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16/10/2023 17:14 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 1/8 Avaliando Aprendizado Teste seu conhecimento acumulado Disc.: FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA Aluno(a): JONES ROSA DE LIMA 202001506209 Acertos: 2,0 de 2,0 16/10/2023 Acerto: 0,2 / 0,2 Respondido em 16/10/2023 16:32:39 Explicação: Acerto: 0,2 / 0,2 O isomor�smo de grupos desempenha um papel importante dentro da álgebra, pois através dele podemos comparar duas estruturas e veri�car se elas são semelhantes. Ou seja, se elas possuem as mesmas propriedades algébricas. O grupo G1= {e,a,b,c} é isomorfo ao multiplicativo G2= {1,i,-1,-i}. Marque a alternativa que indica a tábua do grupo G1. x = ¯̄̄2 e y = ¯̄̄3 x = ¯̄̄ 2 e y = ¯̄̄ 8 x = ¯̄̄0 e y = ¯̄̄8 x = ¯̄̄ 8 e y = ¯̄̄ 8 x = ¯̄̄3 e y = ¯̄̄5 Questão1 a Questão2 a https://simulado.estacio.br/alunos/inicio.asp javascript:voltar(); 16/10/2023 17:14 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 2/8 Respondido em 16/10/2023 16:39:25 Explicação: Seja G1= {e,a,b,c} e G2= {1,i,-1,-i} dois grupos isomorfos. Então os elementos desses grupos que possuem características comuns. Vamos veri�car a bijeção entre os elementos desses grupos. Podemos ter a seguinte bijeção, por exemplo: e → 1 a → i b → -1 c → -i Construir a tábua de G2= {1,i,-1,-i} Agora podemos construir a tábua de G1 de acordo com a bijeção apresentada e a tábua de G2. 16/10/2023 17:14 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 3/8 Note que na bijeção levamos o elemento neutro de G1 no elemento neutro de G2. Logo, ee = e. A primeira linha e a primeira coluna permanecem com os mesmo elementos da linha e coluna fundamental. Os demais elementos da tábua devem ser determinados do seguinte modo: a∙a=i∙i olhar a bijeção a→i. Substituir a por i. Olhar na tábua de G2 o resultado da operação de i∙i. i∙i=-1 e -1 está associado a b → -1. Logo, na tábua de G1 teremos a operação a∙a=b. Esse é o procedimento para encontrarmos todos os compostos da tábua de G1. Acerto: 0,2 / 0,2 Em 1914, o alemão A. Franenkel, a partir dos seus estudos, apresentou a de�nição formal de anel. Onde este é uma estrutura algébrica, ou seja, um conjunto não vazio, onde estão de�nidas duas composições internas, a adição e a multiplicação. No estudo de grupos há uma estrutura menor, que preserva as propriedades do grupo, chamada de subgrupo. De forma análoga, também se tem o subanel. Neste contexto, seja a função de�nida de onde um homomor�smo de anéis. Marque a alternativa que indica a . Respondido em 16/10/2023 16:48:06 Explicação: Temos que: portanto: Acerto: 0,2 / 0,2 f Z6 × Z6 → Z6 × Z6 (a, b) → (3a, 4b) N(f) N(f) = (0, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 4) N(f) = (1, 0), (3, 0), (3, 2), (3, 4) N(f) = (0, 0), (0, 3), (2, 0), (2, 3), (4, 0), (4, 3) N(f) = (0, 0), (0, 2), (0, 4), (3, 0), (3, 2), (3, 4) N(f) = (0, 0), (0, 2), (0, 4) Questão3 a Questão4 a 16/10/2023 17:14 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 4/8 Respondido em 16/10/2023 16:56:32 Explicação: Acerto: 0,2 / 0,2 Questão5a 16/10/2023 17:14 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 5/8 Respondido em 16/10/2023 16:57:47 Explicação: Acerto: 0,2 / 0,2 Seja S = {1,2,3,⋯,n} um conjunto não vazio e denotamos por Sn o conjunto de todas as funções bijetoras, onde Sn = {f:S→S; f bijetiva}. Considerando uma operação "o" chamada de composição de funções dizemos que (Sn,o) é um grupo chamado de grupo das permutações dos n elementos do conjunto S. Dado em S5, determine α -1. Respondido em 16/10/2023 16:59:00 Explicação: Cálculo de α-1. f−1(x) = , a ≠ 0−x+b a f−1(x) = , a ≠ 0−x−b a f−1(x) = ax − b, a ≠ 0 f−1(x) = , a ≠ 0 x−b a f−1(x) = x + ab, a ≠ 0 α = ( 1 2 3 4 5 3 4 5 2 1 ) ( 1 2 3 4 5 3 5 1 2 1 ) ( 1 2 3 4 5 4 2 5 3 1 ) ( 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 ) ( 1 2 3 4 5 5 4 1 2 3 ) ( 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 ) Questão6 a 16/10/2023 17:14 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 6/8 Acerto: 0,2 / 0,2 Em 1914, o alemão A. Franenkel, a partir dos seus estudos, apresentou a de�nição formal de anel. Onde este é uma estrutura algébrica, ou seja, um conjunto não vazio, onde estão de�nidas duas composições internas, a adição e a multiplicação. Determine todos os divisores de zero do anel Z15. 3,5,9 e 10 3,5,6,9,10 e 12 2,5,9,10 e 12 1,3,9,10 e 12 3,5 e 9 Respondido em 16/10/2023 17:00:29 Explicação: Considerando x e y dois elementos Z15 diferentes de zero. Eles são divisores se x . y = 0 , a ≠ 0 e b ≠ 0 ou se o produto desses números é nulo então xy é múltiplo de 15. Logo, os divisores são 3, 5, 6, 9, 10 e 12. Acerto: 0,2 / 0,2 Considerando dois ideais A = [12] e B = [21] em Z, determine [12] ∩ [21] 84 72 3 12 21 Respondido em 16/10/2023 17:01:09 Explicação: Dados os ideais A = [12] e B = [21] em Z, basta calcular o mmc (12,21) = 84. Acerto: 0,2 / 0,2 ¯̄̄0 ¯̄̄ 2 ¯̄̄1 ¯̄̄ 4 Questão7 a Questão8 a Questão9 a 16/10/2023 17:14 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 7/8 Respondido em 16/10/2023 17:04:01 Explicação: Acerto: 0,2 / 0,2 Homomor�smo de grupos é um conceito importante e presente, por exemplo, na álgebra linear no estudo das transformações lineares. Seja f:(GL3 ( ),∙) → ( *,∙) de�nida por um homomor�smo de grupo. Marque a alternativa que indica um elemento do . Respondido em 16/10/2023 17:06:03 Explicação: é o grupo linear de grau sobre . O núcleo desse homomor�smo é de�nido por . Logo, qualquer matriz de ordem 3 de elementos reais onde é um elemento do núcleo de . A matriz identidade tem determinante igual a 1. ¯̄̄3 R R f(A) = det A N(f) ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 3 0 1 5 1 3 4 −1 5 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 1 3 5 2 4 6 −4 1 −1 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 1 1 1 1 1 1 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 3 2 1 1 2 5 1 −1 0 ⎤ ⎥ ⎦ GLn(R) n R GLn(R) = {A ∈ Mn(R) : detA ≠ 0} N(f) = {A ∈ GL3(R) : detA = 1} detA = 1 f Questão10 a 16/10/2023 17:14 Estácio: Alunos https://simulado.estacio.br/alunos/ 8/8
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