Introducão à vibracão

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Introducão à vibracão
Prof. Ricardo Teixeira da Costa Neto
Descrição Aqui você será apresentado às relações existentes entre o movimento
de um simples corpo, ou de máquina, e as forças que o produzem.
Propósito O entendimento das relações entre o movimento de corpos, peças e
elementos, interconectados ou não, é substancial para que o
profissional da área de mecânica esteja apto para dimensionar
máquinas que executem movimentos repetitivos.
Preparação Antes de iniciar seu estudo, procure observar o funcionamento de
máquinas de uso comum, como uma lavadora de roupas durante a fase
de centrifugação. Veja o que ocorre quando as roupas estão bem-
distribuídas em seu interior e quando se acumulam em uma parte.
Observe também o comportamento do motor de um automóvel em
marcha lenta e em alta rotação. Isso o ajudará a entender os
fenômenos.
Objetivos
Módulo 1
Conceituando
vibrações
Identificar os conceitos
básicos que envolvem
movimentos oscilatórios
de sistemas mecânicos e
suas relações com os
fenômenos físicos.
Módulo 2
Vibrações livres
amortecidas
Reconhecer os sistemas
não conservativos, onde
elementos dissipadores de
energia reduzem as
oscilações e alteram seu
período.
Módulo 3
Movimentos
excitados
harmonicamente
Reconhecer os sistemas
oscilatórios de um grau de
liberdade submetidos a
esforços externos.
Introdução
Neste vídeo, será feita uma breve introdução ao conteúdo que será
abordado. Serão apresentados os conceitos básicos que envolvem
movimentos oscilatórios de sistemas mecânicos e suas relações com os
fenômenos físicos, sistemas conservativos e os sistemas oscilatórios de
um grau de liberdade.
1 - Conceituando vibrações
Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car os conceitos básicos que envolvem movimentos
oscilatórios de sistemas mecânicos e suas relações com os fenômenos físicos.
Vibrações mecânicas: conceitos e
exemplos de aplicações
Neste vídeo, serão abordados os conceitos básicos de vibrações, como
frequência, período e frequência natural. O movimento harmônico será
apresentado, assim como os modos de vibração e os graus de liberdade de um
sistema mecânico.

Conceitos básicos
Neste vídeo, serão abordados os principais conceitos do estudo de vibrações
para a uniformização do conhecimento. Serão apresentados os conceitos de
movimentos harmônico e periódico, frequência, período e ressonância.
Para compreender melhor o estudo das vibrações mecânicas, é preciso antes
definir alguns termos.
 Movimento oscilatório
É o movimento que pode se repetir regularmente, como o
pêndulo de um relógio antigo, ou irregularmente, como em
terremotos.
 Movimento periódico
É o movimento que se repete em intervalos iguais de tempo
.τ
 Período
É o tempo de repetição de um movimento periódico.τ
 Frequência
É a quantidade de eventos que se repetem em um período,
calculada como o inverso do período.
 Frequência natural
É uma frequência peculiar de um corpo, que depende de
suas propriedades físicas, como massa e elasticidade.
 Ressonância
O d ib b f ê i
A seguir, vamos detalhar os conceitos de frequência, frequência natural e
ressonância.
Frequência
Sendo a frequência a quantidade de eventos que se repetem em um período,
calculada como o inverso do período, assim:
Exemplo: se o medidor de rotações (conta-giros ou tacômetro) de uma roda
marca 300 rpm, significa que a cada minuto a roda completa trezentas voltas
em torno de seu eixo.
A frequência costuma ser medida em hertz, unidade derivada do Sistema
Internacional que expressa um movimento em ciclos por segundo, ou seja,
, que fisicamente significa um ciclo por segundo. Mas para fins de
cálculos, usa-se a unidade do SI radianos por segundo, ou . Neste
conteúdo, considere:
Frequência 
Quando representada pela
letra , a unidade da
frequência será Hz.
Frequência angular
Quando representada pela
letra grega , a unidade será
rad/s, e, nesse caso, recebe o
nome de frequência angular.
Por exemplo, se a Terra orbita o Sol com um período de 365 dias, a frequência de
translação é de . Achou o número muito baixo? Lembre-se de
que é preciso usar as unidades do SI. Por isso devemos converter o número de
dias para segundos, ou seja, cada dia tem 24 horas; cada hora, 60 minutos; e
cada minuto, 60 segundos. Então:
Frequência natural
Ocorre quando um corpo vibra sob uma frequência que
coincide com sua frequência natural, com ou sem contato
direto com o emissor.
 Movimento harmônico
É o movimento periódico mais simples, e sua
particularidade é que descreve uma função senoidal.
f = 1/τ
1Hz = 1/s
rad/s
f
f
ω
ω
3, 18 × 10−8Hz
f =
1
365 × 24 × 60 × 60
= 3, 18 × 10−8Hz
Para entender seu significado físico, vamos recorrer a um exemplo que aparece
em alguns filmes e desenhos animados: o da cantora de ópera que consegue
quebrar um cálice ao cantar com a voz aguda.
Isso é possível, porque o som é uma
onda mecânica, que se propaga pelo
ar. Ao atingir o cálice, transmite a
vibração. Se a cantora emitir um som
em uma frequência que consiga fazer
o copo vibrar intensamente, podemos
dizer que ela “encontrou” a frequência
natural do cálice.
Ressonância
Há um teste simples, que pode ser feito com pedacinhos de papel, um violão e
um diapasão. Vamos entendê-lo a seguir.
Após afinar o violão, colocamos os
papeizinhos em forma de “V” invertido
sobre cada uma das cordas. Quando o
diapasão é posto para vibrar, a corda
que oscilar é a que entrou em
ressonância. Dá para perceber o
movimento da corda pelo papel sobre
ela, que começa a balançar.
O fenômeno da ressonância é extremamente importante no campo da
engenharia mecânica. Imagine um eixo de uma máquina, suspenso apenas em
suas extremidades por juntas de acoplamento. Se pusermos esse eixo para girar
em uma velocidade angular próxima ao valor de sua frequência natural,
começará a vibrar com cada vez mais intensidade e poderá danificar o
equipamento do qual faz parte.
Particularidades do movimento
harmônico
Neste vídeo, será abordado o movimento harmônico e suas principais relações
matemáticas.
A imagem a seguir nos ajudará a compreender o conceito de movimento
harmônico. Representa uma massa presa a uma mola linear ideal de rigidez 
, deslocada de sua posição de equilíbrio, e daí oscila livremente para cima e para
baixo. Não há atrito ou qualquer meio de dissipação de energia.
m k
Registro físico do movimento harmônico de uma massa vinculada a uma mola.
Um traçador é preso à massa. Em uma fita passante na horizontal, puxada a
partir da direita, deixará registrado o gráfico de uma curva senoidal de período .
Esse movimento tem amplitude A, medida a partir da posição de equilíbrio da
massa.
A variável é a frequência angular, e sua relação com a frequência medida em
hertz é , sendo a frequência natural. Dessa expressão decorrem as
usadas no cálculo da velocidade e da aceleração da massa, obtidas por
derivação no tempo. Como a frequência angular é constante, então, derivando no
tempo, temos que:
Note a relação entre a aceleração e o deslocamento a cada instante,
substituindo uma equação na outra:
Temos, então, uma das particularidades do movimento harmônico: a
proporcionalidade entre deslocamento e aceleração, mas dirigida para a origem.
Das relações entre deslocamento, velocidade e aceleração, nota-se também que
podem ser reescritas usando as propriedades das funções trigonométricas:
Tanto a velocidade quanto a aceleração também são harmônicas e apresentam
a mesma frequência de oscilação , só que com defasagem em relação ao
deslocamento. Observando o gráfico, temos:
τ
x
x(t) = A senωt
ω
ω = 2πf f
ẋ(t) = ωA cosωt
ẍ(t) = −ω2A senωt
ẍ(t) = −ω2A senωt = −ω2(A senωt) = −ω2x(t)
ẋ(t) = ωA sen(ωt + π
2
)
ẍ(t) = ω2A sen(ωt + π)
ω
Gráficos representativos do deslocamento, da velocidade e da aceleração de um corpo em movimento
harmônico.
A defasagem para a velocidade é de à frente, e para a aceleração é de ,
também à frente. Considerando o gráfico,podemos observar que:
Vamos observar um arranjo físico do sistema usado para apresentar os
conceitos. Em geral, sistemas vibratórios têm meios de armazenar energia
potencial e cinética, e para dissipar gradualmente a energia. A vibração de um
sistema consiste na transferência alternada de sua energia potencial para
energia cinética, e então novamente para a potencial. Se há dissipação, parte da
energia total do sistema será perdida.
No sistema em questão, conhecido como sistema massa-mola unidimensional,
temos:
π/2 π
 No instante 
O corpo passa por sua posição de equilíbrio, desenvolvendo
velocidade máxima , situação em que a aceleração é
nula.
t1
ωA
 Do instante até 
O corpo passa pela posição de equilíbrio até atingir máximo
deslocamento (amplitude ), situação em que a velocidade
é nula. A desaceleração chega a seu valor absoluto máximo
 - perceba que a velocidade está decaindo entre e .
t1 t2
A
ω2A t1 t2
 Do instante até 
Desse instante até o corpo é acelerado cada vez menos
(agora é o valor absoluto da aceleração que está decaindo)
até novamente atingir velocidade máxima, só que agora em
sentido oposto (a velocidade assume valor negativo). O
resultado é seu movimento em direção à posição de
equilíbrio.
t2 t3
t3
Armazenamento de energia
A mola é o elemento
responsável por armazenar
energia potencial e a massa
é responsável por
armazenar energia cinética
– não há elemento
dissipador presente.
Princípio da conservação de
energia
A energia total do sistema
se conserva. Se a mola é
comprimida, a energia
potencial armazenada será
aos poucos convertida em
energia cinética à medida
que é transferida para a
massa.
Quando a velocidade da massa é nula, a energia potencial da mola é máxima;
quando é máxima, a energia potencial é nula, porque foi transferida para a
massa, que agora tem máxima energia cinética. Esse tipo de movimento
oscilatório é chamado de vibração livre não amortecida.
O sistema harmônico massa-mola unidimensional é completamente descrito por
duas grandezas escalares – a amplitude e a frequência angular , esta
calculada por meio da equação:
Em que:
 é a constante de rigidez da mola, em N/m (Newton por metro);
 a massa do bloco, em kg (quilogramas).
Entretanto, esse é um sistema simples, mas é comum a existência simultânea de
vibrações com várias frequências diferentes. Nesses casos, temos o movimento
periódico complexo.
Análise de sistemas harmônicos
Neste vídeo, serão abordados os sistemas harmônicos, destacando-se a
apresentação das frequências principal e harmônicas.
O movimento harmônico de um sistema é apenas um caso particular de
movimentos oscilatórios periódicos. Na vida real, um equipamento pode
apresentar diversas frequências. Seu movimento pode ser entendido como uma
combinação de movimentos que ocorrem em frequências distintas.

A ω
ω = √ k
m
k
m
Antes de prosseguirmos, vamos ver
um caso simples, que envolve a
vibração da corda de um instrumento
musical – um violino, por exemplo.
Essa vibração é um evento composto
por várias frequências de oscilação.
As frequências são definidas:
Frequência
fundamental
É a frequência de menor valor
(mais baixa), associada a um
som mais grave.
Frequências
harmônicas
São as demais frequências,
múltiplas da fundamental.
Se chamamos a frequência fundamental de , suas harmônicas são , ,
, e assim por diante. O resultado é um perfil de onda complexa, porém
periódica, conforme mostrado qualitativamente na imagem a seguir:
Gráfico representativo do movimento periódico complexo, de período .
Em casos como esse é às vezes difícil encontrar o período , e é preciso mudar a
forma de enxergar o sistema oscilatório. Não dá para enxergar como cada
harmônico contribui para o movimento resultante. Daí surge a análise no
domínio da frequência, e o movimento passa a ser representado pelo seu
espectro de frequência.
O matemático francês Jean B. J. Fourier mostrou que qualquer movimento
periódico pode ser representado por uma série de funções senoidais
relacionadas harmonicamente. Assim, , e temos que:
O espectro de frequência é representado qualitativamente pelo gráfico:
Espectro de frequência de um sistema oscilatório periódico complexo.
f1 2f1 3f1
4f1
τ
t
ω1 = 2πf1
x(t) = x0 + x1 sen (ω1t) + x2 sen (2ω1t) + x3 sen (3ω1t) + ⋯ + xn sen (nω1t) + ⋯
Para se obter o espectro de frequência de um movimento oscilatório periódico
complexo usa-se a transformada de Fourier. Vários programas de computador
disponibilizam o algoritmo conhecido como Fast Fourier Transform (FFT) para
essa análise. É um procedimento útil quando precisamos conhecer a
contribuição de cada harmônico no movimento.
Um exemplo disso é o do
dimensionamento de um eixo girante
movido pela turbina de uma
hidrelétrica. Se a rotação em que a
turbina opera a maior parte do tempo
for próxima de um dos harmônicos do
eixo, este pode entrar em ressonância
e vibrar demasiadamente.
Assim, é recomendável que as propriedades do eixo (principalmente massa e
elasticidade) sejam tais que lhe confiram uma frequência fundamental bem mais
alta do que a rotação de trabalho, para que não haja interferência.
Graus de liberdade de um sistema
Neste vídeo, será apresentado o conceito de grau de liberdade de um sistema
mecânico. Serão apresentados exemplos e aplicações.
Considere agora um pêndulo simples, compreendido por um fio de comprimento
 de massa desprezível e inextensível, suspenso em uma das extremidades
(ponto O) e suportando uma massa na outra, conforme mostrado nas
imagens a seguir. Lembre-se de que a massa de ambos os pêndulos só pode se
mover no plano vertical.
Pêndulo simples.
A condição de equilíbrio é aquela em
que a massa está na posição b.
Quando deslocada de b para a e
depois liberada, a massa oscilará até
atingir a posição c. Considerando que
não há qualquer dissipação, oscilará
indefinidamente entre os pontos a e c,
em movimento harmônico simples.
Como o pêndulo só pode oscilar em
torno do ponto O, e considerando a
hipótese de que o fio não se deforma,
esse sistema tem apenas um grau de
liberdade, representado pelo ângulo .
O pêndulo simples tem apenas uma
frequência natural de oscilação.
Grau de liberdade
Número de coordenadas independentes para a descrição do movimento de um
sistema.
L
m
m
θ
Agora imagine que o fio seja substituído por uma mola, com o pêndulo simples
agora como um pêndulo elástico.
Pêndulo elástico.
O comprimento não é mais
constante, e a posição de equilíbrio
pode ser, por exemplo, b’. A massa 
agora oscila e se desloca na direção
do fio. Esse sistema agora tem dois
graus de liberdade, representados pelo
ângulo  e também pelo comprimento
do fio, agora extensível, . O pêndulo
elástico apresenta duas frequências
naturais: uma associada ao
movimento angular, outra relacionada
ao movimento de translação da massa
 ao longo da direção do fio.
Qualquer corpo que se desloca livremente em um plano apresenta três graus de
liberdade e precisa de três coordenadas para descrever seu movimento porque
pode:

Andar para a
frente e para
trás

Andar para um
lado e para o
outro

Girar em torno
de um eixo
vertical
Vamos ver a seguir alguns exemplos:
Pense em uma tábua de madeira que
flutua na superfície de um lago. Ela
pode ser movida por uma leve brisa na
direção de seu eixo longitudinal .
Outra brisa, soprando no sentido
transversal , desloca a tábua para o
lado. Se então um pequeno
redemoinho se forma, a tábua será
girada levemente em torno do eixo
vertical .
Se um corpo está “solto” no espaço, terá seis graus de liberdade – três de
rotação e três de translação.
Imagine um satélite orbitando a Terra.
Os operadores podem acionar seus
motores para corrigir sua trajetória
deslocando-o nas direções e ou
fazendo-o girar em torno desses três
eixos, por deslocamentos angulares
 e . Essas seis coordenadas
descrevem o movimento do satélite.
O conceito de modos de vibração
Neste vídeo, serãoapresentados os conceitos físicos de modos de vibração,
vibração em fase e oposição de fase e os modos normais de oscilações. Em
L
m
θ
L
m
x
y
z
x, y z
φ, θ ψ
complemento será apresentada a expressão matemática da frequência natural
de vibração.
Em máquinas, estruturas, pontes e edifícios, há vários elementos que trabalham
acoplados, e há influência mútua nos movimentos. Para entendermos melhor os
fenômenos físicos envolvidos, vamos analisar o chamado pêndulo acoplado.
Entenda a seguir:
Pêndulo acoplado em posição de equilíbrio.
O sistema
O sistema oscilatório ilustrado é
simples e didático, e vai nos
ajudar a entender o conceito de
modos de vibração. São dois
pêndulos simples, iguais e
acoplados por uma mola de baixa
rigidez, que não está sob tensão
quando os fios inextensíveis
estão na posição vertical. É um
sistema oscilatório de dois graus
de liberdade, apresentando duas
frequências naturais.
Pêndulo acoplado oscilando em fase.
Oscilação em fase
Os pêndulos, quando deslocados,
podem vibrar em fase, com as
massas se deslocando para o
mesmo lado enquanto oscilam –
ambos se deslocam juntos ou
para a direita, ou para a esquerda,
e a mola não é estendida.
Pêndulo acoplado oscilando em oposição de
fase.
Oscilação em oposição de
fase
Os pêndulos podem também
vibrar fora de fase (ou em
oposição de fase) – cada pêndulo
se desloca para o lado oposto em
relação ao outro. Nesse caso a
mola, que agora participa do
movimento, terá um nó em seu
ponto médio, que é fixo no plano.
Cada um desses modos oscila em uma frequência natural do sistema. Neste
caso em particular, considerando pequenos deslocamentos (ângulos menoresθ
do que 7°), as frequências naturais são:
Sendo a distância entre o fulcro e o ponto de acoplamento da mola, e sua
rigidez.
Na prática, ao impor o mesmo deslocamento angular (importante ressaltar:
ângulos menores do que !) a ambos os pêndulos para o mesmo lado, eles
oscilarão livremente em fase na frequência , e a mola não participará,
comportando-se como um corpo rígido.
Contudo, se você impuser deslocamentos angulares de mesmo valor, mas em
sentidos opostos, os pêndulos oscilarão livremente em oposição de fase na
frequência - agora a mola se distende, mas seu ponto médio não se desloca.
Esses dois modos de oscilação são chamados de normais.
Mas o que aconteceria se cada pêndulo fosse deslocado de
ângulos diferentes?
Uma vez que o sistema é conservativo, a energia passa de um pêndulo a outro.
O resultado seria uma combinação de dois modos normais: ora os pêndulos
oscilariam em fase, ora em oposição de fase. O movimento resultante, contudo,
depende das condições iniciais, ou seja, de qual posição cada pêndulo é liberado
para oscilar livremente.
Resumindo:
f1 =
1
2π
√ g
L
f2 =
1
2π
√ g
L
+ 2
k
m
( d
L
)
2
d k
7∘
f1
f2
 Pêndulos deslocados de ângulos de mesmo valor e
no mesmo sentido
Movimento oscilatório, em fase, sempre na frequência
natural , e a mola não se deforma.f1
 Pêndulos deslocados de ângulos de mesmo valor,
mas em sentidos opostos
Movimento oscilatório, em oposição de fase, sempre na
frequência natural , e a mola se deforma, com seu ponto
médio e estacionário.
f2
Podemos então concluir que cada frequência natural de um sistema está
associada a um modo de vibração. Mas é importante ressaltar que as
frequências naturais são características do sistema, não dos elementos que o
compõem.
A frequência não é a frequência de um dos pêndulos, assim como a
frequência também não é a do outro pêndulo – ambas são frequências
naturais do sistema pêndulo acoplado.
Uma vez que é um sistema acoplado, o movimento oscilatório de um pêndulo
influencia o do pêndulo vizinho, e o efeito disso é um fenômeno conhecido como
batimento.
Variação dos ângulos de cada pêndulo quando liberados para oscilar a partir de condições iniciais diferentes.
A troca de energia entre os pêndulos faz com que os ângulos de oscilação
variem de tal maneira que ambos alternam condição de fase e oposição de fase.
Esse movimento combinado é periódico, e a frequência associada é chamada de
frequência de batimento.
As linhas tracejadas mostram os limites de oscilação angular de cada pêndulo.
O período do batimento, , é medido entre os instantes em que o mesmo
pêndulo não oscila (na imagem vista anteriormente, 
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Calcule o período de oscilação, a partir da frequência natural, em segundos,
do sistema da imagem a seguir, sabendo que a rigidez da mola é igual a 16
N/m e a massa é igual a 4,0 kg.
 Pêndulos deslocados de ângulos distintos
Movimento oscilatório combinando ora movimento em fase,
ora em oposição de fase, em frequência diferente das
frequências naturais.
f1
f2
θ
τb
τb = t2 − t1)
Parabéns! A alternativa E está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EO%20per%C3%ADodo%20de%20oscila%C3%A7%C3%A3o%2C%20medido%20em%20segundos%2C%20do%20sistem
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f_n%3D%5Cfrac%7B1%7D%7
paragraph'%3EEnt%C3%A3o%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Ctau%3D%5Cfrac%7B1%7
Questão 2
Um sistema oscilatório apresenta um pêndulo acoplado, conforme a imagem
a seguir. As massas são iguais. Ambos os fios, inextensíveis e de
massa pequena o bastante para não influenciar o movimento, têm
comprimento . A mola linear que os une está presa em cada um
dos fios a uma distância , a contar do fulcro. Quando os pêndulos
são afastados em direções opostas de um mesmo ângulo, o período de
oscilação medido é de 0,5 segundos. Calcule o valor da rigidez da mola, em
, sabendo que .
A 0,25
B 0,32
C 0,50
D 2,00
E 3,14
m = 100g
L = 50cm
d = 20cm
k
N/m g = 9, 81m/s2
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ESe%20os%20p%C3%AAndulos%20s%C3%A3o%20afastados%20em%20dire%C3%A7%C3%B5es%20opostas%2C%20
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f_2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7
paragraph'%3ESubstituindo%20os%20valores%2C%20e%20sabendo%20que%20o%20per%C3%ADodo%20%C3%A9%20o%20inverso
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%
19%2C62%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%203%2C2%20k%3D138%2C29%
2 - Vibrações livres amortecidas
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer os sistemas não conservativos, onde elementos
dissipadores de energia reduzem as oscilações e alteram seu período.
Sistemas não conservativos:
conceitos e aplicações
Neste vídeo, serão apresentados os sistemas de vibração não conservativos,
sendo os principais conceitos explorados. As principais expressões
matemáticas serão abordadas para os casos em que o amortecimento se deve
aos atritos seco e viscoso.
A 17,3
B 43,2
C 86,4
D 17,2 × 103
E 43,2 × 103
Conceitos básicos de vibrações
amortecidas
Neste vídeo, serão apresentados os principais conceitos para a compreensão
das vibrações amortecidas, destacando-se as oscilações subamortecida e
superamortecida, além da expressão matemática da frequência de oscilação
amortecida.
Sistemas mecânicos estão sujeitos a atrito; por isso, a energia total é dissipada.
O atrito pode ser de Coulomb, seco ou viscoso.
O efeito de cada um deles durante a oscilação é diferente, porém, ao final, temos
a dissipação da energia do sistema, que vai parar de oscilar até atingir a
condição de equilíbrio. O sistema amortecido é não conservativo porque a
energia se dissipa durante o movimento, em forma de calor.
Vamos observar um sistema de um
grau de liberdade, conhecido como
massa-mola-amortecedor . Por
hipótese, o amortecimento é do tipo
viscoso.Os parâmetros do sistema
são a massa , a constante de rigidez
da mola e a constante de
amortecimento . Por enquanto a
dinâmica do sistema não será tratada
aqui.
Sistema massa-mola-amortecedor de um grau de
liberdade.
Antes de prosseguir, vamos apresentar alguns novos conceitos:
m
k
b
 Oscilação subamortecida
O sistema oscila enquanto a amplitude de oscilação é aos
poucos reduzida até atingir a condição de equilíbrio.
 Oscilação superamortecida
O sistema atinge a condição de equilíbrio sem oscilar.
O valor do amortecimento crítico, , é calculado por meio da expressão:
Ou ainda:
Em que é a frequência angular natural do sistema:
A fração de amortecimento, , é calculada por:
 Oscilação criticamente amortecida
Quando liberado para oscilar, o sistema retorna à sua
posição de equilíbrio, também sem oscilar. Corresponde ao
maior valor da constante de amortecimento viscoso para
que o sistema passe a apresentar movimento aperiódico, ou
seja, não há oscilações.
 Decaimento exponencial
Forma como as amplitudes de oscilação diminuem ao longo
do tempo em um sistema que apresenta amortecimento
viscoso. Alguns autores referem-se também a esse
comportamento como decremento logarítmico.
 Fração de amortecimento
Parâmetro que representa a razão entre o valor do
amortecimento do sistema e o amortecimento crítico.
 Frequência de oscilação amortecida
Em sistemas subamortecidos, é a frequência de oscilação
do sistema. Nos casos de amortecimento crítico e
superamortecido, não há sentido falar de frequência, porque
o movimento é aperiódico.
bcrit
bcrit  = 2√km
bcrit  = 2mωn
ωn
ωn = √
k
m
ζ
Seu valor pode ser menor, igual ou maior que, indicando que o sistema é
respectivamente subamortecido, criticamente amortecido e superamortecido. Se
, não há amortecimento.
Nos sistemas subamortecidos:

Menor valor de 
Quanto menor for o valor de , mais
oscilações o sistema apresenta. A
dissipação de energia é menor ao
longo do tempo e assim a
transferência de energia entre a
massa (cinética) para a mola
(potencial) é menos afetada.

Maior valor de 
Conforme o valor de aumenta, a
dissipação proporcionada pelo
amortecedor também é maior. Na
prática, o amortecedor viscoso
esquenta, e a energia é dissipada em
forma de calor.
A frequência de oscilação amortecida, , é dada por:
A massa oscilará com essa frequência até atingir a condição de equilíbrio
estático. Repare que o valor de é menor do que o de . Não há um motivo
físico para tratar de frequência em sistemas criticamente amortecido e
superamortecido porque ambos são aperiódicos.
Atenção!
Não é que a frequência seja nula – simplesmente não há frequência, porque o
sistema não é oscilatório. Portanto, não se preocupe com o termo dentro do
radical na equação de wd porque ele será sempre positivo.
A equação só tem representação na física do problema quando . Se
, a equação perde o sentido e não deve ser utilizada.
O período de oscilação desse sistema é calculado pela equação:
E o decremento logarítmico é calculado pela equação:
A imagem a seguir mostra o gráfico de três sistemas: I) subamortecido; II)
criticamente amortecido; e III) superamortecido. A massa foi deslocada de sua
posição de equilíbrio e liberada para oscilar até a energia do sistema ser
dissipada pelo amortecedor.
ζ =
b
bcrit
ζ = 0
ζ
ζ
ζ
ζ
ωd
ωd = ωn√1 − ζ2
m
ωd ωn
0 < ζ < 1
ζ ≥ 1
τd =
2π
ωd
δ =
2πζ
√1 − ζ2
Gráficos de um sistema I) subamortecido; II) criticamente amortecido; e III) superamortecido.
Quanto maior for o amortecimento, menores serão as oscilações subsequentes
e as frequências de oscilação amortecidas – e o tempo de estabilização
também diminui, veja na imagem a seguir:
Gráficos para = 0,2, 0,4 e 0,6.
Características das oscilações
amortecidas
Neste vídeo, será apresentada uma abordagem matemática das oscilações
mecânicas amortecidas, enfatizando o decaimento exponencial, a frequência
natural do sistema massa-mola e o efeito da rigidez da mola.
O movimento de um corpo que oscila com amortecimento decai ao longo do
tempo por conta da dissipação de energia provocada pelo atrito. Enquanto a
ζ
massa é deslocada de sua posição de equilíbrio, a energia potencial da mola
aumenta com sua distensão.
Ao ser liberada, parte da energia cinética da massa é consumida pelo
amortecedor, parte é transferida para a mola. Assim, quanto mais energia o
amortecedor consome, mais rápido a massa para de oscilar.
Esse comportamento é evidente nos gráficos apresentados na imagem anterior,
para diferentes frações de amortecimento.
O amortecimento viscoso produz um movimento que decai exponencialmente
com o tempo. Os picos de oscilação estão sobre uma curva exponencial, como
ilustrado na imagem a seguir.
Gráfico do deslocamento da massa ao longo do tempo.
Tal decaimento exponencial é uma propriedade do sistema, porque depende
diretamente da fração de amortecimento. Essa fração é calculada também em
função da frequência natural.
Todas essas grandezas dependem dos três parâmetros do sistema:
Massa
Massa da mola.
Constante
de rigidez
Característica da
mola.
Constante
de
amortecimento
Própria do
amortecedor.
Vamos ver o que acontece quando esses parâmetros são mudados, sendo a
mola substituída por outra mais rígida. A frequência natural é calculada por:
É esperado, então, um aumento da frequência de oscilação, ou seja, a massa irá
oscilar mais.
Na imagem a seguir é ilustrado o gráfico do deslocamento da massa de três
osciladores diferentes entre si apenas pela rigidez da mola.
m
ωn = √
k
m
Efeito da rigidez da mola no comportamento da massa.
Além do aumento da frequência, nota-se que o primeiro pico de oscilação é
maior – a mola armazena mais energia potencial para um mesmo
deslocamento.
A mudança de rigidez da mola também afeta o valor da frequência de oscilação
amortecida, , que também aumenta, por dois motivos:
1. na expressão do cálculo de a fração de amortecimento é elevada ao
quadrado e por isso a diferença dentro do radical resulta em um valor
menor - o radicando é maior;
2. a frequência natural aumenta com o aumento da rigidez, e na fórmula
de a frequência natural aparece como elemento multiplicador.
Veja a expressão:
Agora observe a tabela:
Caso
1 k
2 4k
3 8k
Tabela – Comparação entre as grandezas do sistema para cada valor de rigidez da mola.
Ricardo Teixeira da Costa Neto.
E se agora a massa aumentar? O raciocínio é análogo:
Caso
1 m
ωd
ωd
ωd
ωd = ωn√1 − ζ2
kmola  bcrit 
2√km
4√km
4√2km
kmola  bcrit 
2√km
Caso
2 4m
3 8m
Tabela – Comparação entre as grandezas do sistema para cada valor da massa.
Ricardo Teixeira da Costa Neto
A situação agora muda porque a frequência natural diminui. Ao observar a
fórmula usada para seu cálculo, a diminuição é evidente porque a massa está no
denominador do radicando.
Atenção!
Não pense só na expressão de . Um engenheiro nunca deve perder de vista o
fenômeno físico – a fórmula é uma representação matemática de algo que
acontece no sistema!
O fato é que a frequência natural diminui com o aumento da massa porque a
inércia aumenta. É sempre mais difícil deslocar um corpo mais pesado porque,
dessa forma, é preciso mais energia, o que, por fim, torna o sistema mais lento.
Observe a imagem a seguir: enquanto o oscilador com massa já atingiu a
posição de equilíbrio, os sistemas com massa e ainda estão oscilando.
Comportamento de três osciladores, com massas e .
E assim a dissipação da energia promovida pelo amortecedor também é mais
lenta. Enquanto as molas reagem às variações no deslocamento que lhes é
imposto, amortecedores viscosos reagem às variações de velocidade! Se a
massa se move mais devagar, a dissipação de energia no amortecedor também
será mais lenta.
Oscilações amortecidas por atrito
seco
Neste vídeo, será abordado o caso das oscilações mecânicas amortecidas
devido ao atrito seco. O comportamento linear da dissipação da energia será
apresentado.
kmola  bcrit 
4√km
4√2kmωn
m
4m 8m
m, 4m 8m
A outra forma de dissipação mais conhecida é a dissipação por atrito seco ou
atrito de Coulomb.
Esse atrito surge quando dois corpos deslizam sobre superfícies secas. Para que
o movimento seja possível, devemos ter uma força agindo sobre o corpo que
supere a resistência ao movimento causada pelo atrito.
Isso ocorre em duas etapas:

Atrito estático
A primeira etapa é associada à
necessidade de vencer a resistência
ao movimento, proporcionada pelo
atrito estático.

Atrito cinético
Uma vez que o corpo começa a se
mover, sendo então a segunda etapa,
o valor da resistência cai, e agora
temos o atrito cinético.
Nos sistemas em que a dissipação se dá por atrito seco, o decaimento das
oscilações não é exponencial, mas sim linear (linhas traço-ponto na imagem a
seguir).
Comportamento do sistema quando há atrito seco.
Outra característica do sistema amortecido por atrito seco é que a massa vai
parar subitamente, ao contrário do amortecimento viscoso, onde a amplitude da
oscilação diminui até que a massa pare.
Isso ocorre porque a dissipação promovida pelo atrito é causada por uma força
que se mantém constante e sempre oposta à direção do movimento, enquanto a
força de inércia e a força restauradora da mola diminuem com o tempo, entenda
a seguir:
Força de inércia
Cai porque, ao longo do
tempo de movimento, a
aceleração da massa
diminui.
Força restauradora
Diminui porque o
deslocamento também
diminui com o tempo.
Quando a ação de ambas é menor que a força de atrito, a massa para
repentinamente.
Quanto ao período de oscilação, é o mesmo do sistema harmônico sem
amortecimento:

Comparação entre atrito seco e
atrito viscoso
Neste vídeo, será apresentada a oscilação mecânica amortecida devido aos
atritos seco (ou de Coulomb) e viscoso. Também iremos observar a comparação
entre as duas possibilidades de amortecimento a partir da posição e da
velocidade do sistema massa-mola com o tempo.
Agora que você já conheceu os dois tipos de dissipação mais encontrados em
vibrações de sistemas mecânicos, vamos compará-los. Usaremos o modelo de
massa-mola-amortecedor de um grau de liberdade, que é simples e didático,
mas de onde se pode obter muitas informações.
Se uma massa é deslocada de sua posição de equilíbrio e liberada com
velocidade inicial nula, seu comportamento oscilatório será diferente quando a
energia for dissipada por meio viscoso ou por atrito de Coulomb (ou atrito seco).
Essa diferença é ilustrada na imagem a seguir:
Comportamento oscilatório da velocidade do sistema quando há atrito viscoso comparado a outro igual
quando há atrito de Coulomb.
O experimento consiste em pôr duas massas iguais vinculadas a molas iguais,
sendo que uma é acoplada a um amortecedor viscoso e outra posta para oscilar
sobre uma superfície seca. Vê-se a diferença de decaimento – exponencial para
o amortecimento viscoso e linear para o amortecimento de Coulomb.
Há, ainda, a diferença entre as posições finais, , que se deve à parada abrupta
da massa quando as forças de inércia e restauradora da mola, somadas, não são
suficientes para vencer a força de atrito seco.
Essa parada abrupta é evidenciada quando se observa os gráficos das variações
de velocidades lineares das duas massas, como pode ser visto na imagem a
seguir. A velocidade da massa sujeita a atrito seco cai a zero de repente, em
τμ =
2π
ωn
= 2π√m
k
Δx
. A massa vinculada a um amortecedor viscoso continua oscilando por
mais tempo até parar, com decaimento também exponencial.
Comportamento oscilatório da velocidade do sistema quando há atrito viscoso comparado a outro igual
quando há atrito de Coulomb.
Nos dois casos, a frequência natural é a mesma. Somente no caso do sistema
com amortecimento viscoso, contudo, é que há sentido em falar sobre
frequência de oscilação amortecida. Porém, no sistema com amortecimento
seco, há o parâmetro chamado decaimento por ciclo, calculado pela expressão:
Esse decaimento representa o quanto a amplitude de deslocamento diminui a
cada período, observe na imagem a seguir:
Decaimento linear de um sistema amortecido por atrito de Coulomb.
Considerando que em o deslocamento é igual a em o deslocamento é
igual a e assim por diante, tem-se que:
No caso do sistema com amortecimento viscoso, com , e representado na
próxima imagem, o decremento logarítmico é calculado pela equação:
t = t1
δC = 4
μkmg
k
t1 x1; t2
x2;
x2 = x1 − δC
x3 = x2 − δC
x4 = x3 − δC
ζ < 1
δD =
2πζ
√1 − ζ2
Mas agora as oscilações subsequentes são calculadas por meio de uma
equação exponencial:
Após a j-ésima oscilação, sendo um número inteiro positivo, tem-se que:
Então, na 22ª oscilação, por exemplo:
Acompanhe na imagem:
Decaimento exponencial de um sistema subamortecido por atrito viscoso.
O amortecimento é um fenômeno complexo e há de vários tipos. Em muitos
casos, o amortecimento não pode ser prontamente identificado e deve ser
deduzido em experimentos.
Relações de causa e efeito
Neste vídeo, será apresentada a vibração mecânica forçada em que a força
aplicada ao sistema oscilatório será discutida.
Até agora o assunto foi tratado sem que as forças envolvidas nos movimentos
fossem consideradas. Antes de entrarmos no assunto de vibrações forçadas, é
preciso antes estabelecer alguns conceitos sobre as relações de causa e efeito,
as chamadas relações de causalidade.
Vamos começar com a 2ª Lei de Newton, cuja expressão mais usada é:
x2 = x1e
−δD
j
xj+1 = x1e
−jδD
x22 = x1e−21δD
Já ouvimos várias vezes que essa equação significa “força igual à massa
multiplicada pela aceleração”. Será somente isso?
Qual é o significado dessa equação e o que isso tem a ver
com as relações de causalidade?
Essa equação tem um significado físico e embute nela uma relação de
causalidade. Para entender melhor como isso acontece, passe a ler equações da
direita para a esquerda. Assim:
Causa
É tudo que estiver à direita do
sinal de igualdade.
Efeito
É tudo que estiver à esqueda
do sinal de igualdade.
Sendo assim:
Se escrevo , estou dizendo que uma massa ,
quando sujeita a uma aceleração , produz uma força de
inércia .
Mas eu posso mudar as variáveis de lugar, obtendo outra expressão:
Agora a causa é outra:
Uma força aplicada a uma massa produz uma
aceleração .
As equações são equivalentes e, por isso, posso trocar as variáveis de lugar. Só
que o fenômeno físico representado é outro.
Engenheiros e matemáticos trabalham
juntos para tentar de alguma forma
representar fenômenos naturais. Diz a
história que Pitágoras se interessou
por fenômenos oscilatórios quando,
ao passar por uma forja, percebeu que
havia alteração no som que ouvia
quando ferreiros batiam seus martelos
em momentos diferentes.
Então:
Pitágoras observou um fenômeno físico e tentou representá-
lo matematicamente. As equações usadas em cálculos de
engenharia resultam de fenômenos físicos, não o oposto. O
que se deseja é representar um fenômeno físico por meio de
uma expressão matemática.
→F = m ⋅ →a
→F = m ⋅ →a m
a
F
→a =
1
m
⋅ →F
→F m
a
As equações são equivalentes e por isso posso trocar as variáveis de lugar. Só
que o fenômeno físico representado é outro.
Você já deve ter lido ou ouvido alguém
dizer que os planetas do Sistema Solar
obedecem às leis de Kepler, mas é
pouco provável que Marte, Júpiter ou
Saturno “saibam” quem foi Johannes
Kepler. O brilhante astrônomo alemão
formulou as três leis fundamentais da
mecânica celeste a partir de
observações do movimento dos
astros – ele não os obrigou a se
mover segundo suas equações.
Voltando aos nossos sistemas oscilatórios, vamos começar com o pêndulo
simples. Sua posição de equilíbrio é aquela em que o fio repousa em posição
vertical. Para isso, ocorre o seguinte:
Causa
O pêndulo fica em posição
de equilóbrio até que seja
deslocado (1ª Lei de
Newton) – o deslocamento
é a causa do movimento.
Efeito
Ao ser liberado, o pêndulo
passa a oscilar – esse é o
efeito – indefinidamente se
não háqualquer tipo de
atrito.
Na prática, no entanto, existe atrito da massa com o ar – a dissipação de energia
–, o que reduz a amplitude do movimento até parar.
Em um sistema massa-mola-amortecedor, por exemplo, temos dois elementos
elásticos, a mola e o amortecedor, e uma inércia, a massa . Cada elemento
elástico é representado por uma expressão matemática, segundo a natureza do
funcionamento de cada um.
Uma mola reage quando é deslocada produzindo uma força de restauração – se
a mola é comprimida, se distenderá quando liberada; se é distendida, voltará a
sua condição natural, chamada de indeformada. Sua força sempre terá sentido
oposto ao deslocamento, d, que lhe é imposto. Assim temos sua equação
constitutiva:
O amortecedor viscoso reage quando é deslocado, mas a diferença é que a força
produzida é proporcional à velocidade do deslocamento, . Daí sua equação
constitutiva é:
Por último, a massa . Por ser um corpo rígido, é preciso recorrer à 2ª Lei de
Newton. Nesse caso, a razão do movimento é a força resultante que lhe é
imposta. Tem-se então sua equação de movimento:

m
→Fk = −k→δ
v
→Fd = −b→v
m
→a =
1
m
⋅ →Fresultante 
Agora temos as relações de causa e de efeito estabelecidas, como podemos ver
a seguir.
Nesse campo da engenharia, vibrações mecânicas, molas e amortecedores são
conhecidos pelo termo elementos complacentes.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Em um oscilador harmônico subamortecido por atrito viscoso, a mola é
substituída por outra duas vezes mais rígida, enquanto a massa e o
amortecedor são mantidos. Comparando o sistema modificado com o
original, o número de oscilações em um mesmo intervalo de tempo e o
período, respectivamente
Parabéns! A alternativa A está correta.
 Molas reagem com uma força quando sujeitas a um
deslocamento.
 Amortecedores viscosos reagem com uma força quando há
diferença entre velocidades em seus pontos de
acoplamento.
 Corpos rígidos aceleram quando submetidos a forças.
A aumenta e diminui
B aumenta e aumenta
C aumenta e permanece o mesmo
D permanece o mesmo e aumenta
E permanece o mesmo e diminui
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ESe%20a%20rigidez%20da%20mola%20aumenta%2C%20a%20frequ%C3%AAncia%20natural%20do%20sistema%20ta
Questão 2
Um oscilador harmônico amortecido por atrito viscoso e um amortecido por
atrito de Coulomb, com massas e molas iguais, são deslocados de 0,5 de
suas posições de equilíbrio e postos para oscilar. Considere .
Sabendo que e
, o decaimento do sistema amortecido por atrito viscoso e o
decaimento do sistema amortecido por atrito de Coulomb são,
respectivamente
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAs%20express%C3%B5es%20de%20cada%20decaimento%20s%C3%A3o%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cbegin%7Baligned%7D%0
%5Czeta%5E2%7D%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cdelta_C%20
paragraph'%3ESubstituindo%20os%20valores%20do%20enunciado%20temos%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%
%5Czeta%5E2%7D%7D%3D%5Cfrac%7B2%20%5Cpi(0%2C4)%7D%7B%5Csqrt%7B1-
(0%2C4)%5E2%7D%7D%3D2%2C74%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5
3 - Movimentos excitados harmonicamente
m
g = 9, 81m/s2
m = 320kg, k = 8.000N/m, b = 1.280Ns/m
μk = 0, 255
A 0,40 e 0,06
B 0,40 e 0,23
C 0,40 e 2,74
D 2,74 e 0,23
E 2,74 e 0,40
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer os sistemas oscilatórios de um grau de
liberdade submetidos a esforços externos.
Sistemas oscilatórios de um grau
de liberdade
Neste vídeo, serão abordados os principais aspectos teóricos e matemáticos
das vibrações forçadas. Os regimes permanente e transiente serão
conceituados. Osciladores harmônicos desbalanceados serão apresentados,
bem como suas principais relações matemáticas.
Vibrações forçadas
Neste vídeo, será apresentado o estudo matemático das vibrações forçadas. A
equação diferencial que rege o fenômeno físico para um sistema massa-mola
com um grau de liberdade será descrita, bem como soluções particulares.
Vibrações forçadas são as que ocorrem sob a excitação de forças externas.
Quando essa excitação é oscilatória, o sistema vibra na frequência de excitação.
Por isso, é preciso conhecer de antemão quais são as frequências naturais do
sistema. Se a frequência de excitação coincidir com qualquer uma das
frequências naturais do sistema, ocorre a ressonância.
A ressonância é um fenômeno que
pode levar as estruturas ao colapso.
Na história da aviação, por causa da
ressonância, dois acidentes, um em
1959, outro no ano seguinte,
ocorreram com aeronaves comerciais
modelo Electra, quadrimotores, que
caíram porque em ambos os casos
uma das asas se desprendeu durante
o voo.
A excitação harmônica é, muitas vezes, produzida por desequilíbrio em
máquinas rotativas e pode ser uma força ou um deslocamento de um ponto do
sistema.
Vamos recorrer mais uma vez ao sistema massa-mola-amortecedor de um grau
de liberdade, imagem a seguir. Parte-se do diagrama de corpo livre para deduzir
a equação diferencial do sistema:
Diagrama de corpo livre do sistema massa-mola-amortecedor de um grau de liberdade.
Da 2ª Lei de Newton, temos:
A velocidade no amortecedor é igual à derivada do deslocamento da mola no
tempo. Ambos estão submetidos ao mesmo deslocamento. Arrumando a
equação, temos:
Essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem e a solução é a
soma da solução da equação homogênea com a solução da equação particular.
A solução homogênea é a mesma do caso de vibrações livres:
A solução geral, para sistemas subamortecidos, é:
As constantes e são determinadas pelas condições iniciais e ,
respectivamente a posição inicial e a velocidade inicial:
O termo exponencial na expressão de é o amortecimento, enquanto o termo
entre parênteses representa o movimento oscilatório.
Caso o amortecedor seja removido, não há motivo para falar de frequência de
oscilação amortecida ou de fração de amortecimento. Assim, a solução
homogênea torna-se:
E agora:
mẍ = F0 sinωt − kx − bẋ
mẍ + bẋ + kx = F0 sinωt
mẍ + bẋ + kx = 0
x(t) = e−ζωnt (B1 senωdt + B2 cosωdt)
B1 B2 x(0) ẋ(0)
B1 =
ẋ(0) + ζωnx(0)
ωd
B2 = x(0)
x(t)
x(t) = A1 senωnt + A2 cosωnt
A1 =
ẋ(0)
ωn
A2 = x(0)
Se o sistema for superamortecido, não há oscilações, e a equação geral é:
Sendo:
Se for o caso de amortecimento crítico, , além de não haver movimento
oscilatório, a equação é:
O valor de é:
As situações estão resumidas a seguir.
Caso Solução da homogênea Constante
S/Amort.
Tabela – Equações e constantes representativas da solução homogênea para cada caso.
Ricardo Teixeira da Costa Neto
Quanto à solução particular, tem-se uma oscilação em regime permanente da
mesma frequência de excitação, :
x(t) = D1e
(−ζ+√ζ2−1)ωnt + D2e
(−ζ−√ζ2−1)ωnt
D1 =
ẋ(0) + (ζ + √ζ2 − 1)ωnx(0)
2ωn√ζ2 − 1
D2 =
−ẋ(0) − (ζ − √ζ2 − 1)ωnx(0)
2ωn√ζ2 − 1
ζ = 1
x(t) = C1e−ωnt
C1
C1 = [ẋ(0) + ωnx(0)]t + x(0)
x(t) = A1 senωnt + A2 cosωnt
A1 =
ẋ(0
ω
A2 = x(0
ζ < 1
x(t) = e−ζωnt (B1 senωdt
+ B2 cosωdt)
B1 =
ẋ(
B2
ζ = 1 x(t) = C1e−ωnt C1 = [ẋ(0
ζ > 1
x(t) = D1e
(−ζ+√ζ2−1)ωnt
+ D2e
(−ζ−√ζ2−1)ωnt
D1
=
ẋ(0)
D2
=
−ẋ(0
ω
x(t) = X sen(ωt − ϕ)
Na equação anterior:
 é a amplitude de oscilação;
 é a fase do deslocamento com relação à força de excitação.
Esses valores são calculados quando a equação é substituída na seguinte
equação geral:
Sendo:
Manipulando algebricamente, obtemos as expressões para e :
Observe que agora a amplitude e a fase dependem tanto de parâmetros do
sistema, e , quanto da frequência de excitação de base .
Antes de prosseguirmos, é importanteapresentar mais dois conceitos.
Variação com o tempo do deslocamento de um oscilador harmônico em torno de sua posição
de equilíbrio.
Regime transiente
Parte do movimento em que o sistema, inicialmente em repouso, reage
a um estímulo, às vezes apresentando movimentos oscilatórios
irregulares, e dura até o amortecedor efetivamente reduzir sua
amplitude. Na imagem, vai de até .
X
ϕ
{mẍ + bẋ + kx = F0 senωt
x = X sen(ωt − ϕ)
ẋ = Xω cos(ωt − ϕ)
ẍ = −Xω2 sen(ωt − ϕ)
X ϕ
X =
F0
k
√[1 − ( ω
ωn
)
2
]
2
+ [2ζ ( ω
ωn
)]
2
ϕ = tg−1
2ζ( ω
ωn
)
1−( ωωn )
2
X ϕ
m, b k ω
t = 0 t = t1
Variação com o tempo do deslocamento de um oscilador harmônico em torno de sua posição
de equilíbrio.
Regime permanente
Parte do movimento que se segue ao regime transiente, caracterizado
pela condição de equilíbrio. O equilíbrio pode ser estático, quando o
corpo entra novamente em repouso, ou dinâmico, quando as forças se
equilibram, mas ainda há movimento oscilatório, e o corpo tende a
repetir o padrão do estímulo. Na imagem, começa em .
Observe que, em regime permanente, o oscilador ainda está em movimento, só
que com amplitude constante, devido ao estímulo que recebe. Cessando o
estímulo, o amortecedor dissipará a energia potencial da mola e a energia
cinética da massa, até cessar o movimento.
As análises que se seguem são todas em regime permanente.
Análise do oscilador harmônico
sujeito à excitação de base
harmônica
Neste vídeo, será apresentado o oscilador harmônico sujeito à força harmônica,
descrevendo as relações matemáticas e o gráfico do fator de amplificação.
Vamos supor que o sistema esteja submetido a uma força harmônica cuja
frequência de oscilação é igual à frequência natural – condição em que ocorre a
ressonância. Temos então:
Isso mostra que quanto menor é o amortecimento, maior será a amplitude de
oscilação . À medida que o amortecimento tende a zero, a amplitude de
oscilação aumenta cada vez mais e, em um sistema teórico, tenderá ao infinito.
t = t1
ω
ωn
= 1
X =
F0
2ζk
X
Porém, se esse oscilador harmônico é parte de um equipamento, suas
oscilações em ressonância, por sua magnitude, podem danificar seu entorno na
prática.
O ângulo de fase indica o atraso do sistema mecânico perante a excitação de
base harmônica que lhe é aplicada. Isso tem a ver com a inércia do sistema –
quanto maior a inércia, mais tempo se leva para reagir.
É como empurrar um caixote pesado
sobre uma superfície plana: você
começa a “fazer” (aplicar) força, e o
caixote nem se mexe, até que a força
que você faz é tal que enfim consegue
vencer o atrito e deslocar o objeto.
Quando a frequência de excitação de base é baixa, as forças de inércia e de
amortecimento (lembre-se que o amortecedor reage à velocidade) são pequenas
para valores de . Com isso a força aplicada é aproximadamente igual à
força produzida pela mola.
O movimento oscilatório do sistema praticamente acompanha o movimento
oscilatório da força externa. Nessas condições, o ângulo de fase é pequeno.
Acontece, então, que:
Amplitude aumenta
À medida que o valor da
frequência se aproxima
de , a amplitude do
movimento oscilatório da
massa também vai
aumentando.
Consequência
A força de inércia (que
também aumenta) passa a
ser cada vez mais
equilibrada pela força da
mola, enquanto a força
aplicada vai aos poucos
sobrepujando a força de
amortecimento.
Ou seja, as oscilações aumentam, mas o sistema começa a ficar defasado da
força aplicada, até que as frequências de excitação e natural se igualam. É como
se, enquanto a força estiver aumentando, a massa não conseguisse acompanhar
e começasse a “chegar atrasada”. O ângulo de fase agora mede 90°. Então:
ϕ
ω/ωn
ω
ωn

 Depois que a frequência de excitação aumenta muito, a
força aplicada é consumida quase totalmente para vencer a
força de inércia.
 A amplitude de oscilação da massa diminui aos poucos
com o aumento de w, até se tornar imperceptível ao olho
humano. Mas se você pudesse tocar o bloco de massa ,
conseguiria perceber que ainda vibra, mas em frequência
alta.
m
Esse comportamento pode ser ilustrado em um gráfico relacionando grandezas
adimensionais:
Gráfico ilustrativo da variação adimensional do deslocamento em função da razão de frequências.
Temos, então:
Razão entre
frequências
No eixo das abscissas, temos
a razão entre frequências
. É possível observar
com mais propriedade o que
acontece com o sistema
quando a frequência de
excitação vai aumentando
até igualar a frequência
natural do sistema e
depois passa a ser mais alta.
Fator de
ampli�cação
No eixo das ordenadas, temos
a razão que compara
a força exercida pela mola
quando o descolamento
atinge a amplitude , com a
magnitude da força de
excitação de base, . Essa
razão recebe o nome de fator
de amplificação. Quanto
maior o valor do pico da
curva, menor o
amortecimento.
Em engenharia nem sempre se está interessado em detalhes acerca da variação
da posição, da velocidade e da aceleração ao longo do tempo. Às vezes, o
comportamento de outro parâmetro de projeto, tal como a velocidade angular de
um corpo – parâmetro diretamente associado com frequência –, é mais
importante.
Resumindo
Usando o gráfico da anterior, conclui-se que se deve evitar submeter o oscilador
harmônico a uma força externa harmônica cuja frequência coincida com a
frequência natural de tal sistema. Se isso ocorrer, a amplitude de oscilação
começa a aumentar.
 Nessas condições, o amortecedor não trabalha, porque a
velocidade da massa é praticamente nula.
ω/ωn
ω
ωn
kX/F0
X
F0
Desbalanceamento rotativo
Neste vídeo, será abordado um exemplo clássico de desbalanceamento rotativo
na engenharia mecânica. Será feito o estudo matemático do fenômeno físico a
partir de uma um sistema massa-mola desbalanceado.
Em máquinas com elementos rotativos, deve-se sempre mantê-los balanceados,
evitando que oscilem mais que o desejado e danifiquem o equipamento. O
desbalanceamento rotativo é uma fonte comum de excitação vibratória.
Observe o sistema da imagem a seguir:
No oscilador harmônico do tipo
massa-mola-amortecedor há um
elemento rotativo desbalanceado,
representado por uma pequena massa
 que gira com velocidade angular 
posicionada fora do eixo de rotação e
distando do centro.
Oscilador harmônico, desbalanceado, de um grau
de liberdade.
O oscilador pode se deslocar apenas na vertical e é suportado por duas molas
lineares de rigidez cada, montadas em paralelo, e vinculado a um
amortecedor viscoso linear cujo coeficiente de amortecimento é . A massa que
não gira é igual a , e o deslocamento da pequena massa é:
A partir do diagrama de corpo livre e da 2ª Lei de Newton, temos a equação de
movimento:
Lembre-se que são duas massas em movimento linear, e , por isso há duas
parcelas no primeiro membro, então:

Primeira parcela
Refere-se ao movimento da massa do
sistema que não gira.

Segunda parcela
Refere-se ao movimento da massa do
sistema que gira.
No segundo membro da equação estão as forças produzidas pelos elementos
complacentes. Molas que trabalham em paralelo têm suas respectivas forças
somadas diretamente.
m ω
r
k/2
b
M − m m
x + r senωt
(M − m)ẍ + m
d2
dt2
(x + r senωt) = −
k
2
x − bẋ −
k
2
x
M m
Derivando o termo entre parênteses da segunda parcela do primeiro membro,
temos:
Substituindo e rearrumando a equação, obtemos:
Por fim, chega-se a:
Essa equação é idêntica àquela em que há uma força externa harmônica
perturbadora de magnitude . Por isso, podemos aplicar o mesmo
procedimento para obter a expressão do fator de amplificação e do ângulo de
fase.
Observe que é a magnitude da força centrífuga, que provoca o
desbalanceamento. As curvas da imagem a seguir mostram o comportamento
do oscilador para valores diferentes de . A curva com maior pico é a que
corresponde ao menor amortecimento.
Gráfico representativo do fator de amplificação de um oscilador harmônico desbalanceado.
Há dois tipos de desbalanceamento:d2
dt2
(x + r senωt) = ẍ − rω2 senωt
Mẍ − mẍ + mẍ − mrω2 senωt = −kx − bẋ
Mẍ + bẋ + kx = (mrω2) senωt
F0
M
m
X
r
=
( ω
ωn
)
2
√[1 − ( ω
ωn
)
2
]
2
+ [2ζ ( ω
ωn
)]
2
ϕ = tg−1
2ζ ( ωωn )
1 − ( ω
ωn
)
2
(mrω2)
ζ
Desbalanceamento
estático
As massas desbalanceadas estão
no mesmo plano. O eixo de um
disco estreito desbalanceado é
apoiado sobre um par de trilhos
paralelos horizontais. Com isso o
disco gira até que a massa de
desbalanceamento fique na
posição vertical mais baixa
possível. É por isto que chamamos
de “estático”: porque não é preciso
fazer o disco girar para verificar
que está desbalanceado.
Desbalanceamento
dinâmico
Há uma única força radial. O
desbalanceamento dinâmico se
apresenta em mais de um plano e,
como resultado, temos uma força
e um momento oscilante. Se agora
há dois discos iguais, com massas
de desbalanceamento iguais e
dispostas defasadas de 180°, o
sistema está balanceado
estaticamente porque uma massa
compensa o efeito da outra.
Contudo, quando o eixo é posto para girar, cada disco desenvolve uma força
centrífuga. A tendência é fazer o eixo oscilar em seus mancais de apoio.
Quem leva o carro a uma oficina para
trocar os pneus é informado que as
rodas precisavam ser balanceadas,
isto é, o pneu novo, montado na roda,
é posto para girar em uma máquina
balanceadora de rodas. O operador
verifica no mostrador da máquina a
posição correta para instalar
pequenas massas na superfície
interna do aro da roda.
Essas massas servem para manter o conjunto roda/pneu balanceado. É como se
na imagem em que aparesenta o balcanceamento estático, anteriormente, outra
massa fosse colocada em oposição à massa para anular seu efeito de
desbalanceamento – a força produzida por essa nova massa cancela o efeito da
outra.
Pense agora em uma máquina de lavar roupas. Se durante a fase de
centrifugação as roupas estiverem mal distribuídas, o tambor vai oscilar
bastante, o que pode comprometer a vida útil do equipamento.
Por isso, antes de entrar no modo de
rotação contínua, o sistema de
controle acelera e desacelera o
tambor, repetidas vezes, por curtos
períodos de tempo, parando e
eventualmente invertendo o sentido de
giro, redistribuindo as roupas até
chegar a uma condição satisfatória de
centrifugação.
Excitação de base ou movimento
de base
Neste vídeo, será feita a abordagem matemática de um oscilador com excitação
de base, apresentando exemplos clássicos.
m
Eis um caso curioso para entendermos o conceito de excitação ou movimento
de base:
Uma mulher que morava no primeiro andar de um prédio em que havia
uma lanchonete logo abaixo de seu apartamento certa vez convidou o
gerente do estabelecimento para tomar um café em sua casa.
Quando o homem chegou, ela pediu que ele se sentasse em um sofá
enquanto enchia com café uma xícara que colocara em cima de sua
mesa de centro. O gerente então percebeu que a xícara vibrava muito
sobre o pires, produzindo um tec-tec-tec irritante. E, enquanto o
observava, a mulher disse-lhe calmamente: “Essa vibração vem do
piso.”
O que ela não sabia é que o motor do exaustor da coifa da cozinha da
lanchonete ficava montado em um suporte aparafusado logo abaixo de
sua sala de estar. Por sorte, o gerente era um profissional consciente e,
além de mudar o suporte do motor, recomendou que a mesma ação
fosse feita em outras lojas da rede situadas em prédios residenciais.
Outro exemplo de excitação de base, esse mais assustador, é um terremoto.
Agora que você está ciente do que é uma excitação de base, vamos ver como
representar esse fenômeno físico por equações. Usaremos mais uma vez nosso
conhecido oscilador harmônico amortecido de um grau de liberdade, imagem a
seguir, em que é o deslocamento harmônico da base e o deslocamento day x
massa medido a partir de uma referência fixa. As forças de
desbalanceamento se devem ao amortecimento e às molas.
Oscilador harmônico sujeito à excitação de base.
A força de cada mola é calculada por:
A força do amortecedor é:
Tem-se a equação de movimento:
Arrumando os termos, obtemos:
Desta equação chega-se ao valor do fator de amplificação e ao do ângulo de
fase:
As curvas ilustradas na imagem a seguir mostram a razão entre a amplitude de
deslocamento da massa m do oscilador harmônico em função da razão entre a
frequência de excitação de base e a frequência natural do sistema.
m
Fk =
k
2
(y − x)
Fb = b(ẏ − ẋ)
mẍ = 2Fk + Fb = k(y − x) + b(ẏ − ẋ)
mẍ + bẋ + kx = ky + bẏ
X
Y
=
1 + (2ζ ω
ωn
)
2
[1 − ( ω
ωn
)
2
]
2
+ (2ζ ω
ωn
)
2
ϕ = tg−1
2ζ( ωωn )
3
1 − ( ωωn )
2
+ (2ζ ωωn )
2∣ ∣ ⎷
Gráfico do fator de amplificação do oscilador harmônico sujeito à excitação de base.
A curva que apresenta o maior valor de pico é a que corresponde ao sistema
mais subamortecido. Se o amortecimento aumenta, os valores de pico ficam
cada vez menores – com curvas mais suaves.
Mas o que cada curva representa na prática?
Vamos dividir a análise em três etapas.
No eixo das abscissas, a primeira etapa compreende os valores de no
intervalo de zero até quase chegar a 1:
À medida que a frequência de excitação de base aumenta e se aproxima de , a
amplitude de oscilação aumenta em relação à amplitude - constante da
excitação de base. Quanto mais subamortecido é o sistema, maior é a amplitude
de oscilação , ou seja, a massa vibra mais.
Quando , ocorre ressonância, e agora temos:
Esse valor é maior que 1, mas decresce com o aumento do amortecimento.
A segunda etapa é a que corresponde ao intervalo:
O fator de amplificação começa a diminuir, até igualar 1. Nessa situação, a
massa oscila com a mesma amplitude da excitação de base. A partir daí, tem-
se a terceira etapa:
O sistema agora irá oscilar em frequência alta, mas com amplitudes cada vez
menores, porque a força de inércia é mais alta, ou seja, o movimento é atenuado.
|X/Y |
(ω/ωn)
0 <
ω
ωn
< 1
ωh
X −Y
X m
(ω/ωn) = 1
X
Y
=
1
2ζ
√1 + 4ζ2∣ ∣1 < ωωn ≤ √2m ωωn ≥ √2
O conceito de transmissibilidade
Neste vídeo, será apresentado o conceito de transmissibilidade em vibrações
mecânicas, além da relação matemática. Exemplos e situações na engenharia
serão descritos.
A compreensão do comportamento de um sistema simples como o massa-mola-
amortecedor ou como o pêndulo simples facilita a análise de sistemas
mecânicos complexos.
Até agora você foi apresentado a gráficos e curvas que representam a resposta
do sistema a estímulos diferentes – força externa harmônica,
desbalanceamento periódico e excitação de base harmônica.
Em todos esses casos, quando a frequência de excitação se aproxima da
frequência natural do sistema, a amplitude de oscilação da massa aumenta,
conhecida como análise no domínio da frequência, porque é feita a partir da
comparação entre a frequência do estímulo e a frequência natural. Esse
aprendizado é fundamental em projetos de máquinas oscilatórias e de suas
instalações – como se deve reduzir a transmissão de vibrações nos dois
sentidos.
Máquinas operatrizes, assim como
centros de usinagem, tornos
convencionais, retificadoras, dentre
outros, devem ser isoladas de
vibrações provenientes do piso da
indústria onde estão instaladas,
principalmente máquinas operatrizes
de alta precisão, pois qualquer
perturbação externa pode influenciar o
acabamento de uma peça.
É preciso também isolar a vibração que se origina no equipamento, atenuando
seus efeitos sobre a base onde é montada. Por exemplo, motores que servem a
geradores de energia são montados sobre coxins (tipo de apoio com elementos
elásticos, geralmente borracha) para que a trepidação que produzem enquanto
trabalham não seja transmitida para o piso.
Para entender de fato o efeito de um sistema de isolamento de vibrações, é
preciso avaliar a transmissibilidade, ou seja, o quanto uma força é amplificada,
tanto do equipamento para o piso quanto do piso para o equipamento.
A transmissibilidade é dada por:
TR =
Ftr
F0
=
1 + (2ζ ω
ωn
)
2
[1 − ( ω
ωn)
2
]
2
+ (2ζ ω
ωn
)
2∣ ∣ ⎷
O gráfico que representa a transmissibilidade é o mesmo da imagem anterior
porque a expressão é a mesma empregada para a excitação de base. Contudo,
agora vamos chamar atenção para o amortecimento, que será representado na
imagem a seguir.
Gráfico da transmissibilidade em função da razão entre frequências ).
Acompanhe o gráfico e entenda a seguir:
(ω/ωn

Antes desse ponto, quanto maior o amortecimento, menor a
transmissibilidade.
( ω
ωn
) = √2

Depois desse ponto, a situação se inverte. Maior
amortecimento não reduz a transmissibilidade, e sim
aumenta, como podemos ver no gráfico na região de
atenuação, com .
(ω/ωn) > √2
TR < 1

Na prática, se o equipamento trabalha em um regime em
que a frequência de excitação é alta, recomenda-se usar um
isolamento flexível e de baixo amortecimento. Em alguns
casos, adota-se um sistema de isolamento com molas
metálicas.
(ω/ωn) ≫ √2

Se o equipamento opera em condições de é desejável
adotar um sistema de isolamento em que o amortecimento
seja o mais alto possível. Ainda assim, o equipamento
t á il õ i ifi ti
(ω/ωn) ≪ 1
Sendo a transmissibilidade:
A massa do oscilador harmônico também influencia os valores de .
Quanto maior for a massa, maior será a transmissibilidade para um mesmo valor
de e de . Podemos verificar o efeito da massa usando a expressão da
transmissibilidade na condição de ressonância:
A partir da expressão obtemos a relação direta com a massa.
Assim, o princípio básico para isolar a vibração está em selecionar uma base de
isolamento de rigidez de forma que a frequência natural do sistema massa-mola-
amortecedor seja consideravelmente menor que a menor frequência produzida
pelo estímulo aplicado em sua base.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
O gerador elétrico mostrado na imagem a seguir, à esquerda, está montado
sobre uma base com quatro molas iguais e um amortecedor viscoso,
submetido a uma excitação de base . Esse gerador está ligado a uma
turbina hidráulica (não mostrada). Se a oscilação for muito grande, pode
causar danos ao eixo que une as duas máquinas, precisando estar dentro do
valor considerado aceitável, de .
apresentará oscilações significativas, porque opera na
região em que .TR > 1

Quando a frequência de excitação coincide com a
frequência natural do sistema, tem-se maior
transmissibilidade.
(ω/ωn) = 1
TR = √
1 + (2ζ)2
(2ζ)2
m TR
k b
TR = √
1 + (2ζ)2
(2ζ)2
=
1 + (2 b
2√km
)
2
(2 b
2√km
)
2
=
1 + b
2
km
b2
km
= √ km + b
2
b2
⎷ ⎷y
|X/Y | < 1, 5
O departamento de engenharia não conseguiu determinar a causa da
excitação de base. Sua frequência varia aleatoriamente no intervalo de
. Assim, o departamento resolveu pôr um amortecedor que
permite até três regulagens de coeficiente de amortecimento, e . O
resultado são frações de amortecimento distintas, respectivamente e
.
É correto afirmar que a melhor regulagem é a que tem coeficiente de
amortecimento
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EOs%20sistemas%20subamortecidos%20proporcionam%20melhor%20atenua%C3%A7%C3%A3o%20de%20vibra%C3
Questão 2
Calcule o valor da razão entre a frequência de excitação de base e a
frequência natural de um oscilador harmônico subamortecido por atrito
viscoso quando a transmissibilidade é igual a 1.
ω
0, 8 < ωn < 2, 0
b1, b2 b3
ζ1, ζ2
ζ3
A , porque atenua oscilações quando .b1 ω > ωn
B
, porque atenua oscilações em todo o intervalo,
principalmente quando .
b1
ω > ωn√2
C
, porque melhor atenua oscilações quando e,
ainda que não atenue tanto após esse valor, mantém o padrão
.
b2 ω < ωn√2
|X/Y | < 1, 5
D
, porque mais bem atenua oscilações quando ,
ainda que não atenue tanto após esse valor.
b3 ω < ωn√2
E
, porque torna o sistema mais amortecido em qualquer faixa
de frequência.
b3
A 1/2
B √2/2
C 1
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20express%C3%A3o%20para%20calcular%20transmissibilidade%20%C3%A9%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20T%20R%3D%5Cleft%7C%5Cfr
%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Comega%7D%7B%5Comega_n%7D%5Cright)%5E2%5Cright%5D%5E2%2B%5Cleft(2%20%5Czeta%20%5Cfra
paragraph'%3EIgualando%20a%201%2C%20tem-
se%3A%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph%20c-
table'%3E%24%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%
%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Comega%7D%7B%5Comega_n%7D%5Cright)%5E2%5Cright%5D%5E2%2B%5Cleft(2%20%5Czeta%20%5Cfra
%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Comega%7D%7B%5Comega_n%7D%5Cright)%5E2%5Cright%5D%5E2%2B%5Cleft(2%20%5Czeta%20%5Cfra
%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Comega%7D%7B%5Comega_n%7D%5Cright)%5E2%5Cright%5D%5E2%2B%5Cleft(2%20%5Czeta%20%5Cfra
%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Comega%7D%7B%5Comega_n%7D%5Cright)%5E2%5Cright%5D%5E2%20%5CRightarrow%201-
%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Comega%7D%7B%5Comega_n%7D%5Cright)%5E2%3D1%20%5CRightarrow%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Comeg
Considerações �nais
Abordamos a parte conceitual de vibrações de sistemas mecânicos, bem como
seus termos e definições. Vimos a importância de conhecer as frequências
naturais de um sistema e o fenômeno da ressonância. Nos sistemas com mais
graus de liberdade, por meio do exemplo do pêndulo acoplado, estudamos os
modos de vibração e o fenômeno do batimento.
Passamos pelos sistemas oscilatórios amortecidos por meio de atrito viscoso e
os conceitos de frequência de oscilação amortecida e fração de amortecimento.
Observamos o decaimento da amplitude de oscilação nos sistemas com
subamortecimento viscoso e aqueles amortecidos por atrito de Coulomb.
Tratamos, por fim, dos sistemas de um grau de liberdade excitados
harmonicamente por vibrações forçadas, por desbalanceamento rotativo e por
movimento de suporte. Foram apresentadas as curvas que mostram a variação
do fator de amplificação em função da razão entre frequência de excitação e
natural.
Podcast
Serão abordados os conceitos relacionados à vibração mecânica, explicando os
principais fenômenos físicos envolvidos. Em complemento, serão apresentados
os aspectos relevantes de sistemas oscilatórios não conservativos – em
particular, o efeito dissipativo sobre o período de oscilações desses sistemas.
Por fim, será abordada a oscilação forçada para o caso particular de apenas um
grau de liberdade.
D √2
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Explore +
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mecânicas” no Google Scholar. Além de dicas de livros sobre essa área do
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funcionamento é baseado em vibrações mecânicas, utilizados para tratamentos
musculares e lesões.
Referências
BEER, F. P.; JOHNSTON JUNIOR, E. R. Mecânica vetorial para engenheiros:
dinâmica. 9. ed. Porto Alegre: AMGH, 2012.
MEIROVITCH, L. Fundamentals of vibrations. Nova York: McGraw-Hill, 2010.
RAO, S. S. Vibrações mecânicas. 4. ed. São Paulo: Pearson Universidades, 2008.
THOMSON, W. T. Teoria da vibração com aplicações. Rio de Janeiro: Interciência,
1978.
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