,queéumafraçãoimprópria.333
, * + ou2+ t ou,simplesmente,2f, or.échamadaformamistada fração.
8 ^2---=- : 'l - > dois inteiros e dois tercos3 -3
forma mista
acão impropria
Veja esse outro exemplo:
2
--------->
3
2*
3
8 _ 6+2: - 2 :223 3 3 -3
16 : 15+1 _ - 1 :.15 5 5 "5
3 unidades
aaa ooa
dois inteiros e dois tercos
[.[-1] U-T-t-l
aE:oa
fração impropria
Perceba que toda fração impropria pode ser escrita na forma mista:
3 1 ,1
ã 
* 
ã 
:' 
3 
-----* um inteiro e umterco
-L- 
forma mista
165
[-T-r mlTt
três inteiros e um quinto
Observe que todo número racional escrito na forma mista pode se transformar numa Íracáo
imprópria:
, ,+:2++:+- +:+
, r+:3++:+.+:+
ooa-aaa
oito tercos
iT-[-I tm-I
L Escreva na forma mista os números racio-
nais. Use figuras para representá-Ios.
dezesseis quintos
4 Usando uma bicicleta, Carlos percorreu
hora. Quantos
quilômetros ele
Percorreu nessas
duas horas?
(Dê a resposta na
forma mista.)
2/ 5 aui ômetros
6
2 Escreva na forma de fração imprópria os se-
guintes números racionais:
, 21,a)-4
3
a) s)-
b) 10+
.JJt)to 3
,.2c/ c.-
d)1+
3 Quanto falta ao número
1
7 -:-?
6
13
15
para atingir 5 Determine o valor da expressão numérica
/.')7
f_-t_+_a_'5 '3 10'6
Sáo 27 copos iguais. Sete
desses copos estão cheios de
suco, sete têm suco até a
metade e sete estão vazios. De
que maneira podemos colocá-
Ios em três bandejas, de modo
que cada bandeja tenha o
mesmo número de copos e a
mesma quantidade de suco?
Um copo vazio está cheío de ar...
Tcheios+Tpelametade '10 
1 ;3 1 
".cadabandejaou22
l€, t@j
166
,5;| +il0-etros na primeirahora e 12 flq*
Iômetros na segunda
A aritmética da Emília
Esse é o título de um dos lívros d.e Monteíro Lobato,
autor que criou personatens inesquecívek
José Bento Monteiro Lobato nasceu em Tâubaté, São Paulo, ern78/4/7882. Narizinho,
Pedrinho, dona Benta, tia Anastácia, Visconde de Sabugosa, Jeca Tatu, e tantos outros personagens
criados por Monteiro Lobato, povoam o Brasil de fantasia para mostrar a realidade.
Se você ainda não conhece as histórias maravilhosas de Lobato, Ieia esse trecho, em que o
sabugo Visconde ensina frações a Pedrinho.
A dÍvisão da melancía
- Ótimo! - exclamou de repente o Visconde. - Esta melancia veiomesmo a propósito para ilustrar o que eu ia dizer. Ela era um
inteiro. Tia Anastácia picou-a em pedaços, ou frações. As
frações formam a parte da aritmética de que eu ia tratar
agora.
- Se pedaço de melancia é fração, vivam
as frações! - gritou Pedrinho.
- Pois fique sabendo que é - disse oVisconde. - Uma melancia inteira é umaunidade. Um pedaço de melancia é uma
fração dessa unidade. Se a unidade, ou a
melancia, for partida em dois pedaços,
esses dois pedaços formam duas frações
- dois meios. Se for partida em trêspedaços, cada pedaço é uma fração igual
a um terço. Se for partida em quatro
pedaços, cada pedaço é uma fração igual a
um quarto. [...]
- Está compreendido. Passe adiante -disse o menino, ansioso para chegar ao fim da
lição e avançar na melancia.
- Temos de aprender - continuou o Visconde -o que é número inteiro e o que é número misto. Número
inteiro é a melancia ou as melancias que ainda não foram partidas. Número misto é a melancia
inteira com mais uns pedaços ao lado. [...]
- Chega - disse Pedrinho -, isto é tão claro que não vale a pena perder tempo insistindo.Agora eu quero saber para que serve conhecer frações.
- Para mil coisas - respondeu o Visconde. - Na vida de todos os dias a gente lida comfrações sem saber que o está fazendo.
Fonte: Aritmética da Emília, de Monteiro Lobato. 8. ed. São Paulo, Brasiliense, -1977 , p. 92-4.
/k"'o 6 conn lfi*
1. Represente as frações que estão no texto.
2. Dê exemplos de situações que se encaixam na última frase desse texto.
1211
2234
167
3a
O
(a
,
5
rb -
3-
a
-
a
aa
ot
-a'.'l
30 l,tnltiplicaçâo
14ní,ti icand,o tuv nínnaro nalwra(, wnn nimaro {racionário
Considere o exemplo:
Em uma caixa cabe í O"quilograma de balas. Até quantos quilogramas de balas poderão ser
colocados em 3 caixas iguais a essa?
Para resolver esse problema, devemos fazer:
L + L +L:zxZ:gou3x55555
3 vezes
2_
5
3x2 _6
5
61
5555
Serão colocados * r, , *
2
5
de quilograma de balas.
Para multiplicar um número natural por número representado por
uma fraçã0, multiplicamos o número natural pelo numerador da
fraçáo e conservamos o denominador.
0utros exemplos:
) 5x +: lãÀ:
Considere os exemplos:
Quanto o^ + oe {z
Em Matemática, a palavra "de" pode ser substituída
pelo sinal x de multiplicaçã0.
Assim, devemos calcular I " 
!
23
10
2011
)4x *:
1ó8
4x3 12
Resolvendo a situação geometricamente:
2 Marcelo anaa a de quilômetro para ir de
5
casa até a escola, Roberto, por sua uez, anda l-
dessa distância parair de casa até a escola. Que
fração de quilômetro Roberto percorre quando
vai de casa até a escola?
A parte colorida de amarelo representa * O, tigura.
A parte hachurada representa * Orparte colorida de amarelo,
ou seja, * o, * o. figura.
A parte hachurada e colorida representa * O, figura. Então:
1 .. 1 1xl 1:-:-2 3 2x3 6
Observe que, neste caso, o resultado (+) é menor que qualquer um dos fatores (+ . +)
1 .. 1 1
236
.)t
, oU seja, 
=- 
x +.53
2 4 2x4 8--::-3 5 3x5 15
Queremoscalcular i"*
Geometricamente, temos:
Então: +"+: +-......*
Roberto anOa f de quilômetro.
II
A parte colorida representa á Ou figura.
A parte hachurada representa * O^parte colorida, ou seja,
â0. *ourigura.
A parte hachurada e colorida representa # O, figura.
169
I
Para multiplicar dois números escritos na forma de fracã0, multiplica-se o numerador de
uma pelo numerador da outra, e o denominador de uma pelo denominador da outra.
Veja um pouco mais. No esquema, representamos a metade da metade da metade da metade,
ou seja, * o" * o" i o" i,
*o"to"i"t
1
2
1 .. i .. 1 .. 1 1
-:-2216
A lícnica do cancalau^qyúo
Observe as multiplicacões:
tlx 1:!? : 3 ) 5 x 3:15 : 174287125604
Nas duas multiplicações, simplificamos depois de obter o produto. No entanto, a multiplicação
com duas ou mais frações torna-se mais simples quando simplificamos antes de efetuar a operaÇão.
0bserve:
I
x_ 3 1., 3 3
-:74717
I - 
Simplificamos 4 com 4, dividindo ambos por 4.
______> 
Simplificamos 5 com 5, dividindo ambos por 5.
Simplificamos 3 com 72, dividindo ambos por 3.
Essa técnica de simplificação antes de efetuar a multiplicação é conhecida como técnica do
cancelamento.
Veja outro exemplo:
1
À{
5
zz
1
o
J .,2(_2(
7
1x3x1
1x7x5
Simplificamos 9 com 3.
Simplificamos 2 com 10.
170
35
xs-rclct(]9
d)
e)
a)
b)
c)
4x + tL55
')v 4 aA/\- 9e
-1i,*ã;
7. EÍefue, simplificando o resultado quando
possível:
72 10
10s
11 22
3
2 Efetue e simplifique o resultado quando pos-
sível:
a\458
21 8) 4xg 10
21 h) gx-4516g410
,]
3
11
7
,94
"l s^+s
o #"*
I) 7 x17 l'777
.13 10*'10^rg I
3 Que observação você pode Íazer a respeito
dos quatro últimos itens do exercício anterior?
O produto é 1 e os dois fatores sáo fracóes nas quais o numerador de
uma é igual ao deeorinador da outra. e vice-versa
m uma sala de 
^ula, l dos alunos prati-'3ô
esportes. Desses alunos, f iosr* volei-
bol. Qual a fração dos alunos da sala que prati-
ca voleibol? L
2
5--x
6
1.,
2
)
ô/\
J
1 .. 4_x_47
5 .. 4_x_
45
1 .. 4
J/
7 ..3_Y_
8"2
3 .. 5
-x_5"9
2 ..11
-x-7" 2
a)
b)
c)
d)
5 Esse bolo de laranja com casca é uma delí-
cia! Acompanhe a receita.
Fonte: Cozinhando com cascas, talos e folhas,
de Maria do Céu. São Paulo, FTD, 1998.
a) Quanto de cada ingrediente será necessário
para dobrar a receita? E para triplicar?
Naordemdareceita: 2,8,2,3,1,2,2,2,4e4,3,12,e, 9 3,3,3,3,6e6
b) Para fazer 7e { receita, quanto aâ.râu ir'r-'2
grediente será necessário?
r1,o,t 1 9, 3,t l,t-1 ,t 1,g"g2244222
(6 Em um mapa, cada 1 cm equivale a 5 f eui-
lômetros. Nesse mapa, a distância entre Parai-
tinga e Costinha é de 12 cm. Qual é a distância
real entre as duas cidades? 63 oui ômetros
7 Pense e responda:
a) Quantas vezes f ftro cabe em:
)llitro? tf1litro? )2litros?
2
2 vezes 3 vezes 4 vezes
b) Quantas vezes I a"kg cabe em:
)1ks? ,tur, >t)-ug?
4 vezes 2 vezes 6 vezes
171
&3.q*!r.^
2 collteree;;,,
As quÍnze laranjeÍras
Um fazendeiro possuía uma casa em um
terreno quadrado, onde havia quinze laranjeiras
plantadas em linhas e colunas.
O fazendeiro resolveu dar a cada um de seus
cinco filhos * ao terreno, excluindo a parte5
ocupada pela-casa, que correspondia a f at
mesmo.
tr
f
?
?
?
?
Mos tenho duos
condições poro o
dívisõo do f erreno.
A primeiro é que os
cinco lotes tenhom
óreos iguois. A segundo é que codo
lote tenho trâs
loronjeiros.
lr olo 1ll.l.l l.lLIIÀIl.l. .l.l
Cumprindo as condições do fazendeiro, como é possível dividir o terreno?
Fonte: Atividade baseada em As maraztilhas da matemdtica, de Malba Tahan. 5. ed Edições Bloch, 1983
172
3l Divigâo
Nínnero5 lytvar5o5
Considere as multiplicacões:
)4x+: !:t44 I f ,.{:l lx6:9:tbb 12ít2
Note que o resultado de todas essas multiplicações é 1.
Quando a multiplicaÇão de dois números racionais não-nulos dá 1, os números são
chamados números inversos. Um número é considerado o inverso do outro.
Voltando às multiplicações acima:
) 4e
,+
,+
1-1
f são números inversos; 4 é o inverso de V e vice-versa.
e 6 são números inversos; l e o inverso de 6 e vice-versa.
b
4a s sao numeros rnversos; I ao inverso o. * e vice-versa.
Na prática, obtemos o inverso de um número racional, escrito na forma fracionária, trocando as
posições de seu numerador e de seu denominador.
Considere os exemplos:
I Vera programou um bate-papo com suas amigas.
Para o lanche, Vera comprou 4 pães
calculandoque + de pão por'5
pessoa seriam suficientes.
Quantas pessoas havia
nesse bate-papo?
173
Primeiro vamos resolver esse problema geometricamente:
4 unidades
ttttttt tlttl
t2r rrtrr rtrrr
trrttt ttttt
rÃrrtrrrtrttt
t-rrrrrrrrrrr
tlrrrll lllrl
12345 67 I I 10
Concluímos que havia 10 pessoas nesse bate-papo.
tarde. Que fração dapizza coube a cada um?
Geometricamente, temos:
! caoeT0vezesem4,
ouseia,l: Ç:lO.
a multiplicação de 4 pelo
2 Do almoco, sobraram * O. uma pizzaque Cauê e Maurício vão dividir igualmente no lanche da
4
4x
5
T
2
E
2_
5
5_
2
A parte colorida de amarelo represen-
?
ta * da pizza.
3
Maurício gosta muito de ketchup, por
isso a sua parte aparece avermelhada. Ela
2
representa f dividido em 2 partes iguais,
ou seia. a', 2: 35 10'
Entã0, cada um deles come, + da pizza.
Observe, agora, que a divisão por 2 dá o mesmo resultado que a multiplicação pelo seu inverso
)_ 3-10
3->tr'
1:3J
210
35
Agora observe que a divisão de 4 por t O^o mesmo resultado que
seuinverso(+)
174
1
3
1
3
3 A figura seguinte indica a divisão + , +36
Aparte colorida de verde reoresenta !.
A parte hachurada reoresenta | .
Analisando a figura, f cane 4 vezes ., +
Podemos escrever aue Z, + : o.
Neste caso, vemos que o quociente (4) é maior que o dividendo (+). Este fato pode ocorrer
na divisão de números racionais.
Novamente você observará que a divisão por + dá o mesmo resultado que a multiplicação
pelo seu inverso (+ ., simplesmente o).
L,f-:t
36
2
+"+:!:+ I
I
Para dividir um número racional por outro número racional, diferente de zero,
multiplicamos o primeiro pelo inverso do segundo.
Veja outros exernplos:
L t'1:txl:29 3 -4.5 4-à--44 T- 3 o 9 T: -y ^ 5 : 15
3
121_1_LÃ323\,9272 11 ': 11 '*:i 4 10 ã: 10 ^ i: n
---------->2,1-2,63631
175
)2
5
:2: 5
I- Qual é o número que multiplicado p", +
dá 1? Como se chama esse número em relação
,4
aO numefo 
J- 
í T!i'i - :
2 AÍíguraseguinte sugere a operação 4 , g.5
Qual é o resultado dessa divisão?
2
5
2:5:
3 Calcule:
a) u, +
b) 7,+
fi-:u
n. 11
4
14 g)
4
íÂ
1
20
4
11
d)
e)
c) f ,s h) 1,+
I
14
4 Em um pote cabem 4 xícaras de farinha. Quan-
tas xícaras de farinha cabem em + do pote? 34)
O,+
o0:4
5+i)
7 --
2"
5 ..)
xarclct05
Assim, a divisão entre números racionais é sempre possível, desde que o divisor seja diferente
de zero.
Podemos dizer que toda fração representa um quocíente do numerador pelo denominador:
1)13
-i: 9 ou2525
1
T
35
5 Em um copo .uuu f de litro de água.
Quantos desses copos são necessários para
encher uma jarra com capacidade puru ]- a"
litro de ágta? 4 copos
Dona Bete tem 5f metros de tecido para
er aventais. EIa gasta f metro de tecido em
cada avental. Quantos aventais conseguirá Íazer?
,17 Indique 6f centímetros (cm) na régua.
"flq*ryorq,ryrl'rffill5678
Responda:
a) Em O)- cm,há quantos )- cmZ 13
b) E em 10 cm, há quantos )- crr.Z 20
176
(
€i Uma torrefação de café colocou 465 quilo-
6ramas de café em pacotes a" * de quilogra-4I
ma cada um. Quantos pacotes foram obtidos?
620 pacotes
S) Um operário trabalha 8 das
24 horas de um dia. Que
L(O Escreva na forma de fração irredutível os
quocientes:
a) 7:7
b) 20: 40
L L Determine o valor das expressões numé-
ricas:
a)Z,!*L t b)_1__4,.L,,'3 '5 2 3 -',2 8'4
L2 Camila comprou 4 quilogramas de carne
moÍda. Düdiu essa quantidade em pacotes de f
quilograma cada. Quantos pacotes foram feitos?
13 Calcule:
Clarice adora charadas. Olhe o que ela
respondeu quando um amigo perguntou a
sua idade.
a
- Tenho t d" idade de Maria, que
tem o dobro da idade de Virgínia, que tem
1
10 d" anos a menos que Sandra, que tem
20 anos.
AÍinal, quantos anos tem Clarice?
27 anos
O segredo
de Clarice
L
5
!
3
1
2
c) 28:20
1041,)-€--" o)+.' .)+;
917
fração do dia esse
operário trabalha?
o, 1 do di.
243
ITIII
8 pacotes
177
32 Ag [raçüq5 aa porcenta1.at,.
Certamente você já leu ou ouviu afirmações Como as da manchete a seguir:
Novos dados, apresentados no lV Simpósio lntemacional de Cirurgia Torácica
Vídeo Assistida, traçam um quadro alarmante sobre os perigos do hábito de Íumar.
doenças conhecidas
sáo causadas pelo Íumo
das mulheres brasileiras
Íumam durante a
gravidez. lsso aumenta
em 50% o risco de aborto
espontâneo. Ou faz os
bebês nascerem com um
peso médio 200 gramas
abaixo do normal
desenvolvem algum
tipo de doença devido
ao hábito de fumar dos fumantes deservdvem
doenças pulmonares
obstrutivas crônicas
da população fuma
(60 milhões de pessoas)
178
Fonte: G/obo Ciência, julho de 1997, ano 6, ns 72
,,,]
i
\.,
l
t
Repare que nessas afirmações aparecem quantidades seguidas
do símbolo %.
Então, 38 em cada 100 pessoas são fumantes.
dos fumantes
desenvolvem algum
tipo de doença devido
ao hábito de fumar
dosfr.rnanEs deerwohsn
doenças pulmonares
obstMivas crônicas
% se lê por cenb.
srgnifica por cem.
lsso quer dizer:
cinqüenta por cento
50 pessoas, em cada 100 fumantes, desenvolvem algum
tipo de doenca.
5,0% : ff -----> cinqüenta por cem
20
100 - 
vnteporcem
vinte por cento
20 pessoas, em cada 100 fumantes, desenvolvem doenÇas
pulmonares.
Acompanhe:
100% do círculo corresponde ao círculo todo:
1oo%: i# : ,
50% do círculo corresponde à metade do círculo:
5}o/o: # : +
Para encontrar 50o/o ou
1z
179
de um todo, basta dividi-lo por 2.
(60 milhõeê de pessoas)
25% do círculo corresponde à quarta parte do círculo:
25% :
Para encon trar 25o/oo, l de um todo, basta dividi-lo por 4.
4
-2í 1
+ü0 4
10% do círculo corresponde à décima parte do círculo:
too/o: #-: +
Para encon trar lOo/oou + de um todo, basta dividi-lo por 10.
LoÁ do círculo corresponde à centésima parte do círculo:
10/ - 
1
r' /o - 1oo
Para encontrar !o/oo, Th- de um todo, basta dividi-lo por 100.
Podemos usar essas porcentagens para calcular:
75% : 3 x 25% ------ dividlr o todo por 4 e multiplicar por 3.
900/o : 9 x l0o/o --------- dividir o todo por 10 e multiplicar por 9.
4l% : 4I x l% -------- dividir o todo por 100 e multiplicar por 41,
Acompanhe os exemplos:
1 Calcular 27% de 500.
27%de 500:27 xl% de 500
500 : 100:5
270Áde 500:27 x5:135
2 Calcular 85% de 600.
85% de 600 : 50% de 600 + 250Á de600 + 10% de 600
600 : 2:300 600 : 4: 150 600 : 10:60
85% de 600 : 300 + 150 + 60 : 510
180
Lembre-se 
que 
- ^
85:50+25+ IU
xq-]rclcao5
L Escreva na forma de fração as quantidades:
a) 8% b) 19Vo c) 43Vo d) 120%
8 19 43 120
100 100 100 100
ZEmum jogo de basquete,
arremessos que fez.
Qual é a quantidade,
3 Calcule:
a) 25Vo de 700 n5
b) 757o de 700 s25
c) 50Vo de 700 3so
d) SVo de700 3s
e) 55% de700 385
Í) 60% de 700 420
4 Qual é o número de pessoas que representa
55% de 3 000 pessoas? 1 6bo pessoas
5 Qual é a quantia correspondente a 37Vo de
25 000 reais? e 250 reais
(6 Numa eleição havia 35 000 eleitores inscri-
tos, mas 6% desses eleitores não votaram.
a) Quantos eleitores não votaram? 2 100 êreitores
b) Quantos eleitores votaram? 32 e00 eleitores
7 Umapizzafoi dividida
em 8 partes iguais.
,
Beto comeu f,
L
João comeu -fi.
Faça um esquema
para representar essa
situação e responda:
a) Quantos pedaços Beto comeu? Que porcen-
tagem do todo isso representa? 2,25%
b) E quantos pedaços João comeu? Que porcen-
tagem do todo isso representa? 4,50%
c) Que fração sobrou? Sobrou mais de 25% ou
menos? 2 :2so/o
8
d) Quantos por cento dapizzaos dois comeram
juntos? Que fração isso representa? -r"v", + ", +
€i (Saresp) Uma pesquisa publicada pelo jor-
nalFolha de S. Paulo levantou a parcela da popu-
lação chamada de "excll)ída" . (São pessoas que,
em geral, não completaram o 1a grau e vivem
em famíIias com renda inferior a R$ 1 200,00.)
Constatou-se que essa parcela corresponde a
60% da população. Qual é o gráfico que melhor
representa essa situação?
c)
excluídos
outros
9 (Saresp) Um terreno foi dividido em quatro
partes, de modo qte2SVo são para a construção
da casa, 50% para o pomar, 207o para a horta e o
restante para o jardim. A representação gráfica
que corresponde à divisão feita é:
a)\c)
I excluídos
I outrosd)
tr
tr
181
,d)
em porcentagem,
dos acertos
de Oscar? 50%
33 Ragolwçao d,e prohLart^c$
)
fde20
total de jogadores menos jogadores
dispensados
:2
5
Você se lembra das quatro etapas essenciais sugeridas pelo matemático Polya?
1e etapa
Compreender o
problema
Vamos resolver as situacões a seguir, analisando-as segundo as etapas sugeridas por Polya.
13 Para a 1e fase de treinamento da seleção brasileira de basquete,
foram convocados 20 jogadores. Terminada essa fase, ] dos jogadores,5
foram dispensados. 0 treinamento continuou com o restante dos
jogadores. Quantos jogadores foram dispensados? Quantos continuaram
em treinamento?
Compreendendo o problema
São dados: ) o total de jogadores : 20
) quantidade de jogadores dispensados
Esquema:
Traçando um plano
Devemos calcular: )
182
Colocando o plano em prática
Observe no esquema afracáo que representa o total de jogadores na primeira fase do treinamento.
', Z0+
tr* ----- 20
5
:
Para saber quantos jogadores correspondem àfração unitária, fazemos:
dispensados
? 
- 
2 x 4: Sforam dispensados.
5
4
tt
1
5
Agora é só calcular a quantidade de jogadores
1
5
20:5:4
2
5
Se 8 jogadores foram dispensados, então 20 - 8: 12 continuaram em treinamento.
Comprovando os resultados
dispensados + não dispensados : total
8 + 12:20
Foram dispensados 8 jogadores e 12 jogadores continuaram em treinamento.
22 Mariana e Gabriela estão preenchendo,
juntas, um álbum de figurinhas. Mariana já
cotou l das figurinhas e Gabriela colou
2o
* das figurinhas. Sabendo-se que as
+
duas já colaram 99 figurinhas, quantas
figurinhas tem o álbum completo?
Compreendendo o problema
44
ttt ltt
São dados: ) Mariana colou * Om figurinhas do álbum.b
) Gabriela cotou * das figurinhas do álbum.4
Juntas, colaram 99 figurinhas.
183
ltrltt
Traçando um plano
Calcular: ) a fraÇão de figurinhas que as duas, juntas, colaram no álbum.
) quantas figurinhas correspondem à fracão unitária.
) o total de figurinhas do álbum.
Colocando o plano em prática
Para saber afração das figurinhas que as duas colocaram no álbum, adicionamos; as quantida-
des já coladas pelas meninas.
1-'3_2_9_11
6 4 12 * i 
: 
i 
----------- fracão das figurinhas que as duas colocaram juntas no álbum
99
# -,,
o
Para saber quantas figurinhas correspondem à fragão unitária, fazemos assim:
lllllltttlr 99 I 11 :9
E, finalmente, para calcular quantas figurinhas tem o álbum completo:
lttlrltttttt
lrrrtrrrtttt
12x9:108
1_ --------+
I2
1
12
,, 
_________
t2
Comprovando os resultados
+"108++"108:18+81:ee
0 álbum completo tem 108 figurinhas.
184
)
33 Já oercorri 4- de uma distância. Ainda faltam'5
420 metros. Quantos metros tem essa distância?
Compreendendo o problema
São dados: ) distância percorrid u: ! do total
) distância que falta : 420 m
Tracando um plano
Calcular: ) afraçáo que representa o quanto falta.
) quantos metros correspondem à fração unitária.
I a distância total.
Colocando o plano em prática
3
5
_2 _
5
I
I
5
5
23
55
3
5
,-----
5
420
420:3: 140
L<- 140 ---'
5
5
5 x 140: 700
Comprovando os resultados
2 x 140 + 420: 700
A distância total é de 700 metros.
Fração que representa a distância que falta.
Fração que representa a drstância já percorrida.
Fração que representa a distância total.
420 
- 
+j
l
tlittt
ttllll
1
5
+,140-++ 140- ---140--140* 1aO-l
iritti
185
F'
4? Um pintor trabalhou três dias para pintar um muro. No primeiro dia, pintou * O. comprimento
do muro; no segundo dia, pintou ? Oomuro e, roterceiro dia, pintou os 28 metros restantes.
3
a) Qual aÍração do muro que ele pintou nos dois primeiros dias?
b) Qual afracáo do muro que ele pintou no terceiro dia?
c) Qual o comprimento, em metros, desse muro?
Compreendendo o problema
le dia 1 Ze dia I 3n Oia
28m
Tracando um plano
) Calcular afracão que representa o trabalho dos dois primeiros dias.
) Encontrar a diferença entre a fração que representa o total do muro e a fracáo que representa
trabalho dos dois primeiros dias.
) Sabendo afração que representa o terceiro dia de trabalho, calcular o comprimento do muro.
Colocando o plano em prática
Resolvendo o item a:
Ele pintou do muro nos dois primeiros dias.
2
5
1
J
1 2 5 6 11
-:_:_35151515
11
15
Resolvendo o item b:
15_Lt_4
15 15 15
No terceiro dia, ele pintou
Comprovando os resultados
Resolvendo o item c:
t
- 
--------+ )$I5
1
-i- --------* 28:+:7I5
15 -----* rh><7:105
15 
LJ I
á oo muro.
+r105+ +"105+28: 35+42+28:105
0 muro tem 105 metros de comprimento.
186
L Em um campeonato de basquete, uma equi-
pe disputou 35 jogos, dos quais venceu * O"
acordo com o regulamento do campeonató, cada
vitória vale2pontos e cada empate vale 1 ponto.
a) Quantas partidas a equipe venceu? 30 partidas
b) Quantas partidas a equipe perdeu o, 
"*purj"o,*:,
c) Quantos pontos a equipe conseguiu nesse
campeonato/ se empatou um jogo? 6r pontos
2 Aterçaparte de uma dívida foi acertada em
dois pagamentos iguais. Que parte da dívida foi
paga de cadavez? 6
3 (Saresp) Quais figuras representam frações
equivalent"" u J-?
I
a) IeII
b) IeIII
,c) IIeIV
d) III e IV
4 Um terreno tem 3 000 metros quadrados, dos
quais * fo.u* reservados paraaplantação de'8
Iaranjeiras.
a) Quantos metros quadrados foram reservados
para a plantação de laranjeiras? 1 125 m2
b) Quantos metros quadrados sobraram? 1 875 m2
c) Qual a fração que representa o restante do
terreno? -s
8
II
IV
il
187
5 (Saresp) Afigura está dividida em cinco par-
tes iguais.
A parte pintada representa:
a) 10Vo
b) 12%
u) 2o
b) 35
^c) 20Vo
d) 25%
.) 48
,d) 52
(Saresp) Na portaria de um prédio chegaram,
to dia,65 cartas. Desse total, I foi entregue,5
no 1a andar. Qual o número de cartas distribuí-
das nos outros andares?
\
Para pintar f de um muro/ utilizei 25 li-
s de tinta. o
a) Qual é a fração do muro que me resta pintar?
b) Quantos litros de tinta precisarei para pintar
a parte que falta? r 5 rirros
c) Quantos litros de tinta vou precisar para pin-
tar o muro todo? 40 rrlros
d) Se cada lata contém Zf ttros de tinta, quan-
tas latas vou usar para pintar o muro todo?
1 6 latas
€3 Duas empreiteiras trabalham na duplicação
de uma estrada.
Uma das empreiteiras duplicou ? O"estrada,
enquanto a outra duplicou 4 a"estrada. Com,4
isso, as duas, juntas, já duplicaram 65 quilôme-
tros. Qual é o comprimento total da estrada e
quantos quilômetros ainda faltam duplicar?
1 00 qui ômetros, 35 qu lÔnretrcs
I
I
:
C
L
I
e
tr
c
3C:EF
Ç
(!
üJ
o()
Il
À
c
E
E
ô
9 (Saresp)
gura é:
a) 1,"'1-H]
b)w
c) lii'lill
*d)R
A parte qne representa2SVo da fi-
LO Nas eleições para prefeito de uma cidade
que tem 3 600 eleito r"", $- desses eleitores
deixou de votar. Entre os eleitores que votaram,
-1- votouembranco. 1 an,rlouovo' 3z0 72 roe 5
votaram no candidato que venceu as eleições.
a) Quantos eleitores deixaram de votar? 180 ereitores
b) Quantos votaram em branco? r7r ereitores
c) Quantos anularam o voto? 28s ereitores
d) Quantos votos obteve o candidato que ven-
ceu as eleições? E o que perdeu? 2 052 votos; el2 votos
e) Qual foi a diferença de votos entre os dois
candidatos? r 140 uoto.
a a (Su.esp) Numa caixa com 100 bolas,45 são
vermelhas,20 são azuis e as restantes são ama-
relas. Em relação ao total, a porcentagem de bo-
L2 Vamosfazer um suco especial?
ceita:
, + 
* coPo de suco de loronio
, + 
* coPo de suco de moçã
3- d" coPo de suco de limão
!- "oPo 
de águo
a) Quantos copos rende esta receilca? ,*
b) Adapte a receita para que a quantidade
suco especial tenha o rendimento:
) triplicado z] si zi
) reduzido pela metade
L3 (Saresp) Todos os ZA}lugar,es do cinema
estavam ocupados na sessão de domingo à
tarde. Das pessoas que assistiam ilo filme, 9,4
eram meninas. Um pouco antes de acabar a
sessão, o gerente do cinema combinou com o
porteiro:
- Pegue estes brindes e distribua na saída, um
para cada menina; menino não ganha.
O porteiro retrucou:
- Mas aqui não há brindes sufilcientes paratodas elas, pois o senhor pensou que somentemetade das pessoas seriam menirLas, e isto não
aconteceu.
Se o porteiro entregar um brinde f)ara cada me-
nina, quantas não ganharão?
*c) 60
d) 40
L4 Metade do meu salário correspond 
" " +
do salário de Pedro. Se Pedro recebe R$ 800,00,
qual o meu salário? B$ 4oo,oo
de
-l
"2
55.1 1
84
a) 720
b) 80
r88
ft* 
ando o qwa- aPrandeu
L Umdiscode 33-lt rotaçÕes por mÍnuto toca
durante 15 minutos. Quantas rotações ele deu
nesse período de tempo? 500 rotaçóes
2 Numa cidade, a idade média dos homens é
de 60 anos. Um garoto de 12 anos já viveu uma
fração dessa "idade média". Qual é essa fração?1
5
3 Um número racional é expresso por
(+'+\(+-+).,
Entre quais números naturais consecutivos está
localizado esse número racional? enrÍe E e 6
4 As Íábrjrcrls A, B e C despejam diariamente, num
rio, um total de 170 quilogramas de certo poluen-
te. Afábrica Á despeja f a"su quantidade e
a Íâbríca B despeja o dobro de Á. Qual é a quan-
tidade despejada pela Íábrica C? t ks
5 Observe a seqüência1,, j-, +, ...Qual é a
soma do 5e e 6q termos dessa seqüência? 1
(6 Durante um torneio de futebol, uma equipe
3venceu f dos jogos que disputou e empatou
f . SaUe-se que a equipe perdeu apenas 2 jo-
gos. Se cada vitória vale 3 pontos e cada empate
vale 1 ponto, quantos pontos a equipe acumu-
lou nesse torneio? 64 ponros
7 Umprêmio da Sena saiu para dois cartões,
um da cidade Á e outro da cidade B. Nessa ú1-
tima cidade, o cartão era de 6 apostadores, ten-
do cada um contribuído com a mesma impor-
tância para Íazer a aposta. Qual é a fração do
prêmio total que cada apostador da cidade B
receberá? +
189
ryE
Desde os 9 anos de idade, todo 1q dia do mês Mateus marca sua altura
com um risco vertical em um muro, nos fundos de sua casa. Veja como
estava o muro no seu aniversário de 12 anos:
Agora o muro foi pintado e Mateus, para não perder as marcas, pregou uma tachinha no ponto
mais alto de cada barra. Olhando para o muro, imaginou uma linha passando pelas tachintras, um
eixo vertical no encontro dos muros e um eixo horizontal no encontro do muro com o chão. Ele
imaginou um gráfico de linha ou gráfico de segmentos.
770
770
740
730
722
190
---
-
- -
-
-
-
- r
fto.o ec.t,u, W"u
1. Na edição de 73 / 6 / 07, a
revista Veja ilustrou com este
grâfico de linha uma matéria
sobre separações e divórcios:
a) Qual o título do gríf,.091"n.
b) De que trata o gráfico?
OUA.I OAOe Oe CàSarS qUe Je sênàrên
c) Quais são as grandezas ara
representadas nos eixos
horizontal e vertical?
d) O número de separaç
por grupos de 1Ô0 casais | ã*
tem aumentado ouLerrr aurlrellfauo ou
diminuídO? 
Fonte: /BGE, Fundaçdo Seade e estimativa de Veja.
Em qual período o número de casamentos desfeitos aumentou mais: entre 1988 e 7992 ou
entre 1996 e 2000? entre I 988 e T ee2
f) Para cada 100 000 casais, quantas separações aconteceram no Brasil em 2000? E para cada
500 000 casais? 28 ooo, r40 ooo
2. Observe os gráficos publicados ern27 /9 /07, no jornal O Estado de S. Paulo.
l
1 300
1 041
Í999
Fonte: Coordenaçao de Aids do Rio e São Paulo vrsuat zacão
a) Que tipo de gráfico temos nessa reportagem? de tnha ou de sesmer.rros
b) Qual o tÍtulo do gráfico? tuta contra o vírus
c) Qual grandeza está no eixo horizontal? E no eixo vertical? ano; número de morres no ano
d) O número de mortes em 2000, no Rio de ]aneiro, aumentou ou diminuiu em relação a7999?
Quanto? E em São Paulo? BJ: diminu u 70 casos, SP: aumentou 57 casos
e) Construa duas tabelas, uma para São Paulo e outra para o Rio de Janeiro, com os dados dos
gráficos acima.
3. Pesquise em jornais e revistas gráficos de linhas.
Cole-os no caderno e interprete-os.
e)
Número de mortes por aids
2949
2772
Número de separaçóes
por grupos de 1 00
ano
191
13
FM §lã U.|:Jitr*
1 889
984
do5 nfilr^aro5 rc&ionait
Vítorl Vítorl Olhe
o ofarto que es'lá
3+Trocando dinhqiro
»
@eee@ee )
@@@
Obo! Achei umo moedo
de 10 centovos!
í0 cenÍoooe: Í0 X Í ceolotto
Logo:
I
í centooo: 
- 
X í0 cenlooos
í0
Lô-su um décímo de dez centooos.
aTO 
r
os Jo60s
IAÍ}EIF
Umo noto de dez reoís, umo noto de
!real,onzemoedas de 10 cantovos
e quinze moedos de t centovo.
Doze reois e vinte e
cinco centovos. Mos
quantos moedos!
A coixo de "Todos os jogos"
por doze reais e
vinte e guotro centovos.
Vomos contor quonto
dinheiro temos.
Entõo vomos trocor dez moedos
de 7 centovo por esto de
10 centovos quevocà ochou.
Contondo nosso dinheiro.
Queremos oproveítor
esto oferto.
Estou precisondo de troco.
Eu dou esto noto de t reol e
vocâs o trocom por dez
moedos de 10 centovos.
Í reol: í0 X í0 cenfdlos
Logo:
íí0cenfooos X íreol
í0
G-se: qm décimo de um reoL
ooa \
z3," )
a
E, falando em centavos, vamos participar de mais uma troca:
Cada grupo de cem moedas de 1 centavo pode ser trocado por uma nota (ou moeda) de 1 real.
1 real: 100 x 1 centavo
Logo:
lcentavo:+-xlreal
Lê-se: um centésimo de um real.
195
'ii'":"
,l
O real
Algumas notas e moedas do nosso sistema monetário
R$ 100,00
R$ 50,00
R$ 10,00
R$ 2,00
R$ 1,00
R$ 0,50
R$ 0,25
vinte e cinco centavos
Rg 0,10
R$ 0,05
S
cinq
um real
cem reals
dez reais
dois reais
um real
R$ 1,00
R$ 0,01
196
cinqüenta reais
Êã
v
I- Observe a conta de energia elétrica que Fran-
cisco recebeu. Escreva por extenso o valor da
conta.
trinta e clnco reais, trinta e seis centavos
2 tJtllizando números decimais, escreva os va-
Iores correspondentes às quantias:
a)
RS 0,32
B$ 0,04
R$ 1,25
e)
I K.YKY COMERCTO TNTEBNACTONI LTDA
I BRAsrLra ooo AP 1o
lMu.hÍôro lch.slF.i II sÀo pruro lcoul a I
lc.N.PJ. lrnscído Bdud loâh dá LétruE l&E & pEvtíâ dálÊotêb dê tu II I lAnbdor lPrórhã kituE lbE hd uvõ lnrbrsáô I
196248869/0001-2e I I 14/11/o1 I 1s/o1/i2 l03 450 214sa 24ooo I
loonsumo Mês Atud I lE I Lsiturado Mdldoí lMàdi&r I bMrmldô eíêÁiE I
I I I Mmq& | Db I u* lru.*o tconsbtg lbco ituêncb I| 17o ffiH 1000 I 89 l14 l12 | 224974a | 0000i | 275 I 0414 I
-\
0 RS 0,05
197
3 Com uma nota
de R$ 10,00, o que
você comprarra?
Coloque o preço de
cada objeto ou
produto escolhido.
respostê em aberto
4 Em uma empresa, a máquina de café dos
funcionários só aceita moedas de 5 centavos; 10
centavos e 25 centavos.
Responda as questões a seguir, usando moedas
com os valores aceitos pela máquina.
a) Quantas e quais as maneiras de adquirir um
b) Você colocou cinco moedas de 10 centavos, e
pediu um chá com limão. Quantos centavos so-
brarão na máquina? Quais as opções que você
(sobra do "r^da 5.or raro-), .'
5 Escreva na forma decimal os valores:
nove reais e quatro centavos R$ e,04
seis reais e vinte e três centavos Rs 6,23
vinte e nove reais e trinta e sete centavos Rs 2s,37
cinqüenta e sete reais e vinte e oito centavos
cento e vinte e oito reais e nove centavos
B$ 128,09
(6 Procure em jornais e revistas preços e pro-
dutos em que apareÇam centavos, recorte e cole
em seu caderno. Escreva por extenso os valores
gncontrados. resposta em aberto
a)
b)
c)
d)
e)
NOÍÀ FISdL
tutu,ú-a;s;iü eio3ed ooMA oE ENEFê|A ELÉTBu
EMTSO lt1ZOí
121-NOV/01 162-JUU01 242-WilO1
198-OUTrc1 147!UM01 242-Fryl01
182-Sú/01
1 53-AGO/01
24onAN/01
197-OZOO
194,51
CONSMO TABIFA
170ruH X 021031000
tcMs
BONUS '157-MAU01
242-AAtuO1
dê Ai€ídlm€ntofrotuo dN ah:30 & t6h:30 lAreffiEçãol v6n.tm6nb | Íod . Pású F§
{NTA pAUu o1o1o1 | Oi6 , Mês I Ola, Ws,h I
PAULo llel 12 l@lfilml s,s
Autenticaçáo Meânicã
4,67
5,26-
35 Rzp r ztant acp^o dqci n^aL
Vamos considerar como unidade
o cubo grande:
# o, unidade
# da unidade
,à" da unidade
Novamente dividindo a unidade, agora em 1 000 partes iguais, cada cubinho corresponde à
milésima parte.
Dividindo essa unidade em 10 partes iguais, cada placa corresponde à décima parte.
Dividindo a unidade em 100 partes iguais, cadabarra corresponde à centésima parte.
Untdade d,ecitval,
Toda fração decimal de numerador 1 é denominada unidade decimal. Assim:
1
lb é uma unidade decimal de leordem, que é representada por 0,1.
-L :0,1 * umdécimo
10
1
100 é uma unidade decimal de 2eordem, que é representada por0,01.
1
100 -0,01 * umcentésimo
I
I 000- é uma unidade decimal de 3e ordem, que é representada por 0,001 .
1
1 000 0,001 - um milésimo
198
1, 
1O ô00 é uma unidade decimal de 4e ordem, 
que é representada por 0,0001.
10 000
: 0,0001 um décimo milésimo
E assim por diante.
Utilizando o quadro posicional ou de ordens:
Ordens inteiras
1q
Ordens decimais
2? 33 4?4?
(§s
C
0.)-o
tn
o)p
(§p
==
UM
a
aOoF-.=-a'- .o-).õ *-
uo)
1a
J.-
a
G)-o
p
C
a(§
C
(,J
N
o)-o
o(§
C
o)P
C
o)()
U
1
0t
0t
0t
0,
1
0
0
1
0
T
T
VIÊT
A, 
"pr", 
entaçso írqLtonána f oí crtoía hô
qÁsse 3 000 aflos.
U^matemático francês do século XVl, de nome
Viàte, estabeleceu uma forma especial de escrever
frações com potências de 10 nos denominadores.
Essa forma, um pouco modificada pela introdução de
uma vírgula, é usada até hoje: são os números
decimais.
199
1
0
0
0
NíAneros racionab na tltut, declu^al,
0bserve:
, iá: l%z: j&.+:1+ +:rf :
249 200 + 49 200 49 ^, 49:-:.L i00 100 100100 100
quarenta e nove centésimos
dois inteiros
Números como 1,7 e2,49 são denominados números decimais.
Observe agora'.
t7
10
.7t_
10
parte fracionária
parte inteira
^49- 100
parte fracionária
parte inteira
parte decintal
parte inteira
249
100
2,_49
l------ parte decimal
+ parte inteirzt
Na representação decimal de números racionais, a vírgula separa a parte inteira da parte
decimal.
Acompanhe os exemplos:
Escrever afração # nuforma decimal.
4:20.!7:?9-7-:2-' 710 10 10 10 10
7 décimos
2 inteiros
1
I ,7 um inteiro e sete décimos
sete décimos
um inteiro
Representacão
decimal
1,7
Colocando no quadro de ordens:
Representar e escreve r a traçáo j# na forma decimal.
131 _ 100+30+1 _ 100 * 30 * I :100 100 100 100 100
Colocando no quadro de ordens:
131
100
Escrever aÍração Tffi_ na forma decimal.
g4 B0+4 80 4 8 r
1 000 1 000 
: 
1 000 '1 000 
: 
loo 
-r-
+
8 centésimos
Colocando no quadro de ordens:
27 ^a
fr- 
: 2,1 ----- dois inteiros e sete décimos
IiÍ
i t centésimo
1
->
3+'10
3 décimos
1 inteiro
1,31 ------ um inteiro, três décimos e 7 centésimo,
ou um inteiro e trinta e um centésimos
4
1 000
4 milésimos
84
1 000
: 0,084 -------+ oito centésimos e quatro milésimos,
ou oitenta e quatro milésimos
Existe-uma regra prática que torna mais simples o trabalho de escrever uma fraçáo decimal na
forma de número decimal. Veja:
trés
algarismos
na parte
decimal
,31
i
!+
,084
algarismos
na parte
decimal
201
CIDIU dlc
ClDlUlldlc
Para escrever uma fração decimal na forma de número decimal, tomamos apenas o
numerador e nele colocamos uma vírgula, de modo que a quantidade de algarismos da
parte decimal, contada da direita paraa esquerda, seja igual à quantidade de z:eros que
aparecem no denominador.
Veja outros exemplos:
# :2,81 , f :1e,3
' Tfifu- : o,oe2
Se necessário, acrescentam-se zeros à esquerda do número copiado:
, #:0,43
Lscrevendo wt^ yún^ero dqcvnal, na
Vamos escrever os números decimais a seguir na forma de fração decimal.
a) 3,9:3+:3++:#.+:#
bt 2,t6: ,+h :2 + #- 200__-r100 16100 -
forma irredutível da
rraeao ffi|,
0,025:
25 _1
1 000 40
.)E
forma rredutÍvet da fracão =?2 -1 000
um zero
um algarismo
depois da vírgula
dois zeros
dois algarismos
depois da vírgula
202
três zeros
três algarismos
deoois da vírgula
c) 0,025:0+ 4- :
1 000
Mas existe uma regra prática que torna mais simples o trabalho de escrever números decimais
na forma de fraçã0. Observe:
Para escrever um número decimal na forma de fração decimal, primeiro retiramos a
vírgula do número. Esse número, sem a vírgula, será o numerador da fraçã0. A seguir,
no denominador, escrevemos uma potência de 10, na qual a quantidade de zeros é
igual a quantidade de algarismos da parte decimal do número.
Veja outros exemplos:
01- 81arr, - 10
) 2,05: 4l
20
forma irredutível da fracão
205 _
100
205
100
I- Responda:
a) 10 centavos representam que fração de um
real? 1
10
b) 1 centavo representa que fração de um real?
,l
100
2 Escreva uma fração equivalent" u f W"
tenha denominador 100. A seguir, escreva a re-
presentação decimal dessa fraçáo? S: o,so
3 Escreva os preços usando palavras.
um real e dezenove centavos três reais e clnqÜenta e quatro
centavos
e)
R$ 5,29 R$ 0,36
cinco reais e vlnte e nove centavos trinla e seis centavos
4 Escreva na forma de fração irredutível os se-
guintes números decimais:
u) 2,2
b) 0,44
c) 0,25
a) L,3
b) 0,13
c) 0,013 -
d) 4,002
d) 2,4
e) 2,50
f) 6,6
e) 0,085 .tr"
f) 0,3
g) 2,47 #
h) 0,135
12
5
5
2
5
5 Dê a fração correspondente a cada um dos
seguintes números decimais:
d)a)
b)
--,
x4.r
6 Qual o número decimal que Gustavo deve
Escravo o
representoçõo decimol
4t5
do numero 
'OO 
.
R$ 1,19 R$ 3,54
c)
R§ 7 ,46 sete reais e quarenta e seis centavos
203
.52u/ to 5.2
o) # 052
,77t) to 1'7
d)k o,7t
") + o,l
f) # oo7
7 Represente as frações na forma decimal: b) quatenta e dois centésimos -1! - o +z
100
c) duzentos e vinte e cinco centésimos i33 = r^
d) quatro inteiros e seis centésimos qg? - + oo
100
9 Escreva por extenso os seguirrtes números
decimais:
a) 0135 'rinra e crrco celres -os
b) 181427 dezo to inteiros e quatrocentos e vinte e sete mrlésjmos
c) 0,004 quatro m tésimos
d) 5r9 clnco inteiros e nove décimos
€i Escreva nas formas fracionária e decimal os
números expressos por:
a) oito décimos 8 :0,8
10
Essa figura representa 1 inteiro
dividido em 10 partes iguais. A parte
7
colorida representa ,6 ou 0,7.
Essa figura representa 1 inteiro
dividido em 100 partes iguais.
A parte colorida reoresenta lfi-
ou 0,70.
Essa figura representa 1 inteiro
dividido em 1 000 pzutes iguais.
A parte colorida representa j#
ou 0,700.
0,700:0,70:0,7.
\/
70070
100
t1
+
0,70
Observe as figuras:
Pelas figuras, você nota que: 0,7 :0,70 : 0,700 ou
0bserve:
Quando acrescentamos ou suprimimos um ou mais zeros à direita da 
parte decimal de
um número decimal, esse número não se altera'
)
)
Exemplos:
1,6 : 1,60 : 1,600 : 1,6000
3:3,0:3,00:3,000
7,800:7,80 :7,8
9,000:9,00:9,0:9
)
)
Comparar dois números decimais é determinar se eles são iguais ou se um deles é maior que o
outro. Há dois casos:
le caso
Quando as partes inteiras são diferentes, o maior número é o que tem a maior parte inteira.
Exemplos:
) 5,2 > 4,76, pois 5 > 4
) 72,04 > 9,7843, pois 12 > 9
2e caso
Quando as partes inteiras são iguais, igualamos o número de casas decimais acrescentando
zeros. 0 maior é aquele que tem a maior parte decimal.
Exemplos:
) 2,6 > 2,53, pois 2,6 : 2,60 e 60 > 53
) 9,07 > 9,048, pois 9,07 : 9,070 e 70 > 48
Cottnyt ar atrdo nítvaroE dqciu^ait
L Dois alunos devem medir a mesa do profes-
sor usando uma fita métrica. O primeiro aluno
afirma que o comprimento da mesa é de 1,50
metro. O segundo aluno diz que o comprimen-
to da mesa é de 1,5 metro.
a) Qual resposta está correta? as duas
b) Por quê? 1,50: 1,8
2 Dentre os números a seguil, quais têm o mes-
mo valor? 2,o3:2,030;2,o3oo
3 Use os sinais : ou t para comParar os se-
guintes pares de números naturais:
a) 0,07000 e0,07 - d) 9,32e9,3200
b) 6 e 6,000
c) 0,015 e 0,150 +
e) 2,025e2,25 +
D 9 e9,00
4 Dentre os números seguintes, quais são
iguais a 5,010? s,or;5,o1oo e 5,o1ooo
2,3 2,030 2,0300 2,03 2,003
205
5,01 5,0100 5,0001 5,001 5,01000
5 Um portão tem 2,08 metros de largura, e um
segundo portão temZ,2metros de largura. Qual
dos dois portões é o mais largo? Por quê?
O segr ndo, po s 2,2 2,C6
6 Considere os números:
3,7 7,07 10,01 0,095 0,605
3,076 0,28 1,0004
Dentre eles, identifique:
a) os maiores que 1
b) os menores que 1
c) os que estão entre 0,5 e 1
d) os menores que 0,1
7 Uma caixa de papeião tem75,2gramas. Uma
segunda caixa tem 75,78 gramas. Qual das duas
é mais pesada? erra, pors 75,2 > 15,18
7,52 0,057
identifique os que estão situados r:ntre:
a) 0e0,5 b) 0,5e1
€B Dados os números
0,076 1,,02 0,gg
0,016; 0,405; 0,057 0,98; 0,71
c) 4,23 e 4,4
7,1 0,405
0,77
c) 1e1,5
1 ,02, 1 ,1
€) Usando os sinais :, ) ou <, compare os se-
guintesnúmeros decimais:
d) 7,075 e 1,0098
I-O Ana Maria tem 1,63 metro der altura; Paula
tem7,7lmetro; Cecília, 1,54 metro e Renata, 1,68
metro. Escreva os nomes dessas p,essoas na or-
dem decrescente de altura.
Paula, Fenata, Ana Maria, Cecilia
nittnero5 d,qcittnais
Assim como aconteceu com os números naturais, o homem teve necessidade de operar com os
números decimais.
veja um exemplo de adiÇão e de subtracão com números decimais.
I Beto foi ao mercado com uma nota de dez reais para comprar leite, café, biscoito e chocolate.
Veja quanto ele pagou em cada produto e diga: Sobrou ou faltou dinheiro? Quanto?
jl Adiçao a-5whtraçao de
206
Adicronando o valor dos produtos: Pagando a despesa:
1
2
0
+2
Sobrou um troco de R$ 2,84.
Para a adiÇão ou subtração de números decimais, devemos observar que:
As posições de mesmo valor devem ficar na mesma coluna, com uma vírgula alinhada à outra.
Adicionamos e subtraímos as unidades de mesma ordem entre si, fazendo as transformacões
necessárias.
Colocamos no resultado a vírgula alinhada com as demais.
Acompanhe outros exemplos:
Calcular 1,645 + 4,8 + 6,23.
Usando o quadro de ordens:
7,645
4,800
+ 6,23O
r2,675
5
4
2
5
)
)
2 Quanto dá 3,5 - 1,85?
3,50
-1,85
1,65
12,000
-10,418
3
-1
0
5
3 Calcular 12 - 10,418.
01,582
xzrclclos
I- Calcule:
a) 12,2 -f 3,9 16,l
b) 0,45 + 0,865 r,3i5
c) 74 - 9,73 1,27
d) 21 - 18,77 2,23
e) 1,66 + 1,066 * 7,6o619,
comprimento
3,1
Observando essa planta, determine o compri-
mento e a largura do apartamento.
comprimento = 10,40 m largura : 8,95 m
9 Encontre, mentalmente, as parcelas desco-
nhecidas:
a) 1,,4 * : 10 8,6
b) 80,75 + : 100 1s,2s
c)345,27+ :1000 6b4z3
Quadr,ado
magtGo
Substitua as letras A, B, C e D por
números de'cimais, de modo que a soma nas
filas horizontais, verticais e diagonais seja
semPre a mesma,
2Um pedaço de fio tem7,64 metro de com-
primento. Um segunda pedaço tem 2,5 metros.
Qual o comprimento dos dois juntos? +,tq ^
3 A altura de uma casa
era de 4,78 metros.
Construído um
segundo andar, a
altura da casa passou
a ser de 7,4 metros.
Em quantos metros a
altura inicial da casa
foi aumentada? 2,62 m
4 AÍigxa seguinte reproduz o trajeto de uma
estrada que liga as cidades A, B e C. De A até B
sáo 60,575 quilômetros, e de B até C sáo 48,9
quilômetros. Qual a distância de A até C, no
mesmo trajeto? 1oe,47b km
5 Se você adicionar 0,582 aO,4O8,vai obter um
número menor ou maior que 1? Menor, pois o,ee < 1
(ô Quanto devemos acrescentar a 0,895 para
obter dois inteiros? 1,10b
Um número r é tal que
(51,7 + 8,â6) - 06,125 +7,89).Determineo
número t. 36,oss
€i Um jornal anuncia a venda de apartamen-
tos cujas dimensões, em metros, estão indicadas
na planta a seguir. Sabe-se que, normalmente, a
espessura das paredes externas é de 0,25 m e a
espessura das paredes internas é de 0,15 m.
olól
ót
I
I
---l e---f 3
(E
B: T,9
C:2,0
D: 1,8
208
1,6 2,1 7,4
7,5 A B
C 7,3 D
j6 Mní,ti pticacp^o de ni^nqro5 deciu^aiE
Observe o que acontece quando multiplicamos 1,235 por 10, por 100 e por 1000:
1 1,235xrc: ffi xtb:+# : t2,35
7,235x10:12,35
A vírgule é deslocada uma p sição para a direita.
L,23s x 1oo = l"3 x rD6: 'í3u - !23,5
1,235 x 100 =123,t_
A vírgula é deslocada duas p siÇôes para a direita.
1,235 x 1 000 = l'# x LDIÍ= t23s
1,235x1000:7235
A vírgula é deslocada três posiÇões para a direita.
l,icando r 10, Í?0r 100, por 1
Para multiplicar um número decimal por 10, por 100, por I 000, basta deslocar a
vírgula uma, duas, três posiÇões para a direita, respectivamente.
Veja outros exemplos:
) 3,28 x 10 = 32,8 ) 0,375 x 100 : 37,5 ) 1,0006x1000:1000,6
o wn^ núAnero natrral wtn decinnal
Acompanhe as situações:
It Um caderno custa R$ 2,36. Preciso de 3 cadernos. Quanto vou pagar?
Para resolver essa situação, precisamos calcular 3 x 2,36.
3 x 2,36 : 2,36 + 2,36 + 2,36: 7,08
ou
3x2,36 = 3 x 236 _
100
lsso justifica a regra prática:
x '3
7,0 8
22 Calcular2xI,9.
2x 1,90 : 1,90 + 1,90 : 3,80
0u
dois algarismos na parte decimal
dois algarismos na parte decimal
#: r,t
um algarismo na parte decimal
um algarismo na parte decimal
192x1,90:2xi-,IO
Pela regra prática:
1,9
x2
3,8
ndo wA^ nin^qro dacinnal, owtro ninnero dqciu^aL
Observe os dois exemplos a seguir.
I Um metro de um fio de arame tem 1,6 quilograma, Quantos quilogramas terãrc 2,3 metros
desse fio?
Para resolver essa situacão, devemos fazer 2,3 x
2,3x 1,6: # " -i&: -êij+: ff
1,6. Veja:
: 3,68
2,3x1,6:3,68
dois algarismos na parte decimal
um algarismo na parte decimal
um algarismo na parte decimal
t 332 :1,332
1 000
Vamos calcular 1,8 x 0,74.
1,8x 0,74: -t+.{k:#i#:
1,8 x 0,74:1,332
três algarismos na parte decimal
dois algarismos na parte decimal
um algarismo na parte decimal
210
)
)
Para multiplicar um número decimal por outro número decimal, devemos:
Multiplicar os números como se fossem números naturais.
Colocar a vírgula no resultado, de modo que a quantidade de casas decimais seja igual à soma do
número de casas decimais dos fatores.
Na prática:
1,6
x 2,3
48
32
1 algarismo na parte decimal
1 algarismo na parte decimal
1 + I : 2 algarismos na parte decimal
2 algarismos na parte decimal
1 algarismo na parte decimal
3,6 g
0,7 4
X 1,8
592
74
1, 3 3 2 ------> 2+ I : 3 algarismos na parte decimal
2 Na planta de uma cidade, a distância entre
dois pontos é22,5 centímetros. No real, essa dis-
tância é 1 000 vezes maior- Qual é, em metros, a
distância real? 225 m
L Calcule:
a) 10 x 1,08 10,8
b) 100 x 0,572 st,2
3 Efetue:
a) 5x6,7 33,S
b) 13 X 8,1 105,3
4 Efetue:
a) 7,8 X 4,2 32,76
b) 0,9 x 11,7 ro,b3
5 Calcule:
a) 0,7 X 0,9 X 3,5 z,zos
c) 1.0 \ 0,92 s,Z
d) 1 000 x 0,0029 2,s
c) 7 x7,35 s,4s
d) 25 x 0,88 22
c) 3,25 x 0,8 2,6
d) 7,7 x 4,4 33,88
6 Um prédio
tem 18,75 metros
de altura. Um
segundo prédio
tem o triplo
dessa altura.
Qual é a altura
do segundo
prédio? b6,2s m
7 Cornpedaços de arame quemedem 22,6cen-
tímetros e 13,8 centímetros, podemos construir
o esqueleto de um bloco retangular, como você
vê na figura. Quantos centímetros de arame fo-
ram utilizados? 2oo.B cm
13,8 cm
22,6 cmb) 74,2 x 0,4 x 2,5 t+,2
211
13,8 cm
€3 A área de um quadrado é obtida quando
multiplicamos a medida do lado por ela mes-
ma. Qual é a ârea de um quadrado cujo lado
mede 3,5 unidades de comprirnento?
12,25 unidades de área
9 Determine o valor de cada uma das exPres-
sões numéricas:
a) 9,05 - 2,5 x 2,5 2,8
b) (6 - 7,07)x3,1 15,283
LO Calcule, sem efetuar a multiplicação:
a) 12,5X0,']-. 1,25 c) 2308 x 0,001 2,308
b) 412 X 0,01 ,i,12 d) 1.68,7 X 0,01 r,087
I- L Se um número x é expresso por
237 x 0,006 e um número y é expresso pelo do-
bro do número 1.,025, determine o valor de x * y.
3,472
C'"
Depois da
estim:ltíva,
a YerÍficação
A seguir, há uma série de
multiplicações. Primeiro você vai esllimar o
produto de cada uma delas. Compare com as
estimativas do seu colega. Depois, utilizando
a calculadora, veriÍiquem quem chegou mais
próximo da resposta correta.
b) 2e,7 " sill"TS,Ji;','-%, e) 
7,2 x roJj.u,u., 
r,
c) 27,3 x 3 est "atr t^1 
va or exato: 73 08
vàlo'e\ : o3.9
j1 Divigâo d,a- niunqro5 dqcin^aig
Dividindo 1 000
70:235,7 x
#:0,'
235,7 : 10 : 235,7 x 0,1 :23,57
0bserve
1 000:
I 235,7 :
o que acontece quando dividimos o número decimal 235,7 por 10, por 100 e por
:23,57
Dividir um número decimal por 10 significa multiplicar o número por 0,1.
2 235,7 : 100 :235,7 x : 2,357
fr:o,or
235,7 : 100 :235,7 x 0,01 :2,357
Dividir um número decimal por 100 significa multiplicar o número por 0,01.
212
3 235,7 : 1 000 :235,7 x :0,2357
+" : o,oo1
235,7 : 1 000 :235,7 x 0,001 :0,2357
Dividir um número decimal por 1 000 significa multiplicar o número por 0,001.
)
)
)
Veja outros exemplos:
27,3: I0:27,3 x 0,1 :2,73
81 :10:81 x0,1 :8,1
L6,9 : 100 : 16,9 x 0,01 : 0,169
) 328 : 100 : 328 x 0,01 : 3,28
) 3,6 : 1 000 : 3,6 x 0,001 : 0,0036
) 2703: 1 000 : 2703 : 0,001 : 2,703
3
t7
Ud Transformando 3 unidades em décimos, temos;
3 x I0 décimos: 30 décimos
30 décimos divididopor 4 dá 7 décimos
Restam 2 décimos.
Transformando 2 décimos em centésimos, temos;
2 x 10 décimos = 20 centésimos
20 centésimos dividido por 4 dá 5 centésimos
0 resto é 0 e a divisão é exata.
níMero natwr al,, di/rerenle d,a zaro
Acompanhe as situações a seguir,
1! João tem 7 metros de tecido e precisa dividilo em quatro partes iguais.
Qual o comprimento de cada parte?
Para resolver essa situaçã0, calculamos 7 : 4.
U
-4 7 unidades dividido por 4 dá 1 unidade
Restam 3 unidades.
1
U
Ud
-4
30
-28
213
De forma mais simples:
Cada parte terá 1 ,75 m, ou seja, 1 metro e 75 centímetros.
22 Calcular 8,25 : 5.
De forma mais simples:
Coloca-se a vírgula no resultado entre a 7e ordem
inteira e a 7c ordem decimal; no caso, entre os
algarismos 7 e 7.
8 unidades dividido por 5 dá 1 unidade
Restam 3 unidades.
3 unidades : 30 décimos
30 décimos + 2 décimos : 32 decimos
32 décimos dividido por 5 dá 6 decimos
Restam 2 décimos.
2 décimos: 20 centésimos
20 centésimos + 5 centésimos : 25 centésimos
25 centésimos dividido por 5 dá 5 centésimos
0 resto e 0.
Coloca-se a vírgula entre os algarismos 1 e 6,
Ud
8,2
32
2
c
5
1,65eadivisãoéexata.
214
Ud
7
30
2
1,7 5
Udc0
0
165
Ud c5
0
A divisão de 8,25 por 5 dá
{
5
3e Calcular 2,49 : 3.
Udc
2,4 9
09
0
Como de 2 não podemos tirar 3, a ordem das unidades no quociente será
representada pelo algarismo 0.
Nesse caso, iniciamos dividindo 24 décimos por 3. Coloca-se a vírgula entre os
algarismos 0 e 8.
A divisão de 2,49 por 3 dá 0,83 e a divisão é exata.
Dividindo u;n^ nitt^aro dqcittna|
Considere as seguintes situacões:
1! Um carretel tem 7 m de um fio de cobre. Quantos pedaços de 0,14 m podem ser obtidos,
usando a quantidade total desse fio?
Para resolver essa situação efetuamos a divisão de 7 por 0,14.
Para justificar aregra, escrevemos o número decimal na forma de
Íraçáo decimal:
7 : o,!4:7, #_ :7 x+ : + : 7oo : 14
Entã0, dividir 7 por0,l4 é o mesmo que dividir 700 por 14.
Assim, multiplicamos os dois números (dividendo e divisor) por 10, por
100, ou por 1 000, ..., eliminamos a vírgula e obtemos uma divisão de
número natural por número natural.
Continuando os cálculos da situacão acima:
/
7 : 0,14: 700 : 14
_i
multtplicamos por 100
Podemos obter, então, 50 pedaços de fio.
Calcular 12,45 : 8,3.
Preparando a divisão, temos:
CD
70
0
U
0 t4
0 50
0 DU
22 \
-\x 100tr -/-
,tt \
72,45: 8,.3: 1245: 830
-rx loôY '
_/
215
Então, dividir 12,45 por 8,3 é o mesmo que dividir L 245 por 830.
UMC D U d
t245
4150
0000
UMC D U d
1260
2 5 20
000
J'g
Ud
A divisão de L2,45 por 8,3 dá 1,5 e a divisão é exata.
Calcular 1,26 :0,504.
Preparando a divisã0, temos:
1,26:0,504:1260:504
\
Entã0, dividir 1,26 por 0,504 é o mesmo que dividir I260 por 504.
A divisão de 1,26 por 0,504 dá 2,5 e a divisão é exata,
L Calcule:
a) 39,5 : 10 a,ss
b) 642 | 1.00 6,42
c) 11 : 10 r,l
d) 21,02: 1 000 z roz
e) 2,7 :'1,0 o,2l
f) 84,3 : 100 0,843
5 Um prédio tem
37 metros de altura.
A maquete desse
prédio tem a altura
100 vezes menor.
Qualéaalturada
maquete desse
prédio? 0,37 merro
6 Calcule:
a)1.0,6:25,3
b) 7,25:5 1,45
c) 0,36:3 o,tz
z
o!
'\-o
oo
.9
P.o
o
2 0,21, significa 2,1 dividido por qual número?
10
3 Sabe-se qrue1,24,5litros de vinho devem ser
colocados, igualmente, em 17 tonéis. Quantos
litros de vinho serão colocados em cada tonel?
8,3 litrog,
4 Qual é o resultado da divisã o de 62,1. por 27?
)a
d) 1,4,4 : 72
e) 30,6:20
f) 771,6:26
216
3e
7 lJrnautomóvel consumiu 78litros de gasoli-
na para percorrer 897 quilômetros. Quantos qui-
lômetros rodou por litro? 11,s
€! Você deve calcular:
a) 70,8:0,6 118 d) 21',4:2,1.4 10
b) 5 : 0,8 6,25 e) 0,L4 : 2,8 o,o5
c) 1.3 : 5,2 2,5 il 5,12: 0,064 80
S) Qual é o número p exPresso Por
(0,012+ 1,5) : 1,69? p:o,e
aO Determine o valor de cada uma das ex-
pressões numéricas:
a) (1.,2 + 4,8) i 0,24 25
b)24,8:4+45,5:5 r5,3
c) (0,05 : 0,005) : 0,5 20
d) (2 x 1,1 + 3,83) i 0,9 6,1
L L Em uma comPetição automobilistíca, a
distância é medida em milhas. Cada milha vale
L,6 quilômetro, aproximadamente. Quantas mi-
lhas há em 320 quilômetros? 2oo mithas
L2 Multiplicar por 0,L é o mesmo que dividir
por L0. Essa afirmaçáo é correta? sim
L3 Um rolo de fio tem 9,9 quilogramas. lJm
metro desse mesmo fio tem 0,55 quilograma.
Nessas condições,
quantos metros de
fio há nesse rolo?
'18 metros
L4 O pêndulo de um
relógio leva 3,1.4 segun-
dos para fazer uma os-
cilação completa (ida e
volta).
a) Quantas oscilações
completas ele fará em
1.5,7 segurndos? s
b) Quantas vezes um
observadorvêo pêndu-
lo passar por ele nesse intervalo de tempo?
1 0 vezes
L5 Veja a relação de compras de Antônio e
faça uma estimativa de quanto ele vai gastar' De-
pois, confira o resultado. varor rear: Rg r1,b8
o
É
d
6êê
O
=o
?roàuío
\\aía àe «o\ho àeíoffaíe
\ Pacole àe 
caté Norraào 
e «oiào
\ \ala àe \e\íe conàensaào
\ qarrata àe ô\eo 
àe eola
?reço Un\tár\o
(Rs)
o,70
o 1A-
Çtt,
^aql),Jv
4 4Al,lv
o,b9
2 oacoNes àebo\acha' n^9
Z\atas àe\e\ía 
empô\nt'eTra\ 
L'u
Qual o número que, segundo a lógica, deve ser colocado no lugar do
ponto de interrogação? o,s; z ou s,s
Vamos pensar?
217
A divis ao nao uata: ttnn nocienle
Acompanhe os exemplos:
1 Vamos efetuar a divisão de 34 por 7.
A divisão continua não sendo exata. o número 4,g representa o tluociente
aproximado, por falta, até décimos (0,1), de 34 por 7.
5?
6 A divisão não é exata e o número 4,85 representa o quociente aproximado, por
falta, ate centésimos (0,01), de 34 por 7.
2 Calcule o quociente,
mação até centésimos.
a) 26 por 7 .:
b) 67,2 por 13 ç3
c) 72 por 77 Li 54
d) 8,7 por 2,3 ., iE
por faltau Som aproxi-----_
í=l
1450
0700
010
0 quociente pedido é 3,63.
I- Efetue a divisão de:
a) 73 por 6, com aproximação até centésimos r z, r o
b) 29 por7, com aproximaçáo até décimos +,r
c) 11 por 7, cornaproximação até milésimos r,szr
d) 10 por 33, com aproximação até milésimoso,:ce
e) 1,3 por 0,6, com aproximação até décimos z,r
A divisão não é exata.
Prosseguindo os cálculos:
í-4--
60
4
Prosseguindo, ainda, com a divisã0, temos:
0
40
5
Vamos dividir 8,35
8,35:2,3:835
por 2,3, com aproximacão até centésimos:
: 230
xarclcl(79
218
ais ao
talent
Já vimos que toda fração com denominador 100 representa uma porcentagem.
Como 25o/o = # 
: O,25,dizemos que as porcentagens têm, uma representaÇão decimal.
Vamos, agora, usar números decimais para resolver problemas que envolvem porcentagem.
Acompanhe a situação:
Um rolo de fio tem 130 metros de comprimento. Beto usou620/o desse rolo para fazer uma
ligaÇã0. Quantos metros de fio ele usou?
Como 62% : # : O,62,devemos calcular 0,62 de 130:
0,62 x 130 : 80,60 ou
Beto usou 80,60 metros de fio.
I- Escreva a representação decimal de cada por-
centagem:
a) 3% c) 21.% 0,21 e) 557o o,ss
0,42 Í) 1,50% t,sob) 1.6% a rc d) 42Vo
2 No início do ano, um aparelho de som cus-
tava R$ 980,00. Este mês, ele sofreu uryÂumen-
to de L5%. Quanto passou a custar o aparelho
de som? Bg 1 r2 /,oo
3 QuaI é iioúmero que representa:
a) 51.% de 3 340? ' roc .r b) 1,20% de 2 500? 3 ooo
4 Em um telhado, devem ser colocadas 1 020
telhas. O encarregado desse serviço já colocou
35Vo das telhas. Quantas telhas ele já colocou?
357 t: has
tJmpintos$
tou857ída
superfície de
uma parede. A
parede toda tem
16,8 metros
quadrados de
superfÍcie.
a) Quantos metros quadrados da parede já fo-
ram pintados? : )â,
b) Quantos metros quadrados ainda restam para
pintar? i:,r-
6 Qual é o número decimal que rePresentaS%
de 40%? 0,032
0,6 2
x130
186
62
8 0,6 0
xe-rctcl05
219
Explorando a
calcula dora
Na loja do Sr. Freitas/ uma calça custa R$ 88,00. Para atrair mais
compradores, ele resolveu dar um descont o de 35% sobre o preço de todas
as mercadorias. Nessas condições, determine:
a) o desconto no preço de uma calça R$ 3o,Bo
b) o preço pago na compra de duas calças R$ r 14,40
+l Potenciaçao de ninnqro5 dqcirt^o,ti5.
Usando a definição de potência, observe os exemplos com números decimais:
L 8,2)2 :3,2 x 3,2: 10,24
2 (0,7)3:0,7 x 0,7 x 0,7 : 0,343
3 Q,215 :0,2 x 0,2 x 0,2 x 0,2 x 0,2: 0,00032
Valem, também, para os números decimals;
) (3,7)r :3,7 ) (2,9)0: I ) (7,2Dr : l,2l ) (0,9)o: 1
.-a
lr XQ.rClCl05
a Calcule:
a) (3,7)2 rc,ag d) (O,3)ao,ooar g) (1,5)3:,szs
b) (0,6)3 ozro e) (2,4)0 r h) (3,02)1s,oz
c) (2,5)2 a,zs f) (4,7)2 rc,at
2 Calcule o cubo do número 0,4. Quanto falta
para atingir 1 unidade? o,oaq e Ía ta 0,e36
3 Determine:
a) a soma dos quadrados dos números 1,2 eQ,
b) o quadrado da soma dos números 1.,2 e 0,9
4 Escreva \Vo na forma decimal. A seguiq, de-
termine o quadrado desse número. c,ac2s
*
5 Qualéonúmero xétalquex: rl,0,6)2 + (0,8;2.,
X(ô Se a: 4 : (0,4)2 e b : 0,4 x 42, compare os
números a eb rsando apenas o sínrbolo >. u b
Calcule o número decimal_explresso por
- 0,15 : 0,3)3 : 5,4 + (0,5)2. i -,,-
4,41
220
fr* 
ando o qvaaYtrendeu
L Em uma certa hora do dia, a fila única de
clientes de um banco tem 16 pessoas. Se, em mé-
dia, a distância entre duas Pessoas que estão na
fila é de 0,55 metro e cada pessoa ocupa 0,30
metro na direção dafíla, qual é o comprirnento
dessa fila nesse instante? T3,05 m
2 Urna pipa de vinho enche 63 garrafas de0,7
litro cada uma. Quantas garrafas de 0,9 litro a
pipa pode encher? 4e sarraÍas
3 São dados dois números decimais. O primei-
ro é expresso por (9 : 2 + 4 x 1,25) e o segundo
por (2 x 1,05 - 6,4 : 4). Quanto vale o produto
desses dois números? 4.7b
4 Com sua moto,
Valdir andou 41,04
quilômetros. O irmão
de Valdir andou a
terça parte dessa
distância. Quantos
quilômetros o irmão
de Valdir andou?
13,68 qui ômetros
5 Uma indústria Á vende suco de laranja em
embalagem de 1,5 litro, e custa R$ 1,80. Uma
indústria B vende o mesmo suco em embalagem
de 0,8 litro, a R$ 1,20. Qual das duas vende o
suco mais barato? ndúsrriê A
6 Em uma calculadora, a tecla da divisão não
funciona. Então, se eu quiser dividir o número
1. 320 por 40, devo:
a) multiplicar o númer 1.320 por 0,04.
b) muttipticar 1 320 por 0,25 e, a seguir, multi-
plicar o resultado por 0,1.
7 (Saresp) Tênho lO.peças
de fita com 4,86 m cada
uma. Preciso de pedaços
dessa Íita medindo 18 cm
cada um. Quantos
pedaços conseguirei?
a) 260 c) 280
,b) 270 d)290
€3 Qual é o próximo número da seqüência
l'r40 i10 I :12,5,? 0,62s
€) Com pedaços de arame que medem 27,8 cen-
tímetros e1.5,6 centímetros construímos o esque-
leto de um bloco retangular como esse da figu-
ra. Quantos centímetros de arame foram utili-
zados? 236 cenrÍmetros
15,6 cm
27,8 cm
LO (Saresp) No recreio, um aluno comprou 3
balas a R$ 0,20 cada uma e um lanche de R$ 1,50.
Se ele pagou com uma nota de R$ 5,00, recebeu
de troco a quantia de:
a) R$ 4,10 * c) R$ 2,90
b) R$ 3,30 d) R$ 2,10
11 (Saresp) A temperatura normal de Carlos
é 37 grarx. Ele ficou com gripe e observou que
estava com 37,8 graus de temperatura. Toman-
do um analgésico, sua temperafura baixou 0,5
grau, chegando ao valor de:
a) 37,3 graus
b) 37,4graus
c) 37,5 graus
d) 37,6 graus
221
Mqdindo cotn^ rittne,llttos
QT
Com o àesenvolvimenlo do coméraio, àa navegaçào, àao conetruçõee,
àa agricultun, entre oulroe,houve uma necegeiàaàe maior de
meàições complexas, o quelornou um tanlo confuea eesa maneira
àe medir com partee do
Quero 20 palmoe
àe coràa,
Mas o seu palmo é bem
menor que o meul
a5
- . 
',. ...., ^ '- ' '" ' t* ^f-.fl
- A^adidag di erentet
+ Z U nidadqs da- A^qdida da- co n^ft ri Anerr to Er
!-
O s egípcios usavqtfl o cubíta c.otÍ7o t$úíaíe {e compruneruto, q"rc üe a d;l;tÂtwir
do cotwe[o até aponta da dedo núdio.
)t
l;
Zuruevitar a confusão provocada pela diferença de tamanho entre uma pess,oa e outra,
os egípciosfixaram um cúbito padrão de52,4 centímetros, construído em barras, cle pedra ou
de madeira.
Fragmento de um cúbíto padrão do Egito Antigo.
Mur,para medir grandes extensões, o uso desse cúbito padrão não era cômodo. 0s
egípcios passaram, entã0, a usar cordas que continham nos espalhados a intervalos iguais.
Cada intervalo entre dois nós correspondia a 10 cúbitos,
I
=
J
I
J
.)
\)
o
-)
-t)
))
-J
L)
O!
\).).)/
224
o
oc0
o
e
E
o()
c
C
ÉÉ
ó
Outros povos da época também
usavam o cúbito como padrão: os
sumérios, que utilizavam um cúbito padrão
de 49,5 centímetros, e os assírios, cujo
cúbito padrão media 54,9 centímetros.
O, ro.unos usavam o pé (cerca de
30 centímetros) como unidade de medida
para pequenas distâncias, e a passada
dupla, equivalente a clnco pés, para medir
grandes distâncias. Mil passadas duplas
constituíam uma nova unidade: a milha
(mille passum). Essa unidade ainda hoje é
usada com algumas modificações, e vale
aproximadamente 1 609 metros.
Apartv de 1878, a lnglaterra passa
a usar alarda imperial e a libra imperial. A
jarda, da palavra inglesa yard (uara),
equivale a0,9144 metros, e a milha (mil)
corresponde a 1 760 jardas ou 1 609,3
metros. Entre os submúltiplos da jarda (yd),
vale a pena citar:
I opé(ft) : 30,48 cm
Alguns dos povos que
"fizeram" a Matemática
Suméríos, babílôníos e assíríos víveram em
uma mesma regíão, mas
tíveram seu apogeu em épocas díferentes
Na região dos vales dos rios Tigre e
Eufrates - também conhecida comoCrescente Fértil, por seu formato de meia-
lua - floresceram diversas civilizações.
Os sumérios foram um dos
primeiros povos do sul da Mesopotâmia
(atual Iraque) a terem sua civilização
documentada. Sua organização política
em cidade-estado e seu grande
desenvolvimento cultural influíram até
mesmo na evolução dos povos vizinhos.
Os sumérios conheciam a fundição de
cobre, utilizavam tijolo em suas
construções e foram os responsáveis por
grandes obras arquitetônicas. O apogeu
do seu império iniciou-se por volta de
2700 a.C., tendo como capital Ur. Em,
aproximadamente, 7700 a.C. foram
absorvidos pelos babilônios.
Os assírios também viveram nessa
região. O apogeu do império assírio
ocorreu no período de 900 a 600 a.C.
n*J
-=
Egito Desedo Arábico
*,0:
1
36 yo) a polegada (in) 
: : 2,54 cm
225
Unna novc- unidad,e
la no século XVll, os cientistas apontavam a necessidade de um novo sistema r1e medidas
que, substituindo os vários existentes, facilitasse a comunicaÇão entre as comunidades científicas.
fltt, sistema - o sistema métrico decimal - surgiu com a Revolução Francesa, nofinaldo século XVlll. Formou-se uma comissão que tinha como objetivo estabelecer uma unidade
natural, isto é, que fosse buscada na natureza e pudesse ser facilmente copiada e e:;tabelecida
como um padrão de medida. Além disso, uma outra
exigência deveria ser cumprida: essa unidade
deveria ter seus múltiplos estabelecidos
segundo o sistema decimal, inventado na
lndia, quatro séculos antes de Cristo.
A comissão encarregada desses
estudos escolheu aTerra como
referência para definir as unidades
de medir comprimentos. Um
projeto com essas características
foi apresentado e, assim adotou-
se como unidade de comprimento
o metro, definido na época como
a décima milionésima parte de um
quarto do meridiano terrestre.
Adoirlu-r"como padrão para o
metro a distância entre duas marcas
numa barra de platina, depositada no Museu
lnternacional de Pesos e Medidas, na Franca.
Uma copia dessa barra encontra-se no Museu
Histórico Nacional, no Rio de Janeiro.
Pólo Norte-
DO NORTE
O tÁqlro l,inqar
No sistema métrico decimal, a unidade
fundamental para medir comprimentos é o
metro, cuja abreviaçáo é m. 0 metro é um
padrão adequado para medir, por exemplo, a
largura de uma rua, o comprimento de uma
sala, a altura de um edifício etc.
A resÍstência ao metro
Existem outras unidades:
) Para medir grandes distâncias: o decâmetro, o hectômetro e o quilômetro, que são múltiplos do
metro. Na prática, a unidade mais utilizada é o quilômetro.
1 decâmetro : 10 x 1 metro : 10 metros
t hectômetÍo : 100 x 1 metro : 100 metros
1 quilômetro : 1 000 x 1 metro : 1 000 metros
) Para medir pequenas distâncias: o decímetro, o centímetro e o milímetro, que são submúltiplos do
metro. Na prática, as mais utilizadas são o centímetro e o milímetro.
1 decímetro : fr_ do metro : 0,1 metro
1 centímetro : Th- do metro : 0,01 metro
11 milímetro : 1000 do metro : 0,001 metro
Podemos, entã0, estabelecer um quadro de unidades padronizadas para medir comprimentos:
Múltiplos do metro
quilômetro hectômetro decâmetro
Submúltiplos do metro
decímetro centímetro milímetro
km
1000m
hm
100 m
dam
10m
metro
m
1m
dm
0,1 m
cm
0,01 m
Todas essas unidades pertencem ao sistema métrico decimal.
Muitos são os instrumentos
disponíveis para medir
comprimentos.
ooo
ts
co
z
régua graduada
227
\/
xarclclos
L No sistema métrico decimai, qual a unidade
de comprimento mais adequada para medir:
a) o comprimento do rio Amazonas? r.n,
b) a largura de uma sala de aula? m
c) o diâmetro da cabeça de um parafuso? Í,nl
d) a largura do batente de uma porta? cm
2 O trováo e o relâmpago ocorrem ao mesmo
tempo. O som tem velocidade de 340 m por se-
gundo, e a fuz se propaga quase instantanea-
mente. Se ouvirmos um trovão 5 segundos após
termos visto o relâmpago, este se originou a que
distância? r 7oo m
3 A distância entre duas cidades, nos Estados
Unidos, é de 74 milhas. Se a milha vale 1 609
metros, aproximadamente, qual a distância en-
tre essas duas cidades? 1 1e 066 merros
4 Usando o meu passo e o meu pé como uni-
dades de medida, medi o comprimento de um
móvel e achei 1 passo e2pés. VeriÍiquei, depois,
que o comprimento do meu passo corresponde
a 56 cm e o do meu pé, a24cm. Oual é o com-
primento do móveI? 104 cm
5 A distância do ponto Á ao ponto B é
84,5 km. Nessas condições, qual a distância
ponto B até o ponto C? 253,5 kn-,
/7
de
do
a
A
O encontro
ffi
ü
(Saresp-adaptado) ]oão e
Maria combinaram de se
encontrar na praça. Como os
quarteirões têm 100 metros de
lado, João e Maria chegarão à
praça após percorrer
respectivamente:
a) 600 metros e 500 metros
, b) 600 metros e 700 metros
c) 700 metros e 600 metros
d) 500 metros e 700 metros
JsI *.,Gil
228
Maria
5 wnidadqt d,e
iunanto
Para ir de sua carteira à lousa, Vera anda 5,63 m e Neusa, 423 cm. Quem percorreu a maior
distância?
\--
Para saber quem percorreu a maior distância é necessário, primeiro, trabalhar com a mesma
unidade de medida. Assim, é possÍvel comparar as duas distâncias. No caso, vamos transformar em
centímetros a medida dada em metros.
observe: 
--@--../çid (À\
km hm dam m
t,r'\
dm cm mm
Como, da esquerdapara a direita, cada unidade contém 10 vezes a unidade seguinte, multipli-
camos 5,63 m por 100:
5,63m : (5,63 x 100)crÍt : # x 100crTt : 563cm
Acompanhe outro exemplo.
Como transformar 5 m em dam?
Como, da direita para aesquerda, cada unidade representa f da unidade anterior, devemos
dividir5mporl0:
hm dam m dm cm mm
5m : 15 : 10)dam : (5 x 0,1)dam : 0,5dam
km
Veja outros exemplos:
Transformar 12 cm em metros.
: llj 10
mdmcmmm
l2cm: (72: 100) m :
100
2 Transformar I 250 m em quilômetros,
7 250m : (1 250 : 1 000) km : Í 250 x 0,001)km : 1,250 km
3 Transformar 1,3 km em metros.
1,3 km : (1,3 x 1 000)m : 1 300m
hm dam
Cristina fará?
a) 280 -b) 180 c) 140 d) 1,20
2 A distância entre Brasília e Goiânia é de,
aproximadamente,250 000 m. Qual a distância,
em quilômetros, entre as duas cidades? Qual a
melhor unidade para medir essa distância: metro
ou quilômetro?,, . .,,,'
lll
: 100
: (12 x 0,01) m : 0,12 m
3 Uma sala possui 5 400 mm de comprimen-
to. Escreva esse comprimento em metros e em
quilômetros, e diga qual é a unidade de medida
mais conveniente para medir a sala.
5,4 m, 0,0054 km, metros
4Um parafuso tem 18 mm de comprimento.
Qual a sua medida em centímetros? 1,8 cm
5 O meu passo corresponde a 5tí cm e o meu
pé, a25 cm. Assim, medi o comprimento de um
terreno e encontrei 18 passos e 2 pés. Qual é o
comprimento do terreno em metros? ro,b8 m
6 Quantos centímetros há em 50 cm
(,
_\;'
' esponda:
L :0,5
2
km
t2
Saresp) Cristina fará alguns lacinhos, e para
precisa recortar uma peça de fita que mede
43,2m em pedaços de24 cm. Quantos lacinhos
oz
ooc
1^__ Ín(
2
a) Quantos centímetros há em Z.a.metro?5 +0.-
b) Quantos medpos há em I a" «1uilômetros?4 ' , ) 5 -.
c) Quantos quilôrnetros há em 'J3 a" inetro?J o 0036.^
xarclcl(]5
Vista aérea da cidade de Goiônia
230
-l
€! Um cano tem f (mela) polegada de diâ-
metro. Nessas condições, qualtos centímetros
esse cano tem de diâmetro? ',25qn
Considere
l polegada: 25 mm
percurso de uma corrida é 85
tos quilômetros tem esse percurso?
LO Uma costureira cortou 64 m de tecido em
20 retalhos de mesmo comprimento. Quantos
centímetros de comprimento tem cada retalho?
320 cm
-/'-)
você percorrer 10 km mais 150 m, você
orrido quantos metros? 1o 150 m
L2 Uma tábua com 3,10 m de comprimento
foi cortada em três partes. Uma das partes tem
98 cm de comprimento. As outras duas têm o
mesmo comprimento. Qual é, em metros, o com-
primento de cada uma dessas partes? r,06 m
L3 Um comerciante foi
autuado em sua loja
de tecidos pelo fiscal do
Instituto Nacional de
Pesos e Medidas, pois
usava um "metro" com
97 crr.. Como até aquele
momento havia vendido
385 metros de tecido, em
quantos metros sua
clientela foi lesada? 1 1,55 m
L4 O canal do Panamá tem 65 km de exten-
são. Um mapa foi feito de tal forma que cada
20 km correspondam a 1 cm no desenho. Quan-
tos qentímetros, nesse maPa, tem a representa-
ção do canal do Panamá? 3,25cm
L5 Em um mapa, cada centímetro correspon-
de a 10,5 km.
a) Se, nesse mapa, a distância entre duas cida-
des é de 15 cm, qual a distância real entre as ci-
dades? 157,5 km
b) Uma cidade que está a 68250 m do mar, es-
tarâ,no mapa, a que distância do mar? 6,scm
L(6 Meça a sua altura e a de um amigo.
a) QuaI a diferença entre essas medidas?
b) Calcule a metade de sua altura. 
:"0.J:;*. ""n
L7 Meça o comprimento de objetos (lápis, ca-
neta etc.) e de partes do seu corpo (pé, palmo
etc.). Organize as medidas obtidas em uma ta-
bela como esta:
Objeto ou
parte do corpo
respostas em aberto
cm
(Saresp-adaptado) Emanuel instalou 2 ar-
s de 1,6Q m de comprimento cada um, em
uma parede que mede 5 m de comprimento. No
espaço livre, pensa colocar uma estante de 1 m
de comprimento. Ele conseguirá?
Á) Sr^e ainda sobra 0,80 m.
b) Não e ainda falta 0,80 m.
c) Sim e ainda sobra 1,40 rn.
d) Não e ainda falta 1,40 m.
L€) (Saresp) Uma pesquisa esportiva concluiu
que, em urna partida de futebol realizada no Bra-
sil em 25/ 4/99, um jogador percorreu 72,5krr.
e, em outra partida, realizada na Inglaterra em
5 / 6 / 99, esse mesmo jogador percorreu 9 milhas.
Sabendo que 1 milha corresponde a aproxima-
damente 1 600 m, conclui-se que o jogador:
a) percorreu a mesma quantidade de milhas nos
2 jogos.
* b) na Inglaterra percorreu 1,9 km a mais que no
Brasil.
c) percorreu 1 milha a mais no Brasil do que na
Inglaterra.
d) no Brasil percorreu 3,5 km a mais que na In-
glaterra.
2 aresp) Aquantos centímetros corresPon-
ttáuma medida de 4 metros?
a) 4 b) 40 *c) 400
231
d) 4 000
++ Pqrí^^atro dew^^ pol,$ono
Acompanhe a situacão a seguir.
Um terreno de 35 m de frente por 22 m de fundo (lateral), será cercado com um fio de arame.
Quantos metros de fio são necessários para cercar todo o terreno?
Esse terreno tem a forma de um retângulo. Para calcular quantos metros de ararne são neces-
sários para cercáJo, fazemos:
l-3Sm-i
t
22m
I
35m
Logo, são necessários 114 m de fio para cercar o terreno.
A soma das medidas dos lados de um polígono chama-se perímetro desse polígono.
Para calcular o perímetro de qualquer polígono basta somar as medidas de seus lados, utili-
zando sempre a mesma unidade de medida.
Veja mais alguns exemplos:
1 Calcular o perímetro do polígono.
lndicando por P o perímetro do
polígono ABCDE, temos:
P:5cm + 2,Bcm + 3,1 cm + 2cn+ 1,8cm:
:14,7 cm
P :14,7 cm
D
2 Calcular o perímetro do triângulo.
lnicialmente, passamos todas as medidas para uma
mesma unidade. Por exemplo, para centímertros:
0,04m: (0,04 x 100)cm:4cm
32 mm : (32 : 10) cm : 3,2 cm
Então:
P : 5,6 cm + 4 cm + 3,2cm: 12,[] cm
P : 12,8 cm
232
22m 35m + 22m+ 35m + 22m:114m
2,8 cm
72.
xarclcl(]5
/:\
etermine o perímetro dos polígonos:
a) nA cn 
A
b)eu.. A
3cm
D
c) t s,+cm
D
2 Num retângulo, a medida da base é 1.0,2 cm.
Sabendo-se que a medida de sua altura é meta-
de da medida do comprimento, qual é o perí-
metro desse retângulo? 30,6 cm
ma lajota tem a forma hexagonal. Cada
lado dessa lajota mede 65 cm. Qual é o períme-
tro dessa lajota, em metros? s,go.
4 Um terreno retangular tem 12 m de compri-
mento e sua largur a é + da medida do compri-3
mento. Quantos metrosae extensão deve ter um
muro que substituirá a cerca desse terreno? 32 m
5 Um triângulo tem como medidas de seus la-
dos três números inteiros e consecutivos, sendo
que seu menor lado mede 5 cm. QuaI o períme-
tro desse triângulo? 18 cm
(6 Um retângulo e um quadrado têm períme-
tros iguais. Os lados do retângulo medem 7,2 cm
e 10,6 cm.
a) Qual o perímetro do quadrado? 35,6 cm
b) Qual a medida do lado do quadrado? B,e cm
ÀABC eqüilátero
E
7
e
{..- -t
7 Uma praça quadrada terr. 24,5 m de lado.
Passeando, uma pessoa dá 4 voltas completab
no seu contorno.
a) Quantos metros essa pessoa andou? 3e2 m
b) Sabendo-se que, em média, cada passo dessa
pessoa mede 0,8 m, quantos passos ela terá dado
ao completar as 4 voltas? 4eo passos
Íigtra, o perímetro
drado ABCD
é 20 cm. QuaI o perímetro
do triângulo eqüilátero
DCE? 15cm
de tela de arame. Verifique
de tela é suficiente para ele
a) um terreno quadrado que tem 77,2 m de lado..,,
b) um terreno retangular que tem 24,5 m de
comprimento por 11,8 m de largura. nao
LO (Saresp) Uma folha de papel de seda tem
40 cm de perímetro. EIa tem a forma de um re-
tângulo e um de seus lados tem 4 cm de compri-
mento. Então, os outros lados medem:
a) 6 cm, 6 cm, 4 cm c) 12 cm, 4 cm,12 cm
b) 9 cm,4 cm,9 cm , d) 16 cm,4 cm, 16 cm
LL (Saresp) Sabendo que cada quadradinho
mede 1 cm de lado, é correto afirmar que os perí-
metros das figuras X,Y e Z sáo, respectivamente:
a) 15 cm, 10 cm,27 crn?
b) 12 cm, 10 cm, 19 cm?
c) 15 cm,9 cm,20 cm?
* d) 20 cm,18 cm,32 cm?
233
t'igura x figuray figura z
O metrô no mundo
o gráfico mostra a extensão das linhas de metrô em algumas cidades do
mundo:
EXTENSÃO DAS LINHAS DE METRÔ
T
!
=l100 km
+? U nidadqE d,a- n^qdid,a de 5urp qr [ícte
i---l chicaso
Buenos Aires
São Paulo
Nova lorque
o
o)
o
G
!
G
.o
o
a) Entre essas cidades, qual delas possui a maior extensão de linha metroviária?
Quantos quilômeúos? Londres, 4oo km
b) Entre essas mesmas cidades, qual possui a menor extensão de linha metroúária?
Quantos quilômetros? sao puu o; 30 km
c) Quantos quilômetros de linhas de metrô tem a cidade de Nova Iorque? 350 km
d) Quantos quilômetros a linha de metrô de Paris é mais extensa que a de Chicago? r40 km
Escolhendo o como unidade de medida de superfície, vamos contar quantos cabem na
superfície da figura a seguir.
Contando os quadradinhos, vemolj que na su-
perfÍcie desta figura couberam 61 . Dizemos que
a área desta figura é 61
234
Agora consideremos como unidade de medida de superfÍcie o . Quantos
fície desta outra figura?
cabem na super-
Contando os triângulos, verificamos que cou-
beram 69 na superfície. A área desta figura é,
portanto, 69 A.
No trico decimal, a unidade fundamental para medir superfícies é o metro quadrado,
que se a
0 metro quadrado corresponde à superfície de um quadrado que tem 1 m de lado. Assim como
o centímetro quadrado corresponde à superfície de um quadrado que tem 1 cm de lado.
L (Saresp) Considerando comounidade deme-
dida o , a área destacada da figura corresponde
a quantos quadradinhos?
a) 1o
b) 12
c) 17
d) 22
2 (Saresp) Veja o
desenho que alguém
fezno papel
quadriculado. Qual
ê a área que o
desenho ocupa no
papel quadriculado?
a) 26 unidades
.b) 28 unidades
c) 30 unidades
d) 32unidades
uma unidade
Para representar 1 m2 você pode
construir um quadrado de 1 metro de lado
utilizando régua,jornal, fita crepe ou cola.
Faça o experimento com um amigo.
ConstruÍndo
o metro
quadrado
í
tr
235
xarclcl(75
1m2 1m
1m
3 Determine a área das figuras em centímetros quadrados.
a)
tl cm-
Trans/roru^ação daE urnidadtet de Anqdida d,e E Ircta
Há outras unidades de medida de superfície.
Para medir grandes superfícies há o quilômetro quadrado, o hectômetro quadrado e o
decâmetro quadrado. Na prática, o quilômetro quadrado e o hectômetro quadrado são as unidades
mais utilizadas,
Para medir pequenas superfícies há o decímetro quadrado, o centímetro quadrado e o milímetro
quadrado. Na prática, a unidade mais utilizada é o centímetro quadrado.
Vamos organizar essas informações em um quadro com as unidades usadas parar medir super-
fícies, dispostas em ordem decrescente, com as abreviacões oficiais:
km2 hm2
10 000 m2
damz
100 m2
m2
1m2
236
cmz mm2
0,0001 m2 0,000001 m21 000 000 m2
Do esguerdo poro o
direito, codo unidode
contém tOO vezes o
unidode seguinte.
Do direitq poro o esguerdo,
cqdo unidod e represent" +
100
da unidode seguinte.
dam2 m2 dm2
100100100
Veja os exemplos:
I Transformar 5 m2 na unidade imediatamente inferior.
km2 hm2 dam2
5 m2 : (5 x 100) dm2 : 500 dm2
2 Transformar 5 m2 na unidade imediatamente superior.
dam2
5 m2 : (5 : 100) dam2 : (5 x 0,01)dam2 : 0,05 dam2
3 Transformar 0,3 m2 em centímetros quadrados,
hm2 dam2
cm2 mm2
dm2km2
0,3 m2 : (0,3 x 10 000) cÍr'r2 : 3 000 cm2
mm2
rtlttll
4 Transformar 20 000 m2 em quilômetro quadrado.
: 100 : 100 : 100
iiitill
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
20000 m2:(20 000 : 1000000) km2 :(20 000 x 0,000001)km2:0,0í2km2
5 Transformar 0,725 km2 em m2.
0,125 km2 : (0,125 x 1 000 000) m2 : L25 000 m2
Transformar 15 300 mm2 em dm2.
15 300 ffiffi2 : (15 300 : 10 000) dm2 : (15 300 x 0,0001)dm2 : 1,53 dm2
Quando queremos medir grandes porÇões de terra, por exemplo, para saber a extensão de
sÍtios, fazendas etc., usamos uma unidade agrária chamada hectare (ha).
0 hectare é a medida de superfície de um quadrado de 100 m de lado.
como100m:1hm
t hm2
I thm
thm
Assim sendo, temos a relacão: t hectare (ha) : t hm2 : 10 000 m2
O alqueire
Uma unidade popular
Em alguns estados do Brasil, utiliza-se também uma
unidade não legal chamada alqueire.
1. alqueire mineiro é equivalente a 48 400 m2
1 alqueire paulista é equivalente a242OO rnz
1 alqueire do norte é equivalente a27 225 m2
238
AE nnedidas
100 m
Vamos ver a seguir alguns exemplos de aplicação de unidades agrárias.
Quantos hectares (ha)tem uma chácara de 25 000 m2?
como t ha : 10 000 tn2 ________> 25 000 m2 : (25 000 : 10 000) ha:2,5ha
2 Quantos metros quadrados (m2) tem uma plantaÇão de 47 ,5 ha?
47,5 ha : (47,5 x 10 000) m2 : 475 000 m2
1 Quantos hectares (ha)tem um sítio
3 alqueires :
de 3 alqueires paulistas?
B x 24 20C, m2 : 72 6t00 m2
transformando em m2
72 600 m2 : (72 600 : 10 000) ha : 7, 6 ha
ansforme em m2'
a) 21 dm2 o,zt ^' c) 1 km2 1 ooo ooo m2
b) 1 250 cm2 o,,ru,n' d) O,72hm2 zzoo,.n'
Um quadrado de 1 dm de lado tem uma su-
fície medindo 1 dm2. Qual a medida, em
metros quadrados, da superfície desse quadrado?
0,01 m2
3 Responda: t hm2 representa a figura de um
quadrado que tem quantos metros de lado? roo,
A medida da superfície do Distrito Federal é
22km2. Qual é a medida dessa superfície em
hectares? 582 2oo ha
u'y'
\
-\
transformando em ha
5 Amedida da superfície do Parque Nacional
de Brasflia, situado a noroeste do Distrito Fede-
ral, é 38 000 ha. Qual é a medida dessa superfí-
cie em quilômetros quadrados? 380 km2
t6 Um fazendeiro comprou uma fazenda com
60 alqueires mineiros. Repartiu a fazenda entre
seus três filhos, de forma que todos receberam a
mesma área de terra. Quantos hectares (ha) cou-
be a cada filho? e6,8 ha
7 Q:ual é o maior: um terreno de 1,3 km2 ou
um terreno de 103 ha? i --e' . ro rre I 3 k-'
U
ô
o-
O
9)o
lr
.t-
Parque Nacional de Brasília.
239
Êi Uma caixa contém2 dizias de pisos de ce-
râmica. Sabendo que cada piso ocupa uma área
de 1 600 cm', quantos metros quadrados de piso
haverá em 100 dessas caixas? i. '.
S) Foi publicado em um jornal:
Vende-se um sítio
de 3 alqueires paulistas.
O preço é de R$ 2,50 o metro
quadrado de terra.
Qual é o preço do sÍtio? ir o
10 Num afazendadecriação de gado, cada hec-
tare deve ser ocupado por 20 bois. Quantos bois
poderiam ser criaàos num terreno deTO 000 m2?
I- L Uma Íazenda tem 7 km2 de área. Dessa
ârea,60% foram reservados para plantio. O res-
tante foi reservado para o gado. Determine
quantos hectares foram reservados:
a) para o plantio? L2c -
b) para o gado? 28c ':,
7..
',,
1 997 .*
Fonte: Ibama.
Um pouco do Brasil agrário
Observe o gráfico que representa o aumento
da produção de milho no Brasil (7964/7997).
Como você sabe, hectare (ha) é uma unidade
de medida agrâria, e t ha : 10 000 m2.
Calcule qual foi o crescimento da produção
de7964para7997, em grama por metro
quadrado tg/mz). ,o
§
2. Reflorestar é plantar árvores para formar
florestas em lugares onde houve
desmatamento. O mapa apresenta os
estados brasileiros com maior área de
reflorestamento, em hectares.
a) QuaI o estado que possui a maior área
de reflorestamento? [\r]inas Gera s
b) E o que possui a menor área? nmapa
;-c) Quantos metros quadrados o de maior
| área tem a mais que o de menor área?
2 600
1 300
kg/ha
240
Fonte: Ibarna (1990).
ESTADOS BRASILEIROS COM MAIOF ÀREA
DE REFLORESÍAMENTO (EM HECt'ABES)
l_
18 0'r 3 410 O0O m'?
+L Ãreffi dm [tyra5 1*aonnúrict$ pl,ana5 -Você já sabe que aárea de uma figura plana é o número que expressa a medida da superfície
dessa figura, numa certa unidade.
Veremos agora como calcular as áreas de algumas figuras geométricas planas. Para isso,
utilizaremos fórmulas que permitem efetuar esses cálculos com maior facilidade e rapidez.
Qual a área de um retângulo que tem 4 cm
de altura e 5 cm de base?
Dividindo a base e a altura em segmentos
de 1 cm, obtemos 20 quadrados de 1 cm de
lado, ou seja, 1 cm2 de área cada.
Eo
1cm
o
!
(§
base
Assim, a área desse retângulo é 20 cm2.
Note que 20 cm2: 5 cm x 4 cm.
L---- medida da altura
- . medida da base
Area do retângulo : medida da base x medida da altura
Veja outro exemplo:
Num retângulo, a base mede 8 cm e a altura,3,5 cm. Calcular aárea desse retângulo.
A área desse retângulo é 28 cm2
Dados:
medida da base : 8 cm
medida da altura : 3,5 cm
ârea :8 cm x 3,5 cm : 28 cm2
241
Ãrea d,o
Ãrqa do
'/ ,/,
1 cm'E
Nesse quadrado, a medida do lado é 3 cm.
1cm
lado
Dividindo os lados do quadrado em segmentos de
1 cm cada, obtemos 9 quadrados de 1 cm de lado, ou
seja, 1 cm2 de área cada um.
A área do quadrado é 9 cm2.
Notequegcm2:3cmx3cm.
Area do quadrado : medida do lado x medida do lado
Agora diga qual é a área de uma praça
quadrada com 20 m de lado?
Dados:
medida do lado : 20 m
ârea :20 m x 20 m :400 m2
A área dessa praca é 400 m2.
Como calcular a área do paralelogramo ABCD, em que o segmento DC é uma baser e o segmen-
to Ati é uma altura?
242
uadrado
I
lado
I
t
,-v
t l-tI
.TII
i
Ãrea d'o
iil
lil
ilt
Basta "transformar" o paralelogramo ABCD em um retângulo, cuja áreajá sabemos calcular.
B
D=C le
I
+
base
Observe que a área do paralelogramo ABCD é igual à área do retângulo HEBA formado.
área do paralelogramo : medida da base x medida da altura
Acompanhe este outro exemplo:
Qual a área de um paralelogramo que mede 5,4 cm na base e3,2cm na altura?
área :5,4 cm x 3,2 cllt : 17,28 cm2
A área desse paralelogramo é 1 7 ,28 cm2.
No triângulo ABC, o segmento BC é a base e o
segmento AH é a altura relativa a essa base.
Note que os triângulos I e ll possuem a mes-
ma área e que, juntos, formam um paralelogramo
ABCD.
Então, a área do triângulo dado (ABC) é igual
à metade da área do paralelogramo ABCD, ou seja:
área do triângulo ABC : área do paralelogramo ABCD
2
243
Ãrea d,o
B.
I
3,2 cm
Como aárea do paralelogramo é igual à medida da base multiplicada pela medidadaaltura,
podemos escrever:
área do triângulo : medida da base x medida da altura
Veja o exemplo:
Calcular aárea de umtriângulo cuja base mede 8 cm e cuja altura mede 4,2cm.
8cm
Dados:
medida da base : 8 cm
medida dá aftura : 4,2 cm
t.-^^ 8 cm x 4,2 cm 33,6 cm2 .r c o ^^2âleâ: ^ -:lO,õCm-22
A área desse triângulo é 16,8 cm2.
I
base mai,or r
Ãrqa d'o lrapízio
No trapézio ABCD, o segmento AB é a ba-
se maior, o segmento CD é a base menor e a
distância entre as bases é a medida da altura.
Note que os trapézios I e ll possuem a mes-
maárea e que, juntos, formam um paralelogramo
AEFD.
Então, a área do trapézio dado (ABCD) e
igual à metade da área do paralelogramo AEFD,
ou seja:
área do trapézio ABCD : área do paralelogramo AEFD
0 paralelogramo e o trapézio dado têm
alturas de mesma medida e a medida da base
do paralelogramo é a soma das medidas das
bases maior e menor do trapézio. Então, pode-
mos escrever:
base menor I
(medida da base maior + medida da base menor) x medida da altura
área do trapézio :
244
4,2 cm
Área :
Área :
A área
: 35 cm2
Acompanhe o exemplo:
As bases de um trapézio medem 8 cm
Calcular a área desse trapézio.
Dados:
medida da base maior : 12 cm
medida da base menor : B cm
medida da altura : 3,5 cm
(12 cm + 8 cm) x 3,5 cm
e 12 cm e a altura 3,5 cm.
8cm
2 Determine a área de um triângulo cuja base
mede 8 cm e cuja altura mede 5,2 cm. zo,8 cm2
3 Em um paralelogramo, a base mede 10 cm.
Sabendo que a medida da altura é a metade da
medida da base, determine a ârea desse parale-
Iogramo. Eo cm2
4 A base de um triângulo mede 18 cm. A me-
dida da altura é igual u ]- aumedida da base.3
Qual a área desse triângulo? 108 cm2
5 Um piso quadrado de cerâmica tem 15 cm
de lado.
a) Qual é a ârea desse piso? 225 cm2
b) Quantos pisos são necessários para assoalhar
uma sala de 45 m' de área? 2 ooo pisos
6 Um vitral é composto de 80 peças triangula-
res iguais, de base 25 cm e altura 16 cm. QuaI é,
em metros quadrados , a área desse vitral? 1,6 m2
2
20 cm x 3,5 cm
desse trapézio é 35 cm2
1
a)
Determine aáreade cada figura geométrica:
-12 
cm2b)
c)
12 cm
l5 cm-
d) 24 cm2
245
3,5 cm
7 Opátío de uma escola tem a forma retangu-
lar e suas dimensões são 40 m e32rn.Nesse pátio
foi construída uma quadra de basquete. Saben-
do-se que as medidas oficiais de uma quadra de
basquete são 20 m por 1,2 m, qual a área livre
que restou desse pâtío? r o4o n,r
€! Uma parede tem 8 m de comprimento por
2,75 rn de altura. Com uma lata de tinta é possí-
vel pintar 10 m2 de parede. Quantas latas áe tin-
ta serão necessárias para pintar essa parede?
3 latas
9 Observe a planta de um apartamento e res-
ponda:
4m 4m
4,20 m 2,50m 3m
-
a) Quantos metros quadrados de carpete são
necessários para cobrir o piso da sala, do corre-
dor e dos dois dormitórios? 52,15 n,'
b) Quantos metros quadrados de cerâmica são
necessários para cobrir o piso do banheiro, da
cozinha e da área de serviço? 30,30 ,.
c) Qual o preço do apartamento, sabendo que o
metro quadrado custa R$ 500,00? BS 41 22b,oo
E
o
ro
= i_I
L
246
10 Quantos metros quadrados de azulejos
são necessários para revestir até o teto as quatro
paredes de uma cozinha, com as dimensões da
figuraa seguir? Sabe-se, também, que cada por-
ta tem L,60 m'de área e a janela tem uma área
de 2 llr-2. 32,60 m2
4m
LL É necessário gramar um campo de fute-
bol que tem 105 m de comprimento e 70 m de
largura. Cada placa de grama cobre uma área
de 3,50 m'. Quantas placas de grama são neces-
sárias para gramar o campo todo?' 2 100 pracas
L2 Querendo pintar as quatro paredes e o
teto de uma sala, com as dimensões da figura
seguinte, e sabendo que cada lataL de tinta per-
mite pintar 40 rnz, qúantas latas de tinta terei
de usar?
4 atas de tintê
1,5 m
E
o\
N
-r-
E
Elo
-l
I
t
E
o
rÍ)
+
l-
El
-+
L3 Quantas telhas francesas são necessárias
para cobrir um telhado formado por duas par-
tes retangulares com as dimensões da figura
abaixo, se para cada metro quadrado de telha-
do são usadas 20 telhas? T ôoo rerhas
10m
a4 (Saresp-adaptado) Para o lançamento de
um produto criou-se a seguinte embalagem:
L5 Considere I como unidade de medida
de comprimento dos retângulos pintados no
quadriculado.
a) Dê as medidas dos lados de cada retângulo:
)azul: 3uporBu
) vermelhoi 2 u por 12 u
b) Verifique se os retângulos são demesmo pe-
fímetfO. TUStifiOUe. Náo, o perÍmetro do retângu azul é22 t, e
- 
o do retàngulo vermelho e 2 u.
c) Considerando u'como unidade de área, ve-
rifique se os triângulos são de mesma área. jus-
tifique. Ambos têm medida de área igual a 24 u
d) Pinte em uma folha de papel quadriculado
dois retângulos que tenham a mesma área e pe-
rímetros diferentes. Há várias sotuçóes
5cm
17 cm
ll
caixa caimplanit'icad"a
Sabendo-se que a caixa tem 17 cm de comprimen-
to, 5 cm de largura e 24 cm de altura, o papelão
necessário para montar essa embalagem terá: tr
a) 2040 crn2
*b)'1,226 cmz
c) 1 106 cm2
d) 1 056 cm2
Decon^ pondo {tyrras ro,, cal,ctilar a Arqa
Acompanhe a situaÇão a seguir.
Uma folha de zinco tem a forma da figura
ao lado, Quantos centímetros quadrados de zin-
co tem a folha?
+
EI
*l
cm
t, 2cm
247
1
a)
Neste caso, convém decompor a figura dada em duas figuras conhecidas:
6cm
' 2cm
Determine a área das figuras:
6cm 22 cm
18 cm'
I
ll
tt
2 Ummarceneiro deve fazet uma cruz como a
da figura. Quantos metros quadrados de madei-
ra serão necessários pararealizar o trabalho?
7m2
b)
1m
| 2cm
5m
248
A figura I é um retângulo de base 6 cm e altura 2 cm,
cuja área é:
6cmx2cm:12cm2
A figura ll e um quadrado de lado 2 cm, cuja área é:
2cmx2cm:4cm2
Area da figura : 12 cmz + 4 cm2 : !6 c.m2
Os dados a seguir referem-se às questões de
números 3 e 4.
(Saresp) Na figura está representada a planta
baixa de um escritório que terá seu piso total-
mente revestido de carpete.
i o' i
3 A quantidade de carpete necessária para exe-
cutar o serviço será, no mínimo, i6;rral a:
a) 34m2 * b) 36 m2 c) 38 m2 d) 40 m2
4 Quantos metros de cordão de acabamento se-
rão colocados à volta toda do escritório como
rodapé?
a) 30 b) 28
5 (Saresp) Afigura mostra a plarLta de um ter-
reno, com a indicação de algumas medidas.
QuaI é a área desse terreno?
a) 84 m2
b) 160 m2
c) 300 m2
*d) 352 mz
c) 27 d) 20
lado da frente: 10 m
16m l16m
,..1
m (porta)
m
A área construída do tangram
Observe as figuras construídas com o tangram.
Qual das figuras possui a maior área? E menor área? too.. rêm a mesma area
Utilizando como unidade de medida de superfície o triângulo menor, calcule a ârea de cada
figura. 16
Agora, utilizando o quadrado como unidade de medida de superfície, calcule a ârea de cada
figura. 8
t.
,
3.
ft* 
,.ndo o qwa a1ra-^dau
L Ao escalar uma trilha de montanha, um al-
pinista percorre 512 m na primeira hora, 256 m
na segunda hora, 128 m na terceira hora, e as-
sim sucessivamente. No final da 5a hora,
qual a distância total percorrida
por esse alpinista? osz n
----,
o
2 Adriana está decorando as mesas de um sa-
1ão de festas. EIa tem 5 mesas retangulares, cada
uma com 85 cm de comprimento por 60 cm de
largura, e 6 mesas quadradas com 70 cm de lado.
Se ela quiser colocar uma faixa de papel colori-
do em torno de cada mesa, quantos metros de
papel ela usará? 31,30 m
â @z
249
Il
I
à
ts
o
-a
3 Um gesseiro está colocando uma faixa de
gesso em todo o contorno de uma sala. Esta sala
tem 3,50 m de largura por 6,30 m de compri-
mento. Se cada peça de gesso tem 70 cm de com-
primento, quantas peças serão usadas para fa-
zer o contorno dessa sala? 2s pecas
4 O Grande Prêmio Brasil de Fórmula 1 é dis-
putado noAutódromo de Interlagos, emSão Pau-
1o. O circuito completo tem 4 340 m e esse Gran-
de Prêmio tem 7l voltas. Quantos quilômetros
deve percorrer quem completar o circuito?
5 Numa estrada, existe um telefone no quilô-
metro 28 e outro no quilômetro 640. Devem ser
colocados 19 novos telefones entre eles, a uma
mesma distância um do outro. Essa distância
será de quantos quilômetros? 30,6 km
6 Uma propriedade agrícola tem 1 km2 de área.
Essa propriedade representa uma região quadra-
da de quantos hectares? 1oo ha
7 Deurnafolha de cartolina de 75 cm por 30 cm
foram recortadas 20 figuras quadradas com
10 cm de lado. Quantos centímetros quadrados
de cartolina foram recortados? Quantos cenúme-
tros quadrados da folha de cartolina restaram?
€l Uma Íazenda
tem 600 ha. Nes-
sa Íazend.a, 3
4
da ârea foi reser-
vada para o plan-
tio de laranjas.
Qual a área, em
quilômetros qua-
drados, reserva-
dapara a plantação de laranjas? +,50 r.'
€) Para cobrir o piso de uma sala foram usadas
placas quadradas O" t m de laclo.
a) Quantas placas foram necessárias para cobrir
1 m' de piso? 4 orêcas
b) Se o piso todo tem 55 m'de árear, quantas pla-
cas foram usadas para cobrir todo o piso da sala?
220 p acas
LO Uma caixa contém 1,5 dízítrs de pisos de
cerâmica. Sabendo que cada piso ocupa uma
área de 0,25rr.2, qrantos metrós quadràdos de
piso haverá em 20 dessas caixas? e0 m2
L L Um terreno tem 4 200 m2 cle áre 5ae ,
dessa área será gramada. Quantas placas de gra-
ma serão necessárias, se cada placa cobre 2rn2
de área? 1 5oo pracas
I- 2 Quantos centímetros quadr:rdos de pape-
lão foram gastos paraÍazer uma caixa que, pla-
nificada, é representada pela figur:a abaixo?
L3 Uma região quadradaÁ tenr 8 m de lado,
enquanto uma região quadrada ll tem 4 m de
lado. A área da região Á representa quantas ve-
zes a área da regláo B? 4 vezes
Autódromo de lnterlagos, São Paulo.
1-
250
,J
\l
f'-
-\
aLailad Explorando medÍdas com a calculadora
Para medir a extensão de grandes territórios, utilizamos o quilômetro quadrado.
o quilômetro quadrado (km'z) o a área de um quad.rado cujãs Iados meãem 1 km.
Veja a representação de 1 km2 em um guia de ruas de uma cidade:
Em cada um de seus lados contamos 10 quarteirões, ou seja, em 1 km2, cabem 100 quarteirões
de t hectare.
O Brasil é o quinto país do mundo em extensão territorial, com 8 547 4}4km2 e uma população
de 169 799 770 habitantes, segundo o censo demográfico de 2000.
l-"-', T---: i---'i
1 69 799 1 70 hab tantes
8547 4O4km2
t_l
r-l
Brasil, ou seja, o número de habitantes por quilômetro quadrado.
2. Agora, vamos Íazer o mesmo cálculo usando a estimativa.
Primeiro, aproximamos os valores para facilitar os cálculos:
I547 404 km2 é aproximadamente iguat a 8 500 000 km2.
769 799170 habitantes é aproximadamente igual a 170 000 000.
O próximo passo é encontrar o quociente entre 170 000 000 habitantes e 8 500 000 km2. Faça esse
cálculo' 170 000 000 : 20 habirantes por quilômetro quadradoI 500 000
3. Compare os valores encontrados nos dois cáIculos. De quanto é a diferença? zo - 1e,86 : 0,14
4. Pesquise qual a extensão (área) e população de sua cidade e de seu estado. Depois, calcule o
número de habitantes por quilômetro quadrado dessas localidades. resposra em aberto
/t"t' '.''(1'\'^ \/""a
1. Use a calculadorapara conhecer a densidade d
ui-_l
[][r
uE
trtr
trtr
r-l [t
L_i i I
trtr
trtr
251
1 km2 : 100 ha
Eondônla
Vol,ltuna- a-
Na fábrica àe àoaeo,.
guardar toàoe
eatee àoaee
neaia caixa,
Chefe, nào àeu
para colocar tuào
na caixal
leeo eô poàe eer falta
de aapaciàaàet.
Nào éfalta àe capaaiàade nào),
Eu tentei com a maior boa
vontaàe, e a eenhora diz que eu
nào tenho aapaaiàaàe?
Mae eu nào falo àe
sua capaciàaàe
àe trabalho.
Aliáe, voaê
tem muita
capaciàaàel
É qu" a capacidade da caixa
é ineuficiente para comportar
esee volume de àocee,
Anlee àe peàir que eu
liveese toào eeee
Lrabalho, a chefe àevia
calcular o volume de
àoces e a capaciàade
àerá que ela
queria íeetar a minha
aapaciàaàe?
leeo meemol
4{-
Volume e capaciàaàe eào noções que precioamoe ter para entenàer muitae
eituações que vivenciamoâ no dia-a-àia. Quanto àe gaeolina cabe no tanque
àe um cato? E de uma moto? Qual o volume àe concreto neceooârio para
construir um viaàuto? Quanto àe gâe aabe num bujào? Quanto de
refrigeranle aabe numa latinha?
Nesía Uniàaàe, você ficará sabenào luào sobre volume e capaciàade e eelará
preparaào ?ara ree?onder a toàae eeeaâ perguntas,
It4edi nd,o o a5(tc^ço octllc^do
RevÍsÍtando os sólidos geométrÍcos
Quase tudo que nos rodeia são fíguras espaciaís
Você já sabe que Íiguras espaciais são aquelas em que nem todos os pontos estão num mesmo
plano. Em nosso cotidiano, praticamente tudo o que existe lembra uma figura espacial,a começar
pelo planeta em que vivemos, a Terra.
Veja outros exemplos:
Cubo Esfera Prisma
reto
I
(
Paralelepípedo
retângulo
254
í\
I
volume é o espaco ocupado por um sólido, por um ríquido ou por um gás.
Como medir, por exemplo, o volume deste bloco de
concreto?
Primeiro, vamos dividi-lo em cubinhos para ver de quantos cubinhos é formado este bloco.
Vamos destacar uma das camadas do bloco.
Observe que são cinco fileira s de 3 fl.
Como esse bloco possui quatro camadas, temos 4 x 15 í) : 60 fl.
Entã0, podemos dizer que o volume desse bloco é:
V:(5x3x 4)f,: 60f,
Para calcular quantos formam o bloco, multiplicamos
altura.
Vamos ver outros exemplos:
I Vamos calcular o volume do cubo a seguir. Um cubo é um paralelepípedo com arestàs de
mesma medida.
OU
V:3ux3ux3u:33u3 :
o comprimento pela largura e pela
u
u
U I
27 u3
Z-Á/ít
u
255
2 Vamos calcular o volume deste outro cubo:
Note, nesses exemplos, que f, : I u3
U
U
V:(2x2x2)f,:2'fl:8f,
V:(1 x1xDf,:l'f,:1f,
ou+
V: 1 ux 1 ux i u: 131.t3 : I u3
I
:8u3
0u
V:2ux2ux2u:23u3
3 Da mesma forma, vamos calcular o volume do cubo a seguir, de aresta u:
No sistema métrico decimal, a unidade fundamental para
medir volume é o metro cúbico, que indicamos por m3. 0 metro
cúbico corresponde ao volume de um cubo com 1 m de aresta.
+ 6 V oLwnne- do p 0\r cl,zLzpftt edo r qt àn1u,Lo
Vamos considerar o paralelepÍpedo
retângulo da figura, no qual:
â : comPrimento
b : largura
c : altura
De modo prático, obtemos o volume do paralelepípedo multiplicando comprimento, largura e
altura,ouseja,axbxc.
Nesse caso, o volume do paralelepípedo é dado por:
Y:4mx2,5mx25m:25m3
256
c:2,5m
b:2,5m
Vamos estudar outro exemplo:
Calcular o volume de um cubo cujas arestas medem 4,3 m.
Dados:
comprimento : 4,3 m
largura: 4,3 m
altura : 4,3 m
V : 4,3 m x 4,3 m x 4,3 m : (4,3)s m3 : 79,507 m3
0 volume do cubo é79,507 m3.
Nossa língua portuguesa
Uma única palavra pode ter vários significados...
Algumas palavras na nossa língua são utilizadas, sem nenhum problema de comunicação, com
significados diferentes.
A palavra "volume", por exemplo, pode significar intensidade (de som ou voz), pacote,
unidade de uma enciclopédia etc.
L=a.la
Veja no dicionário outros significados
que essa palavra pode assumir, dependendo
da situação em que for usada.
257
O Mofim e um aparelho desenvolvido
para acabar com a umidade, que propicia
o surgimento de fungos, responsáveis por
disturbios respiratórios, como asma e
bronquite. Movido a energia elétrica, o
dispositivo atua em ambientes de até 5
metros cúbicos, inclusive dentro de
armários e sapateiras.
Qual o volume de ar máximo que uma sala pode
ter para que a atuação do Mot'im seja el:icaz? s n.'
Estime as dimensões de sua sala de aula e, com
base nessa estimativa, calcule o provável volume
de ar que ela contém.
Usando uma fita métrica ou um "metro de
carpinteiro", tire as medidas de sua saLa de aula.
Depois, calcule o volume de ar que ela contém.
Compare a estimativa que você fez no item 2
com o valor obtido no item 3. A sua eslimativa
foi boa?
Quantos aparelhos Mot'im você precisaria
comprar, no mínimo, para colocar em riua sala de
aula?
4 Qual o sólido de maior volume: um cubo de
aresta 4 cm ou um paralelepípedo retângulo de
medidasSm,4me2m? s icuais: 64
5 Um depósito de material para (tonstmção uti-
liza um caminhão basculante para transportar
areia. As dimensões internas da carroceria do ca-
minhão são: com-
primento :3,40rn,
largura:2,10me
altura : 0,80 m.
Quantos metros
cúbicos de areia
esse caminhão po-
de carregaq, no má-
ximo? 5,712 m-
t5 As dimensões de um tijolo srão 0,20 m de
comprimento, 0,10 m de largura e 0,05 m de al-
tura. Qual o volume de argila err,Lpregado para
fabricar esse tijolo? o,oo1 m3
Para acabar com a umÍdade
Em agosto de 1996, uma revista anunciava o Mofim, um apareJho que
acaba com a umidade do ar.
qora fi.a,
Contra o rnofo t.
,
3.
4.
Forúe: Globo Ciência, agosto de 1996.
I- Qual é o volume de um paralelepípedo re-
tângulo cujas dimensões são 30 m, 18 m e 72 m?
íj'
2 Determine o volume de um cubo de 2,5 rn
de aresta.
3 Devo construir uma piscina de B m de com-
primento por 5 m de largura e 1,5 m de profun-
didade. Qual o volume de terra que deve ser
retirado?
5.
xarclcl(75
258
-J- -l- I
+1 Urrida dqE d,a- nnqdid,a de-vol,wMe
Além do metro cúbico, existem outras unidades padronizadas para medir volumes. Veja
quadro, dispostas em ordem decrescente, essas unidades, com as abrevtaçoes:
Múltiplos
km3 hm3
1 000 000 000 m3 1 000 000 m3
dam3
I 000 m3
m3
-)
lm"
dm3
0,001 m3
Submúltiplos
cm3 mm3
0,000001m3 0,000000001m3
decímetro cúbico e o centímetroAs unidades mais utilizadas, além do metro cúbico, são o
cúbico.
Observe o quadro das unidades de volume:
dam3
I
1 000
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3
8,2 m3 : (8,2 x 1 000) dm3 : 8 200 dm3
2 Transformar 50 000 cm3 em decímetro cúbico.
m3 dm3 cm3 mm3
lttl
km3 hm3
tt
1 0001 0001 0001 0001 000
)
)
Podemos afirmar que:
da esquerdapara a direita, cada unidade contém 1 000 vezes a unidade seguinte.
da direita para aesquerda, cada unidade representa 1fu- da unidade anterior.
Veja a seguir alguns exemplos de transformação de unidades.
Transformar 8,2 m3 em decímetro cúbico.
ttl
x1000
lrlt
1mm"
1 000
km3 hm3
50 000 cm3 : (50 000 :
dam3 m3 dm3 cm3 mm3
1 000) dm3 : (50 000 x 0,001)dm3 : 50 dm3
259
Quantos centímetros cúbicos há em
1
T
tl
m3?
lt
km3 hm3 dam3 m3
6 Quantos decímetros cúbicos há em a ^'Z250 dm 4
7 O volume inicial de um tanque é 1 m3 de ar.
Cada gglpe de uma bomba de vácuo extrai
100 dm'de ar desse tanque. Após o 7e golpe da
bomba, quantos metros cúbicos de ar permane-
cem no tanque? o,a,.n'
€i A leitura de um hidrômetro feita em um mês
assinalou 7 946 m3. Um mês depois, a leitura
do mesmo hidrômetro assinalou it 0t8 m3. Qual
foi, em decímetros cúbicos, o consumo nesse
período?
72 000 dmJ
dm3 cm3 mm3
/
i^':
\--./
\1099/
0,5 m3 : (0,5 x 1 000 000) cm3 : 500 000 cm3
L Tiansforme em metro cúbico:
a) 840 dm3 o,e+r .'
b) 14 500 000 mm3 . rr45.:
c) 1 000 dm3 r .'
2 Quantos decímetros cúbicos há em 3,5 m3?
3 500 ii'r
3 Quantos decímetros cúbicos há em 1 250 cm3?
i,25 crl
4 Qual o volume, em decímetros cúbicos, ocu-
pado por um cubo de aresta 1 m? roc c'
5 O volume máximo que um bujão de gás pode
conter é 13,5 dm3. Tendo sido gastos ] a"rru
quantidade, quantos metros cúbicos ae'gas ri.,-
da restam no bujão? a,s ,, '
260
a2t^ Urrida dqt da- ,A^adtida de cÂ(tacidade
Estou morto desede. Acho
gue consígo tomor essa
fo de águo inteirinho.
Não vó tomar direto no
gorrofo. Vâ se coloco o
vê que o copocidode do copo
á ínsuf iciente poro comportar
todo esse volume de águo?
QUE Se alguém lhe dissesse que uma caixa em forma de cubo com 1 dm de
aresta tem capacidade de 1 litro, o que você diria?
Se você é do tipo que Sosta de ver Para crer, que tal construirmos juntos
uma caixa de papelão em forma de cubo de 1 dm de aresta, e tirar a prova?
O professor poderá orientá-lo na confecção do molde do cubo, que, de
preferência, deverá ser feito em papelão bem resistente.
Ao montá-lo, fixe as arestas com fita adesiva, tomando o
cuidado de deixar livre uma das faces, como mostra a
figura. Depois, é só encher uma garrafa de exatamente
1 litro de água e despejar essa água com cuidado no
interior da caixa.
Díca: Lembre-se d.e que I dm é
o mesmo que l0 cm.
261
Mos não ero poro
colocor todo o águo
gorrofo no
Se você e seus colegas fizeram a experiência sugerida, descobriram, na prática, que o litro é a
capacidade de um recipiente cÚbico com 1 dm de aresta, ou seja, correspondo â ul1r volume de 1
decímetro cúbico.
lndicamos o litro por ( ou L.
L(:1dm3
Considere agora a questão a seguir.
Se em 1 dm3 cabe 1 litro de água, quantos litros cabem em um recipiente com 1 m3 d,: capacidade?
Para responder a essa questão, imagine que esse recipiente tenha a forma de um cubo, Para
que o volume desse cubo seja 1 m3, as suas arestas devem medir 1 m. Podemos escrever:
1m3:1m x 1m x 1m
Sabemosque 1 m : 10 dm. Logo:
1m3:10dmx10dmx10dm
1m3:1000dm3
Como 1dm3 : I (, cabem 1000 litros dentro de um reclpiente com capacidade de 1m3,
Vejamos alguns exemplos nos quais podemos aplicar essa relacão.
1 Na leitura do hidrômetro de uma casa, verificou-se que o consumo do último mês foi de 3G m3.
Quantos litros de água foram consumidos?
36 m3 : 36 000 dm3
Comoldm3:l(,temos:
36 m3 : 36 000 dm3 : 36 OO0 ú
Foram consumidos 36 000 litros de água.
2 Uma indústria farmacêutica Íabrica 1 400 litros de vacina, que
devem ser colocados em ampolas de 35 cm3 cada uma. Quantas
ampolas serão obtidas com essa quantidade de vacina?
Como I {: I dm3: 10 cm x 10 cm x 10 cm : 1 0OO cm3.
temos:
1 400 titros : 1 400 dm3 : (1 400 x 1 oo0) cm3 :: 1 400 000 cm3
(1 400 000 cm3) : (35 cm3) : 40 000 ampolas
Serão obtidas 40 000 ampolas dessa vacina.
262
3 Uma caixa-d'água tem a forma de um paralelepípedo retângulo, com as seguintes medidas
internas: 4 m, 3 m e 1,5 m. Qual a capacidade, em litros, dessacaixa-d'água?
A capacidade dessa caixa_d,água é o
volume do paralelepípedo retângulo.
L Uma piscina tem 10 m de comprimento, 7 m
de largura e 2,50 m de profundidade. Quantos
litros de água são necessários para encher total-
mente essa piscina? 175 ooo {
2 Quantos litros de água podem ser colocados
num recipiente cúbico de 10 cm de aresta?
1 litro
3 A caixa-d'âgtsa de uma casa tem a forma de
um cubo de aresta 1,2rne está totahnente cheia.
Supondo que nessa casa o consumo diário de
água seja de 432 (,, aproxirnadamente, quantos
dias serão necessários para esvaziar totalmente
a caixa-d'âgua? 4 dias
4Uma banheira tem a forma de um parale-
Iepípedo retângulo com as seguintes medi-
das internas: 1,6 m de
comprimento,50 cm de
largura e 45 cm de
altura. Nessas condi-
ções, responda:
a) Quantos litros de água cabem na banheira?
b) Para tomar um banho, Dora coloco, agrr'urlá
banheira até a altura de 30 cm. Quantos litros
de água ela colocou na banheira? 240 (
c) Se cada metro cúbico de âgta custa R$ 1,50,
quanto Dora pagará por esse banho? ns o,so
V:4mx3mx1,5m:18m3
Passando de m3 para dm3:
18 m3 : (18 x 1 000) dm3 : 18 000 dm3
ComoL(:1dm3:
18 000 dm3 : 18 000 {
A capacidade dessa caixa-d'água é de 18 000 ú.
5 O consumo de
água de cada
residência vem
indicado em urna
conta. Pesqúse
em sua conta de
água quantos
metros cúbicos
sua famflia
consumiu no
último mês. Esse
consumo eqúvale
a quantos litros de
ágn? resposta em aberro
16 (Saresp) Observe a figura abaixo.
1,00 m
O volume de água
a) 0,96 4
b) e6(
1,20m
na caixa é de:
,c)9600
d)96004
xarclcloS
263
Dobrando as medídas
O bloco a seguir tem medida de volume igual a 1 cm3.
f volume do bloco:
lcmXlcmXlcm:1cm3
- 1.-- * ' 
(largura)
(comprimento)
1. Se dobrarmos apenas a medida da altura do bloco, o que acontece com a medida do volume?
2. O que aconteceria com a medida do volume do bloco, se dobrássemos apenas a medida da
largura? E se fosse dobrada apenas a medida do comprimento?
3. O que aconteceria com a medida do volume, se dobrássemos as medidas da altura, da iargura e
do comprimento do bloco ao mesmo tempo? rria multip|cada por 8
7t fCt
Dentro do sistema decimal, além do litro, existem outras unidades para medir capacidade, que
são múltiplos e submúltiplos do litro:
quilolitro
k(
1000{
Múltiplos
hectolitro
h(
100 (
Submúltiplos
decalitro litro decilitro centilitro mililitro
da( ( d( c( m(.
l0( I4 0,1 ( a,07( 0,00iI
Entre essas unidades, a mais
usada, além do litro, é o mililitro (mú),
principalmente para medir pequenos
volumes, como a quantidade de
líquido de uma garrafa, de uma
caixinha de achocolatado, de uma
ampola de injecão etc.
264
Trarc[ornnaçao das wnidadeE de nnadida de acidade
Observe o quadro das unidades de capacidade:
hl dal I
Veja os exemplos:
Expressar 15 ú em mililitros.
m(cld4
1010101010
dal
15 ( : (15 x 1 000) m( :15 000 mú
2 Expressar 330 mú em litros.
330mú: (330: 1000) (:0,33(
Expressar 250 m( em centÍmetros cúbicos.
Vamos inicialmente transformar 250 m( em h
da(
250 m( : (250: 1 000) ( : 0,25 (
265
hl
ht
Lembrando que 7 l
0,25(:0,25dm3
: 1 dm3, temos:
: (0,25 x I 000) cm3 : 250 cm3
cm3m3 mm3
O volume interno de um reservatório de ga-
ina é de 7 500 000 cm3. qua.,tos litros de [a-
solina cabem nesse reservatório? 7 500 {
(5 Quantos litros cabem em uma lata de jj c0
0,33 {
7 O volume interno do tanque de gasolina de
um automóvel é de 0,06 m3. Estando c 3om4
de sua capacidade total, quantos litros fattam
paraencherotanque? rct
€B Devem ser distribuídos 10 000 { de água em
garrafas com capacidade de 250 mí cada uma.
Quantas garrafas serão usadas? 4c 000 sarraÍas
{4-..
dm3
Então, 250 m( : 0,25 ( : 0,25 dm3 : 250 cm3
I- Expresse em litros:
a) 1,200 rnt d) 87 dme B7 1
b)85c{ :!, e)3,5m3 3icoí
c) 2h( o f) 1cm3 ooor r
2 Umagarrafapequena de refrigerante tem ca-
pacidade de 390 mú. Quantos litros cabem nes-
sa garraÍa? --l
3 QuaI é a capacidade, em litros, de uma
caixa-d'âgrta cujo volume interno é de 0,36 m3?
'6i
4 Devem ser distribuídos 400 ú de certa subs-
tância líquida em frascos de 50 cm3 cada um.
Quantos frascos serão necessários? 8 oo0 Írascos
menor e passar para o maior a parte suÍiciente para completá-lo
restar no balde menor será 1 litro de águà.
Medir, às vezes, pode ser complÍcado
iCrnS
/ Y o' '/ 1. Para ti-rar ágta de um 2. Márcía está preparando um bolo. Ela já
poço, você possui mediu quase todos os ingredientes. Falta
apenas dois baldes: apenas o leite. Na receita são 300 nnl, e
um de 5 litros e um Márcia não sabe como med, -;sa quantidade,
de 3 litros. você pois os únicos recipientes de que dispõe são
precisa de uma jarra de
exatamente 500 m/ e um
_- 1 litro de copo de
âgta. 200rr.4.
Como
U que vocêstazet( . :
Uma soluÇão é encher de água o balde menor e passar todo o
fariam se
estivessem
no lugar de
Márcia?
o balde mator. A sêguir, encher novamente o
uma soruôáo- cherde teite o r""ipi"n,"EEõãiffi,t"
nchendo-o O que restar no
266
ltli
E
ft* 
ando o qwa aYtre-nd<u
L Um sólido é formado por 6 camadas de cu-
bos. Em cada camada, estão 8 cubos iguais. Se
cada cubo tem 10 cm de aresta, qual é o volume
desse sólido? 4 8oo cm3
2 lJrnsólido tem 1,2 m3 de volume. Um segun-
do sólido tem um volume que corresponde aos
E
á do volume do primeiro. Qual é o volume
do segundo sólido? o,7b m3
3 Um cubo Á tem 2 cm de aresta. Um cubo B
1
tem f cm de aresta. Quantas vezes o cubo B
cabe no cubo Á? 64 vezes
4 Quantos paralelepípedos retângulos de me-
didas 2 crn,7,5 cm e 1 cm cada um são necessá-
rios para preencher totalmente o interior de uma
caixa na forma de um paralelepípedo retângulo
de medidas 6 cm, 3 cm e 2 cm? 12 paralelepÍpedos
5 Um reservatório tem a forma de um parale-
lepípedo retângulo e tem 5 m de comprimento,
7,20 m de largura e1.,20 m de altura. O reserva-
tório está totalmente cheio de água. Por efeito
da evaporaçáo, o nível da água baixou 5 cm.
Quantos metros cúbicos de água restaram após
a evaporação? /l28 m3
(5 Uma torneira goteja 7 vezes a cada 20 segun-
dos. Sabendo que t hora equivale a 60 minutos
e 1 minuto equivale a 60 segundos, e admitin-
do-se qug as gotas tenham semPre volume igual
a 0,2 cm", qual o volume, em decímetros cúbi-
cos, de água que vaza em uma hora? o,2s2dm3
7 lJmreservatório, cujo volume é 10 m3, esta-
va totalmente cheio quando dele foram retira-
dos 2 200 ( de âgta. Numa segunda vez, foi re-
tirado * O, quantidade de água que restou.
Quantos litros ainda restam nesse reservatório?
5200(
€l Uma famíIia consome 750rní de suco de la-
ranja em cada refeição. Em uma semana, consi-
derando-se que a família Íaz2reÍeíções diárias,
quantos litros de suco serão consumidos? r0,5 (
9 O volume da caixa-d'ágra de um prédio é
de 105 m3. Sabendo que o consumo diário do
prédio, em média, corresponde aos f da ca-
pacidade da caixa, calcule quantos litros de
água são consumidos, em média, Pot dia, nes-
se prédio? 84 ooo {/dia
LO Uma torneira mal fechada goteja 100 ve-
zes a cada 5 minutos. Admitindo-se que todas
as gotas tenham acapacidade de 3 mÚ, a quanti-
dade de água que vazapor hora é maior ou me-
nor que 1 litro? Malor, pois 3,6 I . 1 {
I- L Uma empresa importou
100 barris de vinho. Cada
barril continha 120 ( de
vinho. Aquantidade de
vinho deve ser colocada
em garrafas que têm
750 m( de capacidade.
Quantas garrafas serão
obtidas? 'r ooo sarraÍas
267
t_
j
14qdi ardo
Màe, àá para você fazer
uma rnaosa àe pào?
Você estâ com
vonl,ade àe aomer um
bem gostoao?
-Neo é ieeol É. que a
profeseora manàou a
gente meàir a masea àe
algum alimento.
!^- ^trí c cctmo voce
vai fazer iaeo?
ã; íã:
rY,l
O quê?
Tem certeza?
ealicar a mao6a e
àepoia meàir com a eua Afinal,oqueaoua
profee;aora peàiu?
Éla falou pra geníe ver a meàiàa
àa maosa àe algum proàuto que a
genle tenha ern caea,
Mas nào é oom fita métrica
que ge mede a masoa
àoa alimentoel
t.
CL [IACrt55Cl
llocawão:
500 gramqs.
200 gramas.
Claro que nàol A maooa àe
um proàuío a gente meàe
com ufia balança.
a gente coloaa
um proàuto sobre uma
balanga, eslamos
meàinào a massa àele.
Maa, no àia-a-àia, as
?eeooao àizem que
esíào "peganào"
Mae balança nào é
pra geníe ver o peso
àas coioae?
'96 que a gente nàà
tem balanga em caea
para meàir a maâea
dos alimentoo.
Mas n\stemos
proàuíoo aqui no armârio
que lrazem na embalagem a
inàiaaçào àa meàida àa
maooa,Veja oô,
^a^uoíno e que voae
oabeíoàao
eosae aoisas?
Aprenài tuào isao na
época em que
trab alhava no Inet itulo
àe ?esos e Meàiàasl
' Íâ venào eó? Gramas,
quilogramao eào as
uni àa à e o m aio uliliza à a s
nas meàiàaa àe massa,
àe, eu vou anotà
e;âao meàiàao. Aaho
que era isso que a
proÍesoora queria.
5Z Urri dadeg d,a- ttnqdida d,e n^c,$5a
No supermercado, você já deve ter percebido, vários produtos são vendidos
como batata, arroz, feijã0, carnes, frutas etc.
por quilograma,
Há também produtos que são vendidos por gramas, como frios, pacotes de bisr:oito, salgadi-
nhos etc.
a§õoa
O
endidos por
um quadro com os
. O quadro a seguir é
Produto
Salgadinho
Batata frita
Biscoito
Marca
Quero mais
Salgadinha
Gostoso demais
Massa
80 gramas
100 gramas
200 gramas
Em seguida, construam uma outro quadro com a indicação da massa de, pelo menos, rlez
colegas da classe. Exemplo:
Nome
André
Fátima
Beatriz
Depois, comparem as medidas encontradas.
Massa
38 quilogramas
37 quilogramas
38 quilogramas
270
ü
§
I
il
Como você já percebeu, o quilograma e o grama são as unidades de medida de massa mais
utilizadas no dia-a-dia.
Mas, há outras, Veja no quadro a seguir:
quilograma
kg
1000g
Múltiplos
hectograma
hg
100 g
grama
g
1g
Submúltiplos
centigrama
rõ
0,01 g
miligrama
mg
0,001 g
0 miligrama é uma unidade muito usada em certas
atividades como a indústria farmacêutica, por exemplo.
Existem ainda outras unidades especiais:
) A tonelada (t), Que equivale a 1 000 kg e serve para
medir grandes massas.
) 0 quilate, que equivale a0,2 g e serve para medir
pequenas massas, como pedras e metais preciosos.
Maçao das wnidades d,e
de- [y.0,550,
kg hg dag g dg cg
,í
\rooy-
3,2kg : (3,2 x 1 000) I : 3 200 e
Podemos resumir o quadro das unidades de massa da seguinte maneira:
kg hg dag g dS cg mg
tlrllll
10 10 10 10 10 10
Observando o quadro, podemos afirmar que:
) Da esquerdapara a direita, cada unidade contém 10 vezes a unidade seguinte.
F Da direit a para a esquerda, cada unidade representa .L Ou unidade seguinte.'10
Veja os exemplos:
1 Transformar 3.?.kg em grama.
lr I I I tl
mg
271
2 Transformar 150 mg em grama.
150 mg: (150 : 1 000) B: (150 x 0,001)g: 0,15 g
Quantos gramas tem um diamante de 15 quilates?
Como l quilate :0,2 g, então 15 quilates: (15 x 0,2) g:3 g
4 Quantas toneladas temos em 1 750 000 g?
daghgkg
Como 1 t
1 750 kg
: 1 000 kg:
:(1 750:1000) t:1,75t
L Entre as unidades usadas para medir a mas-
sa de um sólido, qual você acha mais adequada
para medir a massa:
a) de um pacote de arroz? .ruLosr. ,.
b) da carga de um caminhão? ,re ada
c) de um comprimido? . is,:16
d) de uma laje de concreto? roneiada
e) de uma pessoa? rcTai.;
f) de um ovo de codorna? ,: -a
2 Usando os símbolos mg, g, kg e t, complete
no seu caderno as afirmações com a unidade
mais adequada.
a) Uma lata de ervilha tem 500 s
b) Um pacote de açúcar tem 5 ks
c) Um carrinho miniatura tem 235 s
d) Um cacho de uva tem 750 s
kg hg dag s
1 750 000 g : (1 750 000 :
dg cg mg
1 000) kg : 1 750 kg
e) Um saco de batatas tem 60 . (s
f) Uma geladeira tem, aproximadamente,25 .Ks
3 Expresse em gramas as seguini:es medidas:
a) 2,3 kg z :oo s c) 950 mg o,ss s
Ul a te 750 s d) 24 quilates +,4 s'4u-
4 Amassa de uma carga é de 83 000 kg. Quan-
tas toneladas tem essa carga? 83 r
5 Uma pedra preciosa tem uma m assa de3,6 g.
Quantos quilates tem essa pedra? r8 quirares
(6 Um hambúrguer é feito com27'0 g de carne.
a) Quantos quilogramas de carne são necessá-
rios para Íazer 200 desses sanduíches? s+ u.e
b) Quantos desses sanduíches poderiam ser fei-
tos com 77,55kg de carne? 65sancruiches
272
I
7 Um queiio tem 6 kg e foi cortado em peda-
ços iguais. Cada pedaço tem 750 g. Quantos pe-
daços de queijo foram obtidos? 8 pedaQos
€B Se um quilograma de
carne custa R$ 5,00, quanto
devo pagar por 700 g dessa
carne?
R$ 3,50
Se vocês Íizeram a experiência proposta
corresponde ao volume de 1 decímetro cúbico.
9 (Saresp) Dora
pesava 64kg.Fez
regime e emagreceu
450 gramas em 2
dias. Quanto pesa
agota?
,a) 63kge550g
b) 63kge100g
c) 61 kg
d) 60 kg
LO (Saresp) De uma lata com 2 kg de goiaba-
da foram consumidos 250 g no primeiro dia,
200 g no segundo e 450 g no terceiro. A quanti-
dade que sobrou na lata foi:
a) 900 g
"b) 1100g
c) 15509
d)1650g
na página 261 descobriram, na prática, que 1 litro
Volume
1 dm3
Capacidade
l(
Como vocês fariam para descobrir a
massa de 1 litro de água?
Um jeito simples seria construir a
caixa de papelão com 1 dm de aresta e,
antes de enchê-la com 1 litro de água,
"pesá{a" numa balanca. Anotar o valor da
massa da caixa vazia e, em seguida,
colocar nela 1 litro de âgua. Levar à
balança a caixa com a água e anotar o
valor da massa. Depois, calcular a
diferenÇa entre a massa da caixa com a
água e da caixa vazia.0 valor encontrado
será o valor da massa da água.
Se a água estiver a uma
temperatura de 4 'C, vocês encontrarão
um valor muito proximo de 1 kg.
Uttna reLaçao irtn
ooo oo
Essa experiência requer calma e cuidado em todas as etapas, para evitar que a água caia da
caixa, principalmente no momento de colocá-la na balanca. Mas esse é um jeito de se perceber, na
prática, esta importante relacão.
L O volume de um reservatório é 30 m3 e está
totalmente cheio de água pura. Nessas condi-
ções, responda:
a) Qual a capacidade, em litros, desse reserva-
tório? 30 ooo í
b) Quantos quilogramas de âg:ua hâ nesse re-
servatório? 30 ooo rs
2 Quantas toneladas há em 40 m3 de certa
substância, se em cada litro dessa substância há
0,5 kg? 20 Í
3 Seis embalagenr a" f kg correspondem a
quantas embalagens de 250 g? 2
Massa
1kg
4 Sabe-se que 1 arroba correspon,ie a 15 kg. Se
um boi tem 30,5 arrobas, quantos quilogramas
tem esse boi? 4b7,5 ks
5 Uma laje de concreto é um bloco retanguiar
de 5 m de comprimento por 3,2mcle largura. Se
a espessura da laje é de 25 cm, calcule:
a) o volume, em metros cúbicos, do concreto
usado nessa laje 4 m3
b) a massa dessa laje, consideranclo que 1 dm3
de laje corresponde a 1,5 kg 6 ooo k(l
Volume
1 dm3
Capacidade
l(
Vejamos alguns exemplos nos quais aplicamos essa relacão:
1 Um recipiente, totalmente cheio, contém um volume de 8 m3 de água pura. Quantos quilogra-
mas de água há nesse recipiente?
8 m3 : (8 x 1 ooo) dm3 : gooodm3
Como 1 dm3 de água tem 1 kg, então 8 000 dm3 de água têm 8 0OO kg.
2 Uma caixa tem a forma de
paralelepípedo retângulo de medidas 10 m,
6 m e 1,5 m e está totalmente cheia de água
pura. Quantas toneladas de águahá no interior
da caixa? Vamos calcular, inicialmente, o
volume da caixa:
V: 10m x 6m x 1,5m:90m3:90000dm3
Como 1 dm3 de água tem 1 kg, então 90 000 dm3 de água têm 90 0OO kg.
Sabemos que1 t : 1 000 kg, então, 90000 kg : (90000 : i 000)t : 90t.
xs_rclcl05
274
Jta,
6
de
Um tanque de 1,5 m de comprimento, 1,20 m
largura e 8Qçm de altura está totalmente-------o- - - À.@
cheio de oleo. u'õ ,.,?cttclu (rc urtru. ,rc]c í
QuaI é aÍrrassa, t-,"t.
fiply'
em toneladas, do'7','
óleo contido no 'dn
reservatório, se l,'
cada litro de óleo
tem 0,7 kg? r,oo8 r
7 Urn reservatório de água tem as seguintes
dimensões internas: 7,20m de compriúento,
80 cm de largura e 50 cm de altura. Sabendo que
faltam 5 cm para encher totalmente esse reser-
1 pote de fermento equivale a
5 caixas de gelatina.
vatório, responda: /2p ê'"r
a) Quantos litros de âguahâ
b) Qual a massa, em quilogramas, da áglua
há no reservatório? l:2ks
1 pote de chocolate equivale a
2 potes de fermento.
q€/rc'oe ql'
no reservatório?
432 t
que
Não perca de vísta o equilíbrÍo!
Observe o equilíbrio das balanças:
2 kg de açúcar equivalem a 4 potes de chocolate.
7Q"to ú:t),\,tff"au
1. Quantas caixas de gelatina seriam
necessárias para equilibrar a balança
ao lado? 40
2. Quantos gramas de chocolate contém o
pote ao lado? 5oo s
3. Quantos potes de fermento "çtesaÍrr" tanto quanto você? resposta e
ierrl
275
fr*ando 
o qwa aPrendew
L Uma laje é formada por 20 blocos de concre-
to. Cada bloco de concreto tem 1-L t de massa.
4
Qual é a massa da laje toda? 2..
2 Supondo que 1 m3 de isopor tem 150 gra-
mas de massa, responda qual é o volume deuma
peça de isopor que tem uma massa de1,2 quilo-
grama? I
3 Uma laje é formada por 28 blocos de con-
creto. Todos os blocos têm a mesma massa. Se
a laje tem 42 toneladas, quantos quilogramas
tem cada bloco? r 5oc .,
4 Verificou-se que, nos últimos anos, a produ-
ção anual de uma certa matéria-prima vem do-
brando, regularmente, a cada ano. Em 1998,apro-
dução anual dessa matéria-prima foi de 125 qui-
logramas. Em qual ano a produção anual será de
2 toneladas? ';z
5 No interior de uma caixa estão 28 bolinhas
de chumbo. Cada bolinha tem 0,25 quilogramas.
Colocada a caixa com as bolinhas numa balan-
ça, esta indicou 7,35 quilogramas. Quantos gra-
mas tem a caixa sem as bolinhas? 0,3s kq
6 Estimativas do Instituto Brasileiro do Açú-
car e do Álcool indicam que o preço da produ-
ção do açícar, no Brasil, é de 200 dólares por
tonelada. Supondo que no mês rfe janeiro de
1998 o valor do dólar tenha se mantido em
R$ 1,12, qual o custo da produçâro de 1 kg de
açúcar nesse mês? ps
7 }íelena comprou uma caixa com uma dízía
de pacotes de feijão. Em cada pacote, há 500 g
de feijão. Se a família de Helena consome 1,5 kg
de feijão por semana, em quantas semanas essa
quantidade será consumida? r seÍ,anas
Uma laje de concreto tem 20 rn de compri-
mento, 8 m de largura e 0,25 m del altura. Nes-
sas condições, responda:
a) Qual o volume de concreto que lhá nessa laje?
b) Se 1 m3 de concreto tem 10001cg de massa,
quantas toneladas tem essa laje?
'27 6
Il
L
c
o
E
õô
-1
I rrdic açao dra- l,qtttlr a
Os livros indicodos o seguir são especiois . Além dà
divertidos, cheios de oventuro e desofios, tombém
sõo ótimos poro o formoçõo motemótico.
5õo livros escritos especiolmente poro guem nõo tem
receio de perceber gue o Motemática estó em todos
os momentos interessontes do vido.
EntreostítulosdasérieMatemáticaemmileumahistórias,deMartinsRodriguesTeixeira,
rro, uoiã'lnããnirara nos livros em 
quadrinhos: 
= ,^ ^^+..,^1õ onimaiq pm eXr:TD, você enconrrara tlus rrvrur 
sr, Yuqvrrrr"--' 
e a preservaÇão da natureza, animais 
em extinção e
la história dos Povos antigos'
er mais sobre a reciclagem e também 
sobre a
cê vai descobrir lendo esse livro'
tar para brincar e aprender cota: Atlidades e 
jogos
õràpo. Elias e publicada pela Editora Scipione'
Para a sua leitura: 
ê participa
arcondes e Nelson Gentil' Editora 
Atica' voc
ndo Medir é comparar' de Cláudio Xavier 
da Silva e
ditora Atica, você pode aiudar Paulo 
a enÍrentar vários
JáoautorEgidioTrambaiolliNetoescreveuasérieocontadordehistóriaseoutrashistóriasda
Matemática, da Editorâ iíô. s. ;;;ã 
josta de ãi,tã,.io e enigmas' essa série tem 
dois tÍtulos ideais para a sua
' ' ,* ereyetyãl,uma cigana d-.-.-TTffií[:3,['#,::1';;f;3.;i;H'^.c;ruffiff#t;iili1$.,
humanidade, com a aiuda de um 
granoe
habilidades para atingir esse obietivo? -- .^^^r,,^v "m dr2n^ê.esafio: manter a paz entre osl* ffH::itT[:ff:::T;::;" "' t'^'::,af'.,fl1',?j :[filto.',:'sario: 
manter a paz entre os
povos, uma aventura o'JiãJüã-iá i'à ãr'àu 
para a história acabar bem'
Bom divertimento!
bih[io3ratia
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Suplemento - Programa de primeiro grau - ensino regular - implementação de matemática 6z série. São Paulo,
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Experiências matemáttcas: 6? série. São Paulo, SE/CENP, 1994.
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279
Rarpo gtas
b) 0ll; =
J O conlwnlo doE nínlqros nalurait
p.17
1 a) 24e26
b) 60 e62
c) 98 e 100
d) 898 e 900
e)1000e1002
Í) 9099 e9101
g) 72998 e 13 000
h) 10 000 e 10 002
248
379
4 b) 301 kwh
$ k civil,izaçózs do ytarl,ado
n))
aC; bA; cD; dB
Troque idéias... p.25
Xl + ll = Xlll; V+ l= Vl,
Xll+V=XVll; Xl-X=l
) 0 tisle,ma de nutuaraçào
\ndo-ar6'hico
p.30
1 sistema de numeração decimal
2 il60 c) 60 000
b) 6 000 000 d)600
3 a) 968 c) 4 050 e) 2 500 000
b) 3 473 ü52731
4 257, 275, 527, 572, 725, 752; 752
5 a) 72402 c) 113 131
b) 7 1,50 d) 1 101 001
6 quatronúmeros: 123,345,567 e789
8 dois milhões, cento e seis mil, qui-
nhentos e sessenta e cinco reais
:::r"o'a 
informaçao 1... p, 32 e 33
1 a) popularização do tênis no Brasil;
Confederação Brasileira de Tênis, Li-
sonda e Wilson
b) revista Veja, 74 / 3 / 07
/ A noçao ds ní,t^sro
p.15
1 a) sim
3 sete
b) cinco; 5
4 símbolos indo-arábicos ou algaris-
mos; em homenagem a al-Khowarizmi
5 zero;0
6 três
7 a\ lll:
c) aumentaram; quatrocentos mil, seis-
centos mil, cinco mil e quinhentos, onze
mil, sete miI, dez mil, sessenta mil, cen-
to e quarenta mil, um milhão e duzen-
tos mil, dois milhões e novecentos mil
2 Aurélio: indagação ou busca minu-
ciosa para averiguação da realidade; in-
vestigação, inquirição; investigação e
estudo a fim de descobrir ou estabele-
cer fatos.
f, ldatm a55ociada5 à adiçdo
p.38
t a)3969 b)2706 c)4267 d)3145
2 28 777 quilômetros
3 a) 3 320 metros b) 5 890 metros
4 a) 8h 05min b) th 45min
5 a) Guto, pois marcou 33 080 pontos.
b) Bete, que marcou 24720 pontos.
7 a) 2 479 b) 9 742 c) 72221.
8
9 a) 725
+ 476
7 207
b) 698
+ 256
954
576
d) 139
+ 927
1 060
10 a) 235 b) 215 c) 457
11 1 520
t2 72945
13 Aseqüência é: 1, 5, 8, 7,5,8,7, 6,5,8
Troque idéias... p. 41
7,8,3;
2,6,70;
9, 4,5
1 lddiat associadas à suhtraçô,,0
p.42
| 10;17,75 76
2 a) 875 b e c) não são possíveis
d)0
3 O primeiro número deve ser maior
ou igual ao segundo número.
4 x*y
5 a) 130;10 b) 101;181
6 11 938 reais
7 159 rn3 8 1825
9 7776 unidades
280
10 45 min
11 A equipe B, que term 31 pontos de
saldo sobre 28 pontos ile saldo da equi-
PC A,
12 4s2metros
P.4s
1 153 2 283
3 a)1:2gg b)x:420
410
1 880, 1 890,1 900;
2 470,2 500;
9 674,9 624,9 644
Calculadora... p. 44
1, a) 720 b) 18 c) 150 d) 60
2 a)70 bt79
3 alternati a &
4 alternati a a
p.46
132
2 40-25 72+70-7+8:74
3 50-(10+25)-1
4 270
5 50-(77-37+6)
Troque idéias... p,46
70,3; 4,9;74;8, 72
Tratando a informaçao 2 .. . p. 50
1 a) Para representar l'enômenos fÍsi-
cos, químicos, sociais, econômicos, etc.
Para explicar símbolos ou cores usados
nos gráficos, mapas etc,
b) Unesco, Embaixada de Cuba e Mi-
nistério da Educação; revísta Veja,
77 /1 /01
c) Há quanto tempo alguns países ofe-
recem escola para todas + as crianças.
e) PaÍses; tempo (errr anos) em que
todas * as crianças têm etscola.
Í) 728;38
$ naot a55ociada5 à, muLilytl,\caçô,0
Troque idéias... p. 54
a) 56 b) 48
p. 55
1 825 metros
2 São 12 opções diferel'rtes.
3 4,00; 6,00; 8,00; 70,00; 72,00; 74,00
4 559 azulejos
5 a) 5 980 litros b) 299 000 litros
6 24; 36; 48; 60; 120; 74,1; 780; 792
7 a)37
X8
296
b) 37
x48
296
1 480
1.776
8a)
2
7
b)
1
872
9 a)(1 +2+4+8)x48:720
b)(r+4+8)x23:299
to 7428
X3
4284
11 a) 840 b) 840 c) 4140 d)4 140
t2 a)27 b)1 c)28
Troque idéias... p. 56
1ê a)3 b)6c) 10
2a a)3 b) 3;6;10; 45
p. 59
t4
2 a:76;b--32;a*b
3 (12+8)x5
40
5 (20-3x6)x2
651
7 Existem outras respostas.
a)4x2+4x5
b)3x(3+3+2)
c)2x(8+8)+3x4
Troque idéias... p. 60
Calculadora... p. 60
a) 80 b)933 c) 122 d)23
Tratando a informaçdo 3... p. 6L
1 a) gráfico de barras; ONU
b) respectivamente, população e ano
c) 123;33; 1,4;13; 12
e) aproximadamente 37 vezes
2 a) AuréIio Miguel, judô, ouro; equi-
pe de futebol, prata; ]oaquim Cruz, atle-
tismo, prata; Róbson Caetano, atletis-
mo, bronze; Torben Grael e Nelson Fal-
cão, iatismo, bronze; Lars Grael e Clínio
de Freitas, iatismo, bronze
b) sim
c) Não, quintuplicou.
] tdttot a55oc\ada5à divitão
p.63
1 14 poltronas
2 63 garraÍóes
3 25 voltas
4 46papéis; restará 1
5 24 horas
6 a)235
b) 2s
c) quociente 235 eresto26
7 13 rcais
I 12 páginas
9 37 grupos
lO 27 cupons; faltam 3 reais
ll S2toneladas
12 11 viagens
13 31 galões
Troque idéias... p.64
São iguais;
e7x1.0+4:74
p.66
18:0
2 12:24
3 Helena
74 t10
4, lz
4 Sim, pois da 1a para a 2a divisão o
dividendo e o divisor foram multipli-
cados pelo mesmo número,4.
5n
65
7a)
b) ou 2s6 l8
orc fí
00 I
c)80:10x8
d)162: 9 x 1.8
8
I
10
17,
a2
13
a)24:8x3
b)35:7x5
n: 1.5 x 26
765
119
215 laranjas
a)n:65 f)1:181
281
c) n: 1 610
p.68
7. a) 12 b) 81
2 x=4,y:7;x*y
g a)4+1.:S d)4vezes
b) nào e) não
c)4:7:4
4 il6 b)0
5 a=8,b:18;axb:1.44
6 20+ (40-30):5
Tioque idéias... p. 68
Carlinhos: 4; Flora: 1; Toninha: 3;
Alexandre: 2
I Q narcLvendo pr obieruas
p.72
1 3 938 candidatos 2 alternativa &
3 27 reais 4 alternativa c
5 28 páginas 6 alternativa a
7 39 pontos 8 alternativa d
9 725
1O 40 reais
11 alternativa c
12 100 cartelas
13 438 reais
14 alternativa b
15 45 anos e 25 anos
16 2040metros
17 alternativa a
1E alternativa d
koque idéias... p.73
420
Tratando a informação 4... p.75
couraçado: (M,2); (M,3); (M, a); (M,5)
e (M,6)
cruzador: (D,'12); (8,"12); (F,12) e (G,"12)
hidroavião: (E,5); (E,6) e (G,6)
submarino: (N, 10)
destroyer: (K, 13) e (L, 13)
1 alternativa d
2 alternativa a
3 B: (0,7) A: (2,2) r : (s,1)
R : (1, s) S : (3, 0) L: (7,0)
'll Polun roção dz núnnsrotnaturail
p.B0
1 5X5x5x5ouSa
2 4x 4ott42
3 20e
4 a)32 d)1
b) 343 e) 1
c) 2787 0 0
5 a)< b)> c)< d)<
6 Não, todas estão corretas.
8 a)72 b)63
93
105
11 sim
7,2 a) 4 x 105 km
b)72 x 104, 15 x 104
c) 25 x 102
d) 10s,3 x to6,97 x 706
13 a) quarenta milhões
b) novecentos mil
c) um milhão
d) dois mil
14 3 x 108 metros : 300 000 000 metros :
: 300 000 quilômetros
p.83
1a)9
2 a)2
b)7
b) araíz quadrada
d 76e
h) 1 000 000
c)8
d) 11
e) 72
f) 15
3 9,76,36,49 e64
473
p,84
1a:b
2 a) 70 b)797 c) 16
3 7023
40
5 102 + 52 : 100 + 25: t2S;5
62
7 "176 :4
Calculadora... p. 84
a ú 75 625 d) 40 3s3 607
b) 7 776
c) 4782969
e) 7 024
f) 1.048 576
2 Respostas para calculadoras com
máximo de 8 dígitos:
a) 226 : 67 708 864
b) 316: 43046727
.) 4" : 67 708864
d)51'- 48828125
e) 8E : 1.6777 216
D 98 : $046727
3 a)121,1337e14641
b) Nâo, 11s : 161 051 não é capicua.
c) E um grupo de algarismoi que,
lido da esquerda para a direita ou da
direita para a esquerda, representa o
mesmo número.
Retomando... p. 85
1 30 000 reais
2 a) 7 260 vezes c) 630 vezes
b) 2 520 vezes d) 1 890 vezes
36
490
5 8 fileiras
6 2 frascos
770
8 a) 33;27
|/ Xoçao de divisihiiidade
Troque idéias... p.B9
12 dias
89
a) não b) não c) não d)sim
slm
verdadeira
45, 54, 72, 81 e 99
a) sim c) sim
b) sim d) sim
6 certa
7 42anos
8 555
96
109
11 6 grupos de 10 equipes;5 grupos de
12 equipes ou 4 grupos de 15 equipes
Calculadora... p. 90
Um número próximo de 8; não.
7. a)2 c)4 e)1
b) 3 d)0
2 por 2:5 000, 6 936, 61.82,237 348 e
753 894
por 3: 6 936,56 373,237 348 e753 894
por 4: 5 000,6 936 e237 348
por 5:5 000 e 88 375
por 6 : 6 936, 237 348 e 753 894
por 9 : 237 348 e 753 894
por 10: 5 000
3 Quociente: 32,32,32; Resto: 6,3,72
4 a) O quociente é igtal, o resto é a
metade. b) O quociente é igual, o resto
é o dobro.
'lJ Lllírros de divi,;ibi[idade
P97
t a) 1 702, 2 202, 3 02,+, 7 128, 4 044
b) 2 202, 3 024, 6 003, 7 728, 4 044, 5 037
c) 2 202, 3 024, 1 72Í], 4 044
2 a) 25q, 295, 529, 5s2, 925, c)52
ü 592 e952
c) nenhum deles
3 a)3465,6720 c)3465,6720
b) 5 648, 6720,8976 d)6120
4 a)2,4,O,tr L)tr
5 a) l, c,u, a, c; b,) c
6 a) não r)3
7 3 000,3 003,3 030, 3 300,3 303, 3 330,
3 033, 3 333
a)3000e3300 b)3000
472
9 a) 100 c) 102 e) 104
b)702 d)100 f) 108
10 verdadeira
11 a) sim; sim; não b) 4
a2 996
13 dividendo: 7 952,0,7 859;
divisor: 101; quociente: 6; resto: 6
Tratando a informação 5 .. p.98
7. 22
2 9 centavos
3 18 reais
4 a)24 b)3
'l{ Dirt orus, [afores e rníl,liytl,or do.
lltl,,^ y\í,^^sro
p.101
I a) 17,3,91 c) 11,3,7,271
b) {1,13} d)11,2,4,8,76,321
2 a) 2 c) 5 e) 2,3,6,9
b)2,3,6,9 d)3,5,9 Í) 2,5,10
3 a) sim b) no. c) não d) sim
4 a) não b) sim c) sim d)não
5 I e5
6 0,75,30,45,60,75
7 a)2,74 b)5,35 c)7,7
I 494
I 507
10 30 anos
11 A : 17,2,3,6,9,181 B: l1,3,9,271
C : {1, 2, 3, 4, 6, 9, 72, 18, 36}
a) 7, 3,9 c) 1, 2,3, 6,9, 78
b)9 d)18
b) 33;27
p.
1
2
3
4
5 e) não
f) sim
e) 1,3,9
f)e
282
t2 a)280 18
40 35
0
133
b)136 l8
56 17
0
f) 22 x3x11
g)2xsx5 x7
h)22 x 32 x 5
02x32x13
d 459
14 a) Não, pois 1500 não é divisível por
400. Não, pois22 não é divisívelpor 4.
b) três (1992,7996 e2000)
c) 2004
15 202; 222 e 444; 36; 0; 0 e 4; 4
Troque idéias... p.102
7,
É divisível por 2, 3, 4, 6 e 9.
| ) Níttneros pri,/t/ro5
p.107
t 1,7,49
2 náo
3 a) 3L,37 c) 2,3,5 e) dois
b)3,13 d)um
4 47,83,97
5 63 não é número primo.
6 41 é número primo.
7 üÉprimo. c) É primo.
b) Não é primo. d)Não é primo.
lf, Ouco,rnpo5ição znn [atores prifi^o5
p.1L0
t a)3x77 b)5 x 13 c)7 xlt
2 56:2x2x.2x7ou23x7
3 alternativas b, c e d
4 não
5 a)24 x3
b)2x s2
c)24x5
d)32 x 11
e)22x93
6 a)22 x3x5
b) 7, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 1,2, 75, 20, 30, 60
7 23x53
84
9 n:34
1.o a)2420 b)364
lJ nAxinno diviror cou^ufi^, nnírrinno
ttnilt\ytlo co^^un^
p.11.4
118
tD6
@5 t5)1 ro4 og
t93 0 2
t92 5 5 lD2
a)o
2 a) 25 c) 50 e) 1,4
b)r4 d)45 f) 84
3 18 centímetros
4 a) 150 d 1,'122
b) 180 d) 540
5 40 alunos
6 120 segundos
7 20 dias
Retomando... p.1L4
g) i3
h)72
e) 720
1 8 casas: 6,12,18,24,30,36,42e48
2 1.2
3 3 números : 270, 540 e 810
4 5 voltas
5 50 centímetros
6 144 anos
7 25voltas
l$ vonto,relaepLano
Troque idéias... p. L20
I a,b,d,feh 2 Í
p.121
2 a) ponto b) plano c) reta
3 a) cabeça de alfinete
b) uma corda esticada, encontro de
duas paredes
c) porta de geladeira, superfície de
uma piscina, uma parede
4 plana
5 plana; não plana
'l] erata
p.123
1 infinitas retas
2 uma única reta
3 inclinada
4 a) vertical b) concorrentes
5 a) concorrentes d)paralelas
b) concorrentes e) concorrentes
c) concorrentes
Troque idéias... p. 124
1 Cláudio trabalha na rua Visconde de
Inhaúma, e Sueli na rua Comandante
Marcondes Salgado.
2 paralelas
3 não
p.726
r a)õü"õfr b)õfrouoú
2 5 segmentos: PQ, QM, MN, NP,
PM
3 seis: Fi, FB', Fd, Fts, FÊ 
" 
FF'
283
4 a)BC ouBDouAC
b) AB ou AC
c) AB ou CD ou BC
5 a)ABeMN
b) BN, BC ou CN
c) AB e AMou AC e AB
6 a)V b)F c)V d)V
Troque idéias,, p,727
p.128
1 a) 6 unidades b) 2 unidades
2 a)4u c)1u e)6u
b)2u d)6u 0 10u
3 38 quarteirões
/Q etro, e ànyiot
p.1-31.
1 alternativa a
2 a) 3 horas c) maior e) 180o
b) t horas d) 1 volta
3 A:90";B:,45";C:130"; D: 95o
Zl voliynot
p.134
1 Sim; é uma figura geométrica plana
limitada por umalinha Íechada simples,
formada apenas por segmentos de reta.
2 Porque ela não é limitada por uma
linha formada por segmentos de reta.
3 sim; polígono não convexo
4 a) figuras 7,3 e 4
b) hexágono, hexágono, quadriláte-
ro, pentágono, eneágono, dodecágono
5 triângulo
6 a)V c)V
b)v d)F
e)V
Í)v
koque idéias... p. 135
20 triângulos, sendo 2 grandes, 6 mé-
dios e 12 pequenos
// t rianluior e quadril,í,,| er ot
p.138
1 da esquerda para a direita: eqüilá-
tero, escaleno e isósceles
2 da esquerda para a direita: trapézio,
quadrilátero qualquer e paralelogramo
3 a)ABCDeRSVT
b) EFGH e MNOP
4 isósceles ou escaleno
5 a) 6 triângulos
6 alternativa c
7
9 a,b,c,e
koque idéias... p.139
b) eqüiláteroz a) f ntro
b) 1 litro
3 alternativas a, b, d, e, f, h e i
4 a) não
A
4
5 Há várias possibilidades.
6
?3 atdtta da-{raçao
p,144
1 Existem outras possibilidades.
c)llitroemeio
ferentes
-15+
'7 18 at ,;f
aa,.\t) 12 ' "t2
9 a) 40 litros
b) 20 litros
1to 7e j-
1tt a)l b)
1a)4
1
8
1o) to
37o) *;16
13
4c)4
c) 10 litros
d) 30 litros
=m
b) Porque elas são de tamanhos di-
p.146
.1 1I azul * -i, ; verde + 
-.rb 4',.. 1 1
vermelho * i;amarelo * g ;
17
laran]a * 76 ;cnza+ -E-;
1
rosa + g
2 Há várias respostas.
c)
d)
7
2
8
1
c)
d)
)t
bt i;c) j-
,2a)1
o
b);
,1a) .)
+
/l RuoLvando praltl,ula5 g«a.
(nvo[v«h [raçoes
L
; d) -:i-tb
,. 8
c) nao ol E
250
1 000 c) 5UU
," 1lo
2 a)24 b) 8
3 a) 200 b)
4 a) 4 alunos
b) Não, porque 40 não é divisível por 3.
5 20 carros
6 a) 14 alunos b) 28 alunos
7 1a colocado: 300 reais; 2a colocado:
200 reais;3q colocado: 100 reais
8 a) 9 arremessos c) 39 pontos
b) 6 arremessos
9 a)9 b)72 c) 15 d)B
1o a) loo b)so .l ]l ü20'2t)
25 Cotnparando núA^sros
{racionários
p.1.52
12,3e4 2 Sãoiguais.
_t I3 a) n b,ã
4 3e5 5 2:3
6 igual; iguai
8 a)V c)V e)F g)r
b)v d)v Í)v h)v
/f, rraçou e1rtÀvatanlet
p.155
1 a)> c)> e)-
b): d): f) <
284
3
4
5
.i 1 i 1u) g 'i l' -í'1
r-, 1 3 7_ g 7474 14 14 14 74
duas
a) sim b)não c) sim d)sim
110525
2 20' 4 20'
3_72.9_18
5 20',10 20
15 44a)üo)u
a)x:18 c)x:4
b) x : 33 l)y: 49
204
dt 
- 
ct-"25 5
6
7
10
tl
51
--;- t --bJ
,+
3
4
,l* b)+
JJ
t1
u) á da hora; j-
15 1b) 
- 
danora: 
-6U4
.) +f da hora; f h
.. 10 1d) ^ cta hora; --r-br., o
453
", 60 cla hora; 4
ANf) -+ dahora: I h' fro
Troque idéias... p.156
2
J
n Ra-dvtindo duas ou rwa\t
t-
lraçôcs ao r$a5fiio denot^inador
p.158
.54
20' 20
43ul 24'24
.92074L) 24' 24 ' 24
,.27 10 8 6s) 36 36 36 36
30 28 45 77
70'70'70'70
.. 27 76 54 22^' 60 60 60 60
p L64
ra)|.+:+
d)+
5
5
7a),
q
5...-
b
rcl;
/$ *aiçao e*hlracp.o
5611ot -11- - -12 : 12
2 a)+-+:+
752ot,-7:Z
, d+ o)+ ")+
e)0
n73'20
226706xzt 4,6,g,12;
33915
6',9',L2',18',
.447220
8',1,2',16',24',
-551525"t0'1.5'20',30',
_661830/\u' 1,2' "18' 24' 36
o)+ c)o ô+
8 sim
sZ
5
Troque idéias... p. L64
?13
lecoluna: f tl coluna: -i, + ,
-7
5s coluna: --i-
4
21 efornna nnirta
p.166
'"3t a)a! c)- 
10
1nl
b)s É d)7;
z atft o)+ ,)+ il+
3f
q
4 27; quilômetros
koque idéias... p.166
7 cheios * 7 pela metade *
1
3 -i- emcada bandeia ou'2'
UU
BE
UU
u
E
U
U
B
U
UU
BB
UU
U
E
U
UUU
UUU
BBEBE
-1271 2',3',4
p.1.67
JQ Unttrpticaçâo
p.771
ta)+ ,)+ e)5
R..22b)i d)10 D-?
/, 112ilfid)f g)to j)1
o)+"rf nlro r)1
.)+ of ilr m)1
3 O produto é 1 e os dois fatores são
frações nas quais o numerador de uma
é igual ao denominador da outra, e
vlce-versa.
tl
5 a) Na ordem da receita: 2,8,2,3,'1,2,
2,2, 4 e 4;3,123, +, l,t,z,z,s " o
b)1+,u,r+,*,*,r*,
,* ,r! ,t.z
6 63 quilômetros
7 a) 2 vezes; 3 vezes; vezes
b) 4 vezes; 2 vezes; 6 vezes
Troque idéias... p. 1.7 2
Uma resposta possível:
31 Divisâo
p.176
.7L
1, -4 , inverso d" i
/,a ---:-'t5
285
143 a)20 d) 14 g) 11
q 11b)1,4 e) -j- h) 
-
764
11,)à f)-o i)o
43
5 4 copos
611
7 il13 b)20
8 620 pacotes
, +o,f aoai,
loa)+o)+o+o)+
n a)+ b)o
12 8 pacotes
rc a)[ o)+ "r+
Troque idéias... p. 1.7 7
27 anos
i)0
lJ Re:rlluçt^o de- prohlemat
p.187
1 a) 30 partidas
b) 5 partidas
2+
o
3 alternativa c
4 a)1. 1.25m2
b) 1 875 m2
5 alternativa c
6 alternativa d
c) 61 pontos
.5t)s
32 eu [raçóesa a porcehtag€/vr
p. L81
, d+o
1,9b) 
roo
2 50Vo
3 a)175
b) 525
.43c) 
roo
.. 120d) roo
c) 350 
") 
3S
d)35 f) 420
4 l650pessoas
5 9 250 reais
6 a)2100 eleitores b)32900eleitores
,)
7 a)2;25va c) -l;25V"
b)4;50% d)75%;*""*
8 alternativa a
9 alternativa d
2+
5
7 a) X c)4Olitrs
õ
b) 15 litrr s d) lílatas
8 100 quilômetros;35 quilômetros
9 alternativa d
1O a) 180 eleitores
b) 171 eleitor s
c) 285 eleitor s
d)2052 votos;912 votos
e) 1 140 votos
11 alternativa d
a2 d3
111b)dobrado: 2;,2;,1;,1
triplicado: r*,ri,r*,, *
reduzido pela metade: 5 58',8',
31
8',4
13 alternatrva c
14 R$ 400,00
Retomnndo... p. 189
1 500 rotaç es t Lrr.
6 64 pontos
3 entreSe6 7
4 77kg
Tintando a ínformaçdo 6 ... p. 191
1 a) Fim de linha
b) quantidade de casais que se sepa-
ram no Brasil
c) horizontal: ano; vertical: número
de separações por grupos de 100 casais
d) aumentado
e) entre 7988 e7992
f) 28 000;140 000
2 a) de linha ou de segmentos
b) luta contra o vírus
c) ano; número de mortes no ano
d) RJ: diminui 70 casos; SP: aumen-
tou 57 casos
j! Irocando dinhsuo
p. 197
1 trinta e cinco reais, trinta e seis cen-
tavos
2 a) R$ 0,04 c) R$ 0,47 e) Rg 13,50
b) Rs 0,32 d) R$ 1,2s f) R$ 0,05
4 a) 3 x 0,10 : 0,30; 6 x 0,05 : 0,30;
7x0,25 +1x0,05:0,30
1
12
b) 35 centavos; qualquer produto,
menos o cappuccino, posso adquirir
também, leite e carioca ou dois cario-
cas (sobrando ainda 5 centavos) etc.
5 a) R$ 9,04
b)R$ 6,23
c) Rfi29,37
d) R$ 57,28
e) R$ 128,09
27
p.203
Rop r e-sent açao dqci tua|
rr)f
z S:o,so
o) r#
3 a) um real e dezenove centavos;
b) cinco reais e vinte e nove centavos;
c) sete reais e quarenta e seis centavos;
d) três reais e cinqüenta e quatro cen-
tavos;
e) trinta e seis centavos
a all- .) I 5c4"'2
tl ..12 .33o'25o'5"5
t3 . 4002 247r a) , o' tooo c)ffi
13 85 r35D) 1oo et -* 
n' l ooo
. 13 .. .3c) 
1 ooo t) to
6 4,75
7 a) 5,2 c) 7,7 e) 0,7
b) 0,s2 d)0,77 Í) 0,07
e ar f - o,s ct ff: z,zs
4a 40ob) lõo :0,42 a, jffi : +.oo
9 a) trinta e cinco centésimos
b) dezoito inteiros e quatrocentos e
vinte e sete milésimos
c) quatro milésimos
d) cinco inteiros e nove décimos
J f, V roprrn dadr 1ar aL dot
hí/^sro5 dscitu^as
p. 205
1 a) as duas b) 1,50 : 1,5
2 2,03;2,030;2,0300
3 a)- c)* e)-
b): d): f):
4 5,07;5,0100 e 5,01000
5 O segundo, pots 2,2 > 2,08.
6 a) 3,7;7,07;3,076;10,01; 1,0004
b) 0,605; 0,28;0,095
c) 0,605
d) 0,095
286
7 A primeira, poís75,2 > 75,78.
8 a) 0,016;0,405;0,0.)7 c) 1,02;7,1
b) 0,98;0,71
9 a)< c)< e)>
b)> d)> f)>
10 Paula, Renata, A.na Maria, Cecília
jl aaiçao a *btraçõro de.
nílÂsro5 dqcil',r.,lts
p.208
I a) 76,7 c) 4,2i' e) 4,392
b) 1,31s d)2,23
2 4,74m
3 2,62rn
4 709,475km
5 Menor, pois 0,99 <. 1.
6 1,105
7 36,055
8 comprimento : 1[1,40 m;
largura : 8,95 m
9 a) 8,0 b)19,25 c) 654,73
Troque idéias... p.208
A: 7,7;B : 7,9;C: 2,0; D : 1,8
J$ Uuttty,ticaçao de ní^^srot
dscttu^aig
p.271
1 a) 10,8 b) 57,2 c) 9,2 d)2,9
2 225m
3 a) 33,5 b) 105,3 c) 9,45 d)22
4 a) 32,76 b) 10,53 c) 2,6 d) 33,88
5 a) 2,205 6) 14,2
6 56,25 m
7 200,8 cn
I 72,25 unidades de ,irea
9 a) 2,8 b) 75,283
lO a) 7,25 b) 4,12 ,:) 2,308 d)7,687
tr 3,472
Calculadora... p. 212
a) estimativa: 30; valc,r exato: 30,6
b) estimativa: 150; valor exato: 148,5
c) estimativa: 63; valcr exato: 63,9
d) estimativa: 56; vaior exato: 55,3
e) estimativa: 72; valor exato: 73,08
J] Dtvisao dq ním,uos dsci{v,ais
p.276
I a) 3,95 c) 1,1 e) 0,27
b) 6,42 d)2,70tt Í) 0,843
2 10 3 8,3 litros
4 2,3 5 0,37 metro
6 a)5,3 c) 0,12 e) 1,53
b) 1,45 d)L,2 Í) 6,6
7 11.,5
8 a) 118 c) 2,5 e) 0,05
b) 6,25 d) 10 0 80
9 P:o,g
1o a) 25 b) 15,3 c) 20 d)6,7
11 200 milhas
12 sim 13 18 metros
14 a) 5 b) 10 vezes
15 valor real: R$ 11,58
Troque idéias... p.217
0,5;2 ot3,5
p.21.8
t a) 72,76 c) 7,57L 
") 
2,1
b) 4,1 d) 0,303
2 a) 3,71 b) 5,1,6 c) 6,54 d)3,78
40 O, níttneros deci,A^ait a.o
c6*l,cul,o de por cent alens
p.219
1 a) 0,03 c) 0,21, e) 0,55
b) 0,16 d)0,42 f) 1,s0
2 R§7727,00
3 a) | 703,4 b) 3 000
4 357 telhas
5 a) 1.4,28 m2 b) 2,52 rn2
6 0,032
Calculadora... p.220
a) R$ 30,80 b) R$ 114,40
{l Volenciação do. nú^neros
dscilr^ais
p.220
t a) 73,69 d) 0,0081 g) 3,375
b)0,276 e) t h)3,02
c) 6,25 D 76,8r
2 0,064 eÍalta0,936
3 a) 2,25 b) 4,41
4 0,0025 s 1
6 a>b 7 0,255
Retomando... p.221
1 13,05 m 2 49 garraÍas
3 4,75 4 13,69qui1ômetros
5 indústria Á 6 alternativa b
7 alternativab I0,625
9 236 centímetros
1O alternativa c
11 alternativa a
l/ Uniaaass de A^sdida d,a.
co,hí'lrin^ant0
p.228
1 a)km b)m
2 1 700m
c) mm d)cm
3 L'19 066 metros
4 104cm 5 253,5km
Troque idéias... p.228
alternativa b
43 lronslorfi^açt^o d,as unidades
da. tt^sdidade. connprirtnento
p.230
1 alternativa b
2 250 km; km
3 5,4 m;0,0054 km; metros
4 1,8 cm
5 10,58 m
6 50cm
7 a) 40crn
b)2250m
8 1,25 cm
91,36,765kÍÍt
10 320 cm
11 10 150m
t2 "t,06m
13 11,55 m
14 3,25 cm
15 a) 15Z5km
18 alternativa a
19 alternativa b
20 alternativa c
c) 0,0036 km
b) 6,5 cm
4 4 P urtnnqtro da- u^^ poí,ígono
p.233
I a) 72,4 cm b) 8,7 cm c) 13,4 cm
2 30,6cm
3 3,90 m
4 32m
5 18cm
6 a) 35,6 cm b) 8,9 cm
7 a)392rn b)490passos
8 15cm
9 a) sim b) não
1O alternativa d
11 alternativa d
Troque idéias... p.234
a) Londres;400 km
b) São Paulo;30 km
c) 350 km
d) 140 km
$i vniaoau da- 
^^ed,ida 
de
5vpsrlbia.
p.235
1 alternativa c
2 alternativa b
3 a)22cm2
p.239
b) 41 cm2
I a) 0,21ri c) 1 000 000 m2
b) 0,125 m2 d)7 2OO m2
2 O,O1.m2
3 100m
4 582200ha
5 380 km2
6 96,8ha
7 um terreno de 1,3 km2
I 384 m2
9 R$ 181 s00,00
1O 140 bois
17, a)420ha b)280ha
Troque idéias... p.240
t 730 g/r*
2 a) Minas Gerais
b) Amapá
c) 18 013 410 000 m2
,
c) 15 cm-
d)24 crri
lf, ereos das liyras laoi^ítricc^5
yt|anas
p.245
I a) 64cri
b)72 cmz
2 20,8 crn2
3 50 cm2
4 108 cm2
5 a) 225 cm2 b) 2 000 pisos
6 7,6m2
71,040m2
8 3 latas
9 a) 52,15 m2 c) R$ 41 225,00
b) 30,30 m2
lO 32,60 m2
11 2 100 placas
12 4latas de tinta
13 1 600 telhas
14 alternativa b
287
15 a) * azuT:3 u por 8 u
l vermelho: 2 u por 12 u
b) Não, o perímetro do retângulo
azulé22 u, e o do retângulo vermelho
é28u.
c) Ambos têm medida de área
igual a 24 u.
d)Há várias soluções.
p.248
1 a) 22cm2
2 7m2
b) 18 cm2
3 alternativa ú
4 alternativa c
5 alternativa d
Troque idéias... p. 249
1 Todas têm a mesma área.
276
Retomando... p. 249
I 992m
38
2
3 28 peças 4
5 30,6 km 6
7 2OOO cm2;250 cm2
8 4,50 km2
9 a) 4 placas
10 90 m2
11 1 500 placas
12 7 044 crn2
13 4vezes
Calculadora.,. p, 251
b) 220 placas
1 19,86 habitantes por quilômetro qua-
drado. Densidade demográfica brasilei-
769 799 170 habitantesra:
8 547 404km
170 000 0002 
A ;OO OOO - 20 habitantes por
quilômetro quadrado
3 20 - 1,9,86:0,74
46 Votn,uu do paraLaioplad,,o
ralàryulo
Troqtte idéias... p. 258
a) 5m-
p. 258
1 6480m3
2 75,625 m1
3 60m3
4 volumes iguais: 64 m3
5 5,772n3 6 0,001 m3
31,30 m
308,14 km
100 ha
41 U^,aoaes da. 
^^edida 
devoiuue
p.260
I a) 0,840 m3 c) 1 m3
b) 0,0145 m3
2 3 500 dm3
3 1,25 dm3
4 1 000 dm3
5 4,5 dm3
6 250 dm3
7 0,3 rn3
8 72 000 dm3
iQ Uniaoaqt da. A^edida da.
p.266
I a)7,2( c)200{
b) 0,8s { d)87 (
2 0,391
3 360{
4 8 000 frascos
5 7500t
6 0,33 N
7 75(
8 40 000 garraÍas
Troque idéias... p.266
1 Uma solução é encher de água o bal-
de menor e passar todo o conteúdo para
o balde maior. A seguir, encher nova-
mente o balde menor e passar para o
maior a parte suficiente para completá-
lo. O que restar no balde menor será 1
Iitro de água.
2 Uma solução é encher de leite o reci-
piente de 500 mí e passar parte desse lei-
te para o copo de 200 mf, enchendo-o. O
que restar no recipiente de 500 ml se-
capacidada
p, 263
I 775 000 N
2 1 litro
3 4 dias
4 a)360{ b)240{
6 alternativa c
Troque idéias... p.264
c) R$ 0,36
1 Amedida do volume também dobra.
2 Em ambos os casos a medida do vo-
lume também dobraria.
3 A medida do volume do bloco fica-
ria multiplicada por 8.
51 )alrm wntdadqs para A^adir
ca1acidada.
e)35001
D 0,001, (
288
rão os 300 ml de leitr: necessários para
a receita.
Retomando.. p 267
1 4 800 cm3
2 0,75 m3
3 64 vezes
4 72paralelepípedos
5 7,728m3
6 0,252 drn3
7 5200 {
8 10,5 {
9 84000 N/día
1O Maior, pois 3,6 { > 7 N.
11 16 000 garrafas
lJ Itontl,rr,.^açao dat unidadst
de-,tvedida do-ltaassa
p.272
1 a) quilograma
b) tonelada
c) miligrama
2 a)g c)B
b) kg d)g
3 a)23009
b)750 g
4 83t
5 18 quilates
O a)54k9
7 8 pedaços
8 R$ 3,50
9 alternativa a
10 alternativa b
p, 274
1 a)30000í b) 30 000 kg
2 20t
372
4 457,5kg
5 a)4m3
6 1,008 t
7 a) 432t
Troque idéias... p. 275
7.40 2
Retomando... p.276
7.25t 5
2 8m3 6
3 1500k9 7
4 2002 I
d) tonelada
e) quilograma
f) grama
e) kB
Í) kg
c) 0,95 g
üa,B g
b) 65 sanduíches
b) 6 000 kg
ü a32kg
500 g
0,35 kg
R$ 0,22
4 semanas
a) 40 m3
b)40t
GLoEgínrio
Abscissa 0 primeiro número de um par
ordenado. Em P(2, 4),2 e a abscissa.
Adição OperaÇão usada quando:
a) juntamos duas ou mais quantidades;
b) acrescentamos uma dada quantidade a outra
quantidade.
Algarismos Cada um dos símbolos usados
para representar números.
Antecessor 0 que vem imediatamente antes.
0 antecessor de um número natural diferente de
zero é obtido subtraindo-se uma unidade do
número.
dessa figura numa certa unidade.
Arqueológicas Muito antigas.
C
Cotidiano De todos os dias.
Critérios de divisibilidade Regras práticas
que permitem verificar se um número natural é
ou não divisível por outro sem efetuar a divisã0.
5+
1
j
6
Z1
L
0
289
Divisão Operação empregada quando:
a) dividimos uma quantidade em partes iguais;
b) queremos saber quantas vezes uma
quantidade cabe em outra quantidade.
Fração Ato de dividir; parte de um todo.
Hexágono Polígono de 6 lados.
Multiplicação Operação empregada quando:
a) adicionamos parcelas iguais;
b) precisamos saber o número de combinacões
possÍveis.
N
Número E a idéia de quantidade.
Ordenada 0 segundo número de um par
ordenado. Em R(3, 0), 0 é a ordenada.
A D
Paralelogramos
os lados opostos
Quadriláteros que Possuem
paralelos e congruentes.
Pares ordenados Na malha quadriculada ou
no gráfico, funcionam como se fossem
enderecos dos quadrinhos ou dos pontos.
O endereço do quadrinho azul é (B, 2) e do
quadrinho vermelho é (D, 4).
5
4
c
2
1
123 45 x
O endereÇo do ponto A é (3, 4) e do ponto B é (5, 1).
Pentágono Polígono de 5 lados.
Perímetro de um poligono E a soma das
medidas dos lados de um Polígono.
Pesquisa Levantamento de informaÇões que
revelem algum fato.
Plano cartesiano Plano no qual se estabelece
um sistema de coordenadas que permite
localizar pontos por meio de pares ordenados'
A B C D
1
2
3
4
5
tero Polígono de 4 lados.
5
Século Período de 100 anos.
Sistema de numeração E o conlunto de
regras que permite escrever e ler qualquer
número, utilizando símbolos e palavras.
Subtração OperaÇãoempregadaquando:
a) precisamos tirar uma quantidader de outra
quantidade;
b) temos duas quantidades e queremos saber
quanto uma delas tem a mais que a outra;
c) temos duas quantidades e quer€rmos saber
quanto falta para uma delas atingir a outra.
Sucessor 0 que vem imediatamente depois.
sucessor de um número natural é c,btido
adicionando-se uma unidade ao núrnero.
I
Tangram Quebra-cabeça de orig,:m chinesa
formado por 7 pecas.
0
290
Trapézios Quadriláteros que possuem dois
lados paralelos e dois lados não-paralelos.
Triângulo Polígono de 3 lados.
Triângulo eqüilátero É o triângulo que possui
os três lados com a mesma medida.
Triângulo escaleno E o triângulo que possui
os três lados com medidas diferentes.
Triângulo isósceles E o triângulo que possui
dois lados com a mesma medida.
Volume E o espaço ocupado por um sólido,
por um líquido ou por um gás.
291
,aoo
oc
L
@o
I
Prolato
INVESTIGANDO JOGOS
Qual é o seu jogo?
Existem diferentes tipos de jogos:jogos com tabuleiro, jogos com cartas, iogos de
salão ou de conhecimentos, jogos com bola, jogos com raquete, jogos com per;as d.e
montar...
A lista é imensa. Em comum, os jogos trazerno Íascínio do desafio das
habilidades do jogador frente ao imprevisível. E não são só as crianças e joverns que
gostam de- jogar. O jogo também é uma boa diversão para os adultos - partir:ipandoou torcendo por seus favoritos.
Em que jogo você é bom? Nos jogos que exigem bom preparo físico, como vôlei,
futebol e basq-uete? Ou naqueles em que o raciocínio Iógicõ é õ mais importante,
como o jogo da velha ou o xadrez?
Talvez seu forte seja a memória, o que ajuda muito nos jogos de carta, cormo o
jogo da memória. E os jogos de conhecimentos, que têm perguntas valendo pontos?
Você tem uma boa memória espacial? Então vai se dar bem com os jogos deãncaixe,
como quebra-cabeças. Você é bom no videogame?
Este projeto vai ajudar você a descobrir suas preferências e trabalharmelhor suas
habilidades nos jogos.
Primeiro, você e seu grupo Íazemuma pesquisa sobre os jogos existentes. Em
seguida, lêem um texto para entender melhor como os jogos sãõ feitos e como a
Matemática pode ajudá-los a se saírem bem na maioria deles. Depois, vocês inventam
um jogo novo/ com peças e regras criadas pelo grupo. No final, a turma pode fazer
oí
G
Ia
-o
oo
um campeonato com um ou mais jogos criados.
bimestre do ano Ietivo
-ílía 
no 
^ens 
maís Íntelígentes
do pue aqueles que sao 
caPazes'de
?I,lTt"7i*'' É oi Y:'"".::I"""'" 
i.' n''''*7"sta maís Lív 
remente'
Leibniz (1 64ó-171 
6)' grande matemático 
alemão
292
-l
rf'
Pesguísa de campo
A primeira etapa do projeto é conhecer os vários tipos de jogos que existem. Para isso,
você e seus colegas de grupo vão se dividir em duplas e realizar as tarefas descritas a
seguir. Depois, se reúnem para juntar todos os dados obtidos e concluir a pesquisa.
Em cada loja, escolham os jogos. Para saber qual é o
objetivo do jogo, muitas vezes é necessário ler as regras,
que podem estar dentro da caixa. Primeiro examine a
embalagem r pàrà saber se é possível descobrir o objetivo
do jogo pelos desenhos ou pelo próprio nome do jogo.
Se não for possível, pergunte a um vendedor.
A seguil, preencham um formulário como este feito por
Maria e por José:
IOGOS
I
!/Ojel-Data da Pesquisa: 'vL""t ti--- 1ô
4 '4I o ' 
- 
n'1!
Aluno(a): W
tu/
Classe:u \r
293
i z[c^\
YIfl.$.Lf"Y:i
A
/"o. "mqfiuínir,
Inl rnrtl-u
Número de participantes: 1
Faixa etária recomendada: Â
I tl
-d-[ LJTLS\
0 jogo é composto por:
1) ,,t-,.o rê,n -Qron-o-[Â.§ À 32 ..J,ilâ rorr.. /r-o-J,'". !"
O ran]o m -o 16 .oÍü" r-eÍn .§\
l)+"U* r-ern .o.^ i-
,s m-o-r-oPt rui-.nru:re !-r r +ô"-,-,r À **
'1") G,. ..r,to^ !rr,*r "r", -r,-Q^:r-o-tÂ.ol-o^ "."Qr- ,. Í r.*, r-g'rn .o i* -rú*,^l
rretln-da rm^ ,o-e -d^ ^rir-o' -r..
J l[a
rnJ* o ,o. +sllltü
.rJ.1^" nÃo iirm A -o.m-rr-n-o..r "d-o * !/"pma, ,o i"9 -d-l
1".",t ^-*.J" ,-olÂr\,o...rft r
 i-"tr"^ ;-
§ srln§
r-ô,.À "r^.o-r-^ aajrt"
294
ü@@@
Nome:
Tipo:
b
Número de participantes: J
Faixa etária recomendada: 
o
O jogo é composto por:
.d" 9 o 
"".
/\ ] n nl,j _I_o-{)u_il_!_ú1-& .o.r" 8 ["..,P,"
f,) '1f, f,c ^ o 12 çr+o,o 1.,u1""
3) .P,u{.f^ .§^ -o r,,ry.* À* lpft'
0bjetivo:
Regras:
ún'ru oJ1 tod* o,o /- ^-d"r-:^":rr-
1") G{.".o, -,-À!. .o/: trJ.e,ÇÂ * lo..Qr.rl".Ú* -d" ,'..ed-' .o."
,.") Grt li!4Â r -o,u/rumL.rm-.b.q 'rLÀ ir:l"çã- /^" À l,,r -o. ^
rJJrno. c.o .o., /pôJto. .e 1"-d- .d- oJuel,u:uo'
^.&
r.§,m-alt tlrTno. /* 
^/""1^ilLr- ^!. 
.o r^^a
L
,q-ÀIlrixrl , T\.a ,§.a. aê § -e^ o, /- ^/r"x"Áru.
,rqna n-tin^A .d-o. (r.su . .^iJ^)
rczm-lJt l!Tn-ô. /- 
^-d""x"ÁJur,
Eê\ IJ ,/ Z)t r!Tr!o. ,' ..ó* .t -J-* d- t,o-A"r.Ar-r*,
-d-o. ,o.,,. f"rti/^, "!^ f" " -o. ,oo .Â* 
"/,orr,, " P-:,^ À{r:* .r-r,., ^ !q: i
."",y""J^ -d" /rr " f!-ç4 , u.rno. -arm .,Jrno, !.^ -ót^ G"" ,. /rrr. , - /"g d^'l g""J^
poao "ol,rxr,tríru-a -+"d^ i" ""n4. G d^rrr., ^ó f,.da ^r-n ,c,oÍn,.d f"'l ""tJl
-d-r,r.,'
6") q^ Â^ D 1DW ^i.rri, +uq .o.Qlrrntrn ,x t"Jo-o o." 1*ç" -d- .o.i,1r<,1 óru-o
o
i-IoÉ
L
295
.' -dir*iLr d, pr,.-eu"n m-o-i-À .d-q rrrrr-o. r .o. l^q ^, /r d" jr* tl"ir4 a.t Lrngpnnr.t I m-e
Nome: í"9. i^"-Il^
Número de participantes: 1
Faixa etária recomendadu' o fo,I'.n !.o 7 o -"
0 jogo é composto por:
rÂr,.c-o r-§,'rn C D-ROM r.e.r .& 
""fl^rr"r1, 
J- 7"9t
0bjetivo
Regras:
_ OoX
."q!.
!,Cff^,-t'.j*
4g11lü^l§",$§"nioi, ".it J -., d-g" "-t) +"'. f),.-"*,À,!^
.o,lr, t^a.o .-"-áry r?ua.r j
o
296
c
Tipo:
\
xx
Entreviste 4 pessoas sobre seus jogos
preferidos. Para cada uma, faça um
formulário como este:
Data:
Nome do entrevrstado:
ldade:
Nome do jogo Preferido:
Descrição do jogo: ueserve algumas linhas para descrever o iogo)
Objetivo do jogo: Ueserve algumas tinhas para escrever o obietivo do iogo)
Visite uma biblioteca infantil ou outro lugar de sua cidade que tenha sala de 
jogos para
crianças (clubes, escolas, associações de moraàores etc.). Entreviste a Pessoa 
que cuida
dessas atividades e faça um formulário como este:
Data: -x-x-x-x-x-
Lugar visitado: -x - x - x - x-{ x - x -x -x - x-x - 
x-x
Pessoa responsável pelos jogos: x -x -x -x -x-x-x-x
Jogos preferidos pelos usuários: - x' -x - x - x - x - x - x - x
(Para cada iogo preencha os itens seguintes)
Nome: -x -x-x-x-x-x-x- x-x-x- 
x-x-x-
Descrição: (reserve algumas tinhas para descrever o iogo)
Objetivo: (reserve algumas linhas para escrever o obietivo do iogo)
Tipo: -x- x -x- x -x-x- x -x-x -x-x-x-x-x
Observações: (reserve algumas linhas)
297
í.:"r'l :::::\,fffif:
Conclusão da pesguísa
Tioquem inÍormações: cada aluno mostra ao seu grupo o que pesquisou. t)epois,
troquem idéias e respondam às perguntas abaixo .r*u ràma ipurt", pu.u ,". r:ntregue ao
professor junto com os relatórios.
Rrmronto DE pESQUtsA
Teun: Jocos
Grupo: -x-x-x-x-x-
Componentes: - x - x - x - x --. x - x _
Data: - -x-x-x-x-x-
1. Que jogos vocês i
íStiCaS Um jOgO Sempre tem qUe te [? 0"..r,o, res as bem der n das etc
4' Quais características um jogo nunca pode ter? r sras conÍusas, preconcerc, viorência elc
Têxto informatívo
2 OU 3,) resposta em aberro
lNa prímeira etapa do proieto "lnvestÍgando jogos" ' você pesquiso't
muÍtas ínformações sobre os varíos típos 
de iogos que estão à venda'
conheceu os elementos que compõem um 
jogo (peças e/ou regra) e
tambem pôde refletír sobre as preferências 
das Pessoas em relação aos
jogos. Agora você vai saber um Pouco da história 
de alguns iogos e
percebera como a Matemátíca está presente 
em váríos deles'
3.
A Matemátíca que está nos iotos
298
2. POr QUê? ,"rp.=,i. ..,. abc,ic
t
Uvtn io3o
he'ttn
aertigo
Há milhares de anos a humanidade utiliza os jogos como meio
de diversão. Um dos jogos antigos é o dominó.Hâ quem diga que
tenha sido inventado no século XII pelos chineses e depois se
difundido pela Europa no século XVI[,levado por marinheiros em
suas viagens de comércio. As peças, hoje feitas de plástico/ eram
feitas de osso, madeira ou marfim.
Uma atividade bastante conhecida na chamada matemática
recreativa é o "Problema de Pere1mán" - Yakov Perelmán
(1,882-1942).
erelmán um "quadtado" formado
por vazio no centro), de modo que em
cad de "pintinhas" seja um mesmo valor
preestabelecido. Veja alguns exemplos:
oo
OO . O
A denOminaçãO "DOminó" tetia origem, segundo alguns pesquisadores, no termo
"Domino GIatiaS", Ou Seja, "GIaçaS aO Senhor", pronunciadO COm freqüênCia pOr
sacerdotes enquanto jogavam'
O dominó oriental compõe-se de 27 peÇas (as suas metades são numeradas de 1, a 6),
enquanto nos Estados Unidãs tem 55 peÇas (numeradas de 0 a 9) e no Brasil tem 28 peças
(numeradasde0a6).
É possível comPreender por que, numerando de 0 a 6 as metades das Peças de um
dominó, o jogo tem 28 Peças.
Inicialmente, vamos calcular quantas são as PeÇas onde as metades apresentam
números diferentes de "Pintinhas".
Dada uma peÇa [*Ü , existem 7 possibilidades para ametade da esquerda (de 0 ? 6
,,pintinhas ").Pãracada uma dessas 7 possibilid,ades há 6 possibilidades PaÍa a metade da
direita (de 0 a 6 "pintinhas", exceto a quantidade já usada na metade da esquerda), o que
dá,7 '6 peças.
Mas, nesse cálculo,Elil e FtrIl, por exemplo, foram contadas como se fossem Peças
diferentes. Então 7 . 6, islo é, 42 é o dobro do número de peças, o que nos leva a corrigir
essa quantidade pata21' Peças (42 : Z:21)'
Adicionando a essas 21. peçasas 7 peças que têm a mesma quantidade de "pintinhas"
nas duas metades, temos um total de 28 peÇas'
brinca ndo
COtllt
donnin6
aooo
aaoo
o
o
ooo
SOma : 8Soma : 2 Soma : 10
299
o
(
o
O "Problema de Perelmán"
exemplos anteriores, usando as
pede a construção de sete quadrados como os rCos
28 peças do dominó, sem repetir. Eis uma solu<;ão:
III
soma : 6
I
OOO O o O oaO
OOt O O ( O
oooooo ooo í o
o o oao ooo
O O OOO OaO
Soma : 16
o jogo de damas já era conhecido dos povos antigor;, como os
egípcios, os gregos e os romanos. o xadreiparece teriiclocriado
na India, de onde teria se espalhado pelos porror árabes no século vII.
Você pode encontrar
outras soluções.
Soma = 5 SOma : B
soma : 10 soma : 10
I
Soma : 12
300
ao
ooo o
O
o
o
o
oooaoo
o
o
o
o
oooo oooo
o
o
oo
ao
oo
oo
ooo
ooo
o
o
o
OO
O
o
o
o
o
o
o
o
oo
oo
OO
ooooo
Orrtros
5
Não por acaso, esses povos inventores dos jogos mencionados também se destacaram
na Matemática. Basta observar as pirâmides do Egito para imaginar o conhecimento
matemático utilizado nessas obras de quase 5 000 anos atrás.
Se você analisar alguns tipos de jogos, perceberá como a Matemática está presente
neles e como você pode, por meio dela, jogar muito melhor.
AMatemática contribui para desenvolver o raciocínio. Nos jogos em que você precisa
descobrir qual é a estratégia do adversário, isso é muito importante. Com seu raciocínio,
observando algumas jogadas do adversário, você consegue deduzir qual será o próximo
movimento que ele fará. Assim, você pode preparar a sua defesa e o seu ataque e vencê-Io.
Isso é muito comum no jogo de xadrez, de damas e até no jogo-da-velha.
Com a Matemática, a atençfro (capacidade de observação e de concentração) aumenta
muito, e isso é fundamental em jogos que exigem rapidezna tomada de decisões. Dominó
e buraco são jogos desse tipo. A atenção que você desenvolve lidando com números o
ajuda a acomPanhar as jogadas do adversário e ir descobrindo que peças ou cartas ele tem
na mão. Sabendo isso, você pode armar sua estratégia de jogo.
Outro benefício do estudo da Matemática que pode ser aplicado nos jogos é a agilidade
mental, uma característica bastante solicitada no videogame.
A Matemática também ajuda você a encontrar corn criatirsidade soluções para um
problema ou desafio. Isso vale para praticamente todos os tipos de jogos - jogos detabuleiro e de cartas, dominó e até para os de movimento físico, como queimada, Íutebol,
vôlei e basquete.
Quando você monta um quebra-cabeça, talvez não perceba, mas está usand o a aisão
espacial, que se desenvolve muito nos estudos de sólidos geométricos, de polígonos, de
ângulos, de simetria etc. É a visão espacial que ajuda você a memorizar a forma de uma
Peça e perceber com quais outras peças essa peça se encaixa. O mesmo tipo de raciocínio
ajuda a montar o cubo mágico, em que o objetivo é organizar as fileiras ou colunas por cor.
ç
z
e
§-§
oô
.a
o
30't
*Á
Vocâ coír^pra-a-ndqw7
Os povos da Antigüidade citados no texto informativo inventaram algunr; jogos
ainda hoje utilizados. Tâmbém tinham bons conhecimentos matemáticos. Qual a
relação entre esses dois fatos?
Imagine que, no jogo-da-velha, você usa o símbolo X.
z
E sua vez de jogar e a situação é a seguinte:
1..
2.
a)
b) E se a vez fosse do seu adversário, qual seria uma jogada para garantir a
vitória dele?
Explique como a Matemática ajuda a desenvolver a atencào.
Como a visão espacial está presente na Geometria?
c.
4.
?)
, Como críar o seujogo
Com base em tudo o que você e seu grupo investigaram e descobriram nas etapas 1 e 2
do projeto "Investigando jogos", vocês vão agora criar seu próprio jogo.
Releiam os relatórios e a conclusão da pesquisa feita na etapa 1, retomem o texto
informativo da etapa 2 e decidam: que tipo de jogo vocês desejam criar? Para facilitar o
trabalho, definam o jogo considerando o roteiro abaixo:
1. Tipo de habilidade envolvida no jogo (raciocínio, atenção, agilidade mental, visão
espacial, criatividade etc.).
2. Material que compõe o jogo - peças, tabuleiro, cartas, bolas, dados, embalagem etc.
3. Regras - escrevam um texto com a descrição das 
regras do jogo, número de
participantes e objetivo.
4. Não se esqueçam de criar o nome do jogo e a ilustração da embalagem, s,e for o caso.
Depois de tudo pronto, os grupos trocam os materiais produzidos, para verificar se o
jogo é compreensível ou se ainda é necessário modificar peÇas ou esclarecer melhor as
regras.
302
Campeonato: as habílídades
matemáUcas emjogo
O professor poderá reservar um dia para um campeonato com os jogos produzidos
pela turma. Seria interessante que todos os alunos tivessem a oportunidade de passar por
todos os jogos.
O professor acompanha o desempenho dos alunos, anotando os resultados em um
placar.
Depois do campeonato, os alunos fazemuma avaliaçáo, refletindo sobre o tipo de jogo
em que cada um se saiu melhor.
303
Orientações o professor
Esta mais nova colecão chega às suas mãos com algumas novidades que se
tizeram necessárias para acompanhar a evolucão que naturalmente ocorre com o tempo.
A escola, o aluno e, principalmente, o professor devem estar preparados para as novas
exigências do mundo atual,
Trata-se de uma colecão que apresenta uma proposta curricular interdependente e
organizada, formada por 4 volumes.
Nessa nova edicão destacamos a História da Matemática, fundamental para
embasar a construção do pensamento matemático. Além do conteúdo histórico ter sido
estendido, o tratamento visual foi diferenciado.
As situações desafiadoras continuam exercendo um papel preponderante nesta
colecã0, agora reforçadas pelo Troque idéias com o colega, espaÇo no qual os alunos
terão oportunidade de trabalhar em duplas ou grupos, com questões que promovem o
questionamento de estratégias, a discussão de soluções e o levantamento de hipóteses.
0s gráficos e tabelas têm espaço garantido ao longo dos 4 volumes. Além de
estarem presentes em diversos conteúdos, elaboramos um tópico que organiza esse
trabalho: é o Tratando a lnformacã0.
A Geometria, o cálculo mental, o desenho geométrico, as medidas, a aprendizagem
do manuseio da calculadora também recebem um tratamento privilegiado na seção
Explorando.
E, como a Matemática está em todos os lugares, e não apenas na forma de
problemas, exercícios etc., abrimos espaÇo nesta coleção para informacões
matemáticas interessantes, 0s mais diversos assuntos são abordados nos quadros
destacados em azul, que apresentam textos sobre o senso numérico de alguns animais,
truques de cálculo ou, simplesmente, mostram as maravilhas das terras brasileiras.
Não tivemos a preocupaÇão de elaborar atividades neste tópico. A intenção é de que seja
uma leitura prazerosa, que desperte a atenção dos alunos para o conteúdo matemático
desenvolvido.
Como novidade, achamos imprescindível acrescentar nessa proposta projetos
pedagógicos interdisciplinares, que são uma forma de organizar o trabalho didático,
articulando diversos campos de conhecimento e favorecendo a compreensão dos
múltiplos aspectos que compõem a realidade.
Para concluir, vamos Íalar a respeito da avaliação de todo esse trabalho, Propomos
uma avaliação diagnóstica,para que tanto professor como aluno planejem aÇões que os
levem a galgar novos patamares. 0s critérios de. avaliacão devem ser claros e os
instrumentos, os mais diversificados possÍveis. E fundamental, ainda, que a observação e
a análise da producão do aluno - individualmente ou em grupo - sejam consideradas
como instrumentos de avaliacã0.
Bom trabalho!
0s autores
3
Cálculo mental 6
Os fatores envolvidos na resolução de problemas 6
lnvestigando e explorando novos conceitos por meio da resolução de problemas 8
O processo de avaliação: avaliando, avaliando-se e sendo avaliado 10
lndicaÇões de leituras para enriquecer a prática pedagógica 12
lndicaçoes de paradidáticos como leitura complementar para oS alunos f 6
lndicaÇões de revistas e outras publicações de apoio ao trabalho do professor 17
Endereços de entidades de apoio ao trabalho do professor 18
Endereços na internet relacionados à Educação e à Matemática 19
0hjetivos
'ficor q orient no tvqtodolíqica
0 homem vive cercado por números 20
Sistemas de numeração 20
Operações 26
Divisibilidade: divisores e múltiplos 33
Geometria 36
A forma Íracionária dos números racionais 4l
A forma decimal dos números racionais 48
Medindo comprimentos e superfícies 53
Volume e capacidade 56
Medindo a massa 57
Dqhalendo
Dqhatand,o aL u;n5 taÁaE
Cí,Luilo nnqntal,
As vezes percebemos alguns tipos de
erros quando os alunosrealizam uma conta.
lsso não quer dizer que seus professores não
os tenham alertado diversas vezes, explican-
do a forma correta deÍazer, nem tenham dado
uma infinidade de exercícios para que se exer-
citassem.
Percebemos que o trabalho apenas com
a técnica operatória faz o aluno ficar depen-
dente do adulto, o único que tem acesso aos
"passos", que sabe "como Íazer" , e os apre-
senta aos alunos em doses homeopáticas e
na proporção que acha mais adequada e con-
veniente.
Dessa forma os alunos não poderão refletir so-
bre os números, descobrir seus segredos, compre-
ender o que estão fazendo e como estão fazendo.
0 trabalho com cálculo mental leva o aluno a
pensar sobre o que está fazendo, pois desde peque-
no convive com os números. Em suas brincadeiras,
nos Jogos, nas compras, a contagem e as operações
costumam estar presentes.
0 cálculo mental nos mostra que não precisa-
mos do algoritmo para lidar com números pequenos.
Peça a seus alunos que facam cálculos com
números pequenos.
Qual é a melhor maneira de adicionarmos men-
talmente:
a)6,15e4?
b)4,2,3,5e9?
c) 4, L2,16 e 8?
0 professor vai observar que seus alunos terão
uma intimidade cada vez maior com os números,
verbalizando os resultados e a maneira de realizar os
cálculos.
As propriedades e as regularidades matemáti-
cas surgirão naturalmente, quando o professor for
discutir as formas e os caminhos percorridos para
chegar ao resultado.
Assim os alunos irão adquirir mais confianca em
si mesmos, por serem capazes de resolver problemas,
lncentívando o
cálculo mental,
o professor
observará que os
alunos terão
íntímídade cada
vez maior com os
números.
além de adquirir mais
respeito pelos colegas,
pois passam a vê-los
como pessoas que pen-
sam e contribuem com
outras soluções.
Há algumas su-
gestões de trabalho
com cálculo mental nos
comentárros da Unida-
de 3 do livro da 5e sé-
rie. Outras; técnicas sur-
girão naturalmente na
resolução de situações-
problema.
Os [atora5 qnvo(,vidot na
,e5o!,t çan da- ytrohlannas
0 texto a seguir foi adaptado do zrrtigo Resolu-
ção de problemas - uma análise dos fatores envolvi-dos, de Lilian Nasser, mestre em Matemática pelo lM-
UFRJ, publicado no Boletim Gepem, ne í22.
0 Boletim Gepem é publicado sennestralmente
pelo Grupo de Estudos e pesquisas em Educacão
Matemática.
Por gue o resolução de problemos é tõo
importonte?
Muitos razões podam ser dodas, como:
./ A resolução de problemos desenvolve o ro-
ciocínio nos estudontes.
,/ A resolução de problemos ojudo o desen-
volver o criotividode.
,/ A resoluçoo de problemos motivo os estu-
dontes o oprender Motemótico.
,/ A Matemótico só tem sentido se é, usodo
poro resolver problemos reqis.
,/ A resolução de problemas é umo boo mo-
neira de ovolior a aprendtzagem.
/ Por meio do resolução da problemos, os olu-
nos oprendem o trobalhon em grupos.
6
A próximo pergunto de-
verio ser: por gue é necessá-
rio Íazer pesguiso em resolu-
ção de problemos? A raspos-
to á, provovelmente,porque é,
impossível descrever com po-
lovros um método poro resol-
ver guolguer problemo, inclu-
indo todos os componentes
envolvidos, com suos proprie-
dades específicas. Nõo se
pode ensinor como resolver
problemas. A resolução de
problemos é umo hobílidode
gue temos gue desenvolver
nos estudontes.
Por que a
resolução de
problemas é tão
ímportante?
Vamos tentar analisar os fatores que podem in-
fluenciar o ensino e a aprendizagem na resolução de
problemas. Esses fatores podem ser classificados em
4 grupos:
/ Íalores relacionados ao resolvedor
/ fatores relacionados ao problema
/ fatores relacionados ao professor
/ fatores relacionados aos processos de resolução
Fatores relacionados ao resolvedor
Este grupo de fatores inclui todas as caracterís-
ticas individuais do estudante, como, por exemplo: o
meio ambiente em que ele vive, a experiência prévia
em Matemática e em resolução de problemas, o nível
sociocultural de sua família, a sua idade em relação à
turma etc.
Nõo podamos gorontir gue um estudon-
te que sobe os conceitos motemóticos e os
quatro operoçies é um "bom" resolvedor de
problemos. Paro isso, ele deve ter q hobilido-
de de usor os dodos do problemo juntomente
com seu conhecimento prévio, poro chegor à
conclusão.
Fatores relacionados ao problema
Aqui consideramos os fatores relacionados à
natureza do problema. Primeiro, o problema deve ser
interessante, de modo a motivar o
aluno a resolvê-lo. Também consi-
deramos o nÍvel de dificuldade do
problema: se o vocabulário é ade-
quado, se ele é diferente dos pro-
blemas anteriores, se é um proble-
ma de uma ou várias etapas, se
ele tem muitas variáveis, se a es-
trutura é complexa, se envolve
números grandes ou decimais, se
admite mais de uma solução e,
principalmente, se é necessário o
uso de alguma estratégia ou
heurística para resolvê-lo (proble-
ma de processo).
Fatores relacionados ao professor
Alguns indícios de atitudes positivas dos profes-
sores em relação à resolução de problemas são:
a) Prover a sala de aula com materiais concretos,
criando um ambiente favorável.
b) Desenvolver nos alunos a persistência (dizer a eles
que alguns problemas requerem tempo para se-
rem resolvidos).
c) Dar oportunidade a todos os alunos de serem bem-
sucedidos.
d) Elogiar a crianÇa bem-sucedida.
e) Deixar os alunos criarem seus próprios problemas
e estratégias de resolução. Discutir todas elas com
a turma, mesmo as que não cheguem à resposta
correta.
f) lncentivar os alunos a avaliarem a solução obtida.
B) Usar perguntas para Íocalizar a atenção da tur-
ma nas informações pertinentes dadas no pro-
blema.
h) Não mostrar a resolução pronta e arrumada, mas
deixar os alunos sentirem todas as tentativas e
estratégias usadas.
i) Dar aos alunos atividades de treino (por exemplo,
escreva um problema que pode ser resolvido por
uma sentença matemática dada).
j) Ensinar diversas estratégias e encorajar os alu-
nos a tentarem diferentes estratégias.
Fatores relacionados aos processos
de resolução
Nas séries iniciais, o processo usado para re-
solver problemas de uma etapa é escolher a opera-
cão correta. Em geral, os alunos escolhem a ope-
racão identificando uma palavra-chave. por exem-
plo, sobrar é uma palavra-chave para a subtracã0,
e juntos é uma palavra-chave para a adicã0. De fato,
quase todos os problemas propostos nos livros-tex-
tos do 1e grau podem ser resolvidos pelo método
da palavra-chave (veja Schoenfeld/1982). No en-
tanto, é preciso alertar os alunos para que eles
leiam o problema inteiro, antes de traçar o plano
de resolucã0.
E importante trabalhar com situacões-problemas
que envolvam:
Tentativa e erro
Paulo tinha 6 dias para preparar desenhos para
a exposicão de artes da escola. Em cada dia,
fez 4 desenhos a mais do que no dia anterior.
Ele expôs 150 desenhos. Quantos desenhos ele
fez em cada dia?
Fazer uma lista organizada
Uma selecão de futebol pode usar calções azuis
ou amarelos e três cores diferentes de camisas:
brancas, azuis ou verdes. Quantos uniformes di-
Íerentes os jogadores podem usar, se não é per-
mitido usar calcões e camisas da mesma cor?
Fazer uma tabela
Nina tem 6 anos, e sua mãe Íem 2l . Com que
idade Nina terá a metade da idade da mãe?
Fazer uma figura
Na cozinha de seu novo apartamento, Lúcia des-
cobriu que faltavam azulejos numa região com
120 cm de perímetro.
0 proprietário anterior lhe deu 5 azulejos qua-
drados (de 12 cm de lado) para cobrir a região.
De que maneira os azulejos serão dispostos?
Procurar uma lei de formacao
Em sua aula de artes plásticas, Sueli estava
aprendendo a fazer pinturas com duas cores.
Ela podia usar 8 cores diferentes. Quantas com-
binacões de duas cores ela conseguiu Íazer com
essas 8 cores?
Trabalhar de trás para frente
Quando 3 meninos subiram numa balança, o
"peso" total foi de 166 kg. Um dos meninos
desceu, e a balança marcou 106 kg. Quando
outro menino desceu, o "peso" marcado foi de
57 kg. Qual o "peso" de cada menino?
Usar raciocínio logico
Márcio, Marcelo, Marcos e Maurício são quadrr-
gêmeos, e a únicamaneira de diferenciá-los é
pela cor de suas camisas. Nem Marcos nem
Maurício gostam de vermelho. Marcelo sempre
usa verde. Maurício pensou em es,3olher o ama-
relo, mas mudou de idéia. A cor favorita de um
irmão de Márcio é azul. Que cor de camisa cada
menino usa?
Simplificar o problema (ou tentar resolver antes
um problema relacionado)
Dado o triângulo f, com seu maior lado como
base, prove que um quadrado S pode ser inscri-
to em f.
(Prove primeiro que um triângulo pode ser ins-
crito em f.)
0bservar simetrias
Dividir um quadrado em quatro paries congruen-
tes, de seis maneiras diferentes.
Fazer um esquema
Num campeonato de duplas de volei, em cada
jogo a dupla perdedora é eliminerda, Quantas
partidas serão jogadas até se ch,egar à dupla
campeã, num torneio com 15 duplas?
Comentário
A pesquisa em resolucão de prolllemas deve
avanÇar,levando em conta os processos cognitivos
e metacognitivos. Mas devemos ter sempre a preo-
cupacão de que os resultados obtidos f iquem ao al-
cance dos professores, para que interfiram de fato
no enstn0.
lnvertig ando e. axytl,orando
yrovos conc(.ito 5 (1or Anqi}
Como vimos, uma das metodologias mais im-
portantes no ensino da Matemática é a resolucão de
problemas. Ela possibilita ao aluno fazer matemática.
Não nos referimos aos problemas tradicionais,
que deixam evidente no enunciado os caminhos que
permitem chegar à solução, mas àqueles que desa-
fiam o aluno a buscar solucões criativas.
0 trabalho com resolução de problemas é um
processo lento, porque requer uma análise do proble-
ma, a sua interpretaçã0, a decisão quanto aos cami-
nhos a serem seguidos, a discussão quando do apa-
recimento de diferentes soluções.
Como exemplo, vamos usar um problema, que
está citado na Proposta curricular de Matemática para
o CEFAM e habilitação específica para o magistério,
publicado pela Secretaria da EducaÇão do Estado de
São Paulo/CENP, 1990.
Dispor os números de L a 6 na pilha
triangular abaixo, de modo que a soma dos
números em cada lado do triângulo seja 9.
Esse é um problema que gera
muita discussã0. Geralmente, os
alunos buscam solucioná-lo por
tentativas.
No entanto, o enunciado é
propositadamente impreciso, por-
que não deixa claro, por exemplo,
se os números podem ser repeti-
dos ou nã0.
Nesse momento o professor
interfere, discutindo e esclarecendo
o enunciado, de modo que todos os
alunos Íaçam a mesma leitura do
problema. Desse modo, o primeiro
passo na resolução de um proble-
ma é vencido: a compreensã0.
Alguns alunos podem dizer que a solução não é
única e apresentar outras soluções:
que são obtidas umas das outras por rotação dos la-
dos do triângulo ou por simetria em relação a um lado.
0 importante é os alunos perceberem que, qual-
quer que seja a resposta, os números 1, 2 e 3 ocu-
pam os vértices do triângulo.
Uma vez esses números co-
locados, os outros são facilmente
encaixados.
Promovendo a discussã0, os
alunos se envolvem com mais in-
tensidade no processo ensino-
aprendizagem.
Numa terceira etapa, o pro-
fessor pode perguntar:
- Por que foi proposta asoma 9? Não poderia ter sido
sugerida outra soma qualquer?
Depois de alguma discussã0,
propor que os alunos resolvam o
mesmo problema para a soma 10,
0u
A partÍr de uma
sítuação-problema
símples, novos
desafios podem
ser criados.
A segunda etapa é a análise da solução obtida.
Vamos supor que a solução obtida pela maioria
da classe seja a do triângulo abaixo:
Perguntar:
- Essa é a única solucão?
- Como ela foi encontrada?
- 0 que você observa nessa solução?
mantidas as demais condicões.
Uma solução é a seguinte:
Nesse caso, os números 1, 3 e 5 devem ocupar
os vértices do triângulo.
Como desafio, solicitar que os alunos encontrem
soluções para que a soma seja 11 , 12, t3 e 8. Veja
nos exemplos:
9
a) Para a soma 11
b) Para a soma 12
c) Para as somas maiores que 12 e menores que 9,
não é possível obter solução para esse problema.
Por quê?
Entramos agora numa quarta etapa de resolu-
ção do problema.
Como justificar a impossibilidade de solução para
as somas maiores que 12? Como justificar a impossi-
bilidade de solucão para as somas menores que 9?
Uma vez fixados os números que devem ser
colocados no triângulo (1 a 6), as únicas somas pos-
síveis serão: 9, 10, 1l e 12.
Como observamos, as variacões de um mesmo
problema geram discussões que enriquecem o pro-
cessoemotivamoaluno.
Há problemas que permitem mais variações que
outros. 0 importante é que, a partir de uma situa-
cão simples, novas situacões de desafio possam ser
criadas.
Sugerimos, nesse momento, a leitura do mate-
rial citado, bem como dos livros Didática da resolu-
ção de problemas, de Luiz Roberto Dante, e A arte
de resolver problemas, de George Polya.
0 yrrocztEo da- aval,iaçao:
av al,iando, av al,iando - ru
a- 5e do avaliadto
0 texto a seguir foi elaborado a partir da leitura
do livro Avaliação do processo ensino-aprendizagem,
de Regina Cazaux Haydt.
A avaliação do processo ensino-aprendizagem
tem sido preocupacão constante dos professores.
Hoje, avaliar já assumiu dimensoes mais amplas do
que simplesmente atribuir notas, prom«)ver ou reter o
aluno e tornou-se parte integrante desse processo.
0 que é avaliar?
Avaliar é Íazer um julgamento sobre resultados,
uma comparaÇão sobre o que foi obtido e o que se
pretende alcanÇar.
Basicamente, a avaliacão apresenta três funcões:
/ diagnosticar
/ conlrolar
/ classificar
A avaliacão diagnóstica é aquelar realizada no
início de um período letivo, com a intenção de cons-
tatar se os alunos estão ou não preparados para ad-
quirir novos conhecimentos e identificarr as dificulda-
des de aprendizagem.
Não é apenas no início do ano que se realiza a
avaliacão diagnóstica. No início de cada unidade de en-
sino, é recomendável que o professor verifique as infor-
macões que seus alunos já têm sobre o assunto, e que
habilidades apresentam para dominar o conteúdo.
0 que orienta a avaliação são os objetivos. Daí,
a necessidade de que esses objetivos :sejam estabe-
lecidos com bastante critério.
- 0 que pretendo que meus alunos sejam ca-pazes de fazer?
Essa é a pergunta que o professor deve respon-
der quando estiver definindo os seus objetivos, par-
tindo de objetivos gerais, que são muito amplos, e
chegando a objetivos específicos, que são mais fá-
ceis de serem observados.
Ao estabelecer objetivos, o profes;sor deve indi-
car também os critérios para avaliar os resultados.
Não se deve apresentar aos alunos apenas uma "nota
fria", sem maior significado.
- Qual o melhor instrumento de avaliação?
Todos os instrumentos de medida e avaliação
são eficientes quando usados criteriosamente e de
acordo com os objetivos previstos. )s requisitos bá-
sicos de um bom instrumento de medida são a valida-
de e a fidedignidade, além de outras características,
como a objetividade e a praticidade.
Orientações para a organização de uma prova
objetiva:
Elaborar questões, a pa,lir de idéias e problemas
relevantes, que avaliem objetivos instrucionais
significativos.
Adaptar a dificuldade dos itens ao grau de for-
macão escolar dos alunos e ao nhrel da classe.
l.
10
2.
3. Redigir questões capazes de
caraclerizar os vários níveis
de desempenho do aluno. 0
nível de dificuldade das ques-
tões deve ser, de preferência,
mediano (nem extremamente
fácil, que todos respondem,
nem muito difícil, que ninguém
consegue acertar).
4. Usar linguagem clara e direta
na redação das questões.
AvalÍar
é muito
maís do que
atríbuir notas,
Promover
ou reter
o aluno.
A observacão pode se pro-
cessar de modo informal, em
que o comportamento observa-
do não está previsto, ou siste-
mático, em que o professor de-
termina antecipadamente os as-
pectos comportamentais que
pretende analisar, mantendo um
registro contínuo dos dados
coletados.
Também o aluno deve se
auto-observar, se auto-avaliar, A
prática da auto-avaliacão ajuda o
aluno a desenvolver um conceito
mais realista sqbre si mesmo, o
que é fundamental para o seu ajus-
5. lncluir no próprio teste as ins-
truções, indicando a formade
registrar as respostas.
6. Não transcrever de manuais ou livros-texto afir-
macões que estimulem a simples memorizaçã0.
7. Organizar as questões em ordem de dificuldade
crescente, das mais simples para as mais com-
plexas.
8. Agrupar questões de acordo com a forma, jun-
tando itens do mesmo tipo (lacuna, múltipla es-
colha, certo-errado etc.).
9. Evitar dar indícios da resposta certa de uma ques-
tão em outro item.
10. Apresentar os testes objetivos impressos, para
evitar desperdício de tempo.
11. Ao copiar os itens para a impressã0, não dividir
uma questão em duas páginas, evitando que o
aluno precise virar constantemente a Íolha para
ler as duas partes da questã0.
12. Dispor as questões no papel com um certo es-
paco entre elas, facilitando a visualizaçáo e a
leitura.
13. Estabelecer o número de pontos que será atribu-
ído a cada questã0.
14. Preparar um gabarito de correcã0, contendo a
resposta certa de todos os testes.
Após a correcão, o professor deve comentar
com o aluno o resultado da prova, mostrando seus
acertos e erros. Só assim a avaliacáo vai efetiva-
mente contribuir para o aperÍeiçoamento da apren-
dizagem.
Cabe também ao professor observar constante-
mente o comportamento de seus alunos. A observa-
ção é uma das técnicas de que o professor dispõe
para melhor conhecer a sua clientela.
tamento pessoal e social. A consciência dos próprios
erros e acertos é a melhor forma de conduzir ao aper-
feicoamento.
Ao serem introduzidos na técnica de auto-avalia-
cão, é comum os alunos se depararem com algumas
dificuldades, como a falta de objetividade na análise,
inibicão para falar de si próprios e limitações na ca-
pacidade de se expressar.
Por isso, ao iniciar os alunos na auto-avaliacã0,
convém orientá-los, fornecendo-lhes listas de verifi-
cacão, escalas de classificação, ou gráficos para re-
gistro do aproveitamento escolar.
A lista de verificacão é um pequeno questioná-
rio, tipo inventário, contendo perguntas ou itens so-
bre aspectos do comportamento do aluno. Ela cons-
titui um guia para ajudar o aluno a se auto-avaliar e
pode ser planejada pelo professor e enriquecida com
sugestões do aluno.
Algumas listas são de utilizacão individual, en-
quanto outras são apropriadas para avaliar o traba-
lho de grupo.
A escala de classificação é uma espécie de lis-
ta de verificação que, além de registrar a presenca
ou a ausência de um determinado comportamento,
indica de forma precisa e específica o grau em que
ele aparece.
A auto-avaliacão tem como limitacão o fato de
depender de franqueza e boa vontade de quem res-
ponde. Mas, do ponto de vista pedagógico, apre-
senta a inegável vantagem de permitir que o aluno
constate por si mesmo quais são seus pontos for-
tes e fracos, e considere o que lhe compete fazer
para melhorar, assumindo a responsabilidade de
seus atos.
Se pretendemos formar alunos ativos no pro-
cesso de aprendizagem, eles devem tornar-se ativos
também no processo de avaliaçã0.
11
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