Transformadas_em_Sinais_e_Sistemas_-Aula_6_2019

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Transformadas em Sinais e 
Sistemas (BC1509) 
Aula 6 
Professor: Alain Segundo Potts 
alain.segundo@ufabc.edu.br 
Sala 742-1 
Bibliografia 
• LATHI, B. P.; Sinais e Sistemas Lineares, 
Bookman, 1a Ed., 2007. 
• ROBERTS, M. J.; Fundamentos em Sinais 
e Sistemas, McGraw-Hill, 1ª e 2a Ed., 
2009. 
• HAYKIN, S.; VAN VEEN, B.; Sinais e Sistemas, 
Bookman, 1a Ed., 2001. 
• OPPENHEIN, A.; WILLSKY, A.; NAWAB, S.; Sinais 
e Sistemas, 2ª ed., São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2010 
 
Objetivos 
• Exercícios: 
– Propriedades dos sistemas 
– Convolução 
Exercícios 
1. Determine de forma gráfica e analítica o sinal 
de convolução entre as seguintes funções: 
Exercícios 
• Solução 
     1 2y t x x t d  


 
   
0.5 0.5 0.5
3 2 6 6 6 0,5 , -0,5 0,5
tt t
y t d d t t  
  
        
Exercícios 
 
   
   
0,50,5 0,5
2 2 2
6, 0,5 1,5
3 2 6 6 6 0,5 2 , 1,5 2,5
6 2,5 , 6 15
t t t
y t t
y t d d t t
y t t t
  
  
  
        
     
 
Exercícios 
• Solução 
 
 
 
6 0,5 , -0,5 0,5
6, 0,5 1,5 
6 2,5 , 1,5 2,5
t t
y t t
t t
  

  
    
Exercícios 
• Ex 12 (Roberts). Esboce o gráfico das seguintes 
funções: 
a) 
 
b) 
     
     
rect 2 1
2
rect tri
t
g t t t
g t t t
 
 
        
 
 
Exercícios 
• Solução 
a)      
   
 
 
 
     
     
1 2
2
1
2
rect 2 1
2
rect 2 rect 1
2 2
rect 2 rect 1
2 2
rect 2 1 2 1 
2
g t g t
t
t
t
g t t t
t t
g t t t
g t t d t d
g t t d t d
 
 
 
     

     


 
 
 
 
 
        
 
   
        
   
   
        
   
 
        
 
 
  -3 1t  
Exercícios 
• Solução 
a)      
1
2
1
rect 1 1 1 1 2 0
2
t
t
g t t d t d t

     


 
 
 
           
 
 
   
   
2
1
2
1
2
1
2
1 2 1 rect -3 1
2
1
1 1 1 rect -2 0
2
t
t
t
t
t
g t t d t
t
g t t d t
  
  








 
         
 
 
         
 


Exercícios 
• Solução 
b)      tri rectg t t d  


 
Exercícios 
   
   
 
1 2 2 21 2 2
1 1
2 2
1 2 1
1 1 2 1
2 2 2
1 1 1 3 9 3 1
t 1 t , 
2 2 8 2 2 2 2 8 2 2
tt
t
g t d t
t t t
g t t

  

 
   
          
  
  
             

Exercícios 
     
 
 
0,50
0,5 0
0 0,5
2 2 2 2
0,5 0
2
1 1
1 1 1 1
2 2 2 2 8 2 2 2 8 2
3
, 0,5 0,5
4
t
t
t
t
g t d d
t t t t
g t t t
g t t t
   
 
 




    
   
                  
   
     
 
Exercícios 
   
 
 
1
0,5
1
2 2
0,5
2
1
1 1 1
1
2 2 2 2 8 2
3 9 1 3
, 
2 2 8 2 2
t
t
g t d
t t
g t t
t
g t t t
 




  
  
             
  
    

Exercícios 
 
2
2
2
3 9 3 1
,
2 2 8 2 2
3 1 1
,
4 2 2
3 9 1 3
,
2 2 8 2 2
t
t t
g t t t
t
t t

     


     


   

3
2

1
2

1
2
3
2
Exercícios 
• Solução: Também a integral de convolução 
poderia ter sido calculada como: 
     rect trig t t d  


 
  1t      1t  
 tri t 
1t  1t 
 tri 
1 1 
Exercícios 
• Logo o calculo seria: 
 
  
     
  
1 2
1
2
1
2
2
1
2
1
22
1
3 9 3 1
1 ,
2 2 8 2 2
3 1 1
1 1 ,
4 2 2
3 9 1 3
1 ,
2 2 8 2 2
t
t
t
t
t
t d t t
g t t d t d t t
t
t d t t
 
   
 





        




            




       


 

Exercícios 
• Ex 14 (Roberts) Calcule a resposta ao impulso 
do seguinte sistema e determine se o mesmo 
é estável. 
Exercícios 
• Solução: 
     
     
 
 
   
0, 0
sin , 0
sin
y t y t x t
h t h t t
t
h t
t t
h d d

   
 
 
 
 

 

   
De acordo com o critério estabilidade BIBO o sistema é 
instável já que a resposta ao impulso não é 
absolutamente integrável. 
Exercícios 
• Ex 2.8 Haykin: Um sistema LTI tem a resposta 
ao impulso mostrada na figura abaixo: 
a) Expresse a saída do sistema y(t) como uma 
função da entrada x(t). 
b) Identifique a operação matemática executada 
pelo sistema no limite quando 0 
 
Exercícios 
• Solução 
 
 
a) 
 
b) 
O sistema é um diferenciador. 
     
1 1
y t x t x t  
 
 
   
0 0
lim lim
x t x t
y t
 
 


         y t x t h t x h t d  


   
Exercícios 
• Ex 2.12 Haykin: Para cada uma das respostas 
ao impulso listadas abaixo determine se o 
sistema correspondente é (i) sem memória, (ii) 
causal e (iii) estável. 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
   
     
   
2
2 1
1 2 1
3
t
t
h t e
h t e u t
h t u t u t
h t t


 
   

Exercícios 
• Solução: 
– Para o sistema não ter memória a resposta ao 
impulso deve ser h(t)=k(t). 
– Para ser causal h(t)=0 para todo t<0. 
– Para ser estável a resposta ao impulso deve ser 
absolutamente integrável. 
a) 
O sistema tem memória, não é causal e é estável. 
  2 th t e
2 2
0
2 2
t te dt e dt
 
 

    
Exercícios 
b) 
O sistema tem memória, é causal e não é estável. 
 
 
c) 
O sistema tem memória, é não causal e não é 
estável. 
   2 1th t e u t 
 2 2
1
1t te u t dt e dt
 

    
     1 2 1h t u t u t   
     
1 1
1 1
1 2 1 2 2h t dt u t dt u t dt dt dt t t
    
 

   
             
Exercícios 
d) 
 O sistema não tem memória, é causal e é estável. 
 
   3h t t
     3 3 3h t dt t dt t 
  
  
      
Trabalho extraclasse 
• Exercícios 2.3-2.5 do Haykin.